Universidad Abierta Didactica

DIDÁCTICA

Universidad Nacional Abierta Didáctica de la Geometría – Selección de Lecturas

Distribución Gratuita 2

DE LA GEOMETRÍA

ÍNDICE Presentación.............................................................................4 Módulo 1: La Geometría en el Ámbito Escolar................................6 Objetivo N° 1 Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría.................................6 El Camino a Seguir....................................................................18 Objetivo N° 2 Las construcciones con regla y compás en la Enseñanza de la geometría...............................................................................30 Construcciones con regla y compás..............................................36 Herramientas para el análisis de una lección de Geometría...............47 Estrategias metodológicas para mejorar el aprendizaje de la Geometría. LA compañía que revolucionó la Ingeniería Geométrica Inc..............56 Imposibilidad de algunas construcciones......................................67 El Geoplano: Un recurso manipulable para la Enseñanza de la Geometría...............................................................................72 Módulo 2: Teoría y Práctica en Geometría Objetivo N° 3 Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría....................91



LA Evaluación del Aprendizaje Geométrico Centrada en el Estudiante.............................................................................105 Experiencias basadas en el modelo de Van Hiele...........................126 Algunos desarrollos en la enseñanza de la Geometría....................139 Objetivo N° 4 Acerca del Razonamiento en Geometría.......................................148 Investigación Didáctica: Recuerdos, Expectativas y Concepciones de los estudiantes para maestro sobre Geometría Escolar........................156 Efectos del “autismo temático” sobre el estudio de la Geometría en Secundaria............................................................................171 Módulo 3: Aplicaciones de la Geometría Objetivo N° 5 Geometría y Realidad..............................................................202 Objetivo N° 6 El papel de las Nuevas Tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría..........................................................................218 La gestión de la clase de geometría utilizando sistemas de geometría dinámica...............................................................................233 ¿Cambiarán las computadoras la forma de enseñar geometría?.......245 Anexos…………………………………………………………………………………………………..249

Presentación



La asignatura Didáctica de la Geometría (552) pertenece al plan de

estudios de la carrera de Educación mención Matemática y está ubicada

en el sexto semestre. Está concebida con la finalidad de darle al futuro

docente de Educación Matemática Venezolano, las herramientas

necesarias para que ayude a sus alumnos en el proceso de aprendizaje

de la Geometría de una manera sencilla, amena y agradable, logrando

superar los distintos escollos con los cuales se encuentran nuestro

alumnos a lo largo de su carrera estudiantil cuando pretenden aprender

las Bellezas de la Geometría y por el contrario lo que consiguen son

frustraciones.

Es importante reconocer la importancia de la Geometría en un sinfín de

actividades de los seres humanos desde aplicaciones artísticas hasta

construcciones de monumentos, edificios y grandes estructuras de

concreto, acero y otros materiales. También tiene aplicaciones en la

agricultura, balística. Física, química y muchas ciencias más; las

distintas actividades geométricas favorecen el desarrollo del

pensamiento de las personas y les ayuda a mejorar su capacidad de

visualización, por lo que en la gran mayoría de los currículos

educacionales del mundo entero y en todos los niveles, aparece como

un curso de carácter obligatorio.

Para lograr el objetivo del curso se han seleccionado unas lecturas, con

las cuales creemos que se logra abarcar parte de los contenidos del

mismo, sin embargo es necesario que los estudiantes complementen

con la bibliografía sugerida o con algún otro documento al cual tenga

acceso, de manera de lograr una visión mayor sobre las diversas

maneras de Enseñar la Geometría.



Al final de las lecturas seleccionadas, encontrará una serie de

anexos con los cuales podrá complementar su trabajo sobre la

asignatura, lo importante es que usted los lea y decida si alguno de

ellos le sirve o no para sus estudios. En caso de considerar que es

necesaria la incorporación de algún material, haga la observación al

profesor responsable, quién gustosamente le atenderá y discutirá con

usted sus sugerencias y valiosos aportes.

Para finalizar agradecemos a los estudiantes u otras personas que

tengan acceso a este material, todas las sugerencias que creen

pertinentes, debido a que esta selección de lecturas se encuentra en

proceso de mejoramiento constante y no creemos tener la última

palabra sobre el curso.

Atentamente

Licenciado José Velásquez H.



Lectura 1

PERSPECTIVAS DE LA ENSEÑANZA DE LA

GEOMETRÍA PARA EL SIGLO XXI Documento de discusión para un estudio ICMI

Traducción: Víctor Hernández y Martha Villalba

PMME-UNISON. Febrero. 2001

1. ¿Por qué un estudio en Geometría?

Descripción e interacción con el espacio en el cual vivimos, es La Geometría

considerada como una herramienta para el entendimiento, tal vez la parte de las

matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la

geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formalización, el

cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes de

rigor, abstracción y generalidad.

En años recientes la investigación en geometría ha sido estimulada

gratamente por nuevas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde

otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la computación. En el presente las

enormes posibilidades de las gráficas por computadoras tienen influencia en muchos

aspectos de nuestras vidas; con el fin de usar estas posibilidades se hace necesaria

una adecuada educación visual.

Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo muy

difundido que, debido a la diversidad de aspectos de geometría, su enseñanza puede

empezar en una edad temprana y continuar en formas apropiadas a través de todo

el currículo matemático. De cualquier modo, tan pronto como uno trata de entrar en

detalles, las opiniones divergen en cómo llevar a cabo la tarea. En el pasado han

habido (y aún ahora persisten) fuertes desacuerdos acerca de los propósitos,

contenidos y métodos para la enseñanza de la geometría en los diversos niveles,

desde la escuela primaria hasta la universidad.

Tal vez una de las razones principales de esta situación es que la geometría

tiene muchos aspectos, y en consecuencia no ha sido encontrada - y tal vez ni



siquiera exista - una vía simple, limpia, lineal, "jerárquica" desde los primeros

comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. A diferencia de lo

que sucede en aritmética y álgebra, aún los conceptos básicos en geometría, tales

como las nociones de ángulo y distancia, deben ser reconsideradas en diferentes

etapas desde diferentes puntos de vista.

Otro punto problemático concierne al rol de las demostraciones en geometría:

relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas, edad a la que las

demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de

rigor y abstracción.

Así la enseñanza de la geometría no es de ninguna manera una tarea fácil.

Pero en lugar de tratar de enfrentar y superar los obstáculos que emergen en la

enseñanza de la geometría las prácticas escolares actuales en muchos países

simplemente omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandantes, y

con frecuencia sin nada que las reemplace. Por ejemplo, la geometría tridimensional

casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo de la

mayoría de los países.

Empezando desde el análisis, y considerando específicamente las

discrepancias entre la creciente importancia de la geometría para sí misma, tanto

como en investigación y en la sociedad, y la falta de atención de su papel en el

currículo escolar, ICMI siente que hay una urgente necesidad de un estudio

internacional cuyos propósitos principales son:

Discutir las metas de la enseñanza de la geometría para los diferentes

niveles escolares y de acuerdo a los diferentes ambientes y tradiciones

culturales.

Identificar retos importantes y tendencias emergentes para el futuro y

analizar sus impactos didácticos potenciales.

Aprovechar y aplicar nuevos métodos de enseñanza

2. Aspectos de la geometría

La notable importancia histórica de la geometría en el pasado, en particular

como un prototipo de una teoría axiomática, es de tal manera reconocida

universalmente que no requiere más comentarios. Sobre ello, en el siglo pasado y

específicamente durante las últimas décadas como aseveró Jean Dieudonné en el

ICME 4 (Berkeley, 1980), la geometría "exclamando desde sus estrechos confines

tradicionales ha revelado sus poderes ocultos y su extraordinaria versatilidad y

adaptabilidad, transformándose así en una de las herramientas más universales y



útiles en todas las partes de las matemáticas" (J. Dieudonné: The Universal

Domination of Geometry, ZDM 13 (1), p. 5-7 (1981)).

En la actualidad, la geometría incluye tal diversidad de aspectos, que no hay

esperanza de escribir una lista completa de ellos (y menos aún de usarla). Aquí

mencionaremos solamente aquellos aspectos que en nuestra opinión son

particularmente relevantes en vista de sus implicaciones didácticas:

La Geometría como la ciencia del espacio. Desde sus raíces como una

herramienta para describir y medir figuras, la geometría ha crecido hacia una teoría

de ideas y métodos mediante las cuales podemos construir y estudiar modelos

idealizados tanto del mundo físico como también de otros fenómenos del mundo

real. De acuerdo a diferentes puntos de vista, tenemos geometría euclidiana, afín,

descriptiva y proyectiva, así como también topología o geometrías no euclidianas y

combinatorias.

La Geometría como un método para las representaciones visuales de

conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por

ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases, histogramas.

La Geometría como un punto de encuentro entre matemáticas como una

teoría y matemáticas como una fuente de modelos.

La Geometría como una manera de pensar y entender y, en un nivel más alto,

como una teoría formal.

La Geometría como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del

razonamiento deductivo.

La Geometría como una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como

innovativas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora,

procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica,

investigación de operaciones.

Otra distinción podría ser hecha respecto a diversas aproximaciones de

acuerdo a lo que uno puede resolver con geometría. En términos generales, son

posibles las aproximaciones: Manipulativas, Intuitivas, Deductivas y Analíticas.

También se puede distinguir entre una geometría que enfatice las propiedades

"estáticas" de los objetos geométricos y una geometría donde los objetos cambian

respecto a los diferentes tipos de transformaciones en el espacio al ser considerados

en una presentación "dinámica".



3. ¿Existe una crisis en la enseñanza de la geometría?

Durante la segunda mitad de este siglo, la geometría parece tener una

pérdida progresiva de su posición formativa central en la enseñanza de las

matemáticas de la mayoría de los países. Este decaimiento ha sido tanto cualitativo

como cuantitativo. Síntomas de esta reducción se encuentran por ejemplo, en los

recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el conocimiento matemático

de los estudiantes. Con frecuencia la geometría es totalmente ignorada en ellas, o

solamente se incluyen muy pocos ítemes de geometría. En último caso, las

preguntas tienden a ser confinadas a algunos "hechos" elementales sobre figuras

simples y sus propiedades, y se reporta un desempeño relativamente pobre.

¿Cuáles son las principales causas de esta situación?

En el período desde aproximadamente 1960 hasta 1980, se dio una presión

general en el currículo matemático contra tópicos tradicionales, debido a la

introducción de otros nuevos (por ejemplo: probabilidad, estadística, ciencias

computacionales, matemáticas discretas). Al mismo tiempo el número de horas

escolares dedicadas a las matemáticas se fue abajo. El "movimiento de las

matemáticas modernas" ha contribuido - al menos indirectamente - para disminuir

el rol de la geometría euclidiana favoreciendo otros aspectos de la matemática y

otros puntos de vista para su enseñanza (por ejemplo: teoría de conjuntos, lógica,

estructuras abstractas). La declinación ha involucrado en particular el rol de los

aspectos visuales de la geometría tanto la tridimensional como la bidimensional, y

todas aquellas partes que no encajaron dentro de la teoría de los espacios lineales

como, por ejemplo, el estudio de las secciones cónicas y de otras curvas notables.

En años más recientes ha habido un retorno hacia contenidos más

tradicionales en matemáticas, con un énfasis específico sobre actividades de

planteamiento y solución de problemas. De cualquier manera, los intentos de

restablecer la geometría euclidiana clásica - la que al principio y en muchas partes

del mundo fue la materia principal en la geometría escolar - no han sido muy

exitosos. El punto es que en los cursos tradicionales de geometría euclidiana el

material es usualmente presentado a los estudiantes como el producto final y ya

hecho de la actividad matemática. Así, esta presentación, no encaja dentro del

currículo actual donde se espera que los alumnos tomen una parte activa en el

desarrollo de su conocimiento matemático.

En la mayoría de los países el porcentaje de gente joven que atiende al nivel

medio superior se ha incrementado muy rápido durante las últimas décadas. Así, la



forma tradicional de enseñar geometría abstracta a una selecta minoría ha resultado

más difícil e inapropiada para las expectativas de la mayoría de estudiantes de las

nuevas generaciones. Al mismo tiempo, la necesidad de más profesores ha causado,

en promedio, una disminución en su preparación universitaria, especialmente en lo

que respecta a las partes más demandantes de las matemáticas, en particular la

geometría. Desde que profesores más jóvenes han aprendido matemáticas bajo

curricula que han descuidado la geometría, les hacen falta buenos antecedentes en

este campo, lo cual genera en ellos la tendencia a descuidar la enseñanza de la

geometría a sus alumnos.

La situación es aún más dramática en aquellos países donde hay poca

tradición escolar. En algunos casos la geometría está completamente ausente en sus

curricula matemáticos.

La brecha entre la concepción de la geometría como un área de investigación

y como una materia a ser enseñada en las escuelas parece estar incrementándose;

pero no parece encontrarse consenso en cómo superar esta brecha, ni aún si

pudiera (o debiera) ser superada a través de la introducción de más tópicos

avanzados en los grados inferiores del currículo escolar.

4. La Geometría en Educación

En las secciones anteriores hemos considerado a la geometría principalmente

como una teoría matemática y hemos analizado algunos aspectos de su enseñanza.

Dado que el aprendizaje es incuestionablemente el otro polo esencial de cualquier

proyecto educativo, es apropiado poner la debida atención a las principales

variables que intervienen en un proceso coherente de enseñanza - aprendizaje.

Consecuentemente, diferentes aspectos o "dimensiones" (consideradas en su más

amplio significado) deben ser tomados en cuenta:

La dimensión social, con dos polos:

El polo cultural, i.e. la construcción de antecedentes comunes (conocimiento y

lenguaje) para toda la gente que comparte una misma civilización.

El polo educativo, i.e. el desarrollo de criterios, internos para cada individuo,

para su auto consistencia y responsabilidad.

La dimensión cognitiva, i.e. los procesos con los cuales, partiendo de la

realidad, se conduce gradualmente hacia una percepción más refinada del espacio.

La dimensión epistemológica, i.e. la habilidad para explorar el interjuego

entre la realidad y la teoría a través del modelado (hacer previsiones, evaluar sus

efectos, reconsiderar selecciones). Es así que la axiomatización permite liberarse de



la realidad; de esta manera puede ser vista como un recurso que facilita futuras

conceptualizaciones.

La dimensión didáctica, i.e. la relación entre la enseñanza y el aprendizaje.

En esta dimensión se encuentran muchos aspectos que merecen consideración.

Como un ejemplo, listamos tres de ellos:

Hacer que interactúen varios campos (tanto al interior de la matemática como

entre las matemáticas y otras ciencias).

Asegurar que los puntos de vista de los profesores y los estudiantes sean

consistentes en un estudio dado. Por ejemplo, tener en cuenta que distintas

escalas de distancia pueden involucrar diferentes concepciones y procesos

adoptados por los estudiantes aún cuando la situación matemática sea la

misma: En un "espacio de objetos pequeños", la percepción visual puede

ayudar para hacer conjeturas y para identificar propiedades geométricas;

cuando se está tratando con el espacio donde usualmente nos movemos (por

ejemplo, el salón de clases) todavía resulta fácil obtener información local,

pero puede dificultarse lograr una visión global; en un "espacio a gran escala"

(como es el caso de la geografía o de la astronomía) las representaciones

simbólicas son necesarias a fin de analizar sus propiedades.

Dar la debida consideración a la influencia de las herramientas disponibles en

situaciones de enseñanza y de aprendizaje (desde la regla y compás tanto

como otros materiales concretos, hasta calculadoras graficadoras,

computadoras y software específico)

No se necesita decir que todas estas dimensiones están interrelacionadas

unas con otras y que también debieran relacionarse apropiadamente a las diferentes

edades y niveles escolares: pre-primaria, primaria, secundaria, medio superior (en

donde se empiezan a diferenciar las vocaciones académicas y técnicas),

universitario incluyendo la formación de profesores.

5. Nuevas Tecnologías y Herramientas para la Enseñanza de la

Geometría

Hay una larga tradición de matemáticos que hacen uso de herramientas

tecnológicas y recíprocamente, el uso de estas herramientas ha hecho surgir nuevos

retos en problemas matemáticos (por ejemplo, la regla y el compás para las

construcciones geométricas, los logaritmos y los instrumentos mecánicos para los

cómputos numéricos). En años recientes la nueva tecnología, y en particular las

computadoras han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra sociedad.



Muchas actividades tradicionales se han vuelto obsoletas mientras que nuevas

profesiones y nuevos retos emergen. Por ejemplo, el dibujo técnico ya no se hace a

mano. En su lugar uno usa software comercial, plotters y otros accesorios

tecnológicos. CAD-CAM y software para álgebra simbólica están ampliamente

disponibles.

Las computadoras también han hecho posible la construcción de "realidades

virtuales" y la generación de animaciones interactivas o cuadros maravillosos (por

ejemplo, imágenes fractales). Más aún, los accesorios electrónicos pueden ser

usados para lograr experiencias que en la vida cotidiana son inaccesibles, o

accesibles solamente a través de trabajo sumamente tedioso y que generalmente

consume muchísimo tiempo.

Por supuesto, en todas estas actividades la geometría está profundamente

involucrada tanto para promover la habilidad de usar herramientas tecnológicas

apropiadamente, como para interpretar y entender el significado de las imágenes

producidas.

Las computadoras pueden también ser usadas para obtener un entendimiento

más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamente

diseñado para fines didácticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las

construcciones tradicionales con regla y compás, o la posibilidad de mover los

elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen

fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede conducir a una

presentación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación de sus

invariantes.

Hasta ahora, la práctica escolar ha sido sólo marginalmente influida por estas

innovaciones. Pero en el futuro cercano es posible que al menos algunos de estos

tópicos encontrarán su camino dentro de las curricula. Esto implicaría en grandes

términos los siguientes cuestionamientos:

¿Cómo afectará el uso de las computadoras la enseñanza de la geometría, sus

propósitos, sus contenidos y sus métodos?

¿Serán preservados los valores culturales de la geometría clásica, o éstos

evolucionarán, y cómo?

En países en los que las restricciones financieras no permiten la introducción

masiva de computadoras a las escuelas en un futuro cercano, ¿aún así será posible

reestructurar la curricula de geometría a fin de enfrentar los principales retos

originados por estos recursos tecnológicos?



6. Aspectos Clave y Retos para el Futuro

En esta sección listamos explícitamente algunas de las preguntas más

relevantes desprendidas de las consideraciones delineadas en las secciones

precedentes. Creemos que una clarificación de estos aspectos podría contribuir a

una promoción significativa en la enseñanza de la geometría. Por supuesto no

afirmamos que todos los problemas bosquejados son solubles y menos aún, que las

soluciones son únicas y tienen una validez universal. Por el contrario, las soluciones

pueden variar según los diferentes niveles escolares, los diferentes tipos de

escuelas y los diferentes ambientes culturales.

6.1. PROPÓSITOS

¿Por qué es aconsejable y/o necesaria la enseñanza de la geometría?

¿Cuáles de los siguientes pueden ser considerados como los propósitos

más relevantes de la enseñanza de la geometría?

Describir, entender e interpretar el mundo real y sus fenómenos.

Proporcionar un ejemplo de una teoría axiomática.

Proporcionar una rica y variada colección de problemas y ejercicios

para la actividad individual de los estudiantes.

Entrenar a los aprendices a hacer estimaciones, establecer conjeturas,

construir demostraciones y determinar ejemplos y contraejemplos.

Servir como una herramienta para otras áreas de la matemática.

Enriquecer la percepción pública de las matemáticas.

6.2. CONTENIDOS

¿Qué se debería enseñar?

¿En la enseñanza de la geometría es preferible un estudio "extenso" o

"profundo"?

¿Es posible / aconsejable identificar un tronco curricular común?

En el caso de una respuesta afirmativa a la segunda cuestión indicada arriba,

¿qué tópicos debieran ser incluidos en el temario correspondiente a los diferentes

niveles escolares?

En el caso de una respuesta negativa, ¿porqué se piensa que los profesores o

las autoridades locales debieran ser dejadas en libertad de elegir los contenidos de

geometría de acuerdo a sus gustos personales (este punto de vista es común a otras

materias de matemáticas o, es algo peculiar de la geometría)?

¿La geometría debiera ser enseñada como una materia específica y aparte o,

debiera surgir de los cursos de matemáticas generales?



Parece haber un acuerdo muy difundido de que la enseñanza de la geometría

debe reflejar las necesidades actuales y potenciales de la sociedad. En particular, en

todos los niveles escolares debiera ponerse énfasis en la geometría del espacio

tridimensional tanto como las relaciones de ésta con la geometría bidimensional.

¿Cómo podría y debería modificarse la situación actual (en la que sólo es favorecida

la geometría bidimensional)?

¿De qué maneras el estudio del álgebra lineal puede potenciar el

entendimiento de la geometría? ¿En qué etapa debieran ser introducidas las

estructuras "abstractas" de los espacios vectoriales? y ¿Cuáles son las metas?.

¿Sería posible y aconsejable el incluir también en el currículo algunos elementos de

geometrías no euclidianas?

6.3. MÉTODOS

¿Cómo debiéramos enseñar geometría?

Cualquier tópico en geometría puede ser localizado en alguna parte entre los

extremos de una aproximación "intuitiva" y una aproximación "formal" o

"axiomática". ¿Sólo una de estas dos aproximaciones debiera ser privilegiada en

cada nivel escolar o, debiera haber un interjuego dialéctico entre ellas, o aún más

debiera darse un cambio gradual de la primera a la segunda conforme se incrementa

la edad y el nivel escolar de los estudiantes?

¿Cuál es el papel de la axiomática en la enseñanza de la geometría? ¿Debiera

establecerse un conjunto completo de axiomas desde el principio (y, si es así, a qué

edad y nivel escolar) o es aconsejable la introducción gradual de la axiomática, por

ejemplo mediante un método de "deducciones locales"?

Tradicionalmente, la geometría es la materia donde "uno demuestra teoremas".

¿La "demostración de teoremas" debiera estar restringida a la geometría?

¿Nos gustaría exponer a los estudiantes a diferentes niveles de rigor en las

demostraciones (conforme progresan su edad y nivel escolar)? ¿Las demostraciones

deberían ser herramientas para el entendimiento personal, para convencer a otros,

o para explicar, clarificar, verificar?

¿Empezando desde cierto nivel escolar debiera ser probado cada estatuto

geométrico o, deberían seleccionarse para demostración sólo algunos teoremas? En

el último caso, ¿Debiera uno elegir estos teoremas por su importancia al interior de

un marco de trabajo teórico, o por el grado de dificultad de la demostración? y

¿Debieran ser privilegiadas las afirmaciones intuitivas o las contra intuitivas?



Parece ser que hay una creciente tendencia internacional hacia la enseñanza

de los métodos analíticos en los grados más tempranos, a expensas de otros

(sintético) aspectos de la geometría. Se supone que la geometría analítica presenta

los modelos algebraicos para las situaciones geométricas. Pero, tan pronto como los

estudiantes son introducidos a estos métodos nuevos, son empujados

repentinamente a un mundo de cálculos y símbolos en los que se rompen las ligas

entre las situaciones geométricas y sus modelos algebraicos y con frecuencia son

omitidas las interpretaciones geométricas de los cálculos numéricos.

Consecuentemente, ¿a qué edad y nivel escolar debiera iniciarse la enseñanza de la

geometría analítica? ¿Cuáles actividades, métodos y marcos de trabajo pueden ser

usados para restablecer los enlaces entre las representaciones algebraicas del

espacio y las situaciones geométricas que estas simbolizan?

¿Cómo podemos potenciar de mejor manera la habilidad de los estudiantes

para elegir las herramientas adecuadas (conceptuales, manipulativas, tecnológicas)

para resolver problemas geométricos específicos?

6.4. LIBROS, COMPUTADORASY OTROS RECURSOS DE

ENSEÑANZA

¿Son los libros de texto tradicionales tan apropiados como quisiéramos que

fueran para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría?

Cómo es que en realidad usamos los estudiantes y los profesores los libros de

texto y otros recursos? ¿Cómo quisiéramos que los usaran los estudiantes?

¿Qué cambios pueden y deben ser hechos en la enseñanza y aprendizaje de la

geometría en la perspectiva de incrementar el acceso a software, videos, materiales

concretos y otros artefactos tecnológicos?

¿Cuáles son las ventajas que se desprenden del uso de tales herramientas,

desde un punto de vista educativo y geométrico?

¿Cuáles problemas y limitaciones pueden surgir del uso de tales herramientas

y cómo podrían ser superados?

¿Qué tanto puede extenderse y transferirse el conocimiento adquirido en un

ambiente computarizado a otros ambientes?

6.5. MEDICIÓN

Las formas de medir y evaluar a los estudiantes influyen fuertemente en las

estrategias seguidas para la enseñanza y el aprendizaje. ¿Cómo deberíamos

establecer los objetivos y propósitos y cómo debiéramos construir nuestras técnicas

de medición de manera consistente con estos objetivos y propósitos? ¿Existen



aspectos de la evaluación peculiares de la enseñanza y el aprendizaje de la

geometría?

¿Cómo pueden influir el uso de las calculadoras, computadoras y software

específico en el análisis de los contenidos, organización y criterios de evaluación de

las respuestas de los estudiantes?

¿Los procedimientos de medición debieran estar fundamentados

principalmente en exámenes escritos (cómo parece acostumbrarse en muchos

países) o también debieran estarlo en el papel de la comunicación oral, del dibujo

técnico y del trabajo con la computadora?

¿Qué es exactamente lo que debiera ser evaluado y considerado para una

calificación: La solución? ¿El proceso de solución? ¿Las formas de pensamiento?

¿Las construcciones geométricas?

6.6. PREPARACIÓN DE LOS PROFESORES

Una de las componentes esenciales de un proceso eficiente de enseñanza -

aprendizaje, es la buena preparación de los profesores, en lo que concierne tanto a

competencias disciplinares y educativas, epistemológicas, tecnológicas y aspectos

sociales. En consecuencia, ¿Qué preparación específica (y realmente alcanzable) se

requiere para los profesores prospectos y practicantes?

Es bien sabido que los profesores tienden a reproducir en su profesión los

mismos modelos que ellos experimentaron cuando fueron estudiantes, a pesar de

que posteriormente han sido expuestos a diferentes puntos de vista. ¿Cómo es

entonces posible motivar la necesidad de cambios en la perspectiva de enseñanza

de la geometría (tanto del punto de vista de los contenidos como el metodológico)?

¿Cuáles recursos para la enseñanza (libros, videos, software,) debieran estar

disponibles para la capacitación de profesores en servicio, con el fin de favorecer

una aproximación flexible y de amplio criterio para la enseñanza de la geometría?

6.7 EVALUACIÓN DE EFECTOS A LARGO PLAZO

Con mucha frecuencia el éxito (o fracaso) de una reforma curricular y/o

innovación metodológica para un cierto sistema escolar es valorada sobre la base de

sólo un corto periodo de observación de sus resultados. Más aún, usualmente no

hay estudios comparativos sobre los posibles efectos laterales de cambio de

contenidos o métodos. Recíprocamente, sería necesario el dar una mirada también a

qué ocurre en el largo plazo.



Por ejemplo:

¿La educación visual desde una edad temprana tiene un impacto sobre el

pensamiento geométrico en edades posteriores?

¿Cómo influye en la intuición visual de los estudiantes una introducción

temprana de los métodos analíticos en la enseñanza de la geometría? Cuando los

estudiantes son ya profesionistas ¿se apoyan más en la intuición o en los aspectos

racionales de la enseñanza de la geometría a la que han sido expuestos?

¿Cuál es el impacto del uso generalizado de herramientas tecnológicas en el

aprendizaje de la geometría?

6.8. REALIZACIÓN

En el ICME 5 (Adelaide, 1984) J. Kilpatrick lanzó una pregunta provocadora:

¿Qué sabemos acerca de la educación matemática en 1984 que no sabíamos en

1980?. El mismo asunto ha sido retomado recientemente en el estudio del ICMI:

"Qué se investiga en educación matemática, y cuáles son sus resultados". Como

para la geometría, la posibilidad de apoyarse en resultados de investigación podría

ser extremadamente útil con el fin de evitar el replanteamiento en el futuro de

formas de proceder que han probado ser infructuosas, y recíprocamente, con el fin

de beneficiarse de soluciones exitosas. Y, para las preguntas relevantes aún no

establecidas, nos gustaría investigar para hacernos de información útil con el fin de

clarificar las ventajas y desventajas de posibles alternativas.

En consecuencia, una pregunta clave podría ser:

¿Qué es lo que ya sabemos de la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje

de la geometría y qué querríamos aclarar con la investigación futura?



Lectura N ° 2

El camino a seguir

Vinicio Villani

Traducción: Víctor Hernández y Martha Villalba.


¡Ni aún Hilbert, uno de los más matemáticos más conocidos del siglo antepasado

tuvo acceso a una bola de cristal para ver el futuro de la investigación en

matemáticas! Las soluciones encontradas algunas décadas posteriores para algunos

de los 23 mundialmente famosos problemas que él propuso a la comunidad

matemática en el discurso mencionado arriba, han tenido diferencias inherentes a

las que Hilbert mismo había conjeturado. Piénsese solo en una de las inesperadas

respuestas "negativas" de Paul Cohen y de Kurt Gödel a sus primeros dos problemas

(sobre la "Hipótesis del Continuo" y sobre "La Consistencia de los Axiomas

Aritméticos").

Si hay dificultad al tratar de predecir el futuro de la investigación matemática puede

ser aún más difícil tratar de predecir el futuro de la educación matemática, ya que

ésta es un campo que está sujeto a una variedad de factores aún más amplia, tanto

intrínsecos como extrínsecos a la disciplina específica. ¿Quién por ejemplo, podría

adivinar hace sólo cincuenta años que la regla y el compás serían excluidos de todos

los lugares de trabajo profesional de ingenieros y técnicos por el uso de las

herramientas gráficas CAD? ¿O que habría una rebelión (después suavizada al

menos parcialmente) contra la enseñanza de la geometría en el estilo Euclidiano?

¿O, posteriormente, que el avance en las técnicas geométricas se convertiría en una

herramienta esencial para el mejoramiento de imágenes tradicionales de rayos X por

métodos estratigráficos?

A pesar de las dificultades en hacer pronósticos a largo plazo, no podemos

permanecer inactivos en nuestra práctica de enseñanza conforme pasa el tiempo.



Los cambios en la enseñanza de la geometría son impuestos no sólo por las nuevas

concepciones en los fundamentos de la geometría y por la creciente advertencia del

rol central de las metodologías apropiadas para la enseñanza, sino también por los

cambios en las expectativas de la sociedad, por el cambio en las necesidades en los

lugares de trabajo y por el firme progreso de la ciencia y la tecnología.

Por ello es necesario y urgente buscar un hilo conductor que nos permita transitar

desde un pasado reciente hasta un futuro cercano. En este espíritu, vamos ahora a

enumerar algunos descubrimientos específicos que emergen de los capítulos previos

y más generalmente de la literatura educativa internacional concerniente a la

geometría. Pero estamos concientes de que surgieron muchos cuestionamientos, por

ejemplo, en el Documento de Discusión del ICMI (impreso en el Apéndice)

permanecen abiertas, y que serán necesarios algunos ajustes y cambios de ruta

para pasar de propuestas generales a acciones concretas para la mejora de la

enseñanza de la geometría.

1. Una de las particularidades de la geometría es la variedad de sus aspectos y

también la variedad de los posibles modos para su enseñanza, en dependencia de

las prioridades de las metas que queramos atender y de los tipos de alumnos o

estudiantes a quien se dirija. Lo que es cierto y bien documentado en la literatura

es que para cada nivel educativo, desde el Jardín de Niños, existen partes de la

geometría que pueden (y debieran) ser enseñadas y aprendidas exitosamente.

Advertimos que con el fin de acceder a un entendimiento global de los principales

hechos, conceptos procedimientos y estrategias en geometría, será necesario

regresar una y otra vez a los mismos tópicos en diversos niveles, con una especie

de proceso espiral. Pero este hecho no debiera considerarse con un sentido de

frustración. Lo que realmente importa en los procesos de enseñanza y aprendizaje

son los efectos a largo plazo. Sería un serio error evitar el tratamiento de ciertos

tópicos bajo el pseudo-pretexto de que el mismo tópico será tratado después en

niveles escolares posteriores, en contextos más generales y sistemáticos. Este

comportamiento sería sumamente dañino, ya que los estudiantes perderían

conocimiento preliminar necesario como un punto de partida para el nivel

subsiguiente. Como R. Thom acaba de señalar en el ICME 2: De acuerdo a la ley de

recapitulación de Haeckel (la que sostiene que la ontogénesis recapitula la

filogénesis) la pedagogía debe buscar la recreación de experiencias fundamentales



que desde los albores del tiempo histórico han dado lugar al nacimiento de las

entidades matemáticas. [2]

La aseveración de Thom puede ser parafraseada como sigue: Si el proceso de

enseñanza - aprendizaje ha sido significativo para los aprendices y no sólo un juego

formal, uno no debe saltarse ninguna parte intermedia de la vía que condujo

gradualmente desde los aspectos concretos e intuitivos hasta la geometría abstracta

y deductiva.

2. Construir un currículo es muy difícil y demanda tareas que deben involucrar a

matemáticos, profesores, expertos educativos que tengan un profundo conocimiento

de las necesidades reales y las expectativas de la comunidad específica para la cual

el currículo deberá ser diseñado. Las fallas de muchos curricula matemáticos están

todavía ante los ojos de todo el mundo. Estos curricula fueron impuestos por

procedimientos verticales sin tomar en cuenta las opiniones y las experiencias del

trabajo de los profesores. No nos asombra que las fallas ocurren también cuando las

currícula son transplantadas en bloque desde un país a otro, típicamente desde un

país dominante hacia el área de su influencia en otras partes del mundo.

Cualquier currículo, a fin de ser efectivo, deberá tener coherencia interior, de otra

manera los procesos de aprendizaje descienden a un estadio de aparador de

nociones sin relación. Esta observación se aplica a los currícula de cada materia en

cualquier área, pero es especialmente verdadera para la geometría debido a la gran

diversidad de sus aspectos. Podríamos sugerir una analogía con la travesía de un

autobús: Si usted viene de la escuela con algún estado de ánimo en particular, es

deseable que disfrute su trayecto, de tal manera que espere disfrutarlo otra vez.

Consecuentemente, los planificadores del currículo deben hacer selecciones

coherentes concernientes a metas, contenidos y métodos; los autores de libros de

texto deben hacer selecciones didácticas mientras implementan los currícula

prescritos y los profesores deben hacer selecciones adicionales, y establecer

prioridades en el momento de la transposición didáctica. Para hacer estas elecciones

y establecer estas prioridades, las variables relevantes a ser consideradas no son

solamente los niveles escolares y las edades de los alumnos, sino aspectos

culturales, lingüísticos y socioeconómicos así como también su factibilidad

dependiendo globalmente de la estructura del sistema local de educación, de la



preparación de los profesores, de la disponibilidad de recursos tecnológicos y cosas

por el estilo.

Por todas estas razones sería impropio declarar que es posible elaborar un currículo

de geometría de validez universal, es posiblemente dar luz sobre algunos aspectos

generales sobre los cuales hay un amplio consenso internacional.

Como se acaba de establecer arriba, un currículo debe sostener una coherencia

interna. Sin embargo, algunas discontinuidades son inevitables en el proceso desde

un estadio al siguiente. Por ejemplo, cuando uno pasa desde una fase visual,

temprana, ingenua y ligada a la manipulación concreta a una más avanzada y de

punto de vista teórico, él "contrato didáctico" cambia repentinamente: los alumnos

que hasta entonces se les había pedido "ver" las propiedades geométricas de una

configuración a través de un dibujo, deben ahora empezar a deducir estas

propiedades usando argumentación lógica. Estas discontinuidades, a fin de ser

efectivas y no desorientar a los alumnos, deben ser motivadas a través de mostrar a

cada paso que lo nuevo es un mejoramiento de lo anterior. Esto se aplica también

por supuesto a las relaciones entre los métodos sintéticos y analíticos.

3. A nivel elemental la geometría no debiera ser limitada sólo a cierta terminología,

en su lugar sería deseable que desde los grados más tempranos la enseñanza de la

geometría pudiera ayudar a los alumnos a mejorar sus habilidades espaciales y a

promover experiencias en la medida de longitudes, áreas y volúmenes para hacerlos

gradualmente cobrar confianza en el uso de las unidades internacionales (métricas).

La práctica con la regla, el compás y el transportador es aún deseable, a pesar del

posible uso de recursos de cómputo. Más aún, desde la primaria, es perfectamente

factible involucrar a los alumnos en actividades de clasificación, por ejemplo al

identificar simetrías y regularidades de formas geométricas simples.

En la secundaria (edad 15 años), la geometría no debiera estar limitada sólo al

aprendizaje por repetición de algunas fórmulas para áreas y volúmenes. En este

nivel escolar sería deseable que los alumnos se dieran cuenta de las principales

propiedades de las isometrías y las semejanzas y que cobraran experiencia en

alguna de las primeras instancias de razonamiento deductivo (por ejemplo una

prueba del clásico teorema de Pitágoras).



En la escuela secundaria superior (edad 15), la geometría no debiera ser limitada

sólo a la formalidad de "pruebas de dos columnas" [3] ni solamente al álgebra

lineal. Sería deseable que los alumnos empezaran a conocer al menos secciones

cónicas tanto como aplicaciones significativas de la geometría. De hecho las gráficas

por computadora podrían ahorrar mucho tiempo al mostrar las propiedades de las

cónicas.

4. Podemos aseverar sin duda alguna que la geometría no debiera solamente tratar

con formas bidimensionales. Y más aún, que la geometría bidimensional no sólo

debiera tratar con el "microespacio" de una hoja de papel o de la página de un libro.

Por el contrario y especialmente durante los primeros grados escolares, el punto de

partida para la geometría debiera ser una observación cuidadosa de la realidad

tridimensional en la que vivimos. Y esta atención a las situaciones tridimensionales

deberían continuar aún en grados posteriores, junto con un énfasis en las relaciones

entre el espacio tridimensional y sus representaciones en el plano bidimensional: los

objetos "como son" y "como se ven" (en la retina de nuestros ojos, en una hoja de

papel, en una computadora o pantalla de televisión). En este contexto es natural

tratar no solamente con los aspectos métricos de la geometría, sino considerar

también las propiedades afines al plano, así como las proyecciones paralelas del

espacio en el plano. Más aún, uno debiera considerar (al menos en una forma

ingenua) proyecciones centrales, es decir perspectivas.

5. En un cierto sentido, los métodos de enseñanza son aún más importantes que el

contenido. ¡Y también, es más difícil mejorarlos!

Durante las últimas cuatro décadas, la crítica a la forma tradicional de enseñanza de

la geometría sintética (Euclidiana) en los grados superiores ha sido dirigida a través

de un estilo de presentación de la construcción global como un producto final

intocable en lugar de a través de la construcción del propio contenido.

En nuestros días se está comúnmente de acuerdo en que el aprendizaje repetitivo

de pruebas ya hechas tiene un efecto pobre en la educación y no se acerca al

propósito deseado, que es familiarizar a los alumnos con el razonamiento hipotético

- deductivo en diferentes contextos (no solamente geométricos).

Creemos que es en el nivel superior de secundaria que los alumnos debieran tener

una idea de la estructura de una teoría deductiva, ya que esta es su característica



principal, que distingue a las matemáticas de las ciencias experimentales. Pero esto

no significa que la enseñanza de la "geometría deductiva" deba empezar con un

conjunto de axiomas, ni que cada proposición deba ser probada. Con una

sistematización excesiva arriesgamos matar el interés de los alumnos; esto podría

significar lograr precisamente lo contrario al efecto deseado para la educación.

En consecuencia, al menos al comienzo de la escuela secundaria (digamos en los

grados 7 - 10, aunque también posteriores) parece aconsejable el uso de

deducciones "locales", que estén al alcance de los estudiantes y que por lo tanto les

permitan involucrarse activamente. Por supuesto lo que debe quedar claro incluso

en este nivel es que cada prueba se apoya en algunas suposiciones que deben ser

establecidas explícitamente y que se dan por hecho. Estas suposiciones deben ser

vistas como un conjunto de axiomas provisional (y redundante).

Al seleccionar los teoremas que serán demostrados debieran privilegiarse

proposiciones sorprendentes y no intuitivas, a fin de mostrar el poder del

razonamiento sobre la mera experiencia física (por ejemplo: la suma de los ángulos

de un triángulo, el Teorema de Pitágoras, propiedades de la línea de Euler en un

triángulo, la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado). Tales ítem

pueden servir como "soportes" para un currículo que ve a la geometría como un

viaje, de acuerdo a la metáfora "del autobús" del § 2.

Finalmente, "probar un teorema" no debiera ser confinado a la geometría. Aún en

aritmética, álgebra y probabilidad, hay muchas oportunidades de probar

proposiciones sencillas pero significativas. Por supuesto, el estilo de las pruebas es

un tanto diferente en estos contextos. Lo que es peculiar en las pruebas de

geometría es el rol de la intuición visual, por lo que es tan difícil dar una prueba

totalmente rigurosa de cualquier cosa en geometría (y porqué La Nueva Matemática

puso en su lugar al álgebra).

6. Las aplicaciones de la geometría tanto las novedades impresionantes como las

clásicas bien conocidas son sin duda fascinantes y por lo tanto deben ser

enfatizadas. Pero uno debe evitar el peligro de una fragmentación excesiva. Justo

como la excesiva sistematización puede matar el interés de los alumnos, así una

fragmentación excesiva puede ser dispersante y no concluyente. Las aplicaciones a

privilegiar son en consecuencia aquellas que mejor se ajusten a una perspectiva



educativa, cultural y global de la totalidad del currículo. Más aún uno debiera

mantener siempre en la mente la recomendación del Cockcroft Report [4]:

Debe ser un principio fundamental que ningún tópico debe ser incluido (en un curso

de matemáticas) a menos que pueda ser suficientemente desarrollado para ser

aplicado en las formas que los alumnos puedan entender.

7. En la comunidad matemática internacional existe ahora una amplia convergencia

de opinión en que la geometría, después de años de abandono, debiera ser

revitalizada en sus variados aspectos en todos los niveles escolares.

Pero es difícil poner esto en práctica y aparenta ser una utopía, e incluso

posiblemente indeseable, el creer que la geometría pueda de nuevo monopolizar

cercanamente la mitad del tiempo dedicado globalmente a las matemáticas, como

fue el caso en muchos países hasta hace unos 50 años.

Una manera de superar la consecuente falta de tiempo es el guiar a la geometría a

salir de su aislamiento. Esto puede ser logrado, por ejemplo, familiarizando a los

alumnos con el "pensamiento visual" incluso en aritmética, en álgebra, en cálculo,

en matemáticas discretas en estadística y así sucesivamente, usando - siempre que

sea posible - bosquejos, dibujos, gráficas, diagramas y terminología geométrica (por

ejemplo distancia, ortogonalidad, etc...). ¡Debiera convertirse en una rutina habitual

de los profesores el pedir a sus alumnos una interpretación geométrica de cualquier

clase de problemas matemáticos! También puede ser útil el enfatizar las ligas entre

la geometría y otras disciplinas, por ejemplo física, geografía, dibujo técnico e

incluso filosofía.

8. El uso de las computadoras puede tener un profundo efecto sobre la enseñanza

de la geometría desde dos puntos de vista, los que en cierto sentido son

mutuamente complementarios.

.Por un lado el uso de software didáctico específico tal como Logo, Cabri o

Sketchpad pueden mejorar en gran medida la enseñanza y el aprendizaje de

la geometría. Al mismo tiempo, el uso de esta clase de software implica un

replanteamiento profundo del rol de actividades tales como conjeturar,

argumentar y demostrar.



Por otro lado, se necesita un entendimiento más profundo de los aspectos

gráficos y computacionales de la geometría con el fin de ser capaz de usar,

con mesura, software profesional CAD u otras facilidades de cómputo

similares. Tales paquetes incluso pueden ser usados por profesores

habilidosos como herramientas y ambientes para conducir actividades en el

aprendizaje de los alumnos de conceptos y estructuras geométricas.

Se avizoran serios problemas relacionados con el uso de computadoras. En muchos

países no son suficientes las fuentes financieras para dotar a las escuelas con

hardware y software apropiado. Se espera que esta situación mejore en el futuro

gracias a la caída de los costos de estos artefactos electrónicos.

Sugerimos a los profesores que no tienen aún la oportunidad de usar los recursos de

cómputo que: lleven siempre en mente que estos artefactos electrónicos existen, y

que consecuentemente en su enseñanza enfaticen aquellas habilidades que serán

probablemente más relevantes en la perspectiva de la vida profesional futura de sus

alumnos.

En cualquier caso, al menos hasta ahora, parece inapropiado considerar el uso de

las computadoras como el único recurso tecnológico posible para la enseñanza y el

aprendizaje de la geometría. Aún es esencial que los estudiantes estén

familiarizados con la regla y el compás o con los modelos de objetos geométricos

tridimensionales.

9. La capacitación de los profesores en servicio y la de los profesores en prospecto

es un problema clave a fin de pasar desde un pensamiento lleno de deseos a las

acciones concretas. Para enseñar cualquier tópico adecuadamente, uno debe

conocerlo completamente; en realidad uno debiera saber mucho más y con mayor

profundidad que lo que uno enseña. Pero sería una ilusión pensar que uno puede

dominar todo el conocimiento antes de iniciar la enseñanza; el mero acto de

enseñanza le ayuda a uno a adquirir tanto profundidad como extensión.

Desafortunadamente un gran número de profesores en servicio han recibido una

pobre capacitación en geometría y, tanto cualitativa como cuantitativamente

inadecuada.

Así como para la capacitación de los nuevos profesores, existe una gran brecha

entre la clase de geometría que se enseña en la mayoría de las preparatorias y

universidades, y la geometría que se espera que los profesores en prospecto

enseñen a sus futuros alumnos.



En virtud de que los cursos de geometría de preparatorias y universidades tratan

fundamentalmente con álgebra lineal, topología algebraica o materias similares, es

sumamente fácil predecir que aquellos que son estudiantes ahora, una vez que sean

profesores, habrán de regresar a los insatisfactorios modelos de enseñanza de la

geometría elemental experimentados por ellos en sus estudios preuniversitarios.

¡Los profesores enseñan más en el modo como a ellos les enseñaron que como les

dijeron que enseñaran!

El movimiento de las Nuevas Matemáticas falló en unir la brecha entre la geometría

escolar y la geometría universitaria principalmente porque tuvo impacto solamente

en las curricula preuniversitaria. Estaba basada en la suposición de que ciertas

partes de la geometría elemental estaban "muertas" para la investigación

contemporánea avanzada pero esta suposición, verdadera o no, no debe implicar la

exclusión de esas partes de la geometría que habían sido enseñadas en una

perspectiva cultural apropiada. El tiempo ha mostrado, en el nivel de preparatoria y

universitario, el hecho de que la geometría visual y elemental está todavía viva

como una fuente permanente de interés e inspiración, incluso, para la investigación

avanzada. Para decirlo en las palabras usadas por D. Henderson en el Congreso de

Catania:

Dar vida al razonamiento geométrico es poner atención a los significados detrás de

las fórmulas y de las palabras - significados basados en la intuición, imaginación y

experiencias del mundo que nos rodea. Dar vida al razonamiento geométrico es

saber que en geometría las definiciones, suposiciones, etc., varían con el contexto y

con el punto de vista.

Dar vida al razonamiento geométrico es hacer conjeturas, buscar contraejemplos y

desarrollar conexiones.

Dar vida al conocimiento geométrico es preguntar siempre: ¿por qué?

En la misma reunión, M. De Guzmán señaló que los seres humanos apoyan cerca del

90% de sus actividades en percepciones visuales ("Homo est animal visuale", dijo).

Así, la capacitación inicial de los futuros maestros de escuela básica deberá incluir

cursos que tengan un contenido visual auténtico, verdaderamente geométrico.

Los autores del presenta capítulo urgen a los lectores de este Estudio ICMI a

sensibilizar a sus colegas en preparatorias y universidades de este asunto crucial:

Un conocimiento crítico y profundo de la geometría elemental (incluyendo la

atención en el rol de la visualización), fundamentos, geometría no - Euclidianas,



tanto como aspectos de aplicación, epistemológicos, históricos y didácticos, es

absolutamente necesario tanto para la investigación avanzada como para la

enseñanza. Como Freudenthal una vez señaló: "Todo el mundo, no solamente los

profesores y los autores de textos deben experimentar la verdadera geometría al

menos una vez en sus vidas".

10. Un segundo punto clave en la mejora auténtica de los procesos de enseñanza-

aprendizaje concierne a la medición, un aspecto que parece ser omitido en general,

y especialmente en geometría. La razón es inherente a la propia naturaleza de la

materia. De hecho, uno de los asuntos clave del razonamiento geométrico consiste

en la habilidad para traducir proposiciones de un código a otro. Usualmente un

problema, formulado originalmente en palabras de nuestro lenguaje natural, debe

ser transformado en un dibujo o en una fórmula o (en grados posteriores) en alguna

ecuación algebraica. Al final de este proceso el mismo camino debe ser recorrido en

dirección opuesta: desde la solución algebraica o desde los resultados numéricos, a

la interpretación visual. Y, finalmente a la respuesta expresada de nuevo en

palabras del lenguaje natural. Este largo y complejo itinerario no se puede ajustar

para ser medido por test de opción múltiple o procedimientos estándares similares.

Por otra parte, el hábito prevaleciente en muchos países de usar solamente

procedimientos de medición escritos es inadecuado para evaluar la comprensión de

las ideas involucradas en una demostración, o aún para medir la habilidad de

implementar una construcción geométrica en una computadora.

Si la medición está limitada al conocimiento de terminología geométrica y al uso de

fórmulas de áreas y volúmenes o la habilidad de resolver ecuaciones algebraicas,

esto implica una distorsión del verdadero espíritu geométrico.

Es bien sabido que lo que los profesores evalúan y el modo como lo hacen tiene una

influencia crucial en lo que los alumnos consideran aprendizaje relevante y valioso.

En consecuencia, los procedimientos de medición deben ser conformados de acuerdo

a lo que se desea en los procesos de enseñanza y aprendizaje, y no viceversa.

Resumiendo, se debería usar una variedad de métodos de medición, incluyendo los

tests pero más articulados con ejercicios y problemas de genuino sabor geométrico,

exploraciones de situaciones abiertas, reportes escritos sobre las actividades

desarrolladas durante una sesión de cómputo o en relación con un trabajo práctico,

junto a presentaciones orales y entrevistas donde una interacción real entre el

profesor y alumno se lleve a cabo.



Por otro lado, debemos reconocer el costo de estos métodos de medición no

estándar para el profesor, en tiempo y energía.

Todos estos problemas difícilmente pueden ser resueltos satisfactoriamente por los

profesores de manera individual. Ellos necesitan ser dirigidos por aquellos que

administran el sistema público de examinación. Aún así, los profesores pueden

contribuir a una mejora de la presente situación a través de una presión colectiva

sobre los administradores.

Al tomar el riesgo de reducir el rango de los aspectos del currículo considerados

adecuados para la medición, sin importar qué clase de medición se use, es

importante establecer parámetros de evaluación tan objetivamente como sea

posible, pero sin sacrificar los aspectos significativos por el mito de una objetividad

total.

11. Como para los libros de texto en muchos países hay un notable florecimiento de

iniciativas. Pero con demasiada frecuencia las innovaciones curriculares son

yuxtapuestas con tópicos tradicionales previos, esto genera repeticiones y pierden

coherencia global. Una recomendación para los autores de textos es entonces evitar

una forma acumulativa de compilación de textos y ser más selectivos al escoger una

vía coherente que pueda ser claramente inteligible a los maestros y alumnos.

Al menos para los tópicos más innovadores donde no se da aún una tradición

didáctica sugerimos complementar los libros de texto con guías apropiadas para los

maestros (como se acostumbra en varios países) y proveer de publicaciones

específicas para la capacitación de los profesores.

12. Cada cambio curricular implica necesariamente algunas dificultades inherentes a

la novedad de la materia, a la pobre preparación de los profesores y al soporte

inadecuado de herramientas de enseñanza. En consecuencia, a fin de que una

innovación, en cualquier campo, sea exitosa, es una condición necesaria que los

maestros que estarán a cargo de la implementación estén completamente

convencidos de que es muy valioso lo que hacen, y por lo tanto, estén dispuestos a

tolerar la responsabilidad de un largo y demandante esfuerzo.

Con este Estudio ICMI, esperamos haber tenido éxito en la aclaración de al menos

algunas de las más relevantes motivaciones a fin de persuadir a nuestros lectores

de la necesidad de una mejora en la enseñanza de la geometría en todos los niveles

escolares. Más aún, esperamos haber dado algunos hints útiles indicando la

dirección en la cual moverse.



Estamos confiados en que, después de las dificultades de la presente fase de

transición, la geometría retomará el importante lugar que merece en la educación

matemática.

[1] ¡A quién de nosotros no le gustaría correr el velo tras el cual el futuro descansa

escondido; lanzar una mirada a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de

su desarrollo durante los próximos siglos! ¿Qué fines particulares se plantearán que

conduzcan la lucha del espíritu matemático de las próximas generaciones? (David Hilbert.

Problemas Matemáticos. Dirigido al Congreso Internacional de Matemáticos en París. 1900).

[2] Developments in Mathematical Education., Memorias del Segundo Congreso

Internacional de Educación Matemática, A.G. Howson Ed. (Cambridge Univ. Press. 1973). El

documento en su totalidad es aún relevante y especialmente en lo que concierne a este

libro. [3] Ver la nota de pie de página: p-* [4] Mathematics Counts, HMSO, Londres, 1982.



Lectura N° 3

Las construcciones con regla y compás en la

Enseñanza de la Geometría Pedro Díaz Navarro. Escuela de Matemática. Universidad de Costa Rica

(2000)

Introducción

La geometría juega un papel fundamental en el aprendizaje de los conceptos

matemáticos dado que liga los aspectos propiamente conceptuales de la materia con

aspectos ligados a la vida cotidiana. Esto permite al educador idear un plan

didáctico que le permita a los estudiantes aplicar sus experiencias cotidianas al

aprendizaje de los conceptos estudiados por medio de actividades complementarias

o extraclase donde se contemplen los aspectos psicomotrices del aprendizaje. En

particular, las construcciones con regla y compás cumplen con este cometido.

Martínez indica: Solo los conceptos que son construidos por los propios niños

son conocimientos realmente operativos, permanentes, generalizables a contextos

diferentes del aprendizaje. Por el contrario, los conocimientos que simplemente

trasmitimos a los alumnos, pero que no son construidos por ellos mismos, no

quedan integrados en sus estructuras lógicas y, en consecuencia, solo pueden ser

aplicados en condiciones muy similares a las iniciales del aprendizaje. [2]

Esta situación plantea dos aspectos fundamentales del proceso de enseñanza-

aprendizaje. Primero, el educador debe tener bien claro cuales son los conceptos

que quiere enseñar y los medios más adecuados para trasmitirlos al estudiante de

forma que el pueda construir su conocimiento, lo que implica un dominio amplio de

los temas a tratar. Segundo, un proceso constructivo mediante el cual el estudiante

mismo forme sus conceptos.

En el presente trabajo se plantean algunos ejemplos de aplicación de las

construcciones con regla y compás básicas de la geometría de secundaria que

pueden complementar dicho estudio.

Las construcciones con regla y compás en la Enseñanza de la Geometría



Las construcciones con regla y compás se remontan a los tiempos de Euclides

y Platón. Varilly en [8] nos indica: ''la exclusión de otros instrumentos de dibujo se

debe a la influencia de Platón quién concibió la regla y el compás como instrumentos

"ideales" en contradicción de otros instrumentos prácticos que rechazó como

mecánicos''

Cuando mencionamos las construcciones con regla y compás debemos aclarar

que no es con cualquier regla la que se puede utilizar en dichas construcciones.

Varilly indica: '' La regla y el compás usados por Platón y Euclides difieren de los

instrumentos modernos en dos aspectos importantes. En primer lugar, la regla no es

una regla milimétrica, es decir, no posee calibraciones ni graduaciones de ningún

tipo para cumplir la función secundaria de medir distancias: es simplemente un

instrumento que permite trazar una línea recta entre dos puntos dados... En

segundo lugar, el compás de Euclides puede trazar un círculo cuyo centro es un

punto dado y que pasa por un segundo punto dado. El compás ''moderno'',

confeccionado de metal (con o sin un travesaño para mayor rigidez) permite fijar el

radio antes de aplicar su punto al centro del círculo deseado: con este compás

podemos trazar un círculo con '' un centro dado y un radio dado''. Sin embargo, esta

distinción es de menor importancia, ya que las primeras tres proposiciones del libro

I de Euclides establecen la equivalencia entre los dos tipos de compás''

De esta manera, se debe considerar estos dos aspectos al referirse a dichas

construcciones. Más aún, se debe considerar la posibilidad de realizar

construcciones donde se utilice solamente la regla o solamente el compás.

La regla y el compás en la enseñanza

El programa oficial de secundaria contempla las siguientes construcciones

básicas con regla y compás: la construcción de ángulos congruentes, construcción

de la bisectriz de un ángulo, bisección de un segmento, mediatriz de un segmento,

triángulo rectángulo, triángulo equilátero y las construcciones de las rectas notables

y puntos de intersección de estas en un triángulo. En [3] y [4] podemos encontrar

estas construcciones. Lloreth en [1] hace una recopilación más amplia de

construcciones con regla y compás.

Se pueden utilizar estas construcciones básicas para realizar otras

construcciones más complejas las cuales pueden ser asignadas a los estudiantes

como trabajo extraclase. Algunas de las construcciones mencionadas en [8] algunas

de estas son:



Construir la recta tangente a un círculo desde un punto en una

circunferencia.

Esta construcción permite aplicar las construcciones de rectas perpendiculares

a un segmento dado. Para su construcción sea K un círculo con centro O y sea P un

punto de su circunferencia. Proceda a conectar los puntos O y P. Desde P, construya

la recta perpendicular a OP (esta es una de las construcciones básicas ya

apuntadas). Asi la recta obtenida es la recta buscada.

Construir la recta tangente a un circulo desde un punto de su circunferencia

usando regla solamente

Sea E un punto de la circunferencia dada. Escoja cuatro puntos diferentes A,

B, C, D 2 de la circunferencia. Trace las rectas AB, BC, CD, DE, EA. Sea L la

intersección de AB con DE y sea N la intersección de CD con EA. Trace la recta LN y

sea M su intersección con BC. La recta Buscada es la recta EM.

Construir las dos rectas tangentes a un círculo dado desde un punto externo

Sea K un círculo con centro O( note que el centro del circulo se puede

construir fácilmente), y sea P un punto externo a ello. Conecte OP y sea C el punto

que biseca este segmento. Describa el círculo con centro C y radio CO. Sean A;B sus

intersecciones con K. Las tangentes buscadas son las rectas PA y PB.



Construir las tangentes comunes externas a dos círculos dados.

Sean K y L dos círculos con respectivos centros O, Q y radios k y l.

Supongamos, sin perdida de generalidad que k < l. Describa el círculo M de radio l -

k y centro en Q. Construya las tangentes OS y OT desde O a M (construcción

anterior). Prolongue los radios QS y QT de M hasta cortar L en los puntos A y B

respectivamente. Construya el radio OC de K paralelo a QA y al mismo lado de la

recta OQ (construcción básica). Construya el radio OD de K paralelo a QB y al

mismo lado de OQ. Conecte AC, BD. Estas últimas son las tangentes comunes a K y

L.

Construir las tangentes comunes internas a dos círculos dados

Sean k y L dos círculos con centros respectivos O, Q y radios k, l que no

tienen intersección. Conecte OQ y construya los diámetros CD de K y AB de L

perpendiculares a OQ tal que A y C queden del mismo lado de la recta OQ. Conecte

AD y BC. Sea P su punto de intersección. Construya las tangentes PE, PR a K y

prolónguelas hasta tocar L en S y T. Las rectas ES y RT son las tangentes buscadas.



El lector puede observar que todas las construcciones hechas se basan en las

construcciones básicas estudiadas en secundaria pero presentan un nivel de dominio

mayor. Estoe ejercicios sirven para repasar las construcciones vistas en clases pues

durante su elaboración se deben de aplicar las construcciones vistas.

Otros ejercicios pueden ser consultados en [8]. Para construcciones usando

solamente regla se puede consultar [7].

Conclusión

Las construcciones geométricas juegan un papel fundamental en la enseñanza

de la matemática dado que integra los aspectos psicomotrices del aprendizaje con

formación de concepto por parte del estudiante.

El profesor de matemática debe poder complementar la enseñanza de las

construcciones básicas con regla y compás con ejercicios adicionales que permitan

lograr esta integración. Estos pueden ser elaborados por los estudiantes mediante

trabajos complementarios o extraclase.



Bibliografía

1 Lloreth Miriam. Construcciones geométricas elementales con regla y compás.

Revista Las matemáticas y su Enseñanza. Número 2, Volumen 1, 1989.

2 Martínez, A.y otros. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la

geometría. Editorial Síntesis. Madrid, 1989. Págs

3 Meneses, Roxana. Matemática 7.Enseñanza Aprendizaje. Editorial Norma. San

José, Costa Rica. 1996. Págs. 15-17

4 Meneses, Roxana. Matemática 8.Enseñanza Aprendizaje. Editorial Norma. San

Jose, Costa Rica. 1997. Págs. 16-26

5 Moise, Edwin. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison

Wesley Publishing company, inc. United States Of America. 1963. págs. 214-241.

6 Rodríguez, Pedro. La Enseñanza de la Geometría en la Escuela Secundaria una

propuesta para tercer ciclo. Revista Las matemáticas y su enseñanza. Número 6.

Volumen 3. Junio 1991.

7 Smogorszhevski, A.S. La regla en construcciones geométricas. Lecciones

populares de matemáticas. Editorial MIR, Moscú. 1988.

8 Varilly, Joseph. Geometría I. Preprint págs. 1-7.



Lectura N° 4

Construcciones con regla y compás Antonio Jesús Pan Collantes

Licenciatura en Matemáticas. Universidad de Cádiz [email protected] (2000)

1. Introducción

En este artículo tratamos de poner de relieve algunos aspectos interesantes

acerca de las construcciones con regla y compás a lo largo de la historia. La belleza,

manifestada por medio de grandes genialidades, es el principal motivo de la

importancia de este tema en la historia de las matemáticas, pues aunque es

perfectamente posible construir casi cualquier objeto geométrico ayudándose de

otras herramientas, el uso de utensilios distintos de una simple regla sin graduar y

un compás siempre ha estado mal visto.

Muchos esfuerzos se han hecho para conseguir determinar qué se puede

construir con las susodichas herramientas y qué no. Está claro que son herramientas

muy potentes que nos permiten construir una infinidad de objetos pero, ¿dónde está

su límite? ¿es posible construir cualquier cosa que nos planteemos? Está claro que

no, pues cualquier figura que no conste de arcos de circunferencia y segmentos

rectilíneos queda fuera de su alcance (aunque se pueda acceder a una cantidad

finita de puntos de dicha figura, como es el caso de la elipse).

Más adelante veremos que la humanidad ha conseguido resolver el problema

de caracterizar aquéllas construcciones susceptibles de ser construidas con regla y

compás, lo cual, aunque sea completamente inútil, es un alivio. En concreto

podremos comprender por qué los tres problemas clásicos de la Antigüedad, a

saber, la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, no

son resolubles utilizando únicamente nuestras herramientas. La historia sobre la

resolución de los tres problemas geométricos clásicos está llena de anécdotas, y

como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo

aproximado del número p, el método de exhaución como predecesor del cálculo de

límites o la introducción de curvas trascendentes.



El texto está dividido en tres partes: en la primera se hace un repaso a la

historia de estas construcciones; en la segunda se hace una breve introducción a la

teoría algebraica de cuerpos y extensiones; y una tercera parte que utiliza el

contenido de la segunda para demostrar la imposibilidad de los tres problemas

clásicos griegos. Además, este texto está dirigido a cualquier público con

conocimiento de la geometría de bachillerato, si bien es cierto que la segunda parte

puede hacerse un poco dura. Al ser un artículo con carácter divulgativo no debe

buscarse el rigor de un típico escrito de matemáticas.

2. Historia

Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos

o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres.

En ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales,

astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las

danzas, o la tensión de las cacerías.

Cuando el hombre adquirió un determinado desarrollo de sus ideas

matemáticas necesitó también reflejarlas gráficamente. Tras la observación diaria de

diversos cuadrados imperfectos en la naturaleza, el hombre induce la existencia del

cuadrado ideal (en el sentido platoniano), y se lanza a su representación. Y

entonces necesita instrumentos: en un principio sólo punzones y tablillas enceradas

(ver http://www.geocities.com/fudbiro/Antecedentes.html para una historia de los

instrumentos de escritura); pero después herramientas que le permitan firmeza en

los trazos para imitar la idealidad de los objetos a dibujar. Y así aparecen la regla y

el compás.

El primer gran avance de la geometría se produjo en Grecia. Tal fue el avance

que los Elementos de Euclides fueron el primer modelo de sistema axiomático. Pero

la importancia de la geometría griega no es sólo en el aspecto teórico, sino también

en el práctico: se preocuparon de construir sistemáticamente cada figura que

imaginaban.

Para tal fin crearon una gran cantidad de herramientas, entre ellos regla, compás y

utensilios especiales para trisecar ángulos. Pero curiosamente nuestras dos

herramientas tuvieron una especial preponderancia, pues una construcción se

consideraba mucho más elegante si sólo necesitaba de ellas para su realización.

Por ejemplo, podemos considerar construcciones como la bisectriz de un ángulo,



la construcción de polígonos regulares,

o también el famoso teorema de Thales, que permite la multiplicación y división de

dos segmentos dados cualesquiera, pues se cumple que

AB DE = BC EF

Construcciones con regla y compás

Esta “afición” de los griegos por este tipo de construcciones fue transmitida al

Mundo Árabe, a la Edad Media y al Renacimiento como un juego o reto, más que por

su utilidad. Se fueron aportando más y más construcciones, pero no se avanzó

mucho acerca de las limitaciones que estas herramientas podían presentar. Se

encontraron diversas situaciones en las que la regla y el compás parecían no ser

suficientes, pero no se podía saber nada riguroso acerca de ellas.



Estas limitaciones, aunque evidentes, no sólo no mermaron el interés de los

matemáticos por este juego, sino que incluso apareció una cierta corriente de ellos

que intentó poner aún más restricciones a la hora de construir.

Por ejemplo, cabe destacar al persa del siglo X, Abul Wefa, que se preocupó

por los objetos que podían ser construidos sólo con regla y compás rígido. Se

entiende por compás rígido o compás oxidado un instrumento que permite trazar

circunferencias de un único radio prefijado. El propio Leonardo da Vinci y otros

grandes pensadores del Renacimiento se preocuparon por este tipo de

construcciones, pero no fue hasta 1673 cuando apareció en Ámsterdam un libro

anónimo (a posteriori se supo que el autor fue George Mohr)llamado Compendius

Euclidis Curiosi que daba un tratamiento serio al problema. Posteriormente, un

agrimensor londinense, William Leybourn, escribió un libro acerca de "juegos y

pasatiempos con regla y tenedor"(un tenedor puede hacer las veces de compás

rígido).

En el siglo XIX el francés Poncelet demostró que toda construcción con regla y

compás puede ser llevada a cabo únicamente con una regla y un compás rígido (¡o

sea, un tenedor!). Por otra parte, el suizo Jacob Steiner probó que bastaba

únicamente con una regla y una circunferencia fija en el papel. Finalmente, en el

siglo XX se probó que sólo hacía falta la regla, el centro de la circunferencia y un

arco de tamaño arbitrario de la misma.

Por otra parte, el italiano Lorenzo Mascherani probó en 1794 que toda

construcción con regla y compás podía ser realizada únicamente con el compás,

aunque esto ya lo había demostrado el desconocido George Mohr un siglo antes. Se

cuenta que Napoleón le propuso a Mascherani la posibilidad de realizar cualquier

construcción de regla y compás a partir de una colección infinita de palillos de

dientes planos y del mismo tamaño. La demostración de este hecho se produjo en

1939 por Dawson.

Pero volviendo a la regla y al compás, vamos a hablar de tres construcciones

que se plantearon en la Antigua Grecia y que no se pudieron resolver. Se trata de la

trisección de un ángulo arbitrario, la duplicación de un cubo y la cuadratura del

círculo.

2.1. Trisección de un ángulo arbitrario

Dada la facilidad para realizar la bisectriz de un ángulo y la trisección de un

segmento, parece natural que en el 500a.C. algunos griegos se planteasen cómo

dividir un triángulo en tres partes iguales. Encontraron solución a casos concretos



(por ejemplo para trisecar el ángulo de 90 grados basta con construir un triángulo

equilátero y hacerle la bisectriz). A lo largo de la historia han aparecido falsas

demostraciones e incluso soluciones aproximadas:

Es curioso que incluso en nuestros días aparezcan demostraciones como la del padre

Callaham, de EEUU, en 1921, pues en 1837el francés Wantzel demostró la

imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario. Este personaje ha llegado incluso a

reclamar que existe una conspiración en su contra por parte de los matemáticos

profesionales. Lógicamente la comunidad matemática ya no presta atención a esta

"secta de trisecadores", que se empeña en proporcionar demostraciones tan

enrevesadas que incluso resulta difícil encontrar dónde está el error.

2.2. Duplicación del cubo

La historia de este problema es muy curiosa. Se cuenta que en el año 429a.C.

murió Pericles, tirano de Atenas, y la ciudad cayó en una profunda crisis. Los

atenienses, abrumados, se dirigieron al Oráculo de Delfos para pedirle una solución.

Y la respuesta del Oráculo fue que la crisis desaparecería si construían para los

dioses un altar con el doble de volumen que el ya existente.

Como la forma del altar era cúbica los atenienses crearon un altar con el doble de

arista que el anterior; pero la gran crisis sólo no se solucionó sino que empeoró.

Desesperados, los atenienses se dirigieron al Oráculo de nuevo, a lo que éste

reprochó que el nuevo altar no tuviera el doble de volumen, sino que era ocho veces

más grande:



Los atenienses lo intentaron por todos los medios, pero lo que es seguro es

que no lo consiguieron sirviéndose sólo de regla y compás. Grandes pensadores

acometieron este problema: Arquitas de Tarento, Hipócrates de Quío, Menecmo,

Eratóstenes de Cirene... Pero nuevamente Wantzel probó su imposibilidad en 1837.

2.3. Cuadratura del círculo

Este problema fue propuesto por Anaxágoras en el 500a.C., y se trata de

construir un cuadrado de igual área que un círculo dado. Ello nace de la necesidad

de medir superficies comparándolas con unidades de medida cuadradas, lo que

obligaba a convertir la superficie encuadrada en una circunferencia (círculo), en un

cuadrado de área equivalente y por lo tanto más fácil de medir.

Se encontraron numerosas soluciones aproximadas con regla y compás, y

soluciones exactas utilizando otras herramientas. Ha sido uno de los problemas que

más importancia ha tenido en la historia y su estudio ha propiciado numerosos

adelantos en la matemática. De hecho, su influencia ha sido tal que la expresión

hecha "la cuadratura del círculo" se utiliza comúnmente para señalar algo de

extrema dificultad o imposible.

Estos tres problemas tienes en común un enunciado sencillo, que parece estar

sacado de cualquier libro de bachillerato. Sin embargo han tenido a la



humanidad pendiente durante... ¡¡2200 años!! Esto es lo que caracteriza a los

problemas geniales, como por ejemplo la conjetura de Fermat: el enunciado puede

ser comprendido por un individuo ajeno a las matemáticas, pero su demostración

está al alcance de sólo unos pocos, y exigió el desarrollo de ramas enteras de las

matemáticas.

Lo cierto es que estos problemas son imposibles de resolver únicamente con

regla y compás. Si por ejemplo enunciásemos: "dados tres segmentos iguales

construir un cuadrado con ellos", no tendríamos dificultad en comprender que su

resolución es imposible. Pues bien, la misma dificultad es la que acompaña a los

tres problemas clásicos, con la diferencia de que su imposibilidad no es tan

evidente, está un "poco" más profundo y requiere más esfuerzo.

Es relativamente fácil probar que un determinado objeto es construible:

bastará con dar su construcción. Ahora bien, ¿cómo probar que algo no puede ser

construido?, ¿puedo realizar infinitas construcciones comprobando que ninguna de

ellas es la pedida? Como matemáticos no nos conformamos con mostrar, debemos

de-mostrar (mostrar desde dentro).

Para ello podemos utilizar cualquier herramienta lógica que se nos ocurra, por

ejemplo el álgebra. Es curioso cómo el álgebra, que nace a partir de la geometría,

puede llegar más de 2000 años después para ayudar a la geometría. Recordemos

que el álgebra nació como un intento de abstracción de operaciones tan geométricas

como la unión de segmento, el cálculo de áreas o la determinación de volúmenes. Es

decir, en principio, el álgebra tenía sus pies en la geometría, porque todos sus

teoremas se basaban en una demostración geométrica. La curiosidad aparece

cuando la geometría requiere del álgebra para demostrar sus proposiciones. Estos

nuevos desarrollos algebraicos junto con la teoría de Galois fueron el comienzo del

álgebra moderna.

A continuación vamos a desarrollar unos pocos conceptos que nos permitan

conocer, al menos, la idea de la demostración de la imposibilidad de estos tres

problemas.

3. Teoría de cuerpos y extensiones de cuerpos

Vamos a ver algunos conceptos básicos de la teoría de cuerpos.

Definición 1. Un cuerpo es un anillo conmutativo (F, +, ·) tal que 0 es distinto de 1 y

todos los elementos de F salvo 0 tienen inverso multiplicativo.

Esto es, un cuerpo es un conjunto con las mismas propiedades que los reales (R),

los racionales (Q) o los complejos (C).



Definición 2. Dados dos cuerpos K y K, se dice que K es una extensión de K si K �K.

Nos centraremos únicamente en las extensiones de la forma K=K(x), esto es, el

menor cuerpo que contenga a K ya x, siendo x un elemento que no pertenezca a K

(si perteneciese, entonces K(x)=K).

Definición 3. Se define el grado de una extensión K �K y se simboliza por [K:K]como

la dimensión ′ de K considerado como espacio vectorial sobre K.

Es fácil probar que si la extensión es de la forma K �

K(x) el grado coincide con el

grado del polinomio irreducible con coeficientes en K que verifica x.

Para una demostración de este hecho, así como de una definición rigurosa de

polinomio irreducible ver

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Triseccion/node4.html.

Por ejemplo: consideremos el cuerpo Q, y el elemento √2/�Q. Entonces tenemos la

extensión Q (√2, que será de grado 2), pues cualquier elemento de este nuevo

cuerpo será de la forma a +b√2 con a, b �Q (una base estaría formada por 1y √2).

Además, observemos que verifica el polinomio irreducible en Q, x2

−2=0. Luego la

extensión Q�Q (√2) es de grado 2.

Asimismo, sabemos que i verifica el polinomio irreducible en R, x2+1=0, luego la

extensión

R (i)=C es de grado dos también.

Existen extensiones de cualquier grado. Sin ir más lejos, en 1882 Linderman

probó que π es trascendente; esto es, no verifica ningún polinomio con coeficientes

racionales. Luego la extensión Q�Q (π) es de grado infinito (extensión

trascendente).

Teorema 4. Sean K, F y H tres cuerpos con K �F

�H. Se verifica que [H :K]=[H :F]

·

[F :K].

Con esto ya estamos en condiciones de probar la imposibilidad de los tres problemas

clásicos.

4. Imposibilidad de los tres Problemas Clásicos Griegos

En primer lugar debemos acordar qué significa una construcción con regla y compás:

a partir de un conjunto de puntos en el plano obtener otros de manera que sólo

podemos realizar dos operaciones:



1. Por dos puntos trazar una recta.

2. Dibujar una circunferencia dado su centro y su radio.

Partiremos de un segmento inicial, cuya medida tomaremos como unidad.

Mediante una construcción tradicional, podremos crear una recta perpendicular a

uno de los extremos de este segmento. Y obtendremos así una especie de sistema

de referencia:

Se puede fácilmente obtener la suma, la resta, la multiplicación y la división

de dos segmentos, luego a partir de esta situación podemos construir cualquier

punto de coordenadas racionales. Esto es, podemos construir todo Q. Pero también

podemos construir otras magnitudes, como por ejemplo √2:

Así que podemos construir todo el cuerpo Q (√2). Esto quiere decir que

hemos obtenido una extensión de grado 2. Pero ¿cuál es el grado, en general, de la

extensión de Q que podemos conseguir con regla y compás?

Supongamos que tenemos un número determinado de puntos construidos,

tenemos un cuerpo asociado, K n, resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir

todos los segmentos posibles:



Podemos obtener un nuevo punto de tres formas distintas:

1. Intersección de dos rectas. En cuyo caso las coordenadas del nuevo punto

verificarán un polinomio de grado uno, luego no hay ninguna extensión del cuerpo

Kn.

2. Intersección de recta con circunferencia. En este caso las coordenadas verificarán

un polinomio de grado dos. Si es irreducible la extensión será de grado dos, sino, de

grado uno.

3. Intersección de dos circunferencias. Nuevamente las coordenadas verifican un

polinomio irreducible de grado dos o grado uno, luego la extensión será de grado

dos o grado uno.

Estos tres hechos son fáciles de comprobar sin más que obtener los

desarrollos algebraicos pertinentes. Así pues, lo que hemos obtenido es que cada

vez que construimos un punto o bien el nuevo cuerpo es el mismo, o bien es una

extensión de grado dos del cuerpo previo.

Supongamos que construimos un punto arbitrario, Pn+1, ayudándonos de n

puntos auxiliares P1, ..., Pn. El cuerpo que podemos construir asociado a estos n

+1puntos será una extensión de Q de grado

[Kn+1:Q]=[Kn+1:Kn][Kn:Kn−1]...[K1:Q], donde Ki es el cuerpo asociado al

conjunto de puntos {P1, ..., Pi

}. Así pues, con lo visto anteriormente, será:

[Kn+1:Q]=2t, con t

≤n+1.

Ahora vamos a demostrar, por fin, uno a uno la imposibilidad de los tres

Problemas Clásicos:

4.1. Trisección de un ángulo arbitrario



Vamos a ver que no se puede trisecar el ángulo de 60o. Si fuese posible entonces

obtendríamos el ángulo de 20o:

Es decir, podríamos realizar la extensión Q�

Q (cos20o). Pero teniendo en

cuenta la fórmula trigonométrica COS3A =4COS3A−3COSA aplicada a A =20

o

tenemos que cos20o

verifica la ecuación 4x -3x - 1/2=0, que es un polinomio con

coeficientes en Q irreducible. Luego la extensión Q�Q (cos20

o) es de grado 3, lo

cual contradice todos los razonamientos anteriores pues 3 no es potencia de 2.

4.2. Duplicación de un cubo

Vamos a ver que no se puede duplicar el volumen de un cubo de lado 1.

Supongamos un cubo de lado 1, y por tanto volumen 1. Si se pudiese duplicar su

volumen obtendríamos un segmento es tal que s3=2, esto es, s verificaría el

polinomio irreducible x - 2= 0, que es irreducible. Por lo tanto la extensión Q�Q (s)

es de grado 3, y he aquí nuevamente la contradicción.

4.3. Cuadratura del círculo

Construyamos un círculo de radio unidad. Su área es π. Si fuésemos capaces

de construir un cuadrado de igual área, su lado sería un segmento de longitud s tal

que s2=p. Luego habríamos construido el número √π, y por tanto también

podríamos construir π (Teorema de Thales).Luego la extensión Q�Q (π) sería de

grado 2t, para cierto t

�N; y no como probó Linderman, de grado infinito.



Lectura N° 5

Herramientas para el análisis de una lección de Geometría

Ángel Míguez M.Ed.UNA. Educación Matemática (2003)

Al analizar una lección, un libro de texto o cualquier otro material curricular en Matemática, la pauta más común que orienta a los docentes, en esta labor, es la concepción que los mismos poseen sobre cómo se aprende la Matemática, que a la vez, refleja cómo la enseñan. Por tanto, la evaluación estará sesgada por esa concepción que orienta su acción en el aula de matemática.

Varios autores, Parcerisa (1 996), García-Rodeja (1 997) y Güemes (2 001), señalan que los procesos de enseñanza-aprendizaje están mediatizados o influenciados por los libros de texto y demás materiales curriculares, es más, señalan que modelan la puesta en práctica curricular.

La experiencia empírica, en el caso venezolano, nos dice que la formación recibida por el docente (tanto en la educación básica y media, como en la formación inicial pedagógica) juega un rol estelar en la evaluación que los educadores hacen de una lección o libro de texto.

Además, señala Lacueva (1 979) “El texto es la única o casi la única fuente de información para el niño y el maestro...”, esto acompañado por el hecho de que los libros de matemática más vendidos, en opinión de varias librerías consultadas en Caracas, son los de E. Navarro y A. Baldor, libros en los que el énfasis se centra en la ejercitación, en la repetición sostenida de algoritmos con el reforzamiento de la respuesta correcta, nos ubica ante una realidad, estamos dominados por la concepción conductista del aprendizaje en la enseñanza de la Matemática. Es decir, ejercicios y más ejercicios, hasta dominar el algoritmo, o “rutinizar” la respuesta esperada (correcta).

En el caso de la Geometría la situación es idéntica o peor, si consideramos los resultados arrojados por el Sistema Nacional de Medición y Evaluación de los Aprendizajes (SINEA) en los estudios realizados en el año 1 998. Se pudiera hablar de una geometría descontextualizada donde el énfasis se hace en el cálculo de áreas y perímetros y la destreza que deben desarrollar los estudiantes en la educación básica (7-12 años), se limita a reconocer la figura y la “fórmula” correspondiente asociada a dicha figura, igual se hace con algunos cuerpos y el cálculo de su volumen. En el nivel medio (13-17 años) se introducen algunos teoremas y propiedades que se deben memorizar sin tener una idea cierta de la utilidad de los mismos en contextos específicos diferentes a los escolares.

Ante lo expuesto, consideramos útil, para el docente que desea dar un enfoque novedoso a sus clases de geometría, ofrecer herramientas (criterios) que le permitan analizar las lecciones de geometría y que al mismo tiempo le sirvan para planificar y desarrollar clases bajo una nueva concepción del aprendizaje.



1. Los Niveles de Van Hiele y la concepción de aprendizaje de la Geometría

El aprendizaje de la geometría requiere de un proceso de maduración, y esto lo entendieron así los esposos Dina y Pierre Van Hiele quienes luego de revisar las dificultades que se le presentaban a sus estudiantes en el aprendizaje de la geometría definieron cuatro niveles de entendimiento de las nociones y relaciones geométricas: Visualización - Reconocimiento, Análisis, Clasificación y Deducción Formal. Igual importancia le dieron al método y organización de la instrucción por lo que propusieron cinco fases secuenciales para el aprendizaje de la geometría: Información, Orientación Dirigida, Explicación, Orientación Libre e Integración.

Esta sola estructuración de los niveles de comprensión de la geometría y las fases de su aprendizaje revelan una concepción de cómo enseñar para que el estudiante aprenda. Pasemos a caracterizar los elementos señalados:

Niveles Secuenciales de Comprensión de la Geometría (Niveles de Van Hiele)

Visualización - Reconocimiento: Es el nivel en que las figuras y cuerpos geométricos son reconocidos por su forma como un todo, por su apariencia, no por sus partes y propiedades, se limita a descripciones. En este nivel la persona puede aprender un vocabulario geométrico, identificar formas definidas y reproducir una figura.

Análisis: En este nivel se comienza a discernir las características definitorias de cuerpos y figuras geométricas. Las propiedades que surgen se usan para la conceptualización de las formas, se identifican partes y se usan para su clasificación. Se comienza a realizar generalizaciones de clases de formas.

Clasificación: Las personas que alcanzan este nivel pueden establecer interrelaciones entre los elementos definitorios de un cuerpo o figura (Relaciones entre lados y ángulos) y la que existe entre figuras (Cuadrados – Rombos – Rectángulos). Deducen propiedades de las figuras, reconocen clases de cuerpos y figuras y son capaces de entender relaciones de inclusión entre estas clases.

Deducción Formal: En este nivel se entiende lo que es una deducción, se comienza a ver a la geometría como un sistema de axiomas, postulados, definiciones y teoremas. Aquí la persona entiende y construye una demostración, entiende el rol que juegan las condiciones necesarias y suficientes y distingue una afirmación de su recíproca. Puede llegar a un mismo resultado por distintos caminos. Comprende la estructura axiomática de la matemática.

Fases Sucesivas de Aprendizaje de la Geometría

Información: En esta fase se informa a los estudiantes del tema, los objetivos de estudio, se hacen observaciones, se plantean interrogantes y se introduce el vocabulario específ ico.

Orientación Dirigida: Está referida a la investigación, exploración, de conocimientos principalmente por parte de los alumnos y que el docente a organizado. En esta fase se construye la red mental que permitirá relacionar los conocimientos posteriormente. Se usa material manipulable en tareas breves para lograr respuestas específicas.

Explicación: Se refiere a la presentación y comparación de datos y conocimientos obtenidos entre el grupo. En este punto es importante que existan puntos de vista diferentes, y quizá divergentes, dentro del alumnado, ya que esto dará una mayor riqueza al mismo grupo y, al mismo tiempo, hará



que el estudiante analice sus ideas, las ordene y las exprese con claridad. Aquí se hacen explícitas las características, relaciones y definiciones adecuadas al nivel de comprensión.

Orientación Libre: Es la fase enfocada principalmente a la aplicación de los conocimientos adquiridos en las fases anteriores y su interrelación y aplicación junto con otros conocimientos ya adquiridos. Los estudiantes se enfrentan a tareas más complejas. El estudiante se encuentra con sus maneras de hacer las cosas contrastándolas con los conocimientos adquiridos.

Integración: Esta fase se refiere a la acumulación, síntesis y comparación de conocimientos que se han adquirido, tratando de tomar conciencia en el uso de elementos implícitos de éstos. El docente ayuda a consolidar los conocimientos, dando una perspectiva global sobre lo aprendido por el estudiante y preparándolo para pasar a un nuevo nivel.

2. Criterios de análisis de la estructura de una lección de geometría

¿Cuál estructura debe tener una lección de Geometría? La respuesta a esta pregunta estará directamente vinculada a la concepción de aprendizaje de la Geometría. Consideramos que, en el caso venezolano, se debe hacer énfasis en el uso de material manipulable como mecanismo de exploración y descubrimiento de las características y propiedades de los cuerpos y figuras geométricas.

Además, como plantea Crowley (2 002), debe ser secuencial, de lo más sencil lo (reconocimiento de figuras) a lo más complejo (deducir propiedades de las f iguras y clasif icarlas), no sólo en la manipulación de las f iguras y cuerpos, sino en el correcto uso del lenguaje y la simbología, de acuerdo al nivel de los estudiantes.

No debe ser discriminativo, es decir, debe considerar en cada paso que hay estudiantes que pueden estar a diferentes niveles de acuerdo con lo pautado por los esposos Van Hiele.

Para el lo proponemos una estructuración de la lección que integre la posibi l idad que el estudiante la pueda usar en clase o en la casa, respetando las fases de aprendizaje de la geometría propuesta por los esposos Van Hiele.

1. Identificación y título

La identificación debe orientar al estudiante. Aunque es un elemento formal, el título debe reflejar lo esencial del tema a abordar, con el fin de facilitar la ubicación y posterior lectura del tema por parte del estudiante. Además, ayuda a la construcción de una clasificación dentro de los temas de geometría.

2. Objetivos

Deben ser claros y explícitos. Deben construirse de forma que faciliten la discusión en clase sobre lo que se quiere lograr, esto en correspondencia con la Fase 1 Información.

3. Esquema conceptual – procedimental de la lección.

El esquema o mapa conceptual sirve de índice de los elementos, segmentos o apartados que se abordarán que contribuye a dar una visión de conjunto sobre el tema, también orienta al estudiante en los casos que quiere repasar



aspectos específicos de la lección. En el caso de geometría es útil incluir los elementos procedimentales que son vitales a la hora de las actividades de evaluación.

4. Introducción, motivación y/o aplicación

La introducción debe convertirse en un puente cognitivo entre la nueva información y los procedimientos y conceptos previos necesarios para la asimilación de todo lo nuevo; debe darle coherencia al tema que se abordará con el resto de los temas abordados en el módulo, unidad o libro de texto, debe ser motivante y fomentar la curiosidad. También, en el caso de geometría, debe aprovecharse la introducción al tema para hacer consideraciones de carácter histórico o para evitar que el lector perciba el tema extremadamente abstracto, lejano a la realidad o a sus intereses. De igual manera, pudiera sustituirse o complementarse la reseña histórica por una aplicación conocida o propia de algún campo profesional conocido por el estudiante.

5. Importancia del estudio del tópico particular. Contextualización según la carrera de estudios. Historia

Según el tema a abordar, algunos de estos tres elementos o una combinación adecuada de ellos pueden estar presentes. Recordemos lo planteado por Corral, A., et al (1 987), y aquí somos redundantes, el libro de texto debe simular la actividad del docente de aula cuando “motiva y estimula con detalles históricos - epistemológicos y aspectos prácticos el estudio de las materias objeto del programa”. En el caso de la geometría esto permitirá al estudiante comprender la imbricación de este tema dentro de los otros que ha estudiado y los que estudiará a continuación.

6. Definición, Explicación de los conceptos y de los procedimientos

Es el elemento en el cual se desarrollan las bases conceptuales (conceptos, definiciones, axiomas o teoremas) del tema a trabajar en la actividad de aprendizaje y se establecen o deducen los procedimientos o algoritmos que permiten operacionalizar los asuntos tratados en el tema. Aquí es donde, en nuestro parecer, la lección tiene un gran reto y es el de generar redundancia, tanta como la que genera el docente en el aula al tratar un tema en particular, vinculándola con los conocimientos previos, no sólo haciendo mención de los tópicos tratados.

7. Ejemplificaciones de los conceptos y de los procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados según la carrera de estudios

Los ejemplos son los elementos en el que se muestra el correcto uso de los procedimientos o algoritmos de acuerdo al contexto de aplicación, bien sea la situación planteada real o construida ad hoc. Es el escenario que permite la comprensión conceptual vista desde el punto de vista práctico. En geometría son el eslabón indispensable en la comprensión de las definiciones y conceptos.

8. Actividades Orientadas con especificación para desarrollarlos en forma individual y en grupos

Cualquier actividad, que promueva las fases de aprendizaje propuesta por los esposos Van Hiele, debe promover en el lector un estudio activo y comprensivo. Lo que debe estudiarse, acorde con las características propias



del tema estudiado y de las características particulares de los estudiantes, es la promoción de actividades grupales entre estudiantes.

9. Ejercitación de los conceptos y de los procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados según la carrera de estudios

Los Ejercicios Propuestos en geometría, contextualizados o no, son una herramienta que permite que el estudiante verifique su claridad conceptual y su destreza procedimental. Lo que se debe cuidar es la oportunidad y la profundidad de los mismos en el desarrollo de cada una de las partes de la lección.

10. Problemas clásicos y actuales en consideración de la historia y la carrera de estudios

Un problema es una situación real o ficticia que reta tu comprensión conceptual, y no solamente los conocimientos de un tema tratado en la lección, exige una reestructuración en la manera de abordar la situación planteada, de los límites de los procedimientos conocidos, que busca generar conexiones sobre conocimientos variados. Un problema no tiene condición temporal, se puede resolver rápidamente, o no conseguírsele nunca su solución. (Míguez, 2 000).

Hay en la geometría problemas clásicos, así como problemas que son característicos de alguna profesión o actividad cotidiana y que son imprescindibles en la formación básica. De igual manera, existen problemas tipo acertijo o reto que permiten la clarificación de algún detalle conceptual o la precisión de un procedimiento específico.

11. Preguntas que obliguen a la síntesis conceptual y procedimental, a la estructuración con conceptos y procedimientos previos

Es el elemento en el que se le exige al aprendiz poner a prueba sus conocimientos y, por qué no, sus habilidades matemáticas, permitiéndole a su vez la precisión, el desarrollo y la consolidación de los mismos. Obligándolo a hacer una síntesis de su aprendizaje.

12. Preguntas para investigar y profundizar sobre aspectos estudiados con una referencia bibliografía preestablecida y al alcance del estudiante

Si bien, por razones de economía, no se pueden desarrollar en los libros de texto y en las lecciones, todos los enfoques o perspectivas sobre un mismo tema, podemos desarrollar actividades de investigaciones obligatorias u opcionales para que el estudiante amplie sus nociones y visiones sobre el tema tratado. Permitimos así que el estudiante aprenda al ritmo que pauten sus intereses y necesidades.

13. Actividades de autoevaluación

En el caso de geometría las actividades de autoevaluación deben ser tan diversas como las actividades plasmadas en la lección, deben hacer énfasis en lo conceptual, lo procedimental y en su aplicabilidad, debe reflejar las prioridades que se usarán para la evaluación final del estudiante.

14. Esquema resumen de la lección

Este elemento es el equivalente a la clase de cierre del docente antes de la actividad de evaluación, donde sintetiza los elementos clave estudiados, puntualizando conceptos, definiciones, teoremas, así como los principales



procedimientos o algoritmos estudiados, debe funcionar como el pretest que le indica al estudiante que le falta por aprender, comprender o desarrollar.

15. Respuestas y/o esquemas de resolución a todos los ejercicios, problemas, preguntas y actividades propuestas

En Educación es imprescindible la realimentación sobre el desempeño del estudiante. Es por esto que la importancia de ofrecerle al estudiante, no sólo la respuesta correcta a una pregunta o ejercicio, problema o cualquier otro tipo de actividad propuesta, sino en algunos casos, el procedimiento de resolución paso a paso, es más, en aquellos casos que lo amerite, más de una forma de resolución correcta, que permita rememorar la actividad de pasar a la pizarra y ver cómo lo resolvió mi otro compañero. Además, permite al estudiante aprender de sus propios errores.

El análisis de la lección de geometría

Repetimos aquí lo señalado anteriormente, el análisis de una lección estará sesgado por la concepción de aprendizaje de la Geometría que tenga la persona que lo va a realizar. A continuación presentamos un esquema con los aspectos a considerar, en la evaluación, a la luz de los criterios expuestos con anterioridad.

Abordaje del Contenido de Geometría

Tomando como referencia los Niveles de Van Hiele hay cuatro procesos clave que se deben observar en toda lección de geometría y que su predominancia o peso vendrá dado por el nivel en el que se sitúe la lección.

1. Identificación de cuerpos y figuras geométricas.

2. Lectura, comprensión y construcción de definiciones de conceptos geométricos.

3. Clasificación exclusiva o inclusiva de familias de cuerpos o de figuras geométricas.

4. Pruebas o Demostraciones.

A cada uno de estos procesos podemos asociar ítemes que orienten el análisis:

Las actividades contribuyen al reconocimiento de las propiedades de cuerpos y figuras

Promueve o propone estrategias para el reconocimiento de las propiedades de cuerpos y figuras

Las actividades promueven el uso de las definiciones estudiadas en el texto

Las definiciones enuncian propiedades necesarias y suficientes

Se involucra al estudiante en la formulación de definiciones

Se presentan actividades que obliguen a la clasificación de cuerpos y figuras con base en las propiedades definidas

Se proponen actividades de verificación de las propiedades

Se incita a la indagación de propiedades o su generalización

Se le exige a los estudiantes sustentar sus respuestas a ejercicios y problemas

Otro elemento importante en el abordaje del contenido de la lección de geometría es el referido a como se hace transitar al estudiante por las fases de aprendizaje y tienen que ver con cómo se secuencian las actividades. Igualmente, los siguientes ítemes pueden orientar el análisis al respecto:

Al comienzo de la lección se plantea el tipo de trabajo a desarrollar



Promueve el descubrimiento, la indagación y la especulación racional de propiedades y definiciones

Promueve el intercambio de experiencias

Incita la justificación de las opiniones y especulaciones formuladas por el estudiante

Se promueve la resolución de problemas de variadas formas, basados en situaciones nuevas y abiertas

Propone actividades de síntesis e integración de lo estudiado Organización del

Contenido de Geometría

En su trabajo González (2 002), propone una clasificación de los criterios de análisis de la estructura de una lección de geometría, el cual yo he adaptado de la siguiente manera:

Clasificación Caracterización N° del Criterio

Esencial Criterios imprescindibles, cuya ausencia descalifica la lección

1, 6, 7, 9, 10, 11, 12

Deseable Criterios que fortalecen la lección, su ausencia resta calidad a la misma

4, 8, 13, 14, 15

Complementario

Criterios que contribuyen a la calidad de la lección, aun cuando su ausencia no afecta el contenido sustancial de la misma

2, 3, 5

El análisis de la organización del contenido de la lección de geometría estaría orientado por los siguientes ítemes:

Esenciales

El título refleja lo primordial del tema a tratar

Las definiciones son presentadas de diversas maneras

Los conceptos nuevos se relacionan con los conocimientos previos

Presenta ejemplos contextualizados

Propone ejercicios contextualizados y abstractos

Propone problemas plausibles

Formula preguntas que obliguen a la síntesis conceptual y procedimental

Formula actividades que propicien la indagación y la curiosidad

Deseables

La introducción a la lección genera el entusiasmo necesario como para avanzar en la misma

Promueve actividades en grupo, dentro y fuera del aula

Propone actividades de autoevaluación



Presenta un esquema resumen de lo tratado en la lección

Ofrece respuestas y esquemas de resolución a todas las actividades propuestas en la lección

Complementarios

Enuncia los logros que se esperan que alcance el estudiante con la lección

Presenta un esquema para abordar la lección

Muestra la importancia del tópico tratado en la lección desde la historia y la praxis actual

A la luz de los criterios presentados el análisis puede ser enriquecido, pero esperamos que la discusión y ejecución de la propuesta presentada será la que definirá esa ampliación y profundización que se desea en el análisis, para lograr cada vez mejores materiales escritos que redunden en una enseñanza de la Geometría de calidad.



Bibliografía

Corral, A.; Tejero, L.; Lizcano, E.; y Martínez, C. (1 987). Consideraciones acerca de la realización de Textos Didácticos para la Enseñanza a Distancia. Madrid, España: UNED.

Crowley, M. (2 002). El Modelo de Van Hiele de desarrollo del pensamiento geométrico. En Línea Disponible http://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/upn/vol13/sec_84.html 31/01/02 (download).

García-Rodeja, I. (1 997). ¿Qué propuestas de actividades hacen los libros de primaria?. Alambique, Didáctica de las Ciencias Experimentales, (11):35-43

González, C. (2 002). El Libro de Texto como material didáctico para la Enseñanza de la Geometría en 7° grado de Educación Básica. Trabajo de Pasantía no publicado, Universidad Nacional Abierta, Caracas.

Güemes, R. (2 001). Algunas investigaciones en torno al uso de los Libros de Texto en las Aulas. En Línea Disponible http://www.ull.es/publicacines/tecinfedu/MyCl.htm 21/09/01 (download).

Lacueva, A. (1 979). Una mirada crítica a los textos de Ciencias Naturales de primaria. Cuadernos de Educación, (65):51-114

Larios, V. y González, N. (2 002). Uso de la microcomputadora y del doblado de papel en la aplicación del modelo de Van Hiele en la enseñanza de la Geometría Euclidiana en el nivel medio básico. En Línea Disponible http://www.uaq.mx/matematicas/origami/ejerc.html 01/02/02 (download).

Míguez, Á. (2 001, setiembre). Estructuración de dos libros de texto de matemáticas en Educación a Distancia (Caso de estudio: Módulo I de Matemática I de la UNA y Álgebra Elemental del Curso Introductorio de la UNA) Ponencia presentada en la II Jornada de Promoción a la Investigación Científica, Humanística y Tecnológica en la Universidad Nacional Abierta. Caracas.

Parcerisa, A. (1 997). Materiales Curriculares. Cómo elaborarlos, seleccionarlos y usarlos. Barcelona: Graó.



Lectura N° 6

Estrategias metodológicas para mejorar

el aprendizaje de la geometría.

La compañía que revolucionó la

Ingeniería Geométrica, Inc. Elaborado por Miguel Guzmán, en base a experiencias en el aula y enseñanza

personalizada.

"La visualización en la enseñanza de la matemática"

Revista "Qubo" Editor David Palomino. Ministerio de Educación.

Sección: Geometría publicado por: Miguel Guzmán el 20/09/04

En estos momentos la mayoría de docentes se encuentran aplicando y desarrollando

su programación de acuerdo con la diversificación curricular y sus contenidos deben

estar bien avanzados; para aquellos docentes que siguen construyendo los

contenidos de geometría, les hacemos llegar algunas recomendaciones y estrategias

para elevar la calidad del proceso enseñanza - aprendizaje.

I. Fijación de conceptos básicos

Muchos docentes, al momento de explicar los contenidos conceptuales,

se limitan a explicarlos o exponerlos en la pizarra ( la mayoría de veces),

haciendo que los alumnos copien lo que el profesor va escribiendo en la

pizarra, dejando de utilizar el texto solicitado a principio de año que ya

contiene todos los conceptos teóricos muy bien desarrollados, desperdiciando

tiempo en el proceso de copiado; tiempo que debería ser utilizado para fijar

mejor estos aprendizajes y resolviendo la mayor cantidad de problemas de

distinto tipo y nivel de dificultad.

Recomendamos que el profesor desarrolle la teoría preferentemente

con ayuda del texto solicitado al principio del año o material de apoyo como

una separata con espacios en blanco para ser rellenados en interacción con

los alumnos; también puede ayudarse con papelógrafos en los que se usen

colores, creando un ambiente de interés permanente que estimule la



participación e invite a que los alumnos planteen preguntas que son un

poderoso recurso metodológico, pues, muchas veces, de una buena pregunta

se originan espacios donde el docente puede ampliar los horizontes de los

alumnos, haciéndoles caer en cuenta de la importancia que estos estudios

tienen para el progreso de la humanidad y creando nuevas incógnitas que

deben ser resueltas por los alumnos en posteriores sesiones como trabajos de

investigación.

Son tantos los axiomas, postulados, teoremas, propiedades etc. que el

alumno debe conocer y manejar y que permanentemente son utilizados al

momento de resolver problemas o comprender los nuevos conceptos teóricos

para no quedar paralizado.

Sucede en muchas ocasiones, que al resolver un problema de

semejanza, relaciones en la circunferencia, áreas o volúmenes, se hace

necesario utilizar un teorema referido a la teoría de triángulos o, quizás, de

paralelas que son contenidos del inicio del curso, los que deben ser

refrescados con una buena estrategia, como es la elaboración de póster

matemáticos elaborados por los mismos alumnos, a colores, en papelógrafos

de diversos tamaños, que contengan conceptos y teoremas que permitan

recurrir a ellos y mantener frescos los conceptos para ser recordados y

utilizados en cualquier momento. Los posters deben ser pegados en distintos

sectores del aula para darle mayor vida al aula y cubiertos al momento de las

evaluaciones.

II.Visualización

Que sus letras, números gráficos, trazos, estén realizados de la mejor

forma posible; que su pizarra semeje una pintura, pues lo que es agradable a

la vista estimula el aprendizaje, generando motivación e interés por la

actividad, pues, ya se conoce por investigaciones realizadas que el

aprendizaje óptimo se logra observando y participando.

Estimule y motive a los alumnos a que utilicen colores cuando dibujen

las figuras geométricas y resuelvan problemas; esta presentación estimula a

leer y aprender. El cuaderno también debe ser trabajado con bastante esmero

y limpieza.



III. Construcción de aprendizajes utilizando papel

Pida a sus alumnos que mencionen ejemplos de figuras geométricas

cercanas a ellos; los alumnos encontrarán infinidad de ejemplos para

mencionar, pues, simplemente, al observar nuestro entorno, encontraremos

gran variedad de formas geométricas que nos acompañan.

El papel es un recurso muy abundante en nuestros tiempos, lo que no

ocurría, por ejemplo, con los antiguos griegos, que muchas veces se veían

obligados a desarrollar sus ideas y escribirlas en las arenas de las costas del

mar Egeo.

Por suerte, en nuestra época, conseguir papel es muy sencillo, y debe

ser aprovechado este recurso tan al alcance de todos para comprobar

teoremas y propiedades logrando así elevar la calidad de los aprendizajes.

A continuación, le explicamos 2 aspectos teóricos que pueden ser

enseñados, utilizando papel:

1. Para verificar el teorema de Thales, con ayuda de papel, se dibujan

dos segmentos que se cruzan; luego, se señalan un par de ángulos opuestos

por el vértice que se cortan con tijera y se hacen coincidir para verificar el

teorema de ángulos opuestos por el vértice.

El uso de la tijera favorece el desarrollo de las habilidades motoras

finas que muchas veces en los alumnos de secundaria se han truncado, pues

se piensa erróneamente que sólo los niños deben usarlas.

2. Haga que sus alumnos dibujen diferentes triángulos de formas y

tamaños, señalando los tres ángulos interiores y cortándolos; luego, deben

dibujar un ángulo llano y colocar los tres ángulos como si fueran un

rompecabezas. El alumno comprobará con asombro que siempre los tres

ángulos suman siempre 180º, sin importar el orden de colocación.

IV. Uso de transparencias para retroproyector

Este material también es muy novedoso y muy útil para trabajar con

geometría (se puede adaptar a otras áreas). Se necesitan 2 o más

transparencias para retroproyector; también pueden servir las placas de

radiografías a las que se las ha limpiado previamente, un frasco de alcohol,

algodón o mota, lapicero de tinta indeleble o similar.

Las transparencias nos permiten comprobar teoremas y propiedades a

través del movimiento como la igualdad de ángulos alternos internos,



correspondientes etc., además de verificar las propiedades restantes de los

ángulos formados.

Este material didáctico es muy práctico y sencillo de usar al explicar

aspectos teóricos demasiados abstractos.

Para realizar la experiencia, proceda de la siguiente manera: en una

transparencia se dibujan 2 rectas paralelas cortadas por una secante,

señalándose dos ángulos alternos internos y en la otra se copia una de las

paralelas trazadas con su respectiva secante la que se ubica en la parte

posterior. Luego, se va moviendo lentamente la segunda transparencia,

haciendo que coincidan las secantes hasta lograr que todos los ángulos se

superpongan y comprobar así la igualdad de ángulos alternos internos.

Con el uso de las transparencias, se pueden explicar con más claridad

muchos teoremas y propiedades que resultan difíciles de entender, utilizando

la transposición de elementos geométricos.

Este material es excelente para explicar la solución de problemas muy

complejos y, muchas veces, se hacen necesarias hasta tres transparencias.

V. Uso del transportador

Muchas veces, con los alumnos nuevos que empiezo a trabajar

compruebo que sus conocimientos geométricos son mínimos, a pesar de tener

una edad en la que se supone deberían haber logrado incorporar capacidades

mínimas.

Al inicio, generalmente, les pido que dibujen ángulos que midan 30º,

40º, 135º etc. comprobando que cuando tratan de lograrlo, no tienen la más

mínima idea de cómo realizarlo, y es penoso observar cómo algunos de ellos,

por salvar la situación, colocan el cero en el vértice y otros errores que

revelan su desconocimiento.

Cuando inicie el curso, enséñeles el uso correcto del transportador,

teniendo en cuenta los ceros laterales del transportador que es de donde se

empiezan medir los ángulos, verificando que todos sus alumnos lo hayan

logrado; esto puede lograrlo a través de una gran motivación en la que se

van realizando diversas mediciones y trazado de ángulos en la que los

alumnos que aprenden ayuden a los mas atrasados, hasta que se logre que

todos lo hayan incorporado.



Importante señalar que deben medir ángulos cóncavos también para

tener más claridad en las definiciones y conceptos.

VI. Uso del compás

Realice la siguiente experiencia, pídale a un alumno que dibuje una

circunferencia de radio 6 cm (por mencionar un valor); notará con sorpresa,

la torpeza con que el alumno maneja el compás; esto se debe a que muchos

docentes no estimulamos en los alumnos el desarrollo de las habilidades

motoras finas.

Estimule la creatividad y el sentido estético a través del uso del compás

con el que se pueden lograr y crear figuras muy armoniosas, combinando

circunferencias en distintos tamaños, combinaciones y posiciones para

colorearlas, las que pueden ser actividades muy motivadoras para el alumno y

sacarlo de su rutina.

Con el compás se puede hallar el punto medio de un segmento se

pueden trazar perpendiculares, mediatrices, bisectrices, dibujar polígonos y

realizar un sin fin de construcciones.

Una experiencia muy gratificante es verificar y comprobar que las tres

bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto (Incentro); esto

puede parecer un hecho trivial, pero no lo es, pues, es realmente asombroso

que las tres bisectrices coincidan en un único punto, como también es

asombroso lo que ocurre con el circuncentro, baricentro, ortocentro y

excentro.

Con sus alumnos, construya cada punto notable y compruebe sus

notables propiedades. Con el incentro, circuncentro y excentro haga que

ubiquen sus alumnos sus compases en estos puntos y tracen las

circunferencias inscrita, circunscrita y exinscrita, que serán experiencias que

siempre recordarán.

También es importante señalar que para hacer uso del software Cabri

se, necesita saber construir con ayuda de la regla y el compás la bisectriz, la

mediatriz, ubicar el punto medio, trazar paralelas, construir un triángulo

cualquiera, conocidos sus tres lados, etc.



VII. Verificación de aprendizajes

Por ejemplo, que la recta se prolongue hasta el infinito es una idea

matemática que nos acerca al universo por su inmensidad ¿Pero qué nos han

entendido nuestros alumnos?

Los alumnos no tienen claros los conceptos básicos de geometría, sus

ideas son confusas; compruebe continuamente que le están entendiendo, que

ellos le expliquen con sus palabras lo que se ha desarrollado y lo que se

trabaja en las sesiones de aprendizaje.

Los alumnos no tienen claros los conceptos básicos de geometría. Un

caso típico es que los alumnos piensan que los polígonos son convexos y de

formas semiregulares, pero esto no es así; la letra E aumentada de tamaño y

hueca como perfilando un terreno es un dodecágono.

El docente debe comprobar periódicamente lo que sus alumnos del

curso van aprendiendo a través de pruebas escritas referidas esencialmente al

dominio de conceptos y definiciones; también, en el desarrollo de la sesión de

aprendizaje, plantear preguntas que permitan evaluar cuánto nos entienden y

comprenden.

El docente puede hacer uso de estrategias como la siguiente: Separe la

pizarra en 4 sectores.

En el primer sector, dibuje un segmento y al azar ubique 3 ó 4 puntos

fuera del segmento y pídale a uno de los alumnos (de preferencia que sean

los alumnos con más dificultades para aprender) que trace con la regla, la

distancia de los puntos al segmento dado.

Pida a otro que dibuje un ángulo y que explique el concepto de

equidistancia de la bisectriz a los lados.

Pida a un tercer alumno en otro sector que le señale los ángulos

exteriores de un triángulo; de acuerdo con lo que el alumno responda, usted

mejorará lo trabajado por el alumno señalando que en las figuras convexas

regulares e irregulares encontramos 2 ángulos exteriores.

De esta forma, usted sabrá que han aprendido y promoverá el estudio y

aclaración de los conceptos teóricos. A otro puede pedirles que ubiquen el

baricentro (que es el centro de gravedad) de un triángulo cualquiera

preguntando qué ocurre con los segmentos que se forman al cortarse las

medianas. Con esta estrategia podrá verificar, con la participación de todos

sus alumnos, la calidad de sus aprendizajes.



Muchas veces, los alumnos no saben utilizar el teorema: "en un

triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales"; para

comprobar cuánto han comprendido este teorema, dibuje una figura

visualmente complicada que considere varios triángulos isósceles camuflados

para que ellos descubran los lados y ángulos iguales.

¿Qué han aprendido de los polígonos? A muchos alumnos no les queda

claro qué es la suma de ángulos interiores, el ángulo central, el ángulo

interior, el número de diagonales, la suma de ángulos de un polígono

estrellado. En muchas ocasiones, es mejor hacerlos dibujar y que ellos

resalten con plumón o colores los ángulos, las diagonales, etc.

El docente debe estimular la participación de los alumnos, buscando

que aprendan, haciendo observaciones y nuevas preguntas para aclarar y

erradicar las dudas o conceptos mal aprendidos que sus compañeros tratan de

resolver en la pizarra.

Usted puede y debe crear otras preguntas y situaciones de aprendizaje

que permitan conocer cuánto lo entienden sus alumnos y asegurarse de que

estén aprendiendo.

Si en una sesión de aprendizaje sólo quiere resolver problemas, puede

elaborar una ficha preparada para la ocasión con problemas de diversos

grados de dificultad que serán resueltos por equipos de 4 integrantes (Grupos

ECOS) o individualmente, para estimular a los alumnos más atrasados,

buscando generar un ambiente de sana competencia con los más avanzados.

VIII. Vocabulario propio de la geometría

Supongamos que usted se dirige a una farmacia con una caja de una

medicina que su esposa o esposo le ha pedido que compre. Cuando usted se

dirige al dependiente, le solicitará - Señor véndame una medicina congruente

a ésta -mostrándole la caja. - ¿Qué? - será la sorprendida respuesta del

boticario.

Vamos a una segunda situación hipotética: supongamos que usted vive

junto al jardín de infancia “Los niños felices” y le está indicando a su colega

de educación física en el colegio, la ubicación de su domicilio para que lo

visite próximamente para organizar una actividad por el aniversario del

colegio, con las siguientes palabras: - Mira, para que llegues con más



facilidad a mi casa, ésta se encuentra en la calle Los Jazmines 236, adyacente

al nido “Los niños felices”. Su colega exclamará -¿Qué?

En los dos casos, nuestros interlocutores no nos entienden, pues

simplemente las palabras "congruente" y "adyacente" no son de su uso diario

y sí lo son las palabras sinónimas "igual" y "junto", respectivamente.

Es un error muy frecuente de los docentes del área de matemática

pensar que los alumnos, por leer las palabras propias del vocabulario de la

geometría o por escucharla repetidas veces en clase, van a comprender su

significado; es necesario darse el trabajo de explicar el significado exacto de

palabras como semiperímetro, complementario, suplementario, congruente,

adyacente, bisecar, media geométrica, concurrentes etc., que no son palabras

de su entorno ni le resultan familiares, (generalmente son escuchadas por

primera vez) o utilizadas en el lenguaje coloquial; sería ingenuo pensar que

éstos van a buscar su significado en un diccionario.

Gran parte de las dificultades por la que los alumnos no entienden

geometría o matemática es por el uso de palabras que para el alumno son

nuevas y le suenan raras. Los profesores contribuiríamos mucho a mejorar los

aprendizajes en el área, si utilizásemos palabras cercanas a los alumnos sin

perder la exactitud propia del área lo que nos permitiría un mejor

acercamiento al significado y comprensión de conceptos y términos

pertenecientes a la matemática y, en este caso, de la geometría.

Los profesores debemos alimentar y enriquecer el vocabulario de los

alumnos, induciéndolos a buscar su significado en el diccionario, estimulando

el gusto por la lectura. Es una contribución que los profesores debemos

conseguir.

IX.Notación

Utilice una notación que no sea muy compleja o confusa. Le sugerimos

evitar las fracciones. Por ejemplo, si quiere explicar las propiedades de los

triángulos notables como el 30° - 60°, para los catetos utilice k y 31/2k y para

la hipotenusa 2k, pues esta notación facilita la igualación y despeje.

Cuando vaya a definir sus variables para resolver un problema, es más

conveniente utilizar la inicial de la incógnita. Si se pide hallar la mediana, use

"m" como variable.



X. El problema de la semana

Se propone uno o más problemas de gran dificultad para ser resueltos,

dándose plazo de una semana o más tiempo para presentar la solución,

aconsejando premiarlos con puntaje adicional en alguna práctica o examen

pues, es más sencillo que buscar un obsequio, pero por supuesto no le

quitamos la iniciativa.

XI. La Historia de la matemática

Contribuye a crear hábitos de lectura, favorece el desarrollo de

habilidades de comprensión lectora, estimula la imaginación y favorece el

gusto por leer.

La mención de personajes, su vida y su tiempo, las razones de sus

descubrimientos y su influencia posterior convierten las sesiones de

aprendizaje en espacios donde el alumno comprende y entiende las razones

de esta ciencia, apreciándola más y tomándole cada vez más cariño al área.

De los griegos, quisiera contarles de los viajes de Thales a Egipto para

conocer los avances de los egipcios y que él lo trasmitió a sus

contemporáneos, para extenderse por toda Grecia y al final por el mundo

entero; también que Pitágoras crea las escalas musicales y que Arquímedes

quería que, al morir, grabaran en su tumba un cilindro con una esfera

inscrita, pues simbolizaba lo que él consideraba su máximo invento.

Estas anécdotas enriquecen las sesiones y las hacen más entretenidas y

amenas, estimulando en los alumnos el gusto por aprender geometría y

matemática.

Antes, era casi imposible conseguir la historia de personajes y además

de algunas brevísimas reseñas de la colección Baldor, era casi imposible

acceder a información histórica. Hoy es diferente, ahora los profesores

contamos con un recurso metodológico de mucha potencia que es la historia

de la matemática, que nos permitirá hacer mucho más amenas e interesantes

nuestras sesiones de aprendizaje, información a la que ahora se puede

acceder fácilmente a través de Internet.

XII. Aplicaciones de la geometría

A continuación, mencionamos algunas de las múltiples aplicaciones de

la geometría:



En la naturaleza, encontramos formas triangulares, cuadradas,

pentagonales, hexagonales etc., en las celdas, en los panales de abejas,

caparazones de las tortugas, las manchas en la piel de los felinos y en las

formas de los cuerpos de lo animales etc.

También las encontramos en la forma de seres unicelulares, bacterias,

virus; en química: modelos atómicos y moleculares, los copos de nieve, las

redes cristalinas; en física, diagramas, teoría de la relatividad; en Ingeniería:

fabricación de envases ( en este punto se ha desarrollado bastante, aplicando

mucha geometría), fabricación de barcos y submarinos, globos aerostáticos

etc.

A continuación, les presento la historia de Geométrica, una empresa

que está explotando la geometría y, probablemente, si Euclides, Apolonio,

Arquímedes y todos los que dedicaron su vida al avance de la matemática y,

en particular, de la geometría, pudieran conocerla, se sentirían orgullosos del

legado cultural que trasmitieron.

XII.1 La historia de Geométrica, Inc

El estudio es la base del progreso humano, y nuestra inteligencia no

tiene límites. He reservado para el final la historia de Geométrica, Inc;

compañía que revolucionó los conceptos para cubrir grandes espacios

abiertos, utilizando el menor número de columnas, con aplicaciones

inmediatas en minería, industria etc. Este sueño fue logrado básicamente por

la aplicación de ideas geométricas.

Geométrica fue formada en 1992 con el objetivo de ofrecer soluciones

estructurales innovadoras para aplicaciones industriales y arquitectónicas que

requieran cubiertas para grandes claros. En la búsqueda de este objetivo, la

compañía ha implementado y creado diversas nuevas tecnologías, que

incluyen nuestras estructuras tipo Freedome, un avanzado programa de

computación para el diseño de una planta de fabricación automatizada.

Además, el equipo de profesionales de Geométrica tiene una gran experiencia

en ingeniería civil, estructural, ambiental y minera, así como en arquitectura

y administración de obras de construcción.

Los proyectos industriales ya finalizados incluyen cubiertas para

materiales en granel usados en plantas de cemento y generación de energía,

instalaciones mineras y cubiertas para fábricas grandes, almacenes y



hangares. Los proyectos arquitectónicos incluyen instalaciones deportivas y

multiuso; teatros estándares y Omnimax; atrios y centros comerciales, entre

otros.

Cada estructura geométrica se diseña en función de los requerimientos

de cada proyecto. Para los problemas que se presentan en industria, minería

etc., se elaboran estudios de factibilidad, planeación o diseño de un proyecto,

los ingenieros de Geométrica se encuentran preparados para elaborar el

diseño preliminar, el análisis presupuestal, especificaciones y detalles típicos.

Geométrica es una empresa con representantes en varios países del

mundo y su facturación anual es por varios millones de dólares.

Así que la próxima vez que sus alumnos estén desmotivados o le digan

que las matemáticas no sirven o le pregunten para qué sirven las

matemáticas, usted hábleles de Geométrica.

X.Conclusiones

Al terminar de leer estos recursos y estrategias metodológicas, no haga

como muchos que dicen ¡Ah, qué interesante y bonito!, y al salir de la cabina

o del centro de cómputo del colegio, se olvidaron de todo lo leído.

Si realmente quiere contribuir a mejorar la calidad de la educación

peruana, aplique las ideas acá expuestas, pues tienen sustento real de

muchas experiencias de enseñanza aprendizaje con alumnos y que han dado

excelentes resultados; así que aplíquelas y luego nos escribe contándonos de

los resultados obtenidos y mejor aún si nos envía algunas sugerencias o ideas

que considere conveniente compartir para seguir mejorando todos.



Lectura Nº 7

IMPOSIBILIDAD DE ALGUNAS CONSTRUCCIONES Autores: José Rosales y Pedro Díaz

Revista Digital Matemática, Educación e Internet

(2001) Introducción

Las construcciones con regla y compás han sido objeto de enseñanza en los programas de enseñanza media por muchos años. Estos programas inician el aprendizaje de la geometría enseñando las construcciones básicas con regla y compás: bisección del ángulo, construcción de segmentos congruentes, punto medio de un segmento, mediatriz de un segmento, etc.

Se ha indicado que:

`` Es importante que un profesor de matemáticas esté capacitado en la confección de figuras para así poder guiar el aprendizaje de sus estudiantes en este aspecto. Muchas veces descuidamos nosotros mismos algunos aspectos de la enseñanza por considerarlos secundarios o bien, porque desconocemos su importancia en la consecución de los objetivos globales que se persiguen a través de la enseñanza formal.

Podríamos decir que en la enseñanza formal hay un objetivo fundamental: `` lograr en nuestros niños, y en nuestros jóvenes un desarrollo integral''.

El desarrollo integral del individuo incluye su desarrollo psíquico, su desarrollo motor y su desarrollo intelectual.

Pienso que la construcción de figuras geométricas contribuye en todos estos aspectos...'' (Tsijli, 1994).

Esto indica que las construcciones con regla y compás es un medio para lograr un aprendizaje holístico e integral. Por tanto es deseable que el profesor de secundaria conozca los aspectos más relevantes relacionados con este tema.

Por otro lado, el estudiante de secundaria podría pensar que todas las figuras geométricas son constructibles con regla y compás a partir de la experiencia presentada en clase. El profesor deberá aclararle que tal afirmación es incorrecta y para tal efecto es común que haga referencia a los problemas clásicos de `` la trisección del ángulo'', ``la cuadratura del círculo'' y ``la duplicación del cubo'' mencionados en la literatura.

Sin embargo, los autores que se refieren a estos problemas clásicos evitan justificar porqué no es posible construirlos basándose fundamentalmente en la complejidad teórica de una demostración formal. Esta situación, aunque comprensible, da pie a que algunas personas con poca formación matemática dediquen sus esfuerzos a tratar de dar una demostración de la constructibilidad de estos objetos. Estas personas son conocidas como ``Trisectores'' y sobre ellos nos referiremos más adelante.

El presente trabajo expone, sin entrar en detalles técnicos exhaustivos, los resultados principales que fundamentan la constructibilidad y no constructibilidad de objetos



geométricos incluyendo los ya mencionados. Las demostraciones de los resultados se omiten pero se indica la referencia bibliográfica donde se pueden encontrar.

Fundamentos teóricos de las construcciones con regla y compás.

En el número anterior de esta revista se indicó que una construcción con regla y compás debe de realizarse usando regla y compás no marcados (Díaz, 2002). Sin embargo para poder entender que quiere decir que un objeto geométrico no es constructible con regla y compás debemos ser un poco más explícitos. Para lograr esto debemos enunciar algunas definiciones y resultados en dos ejes diferentes: Las construcciones con regla y compás, y la teoría de Galois. Al final se obtendrá un criterio simple y elegante para determinar si un objeto geométrico es o no constructible en el sentido que nos ocupa.

Resultados de Construcciones con regla y compás.

``Diremos que un número real no negativo es una longitud constructible si, mediante un número finito de aplicaciones de la regla y el compás y los puntos de intersección obtenidos entre rectas y círculos así construidos, se puede construir un segmento de recta de longitud

'' (Herstein,1988)

Algunas de las construcciones que se pueden realizar son las siguientes:

1. Cualquier longitud que se construya sobre una recta se puede transportar sobre otra recta mediante el compás y por tanto es constructible en la segunda recta.

2. Podemos trazar una recta paralela a una recta dada que pase por un punto dado.

3. Se puede construir una longitud para cualquier entero no negativo .

De estos resultados se logra construir cualquier longitud racional .

Para extender la noción de constructibilidad a números negativos enunciaremos la siguiente definición:

Un número real es un número constructible si [×] es una longitud constructible

Así llegamos a nuestro primer resultado interesante. Los resultados enunciados nos permiten demostrar que el conjunto de números reales constructibles junto con las operaciones usuales de forman un subcampo del campo de los números reales . Este subcampo contiene al conjunto de los números racionales Q pero esta inclusión es propia pues ya sabemos que √ 2 es fácilmente constructible con regla y compás.

Ejemplos.

El último criterio enunciado nos permite resolver como un corolario los problemas que tuvieron desvelados a los matemáticos por más de dos mil años. En efecto:

1. No se puede cuadrar un círculo: Para construir un cuadrado de área igual a un circulo de radio 1, usando regla y compás, se debe poder construir el

número . Como se vio en los ejemplos anteriores, Lindeman demostró que

es trascendente sobre . Luego, no puede ser la raíz de ningún polinomio



con coeficientes en . Esto dice que no existe un polinomio minimal para

sobre . En consecuencia, no puede ser constructible y como vimos que los números constructibles forman un subcampo de los números reales, se tiene

que tampoco puede ser constructible.

2. No se puede duplicar el Cubo: Razonando por contradicción se tiene que si se pudiese duplicar un cubo de lado 1, se necesitaría construir con regla y compás un cubo cuya arista midiera y cuyo volumen fuera 2. Dado que el volumen del cubo sería , se debe poder construir un número tal que

. Esto dice que debe ser raíz del polinomio . Como este

polinomio es mónico e irreducible sobre (por el teorema de raíces

racionales), se concluye que es el polinomio minimal de en , pero esto nos

produce una contradicción ya que el grado de es 3 y no es una potencia de 2 contradiciendo el criterio de constructibilidad mencionado.

3. No se puede trisecar un ángulo: De nuevo razonamos por contradicción. Si se pudiera trisecar un ángulo cualquiera, el ángulo de debe de poderse

trisecar. Esto dice que se podría construir un triángulo rectángulo tal

que y .

Como , se tendría que es también constructible. Por otro lado, la identidad trigonométrica del ángulo triple

para el caso en que indica que

de donde . Haciendo el cambio de variable , se

llega a la ecuación . Como los números constructibles son un campo, si es

constructible entonces también lo es. Pero si entonces y como



es mónico e irreducible sobre , se tiene que es el polinomio minimal de sobre

. Como el grado de es 3 se tiene que no es constructible y esto es una contradicción. Por tanto hemos encontrado un contraejemplo y en consecuencia, no se pueden trisecar ángulos

Los Trisectores

La solución de los tres ejemplos anteriores son impresionantemente sencillas después de la teoría desarrollada tomando en cuenta que estuvieron sin resolver durante siglos.

Curiosamente, también durante muchos años una gran cantidad de personas han dedicado sus esfuerzos a tratar de demostrar que si se puede cuadrar un círculo, duplicar un cubo y trisecar un ángulo. A este tipo de personas se les conoce con el apelativo de '' trisectores de ángulos''. En [2] se pueden encontrar más de cien ``argumentos '' de tipo geométrico con su respectiva construcción en las cuales se pretende demostrar que se puede trisecar un ángulo. Algunos de ellos oyeron de la imposibilidad de trisecar un ángulo desde muy temprana edad y se dedicaron a demostrar lo contrario muchos años después cuando ya se han retirado o bien están dedicados a diversas actividades (Dudley, 1994).

Todos y cada uno de los razonamientos esgrimidos por los trisectores se basan en construcciones geométricas erróneas.

Se puede decir con toda certeza que ellos desconocen los fundamentos teóricos algebraicos ya expuestos y se empeñan en realizar construcciones con regla y compás que desde el primer trazo están condenadas al fracaso.

Por otro lado, están tan convencidos de que su razonamiento es correcto que incluso llegan a patentar su demostración. De hecho hace ya muchos años la oficina de patentes de Paris publicó un edicto en el que se indicaba que ya no recibiría más demostraciones de la trisección del ángulo y pese a eso las demostraciones siguen apareciendo. Dudley en [2] hace referencia una patente número 5,210951 del 18 de Mayo de 1993 en Estados Unidos donde se patenta otra de estas demostraciones.

``Algunos trisectores se dan a la tarea de publicar y distribuir ampliamente sus trabajos, esto tiene dos efectos dañinos. Primero, el trisector desperdicia recursos a los que se les puede dar un mejor uso, y segundo, existe el peligro de que algunas personas puedan ser convencidas o al menos confundidas’’ (Dudley, 1994).

Este hecho fundamenta la necesidad de conocer los fundamentos teóricos expuestos en el presente trabajo.

Conclusión.

Dado que las construcciones con regla y compás es un estudio obligatorio en la enseñanza de la geometría a nivel de secundaria, el profesor de matemática debe conocer los fundamentos teóricos de este tema. Debe conocer los teoremas principales relacionados con la construcción de figuras geométricas para estar en capacidad de justificar la importancia de su estudio y ubicar históricamente el tema de la constructibilidad.

Se ha visto como el desconocimiento teórico de este tema permite crear razonamientos falaces, fundamentados en aspectos teóricos coherentes pero descontextualizados o mal fundamentados. La difusión de estos razonamientos por los medios de comunicación masiva



podría crear la falsa impresión de que algunas de las imposibilidades mencionadas son realizables como es el caso de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo.

Se estableció que los razonamientos hechos por los llamados "Trisectores" se fundamentan principalmente en falacias de tipo lógico y el desconocimiento teórico del tema por parte de ellos mismos y del público meta al cual dirigen sus publicaciones. Por tanto, se debe tener un fundamento teórico adecuado que permita evacuar cualquier duda que pudiese surgir en el aula referente a estos aspectos.

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Lectura Nº 8

El Geoplano Un Recurso Manipulable Para La Enseñanza De La Geometría

Autor: Aldo Mariño. UNA. Educación Matemática (1999) Introducción

La investigación en el contexto de la Educación Matemática tiene como uno de sus objetivos el promover metodologías que fortalezcan los procesos de enseñanza-aprendizaje y la evaluación de las matemáticas en sus distintos niveles educativos. Una alternativa la constituye la manipulación de recursos didácticos auxiliares en el aula, los cuales permitan al docente la producción de actividades innovadoras, motivantes y versátiles que conduzcan a los alumnos a la exploración y descubrimiento de conceptos y propiedades de objetos geométricos. Por esta razón se plantea un diseño instruccional, apoyado en el uso del Geoplano, que permita respaldar al docente en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría básica, específicamente en los temas de ángulos, triángulos, cuadriláteros y área.

Hoy en día existe un consenso, en la comunidad de Educación Matemática, sobre la necesidad de garantizar en los alumnos una buena formación en Geometría. Sin embargo, la ausencia de tal formación durante muchos años ha producido en el alumno y en el docente inseguridad y a la vez cierto desinterés por la enseñanza y aprendizaje de la geometría (Alsina, 1997)

En la década de los noventa, en el ámbito internacional, y en particular en Venezuela han surgido nuevas reformas curriculares en matemática. En todas, se considera que la enseñanza de la Geometría es de vital importancia y sirve de apoyo para abordar de manera efectiva otras áreas del conocimiento humano. Al respecto, en la reforma venezolana de 1997 se plantea, entre otras cosas, la necesidad de un cambio en la escuela:

...ya no es la escuela transitiva donde el niño no sabe y viene a la escuela a aprender, y el profesor es el que sabe y viene a la escuela para enseñar. Ahora se considera el alumno, una persona con ideas preconcebidas sobre la realidad que lo rodea, el docente debe dejar de ser expositor desvinculado de la realidad y sugerir al alumno nuevas formas de aproximarse a la vida, que se puedan reforzar con las que ya el niño trae de casa, del entorno comunitario, y contrastarlas. (Programa de Matemática, 1997, s.p.)

Además, se señala la importancia de lo concreto sobre lo abstracto, así como las situaciones que permitan integrar la matemática con la realidad y con otras áreas.



Sobre el particular, a criterio del investigador, estas reformas de carácter parcial, cuyo propósito fundamental es mejorar la calidad de la enseñanza en la I y II Etapa de la Educación Básica, no han logrado su cometido principal como es: mejorar la calidad del producto educativo que demanda la sociedad venezolana.

Un elemento de referencia, lo constituye los estudios realizados por el Sistema Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje (SINEA), cuyos propósitos generales son: proporcionar información válida y confiable de los diferentes niveles de competencias de los alumnos de la Educación Básica en diferentes áreas del conocimiento.

Los estudios realizados por el SINEA en 1999, en veintitrés entidades federales en las áreas de Lengua y Matemática de tercero, sexto y noveno grado de la Educación Básica, indican: “...los alumnos no alcanzaron a responder correctamente la mitad de las preguntas de la prueba”, lo cual pone en evidencia que: “...al finalizar la tercera etapa de Educación Básica, los alumnos no lograron los niveles de ejecución requeridos en los tópicos del área de Matemática ni en los tópicos del área de Lengua, específicamente en Nociones Lingüísticas”. (SINEA, 1999, p.131-132)

Y en particular, en lo que respecta a la enseñanza de la Geometría, el informe revela que: los alumnos, en general, se ubican en el nivel de No Logro (menos del 25% respondieron correctamente las preguntas). El análisis de este tópico indica que: la mayor dificultad que se presenta en tercer grado se encuentra en la interpretación de las características de las figuras y en la identificación de los cuerpos geométricos; en sexto grado existe deficiencia en el dominio de relaciones espaciales y su expresión en términos matemáticos; mientras que en noveno grado hay deficiencia en la comprensión y aplicaciones de los teoremas geométricos de Euclides y Pitágoras.

Las consideraciones anteriores ponen a la luz de los nuevos tiempos la necesidad de incorporar, en los distintos niveles educativos, nuevas estrategias y metodologías, que fortalezcan los procesos de enseñanza-aprendizaje y evaluación de la matemática.

En Venezuela, estudios realizados por el CENAMEC (Centro Nacional Para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia) concluyen entre otras cosas, que se presentan fallas metodológicas en el proceso de enseñanza de la matemática y se evidencia una deficiente preparación del personal docente, situación que se traduce en un número elevado de alumnos que no logran los niveles de ejecución requeridos en matemáticas (Otero, 1999, p.7)

Al respecto Galindo (1996), señala que la enseñanza de la geometría se ha ido desplazando a un segundo plano, situación atribuible a diferentes razones, entre las cuales se destacan: (a) la falta de materiales didácticos para apoyar a los docentes en la enseñanza de la geometría; (b) poca intensidad horaria que se le dedica a esta área en el aula; (c) la fusión de la geometría con la aritmética y el álgebra dentro del programa actual de matemática y en particular el de la geometría; (d) la incipiente formación del docente en lo que respecta a la geometría y (e) el déficit en el currículum de los programas de formación



de docentes de temas relacionados con la didáctica especial de esta área de las matemáticas.

Por otro lado, y como consecuencia de algunos de los elementos anteriores se tiene la dificultad que tienen los maestros de proponer actividades que ayuden a los alumnos a construir su conocimiento geométrico, aunado al hecho de que tradicionalmente la enseñanza de la geometría se le presenta a los alumnos como algo terminado, estático, con un excesivo enfoque racional y axiomático, poco motivante, fomentando exclusivamente el aprendizaje memorístico de conceptos, teoremas y fórmulas.

En un escenario complementario, en 1995 la Comisión Internacional de Educación Matemática (ICMI) centró su tema de estudio en las “perspectivas sobre la enseñanza de la Geometría para el siglo XXI”, como indicador, del renovado interés por el estado y la enseñanza de la geometría (ICMI, 1995 citado en Alsina 1999), para lo cual, toma como eje de interés el uso de materiales didácticos (manipulables y visuales) como un recurso importante para mejorar la calidad de la enseñanza de la geometría.

Desde esta perspectiva, la enseñanza de las matemáticas y en particular de la geometría ha constituido una de las tareas más complejas del aprendizaje escolar. Al respecto, Alsina (1999) señala:

El punto clave de la problemática de la educación geométrica radica en el hecho que el conocimiento geométrico y espacial emerge de las imágenes mentales. Así la complejidad de la educación geométrica a diferencia de otras ramas de la educación matemática radica en la omnipotente e inevitable dialéctica entre la conceptualización y visualización, dicho de otro modo, entre la experimentación y la demostración. De esta manera, la geometría puede ser considerada como una búsqueda de modelos guiada, tanto por el “ojo visual” como por el “ojo de la mente”. En la interacción de estos dos modos es que realmente radica su pedagogía. (p.101)

En este mismo orden de ideas, investigaciones como la de van Hiele (1955), Feeney (1980), Shaughnessy y Burger (1985), Hoffer (1990), Galino (1992), Smith (1993), Four (1994) y Larios y González (1997), critican el hecho de que la enseñanza de la geometría enfatice desde su comienzo el desarrollo de la habilidad para hacer demostraciones y sugieren que debe fomentar en los estudiantes el desarrollo de otras habilidades prácticas que tiene una naturaleza claramente geométrica, por lo que los estudiantes se les deben presentar experiencias de visualización y manipulación de materiales concretos para así ir

avanzando progresivamente en el proceso de aprendizaje de la geometría.

Sobre el particular conviene señalar para los fines del presente estudio los aportes que se desprenden del Modelo de Desarrollo del Pensamiento en Geometría propuesto por los esposos van Hiele (1955). Este modelo describe como se va modificando la forma de razonar de los individuos en geometría, desde la visión más simplista, global de conceptos geométricos, hasta el empleo del razonamiento formal. Según este modelo, el pensamiento geométrico se desarrolla a través de una secuencia de cinco niveles distinguidos no



solamente por la adquisición de conocimiento geométrico sino también por las características del proceso de pensamiento envuelto.

Para Van Hiele el aprendizaje es un proceso inductivo. Sostiene que tomando en cuenta la evolución del razonamiento, no es conveniente presentar una materia a un nivel más elevado del que los estudiantes pueden comprender (Mosquera, 1990). A la luz de este modelo las nuevas tendencias de la enseñanza de la geometría para la Educación Básica deben orientarse al desarrollo de la capacidad perceptiva del educando, como elemento complementario de la acción y de la representación. Esto se traduce en la utilización de recursos didácticos variados, tomando en consideración el desarrollo evolutivo del aprendiz y de los distintos niveles de representación (verbal, figural, creativa), de manera que se haga énfasis, en el currículo, en la construcción de imágenes visuales de contenido geométrico.

En este sentido, Kennedy (citado en Godino, 1999) y Alsina (1997), proponen que los modelos geométricos (geoplano, tangram, ábaco, dados, fichas, etc) deben ofrecerse como “casi obligado” en los primeros niveles primarios y secundarios ya que la utilización de materiales manipulativos pueden ayudar a los niños a comprender tanto el significado de las ideas matemáticas como las aplicaciones de estas ideas a situaciones del mundo real.

Enmarcado en este contexto cobra justificación en el ámbito de la educación matemática contemporánea el uso de materiales didácticos, los cuales juegan un papel fundamental en la exploración geométrica, entre ellos, hay que situar en un lugar preferente al geoplano como herramienta para potenciar los niveles de representación geométrica.

El geoplano es un recurso usado para la enseñanza de los conceptos básicos de geometría, de fácil acceso, ya que puede ser construido por los alumnos usando materiales y herramientas comunes (un trozo de madera, clavos y martillo). Con el mismo, se pueden plantear en clase situaciones problemáticas auténticas, de contexto geométrico y espacial, que permitan al estudiante focalizar entornos de aprendizaje que los habitúen a experimentar y probar a partir de sus propias acciones, tanto experimentales como mentales, compartiendo su práctica y mentalización con sus propios compañeros y el docente.

A la luz de esta panorámica se estima que una vía para abordar esta situación problemática, es a través de una propuesta didáctica, que gire en torno a las dificultades que tiene el docente para ser un actor, con una participación activa, en los procesos de diseño, desarrollo y evaluación de actividades sobre la enseñanza de la geometría y en el empleo del geoplano como modelo geométrico para la comprensión del significado de las ideas matemáticas y las aplicaciones de estas a situaciones del mundo real.

La propuesta trata de influir en la capacidad del docente para realizar innovación introduciendo actividades donde apoyándose en la experimentación y el manejo del Geoplano como recurso didáctico, permita fortalecer sus conocimientos de la enseñanza de la geometría.

En atención a ello, el presente estudio se orienta a la presentación de un material instruccional, apoyado en el uso del geoplano, que permita respaldar al maestro en el



proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría en la Educación Básica, específicamente en los temas de ángulos, triángulos, cuadriláteros y área.

2.1 Objetivo General

Diseñar, basándose en el modelo de van Hiele, un material educativo impreso centrado en el uso del geoplano, sobre los temas centrales de geometría: ángulos, triángulos, cuadriláteros y área, para la segunda etapa de Educación Básica.

2.2 Objetivos Específicos

1. 1. Diagnosticar el nivel de pensamiento geométrico (niveles de van Hile) en que se encuentran los docentes en ejercicio de la Segunda Etapa de Educación Básica. 2. 2. Seleccionar los temas a ser tratados en el material educativo tomando en consideración los resultados del diagnóstico. 3. 3. Construir, basándose en el modelo de van Hiele, el esquema para las actividades. 4. 4. Diseñar una colección de actividades de aprendizaje para cada uno de los tópicos seleccionados. 5. 5. Validar con usuarios, docentes y estudiantes las colecciones de actividades. 6. 6. Rediseñar las actividades según los resultados de la validación.

Esta investigación se justifica en la medida en que se elabore y valide el material instruccional, a través de juicio de expertos, y que su utilización favorezca la comprensión de la geometría en los niños.

Para la educación matemática, esta investigación constituye la posibilidad de explicar en qué estado se encuentra, en cierta manera, la formación de maestros en Venezuela, específicamente en geometría.

Por otra parte el poder contar con material instruccional, apoyado en un recurso didáctico como lo es el geoplano, permitirá al maestro mejorar su pensamiento geométrico y a la vez proponer actividades motivantes y de reflexión sobre sus propias ideas de observación, construcción, transformación, o simplemente de mecanización, que favorezcan la enseñanza-aprendizaje y evaluación de la geometría de los estudiantes de la Segunda Etapa de la Educación Básica.

Además, hasta ahora, en Venezuela el modelo de van Hiele no ha sido tomado en cuenta para el diseño curricular de la Educación Básica ni en los programas de formación de docentes de los institutos y universidades del país (Otero, 1999)



Por lo que el diseño aquí propuesto, el cual está fundamentado en el modelo de van Hiele, puede servir de gran utilidad para promover los nuevos modelos y tendencias de la enseñanza de la geometría, además de contribuir en el desarrollo del pensamiento geométrico de los niños de la Segunda Etapa de la Educación Básica.

El trabajo se planteó en cinco fases: (1) En la primera se procedió a la revisión preliminar de la bibliografía, documentos y demás fuentes relevantes al tema (2) En la segunda se realizó una extensiva revisión y análisis de los programas instruccionales y fundamentos curriculares del área de matemática, específicamente de geometría, de la segunda Etapa de la Educación Básica (3) En la tercera fase se procedió a hacer un diagnóstico que proporcionó información referente al nivel de pensamiento geométrico (niveles de van Hiele) en que se encuentran los docentes de la muestra (4) En la cuarta, se diseñó el material instruccional. (5) Se validó el material instruccional mediante el juicio de experto.

4.1 Población:

La población objeto de estudio, está conformada por docentes de la segunda etapa de Educación Básica que se desempeñan en el área metropolitana.

4.2 Muestra:

En cuanto a la muestra, se consideró una selección no aleatoria de veinte (N=20) docentes de la segunda etapa de Educación Básica de diferentes escuelas básicas ubicadas en la zona de San Bernardino, Caracas.

4.3 Técnica de recolección de datos:

Para obtener la información necesaria para este estudio, tomando en cuenta las características del mismo, se utilizó la técnica de cuestionario como instrumento de recolección de datos. “El cuestionario contiene los aspectos del fenómeno que se consideran esenciales; permite, además, aislar ciertos problemas que nos interesan principalmente; reduce la realidad a cierto número de datos esenciales y precisa el objeto de estudio” (Tamayo, 1996). Este instrumento se elaboró con el propósito de recoger información referente al nivel de pensamiento geométrico (niveles de van Hiele) en que se encuentran los estudiantes de la muestra.

4.4 Análisis de los ítems: En el primer ítem se pretendía que los sujetos de la muestra visualizaran e

identificaran figuras y otras configuraciones geométricas según su apariencia de acuerdo con el nivel 1 del modelo de van Hile.



¿Cuántos triángulos hay en el siguiente diseño?

De la muestra seleccionada sólo 8 sujetos de 20 contestaron correctamente esta pregunta, lo cual indica que el 60% de los sujetos no dominan el primer nivel de van Hiele.

Con el segundo ítem se pretendía que los sujetos emplearan correctamente el concepto de altura de un triángulo.

Dibuja las alturas del siguiente triángulo

De la muestra seleccionada ninguno de los 20 sujetos contestó correctamente. Lo cual pone en evidencia la incipiente capacidad para analizar y relacionar figuras en términos de sus componentes y establecer propiedades de una clase de figuras

empíricamente (nivel 2 del modelo de van Hiele). Por último, con el tercer ítem se pretendía que resolvieran un problema donde las

propiedades de las figuras y sus interrelaciones son importantes.

3. Si el área del cuadrado (A,B,C,D) es una unidad de área. ¿Cuál es el área de S?. A

B

Respuesta:__________



Con respecto a este ítem de la muestra seleccionada ninguno de los sujetos

respondió correctamente, es decir, no pudieron determinar el área a calcular. Esta pregunta corresponde al tercer nivel de van Hiele donde se espera que formulen y usen definiciones y argumentos informales usando diagramas, cortando y materiales manipulables.

4.5 Conclusiones

Podemos establecer que los docentes de la muestra carecen de una formación geométrica apropiada, porque apenas 8 de los participantes contestaron correctamente el primer ítem, el cual corresponde al primer nivel de van Hiele (visualización), situación muy alarmante, ya que para ser docentes en ejercicio, según las investigaciones de van Hiele (1986) deberían desenvolverse adecuadamente en los tres primeros niveles. Estos resultados poco satisfactorios justifican la necesidad de elaborar un material instruccional basado en recursos manipulables que permita al docente en ejercicio evolucionar en el proceso de construcción geométrico desde las formas intuitivas iniciales del pensamiento hasta un nivel de deducción informal (nivel 3 de van Hiele), el cual corresponde al nivel escolar donde se desempeñan actualmente.

El contenido del material instruccional está organizado en cinco temas de geometría seleccionados de los programas de Educación Básica de la II etapa. Para la selección de este contenido se consideraron: (1) los resultados del cuestionario, lo que de alguna manera representa el nivel de comprensión del docente como facilitador en cuanto a la enseñanza de la geometría y (2) contenidos y alcance de los objetivos del área de geometría de la II etapa de la Educación Básica. Los temas en cuestión son los siguientes: ángulos, triángulos, cuadrilátero, perímetro y área.

A continuación, se describen brevemente los principios psicológicos en los cuales nos apoyamos para la elaboración del diseño instruccional.

Se parte del juicio de que, para que el alumno pueda acceder al aprendizaje, este debe ser el resultado de la acción sobre la realidad. Nuestra idea central es que el proceso de aprendizaje del alumno debe basarse en su propia actividad creadora, en sus



descubrimientos personales, en sus motivaciones intrínsecas, debiendo ser la función del docente la de un orientador, guía, animador, pero no la de fuente fundamental de información. Estamos en desacuerdo con la metodología tradicional del profesor de pizarra, esencialmente expositivo, transmisor de información y del alumno que debe limitarse a aceptar pasivamente, sin participación alguna en el proceso de su conformación. Esta concepción pedagógica tradicional es la que actualmente sigue siendo preponderante en la enseñanza de las matemáticas, está basada en la consideración del profesor como eje central del proceso de enseñanza-aprendizaje, sin una atención adecuada a las características del pensamiento del alumno, a su forma de acceder al conocimiento, de construirlo, y sin una mínima preocupación por el interés real de este hacia ese conocimiento que tiene que adquirir.

Para el diseño de las actividades didácticas, nos planteamos un modelo de aprendizaje o metodología didáctica <<aprendizaje por descubrimiento>>, basado en el modelo constructivista de acceso al conocimiento de Piaget, el cual nos da los fundamentos psicológicos que permiten considerar el aprendizaje por descubrimiento como un procedimiento donde:

• el conocimiento es un resultado de la acción sobre la realidad, • el uso de materiales didácticos apropiados basados en actividades de laboratorio,etc., contribuye en el proceso de enseñanza-aprendizaje • no sólo se trate de responder los deseos de los adultos, sino también las necesidades de los alumnos, • se centre en las características del pensamiento infantil, en sus modos de evolucionar, • se considere como elemento básico la libre actividad investigadora de los alumnos, en sus propios descubrimientos, el despliegue creativo de su creatividad, • se le de importancia a la labor del maestro o profesor quien facilita el proceso de aprendizaje de los alumnos. (Martínez, 1989)

Para que esta metodología resulte eficaz, el maestro o profesor debe tener definida una estrategia didáctica. Para ello, debe conocer, con cierto grado de profundidad, las variables que intervienen en el proceso, a fin de poderlas controlar adecuadamente.

Como en el aprendizaje por descubrimiento es el alumno quien, en definitiva, construye sus conocimientos, la estrategia didáctica que elabore el profesor debe basarse fundamentalmente en las características psicológicas, lógicas y cognoscitivas de sus alumnos, aspectos esenciales del método.

El maestro o profesor debe ser capaz de diseñar problemas y actividades que sean capaces de atraer espontáneamente el interés de los alumnos, de manera que vayan conduciendo la construcción de los conocimientos previstos.

Naturalmente, ésa es la dificultad más significativa del método, conseguir que los problemas planteados interesen realmente a los alumnos y que la secuencia de ejercicios y problemas sean verdaderamente adecuados, de acuerdo a las capacidades lógicas y cognitivas de los alumnos y con la estructura de la materia en cuestión.



A continuación, se presentarán algunas de las actividades didácticas que forman parte del diseño instruccional.

Primer contacto con el Geoplano Introducción En esta lección vamos a

construir un geoplano y a representar algunas formas geométricas en él. Para lograr este propósito es necesario que aprendas a manejar con soltura el geoplano. Objetivo 1.Construir un geoplano cuadrado de dimensión 5x5 2.Dibujar en papel geoplanos de dimensión 10x10 unidades cuadradas 3.Representar formas geométricas en el geoplano Recursos necesarios Papel cuadriculado, trozo de madera de 30x30 cm, martillo, 25 clavos de una pulgada, ligas de colores, retroproyector de transparencias, geoplano transparente. Contenidos · Construcción de un geoplano · Modelos de geoplano · Formas geométricas

Organización de la actividad Se da comienzo a la actividad mostrando los diferentes tipos de geoplano y sus usos. Se muestran diferentes figuras que se pueden construir con los geoplanos. Se pueden utilizar los geoplanos transparentes en un retroproyector de acetato para que todos los participantes puedan visualizar las figuras diseñadas. En el resto de la actividad se organizan grupos de dos o tres participantes quienes trabajaran en el diseño de geoplanos de dimensión 5x5 y 10x10 unidades cuadradas en papel respectivamente, el cual facilitará el diseño del geoplano 5x5 en madera. Sugerencias metodológicas Con estas actividades se pretende que los participantes conozcan, manipulen y descubran los usos y utilidades del geoplano, es decir, que se apropien del geoplano produciendo cualquier forma que le sea importante. Además, los participantes deben ser orientados para que registren sus experiencias en sus geoplanos de papel. Esto les permitirá tener un registro del trabajo realizado y les desarrollará destrezas en el trazado de figuras..



Primer contacto con el Geoplano Guía de trabajo

En esta lección vamos a construir un geoplano y a representar figuras en él. Para hacerlo necesitas: Papel cuadriculado, trozo de madera de 30x30 cm, martillo, 25 clavos de una pulgada, ligas de colores.

A continuación sigue las siguientes instrucciones: 1. En una hoja de papel usa tu regla y traza líneas horizontales cada 5 centímetros. Recuerda que estas líneas son paralelas. Ahora traza líneas verticales con la misma separación. ¿Son también paralelas? _______ 2. Coloca el papel sobre la madera, fíjalo sobre la madera.

3. En el cruce de las horizontales y verticales, coloca los clavos procurando que estén bien clavados y que sobresalgan de la tabla aproximadamente un centímetro. 4. Comprueba que los clavos estén firmes. De esta manera has concluido con la construcción de un geoplano rectangular de dimensión 5x5. ¿Sabes para qué sirve el geoplano? En él se pueden representar figuras empleando ligas de diferentes colores. Forma en el tuyo figuras como las que se muestran y luego dibújalas en las hojas cuadriculadas.



Triángulos Introducción Los triángulos son las figuras más simples de estudiar. Desde el preescolar nos enseñan a distinguir los triángulos de los cuadriláteros y de los círculos. No obstante muchos alumnos de niveles superiores no tienen una noción clara de lo que es un triángulo. En esta lección proponemos un conjunto de actividades de exploración de los triángulos Objetivos 1. Reconocer triángulos rectángulos, isósceles y escalenos, usando el geoplano. 2. Construir triángulos rectángulos, isósceles y escalenos, usando el geoplano. Recursos Necesarios Geoplano 5x5, geoplano en papel de 10x10, ligas de colores, creyones, retroproyector de transparencias, geoplano transparente. Contenidos Triángulos

Organización de la actividad Se da comienzo a la actividad construyendo diferentes triángulos en el geoplano. Luego se establece una discusión en torno al reconocimiento de triángulos rectángulos, isósceles y escalenos, estableciéndose conjuntamente con los alumnos las definiciones correspondientes. Se pueden utilizar los geoplanos transparentes en un retroproyector de acetato para que todos los participantes puedan visualizar las figuras diseñadas. Sugerencias metodológicas Con estas actividades se pretende que los participantes conozcan, manipulen y descubran los triángulos rectángulos, isósceles y escalenos. Además, deben ser orientados en la construcción de triángulos rectángulos, isósceles y escalenos, usando geoplano. Estableciendo sus características y propiedades.

1. 2. A continuación construye en tu geoplano diferentes triángulos y luego registra todos los triángulos que encontraste en una hoja cuadriculada. 2. 3. En la siguiente figura, señala las que son triángulos.



4. Diseña un triángulo cuyos lados contengan el mayor número de clavos posibles,

registra todos los triángulos que encontraste en una hoja cuadriculada. 5. En un geoplano de dimensión 2x2 ¿cuántos triángulos puedes formar?

Registra todos los triángulos que encontraste en una hoja cuadriculada, recuerda que puedes utilizar los creyones para diferenciarlos. 6. Y en un geoplano de dimensión 3x3 ¿cuántos triángulos puedes formar?

Registra todos los triángulos que encontraste en una hoja cuadriculada.

1. 7. Y en un geoplano de dimensión 3x3 ¿cuántos triángulos puedes formar? 2. 8. Fija una liga en un clavo ¿cuántos triángulos puedes formar? 3. 9. Fija una liga en dos clavos ¿cuántos triángulos puedes formar?



Geoplano 3x3 Cuadrado Perímetro Aprox. Perímetro exacto Diferencia 1

Áreas Introducción Muchas veces el perímetro y el área son introducidos a través de fórmulas. Más tarde les pedimos a los alumnos que determinen el perímetro o el área de un espacio determinado y no son capaces de hacerlo. Sólo han memorizado la fórmula y no comprenden su significado En esta lección se proponen un conjunto de actividades que permitan al alumnos comprender el concepto de área y su cálculo.

El señor Pedro necesita reparar los vidrios de una ventana rota, la ventana está dividida en seis vidrios iguales más pequeños de 20 centímetros cuadrados cada uno, ¿qué cantidad de vidrio debe comprar Pedro para reparar la ventana?

Objetivos · Diferenciar entre perímetro y área · Interpretar la relación entre el perímetro de una figura poligonal y la medida de sus lados · Calcular el área de una figura poligonal. Recursos necesarios Papel cuadriculado, Geoplano, ligas de colores, retroproyector de transparencias, Geoplano transparente. Contenidos Perímetro y área de una figura poligonal

Organización de la actividad Esta actividad es adecuada para trabajar individualmente. Se muestran diferentes figuras que se pueden construir con los Geoplanos para calcular su perímetro y área. Se pueden utilizar los Geoplanos transparentes en un retroproyector de acetato para que todos los participantes puedan visualizar las figuras diseñadas y así conducir las discusiones con el grupo en general. En el resto de la actividad se organizan grupos de dos o tres participantes quienes trabajaran con un Geoplano de dimensión 5x5 y se registran los diseños en Geoplanos en papel.



La validación fue realizada por tres profesores especialistas en Didáctica de las Matemáticas, los cuales realizaron una revisión exhaustiva del material instruccional y respondieron a las siguientes interrogantes:

• ¿Corresponde el plan a la necesidad de instrucción? • ¿Es apropiado para la audiencia a la cual va dirigido? • ¿Tiene consistencia interna en todas sus partes?



• ¿Es factible? La opinión en general fue muy favorable en el sentido de la pertinencia del

material, no obstante los profesores hicieron algunas observaciones:

• con respecto al formato del material instruccional, consideran que en todas las actividades este debe ser unificado • sugieren que la mejor forma de validar el material es con la experimentación con los propios docentes de aula.

• Podemos contar con un material instruccional para los fines y propósitos que persigue el área de geometría de la II etapa de la educación básica. • Ha resultado atractivo para docentes que han validado el material. • El uso del material puede contribuir a desarrollar en el estudiante habilidades para la comprensión de la geometría y la resolución de problemas, así como la independencia en el logro de su aprendizaje.

• El uso del material instruccional con la metodología descrita requiere de docentes que orienten los procesos de aprendizaje de los alumnos y estimulen la construcción intelectual autónoma de los estudiantes, desarrollada por ellos mismos, desde sus propias inquietudes cognoscitivas, sus propios intereses de aprendizaje, sus intereses afectivas e intelectuales. • El material instruccional es un material de apoyo a la docencia, de naturaleza dinámica que no puede creerse que en un día esté acabado, pues constantemente debe ser revisado y actualizado para generar nuevas versiones en función de las características que presenten los nuevos alumnos. Es necesario revisar, generar y diseñar nuevas actividades a fin de que sean motivantes y de interés para el estudiante. • Para el uso adecuado y efectivo del material y para lograr un buen aprendizaje permanente por parte de los alumnos, se requiere planificar cada sesión de trabajo con el aporte y la experiencia del docente, ya que lo más seguro es que enfrente situaciones imprevistas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. • Las actividades diseñadas en este material instruccional no son las únicas posibles ni necesariamente las más adecuadas para los fines previstos. El conocimiento de cada maestro tenga de sus alumnos, así como los conocimientos sobre geometría, son los mejores componentes para el diseño de actividades didáctica que contribuyan al proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría

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Lectura N° 9

Modelo de Van Hiele para la didáctica de

la Geometría Autores: Fernando Fouz, Berritzegune de Donosti Ataritzar Bidea, 16

20013 DONOSTIA e-mail: [email protected]

Tomado de “Un Paseo por la Geometría”

(2001)

1. Introducción

Como la charla fue desarrollada en Power Point no puede ser trasladada

directamente a estas páginas, debo rehacer su contenido para adaptarlo a un

artículo como éste. Por este motivo voy a tratar de explicar el modelo y sus

características generales para que, aquellas personas interesadas en la

necesaria promoción de la Geometría, puedan encontrar una herramienta útil

para organizar el currículo geométrico y su desarrollo en las clases.

No es un modelo reciente, pues data de final de los cincuenta, pero, con

la interpretación de los niveles a la didáctica actual, no ha perdido ninguna

vigencia y sus ideas principales, niveles de aprendizaje y fases para una

didáctica adecuada que facilite el paso de un nivel a otro, tienen gran interés

para la elaboración de currículos abiertos de Geometría. Los niveles ayudan a

secuenciar los contenidos y las fases organizan las actividades que podemos

diseñar en las unidades didácticas.

El trabajo se debe al matrimonio formado por Dina y Pierre Van Hiele

aunque, la prematura muerte de Dina provocó que fuese su marido el

encargado de su mayor difusión. El libro original donde se desarrolla la teoría

se titula “Structure and Insight”.

2. Ideas básicas del modelo

La idea básica de partida, dicho de forma sencilla y rápida, es que “el

aprendizaje de la Geometría se hace pasando por unos determinados niveles de

pensamiento y conocimiento”, “que no van asociados a la edad” y “que sólo

alcanzado un nivel se puede pasar al siguiente”. Es más, se señala que

cualquier persona, y ante un nuevo contenido geométrico a aprender, “pasa



por todos esos niveles y, su mayor o menor dominio de la Geometría, influirá

en que lo haga más o menos rápidamente”.

En el libro, señalado anteriormente, Van Hiele concreta que “alcanzar un

nivel superior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de

pensamiento, una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de

aplicarlas a nuevos objetos”.

Antes de señalar los niveles concretos, es importante señalar algunas

ideas previas al modelo y referidas a los estudiantes que, basadas en la

experiencia del trabajo con ellos y ellas del matrimonio Van Hiele, marcan el

diseño del modelo.

Podemos señalar entre otras que, en la base del aprendizaje de la

Geometría, hay dos elementos importantes “el lenguaje utilizado” y “la

significatividad de los contenidos”. Lo primero implica que los niveles, y su

adquisición, van muy unidos al dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo,

que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a nivel de su

razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles

un contenido matemático nuevo.

Para terminar estos previos Van Hiele señala que “no hay un método

panacea para alcanzar un nivel nuevo pero, mediante unas actividades y

enseñanza adecuadas se puede predisponer a los estudiantes a su adquisición”.

3. Niveles de Van Hiele: Denominación y descripción

Los niveles son cinco y se suelen nombrar con los números del 1 al 5, sin

embargo, es más utilizada la notación del 0 al 4. Estos niveles se denominan

de la siguiente manera:

NIVEL 0: Visualización o reconocimiento

NIVEL 1: Análisis

NIVEL 2: Ordenación o clasificación

NIVEL 3: Deducción formal

NIVEL 4: Rigor

Dado que el nivel 5o se piensa que es inalcanzable para los estudiantes

y muchas veces se prescinde de él, además, trabajos realizados señalan que

los estudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros

niveles. Es importante señalar que, un o una estudiante puede estar, según el

contenido trabajado, en un nivel u otro distinto. A continuación vamos a

describir cuáles son las características de cada nivel. Desde las perspectiva del

aprendizaje de los estudiantes.



3.1 NIVEL 0: VISUALIZACIÓN O RECONOCIMIENTO

Tres son las características fundamentales de este nivel:

1) Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus

atributos y componentes.

2) Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente

visuales y asemejándoles a elementos familiares del entorno (parece una

rueda, es como una ventana, etc) No hay lenguaje geométrico básico para

llamar a las figuras por su nombre correcto.

3) No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los objetos

motivo de trabajo

3.2 NIVEL 1: ANÁLISIS

1) Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias) de los

objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la

experimentación.

2) De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedades

pero no de relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras.

Como muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades

no pueden elaborar definiciones.

3) Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas

propiedades

4) Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus

propiedades.

3.3 NIVEL 2: ORDENACIÓN O CLASIFICACIÓN

Antes de señalar las características del nivel conviene señalar que, en el

anterior nivel, los estudiantes empiezan a generalizar, con lo que inician el

razonamiento matemático, señalando qué figuras cumplen una determinada

propiedad matemática pero siempre considerará las propiedades como

independientes no estableciendo, por tanto, relaciones entre propiedades

equivalentes. Alcanzar este nivel significa que...

1) Se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las

condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante

pues conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la

Geometría y los requisitos que siempre requieren.

2) Realizan clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su

razonamiento matemático ya está iniciado. Esto significa que reconocen cómo



unas propiedades derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades

y las consecuencias de esas relaciones.

3) Siguen las demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las

entienden en cuanto a su estructura. Esto se debe a que su nivel de

razonamiento lógico son capaces de seguir pasos individuales de un

razonamiento pero no de asimilarlo en su globalidad. Esta carencia les impide

captar la naturaleza axiomática de la Geometría.

3.4 NIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMAL

1) En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y

formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.

2) Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan

en sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de

las Matemáticas.

3) Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de

proposiciones o premisas distintas lo que permite entender que se puedan

realizar distintas forma de demostraciones para obtener un mismo resultado.

Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de razonamiento

lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas.

3.5 NIVEL 4: RIGOR

1) Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden

analizar y comparar permitiendo comparar diferentes geometrías.

2) Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin necesidad de

ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.

4. Características de los niveles

En un primer lugar hablamos de “secuenciación”, algo que, visto o

explicado hasta ahora, no necesita más explicación, de “jerarquización” esto

es, los niveles tienen un orden que no se puede alterar, lo cual es obvio visto

también lo anterior y los niveles “son recursivos”. Esta última idea es

importante y conviene explicarla y concretarla un poco más. Esta característica

nos indica que “lo que es implícito en un nivel se convierte en explícito en el

siguiente nivel”.

Un esquema, prescindiendo del último nivel, mediante una tabla de esta

idea puede ser esclarecedor:

ELEMENTOS EXPLÍCITOS ELEMENTOS IMPLÍCITOS

NIVEL 0 Figuras y objetos Partes y propiedades de las figuras y objetos

NIVEL 1 Partes y propiedades de las figuras y objetos



Implicaciones entre propiedades de figuras y objetos

NIVEL 2 Implicaciones entre propiedades de figuras y objetos

Deducción formal de teoremas

NIVEL 3 Deducción formal de teoremas Relación entre los teoremas (sistemas

axiomáticos)

La segunda característica a señalar es “el lenguaje” específico para cada

nivel.

La progresión en y entre los niveles va muy unida a la mejora del

lenguaje matemático necesario en el aprendizaje. No se trata sólo de adquirir

conocimientos matemáticos sino también mejorar y ampliar las capacidades

referidas al lenguaje necesario en cada nivel. Como más tarde señalaremos, en

este modelo es muy importante el test-entrevista, es decir, que se da mucha

importancia a que expliquen lo que saben y cómo lo saben no sólo que lo

escriban en respuesta a un problema o un test de ítems más o menos abiertos.

La tercera idea es si el aprendizaje y, por tanto, el paso de nivel se hace

de una manera “continua o discreta”. La idea, eterno dilema, es si el salto es

repentino o se hace de forma gradual. Nos parece lógico pensar que se hace de

forma continua mediante pequeños saltos que conexos que nos darán el paso

final de nivel. Esto está más de acuerdo con las teorías cognitivas modernas

del aprendizaje que señalan cómo creamos esquemas significativos de

pensamiento, mejores pero cercanos a los que teníamos, que se interconectan

entre sí y que, a su vez, podemos reemplazar por otros nuevas más sencillos y

prácticos que los anteriores.

Para construir o mejorar estos esquemas tiene mucha importancia la

interacción alumno/a- profesor/a. Lo señalado en el párrafo anterior (test-

entrevista) sería ya el punto de partida para conocer estos esquemas de

pensamiento.

5. Cambios de nivel. Fases del paso entre niveles

Lo visto hasta ahora, parece darnos pista de cómo podemos secuenciar

los contenidos curriculares de Geometría cuando tenemos que construir o

diseñar un currículo de Geometría para una determinada etapa educativa (EP,

ESO, Bachillerato, etc). Cuando trabajamos con currículos abiertos esto es

primordial siempre que queramos diseñar un currículo propio conforme a

nuestros criterios educativos.

Lo que vamos a ver ahora nos puede dar pistas de cómo organizar las

actividades dentro de una unidad didáctica, es decir, qué tipo de actividades



vamos a hacer conforme al desarrollo de la unidad. En este punto conviene

resaltar a qué nos referimos con “tipo de actividades” para no mezclar churras

con merinas. A menudo se suele mezclar el “cómo y qué se hace” y “a qué va

dirigida” una actividad con su contenido específico. Cuando hablamos de “a qué

va dirigida” nos referimos a si se trata de una actividad de presentación de un

tema, de refuerzo, de repaso o de profundización, de resumen, de grupo,

individual, dinámica de grupos, etc. Sin embargo, cuando hablamos de “cómo y

qué se hace” nos referimos al contenido propio de la actividad como resolver

problemas abiertos, uso de instrumentos de medida, geometría inductiva,

cálculos métricos o estimación, dibujos, construcciones con sólidos, etc.

Vamos entonces a dar pistas más para contestar a “cómo organizar las

actividades” que al tipo concreta de ellas. En su trabajos los Van Hiele

enfatizan en la idea que “el paso de un nivel a otro depende más de la

enseñanza recibida que de la edad o madurez”, es decir, dan una gran

importancia a la organización del proceso de enseñanza-aprendizaje así como a

las actividades diseñadas y los materiales utilizados.

Las fases que postulan en su modelo son cinco y que, a continuación, se

describen:

FASE 1a: PREGUNTAS/INFORMACIÓN

FASE 2a: ORIENTACIÓN DIRIGIDA

FASE 3a: EXPLICACIÓN (EXPLICITACIÓN)

FASE 4a: ORIENTACIÓN LIBRE

FASE 5a: INTEGRACIÓN

FASE 1a: PREGUNTAS/INFORMACIÓN

Se trata de determinar, o acercarse lo más posible, a la situación real de

los alumnos/as. Se cumpliría la famosa afirmación de Ausubel: “Si tuviera que

reducir toda la Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el

factor más importante que el influye en el aprendizaje es lo que el alumno/a

sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia” (Ausubel 1978).

Está fase es oral y mediante las preguntas adecuadas se trata de

determinar el punto de partida de los alumnos/as y el camino a seguir de las

actividades siguientes.

Se puede realizar mediante un test o preguntas individualizadas

utilizando actividades del nivel de partida. Cabe señalar que muchas veces el

nivel no lo marca tanto la pregunta coma la respuesta, es decir, diseñamos una



pregunta pensando en un nivel concreto y, la respuesta recibida, nos puede

señalar un nivel distinto del pensado inicialmente.

FASE 2a: ORIENTACIÓN DIRIGIDA

Aquí es donde la importancia de la capacidad didáctica del profesor/a

más se va a necesitar. De su experiencia señalan que el rendimiento de los

alumnos/as (resultados óptimos frente a tiempo empleado) no es bueno si no

existen una serie de actividades concretas, bien secuenciadas, para que los

alumnos/as descubran, comprendan, asimilen, apliquen, etc las ideas,

conceptos, propiedades, relaciones, etc que serán motivo de su aprendizaje en

ese nivel.

FASE 3a: EXPLICACIÓN (EXPLICITACIÓN)

Es una fase de interacción (intercambio de ideas y experiencias) entre

alumnos/ as y en la que el papel del profesor/a se reduce en cuanto a

contenidos nuevos y, sin embargo, su actuación va dirigida a corregir el

lenguaje de los alumnos/as conforme a lo requerido en ese nivel.

La interacción entre alumnos/as es importante ya que les obliga o

ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible para los

demás.

FASE 4a: ORIENTACIÓN LIBRE

Aparecen actividades más complejas fundamentalmente referidas a

aplicar lo anteriormente adquirido, tanto respecto a contenidos como al

lenguaje necesario.

Estas actividades deberán ser lo suficientemente abiertas, lo ideal son

problemas abiertos, para que puedan ser abordables de diferentes maneras o

puedan ser de varias respuestas válidas conforme a la interpretación del

enunciado. Esta idea les obliga a una mayor necesidad de justificar sus

respuestas utilizando un razonamiento y lenguaje cada vez más potente.

FASE 5a: INTEGRACIÓN

La primera idea importante es que, en esta fase, no se trabajan

contenidos nuevos sino que sólo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de

crear una red interna de conocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a

la que ya poseía.

Como idea final podemos señalar como en esta estructura de actividades

se pueden integrar perfectamente actividades de recuperación para los

alumnos/as que presenten algún retraso en la adquisición de los conocimientos



geométricos y, por otra parte, rehaciendo adecuadamente los grupos

profundizar algo más con aquellos alumnos/as de mejor rendimiento Aunque no

se ha explicitado las actividades de evaluación, también se integrarían

fácilmente en esta estructura de actividades.

6. Algunos estudios de aplicación del modelo de Van Hiele: Caso de triángulos

y cuadriláteros

Hoy en día, al ser un modelo muy conocido y admitido por muchos

docentes, existen bastantes trabajos de aplicación del modelo. Existe un

interesante trabajo de Ángel Gutiérrez y Adela Jaime referido al estudio de los

giros y, quizás, el trabajo que paso a explicar a continuación, referido al caso

de triángulos y cuadriláteros es de los más conocidos. Se debe a M. Cowley y

está referido al estudio de cuadriláteros y triángulos y señala lo que alcanzan

en cada nivel y lo que, por otro lado, no logran. Están resumidas las ideas más

importantes

NIVEL 0. VISUALIZACIÓN/RECONOCIMIENTO

En cuanto a lo adquirido podemos señalar que el alumno/a...

_ Identifica “cuadrados” en un conjunto de recortables.

_ Señala ángulos, rectángulos y triángulos en diferentes posiciones en fotos,

láminas, etc.

_ Marca figuras en una trama o malla (ángulos, paralelas, sierras,

escaleras,etc.).

_ Realiza figuras con instrumentos: rectángulos, paralelas, etc.

_ Señala los ángulos como “esquinas” o los marca en figuras.

_ Señala que un rectángulo “es un cuadrado más estrecho”, “un paralelogramo

es un rectángulo inclinado”, “un ángulo las agujas de un reloj”.

_ Usa el método de ensayo-error con mosaicos.

_ Coloca teselas cuadradas en un rectángulo y las cuenta para aproximar su

área.

_ Identifica cuadrados espontáneamente pero... “no indica: igual lados y

ángulos rectos”.

_ Señala y mide los lados de un cuadrado pero... “no generaliza: igual lados

para todos los cuadrados”.

_ No usa espontáneamente cuantificadores como: todos, alguno, cada, ninguno

referidos a si tienen determinada propiedad geométrica.

NIVEL 1: ANÁLISIS

_ Señala que “la figura tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos”.



_ Comprueba que “en un paralelogramo los lados opuestos son paralelos”.

_ Señala las semejanzas y diferencias entre cuadrado y rectángulo.

_ Inventa un criterio para clasificar cuadriláteros (dos rectos, pares de lados

paralelos, etc.).

_ Describe una sierra a partir de una propiedad y la utiliza para determinar

ángulos iguales en una trama.

_ A partir de una malla triangular puede descubrir la suma de los ángulos

interiores de un triángulo.

_ Puede calcular el área de un triángulo rectángulo a partir de la del

rectángulo.

_ A partir de medidas de ángulos obtiene que el ángulo exterior a un triángulo

es la suma de los no-adyacentes.

_ Dan información basada en propiedades para dibujar la figura.

_ Después de clasificar cuadriláteros en cometas y no-cometas, describe

propiedades de las cometas.

_ Resuelve problemas sencillos identificando figuras en combinación con otras

_ Identifica propiedades en paralelogramos pero “no identifica el conjunto de

propiedades necesarias para definirlo”.

_ Después de ver propiedades de una familia de cuadriláteros “no justifica que

todos los cuadrados son cometas”.

_ Después de descubrir en una malla triangular que los ángulos de un triángulo

suman 180° “no generaliza el resultado para todo triángulo rectángulo”.

NIVEL 2: ORDENACIÓN O CLASIFICACIÓN

_ Selecciona propiedades que caracterizan una serie de formas y prueba,

mediante dibujos o construcciones, que son suficientes.

_ Formula una definición para una cometa y la usa para explicar qué es cometa

y qué no.

_ Contesta razonadamente a preguntas como: ¿un rectángulo es un

paralelogramo?

_ Lo mismo con cometas y cuadrados.

_ Deduce que los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360° a partir de

dividirlo en dos triángulos.

_ Justifica la igualdad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.

_ Reconoce el papel de las explicaciones lógicas o argumentos deductivos en

la justificación de hechos



_ No comprende el significado de la deducción en un sentido axiomático (no ve

la necesidad de las definiciones y supuestos básicos).

_ No distingue formalmente entre una afirmación y su contraria.

_ No establece relaciones entre redes de teoremas.

NIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMAL

_ Identifica las propiedades suficientes para definir un paralelogramo.

_ Prueba de forma rigurosa que la suma de los ángulos de un triángulo es

180°.

_ Demuestra que si un triángulo es isósceles los ángulos de la base son iguales

y viceversa.

_ Demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un

paralelogramo se cortan en su punto medio y compara los dos métodos.

_ Compara demostraciones alternativas del teorema de Pitágoras.

_ Demuestra teoremas relativos a rectas paralelas cortadas por una secante.

_ No examina la independencia, consecuencias o validez de un conjunto de

axiomas.

Nota: como se trata de estudiantes no universitarios este nivel y el siguiente

no están tratados en profundidad

NIVEL 4: RIGOR

Este nivel está fuera del estudio. En este nivel un alumno/a:

_ Establece teoremas en diferentes sistemas axiomáticos.

_ Compara sistemas axiomáticos (Geometría euclidiana / Geometría no-

euclidiana).

_ Establece la consistencia de un sistema de axiomas, la independencia de un

axioma o la equivalencia de distintos conjuntos de axiomas.

_ Inventa métodos generalizables para resolver diferentes clases de

problemas.

7. Evaluación en el modelo de Van Hiele

La evaluación es una de las claves de este modelo ya que la asignación de

niveles, el punto de partida para la didáctica, el seguimiento del avance en las

fases, etc debe hacerse con una evaluación adecuada.

Como ya señalamos anteriormente el test-entrevista es la herramienta que se

considera más útil para realizarla y, para ello se deben tener en cuenta algunas

ideas previas, así apuntamos que...

1. El nivel de razonamiento de los alumnos depende del área de las

Matemáticas que se trate.



2. Se debe evaluar cómo los alumnos contestan y el por qué de sus respuestas,

más que lo que no contestan o contestan bien o mal.

3. En las preguntas no está el nivel de los alumnos/as sino que está en sus

respuestas.

4. En unos contenidos se puede estar en un nivel y, en otros diferentes, en

nivel distinto.

5. Cuando se encuentran en el paso de un nivel a otro puede resultar difícil

determinar la situación real en que se encuentran.

8. Algunos ejemplos de preguntas

Uno de los tests más conocidos es el de Salman Usinskin que se

compone de 25 preguntas, en principio, asociadas a los cinco niveles con igual

número de preguntas. Vamos a elegir una pregunta por nivel y luego

completaremos con algunas preguntas de un test propio que estoy actualmente

diseñando. En el test de Usinskin se respetan los números originales de las

preguntas.

4° ¿Cuáles de las siguientes figuras son cuadrados?

A. Ninguno es un cuadrado.

B. Sólo G.

C. Sólo F y G.

D. Sólo I y G.

E. Todos son cuadrados.

8° Un rombo es una figura de cuatro lados de igual longitud (tres ejemplos se

muestran a la derecha). ¿Cuál de las respuestas A-D no es cierta en un rombo?

A. Las dos diagonales tienen la misma longitud.

B. Cada diagonal es bisectriz de dos ángulos del rombo.

C. Las dos diagonales son perpendiculares.

D. Los ángulos opuestos tienen la misma medida.

E. Todas las respuestas anteriores son ciertas en un rombo.

12° He aquí dos afirmaciones:

1a El triángulo “ABC” tiene tres lados iguales.

2a En el triángulo “ABC”, los ángulos B y C tienen la misma medida.

¿Cuál es la respuesta correcta?

A. Las afirmaciones 1a y 2a no pueden ser ciertas a la vez.

B. Si la 1a es cierta, entonces la 2a es cierta.

C. Si la 2a es cierta, entonces la 1a es cierta.

D. Si la 1a es falsa, entonces la 2a es falsa.



D. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta.

18° He aquí dos afirmaciones:

I: Si una figura es un rectángulo, entonces cada diagonal bisecta a la otra.

II: Si las diagonales de una figura se bisectan, la figura es un rectángulo

¿Cuál, entre las siguientes respuestas, es correcta?

A. Para probar que “I” es cierto, basta probar que “II” es cierto.

B. Para probar que “II” es cierto, basta probar que “I” es cierto.

C. Para probar que “II” es cierto, es suficiente elegir un rectángulo, cuyas

diagonales se bisectan una a la otra.

D. Para probar que “II” es falsa, es suficiente elegir un no-rectángulo, cuyas

diagonales se bisectan una a la otra.

E. Ninguna de las respuestas A-D es correcta.

25° Suponga que ha probado las afirmaciones “I” y “II”:

I.- Si “p”, entonces “q”.

II.- Si “s”, entonces “no q”.

¿Qué afirmación se deduce de las anteriores “I” y “II”?

A. Si “p”, entonces “s”.

B. Si “no p”, entonces “no q”.

C. Si “p ó q”, entonces “s”.

D. Si “s”, entonces “no p”.

E. Si “no s”, entonces “p”.

A continuación figuran un grupo de preguntas propias, concentradas en los tres

primeros niveles pues van dirigidas a alumnado no-universitario ya que éstos

son los niveles en los que pueden estar.

1a.- ¿Cuántos elementos puedes nombrar en la figura de la derecha?

A modo de ejemplo:

_ Puntos.

_ Segmentos rectos.

_ Segmentos curvos.

_ Superficies.

_ Ángulos, etc.

2a.- Señala en la figura todos los polígonos y poliedros que identifiques

3a.- Después de señalar cómo se llama la figura de abajo, responde a: ¿qué

es...

A. C

B. O



C. AB

D. OC

E. AC ó BC?

4a.- ¿Cuál de las siguientes respuestas, referidas a la figura de la derecha, no

es correcta?

A. Es un paralelogramo.

B. Es un rombo.

C. Es un cuadrado.

D. Es un cuadrilátero.

E. No puede ser todo lo anterior a la vez.

5a.- Si disponemos de escuadra y cartabón, para trazar paralelas y

perpendiculares ¿podemos desde el centro de un hexágono regular trazar

ángulos de 30o,

45°,60°, 90°, 120°, 135° 150° y 180°?

A. Sólo los múltiplos de 60°.

B. Sí, en todos los casos.

C. Todos excepto 45° y 135°.

D. No porque necesitamos además un compás.

E. Si no lo inscribimos en una circunferencia será imposible.

6a.- La figura muestra una sección hexagonal de un cubo ¿qué respuesta de las

siguientes es falsa?

a. Los triángulos sobre las caras son isósceles.

b. Cada cara del cubo contiene un solo lado del hexágono.

c. La figura es imposible. en la realidad se trata de una ilusión falsa.

d. El hexágono es regular.

e. Las dos partes en que se divide el cubo son idénticas.

7a.- Discute la validez de las siguientes afirmaciones: dos rectas en un plano

son paralelas si...

A. Una perpendicular a la primera también lo es a la segunda.

B. No se cortan en ningún punto.

C. Cada una de ellas es paralela a una tercera recta.

D. La distancia entre ellas es siempre constante.

E. Construimos un triángulo con dos vértices fijos en una recta y el tercero lo

movemos por la segunda recta. El área de ese triángulo es siempre constante.

8o.- En una circunferencia elegimos dos puntos “A” y “B” cualesquiera. ¿Cuáles

de las siguientes afirmaciones no son ciertas?



A. Sólo puedo construir un rectángulo inscrito siendo “AB” un lado.

B. Puedo construir infinitos trapecios isósceles inscritos de base “AB”.

C. Puedo construir solamente un trapecio rectángulo inscrito de base “AB”.

D. “AB” puede ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo inscrito.

9a.- Las figuras de abajo se llaman “COMETAS". Señala todas las propiedades

que identifiques y da una definición precisa.

10a.- Según se describe en las imágenes de abajo. ¿Qué es un polígono?



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Lectura N° 10

La Evaluación del Aprendizaje Geométrico Centrada en el Estudiante

Autor: Dr. Sergio García Universidad Nacional Experimental de Guayana

[email protected] en Agenda Académica Volumen 8, Nº 2, Año 2001

Los aportes psicológicos y pedagógicos de finales del siglo XX, especialmente los de la psicología socio-histórica y la pedagogía crítica, llevaron a concebir a la evaluación del aprendizaje como un proceso investigativo centrado en el estudiante, construida y compartida con otros, y asociada a los procesos inteligentes, de pensamiento y de conciencia del estudiante y de otros, y en el marco de las interrelaciones existentes entre el conocimiento y los procesos de aprendizaje.

De estos aportes se desprende que para construir y compartir la evaluación del aprendizaje matemático, en cualquier nivel educativo, se deben considerar: (a) las características físicas, fisiológicas, psicológicas, sociológicas y educacionales del estudiante y la de los condiscípulos, así como sus motivaciones, actitudes e intereses hacia la matemática, igualmente las concepciones y comprensión de otros, la estructura y dinámica de las relaciones psicosociales y de poder presente en el proceso y el contexto sociocultural, político e institucional en el cual está inserta dicha evaluación; (b) el conocimiento matemático que comprende la concepción sociohistórica de cada una de las subáreas de la matemática (álgebra, análisis, geometría, estadística), así como su naturaleza, estructura, parámetros, normas, métodos y aplicaciones derivados de ellas; y (c) la existencia de interrelaciones entre este conocimiento matemático y los procesos inherentes de aprendizaje: procesos cognitivos y metacognitivos del estudiante basados en la comprensión específica de cada subárea de la matemática.

En el presente trabajo se abordan los dos últimos aspectos, referidos específicamente a la geometría; es decir, abordaremos la concepción de la geometría y su estructura, así como los procesos de aprendizaje propios de ella, lo que permitirá proponer algunas orientaciones y recomendaciones para evaluar el aprendizaje



geométrico centrada en el estudiante y definir, luego, las estrategias, métodos y técnicas más adecuadas.

Concepción de la Geometría

La palabra geometría la usa por primera vez el historiador griego Herodotus (500 A. C.), con el significado de “medida de la tierra”, al escribir sobre cómo el pueblo antiguo de Egipto rescataba sus tierras después de las inundaciones del río Nilo; sin embrago, antiguas civilizaciones (babilónica, hindú y china) poseían mucha información sobre esta concepción. Por ejemplo, los babilónicos, del 2.000 al 1.600 A. C. consideraban, de manera intuitiva, a la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro, relación encontrada también en la literatura china; así como conocían el teorema de Pitágoras mucho antes de que este matemático griego naciera.

Por su parte, los egipcios antiguos encontraron, entre otras, la fórmula correcta para calcular el volumen de la pirámide de base cuadrada, pero dichos descubrimientos no fueron considerados por ellos como parte de una ciencia, sino más bien como un grupo de reglas sin ninguna justificación.

Tales de Mileto (600 A. C.), sabio griego, conociendo algunas propiedades de los triángulos congruentes, establece las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante razonamientos lógicos y deductivos. Esta sistematización de la geometría, realizada por Tales de Mileto, fue continuada por Pitágoras (572 A. C.) y sus discípulos por dos siglos más. Pitágoras enseñaba las misteriosas y maravillosas propiedades de los números, con lo cual llegó a calcular, de manera exacta, los radios de los intervalos armónicos de la música occidental que hoy se conoce. Es también conocido que Pitágoras demostró la existencia del número irracional “raíz de dos (2)” a través de la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario. Con la demostración de la irracionalidad de la longitud de este diagonal, Platón (400 A. C.) ilustraba el método de la demostración indirecta (reducción al absurdo).

Euclides (300 A. C.), discípulo de la escuela platónica, produjo el famoso tratado de geometría y teoría de números “Elementos” de trece volúmenes, obra maestra que compiló la experiencia y los logros de sus predecesores y que dominó la enseñanza de la geometría por muchos años. Su método axiomático es el prototipo de todo lo que hoy se conoce como “matemática pura”, pura en el sentido de “pensamiento puro”: no se necesitan experimentos físicos para verificar que las proposiciones son correctas, sólo el razonamiento en las demostraciones deben ser verificadas.

En el Siglo XIX la geometría euclideana tiene sus primeros opositores con Bolyai, Gauss, Lobachevsky y Riemann, quienes plantean la geometría no euclideana (geometría hiperbólica, geometría elíptica, entre otras). Con Riemann se inicia la geometría diferencial y con Hilbert la geometría algebraica.

Estructura del Conocimiento Geométrico

Los procesos de pensamiento geométrico estimulan el aprendizaje práctico que le permite al estudiante relacionar los conocimientos geométricos, establecer categorías y



generalizaciones teóricas modificables en lo particular, para adquirir experiencia en la resolución de los problemas específicos de esta subárea de la matemática.

Ahora bien, tomando en consideración que el conocimiento se puede categorizar en declarativo, procedimental (Ryle, 1949), estratégico (Gagné, 1985) y metacognitivo (Flavell, 1976), hay que identificar estas categorías para la geometría.

El Conocimiento Geométrico Declarativo

El conocimiento declarativo consiste de relaciones semánticas entre conceptos, las cuales no son más que ideas o formas que concibe el entendimiento o pensamiento sobre un objeto en particular, expresado con palabras o símbolos (términos).

Este conocimiento se puede representar en la mente de cuatro maneras: proposiciones, imágenes, ordenaciones lineales (nivel elemental) y esquemas (nivel superior).

Sin embargo, para poder intercambiar estas representaciones debe existir un mínimo de entendimiento mutuo sobre el significado de las palabras y símbolos que se usan en un discurso, lo cual se traduce en un requerimiento de entrada en la medida que se usan consistentemente términos familiares. Al usar un término no familiar, surge el derecho a demandar una definición del mismo, que no puede darse arbitrariamente sino que debe estar sujeta a reglas de razonamiento colectivo.

En este sentido, no se puede definir cada término, ya que éste debe estar definido, a su vez, usando otros términos, y para estos últimos requeriríamos otros más, y así sucesivamente. Si no se dejan algunos términos sin definir, se estaría en una regresión infinita. Por tal razón, a continuación se proponen ciertos «términos geométricos indefinidos», entre otros, para poder, en consecuencia, exponer proposiciones, imágenes, ordenaciones lineales y esquemas.

Términos Geométricos Indefinidos. Punto, plano, línea, recta, estar sobre, estar entre, congruente, punto común, intersección, borde, centro, conjunto, elemento, lado, opuesto, adyacente, consecutivo, longitud, ancho, largo, medida, superficie, figura, metro, centímetro.

Proposiciones e Imágenes Geométricas. Tomando en consideración los términos geométricos indefinidos, antes expuestos, se pueden elaborar, entre otras, las siguientes proposiciones geométricas, las cuales bien pueden ser consideradas como imágenes geométricas debido a su visualización inmediata: línea poligonal, segmento, polígono, diagonal, vértice, ángulo, polígono regular, equilátero, equiángulo, triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, rectángulo, rombo, trapecio, línea cóncava o convexa, triángulo acutángulo, triángulo escaleno, triángulo, obstusángulo, triángulo isósceles, hipotenusa, cateto, base, altura, mediana, mediatriz, bisectriz, ortocentro, incentro, circuncentro, simetría, rotación, paralelo, perpendicular, transversal, paralelogramo, área, figura equivalente, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, circunferencia, cuerda, radio, diámetro, arco, círculo, recta secante, recta tangente,



cuerpo, cara, arista, paralelepípedo, prisma, pirámide, cilindro, cono, esfera, cubo, volumen, proyección, inclinación, pendiente, coseno director, recta.

Esquemas Geométricos. Una mayor elaboración del conocimiento geométrico declarativo se traduce en los siguientes esquemas, entre otros: geometría analítica, trigonometría, curvas trigonométricas, seno,coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente, amplitud, período, frecuencia, ángulo de fase, lugar geométrico, parábola, hipérbola, elipse, sección cónica, excentricidad, foco, centro, vértice de una curva, polo, coordenadas rectangular, polar, esférica y cilíndrica, superficies cuádricas, elipsoide, hiperboloide, paraboloide hiperbólico, paraboloide elíptico, superficies en revolución, geometría euclideana y no euclideana, geometría hiperbólica, geometría esférica, modelos de Poincaré, horociclo, hiperciclo, horosfera, seudoesfera, geometría elíptica, perspectividad, punto antipodal, geometría Riemanniana, variedad riemanniana, geometría diferencial, curvatura geodésica, curvatura gaussiana, variedad diferenciable, geometría simpléctica, sistemas hamiltonianos, foliaciones lagrangianas.

Conocimiento Geométrico Procedimental

El conocimiento geométrico procedimental trata sobre cómo hacer las cosas en geometría, representado por un sistema de producción donde cada producción contiene una condición y una acción. De acuerdo con esta definición existen los siguientes algoritmos geométricos, entre otros: medición, construcción gráfica, construcción volumétrica, localización geométrica, operaciones con ángulos, métodos para construir ecuaciones empíricas, geometría demostrativa o geometría racional o deductiva, traslación y rotación de ejes, transformación de coordenadas, demostración axiomática, principio de superposición, postulados de Euclides, teorema de Pitágoras, teoremas del seno y del coseno, geometría neutral, demostración formal, axiomas de Hilbert, axiomas de congruencia y de continuidad, axiomas de separación.

Por su parte, la resolución de ejercicios y problemas geométricos requiere de la aplicación de los algoritmos mencionados anteriormente y de las proposiciones y teoremas necesarios para su resolución, así como las demostraciones correspondientes. En todo caso, estos procesos se revisten de un razonamiento lógico, deductivo, formal y correcto, y un uso adecuado del discurso geométrico. Conocimiento Geométrico Estratégico

El conocimiento geométrico estratégico surge de la habilidad y destreza de cada individuo para construir gráficamente figuras planas y espaciales, así como sus elementos que las conforman; medirlos y comprender y manipular las relaciones matemáticas existentes entre ellos. De la misma manera, este conocimiento contempla la capacidad para transformar dichas figuras mediante la traslación y rotación de los ejes específicos de acuerdo a las coordenadas de referencia; además de aplicar el razonamiento lógico-deductivo y el proceso axiomático en la construcción de esquemas geométricos y del conocimiento geométrico procedimental.

En este sentido, las diferencias individuales en cuanto a la visualización, graficación, razonamiento y axiomatización, determinan el desempeño académico del estudiante sobre esta subárea de la matemática.



La geometría se caracteriza por ser visual, con un conocimiento declarativo eminentemente gráfico y por desarrollar procesos de demostraciones lógicas, deductivas y axiomatizadas. Con el uso de un lenguaje concreto muy particular, coherente y bien hilvanado, es fundamental desarrollar los siguientes conocimientos estratégicos que pudieran organizar, estructurar y comprender, con mejor pronóstico, el aprendizaje geométrico y, por ende, su evaluación:

*Una observación cuidadosa y permanente, por parte del estudiante, sobre los signos, símbolos y términos que conforman el conocimiento geométrico; una lectura minuciosa del discurso gráfico y escrito para una mayor apreciación e interpretación; y la destreza para dibujar, con lo cual se promueve la visualización del conocimiento declarativo y la precisión en el trazo.

*El empleo preciso del lenguaje geométrico, para lo cual el discurso oral del conocimiento geométrico es imprescindible, porque permite relacionar el sonido con el símbolo geométrico, los fonemas con las sílabas, la palabra con la frase geométrica, y la frase con la oración geométrica. De esta manera, con la cabal comprensión conceptual del lenguaje geométrico, el estudiante podrá entender y construir significativamente conocimientos geométricos declarativos y procedimentales.

*La capacidad creativa para construir gráfica y axiomáticamente conocimiento geométrico, lo cual se logra con el pensamiento visual e imaginario y la concentración, relacionando los nuevos contenidos con los anteriores, seccionando las tareas complejas y esquematizando dicho conocimiento.

*La capacidad recuperativa, con la cual el alumno pueda hilvanar, de manera lógica y deductiva, los conocimientos geométricos construidos gráfica y axiomáticamente, resaltando los conceptos más importantes y los elementos claves, además de desarrollar la capacidad de conectarlos y aplicarlos en la construcción de otros conocimientos geométricos.

*El orden en el material escrito, como definiciones, dibujos, gráficas, teoremas y demostraciones escritos en cuadernos, lo cual es fundamental para organizar el conocimiento geométrico, resaltando las ideas capitales, confeccionado autopreguntas y elaborando resúmenes.

*La habilidad para resolver problemas geométricos involucrados en el contexto de otras disciplinas, aplicando los conocimientos geométricos de manera lógica y precisa.

Como estrategias de procesamiento son importantes:

*La repetición, para lo cual la técnica de preguntas y respuestas es muy útil, así como restablecer y parafrasear el discurso propio del conocimiento geométrico.

*Elaborar conexiones de las ideas principales, organizándolas en estructuras tales como redes y árboles.

*Establecer analogías con el conocimiento de otras ciencias, de tal manera que el conocimiento geométrico sea un vehículo que permita la solución de problemas reales, especialmente aquellos referidos a la ingeniería, la arquitectura, entre otras disciplinas.

Las estrategias de personalización del conocimiento geométrico comprenden: *El pensamiento deductivo y axiomático para entender y comprender el enunciado de problemas y las demostraciones de teoremas geométricos, y poder así identificar la



estrategia de solución en cada uno de ellos que involucre el conocimiento geométrico más adecuado.

*El pensamiento creativo, orientador del trabajo para la solución de problemas arquitectónicos y de ingeniería, aplicando los diferentes métodos y técnicas de la geometría que mejor se adapten a las diferencias individuales.

Conocimiento Geométrico Metacognitivo

Para construir y desarrollar el conocimiento geométrico metacognitivo es fundamental tomar en consideración el metalenguaje y la metaatención. El primero se refiere al aprendizaje de la fonología, la sintaxis y la semántica que caracterizan al conocimiento geométrico, dado el uso de un lenguaje muy particular; y la segunda, a una estrategia que tome en consideración la actitud, motivación, interés y esfuerzo del estudiante durante el desarrollo de tareas y estrategias de aprendizaje y de evaluación.

De igual manera, para construir y desarrollar este conocimiento es fundamental considerar el razonamiento lógico y deductivo, con el cual el alumno está claramente consciente de la precisión y rigurosidad axiomática en la secuencia de ideas geométricas, demostraciones y procesos de resolución de problemas.

Las estrategias metacognitivas que favorecen el aprendizaje geométrico están dirigidas hacia:

*La conciencia, con la intencionalidad de referir la geometría a contextos reales para la resolución de problemas.

*El control, con el cual el pensamiento lógico y deductivo conduce a seleccionar adecuadamente las metas u objetivos, toma de decisiones y ejecución de planes tanto para resolver problemas como demostrar teoremas geométricos; así como la coordinación en la dirección de los procesos geométricos inherentes en los mismos.

*La autopoiesis (Mayor y otros 1995), la cual involucra una recursividad para insertar elementos

o procesos de la geometría durante la resolución de ejercicios y problemas reales y en demostraciones de teoremas; y una retroinformación que permita la auto-organización secuencial y rigurosa del aprendizaje geométrico. *La cognición, con representaciones gráficas o dibujos, y procesos axiomáticos para desarrollar el razonamiento lógico y deductivo; además de la regulación y ordenamiento de las ideas hilvanadas propias de la geometría, la adaptación de las mismas al contexto de la ingeniería y la arquitectura, entre otras ciencia, la flexibilidad para aceptar alternativas de interacción entre la geometría y las demandas de los problemas, y la práctica permanente del ejercicio y la demostración.

*El sujeto, que tome en cuenta los conocimientos geométricos previos del alumno, sus habilidades, actitudes y motivación; las cuales se diferencian de otros, debido a procesos previos del aprendizaje geométrico y la adaptabilidad a los procesos de demostración y de resolución de ejercicios y problemas concretos.

*La actividad, donde los ejercicios y problemas así como las demostraciones, se adecúen a los conocimientos geométricos previos y las estrategias cognitivas y de aprendizaje permitan especificar las metas en las soluciones y demostraciones a



través de la representación gráfica, la axiomatización y la selección apropiada de reglas propias de la geometría.

*El contexto, donde sea natural el desarrollo del conocimiento geométrico en la solución de problemas de ingeniería y arquitectura, y situar así su aprendizaje de manera articulada, con relevancia y pertinencia.

*El recuerdo, con las siguientes estrategias a desarrollar: (a) de elaboración, categorizando elementos geométricos y estableciendo relaciones lógicas entre ellos (b) de recuperación, a través de la representación gráfica y patrones de demostración, y (c) de control, con evocaciones derivadas de acontecimientos contextualizados.

Procesos de Aprendizaje Geométrico

El aprendizaje geométrico se desarrolla a través de una serie de procesos cognitivos basados en la comprensión del conocimiento. El estudiante aprende cuando manipula y construye el conocimiento para sí mismo.

El aprendizaje geométrico es un proceso socialmente mediado, en el cual el alumno debe establecer conexiones entre el conocimiento nuevo y los ya existentes en su estructura mental, facilitadas por la mediación de profesores, padres o representantes y compañeros de estudio.

Así mismo, el aprendizaje geométrico es situado, ocurriendo específicamente en la geometría, con propósitos particulares, extendiéndolo con incertidumbre en ambientes no familiares y sobre un conocimiento geométrico distribuido, el cual no reside exclusivamente en la mente del estudiante, sino que emerge de su propia perspectiva de la geometría, de la de los otros, de la información derivada de ellos y de los recursos técnicos disponibles (Gardner, 1999).

Un rasgo fundamental del aprendizaje geométrico es su carácter activo y la regulación de factores complementarios como la motivación, las creencias, el conocimiento geométrico previo, las interacciones, la nueva información, las habilidades y estrategias.

Este carácter activo tiene implicaciones en el estudiante como la formulación de metas, la organización del conocimiento geométrico, la construcción de significado y la utilización de estrategias.

Para identificar los procesos involucrados en el acto del aprendizaje geométrico, existen varias propuestas de diversos autores, quienes no se han puesto de acuerdo dada la complejidad del proceso. En este sentido, Beltrán (1996) propone los siguientes procesos que, según su juicio, representan los sucesos internos presentes en el acto del aprendizaje: sensibilización, atención, adquisición, personalización, recuperación y transferencia. La evaluación también la concibe Beltrán dentro del proceso de aprendizaje.



Sensibilización

Con la sensibilización se inicia el proceso del aprendizaje geométrico, en el cual el estudiante siente o percibe con los sentidos la nueva información. El mismo está conformado por tres subprocesos: la motivación, el afecto y las actitudes.

La Motivación. Con la cual el estudiante, al inicio del proceso de aprendizaje, manifiesta ciertas expectativas con el fin de producir sentimientos positivos hacia el proceso. Brophy y Everton (1976) describen la motivación del alumno para aprender como:

... la tendencia de un estudiante a encontrar actividades académicas significativas y valiosas y a tratar de derivar de éstas los beneficios académicos que se pretenden. La motivación para aprender puede construirse en forma de una cualidad general como a manera de un estado específico en una situación (p. 205).

La motivación consiste en planificar, concentrarse, tomar conciencia de lo que se pretende aprender y cómo aprenderlo, curiosear, percibir con claridad, entre otros elementos; lo que requiere un esfuerzo mental por parte del estudiante. En geometría es usual que para lograr la motivación inicial, conducente a su aprendizaje, se sugieren establecer relaciones concretas entre el ambiente y elementos geométricos, además de hacer gráficas, dibujos o modelos de representación visual o esquemática a partir de los elementos claves que se encuentran en la información recibida.

Las características óptimas de la motivación para aprender geometría se fundamentarían en las necesidades, intereses, curiosidad y deleite del estudiante sobre la misma; y en la satisfacción al superar, de manera controlada, desafíos geométricos.

En este sentido, el alumno, al motivarse para aprender geometría con placer, tiende a trabajar más fuerte, ser persistente, estar estimulado para enfrentar obstáculos y a aprender sin necesidad de presiones; lo que sugiere al profesor esforzarse en estimular fundamentalmente los factores intrínsecos del estudiante en función de desarrollar un proceso dialéctico entre la diversión y el esfuerzo; por ejemplo, la manipulación de diversos sólidos geométricos despierta una alta motivación en los estudiantes para visualizar y entender las superficies en revolución.

El Afecto. En cuanto al afecto, a través de la realización de actividades mediante la interacción en grupos de estudiantes y con el profesor, se disminuye la ansiedad de cada estudiante, así como evitar que estudiantes ansiosos sean obligados a exponer sus ideas frente a una clase numerosa. El profesor debe orientar el aprendizaje geométrico en función de una planificación perfectamente conocida por los estudiantes, en donde las instrucciones y reglas estén bien claras. Por su parte, para evaluar el aprendizaje geométrico se deben proponer diversas modalidades que permitan a cada estudiante desarrollar sus habilidades y destrezas de acuerdo a su estilo cognitivo estratégico, lo que se traduce en un mínimo de ansiedad por la posibilidad que ofrece el profesor, de acuerdo a las diferencias individuales de cada uno de sus estudiantes, para que cada cual se adapte de manera natural al proceso de evaluación del aprendizaje geométrico.



Las Actitudes. Sean cognitivas, afectivas o conductuales, pueden facilitar o no el proceso de aprendizaje geométrico si ellas son positivas o no, respectivamente.

El aspecto cognitivo pertenece a las ideas o proposiciones que expresan la relación que hay entre las situaciones y los objetos de las actitudes, por ejemplo, en geometría es usual oír a los estudiantes, después de leer el enunciado de un problema altamente elaborado de la geometría plana, la siguiente pregunta “¿por dónde empiezo?”.

El aspecto afectivo se relaciona con la emoción o sentimiento que acompaña a la idea; por ejemplo, cuando el alumno manifiesta su gusto o disgusto por la geometría, fastidio o diversión, aceptación o rechazo.

El aspecto conductual pertenece a la predisposición o presteza para la acción; es decir, refiere al comportamiento social del alumno, el cual está determinado en gran medida por la situación que enfrenta. Un ejemplo es la actitud del alumno cuando emprende la demostración de un teorema geométrico donde hay que usar un proceso de su agrado o no.

Atención

Al sensibilizarse el estudiante al inicio del proceso de aprendizaje geométrico, se emprende la atención sobre la información recibida, para lo cual se utilizan, de alguna manera, «filtros» que pretenden seleccionar lo que le interesa procesar al estudiante, además de la calidad y la relevancia como llega. La sensibilización se aplica a un determinado aspecto de la realidad, prescindiendo de los demás, como mecanismo para activar la atención y el pensamiento consciente sobre la información seleccionada.

Si el estudiante puede aprender con sólo la observación sostenida sobre el conocimiento geométrico o sobre el profesor, otros estudiantes, padres o hermanos mayores, él necesita fundamentalmente concentrar su atención en la acción de las personas además de los objetos producidos por ellos. Un ejemplo ilustrativo es el siguiente: una maestra dibuja en la pizarra un triángulo isósceles y uno escaleno y pregunta seguidamente a los niños ¿existe otro tipo de triángulo?; los niños responden «el equilátero». De esta manera, los alumnos aprenden a clasificar los triángulos en función de la medida de los lados, observando a la maestra y la pizarra, prestando atención a los triángulos y a la pregunta.

El profesor debe, en consecuencia, incentivar el desarrollo de la atención alentando a los alumnos a explorar, buscar desafíos e invertir esfuerzos. De lo contrario, los alumnos sólo aprenderán habilidades de pensamiento geométrico de manera automática, sin posibilidad de transferirlas a situaciones nuevas en el mismo contexto.

Adquisición

Para la adquisición de aprendizaje geométrico se destacan tres subprocesos: comprensión, retención y transformación.

Comprensión: La selección o codificación selectiva permite al alumno incorporar material informativo de interés, dándole sentido e interpretación significativa al material para su comprensión, por medio de lo cual la información nueva se estructura y organiza coherentemente y conectándose de manera individual con la información



previa. Comprender es, pues, generar un significado para el conocimiento que se va a construir. Según Kinstch y Van Dijk (1983), la comprensión implica la construcción de una macroestructura, sintetizando el contenido nuevo y el conocimiento ya existente.

Por su parte, Gardner (1993) define la comprensión como:

La capacidad de adquirir conocimientos, aptitudes y conceptos y aplicarlos en forma adecuada en nuevas situaciones. Si alguien sólo repite cuando se le enseña, no sabemos si el individuo comprende. Si una persona aplica el conocimiento en forma promiscua, sin que tenga importancia si es apropiado, entonces yo no diría que comprende... Pero si la persona sabe dónde aplicar y dónde no aplicar los conocimientos y puede hacerlo en situaciones nuevas, entonces comprende (p. 2).

Por su parte, los teóricos de la psicología sociohistórica (Vygotsky, Luria, Leóntiev, Rubinshtéin, Galperin, Talízina y otros) señalan que la etapa de comprensión de los conocimientos no puede verse separada de la etapa de la comprensión de la actividad. Talízina (1988) agrega:

Los conocimientos como imágenes de los objetos, fenómenos, acciones, etc., del mundo material nunca existen en la cabeza del hombre fuera de alguna actividad, fuera de algunas acciones... La calidad de los conocimientos se determina por el carácter de la actividad que se utiliza para su asimilación: puede ser tanto adecuada a estos conocimientos como no adecuada a ellos... Nunca se pueden dar los conocimientos en forma ya preparada: siempre se asimilan a través de su inclusión en una u otra actividad... Es inútil esperar, por ejemplo, que se forme un pensamiento matemático para empezar a enseñar las matemáticas, ya que sólo la enseñanza de las matemáticas conduce al desarrollo del pensamiento matemático. (pp. 134-135).

En este sentido, para desarrollar la comprensión geométrica, en muchos aspectos es fundamental visualizar los conocimientos de manera práctica y concreta. Por ejemplo, no basta, a partir de ejercicios planteados en los libros, calcular áreas, volúmenes, ángulos y gradientes, entre otros conocimientos, para su plena comprensión si no se considera su relación con el mundo real. Específicamente, una medida de volumen perfectamente calculable, debe estar relacionada necesariamente con la capacidad real de un objeto tridimensional, para su cabal entendimiento.

Para facilitar la comprensión se establecen tres estrategias básicas: la selección; la organización; y la elaboración.

*La selección (codificación selectiva en términos de Sternberg, 1986) separa el material más relevante, acercando el alumno a la comprensión de su significado. Si no logra esta separación el alumno podría estar aprendiendo mecánicamente y de manera reproductiva. Hamilton (1985) afirma que en aprendizajes de principios y conceptos, las metas de aprendizaje como estrategia de selección relevante, constituidas éstas por menciones generales de temas que hay que aprender, producen efectos altamente consistentes.

Las técnicas más utilizadas, para activar y desarrollar la estrategia de selección, son el subrayado, el resumen, el esquema y la extracción de la idea principal.



*La estrategia de organización permite el establecimiento coherente de conexiones entre los contenidos informativos para su estructuración interna. Una forma de organizar la información geométrica es, por ejemplo, clasificar los cuadriláteros en trapecios y paralelogramos, y estos últimos en rectángulos y rombos (el cuadrado es un rectángulo en forma de rombo) de esta manera, el alumno probablemente tenga una visión más clara de estos polígonos y, por ende, una mejor comprensión del concepto cuadrilátero.

Otra forma de organizar la información es semánticamente, por ejemplo, categorizar una lista de elementos geométricos dispares como recta, cubo, curva, tetraedro, circunferencia, cilindro, etc. Agrupándolos como recta, curva, circunferencia, por una parte; y cubo, tetraedro, cilindro, por la otra, se facilita el recuerdo al comprender el tipo de categorización utilizada.

Las técnicas más usadas en la actualidad para organizar la información son: la red semántica (Danserau, 1978), el análisis de contenido estructural (Thondike, 1977; Meyer, 1975; Santa, 1977; Bloom, 1956), técnicas espaciales (Reigeluth y Stein, 1983; Armbruster y otros, 1987), árboles organizados (Naveh-Benjamin y Mc Keachi, 1986), mapas semánticos (Heimlich y Pittelman, 1990), mapas conceptuales y V de Gowin (Novak y Gowin, 1984), y el conocimiento como diseño (Perkins, 1987).

*La elaboración, como una forma de ensayo, establece conexiones externas entre el conocimiento recién construido y el conocimiento existente, permitiendo así la construcción de proposiciones, imágenes y esquemas (conocimiento declarativo) Es decir, se construye una comprensión de la nueva información con el objeto de modificar los conocimientos existentes en el proceso.

La estrategia de elaboración se aplica eficientemente en el aprendizaje por pares asociados, por ejemplo, relacionar el cubo con un dado, el cilindro con un tubo, el tetraedro con una pirámide, lo cual permite recuperar con mayor facilidad la información elaborada con cierta anterioridad.

Las técnicas de elaboración mejor conocidas son la interrogación, el uso de metáforas y analogías y los procedimientos mnemotécnicos.

La interrogación, a diferencia de la instrucción, proporciona un medio de aprendizaje con ayuda que es distinto y valioso. La interrogación pide explícitamente una respuesta lingüística y cognitiva: provoca creaciones de parte del estudiante. Sin embargo, no todas las preguntas ayudan al aprendizaje, se deben diferenciar las que ayudan de las que meramente evalúan. La pregunta de ayuda se hace para producir una operación mental que el estudiante no puede o no quiere producir solo; por el contrario, la pregunta de evaluación se hace para averiguar el nivel de capacidad del alumno para desempeñarse sin ayuda.

Las metáforas y las analogías, por su parte, permiten transferir el conocimiento previo a otro tema. Las metáforas escogidas adecuadamente, que sustituyen la explicación literal, ayudan al procesamiento intelectual conllevando más significados cognitivos y afectivos. Un ejemplo referido al conocimiento geométrico declarativo es: «obtener una sección cónica es como picar un lonja de queso en forma de cono y



observar el borde» y uno referido al conocimiento geométrico procedimental es «demostrar un teorema geométrico es como coser un dibujo sobre una tela».

Los procedimientos mnemotécnicos se refieren a: (a) frases rítmicas o en rima, por ejemplo laclasificación de los poliedros: «tetraedro es Pedro, cubo es un tubo», etc.; (b) objetos ubicados en un espacio determinado: «el tetraedro encima de la mesa, el cubo bajo la cama», etc.; (c) enrollados de conceptos: «el tetraedro dentro del cubo, el cubo dentro del octaedro», etc.; (d) historias: «el tetraedro se enamoró del cubo y el octaedro se puso celoso», etc.; (e) las primeras letras: «t, c y o se asocian con tetraedro, cubo y octaedro»; (f) el método keyword: «en la palabra tetraedro identificar y extraer las letras «trae» y asociarlo con la acción de traer»; (g) el método yodai: «el cubo es un cuarto sin ventanas, el tetraedro una pirámide», etc.; (h) las imágenes: «ejemplos de tetraedros se encuentran cerca de El Cairo en Egipto»; (i) los organizadores previos (Ausubel, 1960); y (j) la activación de esquemas o puentes entre proposiciones: «el tetraedro tiene menos caras que el cubo».

Retención. Como subproceso de la adquisición, la retención permite mantener la información de manera consciente, en la memoria a corto plazo, entendida comúnmente ésta como la memoria de trabajo que mantiene una cantidad limitada de información durante un período breve de tiempo.

La retención para alcanzar una alta activación de memoria a corto plazo se puede lograr a través varias estrategias, las cuales según Meyer (1975), se pueden identificar en seis clases: (a) el repaso verbal de mensajes, que mantiene el material, palabra por palabra, en un circuito permanente en la memoria (por ejemplo, repetir en la mente la clasificación de los triángulos); (b) el repaso sustancial de mensajes, que implica la repetición de la esencia de un mensaje contenido en una proposición (por ejemplo, el que un alumno repita el enunciado del teorema de Pitágoras con sus propias palabras); (c) el repaso verbal de palabras de contenido, con el cual se destacan palabras de un texto para su retención (por ejemplo, es usual que todo artículo de investigación para revistas especializadas se inicie con un resumen, pero hay ocasiones en que seguidamente aparece el resumen de las palabras claves extraídas del mismo, con el propósito de retener en el lector la esencia del artículo); (d) el repaso sustancial de palabras de contenido, el cual consiste en repetir palabras de un texto en otro contexto o pasaje entrante nuevo (por ejemplo, «el volumen de un cilindro semiabierto (cualquier vaso es un cilindro semiabierto) se calcula...»); (e) el repaso detallado de mensajes, es decir repetir el mensaje de una proposición con mayor uso de detalle

(por ejemplo, «enunciar el teorema del coseno: c2

= a2 + b

2 – 2.a.b.Cos a», y

posteriormente repetir lo mismo pero en forma detallada «la medida, al cuadrado, del lado de un triángulo es igual a ...»); y (f) la referencia implícita, con la cual se repiten losatributos de un concepto al ser aplicado en un contexto (por ejemplo, «un triángulo isósceles es aquel que consiste de dos lados con igual medida» y posteriormente argumentar «los postes de un columpio



tienen la misma medida, y asemejan dos lados que con el suelo conforman un triángulo isósceles»).

Transformación. Por su parte, la transformación explica la evolución del conocimiento al sufrir diversas modificaciones al transcurrir el tiempo y de acuerdo a los nuevos actos de aprendizaje que enfrenta el estudiante. Piaget llama acomodación a este proceso de transformación. En otras palabras, la transformación ocurre cuando un alumno modifica esquemas ampliando los existentes para responder a una nueva situación. Por ejemplo, el esquema construido por un alumno para reconocer los triángulos se transforma para identificar triángulos equiláteros.

Marzano (1991) ha identificado dos grupos de actividades en esta modificación de esquemas: macroprocesos y microprocesos de transformación, que pudieran representar técnicas para mantener el conocimiento en la memoria.

Entre los macroprocesos están: (a) la toma de decisiones, como conocimiento declarativo reestructurado (selección de un teorema geométrico de integración de dos semejantes, aparentemente); (b) la solución de problemas, como conocimiento procedimental reestructurado (formas creativas de resolver un mismo problema geométrico); (c) la indagación científica, como conocimiento declarativo reestructurado en forma de nuevos conceptos y principios (deducir las ecuaciones básicas de las secciones cónicas utilizando procedimientos geométricos, también se puede hacer utilizando el álgebra vectorial) o como conocimiento procedimental en forma de heurísticos o algoritmos para metas relacionadas con un mismo evento (utilizar varios métodos para resolver el mismo problema geométrico); y (d) la composición, producción de conocimiento declarativo (un nuevo teorema geométrico) o procedimental (demostrar del quinto postulado de Euclides o postulado de las paralelas (300 A.C.) es equivalente a demostrar el postulado paralelo de Hilbert (siglo XIX)).

Algunos microprocesos son: (a) la categorización (comparar o clasificar rectángulos); (b) la inferencia (plantear hipótesis geométricas), (c) la verificación (detectar errores geométricos), y (d) la ampliación (extrapolar medidas geométricas).

Personalización

En este proceso el estudiante asume la plena responsabilidad del aprendizaje geométrico, asegurando su validez y pertinencia de los conocimientos construidos. La personalización está relacionada con las disposiciones que favorecen la activación del pensamiento crítico, creativo y reflexivo; dando lugar, éste último aunado a la planificación, regulación y evaluación del proceso de aprendizaje, a la metacognición como control consciente de la construcción de dichos conocimientos.

Pensamiento Crítico. Hace referencia a un permanente diálogo intrínseco que elabora, organiza y desarrolla competencias, prácticas y técnicas a través de procesos antagónicos. El pensamiento geométrico crítico navega entre las deducciones y las inducciones, entre el objetivismo y el subjetivismo, entre la lógica y la intuición, entre lo abstracto y lo concreto; para así establecer competencias y prácticas específicas.

Pensamiento Creativo. Como una de las más altas funciones cognitivas, el pensamiento creativo es individual o grupal con una connotación de potencia



organizadora sintética hacia la concepción de nuevas ideas, modelos y teorías modificando los principios y reglas que las gobiernan. La historia de la geometría es prolífica en ejemplos, como la creación de un lenguaje muy particular, el simbolismo, notación y graficación, las figuras planas y los sólidos, los teoremas y sus demostraciones geométricos, los famosos problemas griegos (la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la colección palatina) entre otros, y los problemas recreativos; configurando, esta área del conocimiento, una de las creaciones más notable y significativa del hombre.

El pensamiento creativo presenta diferentes modelos: inspirativo, intencional, accidental, sobresaliente, para lo cual existen varias técnicas para desarrollarlos tales como la interacción entre alumnos, y entre alumno y profesor, la lluvia de ideas, el juego constructivo, la fantasía y el estímulo a la invención, la divergencia y al desacuerdo; entre otras.

Pensamiento Reflexivo o Metacognitivo. El pensamiento reflexivo o metacognitivo, se entiende como la cognición sobre la cognición, que supone dos componentes básicos: la conciencia y el control; sin embargo, Mayor y otros (1995) incorporan un tercer componente a través del cual la actividad metacognitiva lleva a cabo la articulación entre el cierre y la apertura, y que denominaron autopoiesis, un proceso donde la metacognición se construye a si misma a través de la reflexión dialéctica, recursiva y retroalimentativa.

Referido al aprendizaje geométrico, la metacognición se diversifica desde la metageometría al metalenguaje y la metacomunicación, pasando por la metarrepresentación, la metaatención, la metamemoria, etc.; lo que conduciría a plantear la necesidad de que el alumno aprenda a aprender geometría y aprenda a pensar geométricamente para lograr la reflexividad, la autoconciencia y el autocontrol sobre esta subárea de la matemática.

Para aprender a aprender geometría y aprender a pensar geométricamente existen diversas estrategias metacognitivas tales como la planificación (identificar la situación problemática, por ejemplo elaborar un dibujo ilustrativo de un problema geométrico real planteado verbalmente; autopreguntas secuenciales, por ejemplo repetir instrucciones para hacer explícitas las relaciones geométricas inherentes en el problema anterior) la regulación (mantener la atención, por ejemplo plantearse preguntas y respuestas sobre el problema geométrico para la retroalimentación constante; expresar reglas, por ejemplo solicitar al alumno que se detenga periódicamente y vea secuencialmente la tarea geométrica con miras a su solución y la evaluación (identificar errores cometidos, por ejemplo verificar los cálculos geométricos); y el autorrefuerzo, por ejemplo evaluar los resultados obtenidos en función de lograr una solución lógica, pertinente y coherente con el problema real planteado inicialmente.

Recuperación

Para recuperar la información en el pensamiento consciente, previamente organizada y categorizada o elaborada, se evocan las categorías aprendidas que funcionan como criterios organizativos utilizados en su oportunidad. En otras palabras, en la medida que la información es comprendida, a través de su apropiada selección,



organización y elaboración, en la misma medida ella es recuperable y colocada en la conciencia.

El proceso de recuperación presenta dos momentos: examinar los conocimientos geométricos construidos y retenidos en la memoria para recuperar la información deseada y decidir cual es la aceptable para realizar la tarea o la acción requerida.

La búsqueda en la memoria comienza con la activación selectiva de claves semánticas utilizadas en el proceso de elaboración; por ejemplo, recordar la clasificación de los triángulos puede ser referencia para recordar lo que caracteriza a un triángulo.

Para esta recuperación selectiva existen dos estrategias, según Flammer y Luthi (1988): (a) la de la huella, con la cual el individuo evoca claves siguiendo serialmente un patrón de referencia, por ejemplo para recordar la fórmula del área de una superficie en particular, un alumno recurre a las letras del abecedario ordenadamente; y (b) la estrategia de elección, que no es más que evocar claves ajustadas a un criterio; en el ejemplo anterior, a otro alumno lo primero que recuerda es la siguiente fórmula A = b.h/ 2 reconociendo que es la que corresponde al área de un triángulo, pero que no es la que se le pide, y así continúa.

Por su parte, el proceso de decisión permite al individuo evaluar la información recuperada en función de su utilidad para resolver una situación en particular; lo que ocurre justamente en el último ejemplo con el alumno que va descartando fórmulas de áreas.

Transferencia

El proceso de «transferencia» se refiere a la generalización que permite responder no sólo a la información original que se aprende sino a otras informaciones semejantes y cónsonas con dicha información.

Según Gagné (1965), la transferencia es vertical o lateral. En el primer caso, el alumno es capaz de aprender resultados semejantes pero de mayor complejidad, las habilidades adquiridas en una situación se transfieren a otra más compleja, usualmente en la misma área del conocimiento; por ejemplo, calcular las medidas de los lados de un rectángulo y calcular las mismas medidas para conocer las dimensiones de una cancha de basketbol. La transferencia lateral la concibe Gagné como la capacidad del alumno de ejecutar una tarea diferente, pero semejante y del mismo nivel de complejidad que la ya aprendida; por ejemplo, resolver un ejercicio geométrico abstracto y después resolver un problema parecido para resolver un problema real.

Sin embargo, hay que acotar que los alumnos con frecuencia no transfieren el conocimiento geométrico a nuevas situaciones ni utilizan las estrategias aprendidas (Thomas y Rowher, 1986); así como tampoco aplican el conocimiento geométrico aprendido en la escuela a situaciones de la vida real (Perkins, 1987). En todo caso, la posible transferencia del conocimiento geométrico depende del proceso de recuperación, el cual es interpretado por el alumno de acuerdo a un sistema de



categorización para percibir la nueva situación que está en constante evolución en lo individual como en lo cultural.

Además, las razones que pudieran impedir la transferencia serían de carácter cognitivo (dificultades de recuperación, aplicación de estrategias inadecuadas); motivacional (baja autoestima, actitud al fracaso inevitable) o personal (incorrecta elaboración de claves, superficialidad temática). Por lo que las estrategias para enseñar la transferencia estarían ubicadas fundamentalmente en el autoconcepto y el autocontrol.

La Evaluación del Aprendizaje Geométrico

El estudiante, una vez comprenda la concepción de la geometría y su estructura, así como los procesos de aprendizaje propios de ella, emprenderá un proceso metacognitivo, asumiendo las estrategias más apropiadas a su estilo cognitivo, para evaluar el aprendizaje geométrico y definir, luego, las estrategias, métodos y técnicas más adecuadas.

En este sentido, el profesor debe mediar entre el aprendizaje geométrico de cada estudiante y su evaluación, orientándolo a escoger su propia estrategia, método y técnica, para lo cual pudiera recurrir al siguiente cuadro.

El procedimiento es sencillo, el profesor muestra una gama variada de posibilidades e induce al estudiante a rellenar sin exhaustividad el cuadro, cruzando el tipo específico de conocimiento geométrico y el aprendizaje correspondiente, seleccionando aquella estrategia, método y técnica que sea de su agrado y se adapte a su experiencia de evaluación. Conocimiento Geométrico

Conocimiento Declarativo

Conocimiento Procedimental

Conocimiento Estratégico

Conocimiento Metacognitivo

Sensibilización

Atención

Adquisición

Personalización

Recuperación

Transferencia

Las estrategias, métodos y técnicas para evaluar el aprendizaje geométrico

variarían de acuerdo al proceso de aprendizaje inherente.

Evaluación de la Sensibilización Geométrica

Para la sensibilización o expectativa hacia la geometría, existen las siguientes estrategias, métodos y técnicas de evaluación, entre otras: auto-observar la



curiosidad, el entusiasmo y la participación activa a través instrumentos de autocontrol, valorando el autoaprendizaje, el disfrute por la adquisición del conocimiento geométrico y la responsabilidad.

De igual manera, el estudiante debe evaluar la creatividad y las actitudes cognitivas, afectivas y conductuales a través de la auto-observación, valorando, esta vez, los aciertos y las habilidades.

El estudiante, en esta fase del aprendizaje geométrico, se pudiera apoyar en grabaciones de video o audio; así como en la opinión de otros, manifestada verbalmente o por escrito.

Evaluación de la Atención Geométrica

Para la atención, son fundamentales, en las expectativas manifiestas, el conocimiento sobre la tarea y la concentración, para lo cual el estudiante debe ejercer un autocontrol sobre la exploración, la clasificación y la fragmentación de la información, de manera que pueda filtrar el mensaje relevante, procesarla globalmente y seleccionar los adecuados mecanismos referidos a las exigencias de la geometría.

En esta fase, el estudiante debe llevar un proceso sistemático de autoevaluación que le permita abordar los elementos antes referidos, para lo cual pudiera utilizar, por ejemplo, un instrumento previamente elaborado que guíe la evaluación; dependiendo, claro está, del tipo de conocimiento geométrico en proceso de aprendizaje.

Evaluación de la Adquisición Geométrica

La comprensión del conocimiento geométrico se evidencia a través de los procesos de selección, organización y elaboración. En consecuencia, el estudiante debe evaluar el aprendizaje geométrico a través de la precisión en el dibujo, en la resolución del ejercicio o problema geométrico, o en la demostración de un teorema. Las técnicas disponibles contemplan, entre otras, el mapa conceptual, la red semántica, árboles y la V. de Gowin, las cuales se adaptan bien a la evaluación de la comprensión del conocimiento geométrico.

Por su parte, para evaluar la retención de este conocimiento es importante que el estudiante se escuche a sí mismo en el desarrollo del discurso geométrico, autopreguntándose, autorespondiéndose y parafraseando las frases y oraciones, para lo cual la grabación de audio es sumamente útil.

De igual manera, para evaluar la transformación del conocimiento geométrico, el estudiante debe asumir pleno control sobre el reto que representa crear nuevas alternativas o caminos, utilizar otros teoremas o métodos, comparar, deducir e inducir, confirmar ideas, detectar errores y razonar lógica y deductivamente.

Evaluación de la Personalización Geométrica

Esta evaluación se orienta a conocer el alcance del pensamiento geométrico en el estudiante, sea este crítico, creativo o metacognitivo.



Para el pensamiento crítico, el estudiante se autoevalúa en cómo se centra en el dibujo, así como en los ejercicios, problemas y demostración de teoremas geométricos, analizando trazos, argumentos y formulándose preguntas sobre la clarificación de estos últimos.

De la misma manera, debe evaluar la veracidad de las fuentes de información y juzgar los informes producidos por él mismo; así como las inducciones y deducciones axiomáticas propias de la geometría.

Para el pensamiento creativo, es fundamental que el estudiante observe detenidamente la interacción en el aula y evaluar su participación, preguntándose de manera permanente sobre las posibles alternativas de respuesta a las preguntas, ejercicios y problemas geométricos planteados, así como en la demostración de teoremas geométricos.

El pensamiento metacognitivo refiere a la reflexión por parte del estudiante en su compromiso y constancia sobre la tarea, la manera cómo la planifica y autorregula el proceso de ejecución, para finalmente, evaluar las metas alcanzadas.

En síntesis, evaluar el pensamiento geométrico es bastante complejo para el estudiante, ya que implica desarrollar dos procesos mentales simultáneamente. En este sentido, el trabajo pausado y bajo control permite interrumpir oportunamente la tarea geométrica y poder incorporar el proceso de reflexión y autocrítica, necesario para mejorar la calidad del desempeño.

Evaluación de la Recuperación Geométrica

La búsqueda en la memoria del conocimiento geométrico y decidir la correcta evocación, deben ser evaluadas por el estudiante a través de instrumentos con preguntas activadoras de la memoria, mantenidas a lo largo de la ejecución de la tarea geométrica.

En este sentido, el estudiante debe establecer criterios para reconocer la información geométrica recuperada, que le permitan dar respuestas pertinentes y de calidad.

Evaluación de la Transferencia Geométrica

Para la evaluación de la transferencia geométrica, el estudiante debe estar consciente de poder integrar el aprendizaje geométrico, a través del autocontrol y la autoreferencia, destacando las ideas de generalización y diferenciación y poder, así, realizar tareas geométricas de mayor complejidad.

Este proceso de evaluación implica, a su vez, que el estudiante deba recurrir, conscientemente, al análisis crítico del conocimiento geométrico para conocer la posibilidad de transferirlo a otras situaciones del mismo conocimiento o a problemas concretos de la vida real.



Conclusiones

Con los aportes de la psicología socio-histórica y de la pedagogía crítica, la evaluación del aprendizaje geométrico es, en definitiva, un proceso compartido y centrado en el estudiante, en el cual se toman en consideración, por una parte, las características propias del estudiante referidas, eminentemente, a lo físico y lo psíquico; la estructura y dinámica de las relaciones psicosociales y de poder; y el contexto. Y por el otro, el conocimiento geométrico, su concepción y estructura. Todo ello en el marco de la existencia de interrelaciones entre este conocimiento geométrico y su proceso de aprendizaje.

El siguiente gráfico permite visualizar los elementos que conforman el proceso de evaluación del aprendizaje geométrico centrado en el estudiante y sus relaciones: La Evaluación del Aprendizaje Geométrico Centrada en el Estudiante

De esta manera, el estudiante evalúa su aprendizaje geométrico, en sus diferentes fases, de manera compartida ya que por la complejidad del proceso resulta imposible desarrollarlo individualmente. El papel del profesor, como mediador del proceso, es fundamental al orientar las estrategias más acordes con los intereses del alumno y con el estilo cognitivo y metacognitivo, además de las sugeridas por los condiscípulos y otros.



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Lectura Nº 11

Experiencias basadas en el modelo de

Van Hiele Tomado de Hemeroteca Virtual ANUIES

http://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES

Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación

Superior

http://www.anuies.mx

Consulta Diciembre de 2005

En los escritos del matrimonio Van Hiele está implícita la noción de que

los niños serían confrontados con una amplia variedad de experiencias

geométricas. Los maestros de los primeros grados de enseñanza elemental

pueden proporcionar experiencias exploratorias correspondientes al nivel

básico, por medio de las actividades como recortar papel con geoplanos,

doblado de papel cuadriculado, teselaciones, juego con el " tangram" y

rompecabezas. A los estudiantes de entre 13 y 15 años, aproximadamente, que

están en los niveles 1 y 2 pueden proporcionarles experiencias que incluyan el

trabajo con mosaicos, colecciones de figuras, "tarjetas con propiedades",

"árboles genealógicos" y juegos de "como me llamo".

A continuación se proporcionarán ejemplos de esos y otro tipos de

actividades apropiadas para los cuatro niveles del modelo Van Hiele. Muchas de

esas ideas surgieron de las descripciones de comportamiento de estudiantes

desarrollada por los investigadores del colegio Brooklyn. Actividades

adicionales pueden encontrarse en los artículos de Burger (1985), Burger y

Shaughnessy (1986), Hoffer (1981), Prevost (1985) y Shaughnessy y Burger

(1985).

Nivel básico (visualización). Las figuras geométricas son reconocidas

sobre las bases de su apariencia física de un todo.

Proporcionar a los estudiantes oportunidades para:



Manipular, colorear, doblar y construir superficies geométricas.

Bloques patrón

2. Identificar una figura o una relación geométrica.

*En un dibujo simple.

* En un conjunto de recortes de bloques patrón u otros materiales

manipulables (por ejemplo, clases x de figuras).

* En una variedad de orientaciones.

*Que involucren objetos físicos en el salón de clase, el hogar, fotografías y

otros lugares.



"fotografía" de rieles de tren.

* Con otras figuras

Líneas paralelas en un trapezoide

Ángulos rectos, triángulos, líneas paralelas, rectángulos, etc.

3. Crear formas mediante:

* Copiado de figuras en papel punteado, cuadriculado, milimétrico o

papel para calcar, o con el uso de geoplanos rectangulares o circulares o de

recortes de papel.

*El dibujo.

*La construcción con el empleo de barras cilíndricas, plantillas o trozos

de alambre, o armándolos con materiales manipulables, bloques patrón,

etcétera.

4. Describir verbalmente formas y cuerpos geométricos usando lenguaje

apropiado, sea éste la nomenclatura formal o palabras de uso común.

*Un cubo "parece un bloque o una caja".

*Nombrar "esquinas" a los ángulos.

5. Trabajar sobre problemas que puedan resolverse mediante la

manipulación de figuras, la medición y el conteo.

*Encuentre el área de la tapa de una caja superponiendo mosaicos cuadrados,

como se muestra en la figura, y contando el número de mosaicos.



*Use las dos figuras triangulares para hacer.

-Un rectángulo.

-Otro triángulo.

Nivel 1 Análisis. La forma retrocede y surgen las propiedades de las figuras.

Proporcionar alo estudiantes oportunidades para:

1. Medir, colorear, doblar, cortar, modelar y superponer para identificar

propiedades de las figuras y otras relaciones geométricas.

*Haga un dobles en la diagonal y examine como colocarla sobre un plano.

2. Describa una clase de figuras por sus propiedades (cartas, de manera oral,

con tarjetas en que estén escritas propiedades).

*" Sin usar una fotografía, ¿cómo describiría un (nombre de una figura) a

alguien que nunca lo ha visto?"

*ejemplos de tarjetas con propiedades:

Un cuadrado

4 lados

Los lados son iguales

Los lados son paralelos

4 ángulos rectos

Las diagonales son congruentes

4 ejes de simetría

3. Comparar figuras de acuerdo con las propiedades que las caracterizan.



*Note en qué se parecen y en que son diferentes un cuadrado y un rombo (si

se consideran sus lados o ángulos).

4. Clasificar y reclasificar figuras con base en un atributo particular.

*Clasificar recortes de cuadriláteros según:

-El número de lados paralelos

-La cantidad de ángulos rectos.

5. Identificar y trazar una figura, dada una descripción oral o escrita de

sus propiedades.

*Los maestros o los estudiantes describen una figura oralmente y preguntan

que figuras tiene esas propiedades, hasta obtener todas las propuestas

correctas posibles.

* El juego de "¿cómo me llamo?" consiste en cómo ir dando pistas

(propiedades), una por una, abriendo pausas entre cada una de ellas mientras

los estudiantes identifican la figura. Esto puede hacerse sobre transparencias o

una hoja de papel, o con tarjetas de propiedades. "4 lados", " todos los lados

iguales"

6. Identificar una figura con pistas visuales.

*Gradualmente se revela una figura, y se pide a los estudiantes que identifique

en cada etapa sus posibles nombres.

7. Derivar empíricamente (mediante el estudio de muchos ejemplos)

"reglas" y generalizaciones.



* Cubriendo con mosaicos cuadrados muchos rectángulos, los estudiantes ven

que "bxh" es un camino más corto para sumar el número de mosaicos.

8. Identificar propiedades que pueden ser usadas para caracterizar o

contrastar diferentes clases de figuras.

* Se pide completar la expresión " Lados opuestos iguales describen un..."

*Explore las relaciones entre diagonales y figuras uniendo dos bandas de

cartón como se muestra.

* Un cuadrado se general por los extremos cuando (las diagonales son

congruentes, se bisecan una a otra y forman ángulos rectos). Un cambio en los

ángulos formados por las diagonales determina (un rectángulo). diagonales no

congruentes generan...

9. Descubrir propiedades de una clase familiar de objetos.

* A partir de ejemplos y no ejemplos de trapezoides, determine las

propiedades de los trapezoides.

10. Encontrarse con, y usar, vocabulario y símbolos apropiados.

11. Resolver problemas geométricos que requieran el conocimiento de

propiedades de figuras, relaciones geométricas o aproximaciones intuitivas.

*Sin medir, encuentre la suma de los ángulos en un hexágono. Los estudiantes

intuitivos "verán" triángulos, esto es, relaciones esto con figuras conocidas.

Nivel 2. (Deducción informal). Comienza a formar una red de relaciones.




1. Estudiar relaciones desarrolladas al nivel 1, en la búsqueda de

inclusiones e implicaciones.

*Use tarjetas de Propiedades:

* Trabajando sobre un geoplano, transforme un cuadrilátero en un trapezoide,

un trapezoide en un paralelogramo en un rectángulo... ¿Qué requirió cada

transformación?

2. identificar conjuntos mínimos de propiedades que describen una

figura

* Los estudiantes podrían competir y comprobarse unos a otros en esto.

Pregunte a los estudiantes cómo describirían una figura a alguien

¿Podrían usar menor número de pasos? ¿Podrían usar pasos diferentes?

3. Desarrollar y usar definiciones.

* Un cuadrado es...

4. Seguir argumentos informales

5. Presentar argumentos informales (usando diagramas, recortes de

figuras, diagramas de flujo).

Asignación de antecedentes. Use tarjetas y flechas para mostrar los” orígenes"

o "árbol genealógico" de una idea, por ejemplo: "Los ángulos exteriores de un

triángulo son iguales a la suma de los ángulos interiores opuestos".



6. Seguir argumentos deductivos, quizás supliendo unos cuantos "pasos

faltantes".

* C es el centro del círculo ¿Por qué

a ) AC @ BC ?

b ) <CAB @ <CBA?

c ) D ACE @ D BCE?

d ) AE @ EB?

Nota: Deben darse razones diferentes que las que dan en el nivel 0

("Parece...").

7. Intentar proporcionar más de una aproximación o explicación.

* Defina un paralelogramo de dos maneras (por ejemplo: "4 lados, lados

opuestos paralelos" 0 "4 lados, lados opuestos congruentes").

8. Trabajar con y discutir que aclaren una proposición y su recíproca.

* Escriba la proposición recíproca a: " Si una transversal intersecta dos líneas

paralelas, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son

suplementarios". ¿Cuál diagrama refleja correctamente la proposición

recíproca?



Escriba la proposición recíproca de la siguiente y discuta su validez:

"Esta lloviendo. Ya estoy usando botas".

9. Resolver problemas donde las propiedades de las figuras y las

interrelaciones son importantes.

* Construya la mediatriz de un segmento de recta, interseque dos arcos de

igual radio, como se muestra en la figura.

Explique por que la línea que pasa por los puntos de intersección de los

arcos es perpendicular al segmento y lo biseca (use las propiedades del

rombo.)

Nivel 3. (Deducción formal). La naturaleza de la deducción es entendida.


1. Identificar cuáles son los datos y qué se va a probar en un problema.

* Para el problema siguiente, identifique qué es lo que se conoce y es lo que

va a ser probado o demostrado. NO complete la prueba. "El bisector

perpendicular de la base de un triangulo isósceles pasa por el vértice del

triángulo.

2. Identificar información implicada por una figura o por información

dada.

La figura ABCD es un paralelogramo. Discuta qué sabe acerca de ella. Escriba

un problema en la forma "Si...entonces..." basado en esta figura.



3. Demostrar una competición del significado de término indefinido,

postulado, teorema, definición, etcétera.

* Para cada una de las siguientes posiciones indique si es un postulado

(P), un teorema (T) o una definición (D) y por qué.

a) Los puntos que están en la misma recta se llaman colineales.(D)

b) Dos puntos determinan una recta. (P)

c) Cada segmento tiene exactamente un punto medio. (T)

d) Se dice que el punto medio de un segmento biseca al segmento. (D)

4. Demostrar una comprensión de condiciones necesarias y suficientes.

* Escriba una definición de cuadro que comience:

a) Un cuadro es un cuadrilátero...

b) Un cuadro es un paralelogramo..

c) Un cuadro es un rectángulo...

d) Un cuadrado es un rombo...

5. Probar rigurosamente las relaciones desarrolladas informalmente en el

nivel 2.

6. Probar relaciones no familiares.

7. Comparar diferentes pruebas de un teorema (por ejemplo el teorema

de Pitágoras).

8. Usar una variedad de técnicas de prueba (por ejemplo, sintético,

Transformaciones, coordenadas, vectores).

9. Identificar estrategias de prueba.

* Si una prueba involucra paralelismos, tratar " sierras", "escaleras" o

rotaciones de 180°.

10. Reflexionar sobre el pensamiento geométrico.

* Las situaciones siguientes involucran pensamientos inductivo o deductivo.

Identifique qué tipo de pensamiento está involucrado y por qué.

a) Toda cabra tiene una barba. Sandy es una cabra. Así, Sandy tiene una

barba.

b) después de medir los ángulos en una cantidad de cuadriláteros, Shelly

anuncia " La suma de los ángulos de cuadrilátero es de 360°".

Actividades como las anteriores necesitan, para ser efectivas, ponerse

en un contexto. La sección Fases del aprendizaje del presente escrito ofrece

líneas de actividades geométricas correspondientes a un nivel. La sección



Propiedades del modelo también proporcionan consejos de enseñanza en

particular; estas secuencias sugieren que las actividades geométricas no se

reducirían al nivel del contenido geométrico, que, siempre y cuando sean

posibles, los materiales sentarían la bases para aprendizajes futuros, y que el

lenguaje es importante en el desarrollo y valoración de la compresión

geométrica. Esas ideas se discuten más adelante en el presente trabajo.

Muy a menudo, la geometría se piensa de una manera mecánica. Por

ejemplo, considere el hecho de la suma de los ángulos de un triángulo de 180°.

Frecuentemente, este hechos se establece mediante la generación, después de

haber medido los ángulos de unos cuantos triángulos, o peor aún, cuando esa

información es suministrada por el docente sin explicación alguna. La táctica

siguiente es un ejemplo de reducción a un contenido de un nivel. Actividades

del nivel 1, tales como colorear los ángulos en una red triangular (fig. 1.4) y la

extensión de esa actividad a identificar líneas paralelas en la red, provee al

estudiante de medios poderosos, de tipo inductivo y deductivo, para entender

el concepto. la intuición de la razón por la cual de los ángulos es 180° se

obtiene del trabajo de la red y de manera concomitante se pone el cimiento

para la prueba formal en el nivel 3.

Un beneficio adicional de este desarrollo particular es que la misma

estructura puede ser utilizada de nuevo para demostrar que la medida del

ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos

ángulos interiores.

El lenguaje y la elección cuidadosamente pensada de materiales juegan

un papel importante en el desarrollo del pensamiento geométrico es esencial

que los niños platiquen acerca de sus asociaciones lingüísticas para palabras y

símbolos y que usen ese vocabulario. Tal verbalización requiere que los

estudiantes articulen consistentemente lo que de otro modo serían ideas vagas

y no desarrolladas. Inicialmente, se animaría a los niños a expresar su

entendimiento de aspectos geométricos en sus propios términos ("esquina", en

vez de ángulos, llamar inclinados a los lados de un paralelogramo y "rectas" a



las líneas paralelas). Gradualmente, sin embargo, se introducirá a los niños a

la terminología convencional y se les estimularía para usarla de manera

precisa. El hecho de que los niños usen una palabra no significa que asignen a

ésta el mismo significado que quien los oye pronunciarla. Por ejemplo, algunos

niños dicen que es un ángulo recto; pero que es un ángulo izquierdo.

Algunos dicen que esta figura es un cuadrado, pero cuando gira 45 grados

ya no lo es. En cada ejemplo, los niños se han fijado incorrectamente,

orientados por una característica determinante. Quizás a algunos solo se les

habían mostrado figuras en una misma posición. Ellos estaban interpretando

los términos " ángulos recto " y " cuadrado " en un significado reducido. Los

niños que operan con nociones como esas están limitado su desarrollo. A

través de conversaciones, los maestros pueden descubrir concepciones

incorrectas y nociones incompletas, y también construir percepciones

correctas.

El uso que le profesor haga del lenguaje también es importante por

ejemplo, en el trabajo sobre el nivel 1, términos tales como dado, algún (a),

siempre, nunca, algunas veces, serían modelados y estimulados en el nivel 2,

fases que incluyan "se sigue que..."y "si...entonces...". En el nivel 3 se usarían

e impulsarían los significados de axioma, postulado, teorema, recíproca,

necesaria y suficiente, etcétera.

El cuestionamiento del maestro es un factor crucial del maestro es un

factor crucial en la orientación del pensamiento del estudiante. En todos los

niveles, preguntar a los alumnos "cómo lo saben" es importante no es

suficiente, por ejemplo preguntar a estudiantes de nivel 2 cuál es la suma de

los ángulos de un pentágono. Se les debe desafiar a explicar por qué y a

reflexionar acerca de su explicación, preguntándoles, por ejemplo: " ¿podría

eso demostrarse de otro modo?" "plantear preguntas apropiadas, dejar

suficiente tiempo para ponerse y discutir la calidad de las respuestas son

métodos que toman en cuenta el nivel de pensamiento".

Para que el crecimiento ocurra, es esencial emparejar la instrucción con

el nivel de los estudiantes. de aquí que los maestros deben aprender a

identificar los niveles de pensamiento geométrico de sus estudiantes. Debido a

que la naturaleza de las explicaciones geométricas de los alumnos refleja su

nivel de pensamiento, el cuestionamiento es una importante herramienta de

valoración. Como un ejemplo, considere respuestas a las preguntas:



¿Qué tipo de figura es ésta?

¿Como lo sabes?

Los estudiantes de cada nivel están en condiciones de responder

"rectángulo" a la primera pregunta. (Si un(a) estudiante no sabe el nombre de

la figura, él (ella) no esta en un nivel para rectángulos). A continuación se dan

ejemplos de respuesta a la segunda cuestión, para cada nivel y, entre

paréntesis, se presenta una breve explicación de por qué la afirmación refleja

el nivel asignado.

Nivel 0: " Parece rectángulo" o " porque parece una puerta". ( la respuesta se

basa en un nivel visual)

Nivel 1: " Cuatro lados, cerrado, dos lados más largos y dos más cortos, lados

puestos paralelos, cuatro ángulos paralelos, cuatro ángulos rectos..." (Se da

una lista de propiedades, sin fijarse de propiedades, sin reflejarse en las

redundancias).

Nivel 2: "Es un paralelogramo con ángulos rectos..." (El estudiante trata de dar

un número mínimo de propiedades. Si se le preguntara, indicaría que sabe que

es redundante en este ejemplo decir que los lados opuestos son congruentes).

Nivel 3: " puede probarse, si sé que esta figura es un paralelogramo y que uno

de sus ángulos es recto", (el estudiante busca demostrar el hecho

deductivamente).

Ejemplos adicionales de compartimiento de estudiantes correspondientes a un

nivel específico pueden encontrarse en:

An investigation of the Van Hiele model of Thinking in Geometry among

Adolescents (Geddes et al., 1985, p. 62-78) y en Characterizing the Van

Hiele levels of Development in Geometry (Burger y Shaughnessy, 1986,

p. 41-45).

El modelo de pensamiento geométrico y las fases de aprendizaje

desarrollado por el matrimonio Van Hiele propone un medio para identificar el

nivel de madurez geométrica sugiere maneras para ayudar a los estudiantes de

un nivel a otro. La instrucción antes que la maduración es claramente el factor



más significativo ha fundamentado la corrección del modelo para valorar la

comprensión geométrica del estudiante (Burger, 1985, Burgery Shaughnessy,

1986; Geddes et al., 1982; Geddes, Fuys y Tischler, 1985; Maryberry, 1981;

Shaughnessy y Burger, 1985; Usikin, 1982).

Se ha mostrado también que los materiales y la metodología puede ser

diseñado para equipar niveles y para promover el desarrollo a través de los

niveles (Burger, 1985. Burger y Saughnessy, 1986; Geddes et al., 1982;

Geddes, Fuy y Thischler, 1985; Shaughnessy y Burger 1985).

Actualmente se requiere que los maestros e investigadores refieran las

fases de aprendizaje, desarrollen materiales basados en el modelo Van Hiele y

pongan en práctica esos materiales y filosofías en el aula el pensamiento

geométrico puede ser accesible a cada individuo.



Lectura Nº 12

Algunos desarrollos en la enseñanza de

la geometría

La teoría de Van Hiele Investigaciones Rusas

sobre la enseñanza de la geometría El

currículo de geometría de la escuela primaria

y secundaria Autor: Michael de Villiers (1996) E-mail: [email protected]

“The Future of Secondary School Geometry”.

La lettre de la preuve, Novembre-Décembre 1999. Traducido por Martín

Acosta

La teoría de Van Hiele

La teoría de Van Hiele tiene su origen en las disertaciones doctorales de Dina

van Hiele-Geldof y su esposo Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht,

Holanda en 1957. Desdichadamente Dina murió poco tiempo después de

presentar su disertación, y Pierre fue quien desarrolló y difundió la teoría en

publicaciones posteriores. Mientras la disertación de Pierre trataba de explicar

por qué los alumnos tienen problemas para aprender geometría (en este

sentido era explicativa y descriptiva), la disertación de Dina trataba de un

experimento de enseñanza y en este sentido es más prescriptiva sobre el orden

del contenido geométrico y las actividades de aprendizaje de los alumnos. La

característica más obvia de la teoría es la distinción de cinco niveles de

pensamiento con respecto al desarrollo de la comprensión geométrica de los

alumnos. Enseguida presentamos cinco importantes características de la teoría

tal como las resume Usiskin (1982:4):

1. orden fijo - El orden de progreso de los alumnos a lo largo de los niveles

de pensamiento



2. es invariante. En otras palabras, un alumno no puede alcanzar el nivel n

sin haber pasado por el nivel n-1.

3. adyacencia - En cada nivel de pensamiento lo que era intrínseco en el

nivel precedente se vuelve extrínseco en el nivel actual.

4. distinción - Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia

red de relaciones que conectan esos símbolos.

5. separación - Dos personas que razonan en niveles diferentes no pueden

entenderse.

La principal razón de fracaso del currículo tradicional de geometría fue

atribuida por los esposos Van Hiele al hecho de que el currículo se presentaba

a un nivel más alto del de los alumnos; ¡en otras palabras los alumnos no

podían entender al profesor ni el profesor podía entender por qué no

entendían! Aunque la teoría de Van Hiele distingue cinco niveles de

pensamiento, aquí solo nos centraremos en los cuatro primeros ya que son los

más pertinentes para la geometría en secundaria. Las características generales

de cada nivel pueden describirse así:

Nivel 1: Reconocimiento.

Los alumnos reconocen figuras visualmente por su apariencia global.

Reconocen triángulos, cuadrados, paralelogramos, etc. por su forma, pero no

identifican explícitamente las propiedades de estas figuras.

Nivel 2: Análisis

Los alumnos comienzan a analizar las propiedades de las figuras y aprenden la

terminología técnica apropiada para describirlas, pero no relacionan las figuras

o las propiedades de las figuras.

Nivel 3: Ordenamiento.

Los alumnos ordenan de manera lógica las propiedades de las figuras utilizando

cadenas cortas de deducción y comprenden las relaciones entre las figuras

(p.e. inclusión de clases).

Nivel 4: Deducción.

Los alumnos comienzan a desarrollar secuencias mas largas de proposiciones y

comienzan a comprender el significado de la deducción, el rol de los axiomas,

los teoremas y las demostraciones.

Las diferencias entre los tres primeros niveles pueden resumirse como en la

Tabla siguiente en términos de los objetos y la estructura de pensamientos de

cada nivel.



Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

Objetos

de

pensamiento Figuras individuales Clases de figuras

Definiciones de

clases de figuras

Estructura

de

pensamiento

Reconocimiento visual.

Ordenamiento Visual

Reconocimiento de

propiedades como

características de

clases

Reconocimiento

y formulación de

relaciones

lógicas

Un paralelogramo

tiene: 4 lados

•

Lados opuestos

=

• Los paralelogramos

van juntos porque "se

ven iguales".

• ángulos opuestos

= • lados opuestos

=

implican lados

opuestos //.

Lados opuestos

// implican lados

opuestos =

Ejemplos • Los rectángulos,

cuadrados y rombos no

son paralelogramos

porque "no se ven

iguales"

• lados opuestos //

• Diagonales se

bisecan etc. Un

rectángulo no es un

paralelogramo

porque tiene

ángulos

opuestos =

implican lados

opuestos =

Bisección de las

diagonales

implica simetría

central.

ángulos de 90 deg;

Tabla 1

Utilizando entrevistas basadas en tareas, Burger & Shaughnessy (1986)

determinaron el nivel de pensamiento de alumnos en los cuatro niveles así:

Nivel 1

1. A menudo usan propiedades visuales irrelevantes para identificar

figuras, para comparar, para clasificar y para describir.



2. (Generalmente se refieren a prototipos visuales de figuras, y se

confunden fácilmente por la orientación de la figura).

3. Una incapacidad para pensar en una variación infinita de un tipo

particular de figura (p.e. en términos de orientación y forma)

4. Clasificación inconsistente de figuras: por ejemplo, uso de propiedades

no comunes o irrelevantes para clasificar las figuras.

5. Descripciones (definiciones) incompletas de figuras al tomar condiciones

necesarias (generalmente visuales) como condiciones necesarias.

Nivel 2

1. Una comparación explícita de figuras en términos de sus propiedades.

2. Evitación de inclusiones de clases entre diferentes clases de figuras, p.e.

cuadrados y rectángulos se consideran disyuntos.

3. Clasificación de figuras únicamente en términos de una propiedad, por

ejemplo, propiedades de los lados, ignorando otras propiedades como

simetrías, ángulos y diagonales.

4. Exhibición de un uso no económico de las propiedades de las figuras

para describirlas (definirlas), en lugar de usar las propiedades

suficientes.

5. Un rechazo explícito de definiciones dadas por otros, p.e. el profesor o el

libro de texto, en favor de sus propias definiciones.

6. Un enfoque empírico para establecer la verdad de una proposición, p. e.

el uso de la observación y la medición de diferentes dibujos.

Nivel 3

1. La formulación de definiciones económicas y correctas para las figuras.

2. Una habilidad para transformar definiciones incompletas en definiciones

completas y una aceptación y uso más espontáneos de definiciones para

conceptos nuevos.

3. La aceptación de definiciones diferentes equivalentes para el mismo

concepto.

4. La clasificación jerárquica de figuras, p.e. cuadriláteros.

5. El uso explícito de la forma lógica "Si...entonces" en la formulación y

tratamiento de conjeturas, así como el uso implícito de reglas lógicas

como el modus ponens.

6. Una incertidumbre y falta de claridad con respecto a la función de los

axiomas, definiciones y demostraciones.



7. Nivel 4

1. Comprensión de las funciones de los axiomas, definiciones y

demostraciones.

2. Producción espontánea de conjeturas y esfuerzos autónomos por

verificarlas deductivamente.

3. Investigaciones Rusas en enseñanza de la geometría

La Geometría siempre ha formado una parte importante del currículo de

matemáticas en Rusia en los siglos diecinueve y veinte. Esta soberbia tradición

fue influenciada sin duda por (e instrumentalizada en) los logros de varios

geómetras rusos en los dos siglos pasados. Tradicionalmente el currículo de

geometría en Rusia consiste en dos fases, textualmente, una fase intuitiva para

los grados 1 a 5 y una fase de sistematización (deductiva) a partir del grado 6

(12/13 años).

En los años sesenta los investigadores rusos emprendieron un análisis

comprensivo de las fases intuitiva y de sistematización para encontrar

respuestas a la pregunta de por qué los alumnos que mostraban un buen

progreso en otros temas escolares, presentaban poco progreso en geometría.

En su análisis, la teoría de Van Hiele tuvo gran peso. Por ejemplo, se encontró

que al final del grado 5 (antes de comenzar la fase de sistematización que

requiere por lo menos el nivel 3 de comprensión) solo 10-15% de los alumnos

estaban en nivel 2. La principal razón para eso era la atención insuficiente a la

geometría en la escuela primaria. Por ejemplo, en los primeros cinco años, los

alumnos trabajaban sólo con 12-15 objetos geométricos (y su terminología

asociada) principalmente en actividades de nivel 1. En contraste, en el primer

tema tratado en el primer mes de grado 6, se esperaba que los alumnos

trabajaran con 100 objetos y su terminología, y exigiéndoles el nivel 3 de

comprensión. (O si no, el profesor debía tratar de introducir contenidos nuevos

en tres niveles simultáneamente). No es sorprendente que hayan descrito el

período entre grados 1 y 5 como un "período prolongado de inactividad

geométrica".

En consecuencia los rusos diseñaron un currículo experimental de geometría

muy exitoso basado en la teoría de Van Hiele. Descubrieron que un factor

importante era la secuencia y desarrollo continuos de conceptos desde el grado

1. Como fue reportado por Wirzup (1976: 75-96), el alumno promedio de



Grado 8 del currículo experimental mostró igual o mejor comprensión

geométrica que los de grado 11 y 12 del currículo antiguo.

El currículo de geometría en primaria y secundaria

Los paralelos entre la experiencia rusa y la de Sudáfrica son obvios. Nosotros

todavía tenemos un currículo de geometría sobrecargado en la escuela

secundaria con geometría formal, y con muy poco contenido informal en la

primaria. (p.e. ¿cuanta semejanza o geometría de las circunferencias se hace

en primaria?) De hecho, es sabido que el desempeño de los alumnos en

geometría de grado 12 es peor que en álgebra. ¿Por qué? La teoría de Van

Hiele da una explicación importante. Por ejemplo, la investigación de De

Villiers & Njisane (1987) mostró que cerca del 45% de alumnos negros en

grado 12 en KwaZulu sólo había alcanzado Nivel 2 o menos, ¡mientras que el

examen requería el nivel 3 o superior! Niveles bajos de Van Hiele similares

fueron encontrados por Malan (1986), Smith & De Villiers (1990) y Govender

(1995). En particular, la transición entre Nivel 1 y nivel 2 plantea problemas

específicos para los que aprenden una segunda lengua, ya que implica la

adquisición de terminología técnica para describir las propiedades de las

figuras. Esto requiere bastante tiempo, y el currículo actual ya está

sobrecargado. Parece claro que ningún esfuerzo ni novedoso método de

enseñanza en la secundaria tendrá éxito, amenos que emprendamos una

revisión fundamental del currículo de geometría en primaria de acuerdo con las

directivas de Van Hiele. ¡El futuro de la geometría en secundaria depende de la

geometría en primaria!

En Japón por ejemplo los alumnos comienzan a trabajar en grado 1 con el

tangram extendido, así como con otras figuras planas y espaciales (p.e.

ver Nohda, 1992). Este esfuerzo continúa en los años siguientes de manera

que en grado 5 ya están tratando de manera formal los conceptos de

congruencia y semejanza, conceptos que en Sudáfrica solo se introducen en

grados 8 y 9. No sorprende que en los últimos estudios internacionales

comparativos, los alumnos japoneses hayan superado continuamente a los de

los demás países. Aunque la reciente introducción de teselaciones en nuestras

escuelas primarias es bienvenida, muchos de nuestros profesores y libros de

texto no parecen comprender su importancia en relación con la teoría de Van

Hiele. A pesar de que las teselaciones producen una atracción estética debido a



sus patrones intrigantes y artísticamente placenteros, la razón fundamental

para su introducción en primaria es que proveen un fundamento visual intuitivo

(Van Hiele 1) para distintos contenidos geométricos que pueden ser tratados

más adelante de manera formal en un contexto deductivo. Por ejemplo, en una

teselación con patrón triangular como la de la Figura 1, puede preguntarse a

los alumnos lo siguiente:

(1) identifique y coloree las rectas paralelas

(2) Qué puede decir de los ángulos A, B, C , D y E y por qué?

(3) Qué puede decir de los ángulos A, 1, 2, 3 y 4 u por qué?

Figura 1: Visualización

En actividades como esta los alumnos comprenderán que los ángulos A, B, C, D

y E son iguales porque al hacer una rotación de media vuelta del triangulo gris

alrededor del punto medio del lado AB el ángulo A se superpone al ángulo B,

etc. De esta forma pueden introducirse por primera vez los conceptos de

"sierras" o "zig-zags" (ángulos alternos). De igual manera, los alumnos

deberían darse cuenta de que los ángulos A, 1, 2, 3 y 4 son iguales ya que una

traslación del triángulo gris en dirección de los ángulos 1, 2, 3 y 4 hace

coincidir consecutivamente el ángulo A con cada uno de los otros. De esta

manera puede introducirse por primera vez el concepto de "escaleras" (ángulos

correspondientes). Debe animarse luego a los alumnos a que encuentren

diferentes sierras y escaleras en esta teselación y en otras con patrones

diferentes, para mejorar su habilidad de visualización. Como cada módulo tiene

que ser idéntico y puede coincidir con los otros por medio de traslaciones,

rotaciones o simetrías, puede introducirse fácilmente el concepto de

congruencia. También se le puede pedir a los alumnos que busquen diferentes

formas en las teselaciones, p.e. paralelogramos, trapecios y hexágonos.

También se les puede animar a buscar figuras mas grandes con la misma

forma, para introducir de manera intuitiva el concepto de semejanza (como se

muestra en la Figura 8 con los triángulos y paralelogramos sombreados). Las



teselaciones también son un contexto apropiado para el análisis de las

propiedades de las figuras geométricas (Van Hiele 2), así como su explicación

lógico a (Van Hiele 3). Por ejemplo, una vez que los alumnos hayan construido

una teselación triangular como la de la Figura 2, se les pueden plantear

preguntas como las siguientes:

(1) Qué puede decir de los ángulos A y B en relación con D y E? Por qué? Qué

puede concluir de esto?

(2) qué puede decir de los ángulos F y G en relación con los ángulos H e I? Por

qué? Qué puede concluir de esto?

(3) Qué puede decir del segmento JK en relación con el segmento LM? Por qué?

Que puede concluir de esto?

Figura 2: Análisis

En el primer caso los alumnos pueden ver de nuevo que el ángulo A= ángulo B

debido a la sierra que se forma. También ángulos= ángulo E debido a una

escalera. Por lo tanto es fácil que observen que como esos tres ángulos quedan

en una recta, la suma de los ángulos del triángulo ABC debe ser una línea

recta. También pueden observar que esto es cierto en cualquier vértice, y para

cualquier tamaño y posición del triángulo, posibilitando así una generalización.

En el segundo caso, se introduce el teorema de los ángulos exteriores y en el

tercer caso el teorema del punto medio. Esos análisis están muy cerca de las

explicaciones geométricas estándar (pruebas); sólo necesitan un poco de

formalización. En la Figura 3 se ilustran los tres niveles para el descubrimiento

y la explicación de que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.



Otro aspecto importante de la teoría de Van Hiele es que enfatiza que las

actividades informales en los niveles 1 y 2 deberían constituir "subestructuras

conceptuales" apropiadas para las actividades formales del siguiente nivel.

Muchas veces he observado profesores y futuros profesores que piden a sus

alumnos que midan y sumen los ángulos de un triángulo para descubrir que

suman 180. Desde la perspectiva de Van Hiele esto es totalmente inadecuado

ya que no provee una subestructura conceptual sobre la cual construir una

prueba formal. Por el contrario, la actividad de teselación ya descrita provee

esta subestructura. De manera similar, la actividad de medir los ángulos de la

base de un triángulo isósceles es conceptualmente inadecuada, pero doblarlo

por su eje de simetría lleva a fundamentar una demostración posterior. Lo

mismo se aplica a la investigación de las propiedades de los cuadriláteros. Por

ejemplo, es conceptualmente inadecuado medir los ángulos opuestos de un

paralelogramo para que los alumnos descubran que son iguales. Es mucho

mejor pedirles que le den media vuelta para que descubran que los ángulos (y

lados) opuestos coinciden, ya que esto se aplica a todos los paralelogramos y

contiene las semillas para una demostración formal.

Hace poco tuve una conversación con un profesor que descalificó rápidamente

a un compañero suyo quien introdujo las teselaciones dejando que los alumnos

empacaran tarjetas. Este profesor pensaba que esto producía patrones

irregulares, era poco eficaz y consumía mucho tiempo, y que debería

comenzarse entregando a los alumnos parrillas cuadradas o triangulares ya

listas y mostrarles como pueden dibujar patrones de teselación regulares (ver

Figura 11). Aunque estas parrillas constituyen un medio útil y eficaz para

dibujar patrones regulares, conceptualmente es de extrema importancia que

los alumnos tengan una experiencia previa de empacar físicamente módulos,

vg rotar, trasladar, reflejar los módulos a mano. El problema es que es posible

dibujar patrones de teselado en esas parrillas sin ninguna comprensión de las



isometrías implícitas que los crean, que son conceptualmente importantes para

el análisis de propiedades geométricas implícitas en el patrón.



Lectura Nº 13

Acerca del Razonamiento en Geometría Autora: Rina Hershkowitz

Traducción: Hernández, Víctor y Villalba, Martha


La investigación doctoral de Orly estuvo dedicada a estudiar los procesos

de justificación y prueba en geometría usados por los alumnos que ella atendía

en el 9º y 10º grado. Después de dos años de investigación sus hallazgos la

guiaron en una nueva dirección. Lo siguiente es lo que ella escribió en su diario

de investigación (unas semanas después Orly murió en un accidente

automovilístico):

Después de dos años de investigación sobre las dificultades que tienen

los estudiantes para demostrar en geometría, he empezado a preguntarme

sobre las desventajas de la forma clásica de enseñar geometría Euclidiana y he

empezado a experimentar con otras estrategias. Mi intención es crear

situaciones en las que el ` convencimiento ´ sea necesario. En las clases

enfatizo la necesidad de convencer en lugar de la necesidad de demostrar. De

esta manera, son legitimadas formas de razonamiento que en el pasado nunca

se habían oído en clase. ...Yo creo situaciones en las que los estudiantes

evalúen por sí mismos el ` nivel de convicción ´ de las justificaciones. Esto es

posible cuanto la comunidad de la clase está dividida en dos o más grupos que

han hecho conjeturas diferentes e inclusive opuestas.

En esta situación, cada argumento pasa un ` test real ´ - sea que este

cause el cambio de argumentos en el grupo opuesto o no. Encontré que las

formas exitosas de convencer son aquéllas que están basadas en el

razonamiento deductivo (incluyendo la refutación mediante contraejemplo).

En lo anterior, se considera que las funciones principales del razonamiento son

entender, explicar y convencer. Como profesor e investigador, Orly (siguiendo

las huellas de otros, e.g. Lampert [8]), dio a su clase la libertad de generar

conjeturas experimentalmente. Cuando surgía un conflicto y la clase se

disgregaba en dos o más grupos, debatiendo conjeturas distintas sobre la

misma situación, los alumnos tenían la libertad de elegir de entre una variedad

de argumentos para tratar de convencer a cada uno de los otros. Los



argumentos eran juzgados por su poder de convicción. Esta aproximación

pedagógica refleja un cambio en considerable progreso en las matemáticas

como una totalidad hacia el razonamiento en geometría y, en particular, hacia

la demostración.

Esto toma lugar en el marco de los cambios globales de acercamientos

hacia lo qué es el aprendizaje significativo en matemáticas, y qué es

considerado por la comunidad matemática una demostración y un argumento

matemático apropiado (Hanna, [5]). Aún a riesgo de ser simplista, sugerimos

que la aproximación hacia el aprendizaje como un proceso meramente

receptivo de transferencia de conocimiento, y la visión de la argumentación

matemática como una comunicación muy formal, ha promovido a la práctica

del salón de clase hacia aquélla en la que la demostración se realiza siguiendo

un ritual gobernado por reglas fijas como las "demostraciones de dos

columnas". Se permitió usar muchas otras clases de razonamiento en la

actividad matemática, como el inductivo y/o el razonamiento visual, pero no

fueron considerados como legítimos en el producto matemático principal, la

demostración.

En contraste, las nuevas aproximaciones hacia el aprendizaje, como la

aproximación constructivista (Von Glaserfeld, [9]) y la aproximación

sociocultural (Vigotsky, [10]), que están teniendo un impacto considerable,

legitiman y promueven los procesos de razonamiento en el sentido más amplio.

Los aprendices, sus entendimientos y las interacciones con la comunidad de su

clase, son centrales en la visión del proceso de enseñanza - aprendizaje. Como

una consecuencia, los procesos de razonamiento son considerados ahora como

una variedad de acciones que toman los alumnos con el fin de comunicarse y

explicar a otros, tanto como a ellos mismos, lo que ellos ven, lo que ellos

descubren y lo que ellos piensan y concluyen.

Los autores de las siguientes cinco secciones de este capítulo discuten e

ilustran ejemplos de las principales tendencias novedosas del razonamiento en

geometría.

En la Sección II, Duval presenta un análisis metacognitivo de los

procesos de razonamiento geométrico y sus interacciones con otros procesos

de pensamiento. La contribución de Duval es un análisis profundo e interesante

que refiere al razonamiento como un proceso holístico en el cual la

"demostración" es sólo una de sus tres funciones. Las otras dos son: la



"extensión del conocimiento" y la "explicación". También analiza la interacción

entre el proceso de razonamiento y otros dos procesos de pensamiento en

geometría - visualización y construcción.

Las siguientes dos secciones - Sección III por Bartolini Bussi & Boero, y

la Sección IV por Lehrer & Ronberg -discuten la teoría del desarrollo curricular

y la investigación que demuestra lo que es llamado ahora "aprender geometría

desde el contexto". Esta tendencia será discutida al detalle más adelante.

Berthelot & Salin (Sección V) discuten los roles del conocimiento espacial de

los alumnos en el aprendizaje de la geometría. De esta contribución junto con

el análisis de la visualización de Duval y sus interacciones con el razonamiento

en geometría, surge el aspecto del razonamiento visual en geometría. Esto

será discutido en la última parte de esta contribución.

Jones (Sección VI) reta a la aproximación jerárquica, según la cual el

razonamiento intuitivo precede necesariamente al razonamiento formal. Su

ejemplo proporciona evidencia que muestra cómo los alumnos oscilan entre el

razonamiento visual intuitivo y el razonamiento deductivo mientras resuelven

problemas geométricos en un ambiente de aprendizaje basado en el uso de

software dinámico.

En lo siguiente, serán discutidas tres tendencias principales en el

aprendizaje del razonamiento geométrico: en la construcción de

demostraciones, en la geometría desde el contexto y visual. Las tres funciones

del razonamiento de Duval - demostración, expansión del conocimiento y

explicación servirán como un contexto de trabajo para el análisis del

razonamiento geométrico en cada uno de los anteriores.

1. El razonamiento en la construcción de demostraciones

En varios capítulos y secciones de este volumen se discute en profundidad el

rol de la demostración deductiva (e.g. Capítulos 5 y 6). Parece que hay un

consenso de que el razonamiento deductivo (o en la jerga del salón de clase la

"demostración") tiene aún un rol central en el aprendizaje de la geometría. Sin

embargo, la aproximación clásica es enriquecida ahora por nuevas facetas y

roles.

Considere los dos aspectos clásicos: el razonamiento deductivo como

parte de la cultura humana a ser aprendida por los seres humanos, y el

razonamiento deductivo como un vehículo para la verificación de las

proposiciones geométricas y para mostrar su universalidad.



Por generaciones, la geometría ha sido enseñada como el contexto para

la enseñanza del razonamiento deductivo y ha sido dominado por los aspectos

clásicos antes mencionados. El reclamo más sonoro contra esta visión es que el

producto - la demostración escrita - fue más importante que el proceso de

demostración, y consecuentemente la enseñanza tendió a omitir tanto el

contexto de visualización geométrica (formas y relaciones entre ellas) como al

aprendiz. En los tiempos actuales, los esfuerzos de desarrollo e investigación

están siendo dirigidos hacia la creación innovadora de ambientes de

aprendizaje que aún refieren al razonamiento deductivo como un elemento

básico del aprendizaje. Sin embargo, estos ambientes de aprendizaje tratan de

tomar en cuenta el punto de vista de los alumnos diseñando situaciones de

aprendizaje que ayuden a los alumnos a sentir una necesidad intrínseca por las

explicaciones, y consecuentemente hacen la invitación a apreciar la fuerza de

la justificación deductiva como una herramienta de explicación, e incluso

intentan producirlas.

Los esfuerzos curriculares más importantes en este espíritu son aquellos

que están basados sobre el software de geometría dinámica. (Para un análisis

detallado ver Hoyles sobre "demostración en contextos geométricos dinámicos"

en el Capítulo 4, y Jones en este Capítulo).

Una característica pedagógica principal de estos ambientes de

aprendizaje es que mediante la exploración y razonamiento inductivo los

alumnos se asocian para el descubrimiento de hechos geométricos y la

reinvención de las relaciones geométricas. Los aspectos sugeridos por Duval

sobre el ver el razonamiento como una extensión del conocimiento y como una

herramienta explicativa, cobran vida en la realidad de la clase usando estos

ambientes de aprendizaje. Mediante la experimentación y la generalización

inductiva, los alumnos extienden su conocimiento sobre las formas y las

relaciones geométricas y extienden su ` vocabulario ´ de formas legítimas de

razonamiento. El razonamiento deductivo se transforma entonces en un

vehículo para el entender y explicar el porqué pudiera funcionar la conjetura

descubierta inductivamente. Más aún, el razonamiento deductivo se transforma

en el medio para convencer a otros de la validez de la conjetura descubierta

(de Villiers, [1]).

2. El razonamiento en el aprendizaje de la geometría desde el contexto



La actividad de aprendizaje en ambientes de geometría dinámica es una

tendencia que demuestra la `democratización ´ del razonamiento en el

aprendizaje de la geometría. Una segunda tendencia es la que es llamada el

razonamiento en el aprendizaje de la geometría desde el contexto. Según esta

visión, el conocimiento geométrico puede y debe ser construido de una manera

significativa en contextos que puedan servir como "campos de experiencia"

(Bartolini Bussi & Boero, Sección III) o como "trampolines geométricos",

(Lehrer & Ronberg, Sección IV). El contexto deberá ser `realista ´ para los

alumnos, donde realista es tomado en un sentido amplio. Gravenmeijer ([3])

describe una concepción `realista ´ del currículo Alemán (qué también sirve

para otros):

... realista se refiere a aquello que es experiencialmente real para los

estudiantes, incluyendo a las propias matemáticas. Una vez que los estudiantes

han dominado algunas matemáticas, las propias matemáticas se transforman

en un contexto ` realista ´.

En la actualidad existen muchos currícula y proyectos de investigación

para los cuales los contextos realistas tienen diferentes significados. Cada uno

tiene sus propias características especiales en teoría, desarrollo e

investigación. En la Sección III, Bartolini Bussi & Boero describen los progresos

de su trabajo en Italia, donde ellos designaron "campos de experiencia"

basados en "basados en fenómenos que son notables a la historia de la

cultura". Gravemeijer [3] en la Sección 3.3 in Herkowitz, Parzysz & van

Dermolen ([6], pp. 176-193) discuten la teoría y práctica de la enorme

cantidad de trabajo en geometría hecha en el marco del programa Alemán de

la educación matemática realista. En la Sección IV de este Capítulo, Lehrer &

Romberg ilustran por ejemplo el trabajo de investigación y desarrollo de "la

geometría desde el contexto" en USA.

Hay algunas características cruciales comunes a todas estas

aproximaciones. Una característica clave es la que Gravemeijer [3] llama

"reinvención a través de una matematización progresiva". Los alumnos son

confrontados con situaciones en las que ellos observan y resuelven problemas

en un contexto geométrico realista e investigan los invariantes de figuras

geométricas y relaciones bajo cambios realistas. En esta interacción con el

contexto ellos matematizan, digamos que ellos construyen acciones mentales

superiores. La Matematización es vista como una actividad humana, como una



clase de proceso de organización mediante los cuales elementos de un contexto

son transformados en objetos geométricos y relaciones.

La internalización en la que el aprendiz transita a través de "la

transformación de la actividad externa en actividad interna" (Wertsch & Stone,

[11], p. 162) es un aspecto importante de la matematización. Bartolini Bussi &

Boero hablan acerca de "la evolución del contexto interno de los alumnos, a

través de la actividad desarrollada en los campos de experiencia". Ellos

proponen que en esta transición, el conocimiento geométrico, construido como

una `herramienta ´ en un campo de experiencia específico, se transforma en

un objeto geométrico explícito el cual puede ser implicado mientras

interacciona con otro campo de experiencia.

La matematización en geometría requiere de razonamiento geométrico.

Las diferentes clases de razonamiento y explicaciones, emergen de la

necesidad de actuar geométricamente (para matematizar) en "diferentes

campos de experiencia", son parte de las similitudes y diferencias entre estos

ambientes geométricos. Este el cambio de "lo que veo" a "cómo lo veo" de

acuerdo con el cambio de posición de uno mismo (del observador), descrita por

Gravemeijer [3], quien invita al aprendiz a hacer uso de herramientas

geométricas reinventadas por los alumnos (i.e. líneas de visión y ángulos).

Bartolini Bussi & Boero describen cómo exploran los estudiantes el

fenómeno de la sombra mediante la hechura de conjeturas basadas en su

experiencia, y cómo este razonamiento inductivo ofrece los "argumentos" para

la construcción subsiguientes de demostraciones. La tarea de diseñar una

sobrecama, descrita por Lehrer & Romberg (Sección IV), ejemplifica un sentido

relativo de matematización, en el que el conocimiento informal de los niños

sobre la sobrecama y su estética en cuanto a qué es lo que hace "interesante"

a una sobrecama, son transformadas progresivamente y expresadas de nueva

cuenta como las matemáticas del plano. La necesidad de los estudiantes en el

segundo grado de explicar a sus profesores y a sus compañeros lo que ellos

están haciendo y porqué, los empuja a inventar un sistema de notación. Este

sistema de notación les permite, en un estadio posterior, descubrir y explicar

muchos hechos geométricos acerca de las composiciones de las

transformaciones en la esencia de los cuadrados y sus diseños de sobrecamas.

En resumen, las tres funciones del razonamiento de Duval están bien

expresadas en el aprendizaje de la geometría desde el contexto. Como parte de



la matematización los alumnos razonan y explican mientras construyen y

expanden su conocimiento geométrico. El razonamiento como demostración

empieza desde muchas clases de justificaciones inductivas; por ejemplo, en el

estudio de Lehrer & Romberg la falla generalizada para encontrar un

contraejemplo fue tomado por los alumnos como una verificación. En general

parece que estas justificaciones empujan al alumno hacia demostraciones más

formales; e.g., Bartolini Bussi & Boero proponen que: "el razonamiento que

provoca las conjeturas ofrece el "argumento" para la construcción subsiguiente

de una demostración".

3. Sobre el razonamiento visual

Por un lado, se ha propuesto que la visualización en educación matemática

está en su renacimiento (Zimmerman & Cunningham, [12]). Pero, por otro

lado, parece que se han hecho muy pocos esfuerzos pedagógicos para

realizarlo (ver Berthelot & Salin en la Sección V). Pudiera ser que la comunidad

esté haciendo la suposición cándida de que los humanos nacemos con las

habilidades de pensamiento visual y que éstas son aplicadas cuando se

necesitan, y consecuentemente no se requiere hacer nada para alimentarla o

desarrollarla. (Para más sobre educación visual y su estatus, ver Herskowitz,

Parzysz & van Dormolen, [6].)

En lo siguiente, hemos visitado de nuevo algunas visiones ampliamente

difundidas sobre el razonamiento visual, y retado algunas de sus suposiciones

subyacentes e incluso explícitas.

Duval (Sección II) distingue entre procesos visuales y procesos de

razonamiento, y parece sugerir que son categorías diferentes de pensamiento.

Él propone que una función principal de los procesos visuales es el de la

verificación subjetiva. Incluso si estamos de acuerdo con esta visión de la

visualización (y levantamos algunos cuestionamientos sobre ello más abajo),

muchos educadores matemáticos incluyen la verificación subjetiva como una

parte integral del razonamiento en general.

Como es propuesto en Dreyfus ([2]), parece que el razonamiento visual

tiene un bajo estatus. Este es referido principalmente como un estadio

intuitivo, de apoyo, global y preliminar en los procesos de razonamiento en

general, el cual en algunas ocasiones apoya razonamientos posteriores, y

algunas veces los obstruye. Haciendo uso de las funciones del razonamiento de

Duval nosotros nos referimos al razonamiento visual como algo mucho más que



esto: éste incluye a muchos, si no a la mayoría de los aspectos atribuidos a

otras clases de razonamiento incluyendo aspectos analíticos e incluso la

demostración. Más aún, el razonamiento visual puede funcionar por sí mismo a

fin de completar argumentos matemáticos rigurosos o combinado con otras

clases de razonamiento, no necesariamente como algo preliminar a ellos (ver

Jones, Sección VI).

Reconocimientos: Quiero agradecer a Maxim Buckenheimer, Abraham

Arcavi y Joop van Dormolen por sus lecturas en el transcurso y sus retadores

comentarios.



REFERENCIAS

[1] De Villiers, M.D., An alternative approach to proof in dinamyc geometry, In

R. Lehrer & D. Chazan (Eds), Designing Learning Environments for Developing

Understandings of Geometry and Space, Lawrence Erlbaum Ass. (in press)

[2] Dreyfus, T., On the status of visual reasoning in mathematics and

mathematics education, In the Proceedngs of the 15th Conference of the PME,

Assisi (Italy). Vol. 1. pp. 33-48, 1991.

[3] Gravemeijer, K., From a different perspective: building on student´s

informal knowledge, In R. Lehrer & D. Chazan (Eds), Designing Learning

Environments for Developing Understandings of Geometry and Space, Lawrence

Erlbaum Ass. (in press)

[4] Hanna, G., Some pedagogical aspects of proof. Interchange, vol. 21, Nº. 1,

pp. 6-23, 1990.

[5] Hanna, G., The ongoing value of proof, In Puig L. & Gutiérrez A. (Eds).

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34, 1996.

[6] Hershkowitz, R., Parzysz, B. & van Dormolen, J., Space and Shape, In A.J.

Bishop et al. (Eds) International Handbook of Mathematics Education, Kluwer,

pp. 161-204, 1996.

[7] ] Hershkowitz, R., Visualization in geometry: two sides of the coin, Focus

on learning problems in mathematics. Vol. 11 (1), pp. 61 - 76, 1989.

[8] Lampert, M., When the problem in not the question and the solution is not

the answer, Mathematical knowing and teaching, American Educational

Research Journal, Vol. 27, Nº. 1, pp. 29-63, 1990.

[9] Von Glaserfeld, E., Radical Constructivism in Mathematics Education,

Reidel, 1988.

[10] Vygotsky, L.S., Mind and Society, The development of higher

psychological processes, Harvard Universityy Press, 1978.

[11] Wersch, J.V., & Stone, C.A., The concept of internalization in

Vygotsky´saccount of the genesis of higher mental functions, In J.V. Wertsh,

(Ed): Culture communication and cognition. Pp. 162 - 179. Cambridge

University Press, 1989.

[12] Zimmermann, W. & Cunningham, S., What is mathematical visualization?,

in W. Zimmerman & S. Cunningham (Eds), Visualization in Teaching and

Learning Mathematics, Mathematica Association of America, 1991.



Lectura Nº 14

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA RECUERDOS, EXPECTATIVAS Y CONCEPCIONES DE

LOS ESTUDIANTES PARA MAESTRO SOBRE LA GEOMETRÍA ESCOLAR.

Tomado de “ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS”, 2004, 22(2) Barrantes, Manuel y Blanco, Lorenzo, J. Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y de las Matemáticas Universidad de Extremadura. Badajoz [email protected] [email protected] IMPORTANCIA DE LAS CONCEPCIONES EN LA FORMACIÓN INICIAL DE LOS MAESTROS Numerosos trabajos de investigación han puesto de manifiesto la importancia de analizar las concepciones de los estudiantes para profesores durante su proceso de formación (Koballa y Crawley, 1985; Bromme, 1988; Ernest, 1989, 2000; Thompson 1992; Pajares, 1992; Fennema y Loef, 1992; LLinares, 1993; Mellado, 1996; Azcárate, 1996; Blanco, 1997; Flores, 1998). El papel de intermediario de los futuros profesores, entre el currículo y los alumnos, no va a ser de un simple transmisor de directrices y sugerencias oficiales, ni siquiera aunque lo intentasen, pues sus concepciones se van a situar en medio de todas las tareas que prepara o realiza en el aula: «El profesor no motiva a ciegas el aprendizaje, como mero operario, sino que interpreta y aplica el curriculum oficial según unos criterios, entre los que destacan sus concepciones.» Carrillo (2000, p. 80). A este respecto, es conveniente resaltar que algunos de estos trabajos ponen de manifiesto las diferencias entre las concepciones de los estudiantes para profesor y las directrices actuales (Marks, 1991; Llinares, 1996; Blanco, 1997). El modelo de enseñanza experimentado en la escuela primaria y secundaria ha marcado sus concepciones sobre diversos aspectos de la matemática y de su enseñanza-aprendizaje, como el contenido matemático escolar, los objetivos de la enseñanza de las matemáticas, el currículo matemático, el tipo de tareas a desarrollar, y sobre uno mismo en relación con la educación matemática. Además, estas concepciones se van estabilizando y haciéndose resistentes a los cambios conforme avanzan en niveles educativos, y condicionarán el uso que hagan de ellas, bien como ciudadanos o como profesores (Marks, 1991; Gómez-Chacón, 2000). Para Ponte (1992) y González (1995), las concepciones son una especie de lente o de filtro que los estudiantes utilizan, consciente o inconscientemente, para filtrar, y en ocasiones bloquear (Ponte, 1992), los contenidos de la didáctica de las matemáticas de los cursos de formación y para interpretar su propio proceso formativo. Las concepciones disponen y dirigen también sus experiencias docentes durante las prácticas de enseñanza aunque en algunos aspectos existen contradicciones entre las concepciones y las conductas docentes (Mellado, 1996). Las referencias que los futuros profesores tienen en cuanto fueron alumnos en la disciplina de matemáticas aparecen casi siempre con influencias fuertes y



negativas en el proceso de aprender a enseñar (Borrallo, 1995; Fernandes, 1995; Ernest, 2000). Dentro de las investigaciones que se vienen desarrollando en España sobre la formación de profesores (Llinares, 1998), existen trabajos centrados en los profesores de primaria en formación (Castro y Castro 1992; Llinares, 1993; Azcárate, 1996; Blanco, 1997; Contreras y Climent, 1999; Hernández, Palarea y Socas, 2000; Contreras y Blanco, 2002). Y, como consecuencia de ello, los investigadores asumen que, para aprender a enseñar matemáticas, se deben considerar las exigencias que proceden de las propias concepciones y conocimientos sobre la matemática, sobre su enseñanza-aprendizaje y todas las influencias externas implicadas en la educación. Todas ellas forman parte del conocimiento profesional, y deberían ser trabajadas en procesos reflexivos de formación partiendo en todos los casos de las concepciones de los estudiantes, pues las mismas, junto con sus conocimientos, van a caracterizar su futuro como profesores de matemáticas. RECUERDOS, EXPECTATIVAS Y CONCEPCIONES SOBRE GEOMETRÍA ESCOLAR Y SU ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE Asumiendo la importancia que el estudio de las concepciones debe tener en los programas de formación inicial, hemos desarrollado una investigación (Barrantes, 2002) en la que el objetivo principal ha sido describir y analizar las concepciones sobre la geometría escolar y su enseñanza-aprendizaje de los estudiantes para maestro. En el trabajo hemos partido de la hipótesis (Fig.1) de que los recuerdos y las expectativas de los estudiantes nos dan información para caracterizar sus concepciones en el campo de la geometría y su enseñanza-aprendizaje en primaria. El término recuerdo aparece en el diccionario de la lengua española (RAE, 1992) como «memoria que se hace o aviso que se da de una cosa pasada o de que ya se habló». Para la psicología, el recuerdo es «una producción de la memoria que conserva el sabor original de la representación del pasado, así como los detalles, los accidentes y la carga afectiva de acontecimiento.» (Enciclopedia de la Psicología y la Pedagogía, 1978, vol. 7, p. 107). Los recuerdos que estudiamos se encuentran en la memoria a largo plazo, que es el lugar en el que se almacena la información permanente. Hemos de tener en cuenta que a veces los recuerdos son incorrectos, pues la forma en que aprendemos y procesamos la información y el contexto físico y emocional afecta a la mejor o peor recuperación posterior. Aunque el recuerdo, en contraposición al saber, es una información mucho más pobre, es también organizada y limitada a lo importante. En nuestro caso, el término se empleará, de acuerdo con las definiciones dadas, como estímulo de la memoria a largo plazo de los estudiantes sobre sus experiencias sobre la geometría y su enseñan-za-aprendizaje en su etapa como discentes de primaria. El término expectativa aparece en el diccionario de la lengua española (RAE, 1992) como «cualquier esperanza de conseguir una cosa, si se depara la oportunidad que se desea». En nuestro caso, esta definición genérica se traduce en una serie de ideas, actitudes, estrategias y posicionamientos sobre distintos aspectos implicados en la enseñanza-aprendizaje de la geometría, que el estudiante considera que serán idóneos para desarrollar una buena actividad profesional. Utilizamos el término expectativas y no el de perspectivas, ya que éstas últimas incluyen acciones y no solamente disposiciones al acto; además, las



perspectivas son específicas de situaciones y no representan concepciones generalizadas. El término perspectiva es considerado, en Tabachnick y Zeichner (1984), a partir de la definición de Becker y otros (1961, p. 34), como «un conjunto coordinado de ideas y acciones que una persona utiliza en relación con alguna situación problemática». En nuestro estudio, por tanto, el término expectativa está más identificado con ideas y actitudes hacia la enseñanza-aprendizaje de la geometría –es decir, lo que podíamos denominar unas perspectivas a priori–, ya que nuestro objetivo no es solamente identificar unas actitudes hacia esta enseñanza sino que los estudiantes expresen sus ideas y reflexionen de una manera genérica sobre aspectos generales como metodología, contenidos, actividades, etc. El concepto de expectativa se acerca más a lo que Llinares y Sánchez denominan las perspectivas de acción y definen como: «Una serie de expectativas sobre el conocimiento, motivación y conducta del estudiante, así como de posibles estrategias pedagógicas que posiblemente serán efectivas para comunicar el contenido de los alumnos o manejar la clase.» (Llinares y Sánchez, 1990b, p. 168). Figura 1 Cuadro general de la hipótesis de investigación.

Finalmente, el significado del término concepción ha sido ya suficientemente tratado en diferentes estudios (Thompson 1992; Pajares, 1992; Mellado, 1996; García, 1997; Flores, 1998; etc.). A partir de ellos, y teniendo en cuenta una amplia variedad de matices, utilizamos el vocablo concepción refiriéndonos, en términos de Thompson, a una estructura mental de carácter general, que incluye «creencias, conceptos, significados, reglas, imágenes mentales y preferencias, conscientes o inconscientes» (Thompson, 1992, p. 132). El enfoque de nuestro estudio también sigue las directrices más específicas sobre la idea de concepción que Carrillo (1998) y Contreras (1999) utilizan en sus trabajos de tesis: «conjunto de creencias y posicionamientos que el investigador interpreta que posee el individuo, a partir del análisis de sus opiniones y respuestas a preguntas sobre su práctica». (Carrillo, 1998, p. 42). Sin embargo, en nuestro caso las opiniones y respuestas lo serán sobre sus recuerdos y expectativas. También hemos tenido en cuenta la distinción que hace Thompson (1992) entre concepciones y conocimiento para poder hacer una valoración más rigurosa de



las primeras. Así, «una característica de las concepciones es que pueden ser consideradas desde distintos grados de convicción y no son consensuadas» (Thompson, 1992, p. 129), mientras que el conocimiento debe satisfacer condiciones de validez. Los conocimientos de los estudiantes sobre esta etapa de su vida escolar pueden ser fácilmente explicitados por éstos. No ocurre así con las concepciones que son implícitas y difíciles de mostrar. Por ello, a partir de la información que los estudiantes nos den sobre los recuerdos que producen sentimientos de conformidad o rechazo y sobre las expectativas que son más fácilmente verbalizables y se mueven en el plano de los deseos, queremos obtener información sobre sus concepciones relativas a la geometría y a su enseñanza-aprendizaje. Nuestra hipótesis considera que, cuando los recuerdos son positivos, el estudiante genera una serie de concepciones que redundan en expectativas de enseñanza-aprendizaje similares a las recordadas. También, cuando los recuerdos no son positivos, se produce un sentimiento de rechazo que hace que el alumno conciba una serie de expectativas diferentes a sus recuerdos. Así, pues, el análisis de esos recuerdos y de esas expectativas que son más fácilmente explicitadas por los estudiantes pueden llegar a darnos información sobre cuáles son las concepciones. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN De acuerdo con la hipótesis y el objetivo formulado, la investigación se ha llevado a cabo con estudiantes para maestro de la especialidad de primaria que no habían recibido todavía ninguna instrucción sobre la geometría y su enseñanza-aprendizaje en el ámbito de la educación matemática. En estas condiciones, el estudio se realizó con estudiantes para maestro durante los cursos 19961997 y 1999-2000. En el trabajo hemos partido de un sistema de categorías y subcategorías elaborado a priori teniendo en cuenta las propuestas curriculares actuales y los trabajos específicos sobre la didáctica de la geometría. Dada la amplitud del tema, decidimos limitarnos a categorías relacionadas con la enseñanza-aprendizaje de la geometría, no considerando otras relacionadas con los conocimientos de la materia, conocimientos pedagógicos o del contexto, que serán objeto de posteriores trabajos. Las categorías finales fueron: 1) GE - Geometría escolar y su enseñanza 2) CO - Contenidos escolares de geometría 3) ME - Metodología en la geometría escolar 4) MA - Materiales en la geometría escolar 5) RE - Recursos en la geometría escolar 6) AC - Actividades de geometría escolar 7) AP - Aprendizaje en la geometría escolar 8) PA - Papel del alumno 9) PM - Papel del maestro 10) EV - Evaluación en la geometría escolar Dado que nuestro objetivo es fundamentalmente descriptivo-interpretativo, hemos optado por una metodología cualitativa, rica en descripciones y explicaciones de los procesos que ocurren en contextos locales, la cual nos aporta datos de los recuerdos y expectativas de los estudiantes desde el interior del grupo y desde sus propias ideas. De manera complementaria hemos cuantificado algunos resultados para reafirmar o no la significación e influencia de los mismos.



Hemos puesto el énfasis en el lenguaje, en la interpretación de los hechos humanos y en la toma del punto de vista del informante para comprender en, más profundidad, los acontecimientos tal como los viven los estudiantes. Para ello, hemos utilizado un método no interactivo basado en dos cuestionarios de preguntas abiertas donde plasmar sus recuerdos como discentes y sus expectativas como futuros maestros que impartirán geometría en primaria. Éstos fueron validados por un grupo de investigadores expertos y por una muestra homogénea al grupo a investigar que nos permitió negociar el significado de cada una de las expresiones contenidas para adecuarlas a los objetivos de la investigación. Ambos cuestionarios tenían referencias similares sobre sus experiencias como alumnos y sobre sus expectativas para poder compararlas y explicitar mejor sus concepciones. Con posterioridad a los cuestionarios, hemos utilizado un método interactivo del tipo grupo de discusión que se trata de una «una técnica no directiva que tiene por finalidad la producción controlada de un discurso por parte de un grupo de sujetos que son reunidos, durante un espacio de tiempo limitado, a fin de debatir sobre determinado tópico propuesto por el investigador.» (Gil, 1992-93, p. 201). La utilización de estos dos métodos nos permite acceder a los procesos internos de los estudiantes ayudándoles a verbalizar sus recuerdos y sus expectativas sobre la geometría escolar mediante sus pensamientos, sus emociones o explicando sus decisiones. Los grupos de discusión han sido utilizados en otras disciplinas y comienzan a ser empleados en la investigación educativa. Una de las características de estos grupos es establecer y facilitar un debate más que entrevistar al grupo (Watts y Ebbut, 1987), y tiene la ventaja sobre la entrevista individual de minimizar el aspecto intimidador, ya que las personas que comparten un problema estarán más dispuestas a hablar con otras del mismo problema (Lederman, 1990). Los resultados son mejores que los obtenidos a partir de individuos aislados debido a que los productos de las situaciones sociales surgen de la interacción social (Persico y Heawey, 1986). Nuestra experiencia como docentes nos dice que los estudiantes, al comienzo de su formación, no son buenos informantes sobre los temas que vamos a tratar, pues no están acostumbrados a dialogar sobre estos aspectos y tienen bastantes problemas con el léxico específico de educación. En este sentido, Gil afirma: «Los grupos de discusión producen un tipo de datos que difícilmente podría obtenerse por otros medios, ya que configuran situaciones naturales en las que es posible la espontaneidad y en las que, gracias al clima permisivo, salen a la luz opiniones, sentimientos, deseos personales que en situaciones experimentales rígidamente estructuradas no serían manifestados.» (Gil, 1992-93, p. 210). Para la selección de los individuos de estudio mediante los grupos de discusión, analizamos uno a uno los cuestionarios. Del análisis, observamos que en sus recuerdos no había gran diferenciación; sin embargo, el análisis del segundo cuestionario sobre las expectativas mostraba diferencias significativas que daban lugar a una segmentación de la población en tres grupos de estudiantes diferenciados por una serie de características comunes. En el primer grupo, la mayoría de sus respuestas mostraban unas ideas y expectativas cercanas a la tendencia tradicional o tecnológica. En el segundo, en cambio, sus ideas eran cercanas a tendencias a priori más innovado-ras, es decir, con rasgos espontaneistas o investigativos (Carrillo, 1998; Contreras, 1999; Climent, 2002). Por último, un tercer grupo mostraba en sus declaraciones respuestas a veces contradictorias y que no clasificaban al individuo dentro de los dos grupos formados anteriormente. No había un



número significativo de respuestas que les encasillaran en una de las dos tendencias. Seleccionamos, de cada uno de los tres grupos, cuatro individuos, tras volver a repasar los cuestionarios, para asegurarnos de que los seleccionados eran buenos informantes. El número de personas seleccionadas para cada grupo estaba cerca de los mínimos recomendados para este tipo de estudio; no queríamos correr el riesgo de ver ahogada la interacción y no producir un diálogo lo suficientemente activo (Folch-Lyon y Trost, 1981). Nuestro papel en los grupos de discusión se limitó a plantear una cuestión, provocar el deseo de discutirla y catalizar la producción del discurso deshaciendo bloqueos y controlando su desarrollo para que se mantuvieran dentro del mismo tema. Procuramos que nuestra intervención fuera mínima para garantizar que la información recibida no había sido filtrada por nuestras reticencias. Por ello, antes de las intervenciones preparamos una lista de tópicos que deseábamos abordar de acuerdo con las categorías en los cuales nos interesaba corroborar algunas cuestiones y profundizar sobre otras que no habían quedado suficientemente claras en el estudio previo de los cuestionarios. Para la recogida de los datos utilizamos una grabadora, lo que permitió contar con la sesión completa al llevar a cabo el análisis, ya que «la experiencia ha demostrado que el inicial efecto inhibidor de la grabadora desaparece tras un breve período de tiempo.» (Folch-Lyon y Trost, 1981, p. 448). Las sesiones, de una hora aproximadamente de duración, eran suspendidas cuando considerábamos que toda la información sobre los temas a tratar había sido recogida. Llegado un momento, todas las declaraciones de los estudiantes eran reiterativas y no añadían nada nuevo. Una vez realizada la experiencia, los mismos estudiantes se encargaron de transcribirla. Esto permitía que, al estar implicados en el proceso, anotaran en la transcripción no solamente lo discutido sino todas las observaciones, incluidas las de tipo actitudinal, que ellos descubrieran o recordaran que se habían producido durante la interacción grupal. Registraban las convenciones prosódicas, es decir, las variaciones de tono, intensidad y cantidad de voz, los silencios, etc. La utilización de la grabadora durante las sesiones fue básica para realizar este tipo de anotaciones. Tratamiento inicial de la información recogida en los cuestionarios El elemento básico para el análisis de cuestionarios y grupos de discusión fueron las unidades de análisis que se definen como palabras o conjuntos de ellas procedentes de las respuestas, que tienen significado en relación a los objetivos de la investigación. Las unidades de análisis constituyen un fragmento de texto de unidad variable, dependiendo de la extensión con que se hable del recuerdo o expectativa implicada. Puede ser una oración o un conjunto de oraciones que no tienen por qué coincidir con las respuestas o intervenciones individuales de los estudiantes. A partir de esas unidades de análisis, en el primer cuestionario se elaboran las ideas núcleo que se definen como: «Una serie de principios, fundamentos o ideas básicas a través de las cuales apoyar y articular los sistemas conceptuales de los estudiantes para maestro.» (Llinares y Sánchez, 1990b, p. 168). En el segundo cuestionario obtendríamos sus expectativas, que son descripciones de acciones docentes que serían deseables para conseguir una buena enseñanza de la geometría.



En el análisis intervienen también razones como: «Declaraciones verbales, argumentos, que pueden apoyar el establecimiento de las ideas núcleo y que también se utilizan para describir la conexión entre las ideas núcleo y las perspectivas de acción.» (Llinares y Sánchez, 1990b, p. 168). Éstas, relacionadas con las ideas núcleos o con las expectativas, son afirmaciones que apoyan por qué se mantienen determinados principios o ideas fundamentales. El estudio conjunto de las ideas núcleo y las expectativas, reforzadas por las razones, realizado en los cuestionarios y en los grupos de discusión, nos daría información sobre las concepciones de los estudiantes (Fig. 2). Figura 2 Esquema para el análisis de datos. Cuestionario sobre recuerdos Grupos de discusión Referencias Cuestionario de expectativas Grupos de discusión Referencias

Las fases que hemos considerado para el análisis de los datos en ambos instrumentos son las siguientes: a) Lectura global de los textos buscando una convergencia de las distintas respuestas de cada ítem o de las transcripciones de los grupos de discusión que nos permitiera iniciar un análisis más sistemático. En el margen de los textos, realizábamos anotaciones buscando su posible relación con alguna categoría o subcategoría, o bien las ideas que más se repiten para su uso posterior. b) Segmentación en unidades de análisis y su agrupamiento según las categorías y subcategorías establecidas en cada uno de los cuestionarios y grupos de discusión. Esto posibilita la obtención de las ideas núcleo y expectativas que serán apoyadas por diferentes razones. c) Análisis por separado y luego conjunto de los datos obtenidos en los cuestionarios y en los grupos de discusión, tratando de conocer hasta qué punto los resultados de los grupos de discusión coinciden con los obtenidos en los cuestionarios. En estos análisis, aunque no es prioritario, está siempre presente un estudio cuantitativo paralelo realizado sobre las frecuencias en las que aparecen las unidades de análisis. Este estudio complementa los resultados obtenidos por la vía cualitativa, pues nos da información sobre qué ideas o expectativas son las que se presentan con mayor frecuencia y qué concepciones y qué tendencia educativa son las más arraigadas. d) Una fase final de este análisis cualitativo consistirá en verificar los resultados del mismo, es decir, aportar argumentos o realizar comprobaciones que permitan defender que los resultados obtenidos son ciertos. La validez de



los resultados de un estudio la entendemos como conectada a la validez de los datos. En nuestro estudio, para una mayor validación, el análisis conjunto ha sido comparado con documentos e investigaciones del campo de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas o en particular de la geometría (Morales, 1990; NCTM, 1991, 1995; Clements y Battista, 1992; Pérez, 1994; Guillén, 1997; Huerta, 1997; Barrantes, 1998; Contreras y Climents, 1999, Carrillo, 2000; Blanco, 2001; Hernández, Palarea y Socas, 2001, entre otros). De esta manera, se resaltan algunos resultados que son relevantes en la educación geométrica y otros generales de la educación matemática. La geometría escolar es difícil y difícil de enseñar en la escuela Para comprender el trabajo realizado vamos a poner un ejemplo concreto de cómo hemos ido obteniendo las concepciones de los estudiantes para maestro. En este caso, en relación con la primera categoría sobre la geometría escolar y su enseñanza. En el cuestionario de recuerdos se formulaban diferentes preguntas acerca de los recuerdos de los estudiantes sobre la geometría escolar. Una de ellas, relacionada con la dificultad de la geometría, decía: «¿Te parecía más difícil la geometría que otras partes que estudiabas de las matemáticas?» Observamos que una amplia mayoría admitía la mayor dificultad de la geometría. De entre las respuestas dadas, señalamos diferentes unidades de análisis, que asociamos a dicha pregunta: Todas las partes de la geometría. La geometría era la parte más difícil para mí. Otras unidades nos daban información más concreta: En educación primaria vi muy poco de geometría. No siempre se da. Esta idea de poca dedicación a la geometría se llevó a los grupos de discusión y, del debate, entresacamos algunos párrafos: D.N.: Los temas de geometría eran más cortos y se dan al final o no se daba. D.C.: La parte de geometría se da con más prisa. Muchas veces no se daban las fórmulas del todo. F.: En 6º, no llegábamos. Así pues, una de las razones que justificaban la dificultad de la geometría es la poca dedicación en el periodo escolar. En los textos, buscábamos más razones que nos permitieran comprender sobre la dificultad de la geometría que nos señalaban los estudiantes en las respuestas del cuestionario de recuerdo: La dificultad está en las fórmulas, había que memorizarlas, y en los problemas. En los libros de texto sus contenidos están al final. Y, al mismo tiempo, encontramos algunas ideas núcleo que habíamos inducido a partir de otras unidades de análisis: Se dedicaba más tiempo a los temas numéricos, que son más fáciles. El análisis conjunto de todos estos elementos nos permitía elaborar una nueva idea núcleo correspondiente a la primera categoría: «La geometría es más difícil que otras partes que estudiábamos de las matemáticas escolares.» En la pregunta correspondiente al cuestionario de expectativas de enseñanza-aprendizaje de la geometría escolar encontramos las siguientes razones relacionadas con el mismo tema: Una materia muy teórica o abstracta. Complicada de comprender. Se necesita una mayor capacidad de razonamiento.



Dificultad de memorizar las fórmulas. Dificultad de los problemas. En los grupos de discusión se añade que la dificultad de la enseñanza-aprendizaje de la geometría es debido al desconocimiento de los contenidos y la metodología experimentada: Ra: Cuando tengamos una serie de conocimientos, como a nosotros nos lo han enseñado tan mal, pienso que utilizaremos otros métodos o más recursos o, no sé, otra metodología para que los niños lleguen a comprenderla mucho mejor... Yo creo que la vemos difícil por como nos la han enseñado, no porque sea difícil. (Grupo 3) M A: (…) ahora mismo para mí si sería difícil porque yo no me acuerdo de las fórmulas ni nada de eso, pero una vez que ya las sabes y además tienes claro qué tienes que enseñar y cómo enseñarlo, yo pienso que no. (Grupo 2) De estas razones podemos inducir la expectativa: «La geometría será difícil de enseñar en la escuela.» El estudio revela que los estudiantes conciben la geometría como una materia difícil influidos por las condiciones desfavorables (poca dedicación, impartida al final del curso...) en las que la aprendieron. Esta idea núcleo junto con el poco dominio que los estudiantes tienen sobre el contenido, metodología y actividades apropiadas hace que, además, en sus expectativas vislumbren dificultades en su actividad como profesores de matemáticas cuando tengan que enseñar geometría. La idea núcleo y la expectativa considerada nos permite enunciar una concepción de los estudiantes para profesores sobre la enseñanza de la geometría escolar que se correspondería con la primera categoría: «La geometría escolar es difícil y difícil de enseñar en la escuela.» RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN Como resultado global podemos afirmar que la tendencia general serían estudiantes en los que sus recuerdos sobre la geometría y su enseñanza-aprendizaje es el factor más importante que influye en sus concepciones, pero que no desean ser imitadores de sus maestros, pues intuyen que hay una cultura de enseñanza-aprendizaje distinta que puede ser aplicada, aunque apenas la conocen ni la han experimentado. Esto hace que sus recuerdos tengan más peso en sus concepciones que sus expectativas. A modo de resumen presentamos algunos resultados relevantes obtenidos en relación con las categorías establecidas.

1. Geometría escolar y su enseñanza-aprendizaje La finalidad de la geometría es su utilidad en la vida ordinaria. Para algunos estudiantes, también, la finalidad es simplemente adquirir conocimientos, bien como cultura general, porque es una parte de las matemáticas y todas son importantes, o como base para otros conocimientos o de aplicación a la vida real, aunque esto último es más un recurso dialéctico, ya que no saben dar situaciones concretas que ejemplifiquen su idea. A lo largo de todo el estudio se descubre que hay una disociación entre su cultura matemática y la enculturación matemática de las propuestas curriculares actuales. Contenidos escolares de geometría Los estudiantes tienen lagunas de conceptos de geometría escolar; algunos no conocen ni el contenido básico. Los contenidos que declaran conocer mejor son los relacionados con la geometría plana. Han trabajado menos la geometría



espacial y apenas conocen los temas de isometrías. Estos últimos son olvidados en sus propuestas didácticas. Para ellos, el tema de la medida es el más importante, aunque lo consideran dentro del campo numérico, debido a la enseñanza recibida y por la concepción de aplicabilidad de la geometría en la resolución de problemas y en la vida ordinaria. Todo esto hace que los temas numéricos, que son a los que más tiempo dedicaba el maestro, sean considerados más asequibles y más importantes en el contexto de la enseñanza-aprendizaje. Así, en sus expectativas, estos temas son prioritarios y serán los temas que enseñen si, en los centros de formación, no hay actuaciones adecuadas que sean capaces de modificar estas concepciones. También la influencia de sus conocimientos y experiencias les hace concebir que la geometría plana es más fácil que la geometría espacial; por tanto es más importante, y su enseñanza es básica.

2. Metodología en la geometría escolar Los estudiantes conciben que la geometría se debe enseñar de la misma forma que las otras partes de las matemáticas, salvo en el tema de las figuras, pues el alumno las tiene que manipular y por ello es el único que consideran motivante. Los estudiantes muestran que tienen una gran experiencia sobre metodologías de tendencia tradicional y tecnológica y una escasa o nula experiencia en otras metodologías. Cuando quieren mostrar ideas más innovadoras en sus expectativas, se fundamentan en las ideas teóricas adquiridas en las materias de pedagogía o psicología que cursan en la facultad o en su propia creatividad. La falta de conocimiento de contenidos y de estrategias metodológicas es un gran inconveniente para que los estudiantes den significado al contenido didáctico y hace que lo conciban como algo innecesario y vacío.


Distribución Gratuita

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Materiales, recursos y actividades Recuerdan que en geometría utilizaban materiales (figuras de madera y instrumentos para dibujar), aunque de forma esporádica, por lo que conciben que, en un principio, son motivantes por sí mismos y no por las actividades que se pueden realizar con ellos. Las actividades consistían en meras construcciones o dibujos sin ningún aprovechamiento didáctico posterior. Además, estas actividades no se planteaban desde la geometría sino desde otras materias como dibujo o plástica. Conciben que no son actividades para aprender geometría, sino propias de otras materias y, por tanto, la mayoría no las consideran prioritarias en sus expectativas. Igualmente, aunque la mayoría tiene presente en sus expectativas la relación con la vida cotidiana, ésta se reduce a conocer las formas de algunos objetos y a resolver problemas del libro que hablan de aspectos cotidianos, sobre todo de medidas. Algunos estudiantes conciben esta relación como una actividad final y de refuerzo. En general es una relación artificial que es discordante con la concepción actual de partir de situaciones problema para llegar a la geometría. La palabra actividad es, para los estudiantes, sinónimo de resolución de ejercicios y problemas tipo, en los que toda la complicación consiste en saber la fórmula que hay que aplicar. No muestran mucho interés por otra clase de actividades como el manejo de figuras o realización de dibujos que son las que conocen. Las actividades geométricas están directamente extraídas del libro de texto y suelen ser de estudio de elementos de las figuras, clasificación y de medida. Éstas últimas se conciben dentro de las limitaciones algebraicas, simbólicas y formales. Con las mismas concepciones que sus maestros, los estudiantes derivan el estudio de la geometría al mundo de la medida y le dan poca consideración a los análisis y estudios basados en las figuras.

3. Aprendizaje Los estudiantes conciben el aprendizaje basado principalmente en la explicación y la práctica. Para éstos, en general, los alumnos aprenden los conceptos geométricos mediante la explicación del maestro. Posteriormente, en las actividades, se observa que el alumno ha aprendido cuando es capaz de resolver los distintos ejercicios y problemas tipo que incluyen uno o varios conceptos. La metodología clásica de la que proceden les hace considerar que hay dos aprendizajes distintos: por una parte, los conceptos geométricos, definiciones, propiedades, etc., lo que denominan la teoría y, por otra, la resolución de cada uno de los tipos de problemas, que son necesarios aprender para superar la evaluación. Por supuesto, por las consecuencias que conlleva, este segundo aprendizaje es el más importante. Entienden que no es recomendable el aprendizaje memorístico y que primero debe ser la comprensión y después la memorización. El concepto de comprensión lo basan en las explicaciones que pretenden desarrollar, aunque algunos consideran que se alcanza cuando se saben aplicar los contenidos en los ejercicios o problemas. Estas concepciones surgen como reacción contraria a sus experiencias, en las que el aprendizaje era básicamente memorístico. Los estudiantes muestran también grandes carencias con respecto a las relaciones con el maestro o con los propios compañeros. Recuerdan que con el maestro se limitaban a preguntar y resolver las actividades en la pizarra. La resolución de actividades era principalmente individual, salvo algunas actividades de construcción de figuras que se hacían en grupo. El recuerdo de estas experiencias genera en los estudiantes una dimensión afectiva de acercamiento a los alumnos que aparece en varias categorías. Así, algunos consideran que en el aprendizaje hay que tener en cuenta el interés, la participación o el esfuerzo del alumno. En sus expectativas, la mayoría estima más importante



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tener en cuenta los intereses de los alumnos que los conocimientos programados, mostrando un deseo de trasladar el centro del aprendizaje al alumno. La agrupación para el aprendizaje la conciben de una manera mixta, individual y en grupos pequeños, aunque en realidad dan más importancia al trabajo individual que en grupo. Esta importancia esta motivada por la falta de experiencias de actividades en grupos y no porque consideren que el trabajo en grupo no sea adecuado. Evaluación La evaluación es la categoría en la que los estudiantes muestran de una manera más acusada la influencia de sus recuerdos y sobre la que están más desinformados. El examen es el elemento más importante de la evaluación, por encima de las actividades en el aula o los aspectos actitudinales. Sin embargo, que sea considerado el elemento más importante no significa que sea el que estimen más idóneo para realizar las evaluaciones de sus alumnos. Los estudiantes afirman en sus expectativas que les gustaría que la evaluación se basara más en la observación del proceso de aprendizaje que en resultados de exámenes. La influencia de sus recuerdos les hace optar por una evaluación mixta en la que se tendrá en cuenta ambos aspectos. Al final y al realizar un análisis más completo de las ideas de los estudiantes, prevalece el examen sobre los demás elementos a considerar en la evaluación. La concepción de cómo debe ser el examen no tiene modificaciones con respecto a sus recuerdos. Los estudiantes están plenamente convencidos de que los exámenes deben ser prácticos y los problemas idénticos a los hechos en clase pero con los datos cambiados. Conciben que de esta manera el alumno deba comprender el problema y así evitarán su aprendizaje de memoria. Sólo algunos estiman que pondrían algunas preguntas de teorías pero en menor proporción que problemas. CONCLUSIONES FINALES En la década de los setenta, el auge que supuso la matemática moderna hizo que la geometría, que hasta esos años había sido una materia importante, pasase a ser una materia escolar de segundo término, ocupando los últimos capítulos de los libros de texto, a los que la mayoría de las veces el maestro no prestaba atención. Esta circunstancia dio lugar a que los estudiantes para maestros llegaran a los centros de educación con un conocimiento casi nulo de la geometría y sin apenas referentes sobre su enseñanza-aprendizaje. La formación posterior que recibieron como estudiantes para maestro estaba más relacionada con otros temas, como el numérico, que con la geometría y su enseñanza-aprendizaje. Actualmente estas circunstancias deberían haber cambiado como influencia de las propuestas curriculares aprobadas en la década de los noventa (MEC, 1992). Sin embargo, nuestro estudio nos muestra, a pesar de los esfuerzos de los investigadores por presentar nuevos métodos, recursos o materiales sobre enseñanza de la geometría, que muchos estudiantes siguen llegando a las facultades con las mismas experiencias, falta de conocimientos y concepciones sobre esta materia y su enseñanza que hace unos años, lo que indica que se sigue enseñando igual que antes de tales reformas. Podemos observar que las experiencias clásicas vividas hacen que no tengan vivencias sobre cómo aprender de una forma constructiva mediante la acción, y que no utilicen otros materiales y recursos distintos a los tradicionales. Su falta de estrategias metodológicas y de experiencias les hace concebir que la preparación de actividades de relación de la geometría con las otras matemáticas, con la vida ordinaria o con otras materias, es dificultoso y depende de la imaginación del maestro más que de una buena preparación. Es decir, sus concepciones están lejos de la utilización de diferentes materiales y recursos y de la realización de actividades orientadas a que los alumnos comprendan la geometría, dándole sentido



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en sí misma, mediante la resolución de problemas en la línea de las orientaciones actuales. Dada esta situación, consideramos que debemos hacer una reflexión crítica sobre el trabajo en los centros de formación de profesores que posibilite una influencia en la realidad escolar del nuevo enfoque que sobre la geometría escolar se viene proponiendo en las propuestas curriculares desde hace ya algunos años. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AZCÁRATE, P. (1996). Estudio de las concepciones disciplina-res de futuros profesores de primaria en torno a las nociones de la aleatoriedad y probabilidad. Granada: Comares. BARRANTES, M. (ed.) (1998). La geometría y la formación del profesorado en primaria y secundaria. Servicio de Publicaciones de la UEX. BARRANTES, M. (2002). «Recuerdos, expectativas y concepciones de los estudiantes para maestro sobre la geometría escolar y su enseñanza-aprendizaje». Tesis doctoral publicada en CD. Cáceres: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. BECKER, R., GEER, B., HUGHES, E. y STRAUSS, A. (1961). Boys in white. Chicago: University of Chicago Press. BLANCO, L. J. (1997). Concepciones y creencias sobre la resolución de problemas de estudiantes para profesores y nuevas propuestas curriculares. Quadrante. Revista Teórica e de Investigaçao, 6(2), pp. 45-65. BLANCO, L. J. (2001). Errors in the Teaching/Learning of the Basic Concepts of Geometry. International Journal for Mathematics Teaching and Learning. Revista electrónica editada por Centre for Innovation in Mathematics Teaching at Exerte University, UK and the Mathematics Department at Bessenyei Colleg, Nyiregyháza (Hungría). BORRALHO, A. (1995). Formaçao de professores de Matemática e resoluçao de problemas, en Mellado, V. y Blanco, L. J. (coords.). La formación del profesorado de ciencias y matemáticas en España y Portugal. Badajoz: Departamento de Didácticas de las Ciencias Experimentales y de las Matemáticas. Universidad de Extremadura. BROMME, R. (1988). Conocimientos profesionales de los profesores. Enseñanza de las Ciencias, 6(1), pp. 19-29. CARRILLO, J. (1998). Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza de profesores de matemáticas de alumnos de más de 14 años. Algunas aportaciones a la metodología de la investigación y estudio de posibles relaciones. Servicio de Publicaciones. Universidad de Huelva. CARRILLO, J. (2000). La formación del profesorado para el aprendizaje de las matemáticas. UNO, 24, pp. 79-91. CASTRO, E. y CASTRO, E. (1992). Concepciones sobre área y perímetro; volumen y capacidad detectados en profesores en formación. Revista de Educación, 6, pp. 197-206. CLEMENTS, D. H. y BATTISTA, M. T. (1992). Geometry and Spatial Reasoning, en Grouws, D.A. (ed.). Handbook of research on Mathematics teaching and learning, pp. 420-464. Nueva York: MacMillan. CLIMENT, N. (2002). «El desarrollo profesional del maestro de primaria respecto de la enseñanza de la matemática. Un estudio de caso.» Tesis doctoral. Departamento de Didáctica de las Ciencias Sociales. Universidad de Huelva. CONTRERAS, L.C. (1999). Concepciones de los profesores sobre la resolución de problemas. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Huelva. CONTRERAS, L.C. y CLIMENT, N. (eds.) (1999). La formación de profesores de matemáticas. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Huelva.



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Lectura Nº 15

Efectos del “autismo temático” sobre el estudio de la Geometría en Secundaria1

Josep Gascón2

1. El “autismo temático” y la transparencia de las matemáticas escolares

En un trabajo reciente y muy poco difundido Yves Chevallard propone una jerarquía de niveles de codeterminación entre las Organizaciones Matemáticas (OM) escolares y las correspondientes Organizaciones Didácticas (OD), esto es, entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a estudiar y las maneras de organizar el estudio de las mismas en la escuela3.

El principio fundador de las didácticas, al menos en el sentido brousseauniano de la palabra, es que no sólo lo transmitido depende de la herramienta con la que se pretende conseguir su transmisión, sino que también (recíprocamente) las organizaciones “transmisoras”, es decir didácticas, se configuran de manera estrechamente vinculada a la estructura dada de lo que hay que transmitir. En otros términos, las organizaciones didácticas, las OD como diré en adelante, dependen fuertemente de las organizaciones por enseñar - las OM, si se trata de organizaciones matemáticas (Chevallard, 2001). Podemos esquematizar dicha jerarquía mediante una sucesión de niveles de

estructuración de las citadas OM y OD, que van desde el más genérico, la sociedad, al más específico, una cuestión matemática concreta que se propone para ser estudiada.

Sociedad Escuela Pedagogía Disciplina Área Sector Tema Cuestión

Se postula que en cada uno de estos niveles se introducen restricciones

particulares que ponen de manifiesto la determinación recíproca entre las OM y las

OD: la estructuración de las OM en cada nivel de la jerarquía condiciona las formas

posibles de organizar su estudio y, recíprocamente, la naturaleza y las funciones de

los dispositivos didácticos existentes en cada nivel determinan, en gran parte, el

tipo de las OM que será posible reconstruir (estudiar) en dicha institución escolar.

1 Este trabajo ha sido realizado en el marco del proyecto BSO2000-0049 de la DGICYT. 2 Universitat Autònoma de Barcelona, Departament de Matemàtiques, Edificio C, 08193 Bellaterra (Barcelona) Spain. Fax: 93 581 27 90; E-Mail: [email protected] 3 Las nociones de OM y OD son centrales en el estado actual de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) en la que se sitúa este trabajo. Una introducción a la TAD se encuentra en Chevallard, Bosch y Gascón (1997) y en Chevallard (1999 y 2000).



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Por ejemplo, la cuestión “¿Cuáles son las simetrías de un rectángulo no cuadrado?” se considera hoy en día, en la mayoría de los sistemas escolares en los que se estudia esta cuestión, como perteneciendo al tema de las “Simetrías de polígonos”, que se incluye en el sector de las “Transformaciones del plano” que se incluye dentro del área de la Geometría, que pertenece a la disciplina Matemáticas. Puede ser que la jerarquía observada sea más o menos compleja. Pero lo que importa subrayar es que, si no se construye esta jerarquía, entonces la probabilidad de que se estudie esta cuestión en la escuela y en el aula es casi nula –lo que puede llegar a ser un problema serio de instrucción pública, como sucede por ejemplo con cuestiones como ¿puede el hachís crear dependencia fácilmente?, ¿el uso del preservativo protege bien del SIDA y de embarazos no deseados?, etc. (Chevallard, 2001). Esta sucesión de niveles de organización es relativa no sólo a la cuestión o

grupo de cuestiones consideradas, sino también al periodo histórico y a la institución escolar en la que nos situemos. Así, dada una cuestión matemática particular como, por ejemplo: “¿Cómo resolver una ecuación polinómica?”, la cadena de niveles de organización que permite el acceso al estudio de dicha cuestión en la Enseñanza Secundaria actual es muy diferente a la que posibilita su estudio en la Enseñanza Universitaria y ambas difieren profundamente de las que existían en dichas instituciones a mediados del siglo XX. En este trabajo nos situaremos en el ámbito de la Enseñanza Secundaria española actual, aunque algunos de los análisis que llevaremos a cabo puedan tener validez en otras instituciones escolares.

Si partimos de una cuestión matemática concreta que se estudia efectivamente en la Enseñanza Secundaria española actual, podemos asegurar que existe un tema en el que se sitúa dicha cuestión, un sector que contiene dicho tema y un área de las matemáticas de Secundaria de la que forma parte dicho sector. La existencia de dicha cadena constituye una condición mínima para que una cuestión matemática pueda existir en una institución escolar; pero el mero hecho de que una cuestión matemática pueda plantearse no garantiza la calidad de su estudio; ésta depende, entre otras cosas, de que dicha cuestión matemática provenga de ciertas cuestiones primarias planteadas en los niveles superiores de la jerarquía (más allá incluso del nivel disciplinar) y “conduzca a alguna parte”, esto es, que no se trate de una cuestión “cerrada en sí misma” y, por tanto, “muerta” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 118).

¿Sobre qué institución recae la responsabilidad de que las cuestiones (por ejemplo, matemáticas) que se proponen para ser estudiadas en la escuela cumplan estas condiciones? ¿Qué parte de dicha responsabilidad recae sobre el profesor? ¿Hasta qué punto puede el profesor, como tal, asumir dicha responsabilidad? En términos generales podemos afirmar que se trata de un problema que está fuera del alcance del profesor. Según Chevallard se observa un “abandono”, por parte del profesor, de los niveles superiores de organización didáctica, desde el de la sociedad y la escuela hasta incluso el de los sectores, lo que provoca un retraimiento de su acción sobre el nivel de los temas (ya sea la resolución de problemas con regla y compás, la expresión analítica de rectas y planos en el espacio, el teorema de Pitágoras, los poliedros regulares o las funciones cuadráticas). Este “encierro en los temas” constituye un fenómeno didáctico4, el “autismo temático” del profesor,

4 Los fenómenos didácticos, al igual que los fenómenos sociales, económicos o lingüísticos, son independientes de la voluntad, de la formación y de la capacidad de los sujetos de la institución. Por lo tanto, el autismo temático como tal fenómeno didáctico, es un fenómeno al que el profesor está sujeto y sobre el que sólo puede incidir localmente y en un grado relativamente insignificante.



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relacionado con el estatuto del oficio de profesor, considerado culturalmente como un oficio de bajo nivel.

Si bien el abandono de los niveles superiores no es absoluto, ya que el profesor mantiene ciertas preocupaciones por las cuestiones que se refieren al nivel disciplinar e, incluso, a los niveles escolar y social, resulta que, como tal profesor, sólo puede expresar estas preocupaciones como meras “opiniones” personales o, a lo sumo, como una reivindicación política o sindical. En resumen, el profesor está abocado, en su oficio de profesor, a no ir mucho más allá del nivel temático, lo que acarreará importantes consecuencias didácticas.

La consecuencia más impresionante de este aislamiento del profesor en la jerarquía de los niveles de determinación didáctica se encuentra en la desaparición de las razones de ser de las OM enseñadas en el nivel temático (Chevallard, 2001). Paralelamente asistimos a un proceso de desescolarización relacionado con la

pérdida de sentido de las cuestiones que se estudian en la escuela (ya sean cuestiones matemáticas, lingüísticas, históricas o biológicas) porque éstas parecen surgir de temas aislados cuya justificación última está, presuntamente pero casi nunca explícitamente, en la disciplina en cuestión (en nuestro caso, las matemáticas):

La dificultad de plantear el problema de las cuestiones “primarias” que hay que estudiar en la escuela –de las que surgen o deberían surgir las cuestiones “secundarias” y, en particular, las cuestiones disciplinarias– está evidentemente relacionada con la elección escolar, primordial, de una separación rigurosa del estudio entre una multiplicidad de disciplinas, que se presentan como los “transpuestos didácticos” más o menos deformados de los diferentes campos del conocimiento [...]. La evolución de la enseñanza de las matemáticas en Francia durante las últimas tres décadas me parece ser un claro ejemplo de este proceso progresivo de autismo disciplinar (Chevallard, 2001). Tenemos así, por una parte, que la inmensa mayoría de las cuestiones

matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la escuela surgen en el nivel temático y sólo están conectadas nominalmente a los niveles superiores de organización (sectores, áreas y disciplina) que son transparentes e incuestionables. Dado, además, que los temas matemáticos escolares no se estructuran propiamente como OM locales5 y, por tanto, no llegan nunca a integrarse de manera funcional en OM regionales ni globales, resulta que las cuestiones matemáticas escolares no sólo están muy débilmente conectadas a los citados niveles superiores de organización sino que, además, aparecen como cuestiones bastante independientes entre sí.

Por otra parte, si nos situamos en el nivel disciplinar, observamos que actualmente existen enormes dificultades para que las respectivas disciplinas escolares (en particular, las matemáticas) tomen en consideración (aspectos de) las cuestiones “primarias” que hay que estudiar en la escuela y que surgen en el nivel social. No sólo desaparecen las razones de ser de las cuestiones disciplinares que se estudian en la escuela sino que, en las sociedades occidentales, se está produciendo un envejecimiento de las “razones de ser” de la propia escuela6.

5 Las nociones de OM puntual, local, regional y global se describen en Chevallard (1999). Aquí sólo añadiremos que éstas se sitúan, respectivamente, en los niveles de la cuestión, del tema, del sector, y del área. Así, aunque en Primaria y en Secundaria se estudian “temas”, no puede decirse que en dichas instituciones se reconstruyan (estudien) efectivamente OM “locales”. En Fonseca y Gascón (2000 y 2002) se analiza el fenómeno didáctico de la “ausencia institucional de organizaciones matemáticas locales”. 6 En este punto coincidimos plenamente con el análisis de Neil Postman: “[...] sin un propósito trascendente y honoroso, la escolarización tocará a su fin y, puestos en ello, cuanto antes mejor. Dotada, en cambio, de un propósito de estas características, la



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Antes de analizar, con ejemplos concretos, los efectos de estos fenómenos

sobre el estudio de la geometría en Secundaria, me parece necesario hacer dos

precisiones:

(a) Ante todo, propongo hablar de autismo temático de la institución escolar en lugar de autismo temático del profesor. De hecho, antes de que el profesor se encierre en los temas, puede observarse como el currículo oficial que proponen las sucesivas reformas, los documentos de las administraciones educativas y los libros de texto aprobados por éstas consideran implícitamente que, más allá del nivel de organización de los temas, todo es transparente e incuestionable.

(b) En lo que sigue pretendo mostrar que, en Secundaria, no sólo ha desaparecido la razón de ser de las cuestiones que se estudian a nivel temático, sino también la razón de ser de las diversas “áreas” en las que se divide la matemática escolar.

Así, por ejemplo, en la última reforma de la Educación Secundaria7 que ha

tenido lugar en el estado español, encontramos que los documentos oficiales

imponen como obligatorios en el primer nivel de concreción8, sin ninguna

justificación y, por tanto, sin dar pie a ninguna posibilidad de cuestionamiento, los

dos niveles de organización que siguen al de la disciplina (y que, por tanto,

llamaremos “áreas” y “sectores”, respectivamente). Las áreas que marca el Diseño

Curricular de matemáticas de la E.S.O. son las siguientes9:

(1) Aritmética y álgebra.

(2) Geometría.

(3) Funciones y gráficas.

(4) Estadística y Probabilidad.

escuela se convierte en la principal institución a través de la cual las generaciones jóvenes puedan encontrar razones para continuar educándose a lo largo de su vida” (Postman, 1995, p. 11). 7 La nueva Enseñanza Secundaria española consta de seis cursos: cuatro de Enseñanza Secundaria Obligatoria ( E.S.O.) que abarca de los 12 a los 16 años, y dos de Bachillerato, de los 16 a los 18 años. 8 “El primer nivel de concreción del Diseño Curricular incluye el enunciado de los Objetivos Generales del Ciclo, el establecimiento de las áreas curriculares y de los Objetivos Generales de cada una de ellas, así como la formulación de los Objetivos Terminales, de los Bloques de Contenidos y de las Orientaciones Didácticas, referido todo ello a las diferentes áreas curriculares consideradas” (Coll, 1986, p. 73) [La traducción del catalán es nuestra]. 9 Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, (2001a).



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En el Bachillerato se mantienen esencialmente las mismas “áreas” (o niveles

de organización inmediatamente inferiores al nivel de organización global de todas

las matemáticas), si bien aparecen dos nuevas: “Álgebra Lineal” y “Análisis”10.

La subdivisión en “sectores” (o niveles de organización inmediatamente

inferiores al de “área”) que se proponen para la Geometría de la ESO en los

documentos curriculares más recientes depende ligeramente del curso que

consideremos. En conjunto, aparecen los siguientes sectores en la Geometría11:

Elementos y organización del plano; Elementos y organización del espacio;

Magnitudes y medida; Traslaciones, giros y simetrías en el plano; La semejanza en

el plano; y Relaciones métricas y trigonométricas en los triángulos rectángulos. La

“Geometría” del Bachillerato12 contiene los siguientes sectores: Trigonometría;

Geometría analítica del plano; Lugares geométricos; El plano vectorial; Geometría

analítica del espacio y El espacio vectorial.

Dado que el primer nivel de concreción se impone obligatoriamente por ley,

queda bien claro que la distribución de las matemáticas en “áreas”, y la de éstas en

“sectores”, es incuestionable en las instituciones escolares. Los Departamentos

Didácticos, responsables de diseñar el segundo nivel de concreción y los autores de

libros de texto (así como el profesor en el aula) responsables de especificar y

gestionar el tercer nivel de concreción, sólo tienen la posibilidad de elegir las

cuestiones matemáticas que van a ser estudiadas por los alumnos y, de una manera

absolutamente irrelevante respecto de los niveles superiores de la jerarquía,

agrupar dichas cuestiones en ciertos temas. Aparece así una profunda escisión entre

temas y cuestiones por un lado y disciplina, áreas y sectores, por otro. Esta escisión

está asociada:

10 Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, (2001b). 11 Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, (2001a). 12 Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, (2001b).



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(a) A la transparencia de la matemática como disciplina que proviene de la aceptación acrítica de un modelo epistemológico de las matemáticas, que es el dominante en las instituciones docentes de nivel universitario, y que reduce la “actividad matemática” a series del tipo “definición-especulación-teorema-prueba”. Esta epistemología reduccionista expulsa la “enseñanza de las matemáticas” fuera de las actividades genuinamente “matemáticas” (Gascón, 2002b).

(b) Al mito pedagógico13 dominante en la cultura escolar según el cual existe un ámbito de lo “pedagógico” independiente de lo “matemático”. Dado que los niveles superiores: [Disciplina Área Sector], son considerados de naturaleza “matemática”, mientras que los inferiores: [Tema Cuestión], se tienen por “pedagógicos”, se sigue (de acuerdo con el citado mito) que la estructura de los primeros no tiene ninguna incidencia sobre la actividad matemática que el profesor y los alumnos llevarán a cabo conjuntamente en el aula. Se supone que la actividad matemática escolar puede describirse por completo en términos de las cuestiones matemáticas concretas que se estudian y de los temas en los que se agrupan dichas cuestiones.

Esta escisión constituye la principal manifestación del autismo temático en

Secundaria. No se trata de un fenómeno coyuntural puesto que hunde sus raíces en

la propia estructura de la comunidad matemática que puede ser considerada

13 Esta separación entre lo pedagógico y lo disciplinar (en nuestro caso lo matemático) constituye el mito sobre el que se ha construido históricamente la Pedagogía como disciplina puesto que legitima culturalmente la existencia de un ámbito propio de “lo pedagógico” (Chevallard, 2001).

En coherencia con este prejuicio básico, la respuesta pedagógica al problema central de la Educación Matemática, esto es, al problema de la alienación matemática de la inmensa mayoría de los alumnos (y, en general, de los ciudadanos):

(a) Empieza por eliminar la disciplina matemática considerada como la causante de la alienación matemática de los alumnos .

(b) Postula, implícitamente, que “lo matemático” (como “lo lingüístico” o “lo musical”) no es problemático y que, por tanto, puede ponerse entre paréntesis.

(c) Se centra en modificar las estrategias de enseñanza que se suponen esencialmente independientes de las cuestiones a estudiar. Dichas estrategias deben responder a las preguntas siguientes: “¿Qué enseñar?”, “¿Cuándo enseñar?”, “¿Cómo enseñar?” y “¿Qué, cómo y cuando evaluar?”, según criterios preestablecidos y relativamente independientes de la disciplina a estudiar.

Hoy en día podemos afirmar sin paliativos ni reservas de ningún tipo que la respuesta pedagógica al problema de la Educación Matemática ha fracasado absolutamente. En realidad la estrategia pedagógica no ha hecho más que agravar el problema de la alienación matemática de los alumnos. Pero también hemos de reconocer que el enfoque pedagógico conserva todavía una parte importante de su crédito y paraliza el progreso hacia enfoques más eficaces. En mi opinión esta situación está muy ligada a la separación radical entre la actividad matemática y la enseñanza de las matemáticas que se mantiene en las instituciones escolares incluyendo a la Universidad (Gascón, 2002b).



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actualmente como una comunidad escindida (Gascón, 1993). No es de extrañar, por

tanto, que haya acarreado y siga acarreando importantes consecuencias didácticas.

Pero no hay que olvidar que, como hemos apuntado brevemente, existe

asimismo una especie de autismo disciplinar, que se manifiesta en la dificultad de

hacer surgir las cuestiones matemáticas de las cuestiones primarias que, como

resultado del consenso social, se proponen para estudiar en la escuela. Este

fenómeno, que no podemos desligar del anterior y que, a su vez, está relacionado

con el proceso de desescolarización de las sociedades occidentales, provocará la

escisión de los dos niveles más genéricos [Sociedad Escuela] de la jerarquía de

niveles de codeterminación didáctica y, posiblemente, reforzará los efectos del

autismo temático.


Aunque estos fenómenos extienden su influencia a todas las áreas de la matemática escolar, en este trabajo nos centraremos en el análisis de su incidencia sobre la enseñanza, el aprendizaje y, en definitiva, el estudio de la geometría en la Enseñanza Secundaria. 2. El estudio de la geometría en la Enseñanza Secundaria actual En realidad el sustantivo “geometría” (y el adjetivo “geométrico”) son ambiguos puesto que no es posible caracterizar epistemológicamente lo “geométrico”. Podemos referirnos, a lo sumo, a lo que en una determinada institución “es considerado como geometría” (Gascón, 2002a). Esta ambigüedad no es específica de la geometría sino que es compartida por todas las demás disciplinas o “áreas” en que tradicionalmente se ha dividido la “matemática” (“aritmética”, “álgebra”, “cálculo”, “estadística”, “probabilidad”). En trabajos anteriores hemos caracterizado las “modelizaciones algebraicas” así como los indicadores del “grado de algebrización” de una OM cualquiera (Bolea, Bosch y Gascón, 1998a, 1998b, 2001a y 2001b; Gascón, 1999 y 2001b) y hemos mostrado que la existencia de un área de la matemática escolar que englobe los contenidos considerados como “algebraicos” es cuestionable. Dicho estudio pone de manifiesto, asimismo, que otras áreas tradicionales de la matemática escolar como, por ejemplo, la “aritmética” y la “geometría”, también deben ser cuestionadas. El que se mantengan dichas áreas en el Diseño Curricular de la Enseñanza Secundaria española debe ser considerado como una prueba más del carácter transparente e incuestionable de este nivel de estructuración (las “áreas”) de las matemáticas escolares. 2.1. Ruptura escolar entre la geometría sintética y la geometría analítica

En un trabajo anterior (Gascón, 2002a) he mostrado que la presunta controversia entre la geometría sintética y la geometría analítica es, en última instancia, una falsa controversia fruto de un análisis epistemológico superficial. A pesar de la



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continuidad y hasta complementariedad que existe entre ambas, el hecho es que continúan estudiándose completamente separadas a lo largo de la Enseñanza Secundaria (sintética en la E.S.O. y analítica en el Bachillerato). La “tozudez” de este hecho, que se mantiene inalterable a lo largo de las últimas reformas educativas, parece dar a entender que no se trata de una separación accidental sino que responde a un fenómeno didáctico-matemático más profundo y que, por lo tanto, merece ser indagado.

En el trabajo citado se muestra que son precisamente las limitaciones de las técnicas sintéticas las que dan sentido (son las razones de ser) a las técnicas analíticas. En otros términos: las técnicas de la geometría analítica constituyen la respuesta a algunas de las limitaciones que presentan las técnicas sintéticas para resolver problemas genuinamente geométricos planteados sin utilizar coordenadas. Se trata de problemas de construcción o de determinación de figuras geométricas a partir de elementos (puntos, segmentos, ...) que mantienen entre sí relaciones que pueden describirse y manipularse más eficazmente con las técnicas analíticas. También puede demostrarse, recíprocamente, que las técnicas analíticas requieren en muchas ocasiones, de manera casi imprescindible, el uso previo de ciertas técnicas sintéticas que son las que sugieren el diseño de la estrategia que se llevará a cabo posteriormente con las técnicas analíticas. Se cierra así el círculo de la complementariedad entre ambos tipos de técnicas.

Un ejemplo de este segundo aspecto de la complementariedad entre técnicas sintéticas y técnicas analíticas puede enunciarse en los siguientes términos: la eficacia para resolver ciertos tipos de problemas de geometría analítica (en términos de porcentaje de problemas correctamente planteados y resueltos) mejora de forma muy significativa si, en lugar de dedicar todo el periodo de entrenamiento al uso de técnicas analíticas, se utiliza una parte del mismo para que los alumnos aprendan a traducir los problemas de geometría analítica (dados en versión cartesiana) al ámbito de la geometría sintética (en versión euclidiana) y a resolver éstos mediante técnicas “puramente sintéticas” como, por ejemplo, con regla y compás (Gascón, 1989).

Así, ante un problema como el siguiente (que puede ser considerado como una versión cartesiana particular): Escribir la ecuación de una circunferencia de radio R = 3 que pase por el punto P = (3, 4) y sea tangente a la recta r de ecuación 2x 3y = 1. Se propone la siguiente estrategia:

(1º) Enunciar una versión euclidiana general de dicho problema: Dibujar con regla y compás una circunferencia de radio dado R, que pase por un punto dado P y sea tangente a una recta dada r. (2º) Resolver esta versión del problema mediante el patrón de dos lugares geométricos: para ello se empieza reduciendo el problema a la construcción de un punto que se denomina “punto clave” (en este caso el problema se reduce a construir el centro C de la circunferencia buscada); se continúa buscando dos lugares geométricos que contengan a dicho punto y que sean construibles con regla y compás a partir de los datos del problema (en este caso basta dibujar la circunferencia de centro P y radio R y el par de rectas paralelas a r a distancia R); se concluye construyendo los puntos comunes a ambos lugares geométricos, que son los posibles centros de la circunferencia buscada (Ver Gráfica nº 1).



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Gráfica nº 1

(3º) Resolver la versión analítica particular inicial del problema utilizando un patrón de resolución inspirado en el patrón de dos lugares geométricos (Gascón, 1989, p. 74-78). (4º) Esta estrategia puede completarse mediante la formulación de la versión cartesiana general de este problema (esto es, con parámetros): Buscar la ecuación de una circunferencia de radio R que pase por el punto P = (a, b) y sea tangente a la recta r de ecuación mx + ny = p. (5º) Y la consiguiente comparación entre los resultados que se obtienen al resolver este último problema y el “estudio sintético de casos” (hay que distinguir tantos “casos” como disposiciones geométricas “distintas” puedan originar las diferentes relaciones entre los datos) que debería realizarse en la resolución de la versión euclidiana general.

Por todo lo anterior, no tiene ningún tipo de justificación hacer aparecer las técnicas analíticas como por arte de magia, sin ningún tipo de continuidad con la problemática de la geometría sintética. Parece natural, por lo tanto, proponer una manera completamente diferente de iniciar el estudio de la geometría analítica en la Enseñanza Secundaria (Gascón, 2002a):

En lugar de “dejar morir” la problemática que se estudia en la E.S.O., y crear una pseudoproblemática geométrica con ejercicios bastante formales para intentar justificar la utilización de las incipientes técnicas analíticas introducidas artificialmente como objetos de enseñanza, deberían retomarse en el Bachillerato algunos tipos de problemas geométricos que se abordaron en la E.S.O. Se podría empezar mostrando, en el Bachillerato, determinadas limitaciones de las técnicas sintéticas clásicas que pueden solventarse mediante el uso de técnicas analíticas. Para que esta práctica docente fuese eficaz sería preciso que se estableciese un nuevo dispositivo didáctico cuya función principal fuese la de retomar aquellos problemas matemáticos que habiéndose propuesto en la E.S.O. hubiesen quedado sin resolver por limitaciones de las técnicas matemáticas disponibles. Sólo así podría mostrarse la



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continuidad de la problemática geométrica y la complementariedad entre los diferentes tipos de técnicas geométricas (Ibid., p. 24).

Postulo que la existencia de una estrategia didáctica de este tipo constituye una condición imprescindible para hacer pervivir en el Bachillerato (y más allá) la problemática que surge de las situaciones umbilicales14 de la geometría elemental, esto es, de las situaciones ligadas a la determinación y construcción de figuras geométricas y, en definitiva, para dar sentido al estudio de la geometría analítica en Secundaria. Pero, a pesar de la potencial necesidad y eficacia de esta estrategia, constatamos su ausencia absoluta en el actual Sistema de Enseñanza de las Matemáticas. ¿Cómo podemos explicar esta ausencia15?

Para que una estrategia didáctica (dirigida a reconstruir una OM en una institución docente determinada) sea viable se requiere que sea compatible con un amplio conjunto de restricciones de todo tipo: algunas de estas restricciones dependen de los sujetos de la institución (alumnos y profesores), pero otras van más allá de la voluntad y de la formación de dichos sujetos. En el caso que nos ocupa, para explicar la ausencia institucional de una tal estrategia didáctica hay que tener en cuenta que: (1) La “Geometría analítica del plano” es considerada por el Diseño Curricular como un sector de la geometría del Bachillerato. (2) Las razones de ser de la geometría analítica del plano, esto es, las cuestiones a las que debería responder, surgen en situaciones ligadas a la determinación y construcción de figuras geométricas las cuales, a su vez, aparecen en otros sectores (como, por ejemplo: “Elementos y organización del plano”) que el Diseño Curricular trata con técnicas sintéticas y que, además, sitúa en otro nivel escolar: la Enseñanza Secundaria Obligatoria.

Resulta, en definitiva, que no es posible construir en Secundaria una cadena de niveles de organización que, partiendo del nivel disciplinar, desemboque en cuestiones que requieran la integración efectiva de técnicas geométricas analítico-sintéticas16, por lo que es altamente improbable que pueda accederse al estudio de este tipo de cuestiones. Esta desconexión curricular de las respectivas problemáticas ha provocado una separación radical entre la geometría sintética y la geometría analítica y, en definitiva, la desaparición de las razones de ser de la geometría analítica. Esta desaparición se materializa en que el Sistema de Enseñanza ignora por qué y para qué se estudia la geometría analítica en Secundaria, lo que constituye un efecto catastrófico del autismo temático. 2.2. Desaparición escolar de la razón de ser de la clasificación de los cuadriláteros

En este apartado me propongo analizar con cierto detalle un segundo ejemplo de la incidencia del autismo temático y de la consiguiente transparencia de las matemáticas escolares sobre el estudio actual de la geometría en Secundaria. Analizaré cómo se estudia la cuestión de la clasificación de los cuadriláteros convexos en la E.S.O. y mostraré que se ha perdido completamente la “razón de ser” (el por qué y el para qué) del estudio de esta cuestión. Sin pretender dar una explicación definitiva ni

14 Las llamamos situaciones “umbilicales” por analogía a una de las acepciones de “ombligo”: “raíz central y más larga de un árbol” (Institut d’Estudis Catalans, 1995). Ver Chevallard (1999, p. 251). 15 La Didáctica de las Matemáticas, como el resto de las disciplinas teórico-experimentales (cada cual en su ámbito), no puede renunciar a la ambición de explicar porqué existe lo que existe y porqué no existe lo que no existe en el ámbito de las instituciones didácticas. Sin esto, la didáctica sólo sería un catálogo perfectamente inútil de descripciones a posteriori. 16 Como, por ejemplo: “Dados tres segmentos, ¿en qué casos puede construirse un triángulo que los tenga como medianas? Y, en el caso en que sea posible, ¿cómo puede construirse el triángulo (o los triángulos) en cuestión con regla y compás? (Gascón, 2002a, pp. 22-24).



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encontrar las causas últimas17 de los fenómenos didácticos indeseables que surgen en el estudio escolar de los tipos de cuadriláteros, señalaré brevemente las relaciones que existen entre dichos fenómenos y el autismo temático. Más adelante mostraré otras maneras posibles de acceder al estudio de la clasificación de los cuadriláteros que permiten recuperar el sentido de la OM generada en torno a dicha cuestión.

La clasificación de los cuadriláteros convexos, tal como se estudia en Secundaria, constituye un ejemplo paradigmático de cuestión que surge en el nivel temático (en el tema “tipos de polígonos”) completamente desconectada de las situaciones que le podrían dar “sentido”. En efecto, las citadas clasificaciones se reducen a meras “taxonomías” completamente ajenas a las cuestiones geométricas que aparecen en las situaciones umbilicales de determinación y construcción de figuras y, por tanto, sin ninguna relación con cuestiones tales como: ¿Cuáles son los elementos que determinan un tipo determinado de figuras?, ¿Existen diferentes sistemas de elementos que determinan el mismo tipo de figuras?, ¿Cuál de ellos es el más “adecuado” para utilizarlo en determinada situación de construcción?18

Las clasificaciones de los cuadriláteros que aparecen en los textos de Secundaria se basan en el criterio del paralelismo de los lados (en algunos casos se añade también el criterio de la perpendicularidad de lados) y en el hecho de que los lados tengan o no tengan la misma longitud (también se

usa, en ocasiones, la amplitud de los ángulos). Por regla general los cuadriláteros se clasifican, en Secundaria, en tres grandes clases (ver, por ejemplo, el texto de De la Haza, Marqués y Nortes, 2002): (1) Trapezoides (no tienen lados paralelos). (2) Trapecios (tienen dos lados paralelos). (3) Paralelogramos (tienen los lados paralelos dos a dos). A su vez los Trapecios de clasifican en tres subclases: (2.1) Trapecio rectángulo (tiene un ángulo recto). (2.2) Trapecios isósceles (tiene los dos lados no paralelos de la misma longitud). (2.3) Trapecios escalenos (no tiene ningún ángulo recto y las longitudes de los

lados no paralelos son diferentes). Los Paralelogramos, por su parte, se clasifican en cuatro subclases: (3.1) Romboide (no tiene todos los lados iguales ni todos los ángulos iguales). (3.2) Rombo (tiene los cuatro lados iguales). (3.3) Rectángulo (tiene los cuatro ángulos rectos). (3.4) Cuadrado (tiene los cuatro lados iguales y los cuatro los ángulos rectos)

17 “Cuando finalmente los hombres alcanzan en una rama determinada del saber el estadio positivo o científico del pensamiento, renuncian a preguntar por comienzos absolutos o metas absolutas, que si bien pueden tener en sus sentimientos una gran importancia no son susceptibles de prueba a partir de observación alguna. Entonces la meta de su conocimiento se orienta a determinar qué tipo de relación tienen entre sí los acontecimientos observables. Las teorías, como podríamos decir en nuestro lenguaje actual, son modelos de interrelaciones observables” (Elias, 1970, pp. 44-45). Los trabajos pioneros de Guy Brousseau, al postular que las situaciones de enseñanza pueden modelizarse mediante un enfoque sistémico, dieron un impulso decisivo para situar la didáctica de las matemáticas en el camino hacia ese estadio que Norbert Elías denomina “positivo” o “científico”. En Brousseau (1998) se encuentra una recopilación comentada de sus primeros trabajos –los publicados entre 1970 y 1990–. 18 Así, por ejemplo, los paralelogramos pueden caracterizarse, dentro de la clase de cuadriláteros, de diferentes maneras equivalentes: (1) Por tener los dos pares de lados opuestos iguales; (2) Por tener dos lados opuestos iguales y paralelos; (3) Por tener los dos pares de ángulos opuestos iguales (Puig Adam, 1947, pp. 66-67). Es obvio que en cada situación en la que se trata de construir una figura geométrica de la que forme parte un paralelogramo deberá utilizarse aquella manera de caracterizar los paralelogramos que sea la más pertinente, en función de los datos conocidos y de las restricciones que imponga la situación en cuestión.



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Otros textos como, por ejemplo, el de Anzola Vizmanos, Bargueño y Peralta (2002), hacen esencialmente la misma clasificación, pero no incluyen la clasificación de los Trapecios. Por el contrario algunos textos añaden a las clasificaciones anteriores una clasificación de los Trapezoides según que tengan dos parejas de lados consecutivos iguales (“Cometa”) o bien no exista “ninguna característica común entre los lados” (“Otros trapezoides”) (Cañadilla y otros, 2002).

En resumen, podemos resaltar las siguientes características de este tipo de clasificaciones: (a) Aparecen entremezclados arbitrariamente diversos criterios de clasificación (en

este aspecto la clasificación de los Trapecios es la más llamativa). En algunos casos las clases de cuadriláteros se definen de forma inclusiva (los Cuadrados son Rombos y Rectángulos) y, en otros casos, en forma no inclusiva (ni los Rombos ni los Rectángulos son Romboides).

(b) En ningún caso se pone de manifiesto la relación que existe entre las diferentes clases de formas que van apareciendo (¿los Trapecios escalenos constituyen una clase de cuadriláteros más general o más particular que los Romboides? ¿Y con respecto a los “Otros trapezoides”?) ni cómo se ha de modificar una clase de formas (por ejemplo, los Trapecios rectángulos) para convertirse en otra (como, por ejemplo, los Rombos).

(c) En ningún caso se toman en consideración los grados de libertad de cada una de las clases de formas cuadrangulares (¿Cuántos grados de libertad tienen los Trapecios escalenos? ¿Y los Romboides?) ni, por tanto, el número mínimo de elementos “independientes” que serían necesarios para determinar cada clase de formas.

No es de extrañar que este tipo de clasificaciones, omnipresente en los libros de texto, esté asociado a fenómenos didácticos indeseables entre los que cabe citar los errores sistemáticos y persistentes que cometen los alumnos y cuya explicación no debería buscarse, por tanto, en “dificultades cognitivas” o “faltas de motivación” de éstos19.

3. ¿Cómo dar sentido al estudio de la clasificación de los cuadriláteros? La uniformidad abrumadora de las clasificaciones descritas pone de manifiesto la desaparición completa de la “razón de ser” o “sentido” (el por qué y el para qué) de esta cuestión. En lo que sigue mostraré que es posible recuperar el sentido del estudio de la clasificación de los cuadriláteros conectándola con la problemática de la determinación y construcción de ciertos tipos de figuras geométricas. Dicha conexión puede hacerse, por ejemplo, a través del sector de los movimientos del plano o, mejor, vía el estudio del cambio de forma de las figuras. En el primer caso se conecta la clasificación de los cuadriláteros con la determinación de figuras según su tipo de simetría (caracterizado por el grupo de simetría de la figura) y con la utilización de los movimientos del plano como técnicas constructivas que dejan invariantes ciertos elementos de una figura dada; en el segundo caso (del que propondré dos ejemplos) la clasificación de los cuadriláteros se relaciona con las posibles evoluciones de las clases de formas y con la modificación sistemática de los elementos que las determinan. 3.1. Un criterio alternativo sin salirse del ámbito de los cuadriláteros Incluso planteándose la cuestión de la clasificación desde el propio ámbito

de los cuadriláteros, es decir, sin hacer depender explícitamente dicha cuestión de otras cuestiones más genéricas que surjan en los niveles

19 Así, por ejemplo, la mayoría de estudiantes que han concluido la Enseñanza Secundaria (E.S.O y Bachillerato), y que están empezando sus estudios matemáticos a nivel universitario, consideren que no existe ningún Rectángulo que sea un Rombo y ni siquiera acepten que pueda existir algún Rectángulo que sea un Cuadrado (Fonseca y Gascón, 2000 y 2002).



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superiores de la jerarquía, es posible proponer criterios más sistemáticos y coherentes que, a posteriori, proporcionarán un “sentido geométrico” a la

clasificación obtenida porque permitirán relacionarla, como veremos, con el estudio del cambio de forma de los cuadriláteros convexos. Así, por ejemplo, si caracterizamos las diagonales del cuadrado

mediante cuatro propiedades o “axiomas”, podremos ir eliminando sistemáticamente dichas propiedades para construir clases de formas cada

vez más amplias y menos “simétricas” y describir de esta manera una cierta evolución de las formas cuadrangulares. Podemos considerar que las

diagonales del cuadrado satisfacen las cuatro propiedades siguientes: D1: Las dos diagonales tienen la misma longitud. D2: Las diagonales se cortan perpendicularmente (forman cuatro ángulos iguales). D3: El punto de intersección de las diagonales divide a ambas en la misma proporción. D4: El punto de intersección divide a una de las diagonales en dos partes iguales.

Si ahora eliminamos uno de los axiomas, que pueden interpretarse como restricciones, obtendremos 4 clases de formas cuadrangulares. Dos de estas clases, rombos y rectángulos, son muy conocidas, pero las dos restantes no aparecen en los libros de texto de Secundaria (Ver Gráfica nº 2). D2+D3+D4 = Rombos. D1+D2+D4 = Romboides20 isodiagonales. D1+D3+D4 = Rectángulos. D1+D2+D3 = Trapecios ortodiagonales.

Gráfica nº 2 Estas cuatro clases de formas cuadrangulares son simplemente infinitas, esto es, tienen un grado de libertad. Esto significa que dentro de la clase de los rombos, por ejemplo, basta dar un parámetro para determinar cada una de las formas concretas de rombo. Si ahora eliminamos sistemáticamente dos de las restricciones sobre las diagonales obtenemos seis nuevas clases de formas cuadrangulares de entre las cuales únicamente dos de ellas aparecen habitualmente en los libros de texto de

20 Utilizo una definición de “romboide”, hoy en desuso, equivalente a la que dio Rey Pastor: un romboide es un cuadrilátero que tiene un eje de simetría que pasa por dos de sus vértices. Desde el punto de vista de las propiedades de las diagonales podríamos definir los romboides como aquellos cuadriláteros cuyas diagonales se cortan perpendicularmente (D2) y, además, el punto de intersección de dichas diagonales divide a una de ellas en dos partes iguales (D4). Como dice Puig Adam (1947, p. 68), se trata de una noción “más útil que la aplicación clásica que de esta palabra se hace para designar un paralelogramo que no sea rombo ni rectángulo, y que carece de interés”.



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Secundaria: los paralelogramos y los trapecios isósceles. Aparecen, asimismo, los romboides en el sentido de Rey Pastor antes citado (Ver Gráfica nº 3). D3+D4 = Paralelogramos. D1+D3 = Trapecios isósceles. D2+D4 = Romboides. Gráfica nº 3

Las tres clases de formas cuadrangulares restantes (definidas, respectivamente, por D1+D4; D1+D2 y D2+D3) no tienen, todavía, un nombre asignado. Estas seis clases de formas cuadrangulares son doblemente infinitas, esto es, tienen dos grado de libertad. Esto significa que dentro de la clase de los romboides, por ejemplo, basta dar dos parámetros para determinar cada una de las formas concretas de romboide. Para concluir esta clasificación habría que describir las cuatro clases de formas cuadrangulares que se definen, respectivamente, por cada una de las restricciones. Podemos asignar un nombre provisional a dos de dichas clases: D1 = Isodiagonales. D2 = Ortodiagonales.

No asignaremos, por el momento, ningún nombre a las dos clases de formas restantes (definidas, respectivamente por D3 y D4). Es obvio que cada una de estas cuatro clases de formas tiene tres grados de libertad y que, por último, si no se impone ninguna de las restricciones, obtenemos la clase de todas las formas cuadrangulares21. En el siguiente esquema se presenta la clasificación completa dibujando en cada caso un cuadrilátero que, cumpliendo los axiomas que definen la clase de formas correspondiente, no cumple el resto de los axiomas. Así, por ejemplo, se dibuja un rectángulo (= D1+D3+D4) que no cumple D2, para que no sea cuadrado, y un paralelogramo (= D3+D4) que no cumple D2, para que no sea rombo, ni tampoco D1, para que no sea rectángulo (Ver Gráfica nº 4).

21 Es claro que la elección de los “axiomas” que satisfacen las diagonales del cuadrado es relativamente arbitraria y que de ella dependerán, en cierta medida, las clases de formas cuadrangulares que aparecerán posteriormente. Surge aquí un problema interesante: si el sistema de axiomas que caracteriza las diagonales del cuadrado está formado por axiomas independientes ¿en qué medida las clases de formas que irán apareciendo al debilitar dichas condiciones dependerán del sistema de axiomas elegido?



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Gráfica nº 4

Pero esta representación estática de la clasificación de las formas cuadrangulares esconde el carácter evolutivo de la misma. De hecho, si interpretamos el esquema global como un diagrama en árbol que parte del cuadrado, tenemos 24 (= 432) direcciones a lo largo de las cuales puede evolucionar la forma del cuadrado. Alguna de estas direcciones son relativamente conocidas como, por ejemplo, la siguiente:

Pero la inmensa mayoría de las 23 restantes direcciones de evolución de las

clases de formas (así como las múltiples combinaciones que pueden realizarse con ellas) son totalmente desconocidas y no se estudian en Secundaria. Para llevar a cabo un estudio sistemático de esta clasificación propongo utilizar una Calculadora Simbólica22 que permita visualizar todos estos cambios progresivos de la forma de

22 La Calculadora Simbólica WIRIS, disponible en la red en la dirección http://calculadora.edu365.com (a la que se puede acceder a través del portal www.edu365.com del Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya) ha implementado una aplicación que permite ir modificando (debilitando en nuestro caso) sistemáticamente las restricciones que cumplen las diagonales del cuadrado para recorrer cualquiera de las 24 direcciones de evolución de las formas cuadrangulares así como cualquiera de las combinaciones que se pueden realizar con ellas. Agradezco a Ramon Eixarch, que es uno de los autores de este instrumento, el trabajo minucioso y preciso que ha llevado a cabo (usando la Calculadora WIRIS) para dibujar todas las gráficas que figuran en este artículo.

D1+D2+D3+D4

Cuadrado

D1+D3+D4

Rectángu los

D1+D3

Trapecios Isósceles

D1

Cuadriláte ros

Isodiago nales



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los cuadriláteros. El estudio sistemático de esta clasificación permitirá generar un Campo de Problemas y hasta una Organización Matemática que puede ser estudiada en Secundaria. Existe otro aspecto de la dinámica de esta clasificación que queda oculto con el diagrama general. Se trata de la variabilidad interna que encierra cada una de las 16 (= 1+4+6+4+1) clases de formas cuadrangulares que resultan. Salvo el cuadrado, que contiene una única forma, cada una de las 15 clases de formas restantes contiene infinitas formas cuadrangulares diferentes. De nuevo propongo utilizar una Calculadora Simbólica (como, por ejemplo, WIRIS) que permita explorar, analítica y gráficamente los límites de variabilidad de las formas dentro de cada clase.

Así, por ejemplo, para determinar cada una de las formas de la clase romboides podemos definir dos parámetros: el primero mediría la razón entre las longitudes de las dos diagonales del romboide; el segundo mediría la razón entre las longitudes de los dos segmentos en que queda dividida la diagonal del romboide que no queda forzosamente bisecada. Al variar conjuntamente los valores de dichos parámetros (dentro de los límites admisibles) tendríamos todas las formas posibles de los romboides. Es fácil ver que esta idea puede extenderse a la clasificación completa, mostrando que fijar una forma cuadrangular equivale a fijar los valores de cuatro parámetros y que la forma “cuadrado” se obtiene dando el valor “1” a todos ellos. Análogamente, cada una de las clases de formas puede interpretarse como el resultado de asignar el valor “1" a uno, dos o tres de los parámetros en cuestión (según se trate, respectivamente, de clases de formas con tres, con dos o con un solo grado de libertad) dejando libres los restantes. Al dejar libres los valores de los cuatro parámetros se obtiene la clase universal que incluye a todos los cuadriláteros.

Cada una de las clases de formas cuadrangulares obtenidas puede caracterizarse, a su vez, mediante su “grupo de invariancia” entendido como el grupo de transformaciones del plano que la deja invariante como clase de formas. Si, por ejemplo, F designa la clase de formas que hemos denominado de los trapecios ortodiagonales, le asociamos el grupo, G(F), de las transformaciones del plano que convierten cualquier trapecio ortodiagonal en otro trapecio ortodiagonal (aunque cambien la forma de éste). Es claro que se trata de un grupo que contiene al grupo, S, de las semejanzas y que, en el caso de la forma cuadrada, F = C, se tiene G(C) = S. En total, los 16 grupos de invariancia así obtenidos formarán un retículo de subgrupos de transformaciones del plano con una estructura de orden parcial análoga a la que constituyen las clases de formas cuadrangulares de la que proceden. 3.2. Una clasificación ligada al sector de los movimientos del plano En la Enseñanza Secundaria española actual se estudia, en el sector de las Traslaciones, giros y simetrías en el plano, el centro de simetría y los ejes de simetría de algunas figuras, pero sin relacionarlo directamente con la cuestión de la clasificación de los polígonos ni, tampoco, con las cuestiones que aparecen en las situaciones que hemos considerado umbilicales en la geometría elemental. La ausencia de un tema en el que se estudien los Tipos de simetría de una figura, que permitiría construir una sucesión de niveles de organización que conectase funcionalmente el sector de los movimientos con las citadas cuestiones, hace que sea muy improbable que el cálculo de los elementos de simetría de ciertas figuras pueda servir ni como criterio de clasificación de éstas23, ni como técnica para determinar y, en su caso, construir figuras geométricas.

23 Muy pocos libros de texto de la E.S.O. incluyen explícitamente el tema de los “Tipos de simetría de una figura” y su utilización sistemática para clasificar los cuadriláteros. Hemos de citar, como excepción, el texto de tercero de ESO de Bosch, Compta, Gascón, Urbaneja y Lamarca (1996), pp. 51-57.



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De nuevo se pone de manifiesto que las cuestiones que pueden ser estudiadas y, lo que es más importante, la manera concreta cómo pueden ser estudiadas, depende muy fuertemente de su conexión con los niveles “superiores” de organización (“temas”, “sectores” y “áreas”) y de las relaciones que se establezcan entre éstos. En efecto, si los movimientos del plano se utilizaran, entre otras cosas, para estudiar el tipo de simetría de las figuras geométricas (lo cual no implica que tenga que introducirse explícitamente la noción de grupo de simetría de una figura), entonces podría darse una primera razón de ser a la clasificación de las formas cuadrangulares porque los tipos de simetría pueden proporcionar, como veremos, criterios de determinación de clases de formas (sean éstas cuadrangulares o no). Además, existen múltiples construcciones geométricas que requieren la construcción previa de una figura que contiene a un cuadrilátero. Dichas construcciones suelen utilizar la existencia de elementos que quedan invariantes al aplicar ciertas simetrías o rotaciones (Puig Adam, 1947, pp. 208-212).

En la clasificación basada en el tipo de simetría se obtienen, en concreto, siete clases de formas cuadrangulares distribuidas en cinco categorías. En la primera categoría aparece una única clase de formas que, además, contiene una única forma: el Cuadrado. Es el cuadrilátero que tiene simetría “diédrica” o “compuesta” de orden 4 (queda invariante por cuatro simetrías y cuatro rotaciones). En la segunda categoría aparecen las dos formas cuadrangulares que tienen simetría compuesta de orden 2 (quedan invariantes por dos simetrías y dos rotaciones): los Rectángulos y los Rombos. La tercera categoría de formas cuadrangulares consta únicamente de una clase de formas, los Paralelogramos. Son los cuadriláteros que tienen simetría “rotatoria” de orden 2 (quedan invariantes por dos rotaciones). La cuarta categoría posee dos clases de formas cuadrangulares: los Trapecios isósceles y los Romboides (en el sentido de la definición de Rey Pastor que algunos textos denominan “cometas”); se trata de los cuadriláteros que tienen simetría “bilateral”, esto es, que quedan invariantes mediante una simetría axial. En la quinta y última categoría se sitúan los Cuadriláteros sin ningún tipo de simetría, si los definimos en sentido no inclusivo como aquellos que únicamente quedan invariantes mediante la transformación Identidad. Pero si, siguiendo la lógica interna de esta clasificación, situamos en la quinta categoría las formas cuadrangulares que quedan invariantes por la Identidad, tenemos que ésta contiene a todos los cuadriláteros. Consideradas como conjuntos, estas siete clases de formas cuadrangulares no están totalmente ordenadas por inclusión, pero si están relacionadas según una ordenación parcial perfectamente definida (Ver Gráfica nº 5).



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Gráfica nº 5

La introducción del tema de los Tipos de simetría de una figura y su utilización para clasificar las formas cuadrangulares amplía el tipo de actividad matemática que es posible llevar a cabo en torno a dicha clasificación porque, entre otras cosas, permite relacionar cada clase de formas cuadrangulares con la forma de figuras geométricas cualesquiera y, por tanto, formular criterios de determinación de las figuras en términos de su tipo de simetría: ¿Hasta qué punto podemos cambiar la forma de una figura sin cambiar su tipo de simetría? Si queremos modificar, en base a ciertos criterios, el tipo de simetría de una figura, ¿qué tipo de transformaciones podemos aplicar a la figura en cuestión? En particular, pueden plantearse cuestiones tales como las que siguen (Bosch, Compta, Gascón, Urbaneja y Lamarca, 1996, pp. 82-83): (1) ¿Cómo se ha de modificar un romboide para dibujar un pentágono que sólo tenga un eje

de simetría? (2) ¿Existe algún pentágono que tenga simetría compuesta de orden 2? (3) Dibuja un hexágono que sólo tenga dos ejes de simetría y tal que éstos sean

perpendiculares. Puedes hacerlo modificando un rombo. ¿Cuál es el tipo de simetría de este hexágono?

(4) ¿Existen hexágonos con simetría bilateral? ¿Y con simetría compuesta de orden 3? ¿Y con simetría rotatoria de orden 3? Dibuja ejemplos de los casos posibles.



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(5) Modificando un hexágono que sólo tenga un eje de simetría, dibuja un heptágono que tenga un único eje de simetría. ¿Existen heptágonos más simétricos que éste y, a su vez, menos simétricos que el heptágono regular?

(6) Dibuja un octógono que sólo tenga dos ejes de simetría y con la propiedad adicional de que éstos sean perpendiculares. ¿Cuál es su tipo de simetría?

(7) Dibuja octógonos que tengan simetría compuesta de órdenes 1, 2, 4 y 8. (8) Modificando adecuadamente un trapecio isósceles, dibuja un hexágono que sólo tenga un

eje de simetría. Modificando este hexágono, dibuja un octógono que también tenga un único eje de simetría.

(9) Dibuja hexágonos que tengan simetría compuesta de órdenes 1, 2, 3 y 6. (10) Dibuja una figura que no sea un polígono y que tenga el mismo tipo de simetría que

el triángulo equilátero. Haz lo mismo con el cuadrado y con el hexágono regular. 3.3. ¿Qué se entiende en Secundaria por “figura geométrica”? Estudio del cambio de forma de las figuras Las figuras geométricas planas que se estudian inicialmente en Secundaria se consideran determinadas por elementos (puntos, segmentos, arcos de circunferencia, etc.) que están fijos en el plano. En particular, los polígonos se consideran determinados por la sucesión ordenada de sus vértices y se sobreentiende que éstos son puntos fijos del plano. Cuando se avanza un poco en el estudio (a partir del tercer curso de la E.S.O.) se considera la posición de una figura (aunque esta noción suele quedar implícita), como la que viene dada por la posición de los elementos que la determinan (por ejemplo, los vértices en el caso de los polígonos). Se estudian entonces, parcialmente, los cambios de posición de las figuras. Normalmente se supone que dos figuras son “iguales”, esto es, la “misma” figura, si pueden superponerse de manera que coincidan todos sus elementos. Los textos más rigurosos definen, excepcionalmente, figuras iguales como aquellas “[...] entre las cuales se puede establecer una transformación biyectiva que conserva la distancia entre los puntos” (Bailo, Casals, Gomà y Tudurí, 1996, p. 52). Posteriormente se aplican traslaciones, giros y simetrías axiales a determinadas figuras y se afirma que de esta manera se obtienen siempre “figuras iguales”. En este momento se ha cambiado la noción inicial de “figura geométrica” al considerar que una figura puede cambiar de posición. Pero una vez que se supone que una figura puede cambiar de posición, se plantea el estudio de los cambios de tamaño de las figuras geométricas. Este estudio que, de nuevo, sólo se realiza parcialmente en la Enseñanza Secundaria, permite mostrar algunas propiedades de las figuras geométricas que no dependen del tamaño de éstas. Surge, aunque de una manera bastante implícita, la noción de forma de una figura F, entendida como lo que tienen en común todas las figuras semejantes a F. Se considera, por ejemplo, que todos los cuadrados son la misma figura y que todas las circunferencias son, también, la misma figura. De nuevo se está ampliando la noción de “figura geométrica” al considerarla independientemente de su tamaño.

Dado que la geometría de Secundaria toma como objeto de estudio las relaciones internas entre los elementos de lo que se supone que son figuras geométricas, la cuestión de lo que sea una “figura geométrica”, y de los criterios que se utilicen para construir las figuras geométricas que se estudiarán, es central porque determina el contenido de toda la actividad matemática. Pero, subrepticiamente, junto al cuadrado, al círculo y al triángulo equilátero, aparecen presuntas “figuras geométricas” (como, por ejemplo, triángulo escaleno, rombo, rectángulo áureo, triángulos en posición de Tales, trapecio, triángulo rectángulo, hexágono equilátero, etc.) que, en realidad, son clases de formas integradas por infinitas formas diferentes con uno o más grados de libertad. En la práctica se está ampliando, de nuevo, la noción de figura geométrica pero, esta vez, de una manera



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arbitraria aceptando que es independiente de ciertos cambios de forma completamente descontrolados.

Puede mostrarse que se utilizan criterios diversos y, en general, bastante arbitrarios, para agrupar las diferentes formas que pasan a integrar lo que a partir de este momento se considera como una “figura geométrica”. Mientras que algunas agrupaciones responden a una propiedad geométrica crucial en las situaciones de construcción de figuras (así, por ejemplo, los triángulos rectángulos se agrupan porque están caracterizados por el Teorema de Pitágoras), otras agrupaciones obedecen a propiedades geométricamente más banales (por ejemplo, los trapecios tienen en común, entre otras cosas, una fórmula para calcular el área).

Aparece así una cuestión que está en el origen de las situaciones ligadas a la determinación y construcción de figuras geométricas. Se trata de lo que se entiende en cada momento por “figura geométrica”: ¿Con qué criterios se agrupan diferentes formas para designarlas con un único nombre (y considerarlas, de hecho, como una misma “figura”)?24 ¿Cuáles son los posibles cambios de forma dentro de cada una de las figuras geométricas? Toda la actividad geométrica elemental depende de la respuesta que se dé a estas cuestiones.

Utilizando el lenguaje de los grupos de transformaciones del plano:

{I} M S G TP

podríamos decir que en Secundaria se estudia parcialmente el efecto del grupo de los movimientos, M, y el de las semejanzas, S, a fin de mostrar algunos aspectos del cambio de posición y del cambio de tamaño de las figuras y estudiar algunas propiedades invariantes por semejanzas; pero nunca se estudia el efecto de los grupos de transformaciones, G, que contienen al de las semejanzas. Por tanto, no se considera el cambio de forma de las figuras y, en consecuencia, no se analiza ningún proceso dinámico global de dichas formas, lo que comporta que los criterios de clasificación de las mismas sean estáticos, parciales y, a menudo, arbitrarios. Aparecen así nuevos aspectos de las limitaciones y hasta incoherencias de las OM “geométricas” que se estudian en Secundaria y, en particular, de las que se generan en torno a la clasificación de los cuadriláteros. 3.3.1. Determinación de la forma, dejando libre el tamaño y la posición Vamos a describir una posible evolución de las formas cuadrangulares convexos y, a partir de ella, obtendremos criterios para caracterizar las diferentes clases de formas así como las relaciones entre ellas. Junto a este aspecto más “cualitativo” de la discusión podría introducirse un aspecto más “cuantitativo” consistente en el estudio de las dependencias entre las medidas de los diferentes elementos de los cuadriláteros (lados y ángulos, especialmente) que determinan su forma. Este estudio nos conduciría a la noción de “función” y, como dice Emma Castelnuovo, a la “utilización natural del plano cartesiano y de las gráficas” (Castelnuovo, 1981, p. 7). En este caso, en lugar de empezar dando la clasificación de las formas cuadrangulares que se obtiene al final del estudio, voy a describir brevemente una actividad matemática a lo largo de la cual se analizan ciertos aspectos elementales de los cuadriláteros y que culmina en una posible clasificación. Se trata de una experimentación matemática que puede llevarse a cabo con alumnos de tercero de ESO (aunque también puede realizarse con alumnos de niveles superiores, incluso universitarios, con la condición de que dejen en suspenso, temporalmente, sus conocimientos escolares). Sería muy interesante disponer de una materialización y 24 El hecho de que esta cuestión no se tenga en cuenta para organizar el currículo de la geometría en Secundaria tiene relación con las discontinuidades entre los estadios que Piaget y García (1982) denominan, respectivamente, “intra-figural” y “inter-figural”. En Gascón (1997) se analiza estas discontinuidades relacionándolas con el paso de estudiar geometría en la Enseñanza Secundaria a estudiar geometría en la Enseñanza Universitaria.



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un control de los cambios de forma de los cuadriláteros, tanto dentro de cada clase de formas, como en el paso de una a otra clase, aunque la experimentación que describiré a continuación también puede realizarse con lápiz y papel.

Buscamos un conjunto de elementos o características del cuadrilátero, a ser posible independientes (esto es, que no contenga elementos superfluos o redundantes) que determinen la forma del cuadrilátero, dejando libre el tamaño y la posición. Denominaremos “sistema básico” a un conjunto de elementos que cumpla dichas condiciones25 y centraremos la discusión en investigar si los sucesivos conjuntos de elementos constituyen un sistema básico. (1) La posición de los cuatro vértices del cuadrilátero. Ante todo se observa que no son independientes, esto es, la posición de los 4 vértices no puede elegirse arbitrariamente en el plano. Además, los vértices no determinan la forma del cuadrilátero, a menos que se fije el orden de los mismos. Surgen nociones nuevas que no tenían sentido en los triángulos: “cuadrilátero convexo26”, “cuadrilátero entrelazado”, “vértices y lados consecutivos (versus opuestos)” y “diagonal”.

(2) La posición ordenada (A, B, C, D) de los cuatro vértices. No constituyen un sistema básico puesto que, además de determinar la forma, también determinan la posición y el tamaño del cuadrilátero (Ver Gráfica nº 6).

Gráfica nº 6

(3) Las longitudes ordenadas (AB, BC, CD, DE) de los cuatro lados. No son independientes (por ejemplo, la longitud del lado mayor no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los otros tres). Además, no determinan la forma puesto que el cuadrilátero no es un polígono rígido (Ver Gráfica nº 7).

25 De hecho, en la clasificación basada en las propiedades de las diagonales, se ha utilizado implícitamente el sistema básico formado por: (1) La razón entre la longitud de las diagonales; (2) la razón entre los ángulos que forman las dos diagonales; (3) la razón entre las razones de los segmentos en que quedan divididas ambas diagonales; (4) la razón entre los segmentos en que queda dividida una diagonal. Si las cuatro razones toman el valor “1”, tenemos el cuadrado. 26 En lo que sigue, “cuadrilátero” significará “cuadrilátero convexo”.



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Gráfica nº 7

(4) Las amplitudes ordenadas (, , , ) de los ángulos. No son independientes puesto que su suma es siempre igual a cuatro rectos. Además no determinan la forma (puesto que, por ejemplo, existen rectángulos que no son cuadrados). (5) La amplitud de tres ángulos (, , ) y la longitud de un lado AB. Además de no dejar completamente libre el tamaño, este conjunto de elementos tampoco determina la forma (Ver Gráfica nº 8).

Gráfica nº 8

(6) La amplitud de tres ángulos (, , ) y las longitudes de dos lados opuestos AB y CD = C'D' = C''D''. Este sistema de elementos no determina la forma del cuadrilátero (Ver Gráfica nº 9).

Gráfica nº 9 (7) La amplitud de tres ángulos (, , ) y las longitudes de dos lados consecutivos AB y BC. Se trata de un sistema de elementos que determina la forma del cuadrilátero, pero también determina completamente el tamaño del mismo (dejando libre la posición). Para obtener un sistema básico basta sustituir las longitudes de los dos lados consecutivos por la razón AB/BC entre ellos. Disponer de un sistema básico significa que, fijados valores concretos para cada uno de los elementos de dicho sistema, queda determinada una forma cuadrangular concreta. Así, por ejemplo, si fijamos los valores siguientes: = 64º, = 85º, = 100º y AB/BC = 1,75, tenemos definida una forma cuadrangular concreta (Ver Gráfica nº 10).



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Gráfica nº 10 3.3.2. Nueva clasificación dinámica de las formas cuadrangulares Si queremos elaborar una clasificación de las formas cuadrangulares a partir

del sistema básico descrito, debemos ir debilitando sistemáticamente las condiciones que definen al cuadrado y que expresaremos mediante los

cuatro axiomas siguientes: = ; = ; = y AB = BC.

De manera análoga a la clasificación descrita anteriormente, basada en los axiomas que cumplen las diagonales del cuadrado, obtendremos un total de 16 (1+4+6+4+1) clases de formas cuadrangulares. De nuevo hay que decir que la elección de estos axiomas para caracterizar el cuadrado es relativamente arbitraria y que las clases de formas cuadrangulares que obtendremos dependerán, en cierta medida, de dicha elección.

Si eliminamos sucesivamente uno de los axiomas, aparecen las cuatro primeras clases de formas cuadrangulares. Cada una de ellas está determinada por tres de los axiomas citados; dos de estas clases de formas son muy conocidas y las otras dos son relativamente nuevas.

= ; = y = (Rectángulos).

= ; = y AB = BC (Rombos).

= ; = y AB = BC (Romboides regulares27).

= ; = y AB = BC (Trapezoides isósceles28).

Junto a los Rectángulos y Rombos, que son clases de formas cuadrangulares simplemente infinitas que ya aparecían en la clasificación basada en las diagonales, aparecen ahora dos nuevas clases de formas cuadrangulares simplemente infinitas: los Romboides regulares, en lugar de los Romboides isodiagonales, y los Trapezoides isósceles, en lugar de los Trapecios ortodiagonales (Ver Gráfica nº 11).

27 Se trata de los Romboides definidos anteriormente, en el sentido de Rey Pastor, con la propiedad adicional de que la amplitud del ángulo también coincide con la de = . 28 Se trata de una nueva clase de formas cuadrangulares que no había aparecido hasta el momento. En lugar de utilizar la noción clásica de “trapezoide” para designar los cuadriláteros que no tienen lados paralelos (noción ésta que carece de interés), llamamos Trapezoides (ver Gráfica nº 12) a los cuadriláteros que tienen tres ángulos iguales = = ; si, además, cumplen la condición AB=BC, entonces les llamaremos Trapezoides isósceles (ver Gráfica nº 11). Los Trapezoides también pueden definirse combinando las nociones de trapecio isósceles y triángulo isósceles. En efecto, es fácil demostrar que uniendo un trapezoide y un triángulo isósceles se puede construir un trapecio isósceles y, recíprocamente, que todo trapezoide puede construirse eliminando un triángulo isósceles de un trapecio isósceles (ver Gráfica nº 12).



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Gráfica nº 11

Si ahora eliminamos dos de los axiomas de todas las maneras posibles obtenemos seis nuevas clases de formas. Las cuatro primeras son las siguientes. = y = (Paralelogramos).

= y = (Trapezoides).

= y = (Trapezoides).

= y AB = BC (Romboides).

Las dos últimas, definidas, respectivamente, por ( = y AB = BC) y por ( = y AB = BC) no tienen todavía un nombre asignado. De nuevo constatamos que, junto a los Paralelogramos y los Romboides (en el sentido de Rey Pastor) que son clases de formas cuadrangulares doblemente infinitas que ya aparecían en la clasificación basada en las diagonales, aparecen nuevas clases de formas cuadrangulares doblemente infinitas (Ver Gráfica nº 12).

Gráfica nº 12



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Para completar esta clasif icación faltan por citar las cuatro clases de formas cuadrangulares que están determinadas, respectivamente, por cada una de las condiciones o axiomas ( = ); ( = ); ( = ) y (AB = BC). No asignaremos nombre a ninguna de ellas ni las representaremos gráficamente. Se trata de clases de formas que tienen, por tanto, tres grados de l ibertad. No coinciden con ninguna de las clases que se habían obtenido en la clasif icación basada en las propiedades de las diagonales. Y, por último, si no se impone ninguna de las cuatro restricciones obtenemos, como siempre, la clase universal de todas las formas cuadrangulares (ver Gráfica nº 13):

Gráfica nº 13

4. Conclusión: el autismo temático y el problema del currículo Los análisis anteriores han mostrado bien a las claras hasta qué punto la estructura y la dinámica interna de la matemática escolar están condicionadas por la escisión entre: por un lado las cuestiones matemáticas que se estudian en la escuela y los temas en que se agrupan dichas cuestiones y, por otro, los niveles superiores de la organización matemática, las áreas, los sectores y la matemática como disciplina.

Aunque los ejemplos propuestos se refieren al caso de la geometría, es obvio que dicha escisión afecta a la matemática escolar en su conjunto. El autismo temático debe ser considerado, por tanto, como un fenómeno que condiciona el conjunto de las cuestiones matemáticas que pueden ser estudiadas en la Enseñanza Secundaria y, sobre todo, las posibles formas de estudiar dichas cuestiones. La consecuencia más importante del autismo temático es la desaparición de las razones de ser de las Organizaciones Matemáticas (OM) que se proponen para ser estudiadas en la escuela.

Pero, además, dado que la mayoría de los trabajos de Didáctica de las Matemáticas asumen implícitamente el encierro en los temas, sus propuestas para modificar el currículo de matemáticas de la Enseñanza Secundaria no llegan a cuestionar la estructura de los sectores en que se divide cada una de las áreas ni, mucho menos, las áreas en que tradicionalmente se ha estructurado la matemática escolar. De esta manera el “sentido” que tiene el estudio escolar de las matemáticas en general y de cada una de sus áreas en particular (como, por ejemplo, el “por qué



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y para qué” estudiar geometría en la escuela) se da por supuesto cuando, en realidad, ha desaparecido.

Así pues, si denominamos “problema del currículo de matemáticas” al problema de diseñar con fundamentación didáctica, el currículo de matemáticas para cierta etapa educativa, entonces podemos decir que el autismo temático, al disminuir las posibilidades de cuestionar los niveles superiores de la organización matemático-didáctica, dificulta objetivamente la resolución de dicho problema porque impide recuperar las “razones de ser” de las OM que se acabarán enseñando29. Podemos proponer cambios o reformas del currículo más o menos radicales, incluso cambios muy bien justificados epistemológicamente, pero si únicamente pretendemos reformar el nivel de los temas, entonces será imposible recuperar el sentido escolar del estudio de las matemáticas. Esta recuperación requiere, al menos: (1) Cuestionar y tener la posibilidad de modificar la estructura de toda la jerarquía de niveles de codeterminación, incluso más allá de la propia disciplina. En este punto queda claro que el diseño de un currículo de matemáticas es una responsabilidad que no puede ser asumida, en exclusiva, por la comunidad científica; tiene que ser compartida por el consenso social a través de un acuerdo político.

(2) Tomar en cuenta las transformaciones adaptativas que sufren las Organizaciones Matemáticas en el seno de las instituciones escolares. Ésta si que debe ser considerada una responsabilidad exclusiva de la comunidad científica y, más concretamente, de la comunidad de investigadores en Didáctica de las Matemáticas.

[...] aunque el hecho de que en la escuela se enseñe el Teorema de Pitágoras y no la elasticidad es el resultado de decisiones humanas; la forma concreta como aparece el Teorema de Pitágoras en el currículo actual es, a su vez, una consecuencia de las leyes que rigen el desarrollo interno del currículo de matemáticas. Resulta así que el currículo de matemáticas no es arbitrario, como tampoco lo es la manera en que se transforma la matemática en el seno de una institución escolar. (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 117). ¿Cuál es la naturaleza de esas “leyes” o, mejor, de esas “restricciones” y

cuáles son las transformaciones que provocan en la matemática escolar? ¿Cómo se pueden tener en cuenta a la hora de diseñar el currículo de matemáticas? ¿Qué grado de conocimiento sobre las mismas tenemos en el estado actual de la didáctica de las matemáticas?

Podemos decir que, en general, se trata de las restricciones transpositivas que rigen la difusión institucional de las Organizaciones Matemáticas, OM, a fin de que éstas puedan ser estudiadas en la escuela (Chevallard, 1985). Estudiar una cuestión matemática en una institución escolar consiste en estudiar una respuesta (que tomará la forma de una OM) a dicha cuestión que ha sido dada en otra institución y que se tiene por válida. Para ello, dicha respuesta, debe ser reconstruida, esto es, transportada a la institución escolar desde la institución en la que se dio la respuesta original. En este proceso transpositivo la respuesta R=OM sufre transformaciones adaptativas más o menos importantes. De lo anterior se desprende que el estudio escolar también posee características específicas: el paso

29 El punto de vista de la didáctica [de las matemáticas] propone que el problema de la elaboración del currículo, que tradicionalmente había sido considerado como un problema esencialmente psicopedagógico, tiene un componente matemático esencial. No se trata únicamente de un problema de secuenciar y temporalizar los contenidos del currículo, sino de realizar un trabajo matemático de reorganización de los elementos técnicos, tecnológicos y teóricos que componen cada obra [u organización matemática] en base a las cuestiones a las que ésta responde. Se trata, en definitiva, de una verdadera reconstrucción creativa de las obras que forman el currículo. (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 127).



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del estudio de una cuestión matemática al estudio de una respuesta dada a dicha cuestión en otra institución, provoca modificaciones en la noción misma de “estudio” (Chevallard, 1999). Por tanto, las “razones de ser” originarias que dieron sentido al estudio de una OM en determinada institución, no pueden transportarse mecánicamente a la escuela.

Describiré, a modo de ejemplo, algunas de las transformaciones adaptativas que sufre el estudio escolar de las cuestiones matemáticas y que están relacionadas directamente con el autismo temático.

(a) Si para acceder al estudio de una cuestión matemática concreta se requiere que la cadena de niveles que debe desembocar en esa cuestión cruce varios sectores diferentes de un área, entonces dicha cadena será muy dif íci l de establecer y esto impedirá (o hará muy poco probable) que dicha cuestión pueda ser estudiada efectivamente. El hecho de que la separación radical entre la geometría sintética y la geometría analítica, que comporta la ausencia de cuestiones mixtas analít ico-sintéticas, se haya mantenido a lo largo de las últ imas reformas curriculares, a pesar de que, objetivamente, dif iculta la posibi l idad de dar sentido al estudio de la geometría anal ít ica en la Enseñanza Secundaria, muestra la fuerza de esta restricción.

(b) Las cuestiones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la Enseñanza Secundaria tienden a independizarse de los niveles jerárquicos superiores a los temas (sectores y áreas). Así, se ocultan el porqué y el para qué se estudian las cuestiones que se estudian o, en otras palabras, quedan implícitas y transparentes las situaciones que darían sentido a las cuestiones que se estudian. El ejemplo de la clasif icación de los cuadriláteros en la E.S.O. es muy elocuente: se propone su estudio como si fuese absolutamente independiente de cualquier cuestión surgida en los niveles superiores de la jerarquía y, por tanto, ignorándose absolutamente cuál es la “uti l idad geométrica” de la clasif icación que se propone. De hecho, si en el currículo actual se puede dar una clasif icación de los cuadriláteros absolutamente inútil desde el punto de vista de la problemática geométrica es precisamente porque, cuando se propone dicha clasif icación, ésta ya ha sido desgajada de toda situación umbil ical para convertirse en un ejercicio “muerto” que empieza y acaba en sí mismo.

(c) Incluso las cuestiones que el currículo agrupa en un mismo tema t ienden a separarse en lugar de integrarse en una misma organización matemática local. Sería posible imaginar que el trabajo técnico necesario para responder a una cuestión matemática escolar (como, por ejemplo, la cuestión de la clasif icación de los triángulos) se desarrol lase de tal forma que permitiese integrar dicha cuestión, junto a otras (como, por ejemplo, la cuestión de la clasif icación de los cuadriláteros y de otros tipos de f iguras) en una misma OM más amplia y compleja en el seno de la cual fuese posible relacionar varias técnicas diferentes y dar una justif icación e interpretación conjunta de todas ellas. Pero, de hecho, en el currículo de la E.S.O. podemos encontrar muchos ejemplos de cuestiones matemáticas cuyo estudio escolar no provoca ningún tipo de desarrol lo de las técnicas matemáticas que se uti l izan ni ninguna conexión con ninguna otra cuestión del mismo tema. En esta situación, dichas cuestiones se mantienen aisladas incluso respecto a las cuestiones que el currículo sitúa dentro del mismo tema.



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(d) Pero las transformaciones adaptativas que sufre el estudio escolar de las cuestiones matemáticas no se inician en el nivel disciplinar. La cadena de niveles de codeterminación, que debe construirse necesariamente para permitir el acceso al estudio de una cuestión matemática concreta, se inicia en los niveles más genéricos de la jerarquía (Escuela y Sociedad). Aparecen, por tanto, nuevas restricciones relacionadas con el autismo disciplinar, esto es, con la dificultad de hacer surgir las cuestiones matemáticas escolares de las cuestiones que el consenso social ha propuesto para estudiar en la escuela. Esta dificultad, a su vez, no es independiente del proceso de desescolarización de las sociedades occidentales que se manifiesta por un envejecimiento de las “razones de ser” de la propia escuela y que también podríamos denominar “autismo escolar”. Es muy difícil que el estudio escolar de una cuestión disciplinar (por ejemplo, matemática) mantenga su sentido en una sociedad en la que la escuela como tal está falta de propósito porque no existe una “razón” compartida y elevada que sea capaz de construir un futuro basado en ideales socialmente compartidos, prescribir reglas de conducta, proporcionar una fuente de autoridad y, sobre todo, conferir a la escuela un sentido de continuidad y propósito (Postman, 1995, pp. 17-18).30


Tenemos, en resumen, que el autismo temático es un fenómeno que afecta a la institución escolar en su conjunto y no sólo a los sujetos de la misma. En los Sistemas Escolares occidentales el autismo temático está actualmente muy reforzado por el autismo disciplinar y el autismo escolar. Su creciente y negativa incidencia sobre el problema del currículo se materializa en la desaparición no sólo de las razones de ser de las OM enseñadas en el nivel temático, sino incluso del sentido del estudio de las matemáticas y hasta del “estudio” como actividad humana. Mientras que el autismo temático está ligado a la representación institucional del saber matemático que se enseña y, en consecuencia, a lo que se entiende en la institución escolar por “enseñar y aprender matemáticas”31, el autismo disciplinar y, sobre todo el escolar, tienen que ver con el papel que la sociedad adjudica a la escuela como institución. Por tanto, la solución del problema del currículo no sólo requiere cambiar el modelo epistemológico ingenuo que, como dice Brousseau (1987), está en la base de los modelos docentes habituales, sino también reformular el contrato que une a la escuela y a la sociedad respecto a una cuestión tan antigua como nuestra civilización: la educación matemática32.

Poblenou, noviembre de 2002 REFRENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANZOLA, M., VIZMANOS, J.R., BARGUEÑO, J. y PERALTA, J. (2002): Matemàtiques

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30 “Una razón, en el sentido en que empleo aquí el término, es algo distinto de una motivación. Dentro del contexto de la escolarización, la motivación se refiere a un acontecimiento físico temporal, en el que se despierta la curiosidad y se enfoca la atención. Sin embargo no hay que confundirla con la razón para asistir a una clase, escuchar a un profesor, pasar un examen, hacer los deberes y soportar la escuela aún sin estar motivado para todo ello” (Ibid., p. 16). 31 La relación entre el modelo epistemológico de las matemáticas dominante en una institución escolar y la manera de organizar las prácticas docentes en dicha institución, ha sido estudiada en Gascón (2001a). 32 Agradezco a Marianna Bosch los comentarios, críticas y sugerencias relativos a las primeras versiones de este trabajo.



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206

Lectura Nº 16

GEOMETRÍA Y REALIDAD

Autor: Claudi Alsina Universidad Politècnica de Cataluña [email protected] (2004)

“...el objetivo de la educación matemática debe ser producir ciudadanos educados y no una

pobre imitación de una calculadora de 30$” K. Devlin

Educar geométricamente es un objetivo docente clave cuya finalidad debe ser

facilitar el conocimiento del espacio tridimensional, desarrollando con ello la creatividad y los procesos de matematización.

Siguiendo las ideas del proyecto PISA (Jan de Lange y otros) deberíamos prestar especial atención al desarrollo de grandes competencias o habilidades como son el pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar. Aprender a modelizar es saber estructurar el contexto, matematizar y reinterpretar los resultados de esta matematización, revisar el modelo, modificarlo, etc.

Pero no debemos olvidar que el objetivo de enseñar todas estas habilidades debe ser el poder trabajar las grandes ideas como son cambio, crecimiento, espacio, forma, azar, dependencia, relaciones, razonamiento cuantitativo,... son este tipo de grandes ideas las que deberán delimitar el tipo de instrumentos matemáticos a poner en juego y por ello encontraremos siempre en la Geometría una fiel aliada para conseguir estos objetivos. Este planteamiento, que es tan claro, parece sin embargo ser conflictivo pues desde hace años el tema de la Geometría, aceptado por todos como tema importante, no acaba de encontrar su lugar en el desarrollo efectivo de los cursos. Y lo que es más sorprendente, la educación geométrica va empeorando a medida que se avanza en los niveles educativos, planteándose la paradoja de ser más sobresaliente, en términos relativos, el nivel geométrico en la educación infantil que en la universitaria.

En una reciente publicación de 1999, Toshio Sawada ha resumido muy bien el problema

“De acuerdo con los datos internacionales, hay buenas oportunidades en la enseñanza de la aritmética, álgebra y medidas pero no en geometría, probabilidad y estadística.. Además, en álgebra, como más oportunidades da un país a los estudiantes mejores son los resultados de los estudiantes, pero en geometría parece no haber relación entre oportunidad de aprender y resultados. Parece que todos los países/sistemas están confundidos sobre los contenidos y el método de la enseñanza de la geometría.”

Aunque desde hace años venimos intentando contribuir a la presencia y la modernización de la Geometría, parece ser que aún son necesarios mayores



207

esfuerzos para facilitar que una buena enseñanza geométrica se abra camino, no en los curricula de papel donde ya está, sino en las aulas. Este es el motivo de esta ponencia que no es en absoluto “constructivista” pero si aspira a ser “constructiva”. ¿QUÉ ES LA REALIDAD?

“¿Cómo crear contextos adecuados para poder enseñar matematizando?... necesitamos problemas matemáticos que tengan un contexto significativo para los estudiantes” H. Freudenthal, 1983

El “mundo real” significa el entorno natural, social y cultural donde vivimos. Y desde las Matemáticas deseamos educar para que las personas puedan beneficiarse de la cultura matemática para actuar, lo mejor posible, en este mundo real que es su mundo. Actuar a nivel personal, social y profesional tanto en el presente inevitable como en el futuro previsible.

Así pues estamos hablando de hoy (año 2000) y de aquí (España) y por tanto no debemos admitir como “realidad” cualquier contexto o llamada a una supuesta realidad que en verdad es simple ficción. Debemos actuar como dice M. Niss “...sin disfrazar o camuflar problemas sino buscando su autenticidad”

Muy a menudo tenemos una tendencia a falsear la realidad creando una ficción en la cual es “la realidad” la que se pone al servicio de la matematización y no al revés. Pero además en el terreno educativo deberíamos tener especial sensibilidad para restringir la realidad matematizable a los casos que puedan ser de interés para el alumnado.

En particular si se asume la idea de tomar la resolución de problemas como motor educativo, será preciso combinar bien lo que son los referentes reales y lo que es poner en juego las estrategias de resolución. Obsérvese el siguiente ejemplo famoso:

¡Inadmisible! Aunque aparentemente aparece un contexto físico de cuerpo-

móvil (¿es un robot? ¿Es una manzana?) Se nos da una función gratuita sin ningún sentido físico (si t se da en segundos ¿...en qué se mide e?). Obsérvese otro ejemplo

¡Horror! Nunca nadie hizo una ventana cicloide... Todo ello nos lleva a la necesidad de elegir problemas más relevantes, con

más significado y contexto. Un bonito ejemplo del proyecto Pisa es el problema: “Ha conducido su coche y ha recorrido ya dos terceras partes del camino. El tanque de la gasolina estaba lleno al empezar y ahora le queda un cuarto de depósito. ¿Tiene algún problema?”

¡Magnífico! Aunque no existe referencia explícita al coche, al lugar, etc., el problema plantea una cuestión interesante y realista... y además está formulado para obligar a pensar un poco.

Es importante elegir problemas interesantes y en contextos adecuados. El siguiente enunciado daría lugar a un bello problema. Boeing 747-200 Fabricado por The Boeing Company en Seattle, Estado de Washington (EE.UU). Manufactured by The Boeing Company in Seattle, Washington (USA).



208

Si con un Boeing 747-200 se organiza una vuelta al mundo ¿qué itinerario organizaría con el mínimo número de escalas partiendo y regresando a Zaragoza?

Nótese que los datos colaboran a hacer el problema más real, y que el enunciado abierto abre posibilidades a diferentes aproximaciones.

En las tres tablas siguientes ejemplificamos correspondencias entre polígonos, poliedros, curvas, superficies y transformaciones geométricas con situaciones cotidianas.

Aquí cabe distinguir lo que es la realidad bien próxima de las personas de las aplicaciones que aun siendo reales no son directamente perceptibles por los usuarios.

Longitud/Length 70,51 m Envergadura/Wingspan 59,63 m Butacas/Seats 410 Nº de unidades/ No. of aircrafts 6

Alcance/ Range 10.000 km



209

POLÍGONOS Y POLIEDROS EN LA REALIDAD

FIGURA EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3

TRIÁNGULO Instrumento Señal tráfico Señal avería

musical

CUADRILÁTERO Hoja papel Loseta Galleta

PENTÁGONO Puntas de los Logo Chrysler Nudo de servilleta

dedos

HEXÁGONO Perfil plato Sección lápiz Loseta

OCTÁGONO Perfil bandeja Estrella vientos Mesa granadina

POLIGONO ESTRELLADO

Estrella de mar

Estrella de David Llanta de rueda

n-POLÍGONO Puntos horas reloj

Logos comerciales Sec. Columnas Gaudí

CUBO Dado Cubito caldo concentrado

Caja regalo

TETRAEDRO Tetra Pack ® Puzzle 3D Trípode

OCTAEDRO Talla diamante Estructura mesa Barrilete 3D

ICOSAEDRO Dado 20-caras Logo MAA Cúpula

DODECAEDRO Contenedor papel

Puzzle 3D Dado 12 caras

PRISMA Chocolate Prisma Hexagonal Caja Chanel nº 5

Toblerone Pastelería

PRISMATOIDE Obelisco Caja cartón Pedestal

PIRÁMIDE Pirámide Embudo industrial Final obelisco

egipcia

BIPIRÁMIDE Peonza Dedos contra dedos Joya

POLIEDROS SEMIREGULARES

Pelota de fútbol

Joya Puzzle

POLIEDROS Lámpara cristal

Joya Estrella árbol

ESTRELLADOS Navidad

ORTOEDRO Tetra Brick ® Pastel Cajetilla Marlboro

ANTIPRISMA Jarrón Vaso Patas mesa



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TRANSFORMACIONES Y REALIDAD

TIPO EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3

TRASLACIÓN 2D Dibujar 1 recta Dibujar un friso Huella de rueda

GIRO 2D Agujas reloj Rotor en motor Punta de compás

SIMETRÍA 2D Escritura espejo Letras impresor Caleidoscopio

SEMEJANZA 2D Fotocopias Fotografías Plano

AFINIDAD 2D Cambio lineal Apertura Sombra plato

escalas salvamanteles

PROYECTIVIDAD 2D Perspectiva Foto de cubo Sombra en foto

HOMEOMORFISMO 2D Estirar goma Mueca facial Deformación

Photosop ®

TRASLACIÓN 3D Andar recto Aspiradora Cortar pan

ROTACIÓN 3D Mover puerta Tambor lavadora Girar llave

SIMETRÍA 3D Mirar espejo Apariencia cuerpo Aplaudir

MOV. HELICOIDAL 3D Escalera caracol Sacacorchos Atornillar

SEMEJANZA 3D Maqueta arquitectura

Tren eléctrico Casa muñecas

(1:169) (1:12)

AFINIDAD 3D Cambio lineal escalas

Plegado de caja Mover tienda campaña

PROYECTIVIDAD 3D Perspectiva dibujo 3D

Foto de 3D Mirar vías de tren

HOMEOMORFISMO 3D Ajustarse calcetín Deformar globo Ponerse guantes

CONSERVAR AREA PERO NO DISTANCIA

Plegar sábanas Abrir un libro Prensar

CONSERVAR VOLUMEN PERO NO DISTANCIA

Amasar harina Hacer masa pizza Bailar

EFECTOS ESPECIALES Retocar fotos Mezclar imágenes Digitalizar

PROYECCIONES RARAS Espejo cilíndrico Espejos deform. Sombras chinas

TRANSFORMACIONES RARAS

Romper foto Quemar foto Hacer caricatura



211

CURVAS Y SUPERFICIES EN LA REALIDAD

FIGURA EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3

RECTA Lado papel Hilo tenso Cuerda con plomada

CIRCUNFERENCIA Perfil plato Perfil vaso Moneda

ELIPSE Perfil sombrero

Líquido en vaso Perfil cepillo

inclinado

PARÁBOLA Arco A. Gaudí Mano cerca oreja Arco con tirantes puente

HIPÉRBOLA Perfiles (6) punta lápiz hexagonal

Perfil campana Arco hiperbólico Construido

SINUSOIDE Gráfico altura mar

Movimiento serpiente

Techo Uralita ®

CATENARIA Cadena reloj de mano

Hilo tren Hilos eléctricos

CICLOIDE Trayectoria punto rueda

Cuenco Péndulo cicloidal

ESPIRALES Cinta cassette CD-musical Rollo fotográfico

HÉLICE (3D) Escalera caracol

Muelles Hilo en cilindro

PLANO Papel Mesa Suelo

ESFERA Perla Pelota ping-pong Planeta Tierra

ELIPSOIDE Pelota rugby Cúpula (1/2) Huevo Pascua

CONO Punta de lápiz Colador (chino) Vaso

CILINDRO Lápiz redondo Rollo de papel Olla

PARABOLOIDE Antena TV Faro coche Cúpula

PARABOLOIDE Silla de montar

Cubiertas F. Cubiertas A. Gaudí

HIPERBÓLICO a caballo Candela

HIPERBOLOIDE (1H)

Campana Papelera Chimenea (C. Térmica)

HIPERBOLOIDE Espejo Espejo telescopio Trenza cortada

(2H) hiperbólico

TORO Donut Anillo Cadena



212

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y GEOMETRÍA “El contexto puede ser la vida cotidiana, cultural, científica, artificial, matemático, etc... los problemas del mundo real serán usados para desarrollar conceptos matemáticos... luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de formalizar y de generalizar... y volver a aplicar lo aprendido... y reinventar la matemática...” Jan de Lange

Una completa e interesante descripción general de la modelización matemática ha sido dada por Henry O. Pollak (“Solving Problems in the Real World” en el libro de L.A. Steen (Ed.) Why Numbers Count: Quantitative Literacy for Tomorrow’s America. The College Board, New York, 1997):

“Cada aplicación de la matemática usa la matemática para evaluar o entender o predecir algo que pertenece al mundo no matemático. Lo que caracteriza a la modelización es la atención explícita al principio del proceso, al ir desde el problema fuera del mundo matemático a su formulación matemática, y una reconciliación explícita entre las matemáticas y la situación del mundo real al final. A través del proceso de modelización se presta atención al mundo externo y al matemático y los resultados han de ser matemáticamente correctos y razonables en el contexto del mundo real”.

También H.O. Pollack ha descrito muy minuciosamente los ocho pasos que deben darse en la modelización matemática y que recogemos en la tabla



213

adjunta:



214

Así pues es interesante prestar atención al proceso de trabajar la realidad a través de ideas y conceptos matemáticos debiéndose realizar dicho trabajo en dos direcciones opuestas: a partir del contexto deben crearse esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas... y trabajando entonces matemáticamente hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado.

Cabe señalar que la investigación educativa ha puesto de manifiesto las grandes dificultades que el alumnado tiene en la verificación de soluciones: individuos que aprenden a resolver cuestiones son a menudo incapaces de decidir cuáles de los resultados hallados son relevantes para el problema propuesto. Seguramente esto debería inducirnos a prestar especial atención a este último pero importantísimo eslabón de la resolución de problemas.

En las tablas adjuntas podemos observar los apartados matemáticos ligados a Geometría (que según Joe Malkevitch nos deberían hacer replantear los temas a tratar bajo la denominación “geometría”). También hemos listado unas ejemplificaciones de aplicaciones (Alsina, Fortuny, Perez, 1997) y una tabla indicando los instrumentos matemáticos que pueden ponerse en juego al tratar temas geométricos. Apartados matemático-geométricos 1. Geometría euclídea 2. Geometrías no-euclídeas 3. Geometría proyectiva 4. Geometría descriptiva 5. Geometría analítica 6. Geometría integral 7. Transformaciones geométricas 8. Teoría de la simetría 9. Teoría de mosaicos 10. Problemas en retículos 11. Teoría de grafos 12. Convexidad 13. Geometría discreta 14. Geometría de superficies 15. Poliedros 16. Teoría de la disección 17. Geometría diferencial 18. Geometría computacional 19. Teoría de empaquetamientos 20. Teoría de la rigidez estructural 21. Geometría digital 22. Teoría de nudos 23. Problemas isoperimétricos 24. Juegos geométricos 25. Curvas planas 26. Geometría métrica 27. Diseño VLSI 28. Teoría de códigos 29. Autómatas celulares 30. Cartografía 31. Robótica 32. Cristalografía 33. Sistemas dinámicos 34. Geometría algebraica 35. Programación lineal 36. Cónicas y cuádricas 37. Geometría n-dimensional 38. Geometría del espacio-tiempo 39. Visión computacional 40. Teorías de redes neuronales 41. Geometría fractal 42. Desigualdades geométricas 43. Geometría de inversión 44. Geometría de complejos 45. Visualización de datos 46. Construcciones geométricas 47. Modelización de sólidos 48. Origami 49. Teoría de catástrofes 50. Historia de la Geometría Ejemplos de aplicaciones geométricas

· Aplicaciones a la modelización matemática del mundo físico

· Geodesia y triangulación

· Aplicaciones en astronomía y mecánica celeste.

· Cartografía (aérea, satélite, temática,...)

· Cálculos de medidas (áreas, superficies, volúmenes)

· Problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones,...)

· Estructuras en ingeniería y arquitectura

· Clasificación de nudos



215

· Digitalización y manipulación de imágenes

· Grafos e investigación operativa

· Formas y transformaciones al servicio de la creación artística

· Aplicaciones a la computación y gráficos por ordenador

· Visualización de datos estadísticos

· Procesamiento de imágenes, compresión y registro

· Teoría de barras y engranajes

· Aplicaciones en óptica, fotografía y cine

· Elementos multimedia inter-activos

· Codificación, descodificación y criptografía

· Robótica: movimientos, visión, tareas automáticas

· Descripciones cristalográficas estáticas y de conocimiento

· Modelización de procesos dinámicos y caóticos

· Doblado de papel, origami y empaquetado MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA: INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS • Modelización vectorial: vectores, coordenadas, producto escalar, norma, distancia, ángulo, proyección, figuras, transformaciones,... • Modelización algebraica: vectores en coordenadas, matrices, sistemas de ecuaciones, determinantes, dependencias entre variables, cónicas y cuádricas, grupos de transformaciones. • Modelización métrica sintética: figuras, transformaciones, perímetros, superficies, volúmenes, ángulos, maquetas, disecciones, proyecciones, trigonometría,... • Otros instrumentos: axiomatización, modelos discretos, modelos computacionales. Así pues podemos observar dos cosas especialmente interesantes: • La geometría abarca diversas ramas matemáticas relevantes para desarrollar procesos de modelización y labores interdisciplinarias. • La geometría permite poner en juego recursos matemáticos distintos y puede ayudar a ver en cada caso cual es el instrumento más adecuado. UNA COLECCIÓN DE PROBLEMAS INTERESANTES En nuestra aproximación al tema de geometría y realidad nos gustaría indicar ahora una pequeña muestra de problemas que resultan particularmente atractivos: • Algoritmos y cuentas (ATM) Se tiene una fila de n personas sentadas. Pueden moverse (levantarse o sentarse) siguiendo las siguientes reglas: (a) La 1ª puede levantarse o sentarse sin depender de las demás; (b) La 2ª puede moverse si la 1ª está sentada; (c) La 3ª puede moverse si la 2ª está sentada y la 1ª está de pie; (d) La nª puede moverse si la (n-1)ª está sentada y las n-2 restantes de pie.

Indique un algoritmo para levantar una fila de n personas sentadas. Si an indica el número de movimientos para levantar una fila de n, relacione an con n-1, an-2, an-3,... etc. ¿Cómo podría expresarse an en función de n? • División espacial (Pólya) ¿En cuantas regiones pueden llegar a dividir el espacio tridimensional cinco planos? • Localización óptima (Pólya)



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Hay tres poblaciones A, B, C cuyas distancias conocemos ¿cuál es el punto P cuya suma de distancias a A, B y C resulta mínima?. Idear diversas estrategias para resolver este problema. • Sistema DINA para papel (Alsina) Toda hoja DINA n al dividirse en dos partes por el lado largo da dos hojas DINA n-1

de igual forma, siendo el DINA 0 de 1 m2

de superficie. Halle las medidas exactas del DINA 0, 1, 2, 3, 4 ¿Qué factores actúan al fotocopiar reduciendo de una DINA 3 a un DINA 4? ¿Y al ampliar? • Los números f en fotografía (Alsina) Los números f 1·4, 2, 2·8, 4, 5·6, 8, 11, 16,... se corresponden con el hecho de que cada número corresponde a una apertura del diafragma que permite el paso del doble de luz de la apertura anterior. Justifique los valores de dichos números • Originales e imágenes en fotografía (Alsina) Dado un objeto O y su imagen I a través de una cámara de distancia focal F, si u es la distancia objeto-lente y v la de la lente a la imagen, se verifica 1/u + 1/v = 1/F y I/O=v/u. Halle u y v en función de I, O y F. ¿Cuál sería la foto más grande que podría hacer de una joya circular de 1,2 cm de diámetro con una máquina de 30 cm de extensión máxima de fuelle y un objetivo de 10 cm de distancia focal? • Teorema del observador (Zeeman) En un cuadro en perspectiva donde se representa un cubo con tres puntos de fuga existe un único punto en el espacio de delante del cuadro donde un observador debe colocar su ojo para ver perfectamente el cuadro. Justifique la validez de este teorema. • Un sistema de posición global (GPS) (White) Sean tres satélites en posiciones Si=(ai,bi,ci), i=1,2,3 y sean P=(x,y,z) las coordenadas de un punto a localizar en la tierra. Verifique que si pueden darse las tres distancias de P a S1, S2 y S3 (vía el tiempo de ida y retorno de una señal) entonces P queda completamente determinado. • Alimentación equilibrada En una referencia cartesiana representará las proporciones de hidratos de carbono H, proteinas P y lípidos L, siendo L+P+H=100%. Represente la zona de la dieta equilibrada que corresponde a 10≤P≤20, 50≤H≤50 y 25<L<35. • Índice de masa corporal (Alsina) El IMC (índice de masa corporal) viene dado

por W/h2

siendo W el peso (en kg) y h la altura (en m). Estudie la condición de equilibrio 20≤IMC≤25. • Movimientos cotidianos (Bolt) Describa los movimientos geométricos de los aparatos e instrumentos que se hallan en una casa (reloj, libro, tijeras, caja, llave, sacacorchos,...). • Para los arquitectos “la tierra es plana” (Alsina) Estudiar la diferencia entre la longitud de un trozo de arco terrestre ab y su aproximación lineal tangente (siendo el radio de la Tierra R=6371221 m). • Longitudes y latitudes (COMAP) En el esquema tiene dos puntos A=(r,s), B=(u,v) con longitud y latitud como coordenadas terrestres. Al mirar desde A y B un punto S=(x,y) se miden los ángulos azimutales a y b relativos al Norte. Si A=(-120º24’19’’, 48º37’51’’) y B=(-120º31’59’’, 48º38’03’’), a=242º y b=198º calcule (x,y). • Sombras muy especiales (Alsina)



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Construya un objeto cuya sombra pueda ser una sinusoide sin tener dicho objeto la forma de esta curva.

La mancha de petróleo (Borrell).

Un barco con 3000 m3

de petróleo se hunde y provoca una mancha en el mar de forma “cilíndrica” siendo su espesor t E ), t horas después del hundimiento.

Acordonando la mancha 15 horas después del hundimiento, se añadan 0,5 m3

de un detergente por metro de perímetro de la mancha, valiendo el detergente 5 pesos

por m3

. Evalúe el coste de esta intervención. • Goles de penalti en fútbol (E. Fernández, J.F. Matos) En el proceso de tirar un penalti en fútbol aparecen los siguientes parámetros:

Con v 0

: velocidad inicial de la pelota

Exprese usando trigonometría y principios básicos de física las relaciones existentes entre dichas magnitudes.

•

Rampas para parquings (Alsina) ¿Cómo construir una rampa de pendiente constante razonable alrededor de un edificio cilíndrico? ¿Cómo marcaría en la zona de aparcar las líneas indicando los lugares de aparcar?

•

Fabricando dados (Alsina) ¿Cómo fabricar dados para poder sortear cualquier número?

•

Geometría y cocina (Bolt) ¿Qué formas geométricas aparecen en los objetos usados para cocinas y que funciones cumplen?

d: distancia del punto de penalti

h: altura del portero

a: anchura de la portería

b: altura de la portería

t0: instante de lanzamiento

t: instante de la pelota en portería

θ(t): la pelota al llegar al marco de portería

θ(t0): la pelota antes de ser lanzada

d: ' )()( 0 t O t O

θ: ángulo de elevación de la trayectoria de la pelota

φ: ángulo de desviación (en el plano longitud) de la pelota



218

EL LABORATORIO DE GEOMETRÍA Siempre hemos creído imprescindible que existan laboratorios específicos de

Geometría con materiales adecuados. Aquí me gustaría recordar (Alsina et altri, 1990) algunas consideraciones sobre el material didáctico.

El material didáctico, juega un papel fundamental en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría. Su correcta utilización constituye una importante baza en la adquisición de conceptos, relaciones y métodos geométricos ya que posibilita una enseñanza activa de acuerdo con la evolución intelectual del alumno. La estructura de laboratorio es un modelo pedagógico de utilización del material.

Un entorno –la Estructura del Laboratorio- emerge cuando el profesor y los alumnos trabajan y se comunican por medio de un plan conjunto de actividades de investigación, acorde con sus intereses, capacidades y habilidades.

Básicamente existen tres modos de organizar una tarea docente a partir de una estructura de laboratorio: El aula taller, como laboratorio fijo, la propia aula, como laboratorio móvil reorganizando periódicamente su espacio interior, y el trabajo de campo que tiene como escenario un gran espacio, ya sea urbanístico o natural. La situación más corriente es la de utilizar un laboratorio móvil.

Pensamos que en una adecuada dinámica de laboratorio, hay que tener siempre en cuenta, los siguientes aspectos: 1. Una introducción al tema, para situar al alumno. 2. Dar a conocer los objetivos, para enmarcar las acciones a realizar. 3. Una presentación de las investigaciones a realizar, adecuadamente graduadas por niveles de comprensión, en las que se induce a manipular, construir, observar, explicar y expresar conjeturas y descubrir distintas relaciones sobre el concepto a tratar. 4. Una discusión y contraste en gran grupo, para así enriquecer y comunicar los distintos descubrimientos realizados. En este momento el profesor actúa de moderador de cara a establecer conclusiones. 5. Realización y resolución de ejercicios de utilización y consolidación y de problemas de extensión y ampliación.

En la evaluación de esta forma de tarea docente, se tiene en cuenta: 1) La evaluación de los registros escritos y orales. 2) La observación del grado de participación e interacción de cada alumno en las muchas de las actividades de investigación propuestas. Quisiéramos resaltar la existencia de software como Cabri II, Geometry sketch-pack y Kaleidomania! que hoy deberían integrarse en todos los laboratorios geométricos para temas de dibujo. Sin olvidar las calculadoras científicas de Cassio y de Texas Instruments que facilitan visualizaciones interesantes projectables de curvas y superficies.

Los videos como los de COMAP son especialmente sugestivos para poder ver aplicaciones y actualmente gracias a Internet podemos añadir una facilidad enorme que es la idea de laboratorio virtual donde efectuar visitas, dibujos, ver aplicaciones, etc. Las siguientes direcciones son especialmente interesantes: http://www.fi.uu.nl http://ww.comap.com http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ http://www.hull.ac.uk/mathskills/ http://www.ntu.edu.sg/library/sgpacadR.htm http://www.math.bme.hu/mathhist/Curves/Curves.html http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00the.htm http://www.profes.net http://www.leonet.it/culture/nexus/network journal http://www.educ.msu.edu/mars http://www-gse.berkeley.edu/Faculty/gsefaculty.ss.html#schoenfeld http://www.kutzler.com/bk/m-events http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/3740/history.html http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/3740/euclid.html



219

http://www.ies.co.jp/math/java/pythagoras.html http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html http://www.lander.es/~lcjusto/pita_0.html http://library.advanced.org/19029/quadprojects.html http://www.cut-the-knot.com/triangle/altitudes.html http://www.ies.co.jp/math/java/congruent.html http://www.teleport.com/~tpgettys/poly.html http://www.li.net/~george/virtual-polyhedra/vp.html http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/spherical/index.html http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/Packages/CopyCat/ http://www.li.net/~george/virtual-polyhedra/art.html http://www.li.net/~george/pavilion.html http://www.li.net/~george/sculpture/sculpture.html http://www.li.net/~george/chasey.html http://www.users.csbsju.edu/~mwenning/ http://pubweb.acns.nwu.edu/~gbuehler/index.html http://freeabel.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/ http://members.xoom.com/dpscher/intcircles.html http://members.xoom.com/dpscher/ladder.html http://members.xoom.com/dpscher/triangle.html http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html http://www.ies.co.jp/math/java/circles.html http://www.ies.co.jp/math/java/elgear/elgear.html http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/cycloids.html http://freeabel.geom.umn.edu/docs/references/CRC-formulas/ http://freeabel.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/ http://www.aula-ee.com/aula/webs-alumnes/esfera/esfera.htm http://www.uib.no/People/nfytn/mathgal.htm http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/paper_strip.html http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/moebius.html

A nivel personal hemos estado elaborando un web para facilitar una visita virtual a un laboratorio de geometría dedicado a la tridimensionalidad que podrá consultarse a través de mi servidor de la Universidad Politécnica de Cataluña y al cual quedan cordialmente invitados. Hacia una cultura espacial

Para finalizar y enlazando con nuestra conferencia impartida en ICME-9 recientemente me gustaría indicar cuales son ocho consejos que me parecen especialmente relevantes para dar una cultura espacial, que es tal como se indicó al principio, el objetivo docente último de la geometría: 1. El pensamiento visual en tres dimensiones, clave en la cultura espacial, debe ser estimulado en todos los niveles 2. El sentido común espacial debe ser cultivado pues no es, necesariamente, una capacidad innata 3. La cultura espacial requiere romper la cadena 1D – 2D – 3D y superar dificultades técnicas para poder conocer el espacio de forma adecuada en cada nivel 4. La cultura espacial debe basarse en la realidad, explorando sus posibilidades y resolviendo problemas reales 5. La cultura espacial se enriquece con el uso de diversos lenguajes, tecnologías y modelos 6. La cultura espacial debe favorecer conexiones entre aspectos ambientales, históricos, artísticos, etc. fomentando la interdisciplinariedad 7. La cultura espacial permite promover el espíritu de la investigación en las clases de matemáticas 8. La cultura espacial debe proveer a los futuros ciudadanos instrumentos para desarrollar las habilidades espaciales y la creatividad



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La Geometría quiere y debe estar en nuestras aulas. Se merece una buena oportunidad. REFERENCIAS • Alsina, C., 1993, La Matemática de la Forma. MEC, Madrid. • Alsina, C., 1995, Una matemática feliz y otras conferencias Buenos Aires, OMA. • Alsina, C., 1998, Contar bien para vivir mejor. Editorial Rubes, Barcelona. • Alsina, C., 1998, Neither a microscope nor a telescope, just a mathscope, Proceed. ICTMA-1997. • Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J.M. (1990), Materiales para construir la Geometría, Ed. Síntesis, Madrid. • Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J.M.; Giménez, J.; Torra, M., 1996, Enseñar Matemáticas, Graó, Bacelona. • Alsina, C., 2000, Sorpresas Geométricas, Buenos Aires, OMA. • Alsina, C., 2000, La matemática hermosa se enseña con el corazón, Buenos Aires, OMA. • Alsina, C.; Fortuny, J.M., 1998, Fascinante Simetría, Pub. Museu de la Ciència, Fund. La Caixa, Barcelona. • Alsina, C.; Fortuny, J.M., 1993, La Matemàtica del Consumidor Barcelona: Inst. Cat. Consum. Generalitat de Catalunya. • Alsina, C.; Fortuny, J.M.; Giménez, J., 1994, Bon dia mates, 12-16. Dep. d’Ensenyament, Generalitat de Catalunya, Barcelona. • Alsina, C.; Fortuny, J.M., Pérez, R., ¿Por qué Geometría? Propuestas Didácticas para la ESO, Síntesis, Madrid, 1997. • Alsina, C.; Garcia, J.L.; Jacas, J. 1992, Temes clau de Geometria. Pub. Univ. Politècnica de Catalunya, Barcelona. • Alsina, C.; Trillas, E., 1990, Lecciones de Álgebra y Geometría. Curso para estudiantes de Arquitectura. Editorial Gustavo Gili, Barcelona. • Blum, W.; Niss, M., 1991, Applied mathematical problem solving, modeling, applications and links to other subjects- State, trends and issues in mathematics instruction. In W. Blum, M. Niss & I. Huntley, Eds., Modeling, applications and applied problem solving-Teaching mathematics in a real context. Chichester: Ellis Horwood, 1989, 1-21. • Bolt, B., 1982, Mathematical activities, Cambridge, Univ. Press. • Bolt, B., 1988, Más actividades matemáticas, Labor, Barcelona. • Bolt, B., 1991, Mathematics meets technology, Cambridge, U.P. • Cook, T.A., 1979, The Curves of Life: Being an Account of Spiral Formations and their Applications to Growth in Nature, to Science, and to Art, New York, Dover Publications. • Davis, P.J.; Hersh, R., 1981, The Mathematical Experience, Boston, Birkhauser. • De Lange, J., 1987, Mathematics, Insight and Meaning, Utrecht, OW & OC. • De Lange, J., 1996, Real problems with real world mathematics, Proc. ICME8, Sevilla. • De Lange, J.; Keitel, C.; Huntley, I.; Niss, M. ed., 1993, Innovation in Maths Education by Modelling and Applications, Chichester, Ellis Horwood Limited. • Devlin, K., 1997, Why we should reduce skills teaching in the math class, Focus, MAA. • Estalella, J., 1920, Ciencia Recreativa, Gustavo Gili, Barcelona. • Fernández, E., Matos, J.F., Goal!!!! The Mathematics of a Penalty shoot-out in a football game, Prod. ICTMA, P. Galbraith et al. (ed), Horwood Pub. Chichester, 159-167.



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Lectura Nº 17

EL PAPEL DE LA NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA

GEOMETRIA

Documento presentado por miembros del Grupo “Aprendizaje de la Geometría “ de la SEIEM Documento 2: Noviembre 1999

En este informe presentaré mi visión personal sobre cuáles son los aspectos que merece la pena investigar para abordar con fundamento el uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de la geometría. Espero que estas conclusiones personales sean completadas, discutidas e interpretadas por el resto de los colegas del grupo, para que puedan surgir líneas de investigación fructíferas.

1. INTRODUCCION

En primer lugar me encuentro en la necesidad de precisar o delimitar el significado de los términos que aparecen en el título. Bajo el epígrafe de nuevas tecnologías se engloban multitud de aspectos distintos: calculadoras de todo tipo, software variado, los múltiples servicios que ofrecen las redes de comunicaciones o los medios audiovisuales. Cualquiera de estos aspectos tiene su aplicación al ámbito educativo: el uso de las calculadoras en el aula, la utilización de determinados programas o entornos informáticos interactivos de aprendizaje de algún tema concreto, la enseñanza usando los servicios de Internet, la nueva comunicación con el profesor o con los compañeros usando el correo electrónico o los tablones de noticias, los vídeos en sustitución del profesor, etc. Y para cualquiera de estos aspectos encontramos colecciones de actividades relacionadas con temas de geometría.

En este planteamiento estoy separando intencionadamente los mundos “tecnológico”, “educativo” y “geométrico”, porque creo que es precisamente esta separación uno de los factores que impide su incorporación eficaz al sistema educativo. Por ello, entiendo que el objetivo global de nuestro grupo en este tema concreto, debe ser precisamente el estudio de las interrelaciones complejas entre los aspectos tecnológico, educativo y geométrico. Sólo de un análisis profundo de dichas interrelaciones podrá surgir una propuesta de uso fundado de las nuevas tecnologías, en la que se delimiten de forma precisa:

A. los contenidos geométricos susceptibles de ser enseñados/aprendidos bajo esta perspectiva, y

B. las implicaciones curriculares (en sentido amplio) que esto conlleve.



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Como el abanico de posibilidades es amplio y poco homogéneo, la mayor parte de este informe (Sección 4) se centra en el software de geometría dinámica.

2. PERSPECTIVA INSTITUCIONAL

En las recomendaciones hechas por el MEC en los documentos del Diseño Curricular base de Educación Primaria y de Secundaria Obligatoria encontramos directrices genéricas sobre el uso de nuevas tecnologías en educación en el área de matemáticas, sin que se especifique de forma precisa cuál debe ser su uso, en qué parcelas concretas de las matemáticas puede ser útil y para qué. Literalmente se dice: “el uso de los nuevos medios tecnológicos ha de tener repercusiones en la manera de enseñar las matemáticas y en la selección de contenidos”. En el caso concreto del ordenador se destacan tres características interesantes desde el punto de vista didáctico: 1. permite “gestionar y representar la información, permitiendo que el alumno dedique su atención al sentido de los datos y al análisis de los resultados”, 2. permite “ejecutar órdenes de muy distinto tipo (dibujos, cálculos, decisiones,…) con gran rapidez”, 3. permite “interactuar con el usuario, que puede intervenir en determinados momentos proponiendo datos o tareas nuevas en función de los resultados que se vayan obteniendo, lo que le convierte en un poderoso instrumento de exploración e indagación”.

Siguiendo la tónica habitual del decreto, se delega en el profesor la tarea de concretar el uso de las nuevas tecnologías, en particular, el ordenador: “el profesor debe valorar para decidir utilizarlo [el ordenador] como recurso”. Estas directrices genéricas no impiden al profesor que lo desee realizar un diseño curricular que integre el uso de las nuevas tecnologías desde una perspectiva global y razonada, con una selección de contenidos, una metodología y una evaluación adaptadas al medio utilizado. Sin embargo, a pesar de lo reciente de la ley (1990), elaborada en plena efervescencia de las nuevas tecnologías, no encontramos en ella la revolución anunciada por su uso en educación; más bien al contrario, se presentan como un recurso (¿un recurso más?). Podemos deducir que, una vez más, la revolución no lo es si no parte de las bases, en este caso, de la voluntad de los profesores por integrarlas completamente en su proyecto docente personal.

Tampoco está claro que haya una mayoría de profesores a favor o en contra. Normalmente encontramos variedad de opiniones al respecto, opiniones normalmente extremas, sin término medio entre los admiradores incondicionales y los detractores tajantes, a pesar de que externamente los profesores nos decantemos por un “es bueno o no, dependiendo del uso que se le dé”, frase que, en boca de un profesor, no adquiere significado hasta que se declara en su propia actuación como docente. Aunque no tengo datos sobre España, (Monaghan, 98) estima que sólo el 5% de los profesores ingleses (no dice en qué nivel) utilizan significativamente las nuevas tecnologías en clase de matemáticas. Esta perspectiva sugiere dos posibles líneas de investigación relacionadas con el profesor: A. conocer las creencias de los profesores en cuanto al uso de las nuevas tecnologías en el

aprendizaje de la geometría, B. Determinar la incidencia de las nuevas tecnologías en la formación de profesores de

matemáticas: en el currículo de formación inicial y en la formación permanente.



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3. PERSPECTIVA DOCENTE

A la vista de los artículos que poseo en los que profesores de matemáticas relatan sus experiencias de uso de las nuevas tecnologías en las clases de matemáticas, he encontrado las siguientes razones esgrimidas por los profesores para fundamentar su uso:

-que no se puede dar la espalda al medio en que vivimos inmersos, -que se facilita o mejora el aprendizaje de los alumnos, afirmación que se basa en distintos tipos de argumentos: -el carácter motivador (lúdico) de las nuevas tecnologías, -la ejecución de ciertas operaciones mecánicas es más rápida, por lo que el tiempo se aprovecha mejor, -se incorpora como elemento esencial al proceso de enseñanza/aprendizaje la visualización, -la memorización deja de tener sentido, se fuerza al alumno a razonar, -la manipulación propia permite al alumno conjeturar, descubrir, en definitiva, construir su propio conocimiento, -los alumnos cuentan con un “profesor virtual” ante el que están desinhibidos que sirve de apoyo al profesor en su metodología de enseñanza: -facilita la evaluación continua de los alumnos, -posibilita atender a la diversidad. Las razones en contra del uso de las nuevas tecnologías van en la línea de: -falta de equipos, -falta de tiempo (como si el uso de nuevas tecnologías fuera un añadido), y -dificultad en la gestión de las clases impartidas en un aula de informática.

A pesar de que algunas de estas razones (tanto a favor como en contra) pueden estar fuera de nuestro interés en cuanto a grupo de investigación sobre Aprendizaje de la Geometría, debieran ser tenidas en cuenta para que la investigación progrese en la línea de sustentar o refutar opiniones extraídas de la práctica.

4. FOCOS DE INTERES (para fundamentar el uso de nuevas tecnologías)

Aunque parezca ocioso decirlo, conocer el manejo operativo de un paquete de software geométrico, o conocer y utilizar actividades en él programadas, no proporciona preparación suficiente como para afrontar la enseñanza de la geometría con este tipo de medios. El reto principal es tener argumentos para decidir si los medios tecnológicos se pueden incorporar o no como estrategia pedagógica global. Para ello considero necesario reflexionar sobre los siguientes aspectos: 1. delimitar los contenidos que son susceptibles de ser trabajados con el medio utilizado y cuáles no; me refiero tanto a los conceptos y propiedades geométricas, como a los contenidos procedimentales y actitudinales. 2. saber cuál es la naturaleza del conocimiento geométrico que se adquiere usando un determinado medio tecnológico, quizá distinta de la generada por otros medios. 3. conocer la ó las teorías del aprendizaje en las que se enmarca el tipo de aprendizaje que se produce con el uso de un medio tecnológico, 4. conocer cuáles son los errores más comunes que los alumnos tienen (contemplando la posibilidad de que puedan ser propiciados por el propio medio), 5. adaptar la evaluación al medio utilizado, 6. gestionar situaciones de enseñanza/aprendizaje adaptadas a la nueva forma de construir conocimiento.



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Que la investigación se oriente a afrontar estas cuestiones (1 a 6, y seguramente algunas más que me olvido) es mi interés fundamental. Es el primer paso para poder justificar nuestra elección ante la incorporación de las nuevas tecnologías al currículo, para poder elegir si las usamos como simple recurso de apoyo a la enseñanza/aprendizaje de contenidos particulares o como eje alrededor del cual se articule todo el currículo; me gustaría conocer vuestras sugerencias sobre cualquiera de estos apartados.

En lo que sigue me centraré en los Sistemas de Geometría Dinámica (tipo Cabri-Géomètre) propuestos como “micro-mundos” para el aprendizaje de la geometría. Esto supone dejar fuera muchos medios y programas que también podrían tener su cabida en nuestro ámbito geométrico, pero entiendo que cada uno exige un tratamiento específico y espero que algunas partes del siguiente análisis puedan extrapolarse a otros medios.

En lo que sigue intentaré profundizar un poco en cada uno de los aspectos planteados, presentando el estado del arte y sugiriendo algunas posibles líneas de actuación (siempre desde mi perspectiva y desde la información que yo manejo).

4.1 CONTENIDOS De todos los posibles contenidos que se pueden abordar, mencionaré aquellos para los que creo que el uso del software introduce novedades respecto de la enseñanza sin software. Incluyo como contenidos, además de los geométricos, los conocimientos procedimentales y actitudinales que surgen usando un entorno computacional, para los que la geometría constituye un sustento adecuado pero que exceden al ámbito geométrico.

FIGURA GEOMÉTRICA La posibilidad de desplazamiento de los elementos constituyentes de una

construcción geométrica en un sistema de geometría dinámica permite acercarse al concepto de figura geométrica enfatizando las propiedades que quedan invariantes para distintas ejemplificaciones de una representación visual de dicha figura, es decir, la figura como invariante de propiedades de un dibujo dinámico.

CONCEPTO/PROCESO/DIBUJO No sólo las construcciones con regla y compás son manejadas en un sistema de

geometría dinámica: en algunos de ellos (por ejemplo, Cabri-Géomètre), existe una orden que permite construir polígonos regulares de cualquier número de lados. Obviamente, en los casos de polígonos no constructibles con regla y compás se trata de una aproximación visual a dichas figuras, efecto que debe ser tenido en cuenta en la enseñanza, y que ejemplifica la diferencia entre un concepto geométrico (polígono regular de n lados), una construcción geométrica (como proceso algorítmico necesario para obtener una representación de dicho concepto utilizando un determinado material y unas determinadas reglas de construcción), y La materialización de dicho proceso en una imagen visual en un determinado soporte material (la colección de pixels cuya percepción visual responde a las características esperadas).



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LUGARES GEOMÉTRICOS La posibilidad de mover un punto de una construcción geométrica se complementa

con la opción de que otros elementos dependientes de él dejen una “huella visual” en la pantalla del ordenador, lo que permite obtener una visualización del lugar geométrico de dichos elementos cuando dicho punto recorre una determinada trayectoria. Los problemas geométricos que involucran el uso de lugares geométricos suelen plantear dificultades de visualización: por ejemplo, no es trivial poder dibujar sobre un papel, en un nivel de Secundaria, el lugar geométrico siguiente “Dada una circunferencia y un punto interior A, que no sea el centro, sea P un punto de la circunferencia y r la recta perpendicular al segmento PA por el punto P. Hallar el lugar geométrico que determina la recta r cuando el punto P recorre la circunferencia” (Carrillo-Llamas 99, p. 45). Y sin embargo se trata de (la envolvente de) una elipse. Así los sistemas de geometría dinámica pueden usarse como complemento visual a la teoría que se imparte sobre lugares geométricos.

Otro ejemplo prototipo del uso de lugares geométricos es la construcción de las cónicas. En este aspecto, las últimas versiones de los sistemas de geometría dinámica más conocidos incorporan un paquete específico de tratamiento de cónicas (elipse, hipérbola ó parábola en Cabri-Géomètre) también desde un punto de vista analítico, permitiendo su definición a partir de cinco puntos que deben ser marcados con el ratón sobre la pantalla gráfica del programa. En particular, los programas ofrecen la posibilidad de mostrar la ecuación de dichas cónicas. Se integra así en un mismo entorno el tratamiento analítico y el geométrico del concepto de cónica.

DEMOSTRACIÓN DE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

Al realizar una construcción geométrica en un sistema de geometría dinámica traducimos unas determinadas reglas geométricas a una imagen visual. “Vemos” nuestras hipótesis. Si tratamos de demostrar que dichas hipótesis implican una tesis, ahora también “vemos” la tesis: arrastrando por la pantalla los elementos constituyentes de dicha construcción geométrica seguimos en las mismas hipótesis, por lo que podemos “ver” si se cumple la tesis para distintas (muchas) posiciones posibles de la construcción. Si encontramos un caso en el que la tesis no se cumple habremos demostrado (con un contraejemplo) que no es cierta; en otro caso nos habremos convencido de que la tesis es cierta (quizá como resultado de una mezcla de los principios de autoridad –el ordenador no se equivoca- y de experiencia dados por Moisés Coriat en su informe), pero no tendremos una demostración de ello. El paso siguiente es esperar que este proceso motive o inspire una posterior demostración formal (pero no sé qué argumentos emplear para basar esta esperanza).

En casos especiales los sistemas de geometría dinámica aseguran la veracidad de ciertas propiedades: alineación de tres puntos, paralelismo y perpendicularidad de rectas, semirrectas, segmentos ó vectores; equidistancia de un punto a otros dos y pertenencia de un punto a un objeto, etc. Algunos sistemas de geometría dinámica incorporan un “chequeo aleatorio de teoremas” que genera y prueba ejemplos de una propiedad conjeturada, concluyendo la veracidad (con una determinada probabilidad) o la falsedad (caso de



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encontrar un contraejemplo). En cualquier caso, el sistema produce una respuesta sin informar del proceso seguido para conseguirla.

En mi opinión, está por determinar si los sistemas de geometría dinámica sirven o no para "inspirar" demostraciones geométricas. Cabe aquí preguntarse por el significado atribuido a la demostración en geometría, discusión tan interesante y de actualidad. ¿Varían en algo las nuevas tecnologías el significado de esta palabra?, ¿incluso de cualquier otra de las palabras de la secuencia: “diseñar- explorarmodelizar - conjeturar - definir - argumentar – demostrar”?

SIMULACIÓN – MOVIMIENTO - CONTINUIDAD Los Sistemas de Geometría Dinámica permiten simular el funcionamiento de multitud

de mecanismos físicos (poleas, bicicletas, manivelas, etc.). Este uso del software de geometría dinámica revela interesantes cuestiones sobre las implicaciones de representar el movimiento valiéndonos de dibujos sobre una pantalla de un ordenador. Planteo estas cuestiones a continuación.

Cuando utilizamos un sistema de geometría dinámica para simular el movimiento físico entendemos el movimiento del dibujo en la pantalla del ordenador como la reproducción de una película que pudiera haber sido grabada previamente. Sin embargo las leyes que gobiernan el movimiento de los dibujos en la pantalla son geométricas, es decir, el funcionamiento del software obedece a restricciones geométricas, que poco o nada tienen que ver con las leyes físicas del movimiento real. Y aún más, hay leyes computacionales que gobiernan el modo de representar internamente los objetos geométricos y el modo de manipularlos, que también juegan su papel. La situación que pretendo explicar se resume en el siguiente cuadro:

El hecho de que sean leyes geométricas y computacionales las que gobiernen el

movimiento del dibujo en la pantalla del ordenador hace que, en ocasiones, no se reflejen propiedades esenciales del movimiento físico que se pretende simular, como, por ejemplo, la



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continuidad. Encontramos construcciones en las que, al mover los dibujos en la pantalla, se producen "saltos" (discontinuidades). (Laborde 99) nos recuerda que la noción de “estar próximo” en un sistema de geometría dinámica no es la misma que en topología, cosa que evidentemente tiene su influencia en la continuidad. Se dice que lo más a lo que podemos aspirar es a afirmar que:

Para cualquier sucesión de posiciones de cualquier punto base P sobre un lazo cerrado P1,

P2,…, P

n=P

1, el estado final F(P

n) es igual al estado inicial F(P

1). (*)

Es decir, tras ejecutar un desplazamiento en un recorrido cerrado volvemos al punto de partida, pero esto no excluye el que en puntos intermedios del recorrido puedan producirse discontinuidades. Este es, a mi entender, uno de los puntos clave a la hora de hablar de simulación; debe ser tenido en cuenta en la enseñanza ya que surge frecuentemente, en ejemplos sencillos, como el siguiente, (y es la causa de algunas situaciones “incomprensibles” para los alumnos cuando realizan sus construcciones):

Consideremos en Cabri dos circunferencias de igual radio C1 y C2 cuyos centros están sobre una recta r; denotemos por A y B, respectivamente, a los dos puntos de corte, en una posición de C1 y C2 en la que ambos existan y sean distintos; si ahora desplazamos el centro de C2 sobre la recta r hasta hacerlo pasar “al otro lado” del centro de C1, podemos observar que A y B “intercambian” sus posiciones, y lo hacen bruscamente en el momento en que el centro de C2 pasa sobre el centro de C1, ejemplificando la falta de continuidad en el movimiento del punto A (resp. B). En el dibujo siguiente se muestra el resultado de esta actividad:

Obviamente no hemos recorrido un lazo cerrado; para ello deberíamos volver a desplazar al centro de C2 hasta su posición inicial, con lo cual volveríamos a la posición de partida. Esta constatación impide que podamos simular en Cabri-Géomètre con continuidad el movimiento de un artilugio tan simple como un mecano articulado de dos brazos de igual longitud.

Estas dificultades para representar la continuidad en los sistemas de geometría dinámica más conocidos ha tratado de enmendarse en el nuevo sistema Cinderella (Kortenkamp, Richter-Gebert 99), donde se tratan específicamente los problemas de continuidad utilizando técnicas de Geometría Proyectiva Compleja en el tratamiento de los datos empleados. En el ejemplo mencionado de las dos circunferencias, Cinderella resuelve



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con continuidad el movimiento del punto A; sin embargo en este sistema no se cumple la propiedad anterior (*) sobre un lazo cerrado.

Me interesa especialmente poder determinar la influencia de estos factores en el significado de los conocimientos que se transmiten usando un sistema de geometría dinámica así como en los posibles errores que se deriven de ello.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

-Destrezas algorítmicas: En numerosas actividades propuestas para trabajar en los sistemas de geometría dinámica, los alumnos deben elaborar un proceso de construcción de una figura descrita a partir de sus propiedades geométricas. Para ello cuentan con una serie de primitivas geométricas que pueden elegir de un repertorio dado. (Laborde 98, p. 44) establece: “El dispositivo obliga a la distinción entre trazado y procedimiento de trazado”, con lo cual se fomenta el pensamiento algorítmico. La posibilidad de realizar macro-construcciones, es decir, de definir primitivas propias que pueden ser incorporadas al sistema, exige al usuario identificar separadamente los datos de partida, el proceso de construcción y el producto final. La presentación de un proceso de construcción geométrica como una sucesión de primitivas y de macro-construcciones lo identifica con un proceso algorítmico de atomización de un problema en subproblemas aislados y consecutivos, cuyo seguimiento conduce a una solución global.

-Visualización dinámica: Ocioso es decir que la visualización juega un papel fundamental en la enseñanza de la geometría, especialmente cuando se utiliza un medio computacional en el que la interacción con el alumno está basada en la percepción visual de un “dibujo dinámico”, es decir, un dibujo en el que se pueden desplazar ciertos elementos para obtener nuevos dibujos con las mismas propiedades geométricas que el de partida. Este aspecto dinámico es fundamental y novedoso en la visualización, incide en la generalización y en la abstracción, en la detección de propiedades invariantes y en la posibilidad de conjeturar y experimentar el cumplimiento de propiedades geométricas que no estaban previamente establecidas.

-Interacción conocimientos geométricos/representación Desde que se plantea al alumno una actividad geométrica se produce un camino de ida y vuelta entre:

-los conocimientos geométricos que inciden en el proceso de construcción geométrica, y -la percepción visual del movimiento de dicha construcción. Este tipo de interacción no

sólo es considerada útil en el ámbito de la geometría, sino que algunos autores la declaran de interés en la formación otros conceptos, como el de variable o el de función, y en el desarrollo del pensamiento analítico: By allowing students to investigate continuous variation directly (without intermediary algebraic calculation), dynamic geometry environments can be used to help students build mental constructs that are useful (even prerequisite) skills for analytic thinking. (A. A. Cuoco, E. P. Goldenberg 97, p. 34).

A la vista de estas reflexiones, ¿qué contenidos pueden o deben ser cambiados en el currículo geométrico si usamos un sistema de geometría dinámica?



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4.2 NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO QUE SE ADQUIERE USANDO UN SISTEMA DE GEOMETRÍA DINÁMICA

Se trata de poner en tela de juicio la influencia del medio en el conocimiento adquirido y transmitido (ya que se habla de que no es lo mismo la geometría con regla y compás que la cabri-geometría; se habla de cabri-dibujo, para distinguirlo del dibujo -a secas-).

Enmarco los micro-mundos geométricos en ámbito de los “Entornos Interactivos de Aprendizaje por Ordenador”. Dentro de este marco general, siguiendo a (Balacheff, Vivet 94) podemos adoptar dos perspectivas distintas en el estudio de la naturaleza del conocimiento: A. La perspectiva de la Inteligencia Artificial, donde la dimensión epistemológica se

centra en determinar y validar el modelo computacional del conocimiento, es decir, determinar cómo se representan en un ordenador ciertos conocimientos que son objeto de enseñanza y establecer las reglas que permiten validar las consecuencias deducidas de dichas representaciones; Balacheff acuña el término transposición informática para designar la acción necesaria sobre el conocimiento que permite una representación simbólica del mismo, la implementación de dicha representación en un dispositivo informático, y la validación de las consecuencias de su uso. La transposición informática implica la contextualización del conocimiento, lo que tiene consecuencias importantes sobre el aprendizaje. En este sentido, los condicionantes que determinan la naturaleza de los significados construidos por el alumno son:

- el dominio de problemas al que el entorno da acceso, -las características de la comunicación sistema/usuario (la modelización computacional del conocimiento geométrico en un sistema de geometría dinámica tiene un condicionante esencial, que es su representación mediante un dibujo en la pantalla de un ordenador, que es un soporte discreto. Este dibujo es el principal intermediario entre el usuario y el conocimiento geométrico representado en el ordenador; las propiedades geométricas que deseemos trabajar están mediatizadas por el dibujo y su interpretación), -la coherencia interna y consistencia del dispositivo en su interacción con el usuario (en los sistemas de Geometría Dinámica, lo que (Laborde 98) llama una retroacción perceptiva).

B. La perspectiva didáctica, que valora las consecuencias que tiene la representación del conocimiento en el ordenador sobre el aprendizaje que resulta de las interacciones con un tal sistema. Desde el punto de vista de la construcción del conocimiento, la cuestión de cómo el alumno utiliza el ordenador permanece abierta. En terminología francesa, está por dilucidar –en la mayoría de los casos- qué tipo de contrato didáctico se establece y las consecuencias que de ello se derivan. Algunos autores indican que los conocimientos construidos por el alumno pueden obedecer más a un intento del alumno de satisfacer las expectativas del software que tiene entre manos, tal como él las percibe, lo que no tiene porqué tener relación con el conocimiento específico que el profesor espera de él. Mientras esto no se resuelva no podremos valorar correctamente las secuencias de enseñanza por ordenador en las que se conduce a los alumnos por rutas en las que ellos deben tomar decisiones. Tampoco se puede desligar esta cuestión de los contenidos de enseñanza particulares; encontramos con frecuencia principios generales, desligados de los contenidos, con lo que se puede entrar en conflicto con las características didácticas de los mismos.



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4.3 APRENDIZAJE

El uso de entornos interactivos de aprendizaje por ordenador se enmarca dentro de las teorías constructivistas del aprendizaje, donde se entiende que la geometría no es un cuerpo codificado de conocimientos sino esencialmente una actividad, y que el conocimiento se construye mediante la actividad del sujeto sobre los objetos. Además, algunos autores (Laborde 98, Hoyles 92) sugieren la posibilidad de que se desarrollen resortes de aprendizaje nuevos, más allá de la aproximación constructivista, interpretando el papel del profesor y los alumnos como co-exploradores que adquieren conocimiento a partir de las relaciones alumno-profesor y alumno-alumno, interacciones que se enmarcan en las propuestas desarrolladas por Vygotsky sobre construcción social del conocimiento.

En el caso de los micro-mundos geométricos, dos características significativas en el proceso de aprendizaje son las siguientes:

1. La acción y retroacción: el software interpreta las acciones del alumno, devolviéndole una información sobre su producción, información que el alumno puede utilizar a su vez para continuar progresando en la construcción de conocimientos. La posibilidad de modificar una misma construcción amplía el campo de acciones posibles así como los retornos correspondientes. (Laborde 98) comenta la importancia de que la retroacción en un sistema de Geometría Dinámica provenga de un dispositivo externo e independiente del profesor, considerando esta cualidad esencial para hacer evolucionar al sujeto. 2. La repetición: (Laborde 98) habla de la propiedad de los sistemas de geometría dinámica de posibilitar al alumno la confrontación repetida con un problema, indicando que no se trata de una opción conductista de aprendizaje por refuerzo, sino más bien de una opción constructivista en la que se produce un proceso de transferencia de responsabilidad al alumno que le permite “construir un sentido del problema, haciéndole cada vez más consciente de lo que le impulsa a actuar”. 4.4 ERRORES No tengo nada de bibliografía sobre este aspecto. ¿Sugerencias? Usted como lector y especialistas del área `puede y debe hacer su aporte al respecto si queremos mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría

4.5 EVALUACIÓN

Resulta chocante que mientras consideramos recomendable el uso de nuevas tecnologías en la enseñanza, tendemos a limitar (prohibir) su uso en los exámenes. Parece claro que si dejamos usar calculadoras, tenemos que preguntar otras cosas, de donde deducimos que deberíamos enseñar otras cosas. Un ejemplo significativo es el examen de selectividad (a pesar de su discutible valor para evaluar los conocimientos de los alumnos). En este examen hay una ausencia total de nuevas tecnologías: en algunas autonomías, se permite usar calculadoras científicas para operar. Por ello deducimos que el examen no “está pensado” para evaluar conocimientos adquiridos usando nuevas tecnologías.



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La falta de consideración de nuevas tecnologías en la evaluación es un síntoma claro de su falta de integración real en el ámbito educativo.

Por supuesto, determinar el tipo de evaluación no puede reducirse a discutir sobre si usar o no el medio tecnológico en un examen. En los micro-mundos geométricos la evaluación de la actividad del alumno y de las producciones que éste realiza es una tarea compleja, que involucra conocer la significación geométrica de los dibujos producidos y por tanto de determinar si el alumno ha satisfecho las restricciones iniciales del problema y no ha aportado una solución ad hoc quedándose en el nivel del dibujo o en un caso particular, etc.

No tengo bibliografía significativa sobre evaluación usando nuevas tecnologías en el ámbito geométrico. En (Drijvers 98) podemos encontrar una panorámica no exhaustiva sobre evaluación y nuevas tecnologías, donde se presenta la situación en distintos países europeos (entre los que no nos encontramos).

4.6 GESTIÓN DE SITUACIONES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

El interés fundamental de los micro-mundos es que permitan crear las condiciones de enseñanza/aprendizaje precisas. Las cuestiones sobre las que actuar en el planteamiento de situaciones de enseñanza-aprendizaje son las siguientes:

Visualización La idea obviamente errónea de que mostrar el dibujo de una construcción geométrica es suficiente para que el alumno deduzca una determinada propiedad geométrica podría reafirmarse con el uso de software de geometría, a pesar de que numerosos trabajos demuestran que el paso del dibujo a la figura y a la propiedad geométrica no es tan inmediato, y no se adquiere si no media una enseñanza. En (Laborde 92) se concreta el papel de la visualización en dos tipos de tareas:

-validar o refutar una solución alcanzada, y

-conjeturar resultados, actividades ambas en las que las percepciones visuales deben interactuar necesariamente con los conocimientos geométricos.

Verbalización Otra característica a tener en cuenta es la necesidad de verbalización: en (Laborde 98) se indica que “es necesaria una descripción discursiva que caracterice al objeto geométrico para eliminar las ambigüedades inherentes al dibujo”. Despejar dichas ambigüedades no es el único aspecto a considerar: expresar en palabras una conclusión observada parece suponer un esfuerzo considerable y necesario (Murillo 99).

Contextualización Los aprendizajes realizados en un determinado contexto no tienen porqué transferirse automáticamente a otros distintos, aunque compartan determinadas características. En (Noos y Hoyles 92) se han estudiado este tipo de



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transferencias en el marco de los micromundos geométricos, concluyendo que los estudiantes construyen y articulan relaciones matemáticas que son interpretables y tienen significado sólo si se refieren a las herramientas usadas. Así se habla de abstracciones situadas para referirse a actividades de las que se puede extraer una generalización, pero el conocimiento está definido por las acciones dentro de un contexto. (Bellemain, Capponi 92) tras proponer una secuencia de enseñanza de las propiedades geométricas de la simetría ortogonal en el entorno CabriGéomètre, constatan que ciertas concepciones erróneas (sobre la simetría axial) que no se ponen de manifiesto en el trabajo con el software reaparecen si a continuación se proponen las mismas actividades con papel y lápiz. También se indica que los procedimientos utilizados para realizar determinadas construcciones con lápiz y papel no se transfieren al entorno Cabri- Géomètre ni en el otro sentido. Estas conclusiones conducen a los autores a afirmar la necesidad de que el profesor intervenga para institucionalizar los nuevos conocimientos adquiridos; esta intervención está basada en la puesta en común de los nuevos conocimientos y en la propuesta de situaciones similares en otro tipo de entorno.

Aprendizaje por descubrimiento guiado Aunque parezca ocioso decirlo, los micro-mundos geométricos ofrecen al alumno entornos ricos pero por sí solos no pueden garantizar el aprendizaje. Para ello deben estar integrados en un medio global que contemple y gestiones todas las variables didácticas que entran en juego en un proceso de enseñanza-aprendizaje. Con el fin de automatizar en la medida de lo posible este proceso, se han desarrollado los llamados entornos de aprendizaje por descubrimiento guiado (por ejemplo, HyperCabri (Laborde y Straesser 90)). La idea es construir sobre un micromundo un modelo de tutor del estudiante en el que éste es enfrentado a situaciones-problema ante las que ejerce acciones. El sistema está preparado para interpretar dichas acciones y responder a ellas, proporcionando sugerencias o guiando la resolución del problema a partir de tareas simples. En el ejemplo concreto de HyperCabri se indica que no hay un modelo teórico predefinido y extendido que fundamente la interacción en Hiper-Cabri entre el estudiante y el sistema, sino que la propuesta de ayuda por el tutor está basada en el análisis de los errores más comunes establecidos por investigación empírica.

Intervención del profesor (Noos y Hoyles 1992) indican que aunque hay rangos de actividades geométricas ante los cuales los alumnos pueden reaccionar espontáneamente, este no tiene porqué ser el caso, por lo que se hace necesaria la adecuada intervención del profesor, cuyos objetivos deben ser, según los mismos autores:

-conducir hacia la abstracción y la generalización,

-invitar a la predicción de resultados, -provocar la reflexión sobre el tipo o tipos de representación que entran en juego, -ayudar a la interpretación de relaciones entre lo visual y lo formal, -introducir formalmente nuevas ideas matemáticas que surjan del entorno visual,

-ayudar a explorar las intuiciones personales. Otra consideración importante es que los autores creen que es necesario, además de la actividad computacional, con sus específicos tipos de intervención y estructura pedagógica, plantear un entorno no computacional de intervención que exhiba los requerimientos matemáticos de la tarea propuesta: el paso de las abstracciones situadas a las abstracciones matemáticas también necesita de instrucción



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e intervención. Lo que hace el entorno computacional es ampliar significativamente el rango de abstracciones situadas.

En general, para poder intervenir en la interacción alumno/ordenador hay que tener un gran conocimiento de las concepciones que podemos atribuir a los alumnos relativas a los contenidos en juego y relativos a la tarea que les es propuesta. En particular, es importante ser consciente del grado de iniciativa que se deja al alumno en la actividad propuesta, de forma que las intervenciones del profesor se ajusten a las pautas generales siguientes: -no dar ayuda salvo que tengamos la certidumbre de que el alumno está en una posición de debilidad, -no iniciar una acción tutorial si el alumno tiene oportunidades de encontrar él sólo una solución.

En general se trata de buscar un equilibrio entre la “directividad” y la “no directividad” teniendo en cuenta por un lado el estado del alumno y por otro la complejidad del objeto de enseñanza.

Características observadas en la experimentación con alumnos Algunos aspectos constatados por investigaciones variadas en el aprovechamiento por parte de los alumnos son: -La ausencia de renuncia (Laborde 98).

-Las interacciones con los objetos permite a los alumnos establecer relaciones entre sus intuiciones y representaciones geométricas más formales. (R. Noss, C. Hoyles, L. Healy, R. Hoelz).

-Los micro-mundos proporcionan un andamiaje para puentear el hueco entre acciones y generalizaciones: las estrategias que los alumnos usan, y que inicialmente son un medio de evitar el análisis matemático de la situación, proporcionan más tarde un puente hacia la matematización. (en el mismo artículo de Noss… anterior).



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Lectura Nº 18

LA GESTIÓN DE LA CLASE DE GEOMETRÍA UTILIZANDO SISTEMAS DE GEOMETRÍA DINÁMICA

AUTOR: M. J. GONZÁLEZ-LÓPEZ1

[email protected] Universidad de Cantabria

En este capítulo analizamos las modificaciones que conlleva la utilización de software de geometría dinámica en la enseñanza, desde la perspectiva de la actuación del profesor en el aula. Para ello clasificamos en cuatro bloques los factores que condicionan la gestión de la clase en ese contexto, dependiendo de que correspondan a cambios en las condiciones de trabajo, a las distintas formas de comunicación que el software favorece, a los diferentes modos de resolver las tareas propuestas y a los tipos de actividades que pueden proponerse. Esto nos permite especificar algunas pautas de actuación posibles para el profesor, que concretamos en: sugerir contraejemplos para modificar decisiones erróneas, fomentar la autonomía del alumno intentando que se corrija a sí mismo, situar información local en un ámbito geométrico global y descontextualizar el conocimiento adquirido en un entorno computacional.

INTRODUCCIÓN

Los Sistemas de Geometría Dinámica (Cabri-Géomètre, Geometer's Sketchpad, The Geometry Inventor, The Geometric Supposers, etc.), aparecidos durante los años 80 y propuestos como recursos útiles para la enseñanza de la Geometría, han tenido una gran difusión internacional, especialmente en los niveles de Primaria y Secundaria. Esta buena acogida ha hecho que se fueran desarrollando nuevas versiones, incluyendo cada vez más sofisticación en los contenidos, y ha propiciado la aparición de nuevos paquetes de software, con la promesa de superar los logros obtenidos por los anteriores -como el reciente Cinderella (Richter-Gebert y Kortenkamp 99)-. Algunos de ellos (por ejemplo, Cabri-Géomètre) han sido incorporados en algunas calculadoras gráficas de fácil manejo y precio asequible.

1. Parcialmente subvencionado por ESPRIT/LTR 21.024 y por DGESIC PB98-0713-C02-02. En Gómez, P., y Rico, L. (Eds.). Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro. Granada: Editorial Universidad de Granada.

En España han proliferado los cursos de manejo de este tipo de software educativo para profesores, principalmente promovidos por los Centros de Profesores; también las asignaturas de formación inicial de profesores de Primaria sobre nuevas tecnologías,



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didáctica de la matemática o informática educativa han incorporado a sus programas apartados específicos de manejo de alguno de estos sistemas, que en lo sucesivo denominaremos por las siglas SGD.

Los SGD se caracterizan por poseer una pantalla gráfica sobre la que el usuario puede dibujar objetos geométricos primitivos (puntos, rectas, segmentos, etc.) y registrar relaciones geométricas entre ellos (perpendicularidad, paralelismo, etc.) a partir de un repertorio prefijado. Estas acciones producen construcciones geométricas más o menos complejas en las que algunos objetos pueden ser seleccionados por el usuario y “arrastrados” por la pantalla, manteniendo las relaciones geométricas establecidas en la construcción.

Consideramos los SGD enmarcados en el ámbito de los micro-mundos geométricos, uno de cuyos rasgos esenciales es que no hay objetivos didácticos predeterminados en el software, a diferencia de otro tipo de programas tipo “tutor” cuyo diseño incorpora de forma cerrada una intención didáctica clara (Balacheff y Kaput, 1996). Esto hace que su eficacia educativa dependa esencialmente del uso que se haga de ellos. Según esto, el profesor, como responsable de la organización del proceso de enseñanza, es el encargado de hacer una elección precisa de entre un amplio abanico de posibilidades.

Son varias las investigaciones que describen los cambios que sufre el proceso de enseñanza/aprendizaje por el uso de ordenadores, tanto desde planteamientos generales como desde particularizaciones a contenidos concretos, a contextos diferenciados, a tipos específicos de software, a los distintos papeles del profesor y los alumnos, etc. Por mencionar algunas de ellas: Artigue (1990-1991), Fraser et al. (1988), García et al. (1995), Gómez (1997), Hoyles y Noos (1992), Laborde (1992) y Monaghan (1998).

En este trabajo nos proponemos analizar las modificaciones que la utilización de un SGD introduce desde la perspectiva de la intervención del profesor en el aula. Para ello utilizaremos los trabajos publicados sobre el tema integrando nuestra reflexión personal, fruto de la experiencia de uso de uno de estos sistemas durante varios años, el Cabri-Géomètre, con alumnos de tercer curso de Magisterio de la Universidad de Cantabria.

Dado que la intervención del profesor está enmarcada en un contexto preciso de aprendizaje comenzamos estableciendo, en la primera sección, el marco aceptado para el aprendizaje con un SGD: se trata de un modelo de aprendizaje constructivista, basado en la resolución de problemas mediante exploración y conjetura. En este contexto el papel del profesor cambia, en la medida en que son diferentes:

las condiciones de trabajo, las formas de comunicación que el software ofrece, los modos de proceder que se propician en la resolución de tareas, y os tipos de actividades matemáticas estándar que pueden proponerse.

Analizamos todos estos condicionantes en la segunda sección, con el fin de fundamentar y concretar algunas pautas de actuación del profesor que son distintas respecto de la enseñanza en un medio no informatizado; presentamos estas pautas en la última sección.



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MARCO GENERAL DE APRENDIZAJE CON SGD

El uso en la enseñanza de un SGD, como caso particular de entorno interactivo de aprendizaje por ordenador, se enmarca dentro de las teorías constructivistas del aprendizaje, tal como detallan, entre otros, Yábar (1995), y Bellemain y Capponi (1992). En este marco general la geometría no se concibe como un cuerpo codificado de conocimientos a transmitir, sino como el resultado de una actividad de los sujetos sobre determinados objetos de su entorno. En un SGD tales objetos son el resultado de una modelización computacional de determinados conceptos geométricos y las actividades a desarrollar están condicionadas por el tipo de comunicación que se establece con el sistema informático. La naturaleza del conocimiento matemático que se trabaja cambia respecto del contexto de lápiz y papel; ahora se centra en el estudio de las propiedades invariantes que posee una determinada construcción geométrica, propiedades que el usuario puede observar o predecir manipulando la construcción realizada.

El aprendizaje se enmarca así en una lógica de recreación o reconstrucción de conocimientos, que es impulsada por las interacciones del profesor con los alumnos. Algunos autores (Laborde,1998; Noos y Hoyles,1996; Hoyles,1992) sugieren además la posibilidad de que se desarrollen resortes de aprendizaje nuevos, más allá de la aproximación constructivista, interpretando el papel del profesor y los alumnos como co-exploradores que adquieren conocimiento a partir de las relaciones alumno-profesor y alumno-alumno. Estas interacciones están influenciadas por las propuestas de Vygotsky sobre construcción social del conocimiento, y tratan de integrar los objetos matemáticos, el entorno material, social y cultural del alumno, y su experiencia personal.

En este contexto, el SGD no es un simple medio de interacción entre el alumno y los objetos matemáticos representados, sino que funciona modificando la forma en que se ejerce la actividad matemática respecto de la enseñanza geométrica tradicional con lápiz y papel; tiene unos condicionantes claros sobre las acciones de los alumnos y, en consecuencia, influye en la modificación de sus concepciones y en el aprendizaje que éstos realizan (Assude y Capponi, 1996).

En este marco de construcción del conocimiento, la enseñanza de la geometría utilizando un SGD está basada en la resolución de problemas, con una perspectiva en la que los alumnos tienen la posibilidad de explorar, descubrir, reformular, conjeturar, validar o refutar, sistematizar; en definitiva, ejercer el papel de investigadores sobre cada contenido que se pretende adquirir. El profesor cambia su papel de director y experto por el de co-partícipe, apoyo y co-aprendiz (McLoughlin y Oliver,1999; Fis-her,1993). FACTORES QUE CONDICIONAN LA CLASE DE GEOMETRÍA DEBIDOS AL USO DE UN

SGD

Una vez establecido el nuevo marco de enseñanza-aprendizaje en el que integrar el uso de un SGD para la enseñanza de la geometría, detallaremos algunos factores que condicionan la gestión de la clase por parte del profesor, algunos de los cuales son distintos de los que surgen con una enseñanza de la geometría en un entorno no informatizado. Clasificamos dichos factores en cuatro bloques, dependiendo de que surjan por el cambio en las condiciones de trabajo, por el tipo de interacción que se produce con el software, por el estilo distinto de quehacer matemático que se propicia y por los tipos de actividades matemáticas estándar que pueden proponerse.



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Factores debidos al cambio en las condiciones de trabajo El aula donde se desarrolla la enseñanza con ordenadores suele ser distinta de la usual y

los alumnos trabajan habitualmente por parejas. En consecuencia, no hay un grupo compacto, con un progreso colectivo, que atiende sistemáticamente las explicaciones del profesor cuando éstas se producen, sino que cada pareja avanza individualmente, a su ritmo y por su propio camino.

Este hecho hace que las intervenciones generales del profesor sean, en general, poco útiles, salvo que se produzcan en momentos verdaderamente clave, por ejemplo, al inicio de una nueva actividad o en una fase final de cierre o institucionalización. El resto de las fases en el desarrollo de la actividad en las que se considere necesaria la intervención del profesor no pueden ser llevadas a cabo conjuntamente, ni con el mismo tipo de intervención para todos, ya que cada actividad evoluciona en un sentido distinto y en momentos diferentes, dependiendo del progreso y nivel de cada pareja de alumnos. La distribución del tiempo de clase no puede determinarse a priori de forma global. Así consideramos que esta forma de trabajo individualiza las relaciones del profesor con cada pareja de alumnos y requiere intervenciones específicas del profesor adaptadas a los diversos intereses y dificultades de cada pareja.

Este grupo de factores es compartido por cualquier otro método de enseñanza basado en la resolución de problemas, en grupos pequeños, y en el que la experimentación e investigación de los alumnos sea lo esencial en la ejecución de una actividad propuesta.

Factores debidos al tipo de interacción con el sistema El SGD interpreta las acciones del alumno, devolviéndole una información sobre su

producción, información que el alumno puede utilizar a su vez para continuar progresando en la construcción de conocimientos. Este tipo de interacción en un SGD es llamada retroacción por Laborde (1998), quien comenta la importancia de que la información provenga de un dispositivo externo e independiente del profesor. La retroacción tiene las propiedades fundamentales de: • producir información inmediata: se pueden hacer muchos dibujos en poco tiempo, con gran precisión; • reproducir muchas posiciones distintas de una misma construcción geométrica, dada la posibilidad de arrastrar elementos constituyentes de la misma, y permitir el paso a casos límite.

Siendo la retroacción una cualidad esencial para hacer evolucionar a los alumnos, algunas investigaciones han constatado que ante una respuesta inesperada del sistema los alumnos tienden a volver a empezar la actividad, sin aprovechar realmente la información que el sistema ofrece (Bellemain y Capponi, 1992). En nuestra experiencia hemos observado que, a medida que los alumnos tienen más soltura en el manejo técnico de los botones del software, se lanzan con mayor premura a una actividad frenética de uso de los comandos, sin detenerse a reflexionar sobre las consecuencias de sus acciones; en estos casos es muy frecuente que ante una respuesta no esperada del sistema los alumnos vuelvan a comenzar la actividad.

Una segunda reacción frecuente en los alumnos es negar la posibilidad de que ocurra una determinada respuesta errónea a partir de sus acciones, atribuyendo el error al sistema (“quise hacer esto y lo hice, pero el sistema registró otra cosa distinta”); de manera similar, si el profesor indica un camino por el que no se produciría el error, afirman haber seguido ese camino, a pesar de la respuesta del sistema.



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La posibilidad, antes comentada, de que una actividad progrese por un camino no previsto puede legitimar estas posturas de los alumnos, que no tendrían por qué tener los conocimientos geométricos necesarios para poder interpretar la información del sistema. Por ello, en estos casos el profesor tiene que evaluar in situ el alcance de la respuesta producida por el SGD y determinar si los conocimientos geométricos requeridos para interpretarla están o no al alcance del alumno en ese momento.

En general, la intervención del profesor podría estar encaminada a construir un sentido para cada acción ejercida por el alumno y dar a éste una visión global de su tarea, de forma que el alumno consiga ser consciente de las razones que le impulsan a actuar, antes de hacerlo.

Factores debidos a los modos de proceder en la resolución de las tareas propuestas

En un SGD la comunicación con el usuario está basada en la visualización que, además, tiene la peculiaridad de ser dinámica. Así, una actividad imprescindible es relacionar información geométrica con información observada en un dibujo que se mueve, en un dibujo en el que se pueden desplazar ciertos elementos para obtener nuevos dibujos con las mismas propiedades geométricas que el de partida. Este aspecto dinámico es fundamental y novedoso en la visualización e incide en la generalización y en la abstracción, en la detección de propiedades invariantes y en la posibilidad de conjeturar y experimentar el cumplimiento de propiedades geométricas que no estaban previamente establecidas (Morrow, 1997).

Sin embargo, hay que tener en cuenta que adquirir determinados conocimientos geométricos a partir de un dibujo no es un asunto inmediato ni espontáneo y no ocurre sin una intervención específica (Laborde, 1992; Hillel et al., 1989). En este sentido, el uso de un SGD podría afianzar la idea errónea de que mostrar el dibujo de una construcción geométrica y “moverlo” es suficiente para que el alumno deduzca una determinada propiedad geométrica invariante por el movimiento, dado que el sistema sólo ofrece soporte gráfico. La simple sustitución de la regla y el compás tradicionales por botones en un sistema computacional, por más que este introduzca algunas variantes, no es razón suficiente para esperar mejoras en el aprendizaje de la geometría (Recio, 1999). Deberemos tener en cuenta estas circunstancias en la enseñanza, de forma que la intervención del profesor trate de fomentar en el alumno la reflexión encaminada a dar significado a las percepciones visuales móviles; se trata, en definitiva, de conseguir que el alumno establezca relaciones entre sistemas de representación distintos para un mismo concepto (Hitt,1998).

Este tipo de interacción no sólo es considerada útil en el ámbito de la geometría, sino que algunos autores la declaran de interés en la formación de conceptos más abstractos como el de variable o el de función (Cuoco y Goldenberg,1997), o aspectos de teoría de grupos (Schattschneider,1997).

Otra característica a tener en cuenta es la necesidad de verbalización, en dos aspectos distintos:

. • por un lado, verbalizar para eliminar posibles ambigüedades o equívocos que pueden percibirse en una imagen visual: en Laborde (1998, pp.36) se indica que “Es necesaria una descripción discursiva que caracterice al objeto geométrico para eliminar las ambigüedades inherentes al dibujo”;

. • por otro lado, expresar en palabras una conclusión geométrica observada parece suponer un esfuerzo considerable y necesario para la adquisición de conocimientos geométricos (Murillo,1999).



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Otra característica es que se requieren modos de proceder algorítmicos: en numerosas actividades propuestas para trabajar en los SGD los alumnos deben elaborar un proceso de construcción de una figura descrita a partir de sus propiedades geométricas y están obligados a distinguir entre trazado y procedimiento de trazado. Además está la posibilidad de realizar macro-construcciones, es decir, de definir primitivas propias que pueden ser incorporadas al sistema para ser usadas en contextos distintos de los que las han creado, lo que exige al usuario identificar separadamente los datos de partida, el proceso de construcción y el producto final. La presentación de un proceso de construcción geométrica como una sucesión de primitivas y de macro-construcciones lo identifica con un proceso algorítmico de atomización de un problema en subproblemas aislados y consecutivos, cuyo seguimiento conduce a una solución global. Nuevamente la intervención del profesor puede encaminarse a hacer reflexionar al alumno sobre la necesidad de ser consciente de los pasos que realiza al resolver una determinada tarea, pasos que tienden a clarificarse tras una actividad exploratoria inicial no controlada. Factores debidos al tipo de actividades que se proponen

En el contexto que estamos planteando, las actividades a desarrollar en un SGD tienen por objetivo general que el alumno investigue sobre un problema y así descubra determinadas propiedades geométricas. La variedad de contenidos geométricos que pueden ser tratados utilizando un SGD es amplia, así como las correspondientes listas de actividades (véase, por ejemplo, Carrillo-Llamas 99, Mora 00, Cuppens 99). Obviamente, la elección y diseño de actividades significativas por parte del profesor es esencial para el éxito de las mismas, por lo que es importante que el profesor analice las implicaciones que tiene cada tipo de actividad. Realizamos a continuación una clasificación de actividades estándar, comentando en cada caso las características que consideramos más relevantes para el aprendizaje y la gestión de la clase.

Figuras geométricas: haciendo explícito el conocimiento geométrico Las actividades en las que se pide al alumno construir una determinada figura

geométrica (por ejemplo, “dado un segmento, construye un cuadrado que lo tenga por lado”) exigen al alumno hacer explícitas un mínimo de propiedades geométricas necesarias para describir formalmente la figura (en el ejemplo del cuadrado anterior, por ejemplo “tener lados iguales y lados consecutivos perpendiculares”). Dichas propiedades son, sin duda, reconocidas en una inspección visual, y harto conocidas si el profesor las enuncia a priori; pero se trata de que el alumno deduzca que dichas propiedades del cuadrado son incumplidas por el resto de los cuadriláteros, es decir, de que defina formalmente la clase “cuadrado” por exclusión. Si la construcción no es correcta, bastará que el profesor mueva la construcción para indicar al alumno la propiedad incumplida.

Propiedades geométricas: actividades para la exploración, la conjetura y la demostración experimental.

Cuando nos planteamos explorar, conjeturar o comprobar determinadas propiedades geométricas sobre una construcción geométrica, realizar dicha construcción en un SGD corresponde a construir una imagen visual que verifica unas ciertas hipótesis que han quedado registradas de alguna forma en el sistema; la actividad exploratoria corresponde a arrastrar por la pantalla del sistema los elementos libres de la construcción geométrica y observar las invariancias que se producen. Así se constatan determinadas propiedades y se elaboran conjeturas. El SGD sirve para hacer una comprobación experimental que constituye una evidencia de falsedad si encontramos un contraejemplo; pero si la conjetura es cierta



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observaremos que se cumple para todas las posiciones que dibujemos de la figura, lo cual no constituye una prueba formal, ni tampoco podemos esperar que la simple constatación visual sea elemento motivador o inspirador de dicha prueba. Más bien, al contrario, puede constituir un obstáculo dado que los alumnos no perciben la necesidad de demostrar algo visualmente evidente. Es conveniente que el profesor tenga esto en cuenta y clarifique estos términos en los niveles en los que algún tipo de demostración sea necesaria.

En casos especiales los SGD aseguran (formalmente) la veracidad de ciertas propiedades: alineación de tres puntos, paralelismo y perpendicularidad de rectas, semirrectas, segmentos o vectores; equidistancia de un punto a otros dos y pertenencia de un punto a un objeto, etc. Algunos SGD incorporan un “chequeo aleatorio de teoremas” que genera y prueba ejemplos de una propiedad conjeturada, concluyendo la veracidad (con una determinada probabilidad) o la falsedad (caso de encontrar un contraejemplo).

En este mismo sentido señalamos que el sistema puede producir una “anticipación de respuesta” que el profesor debe tener en cuenta en el planteamiento y gestión de actividades, pues puede impedir precisamente las beneficiosas tareas de exploración y conjetura.

Lugares geométricos: complemento visual para la información geométrica no trivial. La posibilidad de mover un punto de una construcción euclídea se complementa con la

opción de que otros elementos dependientes de él dejen una “huella visual” en la pantalla del ordenador, lo que permite obtener una visualización del lugar geométrico de dichos elementos cuando el punto recorre una determinada trayectoria.

Los problemas geométricos que involucran el uso de lugares geométricos suelen plantear dificultades de visualización: por ejemplo, no es trivial poder dibujar sobre un papel, en un nivel de Secundaria, el lugar geométrico siguiente (tomado de Carrillo y Llamas (1999), p. 45) “Dada una circunferencia y un punto interior A, que no sea el centro, sea P un punto de la circunferencia y r la recta perpendicular al segmento PA por el punto P. Hallar el lugar geométrico que determina la recta r cuando el punto P recorre la circunferencia”; y sin embargo, se trata de (la envolvente de) una elipse. En estos casos, los SGD aportan un complemento visual nuevo, difícil de obtener por otros medios.

Otro ejemplo prototipo del uso de lugares geométricos es la construcción de cónicas. En este aspecto, las últimas versiones de los SGD más conocidos incorporan un paquete específico de tratamiento de cónicas también desde un punto de vista analítico (elipse, hipérbola o parábola en Cabri-Géomètre), permitiendo su definición a partir de cinco puntos que deben ser marcados con el ratón sobre la pantalla gráfica del programa. En particular, los programas ofrecen la posibilidad de mostrar la ecuación de dichas cónicas, integrando así en un mismo entorno el tratamiento geométrico y analítico de éstas.

Simulación: combinando geometría y cinemática. La posibilidad de hacer animación y de arrastrar elementos básicos de las figuras

geométricas manteniendo las reglas geométricas de construcción permite simular el funcionamiento de multitud de mecanismos físicos cotidianos, como poleas, bicicletas, manivelas, o cualquier otro tipo de mecanismo articulado (Mora, 2000). Este uso del software de geometría dinámica revela interesantes cuestiones sobre las implicaciones de representar el movimiento valiéndonos de reglas geométricas y dibujos sobre una pantalla de un ordenador (Laborde, 1999; Kortenkamp y Richter-Gebert, 1999).

El diseño geométrico de un mecanismo, es decir, el proceso necesario entre la descripción de su funcionamiento y su modelización mediante una sucesión ordenada de instrucciones



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geométricas (tomadas de un determinado repertorio), es un interesante y complejo ejercicio algorítmico que pone en juego distintas habilidades en las que lo esencial es traducir a un lenguaje geométrico las restricciones de funcionamiento del mecanismo considerado.

También se pueden simular otro tipo de fenómenos físicos (no necesariamente mecánicos) como, por ejemplo, aspectos ópticos de reflexión o refracción de luz, movimiento de planetas, etc.

Geometrías no euclídeas: más allá de la intuición. El software de Geometría Dinámica puede utilizarse para reproducir entornos de

geometría no euclídea. Así, por ejemplo, tenemos el caso del entorno desarrollado por Laborde (1997), donde se describe una forma de organizar en Cabri-Géomètre el modelo de Poincaré usado para representar la geometría hiperbólica. En Cinderella tenemos la posibilidad de modelizar las geometrías hiperbólica y elíptica.

Combinación de aspectos geométricos y analíticos: interdisciplinariedad. Los SGD incorporan una serie de herramientas analíticas, como las siguientes:

• primitivas para definir vectores y representar operaciones aritméticas con ellos, • primitivas de medición de magnitudes definidas gráficamente (longitudes, ángulos, razones trigonométricas, áreas, etc.), • calculadora científica que opera con las medidas anteriores, actualizando los resultados al modificar la construcción, • primitivas de cálculo de ecuaciones de rectas, pendientes de rectas, ecuaciones de cónicas, coordenadas de puntos, etc., que hayan sido definidas previamente con primitivas gráficas.

La utilización de estas herramientas permite combinar métodos geométricos y analíticos para obtener representaciones completas y novedosas sobre algunos aspectos, entre los que cabe destacar la resolución de problemas de máximos y mínimos, optimización, proporcionalidad, etc. (véase, por ejemplo, Cuoco y Goldenberg (1997) o Gorini (1997)).

ACTUACIÓN DEL PROFESOR

Una vez establecido el marco metodológico y los factores a tener en cuenta, especificaremos algunas actuaciones posibles del profesor en la clase de geometría con un SGD. Así trataremos de enumerar algunas acciones en las que puede concretarse el papel del profesor como gestor de la cooperación entre los alumnos y el modelo geométrico implementado en el software.

• ‘conducir hacia la abstracción y la generalización, • invitar a la predicción de resultados, • provocar la reflexión sobre el tipo o tipos de representación que entran en juego, • ayudar a la interpretación de relaciones entre lo visual y lo formal, • introducir formalmente nuevas ideas matemáticas que surjan del entorno visual, • ayudar a explorar las intuiciones personales.

Indicaremos a continuación una concreción de estas pautas generales al ámbito que nos ocupa de los SGD.



241

Intervenir para modificar una decisión errónea mediante contraejemplos En las actividades propuestas en un SGD es importante ser consciente del grado de

iniciativa que se deja al alumno. Esta característica condiciona la intervención del profesor que no deberá actuar mientras el alumno progrese correctamente o tenga oportunidades de evolucionar por sí mismo.

Si éste no es el caso, el profesor podrá mostrar el carácter erróneo de una decisión tomada por el alumno, produciendo un contraejemplo adecuado que evidencie el error cometido. Este método de mostrar un contraejemplo está especialmente indicado en las actividades estándar que suelen proponerse en un SGD, ya que en ellas lo esencial es diseñar un proceso de elaboración de una determinada construcción geométrica (conducente a la resolución de un problema). La validez de dicho proceso se constata si, al modificar los elementos básicos constituyentes de la construcción, las propiedades geométricas objeto de estudio permanecen invariantes. Por tanto el carácter erróneo de una decisión tomada por el alumno y los contraejemplos correspondientes se muestran realizando un simple desplazamiento con el ratón en la pantalla.

Con este método se muestra al alumno que el objetivo no era producir (el dibujo de) una figura sino definir correctamente (mediante leyes geométricas) el proceso que conduce a la obtención de la misma. El SGD sirve así de apoyo al profesor para avalar su propia opinión frente al alumno: en Bellemain y Capponi (1992) se indica que en un contexto de lápiz y papel el profesor puede invalidar un proceso de construcción, pero no el dibujo construido, que puede ser correcto, lo que hace que el alumno no admita el carácter erróneo de su proceder y busque las razones de su fracaso en no haber satisfecho las expectativas del profesor. Sin embargo, usando un SGD el profesor obtiene contraejemplos a partir de la producción del alumno, lo que hace que éste reconozca y asuma de mejor grado el error cometido.

Animar al alumno a que se corrija a sí mismo En un SGD el alumno tiene acceso a un medio que le permite validar sus construcciones,

sin embargo no es de esperar que el alumno asuma el papel de corrector de sus propias actividades. En el artículo de Bellemain y Capponi (1992) citado anteriormente se muestra un estudio con alumnos de 13-14 años para enseñar el concepto de simetría axial en Cabri-Géomètre, en el que se constata que los alumnos se resisten a tomar decisiones para comprobar la validez de sus procedimientos y que este tipo de exigencia aumenta la incertidumbre del alumno, quien considera que estas tareas son propias del profesor.

Esta postura legítima del alumno está basada en que no tiene conocimientos teóricos suficientes para validar o refutar una construcción y en que, en una enseñanza tradicional, nunca ha tenido la responsabilidad de hacerlo. Es tarea del profesor hacer ver al alumno que, a diferencia de lo que ocurre en un contexto de lápiz y papel, con el uso de un SGD tiene a su alcance una herramienta –no conceptual- que le permite valorar por sí mismo la corrección de una decisión tomada. El profesor puede animar al alumno a usar esta capacidad del SGD como una continuación del resto de decisiones que ha venido tomando.

Globalizar El alumno recibe una transferencia de responsabilidad que tiene como objetivo que

comprenda el alcance de sus decisiones en el contexto geométrico que se esté trabajando; queda así más claro que dichas decisiones son un apoyo a la construcción de conocimiento geométrico y no un aprendizaje técnico de uso de unos botones de un software. En Hoyles y Noos (1992) se indica que esta autonomía del alumno produce “comprensión matemática



242

local”, por lo que la intervención del profesor debe orientarse a dar una visión global de las decisiones tomadas.

Transferir a otros contextos para institucionalizar los conocimientos Los aprendizajes realizados en un determinado contexto no tienen por qué

transferirse automáticamente a otros distintos, aunque compartan determinadas características. En Noos y Hoyles (1992) se han estudiado este tipo de transferencias en el marco general de los micromundos geométricos, concluyendo que los estudiantes construyen y articulan relaciones matemáticas que son interpretables y tienen significado sólo si se refieren a las herramientas usadas. Así se habla de abstracciones situadas para referirse a actividades de las que se puede extraer una generalización, pero el conocimiento está definido por las acciones dentro de un contexto. También en el artículo de Bellemain y Capponi (1992) citado anteriormente se constata que ciertas concepciones erróneas (sobre la simetría axial) que no se ponen de manifiesto en el trabajo con el software reaparecen si a continuación se proponen las mismas actividades con papel y lápiz. También se indica que los procedimientos utilizados para realizar determinadas construcciones con lápiz y papel no se transfieren al entorno CabriGéomètre ni recíprocamente. Estas conclusiones nos indican la necesidad de que el profesor intervenga para institucionalizar los nuevos conocimientos adquiridos. Para ello la actuación del profesor puede basarse en la puesta en común de los nuevos conocimientos y en la propuesta de situaciones similares en otro tipo de entorno que exhiba explícitamente los conocimientos geométricos implicados en las tareas propuestas. Se pueden sugerir dos tipos de entornos con los que establecer similitudes y diferencias con el SGD: por un lado está el uso de las clásicas herramientas regla y compás para resolver la misma actividad; por otro lado se puede proponer el uso de un entorno computacional de dibujo, con su típica paleta gráfica. En ambos casos se debe tratar de destacar la importancia del proceso de elaboración geométrica frente a la simple obtención de un dibujo.

CONCLUSIONES

El marco de aprendizaje constructivista en el que se inserta el uso de un SGD requiere un cambio del papel del profesor desde la postura de director de la clase y dispensador de información que tiene en un ámbito tradicional, hacia un papel de copartícipe, apoyo, co-aprendiz, facilitador y asesor en el progreso de los alumnos. Hemos identificado algunos factores que aparecen al usar un SGD para la enseñanza de la geometría, algunos de los cuales son compartidos por otros métodos de enseñanza. Cada uno de dichos factores condiciona el aprendizaje y, en consecuencia, la gestión de la clase por parte del profesor. Su actuación en el aula cuenta así con unas pautas generales en las que apoyarse: sugerir contraejemplos ante decisiones erróneas, animar al progreso y fomentar la autonomía del alumno, enmarcar las decisiones particulares en un ámbito geométrico global, institucionalizar y descontextualizar, son las directrices que se concretarán en cada actividad propuesta y sobre cada grupo particular de alumnos.



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245

Lectura Nº 19

¿Cambiarán las computadoras la forma de

enseñar geometría? Por Omar Hernández Rodríguez (1999)

La proliferación de computadoras personales y programas de computadoras

para la enseñanza da origen a que los usuarios se pregunten sobre la posibilidad de

un cambio en la metodología de la enseñanza de las matemáticas, y en específico de

la geometría.

Podríamos empezar por hacer referencia a las enseñanzas del área de

computación. Un sistema de computadoras se compone de equipo (hardware),

programación (software) y la capacidad creadora de la persona para hacer que la

combinación equipo-programación sea productiva (mindware). En el caso de la

educación, esta capacidad creadora debe producir un currículo que pretenda

transformar33[1] la forma en que se enseña la geometría. Si se desea cambiar la

forma de enseñar geometría utilizando la tecnología se debe pensar en una

transformación del currículo, no en una mera incorporación de la tecnología. Para

lograr una transformación que redunde en el beneficio de los estudiantes y en un

mejor aprendizaje, se deben tener en cuenta dos principios fundamentales: existen

en el mercado excelentes programas computadorizados para la enseñanza de las

matemáticas y el maestro debe ser adiestrado en el uso y en la forma de utilizar

estos programas en sus clases.

En el caso particular de la geometría existen en el mercado programas como

Cabri34[2] o El Geometra35[3] que tienen el potencial para transformar el proceso

enseñanza-aprendizaje. Estos programas han sido el fruto del trabajo colaborativo

de matemáticos, pedagogos y programadores. Los dos se caracterizan por su

facilidad de uso y versatilidad. Estos programas permiten la manipulación dinámica

de objetos geométricos proveyendo a los estudiantes unas experiencias imposibles

de conseguir en otros ambientes.

33[1] Se hace hincapié en el uso del verbo transformar en contraposición al de incorporar de uso frecuente cuando se habla de la computadora en la educación. 34[2] Cabri está incorporado en la calculadora TI 92. 35[3] El Geometra es la traducción al español del programa The Geometer's Sketchpad.



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La preparación de los maestros en el uso de la tecnología en la enseñanza de

las matemáticas, y en particular de la geometría, no se debe reducir al aprendizaje

de las instrucciones de un programa. Se deben tener en cuenta las tendencias

actuales en cuanto a la metodología de la enseñanza de la disciplina: la

visualización, las múltiples representaciones y el hacer conjeturas, aspectos todos

relacionados con la teoría constructivista del conocimiento, la cual reconoce que el

estudiante construye significados asociados a su propia experiencia.

Zimmerman y Cunnigham (1990) han definido la visualización como "… el

proceso de formación de imágenes (mentalmente, o con lápiz y papel, o con la

ayuda de la tecnología) y el uso de tales imágenes en forma efectiva para el

descubrimiento matemático y el entendimiento". La visualización es muy

importante, casi indispensable, en la geometría. La visualización está ligada a los

inicios de la geometría. Sócrates, por ejemplo, dibujaba en la arena mientras su

esclavo seguía su argumentación sobre la duplicación del área de un cuadrado.

Hitt Espinosa (1997) señala, con respecto a las representaciones, "La

manipulación, por parte del estudiante, de representaciones matemáticas les

proporciona los medios para construir imágenes mentales de un objeto o concepto

matemático, y la riqueza de la imagen conceptual construida dependerá de las

representaciones que el estudiante haya utilizado. De ahí la importancia que debe

darse al uso de diversas representaciones matemáticas en la enseñanza de las

matemáticas y en los libros de texto."

Las conjeturas son el resultado de la observación y el razonamiento inductivo.

Chazan y Houde (1989) señalan que "Una conjetura en geometría es una

proposición que puede ser cierta o falsa; al momento de considerarla, la persona

que hace la conjetura no sabe si es cierta o falsa pero piensa que es cierta. Así, la

conjetura no es una definición ni un postulado, pero al ser demostrada se convertirá

en un teorema." Al explorar los objetos geométricos por medio de la computadora el

estudiante está en la capacidad de formular conjeturas, de esta forma construye su

conocimiento geométrico. Esta metodología permite que el estudiante trabaje de la

misma forma como lo hacen los matemáticos y favorece la comunicación de sus

hallazgos, a la vez que favorece un cambio de actitud de los estudiantes hacia la

geometría.

El Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (National Council of Teachers

of Mathematics, NCTM) comenta en los estándares curriculares: "La evidencia

sugiere que el desarrollo de las ideas geométricas progresa a través de una



247

jerarquía de niveles. Los estudiantes aprenden primero a reconocer las formas como

un todo y luego a analizar sus propiedades. Posteriormente, pueden ver las

relaciones entre las formas y hacer deducciones simples. Los desarrolladores del

currículo deben considerar esta jerarquía porque… el aprendizaje de conceptos y

estrategias más complejas requiere primero de unas buenas bases". Aunque no

explícitamente expresado, esta recomendación está fundamentada en la teoría del

desarrollo del pensamiento geométrico de los esposos van Hiele. Los educadores

holandeses Pierre van Hiele y Dina van Hiele desarrollaron para 1958 una teoría del

desarrollo del pensamiento geométrico36[4]. Aunque tuvieron en cuenta los trabajos

de Piaget para el desarrollo de su teoría, ésta difiere, principalmente, en que ellos

no consideran fundamental la maduración biológica en el desarrollo del pensamiento

lógico. Según el modelo de los esposos van Hiele el razonamiento geométrico se

desarrolla en una secuencia de niveles. Cada nivel es un refinamiento del anterior y

está caracterizado por un lenguaje particular, por unos símbolos y unos métodos de

inferencia específicos. Debido a las particularidades de cada nivel, la instrucción es

más efectiva si está cuidadosamente dirigida a cada uno. Los niveles se pueden

clasificar como holístico, analítico, abstracto (deducción informal), deductivo

(deducción formal) y riguroso.

Respondiendo a la pregunta inicial, existen los ingredientes para una

transformación de la enseñanza de la geometría. Las computadoras están

relativamente al alcance de los estudiantes, existen en el mercado programas de

computadoras excelentes, y existe un cuerpo teórico fundamentado filosófica y

científicamente sobre la enseñanza de la geometría. La tarea de los maestros y

diseñadores de currículo es adiestrarse en todos estos aspectos y poner a funcionar

su creatividad teniendo como meta el mejoramiento del proceso enseñanza-

aprendizaje. Las computadoras por sí solas no cambiarán la forma de enseñar

geometría.

36[4] El interés en el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele empezó en Estados Unidos gracias a los esfuerzos de Wirzup (1976), quien había quedado impresionado por los estudios realizados en la Unión Soviética por educadores, sicólogos y expertos en currículo.



248

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Datos sobre el autor

El profesor Omar Hernández Rodríguez completó su maestría en ciencias con

concentración en matemáticas en la Universidad de Purdue, actualmente está

cursando su doctorado en educación con especialidad en currículo y enseñanza de

las matemáticas en la Universidad de Puerto Rico. Es catedrático asociado de la

Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Bayamón. Ha participado en

varios proyectos para la incorporación de la tecnología en la enseñanza de las

matemáticas. Su página de Internet tiene la dirección

http://ciencias.bc.inter.edu/ohernand/. Para comentarios y sugerencias pueden

escribir a su correo electrónico [email protected] o a la dirección

Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Bayamón, Carr. 830 # 500,

Bayamón PR 009

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