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UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

FACULTAD DE MATEMATICAS

El teorema de completez para el operador de Schrodinger

y su relacion con la ecuacion KdV.

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

LICENCIADO EN MATEMATICAS.

P R E S E N T A:

Gerardo Hernandez Duenas.

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. Xavier Gomez-Mont Avalos.

SINODALES:

Dr. Stephen B. Sontz

Dr. Renato Iturriaga Acevedo

JUNIO DE 2005 GUANAJUATO, GUANAJUATO, MEXICO.

A toda mi familia, en especial a los mas pequenos, missobrinos

13 de julio de 2005

Agradecimientos

Primero que nada, quisiera agradecer a Dios. A toda mi familia, que aunque estuvieronlejos, siempre me apoyaron. Sin ellos no tendrıa sentido terminar esta carrera.

Quiero agradecer al director de tesis y amigo, el Dr. Xavier Gomez-Mont, por su apoyotanto academico como moral y todo el tiempo que dedico a la realizacion de este trabajo. Alos sinodales el Dr. Renato Iturriaga , por sus correcciones y sugerencias, y el Dr. StephenB. Sontz, por tantas platicas tan amenas en la correcciones. Al Dr. Adolfo Sanchez, por suayuda en la continuacion de mis estudios. Al Dr. Victor Nunez, por sus clases para poderaprender LaTex. A la Dra. Maite Fernandez, por leer el trabajo sin ningun compromiso. Amis companeros Vidal Alcala y Javier Chavez por su ayuda para manejar LaTex. A Veva,por alentarme a seguir adelante. A la M.en.C. Helga Fetter por ser mi asesora en la carrera.Al M. en C. Enrique Farias y al Ing. Martın Isaıas por prepararme en Colima antes de lle-gar a Guanajuato. A mis amigos de la Facultad de Matematicas y a los de la Facultad deQuımica, ası como a los que radican en Colima y otros estados, con quienes pase muy buenosmomentos. A toda la gente que conocı en Guanajuato y me brindo su amistad.

Finalmente, quiero agradecer a las instituciones que me ofrecieron becas para podermantener mis estudios: El Centro de Investigacion en Matematicas (Cimat, A.C.), el ConsejoNacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACyT) y el Gobierno del Estado de Colima medianteel Lic. Victorico Rodrıguez Reyes.

Contenido

Introduccion 7

Preliminares 110.1. Comportamiento ondulatorio de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.2. La ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.3. La ecuacion KdV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. Teorıa Espectral en el caso regular 191.1. Propiedades Basicas del Operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.1. Formulas asintoticas para los eigenvalores y eigenfunciones . . . . . . 261.1.2. La Teorıa de Sturm en los ceros de las soluciones . . . . . . . . . . . 381.1.3. Prueba del Teorema de Expansion por el Metodo de Ecuaciones Inte-

grales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. Teorıa Espectral en el Caso Singular 632.1. La ecuacion de Parseval en la media linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2. Los casos cırculo-lımite y punto-lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3. Representacion integral del resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4. La funcion Weyl-Titchmarsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.5. Operador de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.5.1. Prueba de la ecuacion de Parseval en la recta real . . . . . . . . . . . 942.5.2. Definicion del Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3. Relacion entre las Ecuaciones Schrodinger - KdV 1053.1. La derivada (Topologıa Fuerte de Operadores) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2. La invarianza de los eigenvalores discretos por una aproximacion elemental . 1093.3. La invarianza del Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4. Potenciales isoespectrales para la ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . 114

Introduccion

Mathematics proofs, like diamonds, are hard as well as clear, and will not betouched with nothing but strict reasoning

John Locke

El proposito de este trabajo es estudiar el espectro del operador de Schrodinger:

L := − ∂2

∂x2+ q(x) ,

donde q(x) se llama el potencial. Este operador es muy importante en la fısica, ya que esla base de la Mecanica Cuantica. Modela el comportamiento de los atomos. Por ejemplo, eloperador de Schrodinger en R3 (donde en lugar de segunda derivada aparece el Laplaciano)con potencial

q(x, y, z) = −1

r,

donde r = (x2 + y2 + z2)12 describe el comportamiento del atomo de hidrogeno, aunque cabe

mencionar que para los demas elementos de la tabla periodica se complica mucho el estudiodel comportamiento. Un interes por estudiar el espectro es porque nos da informacion sobrelos niveles de energıa del atomo que se esta estudiando.

En este trabajo solo se trabaja con el operador de Schrodinger en una dimension. Enel primer capıtulo comenzamos con este operador en un intervalo finito [a, b]. Al tener esteoperador de segundo orden, es comun poner ciertas condiciones en la frontera. Suponiendo,por ejemplo, que tenemos un potencial q(x) continuo, el operador estara definido sobrefunciones de clase C2([a, b]), y las condiciones que vamos a escoger son:

y(a)cosα + y′(a)sinα = 0

Figura 1: Placa conmemorativa en la pared del edificio original del instituto para estudiosavanzados en Dublin, Eire.

8 Introduccion

y(b)cosβ + y′(b)sinβ = 0,

donde α y β son dos numeros reales cualesquiera.

Queremos estudiar el problema:Ly = λy,

donde λ ∈ C (veremos que no hay espectro continuo), que con las condiciones de fron-tera descritas antes, este problema es llamado el ¨problema de Sturm-Liouville¨. Uno de lospropositos principales de este capıtulo es probar que el conjunto de los eigenvalores para elproblema de Sturm-Liouville es infinito, sin puntos de acumulacion, acotado inferiormentey no superiormente, y que las correspondientes eigenfunciones forman una base ortonormalpara el espacio L2[a, b]. Este capıtulo estara dividido como sigue:

En la primera parte se estudian las propiedades basicas del operador. Por ejemplo, queeigenfunciones asociadas a eigenvalores distintos son ortogonales y que los eigenvalores sonreales. En la siguiente seccion (1.1.1) se estudia el comportamiento asintotico para los eigen-valores y las eigenfunciones. En la seccion 1.1.2 se da otra prueba de que el numero deeigenvalores es infinito, que son discretos y que estan acotados inferiormente y no superior-mente, mediante la teorıa de Sturm en los ceros de las soluciones.

En la seccion 1.1.3 trata sobre el proposito fundamental de este capıtulo: demostrar elteorema de expansion, que nos dice que el conjunto de las eigenfunciones normalizadascorrespondientes a los eigenvalores forman una base ortonormal para el espacio L2[a, b]. Laprueba es mediante el Metodo de Ecuaciones Integrales, uno de los tantos metodos que hay.Para lograr esto, lo que se prueba es la identidad de Parseval, y esto implica dicho resultado(teorema de expansion). En esta seccion tambien se obtiene una formula integral para elresolvente, con lo cual queda de manifiesto que este operador tiene resolvente compacta, yuna demostracion de esto se ve en [11]. Con todo esto ya tenemos lo necesario para ver queeste operador no tiene espectro continuo, segun se comenta tambien en esta ultima seccion.

El proposito fundamental del capıtulo 2 es probar el teorema de completez correspondi-ente en el caso singular. El operador de Schrodinger en la lınea entera R es diferente al casofinito, ya que en el primero puede haber un numero finito de eigenvalores y espectro contin-uo, a diferencia del segundo, o puede haber tambien un numero infinito de eigenvalores. Altomar las eigenfunciones correspondienes a los eigenvalores puede que estas no formen unabase de Hilbert para el espacio L2(R). En su lugar, el teorema de completez estara expresadoen funcion de integrales de Riemann-Stieljes con la medida dada por la funcion espectral,misma que detecta tanto el espectro discreto como el espectro continuo. La idea principalpara llegar al teorema de completez es estudiar este mismo teorema en el intervalo finito[a, b] (problema de Sturm-Liouville) y hacer tender a→ −∞ y b→∞.

En la primera parte del capıtulo 2 escribimos el teorema de completez para un intervalofinito [a, b] en funcion de integrales de Stieljes. De esta forma, obtenemos la funcion espec-tral (que en este caso tiene saltos en los eigenvalores) para los intervalos de la forma [0, b]la cual convergera cuando b→∞ (al menos una subsucesion) a la funcion espectral para el

9

intervalo [0,∞). Lo mismo ocurre con las transformadas de Fourier generalizadas. Con todoesto, en esta primera parte se prueba la identidad de Parseval en la media lınea [0,∞). Enla siguiente seccion (2.1.2) se prueba el teorema de completez (teorema de expansion). Enla siguiente (2.2) se analizan los casos cırculo-lımite y punto-lımite, los cuales al estudiarla tranformacion de Mobius, que transforma una lınea en el plano complejo en un cırculo,obtendremos una familia de tales cırculos que convergeran a un punto (el punto-lımite) o aun cırculo (el cırculo-lımite). Tales casos nos dan informacion de cuando tenemos solucionespara el problema Ly = λy que pertenezcan a L2(0,∞). Esto nos sera util para encontraren la siguiente seccion (2.3) la correspondiente representacion integral del resolvente. En laseccion 2.4 damos una relacion entre la funcion de Weyl-Titchmarsh obtenida en los casoscırculo-lımite y punto-lımite, y la funcion espectral.

En la seccion 2.5 hablaremos sobre el operador de Schrodinger en la recta real R. Elproposito principal en la primera parte es demostrar la correspondiente ecuacion de Parsevalen la recta real. En este caso es necesario obtener tres funciones en lugar de una funcion es-pectral, con la cual obtenemos la matriz espectral. Una vez probada la ecuacion de Parsevalen la recta real, podemos probar el correspondiente teorema de expansion para el operadorde Schrodinger. Finalmente, en la ultima parte de este capıtulo se da otra definicion delespectro en terminos de la funcion espectral en el caso de la media lınea, o en terminos dela matriz espectral ,en el caso de la lınea entera. Tales funciones detectan tanto el espectrodiscreto como el espectro continuo.

En el capıtulo 2 hemos visto el interes del estudio del espectro del operador de Schrodinger,y hemos probado algunas propiedades que pueden tener, como lo es el teorema de completez.En el estudio del espectro se obtuvo una relacion totalmente inesperada entre el espectro deeste operador con otras ecuaciones relevantes en la fısica, como lo es la ecuacion Korteweg-de Vries (ecuacion KdV). La ecuacion KdV modela muchos fenomenos fısicos, entre ellos,el movimiento de ondas en canales de agua poco profundas. Este es uno de los principalesdescubrimientos del analisis de Green-Gardner-Kruskal-Miura. En el caıtulo 3 estudiaremosesta relacion, misma que dice que las soluciones de la ecuacion KdV con un decaimientoconveniente para cuando |x| → ∞ son potenciales isoespectrales para el operador deSchrodinger. El que haya una relacion entre dos ecuaciones que modelan fenomenos distintosnos dice que posiblemente hay algo escondido que no hemos comprendido en su totalidad.El capıtulo esta dividido como sigue:

En la primera parte hablamos algo sobre la ecuacion KdV, especıficamente sobre lossolitones y mostramos los resultados de una pequena simulacion que hicimos. Tambienhablamos sobre la topologıa fuerte de operadores, para ası poder derivar familias de oper-adores con respecto a un parametro t. En la siguiente seccion llegamos a probar teoremasque nos son utiles para a su vez probar la invarianza del espectro discreto, usando la teorıade Peter D. Lax (ecuaciones de tipo Lax). En la siguente seccion probamos el teorema cor-respondiente que nos servira de base para probar la invarianza del espectro tanto discretocomo continuo. Cabe mencionar la elegancia con que se demuestran estos teoremas, uno delos principales atractivos de esta teorıa. Finalmente, en la ultima parte de este capıtulo 3 sehabla de las soluciones de la ecuacion KdV como potenciales isoespectrales para el operador

10 Introduccion

de Schrodinger. La forma de proceder en esta seccion es ir en busca de familias de potencialesde cierta forma de tal manera que cumplan con las hipotesis de los teoremas demostradosen las secciones anteriores. Al ir en busca de estas familias llegamos a encontrar la ecuacionKorteweg-de Vries!!!.

Esperamos que este trabajo despierte el interes en el estudio de la teorı’a de operadores,principalmente en el estudio del operador de Schrodinger, y que sirva para entender un pocola teorıa espectral de operadores auto-adjuntos densamente definidos en espacios de Hilbert.

Quisiera expresar mi gratitud a mi familia por todo su apoyo, al Dr. Xavier Gomez-Montpor su apoyo, ayuda y asesoramiento , a los sinodales por sus correcciones y sugerencias, alCimat por su ayuda economica y ensenanza, al Dr. Adolfo Sanchez por toda su ayuda en lacontinuacion de mis estudios, a mis maestros y amigos.

Gerardo Hernandez Duenas

Preliminares

Antes de comenzar con la teorıa , me gustarıa explicar de donde viene el operador deScrodinger y cual es su importancia. Esta parte es extraida de [4]. Tambien explicare unpoco sobre la ecuacion KdV, extraido del articulo de Moser [8].

Where did we get that equation from?Nowhere. It is not possible to derive it from anything you know. It came out of

the mind of Schrodinger.Richard Feynman

0.1. Comportamiento ondulatorio de la materia

Una de las cosas importantes en la fısica es entender la naturaleza de la luz. El consider-ar a la luz como una onda habıa ya sido retado y cuestionado por Planck y Einstein. Elloshabıan mostrado que algunos resultados de ciertos experimentos eran imposibles de entenderen terminos de ondas, y era facil de explicar si considerabamos a la luz como una torrente departıculas, ahora conocidos como fotones. Prince Louis de Broglie sugirio que toda materia,aun los objetos que los consideramos como partıculas -tales como los electrones- tambientendran un comportamiento ondulatorio. Esta revolucionaria idea fue completamente ines-perada y mas aun, fue incluida por de Broglie en su tesis de doctorado. Los fısicos de laepoca no podıan aceptar una idea nueva tan salvaje como esta, especialmente si no habıasuficiente evidencia que la apoyara. Sin embargo, Langevin, un eminente fısico de esos dias,fue sensato al pedirle a de Broglie una copia extra de su tesis para enviarsela a Einstein paraque diera su opinion. Einstein se impresiono y lo que dijo del trabajo de de Broglie fue: ¨Ibelieve it is a first feeble ray of light on this worst of our physics enigmas¨. Afortunadamente,el comite encargado tomo la desicion correcta y dio a de Broglie su doctorado. Solo algunosanos mas tarde, en 1927, el comportamiento ondulatorio de los electrones fue demostrado-por Davisson y Germer en E.E.U.U. , y por G.P. Thomson en Escocia- y ambos de Broglie,en 1929, y Davisson y Thomson , en 1937, recibieron el premio Nobel por sus trabajos.

La pregunta natural que nos hacemos es: Si todas las partıculas pueden comportarse comoondas, ¿Por que no vemos ese comportamiento? ¿Por que no podemos ver el comportamientoondulatorio de las balas, de las bolas de billar o de los carros? La respuesta a esas preguntasesta en la pequenez de la constante de Planck. De acuerdo a de Broglie la longitud de ondaasosiados a esos objetos es muy pequena. De Broglie sugirio que una partıcula viajando con

12 Preliminares

Figura 2: Prince Louis de Broglie (1892-1987) descendio de una familia Francesa cuyotatarabuelo murio en la guillotina durante la revolucion francesa. De Broglie inicialmenteestudio historia, pero mientras servıa en la armada francesa durante la Primera GuerraMundial se intereso en la ciencia. Su relacion con las matematicas le ayudo a entender elcomportamiento ondulatorio de la materia. Murio en marzo de 1987

Figura 3: Erwin Schrodinger (1887-1961) fue educado en Viena, y durante la Primera GuerraMundial sirvio como oficial de artillerıa. Despues de la guerra decidio abandonar la fısica yestudio filosofıa pero la universidad en la que esperaba trabajar ya no estuvo mas en Austria.Afortunadamente, Schrodinger volvio a retomar la fısica y descubrio la ecuacion central dela mecanica cuantica en 1926. En 1928 trabajo como profesor en Berlin, en lugar de MaxPlanck, pero dejo Alemania despues de que Hitler subio al poder y se convirtio en profesorde fısica teorica en el instituto para estudios avanzados en Dublin, Eire.

cierto momento p tienen una longitud de onda asociada dada por la expresion:

λ =h

p,

conocida como la relacion de de Broglie.

0.2. La ecuacion de Schrodinger

Al tiempo en que descubrio su famosa ecuacion, Erwin Schrodinger era un fısico austri-aco que trabajaba en Zurich. El profesor Debye, jefe del grupo de investigadores en Zurich,habıa escuchado de esas ondas peculiares estudiadas por de Broglie y le pidio a Schrodingerque explicara esas ideas al resto del grupo. Schrodinger lo hizo, y cuando termino, Debye

0.2. La ecuacion de Schrodinger 13

Figura 4: Una montana rusa ilustrando la conservacion de energa

remarco que todo esto parecıa un poco infantıl, ya que al tener comportamiento ondula-torio de la materia, uno deberıa tener una ecuacion de onda que describa como las ondasse mueven de un lugar a otro. Estimulado por esto, Schrodinger descubrio la ecuacion queahora lleva su nombre. Este fue un descubrimiento importante porque permitio a los fısicoshacer calculos en el movimiento de ondas, y hacer ası predicciones que podrıan ser compara-dos con experimentos. Ası como Newton supuso la ley que describe toda la fısica clasica,Schrodinger supuso la ley que describe el movimiento de objetos cuanticos. Antes de escribirla ecuacion de Schrodinger, vamos a introducir el principio de conservacion de energıa, paraque no parezca esto como sacar un conejo de un sombrero.

Imagine usted que va en una montana rusa, como en la figura. Si comenzamos en el finalde la montana hacia la izquierda, cuando nos deslizamos en el carro hacia abajo iremos masy mas rapido hasta el fondo de la montana rusa. Comenzamos a ir hacia arriba del otro lado,e iremos gradualmente disminuyendo la velocidad hasta parar. El movimiento del carro ilus-tra el principio de conservacion de energıa. Cuando comenzamos en la parte mas alta de lamontana, no tenemos energıa cinetica, la energıa debida a la velocidad. Cuando alcanzamosla velocidad mas alta, en el fondo de la montana, tenemos el valor maximo de la energıacinetica. Cuando viajamos del otro lado, perdemos energıa cinetica hasta llegar de nuevo ala cima de la montana (sin considerar la friccion, entre otras cosas.). ¿A donde se fue todala energıa cinetica? Usamos toda la energıa cinetica para que el carro y sus ocupantes subanhasta la cima de la montana. La forma de describir esto es diciendo que hacemos trabajoen contra de la gravedad y cuando alcanzamos una altura, ganamos lo que se llama energıapotencial gravitacional. Cuando comenzamos, no tenıamos energıa cinetica, pero estabamos

14 Preliminares

a cierta altura, fuimos capaces de convertir nuestra energıa potencial gravitacional en energıacinetica deslizandonos por la montana y perdiendo altura. El total de energıa es siempre lamisma, pero su forma puede cambiar. En principio, el carrito se desliza hasta el fondo dela montana y llega del otro lado exactamente a la misma altura a la que comenzamos. Porsupuesto, un carro en una montana rusa real no llegara hasta la misma en que comenzo, estoes debido a que hay energıa friccional perdida, entre otras cosas. Para hacer mas simple estadiscusion, vamos a ignorar tales perdidas y vamos a suponer que tenemos una montana rusamuy resbalosa y lustrada. La conservacion de la energıa en nuestro ejemplo de la montanarusa puede ser resumido diciendo que el total de energıa , para la cual usamos en sımboloE es constante, variando las cantidades de la energıa cinetica K, y de la energıa potencial,denotada por V. Esto es:

E = K + V . (1)

Esta ecuacion es verdadera en cualquier posicion del carro en el camino de la montanarusa en cualquier momento. Hay otra forma de expresar la energıa, la cual es util mas tarde.El momento p de un objeto esta dada por su masa m multiplicada por su velocidad.

p = m v.

De la leyes de Newton podemos mostrar que la energıa cinetica y el momento estanrelacionados mediante la ecuacion:

K =p2

(2m)

Entonces, nuestra relacion de la energıa 1 puede reescribirse como:

E =p2

(2m)+ V ,

la cual es una ecuacion que relaciona la energıa total, el momento y la energıa potencial.

¿Como podemos hacer todo esto con electrones y la ecuacion de Schrodinger?

Es posible hacer una ¨montana rusa¨ similar para electrones. Objetos cuanticos comolos electrones todavıa obedecen el principio de conservacion de energıa. No podemos crear operder energıa a nivel cuantico, pero, como en nuestro ejemplo de la montana rusa, la energıapuede ser cambiada de una forma a otra. En este caso, la energıa potencial no es debida a lagravedad, sino a energıa potencial electrica. Los electrones, con su carga electrica negativason atraıdos a regiones con carga positiva. Podemos usar una baterıa y un arreglo de laminasde metal para formar la energıa potencial electrica, y la curva tendra la misma forma que lamontana rusa. Los electrones moviendose a traves de este sistema de laminas seran atraıdospor la carga positiva y seran acelerados, ganando energıa cinetica. Otra vez, como en lamontana rusa, esta ganancia de energıa cinetica esta compensada por la correspondienteperdida de energıa potencial, ahora en la forma de energıa potencial electrica. Como antes,podemos escribir la ecuacion que describe este fenomeno:

E =p2

(2m)+ V ,

0.2. La ecuacion de Schrodinger 15

Figura 5: Aparato que pruduce un electron en una montana rusa

donde V ahora es la energıa potencial electrica.

Esta ecuacion fue el punto de partida de Schrodinger. Usando la relacion de de Broglieentre momento y longitud de onda, Schrodinger fue capaz de suponer y encontrar la formade la ecuacion de onda para un objeto cuantico viajando en un potencial. La ecuacion deSchrodinger se describe abajo:

Ecuacion de Schrodinger:

Para el movimiento de una partıcula con energıa total E, moviendose en una dimensionen una region en la cual hay un potencial V , la ecuacion de Schrodinger es:

Eψ = − ~2m

∂2ψ

∂x2+ V ψ ,

donde ψ representa la amplitud de probabilidad , m es la masa de la partıcula y ~ es laconstante de Planck, dividida por 2π.

Para modelar el comportamiento del atomo de hidrogeno vimos que hay que trabajaren R3 con el Laplaciano y dimos el potencial que hace esto, pero si se quiere trabajar conotros elementos hay que incrementar la dimension del espacio. Por ejemplo, para el atomode Helio, el operador correspondiente es:

−∆1 −∆2 −1

r1− 1

r2+

1

|r1 − r2|

en L2(R6), donde ∆1 es el Laplaciano en las primeras 3 coordenadas y ∆2 es el Laplacianoen las coordenadas numero 4 5 y 6.

16 Preliminares

0.3. La ecuacion KdV

Para empezar a hablar de la ecuacion KdV, me gustarıa comenzar hablando de los soli-tones (ver [8]):

En el artıculo de Moser [8] se habla sobre simetrıas escondidas en Sistemas Dinami-cos y habla sobre como encontrar tales simetrıas (algunas). En este artıculo esta explicadocual es el significado de las simetrıas y menciona que un ejemplo de tales simetrıas fue des-cubierto por Kruskal y sus colaboradores en Princeton alrededor del ano 1965 (Gardner etal. 1964). Esta es una ecuacion diferencial parcial que describe ondas en canales de agua.Esta ecuacion tiene la forma de una ecuacion diferencial parcial de orden 3 que fue derivadapor Korteweg y de Vries a finales del siglo XIX:

ut + u ux + uxxx = 0 .

Estas ecuaciones no son, por supuesto, descripciones exactas de las ondas. Estas fueronel resultado de simplificaciones drasticas, como por ejemplo, considerar las ondas en una soladimension.

Estas ecuaciones admiten soluciones simples, las cuales son clasificadas como periodicasy solitarias. Una solucion de la forma:

u = ψ(x− ct)

es llamada periodica si ψ es una funcion periodica, y solitaria si ψ(x) → 0 cuando x→ ±∞.Las ondas solitarias tienen la forma explıcita:

u =3c

cosh2(c12

2(x− ct)

) ,

donde c es la velocidad de propagacion.

La propiedad de estabilidad de esta ondas fue descrito por John Russell en 1834. Russellobservo que las ondas no cambiaban su forma o disminuıan su velocidad hasta por dos mil-las en una canal (probablemente el canal Edinburgh-Glasgow). En 1965 Kruskal y Zabuskydescubrieron un fenomeno mas remarcable cuando hicieron estudios numericos de la interac-cion de varias ondas. Consideraron dos ondas moviendose en la misma direccion a diferentesvelocidades, y en diferentes posiciones. Despues de un tiempo, la onda mas rapida alcanzo ala onda mas lenta. Como las ecuaciones son no lineales, la interaccion es extremadamentedifıcil de describir (no es solo sumar las dos ondas), pero sorpresivamente, despues de untiempo, las dos ondas se separaron como la forma original que llevaban. Estas ondas se com-portan como partıculas, y este fue el hecho que le permitio a Kruskal llamarlas solitones,un termino inspirado por ideas de la teorıa de campos cuanticos. Este remarcable fenomenohizo a este problema fascinante y atrajo la atencion tanto de matematicos como de fısicos.

En los ultimos annos un gran numero de sistemas han sido descubiertos, y tambien variastecnicas para resolver tales ecuaciones, mas o menos explıcitas, han sido desarrolladas. En

0.3. La ecuacion KdV 17

1968 Lax [5] explico el porque de este fenomeno, basandose en las leyes de conservacion,previamente encontradas por Gardner, Green, Kruskal y Miura (1974). Gardner y sus colegasdieron un metodo interesante para integrar esta ecuacion, aplicando ¨scattering theory¨ aotra ecuacion (ver Novikov [9]). En 1973 Hirota, un fısico en Japon encontro una expresionexplıcita que describe el comportamiento de varios solitones simultaneos. Esto ultimo vieneexplicado en Novikov [9]. Se analiza un poco mas esto al principio del capıtulo 3

Capıtulo 1

Teorıa Espectral en el caso regular

1.1. Propiedades Basicas del Operador

Para este capıtulo me base en el libro de Levitan [6], aunque otras cosas se obtuvieronde otros lados, lo cual lo mencionare en su momento.

El operador (llamado de Schrodinger en el caso de la recta real o de la media lınea yllamado de Sturm-Liouville en el intervalo finito [a, b]) tiene la forma:

L :=∂2

∂x2+ q(x),

donde q(x) se llama el potencial del operador. Podemos considerar, en un principio, que elpotencial es continuo.

El problema es que, como la mayorıa de los operadores que aparecen en la fısica sonoperadores que no estan acotados, y que no estan definidos en todo el espacio de Hilbert enque estamos trabajando, pero que, sin embargo, si estan definidos en un subespacio denso delespacio de Hilbert. Esto pasa en nuestro operador anterior, pero lo importante y no triviales escoger el espacio en el que va a estar definido. Es muy importante escoger el subespaciodenso en que va a estar definido el operador, ya que el espectro puede cambiar drastica-mente, y ejemplos de que esto ultimo ocurre lo podemos encontrar en [10]. Tambien en estelibro podemos encontrar teorıa sobre operadores no acotados. Al tener un operador que esen principio simetrico nos podrıa quedar un operador auto-adjunto con otro dominio masgrande, por lo que si hay que tener cuidado al escoger el dominio.

En nuestro caso, el operador segunda derivada puede estar definido por ejemplo, en unespacio de Sobolev. El operador multiplicacion por una funcion medible q(x), digamos Mq

tiene como dominio:

DMq := {y ∈ L2[a, b]∣∣∣ q(x)y(x) ∈ L2[a, b]}

20 1. Teorıa Espectral en el caso regular

Pero entonces, ¿la suma que dominio tiene?¿sera la interseccion?.

Si suponemos que q es acotada, tendremos:

DMq = L2[a, b]

Por lo que el operador de Schrodinger podra estar definido en un espacio de Sobolev.

Definicion 1.1.1. Sea L un operador lineal densamente definido (definido en un subespaciodenso D en el espacio de Hilbert L2[a, b] con la medida de Lebesgue y con el producto interiorusual). Un elemento y ∈ D, y 6= 0 se llama un eigenvector de L si Ly = λy; al numero λ sele llama un eigenvalor de L.

El operador que nos interesa en este seccion es el siguiente:

L = − ∂2

∂x2+ q(x)

donde la funcion q(x) es real, y para comenzar, vamos a suponer tambien que es continuaen un intervalo [a, b]. En este caso los elementos sobre los que actua L son funciones y(x)tienen dos derivadas y ciertas condiciones en la frontera del intervalo [a, b].

Las condiciones de frontera mas importantes para el operador L son las siguientes:

1.

y(a)cosα + y′(a)sinα = 0 (1.1)

y(b)cosβ + y′(b)sinβ = 0, (1.2)

donde α y β son dos numeros reales cualesquiera, y

2.

y(a) = y(b), y′(a) = y

′(b) (1.3)

Uno de los objetivos de esta capıtulo es el estudio del problema con valores en la frontera, conocido como el problema de Sturm-Liouville:

Ly(x) = −∂2y

∂x2+ q(x)y = λy, (1.4)

y(a)cosα + y′(a)sinα = 0, y(b)cosβ + y

′(b)sinβ = 0. (1.5)

En particular, en las siguientes secciones demostraremos que los eigenvalores del problemade Sturm-Liouville son reales, que son un conjunto numerable , que estan acotados por abajo,que no tienen punto de acumulacion y que no estan acotados por arriba. Si λ1 < λ2 < ... <λn < ..., las correspondientes eigenfunciones normalizadas forman una ortonormal (base deHilbert) para L2[a, b].

1.1. Propiedades Basicas del Operador 21

Definicion 1.1.2. Un problema de Sturm-Liouville se dice que es regular si el intervalo [a, b]es finito, y la funcion q(x) es integrable en este intervalo. Por otro lado, si [a, b] es infinito, osi q(x) no es integrable en el intervalo, o ambos, se dice que el problema de Sturm-Liouvillees singular.

Nota:. En este capıtulo se analiza el caso regular, y en el capıtulo siguiente el caso singular.

Vamos a considerar los problemas con valores en la frontera 1.4 , 1.5. Sin perdida degeneralidad, asumiremos que a = 0 y b = π, pues los dos problemas son equivalentes, bajoun cambio de coordenadas de la forma x 7→ ax+ b

Lema 1.1.1. Eigenfunciones y(x, λ1) y y(x, λ2), correspondientes a distintos eigenvalores,son ortogonales, i.e., ∫ π

0

y(x, λ1)y(x, λ2)dx = 0, (λ1 6= λ2).

El producto interior en L2[a, b] es

< f, g >L2=

∫ π

0

f(x)g(x)dx ,

pero usando este lema probaremos tambien que las eigenfunciones son reales, por lo que nosquedara y(x, λi) = y(x, λi).

Demostracion. Sean f(x) y g(x) funciones continuas y dos veces diferenciables. Pongamos:

Lf = f′′(x)− q(x)f(x).

Si integramos por partes en cada integral, obtenemos lo siguiente:∫ π

0

Lfg(x)dx−∫ π

0

f(x)Lgdx = −( ∫ π

0

(f′′(x)−q(x)f(x))g(x)dx−

∫ π

0

f(x)(g′′(x)−q(x)g(x))dx

)= −

( ∫ π

0

f′′g(x)dx−

∫ π

0

f(x)g′′(x)dx

)= −

(f

′(π)g(π)− f ′

(0)g(0)−∫ π

0

f′(x)g

′(x)dx− (f(π)g

′(π)− f(0)g

′(0)−

∫ π

0

f′(x)g

′(x)dx)

)= −

(f

′(π)g(π)− f(π)g

′(π)−

(f

′(0)g(0)− f(0)g

′(0)

))= Wπ{f, g} −W0{f, g},

donde

Wx{f, g} = det

(f(x) f ′(x)g(x) g′(x)

)= f(x)g

′(x)− f

′(x)g(x)

denota el Wronskiano de f y g en el punto x. Tomemos f(x) = y(x, λ1) y g(x) = y(x, λ2).De las condiciones de frontera tenemos que

W0{f, g} = Wπ{f, g} = 0, ya que :


Si senα 6= 0 entonces f ′(0) = −cotα f(0) y g′(0) = −cotα g(0), y

W0{f, g} = f(0)g′(0)− f ′(0)g(0) = f(0)(−cotα f(0))− (−cotα f(0))g(0) = 0,

y lo demas es analogo.Entonces tenemos que:

(λ1 − λ2)

∫ π

0

y(x, λ1)y(x, λ2)dx = 0

y como λ1 6= λ2 el lema esta probado

Lema 1.1.2. Los eigenvalores del problema con valores en la frontera descrito antes, sonreales.

Demostracion. Sea λ1 = u+iv un eigenvalor complejo. Veamos que λ2 =−λ= u−iv es tambien

un eigenvalor, con eigenfuncion−y (x, λ1).

ComoLy(x, λ1) = −y′′

(x, λ1) + q(x)y(x, λ1) = λ1y(x, λ1)

Entonces, dado que la funcion q(x) es real.

−y

′′

(x, λ1) + q(x)−y (x, λ1) =

−λ1

−y (x, λ1)

Tambien cumple con las condiciones en la frontera, pues los numeros α y β son reales.

Por tanto,−λ es tambien un eigenvalor de L.

Supongamos que λ no es real, i.e.,−λ 6= λ. Entonces, por el lema anterior tendrıamos que:∫ π

0

|y(x, λ1)|2dx = 0.

Ya hemos visto que el problema en un intervalo [a, b] es equivalente al problema [0, π],pero volveremos a retomar el intervalo [a, b] porque haremos tender b → ∞ para pasar alcaso singular.

Entonces y(x, λ1) = 0 lo cual es una contradiccion pues y(x, λ1) es una eigenfuncion.

Demostraremos ahora la existencia de soluciones de la ecuacion (1.4) con condicionesiniciales, a diferencia de las condiciones de frontera.

Como dijimos antes, primero vamos a suponer que el potencial q(x) es continuo. Notemosque para tener una ¨soluciondel problema

Ly = λy ,

al menos y debe tener dos derivadas, luego, como tendremos:

y′′(x) = (−λ+ q(x))y(x)


y y(x), q(x) son continuas, y′′ sera continua, por lo que y ∈ C2[a, b].Por todo lo visto anteriormente, tenemos la siguiente definicion:

Definicion 1.1.3. Si q(x) es una funcion continua en [a, b]. Una solucion del problemaLy = λy es una funcion y ∈ C2[a, b] que cumplen con la ecuacion diferencial en cada punto.

Teorema 1.1.3. Si q(x) es una funcion continua en el intervalo [a, b], entonces para cadaα existe una unica solucion ϕ(x, λ) , a 6 x 6 b, de la ecuacion Ly = λy tal que:ϕ(a, λ) = sinα, ϕ

′(a, λ) = −cosα.

Para cada x ∈ [a, b] fijo, la funcion ϕ(x, λ) es una funcion entera de λ, como variablecompleja

Demostracion. Pongamos:

ϕ0(x, λ) = senα− (x− a)cosα,

y para n > 0 sea:

ϕn(x, λ) = ϕ0(x, λ) +

∫ x

a

{q(t)− λ}ϕn−1(t, λ)(x− t)dt. (1.6)

Como q es continua, ∃M > 0 tal que |q(x)| < M para a 6 x 6 b . Sea |λ| 6 N (para queλ este en compactos). Ademas ∃K > 0 tal que |ϕ0(x, λ)| 6 K para a 6 x 6 bEntonces:

|ϕ1(x, λ)− ϕ0(x, λ)| = |∫ x

a

{q(t)− λ}ϕ0(t, λ)(x− t)dt| 6∫ x

a

|q(t)− λ||ϕ0(t, λ)||x− t|dt

6 (M +N)K

∫ x

a

|x− t|dt =

∫ x

a

(x− t)dt =1

2(x− a)2.

Entonces

|ϕ1(x, λ)− ϕ0(x, λ)| 6 1

2K(M +N)(x− a)2,

y ademas:

ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ) =

∫ x

a

{q(t)− λ}(ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ))(x− t)dt. (1.7)

Entonces:

|ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ)| 6 (M +N)(b− a)

∫ x

a

|ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)|dt,

pues como a 6 x 6 b y a 6 t 6 x entonces 0 6 x− t 6 b− a. Entonces:

|ϕ2(x, λ)− ϕ1(x, λ)| 6 (M +N)(b− a)

∫ x

a

|ϕ1(t, λ)− ϕ0(t, λ)|dt

6 (M +N)(b− a)

∫ x

a

1

2K(M +N)(t− a)2dt =

(M +N)2K(b− a)

2

∫ x

a

(t− a)2dt


=(M +N)2K(b− a)(x− a)3

3!

Vamos a probar por induccion que

|ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ)| 6 K(M +N)n(b− a)n−1(x− a)(n+1)

(n+ 1)!.

Para n = 1 ya vimos que se cumple. Supongamos que se cumple para algun n ∈ N. Probemosentonces que se cumple para n+ 1:

|ϕn+1(x, λ)− ϕn(x, λ)| = |∫ x

a

{q(t)− λ}(ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ))(x− t)dt|

6 (M +N)K(M +N)n(b− a)n−1

(n+ 1)!(b− a)

∫ x

a

(t− a)n+1dt

=K(M +N)n+1(b− a)n

(n+ 1)!

((x− a)n+2

n+ 2

)=K(M +N)n+1(b− a)n(x− a)n+2

(n+ 2)!.

Por tanto, tenemos que, en general:

|ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ)| 6 K(M +N)n(b− a)n−1(x− a)n+1

(n+ 1)!∀n ∈ N

Con esto, tenemos que la serie:

ϕ(x, λ) = ϕ0(x, λ) +∞∑n=1

{ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ)

}(1.8)

converge uniformemente en λ para |λ| 6 N y uniformemente en x para a 6 x 6 b. Ahora,para N > 2 tenemos que:

ϕ′′(x, λ) =

∞∑n=1

(ϕ

′′

n(x, λ)−ϕ′′

n−1(x, λ))

= ϕ′′

1(x, λ)−ϕ′′

0(x, λ) +∞∑n=2

(ϕ

′′

n(x, λ)−ϕ′′

n−1(x, λ)),

pero para n>2, tenemos por la ecuacion 1.7 que:

ϕ′

n(x, λ)− ϕ′n−1(x, λ) =d

dx

(x

∫ x

a

{q(t)− λ}(ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)

)dt

−∫ x

a

t{q(t)− λ}(ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)

)dt

)=

∫ x

a

{q(t)− λ}(ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)

)dt+ x(q(x)− λ)(ϕ(x, λ)− ϕn−2(x, λ))

−x(q(x− λ))(ϕn−1(x, λ)− ϕn−2(x, λ)).

=

∫ x

a

{q(t)− λ}(ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)

)dt


Entonces, para n>2:

ϕ′′n(x, λ)− ϕ′′n−1(x, λ) = (q(x)− λ)(ϕn−1(x, λ)− ϕn−2(x, λ)

)Por lo que

ϕ′′(x, λ) = ϕ′′

1(x, λ) +∞∑n=2

(q(x)− λ)(ϕn−1(x, λ)− ϕn−2(x, λ)

)= ϕ

′′

1(x, λ) +∞∑n=1

(q(x)− λ)(ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ))

Para n = 1 tenemos algo similar:

ϕ1(x, λ) = ϕ0(x, λ) +

∫ x

a

(q(t)− λ)ϕ0(t, λ)(x− t)dt

ϕ′

1(x, λ) = ϕ′

0(x, λ) +d

dx(x

∫ x

a

(q(t)− λ)ϕ0(t, λ)dt−∫ x

a

(q(t)− λ)ϕ0(t, λ)tdt)

= ϕ′

0(x, λ) +

∫ x

a

(q(t)− λ)ϕ0(t, λ)dt+ x(q(x)− λ)ϕ0(x, λ)− (q(x)− λ)ϕ0(x, λ)x

= ϕ′

0(x, λ) +

∫ x

a

(q(t)− λ)ϕ0(t, λ)dt

ϕ′′

1(x, λ) = 0 + (q(x)− λ)ϕ0(x, λ)

∴ ϕ′′(x, λ) = (q(x)− λ)(ϕ0(x, λ) +

∞∑n=1

(ϕn(x, λ)− ϕn−1(x, λ)))

= (q(x)− λ)ϕ(x, λ).

Entonces ϕ(x, λ) satisface la ecuacion deseada. Ahora veamos que cumple con las condicionesde frontera:

ϕ(a, λ) = ϕ0(a, λ) +∞∑n=1

{ϕn(a, λ)− ϕn−1(a, λ)}

= senα+∞∑n=1

∫ a

a

(q(t)− λ)(ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)

)(x− t)dt

= senα.

Ademas:

ϕ′(a, λ) = ϕ

′

0(a, λ) +∞∑n=1

{ϕ

′

n(a, λ)− ϕ′

n−1(a, λ)}

=

= −cosα +∞∑n=2

∫ a

a

(q(t)− λ){ϕn−1(t, λ)− ϕn−2(t, λ)}dt = −cosα.

Si fijamos x ∈ [0, π], ϕ(x, λ) es una funcion entera de la variable λ porque la convergenciade la serie (1.8) es uniforme y porque, por la estructura de las funciones ϕn(x, λ) vista en larelacion (1.6), las ϕn(x, λ) son tambien funciones enteras.


1.1.1. Formulas asintoticas para los eigenvalores y eigenfunciones

Definamos h = −cotα y H = cotβ. Entonces el problema con valores en la frontera 1.5se puede reescribir en la forma:

y′(0)− hy(0) = 0, y

′(π) +Hy(π) = 0 (1.9)

Denotemos por ϕ(x, λ) la solucion de la ecuacion (1.4) satisfaciendo las condiciones:

ϕ(0, λ) = 1, ϕ′(0, λ) = h (1.10)

y por ψ(x, λ) la solucion de la misma ecuacion, satisfaciendo las condiciones iniciales:

ψ(0, λ) = 0, ψ′(0, λ) = 1 (1.11)

Lema 1.1.4. Sea λ = s2. Entonces:

ϕ(x, λ) = cossx+h

ssensx+

1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ, (1.12)

ψ(x, λ) =sensx

s+

1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)ψ(τ, λ)dτ. (1.13)

Demostracion. Primero probemos la primer relacion:∫ x

0

sen{s(x−τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ =

∫ x

0

sen{s(x−τ)}ϕ′′(τ, λ)dτ+s2

∫ x

0

sen{s(x−τ)}ϕ(τ, λ)dτ .

Integrando por partes la primera suma de la derecha tenemos:∫ x

0

sen{s(x− τ)}ϕ′′(τ, λ)dτ = sen(s(x− τ))ϕ

′(τ, λ)

∣∣∣x0−

∫ x

0

cos(s(x− τ))(−s)ϕ′(τ, λ)dτ

y ∫ x

0

cos(s(x− τ))ϕ′(τ, λ)dτ = cos(s(x− τ))ϕ(τ, λ)

∣∣∣x0−

∫ x

0

−sen(s(x− τ))(−s)ϕ(τ, λ)dt

∴∫ x

0

sen(s(x−τ))ϕ′′(τ, λ)dτ = −sen(sx)h+s

(ϕ(x, λ)−cos(sx)−s

∫ x

0

sen(s(x−τ))ϕ(τ, λ)dτ)

∴∫ x

0

sen(s(x− τ))q(τ)ϕ(τ, λ)dτ = −hsen sx+ sϕ(x, λ)− scos(sx)

∴ ϕ(x, λ) = cossx+ hssensx+ 1

s

∫ x

0sen(s(x− τ))q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

La segunda relacion se prueba similarmente.

Definicion 1.1.4. Si f : D ⊂ C ↪→ C y h : D ⊂ C ↪→ C son funciones complejo-valuadas,decimos que:


1. f(s) = O(h(s)) si ∃K > 0 tal que |f(s)|6K|h(s)|

2. f(s) = o(h(s)) si lım|s|→∞|f(s)||h(s)| = 0

Lema 1.1.5. Pongamos λ = s2. Sea s = σ + it (σ,t∈ R). Si acotamos la parte imaginariat por t0, i.e, |t|6t0, entonces existe s0 > 0 tal que para |s| > s0 tenemos las siguientes esti-maciones:

ϕ(x, λ) = O(e|t|x), ψ(x, λ) = O(|s|−1e|t|x), (1.14)

y mas precisamente:

ϕ(x, λ) = cossx+O(|s|−1e|t|x), ψ(x, λ) =sinsx

s+O(

e|t|x

|s|2) (1.15)

Ademas, todas esas estimaciones satisfacen uniformidad en x para 0 6 x 6 π

Nota:. Fue necesario acotar la parte imaginaria, pero no importa porque veremos mas ade-lante que hay solo un numero finito de eigenvalores negativos, por lo que solo un numerofinito de s’s tienen parte imaginaria, y las demas s’s tendran parte imaginaria cero. Para lacota t0 obtenemos una cota Mt0 > 1, pero en el caso en que s ∈ R podemos tomar Mt0 = 1.

Demostracion. Primero veamos que si |t|6t0, entonces:

|cos sx| =∣∣∣eisx + e−isx

2

∣∣∣ =∣∣∣ei(σ+it)x + e−i(σ+it)x

2

∣∣∣ =∣∣∣eiσx−tx + e−iσx+tx

2

∣∣∣6

(|eiσx|e−tx + |e−iσx|etx

)=

1

2(e−tx + etx) =

1

2(e−|t|x + e|t|x)

61

2(1 + et0π) = Mt0>1

Y para sen sx tenemos:

|sen sx| =∣∣∣eisx − e−isx

2 i

∣∣∣ =∣∣∣ei(σ+it)x − e−i(σ+it)x

2

∣∣∣ =∣∣∣eiσx−tx − e−iσx+tx

2

61

2(|eiσx|e−tx + |e−iσx|etx) =

1

2(e−|t|x + e|t|x)6

1

2(1 + et0π) = Mt0>1

y si s ∈ R, |cos sx|, |sen sx|61 , t0 = 0 y entonces Mt0 = 12(1 + 1) = 1.

Sabiendo todo lo anterior, pongamos

ϕ(x, λ) = e|t|xF (x).

De la relacion (1.12) tenemos que:

F (x) = e−|t|xϕ(x, λ) = e−|t|x(cos sx+

h

ssen sx

)+

1

s

∫ x

0

sen{s(x−τ)}e−|t|xq(τ)ϕ(τ, λ)e−|t|τe|t|τdτ


= e−|t|x(cossx+h

ssen sx) +

1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}e−|t|(x−τ)q(τ)F (τ)dτ

Notemos tambien que si 06τ6x⇒ 06x− τ6x6π⇒ |sen(s(x− τ))|6Mt0 y |cos(s(x− τ))|6Mt0 .

Sea µ = max06x6π|F (x)| (que existe por ser F continua). Entonces:

µ 6 Mt0 +|h||s|Mt0 +

µ

|s|

∫ π

0

Mt0|q(τ)|dτ .

∴ µ 6Mt0 + |h|

|s|Mt0

1− 1|s|Mt0

∫ π

0|q(τ)|dτ

cuando el denominador es positivo. Esto ocurre cuando

|s| > Mt0

∫ π

0

|q(τ)|dτ ,

aunque hay que tomar

|s| > s0 > Mt0

∫ π

0

|q(τ)|dτ ,

Con esto hemos probado el lema para ϕ(x, λ). Para ψ(x, λ) hagamos lo siguiente:

Pongamosψ(x, λ) = |s|−1e|t|xF2(x).

De la ralacion (1.13) tenemos que:

F2(x) = |s|e−|t|xψ(x, λ) =|s|ssen sx e−|t|x+

1

s

∫ x

0

sen{s(x−τ)}q(τ)|s|e−|t|τψ(τ, λ)e|t|τe−|t|xdτ

=|s|ssensx e−|t|x +

1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)F2(τ, λ)e−|t|(x−τ)dτ

Seaµ2 = max06x6π|F2(x, λ)|,

que existe por ser F2 continua.Entonces:

µ2 6 Mt0 +µ2

|s|

∫ π

0

Mt0 |q(τ)|dτ

∴ µ2 6Mt0

1− 1|s|Mt0

∫ π

0|q(τ)|dτ

siempre y cuando

|s| > Mt0

∫ π

0

|q(τ)|dτ ,

aunque hay que tomar:

|s| > s0 > Mt0

∫ π

0

|q(τ)|dτ


Para la relacion (1.15) hagamos lo siguiente:

ϕ(x, λ)− cossx = G(x)|s|−1e|t|x.

Entonces:

G(x) = |s|e−|t|x(hssen sx+

1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

=|s|se−|t|xsen sx+

1

s

∫ x

0

sen{s(x−τ)}q(τ)G(τ)e−|t|(x−τ)dτ+1

s

∫ x

0

sen{s(x−τ)}q(τ)cos(sτ)|s|e−|t|xdτ

Seaσ = max06x6π|G(x, λ)| ,

que existe, por ser G(x) continua.

σ 6 Mt0 +1

|s|

∫ π

0

Mt0|q(τ)|σdτ +|s||s|

∫ π

0

Mt0|q(τ)|Mt0dτ

Por tanto, tenemos que:

σ 6Mt0 +M2

t0

∫ π

0|q(τ)|dτ

1− 1|s|Mt0

∫ π

0|q(τ)|dτ

si

|s| > s0 > Mt0

∫ π

0

|q(τ)|dτ .

Para la segunda parte de la relacion (1.15), pongamos:

ψ(x, λ)− sen sx

s=e|t|x

|s|2G2(x).

Entonces, por la relacion (1.13)

G2(x) = |s|2e−|t|x(1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)ψ(τ, λ)dτ)

=1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)(ψ(τ, λ)− sen sx

s+sen sx

s

)|s|2e−|t|τe|t|τe−|t|xdτ

=1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)G2(τ)e−|t|(x−τ)dτ +

1

s

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)sensxs

|s|2e−|t|xdτ

Seaσ2 = max06x6π|G2(x)|.

Entonces:

σ2 61

|s|

∫ π

0

Mt0|q(τ)|σ2dτ +

∫ π

0

Mt0|q(τ)|Mt0dτ.

∴ σ2 6M2

t0

∫ π

0|q(τ)|

1− 1|s|Mt0

∫ π

0|q(τ)|dτ


al tomar:

|s| > s0 > Mt0

∫ π

0

|q(τ)|dτ

Repitiendo el proceso, tambien se puede obtener formulas asintoticas para ϕ(x, λ) yψ(x, λ) como funciones de s.

Ahora vamos a obtener formulas asintoticas para eigenvalores y eigenfunciones. Despues,de esas formulas, en particular, vamos a probar la existencia de un numero infinito de eigen-valores.

Primero vamos a suponer que h 6= ∞ y H 6= ∞. Para cada λ, es claro que la funcionϕ(x, λ) satiface la primera de las condiciones de frontera (1.9). Por lo tanto, λ sera un eigen-valor si al sustituir ϕ(x, λ) en la segunda condicion de frontera, esta se cumple.

De acuerdo con el lema 1.1.2, los eigenvalores son reales. El numero de eigenvalores neg-ativos es finito (lo veremos mas adelante). Para λ positivo tenemos Ims = 0, y la estimacion(1.15) nos dice que:

ϕ(x, λ) = cossx+O(1

s). (1.16)

ya que como vimos antes, podemos tomar la cota fija t0 = 0 y Mt0 = 1.Ahora obtendremos la siguiente estimacion, suponiendo que q esta acotada en [0, π]

ϕ′(x, λ) = −ssensx+ hcossx+O(1) (1.17)

Demostracion. λ > 0, Ims = 0

Nota:. Al poner una ”prima” arriba de una funcion, es diferenciar con respecto a ”x”.

Diferenciando la relacion (1.12) tenemos que:

ϕ′(x, λ) = −s sen sx+ h cos sx+

1

s

d

dxR(x)

donde:

R(x) =

∫ x

0

sen{s(x− τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

y desarrollando, tenemos que:

R′(x) =

d

dx

(sen sx

∫ x

0

cos(sτ)q(τ)ϕ(t, λ)dτ)− d

dx

(cos sx

∫ x

0

sen(sτ)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

= scos sx

∫ x

0

cos(sτ)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ + s sen sx

∫ x

0

sen(sτ)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ


= s

∫ x

0

cos{s(x− τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

∴ ϕ′(x, λ) + ssensx− hcos sx =

∫ x

0

cos{s(x− τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

Veamos ahora que la integral de la derecha es de orden O(1). De la relacion (1.16) tenemosque:

ϕ(x, λ) = O(1).

∃M > 0 tal que |ϕ(x, λ)| < M para λ suficientemente grande. Como q esta acotada en [0, π],∃Mq > 0 tal que

|q(τ)| < Mq ∀τ ∈ [0, π].

Entonces:

|∫ x

0

cos{s(x− τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ | 6∫ x

0

M Mq|cos{s(x− τ)}|dτ6M Mqπ ,

pues s ∈ R

Ahora, insertando las estimaciones de las funciones ϕ(x, λ) y ϕ′x(x, λ) en (1.15) y en

(1.17) en la segunda condicion de frontera (1.9), obtenemos la siguiente relacion para la de-terminacion de los eigenvalores.

− ssensπ + (h+H)cossπ +O(1) = 0 (1.18)

O tambien lo podemos escribir de la siguiente forma:

−s sen sπ +O(1) = 0 (1.19)

Para que la ecuacion tenga solucion para un s grande, vemos que s debe estar cerca deun entero. Siguiendo esta idea demostraremos la existencia de un conjunto infinito de eigen-valores.

Ahora probaremos que, en caso de que haya eigenvalores infinitos no acotados, a partirde cierto momento los eigenvalores van a ser simples.

Definamos:

ω1(s) := ω(λ) := ϕ′(π, λ)+Hϕ(π, λ) = −s sen sπ+h cos sπ+

∫ π

0

cos{s(π−τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

+H(cos sπ +

h

ssen sπ +

1

s

∫ π

0

sen{s(π − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

Los ceros de ω(λ) son los eigenvalores, y como esta funcion es analıtica, los ceros sondiscretos , ya que no es la funcion identicamente cero.


Ademas:

∂ω1

∂s= −sen sπ − sπcos sπ − hπsen sπ +

∫ π

0

−sen{s(π − τ)}(π − τ)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

+H(− πsen sπ +

hπ

scos sπ + (− 1

s2)

∫ π

0

sen{s(π − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

+1

s

∫ π

0

cos{s(π − τ)}(π − τ)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

= −sπcos sπ +O(1) ,

para |s| suficientemente grande, ya que ϕ(τ, λ) = O(1).

Ya vimos que para λ eigenvalor grande , s estara cerca de un entero n, por la estimacion1.19, y si esta suficientemente cerca de una entero, entonces:

∂

∂sω1(s) = −πs cos sπ +O(1) 6= 0 ,

pues en este caso cos sπ esta cerca de 1 y el segundo termino esta acotado.

Con lo anterior, hemos probado que a partir de cierto momento, los eigenvalores sonsimples.

Ahora probaremos que para N suficientemente grande, hay una y solo una raız de laecuacion 1.19 cerca de cada entero n > N .

Los que haremos es analizar los ceros de ω1(s) mediante la funcion −s sen sπ, el teoremaque nos hace esto es el Teorema de Rouche, que lo podemos encontrar en [7]. Pero, ¿enque curva vamos a comparar para que cumpla con las hipotesis de dicho teorema?

Ya vimos que los ceros de la funcion ω1(s) para s grande (si existen) se van acercandoa los enteros. Sea pues N0 tal que para N > N0 no hay ceros de ω1(s) en [N+ 1

2− 1

4, N+ 1

2+ 1

4].

Sea DR el cırculo de radio R = N + 12

en el plano, N > N0 natural.

Como sen sπ 6= 0 para s ∈ ∂DR, analizando la forma explıcita podemos obtener laestimacion:

ω1(s) = −s sen sπ{1 +O(|s|−1)}

en ∂DR.

Entonces:

ω1(s)− (−s sen sπ) = −s sen sπ O(|s|−1)


en ∂DR.

Entonces podemos escoger N suficientemente grande de tal forma que:

|ω1(s)− (−s sen sπ)| < | − s sen sπ|

en ∂DR.

Ya vimos que ω1(s) y la funcion −s sen sπ son analıticas en DR, ∂DR forma una curvacerrada homotopica a un punto y no pasa por ningun cero de ω1(s) ni de la funcion −s sen sπ(y no tiene polos) , por lo que hemos dicho.

Entonces, por el Teorema de Rouche para las dos funciones ([7]) tenemos que ω1(s)tiene el mismo numero de ceros (contados con sus multiplicidades) que los de la funcion−s sen sπ, dentro de DR. Ademas, la funcion −s sen sπ tiene 2(N +1) ceros dentro de DR,pues el cero en s = 0 tiene multiplicidad 1.

Entonces ω1(s) tiene exactamente 2(N + 1) ceros dentro de DR para N suficientementegrande.

Sea sn la n-esima raız de 1.19, pero en el caso en que tengamos multiplicidad ¿1, repeti-mos el eigenvalor. Ya vimos que a partir de cierto momento los eigenvalores son simples.Sea N suficientemente grande de tal forma que para n > N sn sea simple (por lo que no serepite el eigenvalor), sn sea real (solo tomamos los que son positivos) y que se pueda aplicarel teorema de Rouche.

Tomamos N + 1. En DN+ 12

hay exactamente 2(N + 1) ceros de ω1(s) y en DN+1+ 12

hay

exactamente 2(N + 2) ceros, por lo que habra 2 ceros de ω1(s) en DN+1+ 12−DN+ 1

2.

Como ω1(s) es para y sn > 0, entonces hay exactamente 1 ceros (y simple) en [N+ 12, N+

1 + 12]. Esto nos dice que cerca de cada entero n hay una raız, i.e.,

sn = n+O(1)

Probaremos ahora que

sn = n+ o(1) ( lımn→∞

(sn − n) = 0)

Por la estimacion 1.19 tenemos que existe una sucesion creciente {mn}∞n=1 ⊂ N tal que:

sn = mn + o(1)

Supongamos que mn 6= n⇒ mn > nExiste M0 ∈ N suficientemente grande tal que para n > M0 sn < mn + 1

2y ya no haya otro

mas entre sn y mn + 12.


Pero hay n + 1 raıces sk (k = 1, 2, ..., n) menores o iguales que sn. Por otro lado, por loprobado, hay 2(mn+1) ceros de ω1(s) en Dmn+ 1

2, i.e., debe haber mn+1 6= n+1 eigenvalores

sk menos que sn, lo cual es una contradiccion, por lo que hemos probado lo deseado.

sn = n+ o(1)

Sea sn = n+ δn, δn = o(1). Sustituyendo esto en la ecuacion 1.19, tenemos:

(nδn)sen(n+ δn)π +O(1) = 0 ⇒ (n+ δn)senδnπ +O(1) = 0

pues |δn| < 1 para n suficientemente grande, y si pasa esto, entonces:

O(1) = |(n+ δn)senδnπ|>(n− 1)|senδn| >n

2|senδnπ| (n > 2)

Entonces senδnπ = O(n−1). Como δn = o(1) y para x suficientemente pequeno existek > 0 tal que |x| < k|senx|. Entonces:

δnπ = O(n−1) ⇒ δn = O(n−1)

∴ sn = n+O(n−1)

Esta estimacion se puede mejorar mucho si suponemos que q(x) tiene derivada acotada.Para esto, hagamos lo siguiente:

Si s es raız de 1.19, ya vimos que:

0 = ϕ′(π, λ) +Hϕ(π, λ)

= −s sen sπ + hcos sπ +

∫ π

0

(cos sπcos sτ + sen sπsen sτ

)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

+H(cos sπ +

h

ssen sπ +

1

s

∫ π

0

(sen sπ cos sτ − cos sπsen sτ)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

= −s sen sπ + hcos sπ + cos sπ

∫ π

0

cos sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ + sen sπ

∫ π

0

sen sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ

+H(cos sπ+

h

ssen sπ+

1

ssen sπ

∫ π

0

cos sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ− 1

scos sπ

∫ π

0

sen sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

= sen sπ(− s+

∫ π

0

sen sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ +hH

s+H

s

∫ π

0

cos sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

+cos sπ(h+

∫ π

0

cos sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ +H − H

s

∫ π

0

sen sτq(τ)ϕ(τ, λ)dτ)

= sen sπ(−s+B) + Acos sπ , (1.20)


donde:

B =hH

s+

∫ π

0

(sen sτ +

H

scos sτ

)q(τ)ϕ(τ, λ)dτ y

A = h+H +

∫ π

0

{cos sτ − H

ssen sτ

}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ

= h+H +

∫ π

0

{cos sτ − H

ssen sτ

}(cos sτ +O(

1

s))q(τ)dτ

= h+H +

∫ π

0

cos2(sτ)q(τ)dτ +O(1

s)

para s suficientemente grande , pues q(τ) es acotada y s real.

Entonces:

A = h+H +

∫ π

0

q(τ) +

∫ π

0

cos(2sτ)q(τ)dτ +O(1

s) .

Por otro lado,

B =hH

s+

∫ π

0

(sen sτ +

H

scos sτ

)(cos sτ +O(

1

s))q(τ)dτ

=hH

s+

∫ π

0

sen sτcos sτq(τ)dτ +O(1

s) =

1

2

∫ π

0

sen(2sτ)q(τ)dτ +O(1

s)

Ahora, como q(x) tiene derivada acotada, tenemos lo siguiente:∫ π

0

q(τ)cos(2sτ)dτ =1

2ssem(2sτ)q(τ)

∣∣∣π0−

∫ π

0

q′(τ)1

2ssen(2sτ)dτ

=1

2ssen(2sπ)q(π)− 1

2s

∫ π

0

q′(τ)sen(2sτ)dτ = O(1

s) ,

pues q′ es acotada. Ademas:

∫ π

0

q(τ)sen(2sτ)dτ = − 1

2scos(2sτ)q(τ)

∣∣∣π0−

∫ π

0

q′(τ)(− 1

2scos(2sτ)

)dτ

= − 1

2scos(2sπ)q(π) +

1

2sq(0) +

1

2s

∫ π

0

q′(τ)cos(2sτ)dτ = O(1

s)

Entonces:

A = h+H + h1 +O(1

s) , h1 =

1

2

∫ π

0

q(τ)dτ

B = O(1

s)


Volviendo a la ecuacion (1.20) tenemos que:

tan sπ =A

s−B=h+H + h1 +O(1

s)

s+O(1s)

.

Poniendo sn = n+ δn tenemos:

tanδnπ = tan(n+ δn)π =h+H + h1 + an

n+ bn,

con an, bn = O( 1n)

Pero

h+H + h1 + ann+ bn

− h+H + h1

n=nan − bn(h+H + h1)

n(n+ bn)=

O(1)

n(n+ bn)= O(

1

n2)

Entonces:

tanπδn =h+H + h1

n+O(

1

n2)

Ahora, como δn es pequeno, tanπδn es similar a πδn para n suficientemente grande. En-tonces δn = h+H+h1

nπ+O( 1

n2 ). Entonces:

sn = n+c

n+O(

1

n2) ,

donde:

c =1

π(h+H + h1)

Casos especiales para la estimacion de eigenvalores

Estudiaremos ahora el caso h = ∞, H 6= ∞ (el caso h 6= ∞, H = ∞ es analogo mediantela sustitucion t = π − x). La primera condicion toma la forma:

y(0) = 0

La funcion ψ(x, λ) vista antes satisface esta condicion. Por tanto, vamos a obtener loseigenvalores al sustituir ψ(x, λ) en la segunda condicion. Derivando esta funcion tendremosque:

ψ′(x, λ) = cos sx+

∫ x

0

cos{s(x− τ)}q(τ)ψ(x, λ)dτ

Por lo que, para obtener eigenvalores, tenemos la siguiente ecuacion:

0 = y′(π) +Hy(π) = cos sπ +

∫ π

0

cos{s(π − τ)}q(τ)ψ(τ, λ)dτ


+H{sen sπs

+1

s

∫ π

0

sen{s(π − τ)}q(τ)ψ(τ, λ)dτ} = 0

Entonces:

cos sπ +1

s

∫ π

0

cos{s(π − τ)}q(τ)sen sτdτ +Hsen sπ

s+O(

1

s2) = 0 ,

por la estimacion (1.15)Otra vez, asumiendo que q(x) tiene derivada acotada, tenemos que:∫ π

0

q(τ)cos{s(π − τ)}sen sτdτ =sen sπ

2

∫ π

0

q(τ)dτ +O(1

s)

Entonces:

cos sπ +sen sπ

s{H +

1

2

∫ π

0

q(τ)dτ}+O(1

s2) = cos sπ +H1

sen sπ

s+O(

1

s2) = 0 (1.21)

Entonces, para s grande, las raıces de (1.21) deben estar cerca de n + 12

para n ∈ N.Analogamente, hay una raız de la ecuacion para cada n+ 1

2, n ∈ N.

Sea sn = n+ 12

+ δn, de (1.21) tenemos:

cot(n+1

2+ δn)π = −tanδnπ = − H1

n+ 12

+O(1

n2)

Entonces:

δn =H1

π(n+ 12)

∴ sn = n+1

2+

H1

π(n+ 12)

+O(1

n2) ,

donde H1 = H + 12

∫ π

0q(τ)dτ .

Finalmente, veremos el caso h = ∞, H = ∞. Las condiciones de frontera toman la forma:

y(0) = y(π) = 0

La funcion ψ(x, λ) cumple con la condicion en cero, entonces vamos a obtener los eigen-valores cuando tengamos:

ψ(π, λ) = 0 ,

esto es,

sen sπ +

∫ π

0

sen{s(π − τ)}q(τ)ψ(τ, λ)dτ = 0

Desarrollando tenemos que:

sen sπ{1 +

∫ π

0

cos sτq(τ)ψ(τ, λ)dτ} − cos sπ

∫ π

0

sen sτq(τ)ψ(τ, λ)dτ = 0


De la estimacion (1.15) para ψ(x, λ) tenemos:

sen sπ − 1

2scos sπ

∫ π

0

q(τ)dτ +O(1

s2) = sen sπ − c

scos sπ +O(

1

s2) = 0 ,

suponiendo que q(x) tiene derivada acotada.

Analogamente, las soluciones de esta ecuacion tiene soluciones cerradas a enteros, yanalogamente se prueba que hay una raız para cada entero n, y se obtiene tambien:

sn = n+c

n+O(

1

n2), c =

1

2π

∫ π

0

q(τ)dτ

1.1.2. La Teorıa de Sturm en los ceros de las soluciones

Un estudio profundo de la distribucion de los ceros de las eigenfunciones (debido a Sturm)prueba la existencia de un numero infinito de eigenvalores para el problema con valores enla frontera (1.4),(1.5) de otra forma.

Para orientarnos, en esta seccion, vamos a considerar el siguiente problema de valores enla frontera , llamadas condiciones de Neumann en la frontera, con q(x) = 0:

y′′

+ λy = 0, y′(0) = y

′(π) = 0

con las eigenfunciones:

ϕ0(x) = 1, ϕ1(x) = cosx, ϕ2(x) = cos2x, ..., ϕn(x) = cosnx, ...

y los correspondientes eigenvalores:

λ0 = 0, λ1 = 12, λ2 = 22, ..., λn = n2, ...

Las eigenfunciones estan ordenadas de acuerdo al orden creciente de los eigenvalores,comenzando con el cero. Se ve inmediatamente que sus ceros tienen las siguientes dospropiedades:

1. La n-esima eigenfuncion en el intervalo [0, π] tiene precisamente n ceros, y

2. Los ceros de la n-esima y (n+1)-esima eigenfuncion se entrelazan, i.e., hay exactamenteun cero de la (n+1)-esima eigenfuncion entre dos ceros consecutivos de la n-sima.

Esas propiedades tambien son validas en el caso general.El siguiente Teorema de Sturm Fundamental es una parte fundamental de la teorıa.

Teorema 1.1.6. Dados:

u′′

+ g(x)u = 0 (1.22)


v′′

+ h(x)v = 0 (1.23)

en el intervalo [a, b], si g(x) < h(x), hay por lo menos un cero de cada solucion v entre dosceros de cualquier solucion no trivial u.

Demostracion. Multiplicando (1.22) por v, (1.23) por u, y restando, obtenemos:

d

dx

{u

′v−uv′

}= u

′′v+u

′v

′ −u′v

′ −uv′′= −g(x)uv−u(−h(x)v) = (h(x)− g(x))uv (1.24)

Sean x1 y x2 dos ceros consecutivos de u en el caso de que existan, i.e., que entre estosdos ceros no hay otro cero. Esto nos es util en las eigenfunciones, ya que si tenemos uncero, la derivada no sera cero porque por unicidad de las soluciones con condiciones iniciales,tendrıamos que la funcion serıa cero, lo cual no pasa. Por tal motivo, el cero es simple y elconjunto de ceros sera discretos.

Entonces:

u′(x2)v(x2)− u

′(x1)v(x1) =

∫ x2

x1

{h(x)− g(x)}u(x)v(x)dx

Supongamos que v no tiene ningun cero en el intervalo (x1, x2). Sin perdida de generali-dad, podemos suponer que u > 0 y v > 0 en (x1, x2), pues si u es solucion , −u tambien loes, y lo mismo para v.

Entonces la parte de la derecha de la igualdad anterior es positiva. Como u > 0 en(x1, x2), es creciente por el lado derecho de una vecindad de x1. Entonces u

′(x1) > 0, pero

si u′(x1) = 0, como u(x1) = 0, por unicidad de soluciones con condiciones iniciales, tenemos

que u = 0 lo cual es una contradiccion.

Entonces u′(x1) > 0

Analogamente u′(x2) < 0

∴ u′(x2)v(x2)− u

′(x1)v(x1) 6 0,

lo cual es una contradiccion.

Corolario 1.1.7. Cualquier solucion de la ecuacion

y′′

+ g(x)y = 0,−∞ < a 6 x 6 b < +∞, (1.25)

tal que existe m ∈ R para el cual g(x) < −m2 < 0 no tiene mas de un cero.

Demostracion. En efecto, la ecuacion y′′ − m2y = 0 tiene la solucion emx la cual no tiene

ningun cero. Entonces, por el teorema, cualquier solucion de la ecuacion (1.25) no puedetener mas de un cero en cualquier intervalo finito.

Teorema 1.1.8. (Teorema de Comparacion.) Sea u(x) la solucion de la ecuacion (1.22),satisfaciendo las condiciones iniciales

u(a) = senα, u′(a) = −cosα, (1.26)


y sea v(x) la solucion de la ecuacion (1.23) con las mismas condiciones iniciales. Ademas,supon que g(x) < h(x) en [a, b]. Entonces si u(x) tiene m ceros en a < x 6 b, v(x) tiene nomenos de m ceros en el mismo intervalo y el k-esimo cero de v(x) es menor que el k-esimocero de u(x) para k = 1, 2, ...,m.

Demostracion. Si a es un cero de u, i.e., senα = 0, podemos aplicar el teorema anterior.Entonces podemos suponer que u(a) 6= 0.

Sea x1 el cero de la funcion u(x) mas cercano a a (pero diferente de este). Por el teoremaanterior, es suficiente mostrar que v(x) tiene al menos un cero en [a, x1]. Supongamos locontrario.

Si perdida de generalidad, podemos suponer que u(x) > 0 y v(x) > 0 en [a, x1]. Comou(x1) = 0, la funcion es decreciente en una vecindad de x1, por la izquierda

∴ u′(x1) 6 0

Por unicidad, tenemos que u′(x1) < 0. Ahora, integrando la relacion (1.24) de a a x1 tenemos

que: ∫ x1

a

{h(x)− g(x)}u(x)v(x)dx = u′(x1)v(x1)− u

′(a)v(a)− v

′(x1)u(x1) + v

′(a)u(a)

= u′(x1)v(x1)− (−cosα)senα+ (−cosα)senα.


u′(x1)v(x1) =

∫ x1

a

{h(x)− g(x)}u(x)v(x)dx.

Como u(x) > 0 y v(x) > 0 en [a, x1] y h(x) > g(x), el lado derecho es positivo. Sinembargo, v(x1) > 0 y u

′(x1) < 0. Entonces u

′(x1)v(x1) < 0, lo cual es una contradiccion.

Sea ϕ(x, λ) la funcion introducida en una seccion anterior (teorema 1.1.3). Consideremosla ecuacion

ϕ(x, λ) = 0,

a 6 x 6 b. Claramente los ceros de esta ecuacion son funciones de λ. Vamos a probar queesas funciones son continuas.

Lema 1.1.9. Si x0, a < x0 < b, es una raız de la funcion ϕ(x, λ0), entonces, para un numeroε > 0 suficientemente pequeno, existe un valor δ > 0 tal que, para |λ − λ0| < δ, la funcionϕ(x, λ) tiene precisamente un cero en el intervalo |x− x0| < ε.

Demostracion. Primero veamos que el cero x0 de la funcion ϕ(x, λ0) es simple:

Si ϕ′(x0, λ0) = 0 , como ϕ(x0, λ0) = 0, por unicidad tenemos que ϕ(x, λ0) ≡ 0, lo cual es

una contradiccion, pues ϕ(0, λ0) = 1.


Podemos suponer que ϕ′x(x0, λ0) > 0. Como ϕ(x, λ0) es dos veces derivable , ϕ

′x(x, λ0)

es continua , entonces ∃ε > 0 tal que ϕ′x(x, λ0) > 0 en el intervalo |x − x0| 6 ε. Entonces

ϕ(x0 − ε, λ0) < 0 y ϕ(x0 + ε, λ0) > 0.

Por otro lado, como ϕ′(x, λ) es continua con respecto a λ (que de hecho es continuidad

uniforme, por las formjulas explıcitas que tenemos), entonces ∃δ > 0 tal que para |λ−λ0| 6 δ,ϕ

′x(x, λ) tambien es positiva en el intervalo |x− x0| 6 ε.

Por lo tanto, la funcion ϕ(x, λ) es monotonamente creciente en este intervalo y no puedetener mas de dos ceros en tal intervalo. Ademas, si seleccionamos δ suficientemente pequenode tal manera que para |λ− λ0| < δ, ϕ(x0 − ε, λ) es negativa y ϕ(x0 + ε, λ) positiva, lo cuales posible debido a la continuidad de ϕ(x, λ) con respecto a λ, tendremos entonces que para|λ− λ0| < δ tiene precisamente un cero en el intervalo [x0 − ε, x0 + ε].

El siguiente corolario es una consecuencia muy importante.

Corolario 1.1.10. Cuando λ varıa, ϕ(x, λ) puede perder o adquirir un cero si y solo si entrao sale del intervalo a traves de uno de los puntos finales a, b.

El siguiente teorema prueba la existencia de una infinidad de eigenvalores.

Teorema 1.1.11. (Teorema de Oscilacion de Sturm.) El conjunto de eigenvalores del prob-lema con valores en la frontera (1.4),(1.5) es una sucesion creciente λ0, λ1, ..., λn, ..., y laeigenfuncion correspondiente al eigenvalor λm tiene precisamente m ceros en el intervaloa < x < b.

Demostracion. Ya vimos que los eigenvalores son reales, ası que en esta demostracion vamosa considerar λ ∈ R.

Sea ϕ(x, λ) la solucion de la ecuacion (1.4) con las condiciones iniciales (1.26). Comotenemos:

ϕ′′(x, λ) + (−q(x) + λ)ϕ(x, λ) = 0,

cuando λ crece, el numero de ceros de ϕ(x, λ) no decrece, por el teorema de comparacion.

Por otro lado, como q es acotada (ası lo supusimos antes), sea c > 0 tal que |q(x)| < cpara a6x6b. Entonces:

−c6− q(x)6c=⇒λ− c6− q(x) + λ6λ+ c

para a6x6b.

Comparamos las ecuaciones:

ϕ′′(x, λ) + (−q(x) + λ)ϕ(x, λ) = 0 y


y′′

+ (λ+ c)y = 0

La solucion de la segunda ecuacion que satisface las condiciones iniciales (1.26) es:

y(x, λ) = sen(α)cosh{(−λ− c)12 (x− a)} − cos(α)

(−λ− c)12

senh{(−λ− c)12 (x− a)}

= sen(α)cos{(λ+ c)12 (x− a)} − cos(α)

(λ+ c)12

sen{(λ+ c)12 (x− a)}

Para valores negativos de λ, donde |λ| es suficientemente grande tenemos que y(x, λ) notiene ceros en el caso sen(α) 6= 0 y solo uno en x = a en el caso sen(α) = 0. Para probaresto, veamos lo siguiente:

Si sen(α) 6= 0. Supongamos que:

sen(α)cosh{(−λ− c)12 (x− a)} =

cos(α)

(−λ− c)12

senh{(−λ− c)12 (c− a)}.

Entoncessen(α)(−λ− c)

12 = cos(α)tanh{(−λ− c)

12 (x− a)},

pues cosh(x) 6= 0 ∀x ∈ R.

Primero, supongamos que cos(α) = 0. Si λ es tal que −λ− c > 0, (λ < −c), tenemos que:

cosh{(−λ− c)12 (x− a)} = 0

pues sen(α) 6= 0.

Lo anterior es una contradiccion, pues cosh(z) 6= 0∀z ∈ R

Si cos(α) 6= 0, entonces tan(α) 6= 0, pues sen(α) 6= 0. Entonces

tan(α)(−λ− c)12 = tanh{(−λ− c)

12 (x− a)}.

Si tomamos λ < 0 tal que tan(α)(−λ− c)12 > 1, la igualdad anterior es imposible, pues

|tanh(z)| < 1∀z ∈ R.

Por tanto, y no tiene ceros si λ < 0 es tal que −λ− c > 0 y tan(α)(−λ− c)12 > 1

En el caso sen(α) = 0, analogamente tenemos que para λ < 0 tal que −λ − c > 0 y

tan(α)(−λ− c)12 > 1 el unico cero de y es x = a.

Entonces, con todo esto tenemos por el teorema 1.1.8 que ϕ(x, λ) no tiene ceros sisen(α) 6= 0, y ϕ(x, λ) tiene solo un cero en x = a si sen(α) = 0 para λ < 0 tal que suvalor absoluto es suficientemente grande, por la comparacion que hemos hecho.


Sin embargo, seleccionando la ecuacion:

y′′

+ (λ− c)y = 0

con las condiciones iniciales (1.26) tenemos que:

y(x) = sen(α)cos{(λ− c)12 (x− a)} − cos(α)

(λ− c)12

sen{(λ− c)12 (x− a)}

Si tomamos λ > 0 suficientemente grande (λ > c), veremos que el numero de ceros puedenser tantos como queramos, i.e., los ceros van creciendo indefinidamente:

Si cos(α) = 0, hay que resolver:

cos{(λ− c)12 (x− a)} = 0,

a la cual el numero de ceros que tiene crece indefinidamente si hacemos crecer λ > 0, dehecho, hay que tomar λ tal que (λ − c)

12 es suficientemente grande, pues cos(π

2) = 0 y la

funcion cos(z) es periodica con periodo 2π.

Si cos(α) 6= 0, hay que resolver:

tan(α)(λ− c)12 = tan{(λ− c)

12 (x− a)},

a la cual le crece el numero de ceros indefinidamente al hacer crecer λ. Hay que tomar λ talque (λ − c)

12 es suficientemente grande, pues la funcion tan(z) es suprayectiva y periodica

con periodo 2π.

Consideremos la ecuacion ϕ(x, λ) = 0. Por el lema 1.1.9 tenemos que las raıces dependencontinuamente de λ. Por el teorema 1.1.8, cuando λ se incrementa, cada cero de ϕ(x, λ) serecorre hacia la izquierda, pero no cruza el punto a, y no lo tocan, salvo quiza en el casosen(α) = 0. Veamos que tampoco en este ultimo caso puede pasar esto:

Supongamos que el cero que esta mas cerca de a (y diferente de este) toca al punto aen algun tiempo t0, entonces un instante antes en cero estaba muy cerca de a, pero distintode a, esto contradice el lema 1.1.9, ya que este lema dice que un instante antes va a seguirhabiendo solo una cero en una vecindad, pero hay dos, la que esta cerca de a y a. Por tanto,los ceros que van entrando nunca tocan a.

Ademas, por el corolario del lema 1.1.9, los nuevos ceros entran a traves del punto b.

Sea µ0 el primer valor del parametro λ para el cual ϕ(b, µ0) = 0. Tal valor existe, pues yavimos que para λ > 0 suficientemente grande, ya hay ceros, y para λ negativo de valor abso-luto suficientemente grande no hay ceros, o solo hay uno (en el caso de que senα = 0). Seaµ1 el segundo valor de λ para el cual ϕ(b, µ1) = 0, etc. La sucesion de valores µ0,µ1,...,µm,...tiene la propiedad de que ϕ(x, µm) tiene precisamente m ceros dentro del intervalo (a, b) y


ϕ(b, µm) = 0.

Notemos que si senβ = 0, la segunda condicion de frontera se satisface , y tambien sat-isfacen la primera condicion por la relacion (1.26). En este caso, µm son los eigenvalores, yestos son todos, ya que vimos que para obtener los eigenvalores, hay que meter la funcionϕ(x, λ) en la segunda condicion de frontera, ya que ya cumple con la primera, y el teoremase ha probado en este caso.

Ahora, supongamos que senβ 6= 0. Sean entonces u(x) y v(x) las funciones consideradasen el teorema (1.1.8). Supongamos tambien que u(b) 6= 0. Entonces:

d

dx

{u2

(u′

u− v

′

v

)}= 2uu

′(u′

u− v

′

v

)+ u2

(u′′

u− v

′′

v

)− u2

(u′2

u2− v

′2

v2

)(1.27)

=

(u

′v − uv

′)2

v2+ u2

{h(x)− g(x)

}> 0 ,

porque si es cero para algun x, entonces

u(x) = 0 ⇒ v(x) = 0 o u′(x) = 0, pero supusimos v(x) 6= 0 para poder derivar. Entonces

u′(x) = 0, y por unicidad de soluciones con condiciones iniciales, tenemos que u ≡ 0, lo cual

no queremos.

Por lo tanto, la funcion

u2(u

′

u− v

′

v)

es monotonamente creciente en cualquier intervalo en donde v no se hace cero.

Supongamos que u(x) y v(x) tienen el mismo numero de ceros dentro de [a, b]. Sea xν laraız de u(x) mas cercana al punto b. No puede ser b, pues supusimos que u(b) 6= 0.

Mostraremos que la funcion v(x) no puede tener ningun cero para xν6x6b. En efecto, porel teorema 1.1.8, hay al menos ν ceros de v(x) entre a y xν . Si v(x) se hace cero para algunxν6x6b, v tendrıa mas ceros que u(x) en el intervalo [a, b], lo cual contradice la suposicion.

Integrando la relacion (1.27), obtenemos:

u2(b){u′(b)

u(b)− v

′(b)

v(b)} > u2(xν){

u′(xν)

u(xν)− v

′(xν)

v(xν)} = 0,

y por tanto tenemos que:u

′(b)

u(b)>v

′(b)

v(b).

Sea u(x) = ϕ(x, λ′) y v(x) = ϕ(x, λ

′′), donde µm < λ

′< λ

′′< µm+1, entonces u(x) y v(x)

cumplen con la ecuacion del teorema 1.1.8 . Ademas u(b) = ϕ(b, λ′) 6= 0, pues los unicos que


cumplen ϕ(b, λ′) = 0 son los λ

′de la forma µn. Tambien u(x) y v(x) tienen el mismo numero

de ceros (m), pues hay m ceros cuando λ pasa por µm y de ahı ya no entran mas ceros hastaque λ pasa por µm+1.

Por ultimo, v(x) no se anula en µm < x < µm+1, pues si se anulara para algun µm < x0 <µm+1, x0 deberıa ser de la forma µn, lo cual es una contradiccion. Con todo esto, concluimosque:

ϕ′(b, λ

′)

ϕ(b, λ′)>ϕ

′(b, λ

′′)

ϕ(b, λ′′).

Entonces la funcion ϕ′(b,λ)

ϕ(b,λ)decrece monotonamente en el intervalo (µm, µm+1). Y Como:

ϕ(b, µm) = ϕ(b, µm+1) = 0,

la funcion debe decrecer de +∞ a −∞.

Entonces existe un unico λm ∈ (µm, µm+1) tal que ϕ′(b,λm)

ϕ(b,λm)= −cotβ, y con esto, se satis-

face la segunda condicion en (1.5) y entonces λm es un eigenvalor y ϕ(x, λm) tiene el mismonumero de ceros en (a, b) que ϕ(x, µm), i.e., m.

Claramente estos son todos los eigenvalores y las eigenfunciones, por el mismo argumentoque escribimos antes.

1.1.3. Prueba del Teorema de Expansion por el Metodo de Ecua-ciones Integrales

En las secciones anteriores, hemos probado la existencia de una infinidad de eigenvalorespor dos metodos diferentes, uno debido a Liouville, y el otro debido a Sturm.

Recordemos el problema de Sturm-Liouville en el intervalo [0, π]:

y′′

+ {λ− q(x)}y = 0 (1.28)

y(0)cosα + y′(0)senα = 0 (1.29)

y(π)cosβ + y′(π)senβ = 0 (1.30)

Sin embargo, ni Sturm ni Liouville probaron la completez de las eigenfunciones, lademostracion se debe a Steklov.

En el presente hay varios metodos para demostrar la completez de las eigenfunciones. Enesta seccion veremos el metodo de las Ecuaciones Integrales, o tambien llamado el metodode las funciones de Green, el cual es uno de los metodos mas importantes.


Sea λ ∈ C un numero complejo.Sea u(x, λ) la solucion de la ecuacion (1.28), satisfaciendo las condiciones iniciales:

u(0, λ) = senα, u′(0, λ) = −cosα

y sea v(x, λ) otra solucion de la ecuacion (1.28) satisfaciendo:

v(π, λ) = senβ, v′(π, λ) = −cosβ

Lema 1.1.12. El Wronskiano de dos funciones f y g no cero, que satisfacen (1.28) esconstante con respecto a x. Ademas, el Wronskiano es cero si y solo si las dos funciones sonlinealmente dependientes.

Demostracion. Wx{f, g} = det( f(x) g(x)f

′(x) g

′(x)

)= f(x)g

′(x)− f

′(x)g(x)

Entonces

d

dxWx{f, g} = f(x)g

′′(x)− f

′′(x)g(x) = (q(x)− λ)g(x)f(x)− (q(x)− λ)f(x)g(x) = 0.

Entonces Wx{f, g} es constante con respecto a x.

Claramente si f y g son linealmente dependientes , Wx{f, g} = 0

Ahora, supongamos que W{f, g} = 0 ∀x ∈ [0, π]. Entonces

det( f(x) g(x)f

′(x) g

′(x)

)= 0

Entonces, para cada x ∈ [0, π] los vectores( f(x)f

′(x)

)y

( g(x)g

′(x)

)son linealmente dependi-

entes. Entonces:

∃γ : [0, π] → R tal que:( f(x)f

′(x)

)= γ(x)

( g(x)g

′(x)

), ya que

( f(x)f

′(x)

)6=(

00

). Probaremos que γ es constante.

Para esto, primero probaremos que γ es diferenciable en (0, π) y continua en [0, π].

Sea x0 ∈ (0, π). Si g(x0) 6= 0, entonces g(x) 6= 0 en una vecindad V 3 x0 de x0, pues g escontinua.

Entonces γ(x) = f(x)g(x)

en V y γ es diferenciable en V , pues f y g lo son.

En particular, γ es diferenciable en x0.

Si g(x0) = 0 entonces g′(x0) 6= 0, pues si g

′(x0) = 0, entonces por unicidad de soluciones

de la ecuacion con condiciones iniciales, tendremos que g ≡ 0, lo cual es una contradiccion,


pues suponemos g 6= 0.

∴ g′(x0) 6= 0=⇒g

′(x) 6= 0 en una vecindad V 3 x0 de x0, V abierto.

=⇒γ(x) = f′(x)

g′ (x)en V , y es diferenciable en V , pues f

′y g

′lo son.

∴ γ es diferenciable en x0

∴ γ es diferenciable en (0, π), y de la demostracion tambien se puede ver que γ ∈ C1(0, π).

Para x = 0 o x = π analogamente tenemos que γ es continua (y tiene derivada) por laderecha o por la izquierda, respectivamente.

Ahora, como f(x) = γ(x)g(x), entonces f′(x) = γ′(x)g(x) + γ(x)g

′(x)

Pero f′(x) = γ(x)g

′(x). Entonces:

γ′(x)g(x) = 0∀x ∈ (0, π) (1.31)

Supongamos que ∃x0 ∈ (0, π) tal que γ′(x0) 6= 0. Entonces existe una vecindad V 3 x0

de x0 tal que V es abierto y γ′(x) 6= 0∀x ∈ V . Entonces g(x) = 0 ∀x ∈ V y entonces

g′(x) = 0 ∀x ∈ V , lo cual nos dice que g ≡ 0, por unicidad de soluciones.

Por lo tanto, γ′(x) = 0 ∀x ∈ (0, π) y γ continua en [0, π]. Por lo cual, γ = cte, entonces

f y g son linealmente dependientes.

Por otro lado, regresando a las ecuaciones con condiciones iniciales u(x, λ) y v(x, λ) ten-emos que esas dos soluciones son linealmente independientes si y solo si λ no es un eigenvalordel problema (1.28), (1.29), (1.30), ya que si u = cv, u satisface la segunda condicion de fron-tera, y si u satisface la segunda condicion de frontera, vamos a probar que son linealmentedependientes:

u(π)cosβ + u′(π)senβ = 0=⇒u(π)cosβ = −u′

(π)senβ.

Si cosβ 6= 0=⇒u(π) = −tanβu′(π)=⇒u

′(π) 6= 0

=⇒senβ uu′ (π)

satisface la ecuacion (1.28) y cumple con las condiciones iniciales

y(π) = senβ y y′(π) = −cosβ

Entonces −cosβu(π)

u = v por unicidad, y u,v son linealmente dependientes.

El caso cosβ = 0 es analogo.


Entonces tenemos lo siguiente:

λ no es eigenvalor ⇐⇒ u y v son linealmente independientes ⇐⇒ W{u, v} 6= 0, por loprobado anteriormente.

Sea ω(λ) = W{u, v}, que ya vimos que W{u, v} no depende de x.

∴ λ es eigenvalor ⇐⇒ ω(λ) = 0

Definamos la siguiente funcion, para cuando λ no es eigenvalor:

G(x, t;λ) :=

{ 1ω(λ)

u(x, λ)v(t, λ), x6t1

ω(λ)u(t, λ)v(x, λ), x>t

Esta funcion es llamada la ¨Funcion de Green¨, para el problema con valores en lafrontera (1.28), (1.29),(1.30).

G es simetrica con respecto a x y a t, y real valuada para λ ∈ R.

Demostraremos que la funcion:

y(x, λ) =

∫ π

0

G(x, t;λ)f(t)dt , (1.32)

donde f(t) es una funcion continua, llamada un resolvente es una solucion de la ecuacion:

y′′

+ {λ− q(x)}y = f(x) (1.33)

y ademas satisface las condiciones (1.29),(1.30).

Nota:. Notemos que para f ≡ 0, y ≡ 0, y si f 6= 0, y 6= 0.

Demostracion. Tenemos que:

y(x, λ) =

∫ x

0

G(x, t;λ)f(t)dt+

∫ π

x

G(x, t;λ)f(t)dt

=1

ω(λ){v(x, λ)

∫ x

0

u(t, λ)f(t)dt+ u(x, λ)

∫ π

x

v(t, λ)f(t)dt}.

Entonces:

y′(x, λ) =

1

ω(λ){v′

(x, λ)

∫ x

0

u(t, λ)f(t)dt+ u′(x, λ)

∫ π

x

v(t, λ)f(t)dt},

pues la funcion f(t) es continua.


Entonces:

y′′(x, λ) =

1

ω(λ){v′′

(x, λ)

∫ x

0

u(t, λ)f(t)dt+ v′(x, λ)u(x, λ)f(x)}

+1

ω(λ){u′′

(x, λ)

∫ π

x

v(t, λ)f(t)dt− u′(x, λ)v(x, λ)f(x)}

=1

ω(λ){v′′

(x, λ)

∫ x

0

u(t, λ)f(t)dt+ u′′(x, λ)

∫ π

x

v(t, λ)f(t)dt}

+1

ω(λ){v′

(x, λ)u(x, λ)f(x)− u′(x, λ)v(x, λ)f(x)}

=q(x)− λ

ω(λ){v(x, λ)

∫ x

0

u(t, λ)f(t)dt+ u(x, λ)

∫ π

x

v(t, λ)f(t)dt}+1

ω(λ){f(x)ω(λ)

= {q(x)− λ}y(x, λ) + f(x).

Por tanto,y

′′(x, λ) + {λ− q(x)}y(x, λ) = f(x) ,

donde f(t) la consideramos continua.Veamos ahora que satisface las condiciones (1.29),(1.30):

y(0)cosα + y′(0)senα =

= cosα u(0, λ)

∫ π

0

v(t, λ)f(t)dt1

ω(λ)+ senα

1

ω(λ)u

′(0, λ)

∫ π

0

v(t, λ)f(t)dt

= cosαsenα1

ω(λ)

∫ π

0

v(t, λ)f(t)dt− senαcosα1

ω(λ)

∫ π

0

v(t, λ)f(t)dt = 0,

y

y(π)cosβ + y′(π)senβ

= cosβ1

ω(λ)v(π, λ)

∫ π

0

u(t, λ)f(t)dt+ senβ1

ω(λ)v

′(π, λ)

∫ π

0

u(t, λ)f(t)dt

= cosβ1

ω(λ)senβ

∫ π

0

u(t, λ)f(t)dt− senβ1

ω(λ)cosβ

∫ π

0

u(t, λ)f(t)dt = 0

Lo que tenemos hasta ahora es lo siguiente:Si λ no es un eigenvalor del problema homogeneo (1.28),(1.29),(1.30), entonces el problemano homogeneo (1.29),(1.30),(1.33) tiene solucion para cualquier funcion continua f(x) y lasolucion esta dada por la ecuacion (1.32).

Ahora veremos que si λ no es un eigenvalor del problema homogeneo (1.29), (1.30), (1.33)tiene una unica solucion:


Demostracion. Ya vimos que hay al menos una solucion. Si hay dos soluciones, entonces ladiferencia de estas es una eigenfuncion para el problema homogeneo, por lo que tiene que seridenticamente cero.

Ahora, sin perdida de generalidad podemos suponer que λ = 0 no es eigenvalor, ya queen otro caso, podemos considerar el problema con valores en la frontera:

y′′

+ {(λ+ η)− q(x)}y = 0

y(0)cosα + y′(0)senα = 0

y(π)cosβ + y′(π)senβ = 0

el cual tiene las mismas eigenfunciones que el problema (1.28),(1.29),(1.30). Ademas todoslos eigenvalores se trasladan η hacia la derecha. Claramente se puede seleccionar η suficien-temente pequeno de tal manera que el 0 no sea eigenvalor del nuevo problema, esto porquelos eigenvalores son discretos, al ser ceros de una funcion entera. Finalmente, como lo quequeremos probar es la completez de las eigenfunciones, podemos pues suponer que λ = 0 noes eigenvalor.

Sea entonces, G(x, t) := G(x, t; 0).Entonces la funcion:

y(x) =

∫ π

0

G(x, t)f(t)dt

es solucion de la ecuacion:

y′′ − q(x)y = f(x)

y satisface las condiciones iniciales (1.29), (1.30).

Escribamos la ecuacion (1.33) como:

y′′ − q(x)y = f(x)− λy

Demostraremos que esta ecuacion es equivalente a la ecuacion:

y(x) + λ

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt =

∫ π

0

G(x, t)f(t)dt

Demostracion. ⇐= ]Supongamos que:

y(x) + λ

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt =

∫ π

0

G(x, t)f(t)dt.

Entonces:

y′′(x)− q(x)y(x) + λ{ d

2

dx2(

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt)− q(x)

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt}


=d2

dx2(

∫ π

0

G(x, t)f(t)dt)− q(x)

∫ π

0

G(x, t)f(t)dt

Pero∫ π

0G(x, t)y(t)dt es solucion de

z′′ − q(x)z = y(x),

y∫ π

0G(x, t)f(t)dt es solucion de

z′′ − q(x)z = f(x).

Entonces:

y′′(x)− q(x)y(x) + λy(x) = f(x)=⇒y

′′ − q(x)y = f(x)− λy.

=⇒ ]Supongamos ahora que:

y′′ − q(x)y = f(x)− λy

Sea z(x) := y(x) + λ∫ π

0G(x, t)y(t)dt. Entonces:

z′′ − q(x)z = y

′′ − q(x)y + λ(d2

dx2

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt− q(x)

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt)

= y′′ − q(x)y + λy = f(x),

por hipotesis.

∴ y(x) + λ

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt = z(x) =

∫ π

0

G(x, t)f(t)dt,

por la unicidad de las soluciones del problema no homogeneo.

En particular, si f(x) ≡ 0, tenemos que el problema homogeneo:

y′′

+ (λ− q(x))y = 0

es equivalente a:

y(x) + λ

∫ π

0

G(x, t)y(t)dt = 0 (1.34)

Denotaremos por λ0,λ1,λ2,...,λn,...la coleccion de todos los eigenvalores del problema(1.28),(1.29),(1.30) y por v0(x),v1(x),v2(x),...,vn(x),...las correspondientes eigenfunciones nor-malizadas.


Consideremos el Kernel:

H(x, ξ) =∞∑n=0

vn(x)vn(ξ)

λn

λn 6= 0 ∀n ∈ N porque λ = 0 no es eigenvalor.

Primero demostraremos que la serie para H(x, ξ) converge absolutamente y uniforme-mente:

Demostracion. Primero veremos que vn son funciones uniformemente acotadas, a partir deun N suficientemente grande.vn tiene la forma:

vn(x) =ϕ(x, λn)∫ π

0|ϕ(x, λn)|2dx

Por formulas asintoticas tenemos que ∃s0 tal que para |s| > s0

ϕ(x, λ) = O(e|t|x),

donde λ = s2,s = σ + it.

Como el numero de eigenvalores es infinito y los primeros terminos de la serie no nos in-teresan para probar la convergencia, podemos tomar N suficientemente grande de tal formaque para n > N , λn > 0, λn > s0, en cuyo caso se tiene tambien t = 0.=⇒ϕ(x, λn) = O(1) para n suficientemente grande.

Ahora, tomando tambien n suficientemente grande para poder aplicar las formulas asintoticas(teorema 1.1.5):

ϕ(x, λ) = cossx+O(e|t|x

|s|) = cos sx+O(

1

|s|)

=⇒ϕ2(x, λ) = cos2sx+ 2cossx E(s) + E2(s),

donde E(s) = O( 1|s|). Entonces:

2cossxE(s) = O(1

|s|)

y

E2(s) = O(1

|s|)

∴ |ϕ(x, λ)|2 = cos2sx+O( 1|s|) para s ∈ R.

=⇒∫ π

0

|ϕ(x, λ)|2dx =

∫ π

0

cos2sxdx+O(1

|s|),


pues estamos integrando sobre un conjunto de medida finita.

=π

2+sen(2πs)

4s+O(

1

|s|) =

π

2+O(

1

|s|)∫ π

0

|ϕ(x, λn)|2dx >π

4

para n suficientemente grande. Entonces

1∫ π

0|ϕ(x, λn)|2dx

<4

π

para n suficientemente grande, y

ϕ(x, λn) = O(1),

para n suficientemente grande.=⇒vn(x) = ϕ(x,λn)R π

0 |ϕ(x,λn)|2dx es uniformemente acotada para x y para n, n suficientemente

grande.

Por otro lado, por las formulas asintoticas para los eigenvalores (1.1.5) tenemos que:

sn = n+O(1

n).

Entonces:λn = n2 +O(1),

ya que:

sn = n+ a(n),

donde a(n) = O( 1n). Entonces:

λn = s2n = n2 + 2n ∗ a(n) + a(n)2,

y de aquı tenemos que 2a(n)n = O(1) y a(n)2 = O(1). Por tanto:

λn = n2 +O(1).

Ademas:

| 1

|λn|− 1

n2| = |n2 − |λn||

n2λn6|n2 − |λn||

n2

para n suficientemente grande tal que λn > 1. Entonces:

1

λn= O(

1

n2),

pues |n2 − |λn|| = O(1) y para N suficientemente grande:

54 1. Teorıa Espectral en el caso regular∑∞n=N

|vn(x)vn(ξ)||λn| 6M

∑∞n=N

1|λn| , donde |vn(x)| < M , pues es uniformemente acotada, y

∞∑n=N

1

|λn|<∞,

pues 1|λn| = O( 1

n2 ) , y∑

1n2 <∞

y como la desigualdad no depende de x, y los primeros terminos no nos interesan, tenemoslo deseado.∴ La serie H(x, ξ) =

∑∞n=0

vn(x)vn(ξ)λn

converge uniforme y absolutamente.

De esto se sigue que H(x, ξ) es continua, por teorema de analisis, ya que cada uno de losterminos son funciones continuas.

Por otro lado, consideremos el Kernel:

Q(x, ξ) = G(x, ξ) +H(x, ξ) = G(x, ξ) +∞∑n=0

vn(x)vn(ξ)

λn

el cual, claramente es continuo y simetrico.

Probaremos que Q(x, ξ) ≡ 0

Demostracion. Supongamos que Q(x, ξ) 6= 0ComoQ(x, ξ) es continua y simetrica, entonces, por teorema de ecuaciones integrales, cualquierKernel simetrico Q(x, ξ) que no es cero, tiene al menos una eigenfuncion, i.e., existe λ0 yu(x) 6= 0 que satisfacen la ecuacion:

u(x) + λ0

∫ π

0

Q(x, ξ)u(ξ)dξ = 0. (1.35)

Por otro lado, por (1.34) tenemos que, como vn es eigenfuncion,∫ π

0

G(x, ξ)vn(ξ)dξ = − 1

λnvn(x)

=⇒∫ π

0

Q(x, ξ)vn(ξ)dξ =

∫ π

0

G(x, ξ)vn(ξ)dξ +

∫ π

0

( ∞∑m=0

vm(x)vm(ξ)

λm

)vn(ξ)dξ

= − 1

λnvn(x) +

∞∑m=0

∫ π

0

vm(x)vm(ξ)vn(ξ)

λmdξ = − 1

λnvn(x) +

∞∑m=0

vm(x)

λm

∫ π

0

vm(ξ)vn(ξ)dξ

= − 1

λnvn(x) +

vn(x)

λn

∫ π

0

|vn(ξ)|2dξ = − 1

λnvn(x) +

1

λnvn(x) = 0

∴∫ π

0

Q(x, ξ)vn(ξ)dξ = 0


Esto quiere decir que el Kernel Q(x, ξ) es ortogonal a todas las eigenfunciones del prob-lema (1.28),(1.29),(1.30).

Ahora, por ser u(x) solucion de:

u(x) + λ0

∫ π

0

Q(x, ξ)u(ξ)dξ = 0

Tenemos entonces que:

0 =

∫ π

0

u(x)vn(x)dx+ λ0

∫ π

0

vn(x){∫ π

0

Q(x, ξ)u(ξ)dξ}dx

=

∫ π

0

u(x)vn(x)dx+ λ0

∫ π

0

∫ π

0

vn(x)Q(x, ξ)u(ξ)dξdx

Pero por continuidad, podemos intercambiar los lımites, entonces:

0 =

∫ π

0

u(x)vn(x)dx+ λ0

∫ π

0

∫ π

0

u(ξ){vn(x)Q(x, ξ)}dxdξ

=

∫ π

0

u(x)vn(x)dx+ λ0

∫ π

0

u(ξ){∫ π

0

vn(x)Q(x, ξ)dx}dξ

=

∫ π

0

u(x)vn(x)dx+ λ0

∫ π

0

u(ξ) ∗ 0dξ =

∫ π

0

u(x)vn(x)dx,

por lo probado anteriormente. Entonces

0 = u(x) + λ0

∫ π

0

Q(x, ξ)u(ξ)dξ

= u(x) + λ0

∫ π

0

G(x, ξ)u(ξ)dξ + λ0

∞∑m=0

∫ π

0

vn(x)vn(ξ)

λnu(ξ)dξ

= u(x) + λ0

∫ π

0

G(x, ξ)u(ξ)dξ + λ0

∞∑m=0

vn(x)

λn

∫ π

0

vn(ξ)u(ξ)dξ

= u(x) + λ0

∫ π

0

G(x, ξ)u(ξ)dξ.

=⇒u es una eigenfuncion para el problema (1.28), (1.29), (1.30), pero como u es ortogo-nal a todas las eigenfunciones vn, u tiene que ser ortogonal a sı misma.

=⇒u ≡ 0, lo cual es una contradiccion.∴ Q(x, ξ) ≡ 0

De la demostracion anterior obtenemos que:

G(x, ξ) = −∞∑n=0

vn(x)vn(ξ)

λn(1.36)

Ahora vamos a demostrar un teorema de expansion que nos va ayudar a demostrar elteorema general:


Teorema 1.1.13. Si f tiene una segunda derivada continua y satisface las condiciones defrontera (1.29), (1.30), entonces f(x) es representado por la serie de Fourier (convergenteabsoluta y uniformemente) de las eigenfunciones del problema con valores en la frontera(1.28),(1.29),(1.30), esto es:

f(x) =∞∑n=0

anvn(x), an =

∫ π

0

f(x)vn(x)dx (1.37)

Demostracion. Sea h(x) := f′′(x)− q(x)f(x) (f tiene segunda derivada continua).

Entonces por (1.32) y (1.36) tenemos que:

f(x) =

∫ π

0

G(x, ξ)h(ξ)dξ =

∫ π

0

(−

∞∑n=0

vn(x)vn(ξ)

λn

)h(ξ)dξ

= −∞∑n=0

∫ π

0

vn(x)vn(ξ)

λnh(ξ)dξ,

por ser la convergencia uniforme y absoluta.

= −∞∑n=0

vn(x)

λn

∫ π

0

vn(ξ)h(ξ)dξ =∞∑n=0

anvn(x),

donde:

an = − 1

λn

∫ π

0

vn(ξ)h(ξ)dξ

Ahora, la convergencia es absoluta y uniforme, ya que:

∞∑n=0

|an||vn(x)|6∞∑n=0

1

|λn|

∫ π

0

|vn(ξ)|dξ|vn(x)|

=∞∑n=0

∫ π

0

|vn(x)vn(ξ)||λn|

dξ,

y∑ |vn(x)vn(ξ)|

|λn| converge uniformemente.

Entonces para ε > 0 ∃N > 0 tal que∑∞

n=N|vn(x)vn(ξ)|

|λn| < ε. Entonces

=⇒∞∑n=N

∫ π

0

|vn(x)vn(ξ)||λn|

dξ =

∫ π

0

(∞∑n=N

|vn(x)vn(ξ)||λn|

dξ)6επ

∴∑anvn(x) converge uniforme y absolutamente.

Por ultimo, ∫ π

0

f(x)vn(x)dx =

∫ π

0

( ∞∑m=0

amvm(x))vn(x)dx


=∞∑m=0

am

∫ π

0

vm(x)vn(x)dx = an,

por ser la convergencia uniforme y {vn}n un conjunto ortonormal

Teorema 1.1.14. Para cualquier funcion cuadrado integrable en el intervalo [0, π], f ∈L2[0, π], la igualdad de Parseval: ∫ π

0

f 2(x)dx =∞∑n=0

a2n (1.38)

se satisface.

Demostracion. Si f satisface las condiciones del teorema 1.1.13, entonces (1.38) se sigue in-mediatamente, debido a la convergencia absoluta y uniforme de las series, ya que de estamanera:∫ π

0

f 2(x)dx =

∫ π

0

f(x)(∞∑n=0

anvn(x))dx =∞∑n=0

an

∫ π

0

f(x)vn(x)dx =∞∑n=0

a2n (1.39)

Ahora, sea f ∈ L2[0, π] cualquier funcion cuadrado integrable en el intervalo [0, π].

Por teorema (que podemos encontrar en [10]), tenemos que el conjunto de funciones in-finitamente diferenciables (C∞) en [0, π] es denso en el espacio de Hilbert L2

R[0, π], con elproducto interior:

< u, v >=

∫ π

0

u(x)v(x)dx

y norma:

||v||2L2 =

∫ π

0

v2(x)dx

Por tal motivo, existe una sucesion de funciones con segunda derivada continua (en partic-ular), como en el teorema 1.1.13, de tal manera que:

fk −→L2[0,π] f , fk converge a f en L2[0, π].

Tambien del teorema de densidad de funciones C∞ en L2[0, π], podemos ver que podemossuponer que cada una de las funciones fk son cero en una vecindad de x = 0 y x = π.

Como fk − fl tiene dos derivadas continuas ∀k, l ∈ N, por (1.39), tenemos que:∫ π

0

{fk(x)− fl(x)}2dx =∞∑n=0

{a(k)n − a(l)

n }2. (1.40)


donde:

a(k)n =

∫ π

0

fk(x)vn(x)dx.

Como {fk}∞k=0 es una sucesion de funciones convergentes en L2[0, π], en particular es unasucesion de Cauchy en L2[0, π], entonces:

∞∑n=0

{a(k)n − a(l)

n }2 =

∫ π

0

{fk(x)− fl(x)}2dx −→k,l−→∞ 0

Por otro lado, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que:

|an − a(k)n | = |

∫ π

0

(f(x)− fk(x))vn(x)dx|6(

∫ π

0

(f(x)− fk(x))2dx)1/2(

∫ π

0

v2n(x)dx)

1/2

=( ∫ π

0

(f(x)− fk(x))2dx

)1/2

,

pues las vn´s estan normalizas. Y( ∫ π

0

(f(x)− fk(x))2dx

)1/2

= ||f − fk||L2[0,π] −→k→∞ 0.

Por tanto,lımk→∞

a(k)n = an,

n = 0, 1, 2, ...

Sea N > 0 un entero positivo fijo. De (1.40) tenemos que:

N∑n=0

{a(k)n − a(l)

n }26∞∑n=0

{a(k)n − a(l)

n }2 =

∫ π

0

{fk(x)− fl(x)}2dx

Haciendo k −→∞, tenemos que:

lımk→∞

N∑n=0

{a(k)n − a(l)

n }26 lımk→∞

∫ π

0

{fk(x)− fl(x)}2dx

Pero:

lımk→∞

N∑n=0

{a(k)n − a(l)

n }2 =N∑n=0

{an − a(l)n }2,

por ser la suma finita. Por otro lado,

fk −→L2

k→∞ f=⇒fk − fl −→L2

k→∞ f − fl.

Entonces:∫ π

0

{fk(x)− fl(x)}2dx = ||fk − fl||2L2 −→k→∞ ||f − fl||2L2 =

∫ π

0

{f(x)− fl(x)}2dx


∴N∑n=0

{an − a(l)n }26

∫ π

0

{f(x)− fl(x)}2dx

Haciendo N −→∞ tenemos que∑∞

n=0{an− a(l)n }2 converge, pues la serie esta acotada y

los sumando son no negativos. Ademas:

∞∑n=0

{an − a(l)n }26

∫ π

0

{f(x)− fl(x)}2dx

Ahora, para ver que∑a2n converge, notemos que {an − a

(l)n }∞n=0 ∈ l2(N), por la ultima

desigualdad, y {a(l)n }∞n=0 ∈ l2(N), pues f es de clase C2. Entonces

{an − a(l)n }n + {a(l)

n }n = {an}n ∈ l2(N)

∴∑∞

n=0 a2n converge. Ademas,

{an}n + {a(l)n }n = {an + a

(l)n }n ∈ l2(N), por lo cual

∑∞n=0(an + a

(l)n )2 <∞

Tomamos M =∑∞

n=0(an + a(l)n )2. Entonces, usando la desigualdad de Minkowski ten-

emos que:

|∞∑n=0

a2n −

∞∑n=0

{a(l)n }2| = |

∞∑n=0

{an − a(l)n }{an + a(l)

n }|

6(∞∑n=0

|an − a(l)n |2)1/2(

∞∑n=0

|an + a(l)n |2)1/2 = M(

∫ π

0

{f(x)− fl(x)}2dx)1/2 −→k→∞ 0

∴∞∑n=0

{a(l)n }2 −→l→∞

∞∑n=0

a2n

Por otro lado, tenemos que:∑∞n=0{a

(l)n }2 =

∫ π

0f(x)2dx = ||fl||2L2[0,π] −→l→∞ ||f ||2L2 =

∫ π

0f(x)2dx

∴∫ π

0f(x)2dx =

∑∞n=0 a

2n

Esto nos dice que el conjunto de eigenfunciones es completo, ya que por teorema deAnalisis Funciones (que podemos encontrar en [2]), nos dice que esto es equivalente a que elconjunto de eigenfunciones {vn}n sea ortonormal maximo.

Esto tambien nos dice algo muy importante, que no hay espectro continuo, ya que conlos eigenvalores (las eigenfunciones correspondientes) ya generamos todo el espacio L2[0, π].Una demostracion rigurosa se puede obtener leyendo [10] y [11] (descomponiendo el espacioL2[0, π] de acuerdo a su espectro).


Ahora, regresando a la formula:

y(x, λ) =

∫ π

0

G(x, t;λ)f(t)dt (1.41)

cuyo lado derecho se llama el resolvente.

Sabemos que el resolvente existe para todos los λ que no son eigenvalores. Lo que vamoshacer ahora es mostrar como obtener una expansion en series de Fourier del resolvente, dadala expansion de f(x).

Sabemos que la funcion y(x, λ) dada por (1.41), satisface las condiciones de frontera(1.29),(1.30). Ademas:∫ π

0

{y′′(x, λ)− q(x)y(x, λ)}vn(x)dx =

∫ π

0

y′′(x, λ)vn(x)dx−

∫ π

0

q(x)y(x, λ)vn(x)dx

Por otro lado, integrando por partes tenemos que:∫ π

0

y′′(x, λ)vn(x)dx = y

′(x, λ)vn(x)|π0 −

∫ π

0

y′(x, λ)v

′

n(x)dx

= y′(π, λ)vn(π)− y

′(0, λ)vn(0)− (y(x, λ)v

′

n(x)|π0 −∫ π

0

y(x, λ)v′′

n(x)dx)

=

∫ π

0

y(x, λ)v′′

n(x)dx+ (y′(π, λ)vn(π)− y(π, λ)v

′

n(π)) + (y(0, λ)v′

n(0)− y′(0, λ)vn(0))

Pero:

y(π, λ)cosβ + y′(π, λ)senβ = 0, y

v(π)cosβ + v′(π)senβ = 0,

pues ambas cumplen con las condiciones de frontera (1.29),(1.30).

Si cosβ 6= 0=⇒vn(π) = −v′(π)tanβ. Entonces

=⇒y′(π, λ)vn(π)− y(π, λ)v

′

n(π) = −y′(π, λ)v

′

n(π)tanβ − y(π, λ)v′

n(π)

= −v′n(π)

cosβ(y

′(π, λ)senβ + y(π, λ)cosβ) = 0,

pues y(x, λ) cumple (1.30)Si cosβ = 0=⇒senβ 6= 0 y todo es analogo.

Analogamente:y(0, λ)v

′n(0)− y

′(0, λ)vn(0) = 0


∴∫ π

0y

′′(x, λ)vn(x)dx =

∫ π

0y(x, λ)v

′′n(x)dx. Entonces∫ π

0

{y′′(x, λ)− q(x)y(x, λ)}vn(x)dx =

∫ π

0

y′′(x, λ)vn(x)dx−

∫ π

0

q(x)y(x, λ)vn(x)dx

=

∫ π

0

y(x, λ)v′′

n(x)dx−∫ π

0

q(x)y(x, λ)vn(x)dx =

∫ π

0

y(x, λ)(v′′

n(x)− q(x)vn(x))dx

= −λn∫ π

0

y(x, λ)vn(x)dx = −λndn(λ)

donde:

dn(λ) =

∫ π

0

y(x, λ)vn(x)dx∫ π

0

{y′′(x, λ)− q(x)y(x, λ)}vn(x)dx = −λndn(λ) (1.42)

De esta manera tenemos que:

y(x, λ) =∞∑n=0

dn(λ)vn(x),

pues y(x, λ) es de clase C2 y dn son los coeficientes de Fourier de y(x, λ).

Sea an =∫ π

0f(x)vn(x)dx los coeficientes de Fourier de f con respecto a la base de Hilbert

{vn}n.Como y(x, λ) satisface la ecuacion:

y′′(x) + {λ− q(x)}y(x) = f(x),

tenemos:

an =

∫ π

0

{y′′+ {λ− q(x)}y}vn(x)dx

=

∫ π

0

{y′′(x, λ)− q(x)y(x, λ)}vn(x)dx+ λ

∫ π

0

y(x, λ)vn(x)dx

= −λndn(λ) + λdn(λ) = (λ− λn)dn(λ),

por (1.42).

Entonces, como λ no es eigenvalor, λ 6= λn∀n ∈ N =⇒dn = an

λ−λn

Entonces la expansion del resolvente es:

y(x, λ) =

∫ π

0

G(x, t;λ)f(t)dt =∞∑n=0

anλ− λn

vn(x) (1.43)

Sustituyendo an =∫ π

0f(t)vn(t)dt, obtendremos una importante formula:


∫ π

0

G(x, t;λ)f(t)dt =∞∑n=0

vn(x)

λ− λn

∫ π

0

f(t)vn(t)dt

=⇒∫ π

0

(G(x, t;λ)−∞∑n=0

vn(x)vn(t)

λ− λn)f(t)dt = 0

ya que, otra vez, la convergencia de la serie∑∞

n=0vn(x)vn(t)λ−λn

es uniforme, por lo que podemosmeter la suma dentro de la integral.

Como la igualdad anterior es para f arbitraria, f ∈ L2[0, π]

=⇒G(x, t;λ)−∞∑0

vn(x)vn(t)

λ− λn= 0,

pues es ortogonal a todo elemento de L2[0, π], en particular a el, y como es continua conrespecto a t, tiene que ser identicamente cero.

Cambiando λ por z tenemos:

G(x, t; z) =∞∑n=0

vn(x)vn(t)

z − λn

Ahora, poniendo t = x, integrando con respecto a x de 0 a π, tenemos que:∫ π

0

G(x, x; z)dx =

∫ π

0

∞∑n=0

v2n(x)

z − λndx =

∞∑n=0

1

z − λn

∫ π

0

v2n(x)dx =

∞∑n=0

1

z − λn,

ya que la eigenfunciones estan normalizadas.

∴∫ π

0

G(x, x; z)dx =∞∑n=0

1

z − λn. (1.44)

Ahora, sea:N(λ) :=

∑−∞6λn<λ

1, N(λ) es el numero de eigenvalores menores que λ.

Entonces la igualdad (1.44) toma la forma:∫ π

0

G(x, x; z)dx =

∫ ∞

−∞

dN(λ)

z − λ. (1.45)

Dicha ecuacion es llamada la ecuacion de Carleman.

Nota: La integral del lado derecho es una integral de Riemann-Stieljes.

Podemos encontrar teorıa de la integral de Riemann-Stieljes en [12], que nos sera util enel siguiente capıtulo.

Capıtulo 2

Teorıa Espectral en el Caso Singular

Este capıtulo esta basado en el libro del Levitan [6] , aunque algunas cosas se extrajeronde otros libros o artıculos, lo cual lo mencionare en su momento.

2.1. La ecuacion de Parseval en la media linea

2.1.1.

Como vimos en el primer capıtulo, un problema de Sturm-Liouville se dice que es singularsi [a, b] es infinito o si la funcion q no es integrable en el intervalo [a, b] (o ambos). En estecapıtulo vamos a obtener el teorema de expansion para el problema singular.

La idea principal de la demostracion es considerar el caso singular en el que [a, b] es in-finito como lımite de problemas regulares, i.e., tomando b finito y haciendo tender b→∞.

Vamos a empezar considerando el caso donde el intervalo es el semieje [0,∞) y q escontinua en [0,∞).

Entonces, consideremos la ecuacion:

y′′

+ {λ− q(x)}y = 0, 06x <∞ (2.1)

Sea α ∈ R y sea y(x, λ) la solucion de (2.1) satisfaciendo las condiciones iniciales:

y(0, λ) = senα, y′(0, λ) = −cosα (2.2)

Claramente y(x, λ) satisface las condiciones de frontera:

y(0, λ) cos α+ y′(0, λ) sen α = 0 (2.3)

Sea b un numero arbitrario positivo, el cual lo vamos a incrementar hasta +∞ a lo largode la seccion.

Consideremos entonces las condiciones de frontera:

y(b, λ)cosβ + y′(b, λ)senβ = 0 (2.4)

64 2. Teorıa Espectral en el Caso Singular

para el problema (2.1),(2.3).

Con esto, tenemos que el problema (2.1),(2.3),(2.4) es un problema de Sturm-Liouvilleregular. Por el capıtulo anterior tenemos que tiene una sucesion creciente indefinidamente(no acotada) de eigenvalores, que ademas son discretos.

Sea, entonces, {λn,b}∞n=0 los eigenvalores y {yn,b(x) = y(x, λn,b)}∞n=0 las eigenfuncionescorrespondientes, para el problema (2.2),(2.3),(2.4).

Entonces, si f ∈ L2(0, b) y:

α2n,b =

∫ b

0

y2n,b(x)dx,

entonces, por la ecuacion de Parseval del capıtulo anterior, si tomamos las eigenfuncionesnormalizadas:

vn(x) =1

αn,byn,b(x),

tenemos que:∫ b

0

f 2(x)dx =∞∑n=0

( ∫ b

0

f(x)yn,b(x)

αn,bdx

)2

=∞∑n=0

1

α2n,b

(

∫ b

0

f(x)yn,b(x)dx)2 (2.5)

Definamos la siguiente funcion escalonada:

ρb(λ) :=

{−

∑λ<λn,b60

1α2

n,b, λ60∑

06λn,b6λ1

α2n,b, λ > 0

De este modo, podemos escribir la igualdad (2.5) de la siguiente forma:∫ b

0

f 2(x)dx =

∫ ∞

−∞F 2(λ)dρb(λ) (2.6)

donde F (λ) =∫ b

0f(x)y(x, λ)dx.

Esto ultimo, por la teorıa de integrales de Riemann-Stieljes.

Vamos a mostrar que la ecuacion de Parseval para el problema singular (2.1),(2.3) sepuede obtener de (2.6) haciendo b → ∞. Pero para esto, necesitamos probar el siguientelema:

Lema 2.1.1. Para cualquier entero positivo N , existe una constante A = A(N) que no de-pende de b, y que:

2.1. La ecuacion de Parseval en la media linea 65

N∨−N

{ρb} :=∑

−N<λn,b<N

1

α2n,b

= ρb(N)− ρb(−N) < A, (2.7)

i.e., en cada intervalo finito en el dominio de λ, la variacion de las funciones ρb(λ) esuniformemente acotada con respecto a b.

Demostracion. Consideremos primero el caso senα 6= 0. Debido a la continuidad de y(x, λ)en el dominio −N6λ6N , 06x6a, para a > 0 fijo, tenemos que como y(0, λ) = senα 6= 0,entonces:

y(0, λ)2 = sen2(α) >1

2sen2(α),

entonces existe h > 0 tal que para |λ| < N , (por el teorema de valor medio) ∃x0 ∈ (0, h) talque: (1

h

∫ h

0

y(x, λ)dx)2

= y(x0, λ)2 >1

2sen2(α) , (2.8)

pues senα 6= 0 Sea fh(x) :=

{1h, 06x < h

0 si x>h

Aplicando la igualdad (2.6) a la funcion anterior tenemos que:

F (λ) =

∫ b

0

fh(x)y(x, λ)dx =1

h

∫ h

0

y(x, λ)dx .

∫ h

0

f 2h(x)dx =

1

h2h =

1

h=

∫ ∞

−∞F 2(λ)dρb(λ) =

∫ ∞

−∞(1

h

∫ h

0

y(x, λ)dx)2dρb(λ)

>∫ N

−N

(1

h

∫ h

0

y(x, λ)dx)2

dρb(λ) >1

2sen2(α)

∫ N

−Ndρb(λ) =

1

2sen2α

(ρb(N)− ρb(−N)

)∴ {ρb(N)− ρb(−N)} < 2

hsen2α= A = A(N),

pues como vimos, la eleccion de h solo depende de N , (−N < λ < N).

Ahora, si senα = 0, la idea es aplicar la ecuacion de Parseval (2.6) a la funcion:

fh :=

{1h2 , 06x < h0, x>h

,

donde h es un entero positivo que eligiremos mas tarde.Para x>h ∫ x

0

f 2h(u)du =

∫ h

0

1

h2du =

1

h=

∫ ∞

−∞F 2(λ)dρb(λ)


donde

F (λ) =

∫ b

0

fh(x)y(x, λ)dx =

∫ h

0

1

h2y(x, λ)dx =

1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dx,

y por tanto:

1

h3=

∫ ∞

−∞(

1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dx)2dρb(λ)>∫ N

−N(

1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dx)2dρb(λ)

Para este N > 0 fijo, tenemos lo siguiente: Sea g1(h) =∫ h

0y(x, λ)dx y g2(h) = h2.

lımh→0

g1(h) = 0

lımh→0

g2(h) = 0

pues y(x, λ) es continua. Y tambien:g

′1(h) = y(h, λ) y g

′2(h) = 2h, y:

g′1(h)

g′2(h)

=y(h, λ)

2h=y(h, λ)− y(0, λ)

2h h→ 0-

1

2y

′(0, λ) =

1

2cosα

Entonces por la regla de L´Hopital tenemos que:

lımh→0

g1(h)

g2(h)= lım

h→0

g′1(h)

g′2(h)

=1

2cosα.

∴1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dxh→ 0

-1

2cosα

Como senα = 0=⇒cosα = +1 o cosα = −1, entonces:( 1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dx)2

h→ 0-

1

4cos2α =

1

4

Entonces existe h suficientemente pequeno tal que:( 1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dx)2

>1

8

para −N < λ < N , y h no depende de b.

De la desigualdad anterior tenemos que:

1

h3>

∫ N

−N(

1

h2

∫ h

0

y(x, λ)dx)2dρb(λ)>1

8

∫ N

−Ndρb(λ) =

1

8(ρb(N)− ρb(−N)).

∴ ρb(N)− ρb(−N) < 81

h3= A = A(N),

y la eleccion solo depende de N .El lema queda entonces demostrado.


Ahora vamos a demostrar que podemos obtener la ecuacion de Parseval para el problema(2.1),(2.3), usando el lema 2.1.1 y los teoremas de la teorıa de la integral de Riemann-Stieljes(ver [12]).

Sea fn(x) una funcion que es cero fuera del intervalo 06x6n, n < b, que ademas estatenga una segunda derivada continua y que satisfaga las condiciones de frontera (2.3). Apli-cando la igualdad de Parseval (2.6), obtenemos:∫ n

0

f 2n(x)dx =

∫ b

0

f 2n(x)dx =

∫ ∞

−∞F 2n(λ)dρb(λ), (2.9)

donde: Fn(λ) =∫ n

0fn(x)y(x, λ)dx.

Ahora, como fn(x) y y(x, λ) satisfacen las condiciones de frontera (2.3) y fn(x) es ceroen una vecindad de b, tenemos que:

Fn(λ) = −1

λ

∫ b

0

fn(x){y′′(x, λ)− q(x)y(x, λ)}dx, si λ 6= 0

y: ∫ b

0

fn(x)y′′(x, λ)dx = fn(x)y

′(x)

∣∣∣b0−

∫ b

0

f′

n(x)y′(x, λ)dx

= 0− fn(0)y′(0, λ)− (f

′

n(x)y(x, λ)∣∣∣b0+

∫ b

0

f′′

n (x)y(x, λ)dx)

=

∫ b

0

f′′

n (x)y(x, λ)dx− (y′(0, λ)fn(0)− y(0, λ)f

′

n(0))

=

∫ b

0

f′′

n (x)y(x, λ)dx− (−cos(α)fn(0)− sen(α)f′

n(0)) =

∫ b

0

f′′

n (x)y(x, λ)dx.

∴ Fn(λ) = −1

λ(

∫ b

0

f′′

n (x)y(x, λ)dx−∫ b

0

q(x)fn(x)y(x, λ)dx) = −1

λ

∫ b

0

(f′′

n (x)−q(x)fn(x))y(x, λ)dx

Entonces, para N > 0 un entero positivo arbitrario:∫|λ|>N

F 2n(λ)dρb(λ) =

∫|λ|>N

{−1

λ

∫ b

0

y(x, λ)(f′′

n (x)− q(x)fn(x))dx}2dρb(λ)

61

N2

∫|λ|>N

{∫ b

0

y(x, λ)(f′′


61

N2

∫ ∞

−∞{∫ b

0

y(x, λ)(f′′


=1

N2

∫ n

0

{f ′′

n (x)− q(x)fn(x)}2dx ,


por una relacion similar a la relacion (2.9).

Entonces obtenemos la siguiente estimacion:∣∣∣ ∫ n

0

f 2n(x)dx−

∫ N

−NF 2n(λ)dρb(λ)

∣∣∣ =∣∣∣ ∫ N

−NF 2n(λ)dρb(λ)

∣∣∣ < 1

N2

∫ n

0

{f ′′

n (x)− q(x)fn(x)}2dx

(2.10)Por otro lado, usando el lema 2.1.1, tenemos que el conjunto de funciones monotonas:

{ρb(λ)}b, (−N6λ6N),

esta uniformemente acotada con respecto a b.

Entonces existe una sucesion {bk} para la cual las funciones ρbk(λ) convergen a una fun-cion monotona ρ(λ) definida en −N6λ6N .

Pasando al lımite cuando k → ∞ en la desigualdad (2.10), por teoremas de la teorıa dela integral de Stieljes ([12]), tenemos lo siguiente:∣∣∣ ∫ n

0

f 2n(x)dx−

∫ N

−NF 2n(λ)dρ(λ)

∣∣∣6 1

N2

∫ n

0

{f ′′

n (x)− q(x)fn(x)}2dx.

Ahora, notemos que al incrementar N (para luego hacer N →∞), obtenemos una suce-sion {bNk }k, que no necesariamente es la misma para cada N , pero lo que si podemos haceres escoger para N + 1, {bN+1

k }k de tal manera que sea una subsucesion de {bNk }k, por lo quela ρ obtenida para N + 1, ρN+1, va ser una extension de ρN . Con esto si obtenemos unasucesion comun ρ(λ) definida en −∞ < λ <∞. Entonces pasando al lımite cuando N →∞en esta ultima estimacion: ∫ n

0

f 2n(x)dx =

∫ ∞

−∞F 2n(λ)dρ(λ).

Por lo tanto, ya obtuvimos la igualdad de Parseval para funciones que tienen dos derivadascontinuas y que son cero fuera de un intervalo 06x6n, n < b y satisfaciendo las condicionesde frontera (2.3).

Ahora, sea f ∈ L2(0,∞). Sabemos por teorema que se encuentra en [10] que existe unasucesion de funciones {fn} que satisfacen todas las condiciones descritas y tal que:

fnL2(0,∞)

n→∞- f en L2(0,∞),

i.e.,

lımn→∞

∫ ∞

0

{f(x)− fn(x)}2dx = 0.

Como {fn}n es una sucesion convergente en L2(0,∞), en particular es una sucesion deCauchy, i.e.,


∫ ∞

0

{fn(x)− fm(x)}2dxm, n→∞

- 0

Entonces, por lo probado anteriormente tenemos que:∫ ∞

−∞{Fn(λ)− Fm(λ)}2dρ(λ) =

∫ ∞

−∞{fn(x)− fm(x)}2dx

m, n→∞- 0

donde: Fn(λ) =∫ n

0fn(x)y(x, λ)dx =

∫∞0fn(x)y(x, λ)dx.

Como el conjunto de funciones cuadrado integrable con respecto a la funcion monotonacreciente ρ(λ) es completa, y {Fn}n es una sucesion de Cauchy, entonces existe F (λ) cuadra-do integrable con respecto a la funcion monotona ρ(λ) tal que:

Fn(λ)n→∞

- F (λ)

en este espacio, i.e., ∫ ∞

−∞(Fn(λ)− F (λ))2dρ(λ)

n→∞- 0.

Como la norma es continua:∫ ∞

−∞F 2(λ)dρ(λ) = lım

n→∞

∫ ∞

−∞F 2n(λ)dρ(λ) = lım

n→∞

∫ n

0

f 2n(x)dx

= lımn→∞

||fn||2L2(0,∞) = ||f ||2L2(0,∞) =

∫ ∞

0

f 2(x)dx

∴∫ ∞

0

f 2(x)dx =

∫ ∞

−∞F 2(λ)dρ(λ).

Notemos que si g ∈ L2(0,∞) es otra funcion cuadrado integrable y construimos G(λ) de lamisma manera en que construimos F (λ) a partir de f(x), entonces tenemos que:∫ ∞

0

{f(x)− g(x)}2dx =

∫ ∞

−∞{F (λ)−G(λ)}2dρ(λ).

Finalmente, probaremos que la sucesion˜

Fn (λ) =∫ n

0f(x)y(x, λ)dx converge en el espacio

de funciones cuadrado integrable con respecto a la funcion monotona creciente ρ(λ) a F (λ).

Lema 2.1.2. Sea g(x) = f(x) para 06x6n y g(x) = 0 para x > n. Entonces la funcioncorrespondiente para g(x) (como obtuvimos F (λ) a partir de f(x)) es:

Fn(λ) =

∫ n

0

f(x)y(x, λ)dx


Demostracion. Sea Fn(λ) la funcion para g(x) con el proceso descrito para obtener F (λ) apartir de f(x).

Sea gn(x) una sucesion de funciones que cumple con las condiciones de frontera (2.3), consegunda derivada continua y cero fuera de [0, n] tal que:

gmL2(0,∞)

m→∞- g.

Esto ultimo se puede hacer porque g(x) es cero fuera del intervalo 06x6n.

Sea Gm(x) =∫ m

0gm(x)y(x, λ)dx =

∫ n

0gm(x)y(x, λ)dx. Tenemos entonces que:∫ ∞

−∞(Fm(λ)−

∫ n

0

gm(x)y(x, λ))2dρ(λ)n→∞

- 0

Como tenemos convergencia en L2, tenemos que existe una subsucesion {Fmk} para la

cual hay convergencia puntual, excepto en un subconjunto de medida cero con respecto a lamedida generada por la funcion monotona creciente ρ(λ),i.e.,

Fn(λ) = lımk→∞

∫ n

0

gmk(x)y(x, λ)dx

a.e. λ (con respecto a la medida mencionada). Pero:

lımm→∞

∫ n

0

gm(x)y(x, λ)dx =

∫ n

0

f(x)y(x, λ) ∀λ

pues:

|∫ n

0

gm(x)y(x, λ)−∫ n

0

f(x)y(x, λ)| = |∫ n

0

(gm(x)− f(x)

)y(x, λ)dx|

6( ∫ n

0

(gm(x)− f(x))2dx)1/2( ∫ n

0

y2(x, λ)dx)1/2

m→∞- 0,

pues

gmL2

m→∞- g.

Entonces

Fn(λ) =

∫ n

0

f(x)y(x, λ)dx

a.e. λ, i.e.,

Fn =

∫ n

0

f(x)y(x, λ)dx

en el espacio L2 con respecto a la funcion monotona ρ(λ).


Entonces,con esto tenemos que:∫ ∞

−∞{F (λ)− Fn(λ)}2dρ(λ) =

∫ ∞

0

{f(x)− g(x)}2dx =

∫ ∞

n

f 2(x)dxn→∞

- 0

Entonces:

∴ Fn(λ) (2.11)

converge a una cierta funcion F (λ)en el espacio descrito.

Con esto, hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 2.1.3. Sea f ∈ L2(0,∞). Existen una funcion ρ(λ) monotona creciente que nodepende de la funcion f(x) y una funcion F (λ) (la transformada de Fourier generalizada def(x), como se construyo en 2.11) que satisface la igualdad:∫ ∞

0

f 2(x)dx =

∫ ∞

−∞F 2(λ)dρ(λ).

Se dice que la funcion ρ(λ) es espectral, pero esta no es necesariamente unica.

Como ya vimos, la funcion F (λ) es el lımite (en el sentido de L2 con respecto a la funcionmonotona creciente ρ(λ)) de la sucesion de funciones:

Fn(λ) =

∫ n

0

f(x)y(x, λ)dx,

i.e.,

lımn→∞

∫ ∞

−∞{F (λ)− Fn(λ)}2dρ(λ) = 0.

lo cual vamos a expresarlo en forma mas corta de la siguiente manera:

F (λ) = l.i.m.n→∞

∫ n

0

f(x)y(x, λ)dx

2.1.2.

Sean dos funciones f(x), g(x) ∈ L2(0,∞) y sean F (λ),G(λ) sus transformadas de Fouri-er generalizadas respectivas. Claramente f(x)± g(x) tienen como transformadas de Fouriergeneralizadas a F (λ)±G(λ). Entonces:∫ ∞

0

{f(x) + g(x)}2dx =

∫ ∞

−∞{F (λ) +G(λ)}2dρ(λ), y :

∫ ∞

0

{f(x)− g(x)}2dx =

∫ ∞

−∞{F (λ)−G(λ)}2dρ(λ).


Restando una igualdad de la otra y desarrollando tenemos que:∫ ∞

0

f(x)g(x)dx =

∫ ∞

−∞F (λ)G(λ)dρ(λ) (2.12)

la cual es llamada la ecuacion de Parseval Generalizada.

Teorema 2.1.4. (Teorema de Expansion). Sea f(x) ∈ L2(0,∞) una funcion continua(06x <∞), y supongamos que la integral∫ ∞

−∞F (λ)y(x, λ)dρ(λ)

converge absoluta y uniformemente en x en cada intervalo finito.Entonces:

f(x) =

∫ ∞

−∞F (λ)y(x, λ)dρ(λ).

Demostracion. Sea g(x) una funcion continua que es cero fuera de intervalo [0, n]. Entoncesla igualdad (2.12) se escribe como:∫ ∞

0

f(x)g(x)dx =

∫ ∞

−∞F (λ){

∫ n

0

g(x)y(x, λ)dx}dρ(λ),

pues ya vimos que la transformada de Fourier generalizada de g(x) (que se hace cero fuera delintervalo [0, n]) es

∫ n

0g(x)y(x, λ)dx. Como supusimos que la integral

∫∞−∞ F (λ)y(x, λ)dρ(λ)

converge absoluta y uniformemente en x en cada intervalo finito, podemos intercambiar loslımites de integracion en la ultima integral y (por el teorema de Fubini, que ademas no nece-sita convergencia uniforme (ver [2])) y obtenemos lo siguiente:∫ n

0

f(x)y(x)dx =

∫ n

0

g(x){∫ ∞

−∞F (λ)y(x, λ)dρ(λ)}dx

para g(x) una funcion continua arbitraria, y f(x) y∫ ∞


son continuas (la continuidad de la ultima se debe al hecho de que asumimos la convergenciauniforme de la integral), y obtenemos:

f(x) =

∫ ∞


y con esto queda demostrado el teorema.

2.2. Los casos cırculo-lımite y punto-lımite

La motivacion para el estudio de este tema es que mediante estos casos, podemos entendermejor cuando tenemos soluciones para el problema Ly = λy que pertenezcan a L2(0,∞), y

2.2. Los casos cırculo-lımite y punto-lımite 73

tambien vamos a obtener soluciones de este estilo que nos ayudaran en el calculo de la formu-la integral para el resolvente, que tambien vimos en el capıtulo 1 que es importante estudiarlo.

En esta seccion, consideraremos el intervalo [0,∞) y una funcion q(x) que es integrableen cada intervalo finito contenido en [0,∞).Sea F (x) una funcion que satisface la ecuacion:

y′′

+ {λ− q(x)}y = 0 (2.13)

y G(x) otra funcion que satisface la misma ecuacion con λ′en lugar de λ. Si b es un numero

fijo, entonces:

(λ− λ′)

∫ b

0

F (x)G(x)dx =

∫ b

0

λF (x)G(x)dx−∫ b

0

F (x)λ′G(x)dx

=

∫ b

0

(− F

′′(x) + q(x)F (x)

)G(x)dx−

∫ b

0

F (x)(−G

′′+ q(x)G(x)

)dx

= −∫ b

0

F′′(x)G(x)dx+

∫ b

0

F (x)G′′(x)dx = −

∫ b

0

W′

x{F,G}dx = W0{F,G} −Wb{F,G}

(λ− λ′)

∫ b

0

F (x)G(x)dx = W0{F,G} −Wb{F,G} (2.14)

En particular, si λ = u+ iv, λ′=λ= u− iv, siendo q(x) real, G(x) =F (x) , entonces:

2v

∫ b

0

|F (x)|2dx = iW0{F, F} − iWb{F, F} (2.15)

Sean ϕ(x) = ϕ(x, λ) y ϑ(x) = ϑ(x, λ) soluciones de (2.13) satisfaciendo las condicionesiniciales:

ϕ(0) = senα, ϕ′(0) = −cosα

ϑ(0) = cosα, ϑ′(0) = senα

donde α ∈ R es un numero real.Como ya vimos en secciones anteriores, el Wronskiano esconstante, entonces:

Wx{ϕ, ϑ} = W0{ϕ, ϑ} =∣∣∣ senα cosα−cosα senα

∣∣∣ = sen2α+ cos2α = 1

Por otro lado, sabemos que cualquier solucion de (2.13) (excepto los multiplos de ϕ(x))pueden ser representados como:

ϑ(x) + lϕ(x)

salvo multiplicacion por una constante. Consideremos las soluciones de la forma ϑ(x)+ lϕ(x)que satisfacen la condicion:

{ϑ(b) + lϕ(b)}cosβ + {ϑ′(b) + lϕ

′(b)}senβ = 0 (2.16)


en el punto x = b y con β real, de este modo tenemos:

l(ϕ(b)cosβ + ϕ

′(b)senβ

)+

(ϑ(b)cosβ + ϑ

′(b)senβ

)= 0

Considerando que ϕ no es eigenfuncion en [0, b] con β real (las que cumplen esto para bfijo es a lo mas un conjunto discreto de β’s). Suponiendo esto tenemos que:

l = −ϑ(b)cotβ + ϑ′(b)

ϕ(b)cotβ + ϕ′(b).

Si b es fijo y cotβ toma valores de −∞ a ∞, entonces l describe un cırculo Cb en elplano complejo, considerando cuando sea necesario, que una recta en el plano complejo esun cırculo con centro en infinito. Para ver que describe un cırculo, hagamos lo siguiente:Reemplacemos cotβ por una variable compleja z:

l = l(λ, z) =−ϑ(b)z − ϑ

′(b)

ϕ(b)z + ϕ′(b)=az + b

cz + d, (2.17)

donde a = −ϑ(b), b = −ϑ′(b), c = ϕ(b), d = ϕ

′(b)

=⇒ad− bc = det( ϕ(b) ϑ(b)ϕ

′(b) ϑ

′(b)

)= Wb{ϕ, ϑ} = W0{ϕ, ϑ} = 1

A l(λ, z) se le llama la transformacion de Moebius, y veremos que manda la rectareal en un cırculo y veremos cual es su centro (ver [7]).

Si c = 0, l(λ, z) = az+bd

que para z ∈ R vemos que es una recta, pues si c = 0, a 6= 0, yuna recta es un cırculo con centro en infinito.

Si c 6= 0, sean:

T1(z) = z +d

c, T2(z) =

1

z, T3(z) = (bc− ad)

z

c2, T4(z) = z +

a

c.

Entonces:

T = T4T3T2T1

por simple inspeccion.

Si dc∈ R, claramente T1 describe la recta R para z ∈ R y T2 manda R en la misma

recta, y lo mismo pasa con T3 y T4. Por tanto,en este caso, T describe la recta R en el planocomplejo para cuando z ∈ R.

Si dc∈ C\R y z ∈ R, veremos que T2T1(z) describe un cırculo con centro en − 1

2Im dc

i (en

el eje imaginario). Sea dc

= g + hi, g = Redc, h = Imd

c, h 6= 0.

T2T1(z) =z + g − hi

(z + g)2 + h2.


∣∣∣T2T1(z) +1

2hi∣∣∣2 =

∣∣∣ (z + g)

(z + g)2 + h2+ i

−2h2 + (z + g)2 + h2

2h((z + g)2 + h2)

∣∣∣2=

∣∣∣ 1

((z + g)2 + h2)2{(z + g)2 +

(z + g)4 − 2h2(z + g)2 + h4

4h2

∣∣∣=

1

((z + g)2 + h2)2

{(z + g)4 + 2h2(z + g)2 + h4

4h2=

1

4h2

}.

Entonces T2T1(z) describe un cırculo con centro

− 1

2Imdc

i,

para z ∈ R.

=⇒T3T2T1(z) describe, para z ∈ R, un cırculo con centro en:

bc− ad

c2(− 1

2Imdc

i) =1

c2(

1

2Imdc

i)

=⇒T (z) = T4T3T2T1(z) describe un cırculo (para z ∈ R) con centro:

1

c2(

1

2Imdc

i) +a

c=i+ 2acImd

c

2c2Imdc

=i+ ac(1

i(dc− d

c))

c2(1i(dc− d

c))

=1− ac(d

c− d

c)

−c2(dc− d

c)

=c −ad c +ac d

−d|c|2 + c2 d=c −(1 + bc) c +ac d

−c(d c −c d)=b c −a dd c −c d

Sustituyendo, tenemos que el centro esta en:

−ϑ′(b)ϕ(b) + ϑ(b)ϕ

′(b)

ϕ′(b)ϕ(b)− ϕ(b)ϕ′(b)

= −ϑ′(b)ϕ(b)− ϑ(b)ϕ

′(b)

ϕ′(b)ϕ(b)− ϕ(b)ϕ′(b)

= −Wb{ϑ, ϕ}Wb{ϕ, ϕ}

Ademas:

Im{−ϕ′(b)

ϕ(b)} =

1

2i{ϕ′

(b)

ϕ(b)− ϕ

′(b)

ϕ(b)

}=

1

2iϕ

′(b)ϕ(b)− ϕ

′(b)ϕ(b)

|ϕ(b)|2= −1

2iWb{ϕ, ϕ}|ϕ(b)|2

.

Por (2.15) tenemos que:

2v

∫ b

0

|ϕ(x)|2dx = iW0{ϕ, ϕ} − iWb{ϕ, ϕ} = i(ϕ(0)ϕ′(0)− ϕ

′(0)ϕ(0))− iWb{ϕ, ϕ}

= i(−senαcosα+ cosαsenα)− iWb{ϕ, ϕ} = −iWb{ϕ, ϕ}.


Entonces:

−1

2iWb{ϕ, ϕ}

es real y tiene el mismo signo que v. Con todo esto, hemos probado el siguiente lema:

Lema 2.2.1. Si v > 0, entonces el semiplano superior en el plano complejo esta asociadocon el exterior del cırculo Cb.

Demostracion. Si v > 0, tenemos por lo probado anteriormente que:

Im{−ϕ′(b)

ϕ(b)}

tiene el mismo signo que v. Esto ultimo es suponiendo que ϕ′(b) 6= 0, ϕ(b) 6= 0 y ϕ

′(b)

ϕ(b)/∈ R,

pues de lo contrario tenemos una lınea, y en tal caso la correspondencia es trivial. Entoncestenemos que:

Im{−ϕ′(b)

ϕ(b)} > 0

Notemos que si z = −ϕ′(b)

ϕ(b)∈ C. Entonces

az + b

cz + d= −ϑ(b)z + ϑ

′(b)

ϕ(b)z + ϕ′(b)= −

ϑ(b)(−ϕ′(b)

ϕ(b)) + ϑ

′(b)

ϕ(b)(−ϕ′(b)

ϕ(b)) + ϕ′(b)

=ϑ(b)ϕ

′(b)− ϕ(b)ϑ

′(b)

ϕ(b)ϕ′(b)− ϕ(b)ϕ′(b)

= −Wb{ϑ, ϕ}Wb{ϕ, ϕ}

.

Entoncesaz + b

cz + d

es el centro de Cb, y

Im{z} = −Im{z} = −Im{−ϕ′(b)

ϕ(b)} < 0.

Ahora, como la transformacion de Moebius manda una recta paralela al eje x (como lovimos) en un cırculo, y cuando la recta es exactamente el eje x, la manda a Cb. Ademas larecta que pasa por z la manda a un cırculo que pasa por el centro, el cual esta dentro deCb.Por tanto una recta paralela al eje x que esta por debajo (parte imaginaria < 0) lo mandadentro de Cb, por lo que una recta que esta arriba del eje x lo mandara a un cırculo en elexterior de Cb.

Por tanto, la transformacion de Moebius manda el semi-plano superior del plano complejoen el exterior de Cb.

Como l(λ, z = 0) = −ϑ′(b)

ϕ′ (b), el radio es:

rb = |ϑ′(b)

ϕ′(b)− Wb{ϑ, ϕ}Wb{ϕ, ϕ}

| =∣∣∣ϑ′

(b)(ϕ(b)ϕ′(b)− ϕ(b)ϕ

′(b))− ϕ

′(b)(ϑ(b)ϕ

′(b)− ϕ(b)ϑ

′(b))

ϕ′(b)(ϕ(b)ϕ′(b)− ϕ(b)ϕ′(b))

∣∣∣


=∣∣∣ϕ′

(b)(ϑ′(b)ϕ(b)− ϕ

′(b)ϑ(b))

ϕ′(b)(ϕ(b)ϕ′(b)− ϕ(b)ϕ′(b))

∣∣∣ =∣∣∣−ϑ(b)ϕ

′(b) + ϕ(b)ϑ

′(b)

ϕ(b)ϕ′(b)− ϕ(b)ϕ′(b)

∣∣∣=

∣∣∣Wb{ϕ, ϑ}Wb{ϕ, ϕ}

∣∣∣ =1

|Wb{ϕ, ϕ}|=

1

|2v∫ b

0|ϕ(x)|2dx|

por (2.15). Por tanto,

rb = (2v

∫ b

0

|ϕ(x)|2dx)−1 (2.18)

Por otro lado, por el lema 2.2.1, l esta dentro de Cb si Imz < 0, o dicho de otro modo,si i(z−z) > 0. Resolviendo (2.17) para z y sustituyendo i(z−z) > 0, obtenemos lo siguiente:

ϑ(b)z + ϑ′(b) = −l(ϕ(b)z + ϕ

′(b)) = −lϕ(b)z − lϕ

′(b).

Entonces:

(lϕ(b) + ϑ(b))z = −(lϕ′(b) + ϑ

′(b))=⇒z = − lϕ

′(b) + ϑ

′(b)

lϕ(b) + ϑ(b).

Por lo que:

i{− lϕ

′(b) + ϑ

′(b)

lϕ(b) + ϑ(b)+lϕ

′(b) + ϑ

′

(b)

lϕ(b) + ϑ(b)

}> 0

⇔ i{−(lϕ

′(b) + ϑ

′(b))(lϕ(b) + ϑ(b)) + (lϕ

′(b) + ϑ

′

(b))(lϕ(b) + ϑ(b))

(lϕ(b) + ϑ(b))(lϕ(b) + ϑ(b))

}> 0

⇔ i{− {|l|2ϕ′

(b)ϕ(b) + lϕ′(b)ϑ(b) + lϑ

′(b)ϕ(b) + ϑ

′(b)ϑ(b)}+

+|l|2ϕ′(b)ϕ(b) + lϕ

′(b)ϑ(b) + lϑ

′

(b)ϕ(b) + ϑ′

(b)ϕ(b) + ϑ′

(b)ϑ(b)}> 0

⇔ i{|l|2(ϕ(b)ϕ

′(b)− ϕ(b)ϕ

′(b)) + l(ϕ(b)ϑ

′

(b)− ϕ′(b)ϑ(b))+

+l(ϕ′(b)ϑ(b)− ϑ

′(b)ϕ(b)) + ϑ

′

(b)ϑ(b)− ϑ′(b)ϑ(b)

}> 0

⇔ i{|l|2Wb{ϕ, ϕ}+ lWb{ϕ, ϑ}+ lWb{ϑ, ϕ}+Wb{ϑ, ϑ}

}= i

{Wb{lϕ, (lϕ)}+Wb{lϕ, ϑ}+Wb{ϑ, (lϕ)}+Wb{ϑ, ϑ}

}= iWb{ϑ+ lϕ, ϑ+ lϕ} > 0

Ahora, usando la identidad (2.15), si ponemos

F = ϑ+ lϕ ,

obtenemos:

2v

∫ b

0

|ϑ(x) + lϕ(x)|2dx = iW0{F, F} − iWb{F, F} < iW0{F, F} = iW0{ϑ+ lϕ, ϑ+ lϕ}


PeroW0{ϑ, ϑ} = ϑ(0)ϑ

′

(0)− ϑ′(0)ϑ(0) = cosαsenα− cosαsenα = 0

W0{ϕ, ϕ} = ϕ(0)ϕ′(0)− ϕ

′(0)ϕ(0) = senα(−cosα)− (−cosα)senα = 0

W0{ϑ, ϕ} = ϑ(0)ϕ′(0)− ϑ

′(0)ϕ(0) = −1,

W0{ϕ, ϑ} = senαsenα− (−cosα)cosα = 1

=⇒W − 0{F, F} = l − l = 2iIml

Por lo tanto, l esta dentro del cırculo Cb si v > 0 y∫ b

0

|ϑ(x) + lϕ(x)|2dx < i(2iIml)

2v= −Iml

v

Lo mismo se obtiene si v < 0 y usando la desigualdad Imz > 0. En ambos casos, el signode Iml es opuesto al de v. Por lo tanto, si l esta dentro de Cb y 0 < b

′< b, entonces:∫ b

′

0

|ϑ(x) + lϕ(x)|2dx6∫ b

0

|ϑ(x) + lϕ(x)|2dx < −Imlv,

por lo que l tambien esta dentro de Cb′ . Con esto probamos que si 0 < b′< b, entonces Cb′

contiene a Cb.

Entonces, cuando b→∞, los cırculos Cb convergen a un cırculo-lımite o a un punto-lımite.

Sea m = m(λ) el punto lımite o cualquier punto del cırculo lımite. Entonces esta dentrode Cb, por lo que para todo b,∫ b

0

|ϑ(x) +mϕ(x)|2dx6− Im(m)

v

Entonces: ∫ ∞

0

|ϑ(x) +mϕ(x)|2dx6− Im(m)

v. (2.19)

Con esto hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 2.2.2. Para todo λ no real, existe una solucion cuadrado integrable

ψ(x, λ) = ϑ(x, λ) +m(λ)ϕ(x, λ)

de la ecuacion (2.13) en el intervalo [0,∞).

La funcion ψ(x, λ) es llamada la solucion de Weyl.

En el caso del cırculo lımite, rb tiende a un lımite finito positivo cuando b → ∞.Por tanto, de (2.18) tenemos que ϕ ∈ L2(0,∞) y como existe un m = m(λ) tal que


ϑ + mϕ ∈ L2(0,∞)=⇒ϑ ∈ L2(0,∞). De aquı finalmente obtenemos que cualquier solu-cion de (2.13) pertenece a L2(0,∞).

Podemos ver tambien que si para un α ∈ R, la correspondiente ϕ y ϑ nos da un cırculolımite, entonces para cualquier otro α

′ ∈ R nos dara un cırculo lımite.

La pregunta natural es la siguiente: ¿La clasificacion del cırculo-lımite y punto-lımite de-penden de un valor particular de λ0, o solo depende del operador − d2

dx2 + q(x)?. La respuestaesta en el siguiente teorema:

Teorema 2.2.3. Si cada solucion de (2.13) para algun complejo no real λ0 esta en L2(0,∞),entonces, para todo complejo λ (quiza real), cada solucion de (2.13) tambien pertenece aL2(0,∞). En otras palabras, si estamos en el caso cırculo-lımite para algun complejo λ0 noreal, estamos en este caso para todo λ.

Demostracion. Sean ϕ y ψ dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion:

−y′′+ q(x)y = λ0y

en L2(0,∞), donde Imλ0 6= 0. Sea χ una solucion arbitraria de

−y′′+ q(x)y = λy,

la cual la escribimos en la forma:

−y′′+ q(x)y = λ0y + (λ− λ0)y.

Multiplicando ϕ por una constante si es necesario, podemos suponer que W{ψ, ϕ} = 1.Aplicando la variacion de constantes, obtenemos lo siguiente: Para c ∈ R∃c1, c2 constantestales que:

χ(x) = c1ϕ(x) + c2ψ(x) + (λ− λ0)

∫ x

c

{ϕ(x)ψ(t)− ϕ(t)ψ(x)}χ(t)dt (2.20)

Para obtener esto, el procedimiento es el siguiente: Sea c ∈ R. Sea

Z(x) := χ(x)− (λ− λ0)

∫ x

c

{ϕ(x)ψ(t)− ϕ(t)ψ(x)}χ(t)dt

d

dx

( ∫ x

c

{ϕ(x)ψ(t)− ϕ(t)ψ(x)}χ(t)dt)

=d

dx

(ϕ(x)

∫ x

c

ψ(t)χ(t)dt− ψ(x)

∫ x

c

ϕ(t)χ(t)dt)

= ϕ′(x)

∫ x

c

ψ(t)χ(t)dt− ψ′(x)

∫ x

c

ϕ(t)χ(t)dt.

Entonces:d2

dx2

( ∫ x

c

{ϕ(x)ψ(t)− ϕ(t)ψ(x)}χ(t)dt)


= ϕ′′(x)

∫ x

c

ψ(t)χ(t)dt+ ϕ′(x)ψ(x)χ(x)− ψ

′′(x)

∫ x

c

ϕ(t)χ(t)dt− ψ′(x)ϕ(x)χ(x)

= (q(x)− λ0)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt+ (ϕ′(x)ψ(x)− ψ

′(x)ϕ(x))χ(x)

= (q(x)− λ0)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt+W{ψ, ϕ}χ(x)

= (q(x)− λ0)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt+ χ(x).

Entonces:

−Z ′′(x) + q(x)Z(x)

= −χ′′(x) + q(x)χ(x)− (λ− λ0){(λ0 − q(x))

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt+ χ(x)

+q(x)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt}

= λχ(x)− (λ− λ0){λ0

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt+ χ(x)}

= λ0

(χ(x)− (λ− λ0)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt)

= λ0Z(x)

=⇒− Z′′

+ q(x)Z = λ0Z=⇒∃´n c1, c2 constantes tales que:

χ(x)− (λ− λ0)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt = Z(x) = c1ϕ(x) + c2ψ(x).

Por lo tanto:

χ(x) = c1ϕ(x) + c2ψ(x) + (λ− λ0)

∫ x

c

(ϕ(x)ψ(t)− ψ(x)ϕ(t))χ(t)dt

Usando la notacion:

||χ(x)||c = {∫ x

c

|χ(t)|2dt}1/2,

y si M es tal que ||ϕ(x)||c6M , ||ψ(x)||c6M para todo x>c, la cual existe pues ϕ y ψ estanen L2(0,∞), entonces por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que:∫ x

c

|{ϕ(x)ψ(t)− ϕ(t)ψ(x)}χ(t)|dt =

∫ x

c

|ϕ(x)ψ(t)χ(t)− ψ(x)ϕ(t)χ(t)|dt

6|ϕ(x)|∫ x

c

|ψ(t)χ(t)|dt+ |ψ(x)|∫ x

c

|ϕ(t)χ(t)|dt

6|ϕ(x)|||ψ(x)||c||χ(x)||c + |ψ(x)|||ϕ(x)||c||χ(x)||c6M{|ϕ(x)|+ |ψ(x)|}||χ(x)||c


Entonces, por la relacion (2.20) tenemos que, por la desigualdad de Minkowski

||χ(x)||c6{|c1|+ |c2|}M + |λ− λ0|||χ(x)||cM{||ϕ(x)||c + ||ψ(x)||c}

6{|c1|+ |c2|}M + 2|λ− λ0|M2||χ(x)||c,

pues ||χ(t)||c6||χ(x)||c∀c6t6x.

Tomemos c suficientemente grande de tal manera que |λ − λ0|M2 < 14, que es posible

debido a que al crecer c indefinidamente , M decrece indefinidamente a cero. Entonces:

1

2||χ(x)||c6(1− 2|λ− λ0|M2)||χ(x)||c6{|c1|+ |c2|}M.

De lo cual obtenemos que:

||χ(x)||c62{|c1|+ |c2|}M

Como el lado derecho no depende de x, entonces χ(x) ∈ L2(0,∞) y la prueba esta com-pleta.

Es util saber en que situaciones estamos en el caso del punto-lımite. Una condicion su-ficiente para que el operador − d2

dx2 + q(x) este en el caso del punto-lımite es dado en elsiguiente teorema.

Teorema 2.2.4. Si q(x)>− kx2, donde k es una constante positiva, entonces estamos en elcaso de punto-lımite para el operador − d2

dx2 + q(x).

Demostracion. Vamos a demostrar que la ecuacion:

Ly ≡ − y′′

+ q(x)y = 0

no tiene dos soluciones linealmente independientes en L2(0,∞). Asumiremos que ϕ(x) esuna solucion real de Ly = 0, y que ϕ(x) ∈ L2(0,∞).Obtenemos:∫ x

c

ϕ′′(t)ϕ(t)

t2dt =

∫ x

c

q(t)

t2ϕ2(t)dt>− k

∫ x

c

ϕ2(t)dt, c > 0

pues ϕ′′(x) = q(x)ϕ(x). Integrando por partes y usando el hecho de que ϕ ∈ L2(0,∞), en-

tonces tenemos que:

ϕ′(t)ϕ(t)

t2

∣∣∣xc−

∫ x

c

ϕ′(t)

(ϕ′(t)t2 − ϕ(t)2t

t4

)dt>− k

∫ x

c

ϕ2(t)dt.

Como ϕ ∈ L2(0,∞), tenemos que existe una constante k1 tal que:

−ϕ′(x)ϕ()x

x2+ϕ

′(c)ϕ(c)

c2+

∫ x

c

(ϕ′(t)

t

)2

dt−2

∫ x

c

ϕ(t)

t3dt6k

∫ x

c

ϕ2(t)dt−ϕ′(c)ϕ(c)

c26k1 (2.21)


pues ϕ ∈ L2(0,∞).Sea

H(x) =

∫ x

c

{ϕ′(t)}2

t2dt.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que:∣∣∣2 ∫ x

cϕ

′(t)ϕ(t)t3

dt∣∣∣6k2

( ∫ x

c|ϕ′

(t)||ϕ(t)|t

dt)2

, pues si t > c > 0, 1t< 1

c.

6k2

( ∫ x

c

|ϕ′(t)|2

t2dt

)( ∫ x

c

|ϕ(t)|2dt)

= k2H(x)

∫ x

c

ϕ2(t)dt.

Por tanto:

∣∣∣2 ∫ x

c

ϕ′(t)ϕ(t)

t3dt

∣∣∣6k2H(x)

∫ x

c

ϕ2(t)dt. (2.22)

Entonces, de (2.21) tenemos que existe una constante k3 tal que:

−ϕ′(x)ϕ(x)

x2+H(x)− k3H

1/2(x) < k1.

Si H(x) →∞ cuando x→∞, tenemos que:

−ϕ′(x)ϕ(x)

x2

1

H(x)+ 1− k3

H1/2(x)<

k1

H(x).

Entonces para x suficientemente grande:

−ϕ′(x)ϕ(x)

x2

1

H(x)+ 160

Por tanto, ϕ′(x)ϕ(x)x2 > 1

2H(x), para x suficientemente grande. Con esto vemos que para x

suficientemente grande , ϕ′(x) y ϕ(x) tienen el mismo signo, contradiciendo la suposicion de

que ϕ ∈ L2(0,∞).

Entonces, H(x) converge cuando x→∞, pues es creciente. Esto nos dice que:∫ x

c

{ϕ′(t)}2

t2dt <∞. (2.23)

Asumamos que ϕ(x) y ψ(x) son dos soluciones linealmente independientes de Ly = 0 queesten en L2(0,∞),i.e., estamos en el caso cırculo-lımite para L. Tambien podemos asumirque son reales y que Wx{ϕ, ψ} = 1. Esto nos dice que:

ϕ(x)ψ

′(x)

x− ψ(x)

ϕ′(x)

x=

1

x.

Por (2.23) y la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos que el lado izquierdo es integrableen el intervalo (c,∞), mientras que el lado derecho claramente es no-integrable. Por lo tanto,no podemos estar en el cırculo-lımite.


Para β dado, l = l(λ) es una funcion analıtica de λ, con quiza unos polos en el eje real.Esto porque por (2.16), los polos son los ceros de la funcion

ϕ(b, λ)cosβ + ϕ′(b, λ)senβ,

los eigenvalores del operador − d2

dx2 +q(x) en el intervalo [a, b] y consecuentemente son simples(para λ suficientemente grande).

Ademas, en la seccion anterior vimos que, para λ dado, el l-plano cubierto con el cırculo Cbdecrece cuando b se incrementa. Por tanto, la familia de funciones analıticas l(λ) = l(λ, b, β)es uniformemente acotado en cada dominio de λ acotado que este enteramente contenidoen el λ-semiplano superior (o inferior, respectivamente). Por la teorıa general de funcionesanalıticas, esta familia es normal (i.e., existe una sucesion uniformemente convergente decada sucesion infinita), en cada uno de los dominios arriba mencionados.

Si para algun λ /∈ R no real, estamos en el caso punto-lımite (por teorema 2.2.3), lo mis-mo se satisface para cualquier otro λ /∈ R no real). Entonces, la familia l(λ) tiene un unicolımite m(λ) cuando b→∞ y cualquier β, el cual es una funcion analıtica, por el teorema deWeierstrass.

En el caso de cırculo-lımite, el lımite anterior no es unico. Pero de la normalidad de lafamilia, podemos escoger una sucesion indefinidamente creciente de b′ks y una sucesion denumeros βk, tales que:

lımk→∞

l(λ, bk, βk) = m(λ)

existe en cada uno de los semi-planos, y es una funcion analıtca. Claramente los numerosm(λ) estan en los cırculos-lımite.

Pongamos ψb(x, λ) = ϑ(x) + lϕ(x), l = l(λ, b) (l(λ, bk, βk)). Entonces el siguiente lemase satisface:

Lema 2.2.5. Para cada λ no real,

ψb(x, λ) −→ ψ(x, λ)∫ b

0

|ψb(x, λ)|2dx −→∫ ∞

0

|ψ(x, λ)|2dx, b→∞

Nota:. En el caso del cırculo-lımite, estamos escogiendo la sucesion βk, bk tales que l(λ, bk, βk) →m(λ), k →∞.

Demostracion. Claramente:

ψb(x, λ) = ϑ(x) + lϕ(x) = ψ(x, λ) + [l(λ)−m(λ)]ϕ(x, λ)


donde ψ(x, λ) ∈ L2(0,∞).

En el caso de cırculo-lımite, l(λ) −→ m(λ), y como ϕ(x, λ) ∈ L2(0,∞) (en el cırculo-lımite), tenemos que:

||ψ(·, λ)− ψ(·, λ)||2L2 = |l(λ)−m(λ)|2||ϕ(·, λ)||2L2 −→ 0, b→∞

=⇒ψb(x, λ) −→b→∞ ψ(x, λ) en L2(0,∞) y tambien podemos ver de la demostracion queconverge puntualmente en todo x, y ademas:∫ b

0

|ψb(x, λ)|2dx −→∫ ∞

0

|ψ(x, λ)|2dx.

En el caso del punto-lımite, por (2.18) tenemos que:

|l(λ)−m(λ)|6rb = (2v

∫ b

0

|ϕ(x, λ)|2dx)−1. (v 6= 0)

Entonces: ∫ b

0

|ψb(x, λ)− ψ(x, λ)|2dx = |l(λ)−m(λ)|2∫ b

0

|ϕ(x, λ)|2dx

61

4v2(∫ b

0|ϕ(x, λ)|2dx)2

∫ b

0

|ϕ(x, λ)|2dx =1

4v2∫ b

0|ϕ(x, λ)|2dx

−→b→∞ 0

Entonces ψb(x, λ) −→b→∞ ψ(x, λ) puntualmente y∫ b

0

|ψb(x, λ)|2dx −→b→∞

∫ ∞

0

ψ(x, λ)dx

2.3. Representacion integral del resolvente

Sea f(x) ∈ L2(0,∞). Ponemos:

Φ(x, λ) = ψ(x, λ)

∫ x

0

ϕ(y, λ)f(y)dy + ϕ(x, λ)

∫ ∞

x

ψ(y, λ)f(y)dy

donde λ no es real y ϕ(x, λ), ψ(x, λ) estan determinados en la seccion 2.

Si f(x) es una funcion continua, entonces:

Φ′

x(x, λ) = ψ′(x, λ)

∫ x

0

ϕ(y, λ)f(y)dy + ϕ′(x, λ)

∫ ∞

x

ψ(y, λ)f(y)dy.

Ψ′′

x(x, λ) = ψ′′(x, λ)

∫ x

0

ϕ(x, λ)f(y)dy + ψ′(x, λ)ϕ(x, λ)f(x)

2.3. Representacion integral del resolvente 85

+ϕ′′(x, λ)

∫ ∞

x

ψ(y, λ)f(y)dy − ϕ′(x, λ)ψ(x, λ)f(x)

= (q(x)− λ)(ψ(x, λ)

∫ x

0

ϕ(y, λ)f(y)dy + ϕ(x, λ)

∫ ∞

x

ψ(y, λ)f(y)dy)

+f(x)(ψ′(x, λ)ϕ(x, λ)− ϕ

′(x, λ)ψ(x, λ))

= (q(x)− λ)Φ(x, λ) + f(x),

ya que ϕ(x, λ)ψ′(x, λ)− ϕ

′(x, λ)ψ(x, λ) = Wx{ϕ, ψ} = W0{ϕ, ψ}

=∣∣∣ senα cosα+m(λ)senα−cosα senα +m(λ)(−cosα)

∣∣∣ = senα(senα−m(λ)cosα)+cosα(cosα+m(λ)senα) = 1

Entonces

Φ′′(x, λ) + {λ− q(x)}Φ(x, λ) = f(x);

ademas, cumple

Φ(0, λ) = ϕ(0, λ)

∫ ∞

0

ψ(y, λ)f(y)dy y

Φ′

x(0, λ) = ϕ′(0, λ)

∫ ∞

0

ψ(y, λ)f(y)dy

Entonces Φ(x, λ) satisface las condiciones de frontera:

Φ(0, λ)cosα + Φ′

x(0, λ)senα = 0.

Sean λn,b y ϕn,b(x) los eigenvalores y las eigenfunciones correspondientes del problemacon valores en la frontera (2.1),(2.3),(2.4), y sean l(λ), ψb(x, λ) como en la seccion 2 de estecapıtulo. Pongamos:

Gb(x, y; z) :=

{ψb(x, z)ϕ(x, λ), y6xϕ(x, z)ψb(y, z) y > x

Rz,bf(x) =

∫ b

0

Gb(x, y; z)f(y)dy , z = u+ iv

y

α2n =

∫ b

0

ϕ2n,b(x)dx. (2.24)

Por el capıtulo 1 en la seccion del teorema de expansion, tenemos que:

Rz,bf =∞∑n=1

ϕn,b(x)∫ b

0f(y)ϕn,b(y)dy

α2n(z − λn,b)

=

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)

z − λ{∫ b

0

f(y)ϕ(y, λ)dy}dρb(λ) (2.25)

donde la funcion ρb(λ) es como se obtuvo en la seccion 1.


Lema 2.3.1. Para cada z no real y x fijo,∫ ∞

−∞

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρb(λ) < K (2.26)

Demostracion. Sustituyendo f(y) =ϕn,b(y)

αnen (2.25) tenemos que:

∫ b

0

Gb(x, y; z)ϕn,b(y)

αndy = Rz,bf =

∞∑m=1

ϕm,b(x)∫ b

0

ϕn,b(y)

αnϕm,b(y)dy

α2n(z − λn,b)

=ϕn,b(x)αnα2n(z − λn,b)

,

pues {ϕn,b}∞n=1 son ortogonales. Por lo que tenemos que:

1

αn

∫ b

0

Gb(x, y; z)ϕn,b(y)dy =ϕn,b(x)

αn(z − λn,b)(2.27)

y como Gb(x, ·, z) es integrable en [0, b], por la ecuacion de Parseval, tenemos de (2.27) que:∫ b

0

|Gb(x, y; z)|2dy =∞∑n=1

|∫ b

0

Gb(x, y; z)ϕn,b(y)

αndy|2 =

∑ |ϕn,b(x)|2

α2n|z − λn,b|2

=

∫ ∞

−∞

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣dρb(λ).

Pero por el lema 2.2.5, la integral de la parte izquierda de la igualdad converge, para xfijo y z /∈ R, y con esto queda probado el lema.

Corolario 2.3.2. Sea ρ(λ) la funcion espectral. Entonces:∫ ∞

−∞

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρ(λ)6K (2.28)

donde K es la misma constante que en la desigualdad (2.3.2).

Demostracion. Tenemos que, para a > 0 arbitrario, de (2.3.2) tenemos que:∫ a

−a

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρb(λ) < K.

Hacemos b→∞ y obtenemos que:∫ a

−a

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρ(λ)6K,

y haciendo a→∞ obtenemos lo deseado:∫ ∞

−∞

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρ(λ)6K


Corolario 2.3.3. Las desigualdades:∫ −a

−∞

dρ(λ)

|z − λ|2<∞ ,

∫ ∞

a

dρ(λ)

|z − λ|2<∞

se satisfacen para a > 0.

Demostracion. Si senα 6= 0, poniendo x = 0 en (2.28) tenemos:∫ ∞

−∞

∣∣∣ϕ(0, λ)

z − λ

∣∣∣2dρ(λ) y ϕ(0, λ) = senα 6= 0

Entonces: ∫ ∞

−∞

1

|z − λ|2dρ(λ) <∞.

Si senα = 0, entonces diferenciando (2.27) con respecto a x, tenemos que:

1

αn

∫ b

0

∂

∂xGb(x, y; z)ϕn,b(y)dy =

ϕ′

n,b(x)

αn(z − λn,b)

∂∂xGb(x, y; z) existe cuando x 6= y y es dos veces diferenciable, entonces, por la ecuacion

de Parseval tenemos que:∫ b

0

∣∣∣ ∂∂xGb(x, y; z)

∣∣∣2dy =∞∑n=1

∣∣∣ ϕ′

n,b(x)

αn(z − λn,b)

∣∣∣2 =

∫ ∞

−∞

∣∣∣ϕ′(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρb(λ).

Como senα = 0=⇒cosα = ±1=⇒cosα 6= 0 y sustituyendo x = 0 tenemos que:∫ ∞

−∞

∣∣∣ cosαz − λ

∣∣∣2dρb(λ) =

∫ b

0

∣∣∣ ∂∂xGb(x, y; z)

∣∣∣2dy <∞,

y con esto, obtenemos lo deseado.

Lema 2.3.4. Sea f(x) ∈ L2(0,∞), y sea

Rzf =

∫ ∞

0

G(x, y; z)f(y)dy

donde

G(x, y; z) :=

{ψ(x, z)ϕ(y, z) , y6xϕ(x, z)ψ(y, z), y > x

con ϕ(x, z) y ψ(x, z) tienen los mismos valores que en seccion 2. Entonces:∫ ∞

0

|Rzf(x)|2dx6 1

v2

∫ ∞

0

f 2(x)dx, z = u+ iv


Demostracion. Para cada b > 0, de (2.25) y la ecuacion de Parseval tenemos que:∫ b

0

|Rz,bf(x)|2dx =

∫ b

0

∣∣∣ ∞∑n=1

(∫ b

0f(y)ϕn,b(y)dy

αn(z − λn,b)

)ϕ(n, b)(x)

αn

∣∣∣2dx=

∞∑n=1

1

α2n|z − λn,b|2

{∫ b

0

f(y)ϕn,b(y)dy}261

v2

∞∑n=1

1

α2n

{∫ b

0

f(y)ϕn,b(y)dy}2 =1

v2

∫ b

0

f 2(y)dy

Sea a > 0 fijo. Si a < b, entonces:∫ a

0

|Rz,bf(x)|2dx6∫ b

0

|Rz,bf(x)|2dx6 1

v2

∫ b

0

f 2(y)dy

Haciendo b→∞, obtenemos:∫ a

0

|Rzf(x)|2dx6 1

v2

∫ ∞

0

f 2(y)dy

Como a > 0 es arbitrario, la demostracion esta completa.

Teorema 2.3.5. (Representacion Integral del Resolvente). Para cada funcion f(x) ∈L2(0,∞) y cada z no real, tenemos:

Rzf =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)F (λ)

z − λdρ(λ) (2.29)

donde

F (λ) = l.i.m.n→∞

∫ n

0

f(x)ϕ(x, λ)dx

Demostracion. Como ya hemos visto,˜

Fn=∫ n

0f(x)ϕ(x, λ)dx converge en el sentido de L2

con la medida dada por ρ(λ) (seccion anterior).

Primero asumiremos que f(x) = fn(x) es cero fuera del intervalo finito [o, n], que satisfacelas condiciones de frontera (2.3) y que tiene segunda derivada continua. Sea b > n y a > 0arbitrario. Ponemos

Fn(λ) =

∫ n

0

fn(x)ϕ(x, λ)dx

Entonces, (2.25) puede reescribirse como:

Rz,bfn =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)

z − λ{∫ n

0

f(y)ϕ(y, λ)dy}dρb =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)Fn(λ)

z − λdρb(λ)

={∫ −a

−∞+

∫ a

−a+

∫ ∞

a

}ϕ(x, λ)Fn(λ)

z − λdρb(λ),

para cualquier a > 0

= I1 + I2 + I3


Para estimar I1, usemos (2.25) y tendremos que:

I1 =

∫ a

−∞

ϕ(x, λ)Fn(λ)

z − λdρb(λ) =

∑λk,b<a

ϕk,b(x)

α2k(z − λk,b)

∫ n

0

fn(y)ϕk,b(y)dy

6( ∑λk,b<−a

ϕ2k,b(x)

α2k|z − λk,b|2

)2( ∑λk,b<−a

1

α2k

[

∫ n

0

fn(x)ϕk,b(x)dx]2)1/2

(2.30)

Como lo hemos hecho antes, integrando dos veces por partes, tenemos que:∫ n

0

fn(x)ϕk,b(x)dx = − 1

λk,b

∫ n

0

fn(x){ϕ′′

k,b(x)−q(x)ϕk,b(x)}dx = − 1

λk,b

∫ n

0

{f ′′

n (x)−q(x)f(x)}ϕk,b(x)dx

(2.31)Pero la primera suma del lado derecho en (2.30) converge, y esta acotada uniformemente

con respecto a b , por el lema 2.3.1, por lo que tenemos que:

I16K1/2 1

a

( ∑λk,b<−a

1

α2k

{∫ n

0

[f′′

n (x)− q(x)f(x)]ϕk,b(x)dx}2)1/2

,

y por la desigualdad de Bessel, tenemos que:

I16K1/2

a

( ∫ n

0

{f ′′

n (x)− q(x)fn(x)}2dx)1/2

=C

a

Analogamente se prueba que:

I36C

a

De aquı obtenemos que I1 e I2 tienden a cero cuando a→∞ uniformemente con respec-to a b. Por tanto, usando la generalizacion del teorema de seleccion de Helly tenemos que:

Rzf =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)Fn(λ)

z − λdρ(λ) (2.32)

Y lo que se hace es lo siguiente:Escogemos las fn´s de tal forma que:

fnL2(0,∞)

- f

que ya hemos visto que se puede hacer esto.Primero, haciendo b → ∞, por el lema 2.2.5 tenemos que, escogiendo las bk y βk de tal

manera que l(λ, bk, βk) → m(λ), si estamos en el cırculo-lımite.

Rz,bfn → Rzfn

Por otro lado, del lado derecho tenemos que:∫ a

−a

ϕ(x, λ)Fn(λ)

z − λdρb(λ)

b→∞-

∫ a

−a

ϕ(x, λ)Fn(λ)

z − λdρ(λ)


e I1 e I2 convergen a algo 6Ca.

Por otro lado, por corolario 2.3.2∫ a

−a

∣∣∣ϕ(x, λ)

z − λ

∣∣∣2dρ(λ) <∞,

y, como ya vimos en secciones anteriores:∫ a

−aF 2n(λ)dρ(λ) <∞.

Ademas:

Fn(λ)n→∞

- F (λ)

en L2 con la medida de ρ(λ), pues son las transformadas de Fourier generalizadas de fn.Entonces:∫ a

−a

ϕ(x, λ)

z − λFn(λ)dρ(λ) →

∫ a

−a

ϕ(x, λ)F (λ)

z − λdρ(λ)

y como I1,I26Ca, haciendo a→∞ tenemos que:

Rzf =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)F (λ)

z − λdρ(λ)

Nota:. Por un argumento similar obtenemos la formula:∫ ∞

0

Rz(f)g(x)dx =

∫ ∞

−∞

F (λ)G(λ)

z − λdρ(λ)

donde:

F (λ) = l.i.m.n→∞

∫ n

0

f(x)ϕ(x, λ)dx

G(λ) = l.i.m.n→∞

∫ n

0

g(x)ϕ(x, λ)dx

Teorema 2.3.6. Sea f(x) satisfaciendo las condiciones:

1. f(x), {f ′′(x)− q(x)f(x)} ∈ L2(0,∞)

2. f(0)cosα + f′(0)senα = 0,

3. lımx→∞W{f, Eλ} = 0,


donde

Eλ(x) =

∫ λ

+0

ϕ(x, λ)dρ(λ) (λ 6= 0).

Si suponemos

g(λ) =

∫ ∞

0

f(y)Eλ(y)dy,

entonces la integral:

f(x) =

∫ ∞

−∞ϕ(x, λ)dg(λ)

converge absolutamente.

Demostracion. Primero, suponiedo que f(x) es cero fuera de un intervalo finito, entonces,cambiando el orden de integracion, obtenemos:

g(λ) =∫∞

0f(y)

∫ λ

+0ϕ(y, λ)dρ(λ)dy =

∫ λ

+0

( ∫ n

0f(y)ϕ(y, λ)dy

)dρ(λ) =

∫ λ

0F (λ)dρ(λ)

F (λ) =

∫ ∞

0

f(x)ϕ(x, λ)dx.

Tambien podemos ver que esto es cierto en el caso general, si F (λ) es el lımite de lastransformadas de Fourier (la transformada de Fourier generalizada). Por tanto, la formula(2.29) se puede escribir como:

Rzf =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)

z − λdg(λ)

y la integral converge absolutamente, por el lema 2.3.1.

Ahora, sea h(λ) determinado de Lf = f′′(x) − q(x)f(x) como g(λ) se obtuvo de f(x).

Como ya hemos hecho antes,al tener que:

Eλ(0) = senα

∫ λ

0

dρ(λ)

y

E′

λ(0) = cosα

∫ λ

0

dρ(λ),

por la condicion 3 y por la identidad de Green tenemos que:

h(λ) =

∫ ∞

0

{f ′′(x)− q(x)f(x)}Eλ(x)dx =

∫ ∞

0

f(x){E ′′

λ(x)− q(x)Eλ(x)}dx

=

∫ ∞

0

f(x){∫ λ

+0

(ϕ′′(x, µ)− q(x)ϕ(x, µ))dρ(µ)}dx =

∫ ∞

0

f(x){∫ λ

0

−µϕ(x, µ)dρ(µ)}dx

= −∫ ∞

0

f(x){∫ λ

0

µϕ(x, µ)d(µ)}dx.


Entonces, si f(x) es cero fuera de un intervalo,

h(λ) = −∫ λ

0

µF (µ)dρ(µ) = −∫ λ

+0

µdg(µ) (2.33)

Podemos ver tambien que esta formula es valida en el caso general, siempre y cuando:∫ λ

+0

µϕ(x, µ)dρ(µ) ∈ L2(0,∞).

Pero ∫ b

0

{∫ λ

+0

µϕ(x, µ)dρb(µ)}2

dx =

∫ b

0

{ ∑06λn,b6λ

λn,bα2n

ϕn,b(x)}2

dx

=∑

06λn,b6λ

λ2n,b

α2n

=

∫ λ

+0

µ2dρb(µ).

Entonces: ∫ a

0

{∫ λ

+0

µϕ(x, µ)dρb(µ)}2

dx6∫ λ

+0

µ2dρb(µ),

donde a < b. Haciendo b→∞ tenemos que:∫ a

0

{∫ λ

+0

µϕ(x, µ)dρ(µ)}2

dx6∫ λ

+0

µ2dρ(µ),

y haciendo a→∞ tenemos que:∫ ∞

0

{∫ λ

0

µϕ(x, µ)dρ(µ)}dx6

∫ λ

0

µ2dρ(µ) <∞.

∴∫ λ

+0µϕ(x, µ)dρ(µ) ∈ L2(0,∞) con respecto a x, y por tanto, la relacion (2.33) se satis-

face en el caso general.

Ahora, diferenciando (2.33) tenemos que:

dh(λ) = −λdg(λ), dg(λ) = −dh(λ)/λ. (2.34)

Ahora, como f′′(x) − q(x)f(x) ∈ L2(0,∞) y h(λ) es su funcion correspondiente, por lo

probado arriba, tenemos que analogamente:∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)

λdh(λ) (z = 0)

converge absolutamente, gracias a la relacion (2.34).

Finalmente, aplicando el teorema de expansion (teorema 2.1.4) obtenemos lo deseado.

2.4. La funcion Weyl-Titchmarsh 93

2.4. La funcion Weyl-Titchmarsh

Con la ayuda de la representacion integral del resolvente obtenido en la seccion anterior(teorema 2.3.5), podemos obtener formulas utiles para la funcion ρ(λ) y m(z). La primera,obtenida en la primera seccion de este capıtulo, llamada funcion espectral del problemacon valores en la frontera. Su formula puede tomarse como base para determinar el espectrodel operador de Sturm-Liouville. Aunque esto no lo veremos en este capıtulo, es util tenerloen cuenta.

Definicion 2.4.1. La funcion m(z) introducida en la seccion 2 de este capıtulo, es llamadala funcion de Weyl-Titchmarsh.

La funcion espectral ρ(λ) y la funcion de Weyl-Titchmarsh estan intimamente rela-cionadas. Cada una de ellas se puede expresar en terminos de la otra,aquı veremos comopodemos obtener la funcion de Weyl-Titchmarsh en terminos de la funcion espectral.

Teorema 2.4.1. Para cualquier z no real, la formula:

m(z) = −cotα+

∫ ∞

−∞

dρ(λ)

z − λ

se satisface (si senα 6= 0).

Demostracion. Como en la relacion (2.29) f(x) es arbitrario, tenemos que:

G(x, y; z) =

∫ ∞

−∞

ϕ(x, λ)ϕ(y, λ)

z − λdρ(λ) (2.35)

Por otro lado, de la definicion tenemos que:

G(x, y; z) =

{[ϑ(x, z) +m(z)ϕ(x, z)]ϕ(y, z), y6x[ϑ(y, z) +m(z)ϕ(y, z)]ϕ(x, z), y > x

(2.36)

Claramente, de las condiciones iniciales y (2.35), si x = y = 0 tenemos que:

G(0, 0; z) = {cosα +m(z)senα}senα =

∫ ∞

−∞

sen2α

z − λdρ(λ),

pues ϑ(0, z) = cosα, ϕ(0, z) = senα.Entonces:

m(z)sen2α = −cosαsenα+ sen2α

∫ ∞

−∞

dρ(λ)

z − λ.

De aquı finalmente obtenemos que, como senα 6= 0:

m(z) = −cotα+

∫ ∞

−∞

dρ(λ)

z − λ

Nota:. Tambien es posible obtener la funcion espectral en terminos de la funcion de Weyl-Titchmarsh mediante el teorema de inversion de Stieljes.


2.5. Operador de Schrodinger

2.5.1. Prueba de la ecuacion de Parseval en la recta real

Consideremos de nuevo la ecuacion

y′′

+ {λ− q(x)}y = 0, (2.37)

asumiendo,sin embargo, que x varıa en el intervalo (−∞,∞) y que q(x) es continua en cadaintervalo finito.

Aquı tambien vamos a probar la ecuacion de Parseval y el teorema de expansion, conla ayuda de la integral de Stieljes, y vamos a proceder de manera similar que en la media lınea.

Sean ϕ(x, λ) y ϑ(x, λ) soluciones de (2.37),satisfaciendo las condiciones iniciales:

ϕ(0, λ) = 1 , ϕ′

x(0, λ) = 0 (2.38)

ϑ(0, λ) = 0 , ϑ′

x(0, λ) = 1, (2.39)

y sea [a, b] un intervalo finito. Consideremos el problema con valores en la frontera determi-nado por (2.37) y las condiciones de frontera:

y(a)senα+ y′(a)cosα = 0,

y(b)senβ + y′(b)cosβ = 0. (2.40)

donde α y β son dos numeros reales arbitrarios.

Sean λ1,λ2,...,λn,... los eigenvalores, y sean y1(x),y2(x),...,yn(x),... las correspondienteseigenfunciones ortonormales del problema. Como ϕ(x, λ) y ϑ(x, λ) son dos funciones lineal-mente independientes del problema (2.37),entonces existen αn,βn tales que:

yn(x) = αnϕ(x, λn) + βnϑ(x, λn).

Sea f(x) ∈ L2(a, b). Por la ecuacion de Parseval en el caso finito, que ya probamos en elcapıtulo anterior, tenemos que:∫ b

a

f 2(x)dx =∞∑n=1

{∫ b

a

f(x)yn(x)dx}2 =∞∑n=1

{∫ b

a

f(x)[αnϕ(x, λn) + βnϑ(x, λn)]dx}2

=∞∑n=1

{αn

∫ b

a

f(x)ϕ(x, λn)dx+ βn

∫ b

a

f(x)ϑ(x, λn)dx}2

=∞∑n=1

α2n{

∫ b

a

f(x)ϕ(x, λn)dx}2 + β2n

∞∑n=1

{∫ b

a

f(x)ϑ(x, λn)dx}2

2.5. Operador de Schrodinger 95

+2∞∑n=1

αnβn

∫ b

a

f(x)ϕ(x, λn)dx

∫ b

a

f(x)ϑ(x, λn)dx (2.41)

Similarmente, como en el caso de la media lınea, definiremos las funciones escalonadascon brincos en los eigenvalores del problema (2.37), (2.40).

ξa,b(λ) :={ ∑

06λn<λα2n, paraλ > 0

−∑

0>λn>λα2n, paraλ60

ηa,b(λ) :={ ∑

06λn<λαnβn, paraλ > 0

−∑

0>λn>λαnβn, paraλ60

ςa,b(λ) :={ ∑

06λn<λβ2n, paraλ > 0

−∑

0>λn>λβ2n, paraλ60

Nota:. La funcion ηa,b no necesariamente es monotona creciente.

Entonces, de la definicion de integral de Stieljes, tenemos que la igualdad (2.41) puedeescribirse como:

∫ b

a

f 2(x)dx =

∫ ∞

−∞

{∫ b

a

f(x)ϕ(x, λ)dx}2

dξa,b(λ)

+2

∫ ∞

−∞

{∫ b

a

f(x)ϕ(x, λ)dx}{∫ b

a

f(x)ϑ(x, λ)dx}dηa,b(λ)

+

∫ ∞

−∞

{∫ b

a

f(x)ϑ(x, λ)dx}2

dςa,b(λ) (2.42)

Lema 2.5.1. Para cualquier N > 0, existe A = A(N) positivo que no depende de a ni de b,tal que:

N∨−N

{ρij(λ)

}< A, i, j = 1, 2, (2.43)

donde

ρ11 = ξa,b, ρ12 = ρ21 = ηa,b, ρ22 = ςa,b (2.44)

y∨N−N se define analogamente como se definio en la primera seccion.

Demostracion.

N∨−N

{ρ12} =N∨−N

{ηa,b(λ)} =∑

−N<λn,a,b<N

αnβn61

2

{ ∑−N<λn,a,b<N

α2n +

∑−N<λn,a,b<N

β2n

}

=1

2{ρ11(N)− ρ11(−N) + ρ22(N)− ρ22(−N)} (2.45)


Por lo que, para probar (2.43), es suficiente probarlo para cuando i = j. Sean

ϕ(x, λ) = ψ1(x, λ), ϑ(x, λ) = ψ2(x, λ)

Si

Fi(λ) =

∫ b

a

f(x)ψi(x, λ)dx, i = 1, 2

F1(λ) =

∫ b

a

f(x)ϕ(x, λ)dx, F2(λ) =

∫ b

a

f(x)ϑ(x, λ)dx.

Entonces tenemos que:∫ ∞

−∞

2∑i,j=1

Fi(λ)Fj(λ)dρij(λ) =

∫ ∞

−∞F 2

1 (λ)dξa,b(λ)

+2

∫ ∞

−∞F1(λ)F2(λ)dηa,b +

∫ ∞

−∞F 2

2 (λ)dςa,b(λ)

=

∫ ∞

−∞

{∫ b

a

f(x)ϕ(x, λ)dx}2

dξa,b(λ)+2

∫ ∞

−∞

{∫ b

a

f(x)ϕ(x, λ)dx}{∫

a

bf(x)ϑ(x, λ)dx}dηa,b(λ)

+

∫ ∞

−∞

{∫ b

a

f(x)ϑ(x, λ)dx}2

dςa,b(λ) =

∫ b

a

f 2(x)dx

Por tanto, tenemos que: ∫ b

a

f 2(x)dx =

∫ ∞

−∞

2∑i,j=1

Fi(λ)Fj(λ)dρij(λ) (2.46)

donde

Fi(λ) =

∫ b

a

f(x)ψi(x, λ)dx, i = 1, 2.

Ademas, por el capıtulo, sabemos que ϕ(x, λ) y ϑ(x, λ) son series convergentes y de

ahı podemos ver que ψ(k−1)i (x, λ) (i, k = 1, 2) son continuas con respecto a x y a λ. Ademas,

por las condiciones (2.38), (2.39) tenemos que:

ψk−1i (0, λ) = δi,k

donde δik es la delta de Kronecker :

δik :={ 1 si i = k

0 si i 6= k

Entonces, para ε > 0 y N > 0 dados, existe h > 0 tal que si 06x6h, |λ|6N

|ψ(k−1)i (x, λ)− δik| < ε (2.47)


Sea gh(x) una funcion con segunda derivada continua, no negativa en el intervalo [a, b],que es cero, junto con su derivada fuera del intervalo [0, h] y normalizada, esto es:∫ h

0

gh(x)dx = 1. (2.48)

Esta funcion existe y se puede encontrar una formula explıcita en [3]. Aplicando laecuacion de Parseval (2.46) a gh(x) tenemos que:∫ h

0

|gk−1h (x)|2dx =

∫ b

a

|gk−1h (x)|2dx =

∫ ∞

−∞

2∑i,j=1

Gik(λ)Gjk(λ)dρij(λ),

donde

Gik(λ) =

∫ h

0

gk−1h (x)ψi(x, λ)dx = ±

∫ h

0

gh(x)ψk−1i (x, λ)dx

y esto ultimo es porque gh es cero en los extremos e integrando por partes. Entonces:∫ h

0

|gk−1h (x)|2dx>

∫ N

−N

2∑i,j=1

Gik(λ)Gjk(λ)dρij(λ) (2.49)

Esto ultimo porque∑2

i,j=1Gik(λ)Gjk(λ) es no negativa y podemos ver esta desigualdadfacilmente viendo (2.41) y −N6λn,a,b6N . Por otro lado:

Gii(λ) =

∫ h

0

g(i−1)h (x)ψi(x, λ)dx.

Entonces:

|G11(λ)− 1| = |∫ h

0

gh(x)ψ1(x, λ)dx−∫ h

0

gh(x)dx|6|∫ h

0

gh(x)(ψ1(x, λ)− 1)dx|

6∫ h

0

gh(x)|ψ1(x, λ)− 1|dx < ε

∫ h

0

gh(x)dx = ε

por la estimacion (2.47). Por tanto,se tiene que:

1− ε < G11(λ) < 1 + ε

Ademas tenemos que:

|G22(λ) + 1| = |∫ h

0

g′

h(x)ψ2(x, λ)dx+ 1| = | −∫ h

0

gh(x)ψ′

2(x, λ)dx+ 1|

= |∫ h

0

gh(x)ψ′

2(x, λ)−∫ h

0

gh(x)dx|6∫ h

0

gh(x)|ψ′

2(x, λ)− 1|dx <∫ h

0

gh(x)εdx = ε

por (2.47) y porque gh es no negativa.


Por otro lado, como gh es cero en 0 y en h:

G12(λ) =

∫ h

0

g′

h(x)ψ1(x, λ)dx = −∫ h

0

gh(x)ψ′

1(x, λ)dx.

Entonces:

|G12(λ)|6∫ h

0

gh(x)|ψ1(x, λ)|dx6∫ h

0

gh(x)εdx = ε

∫ h

0

gh(x)dx = ε.

Analogamente:

|G21(λ)| = |∫ h

0

gh(x)ψ2(x, λ)dx|6∫ h

0

gh(x)|ψ2(x, λ)|dx < ε.


1− ε < G11(λ) < 1 + ε , |G12(λ)|, |G21(λ)| < ε (2.50)

Si ponemos k = 1 en la relacion (2.49) tenemos que:∫ h

0

g2h(x)dx>

∫ N

−N

2∑i,j=1

Gi1(λ)Gj1(λ)dρij(λ)

=

∫ N

−NG2

11(λ)dρ11(λ) + 2

∫ N

−NG11(λ)G21(λ)dρ12(λ) +

∫ N

−NG2

21(λ)dρ22(λ)

>∫ N

−NG2

11(λ)dρ11(λ) + 2

∫ N

−NG11(λ)G21(λ)dρ12(λ)

pues G221(λ)>0 y ρ22(λ) es monotona creciente. Pero:

G11(λ)G21(λ)>− |G11(λ)||G21(λ)|,

y si en ρ12 = ηa,b tomamos la suma pero en valor absoluto (|αn||βn|) tenemos la desigualdad:

2

∫ N

−NG11(λ)G21(λ)dρ12(λ)>− 2

∫ N

−N|G11(λ)||G21(λ)||dρ12(λ)|,

donde la segunda integral se refiere a la integral de Stieljes, pero con la suma de los |αn||βn|en la definicion de ηa,b en lugar de αnβn. Entonces, con esto tenemos que:∫ h

0

g2h(x)dx>

∫ N

−NG2

11(λ)dρ11(λ)− 2

∫ N

−N|G11(λ)||G21(λ)||dρ12(λ)|.

Si tomamos ε > 0 suficientemente pequeno de tal forma que 1− ε > 0, como ρ11 es unafuncion monotona creciente, tenemos de la relacion (2.50) que:∫ h

0

g2h(x)dx>

∫ N

−N(1− ε)2dρ11(λ)− 2

∫ N

−Nε(1 + ε)|dρ12(λ)|


= (1− ε)2{ρ11(N)− ρ11(−N)} − 2ε(1 + ε)

∫ N

−N|dρ12(λ)|

>(1− ε)2{ρ11(N)− ρ11(−N)} − ε(1 + ε){ρ11(N)− ρ11(−N) + ρ22(N)− ρ22(−N)}por la relacion (2.45). Entonces:∫ h

0

g2h(x)dx>

((1− ε)2 − ε(1 + ε)

){ρ11(N)− ρ11(−N)} − ε(1 + ε){ρ22(N)− ρ22(−N)}

= (1− 3ε){ρ11(N)− ρ11(−N)} − ε(1 + ε){ρ22(N)− ρ22(−N)} (2.51)

Analogamente, sustituyendo k = 2 en (2.49) tenemos:∫ h

0

|g′

h(x)|2dx>∫ N

−N

2∑i,j=1

Gi2(λ)Gj2(λ)dρij(λ)

=

∫ N

−NG2

12(λ)dρ11(λ) + 2

∫ N

−NG22(λ)G12(λ)dρ12(λ) +

∫ N

−NG2

22(λ)dρ22(λ)

>∫ N

−NG2

22(λ)dρ22(λ) + 2

∫ N

−NG22(λ)G12(λ)dρ12(λ)

pues ρ11 es una funcion monotona creciente. Entonces:∫ h

0

|g′

h(x)|2dx>∫ N

−NG2

22(λ)dρ22(λ)− 2

∫ N

−N|G22(λ)||G12(λ)||dρ12(λ)|.

Pero si tomamos ε suficientemente pequeno de tal forma que −1 + ε < 0, como tenemosque:

−1− ε < G22(λ) < −1 + ε < 0=⇒G222(λ) > (1− ε)2 , |G22(λ)| < 1 + ε , |G12(λ)| < ε

Igual que antes, obtenemos lo siguiente:∫ h

0

|g′

h(x)|2dx>∫ N

−N(1− ε)2dρ22(λ)− 2

∫ N

−N(1 + ε)ε|dρ12(λ)|

= (1− ε)2

∫ N

−Ndρ22(λ)− 2ε(1 + ε)

∫ N

−N|dρ12(λ)|

>(1− ε)2{ρ22(N)− ρ22(−N)} − ε(1 + ε){ρ11(N)− ρ11(−N) + ρ22(N)− rho22(−N)}por la relacion (2.45). Entonces:∫ h

0

|g′

h(x)|2dx>((1− ε)2 − ε(1 + ε)

){ρ22(N)− ρ22(−N)} − ε(1 + ε){ρ11(N)− ρ11(−N)}

= (1− 3ε){ρ22(N)− ρ22(−N)} − ε(1 + ε){ρ11(N)− ρ11(−N)} (2.52)

Sumando (2.51) y (2.52) obtenemos que:∫ N

−N{|g2

h(x)|+|g′

h(x)|2}dx > {1−3ε−ε(1+ε)}{ρ11(N)−ρ11(−N)}+{1−3ε−ε(1+ε)}{ρ22(N)−ρ22(−N)}


= (1− 4ε− ε2){ρ11(N)− ρ11(−N)}+ (1− 4ε− ε2){ρ22(N)− ρ22(−N)}

= (1− 4ε− ε2){ρ11(N)− ρ11(−N) + ρ22(N)− ρ22(−N)}.

Y si tomamos ε suficientemente pequeno de tal forma que 1−4ε−ε2 > 0, hemos probado ellema para ρ11 y ρ22, pues los terminos ρ11(N)−ρ11(−N) y ρ22(N)−ρ22(−N) son no negativos.

De la relacion (2.45) vemos que el lema tambien esta probado para ρ12 y que tienevariacion unif. acotada en [−N,N ].

Ahora probaremos que usando el lema 2.5.1 y teoremas familiares de la integral deRiemann-Stieljes, se puede obtener la ecuacion de Parseval en la recta real.

Teorema 2.5.2. (Ecuacion de Parseval General). Sea f(x) ∈ L2(−∞,∞). Existen fun-ciones monotonas ξ(λ) y ς(λ), acotadas en cada intervalo finito que no dependen de la fun-cion f(x), y una funcion η(λ) con variacon acotada en cada intervalo finito, de tal maneraque la ecuacion de Parseval:∫ ∞

−∞f 2(x)dx =

∫ ∞

−∞F 2(λ)dξ(λ) + 2

∫ ∞

−∞F (λ)G(λ)dη(λ) +

∫ ∞

−∞G2(λ)dς(λ) (2.53)

se satisface, donde

F (λ) = lımn→∞

∫ n

−nf(x)ϕ(x, λ)dx

G(λ) = lımn→∞

∫ n

−nf(x)ϕ(x, λ)dx.

La matriz( ξ(λ) η(λ)η(λ) ς(λ)

)se llama la matriz espectral.

Demostracion. Similarmente a como se hizo en la media lınea, sea fn(x) una funcion quees cero fuera del intervalo [−n, n] que tiene una segunda derivada continua que satisface lascondiciones (2.40). Aplicando la ecuacion de Parseval (2.41) tenemos que:∫ n

−nf 2n(x)dx =

∞∑k=1

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx}2 (2.54)

bajo la suposicion de que a < −n y n < b.

Ahora, como fn(x) y yk(x) satisfacen las condiciones de frontera (2.40) y fn(x) es identica-mente cero en una vecindad de los puntos a y b, integrando por partes dos veces, tenemos que:∫ n

−nfn(x)yk(x)dx = − 1

λk

∫ n

−nfn(x){y

′′

k (x)− q(x)yk(x)}dx

= − 1

λk

∫ n

−n{f ′′

n (x)− q(x)fn(x)}yk(x)dx,


ya que: ∫ n

−nfn(x)y

′′

k (x)dx = fn(x)y′

k(x)∣∣∣n−n−

∫ n

−nf

′

n(x)y′

k(x)dx

= −(f

′

n(x)yxk

∣∣∣n−n−

∫ n

−nfn(x)y

′′

k (x)dx)

=

∫ n

−nfn(x)y

′′

k (x)dx.

Por tanto, tenemos que:∑|λk|>µ

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx

}2

61

µ2

∑|λk|>µ

{∫ n

−n[f

′′

n (x)− q(x)fn(x)]yk(x)dx}2

61

µ2

∞∑k=1

{∫ n

−n[f

′′

n (x)− q(x)fn(x)]yk(x)dx}2

=1

µ2

∫ n

−n

{f

′′

n (x)− q(x)fn(x)}2

dx.

De esta estimacion y de la relacion (2.54) tenemos que:∣∣∣ ∫ n

−nf 2n(x)dx−

∑−µ6λk6µ

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx

}2∣∣∣=

∣∣∣ ∞∑k=1

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx

}2

−∑|λk|6µ

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx

}2∣∣∣ = |∑|λk|>µ

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx

}2

|

61

µ2

∫ n

−n

{f

′′

n (x)− q(x)fn(x)}2

dx (2.55)

Ademas, tambien tenemos que:∑−µ6λk6µ

{∫ n

−nfn(x)yk(x)dx

}2

=∑

−µ6λk6µ

{∫ n

−nfn(x)[αkϕ(x, λk) + βkϑ(x, λk)]dx

}2

=∑

−µ6λk6µ

α2k

{∫ n

−nfn(x)ϕ(x, λk)dx

}2

+2∑

−µ6λk6µ

αkβk

{∫ n

−nfn(x)ϕ(x, λk)dx

}{∫ n

−nfn(x)ϑ(x, λk)dx

}+

∑−µ6λk6µ

β2k

{∫ n

−nfn(x)ϑ(x, λk)dx

}2

=

∫ µ

−µF 2n(λ)dξa,b(λ) + 2

∫ µ

−µFn(λ)Gn(λ)dηa,b(λ) +

∫ µ

−µG2n(λ)dςa,b(λ),

donde

Fn(λ) =

∫ n

−nfn(x)ϕ(x, λ)dx , Gn(λ) =

∫ n

−nfn(x)ϑ(x, λ)dx.

Entonces, la desigualdad (2.55) puede reescribirse como:∣∣∣ ∫ n

−nf 2n(x)dx−

∫ µ

−µ

{F 2n(λ)dξa,b(λ) + 2Fn(λ)Gn(λ)dηa,b(λ) +G2

n(λ)dς(λ)}∣∣∣


61

µ2

∫ n

−n

{f

′′

n (x)− q(x)fn(x)}2

dx. (2.56)

Por otro lado, por el lema 2.5.1, el conjunto de funciones {ξa,b(λ)} y {ςa,b(λ)}, −µ6λ6µ(o en cualquier intervalo finito) estan acotadas, mientras que el conjunto {ηa,b(λ)} es aco-tada y tiene variacion uniformemente acotada en cualquier intervalo finito. Analogamente,como con la funcion ρb(λ), tenemos que podemos seleccionar sucesiones {ak}∞k=1 y {bk}∞k=1

para las cuales las funciones ξa,b(λ), ηa,b(λ) y ςa,b(λ) convergen a funciones ξ(λ), η(λ) y ς(λ),respectivamente, donde ak −→k→∞ ∞ y bk −→k→∞ ∞.

Pasando al lımite en la relacion (2.56) con respecto a las sucesiones ak, bk, tenemos que:∣∣∣ ∫ n

−nf 2n(x)dx−

∫ µ

−µ

{F 2n(λ)dξ(λ) + 2Fn(λ)Gn(λ)dη(λ) +G2

n(λ)dς(λ)}∣∣∣

61

µ2

∫ n

−n

{f

′′

n (x)− q(x)fn(x)}2

dx.

Finalmente, haciendo µ→∞ tenemos que:∫ n

−nf 2n(x)dx =

∫ ∞

−∞

{F 2n(λ)dξ(λ) + 2Fn(λ)Gn(λ)dη(λ) +G2

n(λ)dς(λ)}

i.e., el teorema esta completo para las funciones fn que cumplen con lo descrito antes, estoes, que son cero fuera de un intervalo finito [−n, n], con segunda derivada continua y quesatisface las condiciones de frontera (2.40).

Para extender la ecuacion de Parseval para cualquier funcion arbitraria f(x) ∈ L2(−∞,∞) =L2R, se generaliza exactamente igual que en las secciones anteriores, para el caso de la medialınea.

Sean f(x), g(x) ∈ L2(R), y sean F1(λ) y G1(λ) construidos a partir de g(x) en la mismamanera que se obtuvo F (λ) y G(λ) a partir de f(x).

Claramente las funciones f(x)± g(x) tienen las funciones:

F (λ)± F1(λ) , G(λ)±G1(λ)

como sus transformadas, respectivamente. Por tanto, tenemos que:∫ ∞

−∞{f(x) + g(x)}2dx =

∫ ∞

−∞{F (λ) + F1(λ)}2dξ(λ)

+2

∫ ∞

−∞{F (λ) + F1(λ)}{G(λ) +G1(λ)}dη(λ) +

∫ ∞

−∞{G(λ) +G1(λ)}2dς(λ), y∫ ∞

−∞{f(x)− g(x)}2dx =

∫ ∞

−∞{F (λ)− F1(λ)}2dξ(λ)


+2

∫ ∞

−∞{F (λ)− F1(λ)}{G(λ)−G1(λ)}dη(λ) +

∫ ∞

−∞{G(λ)−G1(λ)}2dς(λ).

Restando la primera igualdad de la segunda y dividiendo entre 4 tendremos que:∫ ∞

−∞f(x)g(x)dx =

∫ ∞

−∞F (λ)F1(λ)dξ(λ) +

∫ ∞

−∞

{F (λ)G1(λ) + F1(λ)G(λ)

}dη(λ)

+

∫ ∞

−∞G(λ)G1(λ)dς(λ) (2.57)

y esta es llamada la ecuacion de Parseval generalizada.

Teorema 2.5.3. (Teorema de Expansion). Sea f(x) ∈ L2(−∞,∞) y continua en el ejereal, y supongamos que las integrales:∫ ∞

−∞F (λ)ϕ(x, λ)dξ(λ) ,

∫ ∞

−∞F (λ)ϑ(x, λ)dη(λ),∫ ∞

−∞G(λ)ϕ(x, λ)dη(λ) ,

∫ ∞

−∞G(λ)ϑ(x, λ)dς(λ) (2.58)

converge absolutamente y uniformemente en x sobre cada intervalo finito. Entonces la igual-dad:

f(x) =

∫ ∞

−∞F (λ)ϕ(x, λ)dξ(λ) +

∫ ∞

−∞F (λ)ϑ(x, λ)dη(λ)

+

∫ ∞

−∞G(λ)ϕ(x, λ)dη(λ) +

∫ ∞

−∞G(λ)ϑ(x, λ)dς(λ)

se satisface.

Demostracion. Sea g(x) una funcion continua que es identicamente cero fuera de un intervalofinito [−n, n]. Entonces la ecuacion de Parseval generalizada (2.57) puede escribirse como:∫ n

−nf(x)g(x)dx =

∫ ∞

−∞F (λ)

{∫ n

−ng(x)ϕ(x, λ)dx

}dξ(λ)+

∫ ∞

−∞F (λ)

{∫ n

−ng(x)ϑ(x, λ)dx

}dη(λ)

+

∫ ∞

−∞G(λ)

{∫ n

−ng(x)ϕ(x, λ)dx

}dη(λ) +

∫ ∞

−∞G(λ)

{∫ n

−ng(x)ϑ(x, λ)dx

}dς(λ).

Esto ultimo porque ya hemos visto que en funciones que son cero fuera de un intervalofinito [−n, n], esas son sus trasformadas respectivas. Por otro lado, podemos cambiar el ordende integracion en las integrales del lado derecho de la igualdad, pues por (2.58), las integralesque intervienen convergen absoluta y uniformemente, por lo cual obtenemos que:∫ n

−nf(x)g(x)dx =

∫ n

−ng(x)

{∫ ∞

−∞F (λ)ϕ(x, λ)dξ(λ) +

∫ ∞

−∞F (λ)ϑ(x, λ)dη(λ)

+

∫ ∞

−∞G(λ)ϕ(x, λ)dη(λ) +

∫ ∞

−∞G(λ)ϑ(x, λ)dς(λ)

}dx.

Como g(x) es arbitrario, f(x) y las integrales en (2.58) son continuas como funciones de x(pues asumimos que hay convergencia uniforme), entonces el teorema esta demostrado.


2.5.2. Definicion del Espectro

Esta seccion la usaremos solo para definir el espectro del operador de Sturm-Liouville enla media lınea y del operador de Schrodinger en la recta real R en terminos de la funcionespectral, en el caso de la media lınea, y de las matriz espectral, en el caso de la recta real.Una pregunta natural es si esta definicion de espectro coincide con la definicion de espectroque se da en la teorıa de operadores no acotados (ver [10]). Tal pregunta, la verdad, no ladiscutimos aquı.

Hacemos esto para mostrar una de las utilidades de estas funciones, y tambien en elcapıtulo 3 veremos que el resultado que se ve tambien se cumple en la definicion de espectrocomo se da en esta seccion.

Definicion 2.5.1. El espectro asociado al operador de Sturm-Liouville en la media lınea[0,∞) es el complemento del conjunto de los puntos en los cuales existe una vecindad en lacual la funcion ρ(λ) es constante.

Definicion 2.5.2. En el caso de la recta real (−∞,∞), el espectro es el complemento delconjunto de los puntos en los cuales existe una vecindad en la cual las funciones ξ(λ), η(λ)y ς(λ) son constantes.

De aquı se puede obtener que el espectro es cerrado.

Nota:. Aquı asumimos que las funciones ρ(λ), ξ(λ), η(λ) y ς(λ) son unicas para los problemascorrespondientes.

Definicion 2.5.3. El espectro discreto o espectro puntual es el conjunto de todos lospuntos de discontinuidad de ρ(λ) en el caso de la media lınea, y de (ξ(λ), η(λ), ς(λ)) en elcaso de la recta real.

Definicion 2.5.4. El espectro continuo es el conjunto de puntos de continuidad de ρ(λ)que pertenecen al espectro, en el caso de la media lınea. En el caso de la recta real, ladefinicion es analoga.

Definicion 2.5.5. Los puntos del espectro tambien son llamados eigenvalores, y las solu-ciones asociadas del problema son llamadas eigenfunciones.

Capıtulo 3

Relacion entre las EcuacionesSchrodinger - KdV

Para este capıtulo me base en el libro de Van Harten [1], aunque algunas cosas se obtu-vieron de otros lados, lo cual lo mencionare en su momento.

Motivacion:

Ya vimos que el operador de Schrodinger puede ser muy diferente en la recta R al casofinito [a, b], desde el hecho de que en el caso finito siempre hay una infinidad de eigenvalores yno hay espectro continuo, y en la recta real puede haber solo un numero finito de eigenvalores(o no) y espectro continuo, y una demostracion de que esto ultimo puede ocurrir se puedeencontrar en [1] y tambien es mencionado en [8].

En el caso de la ecuacion KdV , en [9] se menciona que cierta clase de soluciones de po-tenciales, soluciones de la ecuacion KdV pueden ser resueltos explıcitamente. Estos son paralos cuales su coeficiente de reflexion r(k) es identicamente cero para toda k (los coeficientesde reflexion son explicados muy bien en [9] y son datos necesarios para obtener el poten-

cial en el ¨inverse scattering method). Estas soluciones son llamadas N-solitones y describenla colision de solitones. Una propiedad interesante de la ecuacion KdV es la ausencia deefectos no elasticos en la colision de solitones: despues de la colision los solitones recuperanla forma que llevaban antes de la colision. Precisamente este hecho, con ayuda de calculoscomputacionales fue lo que hizo interesante esta ecuacion.

Considerando que los coeficientes de reflexion son ceros para toda k (r(k)=0), se llega aque deben tener la forma:

u(x, t) = − 2κ2

cosh2κ(x− 4κ2t− φ), (3.1)

donde

φ =1

2κlnβ

2κ,

donde β son datos que tambien son necesarios para calcular el potencial, y vienen explicadosen [9].

106 3. Relacion entre las Ecuaciones Schrodinger - KdV

Figura 3.1: Solitones antes de la colision

Figura 3.2: Solitones al inicio de la colision

Luego se llega a que:

u(x, t) →N∑n=1

un(x− vnt) ,

donde vn = 4κ2n un(x, t) es la solucion de 3.1 para κ = κn y {κ1, κ2, ..., κN son los eigenvalores

(finitos) para el operador de Schrodinger.En las figuras 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 hicimos una simulacion en la computadora donde se

puede ver lo que estamos discutiendo.Sea L una familia de operadores lineales cerrados en algun espacio de Banach de fun-

ciones V. Supongamos que L tiene la siguiente estructura:

L = L0 +Mu donde L0 es un operador fijo y Mu es la multiplicacion por una familia defunciones u(x, t), con parametro t.

Para cada t, el espectro de L es el conjunto de todos los valores λ para los cuales eloperador L+ λ no tiene una inversa continua en todo V .

Definicion 3.0.6. u(x, t) son potenciales isoespectrales si el espectro correspondiente au(x, t) es invariante bajo t.

Uno de los principales descubrimientos en el analisis de GGKM (Green-Gardner-Kruskal-Miura) es el hecho de que las soluciones de la ecuacion KdV con una propiedad de de-caimiento conveniente para cuando |x| → ∞ son potenciales isoespectrales para la ecuacion

Figura 3.3: Solitones durante la colision

3.1. La derivada (Topologıa Fuerte de Operadores) 107

Figura 3.4: Solitones despues de la colision

de Schrodinger. Tenemos tres preguntas naturales:

1. ¿Hay otras ecuaciones, diferentes a la ecuacion KdV, de tal forma que sus solucionessean potenciales isoespectrales para el operador de Schrodinger?.

2. ¿Hay otros problemas de eigenvalores, diferente a la ecuacion de Schrodinger, para loscuales uno pueda escoger potenciales isoespectrales como soluciones de alguna ecuacionde evolucion interesante?.

3. ¿Dada una ecuacion de evolucion para funciones u(x, t) puede uno encontrar un prob-lema de eigenvalores para los cuales u(x, t) son potenciales isoespectrales?

P. Lax (1968) [5] responde la primera pregunta afirmativamente, y desarrolla un caminopara tratar de responder la segunda pregunta.

Lax comienza con la observacion del fenomeno de dos operadores que tienen el mismoespectro, esto es bien conocido en la teorıa de operadores autoadjuntos en un espacio deHilbert , y este esta ligado con el concepto de operadores unitariamente equivalentes.

1. Los operadores van a estar definidos en un subespacio denso de V. Por ejemplo, enel caso de la ecuacion de Schrodinger , es natural considerar como espacio de HilbertH = L2(R) y L tiene sentido solo en los elementos de L2(R) cuyas primeras y segundasderivadas estan en L2(R)

Definicion 3.0.7. Un operador cuyo dominio es un subespacio denso de un espacio deHilbert H es llamado densamente definido en H. En lo consiguiente en nuestro analisis vamosa suponer que todos los operadores van a estar definidos en algun subespacio denso H0 ⊂ H

3.1. La derivada (Topologıa Fuerte de Operadores)

Se puede encontrar teorıa sobre Topologıa Fuerte de Operadores en [10]Lo que queremos hacer con la Topologıa Fuerte de Operadores es poder derivar una

familia de operadores parametrizada por t, con respecto a t.

Definicion 3.1.1. Sea {F (t)}t∈R una familia de operadores con dominio comun H0 ⊂ H yrango en un espacio de Banach W . F (t) es diferenciable en t = t0 si para todo v ∈ H0

lımh→0F (t0+h)−F (t0)

hv existe en W .


La derivada de F (t) en t = t0 es el operador(∂F (t)

∂t

)t=t0

tal que , para todo v ∈ H0

(∂F (t)

∂t)t=t0v = lımh→0

F (t0 + h)− F (t0)

hv

Ejemplo 3.1.1. En el operador de Schrodinger

L = − ∂

∂x2+Mu

v ∈ H2 el espacio de Sobolev

lımh→0

L(t0 + h)− L(t0)

hv =

(lımh→0

u(·, t0 + h)− u(·, t0)h

)v = utv.

Por lo tanto:∂Mu

∂t= Mut

Lema 3.1.1. Sea F2(t) una familia de operadores con dominio W0 ⊂ W , F1(t) con dominioV0 ⊂ V y RanF2(t) ⊂ V0 donde V es un espacio de Hilbert. Supongamos que F1(t),F2(t)y F1(t)F2(t) sean diferenciales y mas aun Ran∂F2

∂t(t) ⊂ V0. Entonces se cumple la regla del

producto, i.e.,

∂

∂tF1(t)F2(t) =

∂F1(t)

∂tF2(t) + F1(t)

∂F2(t)

∂t

Demostracion. Sea v ∈ V0

F1(t0 + h)F2(t0 + h)− F1(t0)F2(t0)

hv =

F1(t0 + h)− F1(t0)

hF2(t0)v+F1(t0+h)

F2(t0 + h)− F2(t0)

vv

F2(t0)v ∈ V0=⇒ lımh→0

F1(t0 + h)− F1(t0)

hF2(t0)v = (

∂F1

∂t)t=t0F2(t0)

y

lımh→0

F1(t0 + h)F2(t0 + h)− F1(t0)F2(t0)

hv =

∂

∂tF1(t)F2(t)|tt=t0v

pues es derivable.

Para el segundo termino de la parte de la derecha, sea < ·, · > el producto interior en elespacio de Hilbert V. Sean

v ∈ V0 , w ∈ V ∗0 = DomF ∗

1 (t) ∀t

J(h) :=< F1(t0+h)F2(t0 + h)− F2(t0)

hv, w >=<

F2(t0 + h)− F2(t0)

hv, F ∗

1 (t0+h)w >→h→0 J(0)

3.2. La invarianza de los eigenvalores discretos por una aproximacion elemental109

=<∂F2

∂t|t0v, F ∗

1 (t0)w >=< F1(t0)∂F2

∂t(t0)v, w >

esto ultimo es ∀w ∈ V ∗0 y V ∗

0 es denso. Entonces:

F1(t0 + h)F2(t0 + h)− F2(t0)

hv

converge debilmente a

F1(t0)∂F2

∂tv ,

y ya sabemos que tambien converge fuertemente, y por unicidad de lımites tenemos que:

lımh→0

F1(t0 + h)F2(t0 + h)− F2(t0)

hv = F1(t0)

∂F2

∂t(t0)v .

Por lo tanto:∂

∂tF1(t)F2(t) =

∂F1(t)

∂tF2(t) + F1(t)

∂F2(t)

∂t

Ejemplo 3.1.2. Sea L una familia de operadores parametrizada por t, sea ζ(t) una familiade eigenvalores con ψ(·, t) la correspondiente familia de eigenfunciones , i.e., Lψ + ζψ = 0.Supongamos que podemos probar (como en la ecuacion de Schrodinger) que ζ(t) y ψ(·, t) soncontinuamente diferenciables. Si (por inspeccion) L es continuamente diferenciable, entonces,usando el lema, uno obtiene:

∂

∂tLψ =

∂L

∂tψ + L

∂ψ

∂t

Lema 3.1.2. Sea F1(t) continua en t y acotada y F2(t) diferenciable. Si F1(t) es diferenciableentonces F1(t)F2(t) es diferenciable y se cumple la usual regla del producto. Conversamente,si F1(t)F2(t) es diferenciable entonces F1(t) es diferenciable, si RanF2(t) = V0

Demostracion. Ejercicio

3.2. La invarianza de los eigenvalores discretos por una

aproximacion elemental

Teorema 3.2.1. Sea L una familia de operadores (parametrizada por t) auto-adjuntos densa-mente definidos en un espacio de Hilbert V y contınuamente diferenciable con respecto a t.Supongamos que los eigenvalores discretos de L son contınuamente diferenciables con respec-to a t y que lo mismo ocurre para las eigenfunciones ψ(·, t), con ψ, ∂ψ

∂t∈ V0. Supongamos

ademas que existe una familia de operadores parametrizada B tales que:

∂L

∂t= BL− LB


con B,BL,LB,L, ∂L∂t

densamente definidos en un subconjunto comun de V0 ⊂ V .Entonceslos eigenvalores discretos de L son invariantes con respecto a t.

Ademas, si un eigenvalor es simple, entonces la correspondiente eigenfuncion ψ satisfacela ecuacion de evolucion:

∂ψ

∂t= (B + C)ψ

donde C es una funcion continua arbitraria de t.

Por ultimo, si B + C es antisimetrica entonces ||ψ|| es independiente de t.

Demostracion.Lψ + ζψ = 0

Diferenciando con respecto a t:

∂L

∂tψ + L

∂ψ

∂t+∂ζ

∂tψ + ζ

∂ψ

∂t= 0

Como ∂L∂t

= BL− LB

BLψ − LBψ + L∂ψ

∂t+∂ζ

∂tψ + ζ

∂ψ

∂t= 0=⇒[L+ ζ]

∂ψ

∂t+BLψ − LBψ +

∂ζ

∂tψ = 0 .

Entonces:

[L+ ζ](∂ψ

∂t−Bψ) +

∂ζ

∂tψ = 0 (3.2)

Sea < ·, · > el producto interior en el espacio de Hilbert V.Entonces

∂ζ

∂t||ψ||2 =< ψ,

∂ζ

∂tψ >= − < ψ, [L+ ζ](

∂ψ

∂t−Bψ) >= − < [L+ ζ]ψ,

∂ψ

∂t−Bψ >= 0

=⇒∂ζ

∂t= 0

Por tanto ζ es constante, y los eigenvalores sin invariantes con respecto a t.

Ademas , por la ecuacion (3.2),

[L+ ζ](∂ψ

∂t−Bψ) = 0

Si el eigenvalor es simple, esto se cumple sii:

∂ψ

∂t−Bψ = Cψ

donde C una funcion arbitraria de t.

3.3. La invarianza del Espectro 111

Entonces:

∂

∂t||ψ||2 =<

∂ψ

∂t, ψ > + < ψ,

∂ψ

∂t=< (B + C)ψ, ψ > + < ψ, (B + C)ψ >

Por tanto, si B+C es antisimetrica , tenemos que:

∂

∂t||ψ||2 = 0

Por lo que ||ψ|| es independiente de t

Nota:. Si tomamos ||ψ|| = 1 y B es antisimetrica, entonces

0 =< (B + C)ψ, ψ > + < ψ, (B + C)ψ >=< Cψ,ψ > + < ψ,Cψ > =⇒C∗ = −C=⇒C = 0

Para multiplicidad µ > 1 se toma ||ψ|| 6= 1 y en este caso:

∂ψi∂t

= Bψi +

µ∑j=1

Cijψj

3.3. La invarianza del Espectro

Teorema 3.3.1. Sea L una familia de operadores auto-adjuntos parametrizada por t, densa-mente definido en un espacio de Hilbert V, y contınuamente diferenciable con respecto a t. Elespectro de L es invariante con respecto a t si existe una familia parametrizada de operadoresantisimetricos B tales que:

i)∂L∂t

= BL− LBii) La ecuacion de operadores∂U∂t

= BU con (U)t=0 = I (el operador identidad) tiene como solucion una familia deoperadores parametrizada en V para todo t > 0iii)LU es diferenciable con respecto a t.

Definicion 3.3.1. Un operador lineal acotado U en V es unitario si RanU = V y U esisometrico , i.e., < Uv, Uw >=< v,w > ∀v, w ∈ V donde < ·, · > es el producto interior enV .

Definicion 3.3.2. Dos operadores auto-adjuntos L y L en V son unitariamente equivalentessi existe un operador unitario U tal que:U−1LU = L

Lema 3.3.2. Si dos operadores auto-adjuntos L y L son unitariamente equivalentes entoncesellos tienen el mismo espectro.

Demostracion. Sea λ en el complemento del espectro de L. Entonces:

L+ λ


tiene un inverso continuo. Entonces la solucion (L+λ)v = f es la misma que v = (L+λ)−1fy la ecuacion:

(L+ λ)w = f

es lo misma que(L+ λ)U−1w = U−1f

pues(L+ λ)U−1 = U−1(L+ λ) .

Entoncesw = U(L+ λ)−1U−1f

∴ λ esta en el complemento del espectro de LAnalogamente si λ ∈ σ(L)c=⇒λ ∈ (σ(L))c

∴ σ(L) = σ(L)

Lema 3.3.3. Sea U una familia de operadores parametrizada por t, tal que satisface:

∂u

∂t= BU

donde B es un operador antisimetrico (i.e., el adjunto B∗ = −B). U es unitaria para todo tsi (U)t=0 es unitario.

Demostracion. Sean v1, v2 ∈ V un par de funciones (V espacio de Hilbert de funciones)Sean w1 = Uv1 , w2 = Uv2 la familia de funciones correspondientes.Restringimos v1 y v2 a un subconjunto denso de V de forma tal que w1 y w2 esten en eldominio de B. Entonces:

∂w1

∂t=∂U

∂tv1 = BUv1 = Bw1

y∂w2

∂t= Bw2 .

Entonces:

< w1,∂w2

∂t>=< w1, Bw2 >= − < Bw1, w2 >= − <

∂w1

∂t, w2 >

=⇒ d

dt< w1, w2 >=< w1,

∂w2

∂t> + <

∂w1

∂t, w2 >= 0

=⇒ < w1, w2 >=< Uv1, Uv2 >=< Uv1, Uv2 >t=0=< v1, v2 > ,

pues (U)t=0 es unitario.

Por lo tanto U es isometrico. Entonces < U∗Uv1, v2 > es independiente de t para todov1, v2 es un subconjunto denso de V , lo cual implica que U∗U es independiente de t. Por tanto:

U∗U = (U∗U)t=0 = I .

3.3. La invarianza del Espectro 113

Nos falta ver queRanU = V , pero una demostracion de esto se encuentra en Y osida(1974).

Por tanto U es unitario

Ahora vamos a proceder con la demostracion del teorema:

Demostracion. Tenemos que U−1U = I , U es diferenciable , acotado y U−1U = I tambienes diferenciable. Entonces U−1 es diferenciable, por lema 3.1.2

Sea

L := U−1LU.

Entonces L es diferenciable , pues U−1 es acotada y LU es diferenciable , por lema 3.1.2, yUL = LU . Entonces:

∂

∂tLU =

∂

∂tUL

L es auto-adjunto, lo cual permite usar el lema 3.3.2.Entonces:

∂L

∂tU + L

∂U

∂t=∂U

∂tL+ U

∂L

∂t,

pero ∂U∂t

= BU y˜

L= U−1LU . Entonces:

∂L

∂tU + LBU = BLU + U

∂L

∂t

Factorizando la U tenemos que:

(∂L

∂t+ LB −BL)U = U

∂L

∂t

Pero (∂L∂t

+ LB −BL) = 0. Entonces

U∂LL

∂t= 0

Entonces∂L

∂t= 0 ,

pues U es unitario. Entonces: L es independiente de t y consecuentemente el espectro de Les independiente de t.

Pero por lema 3.3.2 los operadores unitariamente equivalentes L y L tienen el mismoespectro.

Por lo tanto, el espectro de L es invariante con respecto a t.


3.4. Potenciales isoespectrales para la ecuacion de Schrodinger

Consideramos la ecuacion de Schrodinger

L =∂2

∂x2− u(x, t)

en el usual espacio de Hilbert L2(R) con el producto interior

< w, v >=

∫∞−∞w v dx .

Como sabemos:

∂L

∂t= −ut

El procedimiento para aplicar los teoremas consiste en los siguientes dos pasos:

1. Encontrar un operador antisimetrico B tal que BL− LB = Mw

donde Mw es el operador miltiplicacion por w , con w = k(u) , i.e.,

∀v ∈ V0 , BLv − LBv = k(u)v

2. Para cada tal operador B , familias de potenciales isoespectrales u(x, t) estan definidoscomo soluciones de la ecuacion:

−ut = k(u)

Nota:. Uno puede usar el Teorema 3.3.1 , pero a veces es suficiente con el Teorema 3.2.1 paralos eigenvalores, como en la ecuacion de Schrodinger, viendo el comportamiento del potencialal infinito.

Siguiendo el artıculo de Lax [5], uno puede buscar el operador B sistematicamente inves-tigando familias de operadores lineales reales.

Como B debe ser antisimetrico, entonces el operador diferencial debe ser de orden impar,y debe ademas tener la siguiente estructura:

Bq =∂2q+1

∂x2q+1+

∑qj=1{bj

∂2j−1

∂x2j−1+

∂2j−1

∂x2j−1bj}

donde bj es por ahora desconocido, q es un entero arbitrario, o cero.

Esto ultimo porque integrando por partes, vemos que cada uno de los sumandos, eloperador es simetrico.

Empecemos con q = 0

B0 =∂

∂x

3.4. Potenciales isoespectrales para la ecuacion de Schrodinger 115

B0L− LB0 =∂

∂x(∂2

∂x2− u)− (

∂2

∂x2− u)

∂

∂x= u

∂

∂x− ∂

∂xu

(B0L− LB0)v(x) = − ∂

∂x(u(x, t)v(x)) + u(x, t)v

′(x) = −uxv(x)

∴ B0L− LB0 = −Mux

En este caso, el potencial isoespectral esta dado por:

∂u

∂t=∂u

∂t

El resultado es trivial u(x, t) = u(x+ t)

Si usamos la transformacion de variables x= x+ t produce una ecuacion de Schrodingerindependiente del tiempo.

Escojamos algo menos trivial q = 1

B1 =∂3

∂x3+ b1

∂

∂x+

∂

∂xb1

Entonces para v en el dominio tenemos que:

(B1L−LB1

)v(x) =

( ∂3

∂x3+b1

∂

∂x+∂

∂xb1

)(∂2v

∂x2−u(·, t)v

)−

( ∂

∂x2−u

)(∂3v

∂x3+b1

∂v

∂x+∂

∂x(b1v)

)=∂5v

∂x5− ∂2

∂x2(uxv+uvx)+b1(x)vxxx−b1(x)(uxv+uvx)+b1xvxx+b1vxxx−(b1xuv+b1uxv+b1uv)

−[∂5v

∂x5+

∂

∂x(b1xvx + b1vxx) +

∂2

∂x2(b1xv + b1vx)− uvxxx − ub1vx − u(b1xv + b1vx)]

Despues de un arduo trabajo tenemos que:

(B1L−LB1)v(x) = −uxxxv−uxx(3vx)−ux(3vxx+2b1v)+b1x(−4vxx)+b1xx(−4vx)+b1xxx(−v)

Por otro lado:

−(3∂u

∂x+ 4

∂b1∂x

)∂2

∂x2v − (3

∂2u

∂x2+ 4

∂2b1∂x2

)∂v

∂x− (

∂3u

∂x3+ 2b1

∂u

∂x+∂3b1∂x3

)v

= −3uxvxx − 4b1xvxx − 3uxxvx − 4b1xxvx − uxxxv − 2b1uxv − b1xxxv

Por lo tanto:

B1L− LB1 = −(3∂u

∂x+ 4

∂b1∂x

)∂2

∂x2− (3

∂2u

∂x2+ 4

∂2b1∂x2

)∂

∂x− (

∂3u

∂x3+ 2b1

∂u

∂x+∂3b1∂x3

)

Como B1L−LB1 debe ser un operador multiplicacion, los primeros dos terminos (los dediferenciacion) deben desaparecer, por lo que vamos a escoger

b1 = −3

4u .


Entonces:

B1L− LB1 = −(0)∂

2∂x2 − (0)∂

∂x− (

∂3u

∂x3+ 2(−3

4u∂u

∂x) + (−3

4

∂3u

∂x3))

= −∂3u

∂x3+

3

2u∂u

∂x+

3

4

∂3u

∂x3= −1

4(uxxx − 6uux)

Por lo tanto, los potenciales isoespectrales deben cumplir con la ecuacion:

ut = −1

4(uxxx − 6uux)

que es (modulo una transformacion en el tiempo) la ecuacion KdV !!!Ya que si tomamos:

w(x, t) = u(x, 4t)

wt = 4ut(x, 4t) = 4(−1

4)(uxxx − 6uux)(x, 4t) = −(uxxx − 6uux)(x, 4t) = −(wxxx − 6wwx)

Por lo tanto:wt = −(wxxx − 6wwx)

la cual es la ecuacion Korteweg-de Vries !!!Lo unico que falta es verificar que la ecuacion diferencial de operadores:

∂U

∂t= B U ,

con:(U)t=0 = I ,

el operador identidad.Pero esto se resuelve no necesariamente con teorıa espectral (EL Teorema Espectral [10]),

sino con una teorıa mas general, que se puede entender en el libro de Krein.

Bibliografıa

[1] Wiktor Eckhaus and Aart Van Harten. The Inverse Scattering Transformation and theTheory of Solitons. North-Holland Publishig Company, first edition.

[2] Helga Fetter Nathansky and Berta Gamboa de Buen. Introduccion al analisis funcionaly a la geometrıa de espacios de Banach. Grupo editorial Iberoamerica, Mexico, D.F.,2002.

[3] Victor Guillemin and Alan Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall, Inc., firstedition.

[4] Tony Hey. The New Quantum Universe. Cambridge UniversityPress, second edition.

[5] Peter D. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolutions and solitary waves. Com-munications on Pure and Applied Mathematics, Vol. XXI, 1968.

[6] B.M. Levitan and I.S. Sargsjan. Sturm-Liouville and Dirac Operators. Kluwer AcademicPublushers, first edition.

[7] Jerrold E. Marsden and Michael J. Hoffman. Analisis Basico de Variable Compleja.Trillas, first edition.

[8] Jurgen Moser. Hidden symetries in dynamical systems. National Academy of Sciences,Courant Institute of Mathematics, New York University.

[9] S.Novikov and S.V. Manakov. Theory of Solitons. A Division of Plenum PublishingCorporation, first edition.

[10] Michael Reed and Barry Simon. Methods of Modern Mathematical Analysis VOl. 1:Functional Analysis. Academic Press, Inc., revised ans enlarged edition.

[11] Michael Reed and Barry Simon. Methods of Modern Mathematical Analysis Vol. 2:Fourier Analysis and Self-Adjointess. Academic Press, Inc., first edition.

[12] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Book Company, thirdedition.

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