UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE...

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-3-M-1-06-2018

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Vacaciones de Junio

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: 3er. Parcial

FECHA DE REALIZACIÓN: 16 de noviembre de 2018

RESOLVIÓ Y DIGITALIZÓ EL EXAMEN:

Rodolfo Guzmán Cermeño

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

Matemática Básica 1 Viernes 22 / 06 /2018

_________ ____

TERCER EXAMEN PARCIAL TEMARIO A3

TEMA 1. (20 puntos)

Dada la función: 𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 (π

3𝑥 +

𝜋

2) − 1

a) Determine el valor de la amplitud y la traslación vertical. b) Calcule el periodo de la función y determine el valor el ángulo de desplazamiento de

fase. c) Grafique la función. TEMA 2. (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2[log25(𝑥)]2 = log25(𝑥3) b) 5𝑥+1 + 52−𝑥 = 126

TEMA 3. (20 puntos) La aspirina se elimina del organismo de acuerdo a un modelo exponencial. Un comprimido (1 pastilla) de 500 mg se reduce a 171 mg después de cuatro horas y para que el medicamento surta efecto, debe haber un mínimo de 100 mg en el cuerpo. a) Si Juan toma dos comprimidos a las 12:00 horas, ¿a qué hora dejará de surtir efecto el medicamento? b) ¿Cuál es la vida media de la aspirina? TEMA 4. (20 puntos) Un globo aerostático está suspendido en el aire pero sujetado con dos cables que se anclan a la ladera de una colina cuyo ángulo de inclinación es 30°. El primer cable de 12 metros de longitud, se ancla a un punto A, que se encuentra a la izquierda del globo y ladera arriba. Los cables están perfectamente tensos y unidos al globo en un punto común C. Si la distancia sobre la colina entre los puntos de anclaje es de 20 m, determine: a) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto A, use ley de cosenos; b) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto B, use ley de senos; c) La distancia más corta del globo (en el punto C) a la colina. TEMA 5. (20 puntos)

Dada la función: 𝑓(𝑥) =5𝑥2 − 10𝑥

𝑥3 − 2𝑥2 − 9𝑥 + 18

Determine: a) Las coordenadas del agujero, si tuviera. b) La ecuación de la asíntota horizontal. c) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. d) Grafique la función.

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Básica 1

3

SOLUCIÓN DEL EXAMEN Índice

Tema 1 ..................................................................................................................................................................4

Tema 2 ..................................................................................................................................................................7

Tema 3 ............................................................................................................................................................... 10

Tema 4 ............................................................................................................................................................... 13

Tema 5 ............................................................................................................................................................... 16



4

Tema 1 TEMA 1. (20 puntos)

Dada la función: 𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

3𝑥 +

𝜋

2) − 1

a) Determine el valor de la amplitud y la traslación vertical. b) Calcule el periodo de la función y determine el valor el ángulo de desplazamiento

de fase. c) Grafique la función.

Inciso a)

No. Explicación Operatoria

1. La amplitud está dada por el coeficiente de la función senoidal.

𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

3𝑥 +

𝜋

2) − 1

2. La amplitud es tres. 𝑎 = 3

3. Identificamos la traslación vertical en la función.

𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

3𝑥 +

𝜋

2) − 1

4. La traslación vertical es una unidad hacia abajo.

𝑘 = −1

𝒂𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅 = 𝟑

𝑻𝒓𝒂𝒔𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 = −𝟏

Inciso b)




5

1. 𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

3𝑥 +

𝜋

2) − 1

2. Aplicar factor común a la variable.

𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 [𝜋

3(𝑥 +

3

2)] − 1

3. El periodo es igual a dos pi dividido el coeficiente de la variable.

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =2π

𝜋 3⁄= 6

4. Identificar el ángulo de fase en la función.

𝑔(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 [𝜋

3(𝑥 +

3

2)] − 1

5. El ángulo de fase es el negativo del valor. á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 = −

3

2

𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟔

á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒔𝒆 = −𝟑

𝟐

Inciso c)


1. Utilizar los valores de amplitud, traslación vertical, periodo y ángulo de desplazamiento de fase para graficar la función.



6



7

Tema 2 TEMA 2. (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2[log25(𝑥)]2 = log25(𝑥3) b) 5𝑥+1 + 52−𝑥 = 126

.

Inciso a)


1. 2[log25(𝑥)]2 = log25(𝑥3)

2. Ley de logaritmos. 2[log25(𝑥)]2 = 3 ∙ log25(𝑥)

3. Sustituir. 2[𝑦]2 = 3 ∙ 𝑦

4. Encontrar el valor de 𝑦. 2𝑦2 − 3𝑦 = 0

5. Encontrar el valor de 𝑦. 𝑦(2𝑦 − 3) = 0

6. Encontrar el valor de 𝑦. 𝑦 = 0 2𝑦 − 3 = 0

7. Encontrar el valor de 𝑦. 𝑦 = 0 𝑦 = 3/2

8. Regresar sustitución. log25(𝑥) = 0 log25(𝑥) = 3/2

9. Despejar x. 𝑥 = 250 𝑥 = 253/2

10. Despejar x. 𝑥 = 1 𝑥 = ±125

11. Comprobaciones

12. x = 1 es válido. 2[log25(1)]2 = log25(13)

0 = 0



8

13. x = 125 es válido. 2[log25(125)]2 = log25(1253)

9/2 = 9/2

14. x = −125 NO es válido. 2[log25(−125)]2 = log25(−1253)

∄= ∄

𝐱 = {𝟏, 𝟏𝟐𝟓}

Inciso b)


1. 5𝑥+1 + 52−𝑥 = 126

2. Ley de exponentes. (5𝑥)5 +

52

5𝑥= 126

3. Sustituir. (𝑦)5 +

25

𝑦= 126

4. Despejar 𝑦. 5𝑦2 + 25 = 126𝑦

5. Despejar 𝑦. 5𝑦2 − 126𝑦 + 25 = 0

6. Despejar 𝑦. 5(5𝑦2 − 126𝑦 + 25) = 0

7. Despejar 𝑦. (5𝑦)2 − 126(5𝑦) + 125 = 0

8. Despejar 𝑦. (5𝑦 − 125)(5𝑦 − 1) = 0

9. Despejar 𝑦. 5𝑦 − 125 = 0 5𝑦 − 1 = 0

10. Despejar 𝑦. 𝑦 = 25 𝑦 = 1/5



9

11. Regresar sustitución. 5𝑥 = 25 5𝑥 = 1/5

12. Despejar x. 5𝑥 = 52 5𝑥 = 5−1

13. Despejar x. 𝑥 = 2 𝑥 = −1

14. Comprobaciones

15. x = 2 es válido. 52+1 + 52−2 = 126

125 + 1 = 126

16. x = −1 es válido. 5−1+1 + 52−(−1) = 126

1 + 125 = 126

𝐱 = {𝟐, −𝟏}



10

Tema 3 TEMA 3. (20 puntos) La aspirina se elimina del organismo de acuerdo a un modelo exponencial. Un comprimido (1 pastilla) de 500 mg se reduce a 171 mg después de cuatro horas y para que el medicamento surta efecto, debe haber un mínimo de 100 mg en el cuerpo. a) Si Juan toma dos comprimidos a las 12:00 horas, ¿a qué hora dejará de surtir efecto el medicamento? b) ¿Cuál es la vida media de la aspirina?


1. Fórmula de un modelo exponencial.

𝑓(𝑡) = 𝑓0 𝑒𝑘𝑡

2. Definir variable independiente.

𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

3. Definir variable dependiente. 𝑓 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑔

4. El comprimido ingerido es de 500 mg.

𝑓(0) = 500

5. Sustituir función. 𝑓0 𝑒𝑘(0) = 500

6. Despejar 𝑓0. 𝑓0 = 500

7. El comprimido se reduce a 171 mg después de 4 horas.

𝑓(4) = 171

8. Sustituir función. (500)𝑒𝑘(4) = 171

9. Despejar k. 𝑒4𝑘 = 171/500

10. Despejar k. 4𝑘 = ln(171/500)

11. Despejar k. 𝑘 =

ln(171/500)

4



11

12. Despejar k. 𝑘 = −0.26824

13. Esta es la función con los valores de las constantes que se aplican a este problema en particular.

𝑓(𝑡) = 500 𝑒−0.26824 𝑡

Inciso a)


14. ¿Cuántas horas (x) tardará el medicamento en reducirse a 100 mg?

𝑓(𝑥) = 100

15. Sustituir función. 500 𝑒−0.26824 𝑥 = 100

16. Despejar x. 𝑒−0.26824 𝑥 = 1/5

17. Despejar x. −0.26824 𝑥 = ln 1/5

18. Despejar x. 𝑥 ≈ 6.00

19. Sumar las x horas a la hora de la ingesta del medicamento.

ℎ𝑜𝑟𝑎 = 12: 00 + 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 18: 00

𝐄𝐥 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐜𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝒅𝒆𝒋𝒂𝒓á 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝟏𝟖: 𝟎𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔.

Inciso b)


20. ¿Cuál es la vida media del medicamento?

𝑓(𝑥) = 𝑓0/2



12

21. Sustituir función. 500 𝑒−0.26824 𝑥 = 500/2

22. Despejar x. e−0.26824 x = 1/2

23. Despejar x. −0.26824 x = ln 1/2

24. Despejar x. x =

ln 1/2

−0.26824

25. Despejar x. x = 2.584

26. Convertir a horas y minutos. 2.584 horas = 2: 35 horas

𝐋𝐚 𝐯𝐢𝐝𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐚𝐬𝐩𝐢𝐫𝐢𝐧𝐚 𝐞𝐬 𝟐: 𝟑𝟓 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬.



13

Tema 4

TEMA 4. (20 puntos) Un globo aerostático está suspendido en el aire pero sujetado con dos cables que se anclan a la ladera de una colina cuyo ángulo de inclinación es 30°. El primer cable de 12 metros de longitud, se ancla a un punto A, que se encuentra a la izquierda del globo y ladera arriba. Los cables están perfectamente tensos y unidos al globo en un punto común C. Si la distancia sobre la colina entre los puntos de anclaje es de 20 m, determine: a) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto A, use ley de cosenos; b) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto B, use ley de senos; c) La distancia más corta del globo (en el punto C) a la colina.

Inciso a)


1. Diagrama del problema.

2. Ley de cosenos. 102 = 122 + 202 − 2(12)(20) 𝐶𝑜𝑠(𝜃)

3. Despejar θ. 𝐶𝑜𝑠(𝜃) =

122 + 202 − 102

2(12)(20)

4. Despejar θ. 𝐶𝑜𝑠(𝜃) =

37

40



14

5. Despejar θ. 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1 (

37

40)

6. Despejar θ. 𝜃 = 22.33°

7. Agregar la pendiente de la colina.

22.33° + 30° = 52.33°

𝐸𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐴 𝑒𝑠 𝟓𝟐. 𝟑𝟑°.

Inciso b)


8. Ley de senos. sin(𝛼)

12=

sin(22.33)

10

9. Despajar α. sin(𝛼) =

12 ∙ sin(22.33)

10

10. Despajar α. α = 27.12°

11. Sustraer pendiente de la colina.

27.12° − 30° = −2.87°

𝐸𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐵 𝑒𝑠 − 𝟐. 𝟖𝟕°.

Inciso c)




15

12. La distancia más corta entre la colina y el globo es perpendicular a la primera.

13. Trigonometría de un triángulo rectángulo.

sin(22.33) =𝑥

12

14. Despejar x. x = 12 ∙ sin(22.33)

15. Despejar x. x = 4.56

𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚á𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑠 𝟒. 𝟓𝟔 𝒎.



16

Tema 5

Dada la función: 𝑓(𝑥) =5𝑥2 − 10𝑥

𝑥3 − 2𝑥2 − 9𝑥 + 18

Determine: a) Las coordenadas del agujero, si tuviera. b) La ecuación de la asíntota horizontal. c) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. d) Grafique la función.

Inciso a)


1. Se tiene la función. 𝑓(𝑥) =

5𝑥2 − 10𝑥

𝑥3 − 2𝑥2 − 9𝑥 + 18

2. Factorizar. 𝑓(𝑥) =

5x(x − 2)

(𝑥3 − 2𝑥2) + (−9𝑥 + 18)


5x(x − 2)

𝑥2(𝑥 − 2) − 9(x − 2)


5x(x − 2)

(𝑥 − 2)(x2 − 9)


5x(x − 2)

(𝑥 − 2)(x − 3)(x + 3)

6. Igualar numerador a cero. 0 = 5x(x − 2)

7. Resolver ecuación. x = {0,2}



17

8. Los valores que hacen cero el numerador son raíces probables.

x = {0,2} son raices probables

9. Igualar denominador a cero. 0 = (𝑥 − 2)(x − 3)(x + 3)

10. Resolver ecuación. x = {2, −3,3}

11. Los valores que hacen cero el denominador hacen inexistente la función.

x = {2, −3,3} hacen la funció𝑛 inexistente

12. El agujero está donde haya una raíz probable que al mismo tiempo haga inexistente la función.

x = 2 aquí 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜

13. Obtener una función equivalente eliminando factores.

𝑓(𝑥) =5x

(𝑥 − 3)(x + 3)

14. Valuar en donde está el agujero para obtener su coordenada en y.

𝑓(2) =5(2)

[(2) − 3][(2) + 3]

15. Obtener el valor. 𝑓(2) = −2

16. Se ha obtenido la coordenada (x, y) del agujero.

(2, −2) Es la coordenada del agujero

(𝟐, −𝟐)

Inciso b)




18

17. Tomar la función original. 𝑓(𝑥) =

5𝑥2 − 10𝑥

𝑥3 − 2𝑥2 − 9𝑥 + 18

18. Dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor de x.

𝑓(𝑥) =

5

x−

10

x2

1 −2

x−

9

x2 +18

x3

19. Como la asíntota horizontal sucede cuando x tiende a infinito y todo número dividido entre un número que tiende a infinito es cero, volver cero todas las fracciones que tienen x en el denominador.

𝑓(𝑥) =0 − 0

1 − 0 − 0 + 0

20. Simplificar. 𝑓(𝑥) = 0

21. La asíntota horizontal tiene esta ecuación.

𝑦 = 0

𝒚 = 𝟎

Inciso c)


Tomar la función equivalente que está factorizada y simplificada.

𝑓(𝑥) =5x

(𝑥 − 3)(x + 3)

Igualar el denominador a cero.

0 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)

Despejar x. 0 = (𝑥 − 3) 0 = (𝑥 + 3)



19

Despejar x. 𝑥 = 3 𝑥 = −3

Las asíntotas verticales se encuentran en todos los valores de x que hagan cero el denominador y no sean agujeros.

𝑥 = 3 & x = −3 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠

𝒙 = 𝟑 & 𝒙 = −𝟑

Inciso d)


12. Graficar raíces cero.



20

Graficar agujero.

Graficar asíntotas verticales.

Graficar asíntota horizontal.

Tomar la función equivalente.

𝑓(𝑥) =5x

(𝑥 − 3)(x + 3)



21

Usar una tabla de signos para identificar las áreas en las que la curva está sobre el eje x y las áreas en las que está debajo.

(−∞, −3) (−3,0) (0,3) (3, ∞) 5𝑥 − − + +

(𝑥 − 3) − − − + (𝑥 + 3) − + + +

− + − +

Trazar la curva.

~~𝐹𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑙𝑎𝑣𝑒~~

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