Unidad 5 - Estadistica Aplicada.docx

8/12/2019 Unidad 5 - Estadistica Aplicada.docx

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Rey Mndez Jos Alfredo Probabilidad y Estadstica

Instituto Tecnolgico de Veracruz

Ing. en Sistemas Computacionales

Probabilidad y Estadstica

Profesor:

Barrientos Arzamendi Victor Javier

Alumno:

Rey Mndez Jos Alfredo

Veracruz, Ver.


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Unidad 5 Estadstica Aplicada

1.1 Inferencia Estadstica

Tambin se le llama estadstica inferencial, pero previamente recordemos que laestadstica (EI) comprende el conjunto de mtodos estadsticos que permiten deducir

(inferir) cmo se distribuye la poblacin bajo estudio, a partir de la informacin que

proporciona una muestra representativa obtenida de dicha poblacin. Ver seccin 1.6.2

del presente libro. Para que la estadstica inferencial proporcione buenos resultados debe:

1. Basarse en una tcnica estadstico-matemtica adecuada al problema y suficientemente

validada.

2. Utilizar una muestra que realmente sea representativa de la poblacin y de un tamao

suficiente.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1.

Se realiza un estudio para comparar tres mtodos para ensear tcnicas de comprensin

lectora en ingls a escolares de segundo grado de Educacin Bsica Secundaria, como

son:

1. El mtodo de la enseanza recproca.

2. El mtodo de instruccin directa.

3. La combinacin de mtodos de instruccin directa y enseanza recproca.

Las preguntas por resolver son:

1. Cul de los mtodos mejora la comprensin lectora?

2. Para el prximo ao el mtodo, identificado como el mejor, dar buenos resultados

para el alumno Javier Hernndez Len, quin realizar el segundo grado de Educacin


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Bsica Secundaria?

La primera pregunta es un caso de incertidumbre porque basndonos en el estudio de tres

muestras independientesyen igualdad de condiciones se aplicar uno de los tres mtodos

a cada muestra de manera independiente; con el apoyo de la estadstica inferencial

absolvemos esta pregunta, eligiendo a la que mejora significativamente la comprensin

lectora para este tipo de alumnos.

La segunda pregunta es un caso de toma de decisiones porque Javier Hernndez Len no

ha participado en el estudio, pero se le aplicar el mejor mtodo que resulte de la

investigacin realizada, ahora bien, con qu confianza diremos que ese mtodo lograrque Javier mejore su comprensin lectora en ingls.

Los casos de incertidumbre y toma de decisiones son resueltos por la estadstica

inferencial, por supuesto apoyada por la probabilidad.

Para iniciarse en el estudio y aplicacin de la estadstica inferencial es

necesario conocer los conceptos bsicos que a continuacin se van a tratar.

1.2. POBLACIN

Este concepto vamos a definirlo bajo diferentes enfoques.

En investigacin cientfica se le define como la totalidad de elementos sobre los

cuales recae la investigacin. A cada elemento se le llama unidad estadstica, a

sta se le observa o se le somete a una experimentacin, estas unidades son

medidas pertinentemente.

Si representamos mediante X una variable aleatoria bajo investigacin, al estudiara sta

variable en la poblacin, como resultado tendremos los

valores:

X1 ,X 2 ,X3,...,X N


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Donde N es el total de elementos de la poblacin.

Ejemplo 2.2.

Sea X una variable aleatoria que representa la calificacin obtenida en la

prueba de conocimientos sobre educacin ambiental (escala vigesimal) de los

alumnos de la Facultad

de Educacin, si la poblacin consta de 300 alumnos, entonces:

X1 ,X2 ,X3 ,...,

X300

Es una poblacin en trminos de variable aleatoria, que selee as:

La calificacin que ha obtenido el alumno 1 en la prueba de conocimientos

sobre educacin ambiental, la calificacin que ha obtenido el alumno 2 en la

prueba de conocimientos sobre educacin ambiental, la calificacin que ha

obtenido el alumno 3 en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental, y

as sucesivamente hasta la calificacin que ha obtenido el alumno 300 en la

prueba de conocimientos sobre educacin ambiental.

El propsito de un estudio estadstico es extraer conclusiones acerca de la

naturaleza de la poblacin, pero resulta que las poblaciones son grandes, o por

razones de tica, recursos financieros, metodolgicos u otros no ser posible,

entonces se debe trabajar con una muestra extrada de la poblacin bajo estudio.

2.3. MUESTRA

Sierrra Bravo (1991), anota que una muestra en general es toda parte

representativa de la poblacin, cuyas caractersticas debe reproducir en pequeo lo

ms exactamente posible.

Para que sea representativa se debe seleccionar empleando el muestreo, tpico

importante de la estadstica, con la finalidad de que los resultados de esta muestra

sean vlidos para la poblacin de la que se ha obtenido la muestra. Esta

generalizacin se realiza empleando la estadstica inferencial.


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2.4. MUESTRA ALEATORIA

Una muestra aleatoria de tamao n de la funcin de distribucin de la variable

aleatoria

X es una coleccin de n variables aleatorias

independientes con la misma funcin de

distribucin de la variable aleatoriaX.

X1 ,X2 ,X3 ,...,X n , cada una

2.5. MUESTRA ALEATORIA APLICADA

Una muestra aleatoria de tamao n es un conjunto de n

observaciones

x1 ,x2 ,x3 ,...,xn

sobre lasvariables

X1 ,X2 ,X3 ,...,X n , independientes e idnticamente distribuidas


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x

2.6. PARMETRO

Sierra Bravo (1991), indica que parmetro deriva del vocablo griego parmetreo que

significa medir una cosa con otra: En estadstica se refiere a los valores o medidas que

caracterizan a una poblacin como, por ejemplo, la media y la desviacin tpica de una

poblacin () Son cantidades indeterminadas, constantes o fijas respecto a una condicin

o situacin, que caracterizan a un fenmeno en un momento dado que ocurre en una

poblacin.

Se suele representar a un parmetro mediante letras griegas. Por ejemplo, la media

poblacional se representa mediantex

y se lee como media poblacional de la variable

aleatoriaX, la varianza poblacional se representa mediante 2 y se lee como varianza


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poblacional de la variable aleatoriaX.

En trminos prcticos, un parmetro es un valor que resulta al emplear los valores que se

obtienen de una poblacin.

Ejemplo 2.5.

Si al obtener las calificaciones de los 300 alumnos que conforman la poblacin, stas se

promedian, entoncesx =14.78 es el parmetro correspondiente. Para su clculo se ha

empleado la siguiente expresin, llamada media poblacional:

N

X ii 1 (2.1)xN

Obviamente queN toma el valor de 300 para este ejemplo.

Si de estos 300 alumnos, 198 son mujeres, entonces la proporcin poblacional de mujeres

representada por x =0.66(66%). Para su clculo se ha empleado la siguiente expresin,

llamada proporcin poblacional:

N

X ii 1 (2.2)

xN

Pero, ahora la variable aleatoria se define como:

1X

i si alumna

0 si alumno

En este caso el numerador de la expresin (2.2) es 198 yN toma el valor de 300.


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2.7. ESTADSTICO

Se contrapone al parmetro porque es un valor que se obtiene a partir de los valores

muestrales. Se pueden obtener media y varianzas mustrales, por ejemplo.

Los estadsticos son variables aleatorias por que estn sujetos a la fluctuacin de la

muestra en relacin al valor poblacional, que se asume es constante.

Ejemplo 2.6.

Continuando con el ejemplo 2.4, al seleccionar una muestra aleatoria de tamao seis, unavez identificados los seis alumnos, se obtienen las siguientes calificaciones x1 = 13,x2 =

10, x3 = 13, x4 = 14 x5 = 11, x6 = 10. La media obtenida de los seis alumnos es de

11,83, llamada media muestral y se representa mediante x , cuya expresin es:


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Unidad xi x x2

xi

13 1,3689

10 -1,83 3,3489

13 1,3689

14 4,7089

11 -0,83 0,6889

10 -1,83 3,3489

Total 71 0,02* 14,8334

n

xii 1

n(2.3)

El numerador de la expresin (2.3) es la suma de los seis valores, que da 71, que dividido

por 6, resulta x = 11,83, es decir en promedio los alumnos han obtenido 11,83 de

calificacin en la prueba de educacin ambiental.

La varianza de esta muestra aleatoria es 2,4722, y se representa mediante

expresin es:

S2 , cuya

n2

xi xS

2 i 1

n(2.4)

Para su clculo, disponemos de la tabla 2.1, en la que mostramos paso a paso el uso de la

expresin (2.4), sabiendo que x = 11,83:

Tabla 2.1

Clculos para obtener el valor de la varianza (Ejemplo 2.6)

i


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Tericamenten

xi x 0i 1

El numerador de la expresin (2.4) es la suma del cuadrado de las seis desviaciones de

cada valor que toma la variable, respecto a su media aritmtica, que es igual a 14,8334, que

dividido por 6 es justamente 2,4722.

La raz cuadrada, positiva, de la varianza se llama desviacin estndar o desviacin tpica,

esto es:

S S 2 (2.5)

Entonces, usando la expresin anterior (2.5), la desviacin estndar es S = 1,5723.

2.8. DISTRIBUCIN MUESTRAL

Sierrra Bravo (1991), anota que la distribucin muestral est formada por estadsticos o

valores determinados obtenidos de muestras: medias, varianzas, etc. acompaados de sus

respectivas frecuencias relativas o probabilidades, o de la proporcin de veces que se

repiten en el conjunto de todas las muestras posibles del mismo tamao obtenidas de la

poblacin.

De manera ms formal, Tsokos y Milton (1998), anotan que la distribucin de

probabilidad del estadstico se llama distribucin muestral.

Ejemplo 2.7.

Vamos a obtener la distribucin muestral, de las calificaciones obtenidas en la prueba que

mide la educacin ambiental, de una poblacin hipottica compuesta por 3 estudiantes y

que toma calificaciones iguales a: X1 = 13,X 2 = 11,X 3 = 07. Fijamos para una muestra


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de tamao 2. En la tabla 2.2 se muestran los posibles resultados de la muestra de tamao

2, as como su respectiva media muestral:

Tabla 2.2Resultados de posibles muestras de tamao 2

Muestras

posibles

Medias muestrales

(media para cada muestra)

13,11 12

13,7 10

11,13 12

11,7 9

7,13 10

7,11 9

Ahora se muestra la distribucin de frecuencias para los valores de la media muestral:

Tabla 2.3

Distribucin muestral de la media muestral

Valores de las

medias muestrales

Frecuencia Frecuencia relativa

9 2 2/6 = 0.33

10 2 2/6 = 0.33

12 2 2/6 = 0.33

La distribucin muestral de la media muestral es la distribucin de frecuencias o de

probabilidad. En este caso, de las frecuencias relativas de todas las medias muestrales

posibles, obtenidas de muestras de tamao 2, de la poblacin de tamao 3.


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x

Por cultura estadstica estudiaremos algunos estadsticos y su distribucin de probabilidad

(distribucin muestral).

2.8.1. Media muestral

La expresin (2.3), nos indica cmo se obtiene una media muestral. Veamos sus

propiedades:

Propiedades de la media muestral

Si X es una variable aleatoria con esperanza o media poblacional y varianza

poblacional 2 , entonces la media muestral x tiene las siguientes propiedades:

1. E x

2. V x 2 / n

3. La desviacin estndar de x , que se representa mediante , conocida tambin como

error estndar de la media muestral es igual a / n

4. Sea X1 ,X 2 ,X 3 ,...,X n una muestra aleatoria de tamao n, de una distribucin con

media poblacional y varianza poblacional 2 . Entonces, para n grande, la variable

aleatoria:

x

/ n(2.6)

Se distribuye aproximadamente como una normal estandarizada N 0,1 . Se considera

una buena aproximacin cuando n 30 (teorema del lmite central). De este modo,


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(n-1)s^2

a^2

incluso, an cuando la variable aleatoriaX no est normalmente distribuida, podemos

aplicarla en la inferencia estadstica.

2.8.2. Varianza muestral

A partir de cada muestra aleatoria de tamao n de X :

calcular la varianza muestral definida como:

x1 ,x2 ,...,xn , tambin se puede

s21

n 1

n2

xi x (2.7)i 1

Cabe precisar, que algunos autores la llaman cuasivarianza.

Propiedades de la varianza muestral

Si X es una variable aleatoria con esperanza y varianza y ^2 respectivamente,

entonces para la varianza muestral de tamao n se cumple que:

1. E(s^2) = ^2

2. Si X tiene distribucin de probabilidad normal , esuna variable aleatoria con

distribucin chi-cuadrado con n 1 grados de libertad.

CUL ES LA DIFERENCIA ENTRE DESVIACIN ESTNDAR

Y ERRORESTNDAR?

La diferencia es que la DESVIACIN ESTNDAR describe la variabilidad

de los valores de unavariable, en cambio el ERROR ESTNDAR describe

la precisin del estadstico.


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Ejemplo 2.8.

En una muestra aleatoria de 15 docentes de educacin secundaria, de la Institucin

Educativa Martn Adn, se aplic un cuestionario para recoger su opinin sobre elinvestigador educativo. Se presenta la respuesta de 3 preguntas, de un total de 27:

Tabla 2.4

Muestra aleatoria de 15 docentes de la Institucin Educativa Martn Adn (Lima)

Docente Edad(1) Investigador(2) Remuneracin(3)

1 34 1 1

2 38 1 1

3 49 2 1

4 42 1 1

5 35 1 2

6 44 2 1

7 30 1 2

8 36 1 1

9 43 2 1

10 47 2 1

11 39 1 2

12 46 2 1

13 48 2 1

14 36 1 215 44 1 1

(1) Edad en aos cumplidos del docente.

(2) La profesin de investigador es profesin atractiva para:

1. Docentes jvenes. 2. Docentes maduros.

(3) El investigador educativo debe ser bien remunerado:

1. S. 2. No.


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5,48 5,48

n 15 3,87

Con esta informacin vamos a mostrar la diferencia entre desviacin estndar y error

estndar.

Media muestral

La edad en aos cumplidos tiene distribucin con media poblacional, = 38,5 aos y

varianza poblacional, 2 = 30 aos2.

Usando la expresin 2.3 se obtiene x = 40,73 aos, y al usar la expresin 2.7 se obtiene

s2 = 33,21 aos2.

Por tanto la desviacin estndar muestral de la edad es: s s2 33,21 = 5,76.

En cambio el error estndar del estadstico media muestral, empleando la propiedad 3, es:

x = 1,42 aos.

Proporcin muestral

Para la segunda variable, interesa que el docente encuestado indique que la profesin de

investigador es una profesin atractiva para docentes jvenes (A). La muestra aleatoria

es igual a 15 docentes n 15 .

En esta poblacin se asume que la proporcin poblacional de docentes que consideran

que la profesin de investigador es una profesin atractiva para docentes jvenes es igual

a 0,71 0,71 .


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De la tabla contamos que, nA =9, es decir 9 docentes afirman que la profesin de

investigador es una profesin atractiva para docentes jvenes, entonces empleando la

expresin 2.8, se obtiene:

p9

= 0,6 (60%)15

Esto es, el 60% de docentes encuestados afirman que la profesin de investigador es una

profesin atractiva para docentes jvenes.

El error estndar del estadstico p es:

(1 )p

n

0,71(1

15

0,71) 0,71(0,29)

15

0,2059

150,0137 = 0,1170

2.9. ESTIMACIN

La inferencia estadstica se clasifica como: estimacin y prueba de hiptesis de parmetros

estadsticos. En ambos casos hay una poblacin bajo investigacin y generalmente al

menos un parmetro de esta poblacin, al que vamos a representar mediante la letra

griega .

Cuando no se tiene una nocin preconcebida sobre el valor de , se desea responder a la

pregunta: Cul es el valor de ?

En este caso el intentar conocer el valor de es en trminos estadsticos, estimar el valor

de es decir tratar de conocer el valor del parmetro en trminos prcticos.

Sierra Bravo (1991), anota que estimacin proviene del latn estimatio y significa

estimacin, precio y valor que se da a una cosa. En estadstica es la operacin que

mediante la inferencia un parmetro, utilizando datos incompletos procedentes de una


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muestra, se trata de determinar el valor del parmetro. Pero los valores de la muestra estn

sujetos al error muestral esto es a las fluctuaciones de la muestra.

La estimacin de un parmetro puede ser mediante una:

1. Estimacin puntual.

2. Estimacin mediante intervalos de confianza.

Para cualquiera de estas dos situaciones empleamos el estadstico que, como ya se ha

mencionado, es una variable aleatoria.

La aproximacin se hace utilizando estadsticos apropiados. A un estadstico empleado

para aproximar o estimar un parmetro de la poblacin se le llama estimador puntual

de y se denota mediante . De este modo por ejemplo, al estimador de la media , se

le denotara por . Una vez que la muestra ha sido tomada y se han hecho algunas

observaciones, se puede obtener el valor numrico del estadstico . A tal nmero se le

denomina una estimacin puntual de . Ntese que hay una diferencia entre los trminos

estimador y estimacin.

ESTIMADOR: Es el estadstico utilizado para generar una estimacin y es una

variable aleatoria.

ESTIMACIN: Es el valor que toma el estimador.

Ejemplo 2.9.

Consideremos las variables edad en aos cumplidos X y el docente considera que el

investigador educativo debe ser bien remunerado Y , para distinguir entre estimador y

estimacin:


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Variable Parmetro Estimador Estimacin

X

n

xix i 1

n

x = 40,73 aos

2

2 1n

2

sn 1

xi xi 1

2s

2 =33,21 aos2

Yp

nA

n p 0,7333(73,33%)

2.10. PRUEBA DE HIPTESIS

Proceso mediante el cual, a partir de los valores de una muestra aleatoria, se decide si se

rechaza o no el supuesto que plantea el investigador para el parmetro o parmetros de la

poblacin o poblaciones bajo estudio, pero con cierta probabilidad de error (riesgo) por

tomar una decisin.

Ejemplo 2.10.

En cierta investigacin, se requiere estudiar el nivel de comprensin lectora en nios de 8

aos de edad, que asisten a Instituciones Educativas estatales y privadas, para tal fin se

elige al azar una muestra de alumnos de cada tipo de Institucin Educativa (IE). Se

pretenden lograr los siguientes objetivos:

1. Determinar el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin

lectora para tipo de IE.


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2. Verificar si el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin

lectora en nios de IE estatal es diferente de los nios de IE privados.

Explicar cul rama de la inferencia estadstica emplear para lograr cada objetivo.

Solucin

Previamente se requiere identificar:

Poblacin. Se trata de dos poblaciones bajo estudio:

1. Nios de 8 aos de edad, que asisten a Instituciones Educativas estatales.

2. Nios de 8 aos de edad, que asisten a Instituciones Educativas privadas.

Muestra. Nios de 8 aos de edad seleccionados aleatoriamente e independiente de cada

poblacin.

Variable aleatoria. Est representada mediante X y se define como: Puntaje de

comprensin lectora obtenida mediante una prueba especial.

Parmetros: En relacin a la variable aleatoria bajo estudio y considerando que se

investiga para dos tipos deIE, los parmetros son:

1 = Nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para

nios de 8 aos de edad que asisten a IE estatales.

2 = Nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora

para nios de 8 aos de edadque asisten a IE privados.


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1 = Desviacin estndar poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora

para nios que asisten a IE estatales.

2 = Desviacin estndar poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora

para nios que asisten a IE privadas.

Para lograr el objetivo 1. Se debe emplear la estimacin debido a que se requiere tener

un valor aproximado de 1 y 2 empleando muestras aleatorias que se han obtenido de

manera independiente de cada tipo de institucin educativa.

Para el logro del objetivo 2. Se debe verificar que los promedios poblacionales 1 y 2

son diferentes a partir de muestras aleatorias, aritmticamente significa: 1 diferente de

2 ( 1 2) o equivalentemente 1 - 2 = 0.

En este caso se parte del supuesto que no existe diferencias entre el nivel promediopoblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para nios que asisten a IE

estatales y privados. Por tanto se empleara la prueba de hiptesis estadstica, mediante el

cual se somete a prueba 1 - 2 = 0.

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