Unidad II Control

CONTROL II UNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA

UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD

INTRODUCCIN: Concepto de estabilidad.

Muchos sistemas fsicos son intrnsecamente inestables en lazo abierto e incluso

muchos sistemas se disean para sean inestables en lazo abierto.

Definicin: Un sistema estable es un sistema dinmico con una respuesta acotada

para una entrada acotada.


En lo que se refiere a los sistemas lineales, se reconoce que el requisito de

estabilidad puede definirse en funcin de la localizacin de los polos de la

funcin de transferencia de lazo cerrado. Esta funcin se escribe como

( ) ( )

( )

( )

( ) [ (

)]

donde ( ) es la ecuacin caracterstica cuyas races son los polos del

sistema de lazo cerrado.


La respuesta de la salida para una entrada impulso (cuando ) es:

( )

(

) ( )

donde y son constantes que dependen de , , , y .

Con el objeto de obtener una respuesta limitada, los polos del sistema de

lazo cerrado deben estar en la parte izquierda del plano .


Por esto, una condicin necesaria y suficiente para que un sistema de

realimentacin sea estable es que todos los polos de la funcin de

transferencia del sistema tengan partes reales negativas.


Respuesta al impulso de un sistema estable


Respuesta impulso de un sistema estable.


Si la ecuacin caracterstica tiene polos simples sobre el eje imaginario (eje

) con el resto de las races en el lado izquierdo del plano . La salida en

estado estacionario tendr oscilaciones mantenidas para una entrada

limitada, a menos que la entrada sea una sinusoide (la cual est limitada)

cuya frecuencia sea igual a la magnitud a las races del eje . Para este caso

la salida esta sin acotar. Para este caso al sistema se le denomina

marginalmente estable o crticamente estable.


Por ejemplo: Si la ecuacin caracterstica de un sistema en lazo cerrado es:

( )( )

Se dice que el sistema es marginalmente estable.


Si el sistema se excita con una sinusoide de frecuencia , la salida esta

sin acotar.

Respuesta al impulso de un sistema marginalmente estable


Respuesta de un sistema crticamente estable a una entrada sinusoidal de

frecuencia 7


Respuesta de un sistema crticamente estable a una entrada sinusoidal de

frecuencia 4.


Para un sistema inestable, la ecuacin caracterstica tiene al menos una raz

en el lado derecho del plano o races en repetidas; para este caso la

salida esta sin acotar para cualquier entrada.


CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Maxwell y Vishnegradskii consideraron por primera vez el problema de la

estabilidad de los sistemas dinmicos. A finales de la dcada de 1800, A .

Hurwitz y E. J. Routh publicaron por separado un mtodo para investigar la

estabilidad de un sistema lineal. El mtodo de la estabilidad de Routh-

Hurwitz proporciona una respuesta al problema de la estabilidad

considerando la ecuacin caracterstica del sistema, que en funcin de la

variable de Laplace se escribe como

( ) ( )


El criterio de Routh-Hurwitz se basa en el ordenamiento de los coeficientes

de la ecuacin caracterstica

en una lista como sigue:

|


El criterio de Routh-Hurwitz establece que el numero de races de

( ) con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo

de la primera columna de la lista

Para un sistema estable, este criterio requiere que no haya cambios de

signo en la primera columna. Este requisito es tanto necesario como

suficiente.


Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna de

la lista que deben ser consideradas y tratadas independientemente, puesto

que requieren modificaciones adecuadas del procedimiento de clculo de la

lista.

1) Ningn elemento en la primera columna es cero

2) Hay un cero en la primera columna, pero otros elementos de la fila

que contienen al cero de la primera columna no son iguales a cero.

3) Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila

que contienen al cero tambin son iguales a cero.

4) Como el tercer caso, pero con races repetidas sobre el eje .


CASO 1: Ningn elemento en la primera columna es cero

Ejemplo: Sistema de segundo orden.

La ecuacin caracterstica de un sistema de segundo orden es

( )

El arreglo de Routh-Hurwitz se escribe como:

|

donde:

|

| ( )


|

El requisito para que un sistema estable de segundo orden es

simplemente que todos los coeficientes sean positivos o que todos

sean negativos.


TAREA. Sistema de tercer orden

El polinomio caracterstico de un sistema de tercer orden es

( )

a) Encontrar el arreglo de Routh-Hurwitz

b) Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que el

sistema sea estable.

c) Analizar el siguiente polinomio caracterstico y determinar si es

estable o inestable.


CASO 2: Hay un cero en la primera columna, con algunos elementos

de la fila que contienen un cero en la primera columna diferentes

de cero.

Si nicamente un elemento del arreglo es cero, este puede reemplazarse

por un numero pequeo positivo, , que se permite que tienda cero

despus de completar el arreglo.

Por ejemplo, considrese el siguiente polinomio caracterstico:

( )


Se desarrolla el arreglo de Routh-Hurwitz :

|

|

|

| [( )( ) ( )( )]

|

| [( )( ) ( )( )]


|

|

Por lo tanto ,

|

|


|

| [( )( ) ( )( )]

|

| [( )( ) ( )( )]

|

|


|

|

[( )( ) ( )( )]

|

|


Resultado:

|

|

Hay dos cambios de signo debido a

. Por lo tanto el sistema es

inestable y dos races caen en la parte derecha del plano .


Utilizando Matlab se tiene que los polos son:

0.8950 + j 1.4561

0.8950 j 1.4561

-1.2407 + j 1.0375

-1.2407 - j 1.0375

-1.3087


CASO 3: Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la

fila que mantienen al cero tambin son cero.

Ocurre cuando todos los elementos de una fila son cero o cuando la fila

est constituida por un solo elemento que es cero. Esta condicin se

presenta cuando el polinomio contiene singularidades que se localizan

simtricamente respecto al origen del plano . Por tanto, el caso 3 ocurre

cuando se encuentran factores como ( )( ) ( )( ) .

Este problema s evita utilizando el polinomio auxiliar, ( ), que

precede inmediatamente al elemento cero en el arreglo de Routh-

Hurwitz. El orden del polinomio auxiliar siempre es par e indica el

nmero de pares de races simtricas.


Para ilustrar este mtodo, se considera un sistema de tercer orden con

un polinomio caracterstico:

( )

donde es una ganancia ajustable del lazo. El arreglo es entonces:

|

Por tanto, para un sistema estable, se requiere que:


Cuando , se tienen dos races en el eje y un caso de estabilidad

marginal. Obsrvese que se obtiene una fila de ceros (caso 3) cuando

. El polinomio auxiliar ( ), es la ecuacin de la fila que precede a

la de ceros. En este caso la ecuacin de la fila que precede a la de ceros

es la que se obtiene de la fila . Recurdese que esta fila contiene los

coeficientes de potencias pares de , y, por tanto, en este caso se tiene

( ) ( )( )

Por tanto cuando , los factores del polinomio caracterstico son

( ) ( )( )( )

La respuesta del caso marginal es una oscilacin inaceptable.


CASO 4: Races repetidas de la ecuacin caracterstica en el eje .

Si las races del eje de la ecuacin caracterstica son sencillas, el

sistema no es estable ni estable; en este caso se le denomina

marginalmente estable o crticamente estable, debido a que tiene un

modo sinusoidal subamortiguado. Si las races del eje estn

repetidas, la respuesta del sistema ser inestable con una forma

( ). El criterio de Routh-Hurwitz no revelara esta forma de

inestabilidad.

Considere un sistema con un polinomio caracterstico:

( ) ( )( )( )( )( )


La tabla de Routh-Hurwitz es:

|

|

donde . Observese la ausencia de cambios de signo, condicin que

errneamente indica que el sistema es marginalmente estable. La

respuesta impulsional del sistema aumenta con el tiempo ya que

( ). El polinomio auxiliar en la lnea de es

( ) ( )

que indica races repetidas en el eje .


TAREA 2:

1. Considrese el control de un brazo robtico. Existen alrededor de un

milln de robots en servicio en todo el mundo. El robot que se muestra

en la figura es un sistema microbot de seis patas que utiliza patas muy

flexibles con controladores de alta ganancia que pueden llegar a ser

inestables y oscilatorios. Con esta condicin, se tiene el polinomio

caracterstico:

( )

Mediante el criterio de Routh-Hurwitz determinar si el sistema es o no

estable.


4. Los ingenieros de diseo trabajan en el desarrollo de aviones de

combate pequeos, rpidos y de despegue vertical que sean invisibles

para los radares (aviones clandestinos).

En la figura E6.8 se muestra el concepto de avin que emplea toberas de

chorro de giro rpido para la direccin de la nave. El sistema de control

de la direccin se muestra en la figura E6.8. Determine la ganancia

mxima del sistema para una operacin estable.

+ ( + 20)

( + 10)

( )

cabeceo

( )

E6.8 Control del cabeceo de un avin.


3. Considere el sistema representado en forma de variables de estado.

donde

[

], [ ], [ ], [ ]

a) Cul es la funcin de transferencia del sistema?

b) para qu valores de , el sistema es estable?


2. METODO DEL LUGAR DE LAS RAICES

El comportamiento dinmico de un sistema de control de lazo cerrado se

describe mediante la funcin de transferencia de lazo cerrado

( ) ( )

( ) ( )

( ) (2.1)

donde ( ) y ( ) son polinomios en . Las races de la ecuacin

caracterstica ( ) determinan los modos de respuesta del sistema.

Para un sistema de lazo simple como el de la figura 2.1, se tiene la

ecuacin caracterstica:

( ) (2.2)

donde es un parmetro variable.


+

( )

( )

Las races caractersticas del sistema deben satisfacer la ecuacin

(2.2), donde las races estn en el plano . Como es una variable

compleja, la ecuacin (2.2) puede escribirse ahora en forma polar

como:

| ( )| ( )

Y por tanto, es necesario que

| ( )|

y

( ) ( )

donde

Figura 2.1 Sistema de control en

lazo cerrado con un parmetro

variable


El lugar de las races es el camino de las races de la ecuacin

caracterstica dibujado en el plano cuando se vara un parmetro

del sistema.


ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

En la prctica el desempeo de un sistema se mide ms realsticamente

por sus caractersticas en el dominio del tiempo. Esto contrasta con el

anlisis y diseo de sistemas de comunicacin para los cuales la

respuesta en frecuencia es de mayor importancia, ya que la mayora de

las seales a ser procesadas son de tipo sinusoidal o estn compuestas

por componentes sinusoidales. La respuesta en el tiempo en el tiempo

de un sistema es normalmente ms difcil de determinar

analticamente, especialmente para sistemas de orden superior. En

mtodos de diseo no hay mtodo unificado para llegar a un sistema

diseado que cumpla con las especificaciones de desempeo en el

dominio del tiempo. Por otra parte en el dominio de la frecuencia se

tiene un conjunto de mtodos grficos que no est limitado a sistemas

de bajo orden.


DEFINICION:

La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la

respuesta del sistema en el estado estacionario a una seal

sinusoidal de entrada.

La sinusoide es una seal de entrada nica, y la seal de salida

resultante para un sistema lineal, al igual que las seales a travs

del sistema, es sinusoidal en el estado estacionario; difiere de la

forma de onda de entrada solamente en amplitud y ngulo de fase.


Se considera el sistema ( ) ( ) ( ) con ( ) . Se

tiene que la transformada de Laplace de ( ) es:

( )

y

( ) ( )

( )

( )

( )

donde se supone que son polos distintos. Entonces, fracciones

parciales, se tiene:

( )


Tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene:

( )

{

}

donde y son constantes que dependen del problema. Si el

sistema es estable, entonces todos los tienen parte real distinta

de cero y positiva y

( )

{

}

porque cada termino exponencial decae a cero cuando

.


En el lmite para ( ), se obtiene, para (estado

estacionario),

( ) {

}

| ( )| ( )

( ) | ( )| ( )

donde ( ).


Por lo tanto la seal de salida en estado estacionario depende solo

de la magnitud y de la fase de ( ) a una frecuencia especifica.


GRAFICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

La funcin de transferencia de un sistema ( ) puede escribirse en

el dominio de la frecuencia por la relacin.

( ) ( )| ( ) ( )

donde: ( ) [ ( )] y ( ) [ ( )]

Alternativamente, la funcin de transferencia puede representarse

por una magnitud | ( )| y una fase ( ) como:

( ) | ( )| ( ) | ( )| ( )

| ( )| [( )] [ ( )]


La representacin grafica de la respuesta en frecuencia del

sistema ( ) se puede utilizar:

( ) ( )| ( ) ( ) (8.8)

( ) | ( )| ( ) | ( )| ( ) (8.9)


La representacin grfica polar de la repuesta en frecuencia se

obtiene utilizando la ecuacin (8.8), como se muestra en la figura

8.1, las coordenadas de la grafica polar son las partes real e

imaginaria de ( ).

Fig 8.1 Plano polar

[ ( )] ( )

[ ( )] ( )


EJEMPLO: Respuesta en frecuencia de un filtro

En la Figura 8.2 se muestra un filtro simple . Su funcin de

transferencia es

( ) ( )

( )


Y la funcin de transferencia sinusoidal en estado estacionario es:

( )

( )

( )

donde

Entonces la grfica polar se obtiene mediante la relacin

( ) ( ) ( )

(

)

( )


Parte real en rojo

Parte imaginaria en azul

El primer paso consiste en determinar ( ) y ( ) en las dos

frecuencias, y .

En , se tiene que ( ) y ( ) .

En , se tiene que ( ) y ( ) .

Estos dos puntos se muestran en la Figura 8.3

( )

( )

( )

( )


Adems, en esta figura se muestra el lugar geomtrico de las

partes real e imaginaria, y fcilmente se demuestra que es un

crculo con centro en ( ).


Cuando , las partes real e imaginaria son iguales y el

ngulo ( ) .

La grafica polar tambin se puede obtener fcilmente a partir de la

Ec. (8.9) como

( ) | ( )| ( )

donde

| ( )|

[ ( ) ]

y ( ) (

)


Evidentemente, cuando , la magnitud es | ( )| y

la fase es ( ) . As mismo, cuando se aproxima a ,

se tiene | ( )| y ( ) . De manera anloga, cuando

, se tiene | ( )| y ( ) .


FRECUENCIA DE RESONANCIA : es la frecuencia en la cual

el pico de resonancia ocurre.

EL ANCHO DE BANDA ( ):es la frecuencia en la cual | ( )|

cae al 70.7% o 3 dB debajo de su valor en la frecuencia cero.


ESTABILIDAD RELATIVA


MARGEN DE GANANCIA

El cruce de fase. Un cruce de fase sobre la traza de ( ) es un

punto en el cual la traza se intersecta con el eje real negativo.

Frecuencia de cruce de fase: La frecuencia de cruce de fase es

la freuencia en el cruce de la fase, o donde

( )

Margen de ganancia: es la cantidad de ganancia en decibeles (dB)

que se pueden aadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado

se vuelva inestable.


MARGEN DE FASE

Cruce de ganancia: El cruce de ganancia es un punto sobre la traza

( ) en el cual la magnitud de ( ) es igual a 1.

Frecuencia del cruce de ganancia: La frecuencia del cruce de

ganancia, es la frecuencia de ( ) en el cruce de ganancia o donde

| ( ) |

Margen de fase (PM): se define como el ngulo en grados que la

traza ( ) se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de

ganancia pase por punto ( )


Margen de fase definido en el plano ( )


EJEMPLO:

( )

( )( )


ANALISIS DE ESTABILIDAD CON LA GRAFICA DE BODE


Ejemplo:

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 14.8 dB (at 15.8 rad/sec) , Pm = 31.7 deg (at 6.22 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


Tarea 3:

1. Considere el sistema con realimentacin unitaria con las

funciones de transferencia en lazo abierto.

( )

Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando est sujeto a

cada una de las siguientes entradas:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )


2. Dado

( )

demuestre que

| ( )|


3. Analizar la respuesta en frecuencia de los siguientes sistemas de

control con realimentacin unitaria. Dibuje las trazas de bode,

calcule pico mximo, frecuencia de corte.

( )

( )( )

( )

( )( )

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