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Universidad de IbaguéFacultad de Ingeniería

Sistemas de control digital

Oscar Barrero Mendoza

Ibagué, Colombia2021

Universidad de IbaguéFacultad de Ingeniería

Abril de 2021

© Universidad de Ibagué, 2021Oscar Barrero Mendoza, 2021

Recibido: Junio de 2020Aceptado: Julio de 2020Publicado: Abril de 2021

Cómo citar esta obra: Barrero Mendoza, O. (2021). Sistemas de control digital. Ibagué, Colombia: Ediciones Unibagué. https://doi.org/10.35707/9789587543643

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629.8.B272 Barrero Mendoza, Oscar. Sistemas de Control Digital / Oscar Barrero Mendoza. Ibagué: Universidad de Ibagué, 2021 217 p. 23 centímetros ISBN Digital 978-958-754-364-3

Descriptores: Control digital; Sistemas SISO; Modelamiento matemático; Diseño de com-pensadores en tiempo discreto; Lugar geométrico de las raíces; Respuesta en frecuencia; Diseño de controladores por realimentación del vector de estado; Diseño de observadores.

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Contenido

Prefacio ...................................................................................................................15

Capítulo 1. Análisis de sistemas de control en tiempo discreto ...................17 1.1 Adquisición de señales en tiempo discreto ............................................17 1.1.1 Muestreo de señales .........................................................................18 1.1.2 Reconstrucción de señales muestreadas ........................................20 1.1.3 Retención de señales ........................................................................24 1.2 La transformada z ......................................................................................25 1.3 La función de transferencia pulso ...........................................................25 1.3.1 Función de transferencia pulso de sistemas conectados en cascada .........................................................................................27 1.3.2 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado ......28 1.4 Análisis de estabilidad en tiempo discreto .............................................30 1.4.1 Sistema estable ..................................................................................30 1.4.2 Sistema inestable ...............................................................................31 1.4.3 Sistema oscilatorio ............................................................................32 1.5 Estabilidad absoluta en sistemas en tiempo discreto ............................32 1.5.1 Sistema estable en tiempo discreto .................................................33 1.5.2 Sistema inestable en tiempo discreto .............................................33 1.5.3 Sistema oscilatorio ............................................................................34 1.6 Análisis de error en estado estable ..........................................................35 1.6.1 Respuesta de estado estable ante una entrada paso .....................35 1.6.2 Respuesta de estado estable ante una entrada rampa ..................36 1.6.3 Respuesta de estado estable ante una entrada parabólica ...........37 1.7 Respuesta a perturbaciones ......................................................................37 1.7.1 Respuesta a perturbaciones para ruido de proceso W(z) ...........38

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1.7.2 Respuesta a perturbaciones para ruido de medición ...................39 1.8 Problemas propuestos .................................................................................39

Capítulo 2. Métodos clásicos de diseño de compensadores en tiempo discreto para sistemas siso ...............................................................43 2.1 Modelamiento de sistemas dinámicos ....................................................44 2.1.1 Modelos basados en principios físicos fundamentales ................44 2.1.2 Modelos basados en datos de entrada-salida ................................45 2.1.3 Modelos basados en los principios físicos fundamentales y datos de entrada-salida ................................................................45 2.2 Validación ...................................................................................................48 2.2.1 Validación cualitativa .......................................................................48 2.2.2 Validación cuantitativa ....................................................................48 2.3 Análisis de la respuesta de un sistema de segundo orden ....................49 2.4 Diseño de compensadores basados en la respuesta en el tiempo ........51 2.4.1 Problema ............................................................................................52 2.4.2 Desarrollo del método de diseño....................................................53 2.4.3 Diseño de controladores pid basados en la respuesta en el tiempo .......................................................................................73 2.5 Problemas propuestos ...............................................................................80 2.6 Diseño basado en la respuesta en frecuencia .........................................86 2.6.1 Transformada bilineal y el plano w ................................................86 2.6.2 Análisis de estabilidad relativa ........................................................88 2.6.3 Parámetros de diseño .......................................................................89 2.6.4 Métodos de diseño ...........................................................................93 2.7 Problemas propuestos .............................................................................131

Capítulo 3 Métodos modernos de diseño de sistemas de control en tiempo discreto para sistemas siso .............................................................137 3.1 Introducción .............................................................................................137 3.2 Representación de un modelo matemático en espacio de estado .....138 3.2.1 Estado ...............................................................................................138 3.2.2 Variables de estado .........................................................................138 3.2.3 Vector de estado ..............................................................................139 3.2.4 Espacio de estado ............................................................................139 3.3 Sistema de control por realimentación de variables de estado en tiempo discreto ...................................................................................144

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3.3.1 Controlabilidad ...............................................................................144 3.4 Sistemas de control por realimentación de variables de estado con seguimiento de trayectoria .............................................................153 3.4.1 Seguimiento de trayectoria usando estrategia de control por compensación (feedforward) ................................................153 3.4.2 Seguimiento de trayectoria usando la estrategia de realimentación de variables de estado con acción integradora ......................................................................................159 3.5 Sistemas de control por realimentación de estados usando observadores para sistemas siso ............................................................168 3.5.1 Observabilidad ................................................................................169 3.5.2 Cálculo de la ganancia del observador de orden completo ......171 3.5.3 Observador de Luenberger de orden reducido ..........................174 3.5.4 Análisis de la dinámica del sistema de control en conjunto con observadores .....................................................176 3.6 Problemas propuestos .............................................................................182

Referencias ............................................................................................................189

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Figuras

Figura 1.1 Sistema de Control en Tiempo Discreto ........................................17Figura 1.2 Muestreador de señales por tren de impulsos ..............................18Figura 1.3 Modulador de señales basado en tren de impulsos .................19Figura 1.4 Magnitud del espectro en frecuencia señal original y(t) .............20Figura 1.5 Espectro en frecuencia señal muestreada y*(t) .............................21Figura 1.6 Espectro en frecuencia de la señal muestreada a la frecuencia de Nyquist ................................................................21Figura 1.7 Efecto de traslape, cuando se muestrea la señal por debajo de la frecuencia de Nyquist. La línea continua representa el espectro resultante ..................................................22Figura 1.8 Efecto del traslape en el tiempo. .....................................................22Figura 1.9 Respuesta paso de un sistema de primer orden ............................23Figura 1.10 Respuesta paso de un sistema de segundo orden .........................24Figura 1.11 Efecto del retenedor de orden cero ................................................24Figura 1.12 Sistema muestreado mediante impulsos ........................................25Figura 1.13 Representación en z del sistema mostrado en la Figura 1.12......26Figura 1.14 Conexión de sistemas muestreados en cascada ............................27Figura 1.15 Conexión de sistemas muestreados en cascada ............................28Figura 1.16 Sistema típico de control digital en lazo cerrado. .........................29Figura 1.17 a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación de los polos de un sistema estable en el plano s ............................31Figura 1.18 a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación de los polos de un sistema inestable en el plano s ........................31Figura 1.19 a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación de los polos de un sistema oscilatorio en el plano s .....................32Figura 1.20 Mapeo del plano s al plano z. ..........................................................33

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Figura 1.21 a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación de los polos de un sistema estable ..................................................33Figura 1.22 a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación de los polos de un sistema inestable en el plano z ........................34Figura 1.23 a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación de los polos de un sistema oscilatorio en el plano z .....................34Figura 1.24 Sistema de control de lazo cerrado en tiempo discreto ...............35Figura 1.25 Sistema de control en lazo cerrado con ruido de proceso y de medición ..............................................................38Figura 1.26 Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones tipo ruido de proceso .......................................................................38Figura 1.27 Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones tipo ruido de medición ....................................................................39Figura 1.28 Magnitud del espectro de la señal x(t) ...........................................39Figura 1.29 Problema 1.7.4 ...................................................................................40Figura 1.30 Lazo cerrado de control en tiempo discreto .................................41Figura 1.31 Zona de estabilidad plano s .............................................................42Figura 2.1 Respuesta paso típica de un sistema de segundo orden ..............43Figura 2.2 Circuito serie rlc .............................................................................44Figura 2.3 Modelo de caja blanca del circuito rlc ..........................................44Figura 2.4 Modelo de caja negra del circuito rlc ...........................................45Figura 2.5 Modelo de caja gris del circuito rlc ..............................................45Figura 2.6 Sistema de parámetros concentrados .............................................47Figura 2.7 Sistema de parámetros distribuidos ...............................................48Figura 2.8 Prueba para la validación cualitativa de un modelo matemático ........................................................................................49Figura 2.9 Respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada ....50Figura 2.10 Ubicación en el plan s de los polos del sistema de segundo orden .............................................................................51Figura 2.11 Diagrama de bloques sistema de control discreto en lazo cerrado ..................................................................................52Figura 2.12 Respuesta paso sistema en lazo cerrado ........................................58Figura 2.13 Respuesta paso sistema en lazo cerrado ........................................64Figura 2.14 Respuesta paso sistema en lazo cerrado ........................................70Figura 2.15 Respuesta paso en lazo cerrado del motor dc con un controlador pid ....................................................................77

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Figura 2.16 Problema 2.5.1. ..................................................................................80Figura 2.17 Problema 2.5.8 ...................................................................................81Figura 2.18 Problema 2.5.10.................................................................................82Figura 2.19 Problema 2.5.11.................................................................................83Figura 2.20 Problema 2.5.13.................................................................................84Figura 2.21 Problema 2.5.20.................................................................................85Figura 2.22 Mapeo del plano s al plano z y del z a w. .......................................87Figura 2.23 Sistema en lazo cerrado correspondiente a la función de transferencia ........................................................88Figura 2.24 Análisis de estabilidad relativa de un sistema de tercer orden con dos polos complejos conjugados. .................................88Figura 2.25 Gráfica polar de donde se muestra el margen de fase . a) Margen de fase de un sistema estable ( ), b) margen de fase de un sistema inestable . ....................90Figura 2.26 Gráfica polar de donde se muestra el margen de ganancia . a) Margen de ganancia de un sistema estable (Kg > 1), b) margen de ganancia de un sistema inestable (Kg < 1) ............90Figura 2.27. Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia de un sistema estable. ........................................91Figura 2.28 Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia de un sistema inestable. ...................................................................91Figura 2.29 Gráfica de magnitud del Diagrama de Bode .................................92Figura 2.30 Lazo cerrado de un sistema de control en el plano w ..................93Figura 2.31 Diagrama de Bode de un compensador en adelanto en el plano w ......................................................................................94Figura 2.32 Diagrama de Bode de realizado a través del comando margin de Matlab.............................................................97Figura 2.33 Diagrama de Bode de donde se ubica la frecuencia rad/s en la cual la magnitud es 20log(α) = −7.21dB ...98Figura 2.34 Diagrama de Bode del sistema compensado en lazo abierto C(w)G(w). Margen de fase y el margen de ganancia Kg = 14.9dB .................................................................99Figura 2.35 Diagrama de bloques del sistema de control discreto en lazo cerrado ................................................................................100Figura 2.36 Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado .............100Figura 2.37 Diagrama de Bode de un compensador en atraso en el plano w ....................................................................................103

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Figura 2.38 Esquema sistema de tanque de agua ............................................104Figura 2.39 Diagrama de Bode de G(w)/w ......................................................105Figura 2.40 Gráfica de Bode de G(w)/w ...........................................................107Figura 2.41 Diagrama de Bode de C(w)G(w) ..................................................108Figura 2.42 Respuesta paso unitario sistema de control en lazo cerrado ....109Figura 2.43 Diagrama de Bode de ....................................................114Figura 2.44 Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado .............114Figura 2.45 Diagrama de Bode de un compensador adelanto-atraso ..........117Figura 2.46 Diagrama de Bode de y cálculo de la frecuencia ficticia ..........................................................................................119Figura 2.47 Diagrama de Bode de C(w)G(w) para la validar el diseño del compensador adelanto-atraso ................................121Figura 2.48 Respuesta paso en lazo cerrado del sistema de control diseñado ........................................................................122Figura 2.49 Respuesta paso en lazo cerrado del sistema de control en tiempo continuo......................................................128Figura 2.50 Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado .............130Figura 2.51 Problema 2.7.4. ................................................................................133Figura 2.52 Problema 2.7.6. ................................................................................133Figura 2.53 Problema 2.7.7. ................................................................................134Figura 2.54 Diagrama de Bode problema 2.7.7 ...............................................134Figura 2.55 Diagrama de Bode problema 2.7.8 ...............................................135Figura 2.56 Diagrama de Bode problema 2.7.9. ..............................................136Figura 3.1 Tanques en cascada.........................................................................140Figura 3.2 Esquema sistema de control en lazo abierto ...............................142Figura 3.3 Respuesta paso del sistema de tanques en cascada en lazo abierto en tiempo continuo. .............................................143Figura 3.4 Estrategia de control por realimentación de variables de estado ..........................................................................................144Figura 3.5 Esquema de control por compensación (feedforward) para seguimiento de referencia y por realimentación de variables de estado .....................................................................153Figura 3.6 Esquema Simulink del sistema de control por realimentación de variables de estado con acción compensadora para el seguimiento de referencias ...............................................157

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Figura 3.7 Respuesta paso sistema en lazo cerrado de control por realimentación de variables de estado y acción compensadora, mostrada por el scope de Simulink. .............................................157Figura 3.8 Esquema de control con acción integradora para seguimiento de referencia por realimentación de variables de estado ...........160Figura 3.9 Esquema de control por realimentación de variables de estado con acción integradora .................................................160Figura 3.10 Esquema Simulink del sistema de control por realimentación de variables de estado con acción integradora ............................163Figura 3.11 Respuesta paso del sistema de control del ejemplo 11 mostrado por el scope de Simulink. .............................................163Figura 3.12 Diagrama esquemático en Simulink de los dos sistemas de control por realimentación de variables de estado diseñados ..167Figura 3.13 Comparación de la respuesta paso sin perturbación de los esquemas de control con acción compensadora e integradora. ...................................................................................167Figura 3.14 Comparación de la respuesta paso con perturbación de los esquemas de control con acción compensadora e integradora ....................................................................................168Figura 3.15 Esquema de un sistema de control por realimentación de estados con entrada de referencia, acción integradora y observador de estados de orden completo ...............................169Figura 3.16 Esquema Simulink del sistema de control con acción integradora y observador de orden completo .............................178Figura 3.17 Comparación de las respuestas de los niveles de la planta con los valores estimados por el observador .........180Figura 3.18 Respuesta a la señal cuadrada de periodo 30 segundos y amplitud unitaria del sistema de control con acción integradora y observador de orden completo .............................181Figura 3.19 Problema 3.6.1 .................................................................................182Figura 3.20 Sistema problema 3.6.13 ................................................................185Figura 3.21 Esquema filtro activo problema 3.6.17.........................................186

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Tablas

Tabla 1.1 Transformada s a z ...........................................................................26Tabla 3.1 Matrices del problema de control y de estimación ....................171

15Sistemas de control digital

Prefacio

Los procesos de producción modernos cada vez demandan un mejor desempe-ño de los sistemas de control automático, debido entre otros factores a: 1. Mejo-ra continua en la calidad de los productos. 2. Eficiencia. 3. Seguridad industrial. 4. Flexibilidad de los sistemas de producción.

Por otro lado, la permanente evolución de los sistemas de computación ha permitido el desarrollo de nuevas técnicas de control capaces de resolver problemas que la industria actual presenta. Es así como en las últimas décadas han aparecido estrategias de control tales como control por redes neuronales, control difuso, control adaptivo, control predictivo, control óptimo, etc. Adi-cionalmente, la aparición de potentes herramientas de diseño y simulación de sistemas de control, como es el Matlab de Mathworks y el LabView de National Instruments, entre otros, han permitido que se puedan hacer aplicaciones de gran complejidad, de una manera rápida y confiable. Una de las estrategias más usadas en el diseño de controladores es la que se basa en modelos mate-máticos dinámicos, lo cual implica obtener el modelo matemático de un sis-tema con el fin de poder diseñar y validar su controlador. Es por esto que la modelación y simulación de sistemas dinámicos tiene una gran importancia en este proceso de diseño, aspecto que el libro aborda como parte fundamental en todo su contenido.

El principal objetivo de este libro es que el lector al final tenga el co-nocimiento suficiente y necesario para resolver e implementar soluciones a problemas de control en tiempo discreto para sistemas siso (Single-Input Single-Output), usando técnicas clásicas y modernas de la ingeniería de con-trol. En este orden de ideas, el libro en su primer capítulo hace una intro-ducción a los sistemas de control en tiempo discreto, en el que se analizan las implicaciones de trabajar con este tipo de controladores en conjunto con

16 Oscar Barrero Mendoza

procesos en tiempo continuo. Una vez presentados y analizados los requeri-mientos que se deben tener en cuenta para diseñar correctamente un sistema de control digital, se introduce el concepto de función de transferencia pulso con base en la transformada z. Luego, se hace una comparación y análisis de estabilidad absoluta y relativa de los sistemas de control en tiempo continuo y discreto, para así finalmente y previo al diseño de los compensadores, anali-zar las condiciones que debe tener un lazo cerrado de control para garantizar un error cero en estado estable ante diferente tipo de entradas de referencia. Adicionalmente, se estudia el efecto en estado estable de perturbaciones tanto en la entrada, ruido de proceso, como en la realimentación de la salida, ruido de medición. Todo esto con el fin de establecer unas condiciones mínimas, que el diseñador debe tener en cuenta al momento de iniciar el diseño de un compensador, con el fin de garantizar que el sistema de lazo cerrado sea capaz de seguir una entrada de referencia en estado estable, y que este sea capaz de atenuar las perturbaciones externas.

Después de establecer estas condiciones iniciales en el diseño de los com-pensadores, se introducen los métodos clásicos de diseño de compensadores basados en la respuesta en el tiempo y la frecuencia (Ogata, 1998), con base en la metodología de solución de problemas se desarrollan los métodos de diseño y se muestran los códigos de programación para el software Matlab. Los mé-todos modernos de control se basan en la representación en espacio de estado (Williams II & Lawrence, 2007), es por esto que el libro dedica su capítulo final al diseño de controladores por realimentación de variables de estado, partiendo desde cómo representar correctamente un modelo en espacio de estado, hasta presentar diversas soluciones a los problemas de control. De otro lado, uno de los problemas de la implementación de los sistemas de control en espacio de estado, es que se debe conocer el valor de todas las variables de estado en cada instante de muestreo, de allí la necesidad de desarrollar estimadores de variables de estado (observadores), los cuales permitan estimar el valor de las variables que en principio no puedan ser medidas directamente. Es por esto que en este capítulo se dedican varias secciones a desarrollar el tema del diseño y la implementación de observadores en conjunto con los sistemas de control.


Capítulo 1

Análisis de sistemas de control en tiempo discreto

Cuando se habla de sistemas de control en tiempo discreto es muy importante tener en cuenta los efectos y consideraciones para el muestreo y procesamiento de las señales involucradas en el sistema. Por lo tanto, en este capítulo se co-menzará estudiando la adquisición de señales en tiempo discreto, para después hacer al respectivo análisis de los sistemas de control en el plano complejo z.

1.1 Adquisición de señales en tiempo discretoLa adquisición de señales en tiempo discreto es de gran importancia cuando ha-blamos del diseño de sistemas de control digital o en tiempo discreto, debido a que el éxito de un sistema de control digital depende de que la información del sistema sea muestreada de una forma correcta. En la Figura 1.1 se muestra un diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo discreto de lazo cerrado.

Figura 1.1. Sistema de Control en Tiempo Discreto

Fuente: el autor


Se puede observar claramente que este tipo de sistemas está compuesto de una parte que funciona en un espacio de tiempo discreto, que es donde se encuentra el sistema de control, y otra en un espacio en tiempo continuo, donde se encuentra el proceso que queremos controlar. Ahora, para hacer el acople entre estos dos sistemas se debe usar una interfaz que nos permita, sobre una base de tiempo constante que se conoce como tiempo de muestreo, mues-trear las señales del proceso y enviar las acciones de control al actuador. Este dispositivo de interfaz se llama tarjeta de adquisición de datos o en ingles Data AcQuisition Card - daq. Básicamente las daq están compuestas por un sistema de retención y muestreo (en inglés sample and hold) y conversores de seña-les análogas a digitales (D/A) y digitales a análogas (A/D). A continuación, se describe en detalle cada una de estas etapas, y la connotación que estas tienen dentro del sistema de control digital.

1.1.1 Muestreo de señalesPara hacer el análisis correspondiente al proceso de muestreo de las señales del proceso se asume que el muestreador es un interruptor ideal que toma muestras sobre una base de tiempo constante T, tal y como se muestra en la Figura 1.2:

Figura 1.2. Muestreador de señales por tren de impulsos

Fuente: el autor

La señal de salida del muestreador, y∗(t) es equivalente al producto entre un tren de impulsos y la señal que se quiere muestrear; por lo tanto, el mues-treador se puede tomar como un modulador donde la entrada y(t) es la señal moduladora y el tren de impulsos δT (t) la señal portadora, ver Figura 1.3.


Figura 1.3. Modulador de señales basado en tren de impulsos

Fuente: el autor

Así, la señal muestreada puede ser expresada matemáticamente como:

Transformando la señal de salida y∗(t) al dominio de Laplace se tiene:

Ahora, comparando la ecuación (1.3) con la ecuación de la transformada z de una función del tiempo y(t) o de la secuencia de valores y(kT), donde k es un entero positivo y T el tiempo de muestreo, la cual está definida como:

Se puede concluir que la transformada z de una función y(t) o de la se-cuencia de valores y(kT), es igual a la transformada de Laplace de una función muestreada mediante un tren de impulsos y∗(t), si hacemos:


En consecuencia, podemos concluir que:

Esta relación es importante para el análisis de estabilidad absoluta y rela-tiva de un sistema en tiempo discreto, porque sirve para mapear las condicio-nes de estabilidad de un sistema en tiempo continuo, definido en el dominio de Laplace en s, a un sistema en tiempo discreto, definido en el dominio de z, como se verá en el capítulo 2 más adelante.

1.1.2 Reconstrucción de señales muestreadasCuando se habla de control digital o en tiempo discreto, el tiempo de muestreo es un parámetro importante; por lo tanto, debemos tener mucho cuidado al momento de escogerlo. Si el tiempo de muestreo es muy pequeño comparado con la dinámica de la planta, podemos terminar muestreando señales de ruido que nos da poca información sobre la dinámica del sistema, y sí nos puede ge-nerar confusión al momento de hacer cualquier tipo de análisis. Por otro lado, si tomamos el tiempo de muestreo muy grande perdemos información impor-tante sobre la dinámica del proceso, algo que debemos evitar. Por lo tanto, en esta sección se presentan un par de métodos para muestrear una señal conti-nua en el tiempo, con el fin de poder reconstruirla digitalmente de una forma correcta. Suponiendo que el espectro de una señal en tiempo continuo y(t) es el que se muestra en la Figura 1.4, ahora si esta señal se muestrea mediante un tren de impulsos tenemos y′(t), donde la magnitud de su espectro es el que se muestra en la Figura 1.5. Como se puede observar en la Figura 1.5, el espectro.

Figura 1.4. Magnitud del espectro en frecuencia señal original y(t)

Fuente: el autor


De la señal muestreada está compuesta por réplicas del espectro de y(t) de menor amplitud, donde la frecuencia angular central de estas réplicas son múltiplos de la frecuencia angular de muestreo .

Figura 1.5. Espectro en frecuencia señal muestreada y*(t)

Fuente: el autor

Figura 1.6. Espectro en frecuencia de la señal muestreada a la frecuencia de Nyquist

Fuente: el autor

En la Figura 1.6 se observa claramente que si se muestrea una señal a una frecuencia menor a 2 veces su frecuencia máxima también conocida como frecuencia de Nyquist, se obtiene un espectro distorsionado como el mostrado en la Figura 1.7; este fenómeno es conocido como traslape (Franklin, Powell, & Workman, 1998; Shannon, 1949).

El efecto del traslape puede ser descrito más claramente analizando una señal en el tiempo, como el mostrado en la Figura 1.8. En esta se puede ver como una señal senoidal al ser muestreada a una frecuencia menor a la de Ny-quist, es reconstruida como una señal triangular de menor frecuencia.


Figura 1.7. Efecto de traslape, cuando se muestrea la señal por debajo de la frecuencia de Nyquist

La línea continua representa el espectro resultante

Fuente: el autor

Por lo tanto, en la práctica se recomienda definir el tiempo de muestreo T con base a una frecuencia diez veces mayor al ancho de banda (Astrom & Wittenmark, 1997), en el caso de conocer el ancho de banda; en caso contrario, como suele suceder a menudo en la práctica, se puede tomar como referencia la respuesta paso del sistema en lazo abierto y proceder como se explica en la siguiente sección.

Figura 1.8 Efecto del traslape en el tiempo

Fuente: el autor


La señal de línea continua es la señal original, y la señal de línea discon-tinua es la muestreada con una frecuencia menor a la frecuencia de Nyquist.

1.1.2.1 Respuesta paso similar a la de un sistema de primer ordenCuando se tiene una respuesta paso como la mostrada en la Figura 1.9, donde τ es la constante de tiempo del sistema y se define como el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar el 62.3 % de su valor final. De aquí, el tiempo de muestreo T se puede establecer mediante la siguiente ecuación:

Figura 1.9. Respuesta paso de un sistema de primer orden

Fuente: el autor

1.1.2.2 Respuesta paso similar a la de un sistema de primer orden Ahora, cuando se tiene una respuesta como la mostrada en la Figura 1.10, don-de es el tiempo de una oscilación de la respuesta paso, el tiempo de muestreo T se puede establecer mediante la siguiente ecuación:

Es importante anotar que es el periodo de una oscilación senoidal amortiguada, y está relacionado con la frecuencia natural amortiguada como sigue:


Figura 1.10. Respuesta paso de un sistema de segundo orden

Fuente: el autor

1.1.3 Retención de señalesEl sistema de retención de datos es el encargado de convertir una señal en tiem-po discreto u(kT) a tiempo continuo h(t). Para realizar este proceso, el retene-dor extrapola los datos de la señal discreta con base a un polinomio definido de la siguiente manera:

Donde 0 ≤ τ < T. Si el retenedor usa un polinomio de n orden, entonces decimos que tenemos un retenedor de enésimo orden. El retenedor más común es el de orden cero, o sea cuando n = 0 en la ecuación (1.10); por lo tanto, la salida del retenedor h(t) va a ser una señal constante cuyo valor es igual a u(kT) para kT ≤ t < (k + 1)T como se muestra en la Figura (1.11).

Figura 1.11. Efecto del retenedor de orden cero

Fuente: el autor


Finalmente, se puede demostrar (Ogata, 1996), que la función de transfe-rencia de un retenedor de orden cero esta dada por la ecuación (1.11).

1.2 La transformada zAsí como la transformada de Laplace es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de sistemas lineales de control en tiempo continuo, el método de la transformada z es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de sistemas lineales de control en tiempo discreto. La transformada z de una función en el tiempo x(t), donde t > 0, o de la secuencia de valores x(kT), donde k = 0,1,2, 3... y T el tiempo de muestreo, está definida como:

La transformada z expresada de acuerdo a la ecuación (1.12) se conoce como la transformada z unilateral, porque está definida solo para t > 0. Para co-nocer más detalles sobre la transformada z existe mucha literatura al respecto, recomiendo el libro Señales y Sistemas de Oppenheim & Willsky (1996). A con-tinuación, en la Tabla 1.1 se muestra un listado de pares de transformada s y z.

1.3 La función de transferencia pulsoLa función de transferencia pulso es la relación que existe entre la salida y la entrada muestreadas de un sistema dinámico.

Figura 1.12. Sistema muestreado mediante impulsos

Fuente: el autor

Donde y∗(t) y x∗(t) son las señales muestreadas de y(t) y x(t) respectivamente, y están definidas como:


De aquí, el sistema mostrado en la Figura 1.12 se puede representar como se muestra en la Figura 1.13.

Figura 1.13 Representación en z del sistema mostrado en la Figura 1.12

Fuente: el autor

Teniendo en cuenta la relación que existe entre el dominio de Laplace s y z, la cual se demostró en la sección 1.1.1

Por lo tanto, la función de transferencia pulso del sistema está dada por:

Tabla 1.1 Transformada s a z

Dominio de Laplace s Dominio z


Dominio de Laplace s Dominio z

Fuente: el autor

1.3.1 Función de transferencia pulso de sistemas conectados en cascadaCuando se tienen varios sistemas conectados en cascada, la función de transfe-rencia pulso depende del lugar donde se ubiquen los muestreadores, por ejemplo:

Figura 1.14 Conexión de sistemas muestreados en cascada

Fuente: el autor

Donde:

De aquí,

Como estamos buscando es la relación de la salida muestreada con la en-trada muestreada, muestreamos a ambos lados en la ecuación (1.17), por lo tanto, obtenemos:

Donde GH(s) es la función de transferencia resultante del producto G(s)H(s). Nótese que antes de muestrear, debemos verificar que no haya términos en s que se pueden operar antes de muestrearlos, esto porque la transformada z no es asociativa, o sea la transformada z de G(s)H(s) no es igual a la transfor-mada z del producto de G(z) y H(z),


Adicionalmente, al muestrear una señal ya muestreada como X∗(s), el re-sultado es el mismo término. Finalmente transformando a z tenemos:

Ahora, si en el ejemplo anterior ponemos un muestreador entre H(s) y G(s) obtenemos el siguiente sistema:

Figura 1.15. Conexión de sistemas muestreados en cascada

Fuente: el autor

En este caso, observemos que como hay un muestreador entre H(s) y G(s), la función de transferencia pulso se halla de la siguiente manera:

De aquí y aplicando lo mismo que en el ejemplo anterior tenemos:

Por lo tanto:

Nótese que el hecho de ubicar un muestreador entre H(s) y G(s) hace que la función de transferencia pulso cambie con respecto a la ecuación (1.18).

1.3.2 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerradoEn la Figura 1.16 se muestra un sistema típico de control digital en lazo cerrado.


Figura 1.16. Sistema típico de control digital en lazo cerrado

Donde es la respuesta de la planta, la acción de control que pasa a través de un retenedor de orden cero (ZOH)

Fuente: el autor

En este caso, la función de transferencia pulso Y (z)/R(z) se puede definir como sigue:

Ahora, sustituyendo la ecuación (1.19) en (1.20), obtenemos:

En consecuencia, debemos definir Y *(s) para poder reemplazarla en la ecuación (1.23). Es importante anotar que, antes de muestrear una señal, debe-mos agrupar todos los términos posibles en s de esta, por lo tanto, de (1.22) y (1.21) tenemos que:

Donde Luego, remplazamos (1.23) en (1.24)

Finalmente, obtenemos que:


Este resultado es muy importante, puesto que la función de transferencia pulso descrita en la ecuación (1.25), sirve como base para el diseño de compen-sadores digitales en el caso de que la estructura de lazo cerrado coincida con la mostrada en la Figura 1.16, lo cual es cierto en la mayoría de las aplicaciones de control digital. Nótese también que G(z) es la función de transferencia pulso de una planta que está afectada por un retenedor de orden cero, por lo tanto, G(z) se puede definir en forma general como sigue:

1.4 Análisis de estabilidad en tiempo discretoEl término estabilidad en sistemas dinámicos se refiere a la forma en que los sistemas responden ante una excitación externa. De aquí que podemos ha-blar de dos tipos de estabilidad, a saber: estabilidad absoluta y relativa. En la estabilidad absoluta se analiza si un sistema es estable, inestable u oscila-torio; mientras que en la estabilidad relativa se analiza cómo es la respuesta transitoria del sistema. Cuando se requiere analizar la estabilidad de sistemas dinámicos, un método muy común consiste en analizar la ubicación de los polos del sistema. Para hacer el análisis de estabilidad en tiempo discreto nos basaremos en el análisis de estabilidad en tiempo continuo. A continuación, algunas definiciones:

1.4.1 Sistema estable Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se estabiliza en un valor constante. Este tipo de sistemas en tiempo continuo se caracteriza por tener negativa la parte real de todos sus polos, o sea ubicados en el semiplano complejo izquierdo del plano s.


Figura 1.17. a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación de los polos de un sistema estable en el plano s

Fuente: el autor

1.4.2 Sistema inestableEs aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso crece o decrece inde-finidamente. Este tipo de sistemas en tiempo continuo se caracteriza por tener por lo menos unos de sus polos con la parte real positiva, o sea en el semiplano complejo derecho del plano s.

Figura 1.18. a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación de los polos de un sistema inestable en el plano s

Fuente: el autor


1.4.3 Sistema oscilatorioEs aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se mantiene oscilatoria entre dos valores. Este tipo de sistemas se caracteriza por tener todos sus polos con la parte real igual a cero, o sea ubicados sobre el eje imaginario j del plano s.

Figura 1.19. a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación de los polos de un sistema oscilatorio en el plano s

Fuente: el autor

1.5 Estabilidad absoluta en sistemas en tiempo discretoBasados en el análisis de estabilidad en tiempo continuo en el dominio de Laplace, podemos extender estos resultados al tiempo discreto en el dominio z usando la ecuación (1.5):

En la Figura 1.20 podemos observar cómo la zona rectangular rayada en el plano s, que corresponde al ancho de banda de la señal muestreada, mapea a la parte interna de un círculo en el plano z de radio uno. En consecuencia, podemos hacer el siguiente análisis con respecto a la estabilidad absoluta en sistemas en tiempo discreto:


Figura 1.20. Mapeo del plano s al plano z Donde es la frecuencia de muestreo y el tiempo de muestreo

Fuente: el autor

1.5.1 Sistema estable en tiempo discreto Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se estabiliza en un valor constante. Este tipo de sistemas en tiempo continuo se caracteriza porque todos sus polos tienen una magnitud menor o igual a uno, o sea ubicados den-tro o sobre el círculo unitario en el plano z.

Figura 1.21. a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación de los polos de un sistema estable

Fuente: el autor

1.5.2 Sistema inestable en tiempo discreto Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso crece o decrece inde-finidamente. Este tipo de sistemas se caracteriza por tener por lo menos unos


de sus polos con magnitud mayor que uno, o sea por fuera del circulo unitario en el plano z.

Figura 1.22. a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación de los polos de un sistema inestable en el plano z

Fuente: el autor

1.5.3 Sistema oscilatorio Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se mantiene oscila-toria entre dos valores. Este tipo de sistemas se caracteriza por tener todos sus polos con magnitud igual a uno, o sea ubicados sobre el círculo unitario en el plano z.

Figura 1.23. a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación de los polos de un sistema oscilatorio en el plano z

Fuente: el autor


1.6 Análisis de error en estado estableEl análisis del error de estado estable nos sirve para determinar las condiciones mínimas que un sistema en lazo cerrado debe tener para garantizar un error cero en estado estable. En la Figura 1.24 se muestra un esquema tópico de un lazo de control en lazo cerrado.

Figura 1.24. Sistema de control de lazo cerrado en tiempo discreto

Fuente: el autor

Donde:

Aplicando el teorema del valor final en z, tenemos que el valor del error en estado estable está definido como:

1.6.1 Respuesta de estado estable ante una entrada pasoLa entrada paso unitario en z está definida como:

De aquí el ante una entrada paso está dado por:

Ahora, si definimos:


Donde es la constante de error de posición estática, el error de estado estable queda definido por la siguiente expresión:

En consecuencia, como estamos buscando condiciones para garantizar un ess = 0, proseguimos con el siguiente análisis:

Para que el . Si analizamos las condiciones para que , observamos lo siguiente:

O sea que para que el límite cuando z → 1 de la función de trans-ferencia pulso C(z)G(z) debe tener por lo menos un polo en z = 1. Este es un resultado bastante importante en teoría de control, puesto que estamos demos-trando que cuando tenemos un sistema tipo 0 (sin polos en z = 1), nuestro controlador debe tener un polo en z = 1 para garantizar un ante una entrada paso, esto es mejor conocido como una acción integradora.

1.6.2 Respuesta de estado estable ante una entrada rampa La entrada rampa en z está definida por:

De aquí el ante una entrada rampa esté dado por:


Donde es la constante de error de velocidad estática, el error de estado estable queda definido por la siguiente expresión


De aquí, para que, . Haciendo un análisis similar al del punto anterior, podemos concluir que para que el límite cuando z → 1 de la función de transferencia C(z)R(z) debe tener por lo menos dos polos en z = 1.

1.6.3 Respuesta de estado estable ante una entrada parabólica La entrada rampa en z está definida por:

De aquí el ante una entrada parabólica está dado por:


Donde es la constante de error de aceleración estática, el error de esta-do estable queda definido por la siguiente expresión:

De aquí, para que . Haciendo un análisis similar al del punto anterior, podemos concluir que para que el límite cuando de la función de transferencia debe tener por lo menos tres polos en

.

1.7 Respuesta a perturbacionesAdemás de garantizar error cero de estado estable, en un sistema de control en lazo cerrado se deben conocer las condiciones para las cuales el sistema tiene un mejor rechazo a las perturbaciones. En la Figura 1.25 se puede observar dos tipos de perturbaciones tópicas en un sistema de control de lazo cerra-do, a saber; ruido de proceso -W(z)- y ruido de medición V (z). El ruido de proceso está relacionado con las entradas externas desconocidas al sistema e


incertidumbres en parámetros del modelo o dinámicas no modeladas. De otro lado, el ruido de medición (V (z)) está relacionado con el error que presenta el instrumento de medición y el ruido que del ambiente se puede inducir en este.

Figura 1.25. Sistema de control en lazo cerrado con ruido de proceso y de medición

Fuente: el autor

1.7.1 Respuesta a perturbaciones para ruido de proceso W(z)Para analizar las condiciones que se deben dar en el sistema, con el fin de que la respuesta Y (z) se vea afectada lo mínimamente posible por un ruido de proceso, tomaremos el sistema mostrado en la Figura 1.26, que corresponde al esquema de la Figura 1.25 con R(z) = 0 y V (z) = 0:

Figura 1.26. Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones tipo ruido de proceso

Fuente: el autor

De aquí, la función de transferencia pulso es la siguiente:

Por lo tanto, para que la ganancia de la función de transferencia tienda a cero, la ganancia del controlador C(z) debe tender a infinito, o sea ser grande.


1.7.2 Respuesta a perturbaciones para ruido de mediciónPara analizar las condiciones que se deben dar en el sistema, con el fin de que la respuesta Y (z) se vea afectada lo mínimamente posible por un ruido de me-dición, tomaremos el sistema mostrado en la Figura 1.27, que corresponde al esquema de la Figura 1.25 con R(z) = 0 y W(z) = 0:

Figura 1.27. Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones tipo ruido de medición

Fuente: el autor

De aquí, la función de transferencia pulso es la siguiente:

Por lo tanto, para que la ganancia de la función de transferencia Y (z)/V (z) tienda a cero, la ganancia de G(z)C(z) debe tender a cero, o sea la ganancia del controlador debe ser pequeña.

1.8 Problemas propuestos1.8.1 Basados en la magnitud del espectro de la señal x(t) que se muestra en la Figura 1.28.

Figura 1.28 Magnitud del espectro de la señal x(t)

Fuente: el autor


1.8.2 La frecuencia de muestreo para evitar el efecto de traslape debe ser:a. b. c. d. Ninguna de las anteriores

1.8.3 Cuál de las siguientes relaciones es la correcta:

a.

b.

c.

1.8.4 Considere la región del plano s que se muestra en la Figura 1.29. Dibuje las regiones correspondientes en el plano z. El periodo de muestreo T es 0.3 segundos.

1.8.5 Explique en qué consiste el efecto de traslape (aliasing) y dé una solución para evitarlo.

Figura 1.29. Problema 1.8.4

Fuente: el autor

1.8.6 Defina la región en el plano z donde la ubicación de los polos en el plano s corresponde a ζ ≤ 0.5.

1.8.7 En un análisis de estado estacionario de un sistema de control digital rea-limentado, la constante de error de velocidad estática Kv está dada por:

a.


b.

c.

1.8.8 Demuestre que:

1.8.9 Demuestre que para garantizar que el error en estado estacionario ante una entrada paso del sistema en lazo cerrado mostrado en la Figura 1.30 sea cero, es suficiente con que el producto de tenga un polo en z = 1.

Figura 1.30. Lazo cerrado de control en tiempo discreto

Fuente: el autor

1.8.10 Los modelos basados en datos de entrada-salida, son conocidos como:a. Modelos de caja grisb. Modelos de caja rosadac. Modelos de caja negrad. Modelos de caja blanca

1.8.11 La función de transferencia de un retenedor de orden cero es:

a.

b.

c.

d.

1.8.12 Considere la región del plano s que se muestra en la Figura 1.31. Hallar la región correspondiente en el plano z, teniendo en cuenta que . El pe-riodo de muestreo T = 0.3 s. De acuerdo a la región mapeada, indique la zona de estabilidad, inestabilidad y críticamente estable.


Figura 1.31. Zona de estabilidad plano s

Fuente: el autor

1.8.13 Defina la región en el plano z donde la ubicación de los polos en el plano s corresponde a ζ ≤ 0.5


Capítulo 2

Métodos clásicos de diseño de compensadoresen tiempo discreto para sistemas siso

En este capítulo trataremos el tema del diseño de compensadores o controla-dores usando métodos clásicos para sistemas siso basados en modelos repre-sentados en función de transferencia (Astrom & Wittenmark, 1997; Phillips & Nagle, 1994). Es importante anotar que el objetivo principal de estos con-troladores es manipular la respuesta transitoria en lazo cerrado, puesto que en ese instante es en el que se puede hacer una gran diferencia en el desempeño del sistema en lazo cerrado, ver Figura 2.1. Por ejemplo, si la respuesta se pue-de hacer más rápida, podemos ahorrar energía, disminuir los tiempos de pro-ducción, evitar el desgaste de las piezas de un sistema, etc. Todo esto redunda en que finalmente el proceso que se está interviniendo va a ser más eficiente, amigable con el medio ambiente, con productos de altos estándares de calidad, entre otros aspectos, que es lo que finalmente le interesa al dueño del proceso.

Figura 2.1. Respuesta paso típica de un sistema de segundo orden

Fuente: el autor


Es importante resaltar que los diseños de los controladores que se tratan en este libro se desarrollan con base a modelos matemáticos de sistemas diná-micos; por lo tanto, en la siguiente sección se dará una introducción al tema.

1.2 Modelamiento de sistemas dinámicosComo se mencionó, el modelamiento de los sistemas dinámicos es una etapa muy importante en el diseño de controladores basados en modelos matemáti-cos, tanto así que se estima que, en el diseño de sistemas de control, la obten-ción de un buen modelo matemático se toma entre el 60 % al 80 % del trabajo total. Por lo tanto, en esta sección describiremos los tipos de modelamiento y algunas de las clases más usadas de modelos matemáticos (Friedlan, 2005). Desde el punto de vista de los métodos de modelamiento y tomando como ejemplo el circuito rlc mostrado en la Figura 2.2, podemos resumirlos en tres:

Figura 2.2 Circuito serie rlc

Fuente: el autor

2.1.1 Modelos basados en principios físicos fundamentales También conocidos como modelos de caja blanca (Kulakowski, Gardner, & Shearer, 2007). En este caso, los parámetros de las ecuaciones diferenciales tie-nen un significado físico, que son R, resistencia; L, inductancia y C capacitan-cia, ver Figura 2.3.

Figura 2.3. Modelo de caja blanca del circuito rlc

Fuente: el autor


2.1.2 Modelos basados en datos de entrada-salidaTambién conocidos como modelos de caja negra (Ljung, 1999). En este caso, los parámetros de las ecuaciones que son a1, b1 y b2 no tienen ningún significado físico, estos son obtenidos ajustando la respuesta dinámica del modelo a los datos de entrada-salida, ver Figura 2.4.

Figura 2.4. Modelo de caja negra del circuito rlc

Fuente: el autor

2.1.3 Modelos basados en los principios físicos fundamentales y datos de en-trada-salidaTambién conocidos como modelos de caja gris (Bohlin, 2006). En este caso, algunos de los parámetros del modelo son obtenidos al ajustar la respuesta del modelo a los datos de entrada-salida usando técnicas de optimización o ajuste de curvas, y otros son obtenidos de los principios físicos fundamentales. Es importante anotar que el conjunto de ecuaciones diferenciales que caracterizan el sistema, también son obtenidos basados en principios físicos, ver Figura 2.5.

Figura 2.5. Modelo de caja gris del circuito RLC

Fuente: el autor

Por otro lado, se debe tener en cuenta cuál es el uso final de los modelos para así mismo tener claridad sobre cuál es el tipo de modelo matemático que se necesita. Entre los diferentes tipos de modelos se tiene:

2.1.3.1 Modelo determinístico Es aquel que representa un sistema dinámico con base a relaciones exactas en-tre sus variables y se expresa sin incertidumbre, por ejemplo:


Donde x(t) es la variable dinámica, u(t) la entrada y a y b, parámetros del sistema. En este ejemplo, al resolver la ecuación diferencial se puede determi-nar exactamente el valor de x(t) para cualquier instante de tiempo t, algo que no ocurre con un modelo estocástico.

2.1.3.2 Modelo estocástico Es aquel que representa un sistema dinámico usando relaciones determinísti-cas y aleatorias entre sus variables, por ejemplo:

Donde x(t) es la variable dinámica, u(t) la entrada, a y b parámetros del sistema y w(t), una variable aleatoria. En este ejemplo, al resolver la ecuación diferencial no es posible conocer el valor exacto de x(t) para un instante de tiempo dado t, debido a la variable aleatoria w(t). En este caso, aunque no es posible saber el valor exacto de x(t), sí se puede expresar esta en función de sus propiedades estadísticas, como son el valor promedio y la desviación estándar, en el caso de una distribución gaussiana.

2.1.3.3 Modelo estático Es aquel que se basa solo en información presente de las variables, y está descri-to por una ecuación algebraica.

2.1.3.4 Modelo dinámico Es aquel que se basa en información presente y pasada de las variables, y está descrito por una ecuación diferencial.

2.1.3.5 Modelo en tiempo continuo Es aquel que nos permite tener información de las variables en cualquier ins-tante de tiempo.


2.1.3.6 Modelo en tiempo discreto Es aquel que nos permite tener información de las variables solo en los instan-tes de tiempo k. Estos modelos se caracterizan por tener un tiempo de mues-treo constante, Ts.

2.1.3.7 Modelo de parámetros concentrados Es aquel en el cual se asume que las propiedades físicas de un sistema se pue-den concentrar en un solo punto y su variación solo depende del tiempo. Este tipo de modelo se caracteriza por ser representado por ecuaciones diferenciales ordinarias (ode).

Figura 2.6. Sistema de parámetros concentrados

Fuente: el autor

Donde T es temperatura, k es el coeficiente de transferencia de calor.

2.1.3.8 Modelo de parámetros distribuidos Es aquel en el cual se asume que las propiedades físicas de un sistema se pueden distribuir espacialmente y su variación depende del tiempo y el espacio. Este tipo de modelo se caracteriza por estar representado por ecuaciones diferen-ciales parciales (pde).


Figura 2.7. Sistema de parámetros distribuidos

Fuente: el autor

Donde T es el calor y α es la difusividad térmica.

2.2 ValidaciónDespués de obtener el modelo matemático es importante saber cuál es la cali-dad del modelo, o sea que también representa la dinámica del sistema real, para esto se pueden hacer dos tipos de validaciones, a saber, validación cuantitativa y validación cualitativa.

2.2.1 Validación cualitativa Esta validación consiste en hacer un análisis visual sobre la respuesta del mode-lo ante una excitación externa. Este análisis se hace con base en el conocimiento previo que tiene el modelador sobre el comportamiento dinámico que debe tener el sistema.

2.2.2 Validación cuantitativa Esta validación consiste en definir un índice numérico que nos permita valorar el ajuste de la respuesta del modelo con respecto al sistema original. Entre los indicadores más usados tenemos:

• La raíz cuadrada del error medio cuadrático, o en inglés Root Mean Square Error (rmse)

donde n es el número de datos, y y es la señal de salida del sistema.


• El error medio cuadrático, o en inglés Mean Square Error (mse)

Por lo tanto, para calcular estos índices es necesario hacer pruebas y cap-turar datos de la respuesta del sistema real, para luego repetir estas mis-mas pruebas en el modelo, y así poder obtener la información necesaria para el cálculo de los índices de ajuste, ver Figura 2.8

Figura 2.8. Prueba para la validación cualitativa de un modelo matemático

Fuente: el autor

2.3 Análisis de la respuesta de un sistema de segundo ordenCuando se diseña un sistema de control en lazo cerrado, se busca es que la respuesta transitoria del sistema ante una entrada paso tenga un comporta-miento predominantemente de segundo orden, ver Figura 2.9. Por esta razón es muy importante estudiar esta respuesta antes de entrar a explicar los mé-todos de diseño.


Figura 2.9. Respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada

Fuente: el autor

En la Figura 2.9 observamos la respuesta típica de un sistema de segundo orden ante una entrada paso, donde:

• tp = Tiempo en el que ocurre el pico máximo de amplitud.• tr = Tiempo de elevación, que es el tiempo que la respuesta tarda de ir del

10 % al 90 %.• ts = Es el tiempo de establecimiento, que es el tiempo que la respuesta

tarda en entrar en la banda de tolerancia, que está entre el 1 y 2 % del valor de la respuesta de estado estable.

• Mp = Sobreimpulso, es la diferencia entre el valor máximo de la respuesta y el valor de estado estable.

La función de transferencia de un sistema de segundo orden está dada por:

O sea que los polos son:

Y se pueden graficar en el plano s, como se muestra en la Figura 2.10:


Figura 2.10. Ubicación en el plan s de los polos del sistema de segundo orden

Fuente: el autor

Donde , se denomina frecuencia natural amortiguada, frecuencia natural no amortiguada y ζ coeficiente de amortiguamiento. En

consecuencia, podemos relacionar la ubicación de los polos s1 y s2 con la res-puesta transitoria del sistema de segundo orden de la siguiente manera:

•

•

•

• , criterio con banda de tolerancia del 1 %.

• , criterio con banda de tolerancia del 2 %.

•

Como resultado del análisis anterior, podemos relacionar las característi-cas de la respuesta deseada en el tiempo con los polos de la función de transfe-rencia de un sistema de segundo orden. Se debe anotar que esta es la base para los métodos de diseño que se introducirán a continuación.

2.4 Diseño de compensadores basados en la respuesta en el tiempoCon el fin de introducir el método de diseño, se empezará enunciando el pro-blema que se quiere resolver:


2.4.1 ProblemaDado un sistema de control en lazo cerrado, como el mostrado en la Figura 2.11, cuya función de transferencia es:

Figura 2.11. Diagrama de bloques sistema de control discreto en lazo cerrado

(2.1.)Fuente: el autor

Se requiere diseñar un compensador cuya función de transferencia pulso C(z), haga que los polos de la función de transferencia en lazo cerrado , sean los propuestos por el diseñador de acuerdo a la respuesta transitoria en el tiempo deseada para el sistema.

SoluciónComo se mencionó anteriormente, la estabilidad relativa depende de la ubica-ción de los polos en el plano complejo de Laplace s de un sistema. Adicional-mente, la estabilidad relativa es la que nos define cómo es la respuesta transi-toria de un sistema, Figuras 2.9 y 2.10. Como nuestro objetivo es diseñar un sistema de control tal que la respuesta completa, estado estacionario y estable sea la especificada por el diseñador, empezaremos analizando la ecuación ca-racterística del sistema en lazo cerrado, ecuación (2.1), o sea:

Por lo tanto, con el fin de que Gcl(z) tenga los polos deseados, se debe dar que:

En consecuencia, el método de diseño consiste en hallar un C(z) tal que se cumplan las siguientes condiciones:


Condición de Fase:

Condición de Magnitud:

2.4.2 Desarrollo del método de diseñoComo se vio en la sección anterior, el método de diseño consiste básicamente de dos pasos, los cuales desarrollaremos a continuación empleando un ejemplo:

Ejemplo 1 Se desea diseñar un compensador C(z) tal que la planta descrita por la función de transferencia en tiempo continuo:

Que tenga una respuesta en lazo cerrado con las siguientes características: , con el criterio del 1%, y ζ = 0.6.

Pasos del métodoCálculo del tiempo de muestreo TCon base en la frecuencia natural amortiguada , la cual se puede tomar apro-ximadamente como el ancho de banda de la señal de respuesta en lazo cerrado, ecuación (1.9), se calcula el tiempo de muestreo T para el sistema teniendo en cuenta la siguiente restricción:

Donde Td se define como:


Entonces:

De aquí que:0.3415 s ≤ T ≤ 1.0244s.

Por lo tanto, se puede tomar T = 0.5 s, por facilidad en los cálculos si-guientes:

Cálculo de los polos deseados Para calcular los polos deseados en lazo cerrado, lo primero que tenemos que definir o especificar son las características de la respuesta dominante en lazo cerrado. Estas características se deben basar en la respuesta paso de un sistema de segundo orden, como se presentó en la sección 2.3. Así para nuestro ejem-plo, como conocemos , ζ y los polos deseados están definidos como:

Primero debemos calcular :

Y luego los polos deseados:

Condición de fasePara hacer cumplir la condición de fase de acuerdo a la expresión (2.2), se debe tener en cuenta tanto la respuesta en estado estable como la de estado esta-cionario. Así, lo primero que se debe verificar es si la función de transferencia pulso de la planta posee por lo menos un polo en z = 1, como se vio en la sección 1.5, con el fin de garantizar un error cero en estado estable ante una


entrada paso. En consecuencia, comenzaremos con discretizar la función de transferencia de la planta:

De la Tabla 1.1 tenemos:

Entonces:

En consecuencia, como no tiene ningún polo en z = 1 se debe garantizar esto, haciendo que la función de transferencia pulso del controlador sí lo tenga. De aquí se define:

De tal forma que el producto:

O sea que si se evalúa el producto para cuando en la ecuación (2.3) se obtiene:


Para escoger el signo de 180 se debe tener en cuenta que no debe ser mayor a ±180 para facilidad en los cálculos, de aquí:

En consecuencia, como la compensación en fase necesitada es positiva, la función de transferencia C′(z) tendrá la siguiente forma:

Luego, si se hace se puede calcular como sigue:

Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador que hace cumplir la condición de fase es:

Como se puede observar, en C(z) aún falta por definir la ganancia K, este valor se obtiene haciendo cumplir la condición de magnitud.


Condición de magnitudLa condición de magnitud sirve para calcular la ganancia K del controlador; entonces, de acuerdo a la expresión (2.4) se puede hallar K como sigue:

De aquí se obtiene:K = 1.5328

Por lo que la función de transferencia pulso del controlador queda defi-nida como:

Validación del diseñoPara la validación del diseño, se calculan los polos en lazo cerrado del sistema; si entre los polos en lazo cerrado se encuentran los polos deseados , el diseño está correcto, de lo contrario no, y habría que revisar los pasos anteriores para encontrar el error de cálculo. Por consiguiente, primero se calcula la función de transferencia pulso en lazo cerrado :

A continuación se hallan los polos en lazo cerrado, que son las raíces de la ecuación característica de , los cuales nos dan igual a 0.6018 ± j0.1906. Comparando este resultado con los polos deseados , podemos concluir que el diseño está correcto, como así también lo confirma la respuesta paso de que se muestra en la Figura 2.12. Aquí se puede observar que el s y con un sobre impulso correspondiente a un ζ = 0.6, como se especificó al comienzo del problema.


Figura 2.12. Respuesta paso sistema en lazo cerrado

Fuente: el autor

Una vez validado el diseño, se debe definir la ecuación en diferencia del controlador para su implementación en un dispositivo digital. Entonces, como se sabe que:

Del esquema de la Figura 2.11, donde E(z) es el error y U(z) la acción de control, la ecuación en diferencia la hallamos de la siguiente manera:

Multiplicando a ambos lados por para dejar los términos de z con potencias negativas se tiene:

Finalmente, la ecuación en diferencia del controlador es:


A continuación, se muestra el código en Matlab usado para el diseño del compensador basado en la respuesta en el tiempo.

Código de MatlabDiseño de Compensador Basado en la Respuesta en el Tiempo

%% Definición función de transferencia%% planta en tiempo continuo>> Gps=tf(1,[1 0.1])

Gps = 1 ------ s + 0.1

%% Definición del tiempo de muestreo con base a la%% respuesta de lazo cerrado>> zeta=0.6;>> ts=10;>> wn=4.6/(zeta*ts);>> wd=wn*sqrt(1-zeta^2);>> Td=2*pi/wd;%%% Td/30 < T < Td/10>> T=0.5;%% Discretización de la planta>> Gz=c2d(Gps,T)

0.4877------------ z - 0.9512

%% Cálculo de los polos deseados en lazo cerrado >> zd = exp(-zeta*wn)*(cos(T*w-d)+j*sin(T*wd))zd = 0.6018 + 0.1906i%% Cálculo de la fase de la planta con polo en%% z=1 evaluado en z=zd>> z=zd>> alfa=angle(0.4877/((z-1)*(z-0.9512)))*180/pi alfa =

54.1885

%% Cálculo de la compensación en fase que debe%% aportar C’(z) >> theta=180-alfa theta =

125.8115


%% Cálculo de z1>> z1=-imag(zd)/tand(theta)+real(zd) z1 =

0.7393

%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)>> K=1/abs(0.4877*(z - z1)/((z-0.9512)*(z-1)))K = 1.5328%% Definición de la función de transferencia pulso%% del controlador C(z)>> Cz=tf(K*[1 -z1],[1 -1],T)Cz =

1.533 z - 1.133-------------------- z - 1

Sample time: 0.5 secondsDiscrete-time transfer function.%% Cálculo de la función de transferencia pulso%% en lazo cerrado Gcl(z)>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1);>> zpk(Gclz) ans =

0.74755 (z-0.7393)----------------------------(z^2 - 1.204z + 0.3985)

Sample time: 0.5 secondsDiscrete-time zero/pole/gain model.%% Cálculo de los polos en lazo cerrado de Gcl(z)>> pole(Gclz) ans =

0.6018 + 0.1906i0.6018 - 0.1906i

%% Generar figura de la respuesta paso del sistema%% en lazo cerrado>> step(Gclz)

Ejemplo 2Se desea diseñar un compensador para controlar la velocidad angular del rotor de un motor DC con excitación independiente, con base al voltaje de armadura La función de transferencia en tiempo continuo del motor es:


Se desea que el sistema en lazo cerrado tenga una respuesta con las si-guientes características

Pasos del métodoCálculo del tiempo de muestreo TComo se vio en la sección 2.3, el sobre impulso se puede relacionar con ζ de la siguiente manera:

De aquí ζ = 0.5912. Para el cálculo de , se toman las ecuaciones de la sección 2.3. Como resultado se obtiene

3.0034 s. Por lo tanto, el tiempo de muestreo T puede estar en el rango:

Por lo que se toma el tiempo de muestreo T = 0.2 s.

1. Cálculo de los polos deseados Los polos deseados en lazo cerrado se calculan de acuerdo a:

Condición de fasePara hacer cumplir la condición de fase de acuerdo a la expresión (2.2), se debe tener en cuenta tanto la respuesta en estado estable como la de estado estacio-nario. Así, lo primero que tenemos que verificar es si la función de transferen-cia pulso de la planta posee por lo menos un polo en z = 1, como se vio en la sección 1.5, con el fin de garantizar un error cero en estado estable ante una entrada paso. En consecuencia, primero se discretiza la función de transferen-cia de la planta:


Como este término no se encuentra en las tablas de transformada s a z, se puede hacer una expansión en fracciones parciales:

Entonces:

Luego, discretizando cada término y manipulándolos algebraicamente se obtiene:

En consecuencia, como no tiene ningún polo en se debe garan-tizar esto, haciendo que la función de transferencia pulso del controlador sí lo tenga. De aquí definimos:

De tal forma que el producto:

O sea que si se evalúa el producto para cuando en la ecuación (2.3) se obtiene:


Para escoger el signo de 180 se debe tener en cuenta que no debe ser mayor a ±180, de aquí:

En consecuencia, como la compensación en fase necesitada es positiva, la función de transferencia C′(z) tendrá la siguiente forma:

Luego, si se hace se puede calcular como sigue:

Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador C(z) que hace cumplir la condición de fase es:

Como se puede observar, en C(z) aún falta por definir la ganancia K, este valor se obtiene haciendo cumplir la condición de magnitud.

Condición de magnitudLa condición de magnitud nos sirve para calcular la ganancia K del controla-dor; entonces, de acuerdo a la expresión (2.4) se puede hallar K como sigue:

Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador queda de-finida como:


Validación del diseño Para la validación del diseño, se calculan los polos en lazo cerrado del sistema; si entre los polos en lazo cerrado se encuentran los polos deseados zd, el diseño está correcto, de lo contrario no, y habría que revisar los pasos anteriores para encontrar el error de cálculo. Por consiguiente, primero se calcula la función de transferencia pulso en lazo cerrado Gcl(z)

A continuación se hallan los polos en lazo cerrado, que son las raíces de la ecuación característica de Gcl(z), los cuales nos dan igual a 0.6724±0.2990i, 0.0303. Comparando este resultado con los polos deseados zd, se concluye que el diseño está correcto, como así también lo confirma la respuesta paso de Gcl(z) que se muestra en la Figura 2.13. Aquí se puede observar que el ts = 3 s como se especificó al comienzo del diseño; sin embargo, el sobre impulso es del 25 % que es superior al 10 % que se propuso, este comportamiento no deseado se debe a los ceros y el polo adicional en z = 0.0303, que aunque no son dominan-tes influencian la respuesta transitoria del sistema.


Fuente: el autor




%% Definición de la función de transferencia de %% la planta en tiempo continuo >> num =40.7591. >> den =[1.0000 105.5094 54.0575]. >> Gps=tf(num,den).

%% Definición del tiempo de muestreo

>> ts=3. % Tiempo de establecimiento [seg] >> Mp= 0.1. % Sobreimpulso >> zeta=-log(Mp)/sqrt(pi^2+log(Mp)^2). >> wn=4.6/(zeta*ts). >> wd=wn*sqrt(1-zeta^2). >> Td=2*pi/wd.

%% Td/30 < T < Td/10 => 0.1001 < T < 0.3003

>> T=0.2.

%% Cálculo de los polos deseados

>> zd=exp(-T*zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd)) zd =

0.6724 + 0.2990i

%% Discretización planta >> Gz=c2d(Gps,T,’zoh’). >> zpk(Gz) ans =

0.070425 (z+0.0476) ------------------------ z (z-0.9022)

%% Cálculo fase de la planta con acción %% integradora, polo en z=1 evaluado en z=zd

>> z=zd. >> alfa=angle((z+0.0476)/((z-1)*z*... (z-0.9022)))*180/pi

alfa = 93.4237

%% Cálculo de la compensación en fase que debe %% aportar C’(z) >> theta=180-alfa.


%% Cálculo de z1 >> z1=-0.2990/tand(theta)+0.6724

z1 = 0.6545

%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z) >> K=1/abs(0.070425*(z-z1)*(z+0.0476)/((z-1)*... z*(z-0.9022)))

K = 7.4838

%% Definición de la función de transferencia %% pulso del controlador C(z)

>> Cz=tf(K*[1 -z1],[1 -1],T). >> zpk(Cz)

ans =

7.4838 (z-0.6545) ----------------------- (z-1)

Sample time: 0.2 seconds Discrete-time zero/pole/gain model.

%% Cálculo de la función de transferencia pulso %% en lazo cerrado Gcl(z) >> Gclz=feedback(Gz*Cz,1). >> zpk(Gclz)

ans =

0.52704 (z-0.6545) (z+0.0476) ------------------------------------------ (z-0.03032) (z^2 - 1.345z + 0.5415)

Sample time: 0.2 seconds Discrete-time zero/pole/gain model.

%% Cálculo de los polos en lazo cerrado de Gcl(z) >> pole(Gclz)

ans =0.6724 + 0.2990i0.6724 - 0.2990i0.0303

%% Generar figura de la respuesta paso del %% sistema en lazo cerrado>> step(Gclz)


Ejemplo 3Diseñar un compensador para controlar el ángulo de rotación de una antena parabólica con las siguientes especificaciones de diseño: ζ = 0,8, y ts = 10 s. La función de transferencia del sistema es:

SoluciónCálculo del tiempo de muestreo TBasados en las especificaciones de diseño calculamos primero el periodo de la frecuencia natural amortiguada

Luego, se calcula T de tal forma que este en el rango , o sea 0.6071 ≤ T ≤ 1.8212, por facilidad en los cálculos se toma T = 1 s

Cálculo de los polos deseados Los polos deseados en lazo cerrado se calculan de acuerdo a:

Condición de fasePrimero se necesita discretizar la planta Gp(s):

En este caso se observa que tiene un polo en , por lo tanto, el compensador no necesita tener este polo, como sí se hizo en los ejemplos


anteriores. Ahora, se verifica cuál es la compensación en fase que se necesita hacer por el compensador de tal forma que se cumpla la condición de fase, que consiste en evaluar la ecuación (2.3) como sigue:

Analizando la compensación en fase que debe hacer , se puede pen-sar en que como la compensación es positiva, el compensador debería tener la siguiente estructura:

Pero es importante notar que este tipo de función de transferencia pulso corresponde a un sistema no causal, o sea que la respuesta ocurre primero que la excitación, algo que no corresponde con la realidad de los procesos físicos. Por lo tanto, es importante mencionar que en toda función de transferencia pulso el orden del polinomio del numerador debe ser menor o igual al del de-nominador para evitar que el sistema sea no causal. En consecuencia, se propo-ne una nueva estructura:

Con esta nueva estructura, para hacer cumplir la condición de fase se ten-drían dos incógnitas, los ángulos de y ; por lo tanto, se debe fijar uno y con el otro hacer cumplir la condición de fase. En consecuencia, se puede hacer p1 igual a un cero de la planta, se recomienda uno que este lejos del círculo unitario para evitar problemas de estabilidad. Como en nuestro ejem-plo no hay sino uno en , tomaremos este así:


De aquí que la condición de fase queda:

Luego, se calcula

Como resultado tenemos:

Condición de magnitudHaciendo cumplir la condición de magnitud, se puede calcular la ganancia k del compensador:

Como resultado, la función de transferencia pulso del compensador C(z) es la siguiente:

Validación del diseñoPara la validación del diseño se deben calcular los polos en lazo cerrado del sistema y compararlos con los polos dominantes deseados en lazo , cerrado si estos son iguales, el diseño está correcto, por lo tanto:


De aquí los polos en lazo cerrado son: −0.9672, y 0.5941 ± j0.2135, donde estos últimos corresponden a los polos dominantes deseados zd, por lo que se puede concluir que el diseño quedó correcto y debe cumplir con las especifica-ciones de diseño, como se observa en la Figura 2.14.


Fuente: el autor



%% Definición de la función de transferencia de%% la planta en tiempo continuo>> num =1.>> den =[10 1 0].>> Gps=tf(num,den).>> s=tf(‘s’).>> Gps=1/(s*(10s+1))

%% Definición del tiempo de muestreo

>> ts=10. % Tiempo de establecimiento [seg]>> zeta=0.8.>> wn=4.6/(zeta*ts). >> wd=wn*sqrt(1-zeta^2).>> Td=2*pi/wn.


Td= 18.2121

%% Td/30 < T < Td/10 => 0.6071 < T < 1.8212

>> T=1.

%% Cálculo de los polos deseados

>> zd=exp(-T*zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd))zd =

0.5941 + 0.2135i

%% Discretización planta

>> Gz=c2d(Gps,T,’zoh’).>> zpk(Gz)

ans =

0.048374 (z+0.9672) -------------------------- (z-1) (z-0.9048)

Sample time: 1 secondsDiscrete-time zero/pole/gain model.

%% cálculo fase de la planta con acción %% integradora, polo en z=1 evaluado en z=zd

>> z=zd.>> alfa=angle(0.048374/((z-1)*(z-0.9048)))...*180/pi

alfa = 62.2367

%% Cálculo de la compensación en fase que debe%% aportar C’(z) en grados>> theta=180-alfa

theta = 117.7633

%% Cálculo de z1 tomando theta como theta/2,%% para tener los dos ceros en z=z1>> z1=-imag(zd)/tand(theta)+real(zd)

z1 = 0.7065


%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)>> K=1/abs(0.048374*(z-z1)/((z-1)*(z-0.9048)))

K = 14.8143

%% Definición de la función de transferencia%% pulso del controlador C(z)

>> Cz=tf(K*[1 -z1],[1 0.9672],T).>> zpk(Cz)

ans =

14.8143 (z-0.7065)------------------------ (z+0.9672)


%% Cálculo de la función de transferencia pulso%% en lazo cerrado Gcl(z)>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1).>> zpk(Gclz)

ans =

0.71663 (z+0.9672) (z-0.7065)------------------------------------------- (z+0.9672) (z^2 - 1.188z + 0.3985)


%%Cálculo de los polos en lazo cerrado de Gcl(z)>> pole(Gclz)ans =

-0.96720.5941 + 0.2135i0.5941 - 0.2135i

%% Generar figura de la respuesta paso del%% sistema en lazo cerrado>> step(Gclz)


2.4.3 Diseño de controladores pid basados en la respuesta en el tiempoLos controladores pid son los más populares en la industria debido a su fácil ajuste, flexibilidad y robustez. Se dice que en los procesos industriales apro-ximadamente el 90 % de los controladores instalados son del tipo pid, es por esta razón que es muy importante analizarlos. En esta sección se introducirá un método de ajuste a la familia de controladores pid basados en la respuesta en el tiempo (Goodwin, Graebe, & Salgado, 2001). La ecuación general de un controlador pid en tiempo discreto se puede expresar de la siguiente forma:

Donde es la ganancia proporcional, la ganancia integral y la ga-nancia derivativa. Como se puede observar en la ecuación (2.5) este controla-dor depende de tres acciones, a saber:

• Acción proporcional: Es la encargada de aproximar rápidamente la salida de la planta al valor deseado. Su acción de control es proporcional al error.

• Acción integral: Es la encargada de hacer el error en estado estable igual a cero, o sea que la salida siga una referencia constante en estado estable. Su acción de control es proporcional a la integral del error.

• Acción derivativa: Es la encargada de hacer reaccionar rápidamente el sistema y corregir el error de la salida de este ante perturbaciones. Esta acción es muy sensible al ruido de medición, así que si los sensores que se usan tienen muchas perturbaciones, se recomienda usar una acción derivativa con filtro pasa-bajos, para garantizar una correcta acción de control. Su acción de control es proporcional a la derivada del error.

La ecuación (2.5) se puede reescribir de la siguiente manera:


Esta nueva ecuación (2.6) se puede comparar con el siguiente compensador:

De tal forma que:

Como resultado se pueden obtener los parámetros en función de los ceros , y la ganancia k de la función de transferencia del compen-sador C(z), como se muestra a continuación:

De igual manera se puede hacer para un controlador PI o PD, de la si-guiente manera:

2.4.3.1 Controlador PILa función de transferencia pulso de un controlador PI es la siguiente:

Cuyo compensador equivalente es:


Por comparación tenemos que:

2.4.3.2 Controlador PDLa función de transferencia pulso de un controlador PD es la siguiente:

Cuyo compensador equivalente es:

Por comparación tenemos que:

Después de haber definido los compensadores equivalentes para los con-troladores pid podemos diseñarlos usando el método basados en la respuesta en el tiempo.

Ejemplo 4Diseñar un controlador pid con las mismas especificaciones y sistema del ejem-plo 2. Por lo tanto, se pueden tomar los siguientes datos: Función de transferen-cia pulso de la planta:

Los polos deseados son y el tiempo de muestreo T = 0.2 s. Por otro lado, para el diseño del controlador pid se toma el siguiente compensador equivalente:


Condición de fasePara hacer cumplir la condición de fase, reescribiremos la función de transfe-rencia pulso del controlador de la siguiente manera:

Así, evaluando el producto C(z)G(z) para cuando se obtiene lo si-guiente:

En consecuencia,

Ahora, como la compensación de fase que tiene que hacer cada cero puede ser la mitad de , de aquí que , por lo tanto:


Como resultado C(z) queda definida como:

Condición de magnitudPara calcular la ganancia k del controlador debemos hacer cumplir la condi-ción de magnitud:

Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador C(z) queda definida como:

Cálculo de las ganancias del controlador pidLas ganancias del controlador pid serán las siguientes:

En la Figura 2.15 se muestra la respuesta paso del sistema en lazo cerrado.

Figura 2.15. Respuesta paso en lazo cerrado del motor dc con un controlador pid

Fuente: el autor



Código de MatlabDiseño de Controlador PID Basado en la Respuesta en el Tiempo

%% Definición de la función de transferencia de%% la planta en tiempo continuo>> num =40.7591;>> den =[1.0000 105.5094 54.0575];>> Gps=tf(num,den);%% Definición del tiempo de muestreo>> ts=3; % Tiempo de establecimiento [seg]>> Mp= 0.1; % Sobreimpulso>> zeta=-log(Mp)/sqrt(pi^2+log(Mp)^2);>> wn=4.6/(zeta*ts);>> wd=wn*sqrt(1-zeta^2);>> Td=2*pi/wn;%% Td/30 < T < Td/10 => 0.001 < T < 0.3003>> T=0.2;%% Cálculo de los polos deseados>> zd=exp(-T*zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd))zd = 0.6724 + 0.2990i%% Discretización planta>> Gz=c2d(Gps,T,’zoh’);>> zpk(Gz)ans =

0.070425 (z+0.0476)------------------------- z (z-0.9022)

%% Cálculo fase de la planta con acción%% integradora, polo en z=1 evaluado en z=zd>> z=zd;>> alfa=angle((z+0.0476)/((z-1)*z^2*...(z-0.9022)))*180/pialfa = 69.4507%% Cálculo de la compensación en fase que debe%% aportar C’(z)>> theta=180-alfa;%% Cálculo de z1 tomando theta como theta/2,%% para tener los dos ceros en z=z1


>> z1=-0.2990/tand(theta/2)+0.6724 z1 = 0.4652%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)>> K=1/abs(0.070425*(z-z1)^2*(z+0.0476)/...((z-1)*z^2*(z-0.9022)))K = 12.4639%% Definición de la función de transferencia%% pulso del controlador C(z)>> Cz=tf(K*conv([1 -z1],[1 -z1]),[1 -1 0],T);>> zpk(Cz)ans =

12.4639 (z-0.4652)^2---------------------------- z (z-1)

Sample time: 0.2 secondsDiscrete-time zero/pole/gain model.%% Cálculo de las ganancias del controlador pid>> kp=K*(2*z1-2*z1^2)kp = 6.2017>> ki=K*(1-2*z1+z1^2)ki = 3.5653>> kd=K*z1^2kd = 2.6969%% Cálculo de la función de transferencia pulso%% en lazo cerrado Gcl(z)>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1);>> zpk(Gclz)ans =

0.87777 (z-0.4652)^2 (z+0.0476)---------------------------------------------------------(z+0.2549) (z+0.06548) (z^2 - 1.345z + 0.5415)

Sample time: 0.2 secondsDiscrete-time zero/pole/gain model.%% Cálculo de los polos en lazo cerrado de%% Gcl(z)>> pole(Gclz)ans =

0.6724 + 0.2990i0.6724 - 0.2990i


-0.2549-0.0655

%% Generar figura de la respuesta paso del%% sistema en lazo cerrado>> step(Gclz)

2.5 Problemas propuestosDiseñar el compensador en tiempo discreto C(z) para el sistema mostrado en la Figura 0.16, tal que los polos de lazo cerrado sean


Fuente: el autor

2.5.2 Hallar la ecuación en diferencia del compensador diseñado en el punto 1. 2.5.3 Un motor dc con excitación independiente tiene la siguiente función de transferencia pulso:

a. Diseñar un compensador digital que haga que el sistema en lazo cerrado tenga las siguientes características: ts = 3s (1 %), Mp = 10 % y un tiempo de muestreo T = 0.2s.

b. Escribir la ecuación en diferencia del compensador obtenido.

2.5.4 Diseñe un controlador digital para el sistema servo posicionador de una antena parabólica, tal que Mp < 10%, tr < 80s. La ecuación de movimiento es la siguiente: . Donde J = 600.000 kg − m2, B = 20.000 N-m-s. Tome

como entrada y como salida.2.5.5 Diseñe un controlador P-D digital para la planta . Se desea que el factor de amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes en lazo cerrado sea de 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 4 rad/s.


2.5.6 Un sistema de una máquina de herramientas tiene la siguiente función de transferencia pulso:

a. Diseñar un compensador digital que haga que el sistema en lazo cerrado tenga las siguientes características ts = 12s (1 %), Mp ≤ 16% y un tiempo de muestreo T = 1s.

b. Escribir la ecuación en diferencia del compensador obtenido.

2.5.7 Escriba la ecuación en diferencia del controlador pid discreto, tomando como salida y como entrada.

2.5.8 Diseñe un sistema de control en tiempo discreto para el sistema mostrado en la Figura 2.17, tal que Mp < 10% y un tiempo de establecimiento ts = 3 s. La ecua-ción diferencial que describe el comportamiento dinámico del desplazamiento x(t) de la masa m del sistema es la siguiente: con m = 1 kg, b = 0.5 N-m/rad-s, k = 1 kg/s2.


Fuente: el autor

2.5.9 Dada la función de transferencia pulso de la planta G(z) y la del compen-sador C(z), hallar el tiempo de establecimiento de la respuesta en lazo cerrado. Tome el tiempo de muestreo T = 1 s y ωd = 0.345 rad/s


2.5.10 El modelo lineal del sistema de levitación mostrado en la Figura 2.18 está dado por:

donde, m = 0.02 kg, k1 = 20 N/m, k2 = 0.4 N/A, R = 50Ω y L = 100 mH.

a. Encuentre la función de transferencia X(s)/V (s) Tomando un tiempo de muestreo T = 0.02 s, calcule la F.T. discreta del sistema, asumiendo que el muestreo se hace con un zoh.

b. Diseñe un controlador digital para controlar la posición x(t) de la bola que cumpla las siguientes especificaciones tr < 0.1s, ts < 0.4s y Mp < 20 %.


Fuente: el autor

2.5.11 Hallar la función de transferencia del sistema de suspensión de un vehículo, como se muestra en la Figura 2.19.



Fuente: el autor

5.2.12 Para el sistema del problema 2.5.11.:a. ¿Qué valores debe tomar el coeficiente de fricción viscosa b para que el

sistema sea oscilatorio?b. Halle b y k para que la respuesta del sistema tenga un coeficiente de

amortiguamiento ζ = 0.7 y ωn = 1 rad/s con una masa m = 1000kg. Don-de la función de transferencia de un sistema de segundo orden está dada por:

2.5.13 Hallar la función de transferencia que relacione el nivel del tanque con el flujo de agua de entrada al tanque del sistema mostrado en la Figura 2.20.2.5.14 Diseñe un compensador en tiempo discreto para una antena cuya fun-ción de transferencia es:

Con las siguientes especificaciones de diseño: sobre impulso Mp < 16 %, tiempo de establecimiento ts < 10s y tiempo de muestreo T = 0.5s. Adicional-mente, encuentre la ecuación en diferencia del controlador.

2.5.15 Dada la función de transferencia de la velocidad de un motor de un carro de carreras:


Diseñar un controlador tal que el tiempo de establecimiento ts = 1s (crite-rio 1 %), el sobre impulso máximo Mp = 3% y el tiempo de muestreo T = 0.1 s.

2.5.16 Diseñar un sistema de control digital para sistema descrito por la fun-ción de transferencia:

Se requiere que el tiempo de establecimiento ts = 0.6 s con un sobre impul-so Mp = 5 % ante una posición deseada r(t).

Figura 2.20. Problema 2.5.13.

Fuente: el autor

2.5.17 Diseñe un controlador digital para el sistema servo posicionador de una antena parabólica, tal que s. La función de transferencia pulso del sistema con un tiempo de muestreo T = 10 s es:

2.5.18 Un motor de dc con excitación independiente, tiene las siguientes ecua-ciones diferenciales que modelan su comportamiento dinámico:


Con = 100Ω, = 500 mH, = 1 v-s, J = 0.1 kg-m2 y b = 1 × 10−3 Nm/rad-s. conde es el voltaje de armadura, la corriente de armadura,

el voltaje de la fuerza contra electromotriz, ω(t) la velocidad angular, el torque del motor, J el momento de inercia del eje del motor, la resistencia de armadura, la inductancia de armadura, la constante del motor, b el co-eficiente de fricción viscosa. Diseñar un compensador digital para la velocidad angular del motor tal que el tiempo de establecimiento = 3 s y ζ = 0.8. Tome como entrada el voltaje de armadura . Grafique el diagrama de bloques del sistema de control diseñado y encuentre la ecuación en diferencia.

2.5.19 Dado el siguiente controlador pi discreto, encuentre la F.T equivalente de un compensador para este controlador y la relación de sus parámetros con las ganancias y del controlador pi.

2.5.20 De acuerdo al sistema descrito en la Figura 2.21 donde las ecuaciones que describen su comportamiento dinámico son:


Fuente: el autor


Donde g = 9,8 m/s2, A1 = A2 = 1 m2, R1 = R2 = 100 m−2s−2 y ρ = 1 kg/m3. Hallar la F.T .

2.6 Diseño basado en la respuesta en frecuenciaEl método de respuesta en frecuencia es una alternativa de diseño, la cual se centra, como su nombre lo dice, en la respuesta en frecuencia del sistema a con-trolar. Se basa en el diagrama de Bode, por esto principalmente es un método gráfico que originalmente se creó para sistemas en tiempo continuo. De aquí, el uso en sistemas en tiempo discreto no es directo, debido al hecho de que en sistemas en tiempo discreto la respuesta en frecuencia es confinada a la mitad de la frecuencia de muestreo . Por lo tanto, es necesario mapear la respues-ta en frecuencia del sistema en tiempo discreto a otro plano que permita usar el método original, para esto se usa una transformación bilineal que mapea el plano z al plano w (James, 2002; Spiegel, Lipschutz, Schiller, & Spellman, 2009), como se muestra en la Figura 2.22, en la que la respuesta en frecuencia, que ahora se llamará frecuencia ficticia, está definida desde −∞ hasta ∞.

2.6.1 Transformada bilineal y el plano wLa transformada bilineal permite mapear la función de transferencia pulso del plano z al plano w. La razón del porqué se quiere tal mapeo, es porque en el pla-no w la respuesta en frecuencia de la función de transferencia pulso se expande de a , donde se llamará frecuencia angular ficticia, y la frecuencia angular. Esta respuesta en el plano es equivalente a la respuesta en frecuencia del sistema tiempo continuo, como se muestra en la Figura 0.22. Así, el método de diseño de controladores basados en la respuesta en frecuencia se puede extender a sistemas en tiempo discreto (Ogata, 1996).

La transformada bilineal de z a w se define como:

Donde T es el tiempo de muestreo y w es una variable compleja. La trans-formada inversa se define como:


Figura 2.22. Mapeo del plano s al plano z y del z a w.

Donde es la frecuencia de muestreo y T el tiempo de muestreo. Donde v es llamada la frecuencia angular ficticia y ω la frecuencia angular

Fuente: el autor

Por lo tanto, la transformada bilineal de una función de transferencia pul-so está definida como:

Y la transformada inversa,

Adicionalmente, una propiedad importante de la transformada w y que nos será útil en el diseño de controladores, es la del teorema del valor final el cuál definimos como:


2.6.2 Análisis de estabilidad relativaLa estabilidad relativa se refiere a las características de la respuesta transitoria de un sistema. Por lo tanto, para el método de respuesta en frecuencia, esta se analizará usando trazas polares de la función de transferencia en lazo abierto G(s) haciendo cerca del punto −1 + j0, (Dorf & Bishop, 2010; Ogata, 1998). Esto se debe a que la forma como esta gráfica polar pasa por el punto −1 + j0 tiene una relación directa con la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado , como se muestra en la Figura 2.24. Allí se puede observar como a medida que los polos complejos conjugados de se acercan al eje complejo , las trazas polares se acercan al punto −1 + j0 sin sobrepasarlo y a su vez, la respuesta transitoria en lazo cerrado se hace más oscilatoria.

Vale la pena anotar que si la parte real de los polos complejos de se hace positiva, la gráfica polar sobrepasaría el punto −1+j0 y en consecuencia se tendría un sistema en lazo cerrado inestable.

Figura 2.23. Sistema en lazo cerrado correspondiente a la función de transferencia

Fuente: el autor

Figura 2.24. Análisis de estabilidad relativa de un sistema de tercer orden con dos polos complejos conjugados


Respuesta Paso Lazo Cerrado G(s)/[1 + G(s)]Diagrama Polar G(jω)

Donde varían alrededor del punto −1 + j0, basados en gráficos polares de la función de

transferencia en lazo abierto G(jω).

Fuente: el autor

2.6.3 Parámetros de diseñoDe acuerdo a lo anterior, vamos a definir un par de parámetros que nos ayuden a caracterizar la respuesta en frecuencia de de tal manera que esta se pue-da relacionar con la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado . Estos parámetros son el margen de fase y el margen de ganancia ( ).

2.6.3.1 Margen de fase El margen de fase se define como la diferencia entre la fase del sistema en lazo abierto cuando la magnitud de esta es igual a uno, y la fase del punto −1 + j0, o sea 180:

Nótese que, si el margen de fase es positivo, el sistema en lazo cerrado es estable, de lo contrario es inestable, ver Figura (2.25).


Figura 2.25. Grafica polar de donde se muestra el margen de fase . a) Margen de fase de un sistema estable ( ), b) margen de fase de un sistema inestable

.

Fuente: el autor

2.6.3.2 Margen de ganancia El margen de ganancia se define como la relación entre uno y la magnitud de

cuando la fase es igual a 180, tal y como se muestra en la Figura (2.26) y se puede calcular como:

Es importante anotar que si , o sea que el punto de cruce por 180

de la magnitud de es menor que uno, el sistema es estable de lo contrario es inestable.

Figura 2.26 Gráfica polar de donde se muestra el margen de ganancia . a) Margen de ganancia de un sistema estable (Kg > 1), b) margen de ganancia de un

sistema inestable (Kg < 1)

Fuente: el autor


Otra forma de analizar los márgenes de fase y ganancia es usando el dia-grama de Bode (Dorf & Bishop, 2010; Ogata, 1998), como se muestra en las Figuras (2.27, 2.28). Este diagrama tiene la ventaja de que muestra en gráficos separados el comportamiento de la magnitud y fase en función de la frecuencia angular, razón por la cual estos son usados para el diseño de compensadores basados en la respuesta en frecuencia. En la Figura (2.27) se observa el diagra-ma de Bode correspondiente al gráfico polar de las Figuras a) de 2.25, 2.26, los cuales representan a un sistema estable en lazo cerrado; y en la Figura (2.28) se observa el diagrama de Bode correspondiente al gráfico polar de las Figuras b) de 2.25, 2.26, los cuales representan a un sistema inestable en lazo cerrado.

Figura 2.27. Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia de un sistema estable.

Fuente: el autor

Figura 2.28. Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia de un sistema inestable

Fuente: el autor


Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta en el tiempoEn la Figura 2.29 se muestra el gráfico de magnitud de un diagrama de Bode, típico de un sistema de segundo orden.

Figura 2.29. Gráfica de magnitud del Diagrama de Bode

Fuente: el autor

Las relaciones más importantes que tenemos son las siguientes:

Donde es la magnitud pico de resonancia y el ancho de banda de la respuesta en frecuencia. Adicionalmente, el margen de fase y el coeficiente de amortiguamiento se relacionan en forma directa de acuerdo a la siguiente ecuación (Ogata, 1998, p.5551),

Para el rango entre 0 ≤ ζ ≤ 0.6 esta relación la podemos aproximar a:


O sea que un margen de fase de 50 corresponde a un sistema con un coe-ficiente de amortiguamiento de 0.5.

2.6.4 Métodos de diseñoLuego de la introducción realizada en las secciones anteriores, se pueden des-cribir los métodos de diseño basados en la respuesta en frecuencia, esto debido al hecho de que existen básicamente tres tipos de compensadores: adelanto, atraso y adelanto-atraso, para cada uno de ellos hay un método diferente, como se analizará a continuación.

Figura 2.30. Lazo cerrado de un sistema de control en el plano w

Fuente: el autor

Donde C(w) es la función de transferencia del compensador en w y G(w) la de la planta que se quiere controlar.

2.6.4.1 Compensadores en adelantoLa función de transferencia de un compensador en adelanto en el plano w se puede representar de la siguiente manera:

De aquí que el diagrama de Bode sea el que se muestra en la Figura 2.31, en la que es la fase máxima que se puede dar a la frecuencia ficticia , don-de es la frecuencia ficticia central, que corresponde a la media geométrica entre las frecuencias ficticias de corte y , o sea:

Para esta misma frecuencia, la magnitud esta dada por:


En dB se puede expresar como 20log(1/√α).

Figura 2.31. Diagrama de Bode de un compensador en adelanto en el plano w

Fuente: el autor

Otra relación importante para el diseño de estos compensadores es la de con la cual se obtiene evaluando la fase del compensador en adelanto,

ecuación (2.11), para , por lo tanto:

Donde. . Ahora, si tomamos la tangente en ambos lados de la ecuación (2.14) se obtiene:

Luego, usando identidades trigonométricas, se tiene que:

Ahora, de (2.13) se puede deducir que , adicionalmente reemplazando (2.12) en las relaciones anteriores nos da que

y . Por lo tanto, al sustituir estos términos en (2.15) se tiene que:


Finalmente, despejando α de (2.16) da como resultado:

Una vez definidos estos parámetros, se puede empezar a describir el méto-do de diseño para este tipo de compensadores, pero esto se hará desarrollando un ejemplo. Es importante anotar que el diseño se hace todo en el plano w, luego se lleva al plano z la función de transferencia obtenida del compensador en el plano w.

Ejemplo 5Diseñar un compensador en adelanto en el plano w para controlar el ángulo de rotación de una antena parabólica con las siguientes especificaciones de diseño: γd = 50, Kgd > 10dB, tiempo de muestreo T = 1s y una constante de error estático de velocidad Kv = 0,5s−1. La función de transferencia de la planta es:

SoluciónComo el diseño se realiza en el plano w, lo primero que se debe hacer es trans-formar la función de transferencia de la planta a este plano. Para esto primero se transforma a y luego a como sigue:

Luego, de acuerdo a (2.7) se tiene que:


Una vez se tenga transformada la función de transferencia de la planta al plano w, se procede a hacer cumplir con la condición de . Por lo tanto, se tie-ne que adicionar una ganancia a la función de transferencia del compensador

ecuación (2.11), de aquí tenemos:

Por definición:

De aquí podemos calcular la ganancia K de la siguiente manera:

Ahora evaluando el límite se tiene:

Acá es importante anotar que si la función de transferencia de la planta no tuviera el polo en w = 0, que es equivalente con una acción integradora, el límite no se podría evaluar a no ser que se le adicione un polo en w = 0 al compensador.

Se debe tener en cuenta que el margen de fase y ganancia se miden sobre el diagrama de Bode de la función de transferencia en tiempo continuo , ver Figura (2.23), que corresponde para nuestro caso en el plano w al producto

, ver Figura (2.30). En consecuencia, el margen de fase y ganancia de-seados se deben hacer cumplir en el diagrama de Bode del producto . Entonces, con el fin de diseñar el compensador en adelanto, cuya función de transferencia en w está definida en (2.11), se procede de la siguiente manera: se grafica el diagrama de Bode del producto sin tener en cuenta , que para el caso del problema en cuestión es , Figura 2.32.

En esta Figura se puede observar como parte del título dos valores, el pri-mero son las siglas en inglés para Gain margin, o margen de ganancia, y el


segundo para Phase margin, margen de fase. Para el margen de ganancia se tiene y para el de fase , el subíndice 0 corresponde a margen de fase y ganancia sin compensador

Una vez se conocen los valores de margen de fase y ganancia sin compen-sador, se procede a calcular la fase máxima que debe aportar el compensa-dor en función de las especificaciones de diseño propuestas. Entonces:

Figura 2.32. Diagrama de Bode de realizado a través del comando margin de Matlab

Bode DiagramGm = 12.2 dB (at 0.451 rad/s) , Pm = 19.1 deg (at 0.213 rad/s)

Fuente: el autor

Donde FA es un factor de ajuste que se puede escoger entre 0 ≤ FA ≤ 12. Este factor sirve para contrarrestar el corrimiento a la derecha del cruce por 0dB en magnitud del diagrama de Bode de , cuando se adicione el efecto del compensador sin ganancia . El valor de FA depende de la pendiente de la curva de fase hacia la derecha del punto actual de cruce por 0dB. Para nuestro ejemplo, como está es pronunciada tomaremos un , en caso de que al final del diseño nos desviemos mucho del margen de fase deseado , se puede ajustar este valor a prueba y error hasta obtener los valores deseados. Como resultado tenemos que:


Ahora, con se puede calcular usando (2.17):

Figura 2.33. Diagrama de Bode de donde se ubica la frecuencia rad/s en la cual la magnitud es 20log(α) = −7.21dB


Fuente: el autor

Ahora, los parámetros que se deben calcular para definir el compensa-dor son α y τ, como ya se conoce α, se halla τ. Para calcular τ, se parte del he-cho de que la magnitud del compensador en dB sin ganancia K, para, es , ver Figura (2.31). Luego, es importante resaltar el hecho de que la máxima compensación en fase se da a la frecuencia ficticia , en consecuencia, a esa misma frecuencia se debe dar el cruce por 0dB de la mag-nitud del Bode de Cf(w)G(w) para poder así garantizar el margen de fase desea-do. Por lo tanto, para hallar vc se debe buscar sobre la magnitud del gráfico de Bode de KG(w) el valor contrario al que aporta el compensador, o sea 20log(√α) =


−7.2133dB, y se toma el valor de la frecuencia en ese punto como . En la Figura (2.33), podemos observar dentro del recuadro de la gráfica de magnitud el punto donde = −7.21dB, tomado manualmente con la ayuda del Data Cursor de la ventana de figuras del Matlab. En este punto podemos leer que la frecuencia ficticia 0.334rad/s Luego, usando la ecuación (2.12) se calcula τ como sigue:

Finalmente, la ecuación de transferencia del compensador en adelanto en el plano w queda definida como:

Para validar el diseño se realiza el diagrama de bode de C(w)G(w) y se verifica si se cumple con el margen de fase y ganancia deseados.

Figura 2.34. Diagrama de Bode del sistema compensado en lazo abierto C(w)G(w). Margen de fase y el margen de ganancia Kg = 14.9dB


Fuente: el autor


Como se puede observar en la Figura (2.34), el margen de fase γ = 50.2 a una frecuencia vc = 0.334rad/s y el margen de ganancia Kg = 14.9dB, indica que el diseño esta correcto.

Finalmente, se transforma del plano w al z el controlador diseñado, esto se hace usando la ecuación (2.8) como sigue:

Ahora, simulamos la respuesta en lazo cerrado en el tiempo ante una en-trada paso unitario, ver Figura (2.36).

Figura 2.35. Diagrama de bloques del sistema de control discreto en lazo cerrado

Fuente: el autor

Figura 2.36. Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado

Fuente: el autor


Código de MatlabDiseño de Compensadores en Adelanto Basados en la Respuesta en Frecuencia

%% Definición planta en sGps=tf(1,[10 1 0]).zpk(Gps)ans =

0.1----------s (s+0.1)

Continuous-time zero/pole/gain model.%% Discretización ZOH con T = 1sT=1. % Tiempo de muestreoGz=c2d(Gps,T).zpk(Gz)ans =

0.048374 (z+0.9672)------------------------- (z-1) (z-0.9048)

Sample time: 1 secondsDiscrete-time zero/pole/gain model.%% Transformación de G(z) a G(w) usando la %% transformada bilinealGw=d2c(Gz,’tustin’).zpk(Gw)ans =

-0.00041625 (s+120) (s-2)------------------------------- (s+0.09992)

% aunque la respuesta que se muestra matlab % está en s, estamos en el plano w.%% Grafico diagrama de bode de KG(w) para %% conocer el margen de fase y ganancia sin %% compensadorK=0.5.margin(K*Gw)%% Cálculo de máxima compensación en fase phi_mgamma_d=50.gamma_0=19.1.


FA=12.phi_m=gamma_d-gamma_0+FAphi_m = 42.9000%% Cálculo de alfaalfa=(1-sind(phi_m))/(1+sind(phi_m))alfa = 0.1900%% Cálculo de la magnitud del compensador sin %% ganancia en v=v_c en dB20*log10(sqrt(alfa))ans = -7.2133 vc=0.334%% Cálculo de taotao=1/(vc*sqrt(alfa))tao = 6.8817%% Validación del diseñoCw=tf(K*[tao 1],[alfa*tao 1]).CwGw=Gw*Cw.margin(CwGw)%% Transformación del plano w al z del %% controlador diseñadoCz=c2d(Cw,T,’tustin’).zpk(Cz)ans =

2.0422 (z-0.8645)--------------------- (z-0.4467)

Sample time: 1 secondsDiscrete-time zero/pole/gain model.%% Respuesta paso unitario del sistema %% controlado en lazo cerradoGclz=feedback(Gz*Cz,1). %% Cálculo de la F.T %% en lazo cerradostep(Gclz).

2.6.4.2 Compensadores en atrasoLa función de transferencia en el plano w de un compensador en atraso es igual que la de uno en adelanto, ecuación (2.11), la diferencia radica en que el valor de es mayor a uno, así tendremos:


Figura 2.37. Diagrama de Bode de un compensador en atraso en el plano w

Fuente: el autor

El diagrama de Bode de este compensador es el que se muestra en la Fi-gura (2.37), como se puede apreciar en esta figura, el hecho de que α sea mayor que 1 implica un cambio en la posición del polo y cero de la función de trans-ferencia del compensador, cambiando totalmente su respuesta en frecuencia. Ahora, la compensación es negativa, por eso el nombre de compensador en atraso, debido a esto el método de diseño es totalmente diferente al del com-pensador en adelanto, como se analizará a continuación. Debido al hecho que la máxima compensación en fase es negativa, si se quisiera usar este compen-sador como uno en adelanto, el efecto sería que el margen de fase se haría más negativo volviendo el sistema en lazo cerrado inestable, algo que no se quiere que pase. De aquí, el método de diseño debe evitar usar el efecto de la fase cerca del punto de cruce por cero dB y así evitar que el sistema se haga inestable. Por lo tanto, lo que se hace es tomar la gráfica de fase del sistema sin compensar y ubicar el margen de fase deseado. Luego, con ayuda de la gráfica de magnitud del compensador hacer que el cruce por cero dB ocurra a la frecuencia del margen de fase deseado. Para esto, debemos primero analizar cuál es el valor de la magnitud del compensador para frecuencias muy altas, mucho mayores que la de la máxima compensación de fase negativa, para esto se resuelve el siguiente límite:


Una vez analizado este límite, se puede empezar a describir el método de diseño a través de un ejemplo.

Figura 2.38. Esquema sistema de tanque de agua

Fuente: el autor

Ejemplo 6Se desea diseñar un compensador en atraso para controlar el nivel de agua en un tanque cilíndrico como el mostrado en la Figura (2.38), la función de trans-ferencia del tanque es la siguiente:

Donde R = 20000kg/(m4−s) es la resistencia hidráulica, A = 0.5m2 el área transversal del tanque, ρ = 1000kg/m2 la densidad del agua, g = 9.8m/s2 la grave-dad, Fin el flujo volumétrico de entrada de agua y H la altura del nivel de agua en el tanque. Las especificaciones de diseño para el controlador son que el margen de fase deseado γd sea de 50 y el de ganancia Kg mayor a 10dB. Tome un tiempo de muestreo T = 0.1s.

1. Igual que para el diseño del compensador en adelanto, el diseño se debe hacer en el plano w, razón por la cual, lo primero que se debe realizar es trans-formar la planta del plano s al z y luego al w.


2. Luego, se debe definir la estructura del compensador, o sea si se necesita ganancia K o un polo en w = 0. Como en este problema no existe ninguna es-pecificación para la constante de error estático de velocidad Kv, a la función de transferencia del compensador no se le agrega ganancia K. Sin embargo, para garantizar error cero en estado estable, como ya se vio en capítulos anteriores el producto entre C(w)G(w) debe tener un polo en w = 0, se debe agregar un polo en w = 0, puesto que esta premisa no se cumple en el actual problema, como resultado se tiene:

3. Una vez definida la función de transferencia del compensador, se procede a graficar el Bode de G(w)/w que corresponde a la función de transferencia del producto C(w)G(w) sin la estructura básica del compensador Cb(w), ecuación (2.19).

Figura 2.39. Diagrama de Bode de G(w)/wGm = 19.8 dB (at 4.43 rad/s) , Pm = 34.3 deg (at 1.26 rad/s)

Fuente: el autor


4. A diferencia del compensador en adelanto, para ubicar el nuevo punto de cruce por cero dB, se ubica el margen de fase deseado sobre la gráfica de fase del Bode del punto anterior, más un factor de ajuste FA que puede estar entre 5 y 12, esto para corregir el efecto de la fase del compensador en atraso que en ese punto es leve, pero existe. Por lo tanto, la ecuación para calcular el margen de fase de diseño es:

En el problema se pide un margen de fase deseado de 50, y si se toma un se tiene que:

Este corresponde sobre la gráfica de fase a como se muestra en la Figura (2.40). En este punto, se lee la frecuencia rad/s y con este dato se calcula la frecuencia de corte mayor del compensador que corresponde a , que debe ser estar ubicada una década menor a , entonces:


Figura 2.40. Gráfica de Bode de G(w)/w donde se muestra la selección del margen de fase deseado

Gm = 19.8 dB (at 4.43 rad/s) , Pm = 34.3 deg (at 1.26 rad/s)

Fuente: el autor

5. Luego se calcula el valor de α. Para esto, se toma la ecuación (2.20), la cual indica que el valor de la magnitud del compensador en atraso para frecuencias muy altas es igual a 1/α. En consecuencia, como se necesita que el nuevo cruce por cero dB esté ubicado en la frecuencia vi, la suma en decibelios de la magni-tud del compensador, ecuación (2.19), y de G(w)/w en vi debe ser igual a cero, de aquí, la magnitud del compensador para vi, donde vi es mucho mayor a 1/τ por lo que se pueda considerar muy alta, debe ser igual a 1/α, como resultado de este análisis se obtiene la siguiente expresión:

Para obtener el valor de en el problema, se lee el valor de magnitud para vi

en la Figura (2.40) y se remplaza en (2.22), o sea:


despejando para se tiene:

6. Una vez calculados , se procede a validar el diseño. Para la validación se dibuja el diagrama de Bode de y se observa si el margen de fase y ganancia cumplen con las especificaciones de diseño. En la Figura (2.41) se muestran el margen de fase y ganancia obtenidos de que son res-pectivamente . Este resultado indica que el diseño cumple con las especificaciones de diseño.

Figura 2.41. Diagrama de Bode de C(w)G(w) para validación del diseño del compensador en atraso

Gm = 27.8 dB (at 4.33 rad/s) , Pm = 51 deg (at 0.652 rad/s)

Fuente: el autor


7. Después de ser validado el diseño, se transforma C(w) a C(z) usando (2.8), como resultado se obtiene:

La respuesta paso unitario del sistema de control en lazo cerrado se mues-tra en la Figura (2.41). Ahí se puede observar que la respuesta es lenta en es-tabilizarse en el valor deseado, este es el efecto de correr el cruce por cero dB hacia la derecha, puesto que esto disminuye el ancho de banda del sistema, haciendo la respuesta lenta, pero muy robusta ante perturbaciones o ruidos de alta frecuencia.

Figura 2.42. Respuesta paso unitario sistema de control en lazo cerrado

Fuente: el autor


Código de MatlabDiseño de Compensadores en Atraso Basados en la Respuesta en Frecuencia

%% Función de transferencia en tiempo continuo

Gps=tf(2,[1 0.98]).zpk(Gps)

ans =

2---------(s+0.98)

%% Discretización de la planta con un tiempo%% de muestreo T = 0.1 s.

T=0.1.Gz=c2d(Gps,T).zpk(Gz)

ans =

0.19051------------(z-0.9066)

%% Transformación de G(z) al plano w

Gw=d2c(Gz,’tustin’).zpk(Gw)

ans =

-0.09992 (s-20)------------------- (s+0.9792)

%% Diagrama de Bode de G(w)/w

Cw_integrador=tf(1,[1 0]). % integradormargin(Gw*Cw_integrador)

%% De la gráfica de Bode de G(w)/w se leen%% v1 y mag_v1 para calcular alfa y tao.

v1=0.649. % Frec. del nuevo cruce por 0 dBtao=10/v1 % 1/tao=v1/10tao = 15.4083

mag_v1=8.35. % Mag. en dB para la frec. v1alfa=10^(mag_v1/20)


alfa = 2.6152

%% Validación del diseño

% compensador sin integrador C_b(w)C_bw=tf([tau 1],[alfa*tau 1]).

% compensador completoCw=(Cw_integrador*C_bw). zpk(Cw)

ans = 0.38238 (s+0.0643)----------------------- s (s+0.02459)

margin(Cw*Gw).

%% Transformación de G(w) a G(z)Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).zpk(Cz)

ans =

0.019157 (z+1) (z-0.9936)------------------------------- (z-1) (z-0.9975)

Sample time: 0.1 seconds

%% Respuesta paso en lazo cerrado

Gclz=feedback(Cz*Gz,1)step(Gclz)

2.6.4.3 Diseño de compensadores usando el método analítico en tiempo discretoEl método analítico se fundamenta en una representación diferente de la fun-ción de transferencia en el plano w de un compensador (How & Frazzoli, 2010), como se muestra en (2.23).

Ahora, comparándola con la ecuación original de un compensador


Se pueden establecer las siguientes relaciones:

Por lo tanto, en este método de diseño se deben seguir los siguientes pasos:Establecer la frecuencia ficticia de cruce por cero de acuerdo a las espe-

cificaciones de ancho de banda. Es importante anotar que el aporte en fase para la seleccionada , no sea mayor a 60°.

Una vez definidos y , hallar

Luego se calculan z y p,

Finalmente, se calcula K tal que se garantice que la ganancia de cruce por cero dB (ganancia igual a uno) del producto de la planta por el controlador,

, en , sea igual a uno, de aquí que se debe satisfacer la siguiente ecuación:

Ejemplo 6aEn este ejemplo se resolverá el problema del ejemplo 6 pero usando el método analítico, por lo tanto, partimos de la función de transferencia de la planta en el plano w:


Al igual que en el ejemplo 6, a la estructura del compensador se le agrega un polo en w = 0 para garantizar un error de estado estable igual a cero, de aquí:

Ahora se grafica el diagrama de Bode de para seleccionar un de tal forma que el ancho de banda sea lo mayor posible, esto con el fin de re-ducir el tiempo de establecimiento de la respuesta en lazo cerrado. En la Figura 2.41 se observa el diagrama de Bode, en el que se puede apreciar que se puede tomar cuando la fase es 180o, debido a que el aporte en fase del compensador,

en ese punto sería de 50°. Así, la frecuencia coincide con la frecuencia del margen de ganancia que es 4.43 rad/s. Ahora se calcula :

Finalmente, se calcula la ganancia K:

Como resultado, la función de transferencia en el plano w y z son, respectivamente:

En la Figura 2.43 se muestra el diagrama de Bode resultante del producto de , donde se puede observar que el diseño cumple con las especifi-caciones de diseño.


Figura 2.43. Diagrama de Bode de

Fuente: el autor

La Figura 2.44 muestra la respuesta paso del sistema en lazo cerrado, se puede observar cómo mejora la velocidad de la respuesta comparada con la de los diseños de los ejemplos 5 y 6, esto es debido a que se escogió una mayor que la de los ejemplos anteriores.


Fuente: el autor


Código MatlabDiseño de Compensadores Usando el Método Analítico para la Respuesta en Frecuencia

%% Función de transferencia en tiempo continuos=tf(‘s’)Gps=2/(s+0.98).zpk(Gps)ans =

2---------(s+0.98)

%% Discretización de la planta con un tiempo de muestreo T = 0.1 s.

T=0.1.Gz=c2d(Gps,T).zpk(Gz)ans =

0.19051------------(z-0.9066)


Gw=d2c(Gz,’tustin’).zpk(Gw)ans =

-0.09992 (s-20)------------------ (s+0.9792)

%% Diagrama de Bode de G(w)/w

Cw_integrador=1/s. % integradormargin(Gw*Cw_integrador)

%% Diseño del compensador Método Analítico%%

fi_m=50.

vc=4.43.

alfa=(1-sind(fi_m))/(1+sind(fi_m)).

z = vc*sqrt(alfa).p = vc/sqrt(alfa).


Caw=(s+z)/(s+p).K=abs(evalfr(1/(Gw*Cw_integrador*Caw),j*vc))

Cw=Cw_integrador*K*(s+z)/(s+p).zpk(Cw)

ans =

26.978 (s+1.612)-------------------- s (s+12.17)


margin(Cw*Gw).

%% Transformación de Gc(w) a Gc(z)

Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).zpk(Cz)

ans =

0.90619 (z+1) (z-0.8508)---------------------------- (z-1) (z-0.2433)



Gclz=feedback(Cz*Gz,1) step(Gclz)

2.6.4.4 Compensadores en adelanto-atrasoOtro tipo de compensador que combina tanto las características como los mé-todos de diseño de los anteriores, es el de adelanto-atraso. La función de trans-ferencia en el plano w es la siguiente:

Claramente se puede observar en (2.25) que esta función de transferencia está compuesta por un compensador en adelanto y otro en atraso. El diagra-ma de Bode para este compensador se puede observar en la Figura (2.45). Un parámetro importante para el diseño es la magnitud del compensador en


, ver Figura 2.45, de acuerdo a esta Figura, se puede relacionar con como sigue:

El método de diseño se describirá a través de un ejemplo. A continuación, se tomará el problema del ejemplo 6 para desarrollar y explicar el método en el ejemplo 7.

Figura 2.45. Diagrama de Bode de un compensador adelanto-atraso

El valor de la magnitud en dB para es

Fuente: el autor

Ejemplo 7En este ejemplo, se tomará la función de transferencia de la planta del ejemplo 6, ecuación (2.21), al igual que las especificaciones de diseño. Adicionalmente, se incluirán en las especificaciones que el error estático de velocidad Kv = 40 s−1.

SoluciónLo primero que se debe hacer es transformar la función de transferencia al pla-no w, por lo tanto, del ejemplo 6, se tiene:

Ahora, como está el requerimiento de , se debe adicionar una ganancia K al controlador para poder hacer cumplir este requisito. De otro lado, para


garantizar un error cero de estado estable, el producto entre y G(w) debe tener un polo en w = 0, en consecuencia, como la planta no lo tiene, se le debe adicionar este a la función de transferencia del controlador, como resultado la función de transferencia del controlador modificada C(w) es la siguiente:

Una vez definida la función de transferencia modificada del compensa-dor, se puede calcular la ganancia K, usando la definición de Kv,

Despejando para K se obtiene:

K =19.5997.

Luego, se dibuja el diagrama de Bode de , Figura 2.46, para po-der diseñar la parte básica del compensador que corresponde a la función de transferencia ecuación (2.25).


Figura 2.46. Diagrama de Bode de y cálculo de la frecuencia ficticia Gm = −6.02 dB (at 4.43 rad/s) , Pm = −8.94 deg (at 6.37 rad/s)

Fuente: el autor

Después, se calcula el valor de α2 correspondiente al compensador en ade-lanto. Para esto se toma como referencia el cruce de la fase por 180 en la Figura 2.46, en este punto la compensación en fase debe ser de 50, igual que el margen de fase deseado menos un factor de ajuste (fa) que puede estar entre 5 y 12 grados. Este fa se utiliza para compensar el margen de fase adicional que se origina por el corrimiento del cruce por cero dB hacia la izquierda, al momento de hacer la compensación en magnitud. En consecuencia, para este ejemplo se puede tomar , así:

Con el se puede calcular la magnitud para en el compen-sador.


Entonces, para calcular el se busca en el gráfico de magnitud el valor negativo de y en ese punto se toma el valor de , Figura 2.46.

Calculado , se procede a calcular de la siguiente manera: Para , con base en las ecuaciones del compensador en adelanto se tiene:

Para calcular se toma que:

Finalmente, para , como se requiere que la magnitud para valores altos de frecuencia del compensador en atraso sea de −20dB, y conociendo que la magnitud bajo estas condiciones es igual a , sección 2.6.4, se tiene:

De donde se obtiene Una vez calculados todos los parámetros del compensador adelanto-atra-

so, se procede a hacer la validación del diseño; para esto se grafica el diagrama de Bode de C(w)G(w) y se compara el margen de fase y ganancia obtenidos con los especificados en el problema. La función de transferencia del compensador diseñado es la siguiente:

La Figura 2.47 muestra el diagrama de Bode para a validación del diseño. En esta gráfica se puede observar que el diseño se ajusta muy bien a lo especi-ficado en el problema. Otro aspecto importante de este diseño, es que no hubo una gran disminución del ancho de banda, lo que garantiza una respuesta rápi-da, como se muestra en la respuesta paso unitario, Figura 2.48.


Figura 2.47. Diagrama de Bode de C(w)G(w) para la validar el diseño del compensador adelanto-atraso

Fuente: el autor

Finalmente, después de validado el diseño se procede a transformar a z la función de transferencia del compensador en w, en consecuencia:

Como prueba final, se simula la respuesta paso del sistema para observar su comportamiento en el tiempo, ver Figura 2.48, en la que se puede corroborar el buen desempeño del sistema de control.


Figura 2.48. Respuesta paso en lazo cerrado del sistema de control diseñado

Fuente: el autor

Código de MatlabDiseño de Compensadores en Adelanto-Atraso Basados en la Respuesta en Frecuencia

%% Función de transferencia en tiempo continuo

Gps=tf(2,[1 0.98]).zpk(Gps)

ans =

2---------(s+0.98)

%% Discretización de la planta con un tiempo de %% muestreo T = 0.1 s.

T=0.1.Gz=c2d(Gps,T).zpk(Gz)

ans =

0.19051-----------(z-0.9066)



Gw=d2c(Gz,’tustin’).zpk(Gw)

ans =

-0.09992 (s-20)----------------- (s+0.9792)

%% Cálculo de la constante K

Kv=40.w=0.lim_Gw=-0.09992*(w-20)/(w+0.9792)K=Kv/lim_Gw

%% Diagrama de Bode de K/w*G(w)

Cw_integrador=tf(K,[1 0]). % integradormargin(Gw*Cw_integrador)

%% Calculamos alfa_2 para el compensador en adelanto %% basados en el Bode de K/w*GwFA=8.gamma_d=50.fi_m=gamma_d-FA

fi_m = 42.0

alfa_2=(1-sind(fi_m))/(1+sind(fi_m))

alfa_2 = 0.1982

%% Valor de la magnitud (Mc) del compensador %% atraso-adelanto para v=vc

Mc=-20-20*log10(sqrt(alfa_2))Mc = -12.9717

%% Sobre la gráfica de magnitud del Bode buscamos %% el valor de menos Mc y tomamos el valor de %% frecuencia v=vc, y calculamos tao_2, tao_1 y %% alfa_1

vc=2.92tao_2=1/(vc*sqrt(alfa_2))tao_2 = 0.7692


tao_1=10*tao_2tao_1 = 7.6919

alfa_1=10.

%% Construcción del compensador

% compensador en adelantoC_fw=tf([tao_1 1],[alfa_1*tao_1 1]).

% compensador en atraso C_bw=tf([tao_2 1],[alfa_2*tao_2 1]).

% compensador CwCw=C_fw*C_bw*Cw_integrador. zpk(Cw)

ans =

9.8874(s+1.3)(s+0.13) --------------------------- s(s+6.558)(s+0.013)


margin(Cw*Gw).

%% Transformación de G(w) a G(z)

Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).zpk(Cz)

ans =

0.39881(z+1)(z-0.9871)(z-0.8779)-------------------------------------- (z-1)(z-0.9987)(z-0.5061)



Gclz=feedback(Cz*Gz,1)step(Gclz)

2.6.4.5 EmulaciónEste método de diseño (Franklin et al., 1998) tiene como característica que se hace el diseño del compensador en tiempo continuo, para finalmente discre-tizar la función de transferencia obtenida haciendo un mapeo de polos, ceros y ganancia, usando la relación , donde T es el tiempo de muestreo.


El desempeño de los sistemas de control diseñados bajo este esquema puede no ser tan bueno como uno diseñado con los métodos anteriores, esto debido al hecho de que al diseñar un compensador en tiempo continuo no se está teniendo en cuenta dos aspectos importantes: 1) los efectos de la conversión análoga-digital-análoga de las señales y 2) que la información dinámica solo se conoce en instantes discretos de tiempo; fenómenos que sí se tienen en cuenta en los otros métodos y por ende estos presentan mayores desempeños. De otro lado, el mapeo de polos, ceros y ganancia de una función de transferencia del plano s al z se hace teniendo en cuenta las siguientes indicaciones:

1. Los polos se mapean usando la relación 2. Los ceros finitos se mapean usando la relación 3. Los ceros en el infinito, , se mapean haciendo . Conocien-

do que un cero es un valor que toma la variable s de tal forma que la magnitud de la función de transferencia se hace cero. Por lo tanto, en un sistema en el que el orden del numerador es menor que el del deno-minador, siempre se tendrán ceros en el infinito. Por ejemplo, dada la siguiente función de transferencia:

Se tiene un cero en el infinito porque el orden del numerador es uno y el del denominador dos, así la diferencia es uno. Esto se puede demostrar si aplicamos el límite a H(s) cuando s tiende a infinito, entonces:

Dividiendo el numerador y denominador por s y resolviendo el límite se tiene que:


Entonces cuando s → ∞, H(s) → 0 por lo que se puede decir que se tiene un cero en el infinito. En general, para saber cuántos ceros en el infinito tiene una función de transferencia, se resta el orden del polinomio del numerador al del denominador. Los ceros en el infinito se mapean de la siguiente manera: dado, por ejemplo:

Caso 1. Dado:

• Se calcula el número de ceros en el infinito como la diferencia entre el orden del denominador menos la del numerador. Para C(s) el número de ceros en el infinito es dos.

• Luego, se mapean ceros en el infinito en z = −1, hasta hacer que el orden del numerador de C(z) sea igual a n − 1, donde n es el orden del denomi-nador, por lo tanto, solo se mapea un cero en el infinito:

Caso 2: Dado:

• El número de ceros en el infinito son dos, se mapea solo un cero en el in-finito porque el orden del numerador debe ser n − 1 = 2, como resultado se obtiene:

Caso 3: Dado:

• Tenemos un cero en el infinito, no se mapea ningún cero porque el orden del numerador ya es igual a n − 1 = 1, por lo tanto:


Caso 4: Si no se tienen ceros en el infinito se mapean todos los polos y cero finitos normalmente:

Se mapea a:

Aquí no hay problema con que el orden del numerador sea igual al del denominador.

La ganancia del compensador en z se calcula evaluando la siguiente igualdad:

A continuación, se desarrolla un ejemplo de diseño.

Ejemplo 8Se desea diseñar un compensador por el método de emulación tal que el coefi-ciente de amortiguamiento ζ sea de 0.5 y el tiempo de establecimiento de 7 s. La función de transferencia de la planta es la siguiente:

Como resultado de usar el método basado en la respuesta en el tiempo para diseñar el compensador en tiempo continuo, se obtuvo la siguiente fun-ción de transferencia del compensador:

Una vez se tiene la función de transferencia del compensador en tiempo continuo, se procede a discretizarla siguiendo los pasos descritos arriba, como se muestra a continuación:


1. Se calcula el tiempo de muestreo basado en la medición de un periodo de oscilación de la respuesta paso del sistema en lazo cerrado , Figura 2.49. Para este ejemplo es de 6 s, por lo tanto, se puede tomar un tiem-po de muestreo T = 0.3 s.

2. Luego se mapean los polos usando la relación . Por lo tanto:

3. Ahora los ceros finitos:

Para esta función de transferencia no existen ceros en el infinito, se re-cuerda que el número de ceros en el infinito es igual a la diferencia entre el orden del polinomio del numerador con el del denominador.

Figura 2.49. Respuesta paso en lazo cerrado del sistema de control en tiempo continuo

Fuente: el autor

4. El cálculo de la ganancia la hacemos usando la ecuación (2.29), pero pri-mero se debe definir la función de transferencia pulso del compensador G(z). Para hacer esto, se tiene en cuenta el número de ceros y polos defi-nidos en los puntos anteriores, así el compensador discretizado tendrá la siguiente estructura:


Una vez definido G(z), se puede calcular la ganancia K de la siguiente manera:

Para este caso no se puede calcular K, debido a que al evaluar el límite cuando s → 0 de Gc(s) nos daría como resultado infinito. En consecuen-cia, se debe aproximar el límite para cuando s → 0 al límite s → 1 × 10−3, lo que implica que el límite para cuando z → 1 debe cambiar al límite z → 1.0003, teniendo en cuenta que z = eTs. Como resultado tenemos:

Ahora, evaluando los límites y despejando para K se obtiene,

Finalmente, la función de transferencia del compensador discretizado queda definida como:

La Figura 2.49 muestra la respuesta paso en lazo cerrado usando el com-pensador en tiempo continuo (línea discontinua) y en tiempo discreto (línea continua). Como se puede observar, las respuestas son similares con una pequeña diferencia en el sobre impulso, algo que es normal de-bido al error que introduce el método de diseño, lo cual ya fue explicado en la introducción de esta sección.



La línea discontinua corresponde a la respuesta del controlador en tiempo continuo y la continua en tiempo discreto.

Fuente: el autor

Código de MatlabDiseño de Compensadores por Emulación

%% Función de transferencia de la plantaGps=tf(2,conv([1 1],[1 3]))zpk(Gps)

ans =

2-------------(s+3) (s+1)

%% Función de transferencia del controlador diseñad%% en tiempo continuo

Gcs=tf([1 2.16],[1 0])

Gcs =

s + 2.16--------- s

%% Cálculo de la función de transferencia en lazo%% cerrado

Gcls=feedback(Gcs*Gps,1)zpk(Gcls)


ans =

2 (s+2.16)-------------------------------------(s+2.754) (s^2 + 1.246s + 1.569)

%% De la respuesta paso en lazo cerrado podemos%% obtener aproximadamente el valor de Td para %% calcular el tiempo de muestreo T

step(Gcls)

Td=6.T=Td/20.

%% Discretización del controlador %% Gc(z)=K(z-z1)/(z-p1)%% Mapeo de polos

z1=exp(T*-2.16)z1 = 0.5231

%% Mapeo de ceros finitos en cero

p1=exp(T*0)p1 = 1

%% Cálculo de la ganancia K del controlador%% Gc(z)

s=1e-3.z=exp(T*s)

K=(s+2.16)*(z-p1)/(s*(z-z1))

%% El controlador discretizado Gc(z)

Gcz=tf(K*[1 -z1],[1 -p1],T)zpk(Gcz)

Gz=c2d(Gps,T).Gclz=feedback(Gz*Gcz,1)

step(Gclz)hold onstep(Gcls)

2.7 Problemas propuestos2.7.1 Diseñe un compensador digital usando el método de emulación para una antena cuya función de transferencia es:


Con las siguientes especificaciones de diseño: Mp < 16%, ts < 10 s y tiempo de muestreo T = 0.5s.2.7.2 Demostrar que la magnitud de un compensador en atraso evaluada cuan-do la frecuencia ω tiende a infinito es igual a 1/α, donde la función de transfe-rencia del compensador está dada por:2.7.3 Demostrar que en un compensador en adelanto:

2.7.4 Dado el diagrama de Bode en el plano, Figura 2.51, diseñar un compensa-dor, adelanto o atraso, tal que el margen de fase γD = 60o y el margen de ganancia Kg > 12 dB.

2.7.5 Demostrar que el círculo unitario del plano complejo , mapea al semiplano complejo izquierdo del plano , usando la transforma-da bilineal:

2.7.6 Diseñar un compensador discreto método de respuesta en frecuencia con emulación tal que el margen de fase deseado , y un tiempo de muestreo T = 0.1 s, para el siguiente sistema:

El diagrama de Bode de la planta se muestra en la Figura 2.52.



Fuente: el autor


Fuente: el autor


2.7.7 Dado el diagrama de bloques (Figura 2.53), diseñar el controlador tal que el margen de fase , luego, con el controlador diseñado calcule el mar-gen de ganancia Kg basados en la respuesta en frecuencia mostrado en la Figura 2.54.


Fuente: el autor

Figura 2.54. Diagrama de Bode problema 2.7.7

Fuente: el autor


2.7.8 Dada la función de transferencia de la velocidad de un motor de un carro de carreras:

Diseñar un controlador tal que el margen de fase sea de 60o y el margen de ganancia Kg > 10 dB. El diagrama de Bode de la planta se muestra en la Figura 2.55.

Figura 2.55. Diagrama de Bode problema 2.7.8

Fuente: el autor.

2.7.9 Dada la función de transferencia de una planta en el plan w, G(w), diseñar un compensador tal que el y la frecuencia ficticia de cruce por cero decibeles sea 10 rad/s, Figura 2.56.2.7.10 Usar el método de emulación para hallar su equivalente discreto C(z). Tome el tiempo de muestreo T = 0,5 s. Finalmente expresar C(z) como una ecuación en diferencia.


2.7.11 Dada la función de transferencia en el planto w de un compensador en atraso

Demostrar que su magnitud para frecuencias mucho mayores a 1/τ es igual a 1/α.

Figura 2.56. Diagrama de Bode problema 2.7.9.

Fuente: el autor


Capítulo 3

Métodos modernos de diseño de sistemas decontrol en tiempo discreto para sistemas siso

3.1 IntroducciónGracias a los grandes avances en los sistemas de cómputo, hoy se pueden re-solver en menor tiempo problemas matemáticos más complejos y multivaria-bles. Esta evolución ha permitido la aparición de nuevas teorías y métodos de solución en la ingeniería de control, como son, entre otros: el control óptimo (Dorf & Bishop, 2010), predictivo (Camacho & Bordon-Alba, 2007), adaptativo (Astrom & Wittenmark, 2008), fuzzy (Passino & S., 1997), redes neuronales (Miller, Sutton, & Werbos, 1995) y modos deslizantes (Edwards & Spurgeon, 1998). Esta es una gran diferencia con los métodos clásicos tratados en este libro hasta ahora basados en función de transferencia, en los que el problema de control se ha enfocado en sistemas de una entrada y una salida (siso - Single Input - Single Output). Estos métodos modernos se basan en la representación de los modelos matemáticos en espacio de estado, la cual presenta mejores ca-racterísticas para representar tanto sistemas lineales como no lineales y multi-variables (mimo: Multiple Inputs - Multiple Outputs) (Friedlan, 2005; Williams II & Lawrence, 2007).


3.2 Representación de un modelo matemático en espacio de estado

Donde representa una función no lineal, se denominan variables de estado, son las entradas al sistema, t es el tiempo, n el número de variables de estado, que es equivalente al orden del sistema, y p el número de entradas al sistema. La solución de este conjunto de ecuaciones diferenciales representa el comportamiento dinámico del sistema. Adicionalmente se tiene que las ecua-ciones de salida, las cuales están definidas como sigue:

Donde representa una función no lineal, se denominan variables de salida y m es el número de estas variables. Estos dos conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas, representan por completo el comportamiento y la respuesta de un sistema dinámico multivariable ante excitaciones externas. An-tes de continuar se presentan algunas definiciones (Ogata, 1996):

3.2.1 Estado El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables, llamadas variables de estado, tales que el conocimiento de dichas variables en

junto con las entradas para , determinan por completo el compor-tamiento del sistema para cualquier tiempo

3.2.2 Variables de estadoLas variables de estado de un sistema dinámico son las que conforman el con-junto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinámico, se requiere de por lo menos n variables (de tal forma que una vez dada la entrada para y el estado inicial en , el estado futuro del sistema


queda completamente determinado), entonces dichas n variables se consideran un conjunto de variables de estado.

3.2.3 Vector de estado Es el vector que determina en forma única el estado del sistema para cualquier tiempo , una vez dado el estado en t = t0 y especificada la entrada u(t) para

Este vector x(t) está compuesto con las n variables de estado.

3.2.4 Espacio de estado Es el espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por las variables de estado . Por lo tanto, cualquier estado puede represen-tarse como un punto dentro del espacio de estado.

3.2.4.1 Representación lineal del espacio de estadoPara sistemas lineales en tiempo continuo la representación es espacio de esta-do, que se puede escribir de la siguiente manera en forma matricial:

Donde, es el vector de estado, que contiene las variables de estado, es el vector de entradas y el vector de salidas del sistema. La ecuación (3.1) se conoce como la ecuación dinámica del sistema y (3.2) como la de salida. Ahora, para sistemas lineales en tiempo discreto se tiene:

Donde, el vector de estado en tiempo discreto, donde el instante actual es k y un instante adelante es k +1. Para obtener las matrices en tiempo discreto (3.3) con base en las de tiempo continuo (3.1, 3.2), haciendo una discretización y teniendo en cuenta el retenedor de orden cero, se puede demostrar que (Ogata, 1996 p. 312):


Con T el tiempo de muestreo.

Ejemplo 9Se desea modelar el sistema de la Figura 3.1 usando la representación de espa-cio de estado lineal, este sistema consiste de dos tanques conectados en casca-da, a través de los cuales se desea controlar el flujo de agua de salida .

Figura 3.1. Tanques en cascada

Fuente: el autor

Para modelar este sistema, se usará la técnica del balance de masas en cada uno de los tanques, así se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales: Para el tanque 1:

Esta ecuación expresa de una forma dinámica que la variación de la can-tidad de masa de agua dentro del tanque uno con respecto al tiempo, es igual al flujo másico de agua que entra menos el que sale. Ahora, como la cantidad de masa depende de la densidad ρ y el volumen, donde la densidad del agua es constante y el área del tanque también, se puede reescribir la ecuación (3.5) de la siguiente manera:


Luego, se puede relacionar el flujo másico con el flujo volumétrico F, así:

Remplazando (3.7) en (3.6) y manipulando un poco las ecuaciones, se tiene:

El flujo F12 se puede aproximar como:

Donde la diferencia de presión esta dada por:

Donde g es la gravedad. Finalmente, la ecuación dinámica para el tanque uno queda como:

A continuación, haciendo un análisis similar para el tanque dos, tenemos:

Donde:

Como resultado de remplazar (3.10) en (3.9) se obtiene que:

Observando detenidamente las ecuaciones (3.8) y (3.10), se puede esta-blecer que estas ecuaciones son lineales, por lo tanto, las ecuaciones dinámicas


del modelo matemático de este sistema en espacio de estado, se pueden escribir en forma matricial como sigue:

Para la ecuación de salida, primero definimos que variables son de inte-rés, para este ejemplo se tomaran h1(t) y h2(t), en consecuencia, la ecuación de salida será:

Una vez se tiene el modelo matemático, se define el valor de los parámetros del sistema y se puede simular usando el toolbox de control de Matlab u otra he-rramienta de software que tenga esta funcionalidad como son los software libres Scilab (www.scilab.org/) u Octave (https://www.gnu.org/software/octave/). Para el ejemplo anterior se definen los siguientes valores para poder simular la respuesta paso del sistema en lazo cerrado: , ,

, , , , .

Figura 3.2. Esquema sistema de control en lazo abierto

Fuente: el autor


Figura 3.3 Respuesta paso del sistema de tanques en cascada en lazo abierto en tiempo continuo

Gráfica obtenida con el software Matlab. La superior es la respuesta paso del tanque 1, y la inferior la del tanque 2

Fuente: el autor

Código de MatlabSimulación Respuesta Paso sistema de dos tanques conectados en cascada

%% Definición de parámetros del modelo.rho=1000. % [kg/m^3]g = 9.8. % [m/s^2]A1= 5. % [m^2]A2 = 3. % [m^2]R1 = 10000. % [Pa-s/m^3]R2 = 5000. % [Pa-s/m^3]

%% Definición de las matrices del espacio de estado

A=[-rho*g/(A1*R1) rho*g/(A1*R1).... rho*g/(A2*R1) -rho*g/A2*(1/R1+1/R2)].B=[1/A1.0].C=eye(2).D=zeros(2,1)

%% Definición del sistema en espacio de estadoSS_tanques=ss(A,B,C,D)

%% Respuesta paso del sistema

step(SS_tanques)


3.3 Sistema de control por realimentación de variables de estado en tiempo discretoEn los sistemas de control por realimentación de variables de estado el objetivo principal es hallar un vector de ganancias K que haga que el sistema descrito por las matrices (AD,BD, CD, DD) (Figura 3.4), sea asintóticamente estable mani-pulando la entrada a la planta uk. Donde para sistemas siso, y una variable relacionada con la entrada de referencia.

Figura 3.4. Estrategia de control por realimentación de variables de estado

Fuente: el autor

De otro lado, antes de estudiar los métodos de diseños de los sistemas de control por realimentación de variables de estado, se introducirá un concepto muy importante relacionado con las características que debe poseer un sistema para que este pueda ser controlado: Controlabilidad.

3.3.1 ControlabilidadSe dice que un sistema es totalmente controlable, si es posible transferir este de un estado inicial cualquiera a un estado final deseado, en un periodo de tiempo finito. En otras palabras, si es posible llevar todas las variables de estado de una condicional inicial cualquiera a una final deseada, mediante alguna acción de control no restringida en un tiempo finito. Si se evalúa el espacio de estado en tiempo discreto,


Para la enésima muestra del vector se obtiene:

Por lo tanto, se puede concluir que para que exista el vector U, que contie-ne las acciones de control, tal que el sistema vaya de una condición inicial ar-bitraria a una final deseada, la matriz de controlabilidad debe tener rango n, donde n es el orden del sistema.

3.3.1.1 Diseño de controladores por realimentación de variables de estados usan-do ubicación de polosAl igual que los métodos clásicos de control, el objetivo de esta estrategia es la de hallar la forma de manipular los polos de un sistema en lazo cerrado repre-sentado en espacio de estado. Para esto es muy importante tener claro dónde se encuentran los polos de un sistema representado en espacio de estado, para esto hallaremos la función de transferencia de un sistema basados en la repre-sentación en espacio de estado, así transformando a z:

Se obtiene:

Luego, remplazando (3.12) en la ecuación de salida tomando a DD = 0, se tiene que:

Como resultado, en (3.13) se puede observar que los polos del sistema son las raíces de la ecuación característica definida por el determinante de

. Aquí es importante resaltar que estas raíces son también los valores


propios de la matriz AD. Por lo tanto, en espacio de estado, los polos son los valores propios de la matriz AD.

En la representación en espacio de estado, los polos son los valores pro-pios de la matriz AD.

3.3.1.2 Problema de control De la Figura 3.4 tomando , se tiene que:

Ahora, remplazando la ecuación (3.14) en (3.11) nos da que:

Esta nueva representación que es el espacio de estado en lazo cerrado, ecuación (3.15), se puede observar que la respuesta dinámica de las variables de estado, depende de los valores propios de la matriz AD − BDK, los cuales son los polos del sistema en lazo cerrado, como ya se demostró en la sección anterior. En consecuencia, el problema de control que se tiene que resolver consiste en hallar una matriz K, tal que la matriz AD − BDK obtenga unos valores propios iguales a los polos deseados en lazo cerrado del sistema, los cuales como se sabe, están directamente relacionados con la respuesta transitoria en lazo ce-rrado del sistema. En las siguientes secciones se presentarán tres métodos que se pueden usar para resolver este problema.

3.3.1.3 Método basado en la transformada de similitudAntes de presentar el método, primero se tiene que definir la transformada de similitud. Una transformación de similitud de un sistema en espacio de estado es un cambio lineal de las coordenadas de las variables de estado:

Donde T es una matriz de transformación lineal tal que TT−1 = T−1T = I. qk es el vector de estado transformado al nuevo eje de coordenadas y xk el vector de estado original. Remplazando (3.16) en (3.3) se tiene como resultado una representación es espacio de estado transformada:


Donde:

Aquí es importante resaltar que, aunque el espacio de estado está trans-formado, la relación dinámica que existe entre la entrada y la salida no se alteran, o sea la función de transferencia del sistema transformado es igual a la del original, como sigue:

Esto significa que la representación es espacio de estado para un sistema en particular no es única, existen infinitos conjuntos de matrices AD, BD, CD, y DD que pueden representar la relación dinámica de las variables de entra-da-salida de un sistema. Una de las representaciones más importantes recibe el nombre de la forma canónica controlable y sus matrices se estructuran de la siguiente forma:

Que se obtiene de la siguiente función de transferencia:

La demostración se puede encontrar en Ogata (1996, p. 336).


Solución del problema de controlRetomando el problema de control, en el que se quiere hallar una ganancia K tal que los valores propios de la matriz AD − BDK sean los polos deseados en lazo cerrado, podemos plantear lo siguiente:

1. Una vez conocidos los n polos deseados en lazo cerrado la ecuación característica de lazo cerrado (ecla) se puede escribir como:

donde los son los coeficientes de la ecla.2. Como lo que se quiere es que los valores propios de la matriz dinámica

del sistema en lazo cerrado AD − BDK sean iguales a los polos deseados, se puede establecer que:

como se demostró en la ecuación (3.13). Para hallar K, se necesita resolver el conjunto de n ecuaciones que se

generan en (3.24). Esta solución presenta el problema que, para grandes valores de n, el problema se vuelve numéricamente difícil de resolver. De otro lado, usando una transformada de similitud que haga que el sistema original sea llevado a la forma canónica controlable, ecuación (3.23), el problema se puede resolver fácilmente para cualquier orden de sistema, como se muestra a continuación:

Si se toma un sistema de segundo orden en (3.24):

resolviendo el determinante:


Ahora, por comparación se obtiene que:

Dando como resultado:

En consecuencia, si se extiende este resultado para un sistema de orden n se tiene:

Donde los coeficientes αi son los coeficientes de la ecuación característi-ca de lazo cerrado, y ai son los coeficientes de la ecuación característica de lazo abierto

3. La matriz es la ganancia del controlador en la forma canónica contro-lable, por lo tanto debemos transformarla al espacio original, para esto se analiza la relación entre:

y K: Tomando el sistema en el espacio original, tomando uk = −Kxk se tiene que:

luego, transformando a la forma canónica controlable usando la trans-formada de similitud , da como resultado:

Como resultado obtenemos que donde TC es la matriz de transformación de similitud a la forma canónica controlable y está defi-nida como . La matriz se conoce como la matriz de controlabi-lidad definida como:


Y la matriz W definida como:

donde ai son los coeficientes de la ecuación característica obtenida de |zI − AD|. Como resultado:

4. Finalmente, el diseño debemos validarlo, para esto se calculan los valo-res propios de la matriz AD − BDK, los cuales deben de ser iguales a los polos deseados en lazo cerrado βi.

3.3.1.4 Método basado en la fórmula de AckermanOtro método muy conocido para calcular la matriz K, es la fórmula de Acker-man, que se presenta a continuación:

Donde φ(AD) es una función definida como:

DemostraciónPartiendo del teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que toda matriz cua-drada A anula a su polinomio característico. O sea, si es el polinomio característico de A, entonces . Para la demostración la matriz de in-terés es , por lo tanto, su polinomio característico es:

Lo cual ya se había establecido en (3.24). Entonces:


Ahora, evaluando para 1 ≤ k ≤ n se tiene:

Y remplazando en (3.25), se obtiene:

Como interesa despejar K, se pre multiplican ambos lados por [0 0 ··· 1] en (3.26), y tomando por simplicidad que , se obtiene como resultado:

3.3.1.5 Método basado en la ecuación de SylvesterLa ecuación de Sylvester es una solución al problema de control que se basa en la descomposición de valores propios. Entonces, como el problema de control plantea hallar una matriz K tal que los valores propios de la matriz AD −BDK tenga unos valores propios iguales a los polos deseados de lazo cerrado, se pue-de escribir la siguiente ecuación que describe la descomposición de valores propios de la matriz AD − BDK:


donde es la matriz de vectores propios y es la ma-triz de valores propios que contiene los polos deseados de lazo cerrado. Ahora, multiplicando (3.28) por V

y organizando esta ecuación se tiene:

Luego, definiendo como una matriz aleatoria, de tal forma que:

y remplazándola en (3.29) se obtiene la siguiente ecuación:

La ecuación (3.31) se conoce como la ecuación de Sylvester. Finalmente, al resolver (3.31) se obtiene V, una vez conocido V se puede hallar K de (3.30) como K = GV−1. En resumen, estos son los pasos del método de diseño:

1. Definir la matriz de valores propios Λ. Si se tienen los siguientes po-los deseados, a saber: , y los polos reales

, la matriz se escribe de la siguiente forma:

2. Luego se genera aleatoriamente la matriz G y se resuelve la ecuación de Sylvester para hallar V.

3. Finalmente se calcula K como K = GV−1. Es importante notar que la matriz K obtenida, será siempre la misma

independiente de la matriz aleatoria G que se escoja.


3.4 Sistemas de control por realimentación de variables de estado con seguimiento de trayectoriaEn la sección anterior se planteó una solución asumiendo una entrada de re-ferencia igual a cero, o sea que el controlador diseñado nos garantiza una res-puesta dinámica de acuerdo a la ubicación de los polos, pero no está diseñado para que en estado estable pueda seguir una referencia. En consecuencia, en esta sección mostraremos dos estrategias que nos permitan resolver este pro-blema adicional del sistema de control. Es importante resaltar que este diseño complementario, no afecta el diseño de la sección anterior, sino que lo comple-menta.

3.4.1 Seguimiento de trayectoria usando estrategia de control por compensa-ción (feedforward)El objetivo de esta estrategia de control, es hallar la ganancia de la acción de control por compensación N, tal que en estado estable la salida de la planta sea igual a la entrada de referencia . Para esto se plantea el siguiente esquema:

SoluciónDe acuerdo a la Figura 3.5 la acción de control , entonces, remplazando en (3.3) se tiene que:

transformando a z y despejando X(z):

Figura 3.5. Esquema de control por compensación (feedforward) para seguimiento de referencia y por realimentación de variables de estado

Fuente: el autor


Luego remplazando X(z) en la ecuación de salida y tomando , tenemos:

Ahora, como se necesita es hallar la ganancia N que garantice que en es-tado estable la salida siga la referencia , o sea que , se hace un análisis de estado estable en el dominio de z. Como sabemos, en estado estable la frecuencia de la respuesta del sistema es aproximadamente cero, por lo que la variable compleja se puede tomar igual a cero. En consecuen-cia, como entonces para s = 0, z = 1. Finalmente, de la ecuación (3.32) se puede despejar N como sigue:

Una desventaja de este método consiste en que si el modelo matemático de la planta no es preciso, como casi siempre es el caso, se va a tener una desvia-ción de la acción de control necesaria para garantizar un error cero de estado estable. Esta desviación se debe a que la acción por compensación N depende directamente de las matrices de la representación en espacio de estado del mo-delo del sistema (3.33).

Ejemplo 10Diseñar un sistema de control en tiempo discreto por realimentación de varia-bles de estado para el sistema de tanques en cascada del ejemplo 9. Se requiere controlar el nivel del agua en el tanque uno de tal forma que, ante un cambio de referencia en el nivel, este logre estabilizarse en el nuevo valor en 10 segundos con el menor sobre paso posible.

SoluciónLo primero que se debe hacer es definir los polos deseados dominantes de lazo cerrado, para esto se toma como base la información de la respuesta deseada en lazo cerrado: Para una respuesta con un bajo sobre impulso, se puede tomar


un ζ = 0.8 y s, con este dato se puede calcular la frecuencia natural no amortiguada y amortiguada .

Ahora, con el valor de se puede estimar un tiempo de muestreo adecuado con base al periodo de oscilación de la respuesta amortiguada

, por lo tanto, el tiempo de muestreo T se puede tomar entre , o sea 0.6 ≤ T ≤ 1.8, por lo que se puede tomar T = 1 s. Así, los polos deseados en tiempo discreto se pueden calcular como sigue:

También, una vez definido el tiempo de muestreo se debe discretizar la planta teniendo en cuenta el efecto del zoh de acuerdo a las ecuaciones (3.4), y que la variable a controlar es , por lo que la matriz cambia con respecto a la del ejemplo 9.

Una vez se tienen los polos deseados en tiempo discreto y la planta discretizada, se puede continuar con el cálculo de ganancia del controlador de realimentación de variables de estado K. Para este ejemplo se usará la ecuación de Ackerman, ver (3.27). Para poder usar la ecuación de Ackerman se debe calcular la matriz de acuerdo a la ecuación (3.25), por lo tanto, se deben hallar primero los coeficientes de la ecuación característica deseada de lazo ce-rrado , como el sistema es de segundo orden, la ecuación característica para este problema tendrá dos coeficientes :


con los coeficientes definidos, se puede hallar la matriz φ(AD)

ahora, se calcula la matriz de controlabilidad y su inversa,

Finalmente se puede calcular la matriz de ganancia del controlador como sigue:

Ahora se debe validar el diseño verificando si los polos deseados del lazo cerrado del sistema de control son iguales a los polos deseados, para esto se calculan los valores propios de la matriz AD − BDK y se comparan con los polos deseados , entonces:

Como se puede observar, el cálculo de la ganancia K es correcto debido a que los valores propios de la matriz AD − BDK son iguales a los polos desea-dos . Una vez se haya calculado y validado la ganancia del controlador K, se puede hallar la ganancia de la acción de control por compensación N, ecuación (3.33)


Figura 3.6. Esquema Simulink del sistema de control por realimentación de variables de estado con acción compensadora para el seguimiento de referencias

Fuente: el autor

Figura 3.7. Respuesta paso sistema en lazo cerrado de control por realimentación de variables de estado y acción compensadora, mostrada por el scope de Simulink

El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del tanque en metrosFuente: el autor

Como se puede observar en la Figura (3.7), la respuesta del sistema de control en lazo cerrado cumple con las especificaciones de diseño, o sea un bajo sobre impulso y un tiempo de establecimiento de diez segundos, por lo tanto, se puede concluir que el diseño quedó correcto.


Código de MatlabDiseño Controlador por Espacio de Estado por Realimentación de Variables de Estado

con Acción Compensadora del Sistema de Dos Tanques Conectados en Cascada



A=[-rho*g/(A1*R1) rho*g/(A1*R1).... rho*g/(A2*R1) -rho*g/A2*(1/R1+1/R2)].B=[1/A1.0].C=[1 0].D=0.

%% Definición del sistema en espacio de estado

SS_tanques_c=ss(A, B, C, D)


step(SS_tanques_c).

%% Diseño del controlador %%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Cálculo de los polos deseados dominante

ts=10. % [s]zita= 0.8.wn=4.6/(zita*ts). % [rad/s]wd=wn*sqrt(1-zita^2).% [rad/s]sD=-zita*wn+j*wd.% Cálculo del tiempo de muestreo Td=2*pi/wd. % [s]Td_max=Td/10.Td_min= Td/30.

T=1. % [s]

% Discretización de los polos dominantes

zD=exp(T*sD).

% Discretización de la planta


SS_tanques_d=c2d(SS_tanques_c,T).Ad=SS_tanques_d.a.Bd=SS_tanques_d.b.Cd=SS_tanques_d.c.Dd=SS_tanques_d.d.

%% Cálculo de la ganancia del controlador usando el método de %% Ackerman

% Cálculo de los coeficientes alfa_i

alfa_i=conv([1 -zD],[1 -zD’]) alfa=alfa_i(2:3).phi_Ad=Ad^2+alfa(1)*Ad+alfa(2)*eye(2)

% Cálculo de la matriz de controlabilidad

Co=ctrb(Ad,Bd)Co_inv=inv(Co)

K=[0 1]*Co_inv*phi_Ad

% Validación del cálculo de la ganancia del controladoreig(Ad-Bd*K)zD

% Cálculo de la ganancia del controlador por compensación

N=inv(Cd*(eye(2)-Ad+Bd*K)^(-1)*Bd)Fuente: el autor

3.4.2 Seguimiento de trayectoria usando la estrategia de realimentación de variables de estado con acción integradoraAunque la estrategia por compensación descrita en la sección anterior es una buena solución, la garantía de que la respuesta del sistema siga a la entrada de referencia en estado estable, depende de la validez del modelo, como ya se ex-puso anteriormente. Por lo tanto, la estrategia que se propone es esta sección es más robusta frente a los errores de modelamiento, que ocurren con frecuencia en los sistemas reales. El esquema de la estrategia de control con acción integra-dora es el siguiente (Bemporad, 2010).


Figura 3.8. Esquema de control con acción integradora para seguimiento de referencia por realimentación de variables de estado

Fuente: el autor

SoluciónEl objetivo de este diseño es hallar la ganancia del controlador K y la de la ac-ción integradora KI. Para esto se comienza con definir una nueva variable de estado, la integral del error que se puede definir en z como:

O sea que el esquema de la Figura 3.8 se puede representar de la siguiente manera:

Figura 3.9. Esquema de control por realimentación de variables de estado con acción integradora

Fuente: el autor


De la ecuación (3.34) se puede despejar como sigue:

Esta nueva variable de estado xI influencia la respuesta dinámica del sis-tema en lazo cerrado; por lo tanto, a la representación original del sistema se le debe agregar este nuevo estado, dando como resultado una representación en espacio de estado aumentada en una variable. Esta nueva representación se puede expresar de la siguiente manera:

Ahora, como se desea diseñar un controlador cuya acción de control sea , se toma = 0. Como resultado se obtiene el siguiente espacio de estado

aumentado:

Donde según el esquema de la Figura 3.9, que se pue-de rescribir como:

Con:

Como se puede observar en (3.36) y (3.37), el problema de control es igual al original, solo que ahora se tiene un espacio de estado aumentado, en conse-cuencia, la solución del problema es igual a los planteados en la sección ante-rior, pero ahora hay que tener en cuenta que la ganancia .


Ejemplo 11En este ejemplo se resolverá el mismo problema del ejemplo 10, pero usando el esquema de la acción integradora. Luego, se hará un análisis de los resultados obtenidos y se compararan con los resultados de los dos problemas.

SoluciónEl cálculo de la ganancia del controlador se hará usando la solución de la ecuación de Sylvester presentada en la sección 3.3.5. Por lo tanto, primero se define la matriz de valores propios Λ del sistema aumentado en lazo cerrado, en este caso se debe tener en cuenta que el sistema es de tercer orden; por lo tanto, los polos de lazo cerrado serán los dos deseados y un tercer polo no dominante dinámicamente, por lo que se puede tomar un valor real cerca al origen, en consecuencia:

Luego se escoge una matriz aleatoriamente y se resuelve la ecua-ción de Sylvester para el sistema aumentado, ecuación (3.36), usando Matlab de acuerdo a (3.31), como resultado se tiene:

Finalmente, se calcula la ganancia del controlador,

A continuación, en la Figura 3.10 se muestra el diagrama Simulink para un sistema de control por realimentación de variables de estado con acción integradora y la respuesta paso del diseño.


Figura 3.10. Esquema Simulink del sistema de control por realimentación de variables de estado con acción integradora

Fuente: el autor

Figura 3.11. Respuesta paso del sistema de control del ejemplo 11 mostrado por el scope de Simulink.

El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del tanque en metros

Fuente: el autor


Código de MatlabDiseño Controlador por Espacio de Estado por Realimentación de Variables de Estado

con Acción Integradora del Sistema de Dos Tanques Conectados en Cascada



A=[-rho*g/(A1*R1) rho*g/(A1*R1).... rho*g/(A2*R1) -rho*g/A2*(1/R1+1/R2)].B=[1/A1.0].C=[1 0].D=0.

%% Definición del sistema en espacio de estadoSS_tanques_c=ss(A,B,C,D)


step(SS_tanques_c).

%% Diseño del controlador %%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Cálculo de los polos deseados dominante

ts=10. % [s]zita= 0.8.wn=4.6/(zita*ts). % [rad/s]wd=wn*sqrt(1-zita^2).% [rad/s]sD=-zita*wn+j*wd.

% Cálculo del tiempo de muestreoTd=2*pi/wd. % [s]Td_max=Td/10.Td_min= Td/30.

T=1. % [s]

% Discretización de los polos dominantes

zD=exp(T*sD).


% Discretización de la planta

SS_tanques_d=c2d(SS_tanques_c,T).Ad=SS_tanques_d.a.Bd=SS_tanques_d.b.Cd=SS_tanques_d.c.Dd=SS_tanques_d.d.

%% Cálculo de la ganancia del controlador usando el método de Sylvester

% Definición de las matrices del espacio de estado aumentado

Ada=[Ad zeros(2,1).-Cd 1].Bda=[Bd.0].Cda=[Cd 0].Dda=Dd.

% Definición de la matriz de valores propios y aleatoria

Lambda=[real(zD) imag(zD) 0....-imag(zD) real(zD) 0.... 0 0 0.01].

G=[1 0 1].

% Solución de la ecuación de Sylvester

V=sylv(Ada,-Lambda,Bda*G).

% Cálculo de la ganancia aumentada del controlador

Ka=G*inv(V).K=Ka(1:2).Ki=Ka(3).

% Validación del cálculo de la ganancia del controlador

eig(Ada-Bda*Ka)zD

Ejemplo 12En este ejemplo se comparará el desempeño de los dos esquemas de control, analizados en esta sección, cuando están sometidos a perturbaciones externas. Para esto, se toman las ganancias de los respectivos controladores ya diseñadas sin modificación, y luego se simula una perturbación cambiando el valor de la resistencia hidráulica R2 del sistema. Por lo tanto, vamos a simular un pequeño bloqueo en la salida de agua del tanque dos, algo que podemos simular aumen-tando R2 en un 20 %, por lo que R2 = 6 kPa/m3.


Para el esquema del controlador con acción compensadora las ganancias del controlador son las siguientes:

Para el controlador con acción integradora son las siguientes:

El esquema Simulink para hacer la comparación de los dos sistemas se puede apreciar en la Figura 3.12.

En la Figura 3.13 se muestra la respuesta paso unitario de los dos sistemas de control sin perturbación, como se puede observar las dos estrategias cum-plen con las especificaciones de diseño. Sin embargo, cuando se perturba el sistema cambiando la resistencia hidráulica de salida se puede observar una diferencia en la respuesta de los dos sistemas, ver Figura 3.14. ¿Por qué ocurre esto?, la respuesta radica en la forma en que funcionan los dos esquemas de control; la acción de control del sistema de control con acción compensado-ra depende de las ganancias obtenidas con base al modelo matemático, matri-ces AD, BD, CD, DD, mientras que la del sistema con acción de control integrado-ra aunque depende del modelo, también depende de la integral del error, lo que lo hace más robusto, menos sensible, a las perturbaciones externas. Por eso se observa en la Figura 3.14 cómo la respuesta del control con acción compensa-dora no es capaz de seguir la referencia, esto es debido a que su funcionamiento depende solo de las ganancias N y K, así cuando ocurre una perturbación en el sistema y el comportamiento dinámico de la planta se ve afectado este no es capaz de detectar ese cambio.

Por otro lado, como el controlador con acción integradora está monito-reando el error, que se define como la diferencia entre la respuesta de la planta y el valor deseado de la respuesta, puede detectar si hay diferencias entre estas, de tal modo que puede modificar la acción de control y así compensar el efecto de la perturbación.


Figura 3.12. Diagrama esquemático en Simulink de los dos sistemas de control por realimentación de variables de estado diseñados

Fuente: el autor

Figura 3.13. Comparación de la respuesta paso sin perturbación de los esquemas de control con acción compensadora e integradora.

La línea continua representa la respuesta del sistema de control con acción compensadora, la línea rayada la del sistema de control con acción integradora. El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del

tanque en metros.

Fuente: el autor


Figura 3.14. Comparación de la respuesta paso con perturbación de los esquemas de control con acción compensadora e integradora

La línea continua representa la respuesta del sistema de control con acción compensadora, la línea rayada la del sistema de control con acción integradora. El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del

tanque en metros

Fuente: el autor

3.5 Sistemas de control por realimentación de estados usando observadores para sistemas sisoEn la implementación de los sistemas de control por realimentación del vector de estado, se deben medir todas las variables de estado con el fin de calcular la acción de control uk, la cual es igual al producto de la ganancia del controlador K por el vector de estado xk, como se presentó en la ecuación 3.14. Sin embargo, esto no es siempre posible debido entre muchas razones a: 1) la no existencia de un sensor para medir una variable física, b) difíciles condiciones ambientales o físicas, donde no se puede instalar un sensor en el lugar adecuado y c) que no se tiene el sensor o el costo de este es muy elevado (Fadali & Visioli, 2013). Debido a lo anterior, el científico matemático estadounidense David Gilbert Luenberger en su libro Introduction to Dynamic Sistems, Theory, Models and Applications (Luenberger, 1979), propuso un algoritmo por medio del cual se pueden estimar las variables de estado de un sistema dinámico, garantizando que el error de estimación converja asintóticamente a cero, suponiendo que el sistema es determinístico. El esquema de esta estrategia se puede observar en la Figura (3.15). Este tipo de algoritmos es mejor conocido dentro de la ingenie-ría de control como observador; o sea que un observador es un estimador de


variables de estado. Por lo tanto, el método de estimación que se estudiará en esta sección se conoce como el Obsevador de Luenberger.

Antes de continuar es importante introducir el concepto de Observabi-lidad, el cual está relacionado con las propiedades que debe tener un modelo matemático en espacio de estado para que sus variables puedan ser estimadas.

3.5.1 ObservabilidadUn sistema es completamente observable, si cualquier estado inicial puede determinarse a partir de la observación de sus salidas medidas en un periodo finito de tiempo. Si se evalúa la salida del espacio de estado en tiempo discreto, asumiendo en:

En la enésima muestra se tiene que:

Por lo tanto, para poder determinar con base a las salidas medidas, la matriz de observabilidad debe ser de rango n, donde n es el orden del sistema.

Figura 3.15. Esquema de un sistema de control por realimentación de estados con entrada de referencia, acción integradora y observador de estados de orden completo

Fuente: el autor


3.5.1.1 Observador de Luenberger de orden completo en tiempo discreto para sistemas sisoUn observador de orden completo es aquel que estima todas las variables de estado sin importar si ya conocemos el valor de algunas de ellas (Luenberger, 1979, Anderson & Moore, 1979). Luenberger planteó la siguiente ecuación (3.40) como base del estimador de variables de estados de orden completo:

Donde son el vector de estado y la salida del sistema estimados en el instante k, son las variables de entrada y salida medidas en el instante k. es la ganancia del observador de Luenberger. Las matrices AD, BD, CD y DD son las matrices de la representación en espacio de estado del sistema en tiempo discreto. Como se puede ver en (3.40), la ecuación del observador de Luenberger se basa en el modelo matemático; por lo tanto, se debe tener un buen modelo matemático para que el observador funcione correctamente y sus estimaciones sean confiables. La ecuación (3.40) se puede reescribir de la siguiente forma para tener como salida del espacio de estado , lo que se define como un observador estimador, porque estima los valores de usando información tomada en el instante k:

De otro lado, para garantizar que el observador estime las variables de estado de una forma confiable, asumiendo un sistema lineal y determinístico, se hace el siguiente análisis: Si se define κ como el error de estimación del ob-servador,

Entonces:


De donde finalmente se obtiene:

La ecuación (3.44) describe el comportamiento dinámico del error de es-timación. En consecuencia, nuestro problema de estimación consiste en hallar el vector de ganancias L tal que haga que el error de estimación tienda a cero asintóticamente. Para lograr esto, se debe hallar una vector de ganancias L tal que los valores propios de la matriz sean iguales a los polos del comportamiento deseado para el error de estimación. Para solucionar este pro-blema, se puede tomar como apoyo las soluciones encontradas al problema de control de la sección anterior, puesto que estos problemas son análogos, como se muestra en la Tabla 3.1:

Tabla 3.1. Matrices del problema de control y de estimación

Matriz Problema de Control Matriz Problema de Estimación

Fuente: el autor

Por lo tanto, si trasponemos la matriz del problema de estimación se tiene,

Que es una matriz similar a la del problema de control ecuación (3.45), por lo tanto, para la solución del problema de estimación, podemos usar las soluciones del problema de control, tomando:

3.5.2 Cálculo de la ganancia del observador de orden completoAhora, así como en la solución del problema de control, para el problema de estimación existen muchos métodos de solución, a continuación, se presentan algunos de ellos.


3.5.2.1 Método basado en la transformada de similitudCon base en la solución del problema de control, donde:

Con los coeficientes de la ecuación característica deseada en lazo cerra-do del observador , y los coeficientes de la ecuación carac-terística de lazo abierto del observador . Ahora, remplazando por las relaciones presentadas en (3.46) se tiene que:

Donde es la ganancia del observador, la ganancia del observador en la forma canónica observable, es la matriz de transformación a la forma canónica observable. Ahora, recordemos que la ma-triz de controlabilidad está definida como:

Reescribiéndola en función de la relación análoga con el problema de con-trol, se obtiene una nueva matriz, que se define como OT tal que:

La matriz se conoce como la matriz de observabilidad. Finalmente, la ganancia del observador L se puede calcular como sigue:


3.5.2.2 Método basado en la fórmula de AckermanLa solución para la ganancia del controlador según la fórmula de Ackerman, ecuación (3.27), está dada por:

Ahora, usando las matrices análogas se tiene:

Finalmente, el cálculo de la matriz de ganancia del observador usando la ecuación de Ackerman es:

3.5.2.3 Método basado en la ecuación de SylvesterIgual que las soluciones anteriores, se parte de la ecuación de Sylvester para el caso del problema de control ecuaciones (3.31), (3.30):

Donde es una matriz aleatoria. Ahora, usando las relaciones análogas con el problema de estimación tenemos:

Por lo tanto, para el cálculo de la ganancia del observador, primero se ha-lla V de la ecuación de Sylvester para el observador, ecuación (3.49), y luego de (3.50) se despeja L como sigue:


3.5.3 Observador de Luenberger de orden reducidoEl observador de orden reducido es un estimador que solo estima las variables de estado no medibles en función de las variables de estado medibles y la entra-da del sistema. Una variable de estado no medible es aquella cuya información no está disponible en la instrumentación de la planta que se quiere controlar. Por lo tanto, para diseñar este tipo de observador, el objetivo es poder reescribir el espacio de estado del sistema original de tal forma que el vector de estado solo contenga las variables de estado no medibles, una vez reescrito el sistema de esta manera, la solución será igual al observador de orden completo. En consecuencia, lo primero que se debe hacer es reorganizar el vector de estado del sistema original de la siguiente manera:

Donde es la parte vector de estado que contiene las na varia-bles de estado medibles, la parte del vector de estado que contiene las nb variables de estado no medibles,

. Ahora, si se toma de (3.51) los dos subsistemas y se reescriben independientemente, se tiene que:

Como lo que se busca es reescribir el espacio de estado de tal forma que el nuevo vector de estado solo contenga las variables de estado no medibles, se toma como ecuación base, para el nuevo espacio de estado, la ecuación (3.51), adicionalmente, el vector de estado se convierte en una entrada adicional a

para el observador, en consecuencia:

Renombrando las variables de las ecuaciones (3.54) y (3.55) de la siguien-te forma:


Se puede reescribir el nuevo espacio de estado en función de las variables no medibles, como sigue:

En (3.56) se puede observar que la formulación del nuevo espacio de es-tado se ajusta claramente a la general del espacio de estado, por lo tanto, la ecuación y solución del observador de orden completo se pueden tomar para esta representación, así la ecuación del observador de orden reducido se puede escribir:

Aquí es importante resaltar que para hallar L¯ se puede usar cualquier método visto en la sección del observador de orden completo. Para la im-plementación de (3.57) se debe tener en cuenta que x¯ˆk+1 está en función de y¯k = xak+1, o sea en función de mediciones futuras de las variables de estado medibles, algo que en la práctica no es posible; en consecuencia y con el fin de resolver este inconveniente, se debe atrasar una muestra la ecuación en diferen-cia, obteniendo:


Ahora remplazando por las variables originales:

La ecuación (3.58) muestra la ecuación del observador de orden reducido en función de las variables originales del espacio de estado.

3.5.4 Análisis de la dinámica del sistema de control en conjunto con observadoresEn esta sección se analizará cómo la integración del observador afecta la diná-mica del sistema de control en lazo cerrado. Para esto, se reescribe el espacio de estado del sistema de control, Figura (3.4), incluyendo el observador de orden completo, como sigue:

Remplazando en (3.3) se tiene:

Ahora, en (3.43) se definió κ como el error de estimación, en consecuen-cia, se obtiene:

Finalmente, la representación del espacio de estado del sistema de control, (ecuación (3.60)), con el observador de orden completo, (ecuación (3.44)), se puede escribir de una forma compacta de la siguiente manera:


La ecuación (3.61) describe el comportamiento dinámico del sistema de control por realimentación de variables de estado y del error de estimación; por lo tanto, si queremos investigar cómo el observador puede afectar el desempe-ño del controlador podemos analizar los polos del sistema total. Para esto se define la ecuación característica del sistema como sigue:

De donde se obtiene:

En (3.62) se puede observar que los polos del sistema acoplado son la suma de los polos del sistema de control más los del observador; en conse-cuencia, se puede concluir que el observador no altera la dinámica del sistema de control y por lo tanto no afecta el desempeño de este. Cabe la pena resaltar que lo único que se debe tener en cuenta en la implementación de este tipo de sistemas, es que el sistema de control debe entrar a operar una vez el error del observador sea cero, o sea que el observador entregue valores confiables de estimación de las variables de estado.

Ejemplo 13En este ejercicio se desea diseñar un sistema de control por realimentación de variables de estado con acción integradora para el problema del ejemplo 11, suponiendo que el nivel del agua en el tanque uno , no se puede medir. Por lo tanto, se requiere diseñar un observador con el fin de poder implementar el sistema de control. En la Figura (3.16) se muestra el esquema Simulink del sistema de control en conjunto con el observador.


Figura 3.16. Esquema Simulink del sistema de control con acción integradora y observador de orden completo

Fuente: el autor

Para el diseño del observador, se debe tener en cuenta la dinámica del controlador; en consecuencia, el tiempo de establecimiento para el observador debe ser menor que el del controlador que es ts = 10 s, y por lo menos cinco veces mayor al tiempo de muestreo T = 1 s, así se escoge un tiempo de esta-blecimiento para el observador tos = 5 s, y un coeficiente de amortiguamiento

= 0,8 para que la convergencia sea suave y no oscilatoria. Con estos paráme-tros se pueden calcular los polos deseados dominantes para el observador en tiempo discreto:

Luego, para calcular la ganancia del observador se usará el método de transformación de similitud; por lo tanto, se debe calcular primero los coefi-cientes de las ecuaciones características de lazo abierto y lazo cerrado :

Una vez calculados los coeficientes podemos hallar la ganancia del obser-vador en la forma canónica observable LO, entonces:


Ahora se calcula la matriz de transformación a la forma canónica contro-lable TO:

Una vez calculadas las matrices TO y LO se puede hallar la ganancia del observador:

Finalmente, el diseño es validado calculando los valores propios de la ma-triz AD − LCD:

Como los valores propios de AD −LCD son iguales a los polos deseados del observador se valida que el diseño es correcto. Con el fin de analizar el desempeño del observador, a la planta se le dan valores iniciales diferentes de cero, , mientras que las condiciones iniciales del ob-servador se hacen cero. En la Figura 3.17 se muestra cómo las estimaciones del observador convergen después de cinco segundos, como se especificó en el diseño, luego se puede observar que los valores estimados y del modelo siguen siendo iguales. En consecuencia, es importante anotar que cuando se trabaja con observadores, se debe esperar un tiempo adecuado para que los valores de


las estimaciones se estabilicen antes de empezar a usar estos en los sistemas de control o monitoreo.

Figura 3.17. Comparación de las respuestas de los niveles de la planta con los valores estimados por el observador.

La línea solida representa , la línea solida con rombos , la línea rayada y la línea rayada con cuadros .

Fuente: el autor

En la Figura 3.18 se puede observar la respuesta del sistema de control con observador. En la respuesta del primer paso se puede observar cómo el error de la estimación afecta el desempeño del controlador, haciendo que la respuesta tenga más sobre impulso y mayor tiempo de establecimiento. En el segundo paso, una vez el observador ya ha convergido, la respuesta del controlador se ajusta a la esperada, confirmando el hecho de que, al iniciar un sistema de con-trol con observador, se debe dar un tiempo de espera para que el observador estabilice su estimación y luego sí empezar a hacer control.


Figura 3.18. Respuesta a la señal cuadrada de periodo 30 segundos y amplitud unitaria del sistema de control con acción integradora y observador de orden

completo

Fuente: el autor

Código de MatlabDiseño Observador de Orden Completo para el Controlador del Ejemplo 11

%% Diseño del observador de orden completots_o=6.zita_o= 0.8.wo_n=4.6/(zita_o*ts_o).wo_d=wo_n*sqrt(1-zita_o^2).zo_d=exp(-T*zita_o*wo_n)*(cos(T*wo_d)+j*sin(T*wo_d)).

% Método de la transformada de similitud

% Cálculo de los coeficientes de la ecuación característica de% lazo cerrado

alfa=conv([1 -zo_d],[1 -zo_d’]).alfa_i=alfa(2:3).

% Cálculo de los coeficientes de la ecuación característica de % lazo abierto

l=eig(Ad). % Calculo de los valores propios de lazo abierto que % son iguales a los polos

a=conv([1 -l(1)],[1 -l(2)]).a_i=a(2:3).


% Cálculo de la ganancia en la forma canónica observable

Lo=[fliplr(alfa_i)-fliplr(a_i)]’.

% Cálculo de la matriz de transformación a la forma canónica % observable

Ob=obsv(Ad,Cd).W=[a_i(1) 1. 1 0].To=inv(W*Ob).L=To*Lo

Ado= Ad-L*Cd.Bdo=[L Bd-L*Dd].

3.6 Problemas propuestos3.6.1 Un modelo lineal de un sistema de levitación, mostrado en la Figura 3.19, está dado por:

Donde, m = 0.02 kg, = 20 N/m, = 0.4 N/A, R = 50Ω y L = 100 mH.


Fuente: el autor

a. Escriba la representación en espacio de estado en tiempo discreto con un tiempo de muestreo T = 0.02 s, donde la entrada es la corriente i(t) y la salida la posición x(t).

b. Diseñe un controlador de realimentación de variables de estados con entrada de referencia, que cumpla con las siguientes especificaciones

s, < 0.4 s y < 20 %.


c. Ahora si solo se puede medir la posición de la bola x(t), modifique el diseño del punto b, de tal forma que el controlador sea implementable bajo las nuevas condiciones.

3.6.2 Qué es una transformada de similitud y cuáles son sus propiedades.

3.6.3 En una representación de espacio de estado, si definimos la entrada uk

= −Kxk, demuestre que los polos en lazo cerrado son los valores propios de la matriz A − BK.

3.6.4 En el diseño de un observador completo de estados, demuestre que:L =TOLO

Donde LO es la ganancia del observador en forma canónica observable, L la ganancia del observador y TO la matriz de transformación a la forma canó-nica controlable.

3.6.5 ¿Cuál es la diferencia entre un observador predictor y un estimador?

3.6.6 En un observador de orden reducido, reescriba las ecuaciones del ob-servador para el caso en el cual solo se tiene acceso a mediciones hasta el instante k.

3.6.7 En un sistema de control por realimentación de variables de estado con entrada de referencia, demuestre que

Para el sistema en lazo abierto:

Encontrar las ganancias del controlador de realimentación de variables de estado K y del observador L, tal que los polos en lazo cerrado del controlador sean , y los del observador . Usar un esque-ma con entrada de referencia.

3.6.8 Dado el siguiente sistema en espacio de estados en tiempo continuo:


Calcule el vector de ganancias K para un sistema de control en lazo cerra-do discreto, con tiempo de muestreo T = 0.1 s., usando el método de ubicación de polos con la ecuación de Sylvester. Use los siguientes polos como los desea-dos en lazo cerrado:

3.6.9 En la solución para el control por realimentación de variables de estado usando ubicación de polos con la ecuación de Sylvester, el vector de ganancias K obtenido:

a. Es independiente de la matriz Gb. Es diferente para cada matriz Gc. Depende de los valores propios de la matriz G

Donde la ecuación de Sylvestre está definida como: AX − XΛ = BG.

3.6.10 Demuestre que para un sistema en espacio de estado no existe una repre-sentación única. Sugerencia: use la transformada de similitud.

3.6.11 Dado el siguiente sistema en espacio de estados en tiempo discreto:

a. Encuentre manualmente el vector de ganancias K para un sistema de control en lazo cerrado discreto, con tiempo de muestreo T = 0,1 s, usan-do el método de la transformada de similitud. Use los siguientes polos como los deseados en lazo cerrado:

b. Encuentre la ganancia L de un observador de oscilaciones muertas de orden completo por el método de Ackerman.

3.6.12 Para un sistema de dos tanques con agua conectados en cascada, ver 3.20, se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones en diferencia que describen su comportamiento dinámico, con un tiempo de muestreo T = 0.4s:

Donde es el nivel del tanque 1, nivel del tanque 2, el flujo volu-métrico de entrada. Para este sistema se desea diseñar un sistema de control


por realimentación del vector de estado para controlar el nivel del tanque dos con una acción feedforward (N), de tal forma que la respuesta ante una

entrada paso tenga un y un tiempo de establecimiento ts = 5 s. Tenga en cuenta que, para la implementación de este controlador, solo se cuenta con la medición del nivel del taque dos. Grafique el diagrama de bloques del sistema de control diseñado.

Figura 3.20. Sistema problema 3.6.13

Fuente: el autor

3.6.13 Para el siguiente sistema:

Donde representa las variables de estado no medibles y las medibles, hallar la fórmula de Ackerman para un observador de orden reducido para

3.6.14 Diseñar un controlador de realimentación de variables de estado con acción integradora en tiempo discreto para el siguiente sistema:

Donde los polos deseados en lazo cerrado son . Tome un tiempo de muestreo T = 0.1 s.


3.6.15 Demostrar que la matriz de controlabilidad es:

Donde n es el orden del sistema.

3.6.16 Obtener del sistema mostrado en la Figura 3.21 la representación de las matrices A, B, C, D de la representación en espacio de estado en tiempo conti-nuo. Tome como la entrada y como la salida del sistema.

Figura 3.21. Esquema filtro activo problema 3.6.17

Fuente: el autor

3.6.17 Diseñar un controlador por realimentación de variables de estado con acción integradora para el sistema del punto anterior, tome el tiempo de mues-treo T = 20 ms y los polos deseados de lazo cerrado .

3.6.18 En un proyecto de ingeniería, se le pregunta al ingeniero de control sobre la posibilidad de diseñar un sistema de control para el sistema representado por el siguiente modelo:

Si usted fuera ese ingeniero de control, ¿qué respondería? Sí o No, justifi-que su respuesta.

3.6.19 En una representación en espacio de estado, si definimos la entrada , demuestre que los polos en lazo cerrado son los valores propios

de la matriz A − BK.


3.6.20 Dada la siguiente ecuación diferencial:

Donde M = 5 kg, b = 3 kg/s y k = 1 kg/s2.a. Hallar la representación en espacio de estado del sistema.b. Discretizar el sistema usando el método del zoh y tomando un tiempo

de muestreo T = 1 s.c. Diseñar un controlador por realimentación de variables de estado que

pueda seguir una entrada de referencia, con los siguientes requerimien-tos, ts = 2 s y ζ = 0.7.

3.6.21 Qué condición se debe cumplir para que un sistema sea totalmente ob-servable. Demostrar.


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