Universidad Autónoma de Yucatán Facultad de Economía

Finanzas Corporativas

Introducción a la valuación:Introducción a la valuación:Valor del dinero en el tiempo Valor del dinero en el tiempo

LE Miguel Ángel Viana Dzul

Valor Futuro y procesos de composición ( o Valor Futuro y procesos de composición ( o capitalización)capitalización)

Valor FuturoValor Futuro Cantidad de dinero que vale una inversión después de uno o más Cantidad de dinero que vale una inversión después de uno o más

período de tiempo.período de tiempo.

A) Inversiones de un período A) Inversiones de un período Suponga que usted invierte 100 dólares en una cuenta de ahorros Suponga que usted invierte 100 dólares en una cuenta de ahorros

que paga 10% de interés anual. ¿Qué cantidad tendrá dentro de un que paga 10% de interés anual. ¿Qué cantidad tendrá dentro de un año? año?

Tendrá 110 dólares; éstos serán iguales a su Tendrá 110 dólares; éstos serán iguales a su capital capital original de 100 original de 100 dólares más los 10 de intereses que gane. dólares más los 10 de intereses que gane. Decimos entonces que Decimos entonces que los 110 dólares son el valor futuro de 100 dólares invertidos a un los 110 dólares son el valor futuro de 100 dólares invertidos a un año al 10%;año al 10%; lo que significa que 100 dólares de hoy valdrán 110 lo que significa que 100 dólares de hoy valdrán 110 dentro de un año, dado que la tasa de interés es de 10 por ciento.dentro de un año, dado que la tasa de interés es de 10 por ciento.

En términos generales, si usted invierte a un periodo, a una tasa de En términos generales, si usted invierte a un periodo, a una tasa de interés de interés de r,r, su inversión crecerá a su inversión crecerá a (1 + r)(1 + r) por cada peso invertido. por cada peso invertido. En nuestro ejemplo, En nuestro ejemplo, r r es de 10%, y su inversión crecerá a 1 + .10 = es de 10%, y su inversión crecerá a 1 + .10 = 1.1 dólares por cada dólar invertido. Usted invirtió 100 pesos en 1.1 dólares por cada dólar invertido. Usted invirtió 100 pesos en este caso, por lo que terminará con $100 X 1.10 = $110.este caso, por lo que terminará con $100 X 1.10 = $110.

B) Inversiones de más de un período B) Inversiones de más de un período Volviendo a nuestra inversión de 100 dólares, ¿qué cantidad

acumulará dentro de dos años, suponiendo que la tasa de interés no cambia? Si deja la totalidad de los 110 dólares en el banco, ganará $110 X .10 = $11 de intereses durante el segundo año, y usted tendrá un total de $110 + 11 = $121. Estos 121 dólares son el valor futuro de 100 dentro de dos años al 10%.

Estos 121 dólares tienen cuatro partes. La primera parte es el capital original de 100 dólares; la segunda son los 10 de intereses que ganó en el primer año, y la tercera son los otros 10 dólares que obtuvo en el segundo año, lo cual da un total de 120 dólares. El último dólar que usted adquiere (la cuarta parte) son los intereses que usted ganará en el segundo año sobre el interés pagado en el primero: $10 X .10 = $1.

Proceso de composición o de capitalización Proceso de acumular intereses sobre una inversión a lo largo del

tiempo para ganar más intereses

Intereses sobre intereses Intereses ganados sobre la reinversión de los pagos anteriores de

intereses

Interés compuesto Interés compuesto

Interés que se gana tanto sobre el capital inicial como sobre los Interés que se gana tanto sobre el capital inicial como sobre los intereses reinvertidos a partir de periodos anterioresintereses reinvertidos a partir de periodos anteriores

Interés simple Interés simple

Interés que se gana tanto sobre el monto del capital invertido Interés que se gana tanto sobre el monto del capital invertido

Otra manera de contemplar esta situación es que después de un año usted estará invirtiendo efectivamente 110 dólares a un 10% anual. Éste es un problema de un solo periodo, en el que usted dispondrá al final de 1.10 dólares por cada dólar invertido, o $110 X 1.1 = $121 en total.

Esto se repetiría en las siguientes situaciones

$121 = $110 x 1.1

= ($100 x 1.1) x 1.1

= $100 x ( 1.1 x 1.1)

= $100 x 1.12

el valor futuro de 1 peso invertido a lo largo de t periodos a la tasa r por periodo es:

Valor futuro = $1 X (1 + r)t

La expresión (1 + r) t recibe algunas veces el nombre de factor de interés a valor futuro (o simplemente factor a valor futuro) por 1 peso invertido al r % durante t periodos, y puede abreviarse como FIVF (r, t).

En nuestro ejemplo, ¿cuánto valdrían sus 100 pesos después de cinco años? . primero podemos calcular el factor de valor futuro relevante como:(1 + r) t = (1 + .10)5 = 1.105 = 1.6105

De tal modo, sus 100 dólares crecerán hasta alcanzar un valor de:

$100 X 1.6105 = $161.05

AñoAño Monto Monto inicialinicial

Interés Interés simple simple

Interés Interés compuestocompuesto

Total Total interés interés ganadoganado

Monto final Monto final

11 $100$100 $10$10 $ 0.0$ 0.0 $10$10 $110$110

22 110110 1010 1.001.00 11.0011.00 121.00121.00

33 121121 1010 2.102.10 12.1012.10 133.10133.10

44 133.10133.10 1010 3.313.31 13.3113.31 146.64146.64

55 146.41146.41 1010 4.644.64 14.6414.64 161.05161.05

Total de Total de interés interés simple simple $50$50

Total de Total de interés interés compuesto compuesto $11.05$11.05

Total de Total de interés interés

$61.05$61.05

1 2 3 4 5

110

120

130

140

150

110

121

133.10

146.61

160 161.05

Tiempo ( años)

Valor futuro ($)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

10%

5%

10%

15%

20%

Tiempo (años)

Valor futuro de un dólar

Número de periodos Número de periodos 5%5% 10%10% 15%15% 20% 20%

11 1.05001.0500 1.10001.1000 1.15001.1500 1.2001.200

22 1.0251.025 1.21001.2100 1.32251.3225 1.44001.4400

33 1.15761.1576 1.33101.3310 1.52091.5209 1.72801.7280

44 1.21551.2155 1.46411.4641 1.74901.7490 2.07362.0736

55 1.27631.2763 1.61051.6105 2.01142.0114 2.48832.4883

Valor Presente (caso de un periodo)Valor Presente (caso de un periodo)

Valor actual de los flujos futuro de efectivo descontados a la tasa Valor actual de los flujos futuro de efectivo descontados a la tasa

de descuento apropiada. La formula esde descuento apropiada. La formula es

VP = 1 x 1 VP = 1 x 1

( 1 + r )( 1 + r )tt

Ó VP = 1Ó VP = 1

(1+r )(1+r )tt

Ejemplo: Ejemplo: Suponga que requiere 400 dólares para comprar libros de texto el año siguiente. Usted puede ganar 7% sobre su dinero. ¿Qué cantidad de fondos tendrá que aportar?

Necesitamos conocer el valor presente de 400 dólares dentro de un año a 7%. Procediendo como en el ejemplo anterior tendríamos:

Valor presente x 1.07 = $400

Podemos ahora encontrar el valor presente:

Valor presente = 400/1.07= 373.83

En forma alternativa : Valor presente = $400 x (1/1.07) = $373.83

De este modo, 373.83 dólares es el valor presente. Una vez más, esto significa simplemente que invertir esta cantidad durante un año a 7% dará como resultado que usted tenga un valor futuro de 400 dólares.

Valor presente ( Para periodos múltiples)Valor presente ( Para periodos múltiples)

VP = 1 x 1 VP = 1 x 1

( 1 + r )( 1 + r )tt

Ó Ó

VP = 1VP = 1

( 1 + r ) ( 1 + r ) tt

La cantidad que aparece entre corchetes 1 / (1+r )La cantidad que aparece entre corchetes 1 / (1+r ) t t recibe el recibe el nombre de factor de descuento nombre de factor de descuento

Para ilustrar lo anterior, suponga que usted necesitará 1 000 dólares dentro de tres años y que puede ganar 15% sobre su dinero. ¿Cuánto tendrá que invertir hoy? Para responder a esta pregunta, tenemos que determinar el valor presente de 1 000 dólares en tres años al 15%. Hacemos esto descontando tal cantidad hacia el pasado durante tres periodos al 15%. Con estas cifras, el factor de descuento es:

1/(1 + .15)3 = 1/1.5209 = .6575

La cantidad que usted deberá invertir es, por lo tanto:

$1000 X .6575 = $657.50

Afirmamos que la cantidad de 657.50 dólares es el valor presente o el valor descontado de I 000 dólares que se recibirán dentro de tres años al 15 por ciento.

Número de periodos Número de periodos 5%5% 10%10% 15%15% 20% 20%

11 .9524.9524 .9091.9091 .8696.8696 .8333.8333

22 .9070.9070 .8264.8264 .7561.7561 .6944.6944

33 .8638.8638 .7513.7513 .6575.6575 .5787.5787

44 .8227.8227 .6830.6830 .5718.5718 .48.23.48.23

55 .7835.7835 .6209.6209 .4972.4972 .4019.4019

.10

.20

.30

.40

.50

.60

.70

.80

.90

1.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tiempo (años)

Valor Presente de 1 dólar

r = 0%

r = 5%

r = 10%

r = 15%

r = 20%

Valor Presente Vs. Valor FuturoValor Presente Vs. Valor FuturoFactor de valor futuro = (1 +r )Factor de valor futuro = (1 +r )tt

Factor de valor presente = 1/ (1 +r )Factor de valor presente = 1/ (1 +r ) tt

Si VFt representa el valor futuro después de t periodos,entonces la relación entre el valor presente y el valor futuro podría escribirse como:

VP X (1 + r)t = VFt

VP = VFt/(l + r)t= VFt X [l/(1 + r)t]

Nos referiremos a este último resultado con el nombre de ecuaciónbásica del valor presente.

Suponga que su compañía propone comprar un activo en 335 dólaresy que esta inversión es muy segura. Usted vendería el activo dentro detres años en 400 dólares. Por otro lado, sabe que podría invertir los335 dólares en alguna otra parte al 10% con muy poco riesgo. ¿ Quépiensa de la inversión propuesta?Ésta no es una buena inversión. ¿Por qué no? Porque si invirtiera 335dólares en otra parte al 10%, después de tres años, la inversióncrecería a:

$335 x (1+r) t =$335 x1.13 = $335 x 1.331 = $445.89

Desde el momento en que la inversión propuesta tan solo paga 400dólares, no resulta tan buena. Otra forma de ver el mismo concepto esregresando al valor presente de 400 dólares dentro de tres años, al 10por ciento:

$400 x [1/(1 + r)t] = $400/1.13

= $400/1.331 = $300.53

Esto nos indica que sólo tendríamos que invertir alrededor de 300dólares, y no 335, para obtener 400 dólares dentro de tres años

Determinación de la tasa de descuento Determinación de la tasa de descuento Forma de encontrar el valor de r para un inversión de un períodoForma de encontrar el valor de r para un inversión de un período

VP x (1 +r ) = VF VP x (1 +r ) = VF 1 + r = VF / VP1 + r = VF / VP r = VF / VP -1 r = VF / VP -1

Suponga que esta considerando una inversión a una año. Si aportaSuponga que esta considerando una inversión a una año. Si aporta1250 recuperará 1350 ¿Qué tasa de interés le estará pagando esta1250 recuperará 1350 ¿Qué tasa de interés le estará pagando estaInversión. Inversión. Partiendo de la ecuación básica, el valor presente es de 1250, el valorPartiendo de la ecuación básica, el valor presente es de 1250, el valorfuturo de 1350, el plazo de tiempo involucrado es de un periodo , por lofuturo de 1350, el plazo de tiempo involucrado es de un periodo , por lotanto tenemos:tanto tenemos:

1250 = 1350/ (1 + r)1250 = 1350/ (1 + r)11

1 + r = 1350 / 1250 = 1.081 + r = 1350 / 1250 = 1.08 r = 1.08-1= 8%r = 1.08-1= 8%

Forma de encontrar el valor de r para una inversión de múltiples Forma de encontrar el valor de r para una inversión de múltiples períodos períodos

VP x (1 +r )VP x (1 +r )tt = VF = VF (1 + r )(1 + r )tt = VF / VP = VF / VP

r = r = t t VF / VP -1 VF / VP -1

Suponga que usted ha calculado que necesitará unos 80000 dólares para mandar a su hijo a la universidad dentro de ocho años, y actualmente tiene cerca de 35 000 dólares. Si gana 20% anual, ¿conseguirá usted su objetivo? ¿A qué tasa alcanzaría su meta en forma exacta?Si ganara 20%, el valor futuro de sus 35 000 dólares dentro de ochoaños sería de:

VF = $35000 x 1.208 = $35000 x 4.2998 = $150493.59

Por lo tanto, lograría su objetivo con facilidad. La tasa mínima es la r desconocida en la siguiente expresión:

VF = $35000 x (1 + r)8 = $80000

(1 + r)8 = $80000/35000 = 2.2857

1+ r = 8 2.2857 = 1.1089

r = 1.1089 -1 = 10.89%

Formas para encontrar el numero de períodos Formas para encontrar el numero de períodos (1+r )t =VF/VP

In(1+r)t =In VF/VP t .In(1+r) =In VF – In VP t = In VF-In VP/ In(1+r)

Suponga que ha estado ahorrando para comprar la empresa GodotCompany. El costo total será de diez millones de dólares. En estemomento, usted tiene aproximadamente 2.3 millones. Si gana 5%sobre su dinero, ¿cuánto tiempo tendría que esperar? A una tasa de16%, ¿cuánto esperaríaA una tasa de 5%, tendría que esperar mucho tiempo. Partiendo de laecuación básica del valor presente, tenemos:

$2.3 millones = $10 millones/1.05t

t = ln 10 - ln 2.3/ ln 1.05t = 30 años