Cap. 4/1

PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOSUNIDAD TEMÁTICA II

Fluidos: sustancias que carecen de forma fija (en continuo movimiento).Incluyen a líquidos y gases.

Líquidos: - volumen definido- densidad casi independiente de la presión (incompresibles).

Gases: - volumen no definido (se expanden hasta ocupar todo el recipiente) - densidad dependiente de presión (compresibles) y temperatura.

Fases de la materia. Las fuerzas interatómicas son:

• Tan intensas en los sólidos que los átomos permancen en posiciones fijas.

• Suficientes en los líquidos como para mantenerlos juntos ocupando elmenor volumen posible.

• Tan débiles en los gases que se mueven libremente por el recipienteque los contiene.

Cap. 4/2

Capítulo 4MECÁNICA DE FLUIDOS

4.1 Hidrostática

4.1.1 Densidad y presión

4.1.2 Presión hidrostática

4.1.3 Principio de Arquímedes

4.1.4 Ejemplos biológicos

4.3 Hidrodinámica de fluidos reales

4.3.1 Viscosidad

4.3.2 Ley de Poiseuille

4.3.3 Circulación sanguínea

4.3.4 Ley de Stokes y sedimentación

4.2 Hidrodinámica de fluidos ideales

4.2.1 Ecuación de continuidad

4.2.2 Ecuación de Bernoulli

4.2.3 Aplicaciones y ejemplos biológicos

Cap. 4/3

4.1 Hidrostática

4.1.1 Densidad y presión

Estudia los fluidos estáticos (en equilibrio: en reposo respecto al recipiente).

Un fluido consta de un número muy elevado de partículas, por lo que losconceptos de fuerza y masa no son manejables. Se sustituyen por los depresión y densidad, respectivamente.

La densidad de una sustancia (sólido, líquido o gas) relaciona su masa con el volumen que ocupa:

Vm

=ρ Unidades SI: kg/m3

Unidades cgs: g/cm3 (también kg/l: 1 l = 1 dm3 = 103 cm3)

La presión de un fluido hace referencia a la fuerza que éste ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene. Dicha fuerza es siempreperpendicular a la superficie considerada (cualquier fuerza tangencial haría que el fluido dejara de estar en reposo debido a su falta de rigidez).

Cap. 4/4

La suma de todas las fuerzas normales FN que actúan sobre una superficie dividida por el área A de la misma es la presión media que ejerce el fluido sobre esa superficie.

La densidad depende de la presión y la temperatura:

Algunas densidades en condiciones normales: T = 0 °C y p = 1 atm (nivel del mar)

Sólidos ρ (g/cm3) Líquidos ρ (g/cm3) Gases ρ (g/cm3)

Oro 19.3 Mercurio 13.6 CO2 0.0020Hierro 7.96 Sangre 1.05 O2 0.0012Tierra (media) 5.52 Agua de mar 1.025 Aire 0.0013Vidrio 2.6 Agua 1.0 Aire (20 °C) 0.0012Hueso 1.7 Aceite 0.93 Vapor de agua 0.0006Hielo 0.92 Etanol 0.81 Helio 0.00018Madera 0.7 Gasolina 0.68 Hidrógeno 0.00009

AF

p N= Unidades SI: 1 N/m2 = 1 Pa (pascal)(también la atmósfera: 1 atm = 101 325 Pa)

p es un escalar

Cap. 4/5

4.1.2 Presión hidrostática

Es la presión en cada punto de un fluido estático.

mg

A

h

p

p0

Al sumergirnos en un líquido la presión aumenta con la profundidad. Análogamente, la presión atmosférica disminuye al aumentar la altitud.

En el caso de un líquido (densidad constante) la presión aumenta linealmente con la profundidad. Demostrémoslo.

El peso de esta columna de líquido es: AhgVgmg ρ=ρ=

∑ ==ρ−− )equilibriodecondición :0F( 0AhgAppA i0

ghpp 0 ρ+=⇒ Teorema fundamental de la hidrostática

p = presión del fluido a una profundidad h

p0 = presión en la parte superior (si abierto, es la atmosférica patm)

F0

F

Cap. 4/6

Émbolo pequeño Émbolo grande

Principio de Pascal: la presión aplicada a un fluido incompresible(líquido) se transmite por igual a todos los puntos del fluido y a lasparedes del recipiente que lo contiene.

Vemos que la presión es idéntica para todos los puntos a la misma profundidad e independiente de la forma del recipiente. Consecuencia:

11

22

2

2

1

121 F

AA

FAF

AF

pp =⇔=⇔=

(gatos y herramientas hidráulicas,frenos de los coches, …)

1212 A Asi FF >>>>

Aplicación: Prensa o elevador hidráulico

Dos émbolos de distinto tamaño:

Cap. 4/7

Aplicaciones del principio fundamental de la hidrostática:

(experimento de Torricelli)

Barómetro de mercuriop = 0

hpatm

Para medir lapresión atmosférica

Tubo de vidrio completamente lleno de mercurioy después invertido en una cubeta de mercurio.

A nivel del mar y 0 °C: h = 760 mm Hg (10.33 m H2O)

ghpatm ρ= ρ = densidad del Hg

patm estándar ⇔ presión de una columna de Hg de 760 mm

El peso de la atmósfera (masa de aire que envuelve a la Tierra) origina lo que llamamos presión atmosférica.

La densidad del aire disminuye al aumentar la altura ⇒ No es fácil hacer un cálculo exacto, pero es fácil medirla.

Cap. 4/8

Determinación de densidades desconocidas de líquidos

patm

h1

1

2

patm

h2A B

22atm11atm hgphgρp ρ+=+BA pp =

Se necesitan líquidos inmiscibles

12

12 h

hρ=ρ

Por tanto:

Manómetro de tubo abierto en forma de U: Utilizan la presión atmosférica como nivel de referencia y miden presión manométrica= p-patm

ghpppp atmBA ρ+===

ghp-p atm ρ=⇒ presión manométrica

Líquido de densidad alta para que h sea pequeña:se suele usar mercurio

Para medir lapresión p

p

h

patm

pA pB

Fluido cuya presiónqueremos medir

Cap. 4/9

Unidades de presión

SI: 1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)

cgs: 1 dyn/cm2 = 1 baria

Otras unidades habituales:

1 atm ≡ presión ejercida por una columna de Hg de 760 mm a 0 °C

1 bar = 106 barias

barias 10cmdyn10

cm 10m 1

N 1dyn 10

mN1

mN 1Pa 1

224

25

22====

1 mm Hg → 1 torr (torricelli) (usada en medicina)

= 1.0133 x105 Pa= 1.0133 x106 barias = 1 013 mbar (usada en meteorología) = 760 mm Hg

= ρHg g hHgmm10m1 mm 760

sm8.9

mkg106.13 323

3 ××××=

Cap. 4/10

Presión sanguínea

Pa10x39.1m35.1xsm8.9x

mkg10x05.1gh 4

233

H ==ρ

BHF ppp :pieDe >>

Sistema cardio-vascular animal:

• Jirafas: su corazón bombea a p = 260 mm Hg para que la sangre alcance el cerebro.

• Reptiles y conejos mueren al ponerlos de pie.• Animales arbóreos: p muy alta (evitan falta riego)

y corazón cerca de la cabeza.

B: cerebroH: corazónF: pies

Presión hidrostática manométrica promediada a lo largo del ciclo cardíaco

200 torr 70 torr 100 torr 98.5 torr 100 torr 99.5 torr

Los organismos vivos no son aplastados por la presión de la atmósfera porque los fluidos que llevan dentro están prácticamente a la misma presión (la presión sanguínea en las arterias es mayor que la atmosférica).

La presión de la sangre cuando sale del corazón debe ser lo suficientemente elevada para que la sangre llegue al cerebro. En el hombre es de 100 mmHg.

Si hH=1.35 m y ρsangre=1.05 g/cm3

mmHg104Pa10X013.1

mmHg760Pax10x39.1 54 ==

BBHHF ghpghpp ρ+=ρ+=

(presión manométrica)

Cap. 4/11

4.1.3 Principio de Arquímedes

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido (gas o líquido) desalojado.

En efecto, según el principio fundamental de la hidrostática:

gVghAA)pp(FFEApFApF

ffABABBB

AA ρ=ρ=−=−=⇒⎭⎬⎫

=

=FA

FB

hA

ρf

ρc

El empuje se produce porque la presión del fluido en la parte inferior del cuerpo es mayor que en la parte superior.

Empuje: Fuerza que ejerce un fluido sobre un objeto sumergido en él.

pB= pA+ ρf g h

Cap. 4/12

A. Cuerpo totalmente sumergido

Fuerza netaAscendente: si E > mg ⇒ ρf > ρc : se acelera hacia arribaNula: si E = mg ⇒ ρf = ρc : permanece en equilibrioDescendente: si E < mg ⇒ ρf < ρc : se acelera hacia abajo

mg

Eρfρc

maVg)(VgVgmgEF cfcfy =ρ−ρ=ρ−ρ=−=∑

B. Flotación: Si ρc<ρf el cuerpo flotará parcialmente sumergido

Ejemplos: barcos, iceberg, densímetro, …

E

mgρf

ρc

Equilibrio: E = mg ⇔ ρfgVs = ρcgV 1)( VV

f

cs ≤ρρ

=⇒

donde Vs es el volumen de la parte sumergida

Iceberg: ρc=0.99 g/cm3 (hielo) ; ρf=1.03 g/cm3 (agua de mar)⇒ Vs/V=0.87 ⇒ 87 % sumergido

Aplicación del principio de Arquímedes: Permite determinar la densidad de un cuerpo de forma irregular sumergiéndolo en un líquido de densidad conocida y midiendo su “peso aparente”= mg-E

Cap. 4/13

http://fisinfo.ugr.es

Ascensor de barcos de Niederfinow (canal Oder-Havel, Alemania)

Contenedor: 85×12×2.5 m3

Peso (con o sin barco): 4300 toneladas192 contrapesos lo compensan salvo 90 tBarcos de hasta 1000 tDesnivel 60 m a 12 cm/s, 4 motores×75 CV

Cap. 4/14

4.1.4 Ejemplos biológicos

Vejiga natatoria de los peces

Los tejidos biológicos, excepto los adiposos son más densos que el agua.La densidad de un pez suele ser algo mayor que la del agua (se hundiría).Sin embargo poseen una cavidad, la vejiga natatoria, bajo su espina dorsal,que pueden rellenar de un gas ligero (mezcla de O2 y N2 obtenida de lasangre). Variando la cantidad de gas dentro de la cavidad, pueden ajustar su propia densidad para variar la fuerza de empuje y así ascender o descender a voluntad.

Para ascender la llenan de gas:V ↑ ⇒ ρ ↓

Para descender la vacían:V ↓ ⇒ ρ ↑

Cap. 4/15

4.2 Hidrodinámica de los fluidos ideales

La hidrodinámica estudia el movimiento (flujo) de los fluidos.

Clasificaciones según tipo de flujo:

• Estacionario: si su velocidad en cada punto no varía con el tiempo,v = v(x,y,z). En tal caso, se pueden definir las líneas de corrientecomo las trayectorias que siguen las partículas del fluido.

En este apartado nos concentraremos en los fluidos ideales, es decir, incompresibles (densidad independiente de posición y tiempo) y no viscosos.

• Laminar: si el fluido se desliza en capas que fluyen paralelamente sin mezclarse. Lo contrario es turbulento, caracterizado por regiones con remolinos.

• Uniforme: si su velocidad en cada instante es la misma en todoslos puntos, v = v(t).

• No viscoso: si se desprecia la viscosidad (fricción interna del fluido).

Cap. 4/16

4.2.1 Ecuación de continuidad

S1

S2

v1

v2

v1∆t

v2∆t

1

2Consecuencia de la conservación de la materia:La masa que atraviesa las secciones 1 y 2 en el mismo intervalo de tiempo ∆t deber ser idéntica,

tvSxSVm 111111111 ∆ρ=∆ρ=ρ=tvSxSVm 222222222 ∆ρ=∆ρ=ρ=

Si el fluido es incompresible (densidad constante) ρ1 = ρ2 y entonces

constanteSv vSvS 2211 =⇒=

Ecuación de continuidad(no hace falta que el fluido sea ideal)

Es decir: la velocidad del fluido es mayor en las partes más estrechas.

Definimos caudal Q como el volumen de fluido que atraviesa una sección del conducto por unidad de tiempo. Por S1 en ∆t, pasa V1=S1v1∆t

SvQ =

22211121 vSvS mm ρ=ρ⇒=

Unidades SI: m3/s Frecuentemente: litros/s

Ecuación de continuidadpara un fluido incompresible

S: sección transversal del conducto v: velocidad del fluido

Ejemplo: Con una manguera de 2 cm de diámetro llenamos un cubo de 20 l en un minuto. ¿Cuál es la velocidad con que sale el agua de la manguera?

Cap. 4/17

4.2.2 Ecuación de BernoulliConsecuencia de la conservación de la energía:

= ∆Em = ∆Ec + ∆UW = trabajo realizado sobre un fluido ideal (sin fricción)v2

S1

S2

v1

∆x1

∆x2

1

2

y1

y2

F2

F1 2112

12222

1c vmvmE −=∆

2211 xFxFW ∆−∆=

222111 xSpxSp ∆−∆=

1122 gymgymU −=∆

y de la ecuación de continuidad de un fluido ideal (densidad constante):

De donde: =ρ

−ρ

mp

mp 21 +− )vv(m 2

1222

1 )yy(mg 12 −

Y por tanto, )yy(g)vv(pp 1221

222

121 −ρ+−ρ=−

ρ=∆=∆⇒∆ρ=∆ρ⇒=

mxSxSxSxSmm 2211221121

Cap. 4/18

Nótese que:

2222

121

212

11 gyvpgyvp ρ+ρ+=ρ+ρ+ Ecuación de BernoulliReordenando:

constantegyvp 221 =ρ+ρ+ Ecuación de BernoulliY también:

Ejemplo: Calcular cómo modifica el término de velocidad (presión cinética) los valores obtenidos para la presión de la sangre en los pies.Datos: vaorta= 0.2 m/s ; vpies= 0.1 m/s

)yy(g)vv(pp pa2p

2a2

1ap −ρ+−ρ=−

Pa75.15)vv( 2p

2a2

1 =−ρ

Pa10x39.1)yy(g 4pa =−ρ

Los efectos de presión cinética pueden tener consecuencias importantes:La velocidad del viento en un tornado puede hacer saltar los cristales e incluso levantar el tejado de una casa.

• Si el fluido es estático (v = 0) se recupera el teorema fundamental de la hidrostática(presión hidrostática aumenta con profundidad):

• Si los puntos 1 y 2 se encuentran a la misma altura (presión cinética disminuye con v):

hgpp 21 ∆ρ=−

)vv(pp 21

222

121 −ρ=−

Cap. 4/19

Ley de Torricelli

4.2.3 Aplicaciones y ejemplos biológicos

Velocidad a la que sale el agua en elpunto de derrame de un tanque.

b2b2

1atmaa gyvpgyp ρ+ρ+=ρ+

Aplicando la ec. de Bernoulli entre a y b:

gh2)pp(2

v atmab +

ρ−

=⇒

donde h = ya − yb es la profundidad del orificio respecto al nivel del líquido.

Si el tanque está abierto a la atmósfera pa = patm y entonces:

gh2vb = igual a la que adquiere un cuerpo en caída libre desde una altura h

Sava = Sbvb . Si Sa>> Sb ⇒ va<< vb

Cap. 4/20

Efecto Venturi Aplicando la ec. de Bernoulli entre 1 y 2:

222

12

212

11 vpvp ρ+=ρ+

Como S1 v1 = S2 v2 (ec. continuidad)tenemos que S1 > S2 ⇒ v1 < v2 de donde

)vv(pp 21

222

121 −ρ=−

El paso del fluido por un estrechamiento produce una reducción de presión.La diferencia de presión produce la fuerza necesaria para acelerar el fluido.

Este es el fundamento de los pulverizadoresy de la arterioesclerosis.

21 pp0 >⇒>

1 2

S2S1

sangre

pared arterial plaquetas y fibrina

Si la velocidad de la sangre es suficientemente alta en el estrechamiento la arteria puede colapsarse ⇒ v=0, p aumenta de nuevo y vuelve a abrirse.

Se producen variaciones del flujo:

Cap. 4/21

Efecto Magnus

La trayectoria de un cuerpo en rotación se curva al desplazarse.

Al rotar se forman remolinos (fluido real pues se necesita fricción): corrientes de fluido en direcciones opuestas a ambos lados de latrayectoria. La velocidad a cada lado es distinta (el movimiento del remolino es a favor en un lado y en contra en el otro). En consecuencia, se produce una diferencia de presión y por tanto una fuerza neta perpendicular al movimiento.

Para que se formen remolinoses necesario que la bola tengacosturas (fútbol, béisbol) orugosidades (golf).

v2

v1

2121 ppvv <⇒>

Las capas de aire cerca de la superficie de la pelota son "arrastradas" en la dirección del giro.

Cap. 4/22

Fuerza de sustentación. Vuelo de los pájaros

½A

½A

La diferencia de velocidades del aire produce una diferencia de presión que se traduce en una fuerza de sustentación.

)vv(AA)pp(F 2inf

2sup2

1supinfs −ρ=−=

donde A es la superficie total de las alas.

Los tiburones carecen de vejiga natatoria yutilizan este mecanismo para no hundirsenadando continuamente.

vinf

vsup

vsup > vinf

Apliquemos la ec. de Bernoulli para hallar lafuerza de sustentación (despreciando ρg∆h):

La orientación y forma asimétrica de las alas hacen que la velocidad del aire que pasa por encima y por debajo del ala sea distinta.

Las aves y aviones (mucho más densos que el aire) vuelan gracias al movimiento.

Cap. 4/23

Si v es la velocidad del pájaro (o del avión), se define el coeficiente de sustentación Cs que depende de la forma del ala, ángulo de inclinación, …a partir de:

2s

2inf

2sup vCvv ≡−

Con lo que la fuerza de sustentación queda:2

s21

s vACF ρ=

Para mantener el vuelo estable es necesario que F iguale o supere al peso:

s

2s2

1

ACmg2v mgvAC

ρ≥⇒≥ρ velocidad mínima de despegue

Analicemos la dependencia de la velocidad de despegue con el tamañode los pájaros utilizando las leyes de escala:

vkC)Ak(g)mk(2'v

Ak'A

mk'm

Lk'L

s2

3

2

3 ×=×ρ×

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

×=

×=

×= A mayor tamaño mayor velocidadde despegue. Las aves grandesnecesitan un hábitat que les permitaalcanzar la v necesaria planeando(acantilados, montañas o árboles)

Para velocidades no demasiado grandes (ej. despegue) hay que aumentar el ángulo de inclinación (⇒ Cs) para aumentar la fuerza de sustentación.

Cap. 4/24

Otro ejemplo: navegación de bolina (orzando) casi contra el viento

90°

45°45°

Velastriangulares

Los veleros no sólo navegan empujadospor el viento, también pueden ir en contra (aunque formando cierto ángulo)

Análogo a la sustentación en el vuelo: viento más rápido por detrás de la vela que por delante, debido a su forma embolsada, parecida al ala de un avión.

90°Velas

cuadradas

90°

La diferencia de presiones impulsa al barco hacia adelante. La orza es necesaria para evitar que el barco sea arrastrado en la dirección del viento.

Cap. 4/25

4.3 Hidrodinámica de los fluidos reales

4.3.1 Viscosidad

Y

X

vA

Los fluidos reales, a diferencia de los ideales, ofrecen resistencia aldeslizamiento de unas capas de fluido sobre otras. Esta fricción interna, debida a las fuerzas intermoleculares, se llama viscosidad.

y

A causa de la viscosidad es necesario hacer una fuerza para que una capa líquida se deslice sobre otra.

Sea un fluido entre dos superficies planas. Manteniendo fija la superficie inferior hay que hacer una fuerza para mover la superior a v=cte.

Perfil de velocidades: La capa de fluido en contacto con una superficie se adhiere a ella y se mueve a la misma velocidad. Debido a la viscosidad hay una pérdida de velocidad entre las capas sucesivas. Si la velocidad espequeña, las capas se mueven paralelamente.

Cap. 4/26

Expresión válida sólo para fluidos newtonianos para los que η es cte.

En los líquidos, la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura.

Fluido T (°C) η (cP)

Aire 0 0.01720 0.018

100 0.022 Agua 0 1.792

20 1.00537 0.695

Mercurio 20 1.550Plasma sanguíneo 20 1.810

37 1.257Sangre 20 3.015

37 2.084Aceite 16 113

38 34Glicerina 20 1490

El mercurio tiene η parecida a la del agua pero ρ mucho mayor.

Para el aceite η es mucho mayor a temperaturas bajas (importante para los motores)

Coeficientes de viscosidad

yvAF

∆∆

η= Unidades de η en cgs: 1 dyn s/cm2 = 1 P (poise)en SI: 1 N s/m2 = 10 P

La fuerza que hay que aplicar a una capa de fluido es proporcional al área A y a la variación de la velocidad entre las distintas capas, e inversamente proporcional a la distancia entre las láminas. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad η,

Para los gases η aumenta si T↑

dydv

AF η=

Cap. 4/27

1 2

Si la viscosidad de un fluido no es despreciable la energía mecánica no se conserva y, por tanto, no se satisface la ecuación de Bernoulli.

v1 = v2 (pues no hay estrechamiento: conservación de la materia)

y1 = y2 (pues ambos puntos se encuentran a la misma altura)

Pero: p1 ≠ p2 (pues ambos puntos tienen distinta profundidad)

El trabajo de las fuerzas intermoleculares que producen la fricción entre las capas de fluido son las responsables de la pérdida de energía.

Cap. 4/28

Flujo laminar y flujo turbulento. Número de Reynolds

El flujo laminar corresponde a la situación considerada al definir elcoeficiente de viscosidad: láminas que mantienen su forma.Es estacionario y se produce para pequeñas velocidades y si el fluido no encuentra obstáculos que sean muy angulosos. Piénsese en un río que fluye lentamente por un valle: los objetos flotantes, lejos de la orilla, se mueven como en una pista (lámina de fluido).

El flujo turbulento aparece cuando las láminas se mezclan, se formanremolinos en ciertos sitios y desaparecen en otros.Es no estacionario y se produce cuando aumenta la velocidad(flujo de agua que cae de un grifo: primero laminar y luego turbulento ).

La transición de flujo laminar a turbulento no sólo depende de la velocidad v, sino también de la viscosidad η, de la densidad del fluido ρ yde la geometría del conducto.

ηρ

=vD

NRNúmero de Reynolds: Si NR < 2000: flujo laminar.Si NR > 3000: flujo turbulento.(adimensional)

Para un fluido que circule por un tubo de sección circular y diámetro D:

(siendo v la velocidad media del fluido)

Cap. 4/29

4.3.2 Ley de Poiseuille

Consideremos un fluido que circula por un tubo horizontal de secciónconstante. Si hay viscosidad la ecuación de Bernoulli no se cumplirá puesse pierde presión entre dos secciones del tubo debido a la fricción.

rL2 drdvA

drdvFvisc πη=η=

22121pres r )pp()r(Sp)r(SpF π−=−=

rL2pp

drdv

0FF 21presvisc η

−−=⇒=+

v disminuye cuando r aumenta

1 2L

r

Rr

v(r)

suponemos flujo laminaren capas concéntricas

La ley de Poiseuille se debe a un médico francés especialista en el flujo de la sangre en vasos sanguíneos. Nos permite relacionar el caudal de un fluido viscoso que circula por un tubo con la diferencia de presión que lo origina.

El fluido avanza impulsado por la presión p1 contra la acción de la presión p2.

Debido a la viscosidad la velocidad no es la misma en todas las capas.

Caudal constante ⇒

Cap. 4/30

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

η−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡η−

−=⇒∫∫η−

−=2

R2r

L2pp

2r

L2pp

vdr rL2pp

dv22

21r

R

221

r

R

v

0

21

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛−

η−

=⇒2

2221

R

r1L4

R)pp(v velocidad en función de r

L4R)p(p v

221

máx η−

=

v = 0

v = 0

vmaxv = v ( r )

La v en cada capa disminuye de forma continua desde vmax en el centro hasta v=0 para la capa más externa (r=R) que se adhiere a las paredes.

Para la capa más externa, r=R ⇒ v=0

En el centro, r=0 ⇒ la velocidad es máxima

Alternativamente, max221 v

RL4

pp η

=−pérdida de presión que se produce en un fluido que circula por un conducto. Importante si R es pequeño.

Cap. 4/31

Nos interesa introducir el caudal. Tengamos en cuenta que v = v(r):

dr Rr1 r2 vdr r2 )r(vdS )r(vdQ

2

2

máx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−π=π==

Integrando r entre 0 y R obtenemos el caudal total:

2máx2

máx

R

02

42

máx R2

v

4R 2 v

R4r

2r 2 vQ π=π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−π=

Hemos obtenido: media) (velocidad 2

vv donde , vSQ máx==

y la ley de Poiseuille:L8

R)pp(Q4

21

ηπ−

=

drr2dS π=

relaciona el caudal con la caída de presión debida a la viscosidad

Ejemplos: agujas hipodérmicas (jeringuillas), capilares, …

1 2Fluido Ideal

Fluido Real (η)

p1 = p2

p1 ≠ p2

Ec. de Bernoulli

Ley de Poiseuille

!! R de depende ¡¡ 4

Cap. 4/32

icahidrodinám aresistenci la es rL8

R donde , R

ppQ 4H

H

21

πη

=−

=

Podemos reescribir la ecuación de Poiseuille como:

Ésta es una expresión muy parecida a la ley de Ohm (I=∆V/R) • Intensidad de corriente I → caudal Q,• Diferencia de potencial ∆V → caída de presión p1 – p2,• Resistencia R → resistencia hidrodinámica RH (resistencia al flujo).

dimensiones: [RH] =[p]/[Q] unidades de RH en SI: N s m-5

(en Fisiología se usa: torr s cm-3 )

Resistencia hidrodinámica

La resistencia al flujo RH es mayor cuanto mayor sea la viscosidad η y cuanto más largo y estrecho sea el conducto.

Cap. 4/33

4.3.3 Circulación sanguínea

El sistema circulatorio de los animales

En los organismos complejos (animales y plantas mayores de 1 mm) los nutrientes, o los productos de desecho, no llegan a, o salen de, las células por difusión directa sino mediante un sistema circulatorio que transporta los nutrientes y otros materiales a todo el organismo.

En las plantas superiores el transporte se hace mediante la savia, cuyo movimiento tiene que ver con fenómenos superficiales y propiedades de las disoluciones, según veremos.

Aquí nos centraremos en el sistema circulatorio de los mamíferos.

En los animales el sistema circulatorio puede ser abierto (muchos invertebrados: el corazón bombea la hemolinfa a través de una arteria a una cavidad llamada hemocele donde baña directamente a los tejidos) o cerrado (los cefalópodos y los vertebrados: el corazón bombea la sangre a través de un circuito cerrado formado por arterias, capilares y venas que la devuelven al corazón).

Cap. 4/34

El sistema circulatorio de los mamíferos (el humano)

Dos subsistemas: pulmonar y periférico y un corazón (casi dos en uno).

La arteria aorta sale del corazón con sangre rica en oxígeno, que se lleva por el sistema periférico a los tejidos, y es devuelta al corazón (pobre en oxígeno) por la vena cava.

La sangre sale del corazón pobre en oxígeno por la arteria pulmonar, recoge el oxígeno en los pulmones y entra en el corazón por la vena pulmonar.

La sangre sale del corazón por las arterias y vuelve a él por las venas.

La sangre se mueve por diferencias de presión, impulsada por los latidos del corazóncontrolados eléctricamente: contracciones (sístoles) y dilataciones (diástoles) sucesivas, que expulsan y atraen la sangre del corazón, respectivamente.

Los capilares están en contacto con todos los tejidos y sus paredes muy finas permiten la transferencia de materiales con las células.

Cap. 4/35

Velocidades y secciones en el sistema circulatorio

Velocidades medias:

Aorta: 33 cm/s

Caudal Q = 83 cm3/s ; V = 5 litros (lo que bombea el corazón en reposo en 1 min)

Secciones:

Aorta: 2.5 cm2 (raorta=9 mm)

SQvvSQ =⇔= (téngase en cuenta que hay estrechamientos y ramificaciones)

Capilares: 2500 cm2

(ramificaciones: 5 mil millonesde 5×10-7 cm2 cada uno)

Capilares: 0.033 cm/s

Arterias: 20 cm2

(ramificaciones: 200 de 0.1 cm2 cada una)

Arterias: 4.1 cm/s

(sistema periférico)

Velo

cida

dSe

cció

n

Cap. 4/36

(sistema periférico)

Pres

ión

man

omét

rica

Aorta: 3 mm HgArterias: 17 mm HgArteriolas: 50 mm HgCapilares: 20 mm HgVénulas y venas: 10 mm Hg

Pérdidas de presión debidas sólo a la viscosidad

En el sistema periférico, la mayor sobrepresión se acumula en la zona arterial, siendo muy pequeña en la zona venosa (en el pulmonar, es mitad y mitad, aproximadamente):

En la zona venosa la mayor parte de la sangre: de ahí se saca en las donaciones (sale lentamente).

QR

L8pp 421π

η=−

Presión manométrica (mm Hg) Salida (arteria) Entrada (vena)

Sistema periférico 100 (aorta) 0 (cava)Sistema pulmonar 13 (pulmonar) 0 (pulmonar)

Las venas poseen válvulas que se abren o cierran en contracciones y dilataciones para devolver la sangre al corazón venciendo presión hidrostática (varices; mareos y embolsamientos desaparecen tumbados)

Cap. 4/37

Asociación de conductos (por ejemplo capilares sanguíneos):

El sistema circulatorio del cuerpo es una red compleja de vasos sanguíneos conectados. Se pueden aplicar los mismos métodos que en circuitos eléctricos para calcular la resistencia global (resistencia equivalente) de dos o más conductos conectados en serie o en paralelo.

ParaleloR1

R3

R2 321H R1

R1

R1

R1

++=

R1 R3R2

Serie

321H RRRR ++=

Cap. 4/38

321 QQQQ ++=

3

21

2

21

1

21

H

21

Rpp

Rpp

Rpp

Rpp −

+−

+−

=−

321H R1

R1

R1

R1

++=

)pp()pp()pp(pp 2BBAA121 −+−+−=−

321H RQRQRQRQ ++=

321H RR RR ++=

Paralelo (la pérdida de presión es la misma en todos, el caudal NO)

Serie (por todos circula el mismo Q)

R1 R3R2A B1 2

R1

R3

R2

1 2Q→ →

Q

Demostración

Cap. 4/39

Resistencia al flujo sanguíneo

Pa 1033.1atm 1

Pa 101.013Hg mm 760

atm 1 Hg mm 100Hg mm 100pp 45

21 ×=×

==−

)cm storr 1.2( m s N 106.1s/m 1083

Pa 1033.1Q

ppR 3-5-8

36

421

H =×=×

×=

−= −

Caudal: s/cm 83Q 3=

Caída de presión (sistema periférico):

Resistencia total del sistema circulatorio:

• Si RH crece de forma anormal (obstrucción) debe aumentar la presiónpara mantener el caudal (hipertensión).

• RH disminuye manteniéndose la presión constante al hacer ejercicio físico(vasodilatación) para aumentar el caudal (se necesita para la regulacióntérmica y para una mayor oxigenación).

En ambos casos, el corazón realizará mayor trabajo que en condiciones normales…

Cap. 4/40

Potencia cardiacavenacava

aorta

La potencia mínima P desarrollada por el corazón para mover un caudal Q venciendo la caída de presión p debida a la viscosidad es:

W 1.10 QRQ pv S pv FP 2Hvis =====

Suponiendo un rendimiento muscular del 25% esto implica un consumo mínimo de 4.4 W.

Vemos que efectivamente la potencia que desarrolla el corazón es mayorcuando aumenta la presión, el caudal o la resistencia al flujo.

Además el corazón debe desarrollar una potencia (cinemática) para impulsar la sangre por la aorta con v2 = 33 cm/s partiendo de v1 = 0:

viscinvistot3-2

1222

1cin PPPPW 104.75 Q )vv(P ≈+=⇒×=−ρ=

Vemos que un 99.5% de la potencia cardiaca se invierte en contrarrestar la fricción en el sistema circulatorio debida a la viscosidad de la sangre.

Nota: hemos considerado sólo el sistema periférico (lado izquierdo del corazón).La potencia del lado derecho (sistema pulmonar) es mucho menor (compruébese).

Cap. 4/41

Cambios de presión debidos a gravedad y viscosidad

Si ignoramos los efectos de la viscosidad obtenemos las presiones hidrostáticas, debidas exclusivamente a la acción de la gravedad(diferencias de altura)

Veamos ahora el efecto conjunto de gravedad y viscosidad(mostraremos sólo el sistema periférico).

B: cerebroH: corazónF: pies

Presión hidrostática manométrica promediada a lo largo del ciclo cardíaco

200 torr 70 torr 100 torr 98.5 torr 100 torr 99.5 torr

Cuando la persona está de pie, las presiones en la cabeza, cerca del corazón y en los pies son muy distintas.

Cap. 4/42

Sistema periférico

65

10210

65 100

-55

-35

-8 -8

-55

-35

gravedad viscosidad (mm Hg)∆p debidas a

Sectorvenoso

Sectorarterial

individuoerguido

-35+94

100

45-10

2

104 159

-20 -35

-550

-8

-8

-55

+20

-94

0

corazón

cabeza

pies

individuo tumbado Presiones manométricas

Cap. 4/43

Nótese que en el sistema venoso hay puntos con presión manométrica negativa(cerebro), lo que significa que una incisión en una de estas venas produciría la entrada de aire cortando la circulación (riesgo de embolia).

Presiones venosas manométricas

Casi todo el torrente circulatorio está a mayor presión que la atmósfera(presión manométrica positiva): sale sangre al pinchar un vaso.

Si se mide la presión en las arterias principales (pérdidas por viscosidad aún pequeñas), el valor se debe principalmente a la altura.

Pero: las presiones (debido a la viscosidad) se reducen mucho al llegar a las venas.

Así, en la zona venosa del corazón p=0. En la vena del pie, lo que aumenta por gravedad casi se pierde por viscosidad.

Cap. 4/44

4.3.4 Ley de Stokes y sedimentación

vr6Fa ηπ=

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso experimenta una fuerza de rozamiento o de arrastre Fa, que se opone al movimiento. Para cuerpos pequeños moviéndose a velocidades pequeñas, esta fuerza es proporcional a v (resultado experimental).

La constante de proporcionalidad (adimensional) para un cuerpo esférico de radio r fue hallada por Stokes:

La expresión de la fuerza se puede deducir mediante análisis dimensional.Para un cuerpo de tamaño r en un fluido de densidad ρ y viscosidad η:

vrF1c0b1a

1c21cb3a1

cb1

LT]v[

ML][

L]r[TML][

MLT]F[

vrF

a

1

3

11

2a

cbaa

η∝⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−=−+−−=

+=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=ρ

==η

=

ηρ∝

−

−

−−

−

Ley de Stokes

(independiente de ρ)

1c1cb3acb2 TLMTLM −−+−−+− =

Importante en el estudio del movimiento de partículas pequeñas en disolución

Cap. 4/45

Esta expresión nos permite hallar la velocidad de sedimentación (límite)de un cuerpo esférico en un fluido (cuando el peso iguala a empuje y Fa):

elocidadvv vr6F :Arrastre

fluido del densidad gr VgE :Empuje

cuerpo del densidad grVgmg :Peso

a

f3

34

ff

c3

34

cc

=ηπ=

=ρπρ=ρ=

=ρπρ=ρ=

)(9

gr2v fc

2

s ρ−ρη

=(vs seguirá constante, pues las fuerzas se anulan)

P

EFa

maFEPF a =−−=Σ

Expresión útil para analizar procesos de sedimentación. Ejemplo: en una muestra de sangre en reposo, los glóbulos rojos, más pesados que el plasma, caen lentamente hacia el fondo.

La velocidad límite (cte) se alcanza cuando la fuerza de arrastre es contrarrestada por el peso y el empuje ⇒ a=0.

Cuando se alcanza el equilibrio, Fa= P − E ⇒ gr)(vr6F 334

fcLa πρ−ρ=ηπ=

Cap. 4/46

Puede calcularse que esta velocidad límite se alcanza en muy poco tiempo. En la práctica, ésta es la velocidad a la que se produce la sedimentación.

La sedimentación es tanto más rápida cuanto mayor sea (ρc−ρf). Si la diferencia de densidades es muy pequeña, la sedimentación pasiva es lenta. Por ello se utilizan las centrífugas.

Si hay moléculas de diferentes tamaños tendrán diferentes valores de vs .⇒ Permite identificar los diferentes componentes sólidos en suspensión.

Ejemplo: glóbulo rojo de r = 2×10-6 m y ρc = 1.3×103 kg/m3 en plasma sanguíneo de ρ = 1.06×103 kg/m3 y η = 1.8×10-3 kg m-1 s-1:

Lento: 1 cm en 2 h 23 minm/s 1016.1v 6s

−×=

Si en cambio la suspensión se introduce en una centrífuga con aceleración centrípeta ω2r=103g (ω: velocidad angular de rotación; r: distancia al centro),

s6.8t10tv10v 3s

3s ==′⇒=′ −

Cap. 4/47

1

2

v2 > v1

Arrastre

Sustentación

• Si NR > 1 (altas velocidades, objetos grandes) la viscosidad es irrelevantey la fuerza de arrastre es proporcional a v2:

2a2

1a vACF ρ=

La velocidad límite que se alcanza en este caso(despreciemos el empuje: ρc >> ρ):

Mejor coeficiente de arrastre CA pequeño para aerodinámica de coches, aviones …

2s2

1s vACF ρ=(analogía con sustentación: )

aL AC

mg2vρ

=Ejemplo: vL en el aire:

Objeto (Ca ≈ 1) masa A frontal vL NR

Gota lluvia 4×10-6 kg 3×10-6 m2 4.6 – 6.5 m/s 4×102

Gota granizo 4×10-3 kg 3×10-4 m2 14 – 20 m/s 104

Persona caída vertical 75 kg 0.6 m2 44 – 63 m/s 4×106

La ley de Stokes es válida para v pequeña. Más concretamente cuando el número de Reynolds asociado al cuerpo de diámetro D (análogo al definido para un fluido en un tubo) sea menor que la unidad:

1 vr2vD

NR <ηρ

=η

ρ= (se cumple la ley de Stokes:

cuerpos y velocidades pequeñas)