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Conjuntos numerables e innumerables II

En esta lección continuamos con el tratamiento de los conjuntos numerables y tambiénse introducen los conjuntos innumerables.

Para comenzar bosquejamos dos pruebas en ZF del siguiente resultado que sedemostró usando el AE.

Teorema 46.0.1 (ZF). Sea A un conjunto numerable. Entonces A<ω es numerable.

Demostración. Suponga que l : A → ω y p : ω × ω → ω son funciones inyectivas.Apelamos al teorema de recursión para obtener una sucesión 〈hn : n < ω〉, dondehn : An → ω para todo n ∈ ω y

1. h0(�) = 0. Recuerde que A0= {�}.

2. hn+1(f ) = p(hn(f ↾ n), l (f (n)) para toda f ∈ An+1.

Por indución se confirma que hn : An → ω es inyectiva para toda n < ωl lo cuales claro para h0. Suponga cierto para hn . Amalgamamos lo funciones hn medianteG : A<ω → ω dada por

G (f ) = p(n,hn(f )), n = dom(f ).

Dado que G es inyectiva, podemos concluir que A<ω es numerable.Una segunda demostración se logra a continuación. Sea l : A → ω inyectiva.

Primero se prueba que ω<ω es numerable; para ello defina H : ω<ω → ω mediante

H (f ) =

{1, si dom(f ) = 0

2f (0)+1 · 3f (1)+1 · 5f (2)+1 · · · pf (k)+1k

, si dom(f ) = k + 1

donde pi es el i -ésimo primo. Se sigue que H es inyectiva, por lo que ω<ω es numer-able. Defina G : A<ω → ω<ω mediante G (f ) = l ◦ f . Por tanto, si f : n → A, entoncesG (f ) : n → ω. Dado que l es inyectiva, así lo es G , de donde se sigue que A<ω esnumerable. �

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510 CAPÍTULO 46. CONJUNTOS NUMERABLES E INNUMERABLES II

También proporcionamos otra prueba en ZF del Teorema de Cantor-Bernstein.Antes un resultado sumamente sencillo.

Lema 46.0.2. Si f es una biyección de A a C , g una de B a D y A ∩B = � = C ∩D , entoncesf ∪ g es una biyección de A ∪ B a C ∪D .

Demostración. Dado que f , g son compatibles, f ∪ g es función. En forma similar seprueba que es inyectiva y claramente es sobre. �

Teorema 46.0.3. Si |A | ≤ |B | y |B | ≤ |A |, entonces |A | = |B |.

Demostración. Suponga que f : A → B y g : A → B son inyectivas. Para cada X ⊆ A,sea F (X ) = A − g [B − f [X ]].

Afirmación 1. Si X ,Y ⊆ A y X ⊆ Y , entonces F (x) ⊆ F (Y ).Demostración de la afirmación 1. Note que f [X ] ⊆ f [Y ], pues B − f [Y ] ⊆

B − f [X ], por lo que g [B − s [Y ]] ⊆ g [B − f [X ]]. En consecuencia,

F (X ) = A − g [B − f [X ]] ⊆ A − g [B − f [Y ]] = F (Y )

X (1)Sea A= {X : X ⊆ A ∧X ⊆ F (X )} y ponga X0 =

⋃X ∈AX .

Afirmación 2. X0 ⊆ F (X0).Demostración de la afirmación 2. Si X ∈ A, entonce X ⊆ X0, por lo que F (X ) ⊆

F (X0) por la afirmación 1. También X ⊆ F (X ) por la definición de A, así que X ⊆

F (X0). Dado que esto se cumple para todo X ∈ A, ocurre X0 =⋃X ∈AX ⊆ F (X0). X (2)

Afirmación 3. X0 = F (X0).Demostración de la afirmación 3. F (X0) ⊆ F (F (X0)) por la afirmación 2 y la 1,

así que F (X0) ∈ A, de donde se sigue F (X0) ⊆⋃X ∈AX = X0, lo que da lugar a la

afirmación usando la 2. X (3)Resulta que f es una biyección de X0 sobre f [X0]. Además, A −X0 = A − F (X0) =

g [B − f [X0]], por lo que g −1 es una biyección de A −X0 sobre B − f [X0]. Por lo tanto,A es equipotente a B . �

Además, otra prueba de que el producto cartesiano de dos conjuntos numerableses numerable.

Teorema 46.0.4 (ZFE). Sean A, B conjuntos numerables. Entonces, A ×B es numerable.

Demostración. Dado que A,B son equipotentes a N y es inmediato probar que A × Bes equipotente a N × N, basta probar que |N ×N | = |ω|.

La figura proporciona una guia para la demostración, pues construimos una fun-ción f : ω → ω ×ω, y esta f está inducida por las flechas de la figura.

Así, f (0) = (0, 0), f (1) = (0, 1), f (2) = (1, 0), f (3) = (0, 2), f (4) = (1, 1), etc.Definimos f por recursión. El valor inicial ya se estableció f (0) = (0, 0). Si ya

tenemos f (m), escribimos f (m) = (a, b). Si b , 0, escribimos b = c + 1 y sea f (m + 1) =(a + 1, c ). Si b = 0, sea f (m + 1) = (0, a + 1). Queda al lector, justificar el empleo delteorema de recursión.

Afirmación 1. f es sobre.


511

Figura 46.1: Teorema 46.0.4

Demostración de la afirmación 1. Probamos por inducción en m que para cua-lesquier n, p ∈ N, si m = n + p , entonces (n, p) está en el rango de f . Esto es claropara m = 0. Suponga que es cierto para m. Ahora, probamos por inducción enn que para cuaesquier n, p , si n + p = m + 1, entonces (n, p) está en el rango def . Para n = 0, queremos mostrar que (0,m + 1) está en el rango de f . Escogemosa ∈ ω con f (a) = (m, 0). Entonces, f (a + 1) = (0,m + 1), como se pide. Suponga que(n, p) ∈ r an(f ), con n + p = m + 1. Queremos verificar que para toda p , si n + 1+ p = m,f (a) = (n, p +1) ∈ r an(f ). Por hipótess de indución, ocurre (n, p +1) ∈ r an(f ), digamosf (a) = (n, p + 1), en cuyo caso f (a + 1) = (n + 1, p). Esto termina la etapa inductiva.Note que en la afirmación inductiva la afirmación para cualesquier n, p , si n + p = m + 1,entonces (n, p) ∈ r an(f ) se vuelve cierto por vacuidad si n > m + 1. X (1)

La inyectividad se desprende de la siguiente afirmación.Afirmación 2. Si a, b ∈ ω, a < b , f (a) = (m, n), y f (b) = (p , q ), entonces m +n < p +q

o m + n = p + q y m < p .Demostración de la afirmación 2. Procedemos por inducción en b , con a fija;



comenzamos con b = a + 1. Si n , 0, m + n = p + q y p = m + 1 > m, como sebusca. Si n = 0, entonces p = m + 1, q = 0 y p + q = m + 1 > m = m + 0. Así,el caso b = a + 1 es cierto. Suponga cierta la afirmación para b > a y probemospara b + 1. Suponga que f (a) = (m, n), f (b) = (r , s ), y f (b + 1) = (p , q ). Si s = 0,p + q = r + s + 1 > r + s > r + s ≥ m + n, donde la últma desigualdad se debe a lahipótesis de inducción. Si s > 0, p > r . Si m + n = r + s , entonces r > m por hipótesisde inducción, así p > m. Si m + n < r + s , entonces m + n < p + q , como se busca. X (1)

�

46.1 Numerabilidad

En la lectura previa mostramos que varios conjuntos importantes son numerables(los pares, los impares, los enteros, etc) y en lo ejercicios se pidió mostrar la enu-merabilidad de otros muchos conjuntos comunes en matemáticas. A continuaciónpresentamos algunos resultados relativos a numerabilidad.

Proposición 46.1.1. El conjunto Q es numerable.

Demostración. Para cualesquier m, n ∈ ω, sea

f (m, n) =

m2n , si m es par y n , 0−m+1

2n si m es impar y n , 00, si n = 0

Se sigue que f : N × N → Q.Afirmación 1. f es sobre.Demostración de la afirmación 1. Sea r ∈ Q. Si r > 0, escribimos r = u/v con

u , v > 0. Entonces, f (2u , v) = 2u2v =

uv = r . Si r = 0, f (0, 0) = 0 = r . Si r < 0, escribimos

r = −uv con u , v > 0. En consecuencia,

f (2u − 1, v) = −2u2v= −

u

v= r .

X (1)Por lo tanto, disponemos de una función f : N × N → Q sobre y como N × N es

numerable, se deduce que Q es numerable. �

Sea m < ω, m , 0. Una m-operación en un conjunto A es una función cuyodominio es Am y cuyo rango es un subconjunto de A. Una operación finitaria en Aes una función que es, para algún m ∈ ω − 1, una m-operación en A. Si f es una moperación finitaria en A y B ⊆ A, decimos que B es cerrado respecto a f , si para todo®b ∈ Bm se cumple f (®b) ∈ B . Finalmente, sea F un conjunto de operaciones finitariasen A, y sea X ⊆ A. La cerradura de X respecto a F es⋂

{B ⊆ A : B es cerrado respecto a cada f ∈ F ∧X ⊆ B}.

El conjunto sobre el cual se toma la intersección no es vacío, pues A es un elementode él. La cerradura se denota ClF (X ).


46.1. NUMERABILIDAD 513

Proposición 46.1.2. Suponga que F es un conjunto de operaciones finitarias en A y X ⊆ A.Entonces, X ⊆ ClF (X ) es cerrado respecto a cada f ∈ F .

Demostración. Sea B = {B ⊆ A : X ⊆ B y B es cerrado respecto a cada f ∈ F }; sesigue que ClF (X ) =

⋂B, y B no es vacío. Si B ∈ B, entonces X ⊆ B , por lo que

X ⊆ ClF (X ).Ahora suponga que f ∈ F y ®b ∈ Clm

F(X ). Para cada B ∈ B se cumple ClF (X ) ⊆ B ,

de donde se sigue ®b ∈ B . Por consiguiente, f (®b) ∈ B , pues B ∈ B y resulta cerradorespecto a f . Dado que B fue arbitrario, esto comprueba que f (®b) ∈

⋂B = ClF (X ).

Por lo tanto, ClF (X ) es cerrado respecto a cada f ∈ F . �

Una forma de expresar el resultado de este teorema es que si tenemos un conjuntoF de operaciones finitarias en un conjuno A y un subconjunto X ⊆ A, existe unsubconjunto Z ⊆ A tal que X ⊆ Z y Z es cerrado respecto a las operaciones en F .

El siguiente teorema proporciona una construcción de la cerradura que permitehacer estimaciones cardinales, muy importantes en el futuro.

Teorema 46.1.3. Sean F un conjunto de operaciones finitarias en un conjunto A y X ⊆ A.Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) a ∈ ClF (X ).

(ii) a ∈⋃m∈ω Dm , donde los conjuntos Di para i ∈ ω definidos por recursión como sigue.

Aquí, F(i ) ⊆ F representa a las i -funciones, es decir, funciones con valencia i para todoi < ω.

D0 = X

Dm+1 = Dm ∪ {f (®b) : ∃ i < ω(i < ω ∧ f ∈ F(i ) ∧ ®b ∈ D im)}

Demostración. Aquí, ®b significa que la n-ada ®b tiene la longitu apropiada para el con-texto, (i)⇒(ii). Basta mostrar que

⋃m∈ω Dm contiene a X y es cerrado respecto a

cada f ∈ F . Dado que D0 = X , es obvio que contiene a X . Ahora suponga que®b ∈ dom(f ) ∩

⋃m∈ω Dm , digamos que ®b ∈ An . Para cada i < m sea k (i ) el menor m ∈ ω

tal que b(i ) ∈ Dk(i ). Sea n el máximo de los k (i ) para i < m. En tal caso, r an(g ) ⊆ Dn ,por lo que f (®b) ∈ Dn+1 ⊆

⋃m∈ω Dm , como se busca. Que n exista, se puede probar por

inducción.(ii)⇒(i) Por inducción en m probamos que Dm ⊆ ClF (X ). Si m = 0, D0 = X ⊆

ClF (X ). Suponga cierto para m < ω, es decir, Dm ⊆ ClF (X ). Tome a ∈ Dm+1. Tenemosdos alterntaivas, a ∈ Dm ⊆ ClF (X ) o existen i < ω, f ∈ F y ®b ∈ D im tales que a = f (®b).Dado que Dm ⊆ ClF (X ) y este último conjunto es cerrado respecto a las f ∈ F ,deducimos que a = f (®b) ∈ ClF (X ). �

Corolario 46.1.4. Sean F un conjunto de operaciones finitarias en un conjunto infinito Ay X ⊆ A numerable. Suponga además que F es a lo sumo numerable. Entonces ClF (X ) esnumerable.



Demostración. Tratemos el caso numerable. Recuperamos la construcción de ClF (X )

dada por el inciso (ii) del teorema 46.1.3. Estudiemos de cerca la definición de Dm+1.

Dm+1 = Dm ∪ {f (®b) : ∃ i < ω(i < ω ∧ f ∈ F ∧ ®b ∈ D im)}

= Dm ∪ {f [D im] : ∃ i < ω(f ∈ F(i ))}︸︷︷︸z

Afirmación 1. D =⋃m<ωDm es numerable.

Demostración de la afirmación 1. Probamos por inducción en m que Dm esnumerable. Para m = 0, D0 = X que es numerable por hipótesis. Suponga que Dmes numerable. Entonces, Dm+1 es la unión de dos conjuntos numerables. En efecto,por hipótesis de inducción, Dm lo es. En cuanto al conjunto (z), note que si f ∈ F(i ),dado que Dm es numerable, así lo es D im , por lo que f [D im] es a lo sumo numerable.Tenemos una cantidad numerable de f ∈ F , por lo que (z) es a lo sumo numerable.X (1)

Dado que D = ClF (X ) por el teorema 46.1.3, hemos alcanzado nuestro objetivo. �

Corolario 46.1.5. Sea (M ,+, ∗) un anillo (o un grupo) infinito. Para cada subconjuntoN ⊆ M numerable existe un subanillo numerable R ⊆ M tal que N ⊆ R.

Demostración. Dado que tenemos un anillo (grupo), el conjunto de operaciones fini-tarias F = {+, ∗} es a lo sumo numerable. El corolario 46.1.4 proporciona un subcon-junto R ⊆ M cerrado respecto a F que es numerable. Por consiguiente, R es un anillo(grupo) y N ⊆ R por construcción de R. �

Corolario 46.1.6. Sea M un R módulo infinito con R numerable. Si N ⊆ M es numerable,existe un submódulo numerable L de M con N ⊆ L. Una afirmación similar se logra paraespacios vectorialesW sobre un campo K numerable.

Demostración. En el módulo M tenemos una operación finitaria +, la operación en elgrupo abeliano. También la operación producto por elementos del anillo se puedepensar como una operación finitaria. En efecto, sea r ∈ R y m ∈ M , entonces rm ∈ Mo mr ∈ M según tengamos un R-módulo izquierdo o derecho. En cuanto al tamañodel módulo resultante, esto no tiene la menor importancia. Pera cada r ∈ R, considerefr : M → M dada por fr (m) = rm. Tenemos tantas de estas operaciones finitarias comoelementos de R. Aplicamos el corolario 46.1.4 a F = {fr : r ∈ R} ∪ {+} y a N paraobtener un subconjunto numerable L ⊆ M cerrado respecto a F . Por lo tanto, L es unR-submódulo numerable de M . �

Definición 46.1.7. Un cpo (X , <) es denso si tiene al menos dos elementos y paracualesquier a, b ∈ X , a < b implica que existe x ∈ X tal que a < x < b .

En caso de existir, el mayor y menor elemento de un conjunto linealmente orde-nado se conocen como los extremos del conjunto. Quizá el ejemplo más relevantede un conjunto linealmente ordenado, denso, numerable, sin extremos es Q, con suorden usual; el orden es denso, porque si r , s ∈ Q con r < s , entonces x = (r + s )/2 es


46.1. NUMERABILIDAD 515

un racional tal que r < x < s . Además, si r ∈ Q, r + 1, r − 1 ∈ Q, por ello Q carece deextremos. Nuestro siguiente resultado establece que todos los conjunto linealmenteordenados numerables sin extremos son isomorfos, es decir, tienen el mismo tipoordinal.

Teorema 46.1.8. Sean (P , ≺) y (Q , <) conjuntos linealmente ordenados, densos, numerablesy sin extremos. Entonces, (P , ≺) y (Q , <) son isomorfos.

Demostración. Enumeramos a P = {pn : n ∈ N}, y a Q = {qn : n ∈ N}. Una función hde un subconjunto de P en Q es un isomorfismo parcial de P en Q si p ≺ p′ si y sólosi h(p) < h(p′) se cumple para cualesquier p , p′ ∈ h.

Afirmación 1. Si h es un isomorfismo parcial de P en Q tal que dom(h) es finito,y si p ∈ P y q ∈ Q , existe un isomorfismo parcial hp ,q ⊇ h tal que p ∈ dom(hp ,q ) yq ∈ r an(hp ,q ).

Demostración de la afirmación 1. Sea h = {(pi1 , qi1), . . . , (pik , qik )}, donde pi1 ≺

· · · ≺ pik , así que qi1 < qi2 < · · · < qik . Cuando p < dom(h), se cumple p ≺ pi1 opie ≺ p ≺ pie+1 para algúna 1 ≤ e ≤ k , o pik ≺ p . Tome el menor natural n tal que qnguarda la misma relación con qi1 , . . . , qik que p mantiene con pi1 , . . . , pik ; formalmente,qn es tal que,

• Si p ≺ pi1 , entonces qn < qi1 ;

• Si pie ≺ p ≺ pie+1 , entonces qie < qn < qie+1 ;

• Si pik ≺ p , entonces qik < qn .

Que podamos hacer esto, está garantizado por el hecho de que (Q , <) es un ordenlineal denso sin extremos. Es claro que h′ = h ∪ {(p , qn)} es un isomorfismo parcial. Siq ∈ r an(h′), terminamos. En otro caso, q < r an(h′), entonces por el mismo argumentoque recién describimos, (intercambiando los papeles de P y Q ), existe pm ∈ P tal queh′ ∪ {(pm , q )} es un isomorfismo parcial, tomamos el menor de tales m, y hacemoshp ,q = h

′ ∪ {(p ,m, q )}. X (1)En seguida construimos una sucesión de isomorfismos parcials compatibles por

recursión. A saber,

h0 = �

hn+1(hn)pn ,qn ,

donde (hn)pn ,qn es la extensión de hn (como en la afirmación 1) tal que pn ∈ dom(hn)pn ,qn ,qn ∈ r an(hn)pn ,qn . Sea h =

⋃n∈N hn . Se verifica que h : P → Q es un isomorfismo entre

(P , ≺) y (Q , <). �

Teorema 46.1.9. Cualquier conjunto numerable, linealmente ordenado se puede aplicarisomorficamente en cualquier conjunto numerable denso linealmente ordenado sin extremos.

Demostración. Requerimos un lado de la prueba del teorema 46.1.8. Sean (P , ≺) unconjunto numerable linealmente ordenado y (Q , <) un clo, denso, sin extremos y nu-merable. Para todo isomorfismo parcial h de (P , ≺) en Q y para cada p ∈ P , definimosun isomorfismo parcial hp ⊇ h tal que p ∈ dom(hp ). Entonces, usamos otra vez recur-sión. �



Hemos estudiado en detalle a los conjuntos finitos y a los conjuntos numerables;ha llegado el momento de dar un paso adelante. Es decir, probaremos que existenconjuntos que son más grandes, en cuanto a cantidad de elementos, que los conjuntosnumerables. Antes, introduzcamos notación muy relevante.

Recuerde que dos conjuntos A,B tienen la misma cardinalidad, |A | = |B |, cuandoson equipotentes, es decir, existe una biyección entre ellos. En particular, llamamosconjuntos numerables a aquellos que son equipotentes al conjunto N de los númerosnaturales.

Se sigue que |A | = |ω|. Pronto conoceremos a los números cardinales, que sonnúmeros ordinales que nos ayudarán a contar la cantidad de elementos de un con-junto, sin preocuparnos por su orden. Mientras llega el momento de su definición,nos adelantamos un poquito e introducimos la siguiente notación.

Figura 46.2: El alfabeto hebreo

Definición 46.1.10. Si el conjunto A es numerable, escribiremos

|A | = ℵ0

donde ℵ0 se lee álef cero, álef es la primera letra del alfabeto hebreo. Posteri-ormente veremos que ℵ0 es el primer cardinal infinito. Por ahora, el lector debeconsiderarlo como una simple abreviatura; si aparece |B | = ℵ0 simplemente estamosdiciendo que B es un conjunto numerable. En particular, |N | = ℵ0, y tenemos lassiguientes abreviaturas, tomando en cuanta lo que sabemos sobre conjuntos finitos ynumerables,

• ℵ0 > n para todo n ∈ N.

• Si |A | = ℵ0, |B | = ℵ0, entonces |A ∪ B | = ℵ0, |A × B | = ℵ0.

• Si |A | = ℵ0, entonces |A<ω | = ℵ0.

• |Z | = |Q | = ℵ0.

Definición 46.1.11. Si B es un conjunto, Suc (B) representa al conjunto de sucesionesfinitas de elementos de B .


46.2. CONJUNTOS INNUMERABLES 517

46.2 Conjuntos innumerables

Es claro que N, Z, Q ⊆ R, y los tres primeros son conjuntos numerables. La preguntanatural es, y era en los inicios de la teoría de conjuntos, si el conjunto de los númerosreales también era numerable. G. Cantor en una carta a R. Dedekind escribe1

Figura 46.3: Cantor a Dedekind 29 de noviembre 1873.

Permitame plantearle una pregunta, que para mi tiene un cierto interés teórico, pero queno he podido responder; quizá Usted lo logre, y sea tan amable de escribirme al respecto. Setrata de lo siguiente.

Considere el conjunto de todos los números enteros positivos n y denótelo con (n); además,considere el conjunto de los números reales x y denótelo con (x); la pregunta es simple, ¿sepuede poner en correspondencia los conjuntos (n) y (x) de tal suerte que a cada elemento deuno, le podemos asociar uno y sólo uno del otro? A primera vista, la respuesta es no, pues (n)consiste en partes discretas, en cambio (x) conforma un continuo; pero no he logrado nada conesta situación y por más que me parezca irrazonable que exista tal correspondencia entre (n) y(x), no puedo encontrar la razón, anque me parece muy simple.

1Me he tomado algunas libertades en cuanto a la traducción; por ejemplo, Cantor escribe Inbegriff ylo he traducido como conjunto, que sería Menge en aleman.



A primera vista, ¿no sería razonable afirmar que no existe tal correspondencia biunívoca

entre (n) y el conjunto(pq

)de todos los números racionales positivos p

q ? No obstante, noes difícil mostar que se puede establecer dicha correspondencia, incluso con el conjunto másgeneral

(an1 ,n2 ,...,nν )

donde n1, n2, . . . , nν son índices enteros positivos no acotados en cantidad arbitraria ν.Con esta carta comienza el trabajo de Cantor en una de las piezas fundametales

del origen de la teoría de conjuntos: la demostración de que existen diversos infinitos.A ambos investigadores les pareció sin importancia, al principio, la cuestión. El 2

de diciembre de 1873 escribe Cantor a Dedekind,

Figura 46.4: Carta de Cantor a Dedekind del 2 de diciembre de 1873.



...le planté mi pregunta porque la he intentado responder por varios años y siempre mesurge la duda de si la dificultad que aparece, es subjetiva o si radica en el asunto. Puestoque me escribe que Usted no está en posibilidad de responderla, debo suponer lo último. Porcierto, quisiera añadir, que no me he ocupado seriamente de ella, porque no tiene ningúninterés paráctico para mí, y coincido con Usted al decir que por esta razón no merece la pena.Sería grato para mí, que se pudiera responder; por ejemplo, suponiendo que se responda conno, tendríamos una nueva demostración del teorema de Liouville de que existen númerostrascendentes...

Pero la obstinación de Cantor le permitió presentar a Dedekind pocos días después(el 7 de diciembre de 1873) la solución. En efecto, la pregunta se responde con un no.

A continuación presentamos las definiciones pertinentes y los primeros resultadossobre conjuntos innumerables.

Definición 46.2.1. Un conjuno X es innumerable cuando no es numerable, esto es, noexiste una función inyectiva f : X → ω.

Para demostrar que existe un conjunto innumerable, Cantor introdujo el métododiagonal, una técnica poderosa que ha encontrado diversas aplicaciones. La de-mostración del siguiente teorema ilustra su uso.

Teorema 46.2.2. Sea F= {0, 1}ω. Entonces, F es innumerable.

Demostración. Para llegar a una contradicción, supongamos que F es a lo más nu-merable. Considere las siguientes funciones hk : ω → {0, 1} dadas por las siguienteprescripción,

hk (m) =

{0, si m ≤ k

1, si m > k .

Es claro que hk , hl cuando n , l , n, l ∈ ω. Todas estas funciones hk viven en F,por lo que F es infinito.

Se sigue que F es numerable y podemos dar una enumeración de él,

f0, f1, f2, . . . , fn . . . (❀)

Así, toda función en F aparece en la lista. Definamos una función g : ω → {0, 1}mediante

g (i ) =

{1, si fi (i ) = 00, si fi (i ) = 1,

(❃)

para cada i ∈ ω. Como g : ω → {0, 1}, se cumple g ∈ F. Ya que toda función enF aparece en la lista (❀), g debe ser algún elemento de la lista. Por consiguiente,existe n ∈ ω tal que g = fn , de done se sigue que g (i ) = fn(i ) para cada i ∈ ω. Enparticular, fn(n) = g (n) (*). Como fn ∈ F, sólo tenemos dos alternativas, fn(n) = 0 ofn(n) = 1. Si fn(n) = 0, entonces g (n) = 1 por (❃). De modo que, (*) implica 1 = 0,una contradicción. Si fn(n) = 1, entonces g (n) = 0 por (❃). Otra vez por (*) 0 = 1,un hecho absurdo. Ambas alternativas propician una contradicción. El problemaviene de haber supuesto que F es numerable. Dado que F es infinito, sólo puede serinnumerable. �



No queda claro el porqué del nombre: método diagonal. Revisemos la prueba.Dada una función f : ω → {0, 1}, existe una forma de escribir los valores de fcomo una sucesión infinita de términos del conjunto {0, 1}. Por ejemplo, suponga quef (i ) = 0 si i es par y f (i ) = 1 cuando i es impar. Así,

f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 1, f (4) = 0, . . .

y representamos a f como sigue: f = 〈0, 1, 0, 1, 0, 1 . . .〉 Además, si h : ω → {0, 1} serepresenta como

h = 〈1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, . . .〉,

entonces h(0) = 1, h(1) = 1, h(2) = 0, h(3) = 1, h(4) = 0, h(5) = 1, ...Considere laenumeración (❀) y represente cada fi en esta lista como una sucesión infinita; esto es,sea

fi = 〈fi (0), fi (1), fi (2), fi (3), fi (4), fi (5), . . .〉.

Mediante esta notación, podemos rescribir la lista (❀) como un arreglo vertical,

f0 = 〈f0(0), f0(1), f0(2), f0(3), f0(4), . . .〉f1 = 〈f1(0), f1(1), f1(2), f1(3), f1(4), . . .〉f2 = 〈f2(0), f2(1), f2(2), f2(3), f2(4), . . .〉 (❅)f3 = 〈f3(0), f3(1), f3(2), f3(3), f3(4), . . .〉f4 = 〈f4(0), f4(1), f4(2), f4(3), f4(4), . . .〉

......

......

En la prueba del teorema 46.2.2 definimos una función g : ω → {0, 1} de tal suerteque g no es ninguna de las funciones de la lista (❅). Esto se logra yendo hacia abajoen esta lista y asignando un valor a g (i ) que sea diferente del valor en la diagonalfi (i ) para cada fi que aparece en (❅). Para ilustrar esta idea, demos algunos valoresparticulares a las entradas que pueden aparecer en la diagonal de (❅). Suponga quef0(0) = 0, f1(1) = 1, f2(2) = 0, f3(3) = 0, f4(4) = 1. En consecuencia, (❅) queda como

f0 = 〈0, f0(1), f0(2), f0(3), f0(4), . . .〉f1 = 〈f1(0), 1, f1(2), f1(3), f1(4), . . .〉f2 = 〈f2(0), f2(1), 0, f2(3), f2(4), . . .〉 (✾)f3 = 〈f3(0), f3(1), f3(2), 0, f3(4), . . .〉f4 = 〈f4(0), f4(1), f4(2), f4(3), 1, . . .〉

......

......

g = 〈1, 0, 1, 1, 0, . . .〉

Hemos colocado la función g hasta abajo de la lista (✾), donde sus valores secalculan usando (❃) en la prueba del teorema (46.2.2). Ahora queda claro, de dondeproviene el nombre método diagonal.

Teorema 46.2.3. Sean A,B conjuntos. Si A es innumerable y g : A → B es inyectiva,entonces B es innumerable.



Demostración. Suponga que B es numerable. Como g : A → B es inyectiva, A esnumerable, lo que se opone a nuestra hipótesis. �

Si f : ω → {0, 1}, f (n) ∈ {0, 1} para toda n ∈ ω. Podemos emplear f para definirun número real mediante su expansión decimal. Sea fn = f (n) para cada n ∈ ω. Enconsecuencia, tenemos un número real dado po 0.f0 f1 f2 f3 · · · fn · · · . Por ejemplo, sif (0) = 1, f (1) = 0,f (2) = 1, f (3) = 1,. . . , entonces

0.f0 f1 f2 f3 · · · fn · · · = 0.1011 · · ·

Las expansiones decimales que consisten exclusivamente en 0 y 1 son únicas; esto es,un número real con este tipo de expansión decimal, tiene una sola expansión.

Lema 46.2.4. Existe una función inyectivaG : {0, 1}ω → R.

Demostración. Sea F= {0, 1}ω. Para cada f ∈ F, definimos

fn = f (n) (❈)

para toda n ∈ ω. Se sigue que fn ∈ {0, 1} para todo n ∈ ω. Defina la funciónG : F→ R

medianteG (f ) = 0.f0 f1 f2 f3 · · · (❦)

para cada f ∈ F. Sean f ,h ∈ F y suponga que G (f ) = G (h). Dado que G (f ) = G (h),de (❦) se desprende que

0.f0 f1 f2 f3 · · · = 0.h0h1h2h3 · · ·

Ya que las expansiones decimales son únicas, se cumple fn = hn para toda n ∈ ω. Portanto, f (n) = h(n) para cualquier n ∈ ω, según (❈). Concluimos que f = h y G resultainyectiva. �

Estamos listos para demostrar el importante resultado de Cantor.

Teorema 46.2.5 (Cantor). El conjunto de los números reales es innumerable.

Demostración. Por el lema 46.2.4, sea G : {0, 1}ω → R una función inyectiva. Por elteorema 46.2.2, {0, 1}ω es innumerable, el teorema 46.2.3 indica que R es innumerable.

�

La demostración original de Cantor no es, en relidad, la que recién presentamos.La prueba de Cantor transcure como continuación relatamos modernizando un pocola idea. Suponga que R es numerable, en particular (0, 1) sería numerable. Se sigueque podemos hacer una enumeración de los reales en (0, 1); organizamos esta enu-meración en forma similar a (✾), donde cada renglon tiene la forma

0.ai1ai2ai3 · · ·

y los ai j son dígitos en {0, 1, 2, . . . , 9}. Entonces se aplica el método diagonal de Cantorpara generar un número

0.b1b2b3b4 · · ·



que no aparece en la enumeración. Para generar los bi se aplica el métod diagonal, esdecir, se requiere que bi difiera de ai i para cada i < ω.

Para establecer el tamaño comparativo de R, requerimos algunos resultados porsí mismos relevantes.

Proposición 46.2.6. Sea A un conjunto. Entonces,��2A�� = |Pot (A)|.

Por supuesto, 2A refiere al conjunto de funciones de A en {0, 1}.

Demostración. Para cualquier X ⊆ A, la función característica de X es la función χX ∈

2A definida mediante la siguiente prescripción. Para cada a ∈ A,

χX (a) =

{1, si a ∈ X

0, en otro caso.

Entonces, definimos θ : Pot (A) → 2A como θ(X ) = χX .Afirmación 1. χX es una biyección.Demostración de la afirmación 1. Si X ,Y ∈ Pot (A), y X ,Y , podemos encontrar

un elemento a ∈ A que este en alguno de ellos y no en el otro. Por consiguiente,χX (a) , χY (a), de donde se sigue θ(X ) , θ(Y ). Además, θ es sobre, pues si f ∈ 2A,sea X = {a ∈ A : f (a) = 1}. Para cada a ∈ A, ocurre

χX (a) =

{1, si a ∈ X

0, si a < X

=

{1, si f (a) = 10, si f (a) = 0

= f (a).

En consecuencia, θ(X ) = f , como se busca. X (1) �

Con este resultado podemos estimar el tamaño de R.

Teorema 46.2.7.|Pot (N)| =

��2N�� = |R |.

Demostración. La primera igualdad ya la tenemos, por la proposición 46.2.6. Paraprobar la última igualdad recurrimos al teorema de Cantor-Bernstein. Mostraremosque |R | ≤ |Pot (N)| y que |2N | ≤ |R |.

Los números reales se construyen mediante cortaduras de Dedekind o sucesionesfundamentales de racionales. Tomemos el método de cortaduras en Q. La función queasigna a cada número real r = (A,B), el conjunto A ⊆ Q es inyectiva de R en Pot (Q).Por lo tanto, |R | ≤ |Pot (Q)|. Como Q es numerable, se cumple |Pot (Q)| = |Pot (N)|

(ejercicio). En consecuencia, |R | ≤ |Pot (N)|.Para verificar |2N | ≤ |R | usamos el lema 46.2.4. �



Mencionamos que |N | = ℵ0, y en vista del teorema 46.2.7 podemos usar comonotación (que luego se justificara plenamente)

|R | = 2ℵ0

En vista de que al conjunto de los números reales se le llama históricamente el con-tinuo, se acostumbra nomabrar a 2ℵ0 como la cardinalidad del continuo. Por ello seemplea la c gótica,

2ℵ0= c

Por los resultados previos, podemos escribir la importante desigualdad

ℵ0 < 2ℵ0

Para finalizar la lectura presentamos otro (sí, otro) resultado relevante de Cantor.Aquí se emplea otra versión del método diagonal de Cantor.

Teorema 46.2.8 (Cantor). Si A es un conjunto, entonces

|A | < |Pot (A)|.

Demostración. Primero notamos que si a ∈ A y le asociamos el conjunto {a} ∈ Pot (A),damos paso a una función inyectiva de A en Pot (A), con lo cual logramos probar que|A | ≤ |Pot (A)|.

Resta descartar que pueda ocurrir la igualdad |A | = |Pot (A)|. Si se diese la igual-dad, tendríamos una función de A sobre Pot (A). Llamemos f a tal aplicación. SeaX = {a ∈ A : a < f (a)}, por lo que X ∈ Pot (A) y como f es sobre, debe existir b ∈ A talque f (b) = X . Puesto que X ⊆ A y b ∈ A tenemos derecho a preguntarnos si b ∈ X .Entonces,

b ∈ X ⇔ b < f (b) ⇔ b < X

una contradicción, que surge de haber supuesto que existía una función de A sobrePot (A). En consecuencia,

|A | < |Pot (A)|.

�

A continuación presentamos dos cuestiones fundamentales en la teoría de conjun-tos. Hemos encontrado subconjuntos numerables de los números reales, subconjun-tos propios del mismo tamaño que los reales (por ejemplo, lo irracionales, el intervalo(0, 1), etc.). Lo que no hemos presentado es, y de hecho es imposible hacerlo o probarque no se puede hacer en el sistema ZFE, un subconjunto de R que tenga una tamañointermedio, es decir que sea más grande que los naturales, pero menor que los reales.Se puede probar que la existencia de tal subconjunto es imposible de mostrar o refu-tar en la teoría ZFE. Suponer que existe o afirmar que no existe son enunciados queson independientes de ZFE. Realmente, la pregunta es ¿existe un conjunto Z quesea innumerable pero tenga tamaño estrictamente menor que 2ℵ0? Por consiguiente,uno puede añadir que sí existe o que no existe tal Z a ZFE y crear una nueva teoría.Suponer que no existe tal conjunto se conoce como la hipótesis del continuo (HC).



Una nueva teoría surge como ZFE +HC. Aceptar la existencia de tal Z , da lugar ala teoría ZFE +¬HC.

En forma más general, si tenemos un conjunto A, Cantor demostró que

|A | < |Pot (A)|

Por lo tanto, tenemos derecho a establecer una pregunta correspondiente: ¿existe unconjunto B tal que |A | < |B | < |Pot (A)|? Suponer que dado cualquier A, nunca ex-iste el conjunto B se conoce como la Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC).Como ante, de esta hipótesis generamos dos nuevas teorías: ZFE +HGC y ZFE +

¬HGC. Por cierto, en la literarura se escriben estas teorías como ZFC+CH ,ZFC +

GCH , etc.

HC No existe un conjunto B tal que

ℵ0 < |B | < 2ℵ0

HGC Dado un conjunto A, no existe un conjunto B tal que

|A | < |B | < |Pot (A)|

Ejercicios1. Suponga que A1,A2,B1 y B2 son conjuntos con |A1 | = |A2 |, |B1 | = |B2 |. Corrobore

las siguientes afirmaciones.

(a) Si A1 ∩A2 = �, B1 ∩ B2 +�, entonces |A1 ∪A2 | = |B1 ∪B2 |.

(b) |A1 ×A2 | = |B1 ×B2 |

(c) |Suc (A1)| = |Suc (A2)|.

2. Confirme que la unión de un conjunto finito y uno numerable es numerable, ysu producto cartesiano es numerable, cuando A , �.

3. Suponga que |A | = ℵ0, muestre que |[A]n | = ℵ0, donde [A]n = {S ⊆ A : |S | = n},para n ∈ N.

4. Una sucesión (sn : n ∈ ω) es finalmente constante, cuando existen n0 ∈ N, s ∈ N

tales que sn = s para toda n ≥ n0. Demuestre que el conjunto de sucesionesfinalmente constantes de números naturales es numerable.

5. Una sucesión (sn : n ∈ N) de naturales es finalmente periódica, si existen n0, p ∈

N, p ≥ 1 tal que para todo n ≥ n0, sn+p = sn . Cerciórese de que el conjunto desucesiones periódicas de naturales es numerable.



6. Una sucesión (sn : n ∈ N) de naturales es una progresión aritmética, cuandoexiste d ∈ N tal que sn+1 = sn + d para toda n ∈ N. Confirme que el conjunto deprogresiones aritméticas es numerable.

7. Para cualquier s ∈ Suc (N − {0}), con s = (s0, s1, . . . , sn), sea f (s ) = p s00 · · · p snn ,donde pi es el i -ésimo primo. Demuestre que f es inyectiva y use esto paramostrar que |Suc (N)| = ℵ0.

8. En este ejercicio continuamos con la noción de conjunto infinito que introduji-mos en 1 (página 504).

(a) Formulamos el axioma de infinito Inf como

∃ z (0 ∈ z ∧ ∀ x ∈ z (x ∪ {x} ∈ z ).

Considere el siguiente axioma,

Inf2 ∃ z (0 ∈ z ∧ ∀ x , y ∈ z (x ∪ {y} ∈ z ).

(b) En ZF demuestre que Inf⇔ Inf2. [Sugerencia: una implicación es trivial-mente válida. Para ⇒ tome el z dado por Inf y construya por recursión unanuevo z̃ que satisfaga Inf2. A saber, sea z = z0, dado zn , defina

zn+1 = zn ∪ {x ∪ y : x , y ∈ zn}

Haga z̃ y pruebe que este z̃ satisface Inf2.]

(c) Demuestre que el z dado por Inf2 tiene la propiedad de queVω ⊆ z . Corro-bore queVω es inductivo.

(d) En presencia de ZF − (I n f ) corrobore que el axioma de infinito es equiv-alente a la afirmación Existe un conjunto infinito. [Sugerencia: Se uso elaxioma de infinito para demostrar la existencia de ω.

9. Sean A,B conjuntos numerables. Pruebe que existe una biyección f : A → B .

10. Sean A un conjunto y f : ω → A sobre. Constate que A es a lo más numerable.

11. Sea A un conjunto no vacío a lo sumo numerable. Corrobore que existe f : ω →

A sobre.

12. Suponga que f : A → B es sobre y que A es numerable. Verifique que B es a losumo numerable.

13. Sean A un conjunto infinito y C= Pot (A) − {�}. Por AE existe g : C→ A tal queg (B) ∈ B para cada B ∈ C. Existe una función h : ω → A tal que

h(n) = g (A − h[n]) ∀n < ω

Cerciórese de que h : ω → A es inyectiva.

14. SeaY ⊆ ω infinito con a su primer elemento. Defina f :Y →Y mediante,

f (n) = min{k ∈Y : n ∈ k}

Del teorema de recursión obtenga h : ω →Y tal que



(a) h(0) = a

(b) h(n + 1) = f (h(n)) ∀n ∈ ω.

Muestre que h(n) ∈ h(n + 1) para cada n ∈ ω. Deduzca que h es creciente einyectiva. Verifique que para cda k ∈ ω existe i ∈ ω tal que k ∈ h(i ). Cercióresede que r an(h) =Y y h : ω →Y es una biyección.

15. Sea Z[x] el conjunto de polinomios en x con coeficientes enteros, esto es,

Z[x] = {a0 + a1x + · · · + akxk : k ∈ ω ∧ ∀ i ∈ k + 1(ai ∈ Z)}.

Defina una aplicación f : Z<ω ։ Z[x]. Muestre que Z[x] es numerable.

16. Un número real a es algebraico si p(a) = 0 para algún p(x) ∈ Z[x]. Para p(x) ∈Z[x], sea Rp(x) = {a ∈ R : p(a) = 0}. Como un polinomio en Z[x] tiene a lo sumouna cantidad finita de raíces reales, cada Rp(x) es finito. Sea A el conjunto denúmeros algebraicos, esto es,

A =⋃

p(x)∈Z[x]

Rp(x).

Confirme que A es numerable.

17. Sea ≺ el orden lexicográfico de NN y sea P ⊆ NN el conjunto de sucecionesfinalmente periódicas, pero no finalmente constantes. Corrobore que (P , ≺) esun clo denso, numerable y sin extremos.

18. Sean A un conjunto innumerable y B un conjunto no vacío. Constate que A × Bes innumerable.

19. Sean A,B conjuntos con A innumerable y B numerable. Confirme que A − B esinnumerable.

20. Pruebe que el conjunto de irracionales R − Q es innumerable.

21. Suponga que A es innumerable y A ⊆ B . Cerciórese de que B es innumerable.

22. Mediante el método diagonal, muestre que NN es innumerable.

23. Suponga que |A | = |B |. Pruebe que |Pot (A)| = |Pot (B)|.

24. Si A es innumerable, constate que Pot (A) es innuemrable.

25. Si A , �, confirme que si B es innumerable, entonces BA es innumerable.

26. Sea S = Q ∩ (0, 1), es decir, S consiste en los números racionales mayores que 0 ymenores que 1. En virtud de la numerabilidad de Q, S es numerable y podemosdar una lista (✶) de los elementos en S . Mediante el método diagonal construyaun número real b que no esté en la lista (✶), pero b ∈ (0, 1). ¿Es b un númeroracional? Justifique su respuesta.



27. Pruebe que ��NN��= 2ℵ0 .

[Sugerencia: Confirme que 2N ⊆ NN ⊆ Pot (N × N).]

28. Demuestre que los siguientes conjuntos son equipotentes entre sí.

✤ R

✤ [0, 1]

✤ (0, 1)

✤ [0,∞).

29. Sean A = {x ∈ R : 0 < x < 1} y B = {x ∈ R : 2 < x < 5}. Constate que |A | = |B |.

30. Cerciórese de que |A{0,1} | = |A ×A |.

31. Suponga que A , �. Sean c , d ∈ B distintos. Use el método diagonal para probarque no existe una función F : A → BA sobre. Después, encuentre una funciónG : A → BA inyectiva. Verifique que |A | < |BA |.

32. Sea Fel conjunto de funciones de R en R. Corrobore que |R | < |F|.

33. Constate que si |A | ≤ |B |, entonces |Pot (A)| ≤ |Pot (B)|.

34. Si f : A → B , B numerable y f −1[{b}] es a lo sumo numerable para cada b ∈ B ,cerciórese de que A es a lo sumo numerable.

35. Confirme que si A es un subconjunto finito de un conjunto infinito A, entoncesA y A − F son equipotentes.

36. Para cada f ∈ 2ω, sea A f = {f ↾ m : m ∈ ω}. Pruebe que si f , g son elementosdistintos de 2ω, entonces A f ∩Ag es finito.

37. Una familia Fde subconjuntos infinitos de Pot (ω) es casi ajena (en inglés, almostdisjoint (ad)) cuando para cualesquier A,B ∈ F, ocurre que A ∩ B es finita. Estotambién se escribe |A ∩ B | < ℵ0, y decimos que A y B son casi ajenos.

(a) Sea (An : n ∈ ω) una familia ad de conjuntos infinitos de ω. Muestreque existe un conjunto infinito A ⊆ ω que es casi ajeno a cada An , n ∈ ω.[Sugerencia: Pruebe que como la familia es ad, para cada n ∈ ω, el conjunto

ω −⋃k<n

Ak

es infinito. Escoja una sucesión creciente estricta (an : n < ω) de númerosnaturales que para cada n ∈ ω cumple an ∈ ω −

⋃k<n Ak . Verifique que

si k < n, an < Ak . Deduzca que para toda k ∈ ω, el conjunto infinitoA = {an : n ∈ ω} es casi ajena de Ak .]

(b) Corrobore que toda familia ad está contenida en una familia ad máximarespecto a la contención.



(c) Constate que toda familia ad máxima es innumerable. En particular, existeuna familia ad innumerable de subconjuntos de ω. [Sugerencia: Que lafamilia es innumerable, se sigue de los incisos previos. Para probar suexistencia, escoja una partición (An : n < ω) de ω en conjuntos infinitosajenos entre si. Esto siempre es posible porque existe una biyección b :ω ×ω → ω. Por el inciso previo, extienda esta familia a una máxima.]

(d) Por los incisos previos, sabemos que existe una familia ad innumerable.Dado que tal familia es un subconjunto de Pot (ω), debe tener tamaño a losumo 2ℵ0 . No obstante, en caso de existir tamaños intermedios entre ℵ0 y2ℵ0 , tal familia podría ser de ese tamaño intermedio. Muestre que este noes el caso, que siempre existe una familia ad de tamaño 2ℵ0 . [Sugerencia:esto se puede lograr en al menos cuatro formas distintas.

i. Defina una familia ad como una familia de subconjuntos del árbol bi-nario 2<ω (que consiste en funciones f : n → {0, 1} para algún naturaln ∈ ω). Para cada x ∈ 2ω, sea Ax = {x ↾ n : n ∈ ω}. Si x , y ∈ 2ω son dis-tintos y x(n) , y(n), entonces Ax ∩Ay carece de sucesiones de longitud> n, por lo que {Ax : x ∈ 2ω} es una familia ad de tamaño c. En formasimilar, se puede considerar, para cada x ∈ [0, 1] el conjunto Bx de lossegmentos iniciales finitos de la expansión decimal de x . El conjunto{Bx : x ∈ [0, 1]} es una familia ad de tamaño 2ℵ0 de subconjuntos de unconjunto nuemerable fijo.

ii. Identifique ω con Q. Para cada r ∈ R escoja una sucesión (q rn : n ∈ ω)

de racionales que no sea finalmente constante y converge a r . Sea Ar ={q rn : n ∈ ω}. Para s , r ∈ R distintos escoja ε > 0 tal que

(s − ε, s + ε) ∩ (r − ε, r + ε) = �.

Tanto As ∩ (s − ε, s + ε) como As ∩ (r − ε, r + ε) son cofinitos, por lo queAs ∩Ar es finito. Deduzca que {Ar : r ∈ R} es una familia ad de tamaño2ℵ0 .

iii. Esta vez use Z × Z en lugar de ω. Para cada ángulo α ∈ [0, 2π) seaAα el conjunto de elementos de Z × Z que distan ≤ 1 de la recta Lα ={(x , y) ∈ R2 : y = tan(α) · x}. Para dos ángulos distintos α, β , el conjuntode puntos en R2 a distancia ≤ 1 a Lα y Lβ es compacto, de donde sesigue que Aα ∩Aβ es finito. En consecuencia, {Aα : α ∈ [0, 2π)} es unafamilia ad de tamaño c.

iv. Defina una aplicación e : [0, 1] → ωω como sigue. Para cada x ∈ [0, 1]y toda n ∈ ω sea e (x)(n) la parte entera de n · x . Para todo x ∈ [0, 1]sea Ax = {(n, e (x)(n)) : n ∈ ω}. Si x < y , para n < ω suficientementegrande, e (x(n) < e (y)(n). Deduzca que {Ax : x ∈ [0, 1]} es una familiaad de subconjuntos de ω ×ω. Note que e es un encaje de ([0, 1], ≤) en(ωω, ≤∗), donde f ≤∗ g si para casi toda n ∈ ω, f (n) ≤ g (n).

38. Sea S la colección de sucesiones finitas de 0 y 1. Pruebe que existe una familiainnumerable Ade subconjuntos infinitos de S tal que cualesquier dos elementosde A tienen intersección finita.



39. Una familia F ⊆ Pot (ω) es independiente (en ω) si para cualesquier dos A, Bsubconjuntos finitos de F, ajenos entre sí, el conjunto⋂

A∩(ω −

⋃B

)es infinito. En este ejercicio se desarrolla una prueba de que existe una fa-milia independiente en ω de tamaño c. Este resultado se debe a los destacadosmatemáticos soviéticos Grigoriy Mikhailovich Fichtenholz (1881-1959), LeonidVitálievich Kantoróvich, (1912-1986).

(a) Sean m ≤ ω y (An : n < ω) una sucesión de subconjuntos infinitos de ω

tal que para cualesquier S ,T subconjuntos finitos ajenos entre sí de m elconjunto ⋂

n∈S

An −

(⋃n∈T

An

)

es infinito. Muestre que existe un conjunto infinito A ⊆ ω que es indepen-diente sobre la familia {An : n < m} en el sentido de que para cualesquierS ,T subconjuntos finitos de m tanto(

A ∩⋂n∈S

An

)−

(⋃n∈T

An

)

y

⋂An −

(A ∪

⋃n∈T

An

)

son infinitos. [Sugerencia: Sea ((Sn ,Tn) : n ∈ ω) una enumeración de lasparejas de subconjuntos finitos de m ajenos entre sí de tal suerte que cadapareja aparece una cantidad infinita de veces.Por la hipótesis en (An : n ∈ ω), podemos escoger una sucesión crecienteestricta (an : n ∈ ω) tal que para toda n ∈ ω,

a2n , a2n+1 ∈⋂k∈Sn

Ak −©«⋃k∈Tn

Akª®¬

El conjunto A = {a2n : n ∈ ω} es idependiente sobre {An : n < m}. Sin duda,sean S ,T subconjuntos finitos de m y n ∈ ω tal que S = Sn y T = Tn . Por laelección de a2n ,

a2n ∈©«A ∩

⋂k∈Sn

Akª®¬−

©«⋃k∈Tn

Akª®¬

.

Por otra parte,

a2n+1 ∈⋂k∈Sn

Ak −©«A ∪

⋃k∈Tn

Akª®¬

.



Ya que existe una cantidad infinita de n ∈ ω con (S ,T ) = (Sn ,Tn), deduzcaque los conjuntos

©«A ∩

⋂k∈Sn

Akª®¬−

©«⋃k∈Tn

Akª®¬

y ⋂k∈Sn

Ak −©«A ∪

⋃k∈Tn

Akª®¬

son infinitos.]

(b) Corrobore que toda familia independiente de subconjuntos de ω está con-tenida en una familia independiente máxima de subconjuntos de ω.

(c) Confirme que cualquier familia independiente, infinita, máxima es innu-merable. En particular, existe una familia independiente de subconjuntosde ω innumerable. [Sugerencia: Por los incisos previos existe una familiaindependiente máxima y no puede ser numerable o finita.]

(d) Demuestre que existe uns familia independiente de subconjuntos de ω detamaño 2ℵ0 . [Sugerencia: otra vez, se pueden generar varias pruebas.

i. Sea C el conjuntos de subconjuntos finitos de Q, por lo que C es nu-merable. Para cada r ∈ R sea

Ar = {a ∈ C : a ∩ (−∞, r ] es par}.

La familia {Ar : r ∈ R} es una familia independiente de subconjuntosde C . Sean S ,T subconjuntos de R, finitos ajenos. Un conjunto a ∈ Ces un elemento ⋂

r ∈S

Ar −

(C −

⋃r ∈T

Ar

)

si para toda r ∈ S , a ∩ (−∞, r ] es impar y para toda r ∈ T , a ∩ (−∞, r ]es par. Verifique que existe una cantidad infinita de conjuntos a deracionales que satisfacen este requisito.

ii. SeaI = {(n,A) : n ∈ ω ∧A ⊆ Pot (n)}

Para toda X ⊆ ω, sea X ′= {(n,A) ∈ I : X ∩ n ∈ A}. Muestre que

{X ′ : X ∈ Pot (ω)} es una familia independiente de subconjuntos de I .Sean S ,T subconjuntos de Pot (ω). Una pareja (n,A) ∈ I está en

⋂X ∈S

X ′ ∩

(I −

⋃X ∈T

X ′

)

si para cada X ∈ S , X ∩ n ∈ A y para todo X ∈ T , X ∩ n < A. ComoA,T son finitos, existe n ∈ ω tal que para cualesquier X ,Y ∈ S ∪T ,X ∩ n ,Y ∩ n. Sea A = {X ∩ n : X ∈ S }. Ahora,

(n,A) ∈⋂X ∈S

X ′ ∩

(I −

⋃X ∈T

X ′

).



Dado que existe una cantidad infinita de n tales que para cualesquierX ,Y ∈ S ∪T distintos, X ∩ n ,Y ∩ n, se confirma que

⋂X ∈S

X ′ ∩

(I −

⋃X ∈T

X ′

)

es infinito.iii. En esta prueba se usa el teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery

que establece que el espacio producto 2R es separable. Para cada r ∈ R

sea Br = {f ∈ 2R : f (r ) = 0}. Siempre que S ,T sean subconjuntos de R

finitos y ajenos, ocurre

⋂r ∈S

Br ∩

(2R −

⋃r ∈T

Br

)

es un subconjunto cerrado-abierto no vacío de 2R

La familia (Br : r ∈ R) es el ejemplo típico de una familia independientede tamaño c en cualquier conjunto. Un hecho extraño sobre el espacio2R es que es separable. Sin duda, sea D la colección de funcionesf : R → 2 para las que existen racionales q0 < q1 < · · · < q2n−1 tales quepara cualquier x ∈ R,

f (x) = 1 ⇔ x ∈⋃i<n

(q2i , q2i+1).

D es un subconjunto numerable denso de 2R. Para cada r ∈ R seaAr = Br ∩D . Para cualesquier S ,T subconjuntos de R finitos ajenos,

⋂r ∈S

Ar ∩

(D −

⋃r ∈T

Ar

)= D ∩

⋂r ∈S

Br ∩

(2R −

⋃r ∈T

Br

)

es infinito, pues es la intersección de un subconjunto denso con unabierto no vacío en un espacio topológico sin puntos aislados. De-duzca que (Ar : r ∈ R) es una familia independiente de tamaño c en elconjunto numerable D .

iv. Sea B una base numerable para la topología de R cerrada respectoa uniones finitas. Para cada r ∈ R considere el conjunto Ar = {B ∈

B : r ∈ B}. Entonces, (Ar : r ∈ R) es una familia independiente desubconjuntos del conjunto numerable B.Sin duda, sean S ,T subconjuntos finitos de R ajenos. El conjunto R −Tes abierto, por lo que existen abiertos Us ∈ B, s ∈ S tal que cada Uscontiene a s y es ajeno a T . Como B es cerrada respecto a uniones, U =⋃s∈S Us ∈ B. Verifique que existen una cantidida infinita de posibles

elecciones de un conjunto U ∈ B tal que S ⊆ U y T ∩U = �. Estocomprueba que

⋂r ∈S Ar − (

⋃r ∈T Ar ) es infinito.



v. Sea P el conjunto de polinomios con coeficientes racionales. Para cadar ∈ R sea Ar = {p ∈ P : p(r ) > 0}. Si S ,T ⊆ R son finitos y ajenos,existe un polinomio en P tal que p(r ) > 0 para todo r ∈ A y p(r ) ≤ 0para toda r ∈ T . Los múltiplos positivos de p satisfacen las mismasdesigualdades. Se sigue que (Ar : r ∈ R) es una familia independientede tamaño c sobre el conjunto numerable P .

vi. Sea Funa familia casi ajena en ω de tamaño c. Para cada A ∈ F asoci-amos una colección A′ de los subconjuntos finitos de ω que intersectana A. La familia {A′ : A ∈ F} es independiente de tamaño 2ℵ0 .Dados S ,T ⊆ Fajenos, puesto que Fes ad, cada A ∈ S es casi ajena de⋃T . Deduzca que existen una cantidad infinita de subconjuntos de ω

que intersectan a los A ∈ S pero que no intersectan a ningún A ∈ T . Enconsecuencia, ⋂

A∈S

A′ ∩

(ω −

⋃A∈T

A′

)

es infinito.vii. Observe que para toda n ∈ ω existe una familia (Xk : k < n) de subcon-

juntos de 2n tales que para cualesquier sonjuntos S ,T ⊆ n,

⋂k∈S

X nk ∩

(2n −

⋃k∈T

Xk

)

no es vacía. Suponga que losYn , n ∈ ω son ajenos entre sí.Para cada σ ∈ 2ω sea Xσ =

⋃n∈ω X

nσ↾n

. Ahora, {Xσ : σ ∈ 2ω} es una fa-milia independiente de tamaño 2ℵ0 en el conjunto nuemerable

⋃n∈ωYn .]


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