UNIDAD 5

5. Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales

5.1 Diseño de Bloque al AzarEn muchos experimentos la estimación de la variación aleatoria (error experimental) puede a menudo reducirse, es decir, liberarse de la variabilidad debido a causas extrañas, dividiendo las observaciones en cada clasificación en bloques.

Definición:Un diseño en bloque completamente azarizado (BCA) es aquel en el que: 1) Las unidades experimentales se distribuyen grupos o bloques, de manera tal que las unidades experimentales dentro de un bloque sean relativamente homogéneas y que el número de unidades experimentales dentro de un bloque sea igual al número de tratamientos por investigar, y 2) los tratamientos se asignan al azar a las unidades experimentales dentro de cada bloque. En lo anterior, la formación de los bloques refleja el criterio del investigador respecto a las respuestas diferenciales potenciales de las diversas unidades experimentales, mientras que el procedimiento de aleatorizacion actúa como una justificación de la suposición de independencia.

Diseño en Bloque Completamente Azarizado con una Observación por Unidad Experimental La suposición básica para un diseño en bloque completo azarizado con una observación por unidad experimental, es que las observaciones pueden representarse mediante el siguiente modelo estadístico lineal: Yij = µ+βj+τ+εij

Donde: i = 1,2,3…..b bloques j = 1,2,3,….t tratamientos

Donde µ es el verdadero efecto del medio, βj es el verdadero efecto del iesimo bloque, τ es el

verdadero efecto del jotaesimo tratamiento, y εij es el verdadero efecto de la unidad experimental en el iesimo bloque que esta sujeto al jotaesimo tratamiento. Además:

b

Σ βj=0 y εij esta Distribuido Normalmente con media 0 y σ2 constante. i =1

Representación simbólica de los datos en un diseño en bloque completo aleatorizado con una observación por unidad experimental.

Bloques Tratamiento1, 2, ……t

yTotal

Media de bloques

B1 y11 y12 ……….. y1t B1. y1.B2 y21 y22 ……….. y2t B2. y2....

.

.

.

.

.

.Bb yb1 yb2 ……….. ybt Bb.

Total t.1 t.2 t.t Total it

(T)Media de

tratamientosy.1 y.2 y.t y..

Ecuaciones

Suma de Cuadrados total b t

SCT = Σ Σ Y2ij

i=1 j=1

Suma de Cuadrados debido a la media

SCMedia = _T 2 Donde : b = ≠ bloques y t = ≠ tratamientos bt

b

SCBloques = Σ Bi 2 – SCMedia i=1 t

t

SCTratamientos = Σ Ti 2 – SCMedia j=1 b

SCE = SCT- SCMedia-SCBloques-SCTratamientos

Hipotesis

Ho: T1 = T 2 = T3….= Ti Ho: B1 = B2 = B3….= Bi Ha: T1 ≠ T 2 ≠ T3….≠ T i Ha: B1 ≠ B2 ≠ B 3….≠ B i

Regla de Decision

Si Fc > Fα Se Rechaza HoSi Fc < Fα Se Acepta Ho

TABLA DE ANOVA

Fuentes de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

F Calculada Fα

Tratamientos t-1 SCT CMA t-1

CMTCME

Bloques b-1 SCB CMB b-1

CMBCME

Error (t-1) (b-1) SCE CME (t-1) (b-1)

Total tb-1 SCT CMEab (n-1)

Ejemplo:Se diseño un experimento para estudiar el desempeño de cuatro detergentes diferentes para limpiar inyectores de combustibles. Las siguientes lecturas de ¨limpieza se obstruyeron con un equipo especialmente diseñado para 12 tanques de gas distribuido en tres diferentes modelos de motores: a) Obtenga la tabla apropiada de análisis de varianza.b) Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 y determine si hay diferencia en

los detergentes o en los motores

Tratamientos

Considerando los detergentes como tratamientos y los motores como bloques, obtenga la tabla apropiada de análisis de varianza y pruebe en el nivel de significancia del 0,01 si hay diferencia en los detergentes o en los motores.

b t SCT = Σ Σ Y2

ij = (45)2 + (47)2 +…+ (128)2 = 26867 i=1 j=1

SCMedia = _T 2 = (565) 2 = 319225 = 26602.08 bt 3x4 12

b SCBloques = Σ Bi 2 – SCMedia = (182) 2 + (176) 2 + (128) 2 – 26602.08 = 135.17 i=1 t 4

t SCTratamientos = Σ Ti 2 – SCMedia = (139) 2 + (145) 2 + (153) 2 + (128) 2 – 26602.08 = 110.92 j=1 b 3

SCE=SCT- SCMedia-SCBloques-SCTratamientos = 26867- 26602.08 – 135.17 – 110.92 = 18.83

Bloques A B C D Total Media M1 45 47 48 42 182 45.5 M2 43 46 50 37 176 44 M3 51 52 55 49 207 51.75 Total 139 145 153 128 565Media 46.33 48.33 51 42.66 47.08

CMTrat = 110.92 = 36.97 CMB = 135.17 = 67.58 CMErr = 18.83 = 3.14 4-1 3-1 (3) (2)

Fc Trat = 36.97 = 11.77 Fc Blo = 67.58 = 21.52 3.14 3.14AnovaFuentes de Var. G.L S. Cuadrados C. Medio Fc FαDetergentes 3 110.92 36.97 11.77 9.78Motores 2 135.17 67.58 21.52 10.92Error 6 18.83 3.14Total 11

Conclusiones:- Como Fc para tratamiento o detergentes (11.77) es mayor que Fτ (9.78) se rechaza la hipótesis nula (Ho). Esto quiere decir que si existe diferencia significativa en el accionar de los 4 detergentes- Como Fc para bloques o motores (21.52) es mayor que Fτ (10.92) se rechaza la hipótesis nula (Ho). Esto significa que las diferencias entre los resultados obtenidos para los tres motores son significativas, esto quiere decir que el bloque ha sido efectivo

Verificación de la Adecuación del Modelo Generación de Residuos

En cualquier experimento diseñado, siempre es importante examinar los residuos y revisar las violaciones de las suposiciones básicas que podrían invalidar los resultados. Los residuos para el diseño de bloques aleatorios son justo la diferencia entre los valores observados y los ejecutados.

eij = yij - ŷij

Donde:

yij = observación

ŷij = valor ajustado de la observación

eij = Residuo de la observación

y los valores ajustados son:

ŷij = Ỹi. + Ỹj. - Ỹ..

Donde

Ỹi. = media del tratamientoỸj. = media del bloqueỸ.. = media total de las observaciones

El valor ajustado representa la estimación de la respuesta media cuando se ejecuta el tratamiento j-ésimo en el bloque i-ésimo.

Siguiendo con el ejemplo de los detergentes calcule los residuos para realizar el análisis residual.

Tratamientos

eij = yij - ŷijDonde:

ŷij = Ỹi. + Ỹj. - Ỹ..

ŷ11 = 45.5+46.33-47.08 = 44.75 e11 = 45-44.75 = 0.25

ŷ12 = 44.0+46.33-47.08 = 43.25 e12 = 43-43.25 = - 0.25

ŷ13 = 51.75+46.33-47.08 = 51 e13 = 51-51 = 0

ŷ21 = 45.5+48.33-47.08 = 46.75 e21 = 47-47.65 = - 0.25

ŷ22 = 44.0+48.33-47.08 = 45.25 e22= 46-45.25 = - 0.75

ŷ23 =51.75+48.33-47.08 = 53 e23 = 52-53 = -1

ŷ31 = 45.5+51-47.08 = 49.42 e31 = 48-49.42 = - 1.42

ŷ32 = 44.0+51-47.08 = 49.92 e32 = 50-47.92 = 2.08

ŷ33 = 51.75+51-47.08 = 55.67 e33 = 55-55.62 = .6

ŷ41 = 45.5+42.66-47.08 = 41.08 e41 = 42-41.08 = .92

Bloques A B C D Total MediaỸi.

M1 45 47 48 42 182 45.5 M2 43 46 50 37 176 44 M3 51 52 55 49 207 51.75 Total 139 145 153 128 565 Media Ỹj.

46.33 48.33 51 42.66 47.08Ỹ..

ŷ42 = 44.0+42.66-47.08 = 39.58 e42 = 37-39.58 = -2.58

ŷ43 = 51.75+42.66-47.08 = 47.33 e43 = 49-47.33 = 1.67

Tabla de residuos

Tratamientos(Detergentes)

Bloques

Motor 1 Motor 2 Motor 3

A 0.25 -0.25 0 Σ = 0 B 0.25 0.75 -1C -1.42 2.08 -0.67D 0.92 -2.58 1.67

Σ = 0

La sumatoria de las columnas e hileras es igual a cero

Trazado de Residuos por tratamientos

Esta grafica nos muestra que el mayor efecto se obtiene con el detergente C

Trazado de Residuos por Bloque

Esta gráfica nos indica que existe una mayor variabilidad en el motor 2.

5.1.1. Diseño de Bloques al Azar con Datos Faltantes

En trabajos de investigación experimental pueden presentarse situaciones que traen como consecuencia el no disponer del resultado (dato) para una (s) unidad (es) experimental (es) al concluir la etapa de ejecución del experimento.Por las cualidades de honradez, tenacidad, criterio, espíritu de servicio que entre otras debe reunir el investigador, se espera que la falta de información no sea descuido del investigador sino que sea por accidente y/o factor ajeno al experimento.

Un dato faltante

Supongamos que falta la información yij es decir no se obtiene el resultado en el bloque i del tratamiento j, como se indica en el siguiente cuadro de concentración de datos.

Bloques Tratamiento1, 2, …j…t

yTotal

Media de bloques

B1 y11 y12 …y1j….. y1t B1. Y1.B2 y21 y22 ……….. y2t B2. Y2...i Yi1

.

.X

.

.B’i + X

Bb yb1 yb2 ……….. ybt Bb.Total t.1 t.2 t’.j +X t.t G’..

Media de tratamientos

y.1 y.2 y.t y..

Donde:t = Tratamientos; b = Bloques; X = Estimdor del dato faltantey'i. = B: total o suma de b-1 datos del bloque i, el cual pertenece al dato faltantey'.j = T: total o suma de t-1 datos del tratamiento j, al cual pertenece el dato faltanteG'.. = G: Gran total o suma de txb-1 datos que tiene el experimento

Ecuación para obtener el estimador del dato faltante

X = t y'.j + b y'i. - G'.. o X = tT+Bb - G'.. (t-1) (b-1) (t-1) (b-1)

Una vez obtenido el dato faltante se coloca en el sitio donde falta el dato y se procede a realizar el análisis de varianza conocido como análisis de varianza aproximado. Para ello se disminuye un grado de libertad en las fuentes de variación del error y total.

TABLA DE ANOVA APROXIMADO

Fuentes de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

F Calculada Fα

Tratamientos t-1 SCT CMA t-1

CMTCME

Bloques b-1 SCB CMB b-1

CMBCME

Error (t-1) (b-1) - 1 SCE CME (t-1) (b-1)

Total tb-2 SCT CMEab (n-1)

Si la Ho: T1 = T2 = T3…. = Tn es rechazada se procede a realizar la prueba exacta de la misma. La razón es que es posible que la significancia detectada en el análisis aproximado sea debido al incremento que también sufre la suma de cuadrados de tratamientos. El procedimiento es como sigue:SCT Corregidos ( SCTc)

SCTc = SCT - [B – (t-1)X] 2 t(t-1)

CMTc = SCTc Fcorregida = CMTc t-1 CMErr

Si Fcorregida es mayor que Fα se rechaza la hipótesis nula.

Dos datos faltantes.- Esta situación se presenta en los casos siguientes:a) Los datos faltantes pertenecen al mismo tratamientob) Los datos faltantes pertenecen al mismo bloquec) Los datos faltantes pertenecen al mismo bloque y tratamientos distintosd) Los datos faltantes pertenecen al mismo tratamiento

Supóngase que al tratamiento j le faltan dos datos, uno en el bloque i y el otro en el bloque b. Esto es, los resultados Yji y Yjb. Así se tiene el cuadro de concentración de datos siguientes:

Bloques Tratamiento1, 2, …j…t

y Total

I y11 y12 …y1j….. y1t Y1.II y21 y22 ……….. y2t Y2...I Yi1

.

.…X1…

.

.B1’i + X

.

.b

yb1 yb2 ...

...X2…

ybt

B2’b.+XTotal y.1 y.2 Y”.j+X1+X2 t.t

G”..+X1+X2

Donde:t= tratamientosb= bloques o repeticionesX1 y X2= Estimadores de datos faltantes fue minimizar la suma de cuadrados del errorY”.j= T1,2= Total suma de b-2 datos del tratamiento j al cual le falta dos datosY’i.= B1= Total, suma de t-1 datos del bloque i al cual pertenece x1

Y’i= B2= Total suma de t-1 datos del bloque b al cual pertenece x2

G”..=G= Gran total, suma de txb-3 datos que se tienen para el experimento

Ecuaciones para los estimadores de los datos faltantes:X1 = tT1,2+(b-1) B1+B2-G (t-1) (b-1)

X2 = tT1,2+B1+(B-1)B2-G (t-1)(b-2)

b) Los dos datos faltantes pertenecen al mismo bloque. Supóngase que es al bloque i al que le falta los datos de los tratamientos j y t.

Bloques Tratamiento1, 2, …j…t

y Total

I y11 y12 …y1j….. y1t Y1.II y21 y22 ……….. y2t Y2...i Yi1

.

.…X1…

.

.y”i + X1+X2

.

.b

yb1 yb2 ...

...X2…ybt

B2’b.+X

Total y.1 y.2 Y’.j+X1 Y’.t+X2

G”..+X1+X2

Donde:t= tratamientosb= bloques o repeticionesX1 y X2= Estimadores de datos faltantes fue minimizar la suma de cuadrados del errorY”.j= T1= Total suma de b-1 datos del tratamiento j al cual pertenece X1

Y’’i.= B1,2= Total, suma de t-2 datos del bloque i al cual le faltan dos datosY’i= T2= Total suma de b-1 datos del tratamiento t al cual pertenece x2

G”..=G= Gran total, suma de txb-2 datos que se tienen para el experimento

Ecuaciones para los estimadores de los datos faltantes:X1= bB1.2+(t-1)T1+T2-G (b-1)(t-2)

X2= bB1.2+T1+(t-1)T2-G (b-1)(t-2)

c) Dos datos faltantes en tratamientos diferentes y bloques diferentes.Supóngase que faltan los datos en Yij y en Yb.t

Bloques Tratamiento1, 2, …j…t

y Total

I y11 y12 …y1j….. y1t Y1.II y21 y22 ……….. y2t Y2...i Yi1

.

.…X1…

y.t ..

B’1i. + X1

.

.b yb1 yb2 ybj X2 B’2b.+X2

Total y.1 y.2 Y’.j+X1 Y’.t+X2

G”..+X1+X2

Donde:t= tratamientosb= bloques o repeticionesX1 y X2= Estimadores de datos faltantes que minimiza la suma de cuadrados del errorY’i.= B1= Total suma de t-1 datos del bloque i al cual pertenece X1

Y’b.= B2= Total, suma de t-1 datos del bloque b al cual pertenece X2

Y’.j= T1= Total suma de b-1 datos del tratamiento j al cual pertenece X1

Y’t=T2= Total suma de b-1 datos del tratamiento t al cual pertenece X2

G”..=G= Gran total, suma de txb-2 datos que se tienen para el experimento

Por otra parte sea:f= (t-1) (b-1)W1= tT1+bB1-GW2= tT2+bB2-G

Ecuaciones para estimar los datos faltantes:

X1= f(W1-W2) f2-1

X2= f(W2-W1) f2-1

En cualquier de los casos discutidos sobre dos datos faltantes, una vez que se obtienen las ecuaciones X1 y X2, estas se colocan en el lugar que les corresponde en el cuadro de concentración de datos y se procede a su análisis de varianza por el diseño de bloques al azar. En este análisis se prueba en forma aproximada las hipótesis nula Ho; t1=t2=t3…t2 mostrándose la disminución de dos grados de libertad en las fuentes de error y total.

TABLA DE ANOVA APROXIMADO

Fuentes de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

F Calculada Fα

Tratamientos t-1 SCT CMA t-1

CMTCME

Bloques b-1 SCB CMB b-1

CMBCME

Error (t-1) (b-1) - 2 SCEExp(dba) CME (t-1) (b-1)

Total (txb-1)-2 SCT CMEab (n-1)

En caso de rechazar la hipótesis nula (Ho) se procede a realizar la prueba exacta de la hipótesis como sigue:

1) Analizar los datos de acuerdo al diseño completamente al azar con número variable de repeticiones por tratamiento. Esto es, sin tomar en cuenta las estimaciones X1 yX2,

considérese como tratamientos a los bloques y como bloques a los tratamientos del cuadro de concentración de datos usados para la prueba aproximada; en este análisis solo basta el cálculo de la sumas de cuadrados. En la suma de cuadrados del error del diseño completamente al azar (SCECdea) incluye el efecto de bloques.

2) Suma de cuadrados de tratamientos corregida (SCTc) SCTc=SCE (dea)-SCEExp(db)

3) Obtener la F corregida = CMTC CMEExp(dba) Para probar la hipótesis nula de tratamientos si F corregida es mayor Fα se rechaza Ho

Ejemplo:Los siguientes datos pertenecen a una prueba de resistencia de telares, donde se probaron 6 tratamientos. Los datos se presentan a continuaciónTratamientosBloques T1 T2 T3 T4 T5 T6 Total

I 16 22 16 X1 18 8 80+X1

II 28 27 17 20 23 23 138III 16 25 16 16 19 16 108IV 28 X2 19 18 24 25 114+X2

Total 88 74+X2 68 54+X1 84 72 440+X1+X2

Procedimiento de cálculo:a) Es claro que el ejemplo corresponde a datos faltantes en tratamientos distintos y bloques

diferentes, y por lo tanto se procede como sigue:

T1=54: suma de los datos disponibles para el tratamiento T4, al cual pertenece X1

T2=74: suma de los datos disponibles para el tratamiento T2, al cual pertenece X2

B1=80: suma de los datos disponibles para el tratamiento I, al cual pertenece X1

B2= 114: suma de los datos disponibles para el tratamiento IV, al cual pertenece X2

G= 440: suma de los datos disponibles en todo el experimento, al cual pertenece X1 y X2

t= 6: numero de tratamientos b= 4: numero de bloques

Considerando lo anterior tenemos:f= (t-1) (b-1)= (6-1) (4-1)= 15W1= tT1 + bB1- G= 6(54)+4(80)-440=204W2= tT2 + bB2- G= 6(74)+4(114)-440=460

Sustituyendo los resultados anteriores en las ecuaciones para la estimación de datos tenemos:

X1= f (W1- W2) = 15(204)-460 = 11.61 f2-1 (15)2-1

X2= f (W2- W1) = 15(460)-204 = 29.89 f2-1 (15)2-1

b) Análisis de los datos de acuerdo al Diseño Bloques al Azar, incluyendo datos faltantes

Bloques T1 T2 T3 T4 T5 T6 TotalI 16 22 16 11.61 18 8 91.61II 28 27 17 20 23 23 138III 16 25 16 16 19 16 108IV 28 29.28 19 18 24 25 143.89

Total 88 103.89 68 65.61 84 72 481.5

Con el acuerdo anterior se procede a obtener el ANOVA aproximado que se da a continuación. El cuadro de análisis de varianza que sigue prueba la hipótesis Ho: t1 = t2 =…= tn en forma aproximada. Notese la disminución de dos grados de libertad en el Error Experimental y el Total, esto como consecuencia de haber utilizado los datos para estima las observaciones faltantes. Las ecuaciones para obtener las SC son el diseño bloques al azar.

Análisis de Varianza de manera aproximada

Fuentes de variación

gl SC CM=SC/gl Fc Fα.01

Fα.05

Bloques b-1=3 307.36 102.45 11.246 5.74 3.41Tratamientos t-1=5 266.36 53.27 5.85 4.86 3.03

Error Exp. (t-1)(b-1)-2=13 SCEE(dba)=118.39 CMEE(dba)=9.11

Total (t x b-1)-2=21 691.11

Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: todos los tratamientos son iguales). En este caso, se rechazo de Ho, debe procederse a realizar la prueba exacta de Ho

c) Prueba exacta de Ho: t1 = t2 =…= tn

Las estimaciones de los datos faltantes han sido obtenidas de tal forma que el error experimental sufra el menor incremento. La prueba exacta es realizada ante la sospecha de que el rechazo de Ho: t1 = t2 =…= tn sea debido al incremento que también sufre la suma de cuadrados de tratamientos por causa de las estimaciones. La prueba no se realiza cuando la hipótesis sobre los tratamientos no es rechazadaProcedimiento:

1) Análisis de los datos de acuerdo al diseño completamente al azar con número variable de repeticiones por tratamiento. En este caso no se consideran las estimaciones de los datos; los tratamientos son los bloques y los bloques los anteriores tratamientos. De eta manera tenemos:

SC(“Total”) =

b t

SCT = Σ Σ Y2ij-Y.. 2 = 162+222+…+242+252- 440 2 = 524.0

j=1 i=1 n 22

SC(“Tratamientos”) = b

Σ y.j2 – Y.. 2 = 80 2 +138 2 +108 2 +114 2 - 440 2 =197.2

j=1 t n 5 6 6 5 22

SC (Edca) = SC(“Total”) – SC(“Tratamiento”) = 524.0-197.2=326.80

2) Suma de Cuadrados de Tratamientos Corregida (SCTc). La obtención de la SCTc que se realizará a continuación tiene como argumento el hecho de que la suma de cuadrados del error experimental, SC(Edca), en el diseño completamente al azar, también esta conformada por el efecto de bloques o repeticiones, mientras que la suma de cuadrados del error experimental SC(Edba), del diseño de bloques al azar, esta libre del efecto de bloques o repeticiones. De aquí tenemos:

SCTc= SC(Edca) – SC(Edba) = 326.80-118.39=208.41

CMTc= SCTc= 208.41 = 41.68 t – 1 6-1

3) Prueba exacta de Ho: t1 = t2 =…= tn

Fcorregida= C M Tc = 41.68 = 4.58 CM(edba) 9.119

Conclusión: como Fcorregida es mayor que Fα al .05 de significancia se rechaza Ho. Sin embargo al .01 de significancia se acepta Ho. Es decir, se tiene una seguridad del 95 por ciento que los tratamientos son diferentes.

EjercicioSe hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de spray para matar moscas. Para ello, cada spray se aplica a un grupo de 100 moscas, y  se cuenta el número de moscas muertas, expresado en porcentajes. Se hacen seis réplicas y los resultados obtenidos se muestran en la tabla siguiente:

Tipo de spray

Bloques 1 2 31 72 55 642 65 59 743 67 68 614 75 70 585 62 53 516 73 50 69

 a) Formule la hipòtesis adecuada. Utilize un 95 por ciento de significancia b) Realize el ANOVAc) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los sprays? d) Haga la prueba de residuose) ¿Hay algún spray mejor? Argumente.

Ejercicio 2

Supóngase que un ingeniero químico cree que el tiempo de reacción en un proceso químico es función del catalizador empleado. De hecho 4 catalizadores están siendo investigados. El procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar una planta piloto, aplicar cada catalizador a ensayos separados de dicha planta y observar el tiempo de reacción. Debido a ciertos factores se perdieron dos observaciones. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

a) Formule la hipòtesis adecuada. Utilize un 95 por ciento de significancia b) Realize el ANOVAc) Concluya

Bloque (Materia Prima)

Tratamiento (Catalizador)

1 2 3 41 73 71 73 752 74 75 75 733 X1 67 68 724 71 72 X2 75

5.2. Diseño de Experimentos Factoriales Los experimentos factoriales son aquellos en los que se estudia simultáneamente 2 o más factores, y donde los tratamientos se forman por la combinación de los diferentes niveles de cada uno de los factores.Los experimentos factoriales no son un diseño experimental si no un diseño de tratamientos los cuales se arreglan dentro de los diseños experimentales clásicos como el Diseño Completo al Azar, Diseño de Bloques Completos al Azar, Diseño de Cuadro Latino. Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de investigación, son de gran utilidad en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de muchos factores. Se utilizan frecuentemente en investigaciones comparativas.

Ventajas: Permiten estudiar los efectos principales, efectos de interacción de factores, efectos

simples, efectos cruzados. Todas las unidades experimentales intervienen en la determinación de los efectos

principales y de los efectos de interacción de los factores, por lo que el número de repeticiones es elevado para estos casos.

El número de grados de libertad para el error experimental es alto, comparándolo con los grados de libertad de los experimentos simples de los mismos factores, lo que contribuye a disminuir la varianza del error experimental, aumentando por este motivo la precisión del experimento.

Desventajas: Se requiere un mayor número de unidades experimentales que los experimentos simples y

por lo tanto se tendrá un mayor costo y trabajo en la ejecución del experimento. Como en los experimentos factoriales cada uno de los niveles de un factor se combinan

con los niveles de los otros factores; a fin de que exista un balance en el análisis estadístico se tendrá que algunas de las combinaciones no tienen interés practico pero deben incluirse para mantener el balance.

El análisis estadístico es más complicado que en los experimentos simples y la interpretación de resultados se hace más difícil a medida que aumenta el número de factores y niveles por factor en el experimento.

Consideraciones:Factor. Es un conjunto de tratamientos de una misma clase o característica.Factorial. es una combinación de factores para formar tratamientos.Niveles de un factor. Son los diferentes tratamientos que pertenecen a un determinado factor.

Tipos de factores

Factores cuantitativos. Son aquellos factores cuyos niveles son cantidades númericas. Factores cualitativos. Son aquellos factores cuyos niveles son procedimientos, cualidades o atributos.

Interacción

Es la combinación de dos o más variables independientes para generar un efecto diferente al que generan cuando actúan de manera aislada.

El experimento factorial mide la interacción y la evalúa. La interacción puede darse de tres formas: por sinergismo, antagonismo y aditiva.

Cuando es por sinergismo el efecto de la combinación de los factores es mucho mayor que el efecto que produce cada uno por separado.

Cuando es por antagonismo el efecto de la combinación de los factores es menor que el efecto que produce cada uno por separado.

Cuando la interacción es aditiva el efecto de la combinación de los factores es igual a la suma de los efectos que producen cada uno por separado.

Ejemplo de formación de factoriales

Sean los factores A y B con sus respectivos nivelesA: a0 a1 a2

B: b0 b1

La combinación de los factores quedará de la siguiente manera:

a0 b0 b1

a1 b0 b1

a2 b0 b1

Y los tratamientos serán:

a0 b0 a0 b1

a1 b0 a1 b1

a2 b0 a2 b1

Al combinar los factores A X B se tendrán 3X2= 6 Tratamientos

Y si cada tratamiento se aplica a 3 unidades experimentales se tendrán 18 unidades

experimentales, si se aplica a 4 serán 24 y así sucesivamente.

Repeticiones

Tratamientos 1 2 3 4a0 b0

a0 b1

a1 b0

a1 b1

a2 b0

a2 b1

Más en general, la familia de diseños factoriales 2k consiste de k factores, todos con dos niveles de prueba; y la familia de diseños factoriales3k consiste de k factores cada uno con tres niveles de prueba. Es claro que si los k factores no tienen la misma cantidad de niveles, entonces no se puede factorizar de esta forma, y debe escribirse el producto de manera más explícita: por ejemplo con k = 3 factores, el primero con cuatro niveles y los dos restantes con dos niveles, se tiene el diseño factorial4 X 2 X 2 o 4 X 22 que consiste de 16 combinaciones de niveles diferentes.

5.3 Diseño factorial 2^K

Diseños factoriales con dos factores 2 2

Considere los factores A y B con a y b (a, b ≥ 2) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial a x b; que consiste de a x b tratamientos. Se llama réplica cada repetición completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de cuatro factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efectos de interés, de tal forma que si se hacen n réplicas, el número total de corridas experimentales es n(a x b).Supongamos que tenemos los factores A y B cada uno con dos niveles a0, a1 y b0, b1, entonces el diseño quedará como sigue:

Diseño factorial 22

Tratamientos Bloques completos 1 2 ……… r

Totales de tratamientos

a0 b0 Y001 Y002 …… Y00r T00

a1 b0 Y101 Y102 …… Y10r T10

a0 b1 Y011 Y012 …… Y01r T01

a1 b1 Y111 Y112 …… Y11r T11

Totales de Bloques B1 B2 ……. Br

Gran total

Modelo estadístico.

Con un diseño factorial a x b se pueden estudiar los dos efectos individuales y el efecto de interacción de ambos factores. En términos estadísticos, lo que se afirma es que el comportamiento de la respuesta Y en e l experimento con k réplicas se podrá describir mediante el modelo de efectos,

Yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + εijk

i = 1,2,3…a j = 1,2,3,…b k = 1,2,3…n

Donde:µ es la media general, α i es el efecto debido al i-ésimo nivel del factor A, βj e s e l e f ec to de l j-ésimo nivel del factor B, (αβ)ij representa al efecto de interacción en la combinación ij y εijk es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante σ2 y son independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se introducen las restricciones:

a b a b

Σ α i = Σ βj = Σ (αβ)ij = Σ (αβ)ij = 0 i=1 j=1 i=1 j=1

Hipotesis a evaluar y análisis de varianza.Como se observa en el modelo anterior, con un diseño factorial a x b interesa estudiar los tres efectos A, B y AB. Así, en primera instancia se pueden plantear los tres pares de hipótesis siguientes:Ho: E f e c t o A = 0 Ho: E f e c t o B = 0 Ho: E f e c t o A B = 0HA: E f e c t o A ≠ 0 HB: E f e c t o B ≠ 0 HAB: E f e c t o A B ≠ 0

E s t a s h ipó t e s i s s e p rueban med i an t e l a t é cn i ca de aná l i s i s de va r i anza . E l ANOVA para un diseño factorial a x b con n réplicas resulta de descomponer la variación total como SCT = SCA + SCB + S C A B + SCE donde los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son: nab - 1 = ( a – 1) + (b – 1) + ( a -1) (b-1) + ab(n-1)

el factor (n-1) en los grados de libertad de la suma de cuadrados del error (SCE) señala que se necesitan al menos dos réplicas del experimento para poder calcular

este componente, y por ende poder construir una tabla de ANOVA. Toda esta información se sintetiza en la siguiente tabla.

TABLA DE ANOVA

Fuentes de Variacion

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

F Calculada Fα

Efecto A a-1 SCA CMA a-1

CMACME

Efecto B b-1 SCB CMB b-1

CMBCME

Efecto AB (a-1) (b-1) SCAB CMAB(a-1) (b-1)

CMABCME

Error ab (n-1) SCE CMEab (n-1)

Total abn-1 SCT

Si e l v a l o r d e Fα es menor al nivel de significancia establecido, se concluye que la correspondiente hipótesis es significativa, es decir, ese efecto influye a la variable de respuesta; y si el efecto está activo entonces debe tomarse en cuenta en la interpretación de los resultados, buscando mejorar el desempeño de la respuesta Y. Recordemos la notación de puntos para representar sumas y medias: Y… es la suma de todas las observaciones, Y… es la media global, Yi.. es el total en el nivel i del factor A, Yi.. es la media en el nivel i del factor A. Y.j. es el total en el nivel j del factor B. Es decir:

a b n

Y…= Σ Σ Σ Yijk

i=1 j=1 k=1 b n

Yi..= Σ Σ Yijk

j=1 k=1

a n

Y.j.= Σ Σ Yijk

i=1 k=1

n

Yij.= Σ Yijk

k=1

a b n

SCT = Σ Σ Σ Y2ijk – Y 2 …

i=1 j=1 k=1 abn

a

SCA = Σ Y 2 i.. – Y 2 … i=1 bn abn

a

SCB = Σ Y 2 . j. – Y 2 … j=1 an abn

a b

SCAB = Σ Σ Y 2 ij. – Y 2 … - SCA - SCB i=1 j=1 n abn

SCE = SCT- SCA-SCB-SCAB

Ejemplo:

La salida máxima de voltaje de un tipo particular de batería, se piensa que puede ser influenciado por el material usado en los platos y por la temperatura en la localización en la cual la batería es colocada. Se hacen cuatro replicas en el experimento en un experimento factorial, para tres tipos de temperatura y tres materiales. Los resultados son:

  FACTOR (B)  Yi..

TEMPERATURAFACTOR (A) MATERIAL

Y.j.

1  

2  

3  

 

130  74

155 539180

150  159

188  623126

138  168

110  576160

1738  

30  80

40  22575

136  106

122  479115

174  150

120  583139

1287  

20  82 

70  23058 

25  58

70  19845

96  82

104  34260

770  

994  

1300  

1501  

3795

Considere un nivel de significancia del 5 por ciento

Hipótesis a probar:

Ho: E f e c t o A = 0 Ho: E f e c t o B = 0 Ho: E f e c t o A B = 0HA: E f e c t o A ≠ 0 HB: E f e c t o B ≠ 0 HAB: E f e c t o A B ≠ 0

a = 3; b = 3; n = 4 Y 2 … = C abn

a b n

SCT = Σ Σ Σ Y2ijk – Y 2 …

i=1 j=1 k=1 abn

SCT = 1302 + 1552 + ….. + 602 - 3795 = 478291 - 14402025 3*3*4 36

SCT = 478291 – 400056.25

SCT = 78234.75

a

SCA = Σ Y 2 i.. – Y 2 … i=1 bn abn

SCA = 994 2 + 1300 2 + 1501 2 - 400056.25 = 4939005 – 400056.25 = 411583.75 – 400056.25 3*4 12

SCA = 10863.5

a

SCB = Σ Y 2 . j. – Y 2 … j=1 an abn

SCB = 1738 2 + 1287 2 + 770 2 - 400056.25 = 5269913 – 400056.25 = 439159.4 – 400056.25 3*4 12 SCB = 39103.17

a b

SCAB = Σ Σ Y 2 ij. – Y 2 … - SCA - SCB i=1 j=1 n abn

SCAB = 539 2 + 225 2 + ….. + 342 2 - 400056.25 – 10863.5 – 39103.17 4

SCAB = 1839449 – 400056.25 – 10863.5 – 39103.17 = 459862.25 – 400056.25 -10863.5 – 39103.17 4SCAB = 9839.33

SCE = SCT- SCA-SCB-SCAB

SCE = 78234.75 – 10863.5 – 39103.17 – 9839.33

SCE = 18428.75

TABLA DE ANOVA

Fuentes de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

F Calculada Fα .05

Efecto A 2 10863.5 5431.75 7.96 * 3.35 Efecto B 2 39103.17 19551.59 28.64 ** 3.35Efecto AB 4 9839.33 2459.83 3.60 * 2.73Error 27 18428.75 682.55Total 35 78234.75

CONCLUSIONES

Como en los tres casos la Fc > Fα .05, por lo tanto se tiene evidencia suficiente para afirmar que el tipo de material si afecta al voltaje de salida.Por otro lado, existe evidencia para afirmar que la temperatura también afecta el voltaje de salida.La combinación de ambos factores afecta el voltaje de salida aunque en menos proporción que cada uno por separado.El efecto de A es altamente significativo sobre el voltaje de salida

Realice los ejercicios siguientes.

Ejercicio 1

Diseño Factorial de 2 Factores con 3 y 4 niveles

Consideremos un experimento en el que se  quiere estudiar el efecto de los factores velocidad de alimentación y profundidad de corte sobre el acabado de un metal. Aunque los factores son de naturaleza continua, en este proceso sólo se pueden trabajar en 3 y 4 niveles, respectivamente. Por ello, se decide correr un factorial completo 4X3 con tres réplicas, que permitirá obtener toda la información relevante en relación al efecto de estos factores sobre el acabado. Aleatorizando las 36 pruebas se obtienen los datos en la tabla siguiente. El acabado (Y) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor.

Factor A

Factor B

0.15 0.18 0.21 0.24

0.20 746460

7968 73

828892

9910496

0.25 928688

9810488

9910895

10411099

0.30 9998102

1049995

10811099

114111107

Considere un nivel de significancia del 5 por ciento.

Establezca las hipótesis

Realice el ANOVA

Cuales son sus conclusiones

Ejercicio 2

Con el objeto de averiguar la estabilidad de la vitamina C, en concentrado de jugo de naranja

(congelado, reconstituido) que se almacena en un refrigerador por un periodo de una semana, se

probaron 3 marcas del jugo de naranja a 3 diferentes tiempos. Estos últimos se refieren al

número de días que transcurren desde que el jugo de naranja se mezcla hasta que somete a la

prueba. La información se recogió de 4 diferentes muestras, provenientes de 4 diferentes

operarios. Los resultados expresados en miligramos de ácido ascórbico por litro se presentan a

continuación.

Factor M: (marca): M1, M2, M3

Factor T: (tiempo, días): T1 (3 días), T2, (5 días), T3 (7 días)

Bloques: (Operarios): B1, B2, B3, B4

M1 M2 M3Bloques T1 T2 T3 T1 T2 T3 T1 T2 T3 Total

1 52.6 56.0 52.5 49.4 48.8 48.0 42.7 49.2 48.5 448.7

2 54.2 48.0 52.0 49.2 44.0 47.0 48.8 44.0 43.4 432.6

3 49.8 49.6 51.8 42.8 44.0 48.2 40.4 42.0 45.2 416.8

4 46.5 48.4 53.6 53.2 42.4 49.6 47.6 43.2 47.6 436.1

Total 203.1 202.0 209.9 194.6 179.2 192.8 179.5 178.4 184.7 1734.2

Considere un nivel de significancia del 5 por ciento.

Establezca las hipótesis

Realice el ANOVA

Cuales son sus conclusiones

Ejercicio 3 En unos laboratorios se está estudiando los factores que influyen en la resistencia de un tipo particular de fibra. Se eligen al azar cuatro máquinas y tres operarios y se realiza un experimento factorial usando fibras de un mismo lote de producción. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla adjunta. Analizar los resultados y obtener las conclusiones apropiadas..

TIPOS DE MAQUINAS

OPERARIO A B C D1 109

110110115

108109

110108

2 110112

110111

111109

114112

3 116114

112115

114119

120117

Considere un nivel de significancia del 5 por ciento.

Establezca las hipótesis

Realice el ANOVA

Cuales son sus conclusiones

5.4. Diseño en cuadro latino (DCL)

En este diseño se controlan dos factores de bloque y uno de tratamientos con la misma cantidad

de niveles. Los tratamientos se representan por letras latinas y se distribuyen en forma adecuada

en un cuadro, por tal razón se llama Diseño en cuadro latino (DCL). En este diseño se tienen cuatro

fuentes de variabilidad que pueden afectar la respuesta observada: los tratamientos, el factor de  bloque

I (columnas), el factor de bloque II (Hileras) y el error aleatorio. Sean: A, B, C,….. K, los k

tratamientos a comparar, por tanto ambos factores de bloques tienen también k bloques cada uno.

El modelo estadístico que se supone describe el comportamiento de las observaciones está dado por:

Y ijl =µ +βi +ρj + δl + εijl

Donde Yijl es la observación del tratamiento i; en el nivel j del factor columna y en e l n ive l l del factor renglón; ijl, es el error atribuible a dicha observación. De acuerdo con este modelo, la variabilidad total presente en los datos se puede descomponer comoSCT = SCTrat + SCH + SCC + SCE y los grados de libertad correspondientes son:k2-1= (k-1) + (k-1) + (k-1) + (k-2)(k-1)

TABLA DE ANOVA

Fuentes de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

F Calculada Fα

Tratamientos k-1 SCTrat CMTrat CMTratCME

Hileras k-1 SCH CMH CMHCME

Columnas k-1 SCC CMC CMC

CMEError (k-2) (k-1) SCE CMETotal K2-1 SCT

Ejemplo de un Diseño en cuadro latino (DCL)

1) Suponga que un experimentador estudia los efectos que tienen cinco formulaciones diferentes de la carga propulsora, utilizada en los sistemas de expu l s i ón de l a t r i pu l ac ión de un av ión ba sado en l a rápidez de combustión . Cada formulación se hace con un lote de materia prima que solo alcanza para probar cinco formulaciones. Además, las formulaciones son preparadas por varios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencias de los operadores. Por lo tanto, hay dos factores perturbadores que serán “calculados en promedio” en el diseño: los lotes de materia prima y los operadores.  E l d i s eño ap rop i ado pa ra este problema consiste en probar cada formulación exactamente una vez con cada uno de los cinco operadores. Al diseño resultante se llama diseño de cuadro latino (DCL) , que usaremos para eliminar las dos fuentes perturbadoras.2) Factor de interés: Formulaciones de la carga propulsora.3) Niveles del Factor: cinco formulaciones A, B, C, D, E, (cinco niveles k = 5)4) Variable de interés Y = Rápidez de combustión5) Replicas por nivel n = 1

6) Suponga que la secuencia de la prueba es el cuadro latino estándar

A B C D EB C D E AC D E A BD E A B CE A B C D

7) Datos de la rapidez de combustión

A=24 B=20 C=19 D=24 E=24B=17 C=24 D=30 E=27 A=36C=18 D=38 E=26 A=27 B=21D=26 E=31 A=26 B=23 C=22E=22 A=30 B=20 C=29 D=31

8) Modelo estadístico

Y ijl =µ +βi +ρj + δl + εijl

Donde: Yijl= rápidez de combustión de la i-ésima formulación; realizada po r e l operador (factor columna) con el l-ésimo lote de materia prima (factor renglón); βi = es la medida del efecto de la i-ésima formulación a la rápidez de combustión, εijl = es el error aleatorio y µ es la media global real de todos las formulaciones.

9) Hipótesis

Ho: µA= µB= µC= µD = µE= µ

H1: µi ≠ µj para algunos i, j,

10) Prueba de significancia al .05

11) A continuación se dan los resultados de los datos

Columnas l (operadores) Y.j. Y2.j. Y2ijl

Renglones j 1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=24 111 12321 2489Materia Prima 2 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36 134 17956 3790

3 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21 130 16900 36144 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22 128 16384 33265 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31 132 17424 3586

Total 635 80985 16805Y..l 107 143 121 130 134Y2..l 11449 20449 14641 16900 17956

Y2..l= 81395; G= 635; Y 2 … = 635 2 = 16129 C= 16129 N 25k = 5 tratamientos

C= factor de correción

Totales de Tratamientos

A Y1..= 143

B Y2.. = 101

C Y3.. = 112

D Y4.. = 149

E Y5.. = 130

Cálculos estadísticos

SCTotal = Y2ijl – C = 242+202…312 – 16129 SCTotal = 16805-16129= 676

SC Formulaciones = SCTrat

SCTrat = Yi2 .. –C = 143 2 + 101 2 …130 2 -16129

k 5SCT= 16459-16129 = 330

SC Lotes = SC Hileras

SCH = Y 2 ,j, - C kSCH = 80985 – 16129 = 16197-16129 = 68 5

SCOperadores = SCColumnas

SCC= Y 2 .. l - C k

SCC = 107 2 + 143 2 +…..+ 134 2 – 16129 = 16279-16129 = 150 5SCError = SCT - SCTrat – SCH – SCCSCE = 676-330-68-150 = 128

ANOVAFuentes de Grados de Suma de Cuadrados F Calculada Fα .05; 4,12

Variacion Libertad Cuadrados MediosFormulaciones 4 330 82.50 7.73 ** 3.26Lotes de Materia Prima

4 68 17.00 1.59 3.26

Operadores 4 150 37.5 3.51* 3.26Error 12 128 10.67Total 24 676

Conclusión

Como Fα .05; 4,12 = 3.26 es menor que F calculada = 7.73. Se concluye que hay una diferencia altamente significativa en la rápidez de combustión media generada por las diferentes formulaciones de la carga propulsora. También existe significancia hay entre los operadores, por lo que la formación en bloques de este factor fue una buena precaución. Por lo que corresponde a los lotes de materia prima, no hay diferencia significativa es decir no tienen efecto, por lo que al parecer en este experimento particular hubo una preocupación innecesaria en esta fuente de variabilidad. Sin embargo, la formación de bloques de los lotes de materia prima es por lo general una buena idea.

Ejercicio

Se quiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material sólo permite cinco corridas y cada corrida requiere aproximadamente de 1.5  horas,  por lo que sólo se pueden realizar cinco corridas diarias. El experimentador decide correr los experimentos con un diseño en cuadro latino, para controlar activamente a los lotes y días. Los datos obtenidos son:

Día

L 1 2 3 4 5o 1 A = 8 B = 7 D = 1 C = 7 E = 3t 2 C= 11 E = 2 A = 7 D = 3 B = 8e 3 B = 4 A = 9 C = 10 E = 1 D = 5

4 D = 6 C = 8 E = 6 B = 6 A = 105 E = 4 D = 2 B = 3 A = 8 C = 8

 

Considere un nivel de significancia del 5 por ciento

Anote la ecuación del modelo y las hipótesis estadísticas correspondientes. 

Realice el ANOVA 

¿Existen diferencias entre los tratamientos?

¿Los factores de ruido, lote y día afectan el tiempo de reacción del proceso?  

Ejercicio 2Se comprueba el peso en gramos de un material de tres proveedores: A, B y C, por tres diferentes inspectores: I, II y III, utilizando tres diferentes escalas: 1, 2 y 3. El experimento es llevado a cabo como el cuadro latino siguiente:

Escala

1 2 3Inspector I A= 16 B = 10 C = 11

II B=15  C=9 A=10 III C=13  A=11  C=13 

 

Considere un nivel de significancia del 5 por ciento

Anote la ecuación del modelo y las hipótesis estadísticas correspondientes. 

Realice el ANOVA 

Establezca sus conclusiones

5.5. Diseño en cuadro grecolatino (DCGL)

Con el diseño en cuadro grecolatino (DCGL) se controlan tres factores de bloque además del factor de tratamientos. Se llama cuadro grecolatino porque los cuatro factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, de aquí que se pueda escribir como un cuadro; y se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos y letras griegas para nombrar los niveles o bloques del t e r ce r f a c to r de l b loque .  A l i gua l   que en e l   cuad ro l a t i no ,   c ada   l e t r a ( l a t i na s y griegas) debe aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna. Además, cada par de letras debe aparecer sólo una vez en todo el arreglo. En la tabla siguiente se presenta el aspecto de los datos del diseño en cuadro latino de dimensión k = 4

Columnas

1 2 3 4

Renglones 1 Aα Bβ Cγ Dδ

2 Bδ Aγ Dβ Cα

3 Cβ Dα Aδ Bγ

4 Dγ Cδ Bα Aβ

El modelo estadístico que describe a las mediciones en un cuadro grecolatino estádado por

Y ijlm =µ +βi +ρj + δl + φm + εijlm

Donde Yijlm es la observación o respuesta que se encuentra en el tratamiento i (i-ésima letra latina), en el renglón j, en l a co lumna l y e n la m-ésima letragriega; βi. es el efecto del tratamiento i; ρj es el efecto del renglón j; δl representa el efecto de la columna l; φm

representa el efecto de la m-iésima letra griega, que son los niveles del tercer factor de bloque; εijlm representa el error aleatorio atribuible a la mediciónYijl. Es importante no confundir las letras griegas del modelo que representan efectos, con las letras griegas en el diseño que representan a los niveles del tercer factor de bloque. La variabilidad total presente en los datos se puede partir de la manera usual como

SCT = SCTrat + SCB1 + SCB2 + SCB3 + SCE

donde las sumas SCB1; SCB2 y SCB3 miden la variabilidad debida a los factores de bloque renglón, columna y de letras griegas, respectivamente. Para k tratamientos, los grados de libertad correspondientes a cada suma son:

k2-1= (k-1) + (k-1) + (k-1) + (k-1) + (k-3)(k-1)

TABLA DE ANOVA DEL DISEÑO GRECOLATINO

Fuentes de Variation

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados Cuadrados Medios

F Calculada Fα

Tratamientos k-1 SCTrat = Yi 2 … – C k

CMTrat k-1

CMTratCME

Hileras k-1 SCB1= Y 2 .j. – C k

CMH k-1

CMHCME

Columnas k-1 SCB2= Y 2 .. l . – C k

CMC k-1

CMCCME

Letras Griegas k-1 SCB3= Y 2 … m – C k

CMLG k-1

CMLG CME

Error (k-3) (k-1)

SCE= SCT–SCTrat – SCB1– SCB2–SCB3

CME k-1

Total K2-1 SCT= Yi2jlm – C

Ejemplo

Suponga que en el experimento de la carga propul sora del ejemplo del Cuadro Latino, se tiene un factor adicional: los montajes de prueba, podría ser importante. Sea que haya cinco montajes de  prueba denotados con las letras griegas α, β, γ, δ ε.

Los datos observados están en la siguiente tabla.

Columnas l (operadores) Y.j. Y2.j. Y2ijl

Renglones j 1 Aα=24 Bγ=20 Cε=19 Dβ=24 Eδ=24 111 12321 2489Materia Prima 2 Bβ=17 Cδ=24 Dα=30 Eγ=27 Aε=36 134 17956 3790

3 Cγ=18 Dε=38 Eβ=26 Aδ=27 Bα=21 130 16900 36144 Dδ=26 Eα=31 Aγ=26 Bε=23 Cβ=22 128 16384 33265 Eε=22 Aß=30 Bδ=20 Cα=29 Dγ=31 132 17424 3586

Total 635 80985 16805Y..l 107 143 121 130 134Y2..l 11449 20449 14641 16900 17956

Y2..l= 81395; G= 635; Y 2 …. = 635 2 = 16129 C= 16129 N 25k = 5 tratamientos

C= factor de corrección

Letra Latina Total del Tratam.A Y1…= 143B Y2… = 101C Y3… = 112D Y4… = 149E Y5… = 130Suma Yi2… = 82295

Letra Griega Total del Tratam.α Y…1= 135β Y…2 = 119γ Y…3 = 122δ Y…4 = 121ε Y…5 = 138Suma Y2…k = 80955

Modelo Estadístico Y ijlk =µ +βi +ρj + δl + φk + εijlk

Donde: Yijlk= rápidez de combustión de la i-ésima formulación; realizada po r e l operador (factor columna) con el l-ésimo lote de materia prima (factor renglón) con el k-esimo montaje; βi = es la medida del efecto de la i-ésima formulación a la rápidez de combustión, εijl = es el error aleatorio y µ es la media global real de todos las formulaciónes.

Hipótesis

Ho: µA= µB= µC= µD = µE= µ

H1: µi ≠ µj para algunos i, j,

Prueba de significancia al .05

Cálculos estadísticos

SCTotal = Y2ijlk – C = 242+202…312 – 16129

SCTotal = 16805-16129= 676

SC Formulaciones = SCTrat

SCTrat = Yi2 … –C = 143 2 + 101 2 …130 2 -16129

k 5SCT= 16459-16129 = 330

SC Lotes = SCB1

SCB1 = Y 2 ,j,. - C kSCB1 = 80985 – 16129 = 16197-16129 = 68 5

SCOperadores = SCB2

SCB2= Y 2 .. l. - C k

SCB2 = 107 2 + 143 2 +…..+ 134 2 – 16129 = 16279-16129 = 150 5

SCEnsambles = SCB3

SCB3 = Y2…k – CSCB3 = 80955 – 16129 = 62 5 SCError = SCTotal – SCTrat - SCB1 – SCB2 – SCB3SCE = 676-330-68-150 – 62 = 66

ANOVAFuentes de Grados de Suma de Cuadrados F Calculada Fα .05; 4,8

Variation Libertad Cuadrados MediosFormulaciones 4 330 82.50 10.0 ** 3.83Lotes de Materia Prima

4 68 17.00 2.06 3.83

Operadores 4 150 37.5 4.55* 3.83Montajes de Prueba

4 62 15.50 1.88 3.83

Error 8 128 8.25Total 24 676

Al comparar los dos diseños DCL y DCGL, se observa que al sacar la variabilidad debida a los montajes

de prueba, el error experimental disminuye. Sin embargo, al reducir el error experimental, se han reducido

también los grados de libertad de 12 a 8.  Por lo tanto, la estimación de error tiene menos grados de

libertad y la prueba puede ser menos sensible.

Por otro lado, tanto los lotes de materia prima como los montajes por si solos no tienen efecto en este

experimento. Los tratamientos tienen un alto nivel significativo sobre la rapidez de combustión media

generada por las diferentes formulaciones de la carga propulsora. Para saber cuál

tratamiento es el mejor se requiere realizar otras pruebas llamadas contrastes ortogonales.

Ejercicio 1

El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando cinco lotes de materia prima, cinco

concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del

catalizador ( α, β, γ, δ, ε). Se usó el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este

experimento (utilizar α al 0.05) y sacar conclusiones.

Concentración de ácido

1 2 3 4 5L 1 Aα=26 Bß=16 Cγ=19 Dδ=16 Eε=13o 2 Bγ=18 Cδ=21 Dε=18 Eα=11 Aβ=21t 3 Cε=20 Dα=12 Eβ=16 Aγ=25 Bδ=13e 4 Dβ=15 Eγ=15 Aδ=22 Bε=14 Cα=17

5 Eδ =10 Aε=24 Bα=17 Cβ=17 Dγ=14