Unidad Vii - resistencia de materiales

7/25/2019 Unidad Vii - resistencia de materiales

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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 1 J. M. HERNANDEZ

UNIDAD 7. DEFLEXIONES7.1 Introduccin

Cuando una viga se somete a cargas transversales, es decir es sometida a flexin, las deformaciones

que acompaan a la flexin son tales que se producen desviaciones con respecto a la posicin

original de la viga descargada. A estas desviaciones se les llama deflexioneso flechas (figura 7.1)

y y

Sin carga Sin carga

x x

y Con carga y Con carga

v(x) F F v(x)

x x

a) Viga en voladizo b) Viga simplemente apoyada

Figura 7.1 Ejemplos de vigas y sus deflexiones

Para el clculo de las deflexiones se toma la desviacin de la lnea neutra. A la forma que toma la

lnea neutra deformada se le conoce como curva elstica y se expresa analticamente mediante la

funcin v(x).

Normalmente las deflexiones (o flechas) y las pendientes (o giros) de la curva elstica son pequeos.

En la figura 7.1 se indican las deformaciones producidas en forma exagerada para mayor claridad.

7.2 Relacin entre el momento flexionante y la curvatura.

En la Unidad 5 se dedujo la relacin que se produce el momento flexionante (causa) y la curvatura

de la viga (el efecto). Dicha relacin tambin se conoce en forma abreviada como relacin momento

curvatura.


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1

M

EI

z

z

(5.13)

o bien, prescindiendo de los subndices cuando no hay confusiones posibles

(7.1)

Es de hacer notar que la ecuacin (7.1) es vlida en el rango elstico-lineal del material. El producto

EIse conoce como rigidez a la flexin. Mdebe conocerse como funcindex, es decir M=M(x). Si

la viga es de seccin variable tambin la rigidez a la flexin vara con xya que en este casoI=I(x)

La curvatura de una curva plana puede expresarse como

1

1

2

2

23

2

d v

dx

dv

dx

(7.2)

Combinando la ecuacin (7.2) con la ecuacin (7.1) se obtiene

1

1

2

2

2

3

2

d v

dx

dv

dx

M x

EI

( ) (7.3)

As como est planteada la (7.3) no es muy adecuada para trabajarla matemticamente. En la

prctica es necesario trabajar con una ecuacin aproximada que se deduce a continuacin.

1

M

EI


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En la figura (7.2), por definicin, la

curvatura es

1

0

lim

s s

d

ds

En la prctica, en deformaciones de

vigas en el rango elstico, las

deflexiones v(x) y las pendientes (x)son pequeas, por lo tanto

tan 'dv

dxv y xs

De modo que

1

0

2

2

lim

( ) ( )

x

x x x

x

d

dx

d

dx

dv

dx

d v

dx

1 2

2

d v

dxv (7.4)

.

A este mismo resultado se llega si en la (7.2) se ponedv

dx 1

Combinando (7.4) con (7.1)

d v

dx

M

EI

2

2 (7.5)

Resolviendo la ecuacin diferencial de segundo orden (7.5) se puede encontrar v(x) y con ello la

forma de la curva elstica. Como es necesario resolver ecuaciones diferenciales, se requiere conocer

las condiciones de frontera, que generalmente se tendrn en los puntos de apoyo o puntos de

conexin de una viga con otra. En la figura (7.3) se indican las condiciones de frontera en algunos

casos tpicos.

y

(x+x) s

(x) v(x) v(x+x)

x

x x

Figura 7.2 Curvatura


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c) Dos vigas, articulacin d) Viga continua, apoyo fijo

Figuira 7.3 Condiciones de frontera para ecuacin de segundo orden

v= 0

v= 0v= 0 v= 0

(v)izq= (v)der

v= 0

(v)izq= (v)der

7.3 Relacin entre la carga distribuida y la curvatura

Se vio en la Unidad 5 que

dV

dxw x ( ) 0 (5.1)

ydM

dxV 0 (5.3)

de (5.3): VdM

dx y derivando:

dV

dx

d M

dx

2

2y combinando con (5.1), resulta

d M

dx w

2

2 0 (7.6)

o bien


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d M

dx

w x2

2 ( ) (7.7)

de la ecuacin (7.5), se tiene que M EId v

dx

2

2

derivando con respecto ax

VdM

dx

d

dxEI

d v

dx

2

2 (7.8)

derivando nuevamente con respecto ax

dVdx

d Mdx

ddx

EId vdx

2

2

2

2

2

2

y sustituyendo en (7.7)

(7.9)

Si la viga es prismtica y homognea, es decir EI= constante, entonces

(7.10)

observe que siEIes constante entonces la (7.8) se puede expresar:

V EId v

dx

3

3 (7.11)

La ecuacin (7.10) constituye la relacin buscada. Se puede hallar la curva elstica a partir de la

carga distribuida por integraciones sucesivas. Por supuesto que se necesita conocer las condiciones

de frontera en puntos especficos y que ahora son en mayor nmero puesto que la ecuacin

diferencial es dmayor orden

* Condiciones de frontera de tipo geomtrico: v, v conocidos

* Condiciones de frontera de tipo de fuerza:My Vconocidos.

d

dxEI

d v

dxw x

2

2

2

2

( )

EId v

dxw x

4

4 ( )


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Para el segundo caso, de (7.5) se tieneEIv=M, y siEIes constante, de (7.11) se tieneEIv = V.

De modo que

Mconocido v es conocido

Vconocido v es conocido

Condiciones de frontera tpicas necesarias para resolver (7.10)


c) Dos vigas, articulacin d) Viga continua, apoyo fijo

Figura 7.4 Condiciones de frontera para

ecuacin de cuarto orden

v= 0

v= 0

v= 0

v= 0

v= 0

v= 0v= 0

v= 0

(v) izq= (v)der(v )izq= 0

(v )der= 0

(v )izq= (v )der

(v) izq= 0

(v)der= 0

(v )izq= (v )der(v )izq= (v )der

7.4 Deformaciones de vigas

Existen en la actualidad gran diversidad de mtodos para calcular las deformaciones que se producen

en una viga cargada: mtodo de integracin, superposicin, Mtodos de energa, rea

momento, viga conjugada, tres momentos, etc. Todos estos mtodos se basan en la ecuacin

(7.5).

En todos los mtodos puede resolverse problemas con indeterminacin esttica, es decir, cuando las

ecuaciones de equilibrio no son suficientes para resolver todas las reacciones en los apoyos. El grado


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de indeterminacin D es igual a la diferencia entre el nmero de reacciones desconocidas NR y el

nmero de ecuaciones de equilibrioNEQ, as:

D=NRNEQ (7.12)

Al resolver problemas estticamente indeterminados se escogen D reacciones que se introducen

como incgnitas y se llaman reacciones redundantes, las cuales se pueden resolver cuando se aplican

las condiciones de frontera.

7.4.1 Mtodo de integracin

Como su nombre lo indica, este mtodo consiste en efectuar integraciones sucesivas. Esto puede

hacerse con la ecuacin de segundo orden (7.5) o la de cuarto orden (7.10). En ambos casos se

necesita conocer la funcinM(x) o w(x), as como las condiciones de frontera correspondientes.

En los casos en que haya discontinuidad en w(x), cargas y/o momentos concentrados o debido a los

apoyos o conexiones intermedias de vigas, no es posible la solucin mediante la integracin de una

sola ecuacin, sino que hay necesidad de resolver para los diferentes tramos la correspondiente

ecuacin diferencial, y luego aplicar condiciones de frontera en los puntos de unin o de

discontinuidad de la viga. De mas est decir que este mtodo se vuelve largo y tedioso, ya que hay

necesidad de evaluar un gran nmero de constantes de integracin (como se ver en el ejemplo 7.1).

Esta dificultad se puede minimizar si se hace uso de las funciones singulares (que se vieron en la

Unidad 5). Estas funciones pueden emplearse para escribirM(x) o w(x).

Este mtodo de integracin es especialmente til cuando se desea conocer la flecha en funcin de la

posicin: v(x).

Ejemplo 7.1

Para la viga que se indica en la

figura, hallar la expresin analtica

de la curva elstica, la flecha y la

pendiente en B, as como la flecha

mxima.

Solucin:

135 kN

20 kN/m

A C

B W12x65, acero

1.5 m 3.0 m


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Para plantear la ecuacin diferencial (7.5) es necesario conocerMcomo funcin dex. Debido a que

existe discontinuidad en la carga (punto B) ser necesario expresar Men dos tramos diferentes: AB

y BC.

Equilibrio de la viga completa:

90(4.5/2) + 135(3.0)4.5RA = 0

RA = 135 kN

4.5RC - 90(4.5/2) - 135(1.5) = 0

RC= 90 kN

Corte a-aentre A y B:

0


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Para encontrar la solucin se necesita resolver dos ecuaciones diferenciales

Tramo AB: 0


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1.5c11.5c3c4= 151.875 (3)

Resolviendo (1), (2) y (3) y recordando el valor de c2:

c1=244.7 c2 = 0 c3 =396.6 c4 = 75.98

Expresin analtica

EIv

x x x x

x x x x

135

6

10

12244 7 0 15

2025

2

10

12396 6 76 0 15 4 5

3 4

2 4

. , .

.. . , . .

m

m

Para calcular la flecha en B se evala en cualquiera de las expresiones anteriores

v(1.5) = (1/EI)[(135/6)(1.5)3(10/12)(1.5)

4244.7(1.5)] =295.3/EI B= 295.3/EI

Perfil W12x65: I= 533 pul4= 221.85x106m4, E= 200 GPa

EI= 44.4x103kNm2

La pendiente en B se calcula evaluando v(1.5)

v(1.5) = B= (1/EI)[ (135/2)(1.5)2(10/3)(1.5)3244.7] =104/EI

B = 2.34x103rad = 0.13

Como en B la pendiente es negativa, la curva elstica contina descendiendo, el valor de la flecha

mxima est en algn punto a la derecha de B. En el punto de flecha mxima: = 0, por lo tanto,igualando a cero v(x) para el tramo BC, se obtendr el valor de xmen donde se produce la flecha

mxima.

EIv = 202.5xm(10/3)xm3396.6 = 0

Resolviendo:xm= 2.114 m

EIvmax=EIv(2.114) = (202.5/2)(2.114)2(10/12)(2.114)4396.6(2.114)+76.0 =326.6

max= vmax= 326.6/EI= 7.36x103m

B= 6.6 mm

max= 7.36 mm

Comentario [C1]:


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Sugerencia: Resolver este problema haciendo uso de funciones singulares

Ejemplo 7.2

Hallar la deflexin y la pendiente en B.

w(x) = w0

EIviv=w0

EIv = w0x+ c1

EIv = w0x2/2 + c1x+ c2

Condiciones de frontera:

Enx=L,M= 0 EIv = 0: 0 =w0L2/2 + c1L+ c2 (1)Enx=L, V= 0 EIv = 0: 0 =w0L+ c1 (2)

Resolviendo (1) y (2)

c1= w0L c2 =w0L2/2

Continuando la integracin

EIv =w0x2/2 + w0Lxw0L

2/2

EIv = w0x3/6 + w0Lx

2/2(w0L2/2)x+ c3

EIv=w0x4/24 + w0Lx

3/6(w0L2/2)x2/2 + c3x+ c4

Condiciones de frontera:

Enx= 0, v= 0 EIv= 0: 0 = 0 + 0 + 0 + c4 (3)Enx= 0, v = 0 EIv= 0: 0 = 0 + 0 + c3 (4)

c3= 0 y c

4= 0

v(x) = (w0/EI)[x4/24 + (L/6)x3(L2/4)x2]

enx=L: v(x=L) =w0L4/8EI v(x=L) =w0L

3/6EI

w0

A B

L

y

A B

v(x) x


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B= w0L4/8EI B= w0L3/6EI

Ejemplo 7.3

Hallar la flecha en C

Solucin: La viga es estticamente

indeterminada. Tomando RB como

reaccin redundante (D = 1)

Tramo AB (corte a-a): 0


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EIv= (10RB2250)x2/2+(300RB)x

3/610x4/12 EIv= 1125x2+ 50x310x4/12 + c3x+ c4

+ c1x+ c2

x= 0, v= 0 c2= 0 x= 10, v= 0 c3(10)+c4= 70833.33x= 0, v = 0 c1= 0 x= 10, v = ?

x= 10, v= 0 Condicin de frontera en tramo BC

0 = (10RB2250)102/2 + (300RB)10

3/6 x= 10,EI(v)der=EI(v)izq=208.33,

(10)104/12+ 0 + 0 EIv(10+) = 208.33

208.33 =2250(10)+150(10)2

RB= 212.5 kN (10/3)(10)3+c3

c3= 10625

EIv=62.50x2+(43.75/3)x3(5/6)x4

10625(10)+c4= 70833.33

EIv = (125)x+ (43.75)x2(10/3)x3

c4=35416.67

enx= 10

EIv = (125)(10) + (43.75)(10)2(10/3)(10)

3

EIvizq=208.33

v= (1/EI)[62.50x2+(43.75/3)x3(5/6)x4] v= (1/EI)[1125x2+50x3(5/6)x4

+10625x35416.67]

0


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7.4.2 Mtodo de superposicin

El mtodo consiste en desglosar el sistema cargado en casos ms simples, los cuales aparecen

tabulados en la mayora de libros que tratan el tema. El mtodo es aplicable siempre que exista unarelacin lineal entre la causa (M) y el efecto (v, v) en el sistema. La ecuacin (7.5) es una ecuacin

diferencial linealde segundo orden.

La carga 1: M1produce v1(x)

La carga 2: M2produce v2(x)

.

.

.

La carga n: MnProduce vn(x)

Cargas: MiProduce vi(x)

Demostracin del principio

SeaM=M1(x) +M2(x) + . . . +Mn(x)

y sea v= v1(x) + v2(x) + . . . + vn(x)

de modo que EId y

dxM

2

2

Si solo se aplica la carga 1: EId v

dxM

2

1

2 1

y

x

B C


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Si solo se aplica la carga 2: EId v

dx

M

2

2

2 2

.

.

.

Si solo se aplica la carga n: EId v

dxM

n

n

2

2

Sumando:

EId v

dx

d v

dx

d v

dxM M M

n

n

2

1

2

2

2

2

2

2 1 2

pero:

d v

dx

d

dxv v v

d v

dx

d v

dx

d v

dxnn

2

2

2

2 1 2

2

1

2

2

2

2

2

2

de modo que:

EId v

dxM

2

2

Es decir, si se aplican las ncargas simultneamente, la deflexin v(x) ser la suma de deflexiones que

producira cada carga actuando sola.


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Ejemplo 7.4

Resolver el problema del ejemplo 7.3 utilizando superposicin

De tabla Apndice C de Hibbeler:

B1 = (20/24EI)(10)2[(10)24(15)(10) + 6(15)2] = 70833.33/EI

B2= (1/3EI)RB(10)3 B2=RB(10)2/2EI

Se sabe que B = 0

pero B= B1+ B2 = 70833.33/EI(1/3EI)RB(10)3= 0

RB= 212.5 kN

C1= 20(15)4/8EI= 126562.5/EI

Clculo de C2: como el tramo B2C2es recto

20 kN/m

= RB

20 kN/m

B1 C1A B C

B1 C1

+C2

B2

A B C

RB B2 C2


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C2= CC2= B2+ BC(B2) B2= 212.5(10)2/2EI

C 2= 212.5(10)3/3EI+5[212.5(10)2/2EI] = 123958.3/EI

C= C1+ C2 =126562.5/EI+ 123958.3/EI= 2604.2/EI

C= 2604.2/EI (igual que antes)

7.4.3 Mtodo de Area-Momento

Este mtodo utiliza las propiedades del rea del diagrama de momentos flexionantes. El mtodo es

adecuado cuando se requiere la deflexin o el ngulo de rotacin en un punto de la viga, porque es

posible encontrar tales cantidades sin necesidad de encontrar primero la ecuacin completa de la

curva de deflexin.

C2

(BC)B2B2 B2 C2

B2 B2

B C

5 m


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Para explicar el mtodo, considrese una porcin AB de viga deformada, esto es, de la elstica en

una regin en donde la curvatura sea positiva. En el punto A la tangente a la curva de deflexin tiene

un ngulo de rotacin Aa partir del ejex, y en el punto B, la tangente a la curva elstica tiene unngulo B.

El ngulo entre las tangentes, denotado por B/A, es igual a la diferencia BA:

B/A= BA

Luego, B/Arepresenta el ngulo relativo de rotacin de la tangente en B con respecto a la tangenteen A. El ngulo relativo B/Aes positivo si Bes mayor que A, como se muestra en la figura.

Considrense dos puntos C y D sobre la curva elstica separados una distancia ds. Las tangentes a la

curva en tales puntos forman un ngulo d como se muestra en la figura. Las normales a esastangentes se intersectan en el centro de curvatura con un ngulo d(ver detalle en la figura), que es

igual a ds/, donde es el radio de curvatura. Por lo que el ngulo entre las dos tangentes estambin igual a d. El ngulo dpuede obtenerse a partir de la ecuacin

Carga

y

(a)

A B

y

d

B(b) A A B

d dt tB/A

ds d x

(c) xBM/EI Centroide dx

Figura 7.5 Teoremas del rea del diagrama de momentos


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1

d

ds

M

EI (7.13)

pero dsdx, por lo que

dMdx

EI (7.14)

dondeMes el momento flexionante en la viga y EIes la rigidez a la flexin.

La cantidadMdx/EItiene una interpretacin geomtrica, como sigue: En la figura 7.14(c) se muestra

el diagrama M/EI (Esto es, un diagrama en el que la ordenada es igual al momento flexionante M

dividido por la rigidez a la flexinEIen tal punto). El diagramaM/EI tiene la misma forma que el

diagrama de M nicamente cuando EI es constante. El trmino Mdx/EI representa el rea de la

franja sombreada incluida en el diagramaM/EI.

Integrando (7.14) entre los puntos A y B, se t iene

dMdx

EIA

B

A

B

(7.15)

La integral de la izquierda es igual a B/A= BAque es el ngulo relativo entre las tangentes en By en A. La integral de la derecha es igual al rea del diagramaM/EIentre los puntos A y B. Observe

que esta rea puede ser positiva o negativa dependiendo del signo del momento flexionante. La

cantidad B/Ausualmente medida en radianes se conoce como desviacin angular.

Obsrvese tambin que la distancia entre el punto B de la curva elstica medida perpendicularmente

a la posicin inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por el punto A, es la suma de los

elementos dtinterceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elstica en puntos sucesivos C y

D. Cada uno de estos elementos dtpuede considerarse como un arco de radioxy ngulo d:

dt=xd

de donde

t dt xd B A/

sustituyendo dpor su equivalente en la ecuacin (7.14), se obtiene

t xMdx

EIB A x

x

A

B

/

(7.16)

La cantidad tB/A se mide en unidades de longitud se conoce como desviacin tangencialde B con

respecto a A. El subndice indica que va desde B hasta la tangente trazada en A. La figura 7.6 aclara


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la diferencia que existe entre la desviacin tangencial tB/Ade B con repecto de A y la desviacin tA/B

de A con respecto a B. En general dichas desviaciones son distintas.

B B A

A tB/A

tA/B B/A A/B

Tangente en B Tangente en A

Figura 7.6 Tangentes en A y B. Las desviaciones

tangenciales no sern iguales, en general

El significado geomtrico de las ecuaciones (7.15) y (7.16) conduce a los dos teoremas

fundamentales del mtodo de rea-momento. En el diagrama de la figura 7.5 se puede ver que

(M/EI)dxes el rea de la franja diferencial situada a una distanciaxde la ordenada que pasa por B.

Ahora bien, como al sumar todos estos elementos de rea, es decir integrando, (M/EI)dx, se obtiene(7.15) por lo que esta ecuacin puede escribirse

B/A= BA= [Area del diagramaM/EIentre A y B] (7.17)

(7.17) es la expresin algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

Teorema I: La desviacin angular, o ngulo entre las tangentes trazadas a la elstica en dos

puntos cualesquiera Ay Bes igual al rea del diagrama de M/EI entre esos dos puntos.

La Fig. 7.5 muestra como la expresin x(M/EI)dx en la ecuacin (7.16) es el momento de primer

orden de la franja infinitesimal (M/EI)dxcon respecto a la ordenada en B. Por lo tanto el significado

geomtrico de la suma (o integral) de los elementos x(M/EI)dx es el momento con respecto a laordenada en B del rea de la porcin del diagrama M/EI comprendida entre A y B. Con ello la

expresin matemtica del Teorema II es:

tB/A= [Area del diagramaM/EIentre A y B]*xB (7.18)

Este teorema se enuncia as:


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Teorema II: La desviacin tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la

elstica en otro punto cualquiera A, en direccin perpendicular a la inicial de la viga, es igual al

momento con respecto a Bdel rea de la porcin del diagrama M/EI entre los puntos Ay B.

El momento del rea se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviacin se

quiere obtener, por lo que conviene ponerle a xdel centroide del rea el subndice correspondiente,lo que indica que el brazo de momento se toma desde ese punto. As, para calcular tB/Axse midedesde B, luego x = xB. Para calcular tA/Bx se mide desde A, luego x = xA. Lo anterior seilustra en la figura 7.7

tB

/A =

[Area del

diagrama

M/EI

entre A y

B]xB

tA

/B =

[Area del

diagrama

M/EI

entre A y

B]xA

El rea bajo M/EI puede ser positiva o negativa, lo que definir el signo de las desviaciones

angulares y tangenciales.

Criterio de signos:

La desviacin tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la

tangente con respecto a la cual se toma esta desviacin, y negativa si queda por debajo de dicha

tangente.

Un valor positivo de la desviacin angular indica que la tangente en el punto situado a la derecha se

obtiene girando en sentido antihorario la tangente trazada en el punto a la izquierda.

A B BA

tB/A tA/B B/A

xA xB

Centroide

A B

Figura 7.7


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En la figura 7.8: (a) positiva, B queda por encima de la tangente de referencia. (b) negativa, el punto

B queda por debajo de la tangente de referencia. (c) desviacin positiva, B/A est en sentidoantihorario. (d) negativa, B/Aest en sentido horario.

Diagrama de momentos por partes

En la prctica, para aplicar este mtodo no es estrictamente necesario elaborar el diagrama de M

completo, ya que se puede hacer uso del principio de superposicin y dividir el diagrama de

momentos en partes cuyas reas y centroides sean conocidos.

Ejemplo 7.5 Encontrar la reaccin y el giro en

el apoyo B as como la deflexin mxima,

usando el mtodo de rea momento

construyendo el diagrama deMpor partes

tB/A B

A A B

tB/A(a) (b)

B/A B

A A B

B/A

(c) (d)

Figura 7.8 Criterio de signos

1.5 klb/ft

A B

W8x15, acero

4 ft


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Solucin

Se toma RB como

reaccin redundante y se

construyen los DMF por

separado de la carga

distribuida y de la

reaccin RB. Se

determinan los centroides

de cada porcin, as como

sus reas.

La tangente en A es

horizontal, de modo que

las desviacin tangencial

de B con respecto a A,

tB/A es cero. Note que

tA/B 0.

Aplicando el Teorema II

y tomando en cuenta que

EIes constante

EI = (30000 klb/in2)(48

in4) = 1.44x10

6klbin2= 10000 klbft2

A1= (RBL)(L)/2 =RBL2/2

A2= (wL2/2)(L)/3 =wL

3/6

EItB/A= [Area deMentre A y B]xB=xB1A1+xB2A2EItB/A= (2L/3)(RBL

2/2)+(3L/4)(wL3/6) = 0

RB= 3wL/8 = 3(1.5)(4)/8 = 2.25 klb

El giro en B de determina usando el Teorema I:

EI(B

A) = [Area deMentre A y B] Por condicin de frontera se sabe que

A= 0

EI(BA) =A1+A2=RBL2/2+(wL3/6) =(3wL/8)L2/2+(wL3/6) = wL3/48

B= wBL3/48EI= (1.5 klb/ft)(4 ft)3/(48x10000 klbft2) = 200x106rad = 0.011

w

A B

L

RB

Recta (debido aRB)

RBL 2L/3

wL2/2

3L/4

Parbola (debido a w)

Tangente en A

B BA

tA/B

Tangente en B


24/29


Para hallar el mximo se localiza el punto en que la pendiente es cero con ayuda de el Teorema I

Sea C el punto de la viga en

que se el valor mximo de

deflexin:

C= vC= tB/C

EI(BC) = [Area deMentreC y B]

C= 0.

EI(B) = (2.25u)(u)/2 + (0.75u2)(u)/3 = (200x106)(10000) = 2

1.125u20.25u3 2 = 0

0.25u31.125u2+ 2 = 0

Resolviendo: u= 1.6861

EItB/C= xBA = (2.25u)(u)/2(2u/3)+(0.75u2)u/3(3u/4) = 0.75u30.1875u4

EItB/C= 0.75(1.6861)30.1875(1.6861)4= 2.07979 klbft3

C= tB/C= 2.07979 klbft3/10000 klbft2= 2.07979 x104ft = 0.0025 in

max= 0.0025 in a 1.69 ft del apoyo B.

Sugerencia: encuentre el punto de inflexin de la elstica y la flecha correspondiente.

2u/3

9 klbft2.25u

0.75u2

12 klbft 3u/4u

A C B

C tB/C

Tangente en C

u

Tangente en B


25/29


7.4.4 Mtodo de energa. Teorema de Castigliano

Energa de deformacin por flexin.

Considerando solo esfuerzos flexionantes y deformaciones axiales debidas a los esfuerzos

flexionantes

U dV

2VOLUMEN

La integral se extiende en todo el volumen. Considerando comportamiento elstico lineal

My

I

My

EI

UMy

I

My

EIdV

M y

EIdV

12 2

2 2

2

VOLUMEN VOLUMEN

dA y y

y

dx

Figura 7.9 Consideracin del volumen de integracin

dV= dAdx, x2x1=Llongitud de la viga

UM y

EIdV

M y

EIdAdx

M

EIy dA dx

x

x

x

x

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2 2 21

2

1

2

AREAVOLUMEN AREA

UM

EIIdx

M

EIdx

x

x

x

x

2

2

2

2 21

2

1

2

UM

EIdx

x

x

2

21

2

(7.19)


26/29


En (7.19), tanto Mcomo Ipueden ser funcin de la variablex, pero en el caso de Mtambin debe

expresarse en funcin de las cargas para poder hacer uso del Teorema de Castigliano.

Aplicacin de Segundo Teorema de Castigliano, ecuacin (3.15)

En relacin a la figura 7.10 y aplicando el

Teorema

kk k

U

F F

M

EIdx

2

2

y derivando dentro del signo integral

kk kF

M

EIdx

M

EI

M

Fdx

2

2

(7.20)

k k k

U

M M

M

EIdx

2

2

y derivando dentro del signo integral

k k kMM

EIdx

M

EI

M

Mdx

2

2 (7.21)

En las ecuaciones (7.20) y (7.21) la funcin Mes la accin interna funcin dexy de las cargas:M=

M(x, cargas) mientras que las variables Fk y Mk son cargas concentradas aplicadas externamente

tomadas como variables y se evalan hasta que la derivacin haya sido efectuada.

Si se necesita conocer k y/o ken algn punto en donde no exista carga concentrada, se ponencargas ficticiasFkyMklas cuales se igualan a cero despus de efectuar la derivacin .

La utilidad de este mtodo consiste en que es menos trabajoso desde el punto de vista matemtico y

es especialmente til cuando se quiere calcular la flecha y/o la pendiente en puntos especficos y nocomo funcin dex. Adems mediante este mtodo se puede calcular sin ninguna dificultad adicional

las flechas y los giros en vigas no necesariamente rectas. (Ejemplo 7.7).

w(x) Fk

Mk

k

k

Figura 7.10 Aplicacin del segundo

Teorema de Castigliano


27/29


Ejemplo 7.6

Para la viga del ejemplo 7.5, determinar la reaccin y la pendiente en el apoyo B.

Solucin

Como se necesita conocer la pendiente

en B se coloca un momento

concentrado ficticio (MB = 0) en dicho

punto

EntoncesM=M(x, w,RB,MB)

M=RBx(w)(x)(x/2)MB

M=RBx(w/2)x2MB

M

Rx

B

M

MB 1

Usando (7.20)

BB

B B BM

EI

M

Rdx

R x M

EIx dx

EI

R

( . )( )

( ) . ( )0 75 1 4

3

0 75 4

40

2

0

4 3 4

RB= 2.25 klb

Como el resultado es positivo, la fuerza va en el sentido asumido.

Usando (7.21)

B B M B M

B BU

M

M

EI

M

Rdx

R x M

EIdx

B B

0 0

2

0

40 75

1( . )

( )

Bx x

EI

dx

EI EI

( . . )

( ). ( ) . ( ) .2 25 0 75

11 2 25 4

2

0 75 4

3

2 02 2 3

0

4

rad =2x104

rad

Como el resultado es negativo, la pendiente va en el sentido contrario al asignado aMB, as:

1.5 klb/ft

A B

W8x15, acero

4 ft

w

M MB V

RB

x


28/29


Ejemplo 7.7 Calcular la flecha vertical en A

Solucin:

AU

F

M

EI

M

Fds

Tramo AB

M=FRsen

s=R, ds=Rd

M

FR sen

Tramo BC

M= FR

MF

R

AM

EI

M

Fds

M

EI

M

Fds

M

EI

M

Fds

TRAMO AB TRAMO BC

A

RFR

EIR Rd

FR

EIRds

sen( sen )

/ .

0

2

0

1 5

A

RFR

EI dFR

EI dsFR

EI

FR

EI RFR

EI

3

2

0

2 2

0

1 5 3 2 3

4 15 2 2854sen ( . ) .

/ .

B= 2x104

rad = 0.011

F

A

R

B

EI = constante 1.5R

C

F

s

M

Rsen

F

R

s

M


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A

FR

EI

2 28543

.

Sugerencia: Calcular el desplazamiento horizontal del punto A

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