Estadstica II

4. Introduccin a los Diseos Factoriales.Los diseos factoriales se emplean con frecuencia en experimentos en los que intervienen varios factores y donde es necesario estudiar el efecto conjunto de stos sobre la respuesta. En general, los diseos factoriales producen experimentos ms eficientes ya que cada observacin proporciona informacin sobre todos los factores, y es posible ver las respuestas de un factor en diferentes niveles de otro factor en el mismo experimento. Por tanto se entiende por diseo factorial a aquel diseo en el cual se pueden estudiar los efectos de dos o ms factores de variacin a la vez; es decir, que se pueden investigar todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o rplica del experimento.

4.1. Conceptos bsicos en diseos factoriales.y Diseo Factorial. Es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, es decir, buscar estudiar la relacin entre los factores y la respuesta, y tiene la finalidad de conocer mejor como es esta relacin y que permita tomar acciones y decisiones que mejores el desempeo del proceso. Factor cualitativo. Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal que no pueden ser fracciones. Factor cuantitativo. Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier nivel de cierto intervalo. La escala es continua. Experimento factorial. Un diseo de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. Efecto principal y efecto de interaccin. El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular los efectos principales son los cambios en la medida de la variable de respuesta debidos a la accin individual de cada factor. Unidad experimental. Unidad a la cual se le aplica un solo tratamiento (que puede ser una combinacin de muchos factores) en una reproduccin del experimento. Variable de Respuesta. Es la caracterstica del producto cuyo calor interesa mejorar mediante el diseo de experimento. Factores controlables. Son variables de proceso que se pueden fijar en un punto o nivel de operacin. A los factores controlables tambin se les llama variables de entrada, condiciones de proceso, variables de sieo, parmetros del proceso o simplemente factores. Factores no controlables. Son variables que no se pueden controlar durante la operacin normal del proceso como la luz, temperatura, que se investigan en el experimento para observar cmo afectan o influyen en la variable de respuesta.

y y y

y

y y y

y

1

Estadstica IIError aleatorio. Es la variabilidad observada que no se puede explicar por los factores estudiados y resulta del pequeo efecto de los factores no estudiados y del error experimental. Aleatorizacin. Consiste en hacer corridas experimentales en orden aleatorio; este principio aumenta la posibilidad de que de la independencia del error se cumpla. Bloqueo. Es nulificar o tomar en cuenta en forma adecuada todos los factores que pueden afectar la respuesta observada. Diseo de bloques completos al azar. En este diseo se consideran tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el del error aleatorio, es decir, se tienen tres posibles culpables de variabilidad presente en los datos. Diseo de cuadrado latino. Diseo en el que se controlan dos factores de bloque y uno de tratamientos; los tres factores tienen la misma cantidad de niveles, los trabamientos se representan pro letras latinas y es distribuyen en forma adecuada en un cuadro. Diseo de cuadrado greco latino. Diseo en el que se controlan tres factores de bloques y un factor de tratamientos; los cuatro factores utilizan la misma cantidad de niveles. Factores. Las variables independientes relacionadas con una variable de respuesta y se denominan factores. Niveles. Es el grado de intensidad de un factor. Tratamiento. Es una combinacin especfica de niveles de los factores que intervienen en un experimento.

y

y y y

y

y y y y

2

Estadstica II

4.2. Diseos factoriales con dos factores.El tipo ms sencillo de experimento factorial, es aquel donde intervienen slo dos factores A y B por ejemplo. El factor A tiene a niveles, mientras que el factor B tiene b niveles. Las observaciones pueden escribirse con el modelo estadstico lineal: Donde: : Es la media general. : Es el efecto (positivo o negativo) debido al i-simo nivel del factor A. : Es el efecto (positivo o negativo) del j-simo nivel del factor B. : Representa al efecto de interaccin en la combinacin ij. : Es el error aleatorio que supone sigue una distribucin con media cero y varianza constante y son independientes entre si.

Tabla de anlisis de varianza para el modelo factorial con dos factores, efectos fijos.

Fuente de variacin Tratamientos A Tratamientos B Interaccin Error Total

Suma de cuadrados

Grados de libertad a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(n-1) abn-1

Media de cuadrados MSA= MSB= MSAB= MSE=

Fo

3

Estadstica IIEjemplo.

y

Se aplican pinturas tapaporos para aeronaves en superficies de aluminio, con dos mtodos: inmersin y rociado. La finalidad del tapaporos es mejorar la adhesin de la pintura, y puede aplicarse en algunas partes utilizando cualquier mtodo. El grupo de ingeniera de procesos responsable de esta operacin se encuentra interesado en saber si existen diferencias entre tres tapaporos diferentes en cuanto a sus propiedades de adhesin. Para investigar el efecto que tienen el tipo de pintura y el mtodo de aplicacin sobre la adhesin de la pintura. Se realiza un experimento factorial. Para ello se pintan tres especmenes con cada tapaporos utilizando cada mtodo de aplicacin, despus se aplica una capa final de pintura y a continuacin se mide la fuerza de adhesin. Los datos de este experimento aparecen en la tabla a continuacin. Los nmeros encerrados con crculos en las celdas son los totales Yij. de stas. Las sumas de cuadrados requeridas para efectuar el anlisis de varianza se calcula de la siguiente manera

Tipo de tapaporos 1 2 3 Y.j.

Inmersin 4.0, 4.5, 4.3 12.8 5.6, 4.9, 5.4 15.9 3.8, 3.7, 4.0 11.5 40.2

Rociado 5.4, 4.9, 5.6 15.9 5.8, 6.1, 6.3 18.2 5.5, 5.0, 5.0 15.5 49.6

Yi.. 28.7 34.1 27.0 89.8=Y

4

Estadstica II

MSA= MSB= MSAB= MSE=

Fuente de variacin Tratamientos A Tratamientos B Interaccin Error Total

Suma de Cuadrados 4.58 4.91 0.24 0.99 10.72

Grados de libertad 2 1 2 12 17

Media de cuadrados 2.29 4.91 0.12 0.08

Fo 28.63 61.38 1.50

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Estadstica II

4.3. Diseos factoriales con tres factores. Tabla de anlisis de varianza para el modelo de efectos fijos con tres factores.Fuente de Variacin A Grados de Libertad Media de Cuadrados Fo

Suma de Cuadrados

a-1

B C AB AC

b-1 c-1 (a-1)(b-1) (a-1)(c-1) (b-1)(c-1) (a-1)(b-1)(c1) abc(n-1) abcn-1

BC ABC Error Total

6

Estadstica IIEjemplo.

y

Un ingeniero mecanico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operacin de corte de metal. El inters recae en tres factores: la rapidez con la que se hace el corte (A), la profundida de ste (B), y el ngulo de la herramienta (C). A los tres factores se les asignan dos niveles, y se realizan dos rplicas del diseo factorial. Los datos aparecen en la siguiente tabla, enla cual los totales de las celdas triples ( aparecen enrreados en crculos.

Profundidad de corte (B) 0.025 pulgadas 0.040 pulgadas ngulo de la Herramienta ( C) ngulo de la Herramienta (C ) Rapidez de corte (A) 20 pulg./min 15 9 7 16 10 12 22 38 25 11 10 21 10 13 23 44 15 9 11 20 12 15 27 47 25 10 8 18 16 14 30 48 Yi

75

30 pulg./min Totales BxC Y.jk.

102 177=Y .

Totales AxB Yij.. B A 0.025 20 30 Y.j.. 37 45 82 0.040 38 57 95

Totales AxC Yi.k. C A 15 20 30 Y..k. 36 49 85 25 39 53 92

7

Estadstica II

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8

Estadstica II

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fuente de Variacin A B C AB AC BC ABC Error Total

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Media de Cuadrados

Fo

45.56 10.56 3.06 7.57 0.07 1.57 5.05 19.5 92.94

1 1 1 1 1 1 1 8 15

45.56 10.56 3.06 7.57 0.07 1.57 5.05 2.43

18.74 4.34 1.25 3.11 0.02 0.64 2.07

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Estadstica II

4.4. Diseo factorial general.Todos los Anlisis hechos para los Diseos de dos y tres Factores pueden extenderse al caso General en el que existen "a" niveles del Factor A, "b" niveles del Factor B, "c" niveles del Factor C, ., y as sucesivamente, ordenados en un Experimento Factorial. Por lo tanto, en general habr un total de abc n observaciones si existen n rplicas en el Experimento Completo. Una generalizacin del Modelo Lineal del Diseo Factorial General estara dado por:

Reglas para las Sumas de Cuadrados Regla 1. El trmino del error en el Modelo ij..m se representa por (ij..)m, donde m corresponde al subndice de la replicacin. Para el diseo de tres factores esta regla significa que ijkl se transforma en (ijk)l. Regla 2. El Modelo Lnea del Diseo contiene la media general () y el trmino del error (ij..)m, adems todos los efectos principales y cualquier interaccin que el experimentador suponga que existe. Si se dan todas las posibles interacciones entre los k factores habr (k2) interacciones de dos factores, (k3) interacciones de 3 factores, .,1 interaccin de k factores. En el caso que algn trmino de un factor aparece entre parntesis, entonces significa que no habr interaccin entre ese factor y los otros factores de dicho trmino.Regla 3. Los subndices de cada trmino del Modelo deben dividirse en tres partes: o o Activos: son aquellos que se hallan en el trmino y no estn entre parntesis. Pasivos: son los subndices que estn presentes en el Modelo pero que se encuentran entre parntesis. Ausentes: son aquellos subndices que estn presentes en el Modelo pero que no ocurren en ese trmino en particular.

o

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Estadstica II Reglas para las Sumas de CuadradosRegla 1. Cada uno de los efectos lleva asociado un componente de varianza (efecto aleatorio) o un factor fijo (efecto fijo). Si la interaccin contiene al menos un efecto aleatorio, la interaccin total se considera aleatoria. Los subndices de un componente de varianza se representan mediante las letras griegas que identifican el efecto aleatorio particular. Por lo tanto, en un modelo mixto en dos sentidos con el factor A es fijo y el factor B es aleatorio, el componente de varianza para el factor B es 2 , y el componente de varianza de la interaccin de AB es 2t . Un efecto fijo siempre se representa por la suma de los cuadrados de los componentes del modelo asociados con ese factor, dividida entre los grados de libertad correspondientes. En el caso que el factor A es fijo, el efecto del factor A es: .

Regla 2. Medias de cuadrados esperados. Para obtener los valores esperados de las medias de cuadrados debe prepararse la siguiente tabla. Existe un rengln por cada componente del modelo (media de cuadrado), y una columna para cada subndice. Sobre cada subndice debe escribirse el nmero de niveles del factor asociado con l, y si el factor es dijo (F) o aleatorio (A). Las rplicas siempre se consideran aleatorias. a) En cada rengln se escribe un 1 si uno de los subndices pasivos del componente del rengln es igual al subndice de la columna. b) Si alguno de los subndices del componente del rengln es igual al subndice de la columna, se escribe en ese rengln un 0 si el encabezado de la columna es un factor fijo y un 1 si es un factor aleatorio. c) En las restantes columnas de los renglones se escribe el nmero de niveles correspondientes al encabezado de esa columna. d) Para obtener el valor esperado de la media de cuadrados de cualquier componente del Modelo, primero se cubren todas las columnas encabezadas por los subndices activos de ese componente. A continuacin, en cada rengln que contenga al menos los mismos subndices que el componente considerado, se calcula el producto de los nmeros visibles y se multiplica por el factor fijo o aleatorio apropiado, obtenido mediante la Regla 1. La suma de estas cantidades corresponden al valor esperado de la media de cuadrados del componente del Modelo considerado. Estas reglas pueden ser aplicadas a los Modelos que se van estudiando, para obtener los valores esperados de un Modelo de Efectos Mixtos de tres Factores, considerando que el factor A es fijo, el factor B y factor C es aleatorio.

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Estadstica II

4.5. Modelos de efectos aleatorios.En este modelo se asume que las k muestras son muestras aleatorias dek situaciones distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado Yij se puede escribir como:

Donde m es la media global, eij son variables (una para cada muestra) distribuidas normalmente, con media 0 y varianza s2 (como en el modelo I) y Ai es una variable distribuida normalmente, independiente de las eij, con media 0 y varianza La diferencia con respecto al modelo I es que en lugar de los efectos fijos ai ahora se consideran efectos aleatorios Ai. Igual que en el modelo I se encuentra que MSE no se modifica en la H1 y que al valor esperado de MSA se le aade el trmino de componente aadida (que aqu es una verdadera varianza ya que Ai es una variable aleatoria):

Para llegar a este resultado se utiliza la asuncin de independencia entre Ai y eij y es, por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso.

4.6. Uso de un software estadstico.El uso de ordenadores y calculadoras facilita el que los alumnos comprendan mejor temas complejos de matemticas. Es evidente que en muchos casos la tecnologa agiliza y supera, la capacidad de clculo de la mente humana, con ayuda de la tecnologa, los alumnos tienen ms tiempo para concentrarse en enriquecer su aprendizaje matemtico. Las nuevas tecnologas han venido a cambiar por completo el panorama tradicional de como se hacan, se vean y se enseaban las matemticas. Introducirse en este nuevo panorama implica realizar profundos cambios en nuestros programas educativos. Es muy amplia la variedad de aplicaciones informticas disponibles para estadstica y probabilidad:y

Excel o Cal.

La hoja de clculo Excel o Calc (OpenOffice) es un software considerado como estndar en todos los entornos (educativo, profesional, familiar, etc), que posee la virtud de presentar una interfaz agradable, una facilidad de uso digna de elogio y permite realizar anlisis estadsticos simples o ms complejos y avanzados.

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Estadstica IIJavascript.

y

JavaScript, es un lenguaje de programacin de pginas web de lado del cliente, nos permite aadir a las pginas web efectos y funciones adicionales a los contemplados en el estndar HTML. Gracias a que se ejecuta en el navegador (localmente), JavaScript, nos permite responder de manera rpida y eficaz a las acciones del usuario, creando de esta manera aplicaciones interactivas.y

Applet de Java, Geogebra.

El lenguaje Java se puede usar para crear los applets de Java. Un applet es un elemento ms de una pgina web, como una imagen o una porcin de texto. Cuando el navegador carga la pgina web, el applet insertado en dicha pgina se carga y se ejecuta.y

Proyecto Descartes.

Descartes (M.E.C.) es un programa realizado en lenguaje applet de java que se caracterizan porque crean "escenas" que se pueden insertar en las pginas web. Descartes no slo convierte una web en una web interactiva sino que, adems, es configurable, es decir, que los usuarios (profesores) pueden "programarlo" para que aparezcan diferentes elementos y distintos tipos de interaccin.y

Software Libre.

"Software Libre" es un asunto de libertad, no de precio.`Software Libre'' se refiere a la libertad de los usuarios para ejecutar, copiar, distribuir, estudiar, cambiar y mejorar el software.

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