UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR · se estudiarán los conjuntos compactos numerables bajo las ideas...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO (IIP)

CLASIFICACIÓN DE SUBCONJUNTOS COMPACTOSNUMERABLES EN ALGUNOS ESPACIOS POLACOS

Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado deMAGÍSTER EN MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

ANDRÉS ESTEBAN MERINO [email protected]

Director: BORYS YAMIL ÁLVAREZ SAMANIEGO, [email protected]

QUITO, 28 DE MARZO2017

[email protected]

[email protected]

[email protected]

DEDICATORIA

A Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor,

pues nadie nos expulsará del paraíso que creó para nosotros.

IV

AGRADECIMIENTOS

A mi familia, por sus enseñanzas y los valores que me supieron inculcar. Por las

alegrías y problemas que me han llevado a donde ahora estoy. A mis padres, mis

hermanas y mi cuñado por el amor y el cariño que han compartido conmigo.

Al Lic. Rodrigo Romero, por aquella conversación inolvidable con aquel niño:

— Vaya a estudiar Matemática en la Poli.

— ¿Y en qué puedo trabajar con eso?

— Eso no importa, solo vaya, le va a gustar. . .

Y no solo me gustó, sino que se transformó en mi vida.

A los matemáticos de la historia, en especial a George Cantor, por crear este pa-

raíso que ahora estudiamos, y más que estudiar, disfrutamos, cuidamos y cultiva-

mos.

A mis profesores, en especial a Juan Carlos Trujillo, pues me transportaron a este

maravilloso mundo de la Matemática, mostrándome los secretos reservados para

los que llegamos a amar esta ciencia.

Al Dr. Borys Álvarez, por haber compartido su conocimiento conmigo, por haber

propuesto el problema desarrollado en este proyecto y por guiarme en el transcurso

del mismo.

A mis alumnos, en especial a Carlos y Cristian, pues me han indicado que el

trascender de una persona está al transmitir nuestros conocimientos, y pasión por

estos, a las siguientes generaciones.

A todos mis amigos (Evelyn, Priscila, Pamela, Jonathan, Estefanía, Sofía, B.W.,. . . )

pues han ordenado y desordenado mi vida las veces que han hecho falta para darme

estabilidad.

Finalmente, a todas aquellas personas que han pasado por mi vida dejando hue-

llas imborrables, ¡gracias! Las llevo en mi corazón.

V

Contenidos

Autorización de la Autoría Intelectual II

Certificación III

Dedicatoria IV

Agradecimientos V

Contenidos VI

Resumen VIII

Abstract IX

1. Introducción 1

2. Teoría de Conjuntos 3

2.1. Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6. Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8. Números Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.8.1. Aritmética Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9. El Alef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VI

3. Conceptos de Topología 30

3.1. Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4. Topología Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5. Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.2. Espacios Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Conjuntos Compactos Numerables 52

4.1. Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Partición de KE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Espacios Polacos 65

5.1. Compactos en Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Conclusiones 80

Bibliografía 81

Biografía del Autor 83

VII

Resumen

CLASIFICACIÓN DE SUBCONJUNTOS COMPACTOS

NUMERABLES EN ALGUNOS ESPACIOS POLACOS

Autor: Andrés Esteban Merino Toapanta

Director: Borys Yamil Álvarez Samaniego

Fecha: 28 de marzo de 2017

En el presente trabajo se estudia la clase de los subconjuntos compactos numera-

bles de algunos espacios polacos. Utilizando el concepto de homeomorfismo, se ob-

tiene una partición y clasificación adecuada de esta clase siguiendo las ideas dadas

por G. Cantor en [3]. Posteriormente, se generalizan resultados dados por S. Mazur-

kiewicz y W. Sierpinski en [17] para el estudio de la cardinalidad de esta partición.

Además, en base a la derivada topológica de este tipo de subconjuntos, la cual fue

introducida por G. Cantor, se generalizan algunos resultados dados por B. Álvarez-

Samaniego y A. Merino en [1].

Palabras clave: Teoría Descriptiva de Conjuntos, derivada de Cantor-Bendixson,

espacios polacos, cardinalidad, conjuntos compactos, conjuntos numerables.

VIII

. ,

FO l~M. PATENT. 2 0 16-2%5/9!l (1 37 1

Pn nc1 p10 ck Li Traduccion N "QU2 :17S 2----------------------- ------------ ----------- -- ---- --- -- ---------------------

Abstract

CLASSIFICATION OF COMPACT COUNTABLE SUBSETS

OF VARIOUS POLISH SPACES

Author: Andres Esteban i\[erino Toc1panta

Director: Borys Yamil Alvarez Samaniego

Date: 28 i\ [Mch 20 17

This paper studies the class of compact countable subsets o f va rio us pol ish

sp<1ccs . Using the concept of homeomorphism, an adequate partition ,1 nd

classification of this class is obtained, following the ideas g iven by G. Cantor in [3].

Subseq uently, the results given by S. Mazurkiewicz and W. Sierpins ki in (1 7 ] arc

generali zed for the cardinality study of this partition. Furthermore, bi.1scd on the

topological derivati ve of this class of subset, which was introduced by G . Cantor,

Sl'Vl'ral results given by B. Alvarez-Samaniego and A. Merino in [1] arc

gene ralized.

Keywords: Descriptive Set Theory, Cantor-Bendixson d eriva tive, Po li sh sp.1Ccs,

cardin,1lity, comp<1ct sets, countable sets.

------------------------ -------- ---------------------------------------------- -------Fin de la Tract u cci6n N 0QU2'1· 7 5 2 lk 11 ja111i n Xavie r Ama ury Aguilar. ciudadano frances portado r de la ced ula de iclenticbcl No. 1753 I 0 1110, Traductor de 9h05 Inc., Agencia de Traducciones do micili ada en b ci uclad de Sa n Fr;rn cisco de Quito, con RUC 1753I01110001, Miembro No. 54 de la Asociaci6n de Traducto res e ln tt' rpre tcs del Ecuador. Miembro No. 264890 de la American Translators Association, cert ifi co (]lie l.:i quc ;rntecede cs trad ucci6n fie! y co111pleta a l ingles clel clocumento que anteccde, redactado en cspat1ol.

Yen fe de cllo, suscribo e l presente documento en la Ciudad de San Francisco de Quito, a 28 de marzo de 2017

Confirmc la autcnticidad: hll ps:/ /\\'WW.')h05.cn111/scn1rily / 'lhOS es 1111 .1 111.irc.i r eg1s1 r.1d.1 . T od os los cl1·n·d10s resen '<ulos . <O'JhO!"i 200'J-2017 WNFO/IM I:." CON EN-1 503fl:201J6 8.- llSTM f.'257.5

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y 110 tiene t1/terr1t:iri 11 of.11111w. ~t"l ":~.

[!] !f.'f-t,.

~ Americun

T runslolor s Association

Capítulo 1

Introducción

Existen diversas áreas de la Matemática que son base fundamental para la mis-

ma, entre ellas la Topología, el Análisis Matemático, el Álgebra, la Geometría, la

teoría de Conjuntos, entre otras. En cada una de esta áreas existen problemas abier-

tos de relevancia tal como se puede apreciar en [21]. Varios de estos problemas están

relacionados con la Teoría Descriptiva de Conjuntos, los conjuntos de Cantor, la de-

rivada de Cantor-Bendixson y los espacios numerables.

El presente trabajo es una aproximación a la Teoría Descriptiva de Conjuntos, la

cual relaciona conceptos de la Topología, la Teoría de Conjuntos y la Teoría de la Me-

dida. Esta rama de la Matemática estudia de manera particular los Espacios Polacos,

los cuales son espacio completamente metrizables y separables. En estos espacios,

se estudiarán los conjuntos compactos numerables bajo las ideas dadas por Georg

Cantor en Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (Sobre los conjuntos infi-

nitos y lineales de puntos) [3, 4, 5, 7], generalizando sus resultados en el conjunto de

los números reales a espacios polacos arbitrarios.

Dada la interrelación que tiene la Teoría Descriptiva de Conjuntos con los ci-

mientos de la Matemática, es necesario partir de un sistema axiomático para la Teo-

ría de Conjuntos. En el Capítulo 2, se presenta una visión general al sistema de Von

Neumann-Bernays-Gödel el cual puede ser visto con más detalle en [18, 22]. En di-

cho capítulo, se presentarán algunos axiomas de este sistema, los cuales serán la

base para el desarrollo de los resultados que se expondrán en el presente trabajo.

Además, se dará una breve revisión al Axioma de Elección, a la clase de los Núme-

ros Ordinales y a la aritmética de los números ordinales. Por otro lado, en el presente

trabajo, no se considera ni verdadera ni falsa a la Hipótesis del Continuo.

En el Capítulo 3, se realiza una recopilación de los resultados característicos de

la Topología, particularmente, se exponen resultados relacionados con funciones

1

continuas, conjuntos compactos, espacios ordinales y con la derivada de Cantor-

Bendixson para espacios topológicos. Este último concepto es fundamental para los

resultados obtenidos en este trabajo.

En el Capítulo 4, se estudian a fondo las propiedades de los conjuntos compac-

tos de espacios métricos, dando una clasificación de los mismos bajo la relación de

equivalencia dada por los homeomorfismos. Se presenta que ℵ1 es una cota supe-

rior para la cardinalidad de esta clasificación, además se dan ejemplos de espacios

métricos en los cuales la clasificación de sus subconjuntos compactos posee una car-

dinalidad arbitraria, menor a ℵ1. Para este fin, se utilizan ideas similares a las dadas

por S. Mazurkiewicz y W. Sierpinski en [17], generalizándolas a espacios métricos

arbitrarios. Además, se utilizan los resultados dados en [1] para simplificar las de-

mostraciones y dar los ejemplos necesarios.

Finalmente, en el Capítulo 5, se estudia la clasificación de subconjuntos compac-

tos numerables de los espacios polacos llegando al resultado que la cardinalidad

dicha clasificación tiene relación directa con la cardinalidad del espacio, para esto se

generalizan los resultados dados en [1].

2

Capítulo 2

Teoría de Conjuntos

En el presente capítulo se revisan algunos conceptos básicos y propiedades da-

das en la Teoría de Conjuntos. Para este fin, se desarrolla la Teoría Axiomática de

Conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), la cual provee un lenguaje acor-

de para el fluido desarrollo de este trabajo. Se tomará a NBG desde el punto de vista

de una teoría de primer orden con igualdad (ver [18]). De especial importancia son

las secciones de Conjuntos Bien Ordenados y de Números Ordinales, que son uti-

lizados más adelante. Esta revisión enfatiza, además, los Teoremas de Recursión e

Inducción Transfinita. Las referencias principales para los resultados de este capítu-

lo son [11, 18, 22, 23].

2.1. Definiciones Básicas

Para empezar, se utiliza un lenguaje de primer orden, es decir, se emplean co-

mo símbolos del lenguaje los conectores lógicos habituales, los cuantificadores y las

letras del abecedario latino, estas últimas representarán a los objetos de esta teoría

que se denominan clases. Además, como únicos predicados, se tienen la relación de

igualdad y la de pertenencia, notadas por

A = B y x ∈ B,

respectivamente. Así, se define una fórmula bien formada de la siguiente manera:

i) Para todos las letras A, B y x, se tiene que A = B y x ∈ B son fórmulas bien

formadas.

ii) Si φ y ψ son fórmulas bien formadas, entonces

¬φ, φ ∧ ψ, φ ∨ ψ, φ ⇒ ψ, (∀x)φ y (∃x)φ

3

son fórmulas bien formadas, para cualquier letra x.

iii) Las únicas formulas bien formadas son las obtenidas de los casos anteriores1.

Con esto, se tiene el primer grupo de axiomas, el cual indicará que esta teoría es

una teoría con igualdad.

AXIOMA 1 (Axiomas de Igualdad).

i) Toda clase es igual a si misma, es decir (∀x)(x = x).

ii) Si φ(x, y) es una fórmula bien formada, entonces

x = y y φ(x, x) implica φ(x, y).

Al primero de estos axiomas se lo conoce como reflexividad de la igualdad y al

segundo como sustituibilidad de la igualdad, y sirven para justificar las nociones

básicas que se tiene acerca de la igualdad. Para un manejo más detallado de estos

axiomas ver [18, pag. 88].

El término conjunto designa a una clase que pertenece a otra clase, es decir, si

para una clase x notamos

cto(x) por (∃Z)(x ∈ Z).

la proposición cto(x) quiere decir que x es un conjunto. A una clase que no es un

conjunto se la llama una clase propia.

Dadas dos clases (resp. conjuntos) A y B, se dice que A es subclase (resp. sub-

conjunto) de B si x ∈ A implica x ∈ B, para todo x, se lo nota A ⊆ B, es decir, se

nota

A ⊆ B por (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B).

Con esto, se tiene el siguiente axioma de la teoría.

AXIOMA 2 (Axioma de Extensión). Sean A y B dos clases, se tiene que A = B si y

solo si A ⊆ B y B ⊆ A, es decir

A = B si y solo si (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).

Dada una fórmula bien formada φ, se dice que es un predicado bien formado si

los únicos cuantificadores en φ son de la forma

(∀x)(cto(x) =⇒ ψ(x)) o (∃x)(cto(x) ∧ ψ(x)),

1En esta definición se han omitido el uso de paréntesis, los cuales solamente se los colocará paraevitar ambigüedad, para una mejor explicación acerca de esto ver [18, pag. 10].

4

es decir, las únicas cuantificaciones de φ están dadas sobre conjuntos.

OBSERVACIÓN 2.1. De manera similar, dada una clase A y una fórmula bien forma-

da φ, se toman las formulas

(∀x ∈ A)φ(x) y (∃x ∈ A)φ(x)

como abreviaciones de la fórmulas

(∀x)(x ∈ A =⇒ φ(x)) y (∃x)(x ∈ A ∧ φ(x)),

respectivamente.

AXIOMA 3 (Axioma de formación de clases). Sea φ(x) un predicado bien formado

que depende de x. Existe una clase A que contiene únicamente a todos los conjuntos

x que cumplen φ(x). Se la representa como

x : φ(x).

Es decir, y ∈ x : φ(x) si y solo si y es conjunto y se cumple φ(y)2.

Gracias a este axioma, existen las siguientes clases:

i) Clase vacía: Dada por

∅ = x : x 6= x.

ii) Clase universal: Dada por

U = x : x = x.

iii) Complemento: Dada una clase A, el complemento de A es la clase

Ac = x : x 6∈ A.

iv) Unión: Dadas dos clase A y B, la unión de A y B es la clase

A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ B.

v) Intersección: Dadas dos clase A y B, la intersección de A y B es la clase

A ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ B.

vi) Diferencia: Dadas dos clase A y B, la diferencia de A y B es la clase

A r B = x : x ∈ A ∧ x 6∈ B = A ∩ Bc.2Para un tratamiento más riguroso de este axioma ver [18, cap. 4]

5

vii) Partes: Dada una clase A, la clase de partes de A es

P(A) = B : B ⊆ A.

viii) Unión generalizada: Dada una clase A, la unión generalizada de A es la clase⋃

A∈A

A = x : (∃A ∈ A)(x ∈ A).

ix) Intersección generalizada: Dada una clase A, la intersección generalizada de

A es la clase⋂

A∈A

A = x : (∀A ∈ A)(x ∈ A).

Propiedades sobre estas operaciones de clases pueden encontrarse en [22, cap. 1].

OBSERVACIÓN 2.2.

• Para toda clase x se cumple que x 6∈ ∅.

• Para todo conjunto x se cumple que x ∈ U .

• Dada una clase x, x 6∈ A no necesariamente implica que x ∈ Ac, salvo que x

sea un conjunto.

• Dada una clase A, no necesariamente se tiene que A ∈ P(A), salvo que A sea

un conjunto.

• Se tiene que⋃

A∈∅

A = ∅.

• Se tiene que⋂

A∈∅

A = U .

Para el manejo de estas operaciones en el ámbito de conjuntos se tienen los si-

guientes axiomas.

AXIOMA 4 (Axioma de Partes). Sea A un conjunto. Cualquier subclase de A es un

conjunto. Además, la clase P(A) es un conjunto.

AXIOMA 5 (Axioma de Unión). Sea A un conjunto. La clase⋃

A∈A

A es un conjunto.

Nótese que, si A 6= ∅, existe A0 ∈ A, por lo tanto⋂

A∈A A ⊆ A0, y por el

Axioma 4,⋂

A∈A A es un conjunto.

AXIOMA 6 (Axioma de Pares). Sea x y y conjuntos. La clase x, y = z : z = x∨ z =

y, llamada par desordenado de x y y, es un conjunto.

6

Dado un conjunto x, el unitario de x es la clase x = x, x, la cual es un

conjunto por el axioma anterior. Además, dados x y y conjuntos, se tiene que x y

x, y son conjuntos, por lo tanto

(x, y) = x, x, y

también lo es. A este último se lo llama el par ordenado de x y y. Las propiedades

sobre este conjunto pueden encontrarse en [22, cap. 1].

Por otro lado, sean A y B clases, el producto cartesiano de estas es la clase

A × B = (x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B,

por el párrafo anterior, se obtiene que si x ∈ A y y ∈ B, entonces (x, y) ∈ A × B.

OBSERVACIÓN 2.3. Si A y B son conjuntos, A = A, B, por el Axioma 6, también

es un conjunto, por lo tanto⋃

C∈A

C = A ∪ B y⋂

C∈A

C = A ∩ B

son conjuntos gracias al Axioma 5 y al Axioma 4, respectivamente. Además, se tiene

que

A × B ⊆ P(P(A ∪ B)),

por lo tanto, gracias al Axioma 4, A × B también es un conjunto.

2.2. Funciones

Dadas dos clases A y B, se dice que f ⊆ A × B es una función de A en B si

cumple las siguientes propiedades:

• Para todo x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f , es decir

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ).

• Si (x, y1) ∈ f y (x, y2) ∈ f , entonces y1 = y2, es decir

(∀x ∈ A)(∀y1, y2 ∈ B)(((x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ) =⇒ y1 = y2

).

Con esto, si f es una función de A en B, se la denota por f : A −→ B. Además, si

(x, y) ∈ f se usa la notación f (x) = y. Finalmente, se tiene que dos funciones f y g

de A en B son iguales si y solo si f (x) = g(x) para todo x ∈ A.

Dados f : A −→ B una función y C ⊆ A, se tiene que el conjunto

f |C = (x, y) ∈ f : x ∈ C

7

es una función de C en B, la cual es llamada la restricción de f a C.

OBSERVACIÓN 2.4. Por el Axioma 4 y la Observación 2.3, se tiene que si A y B son

conjuntos y f es una función de A en B, entonces f también es un conjunto.

Una función f : A −→ B se la llama inyectiva si f (x1) = f (x2) implica x1 = x2,

es decir

(∀x1, x2 ∈ A)( f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2).

Se la llama sobreyectiva si para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y, es decir

(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)( f (x) = y).

Si una función es a la vez inyectiva y sobreyectiva se la llama biyectiva. Con estas

definiciones, se tiene el siguiente axioma:

AXIOMA 7 (Axioma de Reemplazo). Sea A un conjunto y B una clase. Si existe

f : A −→ B una función sobreyectiva, entonces B también es un conjunto.

Ahora, dadas las funciones g : A −→ B y f : B −→ C, la clase

f g = (x, y) ∈ A × C : y = f (g(x))

también es una función, la cual es llamada la composición de f con g, y se tiene que

( f g)(x) = f (g(x)) para todo x ∈ A.

Además, si f : A −→ B es biyectiva la clase

f−1 = (y, x) ∈ B × A : f (x) = y

también es una función, la cual es llamada la inversa de f y se tiene que f−1( f (x)) =

x y f ( f−1(y)) = y, para todo x ∈ A y todo y ∈ B.

Si para una clase C se denota por IC a la función de C en C tal que IC(x) = x para

todo x ∈ C, se tiene que f f−1 = IB y f−1 f = IA.

Dados, una función f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B, se definen las clases

f−1(D) = x ∈ A : f (x) ∈ D

y

f (C) = y ∈ B : (∃x ∈ C)(y = f (x))

= f (x) ∈ B : x ∈ C.

A estas clases se las llama imagen inversa e imagen directa, respectivamente.

OBSERVACIÓN 2.5. Dados A es un conjunto, B una clase y f : A −→ B una función,

8

por el Axioma 7, se tiene que f (A) ⊆ B es un conjunto.

OBSERVACIÓN 2.6. Dada una clase I y una función f : I −→ U , si se define Ai = f (i)

para todo i ∈ I, se denota

Aii∈I = f (I) = f (i) ∈ U : i ∈ I = Ai : i ∈ I

y se la llama una familia indexada de conjuntos. Por el Axioma 7, se tiene que si I

es un conjunto, entonces Aii∈I también es un conjunto. Esta definición puede ser

ampliada a familia indexada de clases a través de la utilización de grafos (ver [22,

cap. 1]). Además, se nota⋃

i∈I

Ai =⋃

Ai∈ f (I)

Ai y⋂

i∈I

Ai =⋂

Ai∈ f (I)

Ai

Con esto, se tiene que si Aii∈I es una familia indexada de conjuntos e I es un

conjunto no vacío, entonces la unión e intersección generalizada de esta familia son

conjuntos.

Con todas estas definiciones, se tienen las siguientes propiedades:

PROPOSICIÓN 2.1. Sean f : A −→ B una función, Cii∈I una familia de subclases

de A y Dii∈I una familia de subclases de B, con I 6= ∅. Entonces

i) f−1 (⋃

i∈I Di) =⋃

i∈I f−1(Di);

ii) f−1 (⋂

i∈I Di) =⋂

i∈I f−1(Di);

iii) f (⋃

i∈I Ci) =⋃

i∈I f (Ci); y

iv) f (⋂

i∈I Ci) ⊆⋂

i∈I f (Ci).

Si f es inyectiva, entonces se tiene la igualdad para el último caso.

Por otro lado, dadas dos clases A y B, se define la clase

BA = f : f es función de A en B.

Además, dada Aii∈I una familia indexada de conjuntos, la clase

∏i∈I

Ai =

f : I −→

⋃

i∈I

Ai : f es función y f (i) ∈ Ai para todo i ∈ I

,

es llamada producto generalizado de Aii∈I. Se puede notar que

∏i∈I

Ai ⊆ I⋃

i∈I Ai .

9

OBSERVACIÓN 2.7. Utilizando la observación 2.3, para clases A y B se tiene que

BA ⊆ P(A × B) ⊆ P(P(P(A ∪ B))),

por lo tanto, gracias al Axioma 4, se tiene que si A y B son conjuntos, entonces BA

también es un conjunto. De igual manera, si I es un conjunto, entonces⋃

i∈I Ai es un

conjunto y se tiene que ∏i∈I Ai es un conjunto.

2.3. Relaciones de Equivalencia

Dada una clase A, una relación sobre A es una subclase cualquiera de A × A.

DEFINICIÓN 2.1. Sea G una relación sobre A, entonces

• G se dice reflexiva si para todo x ∈ A, (x, x) ∈ G;

• G se dice simétrica si (x, y) ∈ G implica (y, x) ∈ G;

• G se dice antisimétrica si (x, y) ∈ G y (y, x) ∈ G implican que x = y; y

• G se dice transitiva si (x, y) ∈ G y (y, z) ∈ G implican que (x, z) ∈ G.

Se dice que una relación es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva;

y se dice que es de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Dada una relación

de equivalencia G sobre una clase A, se escribe x ∼G y en lugar de (x, y) ∈ G y se lee

x es equivalente a y módulo G; cuando no hay ambigüedad, se escribe directamente

x ∼ y.

Dado x ∈ A, se define la clase de equivalencia de x a la clase

[x] = y ∈ A : y ∼ x.

Con esto, se tienen las siguientes proposiciones para relaciones de equivalencia so-

bre clases y conjuntos.

PROPOSICIÓN 2.2. Sea G una relación de equivalencia sobre una clase A. Entonces,

x ∼ y si y solo si [x] = [y].

PROPOSICIÓN 2.3. Sean A un conjunto y G una relación de equivalencia sobre A, el

conjunto

[x] ∈ P(A) : x ∈ A

es una partición de A, es decir,

A =⋃

x∈A

[x]

10

y

[x] ∩ [y] 6= ∅ implica [x] = [y].

Esta última proposición nos indica que una relación de equivalencia G sobre un

conjunto A genera una partición del conjunto A, es decir, “clasifica” los elementos

del conjunto A.

2.4. Relaciones de Orden

Sean W una clase y G una relación de orden sobre W. Para a, b ∈ W, si (a, b) ∈ G

se nota a ≤G b y se lee a es menor o igual que b bajo el orden G. Cuando no hay

ambigüedad, se escribe directamente a ≤ b y se dice que el orden es ≤. Además, si

a ≤ b y a 6= b, se nota a < b y se lee a es estríctamente menor que b.

DEFINICIÓN 2.2. Sean W una clase y ≤ un orden sobre W. Dados a y b elementos

de W, se dice que son comparables si se tiene que a ≤ b o b ≤ a. Se dice que ≤ es

un orden lineal sobre W si todo par de elementos de W es comparable.

DEFINICIÓN 2.3. Sean W una clase y ≤ un orden sobre W. A un elementos m ∈ W

se lo llama maximal si

(∀x ∈ W)(m ≤ x =⇒ m = x),

y a un elementos n ∈ W se lo llama minimal si

(∀x ∈ W)(x ≤ n =⇒ n = x).

DEFINICIÓN 2.4. Sean W una clase, V ⊆ W y ≤ un orden sobre W. Se dice que un

elemento b ∈ V es el máximo de V si

(∀x ∈ V)(x ≤ b),

se lo nota b = max V. Se dice que un elemento a ∈ V es el mínimo de V si

(∀x ∈ V)(b ≤ x),

se lo nota b = mın V.

DEFINICIÓN 2.5. Sean W una clase, V ⊆ W y ≤ un orden sobre W. Se dice que un

elemento b ∈ W es el supremo de V (se lo nota b = sup V) si

i) (∀x ∈ V)(x ≤ b); y

ii) (∀c ∈ W)((∀x ∈ V)(x ≤ c) =⇒ b ≤ c).

11

Se dice que un elemento a ∈ W es el ínfimo de V (se lo nota a = ınf V) si

i) (∀x ∈ V)(a ≤ x); y

ii) (∀c ∈ W)((∀x ∈ V)(c ≤ x) =⇒ c ≤ a).

DEFINICIÓN 2.6 (Clase Bien Ordenada). Sean W una clase y ≤ un orden sobre W. Se

dice que W es bien ordenada bajo el orden ≤ si toda subclase no vacía de W tiene

elemento mínimo.

Con esta última definición, se tiene que si W es una clase y está bien ordenada ba-

jo el orden ≤, entonces, para a, b ∈ W, se tiene que la subclase a, b tiene elemento

mínimo, por lo tanto a ≤ b o b ≤ a, es decir, ≤ es un orden lineal sobre W.

DEFINICIÓN 2.7. Sean W una clase y ≤ un orden sobre W. Dado w ∈ W, a la clase

W[w] = x ∈ W : x < w se la llama segmento inicial de W.

DEFINICIÓN 2.8. Sean W1 y W2 dos clases, ≤1 y ≤2 ordenes sobre W1 y W2 respecti-

vamente. Una función f : W1 −→ W2 se dice estríctamente creciente si

(∀x, y ∈ W1)(x <1 y =⇒ f (x) <2 f (y)).

Y se dice creciente si

(∀x, y ∈ W1)(x ≤1 y =⇒ f (x) ≤2 f (y)).

DEFINICIÓN 2.9. Sean W1 y W2 dos clases, ≤1 y ≤2 órdenes sobre W1 y W2, res-

pectivamente. Se dice que W1 y W2 son isomorfas en orden si existe una función

f : W1 −→ W2 biyectiva, creciente y cuya inversa también es creciente. Se dice que

la función f es un isomorfismo de orden entre W1 y W2.

Nótese que un isomorfismo de orden es una función creciente e inyectiva, por

lo tanto se tiene que es estríctamente creciente. Además, se puede comprobar que

el isomorfismo de orden establece una relación de equivalencia entre conjuntos par-

cialmente ordenados. Con estas definiciones se tiene el siguiente teorema funda-

mental sobre clase bien ordenadas.

TEOREMA 2.4 (Tricotomía de Clases Bien Ordenadas). Sean W1 y W2 dos clases no

vacías, bien ordenadas, con los órdenes ≤1 y ≤2, respectivamente. Entonces, exacta-

mente uno de los siguientes casos se verifica:

i) W1 y W2 son isomorfas en orden.

ii) W1 es isomorfa en orden a un segmento inicial de W2.

12

iii) W2 es isomorfa en orden a un segmento inicial de W1.

2.5. Números Naturales

A continuación, se presenta la construcción de los números naturales dentro de

la Teoría de Conjuntos, para esto, se procede con las siguientes definiciones. Para un

conjunto A, se define el sucesor de A por el conjunto

A+ = A ∪ A.

Este es un conjunto, pues, por el Axioma 4, al ser A ⊆ P(A), A es un conjunto,

y por el Axioma 5, A ∪ A también lo es. Con esto, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN 2.10 (Conjunto Sucesor). Un conjunto A se lo llama conjunto sucesor

si cumple las siguientes propiedades:

• ∅ ∈ A; y

• si x ∈ A entonces x+ ∈ A.

Con esto se tiene el siguiente axioma.

AXIOMA 8 (Axioma de Infinitud). Existe un conjunto sucesor.

De aquí, y gracias al Axioma 3, existe la clase

S = S : S es un conjunto sucesor

y esta es no vacía. Además, se puede notar que la intersección de conjuntos suceso-

res, también es un conjunto sucesor, por lo tanto, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN 2.11 (Números Naturales). El conjunto de número naturales es la in-

tersección de todos los conjuntos sucesores y se lo notará por ω, es decir

ω =⋂

S∈S

S.

Además, a cada elemento de ω se lo llama número natural.

Se tiene que ω es un conjunto sucesor, además, puede ser visto como el conjunto

sucesor “más pequeño”. Por notación, se utiliza

0 = ∅,

1 = 0+ = ∅ = 0,

2 = 1+ = ∅, ∅ = 0, 1,

13

3 = 2+ = ∅, ∅, ∅, ∅ = 0, 1, 2,

y así sucesivamente, es decir, si n ∈ ω, se tiene que

n+ = 0, 1, . . . , n.

Con esta definición se tienen dos de los principales teoremas de los números natu-

rales, el Teorema de Inducción Finita y el Teorema de Recursión Finita.

TEOREMA 2.5 (Inducción Finita, primera versión). Sea A un subconjunto de ω. Su-

póngase que A cumple las propiedades:

i) 0 ∈ A; y

ii) si n ∈ A, entonces n+ ∈ A.

Luego, A = ω.

TEOREMA 2.6 (Recursión Finita, primera versión). Sean E un conjunto, c un elemen-

to fijo del conjunto E y f una función de E en E. Entonces existe una única función

γ : ω −→ E tal que

i) γ(0) = c; y

ii) γ(n+) = f (γ(n)) para todo n ∈ ω.

Con estos teoremas se pueden definir todas las operaciones usuales de los nú-

meros naturales y sus respectivas propiedades. Estas pueden encontrarse en [22,

Cap. 6].

OBSERVACIÓN 2.8. El Teorema de Inducción Finita dice que, para demostrar que

una proposición es verdadera para todo número natural, basta demostrar que es

verdadera para 0 y demostrar que si es verdadera para n, entonces también es ver-

dadera para n+.

Por otro lado, el Teorema de Recursión Finita dice que, para dar una definición que

dependa de los números naturales, basta dar la definición para 0 y para n+ en fun-

ción de n.

OBSERVACIÓN 2.9. Sean n ∈ ω, y Akk∈n+ , por notación, se define⋃

k∈n+

Ak = A0 ∪ A1 ∪ · · · ∪ An =⋃

k≤n

Ak

⋂

k∈n+

Ak = A0 ∩ A1 ∩ · · · ∩ An =⋂

k≤n

Ak

14

∏k∈n+

Ak = A0 × A1 × · · · × An = ∏k≤n

Ak,

además, a un elemento de f ∈ ∏k≤n Ak se lo denota por f = ( f (0), f (1), . . . , f (n))

y se lo llama una n-tuple ordenada.

2.6. Axioma de Elección

En lo largo de este trabajo, se aceptará como verdadero el Axioma de Elección,

por ende, todas sus implicaciones son aceptadas, una las cuales será detallada en

esta sección.

AXIOMA 9 (Axioma de Elección). Sea Aii∈I una conjunto de conjuntos. Si I es no

vacío y para cada i ∈ I, Ai y no vacío, entonces

∏i∈I

Ai 6= ∅.

Este axioma, de forma más compacta, indica que el producto generalizado de con-

juntos no vacíos es no vacío. Es decir, para Aii∈I un conjunto de conjuntos como en

el Axioma 9, existe una función f : I −→⋃

i∈I

Ai tal que f (i) ∈ Ai para todo i ∈ I.

El siguiente teorema es equivalente al Axioma de Elección (ver [22, cap. 5]) e

indica que, dado cualquier conjunto, existe una relación de orden sobre este que

hace que el conjunto esté bien ordenado. Así, se puede observar que el Teorema de

Tricotomía de Clases Bien Ordenadas se puede aplicar a cualquier par de conjunto.

TEOREMA 2.7 (Teorema del Buen Orden). Todo conjunto pude ser bien ordenado.

Finalmente, se tiene la siguiente proposición que se desprende del Axioma de

Elección, pero no es equivalente al mismo (ver [9]).

TEOREMA 2.8 (Principio de Elección Dependiente). Sean A un conjunto no vacío

y R una relación sobre A que cumple que para todo x ∈ A existe y ∈ A tal que

(x, y) ∈ R. Se tiene que existe una función f : ω −→ A tal que ( f (n), f (n+)) ∈ R

para todo n ∈ ω.

2.7. Cardinalidad

DEFINICIÓN 2.12. Sean A y B dos conjuntos, se dice que tienen igual cardinalidad

si existe una función biyectiva de A sobre B; se denota por |A| = |B|. Además, se

15

dice que la cardinalidad de A es menor o igual que la de B si existe una función

inyectiva de A en B; se nota |A| ≤ |B|.

Con esta definición, para A, B y C conjuntos, se tiene que

• |A| = |A|;

• |A| = |B| implica |B| = |A|;

• |A| = |B| y |B| = |C| implican |A| = |C|;

• A ⊆ B implica |A| ≤ |B|; y

• |A| ≤ |B| y |B| ≤ |C| implican |A| ≤ |C|.

Además, se siguen los siguientes resultados.

PROPOSICIÓN 2.9. Sean A y B conjuntos. |A| ≤ |B| si y solo si existe una función

sobreyectiva de B sobre A.

TEOREMA 2.10 (Cantor-Bernstein). Sean A y B conjuntos. Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|,

entonces |A| = |B|.

PROPOSICIÓN 2.11. |ω × ω| = |ω|.

DEFINICIÓN 2.13 (Conjuntos finitos, infinitos y numerables). Sea A un conjunto. Se

dice que A es finito si existe n ∈ ω tal que |A| = |n|, en tal caso se notará |A| = n.

Se dice que A es infinito si no es finito. Y se dice que A es numerable3 si |A| = |ω|.

Se puede extender la Proposición 2.11 a cualquier conjunto infinito, como se in-

dica a continuación.

PROPOSICIÓN 2.12. Sean A un conjuntos infinito. Se tiene que |A × A| = |A|.

Demostración. La demostración puede ser encontrada en [22, Cap. 8], esta usa el

Axioma de Elección.

Además, se tiene la siguiente propiedad de conjuntos numerables que será de

utilidad.

PROPOSICIÓN 2.13. Sea Ann∈ω una familia numerable de conjuntos numerables.

Entonces,

A =⋃

n∈ω

An

3Al final de este capítulo, esta definición será ampliada.

16

es numerable, es decir, la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

2.8. Números Ordinales

En la Sección 2.5 se presentaron los Números Naturales y los Teoremas de Induc-

ción y Recursión Finita. A partir de propiedades específicas de los Número Natura-

les se puede ampliar su concepto obteniendo así los Números Ordinales, teniendo

estos la idea intuitiva de números “más grandes”, a los cuales se los suele llamar nú-

meros transfinitos. Para esto, primero se observan algunas propiedades adicionales

de los Números Naturales.

DEFINICIÓN 2.14. Un conjunto A es llamado transitivo si x ∈ A implica x ⊆ A.

PROPOSICIÓN 2.14. Todo número natural es transitivo.

PROPOSICIÓN 2.15. ω es transitivo.

Demostración. Procediendo por Inducción Finita, se define

L = n ∈ ω : n ⊆ ω.

Se tiene que 0 ∈ L pues 0 = ∅ ⊆ ω. Ahora, supóngase que n ∈ L, se tiene que

n ⊆ ω, por lo tanto, n+ = n ∪ n ⊆ ω. Es decir, n ∈ ω implica n ⊆ ω, luego, ω es

transitivo.

PROPOSICIÓN 2.16. La relación ≤ definida por

(n, m) ∈ ω × ω : n ∈ m o n = m

es una relación de orden sobre ω. Además, se tiene que

i) para n ∈ ω, n ≤ n+;

ii) para todo m ∈ ω, 0 ≤ m; y

iii) para n, m ∈ ω, n < m implica n+ ≤ m.

Con esto, se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA 2.17 (Principio del Buen Orden). El conjunto ω está bien ordenado bajo

el orden ≤.

Con esto se tiene que ω está bien ordenado bajo el orden ≤, además, por la Pro-

posición 2.15, es transitivo. Más aún, de aquí se concluye que cada n ∈ ω está bien

17

ordenado bajo el orden ≤ restringido a n. En efecto, tomando el orden ≤n definido

por

(m, m′) ∈ n × n : m ≤ m′,

y A ⊆ n no vacío, por la Proposición 2.15, se tiene que A ⊆ n ⊆ ω, por lo tanto,

dado que ω es bien ordenado, A tiene elemento mínimo en el orden ≤. Al ser ≤n

la restricción de ≤ a n, A tiene elemento mínimo en el orden ≤n. Finalmente, n es

transitivo gracias a la Proposición 2.14.

Esto motiva la definición de Números Ordinales, que extienden a los Números

Naturales, como los conjuntos bien ordenados y transitivos.

DEFINICIÓN 2.15. Un conjunto α se dice que es un número ordinal si

• α es transitivo; y

• α está bien ordenado por la relación (β, γ) ∈ α × α : β ∈ γ o β = γ, la cual

es denotada por ≤.

A la clase de todos los números ordinales se la denota por OR.

Esta definición indica que todo número natural es un número ordinal, además,

ω es un número ordinal. Ahora, para α un número ordinal, se define

α + 1 = α+ = α ∪ α.

Con esto, y el siguiente resultado, se puede construir más números ordinales.

PROPOSICIÓN 2.18. Sea α un número ordinal, entonces α + 1 es un número ordinal

Demostración. Sea β ∈ α + 1 = α ∪ α, si β = α, se tiene que β ⊆ α + 1. Por otro

lado, si β ∈ α, dado que α es un número ordinal, se tiene que β ⊆ α, por lo tanto,

β ⊆ α + 1. De esto, se obtiene que α + 1 es un conjunto transitivo.

Además, sea A ⊆ α + 1 un conjunto no vacío, se tienen dos casos, si A ∩ α 6= ∅,

entonces, gracias a que α es un número ordinal, se tiene que A ∩ α tiene elemento

mínimo β, dado que β ∈ α, se tiene que β es menor o igual a todo elemento de A.

Por otro lado, si A ∩ α = ∅, se tendría que A = α, por lo tanto, A tiene elemento

mínimo. Así, se tiene que α + 1 es un conjunto bien ordenado. Con esto se concluye

que α + 1 es un número ordinal.

Por otro lado, se define la relación de orden entre números ordinales, que extien-

de la relación de orden en lo naturales, es decir para dos números ordinales α y β se

18

dice que

α < β si y solo si α ∈ β.

Esta relación define un orden en OR. Con esto, directamente de la definición, se

tiene que, para todo par de números ordinales α y β se tiene que

• α < α + 1; y

• si β < α + 1, entonces β ≤ α.

Además, se tiene la siguiente propiedad importante de los números ordinales: para

todo número ordinal α, se tiene que

α = ρ ∈ OR : ρ < α.

Esta última propiedad se tiene gracias a la siguiente proposición.

PROPOSICIÓN 2.19. Sea α un número ordinal, todo elemento de α es también un

número ordinal.

Demostración. Sea ρ ∈ α, primero se va a demostrar que ρ es transitivo. Sean β ∈ ρ y

γ ∈ β. Al ser α transitivo, se tiene que ρ ⊆ α, por lo tanto β ∈ α, es más β ⊆ α, luego

γ ∈ α. Con esto se tiene que γ < β y β < ρ, con la relación de orden en α. Por lo

tanto, γ < ρ, es decir γ ∈ ρ. Por ende β ∈ ρ implica β ⊆ ρ, es decir, ρ es transitivo.

Además, dado que ρ ⊆ α y α está bien ordenado, se tiene que ρ está bien orde-

nado. Por lo tanto, ρ es un número ordinal.

Por otro lado, gracias a esta última proposición, se tiene que, dado un conjunto

αi : i ∈ I de números ordinales, se tiene que⋃

i∈I αi es un número ordinal, pues,

por la Proposición 2.19,⋃

i∈I αi es un subconjunto de los Números Ordinales, y por la

Proposición 2.20, está bien ordenado. Finalmente, se tiene directamente que⋃

i∈I αi

es transitivo, por lo tanto, es un número ordinal. Además, se tiene que⋃

i∈I

αi = supαi : i ∈ I.

PROPOSICIÓN 2.20. Todo conjunto no vacío de números ordinales tiene elemento

mínimo. De donde, todo conjunto de ordinales está bien ordenado bajo ≤.

Demostración. Sea A un subconjunto no vacío de los números ordinales. Tómese

α ∈ A. Se tienen los siguientes casos:

i) Si α ∩ A = ∅, se tiene que α es el elemento mínimo de A, pues de existir β ∈ A

tal que β < α, se tendría que β ∈ α, por lo tanto, α ∩ A 6= ∅.

19

ii) Si α ∩ A 6= ∅, al estar α bien ordenado, se tiene que α ∩ A tiene elemento

mínimo, sea este β. De aquí, se tiene que β es el elemento mínimo de A, pues

de existir γ ∈ A tal que γ < β ∈ α, se tendría que γ ∈ α ∩ A, lo cual no puede

darse pues β es el elemento mínimo de α ∩ A.

En ambos casos, se tiene que A posee un elemento mínimo.

De aquí, se deriva que, dados α y β números ordinales, una y solo una de las

siguientes se cumple:

α < β o α = β o β < α.

Además, para todo par de números ordinales α y β se tiene que si β < α, entonces

β + 1 ≤ α.

DEFINICIÓN 2.16. Sea α un número ordinal, se dice que α es un ordinal sucesor si

existe un número ordinal β tal que α = β + 1. Caso contrario, se dice que α es un

ordinal límite.

Con esto se tiene que ω es un ordinal límite. Pues de no ser así, sea α un número

ordinal tal que α + 1 = ω, se tiene que α ∪ α = ω, por lo tanto, α ∈ ω, de donde

α + 1 ∈ ω, por lo tanto α + 1 < ω, lo cual es una contradicción.

PROPOSICIÓN 2.21. Sea α 6= 0 un número ordinal límite, si β < α, entonces β + 1 <

α.

Demostración. Dado que β < α, entonces β + 1 ≤ α. Si β + 1 = α, se tendría que α es

un ordinal sucesor, lo cual es contradictorio, por lo tanto, se concluye que β + 1 <

α.

OBSERVACIÓN 2.10. Dada una familia de conjuntos Aii∈I , si I ⊆ OR y se desea

enfatizar la relación de orden que tiene I, se notará a la familia por (Ai)i∈I . En el

caso especial de que I = ω, se la llamará una sucesión, esto se abordará con más

detalle en el siguiente capítulo.

TEOREMA 2.22. Sea α 6= 0 un número ordinal límite numerable, entonces existe una

sucesión estrictamente creciente (αn)n∈ω tal que supαn : n ∈ ω = α.

Demostración. Puesto que α = β ∈ OR : β < α es numerable, se toma α = βn :

n ∈ ω. Ahora, se define mediante Recursión Finita la sucesión (αn)n∈ω. Tómese,

para n ∈ ω,

α0 = β0 + 1,

20

αn+1 = maxαn, βn+1+ 1.

Se tiene que αn < α, para todo n ∈ ω, pues α es un ordinal límite, además, se obtiene

que

αn < αn+1 y βn+1 < αn+1.

Con esto, se tiene que

α = supβn : n ∈ ω ≤ supαn : n ∈ ω ≤ α.

Por lo tanto, supαn : n ∈ ω = α.

Al conjunto de todos los números ordinales finito o numerables se lo nota por

ω1, es decir

ω1 = α ∈ OR : α es finito o numerable.

Se tiene que ω1 es un número ordinal. En efecto, por la Proposición 2.20, se tiene que

ω1 es bien ordenado, además, es transitivo pues dado α ∈ ω1, se tiene que α es un

ordinal finito y numerable, por lo tanto, si β ∈ α, dado que α es transitivo, se tiene

que β ⊆ α, es decir, β es un ordinal finito o numerable, por lo tanto β ∈ ω1, así, se

tiene que α ⊆ ω1.

TEOREMA 2.23. El número ordinal ω1 es un conjunto no numerable.

Demostración. Supóngase que ω1 es numerable, tómese ω1 = αn : n ∈ ω, entonces

α =⋃

n∈ω

αn + 1 = sup ω1 + 1

es un ordinal numerable tal que αn < α para todo α ∈ ω1, lo cual es imposible, por

lo tanto, ω1 es no numerable.

Ahora, dado que los números ordinales poseen características similares a los

números naturales, se tienen los Teoremas de Inducción Transfinita y Recursión

Transfinita, los cuales son una extensión de los Teoremas de Inducción y Recursión

Finita, respectivamente. Las demostraciones de estos pueden ser encontradas en [11,

Cap. 5].

TEOREMA 2.24 (Inducción Transfinita, primera versión). Sea A una subclase de OR.

Si A cumple las siguientes propiedades:

i) 0 ∈ A; y

ii) si β ∈ A para todo β < α, entonces α ∈ A.

Entonces A = OR.

21

TEOREMA 2.25 (Inducción Transfinita, segunda versión). Sea A una subclase de OR.

Si A cumple las siguientes propiedades:

i) 0 ∈ A;

ii) si α ∈ A, entonces α + 1 ∈ A; y

iii) para cualquier ordinal límite λ 6= 0, si β ∈ A para todo β < λ, entonces λ ∈ A.

Entonces A = OR.

TEOREMA 2.26 (Recursión Transfinita). Sean E una clase, c un elemento fijo de la

clase E, F1 : E −→ E una función, F la clase de todas las funciones que van de un

número ordinal a E, es decir

F = f : α −→ E : α ∈ OR =⋃

α∈OR

Eα,

y F2 : F −→ E otra función. Entonces existe una única función G : OR −→ E tal

que:

i) G(0) = c;

ii) G(α + 1) = F1(G(α)), para todo ordinal α; y

iii) G(λ) = F2(G|λ), para todo ordinal límite λ 6= 0.

OBSERVACIÓN 2.11. El Teorema de Inducción Transfinita dice que, para demostrar

que una proposición es verdadera para todo número ordinal, basta demostrar que

i) es verdadera para 0; y

ii) si es verdadera para todo β menor que α, entonces también es verdadera para

α.

O, demostrar que

i) es verdadera para 0;

ii) si es verdadera para todo α, lo es también para α + 1; y

iii) si es verdadera para todo β menor que un ordinal límite λ 6= 0, entonces tam-

bién es verdadera para λ.

Por otro lado, el Teorema de Recursión Transfinita dice que, para dar una definición

que dependa de los números ordinales, basta dar la definición

22

i) para 0;

ii) para α + 1 en función de α; y

iii) para los ordinal límite λ 6= 0 en función de números menores que λ.

Finalmente, con estos últimos resultados, se pueden dar nuevas versiones para

los teoremas de Inducción Finita y Recursión Finita.

TEOREMA 2.27 (Inducción Finita, segunda versión). Sea E un subconjunto de ω.

Supóngase que E cumple las propiedades:

i) 0 ∈ E; y

ii) si m ∈ E para todo m < n, entonces n ∈ E.

Entonces E = ω.

TEOREMA 2.28 (Recursión Finita, segunda versión). Sean E un conjunto, c un ele-

mento fijo del conjunto E, F la clase de todas las funciones que van de un número

natural en E, es decir

F = f : n −→ E : n ∈ ω =⋃

n∈ω

En,

y F : F −→ E una función. Entonces existe una única función γ : ω −→ E tal que:

i) γ(0) = c; y

ii) γ(n) = F(γ|n) para todo n ∈ ω.

OBSERVACIÓN 2.12. Esta versión del Teorema de Inducción Finita dice que, para

demostrar que una proposición es verdadera para todo número natural, basta de-

mostrar que es verdadera para 0 y demostrar que si es verdadera para todo número

menor que n, entonces también es verdadera para n + 1.

Por otro lado, esta versión del Teorema de Recursión Finita dice que, para dar una

definición que dependa de los números naturales, basta dar la definición para 0 y

para n en función de todos los valores menores que n.

2.8.1. Aritmética Ordinal

Con el Teorema de Recursión Transfinita, se pueden definir operaciones de adi-

ción, multiplicación y exponenciación en los Números Ordinales.

DEFINICIÓN 2.17 (Adición de Números Ordinales). Se define, para todo ordinal β,

23

• β + 0 = β;

• β + (α + 1) = (β + α) + 1, para todo ordinal α; y

• β + α = supβ + γ : γ < α, para todo ordinal límite α 6= 0.

DEFINICIÓN 2.18 (Multiplicación de Números Ordinales). Se define, para todo or-

dinal β,

• β · 0 = 0;

• β · (α + 1) = β · α + β, para todo ordinal α; y

• β · α = supβ · γ : γ < α, para todo ordinal límite α 6= 0.

DEFINICIÓN 2.19 (Exponenciación de Números Ordinales). Se define, para todo or-

dinal β,

• β0 = 1;

• βα+1 = βα · β, para todo ordinal α; y

• βα = supβγ : γ < α, para todo ordinal límite α 6= 0.

Directamente de las definiciones se obtiene que si β = supβν : ν < γ, entonces

α + β = supα + βν : ν < γ;

α · β = supα · βν : ν < γ;

αβ = supαβν : ν < γ.

Por otro lado, para todo número ordinal α, se cumple que

i) 0 + α = α;

ii) α · 1 = α;

iii) 1 · α = α;

iv) 0 · α = 0;

v) α1 = α; y

vi) 1α = 1.

Además, se tienen las siguientes propiedades.

PROPOSICIÓN 2.29. Sean α, β y γ números ordinales, se tiene que

i) (α + β) + γ = α + (β + γ);

ii) α · (β + γ) = α · β + α · γ;

iii) (α · β) · γ = α · (β · γ);

iv) αβ+γ = αβ · αγ; y

v) (αβ)γ = αβ·γ.

24

Demostración. Las ideas para las demostraciones de estas propiedades pueden ser

encontradas en [11, Cap. 5] y [10, Cap. 1]. Todas estas utilizan el Teorema de Induc-

ción Transfinita, para la apreciación del método, a continuación se dará la demos-

tración detallada de ii).

Sean α y β números ordinales. Se tiene que

α · (β + 0) = α · β = α · (β + 0).

Ahora, supóngase que para γ un número ordinal se cumple que

α · (β + γ) = α · β + α · γ.

Se tiene que

α · (β + (γ + 1)) = α · ((β + γ) + 1)

= α · (β + γ) + α

= (α · β + α · γ) + α

= α · β + (α · γ + α)

= α · β + (α · (γ + 1)).

Finalmente, sea λ 6= 0 un número ordinal límite, supóngase que

α · (β + γ) = α · β + α · γ,

para todo γ < λ, se tiene que

α · (β + λ) = α · supβ + γ : γ < λ

= supα · (β + γ) : γ < λ

= supα · β + α · γ : γ < λ

= α · β + supα · γ : γ < λ

= α · β + α · λ.

Así, gracias al Teorema de Inducción Transfinita, se tiene que el resultado es verda-

dero para todo γ ∈ OR.

Por otro lado, se tiene las siguientes propiedades que relacionan las operaciones

de números ordinales con su relación de orden.


i) si α < β, entonces γ + α < γ + β;

ii) si γ + α < γ + β, entonces α < β;

25

iii) si α < β, entonces α + γ ≤ β + γ;

iv) si γ 6= 0 y α < β, entonces γ · α < γ · β;

v) si γ 6= 0 y γ · α < γ · β, entonces α < β;

vi) si α < β, entonces α · γ ≤ β · γ;

vii) si α < β, entonces αγ ≤ βγ; y

viii) si α > 1 y β < γ, entonces αβ< αγ.

Demostración. De igual manera a la proposición anterior, las ideas para estas de-

mostraciones pueden ser encontradas en [11, Cap. 5] y [10, Cap. 1]. Igualmente, en

la mayoría de ellas se utiliza el Teorema de Inducción Transfinita. A continuación,

como ejemplo de estas demostraciones, se dará la demostración detallada de i) y ii).

i) Sean α, γ números ordinales, utilizando Inducción Transfinita sobre β, se de-

mostrará que la proposición

(α < β) =⇒ (γ + α < γ + β),

es verdadera para todo β ∈ OR. Trivialmente se tiene que le proposición

(α < 0) =⇒ (γ + α < γ + 0),

es verdadera, ahora supóngase que para un número ordinal β, se cumple que

(α < β) =⇒ (γ + α < γ + β),

y supóngase que α < β + 1, se tiene que α ≤ β, por lo tanto,

γ + α ≤ γ + β < (γ + β) + 1 = γ + (β + 1).


(α < β) =⇒ (γ + α < γ + β),

para todo β < λ y supóngase que α < λ, dado que λ es un ordinal límite, se

tiene que α + 1 < λ. Además, α < α + 1, por lo tanto,

γ + α < (γ + α) + 1 = γ + (α + 1) ≤ supγ + ρ : ρ < λ = γ + λ.

Así, se tiene que la proposición es verdadera para todos los números ordinales.

ii) Sea α, β y γ números ordinales tales que γ + α < γ + β, se tiene que una y solo

una de las siguientes se cumple:

α < β o α = β o β < α.

26

Así, si α = β se concluye que γ + α = γ + β, lo cual es contradictorio, por lo

tanto, este caso no se da. Si β < α, por el literal anterior, se tiene que γ + β <

γ + α, lo cual es contradictorio, por lo tanto, este caso no tampoco se da. Por lo

tanto, se tiene que α < β.

PROPOSICIÓN 2.31. Sea α un número ordinal, se tiene que

α ≤ ωα.

Demostración. Utilizando Inducción Transfinita sobre α, se tiene que

0 ≤ 1 = ω0.

Ahora, supóngase que para un número ordinal α, se tiene que

α ≤ ωα,

por lo tanto,

α + 1 ≤ ωα + 1 ≤ ωα + ωα = ωα · 2 ≤ ωα · ω = ωα+1.


β ≤ ωβ,

para todo β < λ. Así, se tiene que

supβ : β < λ ≤ supωβ : β < λ,

es decir,

λ ≤ ωλ,

quedando así demostrado el resultado.

Finalmente, se tiene la siguiente propiedad cancelativa.


γ + α = γ + β implica α = β.

Demostración. Sea α, β y γ números ordinales tales que γ + α = γ + β, se tiene que

una y solo una de las siguientes se cumple:

α < β o α = β o β < α.

Así, si α < β por el literal i) de la proposición anterior, se concluye que γ+ α < γ+ β,

lo cual es contradictorio, por lo tanto, este caso no se da. De igual manera, se tiene

que el caso β < α no se da. Por lo tanto, se tiene que α = β.

27

2.9. El Alef

En esta sección, se retoma algunas propiedades de la cardinalidad de conjuntos,

se estudia precisamente algunas propiedades de los conjuntos infinitos.

PROPOSICIÓN 2.33. Un conjunto A es infinito si y solo si A tiene un subconjunto

numerable.

De aquí, se concluye directamente el siguiente resultado.

PROPOSICIÓN 2.34. ω es un conjunto infinito.

De estas dos últimas proposiciones se tiene que si A es un conjunto infinito, en-

tonces |ω| ≤ |A|, por lo tanto, se tiene que ω es el conjunto infinito “más pequeño”.

Esto se lo nota por |ω| = ℵ0. El Teorema 2.23 dice que ω1 es no numerable, por lo

tanto, ya que es infinito, se tiene que ℵ0 < |ω1|, es más:

TEOREMA 2.35. No existe un conjunto A tal que ℵ0 < |A| < |ω1|.

Demostración. Supóngase que tal conjunto A existe, por el Teorema del Buen Orden,

existe una relación bajo la cual A está bien ordenado. Por el Teorema 2.4, para A y

ω1, se tiene que uno de los siguientes casos debe cumplirse:

i) A es isomorfo en orden a ω1. De aquí, se tiene que existe una función biyectiva

y creciente entre A y ω1, por lo tanto |A| = |ω1| lo cual no puede darse.

ii) ω1 es isomorfo en orden a un segmento inicial de A, sea este I. De aquí, se

tiene que existe una función biyectiva y creciente entre I y ω1. Por lo tanto,

|ω1| = |I| ≤ |A|, lo cual tampoco puede darse.

iii) A es isomorfo en orden a un segmento inicial de ω1. De aquí, se tiene que

existe una función biyectiva y creciente entre A y ω1[α], para algún α ∈ ω1,

por lo tanto |A| = |ω1[α]|. Por otro lado, puesto que α = ρ ∈ OR : ρ < α,

se tiene que ω1[α] ⊆ α. Además, si ρ ∈ α, se tiene que ρ ⊆ α, y dado que α

es numerable, se tiene que ρ también lo es. Por lo tanto ω1[α] = α. De donde,

|A| = |α| = ℵ0, lo cual no puede darse.

Ya que al menos uno de estos casos debe cumplirse, se concluye que no existe un

conjunto A tal que ℵ0 < |A| < |ω1|.

Este último resultado dice que ω1 es el conjunto infinito “inmediato más gran-

de” que ω, esto se lo nota por |ω1| = ℵ1. Por otra parte, existe otro conjunto cuya

cardinalidad es mayor a ℵ0, esto se sigue del siguiente teorema.

28

TEOREMA 2.36 (Teorema de Cantor). Sea A un conjunto, se tiene que |A| < |P(A)|.

Este teorema señala que ℵ0 < |P(ω)|, esta última tiene especial importancia en la

Matemática y es conocida como la cardinalidad del continuo. Se lo nota |P(ω)| = c.

Con esto se tiene que ℵ0 < ℵ1 ≤ c.

OBSERVACIÓN 2.13. De aquí, en el resto del trabajo, se ampliará la definición de

conjunto numerable y se dirá que un conjunto A es numerable si |A| ≤ ℵ0, es decir,

si es finito, o tiene igual cardinalidad que ω.

29

Capítulo 3

Conceptos de Topología

En el presente capítulo se revisan algunos conceptos básicos de la Topología Ge-

neral, que serán utilizados posteriormente. Esta revisión enfatiza las propiedades de

los conjuntos compactos y de la topología de orden. La referencias principales para

este capítulo son [8, 12, 20], en los cuales constan las proposiciones enunciadas a

continuación, Además, las demostraciones detalladas de varios de estos enunciados

pueden ser encontradas en [19]; aquí, únicamente se presentarán las demostraciones

relacionadas con números ordinales o topologías de orden.

3.1. Espacios Topológicos

Sea E un conjunto, τ ⊆ P(E) es una topología sobre E si se cumplen las siguien-

tes propiedades:

i) E ∈ τ y ∅ ∈ τ;

ii) si A, B ∈ τ, entonces A ∩ B ∈ τ; y

iii) sea Aii∈I una familia de elementos de τ, entonces,⋃

i∈I Ai ∈ τ.

Al par (E, τ) se lo denomina espacio topológico. A los elementos de τ se los

denomina abiertos de E. Un subconjunto F de E se dice cerrado, si su complemento

en E, E r F = Fc, es abierto, con esto se tiene que

i) E y ∅ son cerrados;

ii) si A, B son cerrados, entonces A ∪ B = (Ac ∩ Bc)c es cerrado; y

iii) sea Aii∈I una familia de cerrados, entonces,⋂

i∈I Ai = (⋃

i∈I Aci )

c es cerrado.

30

Dado un espacio topológico (E, τ), y un subconjunto F ⊆ E, se tiene que τF =

A ∩ F : A ∈ τ es una topología sobre F, por lo tanto, se denomina a (F, τF) como

un sub-espacio topológico de (E, τ).

DEFINICIÓN 3.1 (Clausura). Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. La clausura

de A, notada A, es el cerrado más pequeño que contiene a A.

Con esto, se tiene que un subconjunto A de un espacio topológico es cerrado si y

solo si A = A.

DEFINICIÓN 3.2 (Interior). Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. El interior

de A, notada int (A), es el abierto más grande que está contenido en A.

Con esto, se tiene que un subconjunto A de un espacio topológico es abierto si y solo

si int (A) = A.

PROPOSICIÓN 3.1. Sean (E, τ) un espacio topológico y A, B subconjuntos de E. Se

tiene que

i) si A ⊆ B entonces A ⊆ B; y

ii) si A ⊆ B entonces int (A) ⊆ int (B).

PROPOSICIÓN 3.2. Sean (E, τ) un espacio topológico y Aii∈I una familia de sub-

conjuntos de E. Se tiene que

i)⋃

i∈I Ai ⊆⋃

i∈I Ai;

ii)⋂

i∈I Ai ⊆⋂

i∈I Ai;

iii)⋃

i∈I int (Ai) ⊆ int (⋃

i∈I Ai); y

iv) int (⋂

i∈I Ai) ⊆⋂

i∈I int (Ai).

Además, si I es finito, entonces

⋃

i∈I

Ai =⋃

i∈I

Ai y⋂

i∈I

int (Ai) = int

(⋃

i∈I

Ai

).

DEFINICIÓN 3.3. Sean (E, τ) un espacio topológico, x ∈ E y V ⊆ E. Se dice que V

es una vecindad de x si existe un abierto A de E tal que x ∈ A ⊆ V. Sin pérdida de

generalidad, en la continuación de este trabajo se consideran todas las vecindades

abiertas.

DEFINICIÓN 3.4. Sea (E, τ) un espacio topológico y B ⊆ τ. Se dice que B es una

31

base de topología para τ si todo elemento de τ se puede expresar como unión de

elementos de B. A los elementos de B se los llama abiertos básicos.

Se llamará a un conjunto una vecindad básica de un punto, si es vecindad del

punto y es elemento de la base de topología del espacio. En adelante, la mayoría de

resultados expuestos sobre abiertos y vecindades se los puede extender a abiertos

básicos y vecindades básicas, respectivamente, en tales caso, se indicará notando

abiertos básicos o vecindades básicas entre paréntesis. Con esto, se tienen las si-

guientes caracterizaciones de la clausura y del interior de un conjunto.

PROPOSICIÓN 3.3. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Se tiene que x ∈ A si

y solo si para toda vecindad (básica) V de x se cumple que V ∩ A 6= ∅.

PROPOSICIÓN 3.4. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Se tiene que x ∈

int (A) si y solo si existe una vecindad (básica) V de x tal que V ⊆ A.

A continuación, se dan definiciones que ayudarán a clasificar los puntos de un

conjunto dado.

DEFINICIÓN 3.5 (Punto de acumulación). Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆

E. Un punto x ∈ E se dice punto de acumulación de A, si para toda vecindad

(básica) V de x se tiene que

(V r x) ∩ A 6= ∅.

DEFINICIÓN 3.6 (Punto aislado). Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Un

punto x ∈ A se dice punto aislado de A, si existe una vecindad (básica) V de x tal

que

V ∩ A = x.

Así, se tiene que en un espacio topológico (E, τ), si x es un punto aislado de F,

entonces x es un abierto de (F, τF). Fácilmente se obtiene que los puntos de cual-

quier conjunto son, o bien puntos de acumulación de este, o bien puntos aislados

del conjunto dado.

DEFINICIÓN 3.7 (Derivado de un conjunto). Sean (E, τ) un espacio topológico y sea

A ⊆ E. Al conjunto de puntos de acumulación de A, se lo nota A′, y se llama el

derivado de A.

DEFINICIÓN 3.8 (Conjunto perfecto). Sean (E, τ) un espacio topológico y sea P ⊆ E.

Se dice que P es perfecto si P′ = P.

32

Con esto, se tienen las siguientes propiedades relacionadas con los derivados de

un conjunto.

PROPOSICIÓN 3.5. Sean (E, τ) un espacio topológico, A y B subconjuntos de E tales

que A ⊆ B. Se tiene que A′ ⊆ B′.

PROPOSICIÓN 3.6. Sean (E, τ) un espacio topológico, A y B subconjuntos de E. Se

tiene que (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′ y que (A ∩ B)′ ⊆ A′ ∩ B′.

PROPOSICIÓN 3.7. Sean (E, τ) un espacio topológico y F ⊆ E. S tiene que F es

cerrado si y solo si F′ ⊆ F.

Para tener más propiedades sobre el derivado de un conjunto se tiene la siguiente

definición.

DEFINICIÓN 3.9 (Espacio separado). Un espacio topológico (E, τ) se dice separado

si para todo par de puntos x, y ∈ E, tales que x 6= y, existen vecindades (básicas) U

y V, de x y y, respectivamente, tales que U ∩ V = ∅.

PROPOSICIÓN 3.8. Sea (E, τ) un espacio topológico separado. Si A ⊆ E y x es un

punto de acumulación de A, entonces, para toda vecindad (básica) V de x, se tiene

que V ∩ A es un conjunto infinito.

PROPOSICIÓN 3.9. Sean (E, τ) un espacio topológico separado y F ⊆ E. Se tiene que

F′ es un conjunto cerrado.

Ahora, se puede puede expandir la definición de conjunto derivado utilizando

Recursión Transfinita.

DEFINICIÓN 3.10 (Derivada de Cantor-Bendixson). Sean (E, τ) un espacio topológi-

co y K ⊆ E. Para α un ordinal, se define el α-ésimo derivado de K, notado por K(α),

de la siguiente manera:

• K(0) = K;

• K(α+1) = (K(α))′ para todo α ordinal; y

• K(λ) =⋂

β<λ

K(β) para todo ordinal límite λ 6= 0.

Con esto, se puede extender las proposiciones anteriores como sigue.

COROLARIO 3.10. Sean (E, τ) un espacio topológico, A y B subconjuntos de E, tales

que A ⊆ B. Se tiene que A(α) ⊆ B(α), para todo α ∈ OR.

33

Demostración. Se procede por Inducción Transfinita, se tiene que A(0) = A ⊆ B =

B(0), por hipótesis. Ahora, supóngase que para α un ordinal, se tiene que A(α) ⊆

B(α), por la Proposición 3.5, se sigue que A(α+1) = (A(α))′ ⊆ (B(α))′ = B(α+1).

Finalmente, supóngase que, para λ 6= 0 un ordinal límite, se tiene que A(β) ⊆ B(β)

para todo β < λ. De aquí, se sigue que

A(λ) =⋂

β<λ

A(β) ⊆⋂

β<λ

B(β) = B(λ).

Al demostrarse los tres casos, se tiene que A(α) ⊆ B(α), para todo ordinal α.

COROLARIO 3.11. Sean (E, τ) un espacio topológico y F un subconjunto cerrado de

E. Entonces, para todo ordinal α, se tiene que F(α) ⊆ F.

Demostración. Se procede por Inducción Transfinita, se tiene que F(0) = F. Ahora,

supóngase que para α un ordinal, F(α) ⊆ F, por la Proposición 3.5, se tiene que

F(α+1) = (F(α))′ ⊆ F′, además, como F es cerrado, por la Proposición 3.7, F′ ⊆ F,

por lo tanto, F(α+1) ⊆ F. Finalmente, supóngase que, para λ 6= 0 un ordinal límite,

se tiene que F(β) ⊆ F para todo β < λ. De aquí, se sigue que

F(λ) =⋂

β<λ

F(β) ⊆ F.

Al demostrarse los tres casos, se tiene que F(α) ⊆ F, para todo ordinal α.

PROPOSICIÓN 3.12. Sean (E, τ) un espacio topológico separado y F un subconjunto

cerrado de E. Se tiene que F(α) es un conjunto cerrado para todo ordinal α.

Demostración. Se procede por Inducción Transfinita, se tiene que F(0) = F que por

hipótesis es cerrado. Ahora, supóngase que para α un ordinal, F(α) es cerrado, por

la Proposición 3.9, se tiene que F(α+1) = (F(α))′ es cerrado. Finalmente, supóngase

que, para λ 6= 0 un ordinal límite, se tiene que F(β) es cerrado para todo β < λ. De

aquí, F(λ) es cerrado por ser la intersección de conjuntos cerrados. Al demostrarse

los tres casos, se tiene que F(α) es cerrado, para todo ordinal α.

PROPOSICIÓN 3.13. Sean (E, τ) un espacio topológico separado y F un subconjunto

cerrado de E. Se tiene que (F(α))α∈OR es una familia decreciente subconjuntos de E,

es decir, F(α) ⊆ F(β) para todo α y β ordinales tales que α ≥ β.

Demostración. Sea β un ordinal, procediendo por Inducción Transfinita a partir de

β, se tiene que F(β) ⊆ F(β). Ahora, supóngase que F(α) ⊆ F(β) con α ≥ β, por la

Proposición 3.5, se tiene que (F(α))′ ⊆ (F(β))′. Además, por la Proposición 3.12, F(β)

es un cerrado. Luego, por la Proposición 3.7, se tiene que (F(β))′ ⊆ F(β), de donde,

34

F(α+1) = (F(α))′ ⊆ (F(β))′ ⊆ F(β). Finalmente, supóngase que, para λ 6= 0 un ordinal

límite tal que λ > β, se tiene que F(δ) ⊆ F(β) para todo δ < λ, entonces,

F(λ) =⋂

δ<λ

F(δ) ⊆ F(β).

De aquí, se tiene que F(α) ⊆ F(β) para todo α y β ordinales tales que α ≥ β, es decir,

(F(α))α∈OR es una familia decreciente subconjuntos de E.

COROLARIO 3.14. Sean (E, τ) un espacio topológico, n, m ∈ ω y Akk≤n una fami-

lia finita de subconjuntos de E. Se tiene(

n⋃

k=0

Ak

)(m)

=n⋃

k=0

A(m)k .

La demostración de este resultado se sigue mediante el Teorema de Inducción

Finita a partir de la Proposición 3.7. Se puede ampliar aún más este resultado agre-

gando hipótesis extras, obteniendo el siguiente resultado, dado por el autor en [1] y

generalizado aquí para espacios topológicos.

COROLARIO 3.15. Sean (E, τ) un espacio topológico separado, n ∈ ω y Fkk≤n una

familia finita de subconjuntos cerrados de E. Para α ∈ OR, se tiene(

n⋃

k=0

Fk

)(α)

=n⋃

k=0

F(α)k .

Demostración. Nótese que basta demostrar el resultado para cuando n = 2; a partir

de este caso, se desprende el resultado general utilizando Inducción Finita sobre n.

Así, supóngase que n = 2 y se procede por Inducción Transfinita. Nótese que(

n⋃

k=0

Fk

)(0)

=n⋃

k=0

Fk =n⋃

k=0

F(0)k .

Ahora, supóngase que para un ordinal α, se tiene que

(F1 ∪ F2)(α) = F

(α)1 ∪ F

(α)2 ,

Por lo tanto, por la Proposición 3.7, se tiene que

(F1 ∪ F2)(α+1) =

((F1 ∪ F2)

(α))′=(

F(α)1 ∪ F

(α)2

)′= F

(α+1)1 ∪ F

(α+1)2 .

Finalmente, sea λ 6= 0 un ordinal límite, supóngase que para todo β < λ se tiene

que

(F1 ∪ F2)(β) = F

(β)1 ∪ F

(β)2 ,

35

entonces

F(λ)1 ∪ F

(λ)2 =

⋂

β<λ

F(β)1 ∪

⋂

β<λ

F(β)2

⊆⋂

β<λ

(F(β)1 ∪ F

(β)2 )

=⋂

β<λ

(F1 ∪ F2)(β)

= (F1 ∪ F2)(λ).

Para demostrar la otra inclusión, tómese x ∈ (F1 ∪ F2)(λ). Rasonando por reducción

al absurdo, supóngase que x 6∈ F(λ)1 y x 6∈ F

(λ)2 . Así, existen β1, β2 ∈ OR, con β1 < λ

y β2 < λ, tales que x 6∈ F(β1)1 y x 6∈ F

(β2)2 . Sin pérdida de generalidad, asúmase

que β1 ≤ β2, entonces, por el Corolario 3.13, se tiene que F(β2)1 ⊆ F

(β1)1 ; por lo

tanto, x 6∈ F(β2)1 ∪ F

(β2)2 = (F1 ∪ F2)

(β2). Esto es imposible ya que x ∈ (F1 ∪ F2)(λ) =

⋂β<λ(F1 ∪ F2)

(β). Así, se tiene que

(F1 ∪ F2)(λ) = F

(λ)1 ∪ F

(λ)2 .

Por lo tanto, el resultado es verdadero para todo ordinal.

De igual manera, se teniendo el siguiente resultado, dado por el autor en [1] y

generalizado aquí para espacios topológicos.

PROPOSICIÓN 3.16. Sean (E, τ) un espacio topológico separado, y K, F ⊆ E con-

juntos cerrados tales que K ∩ F = K ∩ int (F). Entonces, para todo α ∈ OR, se tiene

que

(K ∩ F)(α) = K(α) ∩ F.

Demostración. Se procede por Inducción Transfinita. Nótese que

(K ∩ F)(0) = K ∩ F = K(0) ∩ F.

Ahora, supóngase que para α ∈ OR se tiene que

(K ∩ F)(α) = K(α) ∩ F.

Entonces, dado que F es cerrado, por las proposiciones 3.5 y 3.7, se tiene que

(K ∩ F)(α+1) =((K ∩ F)(α)

)′= (K(α) ∩ F)′ ⊆ (K(α))′ ∩ F′ ⊆ K(α+1) ∩ F,

Para demostrar la inclusión contraria, tómese x ∈ K(α+1) ∩ F; dado que K es cerrado,

por el Corolario 3.13, se tiene que

x ∈ K(α+1) ∩ F ⊆ K ∩ F = K ∩ int (F) .

36

Así, existe V1 una vecindad de x tal que V1 ⊆ F. Con esto, sea V una vecindad de x;

dado que V1 ∩ V es también una vecindad de x, se tiene que((V1 ∩ V)r x

)∩ K(α) 6= ∅

Pero,((V1 ∩ V)r x

)∩ K(α) =

((V1 ∩ V)r x

)∩ K(α) ∩ F

=((V1 ∩ V)r x

)∩ (K ∩ F)(α)

⊆(V r x

)∩ (K ∩ F)(α) .

Así, x ∈ (K ∩ F)(α+1). Por lo tanto,

(K ∩ F)(α+1) = K(α+1) ∩ F.

Finalmente, sea λ 6= 0 un número ordinal límite. Supóngase que para todo β < λ,

(K ∩ F)(β) = K(β) ∩ F.

Entonces,

(K ∩ F)(λ) =⋂

β<λ

(K ∩ F)(β) =⋂

β<λ

(K(β) ∩ F) =⋂

β<λ

K(β) ∩ F = K(λ) ∩ F.

Con lo cual, el resultado se tiene para todo número ordinal.

3.2. Funciones Continuas

En la presente sección, se hará un repaso de algunas propiedades de las funcio-

nes entre espacios topológicos.

DEFINICIÓN 3.11 (Función continua). Sean (E, τ) y (G, σ) dos espacios topológicos

y f : E −→ G una función. Se dice que f es continua si la preimagen bajo f de todo

abierto (básico) de G es un abierto de E.

DEFINICIÓN 3.12 (Función continua en un punto). Sean (E, τ) y (G, σ) dos espacios

topológicos, f : E −→ G y x ∈ E. Se dice que f es una continua en x si la preimagen

bajo f de toda vecindad (básica) de f (x) contiene una vecindad de x.

Con esto se tienen las siguientes proposiciones relacionadas a la continuidad de

las funciones entre espacios topológicos.

PROPOSICIÓN 3.17. Sean (E, τ) y (G, σ) dos espacios topológicos y f : E −→ G una

función. Se tiene que f es continua en todo punto aislado de E.

37

PROPOSICIÓN 3.18. Sean (E, τ) y (G, σ) dos espacios topológicos y f : E −→ G una

función. Se tiene que f es continua si y solo si es continua en todos los puntos de E.

PROPOSICIÓN 3.19. Sean (E, τ1), (G, τ2) y (H, τ3) espacios topológicos y f : E −→

G, g : G −→ H funciones continuas, se tiene que g f : E −→ H es continua.

PROPOSICIÓN 3.20. Sean (E, τ), (G, σ) espacios topológicos, f : E −→ G continua y

F ⊆ E. Se tiene que la restricción de f a (F, τF), f |F : F −→ Y, es continua.

Finalmente, se da la siguiente definición que generará una relación de equiva-

lencia entre espacios topológicos.

DEFINICIÓN 3.13. Sean (E, τ) y (G, σ) espacios topológicos. Se dice que son ho-

meomorfos si existe una función f : E −→ G continua y biyectiva tal que su inversa

también es continua, se lo notará por E ∼ G. A una función f que cumpla estas

propiedades se la llama homeomorfismo.

PROPOSICIÓN 3.21. La relación ∼ dada por los homeomorfismos define una rela-

ción de equivalencia entre espacios topológicos.

Con esto, se tienen los siguientes resultados de espacios homeomorfos relacio-

nados con sus derivados.

PROPOSICIÓN 3.22. Sean (E, τ), (G, σ) espacios topológicos homeomorfos y f : E −→

G un homeomorfismo. Se tiene que f (E′) = G′; además, f |E′ es un homeomorfismo

entre E′ y G′. Es decir, si E ∼ G, entonces E′ ∼ G′.

Demostración. Sean y ∈ f (E′) y V una vecindad de y. Se tiene que existe x ∈ E′ tal

que f (x) = y. Como V es vecindad de f (x) y f es una función continua, se tiene que

f−1(V) es una vecindad de x, por lo tanto, existe z ∈ ( f−1(V)r x)∩ E, de donde,

f (z) ∈ V, z ∈ E y z 6= x, es decir f (z) 6= f (x) = y, pues f es inyectiva. Así, se tiene

que

f (z) ∈ (V r y) ∩ G,

por lo tanto, y ∈ G′.

Recíprocamente, sea y ∈ G′, dado que f es sobreyectiva, existe x ∈ E tal que

f (x) = y. Sea, ahora, U una vecindad de x = f−1(y), puesto que f−1 es continua,

se tiene que f (U) es una vecindad de y, por lo tanto, existe z ∈ ( f (U) r y) ∩ G,

de donde, z ∈ f (V), z ∈ G y z 6= y, es decir f−1(z) 6= f−1(y) = x, pues f−1 es

inyectiva. Así, se tiene que

f−1(z) ∈ (U r x) ∩ E,

38

por lo tanto, x ∈ E′ y se obtiene que y ∈ f (E′).

Finalmente, con esto se obtiene que f |E′ : E′ −→ G′ es una función biyectiva,

además, al ser la restricción de una función continua, se tiene que f |E′ es continua

y como f |−1E′ = f−1|G′ , se tiene que la inversa de f |E′ también es continua, por lo

tanto, f |E′ es un homeomorfismo entre E′ y G′.

COROLARIO 3.23. Sean (E, τ), (G, σ) espacios topológicos separados y homeomor-

fos, f : E −→ G un homeomorfismo y α un ordinal. Se tiene que f (E(α)) = G(α);

además, f |E(α) es un homeomorfismo entre E(α) y G(α). Es decir, si E ∼ G, entonces

E(α) ∼ G(α).

Demostración. Se procede por Inducción Transfinita. Se tiene que E(0) = E ∼ G =

G(0), por hipótesis, además, f = f |E(0) , por lo tanto, f |E(0) es un homeomorfismo

entre E(0) y G(0).

Ahora, para un ordinal α, supóngase que E(α) ∼ G(α) y que f |E(α) es un homeo-

morfismo entre E(α) y G(α). Por la Proposición 3.13, se tiene que E(α+1) ⊆ E(α), por

lo tanto, por la proposición anterior, se tiene que

f (E(α+1)) = f |E(α)(E(α+1)) = f |E(α)((E

(α))′) = (G(α))′ = G(α+1)

y que

E(α+1) = (E(α))′ ∼ (G(α))′ = G(α+1).

Así, f |E(α+1) es un homeomorfismo entre E(α+1) = (E(α))′ y G(α+1) = (G(α))′.

Finalmente, para un ordinal límite λ 6= 0, supóngase que E(β) ∼ G(β), f (E(β)) =

G(β) y que f |E(β) es un homeomorfismo entre E(β) y G(β), para todo β < λ. Así, como

f es biyectiva, se tiene que

f (E(λ)) = f

⋂

β<λ

E(β)

=

⋂

β<λ

f (E(β)) =⋂

β<λ

G(β) = G(λ).

Por lo tanto, f |E(λ) es un homeomorfismo entre E(λ) y G(λ), es decir E(λ) ∼ G(λ).

Con esto, se tiene el resultado para todo ordinal α.

3.3. Conjuntos Compactos

A continuación, se presenta una compilación de proposiciones sobre los conjun-

tos compactos, los cuales son la base del estudio de este trabajo.

39

DEFINICIÓN 3.14. Sea (E, τ) un espacio topológico. Un recubrimiento abierto (bá-

sico) de A ⊆ E es una familia de abiertos (básicos) Aii∈I tal que A ⊆⋃

i∈I Ai; un

sub-recubrimiento finito es una sub-familia Aii∈J tal que A ⊆⋃

i∈J Ai y J ⊆ I es

finito.

DEFINICIÓN 3.15 (Conjunto compacto). Sean (E, τ) un espacio topológico y K ⊆ E,

K se dice compacto si de todo recubrimiento abierto (básico) de K se puede extraer

un sub-recubrimiento finito de K.

De la definición anterior, es inmediato ver que el conjunto vacío y cualquier con-

junto finito de un espacio topológico, son compactos. Para dar una caracterización

de espacio compactos, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN 3.16 (Propiedad de intersección finita). Una familia Aii∈I de conjun-

tos tiene la propiedad de intersección finita si toda sub-familia finita tiene intersec-

ción no vacía.

Con esto, se tiene la siguiente caracterización.

PROPOSICIÓN 3.24. Sea (E, τ) un espacio topológico. Se tiene que E es compacto

si y solo si toda familia de cerrados, con la propiedad de intersección finita, tiene

intersección no vacía.

A continuación se presenta algunas propiedades de los conjuntos compactos que

serán de utilidad en el desarrollo de este trabajo.

PROPOSICIÓN 3.25. Sean (E, τ) un espacio topológico y K ⊆ E un conjunto com-

pacto, se tiene que

i) si F ⊆ K es cerrado, entonces F es compacto;

ii) si F ⊆ K es conjunto infinito, entonces F tiene un punto de acumulación; y

iii) la unión finita de conjuntos compactos es un compacto.

Además, si E es separado, se tiene que

i) K es cerrado; y

ii) la intersección arbitraria de conjuntos compactos es un compacto.

Además, se tienen los siguientes resultados relacionados con funciones conti-

nuas y conjuntos compactos.

40

PROPOSICIÓN 3.26. Sean (E, τ) y (G, σ) espacios topológicos y f : E −→ G una

función continua. Si K ⊆ E es compacto, entonces f (K) es compacto.

PROPOSICIÓN 3.27. Sean (E, τ) y (G, σ) espacios topológicos; E compacto, G un es-

pacio separado, y f : E −→ G una función continua y biyectiva, entonces la inversa

de f es una función continua.

Un resultado importante sobre conjuntos compactos que tendrá especial utilidad

más adelante es el Teorema de Compactos Encajados de Cantor.

TEOREMA 3.28 (Compactos encajados). Sea (E, τ) un espacio topológico separado

y α un número ordinal. Toda familia (Kβ)β<α de conjuntos compactos no vacíos

encajados (Kγ ⊆ Kβ para todo γ > β) tiene intersección no vacía.

Demostración. Sea (Kβ)β<α una familia de conjuntos compactos no vacíos encajados.

Se notará α∗ = α r 0. Puesto que el espacio es separado, por la Proposición 2.15,

se tiene que (Kβ)β∈α∗ es una familia de subconjuntos cerrados de K0. Sea (Kβ)β∈J

una sub-familia finita de (Kβ)β∈α∗ , se tiene que⋂

β∈J

Kγ = Kβ 6= ∅,

donde γ es el máximo de J, el cual existe pues J es finito. Por lo tanto, toda sub-

familia finita tiene intersección no vacía, es decir (Kβ)β∈α∗ posee la propiedad de

intersección finita. Por la Proposición 3.24, esta familia tiene intersección no vacía.

Por lo tanto,⋂

β∈α∗

Kβ 6= ∅,

y puesto que⋂

β∈α∗

Kβ ⊆ K0, se tiene que

⋂

β∈α∗

Kβ =⋂

β<α

Kβ 6= ∅.

Cabe recalcar, además, el teorema de Tichonoff, cuya demostración puede en-

contrarse en [20], Capítulo 5. Este teorema es equivalente al Axioma de Elección

(ver [14]).

TEOREMA 3.29 (Tichonoff). El producto generalizado de espacios compactos es com-

pacto.

41

3.4. Topología Ordinal

En esta sección se presentarán a los números ordinales como espacios topológi-

cos, para lo cual se introduce la topología de orden habitual. Para esto, se tiene las

siguientes definiciones. Dados α, β ∈ OR tales que α < β, se definen los conjuntos

(α, β) = γ ∈ OR : α < γ < β,

[α, β) = γ ∈ OR : α ≤ γ < β,

(α, β] = γ ∈ OR : α < γ ≤ β,

[α, β] = γ ∈ OR : α ≤ γ ≤ β.

Con esto, para α ∈ OR, se define la topología τα sobre α como la familia de todos

los conjuntos A ⊆ α que son uniones arbitrarias de elementos de

Bα = (β, γ) : β < γ ≤ α ∪ [0, β) : β ≤ α.

A (α, τα) se lo denomina espacio ordinal.

PROPOSICIÓN 3.30. Sea α ∈ OR, se tiene que (α, τα) es un espacio topológico cuya

base es Bα.

Demostración. Dado que ∅ es una unión vacía de elemento y que α = [0, α), se

tiene que ambos pertenecen a τα. Además, la unión arbitraria de elementos de τα es

directamente un elemento de τα.

Ahora, dado que la intersección de dos elementos de Bα es otro elemento de Bα,

se tiene que la intersección de dos elementos de τα es un elemento de τα. Así, se tiene

que τα es una topología sobre α.

Con esto, se tiene que si A ∈ τα, entonces para todo x ∈ A se cumple una de las

siguientes propiedades:

i) existen β < γ ≤ α tales que x ∈ (β, γ) ⊆ A; o

ii) existe β ≤ α tal que x ∈ [0, β) ⊆ A.

A continuación, se presentan varias propiedades de los espacios ordinales.

PROPOSICIÓN 3.31. Sea (α, τα) un espacio ordinal, se tiene que x ∈ α es un punto

de acumulación de α si y solo si x es un ordinal límite y x 6= 0.

Demostración. Supóngase que x ∈ α es un punto de acumulación de α. Dado que

[0, 1) = 0 es una vecindad de 0, se tiene que 0 es un punto aislado de α, por lo

42

tanto x 6= 0. Por reducción al absurdo, supóngase que x es un ordinal sucesor, es

decir, existe β un número ordinal tal que x = β + 1. Se tiene que (β, x + 1) = x es

una vecindad de x, por lo tanto x es un punto aislado de α, lo cual es contradictorio.

Así, se tiene que x es un ordinal límite y x 6= 0.

Ahora, supóngase que x es un ordinal límite y x 6= 0. Sea V una vecindad básica

de x, se tiene dos casos.

i) Si V = [0, β), con β ≤ α. Dado que x 6= 0, se tiene que 0 ∈ V r x.

ii) Si V = (β, γ), con β < γ ≤ α. Dado que β < x < γ y que x es un ordinal

límite, se tiene que β + 1 < x < γ, por lo tanto β + 1 ∈ V r x.

Así, se tiene que x es un punto de acumulación de α.

PROPOSICIÓN 3.32. Sea (α, τα) un espacio ordinal, se tiene que α es separado.

Demostración. Sean x, y ∈ α, sin pérdida de generalidad, supóngase que x < y.

Tomando

U = [0, x + 1) y V = (x, α),

se tiene que U es vecindad de x y V es vecindad de y. Además, U ∩ V = ∅. Por lo

tanto, α es separado.

PROPOSICIÓN 3.33. Sea (α, τα) un espacio ordinal no vacío, se tiene que α es com-

pacto si y solo si α es un ordinal sucesor.

Demostración. Supóngase que α es compacto, por reducción al absurdo, supóngase

que α es un ordinal límite. Se tiene que

[0, β) : β < α

es un recubrimiento abierto de α, pues si x ∈ α, entonces x < α y como α es límite,

se tiene que x + 1 < α, por lo tanto, x ∈ [0, x + 1). Así,

α ⊆⋃

β<α

[0, β).

Como α es compacto, entonces existe un sub-recubrimiento finito, es decir, existe

J ⊆ α finito tal que

α ⊆⋃

β∈J

[0, β).

Tómese β = max J, se tiene que

α ⊆⋃

β∈J

[0, β) = [0, β),

43

además, como β < α, se tiene que β < β, lo cual es contradictorio. Por lo tanto, α es

un ordinal sucesor.

Recíprocamente, demostraremos que todo ordinal sucesor es compacto. Se pro-

cede por Inducción Transfinita. Dado que 1 es un conjunto finito, se tiene que es

compacto. Ahora, sea α un ordinal sucesor, supóngase que todo ordinal sucesor β

tal que β < α es un conjunto compacto. Sea Aii∈I un recubrimiento abierto básico

de α. Como α es un ordinal sucesor, existe α tal que α = α + 1, además, dado que

Aii∈I es un recubrimiento de α, se tiene que existe i0 ∈ I tal que α ∈ Ai0 . Se tienen

dos casos.

i) Si Ai0 es de la forma [0, β), con β ≤ α. Se tiene que α < β ≤ α, por lo tanto

α + 1 ≤ β ≤ α, así, se obtiene que β = α, es decir Ai0 = [0, α). De donde,

tomando J = i0, se tiene que Aii∈J es un sub-recubrimiento finito.

ii) Si Ai0 es de la forma (β, γ), con β < γ ≤ α. Se tiene que β < α < γ, así se

tiene que β + 1 es un ordinal sucesor tal que β + 1 < α, por lo tanto, β + 1 es

un conjunto compacto. Dado que Aii∈I también es un recubrimiento abierto

de β + 1, existe un sub-recubrimiento finito Aii∈ J para β + 1, así, dado que

α = (β + 1) ∪ (β, α + 1) ⊆⋃

i∈ J

Ai ∪ Ai0 .

Se tiene que Aii∈J , con J = J ∪ i0 es un sub-recubrimiento de α.

3.5. Espacios Métricos

En lo posterior, se notará por R al cuerpo ordenado completo y arquimediano de

los Números Reales. Una construcción detallada de este conjunto puede encontrar-

se en [16].

Dado un conjunto E, una métrica sobre E es una función

d : E × E −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y)

tal que para todo x, y, z ∈ E verifique que

i) d(x, y) ≥ 0;

ii) d(x, y) = 0 si y solo si x = y;

iii) d(x, y) = d(y, x); y

44

iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Al par (E, d) se lo llama espacio métrico. Además, si F ⊆ E, se tiene que la res-

tricción de d a F × F también es una métrica, por lo tanto, (F, d) es un subespacio

métrico.

Dado un conjunto E, siempre es posible definir sobre este una métrica trivial,

llamada la métrica discreta, definida por

δE : E × E −→ R

(x, y) 7−→ δE(x, y) =

0 si x = y,

1 si x 6= y.

DEFINICIÓN 3.17 (Bolas). Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y r > 0, se definen

los conjuntos

i) bola abierta de centro x y radio r: B(x, r) = y ∈ E : d(x, y) < r; y

ii) bola abierta de centro x y radio r: B[x, r] = y ∈ E : d(x, y) ≤ r.

Además, se denota

B(x, r) = B(x, r)r x.

Dado (E, d) un espacio métrico. Se define la topología inducida por d al conjunto

τd = A ⊆ E : (∀x ∈ A)(∃r > 0)(B(x, r) ⊆ A).

Con esto, se tiene que el conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio métrico es

una base para esta topología. Así, se tiene que, para todo x ∈ E y r > 0 los conjuntos

B(x, r) y B(x, r)

son conjuntos abiertos y x es un conjunto cerrado. Además, si A ⊆ E, se tiene que

x ∈ A si para todo r > 0 se verifica que

B(x, r) ∩ A 6= ∅.

Y x es un punto de acumulación de A si para todo r > 0 se cumple que

B(x, r) ∩ A 6= ∅.

3.5.1. Sucesiones

Una herramienta importante en los espacios métricos son la sucesiones y las ca-

racterizaciones que se tiene a través de ellas. A continuación se detallan estas pro-

piedades.

45

DEFINICIÓN 3.18 (Sucesión). Sea E un conjunto no vacío, una sucesión es una fun-

ción x : ω −→ E. Para todo n ∈ ω, se nota x(n) = xn y a la función x se la nota

por:

x = (xn)n∈ω .

Además, dada φ : ω −→ ω una función estrictamente creciente, a la función x

φ : ω −→ E se la llama subsucesión de (xn)n∈ω y se la representa por (xφ(n))n∈ω.

Las sucesiones se relacionan con los espacios métricos mediante el concepto de

límite de una sucesión.

DEFINICIÓN 3.19 (Límite). Sean (E, d) un espacio métrico, (xn)n∈ω una sucesión en

E y x ∈ E. Se dice que (xn)n∈ω converge a x si

(∀ε > 0)(∃N ∈ ω)(n ≥ N =⇒ d(xn, x) < ε).

Se representa por xn → x, cuando n → +∞.

Una característica importante del límite de una sucesión en un espacio métrico

es que, de existir, este es único. Además, si una sucesión es convergente, toda sub-

sucesión de esta también converge al mismo límite. Por otro lado, si un punto no

es el límite de una sucesión, existe una subsucesión tal que ninguna subsucesión de

esta última converge a dicho punto.

De importante utilidad serán las caracterizaciones de puntos de acumulación,

conjunto cerrados y compactos, mediante sucesiones.

PROPOSICIÓN 3.34. Sean (E, d) un espacio métrico, A ⊆ E y x ∈ E. Se tiene que

x es un punto de acumulación de A si y sólo si existe alguna sucesión (xn)n∈ω de

elementos de A r x tal que xn → x cuando n → +∞.

COROLARIO 3.35. Sean (E, d) un espacio métrico, A ⊆ E y x ∈ E. Se tiene que x

es un punto de acumulación de A si y sólo si existe alguna sucesión (xn)n∈ω de

elementos de A r x tal que la sucesión (d(xn, x))n∈ω es estrictamente decreciente

y convergente a 0.

Demostración. Supóngase que existe una sucesión (xn)n∈ω de elementos de A r x

tal que la sucesión (d(xn, x))n∈ω es estrictamente decreciente y convergente a 0. Da-

do que (d(xn, x))n∈ω converge a 0, se tiene que (xn)n∈ω converge a x, y por la pro-

posición anterior, se tiene que x ∈ A′.

Recíprocamente, si x ∈ A′, nuevamente por la proposición anterior, existe una

sucesión (yn)n∈ω de elementos de A r x tal que converge a x. Tómese n0 = 0 y

46

para k ∈ ω,

nk+1 = mın

m ∈ ω : d(ym, x) < mın

d(yk, x),1

k + 1

,

este está bien definido, pues dado que la sucesión (yn)n∈ω converge a x, se tiene que

el conjuto del cual se esta tomando el mínimo es no vacío. Con esto, se define

(xk)k∈ω = (ynk)k∈ω .

Así, se tiene que (xk)k∈ω es una sucesión de elementos de Ar x tal que la sucesión

(d(xn, x))n∈ω es estrictamente decreciente y convergente a 0.

PROPOSICIÓN 3.36. Sean (E, d) un espacio métrico y F ⊆ E. Se tiene que F es cerra-

do si y sólo si toda sucesión convergente de elementos de F converge en F.

PROPOSICIÓN 3.37. Sean (E, d) un espacio métrico y K ⊆ E. Se tiene que K es com-

pacto si y sólo si toda sucesión de elementos de K posee una subsucesión que con-

verge en K.

Además, se tiene que en un espacio métrico discreto, los únicos conjuntos com-

pactos son los conjuntos finitos.

3.5.2. Espacios Completos

Otro concepto de interés en el presente trabajo, relacionado con espacios métri-

cos, es el de completitud. A continuación se detallan algunas definiciones y propo-

siciones al respecto. En adelante, se notará ω∗ = ω r 0.

DEFINICIÓN 3.20 (Sucesión de Cauchy). Sean (E, d) un espacio métrico y (xn)n∈ω

una sucesión en E. Se dice que (xn)n∈ω es de Cauchy si

(∀ε > 0)(∃N ∈ ω)(n, m > N =⇒ d(xn, xm) < ε).

DEFINICIÓN 3.21 (Espacio métrico completo). Sea (E, d) un espacio métrico. Se dice

que E es completo si toda sucesión de Cauchy converge.

Nótese que, dado un conjunto E, es espacio (E, δE) es un espacio métrico com-

pleto.

PROPOSICIÓN 3.38. Sean (E, d) un espacio métrico y F ⊆ E. Si F es cerrado, enton-

ces (F, d) es completo.

PROPOSICIÓN 3.39. Sean (E, d) un espacio métrico y K ⊆ E. Si K es compacto, en-

tonces (K, d) es completo.

47

Finalmente, se presentan dos versiones del Teorema de Categorías de Baire, el

mismo que será de especial importancia en el desarrollo de este trabajo. Para esto,

se introduce una definición y proposición relacionada con los conjuntos densos.

DEFINICIÓN 3.22 (Conjunto denso). Sean (E, τ) un espacio topológico y M ⊆ E. Se

dice que M es denso en E si M = E.

PROPOSICIÓN 3.40. Sean (E, τ) un espacio topológico y M ⊆ E. Se tiene que M es

denso en E si y solo si para todo abierto (básico) U no vacío se tiene que U ∩ M 6= ∅.

TEOREMA 3.41 (Teorema de Categorías de Baire I). Sea (E, d) un espacio métrico

completo no vacío. Entonces, para toda familia Mkk∈ω de conjuntos abiertos y

densos en E, se tiene que⋂

k∈ω

Mk es denso en E.

Demostración. Sea Mkk∈ω una familia de conjuntos densos en E. Sea U un abierto

no vacío de E. Defínase el conjunto

A =

(m, x, r) ∈ ω × E × R : 0 < r < 2−m y B[x, r] ⊆ U ∩

⋂

k≤m

Mk

.

Dado que M0 es abierto y denso, existe x ∈ E y r ∈ R tales que 0 < r < 1 y

B[x, r] ⊆ U ∩ M0 = U ∩⋂

k≤0

Mk,

es decir, (0, x, r) ∈ A, por lo tanto, A 6= ∅.

Por otro lado, nótese que, si (m, x, r) ∈ A, entonces existen (m, x, r) ∈ A tal que

m < m y B[x, r] ⊆ B(x, r). (3.1)

En efecto, dado que Mm+1 es denso, se tiene que B(x, r/2) ∩ Mm+1 6= ∅, por lo

tanto, existe x ∈ B(x, r/2) ∩ Mm+1. Dado que Mm+1 es abierto, existe r > 0 tal que

B[x, r] ⊆ U ∩ Mm+1

y r < r/2 < 2−m−1. Así, tomando m = m + 1, se tiene que m < m,

B[x, r] ⊆ B(x, r) y B[x, r] ⊆ U ∩⋂

k≤m

Mk

Dado que (3.1) define una relación sobre A que cumple las hipótesis del Principio

de Elección Dependiente, existen sucesiones (mn)n∈ω, (xn)n∈ω y (rn)n∈ω en ω, E y

R, respectivamente, tales que

mn < mn+1 y B[xn+1, rn+1] ⊆ B(xn, rn),

48

además, (mn, xn, rn) ∈ A para todo n ∈ A, es decir

0 < rn < 2−mn y B[xn, rn] ⊆ (⋃

k≤mn

Mk)c.

Así, se tiene que (mn)n∈ω es una sucesión estrictamente creciente, (rn)n∈ω es una

sucesión convergente a 0 y si n > n, entonces

B[xn, rn] ⊆ B[xn, rn], (3.2)

por lo tanto, si n > n, entonces

d(xn, xn) ≤ rn,

de donde, se obtiene que (xn)n∈ω es una sucesión de Cauchy y como E es completo,

existe x ∈ E tal que xn → x cuando n → +∞.

Ahora, sea k ∈ ω. Nótese que, por (3.2), (xn+k)n∈ω es una sucesión de B[xk, rk],

el cual es un cerrado y dado que (xn+k)n∈ω converge a x, se tiene que x ∈ B[xk, rk],

además,

B[xk, rk] ⊆ U ∩⋂

n≤mk

Mn.

Por lo tanto,

x ∈⋂

k∈ω

B[xk, rk] ⊆ U ∩⋂

k∈ω

Mk.

Así, se obtiene que⋂

k∈ω

Mk es denso en E.

Como se puede apreciar, este resultado es consecuencia del Principio de Elección

Dependiente, es más, es equivalente al mismo (ver [9]). Se puede eliminar la relación

de este resultado con el Principio de Elección Dependiente agregando una hipótesis

extra sobre el espacio, para esto, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN 3.23. Sea (E, τ) un espacio topológico. Se dice que E es separable si

existe un subconjunto numerable M tal que M es denso en E, es decir, M = E.

TEOREMA 3.42 (Teorema de Categorías de Baire II). Sea (E, d) un espacio métrico

completo, separable y no vacío. Entonces, para toda familia Mkk∈ω de conjuntos

abiertos y densos en E, se tiene que⋂

k∈ω

Mk es denso en E.

Demostración. Sea Mkk∈ω una familia de conjuntos densos en E. Sea U un abierto

no vacío de E. Dado que E es separable, existe M = zn : n ∈ ω un conjunto

numerable y denso en E. Con esto, defínase

n0 = mınm ∈ ω : zm ∈ U ∩ M0,

49

x0 = zn0 ,

N0 = mınm ∈ ω∗ : B[x0, 1/m] ⊆ U ∩ M0,

r0 =1

N0.

Nótese que, dado que U ∩ M0 es un abierto y M es denso en E, se tiene que

m ∈ ω : zm ∈ U ∩ M0,

es no vacío y como ω está bien ordenado, tiene elemento mínimo, por lo tanto, n0

está bien definido. Además, dado que x0 = zn0 ∈ U ∩ M0, se tiene que

m ∈ ω : B[x0, 1/m] ⊆ U ∩ M0

es no vacío y por la misma razón anterior, se tiene que N0 también está bien definido.

Ahora, para k ∈ ω, defínase1

nk+1 = mınm ∈ ω : zm ∈ B(xk, rk) ∩ Mk+1,

xk+1 = znk+1 ,

Nk+1 = mınm ∈ ω∗ : B[xk+1, 1/m] ⊆ B(xk, rk) ∩ Mk+1,

rk+1 = mın

1k + 1

,1

Nk+1

.

Nótese que, para k ∈ ω, dado que B(xk, rk) ∩ Mk+1 es un abierto y M es denso en E,

se tiene que

m ∈ ω : zm ∈ B(xk, rk) ∩ Mk+1,

es no vacío y como ω está bien ordenado, tiene elemento mínimo, por lo tanto, nk+1

está bien definido. Además, dado que xk+1 = znk+1 ∈ B(xk, rk) ∩ Mk+1, se tiene que

m ∈ ω∗ : B[xk+1, 1/m] ⊆ B(xk, rk) ∩ Mk+1

es no vacío y por la misma razón anterior, se tiene que Nk+1 también está bien defi-

nido.

De esta forma, se tiene que rk ≤ 1/(k + 1), para todo k ∈ ω, por lo que (rk)k∈ω

es una sucesión convergente a 0. Además, dado que B[xk+1, rk+1] ⊆ B(xk, rk) para

todo k ∈ ω, se tiene que si k > k,

B[xk, r

k] ⊆ B(xk, rk) (3.3)

de donde

d(xk, xk) ≤ rk,

1La validez de esta definición se basa en la segunda versión del Teorema de Recursión Finita,tomando una función γ : ω −→ ω ∪ E ∪ R tal que γ(4k) = nk, γ(4k + 1) = xk, γ(4k + 2) = Nk yγ(4k + 3) = rk.

50

así, se obtiene que (xk)k∈ω es una sucesión de Cauchy y como E es completo, existe

x ∈ E tal que xk → x cuando k → +∞.

Ahora, sea k ∈ ω. Nótese que, por (3.3), (xk+s)s∈ω es una sucesión de B[xk, rk],

el cual es un cerrado y dado que (xk+s)s∈ω converge a x, se tiene que x ∈ B[xk, rk],

además,

B[xk, rk] ⊆ U ∩ Mn.

Por lo tanto,

x ∈⋂

k∈ω

B[xk, rk] ⊆ U ∩⋂

k∈ω

Mk.

Así, se obtiene que⋂

k∈ω

Mk es denso en E.

51

Capítulo 4

Conjuntos Compactos Numerables

Empleando algunas proposiciones presentadas en los capítulos precedentes, se

describen, en el presente capítulo, varios resultados referentes a los conjuntos com-

pactos numerables, las demostraciones sin referencia son originales.

4.1. Propiedades Básicas

Dado un espacio métrico (E, d), se toma el conjunto de todos los subconjuntos

de E que son compactos y numerables, se lo define por

KE = K ⊆ E : K es compacto y numerable.

Se estudiarán los elementos del conjunto KE a partir de sus derivados, para lo

cual se nota que el derivado de un elemento de KE también está en KE, es decir:

PROPOSICIÓN 4.1. Sea (E, d) un espacio métrico. Si K ∈ KE, entonces K′ ∈ KE.

Demostración. Sea K ∈ KE. Como E es separado, por la Proposición 3.9, K′ es ce-

rrado. Además, puesto que K es cerrado, por la Proposición 3.7, K′ ⊆ K. Puesto

que K es compacto y K′ es un subconjunto cerrado de K, por la Proposición 3.25

se tiene que K′ es compacto. Finalmente, se tiene que |K′| ≤ |K|, por lo tanto, K es

numerable. Luego K′ ∈ KE

Se puede generalizar este resultado al siguiente:

PROPOSICIÓN 4.2. Sean (E, d) un espacio métrico y K ∈ KE, se tiene que (K(α))α∈OR

es una familia decreciente de elementos de KE, es decir, K(α) ⊆ K(β) para todo α y β

ordinales tales que α ≥ β.

52

Demostración. Como K ∈ KE, se tiene que K es cerrado, por lo tanto se tiene que,

por la Proposición 3.13, (K(α))α∈OR es una familia decreciente.

Ahora, se demostrará mediante Inducción Transfinita, que (K(α))α∈OR es una fa-

milia de elementos de KE. Se tiene que K(0) = K ∈ KE. Ahora, supóngase que

K(α) ∈ KE, por la proposición anterior, se tiene que K(α+1) = (K(α))′ ∈ KE. Final-

mente, supóngase que, para λ 6= 0 un ordinal límite, K(β) ∈ KE para todo β < λ. De

aquí, se tiene que K(β) es compacto para todo β < λ, por lo tanto, K(λ) es la intersec-

ción de conjuntos compactos, por lo tanto, gracias a la Proposición 3.25, se tiene que

K(λ) es compacto, además, por la Proposición 3.13, se tiene que |K(λ)| ≤ |K|, por lo

tanto, K(λ) es numerable, luego, K(λ) ∈ KE. Con esto se tiene que K(α) ∈ KE para

todo ordinal α.

Además, se tiene que este tipo de familias de conjuntos compacto es estricta-

mente decreciente. Esto se tiene gracias a la siguiente proposición la cual es una

extensión de un resultado dado por G. Cantor en [6].

LEMA 4.3. Sean (E, d) un espacio métrico y K ∈ KE, con K 6= ∅. Se tiene que K′ 6= K.

Demostración. Por reducción al absurdo, supóngase que para K ∈ KE, se tiene que

K′ = K. Dado que K es numerable, se tiene que

K = xk : k ∈ ω.

Tómese, la familia Mkk∈ω, donde

Mk = K r xk

para todo k ∈ ω. Nótese que, para k ∈ ω, dado que xk ∈ K = K′, se tiene que

Mk = K

es decir, Mkk∈ω es una familia de conjuntos densos, además, es una familia de

conjuntos abiertos de K. Dado que K es compacto, por la Proposición 3.39, se tiene

que el espacio (K, d) es completo; así, por el Teorema de Categorías de Baire, se tiene

que⋂

k∈ω Mk es denso en K; pero, se tiene que⋂

k∈ω

Mk =⋂

k∈ω

(K r xk) = K r K = ∅,

por lo tanto,

E =⋂

k∈ω

Mk = ∅ = ∅,

lo cual es contradictorio, por lo tanto, se concluye que K′ 6= K.

53

Con este resultado, se tiene el siguiente teorema, que es una generalización de

otro enunciado por G. Cantor en [6]. Este resultado es de gran importancia para el

desarrolo de este trabajo.

TEOREMA 4.4. Sean (E, d) un espacio métrico. Si K ∈ KE, entonces existe un ordinal

numerable α tal que K(α) es finito.

Demostración. Supóngase que K(α) es infinito para todo ordinal numerable α. Sea α

un ordinal numerable, como K es compacto, por la Proposición 3.25, se tiene que

K(α+1) es no vacío. De aquí, por el lema anterior, se tiene que K(α+2) 6= K(α+1), con

esto, dado que K(α+2) ⊆ K(α+1), se tiene que

Kα = K(α+1)r K(α+2) 6= ∅.

Así, Kαα∈ω1 es una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos, pues si α < β, se

tendría que α + 2 ≤ β + 1, así, gracias a la Proposición 4.2,

K(β+1) ⊆ K(α+2),

de donde

Kα ∩ Kβ = (K(α+1)r K(α+2)) ∩ (K(β+1)

r K(β+2)) = ∅.

Con esto, y gracias al Axioma de Elección, existe una función

f : ω1 −→⋃

α∈ω1

Kα ⊆ K,

tal que f (α) ∈ Kα para todo α ∈ ω1, además, dado que la familia es disjunta, se tiene

que esta función es inyectiva. De esto, se sigue que

|ω1| ≤ |K| ≤ ℵ0,

pero, por el Teorema 2.23, ω1 es no numerable, con lo cual se tiene una contradicción.

Por lo tanto, existe un ordinal numerable α tal que K(α) es finito.

Gracias a la Proposición 2.20, se tiene que ω1 está bien ordenado, por lo tanto,

con el teorema anterior, dado un espacio métrico (E, d), para K ∈ KE, existe el menor

ordinal numerable α tal que K(α) es finito, con esto se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN 4.1 (Característica de Cantor-Bendixson). Sean (E, d) un espacio métri-

co y K ∈ KE, se dice que (α, n) ∈ ω1 × ω es la característica de Cantor-Bendixson

de K si α es el menor ordinal numerable tal que K(α) es finito y |K(α)| = n. Se lo nota

CB(K) = (α, n).

Esta característica establece varias propiedades sobre los conjuntos compactos

54

numerables de un espacio métrico, las cuales se detallan a continaución.

PROPOSICIÓN 4.5. Sean (E, d) un espacio métrico y K ∈ KE tal que CB(K) = (α, n).

Se tiene que n = 0 si y solo si K = ∅.

Demostración. Supóngase que K = ∅, se tiene que K(0) = K es finito y |K(0)| = |∅| =

0, por lo tanto, CB(K) = (0, 0), es decir, n = 0.

Por otro lado, supóngase que K 6= ∅, se tienen los siguientes casos:

• Si α = 0, se tiene que K = K(0) es finito, y como K 6= ∅, se tiene que |K(0)| 6= 0,

es decir, n 6= 0.

• Si α es un ordinal límite distinto de 0, dado que para todo β < α, K(β) es

infinito y gracias a la Proposición 4.2, se tiene que (K(β))β<α es una familia de

compactos encajados no vacíos. Por lo tanto, gracias al Teorema 3.28, se tiene

que

K(α) =⋂

β<α

K(β) 6= ∅.

De donde, |K(α)| 6= 0, es decir, n 6= 0.

• Si α es un ordinal sucesor, existe un ordinal β tal que β + 1 = α. Como β < α,

se tiene que K(β) es infinito, por lo tanto, gracias a la Proposición 3.25, se tiene

que

K(α) = K(β+1) = (K(β))′ 6= ∅.

De donde, |K(α)| 6= 0, es decir, n 6= 0.

Con estos casos, se tiene que n 6= 0.

El siguiente resultado relacionado con la característica de Cantor-Bendixson fue

dado, sin demostración, por S. Mazurkiewicz y W. Sierpinski en [17] para Rn. Aquí

se generaliza el mismo.

TEOREMA 4.6. Sean (E, d) un espacio métrico y K1, K2 ∈ KE tales que K1 ∼ K2, se

tiene que CB(K1) = CB(K2).

Demostración. Sea CB(K1) = (α, n). Dado que K1 ∼ K2, por el Corolario 3.23, se

tiene que K(β)1 ∼ K

(β)2 para todo ordinal β. Por lo tanto, para todo ordinal β, se tiene

que existe un homeomorfismo entre K(β)1 y K

(β)2 , es decir, |K(β)

2 | = |K(β)1 |. Así, se tiene

que α es el menor ordinal tal que K(α)2 es finito. Además, puesto que |K

(α)1 | = n, se

tiene que |K(α)2 | = |K

(α)1 | = n. Con esto, se tiene que CB(K2) = (α, n).

55

Se tiene que el recíproco de este teorema también es verdadero, para demostrar

esto, son necesarios los siguientes lemas. Estos lemas son una generalización de la

prueba dada por S. Mazurkiewicz y W. Sierpinski en [17] siguiendo la ideas plan-

teadas por el autor en [1].

LEMA 4.7. Sean (E, d) un espacio métrico y K ∈ KE. Se tiene que si CB(K) = (1, 1),

entonces

K ∼ ω + 1.

Demostración. Se tiene que K′ = x, para algún x ∈ E, además, se tiene que K =

K(0) es infinito, por lo tanto K r K′ es infinito y numerable, de donde, existe g una

biyección entre K r K′ y ω. Se define la siguiente función

f : K −→ ω + 1

z 7−→ f (z) =

g(z) si z 6= x,

ω si z = x.

Por la forma en que está definida la función, se tiene que f es biyectiva. Además,

dado que K r K′ son los puntos aislados de K, se tiene que f es continua en todo

punto de K r K′.

Ahora, tómese (n, α) una vecindad básica de f (x) = ω, se tiene que

n < ω < α ≤ ω + 1,

por lo tanto, n ∈ ω y α = ω + 1. Se define el conjunto

A = z ∈ K : f (z) ≤ n.

Dado f es una biyección, se tiene que A es un conjunto finito y x 6∈ A. Así, tómese

r = mınd(z, x) : z ∈ A, se tiene que

K ∩ B(x, r) ⊆ f−1((n, ω + 1)),

en efecto, si z ∈ K tal que d(z, x) < r, se tiene que z 6∈ A, por lo tanto, f (z) > n. Con

esto, se tiene que f es continua también en x, por lo tanto es continua en todos sus

puntos, es decir, f es continua.

Finalmente, por la Proposición 3.33, se tiene que ω + 1 es un espacio compac-

to, además es separado, por lo tanto, por la Proposición 3.27, se tiene que f es un

homeomorfismo. Así, se tiene que K ∼ ω + 1.

LEMA 4.8. Sean (E, d) un espacio métrico y α > 1 un número ordinal. Si para todo

ordinal β tal que 0 < β < α y para todo K ∈ KE tal que CB(K) = (β, p) se tiene que

56

K ∼ ωβ · p + 1, entonces para todo K ∈ KE tal que CB(K) = (α, 1), se tiene que

K ∼ ωα + 1.

Demostración. Sea K ∈ KE tal que CB(K) = (α, 1), por lo tanto, existe x ∈ K tal

que K(α) = x. Se tiene que x ∈ K(α) ⊆ K′′. Así, se tiene que x es un punto de

acumulación de K′, por lo tanto, por el Corolario 3.35, existe una sucesión de (xn)n∈ω

de K′r x tal que (d(xn, x))n∈ω es estrictamente decreciente y convergente a 0.

Ahora, para n ∈ ω, se tiene que el conjunto

d(z, x) ∈ R : z ∈ K

es numerable, por lo tanto,

An = d(z, x) ∈ R : z ∈ Kc ∩ (d(xn+1, x), d(xn, x))

es no vacío. Así, se tiene que Ann∈ω es una familia de conjuntos no vacíos, por

lo tanto, gracias al Axioma de Elección, se tiene que existe una sucesión (rn)n∈ω tal

que, para todo n ∈ ω,

d(xn+1, x) < rn < d(xn, x)

y para todo z ∈ K se tiene que d(z, x) 6= rn. Con esto, para n ∈ ω, se definen los

conjuntos

F0 = B(x, r0)c,

Fn+1 = B[x, rn]r B(x, rn+1)

y

Kn = K ∩ Fn.

Para n ∈ ω, nótese que

K ∩ Fn = K ∩ int (Fn) ,

en efecto, dado que int (Fn) ⊆ Fn, se tiene que K ∩ int (Fn) ⊆ K ∩ Fn; recíprocamente,

dado z ∈ K ∩ Fn, se tiene que z ∈ K y

rn+1 ≤ d(z, x) ≤ rn,

además, dado que z ∈ K, se tiene que d(z, x) 6= rn+1 y d(z, x) 6= rn, así, tomando

ε = mınd(z, x) − rn+1, rn − d(z, x) > 0, se tiene que B(z, ε) ⊆ Fn, por lo tanto,

z ∈ int (Fn), así, K ∩ Fn ⊆ K ∩ int (Fn).

Con esto, se tiene que la familia Knn∈ω posee las siguientes propiedades:

• xn ∈ Kn, para todo n ∈ ω.

57

• Kn ⊆ K, para todo n ∈ ω.

• Kn es cerrado, para todo n ∈ ω; pues es la intersección de conjuntos cerrados.

• Kn es compacto, para todo n ∈ ω; pues es un conjunto cerrado subconjunto de

un compacto.

• Kn ∈ KE, para todo n ∈ ω.

• K′n 6= ∅, para todo n ∈ ω; pues dado n ∈ ω, por la Proposición 3.16, se tiene

que K′n = (K ∩ Fn)′ = K′ ∩ Fn, y dado que xn ∈ K′ ∩ Fn, se tiene que xn ∈ K′

n.

• Knn∈ω es una familia disjunta; pues si n, m ∈ ω son tales que n < m y existe

z ∈ Kn ∩ Km, se tendría que z ∈ K,

rm+1 ≤ d(z, x) ≤ rm y rn+1 ≤ d(z, x) ≤ rn,

dado que (rn)n∈ω es estrictamente decreciente, la única forma que esto se cum-

pla es que m = n + 1; por lo tanto, se tendría que d(z, x) = rm, lo cual es

imposible dado que z ∈ K.

• K =⋃

n∈ω Kn ∪x; en efecto, dado que (rn)n∈ω tiene a 0, se tiene que⋃

n∈ω Fn ∪

x = E y por lo tanto⋃

n∈ω

Kn ∪ x =⋃

n∈ω

(K ∩ Fn) ∪ x

=

(K ∩

⋃

n∈ω

Fn

)∪ x

= K ∩

(⋃

n∈ω

Fn ∪ x

)

= K ∩ E = K.

• K(α)n = ∅, para todo n ∈ ω; pues dado n ∈ ω, por la Proposición 3.16, se tiene

que

K(α)n = (K ∩ Fn)

(α) = K(α) ∩ Fn = x ∩ Fn = ∅.

• CB(Kn) = (βn, pn), con 0 < βk < α, para todo n ∈ ω.

Con esto, utilizando la hipótesis, para todo n ∈ ω, se tiene que Kn ∼ ωβn · pn + 1.

Así, gracias al Axioma de Elección, se tiene una familia de homeomorfismos tales

58

que para todo n ∈ ω fn : Kn −→ ωβn · pn + 1. Ahora, defínase la función

f : K −→ τ + 1

z 7−→ f (z) =

f0(z), si z ∈ K0

n−1

∑k=0

ωβk · pk + 1 + fn(z), si z ∈ Kn, n ∈ ω r 0

τ si z = x,

donde

τ = ∑k∈ω

ωβk · pk = sup

n

∑k=0

ωβk · pk : n ∈ ω

.

De manera idéntica a la realizada por el autor en [1, Lema 3.3], se obtiene que τ = ωα

y que la función f es un homeomorfismo, por lo tanto, se concluye que K ∼ ωα +

1.

LEMA 4.9. Sean (E, d) un espacio métrico y α > 0 un número ordinal. Si para todo

K ∈ KE tal que CB(K) = (α, 1) se tiene que K ∼ ωα + 1, entonces para todo K ∈ KE

tal que CB(K) = (α, p), se tiene que

K ∼ ωα · p + 1.

Demostración. Sea K ∈ KE tal que CB(K) = (α, p), se tiene que

K(α) = x0, x1, . . . , xp−1,

con xi 6= xj si i 6= j. Así, defínase, para 0 < n < p,

dn = mınd(xn, xj) ∈ R : 0 ≤ j < p y i 6= j,

dado que

d(z, xn) ∈ R : z ∈ K

es numerable, existe rn > 0 tal que

rn ∈ d(z, xn) ∈ R : z ∈ Kc ∩ (0, dn),

así, para todo z ∈ K se tiene que d(z, x) 6= rn. Con esto, para 0 < n < p, tómese

Fn = B[xn, rn]

y

F0 = E r

⋃

0<n<p

B(xn, rn).

Con esto, defínase, para 0 ≤ n < p,

Kn = K ∩ Fn.

59

Nótese que

K ∩ Fn = K ∩ int (Fn) ,

en efecto, dado que int (Fn) ⊆ Fn, se obtiene que K ∩ int (Fn) ⊆ K ∩ Fn. Recíproca-

mente, dado z ∈ K ∩ Fn, entonces z ∈ K y se tienen los siguientes casos:

• Si n 6= 0, dado que Fn = B[xn, rn], se tiene que

d(z, xn) ≤ rn,

además, dado que z ∈ K, se tiene que d(z, xn) 6= rn, así, tomando ε = rn −

d(z, x) > 0, se tiene que B(z, ε) ⊆ Fn, por lo tanto, z ∈ int (Fn).

• Si n = 0, dado que F0 = E r⋃

0<n<p B(xn, rn), se tiene que

rn ≤ d(z, xn),

para todo 0 < n < p, además, dado que z ∈ K, se tiene que d(z, xn) 6= rn, así,

tomando ε = mınd(z, xn)− rn : 0 < n < p > 0, se tiene que B(z, ε) ⊆ F0,

por lo tanto, z ∈ int (Fn).

Así, K ∩ Fn ⊆ K ∩ int (Fn).

Con esto, de manera análoga a la demostración del lema anterior, se tiene que la

familia Knn<p posee las siguientes propiedades:

• xn ∈ Kn, para todo n ∈ ω.

• Kn ⊆ K, para todo n ∈ ω.

• Kn es cerrado, para todo n ∈ ω.

• Kn es compacto, para todo n ∈ ω.

• Kn ∈ KE, para todo n ∈ ω.

• Knn∈ω es una familia disjunta.

• K =⋃

n∈ω Kn.

• K(α)n = xn, para todo n ∈ ω; pues dado n ∈ ω, por la Proposición 3.16, se

tiene que

K(α)n = (K ∩ Fn)

(α) = K(α) ∩ Fn = xn.

• CB(Kn) = (α, 1).

De aquí, utilizando la hipótesis, para todo n < p, se tiene que Kn ∼ ωα + 1. Así, se

tiene, para todo n < p, fn : Kn −→ ωα + 1 es un homeomorfismo . Ahora, defínase

60

la función

f : K −→ τ + 1

z 7−→ f (z) =

f0(z) si z ∈ K0,

ωα · n + 1 + fn(z) si z ∈ Kn, 0 < n < p,

donde τ = ωα · p.

De manera idéntica a la realizada por el autor en [1, Lema 3.5], se obtiene que la

función f es un homeomorfismo, por lo tanto, se concluye que K ∼ ωα · p + 1.

LEMA 4.10. Sean (E, d) un espacio métrico, α > 0 un número ordinal y p ∈ ω. Se

tiene que si K ∈ KE es tal que CB(K) = (α, p), entonces

K ∼ ωα · p + 1.

Demostración. Procediendo por Inducción Transfinita, por el Lema 4.7 y el Lema 4.9,

se tiene que el resultado es verdadero para α = 1. Ahora, sea α ∈ ω1 tal que α > 1,

supóngase que el resultado es verdadero para todo ordinal β tal que 0 < β < α; por

el Lema 4.8 y el Lema 4.9, se tiene que el resultado es verdadero para α. Así, se tiene

que el resultado se cumple para todo ordinal numerable mayor que cero.

TEOREMA 4.11. Sean (E, d) un espacio métrico y K1, K2 ∈ KE tales que CB(K1) =

CB(K2). Entonces K1 ∼ K2.

Demostración. Sea CB(K1) = CB(K2) = (α, n), para algún ordinal α y algún n ∈ ω.

• Si α = 0, se tiene que tanto K1 como K2 son conjunto finitos de n elementos,

por lo tanto K1 ∼ K2.

• Si n = 0, por la Proposición 4.5 se tiene que tanto K1 como K2 son vacío, por lo

tanto K1 ∼ K2.

• Si n > 0 y α > 0, por el Lema 4.10, se tiene que

K1 ∼ ωα · n + 1 y K2 ∼ ωα · n + 1,

por lo tanto K1 ∼ K2.

4.2. Partición de KE

Dado un espacio métrico (E, d), se tiene que la relación de homemorfismo define

una relación de equivalencia en el conjunto KE, es más, por la Proposición 3.27, para

61

K1, K2 ∈ KE, esta relación se puede caracterizar por

K1 ∼ K2 ⇐⇒ existe f : K1 −→ K2 continua y biyectiva.

Además, por la Proposición 2.3, se tiene que ∼ define una partición sobre el conjunto

KE, por lo tanto, se define

KE = [K] ∈ P(KE) : K ∈ KE.

Los Teoremas 4.6 y 4.11 señalan que la partición dada a KE está totalmente carac-

terizada por la característica de Cantor-Bendixson. Cabe recalcar, que a diferencia de

lo realizado por el autor en [1], se tiene este resultado para cualquier espacio métrico

y no solo para R.

Así, se puede estudiar la cardinalidad de esta partición, extendiendo los resulta-

dos dados por S. Mazurkiewicz y W. Sierpinski en [17].

TEOREMA 4.12. Sea (E, d) un espacio métrico. El conjunto KE tiene cardinalidad

menor o igual a ℵ1.

Demostración. Se define

CB : KE −→ ω1 × ω

[K] 7−→ CB([K]) = CB(K) = (α, n).

Esta es en efecto una función, pues, por el Teorema 4.6, se tiene que CB([K]) es

independiente del representante de [K] elegido. Además, por el Teorema 4.11, la

función es inyectiva, pues dados K!, K2 ∈ KE tales que CB([K1]) = CB([K2]), se

tiene que CB(K1) = CB(K2), de donde, K1 ∼ K2, por lo tanto, [K1] = [K2].

Así, se tiene que

|KE| ≤ |ω1 × ω|.

Además, por la Proposición 2.12, se tiene que |ω1 × ω| = |ω1| = ℵ1, de donde, se

obtiene que

|KE| ≤ ℵ1.

Nótese que la igualdad de la cardinalidad puede no alcanzarse, para esto, se

tienen los siguientes resultados.

PROPOSICIÓN 4.13. Sea n ∈ ω, se tiene que existe un espacio métrico (E, d) tal que

|KE| = n.

Demostración. Tómese el espacio métrico (n, δn), dado que n es finito, se tiene que

62

todo subconjunto de este es compacto, es decir

Kn = P(n).

Ahora, para todo K ∈ Kn, se tiene que K(0) = K es finito, por lo tanto CB(K) =

(0, |K|). Así, se tiene que

|Kn| ≤ n.

Por otro lado, dado que para todo k < n, existe K ⊆ n tal que |K| = k, se tiene que

|Kn| = n.

PROPOSICIÓN 4.14. Existe un espacio métrico (E, d) tal que |KE| = ℵ0.

Demostración. Tómese el espacio métrico (ω, δω), dado que δω es la métrica discreta,

se tiene que un subconjunto de ω es compacto si y solo si es finito. Por lo tanto, para

todo K ∈ Kω, se tiene que K(0) = K es finito, de donde CB(K) = (0, |K|). Así, se

tiene que

|Kω| ≤ ℵ0.

Por otro lado, dado que para todo k ∈ ω, existe K ⊆ ω tal que |K| = k, se tiene que

|Kω| = ℵ0.

PROPOSICIÓN 4.15. Existe un espacio métrico (E, d) tal que |KE| = ℵ1.

Demostración. Tómese el espacio métrico (R, d), con d la métrica habitual sobre R.

En el desarrollo hecho por el autor en [1, Teorema 3.4], se tiene que

|KR| = ℵ1.

Se puede notar que las características anteriores no son únicamente de espacios

numerables y no numerables, como lo son ω y R, respectivamente, para esto, to-

mando Q ⊆ R como el conjunto de los números racionales, el cual es numerable, se

tiene la siguiente proposición.

LEMA 4.16. Para todo ordinal numerable α, y para todo a, b ∈ Q tal que a < b, existe

un conjunto K ∈ KR tal que K ⊆ (a, b], K(α) = b y K ⊆ Q.

Demostración. Siguiendo la demostración dada por el autor en [1, Teorema 2.1], to-

mando la sucesión (xn)n∈ω formada únicamente por números racionales (la cual

existe pues Q = R), se tiene que el conjunto K resultante cumple la propiedad extra

de que K ⊆ Q. Así, se tiene el resultado.

63

COROLARIO 4.17. Para todo ordinal numerable α, y para todo p ∈ ω r 0 existe

un conjunto K ∈ KQ tal que CB(K) = (α, p), y por lo tanto

K ∼ ωα · p + 1.

Demostración. Siguiendo la demostración dada por el autor en [1, Corolario 2.1], y

utilizando el lema anterior, se tiene el resultado.

PROPOSICIÓN 4.18. Existe un espacio métrico numerable (E, d) tal que |KE| = ℵ1.

Demostración. Utilizando el corolario anterior, se tiene que la función definida en el

Teorema 4.12 cumple que

CB(KQ) =(ω1 × (ω r 0)

)∪ (0, 0),

por lo tanto

|KQ| = |(ω1 × (ω r 0)

)∪ (0, 0)| = |ω1 × ω|

y por la Proposición 2.12, se tiene que |ω1 × ω| = |ω1| = ℵ1, de donde, se concluye

que

|KQ| = ℵ1.

PROPOSICIÓN 4.19. Existe un espacio métrico no numerable (E, d) tal que |KE| =

ℵ0.

Demostración. Tómese el espacio métrico (E, d) = (R, δR), el cual es no numerable.

Siguiendo el mismo razonamiento que en la demostración de la Proposición 4.14, se

tiene que

|KE| = ℵ0.

64

Capítulo 5

Espacios Polacos

En el presente capítulo se revisan algunos conceptos básicos relacionados con

los espacios polacos y su topología para el estudio de sus subconjuntos compactos

numerables. Además, se dan caracterizaciones de los subconjuntos compactos de

los espacio polacos.

Para introducir el concepto espacios polacos, se presentan primero las siguientes

definiciones.

DEFINICIÓN 5.1 (Espacio metrizable). Un espacio topológico (E, τ) se dice metriza-

ble si existe una métrica d sobre E tal que τ = τd.

Con esto, se tiene que (E, τ) es metrizable, si y solo si existe un espacio métrico

(E, d) tal que E ∼ E, pues, dado un homemorfismo f : E −→ E, se toma sobre E la

métricadE : E × E −→ R

(x, y) 7−→ dE(x, y) = d( f (x), f (y)).

DEFINICIÓN 5.2 (Espacio completamente metrizable). Un espacio topológico (E, τ)

se dice completamente metrizable si existe una métrica d sobre E tal que τ = τd y

(E, d) es un espacio completo.

Análogamente, se tiene que (E, τ) es completamente metrizable, si y solo si existe

un espacio métrico completo (E, d) tal que E ∼ E.

DEFINICIÓN 5.3 (Espacio polaco). Un espacio topológico (E, τ) se dice polaco si es

separable y completamente metrizable.

Se tienen como ejemplos de espacios polacos los siguientes:

• El conjunto de los números reales R con su topología usual, pues es completo

65

y Q es denso en R.

• El conjunto Rn con su topología usual dada por la métrica euclidea, pues es

completo y Qn es denso en Rn.

• En el contexto de [2], dado Ω un espacio medido, el conjunto Lp(Ω), con 1 ≤

p < +∞, es un espacio métrico completo y separable (ver [2]), por lo tanto, es

un espacio polaco.

Por otro lado, se puede observar que Q, con la topología inducida por la topología

usal de R no es completamente metrizable, pues de serlo, por el Teorema de Cate-

gorías de Baire, la familia Q r qq∈Q, la cual está formada por conjuntos abiertos

y densos en Q, tendría intersección densa, pero⋃

q∈Q

(Q r q) = ∅. Así, se tiene que

Q no es un espacio polaco.

Además, se tienen los siguientes resultados que relacionan los espacio polacos

con los números ordinales.

PROPOSICIÓN 5.1. Sea α un ordinal sucesor numerable. Se tiene que (α, τα) es un

espacio polaco.

Demostración. Por el Corolario 4.17, para α, existe un conjunto K ∈ KR tal que

K ∼ ωα + 1.

Dado que K ⊆ R es compacto, se tiene que es un espacio métrico completo, por lo

tanto, ωα + 1 es completamente metrizable. Sea d una métrica tal que (ωα + 1, d) es

completo, dado que, por la Proposición 2.31, se tiene que α ≤ ωα, entonces

α ⊆ ωα + 1.

Así, se tiene que (α, d) es un subespacio métrico de (ωα + 1, d), además, dado que

α es un ordinal sucesor, por la Proposición 3.33, se tiene que α es compacto y por lo

tanto, completo. En conclución, α es compeltamente metrizable.

Finalmente, dado que α es numerable, se tiene que α es separable, de donde, se

tiene que (α, τα) es un espacio polaco.

PROPOSICIÓN 5.2. Sea λ un ordinal límite numerable. Se tiene que (λ, τλ) es un

espacio polaco.

Demostración. Si λ = 0, el resultado es inmediato. Ahora, si λ 6= 0, dado que es

numerable, existe una sucesión estrictamente creciente de ordinales (βn)n∈ω tal que

supβn : n ∈ ω = λ. Tómese, para n ∈ ω, αn = βn + 1, así, se tiene que (αn)n∈ω

66

es una sucesión estrictamente creciente de ordinales sucesores tal que supαn : n ∈

ω = λ.

Ahora, para cada n ∈ ω, por el Corolario 4.17 y el Lema 4.16, existe un conjunto

Kn ∈ KR tal que Kn ∼ ωαn + 1 y Kn ⊆ (n, n + 1]. Así, por el Axioma de Elección,

existe una familia fnn∈ω tal que para todo n ∈ ω, fn : ωαn + 1 −→ Kn es un

homeomorfismo, con lo cual, se tiene que

fn+1(αn+1 r αn) = fn+1([αn + 1, βn+1]) ⊆ fn+1(Kn+1) ⊆ (n + 1, n + 2]

es un cerrado, subconjunto de (n + 1, n + 2], de igual forma,

f0(α0 + 1) ⊆ f0(K0) ⊆ [0, 1]

es un cerrado, subconjunto de (0, 1]. Con esto, se define la función

f : λ −→ R

γ 7−→ f (γ) =

f0(γ) si γ ∈ [0, α0],

fn(γ) si γ ∈ [αn + 1, βn+1], n ∈ ω r 0.

Así, se tiene que f es un homeomorfismo entre λ y f (λ), el cual será un subconjunto

cerrado de R, por lo tanto, un espacio métrico completo. Con esto, se concluye que

λ es completamente metrizable.

Finalmente, dado que λ es numerable, se tiene que λ es separable, de donde, se

tiene que (λ, τλ) es un espacio polaco.

PROPOSICIÓN 5.3. Se tiene que (ω1, τω1) no es separable.

Demostración. Supóngase que ω1 es separable. Sea M un subconjunto denso nume-

rable de ω1. Tómese

β = supγ : γ ∈ M =⋃

γ∈M

γ,

así, se tiene que M ⊆ [0, β], de donde,

M ⊆ [0, β],

por lo tanto ω1 ⊆ [0, β] = β + 1, lo cual es imposible pues, dado que M es nu-

merable, se tiene que β es numerable. Con esto, se concluye que (ω1, τω1) no es

separable.

PROPOSICIÓN 5.4. Sea α un ordinal no numerable. Se tiene que (α, τα) no es un

espacio polaco.

Demostración. Supóngase que α es un espacio polaco. Dado que α es no numerable,

67

se tiene que ω1 ≤ α, por lo tanto

ω1 ⊆ α.

Puesto que α es un espacio polaco, se tiene que α es separable, por lo cual, ω1 tam-

bién sería separable, lo que contradice la porposición anterior. Así, se concluye que

(α, τα) no es un espacio polaco.

Resumiendo las anteriores proposiciones, se tiene la siguiente proposición.

PROPOSICIÓN 5.5. Sea α un número ordinal. Se tiene que (α, τα) es un espacio po-

laco si y solo si α es numerable.

Dado un espacio métrico (E, d), nótese que este es polaco si es completo y sepa-

rable. Así, en lo posterior, se tomará por espacio polaco cualquier espacio métrico

(E, d) completo y separable.

5.1. Compactos en Espacios Polacos

En esta sección, se elaborará un estudio de la clasificación de los conjuntos com-

pactos y numerables de espacios polacos. Ampliando, así, los resultados obtenidos

al final del capítulo anterior.

Se iniciará analizando los conjuntos compactos de espacios polacos numerables,

para lo cual, se tiene los siguientes resultados.

LEMA 5.6. Sea (E, d) un espacio métrico completo, numerable y no vacío. Se tiene

que E′ 6= E.

Demostración. Por reducción al absurdo, supóngase que E′ = E, así, se tendría que

E r xx∈E

es una familia numerable de conjuntos abiertos y densos de E. Así, por el Teorema

de Categorías Baire se tiene que esta familia posee intersección densa, pero⋂

x∈E

(E r x) = ∅,

lo cual es contradictorio, por lo tanto, E′ 6= E.

LEMA 5.7. Sea (E, d) un espacio métrico completo, numerable y no vacío. Se tiene

que existe un ordinal numerable α, tal que

E(α) = ∅.

68

Demostración. Por reducción al absurdo, supóngase que para todo ordinal numera-

ble α se tiene que

E(α) 6= ∅.

Sea α un ordinal numerable, se tiene que E(α) es un cerrado de E, por lo tanto

(E(α), d) es un espacio métrico, completo y no vacío. Por el lema anterior, se tiene

que E(α+1) 6= E(α), así

Eα = E(α)r E(α+1) 6= ∅.

Con lo cual, se obtiene la familia Eαα∈ω1 . Siguiendo la demostración dada en el

Teorema 4.4, se puede concluir que

|ω1| ≤ |E| ≤ ℵ0.

Lo cual es contradictorio, por lo tanto, existe un ordinal numerable α, tal que E(α) =

∅.

PROPOSICIÓN 5.8. Sea (E, d) un espacio polaco numerable. Se tiene que existe un

ordinal numerable α, tal que para todo K ∈ KE se cumple que

K(α) = ∅.

Demostración. Por el lema anterior, se tiene que existe α, tal que

E(α) = ∅.

Sea K ∈ KE, dado que K ⊆ E, se tiene que

K(α) ⊆ E(α) = ∅,

por lo tanto, K(α) = ∅.

Con esto, se tiene que para todo espacio polaco numerable, existe un ordinal

numerable que sirve como cota superior para la primera componente de la caracte-

rística de Cantor-Bendixson de los conjuntos compactos de dicho espacio.

Ahora, se presentan propiedades relacionadas con los conjuntos compactos de

un espacio polaco perfecto, es decir, cuando el espacio es igual a su derivado.

PROPOSICIÓN 5.9. Sea (P, d) un espacio polaco, perfecto y no vacío. Para todo or-

dinal numerable α, para todo z ∈ P y para todo r > 0, existe un conjunto K ∈ KP tal

que

K ⊆ B(z, r) y K(α) = z.

Demostración. Se procede por Inducción Transfinita, para el caso α = 0, sean z ∈ P

y r > 0; tomando K = z, se tiene que K cumple las propiedades señaladas.

69

Ahora, sea α un ordinal numerable tal que para todo x ∈ P y para todo ǫ > 0,

existe un conjunto K ∈ KP tal que K ⊆ B(x, ǫ) y K(α) = x. Se demostrará que

para todo z ∈ P y para todo r > 0, existe un conjunto K ∈ KP tal que K ⊆ B(z, r) y

K(α+1) = z. Sean z ∈ P y r > 0; dado que P es perfecto, se tiene que z es un punto

de acumulación de P, por lo tanto, existe una sucesión (xn)n∈ω de elementos de

Pr z tal que (d(xn, z))n∈ω es estrictamente decreciente y convergente a 0; además,

se puede tomar esta sucesión de tal manera que d(xn, z) < r, para todo n ∈ ω. Así,

tómese, para n ∈ ω,

r−1 = r y rn = d(xn, z)

y defínase

ǫn = 12 mınrn−1 − rn, rn − rn+1.

Aplicando la hipótesis y gracias al Axioma de Elección, existe una familia Knn∈ω

tal que para todo n ∈ ω, Kn ∈ KP,

Kn ⊆ B(xn, ǫn) y K(α) = xn.

Además, se tiene que

Kn ⊆ B(xn, ǫn) ⊆ B(z, rn−1) y Kn ⊆ B(z, rn+1)c

para todo n ∈ ω. Con esto, se define

K =⋃

n∈ω

Kn ∪ z,

con lo cual, se cumple que K posee las siguientes propiedades.

• K ⊆ B(z, r), pues Kn ⊆ B(z, rn−1) ⊆ B(z, r), para todo n ∈ ω.

• K es numerable dado que es la unión numerable de conjuntos numerables.

• K es compacto, puesto que, dado un recubrimiento abierto Aii∈I de K, existe

j ∈ I tal que z ∈ Aj. Dado que Aj es un abierto, se tiene que existe N ∈ ω tal

que para todo n > N

Kn ⊆ B(z, rn−1) ⊆ Aj.

Por otro lado, el conjunto C =⋃

n≤N Kn es un conjunto compacto, pues es la

unión finita de conjuntos compactos, así, existe un subrecubrimiento Aii∈J

para C. Por lo tanto, Aii∈J∪j es un subrecubrimiento finito para K.

• K(α+1) = z, en efecto, defínase, para n ∈ ω el conjunto

Fn = B(

z, rn+rn+12

)c.

70

Nótese que, dado n ∈ ω, si Kk ⊆ Fn, dado que Kk ⊆ B(z, rk−1), se tendría que

rn+1 <rn + rn+1

2< rk,

así, k < n + 1 y por lo tanto, k ≤ n. Recíprocamente, si k < n se tendría que

k + 1 ≤ n, entoncesrn + rn+1

2< rn ≤ rk+1,

y dado que Kk ⊆ B(z, rk+1)c, se obtendría que Kk ⊆ Fn. Además, se tiene que

Kn ⊆ B(xn, ǫn) ⊆ Fn, pues si existe x ∈ B(xn, ǫn) tal que x 6∈ Fn, se tendría que

d(x, xn) <12(rn − rn+1) y d(x, z) < 1

2(rn + rn+1),

por lo tanto,

rn = d(xn, z) ≤ 12(rn − rn+1) +

12(rn + rn+1) = rn,

lo cual es imposible. Así se obtiene que, para n ∈ ω,

Kk ⊆ Fn si y solo si k ≤ n,

de donde, se concluye que

K ∩ Fn =⋃

k≤n

Kk.

Por otro lado, para n ∈ ω,

K ∩ Fn =⋃

k≤n

Kk = K ∩ int (Fn) ,

en efecto, dado que int (Fn) ⊆ Fn, se tiene que K ∩ int (Fn) ⊆ K ∩ Fn; recíproca-

mente, dado x ∈ K ∩ Fn =⋃

k≤n Kk, se tiene que

d(x, z) ≥rn + rn+1

2,

y que x ∈ Kk para algún k ≤ n. Nótese que d(x, z) 6= rn+rn+12 , pues de no ser

así, se tendría que

rk = d(xk, z) ≤ d(x, xk) + d(x, z) <rk − rk+1

2+

rn + rn+1

2,

dado que k ≤ n, se tiene que rn ≤ rk, por lo tanto, de lo anterior, se concluye

que

rk+1 < rn+1,

de donde, k + 1 > n + 1, lo cual es contradictorio. Así se tiene que

ǫ = d(x, z)−rn + rn+1

2> 0,

con lo cual B(x, ǫ) ⊆ Fn, por lo tanto, x ∈ int (Fn).

71

Con esto, para n ∈ ω, por la Proposición 3.16, se tiene que

K(α+1) ∩ Fn = (K ∩ Fn)(α+1)

=

(⋃

k≤n

Kk

)(α+1)

=⋃

k≤n

K(α+1)k

=⋃

k≤n

xk′

=⋃

k≤n

∅

= ∅.

Así, K(α+1) ⊆ Fcn, es decir

K(α+1) ⊆ B(

z, rn+rn+12

),

por lo tanto,

K(α+1) ⊆⋂

n∈ω

B(

z, rn+rn+12

)= z.

Por otro lado, para n ∈ ω, por la Proposición 3.16, se tiene

K(α) ∩ Fn = (K ∩ Fn)(α)

=

(⋃

k≤n

Kk

)(α)

=⋃

k≤n

K(α)k

=⋃

k≤n

xk.

Así, se tiene que xn ∈ K(α), para todo n ∈ ω; con esto, dado que (xn)n∈ω

converge a z y K(α) es un cerrado, se tiene que z ∈ K(α) y, además, z es un

punto de acumulación de K(α), así, z ∈ K(α+1), por lo tanto,

K(α+1) = z.

Finalmente, sea λ un ordinal numerable límite tal que para todo β < λ se tiene

que para todo x ∈ P y para todo ǫ > 0, existe un conjunto K ∈ KP tal que

K ⊆ B(x, ǫ)

y K(β) = x. Se demostrará que para todo z ∈ P y para todo r > 0, existe un

72

conjunto K ∈ KP tal que

K ⊆ B(z, r)

y K(λ) = z. Sean z ∈ P y r > 0; dado que P es perfecto, se tiene que z es un punto

de acumulación de P, por lo tanto, existe una sucesión (xn)n∈ω de elementos de

Pr z tal que (d(xn, z))n∈ω es estrictamente decreciente y convergente a 0; además,

se puede tomar esta sucesión de tal manera que d(xn, z) < r, para todo n ∈ ω. Por

otro lado, existe una sucesión (βn)n∈ω estrictamente creciente tal que

supβn : n ∈ ω = λ.

Por lo tanto, βn < λ, para todo n ∈ ω. Así, tómese

r−1 = r y rn = d(xn, z)

para n ∈ ω y se define, para n ∈ ω,

ǫn = 12 mınrn−1 − rn, rn − rn+1.

Aplicando la hipótesis y gracias al Axioma de Elección, existe una familia Knn∈ω

tal que para todo n ∈ ω, Kn ∈ KP,

Kn ⊆ B(xn, ǫn) y K(βn) = xn.

Además, se tiene que

Kn ⊆ B(xn, ǫn) ⊆ B(z, rn−1) y Kn ⊆ B(z, rn+1)c

para todo n ∈ ω. Con esto, se define

K =⋃

n∈ω

Kn ∪ z.

Así, de manera idéntica que en el paso anterior, se tiene que K cumple las siguientes

propiedades.

• K ⊆ B(z, r), para todo n ∈ ω.

• K es numerable.

• K es compacto.

• K(α+1) = z, en efecto, defínase, para n ∈ ω el conjunto

Fn = B(

z, rn−rn+12

)c.

De igual forma que en el paso anterior, se tiene que

K ∩ Fn =⋃

k≤n

Kk, y K ∩ Fn = K ∩ int (Fn)

73

para todo n ∈ ω. Con esto, para n ∈ ω, por la Proposición 3.16, se tiene que

K(λ) ∩ Fn = (K ∩ Fn)(λ)

=

(⋃

k≤n

Kk

)(λ)

=⋃

k≤n

K(λ)k

=⋃

k≤n

∅

= ∅,

pues

K(λ)k ⊆ K

(βk+1)k = xk

′ = ∅,

para todo k ∈ ω. Así, K(λ) ⊆ Fcn, es decir

K(λ) ⊆ B(

z, rn−rn+12

),

por lo tanto,

K(λ) ⊆⋂

n∈ω

B(

z, rn−rn+12

)= z.

Recíprocamente, sea β < λ, se tiene que existe N ∈ ω tal que β < βN , por lo

tanto, para todo n ≥ N, se tiene que β < βn, así

xn = K(βn)n ⊆ K

(β)n ⊆ K(β).

De aquí, se tiene que (xN+n)n∈ω es una sucesión de elementos de K(β). Ade-

más, dado que (xN+n)n∈ω converge a z y que K(β) es un cerrado, entonces

z ∈ K(β). Con esto se tiene que

z ∈⋂

β<λ

K(β) = K(λ),

por lo tanto,

K(λ) = z.

Así, se tiene que la proposición es verdadera para todo ordinal numerable.

PROPOSICIÓN 5.10. Sea (P, d) un espacio polaco perfecto y no vacío. Para todo or-

dinal numerable α, y para todo p ∈ ω r 0, existe K ∈ KP tal que

CB(K) = (α, p).

Demostración. Sean α un ordinal numerable y p ∈ ω r 0. Dado que P es no vacío,

existe x ∈ P y dado que P es perfecto, se tiene que x es un punto de acumulación

74

de P, por lo tanto, la bola B(x, 1) tiene infinitos puntos de P, así, se tiene que P es

infinito. Con esto, tómese

A = xk ∈ P : k < p

tal que xi 6= xj si i 6= j, se define

r = 12 mınd(xi, xj) : i 6= j.

Por la proposición anterior, para k < p existen Kk ∈ KP tal que

Kk ⊆ B(xk, r) y K(α) = xk.

Con esto, defínase

K =⋃

k<p

Kk,

Así, se tiene que K cumple las siguientes propiedades.

• K es numerable dado que es la unión finita de conjuntos numerables.

• K es compacto, puesto es la unión finita de conjuntos compactos.

• K(α) = A, en efecto, por el Corolario 3.15, se tiene que

K(α) =⋃

k<p

K(α)k =

⋃

k<p

xk = A.

Así, |K(α)| = |A| = p.

Por lo tanto, se tiene que K ∈ KP y CB(K) = (α, p).

Con esto, se tiene que que en cualquier espacio polaco perfecto, existen conjuntos

compactos cuya característica es cualquier par formado por un ordinal numerable y

un número natural diferente de 0.

Antes de la presentación del siguiente resultado, se tiene la siguiente definición

de punto de condensación.

DEFINICIÓN 5.4. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Un punto x ∈ E se

dice punto de condensación de A si para toda vecindad (básica) V de x se tiene que

V ∩ A es un conjunto no numerable.

Con esta definición, se tiene que en un espacio métrico (E, d), x es un punto de

condensación de A ⊆ E si y solo si para todo r > 0, se tiene que B(x, r) ∩ A es no

numerable.

LEMA 5.11. Sea (E, d) un espacio métrico separable. Se tiene que E tiene una base de

topología numerable.

75

Demostración. Dado que E es separable, existe M un subcojunto denso y numerable

de E. Con esto, se define

B = B(z, q) : z ∈ M, q ∈ Q y q > 0,

se tiene que B es una base de topología para E; en efecto, sea x ∈ E y r > 0, dado

que M es denso en E, se sigue que para todo u ∈ B(x, r), existe un zu ∈ M y qu ∈ Q

con qn > 0 tal que

u ∈ B(zu, qu) ⊆ B(x, r).

Así, se tiene que

B(x, r) =⋃

u∈B(x,r)

B(zu, qu),

es decir, B(x, r) es la unión de elementos de B, por lo tanto, dado que el conjunto

B(x, r) : x ∈ E y r > 0

es una base para la topología de (E, d), se concluye que B es también una base para

la topología de (E, d).

Por otro lado, la función

T : M × Q+ −→ B

(z, q) 7−→ (T(z, q) = B(z, q)),

con Q+ = q ∈ Q : q > 0, es sobreyectiva, por lo tanto, gracias a la Proposición 2.9,

se tiene que

|B| ≤ |M × Q+| = |ω × ω| = |ω| = ℵ0.

Así, se tiene que B es una base numerable para la topología de (E, d).

Con este resultado previo, se tiene el siguiente resultado que ayudará a caracteri-

zar los conjuntos compactos en espacios polacos no numerables, relacionando estos

espacios con los espacios polacos perfectos.

TEOREMA 5.12. Sea (E, d) un espacio polaco no numerable. Se tiene que existe P ⊆ E

perfecto y no vacío.

Demostración. Dado que E es separable, por el lema anterior, se tiene que posee una

base de topología numerable, en lo posterior se trabajará con esta base. Ahora, defí-

nase

P = x ∈ E : x es un punto de condensación de E.

Se tiene que P es no vacío, pues de serlo, se tendría que para cada x ∈ E existe un

76

vecindad básica Ux de x tal que Ux ∩ E es numerable, así, se tendría que

E =⋃

x∈E

Ux,

y dado que Uxx∈E es un subconjunto de la base, y por lo tanto numerable, se

concluiría que E es la unión numerable de conjuntos numerables; por lo tanto E

sería numerable, lo cual es contradictorio. Con lo cual, se concluye que

P 6= ∅.

Por otro lado, se tiene que P es perfecto, en efecto, sean x ∈ P′ y r > 0, se tiene

que existe

u ∈ B(x, r) ∩ P,

por lo tanto u ∈ P. Para ǫ = r − d(u, x) > 0, se tiene que

B(u, ǫ) ∩ E

es no numerable y dado que

B(u, ǫ) ∩ E ⊆ B(x, r) ∩ E,

se obtiene que B(x, r) ∩ E también es no numerable, por lo tanto, x es un punto de

condensación de E, es decir, x ∈ P. Recíprocamente, sean x ∈ P, por reducción al

absurdo, supóngase que existe r > 0 tal que B(x, r)∩ P = x. Con esto, se tiene que

para cada u ∈ B(x, r) existe un vecindad básica Uu de u tal que Uu ∩ E es numerable

y Uu ⊆ B(x, r), así, se tendría que

B(x, r) =⋃

u∈B(x,r)

Uu ∪ x,

y dado que Uuu∈B(x,r) es un subconjunto de la base, y por lo tanto numerable, se

tendría que B(x, r) = B(x, r) ∩ E es la unión numerable de conjuntos numerables;

por lo tanto B(x, r)∩ E sería numerable, lo cual es contradictorio pues x es un punto

de condensación de E. Así, se concluye que x ∈ P′. Así, se tiene que

P′ = P.

Con lo cual, se tiene que E posee un conjunto perfecto y no vacío.

Con esto, se tiene el siguiente resultado sobre los conjuntos compactos numera-

bles de un espacio polaco no numerable, el cual generaliza el resultado dado por el

autor en [1].

COROLARIO 5.13. Sea (E, d) un espacio polaco no numerable. Para todo ordinal

77

numerable α, y para todo p ∈ ω r 0, existe K ∈ KE tal que

CB(K) = (α, p).

Demostración. Sean α un ordinal numerable y p ∈ ω r 0. Por el teorema anterior,

se tiene que existe un conjunto P ⊆ E perfecto y no vacío. Así, por la Proposi-

ción 5.10, existe un conjunto compacto y numerable K ⊆ P tal que CB(K) = (α, p).

Dado que K es un compacto numerable de P se tiene que K ∈ KE, con lo cual con-

cluye la demostración.

Resumiendo los resultados de esta sección, se tiene el siguiente teorema que cla-

sifica la naturaleza de la cardinalidad del conjunto partición de los subconjuntos

compactos numerables de un espacio polaco. Esta clasificación está dada totalmen-

te por la cardinalidad del espacio.

TEOREMA 5.14. Sea (E, d) un espacio polaco. Se tiene que:

• si E es numerable, entonces

|KE| = |E| ≤ ℵ0;

• Si E es no numerable, entonces

|KE| = ℵ1.

Demostración. Sea (E, d) un espacio polaco, se tiene los siguientes casos:

• Supóngase que E es finito, sea n ∈ ω tal que |E| = n. Se tiene que todo sub-

conjunto de E es finito, y por lo tanto, compacto, así KE = P(E), además,

CB(K) = (0, |K|). Con esto, se tiene que

|KE| ≤ n.

Por otro lado, dado que E posee subconjuntos de cualquier cardinalidad me-

nor o igual que n, se tiene que |KE| = n, es decir

|KE| = |E|.

• Supóngase que E es infinito numerable, es decir, |E| = ℵ0. Por la Proposi-

ción 5.8, existe α un ordinal numerable tal que para todo KE se cumple que

K(α) = ∅, es decir, para todo K ∈ KE, si CB(K) = (β, p), entonces β < α + 1.

Con esto, se tiene que

CB(KE) ⊆ (α + 1)× ω,

78

Por lo tanto,

|KE| ≤ |(α + 1)× ω| = |ω × ω| = |ω| = ℵ0.

Por otro lado, dado que todo conjunto finito de E es compacto y que existen

conjuntos de cualquier cardinalidad finita de elementos, se tiene que |KE| ≥

ℵ0, por lo tanto, |KE| = ℵ0, es decir

|KE| = |E|.

• Supóngase que E es no numerable. Por el Teorema 4.12, se tiene que |KE| ≤ ℵ1.

Por otro lado, por el Corolario 5.13, se tiene que para todo α ordinal numerable

y todo p ∈ ω r 0, existe K ∈ KE tal que CB(K) = (α, p), por lo tanto

ω1 × (p ∈ ω r 0) ⊆ CB(KE),

así, se tiene que

|KE| ≥ |ω1 × (ω r 0)| = |ω1| = ℵ1,

de donde, se concluye que

|KE| = ℵ1.

Por lo tanto, el resultado queda demostrado.

79

Conclusiones

A continuación, se enlistarán las conclusiones obtenidas en los diversos resulta-

dos alcanzados en el presente trabajo.

• Gracias al Teorema 4.6 y al Teorema 4.11, se tiene que la característica de

Cantor-Bendixson caracteriza completamente la relación de equivalencia dada

por homeomorfismos entre los conjuntos compactos numerables de los espa-

cios métricos.

• El Teorema 4.12 da una acotación a la cardinalidad de la clasificación de los

conjuntos compactos numerables de un espacio métrico arbitrario.

• En las Proposiciones 4.13, 4.14, 4.15, 4.18 y 4.19 se dan ejemplos de espacios,

siendo estos numerables o no, en los que cualquier cardinalidad menor o igual

a ℵ1 es alcanzada por la clasificación de los conjuntos compactos numerables

de dichos espacios.

• En la Proposición 5.5 se plantea una clasificación de los espacios ordinales in-

dicando que estos son polacos si y solo si son numerables.

• La Proposición 5.8 presenta una característica importante de los subconjuntos

compacto numerables de espacios polacos que también sean numerables, la

cual indica que la característica de Cantor-Bendixson de estos está acotada en

su primera componente.

• Las Proposiciones 5.9 y 5.10 extienden las ideas de [1] para generar conjuntos

compactos numerables en espacios polacos perfectos. Lo cual es generalizado

para espacios polacos no numerables en la Proposición 5.13.

• El Teorema 5.14 da una caracterización completa de la cardinalidad de la cla-

sificación de subconjuntos compactos numerables de un espacio polaco arbi-

trario, indicando que esta depende únicamente de la cardinalidad del espacio

original.

80

Bibliografía

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Biografía del Autor

El matemático Andrés Esteban Merino Toapanta nació en Qui-

to, Ecuador, en el año de 1990. Cursó el bachillerato, con espe-

cialización en Físico-Matemático, en el Colegio Municipal Ex-

perimental “Sebastián de Benalcázar”. Sus estudios de pregra-

do los realizó en la Escuela Politécnica Nacional, obteniendo el

título de Matemático, suma cum laude, en el año de 2014. Fue el

segundo mejor graduado de su generación y mejor graduado

de su carrera.

Durante sus estudios viajó a varias escuelas de matemática en Colombia, Vene-

zuela, México, Argentina y Chile. Especializándose en la Teoría de Conjuntos y los

Fundamentos de la Matemática.

Su trabajo de titulación de pregrado se tituló Clasificación de Subconjuntos Com-

pactos Numerables de los Reales y estuvo bajo la tutela de Borys Álvarez-Samaniego,

Ph.D., el cual fue su primer acercamiento a la Teoría Descriptiva de Conjuntos. A

raíz de este trabajo, junto con su tutor, publicaron el artículo científico titulado A

Primitive Associated to the Cantor-Bendixon Derivative on the Real Line en la revista

Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications en el año 2016.

Continuó sus estudios de posgrado en la Universidad Central del Ecuador, en

el programa Maestría en Matemáticas Puras y Aplicadas, realizado en conjunto con

la Universidad Jean-Monnet de Francia, obteniendo el título de Master 1 en Mate-

máticas en el año 2014. Para la obtención de su título de Magíster en Matemáticas,

elaboró el presente trabajo de investigación, el cual es una continuación y amplia-

ción de su trabajo previo.

Además, fundó en Club de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional y es

miembro del directorio de la Sociedad Ecuatoriana de Matemáticas. Actualmente,

trabaja como Profesor en el Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica

Nacional.

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR · se estudiarán los conjuntos compactos numerables bajo las ideas...

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