Unitatearen aurkezpena · Unitatearen eskema GORPUTZ GEOMETRIKOAK 11 Gorputz geometrikoak hauek...

150

Unitatearen aurkezpena

• Ikasleeklehendikezagutzendituzteunitatehonetanlantzendirenirudigeometrikoak,eta,beraz,tratamendusistematikoabideratudezakegu,irudihorienelementuak,ezaugarriaketapropietatega-rrantzitsuenaklantzekoetagarapenlauaketaazalerakaztertzeko.Pitagorasenteoremaetatriangeluenantzekotasunaunitateosoanerabilikodituguntresnakdira.

•Komenidaikasleekirudihoriekeureninguruanbereiztenjakitea(kaxak,eraikinak,apaingarriak…)etakasubakoitzeanzergorputzgeometrikomotadensailkatzenjakitea.Denadela,gehienetan,gorputzbiedogehiagorenkonposizioaizangodira.

•Unitatehonetakoedukiakezaugarridesberdinakdituztenbitra-tamendukontuanhartuzsailkaditzakegu:

I.Poliedroenetabiraketa-gorputzenikasketadeskriptiboa.

II.Irudihorienazalerenkalkulua,garapenlauaeginez,garapenhoriegitekomoduaematendutenetan.

Gutxienekoezagutzak

•Poliedroetabiraketa-gorputzmotakbereiztea,etahorienezau-garriakdeskribatzea.

•Prisma,piramide,zilindro,konoetaesferenazalerakkalkulatzea.

•Poliedroerrazbaten,zilindrobatenedokonobatenplanokoga-rapena.

Osagarrigarrantzitsuak

•Gorputzgeometrikoenazalerakkalkulatzekoformulaknolalor-tzendirenulertzea.

•Bostpoliedroerregularmotabakarrikzergatikdaudenulertzea.

•Piramide-enborbatenedokono-enborbatenazalerakalkulatzeaetaantzekotasun-erlazioakerabilizneurribatzuetatikabiatutabestebatzuklortzea.

•Esferabatenazalerarenetabertanzirkunskribaturikozilindroarenazalerarenartekoidentitateaulertzea;baitazonaedotxapelba-

Unitatearen eskema

GORPUTZ GEOMETRIKOAK

11 Gorputz geometrikoak

150

hauekizandaitezke

ezagunenakhauekdira

PIRAMIDE-ENBORRA

KONO-ENBORRA

oinarriarekikoparaleloadenplanobatekinebakitzean,

haulortzenda

oinarriarekikoparaleloadenplanobatekinebakitzean,

haulortzenda

azalera,hauda azalera,hauda

ATOTAL=AALB+AOIN ATOTAL=πrg+πr 2ATOTAL=AALB+2AOIN

planoenbidezebakitahaueklortzendira

SEKZIOLAUAK

BIRAKETA-GORPUTZAK

ESFERAZILINDROA

ezagunenakhauekdira

POLIEDROAK BESTEBATZUK

POLIEDROERREGULARRAK

hauekdira

PRISMA

TETRAEDROA

KUBOA

OKTAEDROA

DODEKAEDROA

IKOSAEDROA

azalera,hauda

PIRAMIDEA

azalera,haudaazalera,hauda

ATOTAL=2πrh+2πr 2 ATOTAL=4πR2

KONOA

151

tenazalerarenetaesferanzirkunskribaturikozilindroandagokionzatiarenazalerarenartekoa.Erlaziohorietatikabiatuta,esfera,zo-naetatxapelenazaleraklortzea.

Gaiasakontzekoetaikerketarakobidemoduan,honakohauekproposatzendira:

•Poliedro,zilindro,konoetaenborrenazalerakkalkulatzekofor-mulakondorioztatzea.

•Poliedro,zilindro,konoetaenborrakeraikitzea,aldezaurretikho-riengarapenapaperedokartoi-mehebateaneginez.

•Poliedroetabiraketa-gorputzensekzioenpropietateakikertzea,poliespanedoplastilinazkoirudiakkuterbatekinebakizedokar-toi-mehezegindakoirudiengaineanmarraztuz.

Lanakaurreratu

•Poliedroetabiraketa-gorputzgarrantzitsuenenizenaketaele-mentuakgogoratzea.

•Gorputzgeometrikoenformadutenegunerokoobjektuakbila-tzea,sailkatzeko.

•Kartoi-mehea,arkatzak,lika...prestatzea,garapenlauakeraiki-tzekoetahoriekingorputzgeometrikoakmuntatzeko.

Curriculumaegokitu

«Fotokopiatzekobaliabideak»atalean,ikaslearenliburuko11.unitatehonencurriculumegokituaagerida.Horretarako,he-menproposatzendirengutxienekoezagutzakhartuditugukontuan.

Hasierakoirakurgaiak,batetik,ulertuzirakurtzekogaitasunaindar-tzekobaliodu;eta,bestetik,matematikarenikasketajustifikatzendutenbialderdiaklantzeko:praktikoaetaintelektuala.

Edukiakeskatubeharrekogutxienetaraegokitutabadaude,edoezdutealdaketarikizan,edoapurbatmoldatudiraikasleekdutenmailakontuanhartuz.Gauzaberaesandezakeguproposatzendi-renariketapraktikoeiburuz.

Edukirenbateskatubeharrekogutxienetatikkanpobadago,edokendueginda,edoeskatzendenmailaraegokituda.

Azkenik,unitatearenamaieranageridirenariketaetaproblemeidagokienez,gutxiagojarridiraetamoldatuedoerraztuegindira,eskatubeharrekoraegokitzeko.Gauzaberaegindaautoebalua-zioarekin.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA DIZIPLINARTEKOTASUNA

215.or.P.D.-niradokitakoariketa 217.or.Ariketaebatziak 215.or.2.(*)ariketa 227.or.Etimologia(*)

217.or.Pentsatuetaegin(*)etaP.D.-niradoki-takoariketa

219.or.Pentsatuetaegin(*) 216.or.1.ariketa,a)etab)atalak

223.eta224.or.Pentsatuetaegin(*) 220.or.Ariketaebatzia(*) 221.or.P.D.-niradokitakoariketa

225.or.P.D.-niradokitakoariketa 228.or.Ariketaebatzia(*) 230.or.2.(*)ariketa

227.or.Pentsatuetaegin(*) 231.or.Ariketaebatzia(*)

232.or.Pentsatuetaegin*etaP.D.-niradokitakoariketa

233.or.3.(*)eta7.(*)ariketak

234.or.20.(*)ariketa

IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

214.or.P.D.-niradokitakoariketa 215.or.1.(*)ariketaetaP.D.-niradokitakoariketa

I.L.-nproposatutakoproblemaguztiak.Hemenaipagarriakdirenbatzukadiera-zikoditugu.

216.or.1.ariketa,c)atala 219.or.P.D.-niradokitakoariketa

226.or.4.(*)ariketa 235.or.«Ikasiproblemakebazten»(*)ariketa

234.or.P.D.-niradokitakoariketa 235.,236.eta237.or.«Ebatziproblemak»eta«+problema»ariketak

237.or.42.(*)ariketa 238.or.«Kopadistantziakideak»ariketa

238.or.«Saiatuetagozatu»(*)ariketa 239.or.«Trebatuproblemakebatziz»(*)ariketa

Ondorengotaulahonetan,lankidetzanikastea,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoetahorriguztiariarretajartzekoariketakbildutaageridira.Batzukikaslearenli-buruan(I.L.)proposatutadaude,eta,hemen,zerorrialdetandaudenetazerariketadirenadierazida.Bestebatzuk,argizehaztendenmoduan,ProposamenDidaktikoan(P.D.)iradokitadaude.

Iradokizunhauetakobatzukikurbatekinmarkatutadaudeikaslearenliburuan;hemen,(*)ikurraerabiliznabarmenduditugu.

152

11 Gorputz geometrikoakPrismak eta piramideak eraikitzeko tresnakBegiratu nola eraikitzen diren prismak kartoizko edo zur finezko bi pentagono berdin eta luzera bereko bost hari zati erabiliz. Mihizta itzazu poligonoetan, irudian ageri den eran.Hariak tenkatuz, prisma zuzena eraiki dezakezu, pentagono bat bestearen gainean geratuz gero, eta prisma zeiharra, pentagonoe-tako bat lekualdatzen baldin bada.Pentagono bat bakarrik eta hari horiek elkarren artean lotuz, pira-midea eratzen da.

1 Eraiki edo deskribatu nola egin daitekeen eta marraztu azken emaitza kasu bakoitzean.•Piramidepentagonalaren •Piramidetriangeluarra. •Oinarrietatikitsatsitakobipiramide enborra. lauangeluar.Oktaedroesatenzaio.

Esperimentatu eta aurkitu gorputz geometrikoakBirarazi txanpon bat mahai gainean argazkian ageri den eran eta esfera eratzen dela ikusiko duzu.

Lotu kartoi mehezko laukizuzena zotz batean. Zotzari hatzen artean eutsiz eta laukizuzenaren alboan putz eginez, laukizuzena ardatzaren inguruan biratuko da. Zilindroa agertuko da.Gauza bera triangeluarekin eginez gero, konoa agertuko da.

2 Marraztu kasu bakoitzean kartoi mehea zotzaren inguruan biraraziz sortzen den gorputz geometrikoa.

Antzinako zibilizazioek ezagutzen zituzten gorputz geometriko soilenak.

Greziarrek ezagutza horiek bildu eta teoriaz aberastu zituzten.

Platonek Atenasko Akademia sortu zuen K.a. iv. mendean eta arreta handia eman zien poliedro erregularrei (solido plato-nikoei); ezaugarri mistikoak egotzi zizkien eta unibertsoaren konposizioarekin lotu zituen Platonek.

Geroago, Euklidesek eta Arkimedesek ikuspuntu matematiko serioagoz aztertu zituzten irudi horiek.

Azaleren eta bolumenen kalkuluak egiteko, egiptoa-rrek seguru asko esperientziaren bidez lortu zituz-

ten prozedura elementalak erabiltzen zituzten. Proze-dura horietako batzuek emaitza zehatzak izaten zituzten eta, beste batzuek, gutxi gorabeherakoak; hala ere, antzi-nakoek ez zituzten era batekoak eta bestekoak bereizten eta balio bera ematen zieten batzuei zein besteei.

Unitatearen hasiera• Antzinakozibilizazioeknahikomoduzehatzeanerabilizituztenirudigeome-trikoak(deskribapenaetaazalerenetabolumenenzehaztapena).Ikasleekirudihorienazaleraknomenklaturaaljebraikoegokiaizangabenolaizenda-tuahalizanzituztenpentsadezakete.

• IkasleekPitagorasetaTaleslandudituztenmoduan,Antzinarokobestepentsalarihandibatzuenberriereizanbehardute,etaezagutzageome-trikoarekinetageometriarenbilakaerarekinzererlazioizandutenjakin.Esatebaterako,Euklides,PlatonetaArkimedes.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• SistemaMetrikoHamartarrekounitatelinealaketaazalerakoaktrebeerabiltzea.

• Irudilauenazaleraketaperimetroakkalkulatzekoformulakjakiteaetaerabiltzea.

• Poliedroetabiraketa-gorputzbatzukezagutzea.

• Pitagorasenteoremairudilauetanerabiltzea.

IKTak Ariketahauegiteairadokitzenda:

PlatonekbostpoliedroerregularrekinlotuzituenpropietatemistikoeietaerlazioeiburuzkoinformazioabilatzeaInterneten.

Lankidetzan ikasi 215.orrialdeanageridireneraikuntzaktaldetanegin.

Taldekidebakoitzakkonpromisoahartukoduariketahauegitekobehardenmaterialetakobatekartzeko,irudietakobatmuntatzekoetahorrenezaugarriakazaltzeko.Horretara,denekizangoduteerantzukizunenbatetadenakizangodiraezinbestekoak.

Ekimena Ariketahauegiteairadokitzenda:

Hainbateratakoirudilauakegitea,adibideanbezala,etazotzbateanitsas-tea,azkarbirarazteanirudilauhorreksortzenduenbiraketa-gorputzaikus-teko.

Ariketen soluzioak

1 •Sokenmuturretakobatirudihandiarenerpinetansartu;bestemutu-rratxikiarenerpinetan,etatenkatu.

•Hirusokakbateralotumuturretakobatetik.Sokabakoitzarenbestemuturratriangeluarenerpinetakobateansartu.

•Lausokahartuetaelkarrekinlotumuturretakobatetik,etabestehorrenbeste egin beste lau sokekin. Aske geratu diren zortzimuturrakbinakasartukarratuarenerpinetan.

2

Oinarrietankonobana

duenzilindroa.

Esferaerdia.

Oinarritiklotutakobi

kono.

Kono-enborra.

153

Iradokizunak• Prismenelementuakzeindirendeskribatuondoren,sailkatuegingodi-tugu,irizpideklasikobaterabiliz:oinarrietakopoligonoakkontuanhar-tuta.

• Prismazuzenenkasuan,garapenakargietagarbierakutsikodigubioi-narripoligonalberdindituenlaukizuzenbatdirela.

• Edukihaueksakontzekoariketaonbatprismakidentifikatzeaizandaite-ke,honelakodeskribapenetatikabiatuta:

–Irudihorrengarapenlauabihexagonoerregularreketaseilaukizuze-nekosatzendute.

–Irudihoriaurpegiguztiakberdinakdituenprismaerregularbakarrada.

• Prismabatengarapenarieskerosoerrazondorioztatudezakeguhorrenazalerakalkulatzekoformula.Ezdabeharrezkoaikasleekburuzikasteaulertzenezdituztenformulak,eztakomeniere.Zenbaitprismarengara-penlautikabiatuta,albokoazaleralaukizuzenbatdelabetikonturatukodira,etaazalerakalkulatzeko,oinarria(oinarrietakobatenperimetroa)bideraltuera(prismarenaltuera)eginbehardela.Gero,oinarrietakoba-tenazalerakalkulatuetabiderbieginda,azaleraosoalortukodute.

• Ikuspegiespazialalantzeko,osoegokiadaikasleeigarapenetakobatzukplanoanegitekoproposatzea.Marrazketakezduperfektuaizanbehar:nahikoaizangodaaurpegiguztiakondokokatzeaetaluzeraberaizanbehardutenertzakzeindirenidentifikatzea.

Lankidetzan ikasi Ariketahaueketa,orokorrean,ikasiberridirenedukiakfinkatzekohelbu-ruadutenariketaguztiakbakarkaegindaitezke,eta,gero,taldetxikianebatzi,emandakosoluzioakkonparatuzetaegondaitezkeendesadostasu-nakeurenarteankonponduz.Batezdatozeneanbakarrikeskuhartukoduirakasleak.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:

Indartzeko:20.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:21.orrialdeko3.,4.eta5.ariketak.

• ANIZTASUNARENTRATAMENDUAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko:Afitxako1.eta3.ariketak.

Sakontzeko:Afitxako5.ariketa.Bfitxako1.eta2.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)A:Triangeluarra,erregularra. B:Lauangelukoa,ez-erregularra.

C:Pentagonala,ez-erregularra. D:Hexagonala,erregular.

b)ErregularrakAetaDdira.

c)

2 A osoa=1364cm2

3 Atotal=600cm2

4 Atotal=192cm2

d=13cm

5 Altuera=8cm

Atotal=552cm2

217216

Prisma oinarri deritzegun bi poligono berdinek eta paralelok eta aldeko aurpegi deritzegun hainbat paralelogramok mugatu-tako poliedroa da.

•Prismaren altuera oinarrien arteko distantzia da.

•Prismak oinarrietako poligonoen arabera sailkatzen dira:

TRIANGELUARRA LAUANGELUARRA PENTAGONALA HEXAGONALA

•Oinarria laukizuzena duen prisma zuzenarior-toedro esaten zaio. Dimentsio berdinak dituen ortoedroari kubo esaten zaio.

a a

a

KUBOAORTOEDROA

a b

c

•Oinarriak poligono erregularrak dituzten prisma zuzenei prisma erregular esaten zaie.

•Prisma zuzena ertzetako batean luzetara ebaki, ireki eta aurpegiak planoan jarriz gero, horien garapen laua lortzen da.

1 Prismak

1. Erreparatu honako prisma hauei:

A B C D

a) Nolako prisma da horietako bakoitza?b) Adierazi zein diren erregularrak.c) Marraztu A prismaren garapen laua.

Pentsatu eta egin

PRISMA ZUZENA PRISMA ZEIHARRA

Aldekoaurpegiak

Oin

arria

k

Altu

era

Etimologia

Prisma. Grezieratik dator. «Zerratu izan dena» esan nahi du, aldeko aur-pegiak zerratuta daudela ematen du eta.

Prismaren azalera

Prisma zuzenaren aldeko garapena laukizuzena da. Horren oinarriaren luzera prismaren oinarriaren perimetroa da eta altuera, prismaren altuera.

aldeko azalera = oinarriaren perimetroa · altueraazalera totala = aldeko azalera + 2 · oinarriarren azalera

Ariketa ebatziak

1.Honako ortoedro honen aza-lera totala kalkulatzea:

10 cm 5 cm

7 cm

Ortoedroarenhiruaurpegienazalerakhonakohauekdira,hurrenezhurren:

10 · 5 = 50 cm2 10 · 7 = 70 cm2 5 · 7 = 35 cm2

Aurpegi berdineko hiru bikote direnez:

Atotala = 2 · (50 + 70 + 35) = 2 · 155 = 310 cm2

Orokorreana × b × c dimentsioak dituen ortoedroaren azalera totala da:

A = 2(ab + ac + bc)

2.Honako ortoedro honen aza-lera totala eta diagonalaren (d) luzera kalkulatzea:

d

3 cm

6 cm

2 cm

(d' )2 = 32 + 22 = 13

d 2 = 62 + (d' )2 =

= 36 + 13 = 49

d = 49 = 7 cm

6 66

3

32

2

2

2

3 2 3 2d

d

d'd'

d'

Atotala = 2(6 · 3 + 6 · 2 + 2 · 3) = 72 cm2

Orokorreana × b × c dimentsioak dituen ortoedroaren diagonalaren luzera honako hau da:

d = a b c2 2 2+ +

3.Prisma zuzen jakin baten oinarriak 8 cm eta 6 cm-ko diagonalak dituzten erronboak dira. Prismaren altuera 10 cm da. Kalkulatu zenbat den azalera totala.

8 10 cm

l

l

l l l6

34

Oinarrikoaldea:l = 4 32 2+ = 5 cm

AA

28 6 244 5 10 200

· cm· · cm

2

2OIN

ALD

= == =

4 Atotala = Aald + 2Aoin = 200 + 2 · 24 = 248 cm2

2.Prisma zuzen baten altuera 20 cm da. Oinarriaktrapezio zuzenak dira eta trapezio horren oinarriak 11 cm eta 16 cm-koak dira eta altuera, 12 cm-koa. Kalkulatu zenbat den prismaren azalera totala.

3.Kalkulatu zenbat den 10 cm-ko ertza duen kuboaren azalera totala.

4.Ortoedrobatendimentsioak4cm,3cmeta12cmdira. Kalkulatu azalera totala eta diagonala.

5.Ortoedro baten oinarria 9 cm eta 12 cm-ko aldekolaukizuzena da. Ortoedroaren diagonala 17 cm-koada. Kalkulatu ortoedroaren altuera eta azalera totala.

Pentsatu eta egin

Prisma: definizioak eta garapena.

Praktikatu prismen azalerak kalkulatuz.Webgunean

Webgunean

154

219218

2 Piramideak

Piramidea oinarria edozein poligono duen eta aldeko aurpegiak erpin komu-neko triangeluak diren poliedroa da; erpin hori piramidearen erpina da.

•Piramidearen altuera erpinetik oinarriaren planorako distantzia da.

•Piramidea erregularra da oinarria poligono erregularra izan eta erpina poligo-no horren zentroan proiektatzen baldin bada.

•Piramide erregularrean, aldeko ertz guztiak berdinak eta aldeko aurpegiak triangelu isoszele berdinak dira. Horietako bakoitzaren altuerari piramidearen apotema esaten zaio.

Piramide erregularraren apotema triangelu zuzen baten hipotenusa da, triangelu horretako katetoak pirami-dearen altuera eta oinarriko poligo-noaren apotema izanik.

Piramide erregularraren aldeko ertza triangelu zuzenaren hipotenusa da, katetoak piramidearen altuera eta oi-narriaren erradioa izanik.

piramidearen apotema altuera

oinarriaren

apotema

piramidearen aldeko ertza altuera

oinarriaren

erradioa

•Piramideak oinarrietako poligonoen arabera sailkatzen dira:

TRIANGELUARRA LAUANGELUARRA PENTAGONALA HEXAGONALA

•Piramide erregularraren ertz batzuk luzetara ebaki, ireki eta aurpegiak planoan zabalduz gero, piramide horren garapen laua lortuko dugu:

Etimologia

Piramide. Grezierako pyros, «sua», hitzetik dator, garraren forma pira-midala delako. Baita erretzeko pila- tzen ziren gauzek forma hori hartzen zutelako ere.

Ohar historikoa

Egiptoko piramideak faraoien hilobi izateko eraiki zituzten duela hainbat mila urte.Erregularrak eta lauangeluarrak dira. Horietako handienak, Keopsenak, 146 m-ko altuera du eta oinarriaren aldea 230 m-koa da.

erpina

aldeko aurpegiak

oinarria

Piramidearen azalera

Piramide erregularraren aldeko azalera n triangelu berdinen azaleren batura da (n oinarriko aldeen kopurua da):

Aald = n · 21 l a = 2

1 (nl ) · a = · a2

oinarriaren perimetroa

Oinarriapoligonoerregularradenez,horrenazalera · 'a2

perimetroa da.Ondorioz:

Atotal = Aald + Aoinarri = · · 'a a2 2

oinarriaren perimetroaoinarriaren perimetroa +

Ariketa ebatziak

1.Aurreko orrialdean des-kribatutako Keopsen pira-midearen aldeko azalera zenbat den kalkulatzea.

h = 146 m

l = 230 m

a' = 230 : 2 = = 115 m

h

a'

a

l

Apotema, a, kalkulatzen hasiko gara:

a = ( )'a 146 115 34 541h2 2 2 2+ = + = ≈ 186 m

Aald = · ( )a2 2

4 230 186· ·oinarriaren perimetroa = ≈ 85 560 m2

Soluzioa: Keopsen piramidearen aldeko azalera 85 560 m2-koa da, gutxi gora-behera.

2.13 m-ko altuerako pirami-de hexagonal erregularraren aldeko azalera eta azalera totala kalkulatzea, jakinik oinarriaren erradioa 6 cm-koa dela.

Piramidearen apotema, a, zenbat den kalkulatu behar dugu; horretarako, oinarriaren apotema, a' zenbat den jakin behar dugu. Gogoan izan hexagono erregularrean erradioa aldea-renberdinadela.Ondorioz:

a' = 6 3 36 9 27– –2 2 = = cm

a = 27 13 27 169 1962 2+ = + =` j = 14 cm

Aald = ( · ) ·2

6 6 14 = 252 cm2

Atotal = 252 + ( · ) ·2

6 6 27 ≈ 346 cm2

6

3

a’

a’

a13

a

ll l

l

la'

1. Kalkulatu piramide erregular baten azalera totala, oinarria 10 cm-ko aldeko karratua eta altuera 12 cm-koa izanik.

10 cm

12 c

m

2.Piramide erregular baten oi-narria 16 dm-ko aldeko eta 11 dm-ko apotemako penta-gonoa da. Piramidearen altue-ra 26,4 dm-koa da. Kalkulatu azalera totala.

Pentsatu eta egin

26,4 dm

11 dm16 dmPiramideak: definizioak eta

garapena.

Webgunean

Praktikatu piramide erregularren azale-rak kalkulatuz.

Webgunean

Iradokizunak• Unitatehonenplaneamenduaprismaklantzekoerabilitakoarenosoantze-koada:piramidearenkontzeptuaetahorrenelementuakdeskribatzea.

• Piramidearenaltuerariarretabereziajarrikodiogu;izanere,ikasleeknahastuegitendutesarritanaurpegibatenaltuerarekin.

• Ontzibatzuekpiramideitxuraizatendute.Piramidebatengarapenaikustekomodurikonenadaontzihorietakobatikasgelaraekartzeaetaalbokoertzetanzeharebakitzea.Polydron izenekomaterialarekinedoantzekoekinereerrazegindaitezkepiramideak,etaespaziotikplanoraedoplanotikespazioraigarotzekoariketaklandu.

• Eskuinekoorrialdean,haudahelburua:piramidebatengarapenetikabiatuta,ikasleekjakindezatelabesteedozeinpiramiderenalbokoaur-pegiarenazaleraetaazaleraosoakalkulatzekoformulaedolegeoroko-rraondorioztatzen.

Problemen ebazpena Atalhonetan,etaadibideebatziakematendituztenatalguztietan,proze-durahauiradokitzenda:ikasleakproblemaeurekdakitenaerabilizebaz-tenahalegindukodira;ondoren,erabilidutenprozesuatestuanageridenprozesuarekinkonparatukodute;etaazkenik,izandituztenzailtasunakazaldukodituzteetaeurekerabilitakometodoaketaorrialdeanematendi-renakbalioetsikodituzte.



Indartzeko:22.orrialdeko1.ariketa.

Sakontzeko:23.orrialdeko2.ariketa.


Indartzeko:Afitxako4.ariketa.


1 Atotal=360cm2

2 Atotal=1584dm2

OHARRAK

155

221220

3 Piramide-enborrak

Piramidea oinarriaren planoarekiko plano paralelotik ebakiz gero, bi planoen arteko gorputzari piramide-enbor esaten zaio.

Piramide-enborrak poligono antzekoak diren bi oinarriditu.Oinarrionartekodistantzia enborraren altuera da.Piramidea erregularra izanez gero, dagokion piramide-enborra ere erregularra izango da. Aldeko aurpegiak trapezio isoszele berdinak dira. Horietako bakoitza-ren altuerari piramide-enborraren apotema esaten zaio.

Piramide erregularraren enborraren azalera

Horren aldeko azalera n trapezioen azaleren batura da.Azalera totala aldeko azaleraren eta bi oina-rrien azaleren arteko batura da.

l

l

l

l l

ll

l

l l

l' l'l'

l'

a a

Aald = n ' 'l l a nl nl a2 2 2oinarrien perimetroen batura+ = + = · apotema

Atotal = Aald + Aoinarri nagusi + Aoinarri txiki

1. Kalkulatu zenbat den pi-ramide hexagonal erregu-larraren enborraren aldeko azalera, dimentsioak ma-rrazkikoak izanik. 38 cm

20 cm

41 cm

2.Plano batek altueraren erditik ebakitzen du 10 cm-ko aldea eta 13 cm-ko aldeko ertza dituen oi-narri karratuko piramide erregula-rra. Kalkulatu lortutako piramide- enborraren azalera totala. 10 cm

6,5 cm

6,5 cm

Pentsatu eta egin

4 Poliedro erregularrak

Poliedroa erregularra dela esaten da honako baldintza hauek betetzen baldin baditu:•Aurpegiak poligono erregular berdin-berdinak dira.•Poliedroko erpin bakoitzean aurpegi kopuru bera biltzen da.

Poliedro erregular motak

Poligono bakoitzarekin zer poliedro erregular eraiki daitezkeen ikusiko dugu:

TETRAEDROA (4 aurpegi)

3 TRIANGELUerpin bakoitzean

OKTAEDROA (8 aurpegi)

4 TRIANGELU

IKOSAEDROA (20 aurpegi)

5 TRIANGELU

Ezin daiteke erpin bakoitzean bost triangelutik gora dituen poliedrorik eratu.

3 karratu erpin bakoitzean

KUBOA (6 aurpegi)

3 pentagono erpin bakoitzean

DODEKAEDROA (12 aurpegi)

Ezin daiteke hiru karratu edo pentagonotik gorako poliedrorik eratu, ezta bost aldetikgorakopoligonoakdituenikere.Ondorioz,bosteratakopoliedroerregu-larrak baino ez daude.

Erreparatu ondo

6 triangelu

Ezin daiteke erpin bakoitzean sei triangelu izango dituen poliedro erre-gularrik eraiki.

Etimologia

Poliedro. Grezieraz, poli, «asko» eta edro, «aurpegi».Ikosaedro. Grezieraz, eikós, «hogei».

1. Kontuan hartuz erpin bakoitzean biltzen diren ange-luen batura, azaldu zergatik ezin daitekeen poliedro-rik eratu honako kasu hauetan:

a) Erpin bakoitzean 6 triangelu aldekiderekin.

b) Erpin bakoitzean 4 karraturekin.c) Erpin bakoitzean 4 pentagono erregularrekin.d) Alde gehiagoko hexagono erregularrekin edo poli-

gono erregularrekin.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Honako piramide-enbor lauan-geluar erregularraren aldeko azalera zenbat den kalkulatzea:

3 m

4 m

2 m

Apotema (aldeko aurpegiaren altuera) zenbat den kalkulatuz hasiko gara:

a = 3 1–2 2 = 2,83 m3 m

1 m

a

Ondorioz,aldekoazalerahauda:Aald = · ·2

4 2 4 4+ · 2,83 = 33,96 m2

Praktikatu piramide-enborraren azalera zenbat den kalkulatuz.

Webgunean

Poliedro erregular guztiak garatzea.

Webgunean

Iradokizunak• Piramide-enborrengarapenatrapezioisoszeleekosatzendute.

• Pitagorasenteoremarenlaguntzaz,ikasleekhorietakobatenazalerakal-kulatubeharduteeta,gero,trapezio-kopuruarekinbiderkatu,albokoazalerazeindenkalkulatzeko.Prozesuhoriorokortuetalaburtzeko,oi-narrienperimetroenartekobaturarenerdiabiderapotemaegindaiteke.





Sakontzeko:Bfitxako4.eta5.ariketak.


1 A alD=6960cm2

2 A osoa=305cm2

Iradokizunak• Poliedroerregularrekbibaldintzabainoezdituztebetebehar.Komenidaikasleeierakusteabaldintzahorietakobatbaibainabesteabetetzenezdutenpoliedroak.

• Gaiasakontzeko,poliedroerdierregularraklanduditzakegu.

• Orrialdehonetakoazalpeneanargiazaltzendazergatikdaudenbostpo-liedroerregularbakarrik.Zuzenekoerabilerariburuzkoariketakazalpenhoribarneratzenlagundukodieikasleei.

Pentsamendu kritikoa Ikasleei1.ariketaebaztekoeskadiezaiekegu,horretarakoplastikozedokartoi-mehezegindakopoligonoerregularrenbildumenlaguntzaerabiliz.






1 a)Erpinenbatura360°daetahoriplanobatda,ezindatolestu.

b)Erpinenbatura360°daetahoriplanobatda.

c)Erpinenbatura432°daetahoriplanobatbainogehiagoda.Gainjarriegingodira.

d)Hiruhexagonorekin,batura360°daetahoriplanobatda;etabire-kinbakarrikezindaegin.Aldegehiagokopoliedroerregularrek360°bainoangeluhandiagoakdituzteeta,beraz,ezindugu,gainja-rriegitendiraeta.

OHARRAK

156

223222

Poliedro erregularren garapenak

■ tetraedroa

■ hexaedroa

■ oktaedroa

■ dodekaedroa

■ ikosaedroa

2.Kalkulatu zenbat diren honako hauen azalerak:

a) 2 cm-ko aldea duen triangelu aldekidearena.

b) 2 cm-ko aldea duen karratuarena.

c) 2 cm-ko aldea eta 1,38 cm-ko apotema dituen pen-tagono erregularrarena.

3.Kalkulatu honako hauen azalerak:a) Tetraedroarena. b) Kuboarena.c)Oktaedroarena. d)Dodekaedroarena.e)Ikosaedroarena.2 cm-ko ertza dute guztiek.

Pentsatu eta egin

Iradokizunak• Poliedroakgehiagoaztertzeko,horiengarapenaklanduditzakegu.

• Ertzetatikebakitzeaetaerdizkairekitzealagungarriaizandaitekegor-putzgeometrikotikgarapenlauranolaigarotzendirenbistaratzeko.Bainaeraginkorrenaetaargienaikasleekaldaketahoriekeurenkabuzegiteada.


2 a)A=1,73cm2

b)A=4cm2

c)A=6,9cm2

3 a)A=6,9cm2

b)A=24cm2

c)A=13,84cm2

d)A=82,8cm2

e)A=34,6cm2

OHARRAK

OHARRAK

157

225224

5 Poliedroen sekzio lauak

Interes handikoa da planoak hainbat gorputz geometrikotan sor ditzakeensekzioak aztertzea. Adibide batzuk ikusiko ditugu:

•Tetraedro erregularra aurpegietako batekiko plano paraleloz ebakiz gero, triangelu aldekideak lortzen dira.

•Planoa apur bat inklinatuz gero, ebakidurako triangelua ez da aldeki-dea izango.

•Eta tetraedroa ertz batekiko plano paraleloz ebakiz gero? Ebakidura laukizuzena da. Karratua izan al dai-teke?

•Planoa inklinatuz gero, trapezioa izan al daiteke?

•Planoak dodekaedroaren erpinetik hurbil ebakidura eginez gero, trian-gelua lortzen da.

Aurpegi batekiko ebakidura parale-loak pentagonoa eragiten du.

Egin gogoeta

Dekagonorik lor al daiteke dodekae-dro erregularra ebakiz?

Kuboan ebakidura asko egin daitezke; horietako batzuk ikusiko ditugu.

•Erpin bat moztuz, ebakidura triangeluarrak lortzen dira:

•Ertz bat ebakiz, laukiak lortzen dira:

•Sei aurpegiak ere ebaki daitezke hexagonoa edo pentagonoa lortzeko:

3.Kuboa honela ebakiz, hexa-gono erregularra lortzen da.a) Zenbat da aldea? Eta apote-

ma?b) Kalkulatu zer azalera duen.c) Zer bolumen du sortu diren

zatietako bakoitzak?

4.Tetraedro erregularra irudian beza-la ebakiz gero, karratua lortzen da. Horren azalera erraz kalkula dai-teke. Kalkula al dezakezu zenbat den geratzen diren bi gorputzetako bakoitzaren azalera totala?

5.Honako ebakidura hau tra-pezioa da. Zer neurri du oina-rri txikiak? Zergatik da oinarri nagusia txikia bi halako?Altuera 1,66 da. Zenbat da aza-lera? Zenbat da laukizuzen ber-dearen azalera?

6.Dodekaedroa plano baten bidez ebakiz gero, lor al daiteke laukizu-zenik? Eta karraturik?Planoak dodekaedroa bi zati ber-dinetan ebaki du aurrez aurreko bi ertzetik pasatuz. Zer poligono da lortu den sekzioa?

Pentsatu eta egin

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1. Adierazi nondik ebaki behar den irudiko oktaedro erregularra honako hauek lortzeko:a) Karratua.b) Ahalik eta karraturik

handiena.c) Trapezioa.d) Hexagonoa.e) Pentagonoa.

2.Erreparatu ikosaedro erregularrari eta erantzun:

a) Zer irudi lortzen da planoak erpin batetik ateratzen diren bost ertzak ebakiz?

b) Aurpegi batetik oso hurbil dagoen plano paralelotik ebakiz gero, zer lortuko da?

c) Lor al daiteke dekagono erregularrik ebaki bat egi-nez?

Pentsatu eta egin

Iradokizunak• Planoetapoliedroenartekoebaketakoinarritzathartutaegindaitez-keenariketakosolagungarriakizandaitezkeikasleenikuspegiespazialahobetzenlaguntzeko.

• Edukihaueklantzeko,ezdaezagutzaberezirikbehar.Beraz,ikuspegiespazialonadutenmailabaxuagokoikasleakeregauzaizandaitezkeatalhonetanplanteaturikoariketakebazteko.

• Azalpenakargiagoikusietaariketabatzukebazteko,osolagungarriaizangodaplastilinazkopoliedroakeraikietagainazallaubatekinebaki-tzea(adibidez,kuterbatekin).

• Kontuanizanbehardaatalhonetanplanteaturikoariketaetazalantzaaskoksoluziobatbainogehiagoizanditzaketela.

Indartzeko eta Sakontzeko

Ariketahauekgomendatzendira:


Indartzeko:24.orrialdeko2.ariketa.25.orrialdeko3.ariketa.

Lankidetzan ikasi Irakasleakeragiketaklantzekoariketaklankidetzanikastekoegokiakdirelabaderitzo,honakometodologiahauerabiltzeairadokitzenda:

• Ikasleakbinakaedohirunakajarri.

• Poliedrobat(erregularraedoez-erregularra)emangodiegu,etahorre-tatiklordaitezkeenirudilaumotenazterketazehatzaegitekoeskatukodiegu.Plastilinaedopoliespanaerabildezakete.

• Zalantzakargitzenezbadakiteedoadosjartzenezbadira,orduanira-kasleakeskuhartukodu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak1 a)Diagonalarekikoplanoperpendikularbatetik.

b)Diagonalarekikoplanoperpendikularbatetik,diagonalarenerditik;hauda,oktaedroarenzentrotik.

c)Inklinatuegingodugub)atalekoplanoa,biratzekoardatzmoduankarratuarenertzetakobathartuz.

d)Oktaedroarenzentrotikigarotzendenetaaurpegietakobatetikoparaleloadenplanobatetik.

e)Planoaerpinbatetiketaerpinhorretanbategitenezdutenbiertze-tatikigarokoda.

2 a)Pentagonobat.b)Bederatzialdekopoligonobat.

c)Dekagonoerregularralortzeko,ikosaedroaerpinetakobatengai-neanjarri,etaplanohorizontalbatekinebakibeharduguerpinhorietahorrenaurkakoalotzendituendiagonalarenaltuerarenerditik.

3 a)Aldea1,41cmda,etaapotema,1,22cm.

b)A=5,16cm2

c)Zatietakobakoitzak4cm3-kobolumenadu.

4 Geratzendirenbigorputzakberdinakdiraetahorienaurpegiakhauekdira:1cm-koertzadutenbitriangelualdekide,1cm-koaldeaduen

karratuaeta1cm-koeta2cm-kooinarriaketa23 cm-koaltueradi-

tuztenbitrapezio.

Beraz,azalerahorienbaturahauda:

1·2

223

22

1 223 1 2 3 1· · ·+ + + = +^ hcm2,etahoridageratzendiren

bigorputzetakobakoitzarenazalera.

5 Oinarritxikiak1cmdu.Oinarrinagusiatxikiarenbikoitzada;izanere,te-traedroarenaurpegiarengaineanzehaztenduentriangeluaaldekideadaetaertza2cm-koadu.Laukizuzenberdearenazalera2cm2-koada.

6 Hexagonobat.

158

227226

6 Zilindroak

Laukizuzena aldeetako baten inguruan biraraziz, zilindro zuzena lortzen da. Biraketa-gorputza da, beraz.

Zilindro zuzenaren oinarriak zirkuluak dira. Oinarrien arteko distantziarialtuera esaten zaio.

Zilindro zuzenaren azalera

Zilindroa ikusten duzun eran ebakiz gero, horren garapen laua lortzen da:

h h

2πr

r

r

r

Zilindroaren aldeko horma laukizuzena dela ikusten da; horren oinarria zirku-luaren perimetroa da, 2πr,etaaltuera,h,zilindroarenada.Ondorioz:

aldeko azalera = 2πr · hazalera totala = aldeko azalera + bi oinarrien azalera = 2πrh + 2πr2

Etimologia

Zilindro. «Biribildu, bildu» esan nahi duen grezierako kulindo hitzetik dator; zilindroak bilkariaren edo gau-za bilduaren forma duelako.

Ariketa ebatzia

Honako zilin-dro honen alde-ko azalera eta azalera totalakalkulatzea:

Aald = 2π · 3 · 5 = 30π = 94,2 dm2

Atotal = 94,2 + 2π · 32 = 94,2 + 56,52 = 150,72 dm2

7 Konoak

Triangelu zuzenari katetoetako baten inguruan biraraziz, kono zuzena lortzen da. Biraketa-gorputza da, beraz.

Altuera erpinetik oinarrirako distantzia da. Triangelu zuzenaren hipotenusa den g segmentuari sortzaile esaten zaio.

Kono zuzenaren azalera

2πr

2πr

gg

r

gh

r

Kono zuzenaren aldeko garapena g erradioko sektore zirkularra da. Zirkuluaren zer zati du sektore horrek? Kalkulatu egingo dugu:

•Zirkunferentzia osoaren luzera 2πg da.

•Sektorearen luzera 2πr da.

zirkuluaren azalerazirkunferentziaren luzera

sektorearen azaleraarkuaren luzera=

ππ π 8 π

π πgg

Ar A g

r g2 22

2 ·2

2= = = πrg

Ondorioz:

aldeko azalera = πrgazalera totala = aldeko azalera + oinarriaren azalera = πrg + πr 2

h-k, r-k eta g-k erlazio hau betetzen dute:

g2 = h2 + r 2

g gh

rr

2πr

g

A

1. Marraztu koadernoan eskuineko lauki-zuzena honako hauen inguruan birara-ziz sortzen diren zilindroak:a) CD b) BD

A B

C D

2.Zenbat txapa beharko da oinarriko erradioa 0,6 m-koa eta 1,8 m-ko altuera dituen depositu zilindriko itxia eraikitzeko?

3.Goitik irekitako uraska zilindrikoaren zorua eta ba-rrukohormakirazgaiztunahidira.Oinarriarenerra-dioa 4 m-koa da eta altuera, 5 m-koa. 1 m2 irazgaitz bihurtzea 18 € kostatzen da. Zenbat da lan osoa?

4. Marraztu zilindro zuzenaren garapena; oina-rriak 2 cm-ko erradioa du eta altuera 8 cm-koa da.

5.Hartu neurriak eta erabaki honako garapen hauetako zein dagokion zilindro bati.

Pentsatu eta egin

Etimologia

Kono. Latinetik dator eta pinaburu esan nahi du. Harrigarria da, ezta? Hala ere, ez zaizu hain harrigarri egingo gogoan hartuz gero pinuak koniferoak direla (konoak ekoizten dituztela).

1. Kalkulatu eskuineko konoaren al-deko azalera eta azalera totala, ho-nako hau jakinik:

MO = 84 cmMN = 85 cm

N

M

O

2.Marraztu eskuineko triangelu zuzena honako hauen inguruan biraraziz lortzen diren konoak:a) AC-ren inguruan.b) BC-ren inguruan.Kalkulatu bion azalera totala.

A

C B

16 cm

30 cm

Pentsatu eta egin

Zilindroa: definizioak eta garapena.

Webgunean

5 dm

3 dm

Konoa: definizioak eta garapena.

Webgunean

Iradokizunak• Gainazalzilindrikobateratzeko,zuzenbatbestebatekikoparalelobira-razibeharda.Zilindrobateratzeko,laukizuzenbathorrenaldeetakoba-teninguruanbiraraztenda.

• Zilindroalortzekobesteerabaterebadago:zirkulubatluzetaramugi-tzeabereardatzeanzehar.Txanponpilobatekosoondo«gorpuzten»duideiahori.

• Zilindrozuzenetan,ardatzazirkuluarenplanoarekikoperpendikularrada;zilindrozeiharretan,berriz,ez.Zilindrozeiharrazerdenbistaratzekomo-durikonenatxorizobarrabathartuetaardatzarekikoperpendikularrakizangoezdirenbiebakizuzenetaparaleloegiteada.

• Zilindrobatenazalerakalkulatzekomoduaemangodigunformulaondo-rioztatzeko,nahikoadazilindroariardatzarekikoparaleloadenebakizuzenbategitea.Zilindroazabaltzeanikustendenez,prismenkasuanbezala,lau-kizuzenbatda;etaoinarrienlekuan,orainbizirkuluditugu.

• Interesgarriiruditzenzaiguzilindroarenideiaprismarenideiarekinbateramenderatzea,ikasleekargiikusdezatenazalerakkalkulatzekoprozeduraberdinadela.Bestalde,zirkuluainfinitualdedituenpoligonoadelaonar-tzenbadugu,zilindroaaurpegiaskodituenprismaizangoda.

• Zilindroarenazaleraondorioztatudugunmoduanondorioztatuetagero,irakasleakbesteurratsbatemateaerabakidezake,etaikasleeieskatubiderkagaikomunaateratzeko,2πrh+2πr 2adierazpenetik2πr·(h+r )adierazpenalortzeko.




27.orrialdeko3.ariketa.



1 a) b)

2 9,0432m2txapabeharda.

3 Lanosoa3165,12€da.

4

12,56 cm

2 cm

8 cm

5 Lehenengoa.

OHARRAK

159

227226

6 Zilindroak

Laukizuzena aldeetako baten inguruan biraraziz, zilindro zuzena lortzen da. Biraketa-gorputza da, beraz.

Zilindro zuzenaren oinarriak zirkuluak dira. Oinarrien arteko distantziarialtuera esaten zaio.

Zilindro zuzenaren azalera

Zilindroa ikusten duzun eran ebakiz gero, horren garapen laua lortzen da:

h h

2πr

r

r

r

Zilindroaren aldeko horma laukizuzena dela ikusten da; horren oinarria zirku-luaren perimetroa da, 2πr,etaaltuera,h,zilindroarenada.Ondorioz:

aldeko azalera = 2πr · hazalera totala = aldeko azalera + bi oinarrien azalera = 2πrh + 2πr2

Etimologia

Zilindro. «Biribildu, bildu» esan nahi duen grezierako kulindo hitzetik dator; zilindroak bilkariaren edo gau-za bilduaren forma duelako.

Ariketa ebatzia

Honako zilin-dro honen alde-ko azalera eta azalera totalakalkulatzea:

Aald = 2π · 3 · 5 = 30π = 94,2 dm2

Atotal = 94,2 + 2π · 32 = 94,2 + 56,52 = 150,72 dm2

7 Konoak

Triangelu zuzenari katetoetako baten inguruan biraraziz, kono zuzena lortzen da. Biraketa-gorputza da, beraz.

Altuera erpinetik oinarrirako distantzia da. Triangelu zuzenaren hipotenusa den g segmentuari sortzaile esaten zaio.

Kono zuzenaren azalera

2πr

2πr

gg

r

gh

r

Kono zuzenaren aldeko garapena g erradioko sektore zirkularra da. Zirkuluaren zer zati du sektore horrek? Kalkulatu egingo dugu:

•Zirkunferentzia osoaren luzera 2πg da.

•Sektorearen luzera 2πr da.

zirkuluaren azalerazirkunferentziaren luzera

sektorearen azaleraarkuaren luzera=

ππ π 8 π

π πgg

Ar A g

r g2 22

2 ·2

2= = = πrg

Ondorioz:

aldeko azalera = πrgazalera totala = aldeko azalera + oinarriaren azalera = πrg + πr 2

h-k, r-k eta g-k erlazio hau betetzen dute:

g2 = h2 + r 2

g gh

rr

2πr

g

A

1. Marraztu koadernoan eskuineko lauki-zuzena honako hauen inguruan birara-ziz sortzen diren zilindroak:a) CD b) BD

A B

C D

2.Zenbat txapa beharko da oinarriko erradioa 0,6 m-koa eta 1,8 m-ko altuera dituen depositu zilindriko itxia eraikitzeko?

3.Goitik irekitako uraska zilindrikoaren zorua eta ba-rrukohormakirazgaiztunahidira.Oinarriarenerra-dioa 4 m-koa da eta altuera, 5 m-koa. 1 m2 irazgaitz bihurtzea 18 € kostatzen da. Zenbat da lan osoa?

4. Marraztu zilindro zuzenaren garapena; oina-rriak 2 cm-ko erradioa du eta altuera 8 cm-koa da.

5.Hartu neurriak eta erabaki honako garapen hauetako zein dagokion zilindro bati.

Pentsatu eta egin

Etimologia

Kono. Latinetik dator eta pinaburu esan nahi du. Harrigarria da, ezta? Hala ere, ez zaizu hain harrigarri egingo gogoan hartuz gero pinuak koniferoak direla (konoak ekoizten dituztela).

1. Kalkulatu eskuineko konoaren al-deko azalera eta azalera totala, ho-nako hau jakinik:

MO = 84 cmMN = 85 cm

N

M

O

2.Marraztu eskuineko triangelu zuzena honako hauen inguruan biraraziz lortzen diren konoak:a) AC-ren inguruan.b) BC-ren inguruan.Kalkulatu bion azalera totala.

A

C B

16 cm

30 cm

Pentsatu eta egin

Zilindroa: definizioak eta garapena.

Webgunean

5 dm

3 dm

Konoa: definizioak eta garapena.

Webgunean

Iradokizunak• Gainazalzilindrikoaknolaeratzendirenazaltzekoerabilidugunarrazoibi-dearekinjarraituz,esangodugugainazalkonikoaardatzbatebakitzenduenzuzenakeratzenduela,ardatzhorreninguruanbiraraztean.Kartoimeheztriangeluangeluzuzenbateginetakatetobateninguruanbiraraz-tenbadugu,konobatsortukodugu.

• Kontuanizatekoadagainazalkonikobatardatzarekikoperpendikularraezdenplanobatekinebakitzeankonozeiharbateratzendela,etaho-rrenoinarriaelipsebatdela.

• Konoarenazalerakalkulatzekomoduaematendigunformulaondorioz-tatzeko,konobatebakietamahaigaineanzabaldukodugu.Sektorezir-kularbatetaoinarrikozirkuluaikusikoditugu.Ikasleekproportzionalta-sunarietaadierazpenaljebraikoensinplifikazioariburuzdagoenekojakinbehardutenaerabiliz,formularairitsikogara.

• Formulaondorioztatzekobesteprozedurabathauda:sektorezirku-larraberdinakdirenhainbatsektoretxikiagotandeskonposatudaite-ke;beraz,horietakobatenazaleraizangodaoinarriasektorearenlu-zeraadinakoaetaaltueraerradioaadinakoadituentriangelubatenazalera.Sektorearenluzeraoinarriarenluzeraadinakoadenez(hauda,2πr)etaerradioakonoarensortzaileadenez,erlaziohauezarde-zakegu:

sek orearen luzera · sektorearen erradioa π πtAr g

rg2 2

2 ·= = =



Indartzeko:28.orrialdeko1.ariketa.29.orrialdeko2.ariketa.





1 AalD=π·13·85=3469,7cm2

Atotal=3469,7+530,66=4000,36cm2

2 a)

AalD=30·π·34=3202,8cm2

Atotal=3202,8+2826=6028,8cm2

b)

AalD=16·π·34=1708,16cm2

Atotal=1708,16+803,84=2512cm2

30 cm30 cm

34 cm

34 cm

16 cm

16 cm16 cm

30 cm30 cm

34 cm

34 cm

16 cm

16 cm16 cm

OHARRAK

160

Iradokizunak• Komenidaikasleeikono-enborralortzekobimoduakazaltzea:

–Konoaoinarriarekikoparaleloadenplanobatetikebakita.

–Trapezioangeluzuzenbataltuerareninguruanbiraraziz.

–Trapezioisoszelebatekinereegindaiteke,horrensimetria-ardatzareninguruanbiraraziz.

• Paperezkokukurutxoakkuterbatekinebakiditzakegu,kono-enbordes-berdinaklortuz.

• Kono-enborbatenneurriaklortzeko,triangeluenantzekotasunarenera-bileretakobathartukodugu:irudianikustendenez,Talesposizioandau-denbitriangeluangeluzuzendira.

Onadaneska-mutilekikusteaunejakinbateanikasidituztenezagutzek,gerora,neurriaketakalkuluaklortzekobaliodutela.

Horrekmatematikahainbatatalelkarrekinlotzendituenarlomoduanikustenlagundukodie,etaezagutzarikerrazenakerezailenaklanduetamenderatzekoezinbestekoakdirelakonturatukodira.

• Kono-enborbatenazalerakalkulatzekomodurikerrazenahauda:konohandiarenazalerarigoikoaldetikmoztenzaionkonotxikiarenazalerakentzea.Horrelaeginostean,formulaerabilizereemaitzaberalortzendutelaegiaztatzekoeskadiezaiekeguikasleei:

A alb=π(r+r’)g

• Badakiguformulaegiaztatzeazailadelaeta,beraz,sakontzekogaimo-duanhardezakegu,gaitasunhandiagoaerakutsidutenikasleeklandudezaten.

229228

8 Kono-enborrak

Konoa oinarriaren planoarekiko plano paralelotik ebakiz gero, bi plano horien arteko gorputz geometrikoari kono-enbor esaten zaio.

Kono-enborra trapezio zuzena bere altueraren inguruan biraraziz sortzen den biraketa-gorputza da.g, h eta r – r'-keratutakotriangeluazuzenada.Ondorioz:

g 2 = h 2 + (r – r' )2

gg

rr – r'

h

r'r'

r

r'

Bi oinarri zirkular ditu. Altuera oinarrien arteko distantzia da eta, sortzailea aldeko gainazala sortu duen segmentua da.

1. 12 cm-ko erradioko oinarria eta 16 cm-ko altuerako konoa bere ardatzarekiko plano perpendikular batek ebaki du; plano hori 4 cm-ra pasatzen da oinarritik.Kalkulatu zenbat diren horrela eratu den kono-enbo-rraren aldeko azalera eta azalera totala.

2.Kalkulatu zenbat den goitik ire-kita dagoen eta honako neurri hauek dituen flan-ontziaren azale-ra: oinarrien erradioak, 10 cm eta 15 cm; sortzailea, 13 cm.

Pentsatu eta egin

Kono-enborraren azalera

r

2πr

2πr '

g

g

r

r'r'

r'r'

Kono-enborraren aldeko azalera bi konoren aldeko azaleren arteko kenketa egi-nez kalkula daiteke. Hala ere, oso formula sinplea dago kalkulu hori erosotasun handiz egiteko:

aldeko azalera = π(r + r' )gazalera totala = π(r + r' )g + πr 2 + πr' 2

Formula horien froga zailegia da maila honetarako, eta ez dugu orain azalduko.

Ariketa ebatzia

Formulak aplikatuz, aurreko orrialdeko ariketa ebatzian ikusi den kono-enborraren aza-lera kalkulatzea.

15 cm

10 cm

12 cm 13 cm

Kontuan hartuko dugu honako hau:•r = 15 cm•r' = 10 cm•g = 13 cmOrduan:Aald = π(r + r' )g = π(15 + 10) · 13 = 325π ≈ 1 021 cm2

Atot = π(r + r' )g + πr 2 + πr' 2 = 1 021 + π · 152 + π · 102 ≈ 2 042 cm2

3.Gure lorategian, kono-enborraren formako 32 lo-reontzi handi ditugu. Horien oinarrien erradioak 14 cm eta 20 cm-koak dira, hurrenez hurren, eta sor-tzailea, 38 cm. Kalkulatu zenbat kostatuko den ho-riek kanpoko aldetik bakarrik pintatzea metro karra-tua 40 € izango dela jota.

4.Erreparatu 17 cm eta 22 cm-ko erradioko oinarriak eta 12 cm-ko altuera dituen honako kono-enbor honi.

22 cm

17 cm

12 cm

a) Kalkulatu sortzailea.b) Kalkulatu aldeko azalera.c) Kalkulatu azalera totala.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

15 cm-ko erradioa eta 36 cm-ko altuera dituen konoa horren oinarritik 12 cm-ko distan-tzian pasatzen den planoak ebaki du. Atera den kono-enbo-rraren dimentsioak eta aldeko azalera kalkulatzea.

12 cm

15 cm

36 cm

Pitagorasen teoremaren bidez, konoaren sortzailea kalkulatuko dugu:

36 5 152112 2+ = = 39 cmKono-enborraren neurriak triangeluen antzekotasunaren bidez lortuko dira:

·' '8r r24 36

1536

24 15= = = 10 cm

''8g

g24 36 36

2439 39·= = = 26 cm

g = 39 cm – 26 cm = 13 cm

r = 15

36

12

24

39

g

g'

r'

Kono-enborraren aldeko azalera hau da: 36 cm-ko altuera duen konoaren aldeko azalera ken 24 cm-ko altuera duen kono-enborraren azalera:

Aald = π · 15 · 39 – π · 10 · 26 = 325π ≈ 1 021 cm2

Praktikatu kono-enborraren azaleren kalkuluak eginez.

Webgunean






Sakontzeko:Bfitxako3.ariketa.


1 r’=9cm;A ald=329,7cm2;A total=1036,2cm2

2 Atotal=1334,5cm2

3 520€kostatukoda,gutxigorabehera.

4 a)g=13cm

b)A ald=1591,98cm2

c)Atotal=4019,2cm2

OHARRAK

161

Iradokizunak• Zirkuluerdibat(edozirkuluosobat)horrendiametroareninguruanbira-razitaesferalortzenda.

• Esfera,gainerakobiraketa-gorputzakezbezala,ezindaplanoangaratu;hauda,ezinduguinolaereesferabatengainazalalautu.Horihorreladelabaieztatzeko,ikasleektenispilotabathardezakete,ebakietalaujartzenahalegindudaitezke.

• Arkimedesek,Zirkuluari eta esferari buruz liburuan, esferabatenazalerahorrenzirkulumaximoarenazaleralaubiderdeladio.

• Irakasleakondodakienez,esferarengainazalarenazalerakalkulatzekoformulaondorioztatzeaetaegiaztatzeaadinhonetakoikasleeknorma-leanizatendutenulermenmailatikosourrundago.Guk,irudibatenbi-dez,gainazalesferikoaesferahoribiltzenduenzilindroarengainazalaadinakoadelaadierazidugu;etahortikabiatuta,errazondorioztatudu-guformula.Erlaziointeresgarrihorrektxapeletazonaesferikoenazale-rakkalkulatzekoformulakondorioztatzekomoduaereematendigu.

Indartzeko eta Sakontzeko•MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:


Sakontzeko:31.orrialdeko2.eta4.ariketak.




1 Kaskopolarrak8502,4cm2;Zonaepelak82512cm2

Zonaberoak82009,6cm2

2 Baloiaren2072,4cm2zikindudakoloreberdez.

231230

9 Esferak

Esfera zirkuluerdia bere diametroaren inguruan biraraziz sortzen da. Biraketa-gorputza da, beraz.

Erradioak, R, esfera determinatzen du.

Esferaren azalera

Esferaren gainazalari gainazal esferiko esaten zaio. Planoan gutxi gorabehera baino ezin daiteke garatu. Hala ere, formula sinplearen bidez kalkula daiteke esferaren azalera zenbat den.Pentsa dezagun osoan egokitzen zaion zilindroaren barruan dagoela esfera. Esferaren azalera zilindro horren aldeko azaleraren berdina izango da.

Azilindroaren aldekoa = 2πR · 2R = 4πR 2 R2R

RR

R erradioko gainazal esferikoaren azalera A = 4πR 2 da.

Esferaren eta biltzen duen zilindroaren arteko erlazio hori interes handikoa da, plano paraleloz mugatutako esferaren zatietarako ere balio duelako.

TXAPELESFERIKOA

ESFERA-ZONA

h

h

Txapel esferikoaren azalera = Dago-kion zilindro zatiaren aldeko azalera = = 2πR h

Esfera-zonaren azalera = Dagokion zilindro zatiaren aldeko azalera = = 2πR h

Etimologia

Grezieraz, sfaira hitzak «pilota» esan nahi du.

Hartu kontuan

Zenbat da gorriz koloreztatu den zatiaren azalera?

Esferaren erradioa = 9 m

4 m

A = 2π · 9 · 4 ≈ 226 m2

10 Esferen, zilindroen eta konoen sekzioak

•Planoaren eta esferaren arteko ebakidura zirku-luadabeti.Interesgarriadahorrenerradioa,r, honekin erlazionatzea: esferaren erradioarekin, R, eta ebaki-planotik esferaren zentrorako dis-tantziarekin.

r

d R

•Zilindro baten ardatzarekiko plano paraleloak zilindro hori bere oinarriaren berdina den zirkunferentzian ebaki du.Hala ere, ebakidura inklinatu samar egonez gero, emaitza planoaren inklinazioaren arabera luzatu-ta egongo den kurba izango da: elipsea.

ardatz nagusia

ardatz txikia

Egiaztatu ur apur bat edontzian bota eta inklina-tuz. Elipseen familia osoa ikusiko duzu: zenbat eta gehiago inklinatu, elipseak luzangagoak dira.

Ariketa ebatzia

Barruan ura duen 7 cm-ko dia-metroko eta 12 cm-ko altuerako edontzi zilindrikoa inklinatu egin da ura edontziaren ertzera iritsi den arte.

Beste aldean, uraren maila 3 cm-ko distantzian geratu da ontziaren hondotik. Zer neurri dute uraren gainazalak eratzen duen elipsearen bi ardatzek?

Ur-edontziaren eskema egin dugu eta honako hau ageri da: elipsearen ardatz nagusia ezagun ditugun katetoak dituen triangeluaren hipotenusari dago-kiola. Zenbat den kalkulatuko dugu:

x = 9 72 2+ = 11,4 cm11,4 cm

9 cm 7 cm

12 cm

3 cm7 cm

x

Soluzioa: Ardatz txikiaren luzera edontziaren dia-metroarenaren berdina da, 7 cm-koa, eta ardatz nagusia 11,4 cm luze da. 11,4 cm

9 cm 7 cm

12 cm

3 cm7 cm

x

R

1. 20 cm-ko erradioa duen esko-lako lur-esferan, klima-zonak seinalatu dira. Kasko polar bakoitzak 2 cm-ko altuera duela eta zona epel bakoitzak 10 cm-ko altuera duela dakigu.

POLARRA

EPELA

BEROA

EPELA

POLARRA

Kalkulatu zenbat den klima-zona bakoitzaren azalera.

2. Futbol-baloia pintura berdez beteriko baldean erori da. Baloiaren azalera 6 079 cm2-koa dela dakigu. Pinturan 15 cm inguru mur-gildu baldin bada, baloiaren zer proportzio zikindu da kolore berdez?

Erabili π-ren 3,14 balioa.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

13 cm-ko erradioa duen esfe-ra bertan 12 cm-ko erradioko zirkunferentzia determinatzen duen plano batez ebaki da. Es-feraren zentrotik planorako dis-tantzia kalkulatzea.

Distantzia triangelu zuzen baten katetoetako bat da eta triangelu horren beste katetoa eta hipotenusa zenbat diren dakigu. Distantzia zenbat den kalkulatuko dugu:

d = 13 12 169 144 25– –2 2 = = = 5 cmSoluzioa: Planotik esferaren zentrora 5 m daude.

13

d 12

Praktikatu irudi esferikoen azaleren kalkuluak eginez.

Webgunean

Iradokizunak• Biraketa-gorputzensekzioenikasketakaukeraaskoetaadibidepraktikougarijartzendizkigueskura.

• Esferabatiegindakoebaketalauenondoriozsortzendirensekzioakbetizirkuluakdirelaegiaztatzeko,poliespanezkoesferaketakuterbaterabildaitezke.

• BerriroereageridaPitagorasenteoremazeinlagungarriaden;kasuho-netan,esferabatiebaketazuzenbategiteanlortzendirenzirkunferen-tzietakobatenerradioakalkulatzeko.Ariketaebatziekikasleeiatalhauerrazagoetahobetoulertzenlagundukodietelaustedugu.

OHARRAK

162

Iradokizunak• Konoarensekzioaklantzean,konikakaurkitukoditugu,jakina.Ikasturtehonetan,terminoetakontzeptubatzukbainoezdituguikusiko;horiekguztiakondorengoikasturteetanlandukodituztesakonago.

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetanetaproblema-sortakplanteatzendituztenorrialdeguz-tietan,honakourratshauekemateairadokitzenda:

• Ikasleekproblemariburuzkogogoetabakarkaegitea,zeresatendenulertzekoetaebazpen-prozesuazeinizangodenpentsatzeko.

• Bateratze-lanaegitea,blokeatutanongelditudirenazalduzetazerpro-zesujarraitunahidutenadieraziz.

• Problemabakarkaebaztea.

• Soluzioakbateratzeaetazuzentzea.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak1 d=3,6cm

2 Ardatznagusiak17,5cmditu,etatxikiak,14cm.

3 a)Oinarriekikoperpendikularradenplanobatetik.b)Oinarriekikoperpendikularraizateazgain,oinarriendiametroren

batetikigarotzendenplanobatetik.

c)Oinarriekikoperpendikularraizanetaoinarrikozirkunferentziarensokabatetikigarotzendenplanotik;hainzuzen,zilindroarenaltueraadinakoneurriaduensokatik.

d)Planoahau2.ariketakoirudianurarengainazalakeratzenduenberada.

4 Ez,ezindalortu.Izanere,karratuarenaldeetakobikzilindroarenaltueraizangodute,bainabestebialdeek,gehienezere,oinarriarendiagonalaadinakoluzeraizangodute.Etaenuntziatuanzehaztudenez,diametroaaltuerabainotxikiagoada.

233

Ariketak eta problemak

232

Gorputz geometriko motak1. Adierazi honako poliedro hauetako zein ezin dai-

tezkeen ezagunen artean sailkatu (prisma, piramidea, piramide-enborra, poliedro erregularra). Sailkatu gai-nerakoak.a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

2. Azaldu zergatik ez diren erregularrak honako po-liedro hauek.a) Piramide lauangeluar erregularra.b) Aurpegiak erronbo berdinak

dituen honako poliedro hau:

c) Sei triangelu aldekidek osatzen duten honako poliedro hau:

3. Biraketa-gorputzak al dira honako irudi hauekguztiak?Identifikatuezagutzendituzunak.a) b) c)

d) e) f )

4. Marraztu honako irudi hauek ardatz baten ingu-ruan biraraziz sortzen diren biraketa-gorputzak.

a) b) c)

Erlazionatu marraztu dituzun irudietako bakoitza aurreko ariketako batekin.

5. 3. ariketako a), b) eta e) ataletako objektuak sor-tzeko, zer irudi eta zer ardatzen inguruan birarazi be-harko da? Marraztu irudi eta ardatz horiek.

Gorputz geometrikoen garapena

6. Honako garapen hauetako zeintzuekin osa daite-ke poliedroa edo biraketa-gorputza? Sailkatu osa dai-tezkeenak.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

7. Marraztu gutxi gorabehera 1. ariketako a), b), d), f) eta g) ataletako poliedroen garapen lauak.

Konoaren sekzioak

Konoaren sekzioek aparteko interesa dute.

•Planoa konoaren ardatzari perpendikular bada, ebakidu-rak zirkunferentziak dira.

•Planoak konoaren ardatza zertxobait inkli-natuta ebakiz gero, konoaren eta planoaren arteko ebakiduran lehen ikusi dugun kur-ba lor-tzen da: elipsea. Planoa zenbat eta gehiago inklinatu, luzangagoa izango da elipsea.

•Planoa konoaren ertzetako bati paralelo izanez gero, ebakidura parabola izango da.

Hiru kurba horiei —zirkunferentziari, elipseari eta parabolari— koniko esaten zaie, konoaren sekzio gisa lortzen direlako.

1. 12 cm-ko diametroa duen esfera plano batez ebaki eta 72,345 6 cm2-ko azalera duen sekzio zirkularra lortu da. Kalkulatu zenbat den planotik esferaren zentro-rako distantzia.


2.Urez beteta dago 7 cm-ko erradioko oinarria eta 10,5 cm-ko altuera dituen kubo zilin-drikoa. Inklinatu egingo dugu edu-kiaren erdia husteko. Zer neurri dute uraren gainazalak eratzen duen elip-searen bi ardatzek?

3.Adierazi nondik ebaki behar duen planoak eskuineko zilindroa honako hauek lortzeko:a) Laukizuzena.b) Ahalik eta laukizuzenik handiena.c) Karratua.d) Ahalik eta ardatz nagusirik handieneko elipsea.

4.Aurreko ariketako zilindroak oinarriaren diametroa baino altuera handiagoa izanez gero, karraturik lor al daiteke? Azaldu zergatik.

Pentsatu eta egin

OHARRAK

163

233


232

Gorputz geometriko motak1. Adierazi honako poliedro hauetako zein ezin dai-

tezkeen ezagunen artean sailkatu (prisma, piramidea, piramide-enborra, poliedro erregularra). Sailkatu gai-nerakoak.a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

2. Azaldu zergatik ez diren erregularrak honako po-liedro hauek.a) Piramide lauangeluar erregularra.b) Aurpegiak erronbo berdinak

dituen honako poliedro hau:

c) Sei triangelu aldekidek osatzen duten honako poliedro hau:

3. Biraketa-gorputzak al dira honako irudi hauekguztiak?Identifikatuezagutzendituzunak.a) b) c)

d) e) f )

4. Marraztu honako irudi hauek ardatz baten ingu-ruan biraraziz sortzen diren biraketa-gorputzak.

a) b) c)

Erlazionatu marraztu dituzun irudietako bakoitza aurreko ariketako batekin.

5. 3. ariketako a), b) eta e) ataletako objektuak sor-tzeko, zer irudi eta zer ardatzen inguruan birarazi be-harko da? Marraztu irudi eta ardatz horiek.

Gorputz geometrikoen garapena

6. Honako garapen hauetako zeintzuekin osa daite-ke poliedroa edo biraketa-gorputza? Sailkatu osa dai-tezkeenak.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

7. Marraztu gutxi gorabehera 1. ariketako a), b), d), f) eta g) ataletako poliedroen garapen lauak.

Konoaren sekzioak

Konoaren sekzioek aparteko interesa dute.

•Planoa konoaren ardatzari perpendikular bada, ebakidu-rak zirkunferentziak dira.

•Planoak konoaren ardatza zertxobait inkli-natuta ebakiz gero, konoaren eta planoaren arteko ebakiduran lehen ikusi dugun kur-ba lor-tzen da: elipsea. Planoa zenbat eta gehiago inklinatu, luzangagoa izango da elipsea.

•Planoa konoaren ertzetako bati paralelo izanez gero, ebakidura parabola izango da.

Hiru kurba horiei —zirkunferentziari, elipseari eta parabolari— koniko esaten zaie, konoaren sekzio gisa lortzen direlako.

1. 12 cm-ko diametroa duen esfera plano batez ebaki eta 72,345 6 cm2-ko azalera duen sekzio zirkularra lortu da. Kalkulatu zenbat den planotik esferaren zentro-rako distantzia.


2.Urez beteta dago 7 cm-ko erradioko oinarria eta 10,5 cm-ko altuera dituen kubo zilin-drikoa. Inklinatu egingo dugu edu-kiaren erdia husteko. Zer neurri dute uraren gainazalak eratzen duen elip-searen bi ardatzek?

3.Adierazi nondik ebaki behar duen planoak eskuineko zilindroa honako hauek lortzeko:a) Laukizuzena.b) Ahalik eta laukizuzenik handiena.c) Karratua.d) Ahalik eta ardatz nagusirik handieneko elipsea.

4.Aurreko ariketako zilindroak oinarriaren diametroa baino altuera handiagoa izanez gero, karraturik lor al daiteke? Azaldu zergatik.

Pentsatu eta egin

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)Prismaoktogonalzuzena b)Piramide-enborhexagonala

c)Oktaedroa d)Piramidepentagonalzuzena

e)Sailkatuezina f)Ortoedroa

g)Prismatriangeluarzuzena h)Sailkatuezina

i)Piramidetriangeluarra

2 a)Ez,aurpegiguztiakezdirelakopoligonoerregularberdinak.b)Aurpegiakezdirelakopoligonoerregularrak.

c)Erpinbatzuetanhiruaurpegiketabestebatzuetanlaukbategitendutelako.Erregularraizateko,erpinguztietanaurpegikopuruberakbateginbehardu.

3 Denakdirabiraketa-gorputzak,etaezagunakhauekdira:

a)Esferaerdia c)Konoa

d)Zilindroa e)Kono-enborra

4 a)Irudihaumarraztean,aurrekoariketakoc)irudikokonoarenmodu-koalortzendugu.

b)Irudihaumarraztean,aurrekoariketakod)irudikozilindroarenmo-dukoalortzendugu.

c)Irudihaumarraztean,aurrekoariketakof)irudikobonbillarenmodu-koalortzendugu.

5 a) b) e)c)a) b) e)b)a) b) e)a)

6 a)Ortoedrobatda.

b)Oinarrilaukizuzenaduenlauangelukopiramidebatda.

f)Piramidepentagonalbatda.

h)Zilindrobatda.

c),d),e),g)etai)irudiekinezindapoliedrorikezbiraketa-gorputzikegin.

7 a)

b)

d)

f)

g)

OHARRAK

164

234 235


Gorputz geometrikoen azalerak

8. Kalkulatu gorputz geometriko bakoi-tzaren azalera:

10 cm

20 cm15 cm

5 cm2 m 7 mm

10 m

m 3 mm

2 dm 4 cm

6 cm

5 dm

6 m

2 m

12 cm

4 cm

3 cm

5 km

11 m

60 m

8 m

3 cm

2,1

cm

10 dm

3 dm

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

j) k) l)

16 m

9. Kalkulatu zenbat den 13 cm-ko aldeko ertzak eta 10 cm-ko oinarriko ertzak dituen piramide hexago-nal erregularraren azalera totala.

10. Prisma zuzen bat 15 cm altu da, eta haren oinarriak 16 cm eta 12 cm-ko diagonalak dituzten erronboak dira. Kalkulatu prisma horren azalera totala.

11. Piramide erregular baten oinarria 6 m-ko aldea duen karratua da. Altuera 4 dm da. Kalkulatu azalera totala.

12. Piramide erregular baten enborraren oinarriak 10 cm-ko eta 20 cm-ko aldeko karratuak dira, hurre-nez hurren. Aldeko ertzak 13 cm-koak dira. Kalkula-tu azalera totala.

13. Prisma hexagonal erregular baten aldeko ertza 4 cm-koa da eta oinarriaren ertzak, 2 cm-koak. Kalku-latu prisma horren azalera totala.

14. Piramide erregular baten oinarria 2,5 m-ko alde-ko pentagono erregularra da. Piramidearen apotema 4,2 m-koa da. Zenbat da aldeko azalera?

15. Kalkulatu gorputz hauen azalera totala:

4,5 cm 16 cm

17 cm

a) b)

6 cm

2 cm

16. Ortoedro baten dimentsioak 3 cm, 4 cm eta 12 cm dira. Kalkulatu ortoedro horren azalera totala eta diagonalaren luzera.

17. Kalkulatu 10 dm-ko diametroa duen esferaren barruko 2 dm-ko altuerako txapel esferikoaren eta 4 dm-ko altuerako zona esferikoaren azalerak.

18. Kubo baten azalera totala 150 dm2 da. Kalkulatu haren diagonala.

Gorputz geometrikoen sekzioak19. Karratua, laukizuzena, trapezioa, zirkunferentzia,

elipsea, pentagonoa eta hexagonoa lortzeko, planoak ebakidurak egin behar ditu honako gorputz hauetan. Bilatu eta marraztu ebakidurak.a) b)

20. Erreparatu honako zilindro honi eta ber-tan lor daitezkeen sekzioei. Lehenengoa laukizuzenik handiena da eta bigarrena, elipserik handiena.

10 cm

16 cm

a) Kalkulatu laukizuzenaren eta elipsearen dimen tsioak.b) Nondik ebaki beharko litzateke zilindroa altuera

oinarriarena bi halako izango duen laukizuzena lortzeko? Eta ardatz nagusia eta txikia, hurrenez hurren, 12,5 cm eta 10 cm-koak izango dituen elipsea lortzeko?

Ikasi problemak ebazten

Angurriaren zer zati geratzen da? Zer forma geometrikoren antza du? Zer eskatzen digute?

Ondo dago. Zer irudiri buruzari gara? Irudihorren zerdatudituzu?

Zergatik ez dituzu datuak marrazten sandia osoaren barruan?

Eta… ba al dago triangelu zuzenik?

Eta ezin al dezakezu kateto hori beste datuekin erlazionatu?Begiratu zenbat diren esferaren erradioa eta txapelaren altuera…

Baduzu! Ebatzi ekuazioa eta amaitu.

— Txapel esferikoa da.— Badakit zenbat den oinarriaren erradioa, r = 12 cm, eta altuera, h = 8 cm,

eta esferaren erradioa, R, zenbat den eskatu didate.

— Konforme. Marraztu egingo ditut:

— Jakina! Triangelu zuzen bat dago eta koloreztatu egingo dut. Hipotenusa esferaren erradioa da, R; katetoetako bat 12 cm da eta beste katetoa… ez dakit.

R 2 = R 2 + 82 – 16R + 122 → 16R = 122 + 82 = 208 → R = 16208 = 13

Soluzioa: Angurriaren erradioa 13 cm da eta diametroa, 26 cm.

Angurri ederra genuen. Bi zatitan ebaki dugu, eskuinean ageri den eran. Zati handia jan dugu eta zati txikia geratzen zaigu.Angurriak zer diametro izango zuen galdetu digute. Baten batek ideiaren bat izan ezik, zail izango zaigu aurkitzea.Jakin al daiteke zenbat den angurriaren diametroa, sobera dagoen zati txikiaren neurriak izanik?Egiaztatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide egin behar duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

8 cm

24 c

m

12 cm8 cm

RR

12 cm8 cm

? RR

—Ondodago;egiada.Katetohoriesferarenerradioaken8cmda.Orain,Pitagorasenteoremaaplikadezaket.

→ R 2 = (R – 8)2 + 12212

R – 8R

Ebatzi problemak

21. Begoñak angurri bat bi zatitan ebaki du eta, senideen artean, zati handia jan dute. Zati txikia 14 cm-ko altuerako txapela da eta, horretan, 56 cm-ko diametroko zirkunferentzia ikusten dugu. Zer erradio zuen angurriak?

22. Markok 15 cm-ko erra-dioko angurria ebaki du. Jate-ko den zati gorriak 407 cm2-ko azalera du eta sekzioaren % 90 da. Zer altueratan ebaki da an-gurria?

15 cm

OHARRAK

Ekimena Ariketahauiradokitzenda:

19.eta20.ariketaktaldetxikianegitea,irudiaketaariketakebaztekola-gungarriizangodirenmaterialakeskuarteanerabiliz.


8 a)Atotal=56m2 b)Atotal=258mm2

c)Atotal=628cm2 d)Atotal=314km

2

e)Atotal=2840m2 f) g=22,4cm;Atotal=1017,36cm

2

g)g=5cm;Atotal=282,6cm2 h)Atotal=80,4dm

2

i) Atotal=86cm2 j) Atotal=189cm

2

k)Atotal=220,8m2 l) Atotal=188,4dm

2

9 Atotal=619,8cm2

10 Atotal=792cm2

11 Atotal=96dm2

12 Atotal=1220cm2

13 Atotal=68,76cm2

14 Aald=26,25m2

15 a)Atotal=208,81cm2

b)Atotal=628cm2

16 Atotal=192cm2;d=13cm

17 Atxapel esferikoa=62,8dm2; Aeremu esferikoa=125,6dm

2

18 d=8,66dm

19 Karratubat→b)kasuan,altuerarekikoplanoperpendikularrak.

Laukizuzenbat→b)kasuan,oinarriarekikoplanoperpendikularrak.

Trapeziobat→a)kasuan,bioinarriakebakitzendituztenplanoak.

Zirkunferentziabat→a)kasuan,oinarriekikoplanoparaleloak.

Elipsebat→a)kasuan,oinarriakebakikoezdituztenplanoinklinatuak.

Pentagonobat→b)kasuan,erpinbatetikirtenetaaurkakoaurpegiaebakitzenduenplanoa.

Hexagonobat→b)kasuan,bioinarriakebakitzendituenplanoinkli-natua.

20 a) laukizuzena: luzera → 16 cm; zabalera → 10 cm

elipseren ardatzak: nagusia → 18,87 cm; txikia → 10 cm

b)Laukizuzenhorilortzeko,zilindroaoinarriarekikoplanoperpendiku-larbatetikebakibeharda,oinarriarenzentrotik3cm-ra.

Elipsehorilortzeko,zilindroaoinarrikozirkunferentziarenpuntuba-tetiketaaurkakosortzailean7,5cm-koaltuerandagoenpuntuba-tetikigarotzendenplanoinklinatubatetikebakibeharda.

165

234 235


Gorputz geometrikoen azalerak

8. Kalkulatu gorputz geometriko bakoi-tzaren azalera:

10 cm

20 cm15 cm

5 cm2 m 7 mm

10 m

m 3 mm

2 dm 4 cm

6 cm

5 dm

6 m

2 m

12 cm

4 cm

3 cm

5 km

11 m

60 m

8 m

3 cm

2,1

cm

10 dm

3 dm

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

j) k) l)

16 m

9. Kalkulatu zenbat den 13 cm-ko aldeko ertzak eta 10 cm-ko oinarriko ertzak dituen piramide hexago-nal erregularraren azalera totala.

10. Prisma zuzen bat 15 cm altu da, eta haren oinarriak 16 cm eta 12 cm-ko diagonalak dituzten erronboak dira. Kalkulatu prisma horren azalera totala.

11. Piramide erregular baten oinarria 6 m-ko aldea duen karratua da. Altuera 4 dm da. Kalkulatu azalera totala.

12. Piramide erregular baten enborraren oinarriak 10 cm-ko eta 20 cm-ko aldeko karratuak dira, hurre-nez hurren. Aldeko ertzak 13 cm-koak dira. Kalkula-tu azalera totala.

13. Prisma hexagonal erregular baten aldeko ertza 4 cm-koa da eta oinarriaren ertzak, 2 cm-koak. Kalku-latu prisma horren azalera totala.

14. Piramide erregular baten oinarria 2,5 m-ko alde-ko pentagono erregularra da. Piramidearen apotema 4,2 m-koa da. Zenbat da aldeko azalera?

15. Kalkulatu gorputz hauen azalera totala:

4,5 cm 16 cm

17 cm

a) b)

6 cm

2 cm

16. Ortoedro baten dimentsioak 3 cm, 4 cm eta 12 cm dira. Kalkulatu ortoedro horren azalera totala eta diagonalaren luzera.

17. Kalkulatu 10 dm-ko diametroa duen esferaren barruko 2 dm-ko altuerako txapel esferikoaren eta 4 dm-ko altuerako zona esferikoaren azalerak.

18. Kubo baten azalera totala 150 dm2 da. Kalkulatu haren diagonala.

Gorputz geometrikoen sekzioak19. Karratua, laukizuzena, trapezioa, zirkunferentzia,

elipsea, pentagonoa eta hexagonoa lortzeko, planoak ebakidurak egin behar ditu honako gorputz hauetan. Bilatu eta marraztu ebakidurak.a) b)

20. Erreparatu honako zilindro honi eta ber-tan lor daitezkeen sekzioei. Lehenengoa laukizuzenik handiena da eta bigarrena, elipserik handiena.

10 cm

16 cm

a) Kalkulatu laukizuzenaren eta elipsearen dimen tsioak.b) Nondik ebaki beharko litzateke zilindroa altuera

oinarriarena bi halako izango duen laukizuzena lortzeko? Eta ardatz nagusia eta txikia, hurrenez hurren, 12,5 cm eta 10 cm-koak izango dituen elipsea lortzeko?

Ikasi problemak ebazten

Angurriaren zer zati geratzen da? Zer forma geometrikoren antza du? Zer eskatzen digute?

Ondo dago. Zer irudiri buruzari gara? Irudihorren zerdatudituzu?

Zergatik ez dituzu datuak marrazten sandia osoaren barruan?

Eta… ba al dago triangelu zuzenik?

Eta ezin al dezakezu kateto hori beste datuekin erlazionatu?Begiratu zenbat diren esferaren erradioa eta txapelaren altuera…

Baduzu! Ebatzi ekuazioa eta amaitu.

— Txapel esferikoa da.— Badakit zenbat den oinarriaren erradioa, r = 12 cm, eta altuera, h = 8 cm,

eta esferaren erradioa, R, zenbat den eskatu didate.

— Konforme. Marraztu egingo ditut:

— Jakina! Triangelu zuzen bat dago eta koloreztatu egingo dut. Hipotenusa esferaren erradioa da, R; katetoetako bat 12 cm da eta beste katetoa… ez dakit.

R 2 = R 2 + 82 – 16R + 122 → 16R = 122 + 82 = 208 → R = 16208 = 13

Soluzioa: Angurriaren erradioa 13 cm da eta diametroa, 26 cm.

Angurri ederra genuen. Bi zatitan ebaki dugu, eskuinean ageri den eran. Zati handia jan dugu eta zati txikia geratzen zaigu.Angurriak zer diametro izango zuen galdetu digute. Baten batek ideiaren bat izan ezik, zail izango zaigu aurkitzea.Jakin al daiteke zenbat den angurriaren diametroa, sobera dagoen zati txikiaren neurriak izanik?Egiaztatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide egin behar duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

8 cm

24 c

m

12 cm8 cm

RR

12 cm8 cm

? RR

—Ondodago;egiada.Katetohoriesferarenerradioaken8cmda.Orain,Pitagorasenteoremaaplikadezaket.

→ R 2 = (R – 8)2 + 12212

R – 8R

Ebatzi problemak

21. Begoñak angurri bat bi zatitan ebaki du eta, senideen artean, zati handia jan dute. Zati txikia 14 cm-ko altuerako txapela da eta, horretan, 56 cm-ko diametroko zirkunferentzia ikusten dugu. Zer erradio zuen angurriak?

22. Markok 15 cm-ko erra-dioko angurria ebaki du. Jate-ko den zati gorriak 407 cm2-ko azalera du eta sekzioaren % 90 da. Zer altueratan ebaki da an-gurria?

15 cm

OHARRAK

OHARRAK

Ikasi problema ebazten Atalhonetan,adibidebatenjarraipenaeginez,ikasleeiproblemakebazte-koereduak,estrategiaketajarraibideakeskurajarrikodizkiegu.

• Enuntziatuabehinetaberrizirakurri,ondoulertuarte.

• Prozesuariburuzkogogoetaegin.Soluzioraheltzekodatuaketatartekourratsakerabaki.

• Prozesuadeskribatu.Eragiketabakoitzarenetahortiklortzendendatubakoitzarenesanahiaazaldu.

• Soluzioaadierazi.

Atalhonetakohelburuakahalikgehienustiatzeko,ikasleeiproblemabe-raiekbakarrikebaztekoeskadiezaiekeguhasieran,bakoitzakberebideabilatuz.Gero,taldehandian,jarraitutakoprozesuak,emandakoazalpenak,etab.konparatukoditugu.Azkenik,orrialdeanageridengarapenaaztertu-kodugu.


21 Angurriak35cm-koerradioazuen.

22 Angurriazentrotik9cm-raebakida.

166

236 237


«+» problemak

34. Marraztu koadernoan honako ertz hauek dituen piramide lauangeluar erregularraren enborraren gara-pena: oinarri handikoarenak, 4 cm-koak dira; txikia-renak, 2 cm-koak eta aldeetakoak, 5 cm-koak.Kalkulatu horren azalera totala. (Aldeko aurpegiak trapezioak dira. Egiaztatu horien altuera 4,9 cm-koa dela).

35. Kono baten aldeko garapena 12 cm-ko erradioko zirkuluerdia da.Kalkulatu oinarriaren erradioa eta konoaren altuera.

36. a) Egiaztatu honako triangelu zuzen honen altuera 4,8 cm dela.

6 cm8 cm

10 cm

b) Kalkulatu zenbat den triangelu horrek bere aldee-tako bakoitzaren inguruan biratuz sortu dituen irudien azalera totala.

I II

6

6

68

8

8

III

37. Plano batek 10 cm-ko al-dea eta 12 cm-ko altuera dituen oinarri karratuko piramide erregularra altueraren erditik ebaki du. Kalkulatu sortu den piramide-enborraren azalera to-tala. 10 cm

12 c

m

6 cm

38. Piramide erregular baten oinarria 10 cm-ko alde-ko hexagonoa da. Altuera 24 cm-koa da.Oinarritik18cm-kodistantziarapasatzendenplano-tik ebaki du. Kalkulatu lortu den piramide-enborra-ren azalera totala.

39. Kalkulatu zenbat den ortoedro erregular baten azalera totala, jakinik ondoz ondokoak ez diren bi erpinen arteko distantzia 20 cm-koa dela.

40. 15.5 cm altu den edontzia freskagarri batez bete da erdiraino. Inklinatzean, likidoa ertzeraino gera-tzen da. Freskagarriaren gainazala ardatz nagusia ardatz txikia halako lau duen elipsea izanez gero, zenbat freskagarri dago edontzian?

41. Erdiraino bete den probeta zilin-drikoak probetaren altuera hiru zati berdinetan banatzen duten bi marka ditu. Likidoak marketako bat ukitzeko moduan inklinatuz gero, aurkako alde-tik beste marka ukituko du. Likidoaren gainazala ardatz nagusia 10 cm-koa eta ardatz txikia 8 cm-koa dituen elipsea baldin bada, zer altuera du probetak? Zenbat likido du?

Hausnartu teoriari buruz

42. a) Gauza erraza da kuboan, tetraedroan eta oktaedroan zenbat ertz eta zenbat erpin dauden jakitea. Zenbatu?Dodekaedroak zenbat ertz dituen jakiteko, honela jokatuko dugu:• Aurpegi bakoitzak 5 ertz ditu eta 12 aurpegi daude:

5 · 12 = 60.• Baina bi aurpegik ertz komun bat dute; ondorioz,

ertzen kopurua 60 : 2 = 30 da.Zenbat erpin dauden jakiteko, antzean jokatuko dugu:• Aurpegi bakoitzak 5 erpin ditu: 5 · 12 = 60.• Baina hiru aurpegik erpin komun bat dute; ondo-

rioz, erpinen kopurua 60 : 3 = 20 da.b) Kalkulatu zenbat ertz eta zenbat erpin dituen

ikosaedro erregularrak.c)Osatukoadernoanhonakotaulahau:

aurpegiak ertzak erpinak

tetraedroa 4kuboa 6

oktaedroa 8dodekaedroa 12ikosaedroa 20

Egiaztatu bost poliedro erregularretan honako er-lazio hau betetzen dela:

aurpegiak + erpinak – ertzak = 2

23. 0,6 m × 0,5 m × 0,4 m dimentsioko kutxa meta-lezko txapaz forratu nahi da.a) Zer kostu izango du lan horrek, txaparen prezioa

18 €/m2 baldin bada?b) Ertzak 23 €/m-ko zurezko edergarriz estali nahi

izanez gero, zenbat ordaindu beharko dugu?

24. Poliedro erregular guztien eskeletoa alanbrez eraiki nahi ditugu, ertzetako bakoitza 1 dm-ekoa iza-teko moduan. Zenbat alanbre erabili beharko da ho-rietako bakoitzean?

25. Anibalek 4 cm-ko ertzeko kuboa 5 €/cm2-ko urrezko xaflaz forratu nahi du. Zenbat ordaindu beharko du?Azkenez, kubo hori ebakitzea erabaki du bi papergai-neko berdin egiteko; baina ez daki nola egin, forra-tzekoorduanahaliketamerkeenateradakion:I.iru-diakadieraztenduenbezalaalaII.akadieraztendueneran. Lagunduko al diozu?

I II

26. 12 m-ko sakonerako eta 1,6 m-ko diametroko putzuaren hormak zementuz zarpiatu dituzte. Lana-ren prezioa 40 € da metro karratuko. Zenbat kostatu da lana?

27. Pintore batek 1 000 € jaso ditu ezkerreko estal-kirik gabeko depositua iragazteagatik. Zenbat jaso beharko du estalkirik ez duen eskuinekoa iragazgaiz-teko?

4 m2 m 1 m

2 m

28. Burdin hesi bat 2,5 m-ko altuerako eta 1,5 cm-ko diametroko 20 barraz dago eginda. Minioa eman be-har zaie barrahoriei eta prezioa 24 €/m2 da. Zenbat kostatuko da lana?

29. Ortoedroarenformaduenkaxabat9dmluzeeta6 dm zabal da. Azalera totala 228 dm2 da. Kalkulatu zenbat diren altuera eta diagonala.

30. Mirenek 16 cm-ko diametroko bola-gazta eba-ki du 6,4 cm-ko erradioko zirkunferentzia lortzeko moduan. Zer altuera dute bi gazta zatiek ebakiduran jartzen baldin badira? Zergatik?

31. Ariketa ebatzia

Ura botako dugu 6 cm-ko diametroa duen edon-tziaren erdiraino. Gero, inklinatu egingo dugu ura ertzera iritsi arte.

6 cm

12 cm

Luzeran zabaleran baino bi bider handiagoa den elipsea eratu da, ondorioz. Zenbat ur dago edontzian?Ura ertzera iristen denean, beste aldean urak edon-tziaren hondoaren goi-partea ukitzen du, erdi bete-rik baitago.

alt12 cm

6 cm12 cm

6 cm

Edontziaren altuera: alt = 12 6–2 2 = 10,4 cmEdontziaren bolumena: V = π · 32 · 10,4 ≈ 294 cm3

Gutxi gorabehera, 147 cm3 ur dago.

32. Diametroa 4 cm-koa duen edontzia urez bete da erdiraino. Ertzera iritsi arte inklinatu dugu eta luze-ran zabaleran baino hiru bider handiagoa den elipsea eratu da. Zenbat ur dago edontzian?

33. Adierazi nondik ebaki behar duen planoak eskuineko prisma honako hau lortzeko:a) Karratua.b) Ahalik eta altuerarik handieneko triangelua.c) Ahalik eta azalerarik handieneko laukizuzena.d) Pentagono erregularra eta irregularra.e) Ahalik eta azalerarik handieneko trapezioa.

OHARRAK


23 a)26,64€-kokostuaizangodu.

b)138€ordaindubeharkodugu.

24

25 Kuboaforratzea480€kostatukozaio.

I Erdibakoitzarenazalerahauda:48+4·4=70,63cm2.

II Erdibakoitzarenazalerahauda:48+42=64cm2.aukerakgainazaltxikiagoadu.Beraz,aukeramerkeenahoriizangoda.

26 Lana2411,52€kostatuda,gutxigorabehera.

27 750€jasobeharkoditu.

28 56,52€kostatukodalana.

29 h=4dm;d=11,53dm

30 Zatihandiak12,8cm-koaltueraizangodu,etazatitxikiak,3,2cm-koa.

16 cm8 cm

6,48 – x

x

31 Ariketahauikaslearenliburuanebatzitadago.

tetraedroa kuboa oktaedroa dodekaedroa ikosaedroa

ertz-kopurua 6 12 12 30 30

luzera osoa 6dm 12dm 12dm 30dm 30dm

32 71cm3urdaude,gutxigorabehera.

33 a) b)

c) d)Pentagonoerregularra:oina-rriekikoplanoparaleloa.

Pentagono irregularra: oina-rriekikoparaleloadenetaal-bokobostaurpegiakebakitzendituenplanoinklinatua.

e)

167

236 237


«+» problemak

34. Marraztu koadernoan honako ertz hauek dituen piramide lauangeluar erregularraren enborraren gara-pena: oinarri handikoarenak, 4 cm-koak dira; txikia-renak, 2 cm-koak eta aldeetakoak, 5 cm-koak.Kalkulatu horren azalera totala. (Aldeko aurpegiak trapezioak dira. Egiaztatu horien altuera 4,9 cm-koa dela).

35. Kono baten aldeko garapena 12 cm-ko erradioko zirkuluerdia da.Kalkulatu oinarriaren erradioa eta konoaren altuera.

36. a) Egiaztatu honako triangelu zuzen honen altuera 4,8 cm dela.

6 cm8 cm

10 cm

b) Kalkulatu zenbat den triangelu horrek bere aldee-tako bakoitzaren inguruan biratuz sortu dituen irudien azalera totala.

I II

6

6

68

8

8

III

37. Plano batek 10 cm-ko al-dea eta 12 cm-ko altuera dituen oinarri karratuko piramide erregularra altueraren erditik ebaki du. Kalkulatu sortu den piramide-enborraren azalera to-tala. 10 cm

12 c

m

6 cm

38. Piramide erregular baten oinarria 10 cm-ko alde-ko hexagonoa da. Altuera 24 cm-koa da.Oinarritik18cm-kodistantziarapasatzendenplano-tik ebaki du. Kalkulatu lortu den piramide-enborra-ren azalera totala.

39. Kalkulatu zenbat den ortoedro erregular baten azalera totala, jakinik ondoz ondokoak ez diren bi erpinen arteko distantzia 20 cm-koa dela.

40. 15.5 cm altu den edontzia freskagarri batez bete da erdiraino. Inklinatzean, likidoa ertzeraino gera-tzen da. Freskagarriaren gainazala ardatz nagusia ardatz txikia halako lau duen elipsea izanez gero, zenbat freskagarri dago edontzian?

41. Erdiraino bete den probeta zilin-drikoak probetaren altuera hiru zati berdinetan banatzen duten bi marka ditu. Likidoak marketako bat ukitzeko moduan inklinatuz gero, aurkako alde-tik beste marka ukituko du. Likidoaren gainazala ardatz nagusia 10 cm-koa eta ardatz txikia 8 cm-koa dituen elipsea baldin bada, zer altuera du probetak? Zenbat likido du?

Hausnartu teoriari buruz

42. a) Gauza erraza da kuboan, tetraedroan eta oktaedroan zenbat ertz eta zenbat erpin dauden jakitea. Zenbatu?Dodekaedroak zenbat ertz dituen jakiteko, honela jokatuko dugu:• Aurpegi bakoitzak 5 ertz ditu eta 12 aurpegi daude:

5 · 12 = 60.• Baina bi aurpegik ertz komun bat dute; ondorioz,

ertzen kopurua 60 : 2 = 30 da.Zenbat erpin dauden jakiteko, antzean jokatuko dugu:• Aurpegi bakoitzak 5 erpin ditu: 5 · 12 = 60.• Baina hiru aurpegik erpin komun bat dute; ondo-

rioz, erpinen kopurua 60 : 3 = 20 da.b) Kalkulatu zenbat ertz eta zenbat erpin dituen

ikosaedro erregularrak.c)Osatukoadernoanhonakotaulahau:

aurpegiak ertzak erpinak

tetraedroa 4kuboa 6

oktaedroa 8dodekaedroa 12ikosaedroa 20

Egiaztatu bost poliedro erregularretan honako er-lazio hau betetzen dela:

aurpegiak + erpinak – ertzak = 2

23. 0,6 m × 0,5 m × 0,4 m dimentsioko kutxa meta-lezko txapaz forratu nahi da.a) Zer kostu izango du lan horrek, txaparen prezioa

18 €/m2 baldin bada?b) Ertzak 23 €/m-ko zurezko edergarriz estali nahi

izanez gero, zenbat ordaindu beharko dugu?

24. Poliedro erregular guztien eskeletoa alanbrez eraiki nahi ditugu, ertzetako bakoitza 1 dm-ekoa iza-teko moduan. Zenbat alanbre erabili beharko da ho-rietako bakoitzean?

25. Anibalek 4 cm-ko ertzeko kuboa 5 €/cm2-ko urrezko xaflaz forratu nahi du. Zenbat ordaindu beharko du?Azkenez, kubo hori ebakitzea erabaki du bi papergai-neko berdin egiteko; baina ez daki nola egin, forra-tzekoorduanahaliketamerkeenateradakion:I.iru-diakadieraztenduenbezalaalaII.akadieraztendueneran. Lagunduko al diozu?

I II

26. 12 m-ko sakonerako eta 1,6 m-ko diametroko putzuaren hormak zementuz zarpiatu dituzte. Lana-ren prezioa 40 € da metro karratuko. Zenbat kostatu da lana?

27. Pintore batek 1 000 € jaso ditu ezkerreko estal-kirik gabeko depositua iragazteagatik. Zenbat jaso beharko du estalkirik ez duen eskuinekoa iragazgaiz-teko?

4 m2 m 1 m

2 m

28. Burdin hesi bat 2,5 m-ko altuerako eta 1,5 cm-ko diametroko 20 barraz dago eginda. Minioa eman be-har zaie barrahoriei eta prezioa 24 €/m2 da. Zenbat kostatuko da lana?

29. Ortoedroarenformaduenkaxabat9dmluzeeta6 dm zabal da. Azalera totala 228 dm2 da. Kalkulatu zenbat diren altuera eta diagonala.

30. Mirenek 16 cm-ko diametroko bola-gazta eba-ki du 6,4 cm-ko erradioko zirkunferentzia lortzeko moduan. Zer altuera dute bi gazta zatiek ebakiduran jartzen baldin badira? Zergatik?

31. Ariketa ebatzia

Ura botako dugu 6 cm-ko diametroa duen edon-tziaren erdiraino. Gero, inklinatu egingo dugu ura ertzera iritsi arte.

6 cm

12 cm

Luzeran zabaleran baino bi bider handiagoa den elipsea eratu da, ondorioz. Zenbat ur dago edontzian?Ura ertzera iristen denean, beste aldean urak edon-tziaren hondoaren goi-partea ukitzen du, erdi bete-rik baitago.

alt12 cm

6 cm12 cm

6 cm

Edontziaren altuera: alt = 12 6–2 2 = 10,4 cmEdontziaren bolumena: V = π · 32 · 10,4 ≈ 294 cm3

Gutxi gorabehera, 147 cm3 ur dago.

32. Diametroa 4 cm-koa duen edontzia urez bete da erdiraino. Ertzera iritsi arte inklinatu dugu eta luze-ran zabaleran baino hiru bider handiagoa den elipsea eratu da. Zenbat ur dago edontzian?

33. Adierazi nondik ebaki behar duen planoak eskuineko prisma honako hau lortzeko:a) Karratua.b) Ahalik eta altuerarik handieneko triangelua.c) Ahalik eta azalerarik handieneko laukizuzena.d) Pentagono erregularra eta irregularra.e) Ahalik eta azalerarik handieneko trapezioa.

OHARRAK


34 A TOTAL=78,8cm2

35 r =6cm;h=10,39cm

36 a)2

8 62

10 ·h ·= →h=4,8cm

b) I π·6·10+π·62=301,44

II π·8·10+π·82=452,16

III π·4,8·8+π·4,8·6=211

37 Atotal=320cm2

38 Atotal=993,413cm2

39 Atotal=692,86cm2

40 97,35cm3freskagarridaude,gutxigorabehera.

41 Probetak18cm-koaltueradu.

452,2cm3likidodagoprobetan,gutxigorabehera.

42 b)Ikosaedroerregularrak30ertzeta12erpinditu.

c) aurpegiak ertzak erpinak

tetraedroa 4 6 4

kuboa 6 12 8

oktaedroa 8 12 6

dodekaedroa 12 30 20

ikosaedroa 20 30 12

Aur+Erp=Ert+2

168

238 239238 239

Taller de matemáticas

Irakurri eta egin gogoetaPlaton eta AkademiaPlatonen jatorrizko izena Aristokles izan zen, baina txikia eta bizkar-zabala zenez, Platon ezizena ipini zioten ikaskideek; hitz horrek, grezieraz, «zabal, lau» esan nahi du; gaztelaniazko plato eta euskarazko platerhitzekerroberadute.Itxuraz,ezizena gustuko izan eta betiko gorde zuen.Platonek Akademia izeneko ikastetxea sortu zuen Atenasen aldirietan Akademo izeneko eragin handiko pertsonaiarena zen tokian; akademia hitza, beraz, pertso-naia horren izenetik dator. Platonen Akademiak ia mila urteko iraupena izan zuen.

Kopa distantziakideakLagunekin edo etxekoekin zaudenean, honako mahai-jolas hau proposa diezaiekezu:Honako hauek bezalako lau kopa dituzu:

Galdera honako hau da: nola jarriko ditugu kopa horiek oinak haien artean distantzia berera egon daitezen? Soluzioa honako hau da:

•Kopen oinak puntuak balira bezala bilduz gero, zer po-liedro ezagun eratzen dute?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz •Zenbat kubok osatzen dute honako irudi hau? Zenbat

ez dituzu ikusten?•1 cm-eko ertzeko 60 kuborekin, oinarri angeluzuze-

neko prisma zuzena eraiki da. Zenbat da prismaren altuera, jakinik oinarriaren perimetroa 14 cm-koa dela?

Hainbat soluzio daude.

Matematika-lantegia

1. Idatzihonakogorputzgeometrikohauenizenak:

a) b) c)

d) e) f )

2.Adierazi aurreko ariketako zer gorputz geometrikori dagokion honako garapen hauetako bakoitza:

a) b) c)

Marraztu koadernoan 1. ariketako d) ataleko polie-droaren garapena.

3.Marraztu 1. ariketako biraketa-gorputzetako bakoi-tza sortzen duen irudi laua, baita zer ardatzen ingu-ruan biratzen den ere.

4.Kalkulatu poliedro bakoitzaren azalera:

10 cm

12 c

m

5 cm

12 cm

5 cm

5 cm5 cm

a) b) c)

5.Kalkulatu honako biraketa-gorputz hauen azalerak:

12 cm

8 cm

12 cm

10 cm

5 cm

15 cm

17 cm

a) b) c)

6.Kopiatu koadernoan honako kono-enbor hau eta marraztu, honako irudi lau hauetako bakoitza lortzeko, kono-enbor hori ebaki behar duten planoak.

A C DB

7. Adierazi zer ebakidura lau egin behar dizkiogun eskuineko poliedroari ho-nako poligono hauek lortzeko:a) Triangelua. b) Karra-

tua.c) Laukizuzena. d) Trapezioa.e) Erronboa. f ) Pentagonoa.

8.Estherrek 61 mm-ko diametroko 15 bola zuri pin-tatu nahi ditu billarrean aritzeko. 7 bola lau (guztiz pintatuta), beltz bat eta 7 marradun daude, eta iru-dian ageri den eran pintatuko ditu.

36 mm

61 mm

Pinturaren prezioa 100 €/m2 da. Zenbat kostatuko zaio bola guztiak pintatzea?

Saiatu eta gozatuTetraedrozko eskumuturrekoaEskuineko eraikuntza geometrikoa harrigarri egingo zaizu itxaroten ez duzun mugikor-tasuna erakusten duelako. Ez duzu sinetsiko bere buruaren inguruan biratuko denik zeuk eraiki ezik.Horretarako, marraztu kartoi mehe gogorrean honako irudi hau handiagotuta:

Irudianageridireneranantolatutadauden40triangelualdekidedira.Ondogainjar-tzeko, ebaki irudia irtenguneak utziz.

Eskailera kiribilaNola neurtuko dugu eskailera kiribilaren luzera?Imajina ezazu eskailera inguratzen duen zilindroa etazilindro hori irudian ageri den eran garatzen dugula.Horrela errazago da, ezta? Zirkunferentziaren luzera

Altu

era

eta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

OHARRAK

Irakurri eta egin gogoeta

Platon eta Akademia

IrakurgaiinteresgarrihonekAristoklesigauregunPlatonzergatikesatendioguneta«akademia»hitzarenjatorriazeindenazaltzendu.

Kopa distantziakideak

Asmakizundibertigarriaproposatzenda.Mahai-jokohonetan,neska-muti-lekkopenoinarriaktetraedroerregularbatenerpinakizangobalirabezalakokatubehardituzte,distantziabereragelditudaitezen.

Soluzioak

• Koparenoinarriektetraedrobateratzendute.

Saiatu eta gozatu

Tetraedrozko eskumuturrekoa

Ariketainteresgarribatorrialdehaufotokopiatuetakartoi-mehebatengaineanhandiagotzeaizandaiteke,ondorentetraedrozkoeskumuturre-koaegiteko.

Eskailera kiribila

Harrigarriadaneska-mutilekikasturtehonetaneskuradituztentresnakera-bilizebazteaezinezkoadirudienproblemazeinerrazaskadaitekeen.

Soluzioak

l = π( )r2 h2 2+

169

238 239238 239

Taller de matemáticas

Irakurri eta egin gogoetaPlaton eta AkademiaPlatonen jatorrizko izena Aristokles izan zen, baina txikia eta bizkar-zabala zenez, Platon ezizena ipini zioten ikaskideek; hitz horrek, grezieraz, «zabal, lau» esan nahi du; gaztelaniazko plato eta euskarazko platerhitzekerroberadute.Itxuraz,ezizena gustuko izan eta betiko gorde zuen.Platonek Akademia izeneko ikastetxea sortu zuen Atenasen aldirietan Akademo izeneko eragin handiko pertsonaiarena zen tokian; akademia hitza, beraz, pertso-naia horren izenetik dator. Platonen Akademiak ia mila urteko iraupena izan zuen.

Kopa distantziakideakLagunekin edo etxekoekin zaudenean, honako mahai-jolas hau proposa diezaiekezu:Honako hauek bezalako lau kopa dituzu:

Galdera honako hau da: nola jarriko ditugu kopa horiek oinak haien artean distantzia berera egon daitezen? Soluzioa honako hau da:

•Kopen oinak puntuak balira bezala bilduz gero, zer po-liedro ezagun eratzen dute?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz •Zenbat kubok osatzen dute honako irudi hau? Zenbat

ez dituzu ikusten?•1 cm-eko ertzeko 60 kuborekin, oinarri angeluzuze-

neko prisma zuzena eraiki da. Zenbat da prismaren altuera, jakinik oinarriaren perimetroa 14 cm-koa dela?

Hainbat soluzio daude.

Matematika-lantegia

1. Idatzihonakogorputzgeometrikohauenizenak:

a) b) c)

d) e) f )

2.Adierazi aurreko ariketako zer gorputz geometrikori dagokion honako garapen hauetako bakoitza:

a) b) c)

Marraztu koadernoan 1. ariketako d) ataleko polie-droaren garapena.

3.Marraztu 1. ariketako biraketa-gorputzetako bakoi-tza sortzen duen irudi laua, baita zer ardatzen ingu-ruan biratzen den ere.

4.Kalkulatu poliedro bakoitzaren azalera:

10 cm

12 c

m

5 cm

12 cm

5 cm

5 cm5 cm

a) b) c)

5.Kalkulatu honako biraketa-gorputz hauen azalerak:

12 cm

8 cm

12 cm

10 cm

5 cm

15 cm

17 cm

a) b) c)

6.Kopiatu koadernoan honako kono-enbor hau eta marraztu, honako irudi lau hauetako bakoitza lortzeko, kono-enbor hori ebaki behar duten planoak.

A C DB

7. Adierazi zer ebakidura lau egin behar dizkiogun eskuineko poliedroari ho-nako poligono hauek lortzeko:a) Triangelua. b) Karra-

tua.c) Laukizuzena. d) Trapezioa.e) Erronboa. f ) Pentagonoa.

8.Estherrek 61 mm-ko diametroko 15 bola zuri pin-tatu nahi ditu billarrean aritzeko. 7 bola lau (guztiz pintatuta), beltz bat eta 7 marradun daude, eta iru-dian ageri den eran pintatuko ditu.

36 mm

61 mm

Pinturaren prezioa 100 €/m2 da. Zenbat kostatuko zaio bola guztiak pintatzea?

Saiatu eta gozatuTetraedrozko eskumuturrekoaEskuineko eraikuntza geometrikoa harrigarri egingo zaizu itxaroten ez duzun mugikor-tasuna erakusten duelako. Ez duzu sinetsiko bere buruaren inguruan biratuko denik zeuk eraiki ezik.Horretarako, marraztu kartoi mehe gogorrean honako irudi hau handiagotuta:

Irudianageridireneranantolatutadauden40triangelualdekidedira.Ondogainjar-tzeko, ebaki irudia irtenguneak utziz.

Eskailera kiribilaNola neurtuko dugu eskailera kiribilaren luzera?Imajina ezazu eskailera inguratzen duen zilindroa etazilindro hori irudian ageri den eran garatzen dugula.Horrela errazago da, ezta? Zirkunferentziaren luzera

Altu

era

eta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

OHARRAK

Trebatu problemak ebatziz Atalhonetan,formulazioteorikoetatiketaedukienprogramatikkanpodaudenzenbaitproblemaetaerronkaematendira.Helburuadalogikamatematikoariburuzkoproblemakebaztekonorkbereestrategiaklanduetagaratzea.Beraz,ikasleekmatematikaarloanikasitakoezagutzakerabi-likodituzte,bainabaitasaiakuntza,haztamukajotzea,saio-errorebidezkoaurkikuntzaedosoluzioalortzenlagundukodietenbesteedozeinbideere.Horrezgain,programatikkanpokoesparruhonetan,ariketaetaegoe-raarineta jostagarrihauenbidez,arrazoitzeazgozatzekomoduaetaerronkakgaindituetagogobetetzekoaukeraemannahizaie.

Soluzioak

• Irudihori30kubokosatzenduteeta14ezdiraikusten.

• Altuera5cm,6cmedo10cm-koada.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)Ortoedroa b)Poliedrosailkatuezina

c)Konoa d)Piramidehexagonala

e)Zilindroa f)Kono-enborra

2 a)Garapenhaue)atalekozilindroaridagokio.

b)Garapenhaub)atalekoirudiaridagokio.

c)Garapenhaua)atalekoortoedroaridagokio.

3 c) e) f )

4 a)Atotal=360cm2

b)Atotal=490cm2

c)Atotal=110,35cm2

5 a)Atotal=401,92cm2

b)Atotal=1004,8cm2

c)Atotal=628cm2

6 A:oinarriekikoparaleloadenetaoinarritxikitikgertudagoenplanoa.

B:oinarriakebakitzenezditueninklinatua.

C:oinarriekikoparaleloadenetaoinarrinagusitikgertudagoenplanoa.

D:oinarriekikoperpendikularradenplanoa.

7 a)Erpinbatetikigarotzendenetaaurkakooinarriadiagonalabainolehenebakitzenduenplanoa.

b)Oinarriarekikoperpendikularraizanda,oinarriakprismarenaltueraadinakoluzeraduenzuzenkibatetikebakitzendituenplanoa.

c)Oinarrietakoedozeinekikoperpendikularradenplanoa.

d)Bioinarriakebakitzendituenplanoinklinatua.

e)Oinarriekin45gradueratzendituztenbierpinaurkakotikigarotzendenplanoa.

f)Erpinbatetikigarotzendenetaaurkakooinarriadiagonalarenos-teanebakitzenduenplanoa.

8 Bolaguztiapintatzea14,17€kostatukozaio.

Unitatearen aurkezpena · Unitatearen eskema GORPUTZ GEOMETRIKOAK 11 Gorputz geometrikoak hauek...

Documents

Transcript of Unitatearen aurkezpena · Unitatearen eskema GORPUTZ GEOMETRIKOAK 11 Gorputz geometrikoak hauek...