UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

ESCUELA DE FORMACIN DE PROFESORES DE ENSEANZA MEDIA

LA APLICACIN DE ESTRATEGIAS Y FACTORES QUE INFLUYEN EN

LA ENSEANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA RESOLUCIN DE

PROBLEMAS MATEMTICOS

Leonel Humberto Ajanel Torres

Asesora:

Dra. Amalia Geraldine Grajeda Bradna

Guatemala, noviembre de 2012

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA ESCUELA DE FORMACIN DE PROFESORES DE ENSEANZA MEDIA

LA APLICACIN DE ESTRATEGIAS Y FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ENSEANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA

RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS

Tesis presentada al Consejo Directivo de la Escuela de Formacin de

Profesores de Enseanza Media de la Universidad de San Carlos de Guatemala

Leonel Humberto Ajanel Torres

Previo a conferrsele el grado acadmico de:

Licenciado en la Enseanza de la Matemtica y Fsica

Guatemala, noviembre de 2012

Autoridades generales:

Dr. Carlos Estuardo Glvez Barrios Rector Magnfico de la USAC

Dr. Carlos Guillermo Alvarado Cerezo Secretario General de la USAC

Dr. Oscar Hugo Lpez Rivas Director de la EFPEM

Lic. Danilo Lpez Prez Secretario Acadmico de la EFPEM

Consejo Directivo:

Lic. Sal Duarte Beza Representante de Profesores

Dr. Miguel ngel Chacn Arroyo Representante de Profesores

M.A. Dora Isabel guila de Estrada Representante de Profesionales

Graduados

PEM. Ewin Estuardo Losley Johnson Representante de Estudiantes

Br. Jos Vicente Velasco Camey Representante de Estudiantes

Tribunal Examinador:

Lic. Sal Duarte Beza Presidente

Lic. Edwin Estuardo Marroqun Secretario

Lic. Hctor Edmundo Morales Chacn Vocal

i

Dedicatoria

A Dios: Padre, Hijo y Espritu Santo creador de todo cuanto existe. Gracias por haberme dado la sabidura para realizar este trabajo. A ti se la gloria y la honra.

A mi esposa: Evelin Xiomara Hernndez Jimnez, por su ayuda,

colaboracin, paciencia y por su amor incondicional.

A mis hijas: Mlani Victoria y Evelyn Estefana, porque son la fuente de

motivacin en mi vida profesional.

A mis padres: Por el gran esfuerzo que realizaron brindndome una

Educacin en Valores.

A mis hermanos y hermanas:

David, Rosario, Ral, Eliseo, Ester y Ericka; con mucho amor.

A mis Suegros:

Con especial afecto, gracias por sus oraciones.

A mi Casa de estudios:

Universidad de San Carlos de Guatemala que me vio nacer como profesional.

A mi Escuela: Escuela de Formacin de Profesores de Enseanza Media,

donde he aprendido todo lo que soy como docente.

ii

Agradecimientos

A mi asesora: Dra. Amalia Geraldine Grajeda Bradna:

Por haberme compartido sus conocimientos acadmicos, por haberme brindado su atencin en todo momento y por toda su ayuda. Gracias!

Dr. Miguel ngel Chacn Arroyo:

Por su recomendaciones y exhortaciones.

Lic. Sal Duarte Beza:

Por sus consejos y su valiosa colaboracin en la realizacin de esta investigacin.

Lic. Hasler Caldern: Por su apoyo moral y recomendaciones pertinentes.

Lic. Pedro Echeverra: Por sus recomendaciones. A mis amigos y compaeros: Edwin Prado y Lissette Hernndez:

Por su apoyo moral y valiosa cooperacin.

A Flor de Mara Virula: Por su paciencia y amabilidad.

A todas aquellas personas que de alguna u otra forma intervinieron en la realizacin de este trabajo.

Gracias!

iii

N D I C E

Contenido Pgina Introduccin.... 1

CAPTULO I PLAN DE LA INVESTIGACIN

1.1. Antecedentes.......... 4 1.2. Planteamiento y definicin del problema. ....................................... 11 1.3. Objetivos........ 14 1.4. Justificacin..... 15 1.5. Tipo de investigacin..... 16 1.6. Hiptesis. ...... 16 1.7. Variables. .... 16 1.8. Metodologa. ......... 19 1.8.1. Tcnicas... 19 1.8.2. Instrumentos. 19 1.9. Sujetos de la investigacin. ...... 19 1.9.1. Poblacin... 19 1.9.2. Muestra. 20

CAPTULO II FUNDAMENTACIN TERICA

2.1. Qu es Matemtica? ....... 22 2.2. Resea histrica. ............... 23 2.3. Enseanza. .... 26 2.4. Aprendizaje. ...... 27 2.5 La enseanza de la Matemtica. ...... 27 2.5.1. Competencia. ....... 29 2.5.2. Qu es competencia Matemtica? ...... 29 2.6. La resolucin de problemas matemticos..... 31 2.6.1. Antecedentes histricos de la resolucin de problemas..... 31 2.7. Qu es un problema? ..... 35 2.7.1. Diferencia entre ejercicio y problema..... 37 2.7.2. Tipos de problemas .... 39

a) Problemas por resolver .. 39

iv

b) Problemas por demostrar .. 40 c) Problemas no estructurados. 40 d) Problemas estructurados. . 41

2.8. Mtodos de resolucin de problemas... 41 2.8.1. El mtodo de George Polya... 41

a) Comprender el problema. 42 b) Concebir un plan 43 c) Ejecutar el plan.. 44 d) Mirar hacia atrs... 44

2.8.2. El mtodo de Miguel de Guzmn.. 44 a) Familiarizarse con el problema... 45 b) Buscar estrategias. 45 c) Llevar adelante la estrategia . 45 d) Revisar el proceso y sacar consecuencias de l. 46

2.8.3. El mtodo de Bransford y Stein.. 46 2.8.4. El trabajo de Alan Schoenfeld .. 47 2.9. La resolucin de problemas en la Psicologa. 48 2.9.1. Los aportes de John Dewey en la Resolucin de problemas. . 48 2.9.2. El modelo de Wallas para resolver problemas. . 49 2.9.3. El modelo de Mayer para resolver problemas. .. 49 2.10. Planteamiento de problemas matemticos. 50 2.11. Estrategias de resolucin de problemas... 51 2.11.1.Las estrategias de resolucin de problemas en Matemtica 52 2.11.2.Clasificacin de las estrategias de resolucin de problemas 52

a) Estrategias cognitivas.. 52 b) Estrategias metacognitivas..... 53 c) Estrategias reflexivas e irreflexivas 53 d) Estrategias generales y especficas. 53

2.12. Las estrategias de resolucin de problemas matemticos y su aplicacin.

54

2.12.1. Demostracin directa..... 54 2.12.2. Argumentar por contradiccin o reduccin al absurdo...... 55 2.12.3. Buscar un patrn. 55 2.12.4. Considerar casos extremos 56 2.12.5. Descomponer el problema. 57 2.12.6. Ensayo y error.. 58 2.12.7. Elegir una notacin adecuada 59 2.12.8. Utilizar simetra. 60 2.12.9. Formular un problema equivalente 61 2.12.10. Generalizar. 62 2.12.11. Hacer dibujos o diagramas 64 2.12.12. Hacer una lista o tabla.. 64 2.12.13. Plantear ecuaciones.. 65 2.12.14. Trabajar hacia atrs.. 67 2.12.15. Usar frmulas... 67

v

2.12.16. Usar una computadora....... 68 2.12.17. Utilizar las propiedades de los nmeros......... 69 2.13. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas.

69

2.13.1. Las creencias en la resolucin de problemas. 70 2.13.2. El papel de la inteligencia en la resolucin de problemas 71 2.13.3. Conocimientos previos y experiencia previa... 72 2.13.4. Metacognicin en la resolucin de problemas.... 72 2.13.5. La ansiedad... 73 2.13.6. La ansiedad matemtica.. 73 2.13.7. Habilidad en el clculo mental 74 2.13.8. La memoria. 74 2.13.9. La motivacin. 74 2.13.10. La concentracin en el proceso 74 2.13.11. La creatividad. 75 2.13.12. El gusto por los retos ... 75 2.14. La enseanza y el aprendizaje de la resolucin de problemas. 75 2.14.1. Objetivos de la enseanza de la resolucin de problemas 76 2.15. La evaluacin de la resolucin de problemas matemticos.. 77 2.15.1. Algunos instrumentos para la evaluacin de la resolucin de problemas. ...

77

a) Lista de cotejo . 78 b) Escala de valoracin .. 78

CAPTULO III

PRESENTACIN DE RESULTADOS

3.1. Estrategias de resolucin de problemas matemticos. ... 81 3.2. Aprendizaje de la resolucin de problemas. .. 98 3.3. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas. 102

CAPTULO IV DISCUSIN Y ANLISIS DE RESULTADOS

4.1. Estrategias de resolucin de problemas matemticos 117

4.2. Aprendizaje de la resolucin de problemas..... 120

4.3. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas... 121

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

A. Conclusiones ....... 126 B. Recomendaciones. ..... 127

REFERENCIAS...... 129 Apndice. ...... 144 Anexos..... 167

vi

NDICE DE TABLAS

No. Nombre de la tabla Pg.

1. Estrategias de resolucin de problemas/Definicin de estrategias de resolucin de problemas...

81

2. Estrategias de resolucin de problemas/Conocimiento sobre las distintas estrategias que se utilizan en la resolucin de problemas.

82

3. Estrategias de resolucin de problemas/Conocimiento de los mtodos para resolver problemas .....

83

4. Estrategias de resolucin de problemas/Enseanza de problemas y de las estrategias de resolucin a estudiantes.

84

5. Estrategias de resolucin de problemas/Enseanza de la utilizacin de estrategias de resolucin de problemas en la formacin docente universitaria..

84 6. Estrategias de resolucin de problemas/Importancia de la

enseanza de la resolucin de problemas, segn los docentes.

85 7. Estrategias de resolucin de problemas/Aspectos que los docentes

evalan en la enseanza de la resolucin de problemas. .

85 8. Estrategias de resolucin de problemas/Frecuencia de la enseanza

de Resolucin de problemas segn los docentes.

86 9. Estrategias de resolucin de problemas/Inclusin de la Resolucin

de problemas en los contenidos del curso de Matemtica por unidad temtica. ..

86 10. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/

Conocimientos previos de los estudiantes acerca de los contenidos que se aplican en la resolucin de problemas

102 11. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/

Sentimientos manifestados ante la imposibilidad de resolver un problema...

103

vii

NDICE DE GRFICAS

No. Nombre de la grfica Pg.

1. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Ensayo y error. ...

87

2. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Frmulas o ecuaciones..

88

3. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Propiedades de los nmeros

89

4. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Hacer una lista o tabla de datos ...

90

5. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Hacer dibujos, grficas o diagramas

91

6. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Buscar patrones...

92

7. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Utilizar variables..

93

8. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Descomponer el problemas .

94

9. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Utilizar simetra

95

10. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/Trabajar hacia atrs .

96

11. Utilizacin de estrategias de resolucin de problemas/ Comprobacin de la solucin de un problema.

97

12. Aprendizaje de la resolucin de problemas/Soluciones correctas de los problemas..

98

13. Aprendizaje de la resolucin de problemas/Soluciones incorrectas de los problemas...

99

14. Aprendizaje de la resolucin de problemas/Problemas sin resolver....

100

15. Aprendizaje de la resolucin de problemas/Resultado de la prueba aplicada a docentes y estudiantes

101

16. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/Gusto por la resolucin de problemas..

104

17. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Dedicacin de tiempo necesario para resolver un problema

105

18. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Orden y organizacin del proceso de resolucin de problemas

106

viii

19. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Creencia sobre la utilidad de la resolucin de problemas en la vida y en el futuro

107

20. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Nerviosismo durante la resolucin de problemas..

108

21. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/Concentracin sobre lo que pide el texto de un problema

109

22. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Cansancio mental durante el proceso de resolucin de problemas. ..

110

23. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Insistencia por resolver un problema con grado de dificultad...

111

24. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Seguridad sobre la respuesta correcta de un problema....

112

25. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Razonamiento y anlisis previo de un problema, antes de realizar cualquier clculo. .

113

26. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Conocimientos previos para resolver problemas.

114

27. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Generacin de ideas para resolver un problema. ..............................

115

28. Factores que influyen en el proceso de resolucin de problemas/ Conocimiento de cmo empezar a resolver un problema..

116

1

INTRODUCCIN

En los ltimos aos el Ministerio de Educacin a travs de la Direccin General

de Evaluacin e Investigacin Educativa DIGEDUCA- ha evaluado a los

estudiantes graduandos de las diferentes carreras del Ciclo Diversificado en

Guatemala en las asignaturas de Lenguaje y Matemtica, los resultados

obtenidos, de manera general, no han sido satisfactorios. En Matemtica, los

porcentajes de logro son deficientes y poco han mejorado desde la primera

evaluacin realizada en el ao 2006. Tal es el caso de los resultados obtenidos

por las estudiantes graduandas de Magisterio del Instituto Normal para Seoritas

Centro Amrica INCA- Jornada Vespertina en la evaluacin realizada en el ao

2011 con un porcentaje de logro del 6.45% en la prueba de Matemtica. Los

resultados a nivel nacional fue de 7.48% lo cual indica que, en general, los

estudiantes carecen de las habilidades, destrezas y conocimientos en

Matemtica.

En relacin con la formacin docente de nivel medio, es de suma importancia

que los docentes en servicio, conozcan la problemtica y la comunidad educativa

en general para tomar acciones concretas y mejorar la situacin de la enseanza

y el aprendizaje de esta ciencia, puesto que los estudiantes de Magisterio son

los futuros maestros que tendrn la ardua tarea de ensear a pensar y a

desarrollar las competencias matemticas en los nios de los primeros grados

de la educacin formal y de ello depender en gran manera, la habilidad que

tendrn estos estudiantes en los grados superiores como estudiantes y en su

futuro en el campo laboral o profesional.

De acuerdo a Gutirrez, S. (2012). Los instrumentos de evaluacin

utilizado por la -DIGEDUCA- se fundamentan en los niveles de aprendizaje de

2

Marzano y precisamente el nivel que no logran alcanzar las alumnas del INCA-

es el Nivel de Utilizacin que consiste en aplicar los conocimientos para

investigar, experimentar y resolver problemas. Adems, el nuevo Currculum

Nacional Base para la formacin inicial docente del nivel primario (2006)

establece entre otras competencias, desarrollar en los estudiantes, la habilidad

de resolver problemas matemticos en situaciones de la vida diaria; sin

embargo, las estudiantes evaluadas en los ltimos aos, no han logrado esta

competencia, segn los resultados de las evaluaciones publicadas por la

Direccin General de Evaluacin e Investigacin Educativa del Ministerio de

Educacin.

Asimismo, la resolucin de problemas ha sido durante las ltimas dcadas,

objeto de estudio e investigacin por profesionales de la Matemtica Educativa

en diferentes pases de Amrica y Espaa; sin embargo, en Guatemala poco se

conoce sobre el tema y por consiguiente no se le ha prestado la atencin

necesaria.

Dado que uno de los objetivos fundamentales de la Matemtica es

principalmente, resolver problemas, no tendra sentido prctico aprender una

diversidad de operaciones y leyes matemticas sin ningn sentido; as tambin,

muchos estudiantes desconocen la aplicacin que tiene la Matemtica, porque

no reciben la enseanza necesaria para resolver problemas. Los estudiantes no

estn teniendo un aprendizaje significativo.

Es as como esta investigacin surge con el inters de describir la situacin

actual de la Educacin Matemtica, especficamente lo referido a la enseanza y

el aprendizaje de la resolucin de problemas, la aplicacin de estrategias y otros

factores que influyen el proceso de su aprendizaje, en estudiantes graduandas

del Instituto Normal para Seoritas Centro Amrica de la Jornada Vespertina.

La investigacin se llev a cabo en 8 secciones de estudiantes de Sexto

3

Magisterio Primaria y Preprimaria en donde se evalu el proceso de resolucin

de problemas y las estrategias que utilizan; as como los factores que influyen en

dicho proceso de resolucin de los problemas matemticos; de la misma manera

se trabaj con los profesores que imparten el curso en las distintas secciones de

la Jornada Vespertina de dicha Institucin. Los resultados obtenidos permiten

tener una perspectiva general de la situacin de la enseanza-aprendizaje de la

Matemtica, especficamente del proceso de resolucin de problemas y la

utilizacin de estrategias para mejorar la situacin de la enseanza de la

Matemtica en el Instituto, a la vez que se contribuir al mejoramiento del

rendimiento escolar en general.

4

CAPTULO I

PLAN DE LA INVESTIGACIN

1.1. Antecedentes

La enseanza - aprendizaje de la resolucin de problemas matemticos ha sido

objeto de investigacin en las ltimas dcadas por profesionales de la

Matemtica y Psiclogos. Entre estas investigaciones destacan las siguientes:

Silva Laya, M., Rodrguez Fernndez, A. y Santilln Gonzlez, A. (2009)

titulado Mtodo y estrategias de resolucin de problemas matemticos

utilizadas por alumnos de 6to. Grado de primaria. Investigacin institucional

de la Universidad Iberoamericana de Mxico, cuyos objetivos principales

fueron: Analizar las estrategias utilizadas por los alumnos para resolver

problemas matemticos y detectar errores y dificultades en el mtodo y las

estrategias que emplean los alumnos para resolver problemas. En la

investigacin se utiliz un diseo mixto con un enfoque cualitativo tomando

una muestra de 57 estudiantes de 6 grado de Primaria. Entre las

conclusiones obtenidas resaltan las siguientes: los conocimientos previos

definiciones, propiedades y teoremas matemticos son herramientas claves

para el xito en la resolucin de problemas; adems, se determin qu

proporciones importantes de estudiantes no cuentan con los conocimientos

previos suficientes para resolver los problemas matemticos. El anlisis de

las estrategias de resolucin de problemas, indic que hay una mayor

incidencia de procedimientos reflexivos que irreflexivos; sin embargo, su

frecuencia fue mucho menor al tratarse de los problemas ms difciles,

especficamente los de geometra. Finalmente se concluye, que si no se

5

comprenden los problemas y no se tiene un plan justificado, los estudiantes

realizan las operaciones con los datos proporcionados y plantean una

solucin aunque sta no tenga sentido.

Agudelo, G., Bedoya, V. y Restrepo, A. (2008) en el trabajo de Tesis Mtodo

heurstico en la resolucin de problemas matemticos para optar al grado

de Licenciatura en Pedagoga Infantil de la Universidad Tecnolgica de

Pereira, Colombia; investigaron la relacin entre la aplicacin de las

estrategias heursticas de Polya y el mejoramiento de la capacidad de

resolver problemas matemticos con estudiantes de 5. Grado de Primaria

utilizando un mtodo cuasiexperimental y de tipo cuantitativo. El objetivo

principal fue utilizar el mtodo heurstico de Polya para mejorar la capacidad

de resolucin de problemas matemticos en estudiantes de quinto grado; los

principales hallazgos fueron: la comprensin lectora influye en la resolucin

de problemas: a mayor comprensin lectora, mayor es la capacidad para

resolver problemas; los estudiantes que aplican el mtodo de Polya

resuelven problemas de forma reflexiva y no mecnica.

Say Tzul, A. D. (2005) en su Tesis para optar el grado de Licenciado en

Pedagoga y Ciencias de la Educacin de la Facultad de Humanidades de la

Universidad de San Carlos de Guatemala, con el ttulo Correspondencia

entre la actitud y el aprendizaje de las matemticas. Cuyo objetivo general

es: Determinar si la actitud de rechazo hacia las reas numricas que

presenta el alumno, incide grandemente en el aprendizaje de la naturaleza

de contenido de la unidad de Lgica Matemtica y uno de sus objetivos

especficos es: Determinar la actitud que presentan los estudiantes hacia las

reas numricas. En esta investigacin se tom como muestra a 45

estudiantes de Segundo Bsico del Instituto de Educacin Bsica, utilizando

un mtodo cualitativo-cuantitativo. Entre las principales conclusiones cabe

destacar las siguientes: la actitud incide en otros contenidos programticos,

los cuales incide en el aprendizaje, y existe una actitud de rechazo hacia los

6

contenidos programticos de las reas numricas por parte del estudiantado.

Ossma Sierra, Y. P. y Tehern Villa, N del S. (2003) en su trabajo de grado

titulado Estrategias metacognitivas para la comprensin y resolucin de

problemas aditivos en el sistema numrico de los enteros en estudiantes de

7. del Colegio Dulce Nombre de Jess de Sincelejo para optar al grado de

Licenciado en Matemticas, cuyo objetivo general fue: posibilitar la

comprensin y resolucin de problemas aditivos en el sistema de los

enteros, en estudiantes de 7. Grado del Colegio Dulce de Nombre de Jess

de Sincelejo, a travs de la incorporacin y desarrollo de estrategias

metacognitivas para ayudarlos en su proceso de razonamiento; y uno de los

objetivos especficos fue desarrollar con los estudiantes estrategias

metacognitivas en los procesos de resolver problemas aditivos a fin de

incorporarlos en sus actividades de aprendizaje.

En dicha investigacin se utiliz una metodologa descriptiva y tipo

cualitativo, tomando una muestra de 5 estudiantes que presentaban

dificultad en la adicin de los nmeros enteros y especialmente en la

resolucin de problemas. Entre sus principales conclusiones se puede

resaltar las siguientes: Los estudiantes se motivan o interesan en la

resolucin de problemas, cuando son invitados a desarrollar estrategias

como: graficar, usar diagramas y en especial al dramatizar, hacer simulacros

o ejemplificar una situacin problema, y los estudiantes se inclinan a la

metodologa tradicional y la dependencia hacia el docente es persistente.

Arriola, P. y Saz, M.A. (2010) en Percepcin de los estudiantes graduandos

sobre las evaluaciones nacionales 2009. Investigacin institucional de la

Direccin General de Evaluacin e Investigacin Educativa del Ministerio de

Educacin de Guatemala; investigacin con enfoque cualitativo y cuantitativo

cuyo fin es generar informacin que aporte insumos para el abordaje de la

mejora en dos vas (estudiantes-MINEDUC) de este proceso evaluacin.

7

Como instrumento se utiliz un cuestionario y entrevista a un grupo focal.

La muestra la constituy 865 estudiantes de nueve establecimientos, ocho

de la ciudad capital y uno de Quetzaltenango. El grupo focal lo constituy

seis estudiantes quienes participaron en las evaluaciones nacionales de la

ciudad capital. Los hallazgos importantes son: el 21.19% de los estudiantes

expresaron que les falt desarrollar la habilidad que implicaba destrezas de

pensamiento para resolver la prueba. Esta habilidad consiste en la

capacidad de administrar nociones, representaciones y utilizar

procedimientos matemticos para comprender e interpretar el mundo real.

Adems, slo el 9.05% de los estudiantes consideran que dominan todos

los temas evaluados. En cuanto a los conocimientos previos, el porcentaje

ms alto es lgebra con un 38.42%.

Castillo Valdez, I. A. (2011) en su trabajo de tesis titulado Estrategias de

aprendizaje que utilizan los estudiantes del colegio Discovery y su relacin

con el Rendimiento acadmico en Matemtica para optar al grado de

Licenciada en Educacin y Aprendizaje de la Facultad de Humanidades,

Departamento de Educacin de la Universidad Rafael Landvar. El objetivo

general de la investigacin fue: determinar la relacin que existe entre las

estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos del ciclo bsico del

Colegio Discovery y el rendimiento acadmico que obtienen en la clase de

Matemtica, y entre los objetivos especficos: Establecer el nivel de uso de

cada una de las estrategias y conocer si existe diferencia en el uso de las

estrategias de acuerdo al grado que cursa el alumno. Como conclusin

general de esta investigacin se lleg a que existe correlacin significativa

entre el uso de las Estrategias de Adquisicin de Conocimientos, las

Estrategias de Recuperacin de la Informacin y Estrategias de Apoyo al

Procesamiento y el rendimiento acadmico obtenido por los alumnos en la

asignatura de Matemtica. El incrementar el uso de las estrategias facilitar

al alumno el aprendizaje de los conocimientos.

8

Roque Carrera, M. F. (2005) en su tesis titulada Factores que influyen en el

rendimiento de la Matemtica en el estudiante del Ciclo Bsico, del Instituto

Oficial Mixto Bsico Leonidas Mencos vila. Tiquisate, Escuintla para optar

al grado de Licenciada en Pedagoga y Ciencias de la Educacin, del

Departamento de Pedagoga, Facultad de Humanidades de la Universidad

de San Carlos. El objetivo de la investigacin es: Identificar los factores que

influyen en el rendimiento del aprendizaje en el rea de matemtica en los

estudiantes del Instituto Oficial Mixto Leonidas Mencos vila, de Tiquisate.

La investigacin es descriptiva y de tipo cualitativo-cuantitativo. Se tom una

muestra de 156 alumnos de los tres grados de Educacin Bsica y tres

maestros. De esta investigacin se determin que el bajo rendimiento en el

rea de Matemtica se debe a: la metodologa utilizada por el docente al

impartir sus clases y el nmero de estudiantes por salones de clase.

Gil, N., Blanco, L. y Guerrero, E. (2005) en el trabajo titulado El papel de la

afectividad en la resolucin de problemas matemticos investigacin

institucional de la Universidad de Extremadura, Espaa, cuyo objetivo es

poner de manifiesto la importancia del papel que desempean los afectos en

el xito o fracaso del aprendizaje matemtico. En la investigacin se tom

como muestra a 346 alumnos de los grados de 3. y 4. Curso de Educacin

Secundaria Obligatoria, tanto en escuelas estatales como privadas. En este

estudio se emple una metodologa descriptiva de tipo cualitativo-

cuantitativo. Las principales conclusiones obtenidas son: el 51.7% de los

estudiantes les interesa y atraen el curso de Matemtica, el 77.7% de los

estudiantes eligen esta materia como clase preferida, los estudiantes

consideran que la resolucin de problemas exige perseverancia y paciencia.

El nivel de ansiedad matemtica es superior en las chicas que en los

varones, las actitudes y las reacciones emocionales de los estudiantes hacia

la matemtica y su aprendizaje varan en funcin del sexo.

Iriarte Pupo, A. y Sierra Pineda, I. (2011). En la investigacin titulada

9

Estrategias Metacognitivas en la Resolucin de Problemas Matemticos

Investigacin institucional del Sistema de Universidades Estatales del Caribe

Colombiano - Sue Caribe cuyo objetivo es determinar la influencia de la

implementacin de estrategias didcticas con enfoque metacognitivo en el

desarrollo de la competencia resolucin de problemas matemticos en

estudiantes de 5 de la institucin educativa Normal Superior de Sincelejo.

En la investigacin se tom como muestra a 2 docentes en servicio y 338

estudiantes, el grado quinto de la IENSS, teniendo seis grupos en la jornada

matinal y cuatro grupos en la Jornada Vespertina, para un total de 338

estudiantes. Para la eleccin de los grupos experimentales y control, fueron

escogidos de manera aleatoria los siguientes: grupo 5 B, Jornada Matutina

(Control), el grupo 5 F Jornada Matutina (control), el grupo 5 C Jornada

Vespertina (Experimental) y el grupo 5 A Jornada Vespertina

(Experimental). En el estudio se tomaron dos grupos experimentales, a

ambos se les intervino con la estrategia didctica con enfoque metacognitivo,

a uno de ellos se le aplic pretest y postest, al otro slo el postest. Se

tomaron a su vez dos grupos de control, los cuales no fueron intervenidos

con la estrategia, sin embargo, a uno de ellos se le aplic el pretest y

postest, al otro solo el postest. Los grupos experimentales y de control se

escogieron de manera aleatoria. Los principales hallazgos son: la

preparacin de los docentes en la aplicacin en estrategias didcticas con

enfoque metacognitivo, contribuye al desarrollo de competencias

metacognitivas en el aula, aportado al aprendizaje autnomo de los

estudiantes; el manejo de estrategias metacognitivas caracterizada por la

toma de conciencia mental de las estrategias necesarias utilizadas al

resolver un problema, para planear, monitorear, regular o controlar el

proceso mental de s mismo, que es parte fundamental en el proceso de

resolucin de problemas; el conocimiento y uso adecuado de estrategias de

solucin de problemas, a travs de la aplicacin de modelos que articulen

estrategias cognitivas y metacognitivas y el contexto, permite que el

10

estudiante desarrolle la competencia de resolver problemas desde la

matematizacin de sus realidades.

Martnez Barragn, L., Negrete Agmez, M. y Sierra Pineda, I. (2011).en el

trabajo titulado Estrategias heursticas en la solucin de problemas

matemticos, desarrollo de habilidades metacognitivas en educacin infantil;

investigacin institucional de la Universidad de Crdoba, cuyo objetivo

general es determinar la influencia de una estrategia basada en la

enseanza de heursticos para la resolucin de problemas matemticos en el

desarrollo de habilidades metacognitivas en nios entre los 9 y 11 aos de

edad del Centro Educativo Besito Volao de la ciudad de Montera. La

metodologa empleada fue cuantitativa, con un diseo cuasiexperimental de

grupos equivalentes (control y experimental). La muestra fueron nios y

nias que se encuentran en el rango de edades entre los 9 y 11 aos. La

muestra se seleccion de forma no probabilstica, conformada por grupos

intactos, correspondientes a los estudiantes de ambos grupos de grado

cuarto, a los cuales se les aplic una prueba de equivalencia, para garantizar

que ambos grupos iniciaran el experimento en igualdad de condiciones en

cuanto a las competencias de comprensin lectora, anlisis lgico

matemtico y comprensin algortmica de las cuatro operaciones

matemticas bsicas.

Las principales conclusiones fueron: los bajos niveles de desarrollo de las

habilidades metacognitivas en la poblacin infantil evidenciados en la

preprueba especialmente las referidas al conocimiento y planificacin de la

tarea y de las estrategias de resolucin de problemas, obedecen, por un

lado, a que los estudiantes se dedican nicamente a realizar simples

ejercicios, que no constituyen para los mismos, tareas intelectualmente

exigentes (trmino adoptado por Gonzlez, 1998), lo cual a su vez implica

que los procesos que orientan los maestros para enfrentar este tipo de

tareas se enfoquen en la enseanza de algoritmos o tcnicas los cuales son

11

aplicados por los estudiantes como una secuencia automatizada de

acciones. El estudio muestra que los estudiantes no son conscientes de las

estrategias que usan al resolver problemas matemticos, en consecuencia y

como es de esperarse, es poca la actividad de monitoreo y evaluacin que

realizan sobre estas, de igual manera es deficiente su capacidad para

evaluarlas o adaptarlas segn los contextos de la tarea, lo cual destaca la

validez del programa de intervencin que tiene en cuenta los aspectos, tanto

condicionales referidos al conocimiento como los procedimentales referidos

a la regulacin para desarrollar las habilidades metacognitivas.

Asimismo se encontr que las estrategias de resolucin de problemas que

conocan los estudiantes partcipes del proyecto, no eran suficientes para

enfrentar eficientemente diferentes tipos de problemas; es decir, que ante

situaciones nuevas en los que los algoritmos aprendidos no les ofrecan la

solucin, se sentan perdidos y frustrados, lo anterior valida el xito del

programa, puesto que al ensearles estrategias heursticas los estudiantes

contaron con un variado men de posibilidades para planificar, monitorear y

evaluar su estrategia, dependiendo de las caractersticas de la tarea. La

enseanza de estrategias heursticas favorece el desarrollo de las

habilidades metacognitivas, al ofrecer a diferencia de los algoritmos, solo

posibles caminos de resolucin de problemas, los cuales para llegar a ser

efectivos requieren la participacin activa del estudiante en la reflexin de

aquellas que se ajusten a las necesidades de la tarea, la planificacin y toma

de decisiones, para armar su estrategia particular y finalmente la evaluacin

permanente de su proceso.

1.2. Planteamiento y definicin del problema

La Ley de Educacin de Guatemala establece una educacin basada en

principios humanos, cientficos, formar integralmente al educando, prepararlo

para el trabajo, fomentar y cultivar sus cualidades fsica e intelectuales. Es por

12

ello, la importancia de tener una educacin de calidad y una formacin slida,

constante y permanente. Sin embargo, el sistema educativo no est alcanzando

sus objetivos, puesto que, la calidad de la enseanza se refleja en muchos de

miles de estudiantes que se gradan cada ao, pero con una formacin

deficiente como lo demuestran los resultados de las evaluaciones realizadas a

graduandos por el Ministerio de Educacin; cada ao los resultados obtenidos

permanecen deficientes en Lenguaje y Matemtica.

Los resultados de la evaluacin en Matemtica realizada por el Ministerio de

Educacin, a travs de la Direccin General de Evaluacin e Investigacin

Educativa, se presenta en el informe de la evaluacin de graduandos, en la cual

se da conocer las distintas reas donde se siguen teniendo deficiencias, entre

ellas estn:

La utilizacin de los nmeros reales para resolver un determinado

problema.

Resolucin de problemas de aplicacin de porcentajes.

Resolucin de problemas de la vida cotidiana en donde se demuestra la

habilidad numrica.

Los temas anteriores referentes a la resolucin de problemas son una parte

fundamental en la enseanza de las matemticas, porque es en este proceso en

el cual el estudiante encuentra sentido a la matemtica, desarrolla su

pensamiento lgico y numrico; adems, toma conciencia de la utilidad de esta

ciencia, se da cuenta que la matemtica no es simplemente operaciones y reglas

sin sentido, sino que posee utilidad en su vida diaria y en las diferentes reas

cientficas; un estudiante capaz de resolver problemas posee un aprendizaje

significativo. Con todo, el resolver problemas matemticos sigue siendo un rea

deficiente y para muchos estudiantes es otra dificultad ms sumada a la

deficiencia en la realizacin de operaciones.

13

La sociedad actual est en constante desarrollo cientfico y tecnolgico en donde

la enseanza de la matemtica juega un papel fundamental, puesto que esta

ciencia es el lenguaje principal de otras, tales como Fsica, Qumica,

Computacin y se aplica adems en ciencias como la Economa, Sociologa,

entre otras.

En todos los campos de la ciencia, en situaciones de la vida diaria, en el trabajo,

en los estudios, en el campo educativo y otras actividades, surgen problemas de

diversa ndole y qu se hace con esos problemas?... pues, resolverlos. En esta

rea de la Matemtica, el estudiante desarrolla sus habilidades numricas y de

pensamiento matemtico. Se ha observado que cuando se plantea un problema

de aplicacin de matemtica a estudiantes, desconocen la forma de resolverlo y

no logran identificar qu operaciones se debe realizar, trabajan en forma

desordenada y algunos apenas leen el enunciado, tienen dificultades para

expresar el problema al lenguaje matemtico, aunque sea un simple problema

aritmtico o problema de aplicacin de ecuaciones.

Un estudiante que posee dificultades para resolver problemas, le crea frustracin

y adems adopta una actitud negativa ante el curso y supone que la Matemtica

no es para l, igualmente el estudiante que no puede resolver problemas,

difcilmente podr entender el objetivo principal de esta ciencia. En sus estudios

futuros y en el campo laboral, probablemente tenga dificultades para analizar y

resolver problemas de situaciones reales. Esto se debe a que el estudiante no

tiene definidas las estrategias para resolver problemas? En virtud a lo expuesto

anteriormente se plantea el siguiente problema de investigacin:

Los estudiantes no pueden resolver problemas matemticos, porque

carecen de estrategias de resolucin de problemas.

Con esta investigacin se responder a las siguientes interrogantes:

14

Qu estrategias se ensean actualmente para el aprendizaje de la resolucin

de problemas matemticos? Qu estrategias utilizan los estudiantes en la

resolucin de problemas matemticos? Qu factores afectan el aprendizaje de

la resolucin de problemas?

Al responder estas interrogantes se coadyuvar en el mejoramiento de la

enseanza y el aprendizaje de la matemtica y especialmente en el tema de

estrategias de resolucin de problemas.

1.3. Objetivos

1.3.1. General

Coadyuvar en el mejoramiento de la enseanza y el aprendizaje

de la Matemtica especialmente en la aplicacin de estrategias

de resolucin de problemas.

1.3.2. Especficos

a) Determinar las estrategias que se ensean para el aprendizaje

de la resolucin de problemas matemticos.

b) Determinar las estrategias que utilizan los estudiantes en la

resolucin de problemas matemticos.

c) Determinar los factores que afectan el proceso de aprendizaje

de la resolucin de problemas matemticos.

15

1.4. Justificacin

El nuevo Currculum Nacional Base para la Formacin Inicial de Docentes del

Nivel Primario en el rea de Matemtica hace nfasis en las competencias de

anlisis, formulacin, resolucin e interpretacin de problemas matemticos en

situaciones de la vida diaria. Esta es una base fundamental para analizar a

profundidad las causas por las cuales los estudiantes de Magisterio del Instituto

Normal Centro Amrica INCA- Jornada Vespertina, demuestran una actitud

negativa ante el tema de la resolucin de problemas de la matemtica y muchas

estudiantes, ni siquiera hacen el intento por resolverlo. En los ltimos informes

de evaluacin a graduandos segn el Ministerio de Educacin, las estudiantes

del INCA- han presentado un nivel nulo en el rea de resolucin de problemas

de acuerdo con la Taxonoma de Marzano que el Ministerio de Educacin toma

como base. Por otro lado, las estudiantes poseen conceptos errneos de la

Matemtica y creen que esta ciencia nicamente se reduce a simples

realizaciones de cuentas; consideran que la Matemtica la conforman

nicamente los nmeros naturales y saber contar, desconocen que la

Matemtica en general tiene muchas aplicaciones en la vida diaria y en las

carreras cientficas, en el aprendizaje de ciencias como: Fsica, Qumica,

Biologa y todas las ramas de la Ingeniera.

Segn Marzano, R. J. y Kendall, J.S. (2007) hay 6 niveles de aprendizaje que

son: Recuperacin, Comprensin, Anlisis, Utilizacin del conocimiento,

Metacognicin y Sistema interno. Cada uno de estos niveles se desarrolla por

etapas. En Matemtica, el nivel de Utilizacin del conocimiento se da en la

resolucin de problemas, en donde el estudiante debe aplicar los conceptos,

definiciones, operaciones y estrategias; as es como la teora se lleva a la

prctica.

16

El problema radica en que las graduandas de Magisterio Primaria y Preprimaria,

egresan con deficiencias en Matemtica y ellas sern las maestras de nios y

nias, lo que incidir en un futuro cercano, pues tambin sus alumnos tendrn

dificultades con esta ciencia.

Por lo anterior, es importante describir y analizar las causas por las cuales las

alumnas del INCA- Jornada Vespertina, estn presentando dichas deficiencias

en la resolucin de problemas matemticos.

1.5. Tipo de investigacin

Por el nivel de profundidad: descriptiva, puesto que pretende dar una descripcin

y explicacin de la situacin de la enseanza y el aprendizaje de la resolucin de

problemas y no pretende demostrar un hecho o fenmeno en este tema.

Por el grado de aplicabilidad: aplicada, puesto que surge directamente de la

prctica educativa y los resultados pueden aplicarse posteriormente.

Por el origen de los datos: mixta, puesto que es de campo y documental.

1.6. Hiptesis

Como ya se indic, la presente investigacin es de tipo descriptivo, por lo que

no plantea ninguna hiptesis, segn Sampieri, R. (2006)

1.7. Variables

En esta investigacin se analizarn las siguientes variables: estrategias de

resolucin de problemas matemticos, aprendizaje de la resolucin de

problemas y factores que influyen en el proceso de aprendizaje de la resolucin

de problemas matemticos.

VARIABLE DEFINICIN

CONCEPTUAL DEFINICIN OPERATIVA

INDICADORES TCNICAS INSTRUMEN-

TOS

Estrategias de

resolucin de

problemas matemticos.

Una estrategia es un procedimiento generalizado constituido por esquemas de acciones cuyo contenido no es especfico, sino general, aplicable en situaciones de diferente contenido, que el sujeto utiliza para orientarse en situaciones en las que no tiene un procedimiento ad hoc y sobre la base de las cuales decide y controla el curso de las accin de bqueda de la solucin (Campistrous y Rizo, 2000) Citado en Cruz, M. 2002.

Se entender por estrategias las siguientes acciones que se pueden utilizar en la resolucin de problemas.

1. Buscar patrones. 2. Hacer una lista o

tabla de datos. 3. Realizar figuras,

dibujos o diagramas.

4. Descomponer el problema.

5. Usar variables. 6. Utilizar simetra. 7. Ensayo y error 8. Utilizar frmulas o

ecuaciones. 9. Utilizar

propiedades de los nmeros.

10. Trabajo hacia atrs.

1. Busca relaciones

entre las cantidades. 2. Enlista datos en una

tabla. 3. Representa el

problema mediante dibujos o diagramas.

4. Separa el problema y lo resuelve por partes.

5. Utiliza letras para indicar cantidades desconocidas.

6. Utiliza simetra en figuras geomtricas.

7. Realiza varios intentos con valores conocidos para llegar a la solucin.

8. Utiliza frmulas o plantea ecuaciones.

9. Aplica propiedades de los nmeros y las combina.

10. Resuelve el problema de adelante hacia atrs.

Evaluacin

a estudiantes y docentes. Entrevista a estudiantes Entrevista a docentes

Lista de cotejo

Cuestionario Cuestionario

17

VARIABLE DEFINICIN CONCEPTUAL

DEFINICIN OPERATIVA

INDICADORES TCNICAS INSTRU- MENTOS

Aprendizaje

de la resolucin de problemas.

El aprendizaje es la adquisicin del conocimiento de algo por medio del estudio, el ejercicio o la experiencia, en especial de los conocimientos necesarios para aprender algn arte u oficio.

Nota obtenida en una prueba acerca de resolucin de problemas en una escala de 0 a 100 puntos.

Insatisfactorio: de 0 a 40 puntos

Debe mejorar: de 40 a 60 puntos.

Satisfactorio: de 60 a 80 puntos.

Excelente: de 80 a 100 puntos.

Evaluacin objetiva a docentes y estudiantes.

Prueba Objetiva.

Factores que influyen en el proceso de aprendizaje de la resolucin de problemas matemticos.

Serie de elementos o circunstancias que produce un efecto durante el proceso de resolucin de problemas y su aprendizaje.

Actitudes, conocimientos y habilidades que influyen en el proceso de resolucin de problemas tales como:

inters,

concentracin,

gusto por los retos,

ansiedad,

conocimientos previos,

perseverancia,

creatividad.

Inseguridad.

Realiza ms de dos intentos por resolver un problema.

Busca varias formas de resolver el problema.

Utiliza las operaciones y propiedades matemticas correctamente.

Se aburre fcilmente.

Manifiesta inquietud.

Manifiesta enojo.

No puede plantear los clculos.

No puede realizar las operaciones.

No tiene los conocimientos matemticos necesarios.

Encuesta a estudiantes.

Cuestionario

18

19

1.8. Metodologa

Por el tipo de investigacin, el mtodo es Descriptivo, porque los resultados que

se obtengan describirn la situacin actual de la enseanza y el aprendizaje del

tema y no pretende demostrar algn fenmeno. Adems, se aplican los mtodos

formales: inductivo y deductivo.

1.8.1. Tcnicas:

a) Entrevista semiestructurada a docentes.

b) Entrevista semiestructurada a estudiantes.

c) Evaluacin a docentes y estudiantes.

d) Entrevista para evaluar actitudes de los estudiantes.

1.8.2. Instrumentos:

a) Cuestionario a docentes.

b) Cuestionario a estudiantes.

c) Lista de cotejo para profesores y estudiantes

d) Cuestionario.

1.9. Sujetos de la investigacin

1.9.1. Poblacin

La poblacin que se tom en esta investigacin lo constituyeron todos los

docentes que imparten las clases de Matemtica en las carreras de Magisterio

Primaria y Magisterio Preprimaria y todas las estudiantes graduandas de Sexto

Magisterio Primaria y Sexto Magisterio Preprimaria correspondiente al ciclo

20

escolar 2012 del Instituto Normal Centro Amrica, Jornada Vespertina ubicado

en la 1a. Calle "C" 2-29 Zona 1 de la ciudad de Guatemala.

1.9.2. Muestra

La muestra se calcul con la siguiente ecuacin:

(Rodrguez Moguel, E. A. (2005))

Dnde:

=1.96 correspondiente a un nivel de confianza de 95%, obtenida de la

tabla de distribucin normal estndar.

P=0.5 probabilidad de xito

q = 0.5 probabilidad de fracaso.

N= 385 tamao de la poblacin

e = 0.05 error de estimacin equivalente al 5%

n=? muestra

192

5.050.096.105.0385

3855.05.096.1

22

2

n

sta corresponde a un porcentaje del 49.9% de la poblacin total.

La muestra por seccin fue estratificada en la misma proporcin y la seleccin

fue sistemtica, se eligieron las alumnas con clave nmero par tomadas

directamente de las listas oficiales del Instituto.

21

No. CARRERA POBLACIN

POR CARRERA

SECCIONES MUESTRA

POR SECCIN MUESTRA POR

CARRERA %

A B C D A B C D

1

Sexto Magisterio Primaria

194 48 55 50 41 24 27 25 21 97 25.2%

2

Sexto Magisterio Preprimaria

191 49 46 48 48 24 23 24 24 95 24.7%

TOTAL

385 192 49.9%

Fuente: elaboracin propia con datos de las listas oficiales del INCA-, Jornada Vespertina. 2012 Se trabaj con 6 catedrticos de 8 que conforma la poblacin total de profesores que imparten clases de

Matemtica en las dos carreras del Magisterio.

22

CAPTULO II

FUNDAMENTACIN TERICA

2.1. Qu es Matemtica?

La Matemtica no tiene una definicin precisa que abarque todo el campo que

sta estudia. Sin embargo, se puede dar algunas explicaciones como sigue:

segn el Diccionario general de la lengua espaola Vox (1997). La Matemtica

Ciencia que estudia las propiedades de los nmeros y las relaciones que se

establecen entre ellos.

Asimismo, la Real Academia de la Legua Espaola (2011) define la Matemtica

como: (Del latn. mathematca, y ste del griego , derivado

de , conocimiento) Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los

entes abstractos, como nmeros, figuras geomtricas o smbolos, y sus

relaciones.

Algunos matemticos de renombre han dado sus propias ideas del significado de

esta ciencia, entre ellos estn:

Whitehead, A. N. La matemtica es, en su significado ms amplio, el desarrollo

de razonamiento deductivo, formal y necesario.

Murray, J.A. H. La matemtica, -en sentido estricto- es la ciencia abstracta que

investiga deductivamente las conclusiones implcitas en las concepciones

elementales de la relaciones espaciales y numricas.

23

White, William F. Las matemticas, la ciencia de lo ideal, transforma el

significado de la investigacin, entendiendo y haciendo conocido el mundo real.

Lo complejo es expresado en trminos de lo ms simple. Desde un punto de

vista, las matemticas pueden ser definidas como la ciencia de sustituciones

sucesivas de conceptos complejos por otros ms simples

2.2. Resea histrica

Muchos autores han abordado la historia de la Matemtica desde distintas

perspectivas, algunos enfocados en los matemticos, otros por los aportes ms

importantes que se han desarrollado. En esta resea, se presenta en orden

cronolgico algunos matemticos importantes y sus respectivas contribuciones a

esta ciencia.

Cmo surgi la matemtica? la matemtica surgi desde que el hombre se vio

en la necesidad de contar. En la antigedad, los hombres utilizaban los dedos,

piedras o nudos en cuerdas para contar los objetos y llevar un control de la

cardinalidad de los conjuntos de objetos.

10,000 aos a.C. en el Prximo Oriente: Las personas en lugar de smbolos

utilizaban fichas de arcilla en forma de cono, esfera o forma de huevo, cilindros,

discos y pirmides que representaban productos bsicos de la poca. Estas

fichas se utilizaban para llevar registros. Con el paso del tiempo, estas fichas

fueron sustituidas por marcas especiales o rayas que posteriormente fue dando

lugar a los smbolos para representar las cantidades. Las rayas an se utilizan

actualmente cuando se hace un recuento de objetos, una raya equivale a uno,

dos rayas equivale a dos, al acumular cinco, se hacen cuatro rayas atravesada

por una diagonal.

En el ao 3,150 a.C. La antigua civilizacin egipcia desarroll el sistema llamado

sistema de numeracin jeroglfico, utilizaban smbolos para representar los

24

nmeros sucesivamente con palos, lazos, figuras humanas, etc.

Utilizaron las fracciones de la forma , pero su sistema de escritura era muy

engorroso, por lo que no tuvo buena aceptacin en las culturas posteriores.

3,000 aos a.C. Los babilonios utilizaron pictogramas para representar las

cantidades, luego estos smbolos se transformaron en cuas, los sumerios

utilizaron esta forma de representacin conocida como escritura cuneiforme. Los

babilonios necesitaban representar grandes cantidades, por lo que utilizaron

agrupaciones de cuas para representar estas cantidades y dio origen al sistema

sexagesimal, actualmente an se utiliza este sistema en la medida del tiempo.

Los babilonios utilizaban los nmeros en el comercio, la contabilidad diaria y

especialmente en la Astronoma, ciencia en la cual tenan ciertos conocimientos.

En el Papiro de Rhind, manual de Aritmtica destinado a la formacin de

escribas y oficiales que tenan a cargo llevar el control del comercio, contiene

problemas de Aritmtica: fracciones, ecuaciones lineales, progresiones y

geometra.

En el ao 550 a.C. durante el perodo helenstico, se establece la era pitagrica

durante la cual, Pitgoras de Samos establece un movimiento filosfico en donde

se destaca el famoso Teorema que lleva su nombre, posean vastos

conocimientos en Aritmtica, establecieron la relacin entre la Aritmtica y la

Geometra, estudiaron los nmeros primos y la teora de la proporcionalidad.

Del ao 287 a 212 a. C.: Arqumedes de Siracusa estudi la medida de la

circunferencia y cuestiones de Aritmtica y Geometra del espacio. Escribi

Sobre equilibrios en el plano, La Cuadratura de la parbola, Sobre la esfera

y el cilindro, Medida del crculo y el Mtodo descubierto en 1906 por Johan

Heiberg.

Del ao 276 a 194 a. C.: Eratstenes de Cirene logr medir la longitud de la

circunferencia de la Tierra. A este matemtico se le conocen tres aportes: el

25

primero, la resolucin del problema de Delos, el segundo, un escrito sobre las

proporciones y tercero, su famosa criba de nmeros primos.

En el ao 300 d.C.: El sistema de numeracin de los babilnicos es adaptado por

los hindes a la numeracin decimal, del cual nace el sistema posicional en los

decimales, sistema que se utiliza actualmente. Aparece la Coleccin

matemtica de Pappus de Alejandra.

En el ao 900: Comienza la matemtica de los rabes: Al-Khuwarizmi compone

una aritmtica que contribuy a difundir el sistema decimal de numeracin y un

tratado que dio nacimiento al lgebra, en donde resuelve la ecuacin de

segundo grado en forma numrica.

En el ao 1000: El rabe Abu Al-Waffa estudi las funciones circulares. Luego en

el ao 1545: Se publica un mtodo general para resolver ecuaciones de tercer

grado propuesto por el mdico y matemtico Cardano en su obra Mars magna.

En el ao 1550: Ludovico Ferrari quien fue discpulo de Cardano da a conocer el

mtodo general de resolucin de una ecuacin de cuarto grado.

En el ao 1614: Napier inventa los logaritmos con el propsito de simplificar los

clculos aritmticos con cifras grandes.

Fue en el ao 1619 cuando Descartes crea la Geometra Analtica en done el

filsofo y matemtico aplica los smbolo algebraicos a la Geometra utilizando

coordenadas que lleva su nombre.

En el ao1642: El matemtico Blaise Pascal construye la primera mquina de

calcular, conocida como la Pascalina, la cual poda efectuar sumas y restas de

hasta 6 cifras, dicha mquina fue mejorada ms tarde por Leibniz. A Pascal se

le atribuye un tringulo aritmtico que lleva su nombre que actualmente tiene

muchas aplicaciones, especialmente para desarrollar potencias de binomios.

26

Durante el ao 1684: Se crea, casi simultneamente, el Clculo Infinitesimal por

Newton y Leibniz.

En el ao 1777: Leonard Euler matemtico suizo, simboliza la raz cuadrada de -

1 con la letra (de imaginario). Adems de la Matemtica, cultiv la Fsica

Matemtica, escribe su Opera Omnia.

Del ao 1872 a 1895 Georg Cantor de origen ruso y formado en Alemania, crea

la Teora de Conjuntos.

Adems en el ao 1944 John Vonn Newman trabaj con el economista Oskar

Morgenstern y publicaron Theory of Games and Economic Behavior que dio

lugar a lo que actualmente se conoce como teora de juegos en el campo de las

matemticas.

As tambin el ao 1993 Andrew Wiles realiz un intento por demostrar el ltimo

Teorema de Fermat, pero tena un error y en 1995 logr finalmente, realizar la

demostracin que por muchos aos haba sido un gran enigma.

2.3. Enseanza

Para Villalobos, Elvia M. (2003) La enseanza es una serie de actividades

intencionales y planificadas que se llevan al cabo con el objetivo de conseguir el

aprendizaje significativo y estratgico del alumno; no es ms que una ayuda para

el aprendizaje. Lo fundamental es construir comunidades de aprendizaje.

La enseanza como se concibe en la actualidad, el profesor es un gua, un

facilitador del aprendizaje, en contraste con la idea tradicional en la que el actor

principal del proceso era el profesor. Actualmente, el centro principal de la

enseanza es el alumno. Por tales motivos, la enseanza actual es gua,

orientacin y direccin.

27

La enseanza es el proceso mental que realiza el alumno para interiorizar la

informacin que le brinda el ambiente fsico y sociocultural. El aprendizaje no se

adquiere ni se desarrolla, si no se construye. Es el producto de intercambio de

contenido que le brinda el contexto con los procesos de construccin gentica

del conocimiento.

2.4. Aprendizaje

Manuel, S y Saavedra, R. (2001) en su Diccionario de Pedagoga define el

trmino como: proceso mediante el cual se adquiere la capacidad de responder

adecuadamente a una situacin que puede o no haberse tenido antes; se le

considera a la vez como una modificacin favorable de las tendencias de

reaccin, debido a la experiencia previa, particularmente la construccin de una

nueva serie de reacciones motoras complejamente coordinadas. Otra definicin

es: actividad mental por medio de la cual, el conocimiento, la habilidad, los

hbitos, las actitudes e ideales son adquiridos, retenidos y utilizados, originando

progresiva adaptacin y modificacin de la conducta.

2.5. La enseanza de la Matemtica.

Muchos estudiantes preguntan Quin invent esta materia? Para qu se

ensea Matemtica? Para qu realizar ejercicios? y otras cuestiones, algunos

docentes han respondido a estas interrogantes, mas no satisface a la mayora,

principalmente a aquellos que tienen dificultades con esta ciencia.

En 1901 el matemtico britnico John Perry, Citado en Puig, L. y Caldern, J.

(1996) escribi una serie de justificaciones para el estudio de la Matemtica y

estas son:

Es la causa de intensas emociones y proporciona placer a la mente.

Desarrolla el cerebro.

Da lugar a forma lgicas de pensamiento.

28

Las herramientas matemticas sirven de ayuda al estudio de la Fsica.

Sirve para aprobar los exmenes.

Al dar al hombre herramientas mentales tan fciles de usar como las

piernas y los brazos, le permite continuar su educacin (desarrollo del

alma y del cerebro) a lo largo de la vida, utilizando para este propsito

toda su experiencia. Hay una analoga exacta con el poder de educarse

a s mismo a travs de la aficin a la lectura.

Ensea al hombre la importancia de pensar las cosas por s mismo, le

libra as del actual y terrible yugo de la autoridad.

Hace que los hombres de cualquier profesin de ciencia aplicada sientan

que conocen los principios sobre los que se funda y segn los cuales se

desarrolla.

Da a mentes filosficas agudas un ideal lgico de perfeccin, encantador

y satisfactorio a la vez, le impide as que intenten desarrollar cualquier

tema filosfico desde un punto de vista puramente abstracto, porque lo

absurdo de tal intento se hace obvio.

Actualmente, se debe entender que la Matemtica se ensean porque: segn

Zoltan Diennes la meta principal de las matemticas debe ser el desarrollo de

ciertas pautas de pensamiento, de ciertas estrategias, que la gente puede

desarrollar al enfrentarse a situaciones nuevas en las que nunca se haba

encontrado antes.

Otras razones por la que se deben ensear y aprender matemtica son:

Las necesidades profesionales.

Que la gente tenga un dominio de su vida personal.

Requisito previo para aprobar otras asignaturas.

En general, el desarrollo de capacidades formativas tales como: reforzar las

facultades mentales entre las cuales estn:

29

El pensamiento lgico, estructurado, sistemtico y analtico.

La memoria y la imaginacin.

La claridad y la precisin en la expresin,

la creatividad, la intuicin, el desarrollo de la personalidad y las actitudes:

pensamiento y conducta independientes y autnomos,

actitudes crticas e investigadoras,

actitudes de cara a resolver problemas,

tener conciencia de uno mismo

confianza en s mismo,

puntualidad, exactitud,

disciplina y perseverancia en el trabajo;

disfrute esttico y recreativo;

profundizar en la cultura humana y sus realizaciones.

2.5.1. Competencia

El Currculum Nacional Base para la formacin inicial de docentes del nivel

primario en Guatemala, define competencia como:la capacidad o disposicin

que ha desarrollado una persona para afrontar y dar solucin a problemas de la

vida cotidiana y a generar nuevos conocimientos.

2.5.2. Qu es competencia matemtica?

Segn el Programa para la evaluacin Internacional de Alumnos (PISA), por sus

siglas en ingls, competencia matemtica es la capacidad del individuo para

identificar y entender la funcin que desempean las matemticas en el mundo,

emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemticas de forma que

se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como

ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos (OCDE, 2006). Por otra

parte, Gutirrez, L.; Martnez, E. y Nebreda, T. (2008). Indican que la

competencia matemtica consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los

30

nmeros, sus operaciones bsicas, los smbolos, las formas de expresin y

razonamiento matemtico, tanto para producir e interpretar distintos tipos de

informacin, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y

espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida

cotidiana y con el mundo laboral.

Las principales competencias a desarrollar en la enseanza de la matemtica

son:

Pensamiento matemtico (Pensar y razonar tipos de enunciados,

cuestiones propias de la matemtica).

Argumentacin matemtica (Demostrar y explicar leyes, reglas y

teoremas, expresar argumentos matemticos).

Comunicacin matemtica (Utilizar el lenguaje matemtica para

expresar en forma oral y escrita, entender expresiones, transmitir ideas

matemticas).

Modelacin (Trabajar con modelos, Interpretar modelos).

Formulacin y resolucin de problemas (resolver problemas aplicando

estrategias, heurstica).

Representacin (codificar, decodificar, e interpretar representaciones,

traducir entre diferentes representaciones).

Uso de smbolos, lenguaje formal y tcnico, y operaciones.

Uso de ayudas y herramientas (aplicacin de tecnologa, TICs).

Las competencias que evalu el Ministerio de Educacin por medio de la

DIGEDUCA en las evaluaciones de Matemtica realizadas durante el ao 2009

son:

a) Reproduccin, definiciones y clculo.

b) Conexiones e integracin para la resolucin de problemas.

c) Pensamiento matemtico, generalizacin y comprensin sbita. Citado en

Gutirrez, S. (2009).

31

2.6. La resolucin de problemas matemticos

La resolucin de un problema es el proceso que se da desde la presentacin de

la situacin (estado inicial) hasta llegar a la meta, solucin o respuesta (estado

final) a la situacin o cuestin planteada, aplicando mtodos y estrategias.

2.6.1. Antecedentes histricos de la resolucin de problemas

Desde la antigedad, en Babilonia y Egipto se enseaba Matemtica y por

consiguiente, problemas matemticos. En el papiro de Rhind hallado en las

ruinas de Tebas fue un manual de Matemtica de los egipcios escrito

aproximadamente en el ao 1700 a.C. contiene una coleccin de ejercicios y

problemas. En l se encuentra un problema que puede enunciarse como sigue:

Una pirmide. El lado tiene 140 codos y la inclinacin es de 5 palmos y un

dedo por codo. Cul es la altura? (citado en Cruz, M. 2006)

En este problema, se plantea la situacin, se indican los datos conocidos y se

debe encontrar un dato desconocido. En estos problemas no se utilizaban

variables como incgnitas, en su caso, se utilizaban cantidades concretas. Otros

dos problemas famosos son los siguientes que Rey Pastor, J y Babini, J. (1985)

ilustran:

Una cantidad y su sptima parte dan . Para resolverlo, el calculista toma sucesivamente ms , es decir . Divide por obteniendo y este resultado lo multiplica por , obteniendo que es la cantidad buscada. Comprobndolo al agregarle y obtener . Otro problema: dividir panes entre cinco personas siguiendo una progresin aritmtica de manera que la parte de las dos ltimas sea 1/7 de las partes de las tres primeras, aqu escuetamente el papiro dice:

Toma como diferencia , de donde . Aumenta esos nmeros en la proporcin y obtendrs las partes que corresponden a cada persona". Y la solucin es correcta.

32

Como puede notarse, estos problemas tienen cierto grado de dificultad, pero el

proceso de resolucin es puramente aritmtico y no se especifican las

estrategias utilizadas, nicamente clculos mentales y conocimiento de las

operaciones fraccionarias.

El objetivo de la enseanza de la resolucin de los problemas para los egipcios

era la instruccin tcnica de los escribas, pocos de estos problemas tenan

relacin con situaciones reales.

El matemtico Pappus en su Coleccin Matemtica que consiste en ocho

libros hizo comentarios sobre los trabajos de Arqumedes, Euclides, Apolonio y

Ptolomeo. El sptimo libro contiene temas de resolucin de problemas

geomtricos y dio inicio a lo que actualmente se conoce como heurstica que

Polya denomina arte de resolver problemas. Segn Polya (1965) el libro

contiene un estudio sobre el anlisis y la sntesis como mtodos para resolver

problemas y hacer demostraciones geomtricas.

Arqumedes de Siracusa el ms grande de los matemticos de Grecia, resolvi

varios problemas de geometra. En su obra De la medida del crculo, el

segundo libro de su escrito contiene una serie de problemas, algunos de los

cuales, nada fciles, conducen a problemas del tipo de la duplicacin del cubo y

de la triseccin del ngulo.

A Diofanto de Alejandra se le atribuye un problema muy conocido que resume

partes de su vida, este problema aparece en la Antologa Palatina coleccin de

epigramas en la que aparecen una serie de problemas matemticos- que

circulaba en Alejandra en los tiempos de Diofanto. El enunciado del problema

se describe a continuacin: En esta tumba reposa Diofanto. La maravilla es que

la tumba cuenta ingeniosamente la duracin de su vida. Dios le concedi ser un

nio durante una sexta parte de su vida. Aadi una doceava parte antes de

vestir sus mejillas con vello. Le encendi la llama del matrimonio despus de una

33

sptima parte, y cinco aos despus de su matrimonio le concedi un hijo. Ay

desdichado nio tardo!, tras alcanzar la medida de la mitad de la vida de su

padre, la Parca helada se lo llev. Y, tras consolar su herida con la ciencia de los

nmeros durante cuatro aos, acab su vida. (Antologa Palatina. Problema 126.

Citado en Puig, L. (2006).)

En la antologa no se presenta la solucin del problema pero con las

herramientas algebraicas que se conocen en la actualidad, se puede plantear

una ecuacin de primer grado para resolver dicho problema, de la siguiente

forma:

La solucin de la ecuacin anterior es 84, es decir, Diofanto vivi durante 84

aos.

Diofanto, adems, plante problemas en su obra Aritmtica de tipo

determinados e indeterminados con soluciones racionales positivos, en dichos

problemas utiliz smbolos similares a los actuales; los problemas no tenan

orden ni menciona el tipo de problema, los mtodos de resolucin eran distintos

en cada caso aunque se destacaba sus mtodos algebraicos. Sus problemas se

fundaban en la variedad de propiedades aritmticas.

El matemtico Rene Descartes, fundador del racionalismo, crea que para

obtener nuevos conocimientos, era necesario ponerlo todo en duda excepto la

cognoscibilidad. En la Resolucin de Problemas posee dos estudios a saber: El

discurso del Mtodo y Las reglas para la direccin del Espritu. Sus reglas se

basaban en las siguientes tres fases: (I) reducir cualquier problema algebraico a

la resolucin de una ecuacin simple; (II) reducir cualquier problema matemtico

a un problema algebraico; y fase (III) reducir cualquier problema a un problema

matemtico.

34

Las siguientes son algunas de las reglas que enunci:

Regla I: Dirigir el espritu de manera que forme juicios slidos y verdaderos de

todos los objetos que se presentan: tal debe ser el fin del estudio.

Regla III: En el objeto que el estudio se propone hay que buscar lo que se

pudiera ver claramente, con evidencia, o con certeza. Regla IV: Es necesario ser

sistemtico; el mtodo es necesario para descubrir la verdad de la naturaleza.

Reglas V y VI: Descomponer los sistemas complejos en componentes simples,

dominar las partes simples, y re ensamblar las partes comprensibles en un todo

comprensible.

Regla XIII: Cuando se comprende perfectamente una cuestin, es necesario

abstraerla de toda concepcin superflua, reducirla a sus ms simples elementos

y subdividirlas en tantas partes como sea posible, por medio de la enumeracin.

Regla XV: Es de gran utilidad trazar figuras y representarlas a los sentidos

externos, a fin de conservar la atencin del espritu.

Como puede notarse, estas ideas son aplicables actualmente en la teora de

resolucin de problemas. Y se entiende como descomponer el problema,

analizar el problema, realizar dibujos o esquemas y la aplicacin del lgebra.

G. W. Leibniz (16461716). cofundador de la dialctica y creador del clculo, en

su Arte de Inventar propuso un mtodo que consista en analizar trminos

complejos en funcin de trminos sencillos, lo que se entiende actualmente

como descomponer el problema en problemas ms sencillos, adems sugiere

representar dichos trminos por medio de smbolos algebraicos. Con estas

ideas, Leibniz afirmaba que de esta manera se sigue una lgica deductiva para

resolver el problema.

A principios del siglo XX, un grupo de matemticos influy en los avances en

cuanto a los mtodos para ensear a resolver problemas. El grupo se

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denominaba Bourbaki el grupo estaba conformado por A. Weil, J. Delsarte, S.

Mandelbrojt, P. Dubreil, J. Dieudonn, R. de Possel, H. Cartan, C. Chevalley y J.

Leray. Ellos enarbolaron el lema Abajo Euclides, en el sentido de formalizar la

Matemtica. La obra enciclopdica que llevaron a cabo cal profundamente en

los currculos de mediados del siglo pasado, Cruz, M. (2006).

George Polya (18871985). Nacin en Budapest, Hungra, escribi How to Solve

It, obra en la cual desarrolla un mtodo claro y directo para resolver problemas

en sentido general por medio de cuatro pasos y un diccionario de heurstica. A

partir del trabajo de Polya, muchos matemticos y psiclogos han tratado el tema

de resolucin de problemas abordando diferentes temticas y agregando nuevos

aportes que constituye actualmente una amplia teora de resolucin de

problemas.

2.7. Qu es un problema?

Segn la Real Academia Espaola el trmino problema proviene. (Del lat.

problma, y este del gr. ). 1. Cuestin que se trata de aclarar. 2.

Proposicin o dificultad de solucin dudosa. 3. Conjunto de hechos o

circunstancias que dificultan la consecucin de algn fin. 4. Disgusto,

preocupacin. 5. Planteamiento de una situacin cuya respuesta desconocida

debe obtenerse a travs de mtodos cientficos.

El Diccionario general de la lengua espaola Vox. (1997) lo define como: 1.

Cuestin discutible que hay que resolver o a la que se busca una explicacin. 2.

Cuestin que se plantea para hallar un dato desconocido a partir de otros datos

conocidos, o para determinar el mtodo que hay que seguir para obtener un

resultado dado. 3 Circunstancia que dificulta la consecucin de algn fin.

En el campo de la Matemtica, la definicin de este concepto ha sido objeto de

anlisis por varios investigadores en Educacin Matemtica, y por matemticos

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notables y cada uno ha dado su explicacin de acuerdo con su concepcin. Aqu

se presentan algunas definiciones ms importantes que se tomarn como base

para explicaciones ulteriores.

Segn Polya, G. (1981) un problema significa buscar de forma consciente una

accin apropiada para lograr un objetivo claramente concebido, pero no

alcanzable en forma inmediata.

Para Nieto (2004) Un problema es un obstculo arrojado ante la inteligencia para

ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestin que reclama ser

aclarada.

Newell & Simon (1972): explican que Una persona se enfrenta a un problema

cuando quiere algo y no sabe inmediatamente qu tipo de acciones debe realizar

para lograrlo (Citado en Lacasa, P. y Herranz, P. (1995).

Un problema es relativo, es decir, slo presenta dificultad para quien trata de

resolverlo; as, un problema para un estudiante de Primaria probablemente no lo

ser para un estudiante de Bachillerato.

Un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se

plantea l mismo) dispone de los elementos para comprender la situacin que el

problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente

constituido que le permita responder de manera inmediata. Parra (1990). Citado

en Coronel, M.V., Curotto, M.M. (2008)

De las ideas anteriores, se puede decir que un problema es una situacin

presentada ante la inteligencia humana que necesita resolverse de manera

consciente pero que se desconocen los mtodos y las estrategias precisas para

llegar a la solucin.

37

2.7.1. Diferencia entre ejercicio y problema

Los trminos ejercicio y problema se utilizan en el mbito educativo como

sinnimos, sin embargo poseen grandes diferencias, un ejercicio consiste en

realizar una serie de operaciones similares para fijar el aprendizaje de las

propiedades de los nmeros, dominar la aplicacin de un teorema, ley o reglas

propias de las Matemtica, durante los cuales, el estudiante memoriza dichas

propiedades. En este contexto, los ejercicios no llevan al estudiante a

desarrollar las competencias necesarias para formar un pensamiento

matemtico; con esto no se quiere menospreciar el estudio memorstico ya que

el estudiante debe formar un lenguaje matemtico y tener una serie de

herramientas para resolver los verdaderos problemas. Sin embargo, el

razonamiento es ms importante que una operacin meramente memorstica.

Segn de la Rosa, J. M. (2007), al resolver ejercicios aplicamos un

procedimiento rutinario para llegar a una respuesta. A su vez, el hacer ejercicios

ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos, los cuales podr

aplicar cuando vaya a resolver problemas.

A diferencia de un ejercicio, un problema es un reto a la inteligencia humana,

para resolverlo se necesita tener herramientas, tener conocimientos previos,

utilizar mtodos, tcnicas y estrategias de pensamiento para llegar a la solucin.

Para resolver un problema es necesario meditarlo, reflexionarlo y es aqu en este

proceso, cuando el resolutor pone a prueba sus capacidades, desarrolla sus

habilidades numricas y de razonamiento para ser competente en esta rea de

la Matemtica. Cuando se lee un problema las vas de solucin no se manifiesta

a primera vista, se debe utilizar todos los recursos necesarios para planificar el

proceso de resolucin. Un problema no se resuelve en segundos, existen

38

problemas que han tardado aos incluso siglos para llegar a la solucin, tal es el

caso de la demostracin del Teorema de Fermat que fue un verdadero problema

para los grandes matemticos de la historia, dicho problema lleg a final trmino

en 1995 por el matemtico ingls Andrew Willes.

Segn Echenique, G. (2006), los problemas no se resuelven con la aplicacin

de una regla o receta conocida a priori. Exigen al resolutor sumergirse en su

interior, para navegar entre los conocimientos matemticos que posee y rescatar

de entre ellos los que pueden serle tiles para aplicar en el proceso de

resolucin. Puede servirse de experiencias anteriores que hagan referencia a

situaciones parecidas, para rememorar cul fue el camino o va seguida, en caso

de poder volver a utilizarlos en esta nueva situacin.

Cuadro Comparativo entre ejercicio y problema

Ejercicio Problema

Se comprende inmediatamente en qu consiste la tarea o actividad a realizar y qu herramientas se deben utilizar.

Se desconoce a simple vista cmo enfrentarlo y resolverlo, existe poca claridad en lo que consiste la situacin.

Consiste en aplicar de forma mecnica los conceptos, propiedades, reglas y leyes que el alumno ya conoce con anterioridad.

Consiste en buscar, indagar, utilizar estrategias adems de los procedimientos algortmicos conocidos.

Es una cuestin cerrada. Puede ser resuelto por uno o ms mtodos y estrategias, puede ser cambiado y obtener generalizaciones.

No requiere mucho el uso del razonamiento.

Se utiliza el razonamiento y se desarrolla el pensamiento matemtico.

Los ejercicios se realizan. Los problemas se resuelven.

Se realizan en cierto tiempo determinado.

El tiempo para resolverlo depende del resolutor. Puede ser poco o mucho.

Se pueden crear fcilmente y existen muchos.

No son fciles de crear, por lo que son escasos.

No involucra la afectividad. Implican sentimientos de frustracin, ansiedad, alegra al resolverlos.

Fuente: De la Rosa, J.M. (2007). Didctica para la resolucin de problemas y Echenique, G. (2006). Matemticas resolucin de problemas.

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2.7.2. Tipos de problemas

Dentro del campo de la Matemtica elemental, se puede hacer una clasificacin

de los tipos de problemas atendiendo a ciertas caractersticas.

Polya, G. (1965) en su obra: Cmo plantear y resolver problemas distingue

entre dos grandes tipos de problemas a saber: los problemas por resolver y los

problemas por demostrar.

a) Problemas por resolver

Un problemas por resolver es aquel en la cual se debe descubrir algo

desconocido que es la incgnita del problema, la incgnita puede ser un nmero

o nmeros, un nombre, una figura geomtrica u otro ente. Cabe mencionar que

el trmino incgnita se aplica, por lo general, para resolver problemas que

involucren el uso de ecuaciones.

Partes de un problema por resolver

Un problema por resolver consta de las siguientes partes:

La incgnita: es el objeto desconocido que se debe descubrir, calcular o

averiguar en el problema que no necesariamente es un nmero. Un problema

puede tener desde una o varias incgnitas. En algunos problemas para

llegar a descubrir la incgnita principal, se debe descubrir anteriormente otras

incgnitas secundarias.

Los datos: es la informacin concreta que presenta el problema, pueden ser

datos cualitativos o cuantitativos. Estos datos permiten llegar a la solucin del

problema, sin embargo, algunos problemas presentan datos irrelevantes, es

decir que no se utilizan para resolver el problema.

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Las condiciones: Las condiciones, son los obstculos o restricciones que no

permiten resolver el problema de manera inmediata, y hace que el problema

se considere como tal. El enunciado siguiente no constituye un problema:

Encontrar dos nmeros pero el siguiente: encontrar dos nmeros cuya

suma sea 10, ya posee una condicin: la suma de dichos nmeros debe ser

10.

Un problema puede tener una o varias condiciones. De los ejemplos

anteriores: encontrar dos nmeros cuya suma sea 10 y cuyo producto sea 21,

posee dos condiciones. De lo anterior, se puede notar que algunos

problemas pueden tener ms de una solucin.

a) Problemas por demostrar

Los problemas por demostrar consisten en probar la veracidad o falsedad de una

proposicin enunciada con claridad, especialmente los teoremas matemticos.

La demostracin de un teorema es la comunicacin de una verdad matemtica,

no deber contener ambigedades y se deber estar seguro que es correcto.

Partes de un problema por demostrar

Las partes de un problema por demostrar son la hiptesis y la conclusin. Un

problema por demostrar tiene la forma si , donde es la hiptesis y la

conclusin; la hiptesis es la proposicin que de antemano se acepta que es

verdadera y se debe demostrar por medio de una serie de argumentos vlidos

que la conclusin tambin lo es, de esta forma, la proposicin condicional ser

verdadera, y as el problema quedar demostrado.

b) Problemas no estructurados

Para Marzano, R. J. y Pickering, D. J. (2005) son aquellos a los cuales una

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persona se enfrenta en la vida real, los impedimentos u obstculos para ser

superados son poco claros y requieren recursos no identificados, en algunas

ocasiones, el objetivo ni siquiera est claro. Este tipo de problemas pueden tener

ms de una solucin.

c) Problemas estructurados

Son aquellos que se encuentran en los libros de texto como juegos,

rompecabezas; stos tienen objetivos claros y los recursos para lograr los

objetivos son disponibles. Los problemas estructurados, generalmente tienen

respuesta correcta.

2.8. Mtodos de resolucin de problemas

Segn Nrici, I. (1973) mtodo significa camino para llegar a un fin manera de

conducir el pensamiento o las acciones para alcanzar un fin planeamiento

general de la accin de acuerdo con un criterio determinado y teniendo en vista

determinadas metas

Para Gallo (2000) mtodo es el camino a seguir, mediante una serie de

operaciones y reglas fijadas de antemano, de manera voluntaria y reflexiva, para

alcanzar un cierto fin.

En la resolucin de problemas matemticos, la utilizacin de un mtodo es

fundamental, en este apartado se describirn los ms importantes.

2.8.1. El Mtodo de George Polya

George Polya naci el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungra, y muri el

7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, California, Estados Unidos. En su obra

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titulada Cmo plantear y resolver problemas describe su mtodo en cuatro

pasos los cuales son:

a) Comprender el problema.

b) Concebir un plan

c) Ejecucin del plan.

d) Visin retrospectiva.

a) Comprender el problema

La comprensin del problema es la base fundamental para poder aplicar el resto

de los pasos. Si no se comprende el problema, no se puede continuar, entonces

es necesario en primera instancia entenderlo para luego concebir un plan. En

esta parte, es necesario identificar los datos, la incgnita o incgnitas, las

condiciones del problema, el objetivo del problema, el tipo de informacin, etc.

Se podr contestar a las siguientes interrogantes:

Se entiende todo lo que dice? Se puede reescribir el problema con otras

palabras? Se distingue cules son los datos? Cules son las condiciones?

Cules son las incgnitas? A qu se quiere llegar? Hay suficiente

informacin? Hay datos o informacin extraa?

El responder estas preguntas ayudar al estudiante a comprender en gran parte

el problema planteado, de esta manera tendr una perspectiva general del

problema. Una de las grandes dificultades de los estudiantes es la no

comprensin del problema, esto puede ser porque el problema est mal

planteado, contiene terminologa que el estudiante desconoce o que sus

conocimientos previos son insuficientes.

Es por tanto, necesario tener conocimientos previos para resolver un problema.

As, si un problema se trata de inters simple, el estudiante previamente debe

conocer qu es inters simple. Para entender el problema se debe tener

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conocimiento lingstico: conocimiento semntico. Hechos, datos, etc.

Comprensin del lenguaje especfico matemtico, conocimiento esquemtico,

dominio de herramientas. Por ejemplo: cmo resolver ecuaciones, propiedades

de los nmeros reales, leyes lgicas, etc.

b) Concebir un plan

En la concepcin del plan, Polya sugiere dar respuesta a las siguientes

interrogantes:

Se ha encontrado con un problema semejante?

O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

Conoce un problema relacio