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UNIVERSIDAD DE MANAGUA

1 Investigación de Operaciones I


PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÒN LINEAL POR

METODO GRAFICO CON POM-QM.

Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés

Elaborado por:

Yucep Gutiérrez Baltodano.

Carlos Reynaldo Guevara.

Managua 13 de junio 2015



Programación Lineal:

1) La fábrica de Hilados y Tejidos “Salazar” requiere fabricar dos

tejidos de calidad diferente T y T1; se dispone de 500 Kg de

hilo A, 300 Kg de hilo B y 108 Kg de hilo C. Para obtener un

metro de T diariamente se necesitan 125 gr de A, 150 gr de B y

72 gr de C; para producir un metro de T1 por día se necesitan

200 gr de A, 100 gr de B y 27 de C.

El T se vende a $400 el metro y el T1 se vende a $500 el metro. Si se

debe obtener el máximo del beneficio, ¿Cuántos metros de T y T1 se

deben fabricar?

1) Definición del Problema:

Objetivo: Maximizar ventas.

Restricciones:

500 Kg de hilo A

300 Kg de hilo B

108 Kg de hilo C

Produce dos tipos T y T1

Requerimiento de T

125 gr de A

150 gr de B

72 gr de C



equerimiento de T1

200 gr de A

100 gr de B

27 gr de C

Venta:

T…… $400

T1…..$500

Concepto T T1 Disponible Hilo A 125 gr 200 gr ≤500,000 gr Hilo B 150 gr 100 gr ≤300,000 gr Hilo C 72 gr 27 gr ≤108,000 gr Ventas $400 $500

2) Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 400x1 + 500x2

Sujeto a:

125x1 + 200x2 ≤500,000

150x1 + 100x2 ≤300,000

72x1 + 27 x2 ≤108,000

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



3) Solución del modelo:



2) La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que

hacen dos tipos de ventanas: Con marco de madera y con

marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con

marco de madera y de $30 por cada una con marca de

aluminio. Doug hace marcos de madera, y puede terminar 6 al

día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día. Bob forma y corta

el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día,

cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de

vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La

compañía desea determinar: ¿Cuántas ventanas de cada tipo

debe producir al día para maximizar la ganancia total.

a. Formule el modelo de programación lineal.

b. Use el método grafico para resolver el modelo.

1. Definición del Problema:

Objetivo: Maximizar ganancia total

Restricciones:

Solamente tiene tres empleados.

Doug hace marcos de madera 6 al día.

Linda hace marcos de aluminio 4 al día.

Bob forma y corta el vidrio. (48 pies cuadrados de vidrio por

Día).

Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de

vidrio

Cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio

Produce dos tipos de ventana marco de madera y marco de

aluminio.

Requerimiento de ventana de madera

6 pies cuadrados de vidrio



Requerimiento de ventana de aluminio

8 pies cuadrados de vidrio

Ganancia:

Marco de madera…… $60

Marco de Aluminio…..$30

Concepto Madera Aluminio Disponible Madera 1 0 ≤6 marcos Aluminio 0 1 ≤4 marcos Vidrio 6 8 ≤48 pies2 Ventas $60 $30

2. Formulación del modelo matemático Lineal:

F.O Max. Z= 60x1 + 30x2

Sujeto a:

x1 ≤ 6

+ x2 ≤ 4

x1 + x2 ≤48

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



3. Solución del modelo:



3) En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como

complemento en su economía, de forma que no se superen en

conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su

almacén solo puede albergar un máximo de 1,000 kilogramos de

heno. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de heno al

mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de

cuidado requeridos por un conejo son 3 y por un pollo 2 y que los

beneficios que reportaría su venta asciende a C$90 y C$60 por

cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben

criarse para que el beneficio sea máximo.


Objetivo: Maximizar ventas por crianza de animales.

Restricciones:

Su almacén solo puede almacenar como máximo 1,000 kg de

heno.

No se superen en conjunto 180 horas mensuales.

Cría Conejos y pollos.

Requerimiento del Conejo:

20 kg de heno al mes.

3 horas mensuales de cuido al mes.

Requerimiento del pollo:

10 kg de heno al mes.

2 horas de cuido al mes.

Venta:

Conejo…… $90

Pollo…..$60



Concepto Conejo Pollos Disponible Heno 20 gr 10 gr ≤1000 Kg Horas de cuido 3 horas 2 horas ≤180 horas Ventas $90 $60


F.O Max. Z= 90x1 + 60x2

Sujeto a:

20x1 + 10x2 ≤1000

3x1 + 2x2 ≤180

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



4) En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos

para lanzarlos al mercado. El primero deja una utilidad de

C$45.00 y contiene 150 gr de polvorones, 100 gramos de

mantecado y 80 gr de roscos de vino. El segundo deja una

utilidad de C$56.00 y contiene 200 gramos de polvorones, 100

gramos de mantecados y 100 gr de roscos de vino. Se dispone

de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y

104 kg de roscos de vino. La empresa de embalaje solo le

puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo

convendría fabricar para que el beneficio sea máximo?


Objetivo: Maximizar ventas de dulces.

Restricciones:

200 Kg de polvorones = 200,000 gr

130 Kg de mantecados = 130,000 gr

104 Kg de roscos de vino = 104,000 gr

La empresa solo pude suministrar 1,200 cajas.

Produce dos tipos de surtidos:

Requerimiento de 1er surtido.

150 gr de polvorones.

100 gr de mantecado.

80 gr de roscos vino.

Requerimiento de 2do surtido.

200 gr de polvorones

100 gr de mantecado

100 gr de roscos vino

Venta:

1er surtido…… C$45.00

2do surtido..…..C$56.00



Concepto 1er Surtido 2do Surtido Disponible Polvorones 150 gr 200 gr ≤200,000 gr Mantecados 100 gr 100 gr ≤130,000 gr Roscos de vino 80 gr 100gr ≤104,000 gr Cajas 1 1 ≤12,000 Ventas C$45 C$56


F.O Max. Z= 45x1 + 56x2

Sujeto a:

150x1 + 200x2 ≤200,000

100x1 + 100x2 ≤130,000

80x1 + 100 x2 ≤104,000

x1 +x2 ≤ 12,000

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



5) Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo mesas es doble que el de sillas. ¿Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo?


Objetivo: Maximizar ventas.

Restricciones:

La producción de una silla requiere 1 hora de montaje y de 2

horas de pinturas.

La fabricación de una mesa requiere 3 horas de montaje y 1

de pintura.

La sección de montaje solo funciona 9 horas

La sección de pintura solo 8 horas

El beneficio de mesas es doble que el de sillas.

Dos tipos de productos Sillas y mesas.

Concepto Silla(X1) Mesa(X2) Disponible Montaje 1 2 ≤9 Pintura 3 1 ≤8


F.O Max. Z= x1 + 2x2

Sujeto a: x1 + 3x2 ≤ 9

2x1 + x2 ≤ 8

x1 ≥ 0



x2 ≥ 0




6) En una fábrica se elaboran dos tipos de herramientas A y B. En la

fábrica trabajan 2 obreros durante 8 horas diarias y un supervisor,

para comprobar las herramientas una vez construidas, que trabaja

1 hora diaria. Para la construcción de A se emplean 3 horas diarias

de mano de obra y precisa de 4 minutos de revisión, para B es

necesaria 1 hora diaria de mano de obra y 3 minutos de revisión.

Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar

más de 12 herramientas A y B es de C$400, C$200

respectivamente. Hallar cuantas unidades se deben elaborar cada

día de cada una de ellas para obtener un beneficio máximo.

1. Definición del problema:

Objetivo: Maximizar ventas de herramientas.

Restricciones:

Trabajan 2 obreros 8 horas diarias.

Trabaja 1 supervisor para comprobar las herramientas

La herramienta trabajan 1 hora diaria.

No se pueden fabricar más de 12 herramientas diarias,

Dos tipos de Herramientas A Y B

Requerimiento de A:

3 horas diarias de mano de obra.

4 minutos de revisión.

Requerimiento para B:

1 hora diaria de mano de obra.

3 minutos de revisión.

Venta: A=C$400

B=C$200



Concepto Herramienta A Herramienta B Disponible Mano de obra 3 1 ≤ 16 horas Tiempo de revis. 4 3 ≤ 60 min # De Herramien. 1 1 ≤ 12 herram Ventas C$400 C$200


F.O Max. Z= 400x1 + 200x2

Sujeto a:

3x1 + x2 ≤ 16

4x1 + 3x2 ≤ 60

x1 + x2 ≤ 12

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



7. Una empresa produce dos tipos de mesas: un estilo colonial y otro estilo nórdico. Las utilidades que se obtienen de su venta son de $20 por la colonial y $22 por la nórdica. Para esta semana ya hay un pedido de 10 mesas de tipo nórdico. El gerente de producción quiere realizar la planeación de su producción semanal sabiendo que solamente cuenta con 450 horas para la construcción y 200 horas para barnizarlas. En el siguiente cuadro se indican las horas necesarias para realizar cada una de las tareas y la utilidad para ambas mesas.


Objetivo: Maximizar utilidad de venta de producción.

X1: cantidad de mesas de tipo colonial a producir

X2: cantidad de mesas de tipo nórdico a producir

Restricciones:

Pedido: 10 mesas nórdico

450 horas de construcción

200 horas de barnizado. Venta:

Colonial….. $20

Nórdica.…..$22



Concepto Colonial Nórdica Disponible Pedido 0 1 ≥ 10 Construcción 6 8 ≤ 450 Barnizado 5 2 ≤ 200 Ventas $20 $22


F.O Max. Z= 20x1 + 22x2

Sujeto a:

+ x2 ≥ 10

6x1 + 8x2 ≤ 450

5x1 + 2x2 ≤ 200

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



8. Una empresa ensambladora de productos de comunicación debe programar su producción semanal. Debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días después de entregada. Actualmente está armando dos artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben ser armados y probados por personal especializado. La empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la cuarta parte de los que entregue del T14, pero en ningún caso deben superar en más de 150 al número de equipos T14. En el cuadro se indica el tiempo que requieren los especialistas para armar y probar cada equipo, expresado en minutos, así como la disponibilidad de tiempo.


Objetivo: Minimizar costos mensuales.

Restricciones:

Pedido: T 14 + B2 ≥ 100 mínimo de equipos Mínimo de B2: B ≥ ¼ T mínimo de equipos B2 Máximo de B2: B ≤ T + 150 máximo de equipos B2

Armado:10 T + 12 B ≤ 55 (60) minutos



Pruebas: 30 T + 6 B ≤ 100 (60) minutos

Costos:

T: número de artículos T14 a producir B: número de artículos B2 a producir

T14….. $100

B2….…..$60

Equipos T14 B2 Disponible Pedido 1 1 ≥ 100 Mínimo de B -1/4 1 ≥ 0 Máximo de B -1 1 ≤150 Armados 10 min 12 min ≤ 3,300 min Pruebas 30 min 6 min ≤ 6,000 min Costos $100 $60


F.O Min. Z= 100x1 + 60x2

Sujeto a:

x1 + x2 ≥ 100

-1/4 x1 + x2 ≥ 0

-x1 + x2 ≤ 150

10x1 + 12 x2 ≤ 3,300

30x1 + 6 x2 ≤ 6,000

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



9. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $20 y por una docena de tipo Q es $30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo.


Objetivo: Maximizar beneficio total.

Restricciones:

150 kg de harina

22 kg de azúcar

27.5 kg de mantequilla

Dos tipos de pasteles P y Q

Requerimientos de P

3 kg de harina

1 kg de azúcar

1 kg de mantequilla

Requerimientos de Q

6 kg de harina

0.5 kg de azúcar

1 kg de mantequilla



Beneficio:

P….. $20

Q……$30

Equipos P Q Disponible Harina 3 6 ≤ 150 Azúcar 1 0.5 ≤22 Mantequilla 1 1 ≤27.5 Beneficio $20 $30


F.O Max. Z= 20x1 + 30x2

Sujeto a:

3x1 + 6x2 ≤ 150

x1 + ½ x2 ≤ 22

x1 + x2 ≤ 27.5

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



10. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a $100 y el modelo Viz a 120, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar las ventas mensual?


Objetivo: Maximizar ventas mensuales.

Restricciones:

Moldeado y pintura 1500 horas como máximo

Montaje 600 horas como máximo.

Dos tipos de sombreros Bae y Viz

Requerimientos de Bae

2 horas de moldeado

3 horas de pintura

1 hora de montaje

Requerimientos de Viz

3 horas de moldeado

2 horas de pintura

1 hora de montaje

Ventas:



Bae…. $100

Viz……$120

Equipos Bae Viz Disponible Moldeado 2 3 ≤ 1500 Pintura 3 2 ≤1500 Montaje 1 1 ≤600 Ventas $100 $120


F.O Max. Z= 100x1 + 120x2

Sujeto a:

2x1 + 3x2 ≤ 1500

3x1 + 2 x2 ≤ 1500

x1 + x2 ≤ 600

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



11. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Halla el número de unidades de cada producto que se deben

producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada

unidad de vino deja un beneficio de $80. y cada unidad de vinagre

de $40 .


Objetivo: Maximizar beneficio.

X1= unidades de vino.

X2= unidades de vinagre.

Restricciones:

El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que

la producción de vinagre más cuatro unidades.

El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la

producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18

unidades.

Ventas:

Vino…. $80

Vinagre……$40




F.O Max. Z= 80x1 + 40x2

Sujeto a:

2x1 - x2 ≤ 4

4x1 + 3 x2 ≤ 18

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Productos Vino Vinagre Disponible Producción vino 2 -1 ≤4 Producción vinagre

4 3 ≤18

Ventas $80 $40



12. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de $50 y el de la colonia B es $60. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo


Objetivo: Maximizar beneficio.

X1= # de litros de colonia A

X2= # de colonia B

Restricciones:

Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de

50 litros de alcohol.

Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la

colonia B

Ventas:

Colonia A…. $50

Colonia B……$60

Productos Colonia A Colonia B Disponible Jazmín 15% 30% ≤60 Alcohol 20% 15% ≤50 Producción máxima B

0 1 ≤150

Ventas $50 $60




F.O Max. Z= 50x1 + 60x2

Sujeto a:

0.15 x1 + 0.3 x2 ≤ 60

0.2 x1 + 0.15 x2 ≤ 50

X2 ≤ 150

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

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