Unidad 5: Estadstica1. Qu es la estadstica?La Estadstica es una parte de las Matemticas que estudia diversos mtodos y procedimientos para: Recoger y clasificar informacin significativa sobre nuestro entorno. Resumir y representar la informacin recogida de forma sencilla y adecuada, mediante tablas, grficos, medidas,. Hallar regularidades y patrones que se repiten en los datos analizados. Los apartados anteriores nos sirven, en resumen, para describir y analizar los datos recogidos, y forman parte de la llamada ESTADSTICA DESCRIPTIVA. Realizar inferencias (estimaciones, predicciones a futuro, ) acerca de una generalidad compleja basndonos en la informacin obtenida mediante las muestras analizadas. Estas predicciones las hace mediante el clculo de probabilidades y son muy importantes a la hora de tomar decisiones. De esta labor se encarga la llamada ESTADSTICA INFERENCIAL.Podemos resumir todo lo anterior diciendo que la estadstica es la ciencia que se encarga de recopilar y resumir informacin, y sacar conclusiones con los datos analizaos.Hoy en da est presente en todos los medios de comunicacin (prensa, televisin, radio) con numerosas estadsticas y grficos relativos a cuestiones como: Poblacin. Turismo. Paro. Tendencias polticas. Economa. Accidentes y mortalidad. Hbitos alimenticios y de salud. Enfermedades.Como hemos visto, podemos dividir el estudio de la Estadstica en dos ramas: Estadstica descriptiva: analizan los resultados obtenidos para buscar patrones y comportamientos que describan los ms acertadamente la poblacin de estudio. Estadstica inferencial: el objetivo de su estudio es buscar mtodos que permitan obtener predicciones generales basndonos en los datos analizados (muestras).La Estadstica es una herramienta fundamental en los casos de aquellos campos en los que hay multitud de variables relacionadas y de gran complejidad, en las que existe incertidumbre y no es posible establecer alguna frmula determinista que explique la relacin entre las distintas variables.Ejemplo de ley determinista:Movimiento rectilneo uniforme: el espacio recorrido depende de las variables tiempo y velocidad segn la frmula e = v t. En este caso no hay ninguna incertidumbre, el espacio queda totalmente determinado si conocemos la velocidad del objeto y el tiempo transcurrido.Ejemplo de sistema complejo, donde no son vlidas las leyes deterministas y sera adecuado un tratamiento estadstico:Altura de un nio. En este caso la altura depende de un sistema complejo de variables, entre las que podramos nombrar: edad, alimentacin, clima, gentica, cuidado de los padres, estado emocional (que afectara al sistema hormonal), etc. Aunque sabemos que la altura depende de todas estas variables (y de otras muchas ms) nos es imposible dar una frmula matemtica exacta para la altura, ya que lo ms que podramos hacer es dar alguna estimacin, con cierto margen de error (incertidumbre).

Ejemplo de aplicacin de la estadstica: Antes de celebrarse unas elecciones la prensa publica los posibles resultados. Gracias a que se ha hecho un sondeo entre algunas personas de la poblacin, se puede pronosticar el probable reparto de los votos, aunque esto ser tan slo una estimacin aproximada, tanto ms precisa cuanto mayor sea el sondeo realizado.PRCTICAMENTE TODAS LAS CIENCIAS HACEN USO DE LA ESTADSTICA.Ejemplos: En Sociologa se emplea para conocer las opiniones y hbitos de comportamiento de la poblacin. En Psicologa, para medir y tabular las aptitudes de un colectivo. En Medicina para conocer las incidencias de determinadas enfermedades de la poblacin, para estudiar cmo afecta la alimentacin en la salud, etc.Es por ello que la Estadstica ES UNA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL EN NUESTRA SOCIEDAD.2. HISTORIA y EVOLUCIN DE LA ESTADSTICAEn su origen, la Estadstica se refera al anlisis de datos del Estado, para ser utilizados por el gobierno.En particular, loscensoscomenzaron a suministrar informacin regular acerca de lapoblacinde cada pas. As pues, los datos estadsticos se referan originalmente a los datos demogrficos de una ciudad o estado determinados.Este uso por parte del Estado viene de muy antiguo: El estudio estadstico ms antiguo que se conoce se realiz en China cuando el emperador Yao encarg la confeccin de un censo del imperio. Esto suceda a finales del tercer milenio antes de Cristo. Tambin en fechas similareslos babilonios usaban tablas de arcilla con marcas para recopilar datos sobre la produccin agrcola y el comercio. Los egipcios analizaban los datos de poblacin (censo), datos agrcolas (superficies de terreno, cantidad de cosecha recogida, ) y de renta del pas en el siglo XIa.C. Los antiguos griegos realizaban censos cuya informacin se utilizaba hacia el 594a.C.con el objeto de cobrar impuestos para el estado. Otro censo famoso, segn relataba el historiador Tcito, fue el que recoga las propiedades y los ejrcitos del imperio de Roma en tiempos del emperador Octavio Augusto. Esto era de gran importancia porque las dimensiones del imperio se hicieron cada vez mayores, y era necesario conocer con exactitud las fuerzas y riquezas disponibles para poder planificar correctamente las decisiones a tomar a la hora de ampliar o defender fronteras con los pueblos brbaros. Adems se cre la figura del censor, cuya misin consista en controlar el nmero de habitantes y su distribucin por los distintos territorios. En Espaa, los Reyes Catlicos ordenaron en 1.482 el recuento de hogares de las provincias de Castilla.Aparte de la recogida de datos por el Estado, merecen especial importancia en el nacimiento de la Estadstica tal como la conocemos hoy en da los siguientes trabajos: En el siglo XVII desarrolla sus trabajos John Graunt, considerado como el precursor de la actual estadstica. Graunt era un comerciante ingls que, entre 1604 y 1661 recoge los datos sobre los nacimientos y defunciones ocurridos en Londres. En 1662 publica su trabajo donde expone estos datos as como la importancia de las influencias naturales, sociales y polticas en los mismos. Con ello extrae consecuencias y formula leyes demogrficas y de comportamientos sociolgicos. Puede considerarseel primer trabajo estadsticoserio sobre la poblacin. Un poco ms tarde, el astrnomoEdmund Halleypresenta la primera tabla de mortalidad que se puede considerar como base de los estudios contemporneos. En dicho trabajo se intenta establecer el precio de las anualidades a satisfacer a las compaas de seguros. En la actualidad, el alcance y variedad de los mtodos estadsticos es muy amplio y tiene aplicaciones en prcticamente todas las ciencias: medicina, biologa, estudios climticos, sociologa, mercado laboral, poltica, economa, deporte Prcticamente en cualquier informativa nos ofrecen informacin estadstica sobre: Consumo (agua, electricidad, gasolina, telefona, internet, ordenadores, coches, turismo, ). Situacin laboral (Encuesta de la poblacin activa (EPA), afiliados a la seguridad social, evolucin del paro mes a mes y tasa interanual, ). Sondeos electorales y de opinin (qu es lo que ms preocupa actualmente a los espaoles?, ).Adems toda esta informacin viene resumida en multitud de grficos estadsticos (de sectores, de barras, pirmides de poblacin, ).Es por ello que en la sociedad actual se hace necesario tener un conocimiento amplio de este lenguaje grfico estadstico, para poder entenderlo y saber analizarlo e interpretarlo correctamente de forma autnoma, sin necesidad de alguien que nos traduzca su significado.

3. TERMINOLOGA ESTADSTICA: POBLACIN, INDIVIDUO y VARIABLE ESTADSTICAPoblacin: son aquellas personas o cosas sobre las que queremos hacer un estudio estadstico. Observa que la estadstica no siempre estudia a colectivos humanos. A cada uno de los miembros de la poblacin los llamamos individuos o elementos. Ejemplos: A la hora de estudiar los resultados de las prximas elecciones, la poblacin est formada por todas las personas del Estado con derecho a voto. Es, por tanto, una poblacin humana.Si se quiere estudiar la resistencia al calor de los recipientes de plstico de una marca, la poblacin la forman todos los recipientes de plstico de esa marca. En este caso la poblacin no es humana.Variable estadstica (tambin llamado carcter estadstico): aquel aspecto de la poblacin que nos interesa estudiar. Ejemplos: Realizamos un estudio sobre la produccin de las fincas de Arguinegun: Poblacin = Fincas de Arguinegun. Variable estadstica = Produccin de las fincas (tipos y cantidad de frutas y verduras recogidas). Realizamos un estudio sobre la resistencia de un modelo de vigas para la construccin: Poblacin = Todas las vigas de ese modelo. Variable estadstica = resistencia de la viga. Realizamos un estudio sobre la vida media de diferentes modelos de vehculos: Poblacin = Los distintos modelos de vehculos. Variable estadstica = Vida media de cada modelo. Realizamos un estudio sobre la duracin de un modelo concreto de pilas: Poblacin = Todas las pilas de ese modelo. Variable estadstica = Duracin de las pilas. Observa que, de una misma poblacin, existen normalmente muchas variables estadsticas que se pueden analizar. Aquellas que elijamos dependern de la aplicacin del estudio.Observa los siguientes ejemplos de variables estadsticas que se pueden estudiar relativos a las poblaciones formadas por los habitantes de Arguinegun y por las calles de ArguinegunSituacin laboralEstado civilProfesinHbitos alimentariosAlturaHabitantes de ArguinegunPesoColor de ojosNacionalidadEdadEs fumador?n hijos

Ejercicio: En las siguientes estadsticas determina la poblacin y la variable estadstica. Servicios disponibles

Funcionamiento del servicio de basuras

Obras necesariasEstado acerasn de vecinosCalles de ArguinegunEstado del asfaltado

Estado alumbradoLongitudBarrion de edificiosNombre

a) Nmero de horas perdidas por huelgas en las empresas de ms de 50 trabajadores.

b) Nmero de tarjetas amarillas sacadas en los partidos de la ltima jornada de liga.

c) Estudio de las nacionalidades de los turistas de 2012 en Arguinegun.

d) Nmero de hermanos de los estudiantes de una clase.

e) Velocidad de saque de un jugador de tenis.

Ejercicio: escribe las variables estadsticas que se te ocurran relativas a las familias de Mogn:

FAMILIAS DE MOGN

Tipos de variables estadsticasLas variables estadsticas pueden ser de dos tipos: Cuantitativas: se describen mediante nmeros. Por ejemplo el salario, el nmero de hijos, la edad, etc. Cualitativas: no se describen con nmeros. Por ejemplo el color de los ojos, el modelo, el estado civil, etc.A su vez, las variables cuantitativas (numricas) podemos considerarlas de dos tipos: Variables cuantitativas discretas: son aquellas que slo pueden tomar un nmero finito de valores aislados. Por ejemplo, el nmero de hermanos podra ser 0, 1, 2, 3 pero no podra ser 13 ni 228. Variables cuantitativas continuas: pueden tomar cualquier valor posible dentro de un intervalo. Por ejemplo el peso, la altura.Ejercicio: en la poblacin formada por todos los alumnos del CEPA MOGN decir de qu tipo son cada una de estas variables estadsticas:AficionesEstaturaNmero de calzadoPreferencias musicalespoca preferida del aon de mdulos que cursanTtulo del ltimo libro ledo Nmero de hermanas SexoEjercicio: para cada una de estas poblaciones indicar al menos 5 variables estadsticas de tipo cuantitativo (indicando el tipo) y otras 5 de tipo cualitativo. Adems indicar quines son los individuos:a) Poblacin = viviendas de Arguinegun. Individuos: Var. Cuantitativas: Var. Cualitativas: b) Poblacin = libros de la biblioteca municipal. Individuos: Var. Cuantitativas: Var. Cualitativas: c) Poblacin = coches del municipio de Las Palmas. Individuos: Var. Cuantitativas: Var. Cualitativas: d) Poblacin = perros del municipio de Las Palmas. Individuos: Var. Cuantitativas: Var. Cualitativas: e) Poblacin = hamburguesas comercializadas en Espaa. Individuos: Var. Cuantitativas: Var. Cualitativas: f) Poblacin = equipos de ftbol de primera divisin. Individuos: Var. Cuantitativas: Var. Cualitativas:

Notacin sobre variables aleatoriasSi estamos estudiando alguna variable aleatoria, llamaremos X al conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable. Ejemplos: Si la variable aleatoria es nmero de hermanos X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, }. Si la variable aleatoria es estado civil entonces X = { soltero, casado, separado, viudo, }.

4. FRECUENCIA ABSOLUTA, FRECUENCIA RELATIVA y TABLAS DE FRECUENCIASLa variable estadstica que estamos estudiando toma diferentes valores segn el individuo de la poblacin al que preguntemos. Al realizar un estudio estadstico, uno de los primeros pasos es obtener los datos. Despus hay que ordenarlos, contarlos y tabularlos. El resultado de este trabajo son las tablas de frecuencia, en la que aparecen una serie de parmetros que nos ayudan a comprender mejor cmo es la poblacin que estamos estudiando. Entre los parmetros que aparecen en la tabla y que estudiaremos en breve tenemos: Los distintos valores que puede tomar variable estadstica X, representados por xi. La frecuencia absoluta de cada valor, representada por f(xi ) o por fi. La frecuencia absoluta acumulada, representada por Fi. La frecuencia relativa, representada por hi. La frecuencia relativa acumulada, representada por Hi. Los porcentajes de cada valor.

Observacin: El subndice i indica el lugar en que aparece cada dato o frecuencia. As, x3 corresponde al tercer valor de la variable X, f2 = f(x2), o sea la frecuencia absoluta del segundo valor, etc.

Frecuencia absolutaLa frecuencia absoluta (fi) de un valor xi es el nmero de veces que se repite ese valor. Por ejemplo si preguntamos a 10 alumnos el nmero de hermanos que tienen podramos obtener estas respuestas: 2, 1, 3, 0, 1, 3, 2, 2, 4, 1. En este caso hay 3 alumnos que tienen 2 hermanos, as que tenemos que f(2) = 3.

Ejercicio: halla la frecuencia absoluta del resto de valores de la variable estadstica del ejemplo anterior.

Observaciones: La suma de todas las frecuencias absolutas es el nmero total de datos, que designaremos con la letra N. As, en el ejemplo anterior la suma de frecuencias debe de ser 10 (comprobarlo). La frecuencia absoluta por s sola no basta para reflejar el significado de un valor de la variable en el conjunto de todos los datos. Por ejemplo, si hacemos un sondeo de intencin de voto para unas elecciones, tenemos que la variable aleatoria puede tomar estos valores: X = { Partido 1, Partido 2, Partido 3, NSNC, Abstencin }. Qu conclusin podemos sacar si sabemos que f(Abstencin) = 5 (hay cinco que piensan abstenerse)?Pues si el grupo es de 10 personas, significa que la mitad se abstendrn; pero si el grupo es de 100 personas, slo el 5 se abstendrn. O sea, no podemos darle un significado correcto si no conocemos tambin el nmero total de datos recogidos, que llamaremos N. Como ves, es fundamental hacer referencia al nmero total de datos (N), y para eso se define la frecuencia relativa.

Frecuencia relativaSe denomina frecuencia relativa (hi) de un valor de la variable estadstica al cociente entre su frecuencia absoluta y el nmero total de datos que componen la muestra estudiada: hi = Observaciones: La frecuencia relativa de un valor de la variable representa el tanto por uno del total y, en consecuencia, es siempre inferior o igual a la unidad. Nos indica el nmero de veces que se repite un valor pero en relacin a 1: 0 significa que no se repite nunca y 1 que se repite todas las veces. La suma de todas las frecuencias relativas es siempre igual a 1. Para hallar el porcentaje (tanto por ciento) con el que se repite un valor, tan slo hay que multiplicar la frecuencia relativa (tanto por uno) por cien.Ejercicio: halla las frecuencias relativas de cada uno de los valores del ejemplo anterior.

Ejercicio: Qu significa que hi=050? Y 025? Y 03? Por qu todas las frecuencias relativas suman 1?

Elaboracin de una tabla de frecuenciasPara elaborar la tabla de frecuencias pertenecientes a un estudio estadstico, simplemente tenemos que ordenar los datos obtenidos de menor a mayor y luego contar el nmero de veces que se repiten los distintos valoresEjemplo: Al preguntar en un curso de 4 de GES cuntos hermanos tiene cada uno, las respuestas han sido: 0, 1, 1, 6, 3, 4, 3, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 2.Observa que el cero se repite 2 veces, el uno se repite 6 veces... Podemos elaborar la tabla:Datos (xi)Frecuencia absoluta (fi)Frecuencia relativa (hi)Porcentaje(%)

022/20 = 0110 %

166/20 = 0330 %

266/20 = 0330 %

344/20 = 0220 %

411/20 = 0055 %

500/20 = 00 %

611/20 = 0055 %

Total = N = 20Total = 1Total = 100 %

Observaciones: Hemos hallado una nueva columna de porcentajes. El porcentaje de un valor se obtiene multiplicando su frecuencia relativa por 100. La suma de todos los porcentajes es 100.Ejercicio: preguntamos entre uno grupo de amigos por el nmero de asignaturas pendientes para obtener el ttulo, y stas han sido las respuestas: 0, 1, 2, 3, 1, 0, 0, 3, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2,0, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 4, 5, 2, 1, 1, 1, 2, 0Efecta el recuento y completa la siguiente tabla estadsticaDatos (xi)Frecuencia absoluta (fi)Frecuencia relativa (hi)Porcentaje(%)

0

1

2

3

4

5

Total = N =Total =Total =

Frecuencias acumuladasLa frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un valor xi es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi, o sea Fi = f1 + f2 + ...+ fi La frecuencia relativa acumulada (Hi) de un valor xi es igual a la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales a xi: Hi = h1 + h2 + ...+ hiO sea, simplemente hay que sumar todas las frecuencias hasta la del valor que estamos estudiando. As tenemos que F4 = f1 + f2 + f3+ f4 y de la misma forma H4 = h1 + h2 + h3+ h4.Observaciones:

La frecuencia absoluta acumulada del ltimo valor, como es la suma de todas las frecuencias absolutas (nmero de veces que se repiten), siempre va a coincidir con el nmero total de datos, N. De la misma forma, como la frecuencia relativa acumulada del ltimo valor es la suma de todas las frecuencias relativas, siempre va a dar 1. Con las frecuencias acumuladas podemos responder fcilmente preguntas del tipo cuntas personas tienen 3 o menos nmero de hermanos?, ya que este valor lo va a dar directamente las frecuencias acumuladas. Por ejemplo, para esta pregunta la respuesta sera el valor F3 , ya que F3 = f0 + f1 + f2 + f3, que seran las personas con 0 hermanos, ms las que tienen 1 hermano, etc.Ejercicio: completa la tabla del ejercicio anterior con las frecuencias acumuladasDatos (xi)Frecuencia absoluta (fi)Frecuencia relativa (hi)Porcentaje(%)Frec. abs. acumulada (Fi)Frec. rel. acumulada (Hi)

022/20 = 0110 %

166/20 = 0330 %

266/20 = 0330 %

344/20 = 0220 %

411/20 = 0055 %

500/20 = 00 %

611/20 = 0055 %

Total = N = 20Total = 1Total = 100 %

Ejercicio: a distintos conductores se les ha preguntado cuntos litros consume su coche cada 100 km, en carretera. stas son sus respuestas: 8, 9, 10, 8, 6, 6, 5, 7, 7, 7, 4, 5, 11, 7, 7, 6, 8, 9, 10, 7, 9, 8, 7a) Expresa la informacin en una tabla de frecuencias.Datos (xi)Frec. absoluta(fi)Frec. relativa (hi)Porcentaje (%)frec. abs.acumulada. (Fi)frec. relativaacumulada. (Hi)

Total = N =Total =Total =

b) Cuntos conductores dicen que su coche gasta 7 litros o menos? Con qu frecuencia absoluta acumulada coincide la respuesta?

c) Cuntos conductores gastan 9 litros o menos? Qu porcentaje supone?

Ejercicio: las notas correspondientes a un examen de lengua han sido:6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4

a) Completa la tabla de frecuencias:Datos (xi)Frecuencia absoluta (fi)Frecuencia relativa (hi)Porcentaje(%)Frec. abs. acum. (Fi) Frec. rel. acum. (Hi)

Total = N = Total = Total =

b) Cuntos alumnos han aprobado? (utiliza las frecuencias acumuladas para todas estas cuestiones)c) Qu porcentaje de alumnos han sacado un 7 o menos?d) Cuntos han sacado ms de un 6?e) Qu porcentaje ha sacado menos de un 4?

Agrupacin de datos en intervalosSi la variable estadstica que estamos estudiando es continua, es aconsejable hacer una agrupacin de los datos en intervalos que denominamos clases. Tambin se recomienda agrupar los datos en clases en el caso de que la variable sea discreta, pero con un nmero muy alto de datos.Ejemplo 1: imagina que la variable estadstica que estamos estudiando es la altura de los habitantes de un municipio, y con los datos recogidos observamos que la altura vara entre 80 cm y 2m 25 cm (225 cm). Si vamos a hacer la tabla de datos, resulta complicado y poco prctico hacer que la primera columna (xi) vaya de centmetro en centmetro.

En su lugar, es mucho ms sencillo y prctico distribuir todos los valores posibles de la variable en intervalos, ya que con ello conseguimos una tabla ms fcil de interpretar.Mejoragrupar en intervalos

xi

[80, 90)

[90, 100)

[100, 110)

[220, 230)

Poco prctico

xi

80 cm

81 cm

82 cm

225 cm

Ejemplo 2: una encuesta sobre el nmero de libros ledos durante el ao anterior recoge estos datos:

Si se observa con detalle, se comprueba que hay una variacin grande en el nmero de libros ledos: desde 0 hasta 19. Si hacemos la tabla con los datos de uno en uno, la tabla ser difcil de interpretar.En este caso el problema es que hay muchos valores distintos. De nuevo, si agrupamos los datos recogidos en intervalos, la tabla es ms fcil de interpretarPoco prctico

xi (libros ledos)

0

1

2

19

xi

0-2

3-5

6-8

18-20

Cmo elegir los intervalos?Algunas recomendaciones a la hora de elegir los intervalos son las siguientes: Es conveniente que todos los intervalos tengan la misma amplitud (tamao). Es habitual elegir intervalos de amplitud nmeros sencillos como 2, 3, 5, 10, 20, o mltiplos de estos valores. No se usan amplitudes como 7, 11, 13, 17, 19 ni otros nmeros primos similares Lo ideal es que el nmero de intervalos que nos queden al final sea entre 5 y 15.A los puntos medios de cada intervalo los llamaremos marcas de clase, y los pondremos tambin en la tabla.Ejercicio 1: Los resultados de un examen de 100 preguntas a una clase han sido:20, 25, 28, 49, 60, 92, 75, 49, 67, 80,42, 79, 70, 82, 96, 54, 36, 25, 96, 58,66, 77, 42, 88, 99, 33, 37, 66, 68, 79

Construir la tabla con la frecuencia absoluta.AciertosxiMarca de claseFrec. absolutafi

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

[90, 100)

Total = N =

Observa que en la columna de datos hemos puesto los aciertos agrupados en intervalos de longitud 10.Para especificar intervalos se utilizan parntesis y corchetes de esta forma: El corchete significa que en el intervalo est incluido el nmero. El parntesis significa que en el intervalo no est incluido el nmero.As, el intervalo [20, 30) significa todos los valores del 20 al 30, PERO SIN INCLUIR AL 30.La marca de clase es el punto medio de cada intervalo.Ejercicio 2: Los goles que se han marcado en la ltima jornada de primera divisin han sido en los siguientes minutos de juego: 31, 32, 70, 5, 80, 24, 72, 43, 50, 17, 81, 79, 40, 83, 69, 56,61, 46, 89, 23, 84, 43, 67, 3, 51, 31, 59, 78, 14, 66, 45, 29Realiza la tabla correspondiente agrupndolos en clases por cuartos de hora y hallando las frecuencias absolutas.MinutosxiMarca de claseFrec. absolutafi

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

Total = N =

Ejercicio 3. Las temperaturas mximas y mnimas en varias ciudades del mundo han sido: Mximas: 18 C, 31 C, 20 C, 30 C, 3 C, 19 C, 17 C, 29 C, 16 C, 30 C, 0 C, 19 C, 22 C, 9 C, 11 C,21 C, 18 C, 16 C, 1 C, 26 C, 34 C, 8 C, 9 C, 6 C, 10 C, 15 C, 20 C, 28 C, 29 C, 30 C Mnimas: 15 C, 12 C, 10 C, 17 C, 1 C, 11 C, 13 C, 19 C, 13 C, 21 C, 19 C, 5 C, 7 C, 1 C, 1 C,11 C, 21 C, 6 C, 5 C, 10 C, 16 C, 2 C, 2 C, 0 C, 0, C 5 C, 10 C, 2 C, 9 C, 10 Ca) Completa la tabla de frecuencias de las temperaturas mximas. Temperaturas Mximas (xi)Marca de claseFrecuencia absoluta (fi)

[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

[25, 30)

[30, 35)

b) Completa la tabla de frecuencias de las temperaturas mnimas.Temperaturas mnimas (xi)Marca de claseFrecuencia absoluta (fi)

[-5, 0)

[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

Ejercicio 4: En el reconocimiento mdico de los alumnos de una clase, se han obtenido estos resultados: Las estaturas, expresadas en centmetros, han sido: 166, 170, 168, 165, 174, 155, 156, 160, 151, 169, 173, 167,166, 172, 150, 167, 173, 165, 158, 155, 170, 157, 167, 159Los pesos, expresados en kilogramos, han sido:65, 68, 64, 59, 68, 51, 53, 56, 48, 57, 66, 62, 67, 69, 46, 61, 69, 60, 49, 45, 65, 50, 61, 52a) Efecta el recuento de las estaturas, en intervalos de 5 centmetros, desde el menor valor, y completa la tabla de frecuencias absolutas. Estatura (xi)Marca de claseFrecuencia absoluta (fi)

[150, 155)

b) Efecta el recuento de los pesos, en intervalos de 5 kilogramos, desde el menor valor, y completa la tabla de frecuencias absolutas. Peso (xi)Marca de claseFrecuencia absoluta (fi)

Ejercicio 5: hemos preguntado la edad a los alumnos de una clase obteniendo las siguientes respuestas:19, 20, 18, 18, 21, 23, 19, 22, 19, 18, 27, 19, 30, 2120, 18, 21, 19, 18, 25, 20, 21, 20, 23, 32, 40, 18, 3718, 22, 19, 19, 24, 22, 24, 19, 20, 19, 42, 19, 42, 27Organiza los datos en una tabla de frecuencias absolutas y relativas.Edad (xi)Marca de claseFrecuencia absoluta (fi)Frecuencia relativa (hi)

5. GRFICOS ESTADSTICOSPese a que las tablas estadsticas con las frecuencias contienen toda la informacin, se suelen acompaar de grficas para que esta informacin sea ms clara y evidente. Muchas veces, incluso, se prescinde de las tablas y se presenta directamente la informacin en una o ms grficas.Ante una grfica estadstica, primero debemos saber cul es el tema o el objeto de estudio. Tambin debemos fijarnos si la informacin que nos ofrecen es objetiva o si se intenta falsear la realidad de alguna manera, porque podemos modificar algn detalle para conseguir disimular o exagerar algn aspecto que interese.Hay muchos tipos de grficos. Veamos algunosDiagrama de barras y polgono de frecuenciasSe suelen utilizar para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas, o sea, en casos donde los datos NO ESTN AGRUPADOS EN INTERVALOS.Simplemente para cada valor de la variable estadstica hay que dibujar una barra cuya altura va a ser la frecuencia absoluta de dicho valor. Adems: Podemos hacer las barras del ancho que queramos, pero todas deben de tener el mismo ancho. Entre las distintas barras dejaremos un espacio intermedio, siempre el mismo. Esto es as porque cada barra es independiente de las dems, ya que aqu no tenemos intervalos. Debajo de cada barra pondremos el valor de la variable estadstica correspondiente. En el eje horizontal irn los valores que puede tomar la variable, y en el vertical la frecuencia correspondiente.Aficin (xi)Frec. abs. (fi)

Ajedrez4

Fotografa5

Teatro8

Msica9

Deporte12

Ejemplo: cada alumno de una clase se ha apuntado a una actividad diferente, que aparecen reflejados en la tabla adjunta. El diagrama de barras correspondiente sera el siguiente:Si unimos los puntos medios superiores de cada barra tenemos lo que se llama polgono de frecuencias.Ejercicio: dibuja sobre la grfica anterior el polgono de frecuencias correspondiente.Ejercicio: observa el diagrama de barras correspondientes a una encueta realizada sobre el tiempo dedicado a ver la televisin cada da. Completa la tabla de frecuencias correspondiente:

n de horas xiFrec. abs. fiFrec. rel. hi

1 menos25

120

2

3

4 ms

N=

Ejercicio: representa en un diagrama de barras y tambin con el polgono de frecuencias los datos correspondientes a esta tabla. Recuerda que antes que nada debes decidir el ancho que le dars a las barras, y el espacio que dejars entre las mismas.n hermanos xiFrecuencia absoluta

06

111

27

33

42

51

Ejercicio: Los resultados de la quiniela de la jornada pasada fueron: 1, X, 2, 1, 1, X, X, 2, 1, 1, 1, X, 2, X, 1.Confecciona una tabla de frecuencias y representa los datos en un diagrama de barras.

Histograma y polgono de frecuenciasSe utilizan para representar datos que estn agrupados en intervalos.Para construir un histograma se ponen en el eje horizontal los extremos de los intervalos, y construimos rectngulos cuya base es la amplitud del intervalo y cuya altura es la frecuencia absoluta. A diferencia de los diagramas de barras, aqu todos los rectngulos van a estar unidos.Como hemos visto anteriormente, el polgono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectngulos.Ejemplo: Observa el histograma de la siguiente tabla de valores y realiza el polgono de frecuencias:

AciertosFrecuencia absoluta

[20, 40)7

[40, 60)6

[60, 80)10

[80, 100)7

Diferencia entre diagrama de barras e histogramas En los histogramas los rectngulos estn todos juntos, y representan la frecuencia de todo el intervalo. En el diagrama de barras los rectngulos estn separados, ya que cada barra representa la frecuencia de un valor concreto, independiente, de la variable estadstica. En los diagramas de barras podremos hacer las barras del ancho que queramos, y lo mismo con la separacin entre barras, mientras que en el histograma el ancho de cada barra queda automticamente determinado por el intervalo. Los histogramas se usan en variables distribuidas en intervalos, mientras que los diagramas de barras se pueden utilizar tanto para variables estadsticas cuantitativas (discretas) como para variables estadsticas cualitativas.Ejercicio: realizada una encuesta a varias familias sobre la cantidad de dinero en euros que gastan en una semana en transporte, respondieron: 56, 64, 66, 46, 62, 59, 38, 55, 68, 44, 74, 79, 53, 70, 30, 33, 45, 60, 70, 50, 40, 34, 45, 56, 67, 78, 32, 43, 74, 45, 46, 56, 34, 58 a) Rellena la tabla con la frecuencia absoluta.Gasto en eurosMarca de claseFrecuencia absoluta

[30, 40)

b) Representa la tabla anterior en un histograma y traza el polgono de frecuencias.

Gasto en euros

12. La tabla de frecuencias de las edades de los habitantes de una poblacin es: EdadFrecuencia absoluta

[0,10)250

[10,20)260

[20,30)220

[30,40)200

[40,50)160

[50,60)180

[60,70)180

[70,80)40

[80,90)12

Representa la tabla en un histograma, coloca en l las marcas de clase y traza el polgono de frecuencias.

Edad en aos

Ejemplo: Una empresa convoca una prueba para seleccionar personal administrativo, en la que se debe mecanografiar un texto. Los tiempos, en minutos, empleados por las personas asistentes fueron: 46, 53, 52, 70, 72, 43, 62, 51, 48, 42. 40, 45, 54, 50, 54, 50, 52, 66, 65, 70, 62, 68, 60, 75, 75.Haz la tabla correspondiente y representa adems el histograma y el polgono de frecuencias.Intervalos TiemposN de personasfi

[40, 45)

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

[60, 65)

[65, 70)

[70, 75)

[75, 80)

N=

Diagrama de sectoresEste tipo de diagramas facilita ver cmo se reparten los distintos valores de una variable estadstica. Es muy utilizado en variables cualitativas, como pueden ser el reparto de los votos de unas elecciones, las distintas aficiones de un grupo, etc.Para elaborar un diagrama de sectores necesitaremos utilizar el comps y el transportador de ngulos. Habr que dividir el crculo en tantas partes como valores tome la variable, teniendo en cuenta que cada sector debe tener un tamao proporcional a su frecuencia. Para calcular la amplitud (ngulo) de cada sector debemos utilizar esta frmula: ngulo = 360 * hi.Ejemplo: tras unas elecciones el reparto de diputados entre los distintos partidos ha quedado:Partidos xin de diputados fihingulo

A2828/60=047047*360=169

B1717/60=028028*360=101

C66/60=010010*360=36

D33/60=005005*360=18

E33/60=005005*360=18

F11/60=002002*360=7

G22/60=003003*360=11

Una vez calculados los ngulos, haremos el crculo e iremos midiendo con el transportador de ngulos cada una de las porciones hasta conseguir el diagrama de sectores

Ejercicio: Se ha preguntado a un grupo de personas qu actividad realizaron la tarde del domingo. La tabla recoge las respuestas. Representa los datos en un diagrama de sectores.

ActividadFrecuencia absoluta

Practicar un deporte12

Ir al cine6

Pasear3

Or msica2

Leer1

Ejercicio: Se ha preguntado a los alumnos de una clase el nmero de hermanos. Representa los datos en un diagrama de sectores.

N de hermanosFrecuencia absolutaFrecuencia relativangulo

06

111

27

33

42

51

Falta hablar media, mediana, moda, etcFalta hablar significado polgiono frecuenciasFalta explica (con grficas) significado de tanto por 1 (hi), etc

Otro diagrama secb) Pictogramas:Es otra forma habitual de representacin que anticipamos en el tema de proporcionalidad. Se trata de dibujar un objeto caracterstico de la variable, de manera que los tamaos sean directamente proporcionales a las frecuencias: en el dibujo A la altura es proporcional a la frecuencia; en el B lo es el rea.

c) Polgonos de frecuencias:Son similares en su fundamento a los diagramas de barras y suelen utilizarse para representar la evolucin de un fenmeno a lo largo del tiempo o de una serie de etapas. Tambin son muy cmodos para realizar comparaciones de dos poblaciones en un mismo grfico:Como el nmero de alumnos de 4 no era el mismo en cada Instituto, los hemos representado en tanto por ciento para poder compararlos.

Ojo con los grficos!En el captulo de funciones comprobamos que tomando una escala inadecuada se puede desvirtuar la imagen del crecimiento real de un fenmeno. Algunas grficas estadsticas tambin pueden ser desvirtuadas como ocurra con las funciones si la eleccin de la escala es exagerada o disminuida. Para evitar el problema algunas personas adoptan la norma de que la altura mxima sea el 69% de la anchura de la grfica.1. Las dos grficas anteriores corresponden a un mismo fenmeno. Una la realiz el Gobierno y la otra la Oposicin, cul corresponde a cada uno?

Grficos estadsticos

PICTOGRAMALa distribucin que se pretende estudiar se representa mediante dibujos que tienen relacin con ella. La forma, las medidas, el nmero, etc., de estos dibujos no suelen ser demasiado precisos ya que intentan ofrecer una descripcin lo ms expresiva posible.

PIRAMIDE DE POBLACINSon tiles para realizar estudios relativos a la situacin demogrfica y para buscar soluciones a los posibles problemas que esta situacin puede plantear en el futuro.

DIAGRAMAS LINEALESSe utilizan para comprobar las variaciones experimentadas por una o ms variables estadsticas con el transcurso del tiempo.

CARTOGRAMASSon tiles para mostrar los valores de la variable en las diferentes zonas de un mapa.

EJERCICIOS:

1. Realiza los estudios sobre los colectivos que te proponemos. Indica en cada caso si trabajaras con toda la poblacin o slo con una muestra, y seala si la variable estadstica propuesta es cuantitativa o cualitativa.a) Nmero de hermanos de tus compaeros de clase.b) Grado de aceptacin de una nueva normativa de tu Comunidad Autnoma.c) ndice de precipitaciones recogido por un observa torio meteorolgico.d) Opinin que tienen los habitantes de tu ciudad sobre la ecologa.

2. El censo electoral de una ciudad lo forman 245.000 hombres y 255.000 mujeres. Cuntos hombres y cuntas mujeres sera conveniente incluir en una muestra formada por 4.000 personas?

3. Las siguientes variables estadsticas, son cualitativas o cuantitativas, y en este caso, discretas o continuas?a) Marcas de ordenadores vendidos en una ciudad.b) Tomillos fabricados por una mquina.c) Prstamos concedidos por una oficina bancaria en un ao.d) Temperatura de un enfermo.

4. Indica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones referentes a las notas del ejemplo del apartado de la frecuencia absoluta.a) La frecuencia absoluta de 7 es 3.b) La nota que tiene una frecuencia absoluta mayor es 9. c) La frecuencia relativa de la nota 8 es 0,12.d) El 68 % de los alumnos de clase han superado la prueba.

5. El 25 % de los 80 trabajadores que componen una empresa prefieren la montaa para pasar sus vacaciones y el resto la playa. Determina las frecuencias absoluta y relativa, en tanto por uno y en tanto por ciento, de los que prefieren la playa. Si se eligen al azar 36 trabajadores de esta empresa:a) Cuntos irn, previsiblemente, a la montaa?b) Podra ser que los 36 fuesen a la montaa?

6. Se pregunt a 25 de los 40 alumnos de una clase si les gustaba ms la carne o el pescado: 15 contestaron que preferan el pescado, y los otros 10, la carne.

a) Identifica la muestra y la variable estadstica, indicando si es cualitativa o cuantitativa.b) Halla las frecuencias absoluta y relativa correspondientes a los alumnos que prefieren pescado.c) Podemos asegurar que no hay ningn alumno estrictamente vegetariano? Por qu?

7. En una encuesta realizada a 300 personas se peda si seguan con frecuencia un conocido programa de TV. La frecuencia relativa de la respuesta s fue 0,36. Cuntas personas entrevistadas dieron esta respuesta?

8. Los resultados de la 2 jornada de la liga de ftbol de primera divisin correspondientes a la temporada pasada fueron los de la tabla adjunta.

Mrida-Zaragoza Oviedo Espaol Celta - Betis Atk Bilbao - At. Madrid Valladolid - Salamanca Real Madrid - Real Sociedad Racing - Valencia Barcelona - Deportivo Mallorca - Sporting Gijn Compostela - Tenerife0 11 12 01 01 22 02 12 13 11 2

a) Elabora la tabla de frecuencias segn el nmero de goles.b) Cuntos goles se marcaron en esta jornada?e) Es cierto que lo ms frecuente fue que los equipos marcasen un solo gol?d) Cul es el porcentaje de equipos que consiguieron dos o ms goles?

9. Los datos del nmero de hoteles que hay en una ciudad espaola, clasificados segn su categora, son stos:

CategoraN de hoteles

5 estrellas4 estrellas3 estrellas2 estrellas1 estrella646202224

a) Cuntos hoteles hay en esta ciudad?b) Qu porcentaje de hoteles tiene ms de 3 estrellas?c) Cuntos hoteles tienen un mximo de 3 estrellas?d) Es cierto que casi el 40% de los hoteles tienen 4 estrellas?

10. Las dotaciones policiales en los pases de la Unin Europea y el nmero de habitantes de estos pases son los siguientes:

PasNmero de agentesPoblacin (en millones)

AlemaniaAustriaBlgicaDinamarcaEspaaFinlandiaFranciaGreciaIrlandaItaliaLuxemburgoHolandaPortugalReino UnidoSuecia 258.488 25.800 32.961 10.300 193.587 8.500 246.611 38.783 10.500 301.492 1.100 49.500 46.739 152.368 17.700 79,5 7,99 9,97 5,18 38,6 5,0 56,18 10,14 3,54 57,6 0,39 14,89 10,3 57,9 8,7

a) Cul es el nmero total de habitantes de los pases que componen la Unin Europea? Y el nmero total de agentes?b) Calcula el nmero de policas que tiene cada pas por cada 1.000 habitantes.c) Cuntos agentes tiene la Unin Europea por cada 1.000 habitantes?d) Clasifica los pases en dos grupos: los que tienen un nmero de agentes por cada 1.000 habitantes superior a la media de todos los pases de la Unin y los que estn por debajo.e) Es cierto que un grupo formado por cinco pases tiene ms del 82 % del total de agentes? Cules son estos pases?f) Al ver estos datos, cul es el pas cuyos ciudadanos tienen menos agentes por cada 1.000 habitantes?

11. Se realiza una encuesta a 500 alumnos de 3 de ESO sobre su Centro y las respuestas han sido:Me gusta muchoMe gustaNo me gustaNo me gusta nada12%40%30%18%

Elabora la tabla y representa los resultados en dos grficas.

12. Las puntuaciones obtenidas por 25 alumnos en un test de visin espacial son las siguientes:

32282630343026333228312830272632332928293034323134

a) Haz la tabla de frecuencias. b) Representa la distribucin.12. La tabla siguiente muestra el consumo de alimentos en kilogramos por persona y ao.

Tipos dealimentosPasesIndustrializadosPasessubdesarrollados

CerealesFculasAzcarCarne Huevos Pescado Leche 122,6 97,4 43,3 74,4 14,6 21,3 104,7173,3 61,6 27,0 12,1 1,6 7,0 24,6

a) En qu productos bsicos para la alimentacin humana hay mayores diferencias?b) Haz dos diagramas de barras diferentes en los mismos ejes para poder ver mejor las diferencias.

13. Un estudio de la talla de 80 recin nacidos tiene los resultados siguientes:

Altura (cm.)N. de bebs

42-4444-4646-4848-5050-52610232615

a) Elabora una tabla con todos los tipos de frecuencia. b) Es cierto que ms del 60% medan entre 46 y 50 cm?c) Representa grficamente esta distribucin.

14. La relacin entre la poblacin y el parque automovilstico en Espaa ha seguido la siguiente evolucin:

AoCoches por 1.000 habitantes

1990199119921993399430443455

a) Haz una grfica con los aos en el eje horizontal y el nmero de vehculos en el vertical. Es siempre creciente la grfica?b) Tomando como referencia el ao anterior, en qu ao hubo un mayor incremento de este ndice? Expresa este incremento en porcentaje.

MuestrasMuestra: subconjunto representativo de una poblacin (mejorar definicin diciendo q se utilizan) Muestra, es un subconjunto o grupo extrado de la poblacin, cuyo estudio sirve para conocer las caractersticas de toda la poblacin.Si la muestra est mal elegida, los resultados de la estadstica pueden ser engaosos. Los valores de la variable forman el conjunto de datos.Por qu elegir muestras:Tamao de la poblacin es muy grande (dificultad tiempo dinero, )Se destruye al utilizarla (ejemplo duracin de tal, calidad de las aguas de cual, )3. Se desea estudiar la caracterstica estatura de la poblacin de una ciudad.a) Sera vlida una muestra constituida slo por varones?b) Sera vlida una muestra constituida slo por personas menores de 5 aos? c) Cmo podras elegir la muestra? Cuando la variable es cuantitativa se indica con X, y los posibles valores que toma con xiMUESTRA

Se desea estudiar la caracterstica de la poblacin de una ciudad.

a) Sera vlida una muestra constituida slo por varones?

b) Sera vlida una muestra constituida slo por personas menores de 5 aos?

c) Cmo podras elegir la muestra?

Definicin: Una muestra es una parte o subconjunto de la poblacin.Bsicamente existen dos razones que aconsejan la toma de una muestra al realizar un estudio estadstico:a) Que el tamao de la poblacin sea muy grande, ya que entonces su estudio supondra mucho tiempo y dinero.b) Que sea preciso destruir los objetos para obtener los datos. Para que los resultados del estudio realizado en una muestra sean vlidos para toda la poblacin, es necesario que la muestra est bien elegida, es decir, que sea representativa de la poblacin.Ejemplo: Para predecir con xito los resultados de las prximas elecciones se debe elegir una muestra formada por personas de distintas zonas geogrficas, de distinto nivel social, econmico y cultural, de distinto sexo, ...

Ejercicios:1.- Crees que sern vlidas para adelantar los resultados de unas elecciones generales las respuestas dadas por una muestra de jvenes trabajadores de barrios perifricos? Por qu?....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2.- Para estudiar la duracin media de una marca de pilas, es conveniente tomar una muestra? Por qu?..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3.- Pon un ejemplo de estudio estadstico en el que no sea necesario elegir una muestra y otro en el que s lo sea...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Sobre muestras v1Conviene no confundir una variable cuantitativa (X) con la frecuencia (f): que es el nmero de veces que se dan sus valores o modalidades.

MuestreoHasta ahora hemos trabajado con poblaciones pequeas y en circunstancias en las que hemos podido recabar los datos correspondientes a la totalidad de los individuos. Estas condiciones tan favorables no se dan en todas las ocasiones: a) Un peridico encarga un trabajo sobre la valoracin que hacen las personas en edad electoral de los principales lderes polticos. La poblacin que comprende la estadstica es de enorme tamao y ello hace imposible, por razones de tiempo, personal y costo, que se pueda realizar una encuesta a cada uno de los electores. b) Unos laboratorios ensayan una nueva vacuna. El director de producto desea realizar un estudio con las primeras unidades elaboradas, para comprobar a que temperatura de almacenamiento comienzan a perder sus propiedades. En este caso, cada prueba realizada supone la destruccin del producto, con su correspondiente coste.En situaciones como las anteriores se selecciona una parte de la poblacin, que sea representativa de la misma, a la que llamaremos MUESTRA, y se realiza el estudio sobre ella, generalizando los resultados a la totalidad de la poblacin. La importancia que tiene el tomar una muestra adecuada se pone de manifiesto en este conocido caso:En 1936, con motivo de las elecciones presidenciales americanas, la revista Literary Digest realiz entre sus lectores 2500000 encuestas y de ellas se desprenda la victoria, por clara mayora, del candidato Landon. Por otro lado, Gallup, Crossley y Roper, realizando tan slo 5000 entrevistas, acertaban al pronosticar la reeleccin de Roosvelt.. Intenta explicar por qu sucedi. . Tres estudiantes tienen que realizar un trabajo de Sociales para averiguar cmo emplea el tiempo libre la gente de su pueblo. Como suelen salir juntos los sbados por la tarde, deciden realizar una encuesta en sus lugares de reunin. . Al producirse en clase la presentacin y el debate de su trabajo, comenzaron afirmando que el 85% de las personas del pueblo se lo pasan pipa bailando los fines de semana. Te parece correcta la afirmacin?La pregunta inmediata es: Cmo elegir una muestra adecuada sin caer en errores subjetivos o de otro tipo? La respuesta no es sencilla, pues depende de cada caso y se suelen utilizar tcnicas que rebasan los conocimientos de este curso. No obstante, vamos a comentar dos formas de realizar un muestreo:

Muestra aleatoria La tabla adjunta es una tabla de nmeros aleatorios obtenida por ordenador. Veamos cmo utilizarla para obtener una muestra de los propietarios de una urbanizacin de 15 bloques, con cinco plantas por bloque y cuatro pisos por planta.En total hay 300 viviendas que podemos numerar de 0 a 299, comenzando por la letra A de la primera planta del primer bloque y terminando por la letra D de la quinta planta del bloque n 15. A qu piso corresponden los nmeros 130 y 249?

Si queremos seleccionar 40 propietarios al azar, procederemos como sigue:Si el primer nmero comienza por cero, uno o dos, los tres primeros dgitos del nmero indicarn el propietario elegido.Si no ocurre as, miramos si el segundo dgito cumple esa condicin y en ese caso se elige el piso que corresponde a los dgitos segundo, tercero y cuarto. Si el segundo dgito fuese mayor que dos, miramos el tercero y vemos si la cumple, siendo en tal caso los tres ltimos dgitos los que sealan el propietario. De fallar el tercero, se pasa al nmero siguiente.Tambin se puede hacer comenzando por la primera columna y sealando los primeros 40 nmeros menores que 300. Los propietarios elegidos se ordenan y se comprueba si alguno est repetido. Realiza una muestra aleatoria de estudiantes del Instituto, utilizando la tabla anterior.

Muestras estratificadas En sondeos de carcter poltico, la adhesin a un determinado partido depende en cierta manera de la categora social y cultural en la que se enmarca cada individuo. Los censos recogen datos como la profesin, nivel de estudios etc, que permiten establecer la proporcin, dentro de determinada poblacin, de tales categoras. La muestra ha de ser tal que cada categora mantenga dentro de ella el mismo porcentaje que en el total de la poblacin. Trabajo en grupo: Realizar una encuesta, sobre un tema que consideris interesante, entre los estudiantes del centro. Comparar los cuestionarios elaborados y los resultados obtenidos por los distintos grupos.

Estadstica 20