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Matemáticas III Unidad 3. La Recta y su Ecuación Cartesiana

94

UNIDAD 3. LA RECTA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA 3.1 Propósitos de la Unidad. 95

3.2 Aprendizajes significativos y temática. 95

3.3 Diagrama Estructural.. 97

3.4 Antecedentes. 98

3.5 Conceptos y fórmulas. 100

3.5.1 Área de un triángulo. 100

3.5.2 El Principio de Cavalieri y la ecuación de la recta.. 104

3.6 Ecuación cartesiana de la recta. 116

3.6.1 Ecuación de la recta que pasa por un punto

y tiene una pendiente determinada 117

3.6.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 117

3.7 Problemas resueltos. 118

3.8 Ecuación de la recta dada su pendiente y la ordenada al origen. 123

3.9 Ejercicios. 125

3.10 Ecuación general de la recta. 126

3.11 Ejemplos. 127

3.12 Rectas paralelas y rectas perpendiculares. 127

3.13 Ejemplos. 128

3.14 Distancia dirigida de un punto a una recta. 130

3.15 Ejemplos. 131

3.16 Ejercicios. 133

Propuesta de Evaluación. 135

Glosario. 137

Bibliografía. 137


95

UNIDAD 3.

LA RECTA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA .

3.1 PROPÓSITOS: Reafirmar el conocimiento del método de la Geometría Analítica, al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas de corte euclidiano, que incluyen la comprobación de relaciones entre elementos de figuras rectilíneas estudiadas en Geometría Euclidiana. 3.2 APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS Y TEMÁTICA

APRENDIZAJES Al finalizar la unidad, el alumno: ⇒ Conocerá las distintas formas de representación de la recta e identificará

cuál de ellas conviene usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen.

⇒ Encontrará la ecuación de una recta, dados distintos elementos que la definen.

⇒ Dada una ecuación lineal de dos variables, la identificará como una recta e inversamente.

⇒ A partir de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrará los elementos que definen su posición y trazará su gráfica.

⇒ Dadas la ecuación de una recta y las coordenadas de un punto, decidirá, sin recurrir a la gráfica, si éste pertenece o no a la recta.

⇒ Dadas las ecuaciones de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinará si se cortan o no y, en su caso, el ángulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan.

⇒ Conocerá, comprendiendo el argumento que las justifica, las condiciones analíticas para el paralelismo o perpendicularidad de dos rectas.

⇒ A partir de las ecuaciones de dos rectas, decidirá si son paralelas, perpendiculares o simplemente secantes.

⇒ Corroborará algunas relaciones geométricas que involucran rectas, estudiadas en Geometría Euclidiana.


96

⇒ Incrementará su capacidad para reconocer las relaciones matemáticas presentes en una situación geométrica.

⇒ Reforzará su capacidad para pasar de lo particular a lo general y viceversa. ⇒ Avanzará en su desempeño respecto al método de la Geometría Analítica,

al obtener la ecuación de la recta y resolver problemas que la involucran. ⇒ Valorará al Álgebra, no sólo como una herramienta para obtener resultados

numéricos, sino también, para establecer relaciones que proporcionan información acerca de la problemática que se estudia, eso a través de:

⇒ Obtener a partir de una de sus representaciones, las otras formas de la ecuación de la recta.

⇒ Calcular los elementos que definen una recta a partir de su ecuación dada en la forma general.

TEMÁTICA ⇒ La Recta ubicada en el Plano Cartesiano.

a) Localización de una recta en el plano. Condiciones necesarias y suficientes.

⇒ La Ecuación Cartesiana de la Recta, cuando se conocen: a) Las coordenadas de dos de sus puntos. b) Su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. c) La ordenada al origen y su pendiente. d) Cuando es paralela a uno de los ejes de coordenadas.

⇒ Tratamiento analítico para determina a partir de la ecuación de una o dos rectas:

a) Los elementos geométricos que la definen: ángulo de inclinación y uno de sus puntos, o dos de sus puntos.

Si un punto cuyas coordenadas se conocen, pertenece o no a una recta. La intersección de dos rectas que se cortan. El ángulo entre dos rectas que se cortan. La relación de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas.

⇒ Solución Analítica de problemas de corte euclidiano. a) Cálculo del área de un triángulo. b) Comprobación en casos concretos de: - La Concurrencia de las mediatrices de un triángulo. - La razón de 1: 2 en que el punto de intersección de las medianas de un

triángulo, divide a cada una de ellas. - La igualdad de los ángulos en un triángulo isósceles. - La igualdad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.


97

3.3 DIAGRAMA ESTRUCTURAL

VARIACIÓN PROPORCIONAL

ECUACIONES LINEALES

GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

FUNCIONES LINEALES Y

GRAFICACIÓN ESTUDIO

ANALÍTICO DE PUNTOS

EN EL PLANO

PENDIENTE

ESTUDIO ANALÍTICO DE UN SEGMENTO

ESTUDIO ANALÍTICO DE UN ÁNGULO

ESTUDIO ANALÍTICO DEL

TRIÁNGULO

ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

ECUACIÓN DEL DETERMINANTE

DE LA RECTA

ECUACIÓN GENERAL

DE LA RECTA

APLICACIONES; PARALELISMO,

PERPENDICULARIDAD ECUACIÓN

SIMPLIFICADA ECUACIÓN SIMÉTRICA

ECUACIÓN NORMAL


98

3.4 ANTECEDENTES

Como ya se vio en el capítulo anterior la Geometría Analítica, es una rama de la

geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se

representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto

de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto

a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los

ejes. En la figura 1, el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades

del horizontal (x). Las coordenadas del punto A son por tanto 1 y 4, y el punto

queda fijado dando las expresiones x = 1, y = 4. Los valores positivos de x están

situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos

de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la

figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0.

Figura 1


99

No debemos olvidar que:

(x, y) = se le denomina pareja de coordenadas cartesianas o rectangulares

A la primera de las coordenadas se le llama abscisa (x, ), y a la segunda sele

denomina ordenada ( , y), siempre.

En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación

lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se

pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y

curvas regulares. La geometría analítica se ocupa de dos tipos clásicos de

problemas. El primero es: dada la descripción geométrica de un conjunto de

puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo

con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa

por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El segundo

tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos

geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por

ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar

geométrico de los puntos que satisfacen x2 + y2 = 9. Usando ecuaciones como

éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de

construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la

perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia

que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta. La geometría

analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha

unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones

espaciales). El estudio de la geometría no euclídea y de las geometrías de

espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento

analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen

posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos

geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de

las matemáticas avanzadas.


100

3.5 CONCEPTOS Y FÓRMULAS

3.5.1 ÁREA DE UN TRIÁNGULO

En el estudio de los polígonos, para determinar el área, la del triángulo resulta ser

sencilla de calcular. Todos sabemos que es igual a: base por altura sobre dos. Sin

embargo, si no se tiene la base ni la altura, y sólo se tienen las coordenadas de

cada uno de los tres vértices, de ese triángulo, y no sabemos si es o no un

triángulo rectángulo, entonces se aplica lo siguiente:

Dadas las coordenadas de los tres vértices del triá ngulo ∆ ABC, donde

A(x1, y1); B(x 2, y2) y C(x3, y3), su área AAAA queda determinada por la siguiente

fórmula:

AAAA =

1

1

1

21

33

22

11

yx

yx

yx

Para explicar esto, consideremos la siguiente figura o gráfica:

Y

C

B

y3 A

y2

y1

O D E F X

x1

x3

x2

De la gráfica anterior se puede observar que el área del triángulo ∆ ABC es igual

a la suma de las áreas de los trapecios ADEC más CEFB menos el área del


101

trapecio ADFB. Recordemos que el área de un trapecio es igual al producto de su

altura por la semisuma de sus lados paralelos, así tenemos que:

Área ADEC = ½ (x3 –x1)(y3+y1)

Área CEFB = ½ (x2 –x3)(y2+y3)

Área ADFB = ½ (x2 –x1)(y2+y1)

Por lo que el área del triángulo ABC estará determinada por:

Área ∆ ABC = Área ADEC + Área CEFB – Área ADFB

= ½ (x3 –x1)(y3+y1) + ½ (x2 –x3)(y2+y3) - ½ (x2 –x1)(y2+y1)

= 1/2 [x1( y2 – y3 ) – y1 (x2 – x3 ) + 1( x2 y3 – x3 y2 )]

=1/2

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

Debido a que la expresión algebraica que se encuentra dentro de los corchetes,

de la penúltima ecuación, es exactamente el determinante de orden 3 de la última

expresión.

Si resolvemos este determinante por el Método de Sarrus (ver el capítulo primero

de este libro), duplicando las dos primeras columnas, tenemos:

121323323121

3

2

1

3

2

1

33

22

11

1

1

1

yxxyyxyxxyyx

y

y

y

x

x

x

yx

yx

yx

−−−++=

= x1( y2 – y3 ) – y1 (x2 – x3 ) + 1( x2 y3 – x3 y2 )

Con lo cual se demuestra que efectivamente es el determinante propuesto.

Si el orden en que se toman los vértices del triángulo, como en este caso, es

contrario al movimiento de las manecillas del reloj, entonces el valor del

determinante es positivo. Si se toman a favor del movimiento de las manecillas del

reloj, entonces el determinante es negativo. Para evitar que el determinante nos


102

dé una área negativa, le aplicamos el valor absoluto anteermindet , con lo cual

tenemos la fórmula final siguiente:

Área ∆ ABC =

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

Ejemplo. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son: A(-4, 3); B(0, 6); C(6, -

2), empleando la fórmula anterior.

Solución.

Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula del área del triángulo

propuesto tenemos:

Área ∆ ABC =

026

160

134

2

1

−

−

Aplicando el Método de Sarrus, tenemos

Área ∆ ABC =

252

5050

2

1083601824

2

1

2

6

3

6

0

4

126

160

134

2

1 ==−=−−−++−=−

−

−

−


103

Verifique este resultado con el que obtuvimos en el ejemplo de la Fórmula de

Herón del capítulo anterior.

Ejemplo. Calcule el área del triángulo con vértices: (5, -2), (-3, 2) y (1, 3)

Solución

Área

131

123

125

2

1 −−

=∆

Aplicando el Método o la Regla de Sarrus, tenemos

122

24

242

1

615292102

1

3

2

2

1

3

5

131

123

125

2

1

==

−=

−−−−−=

−−−

−=∆Área


104

Ejercicios

Calcula el área de cada uno de los siguientes triángulos

1. (0, 0), (a, 0), (0, a) 2. (0, 0), (1, 1), (-1, 1) 3. (0, 0), (6, 0), (3, 3)

4. (2, -3), (3, 2), (-2, 5) 5. (-3, 0), (3, 2), (0, 1) 6. (1, 1), (2/3, 2/3), (11, ½)

3.5.2 EL PRINCIPIO DE CAVALIERI Y LA ECUACIÓN DE L A RECTA

La presente exposición introduce el Principio de Cavalieri en el tratamiento de un

tema de matemáticas a nivel bachillerato. Aunque el trabajo de Cavalieri se

publicó en 1635, el conocimiento de su principio, es un buen pretexto para

introducir el tema que aquí se aborda, tratando de servir como una estrategia de

aprendizaje novedosa, en el salón de clase para alumnos del bachillerato. Es bien

sabido entre los estudiosos del pensamiento matemático, que la obra de

Bonaventura Cavalieri goza de una bien establecida reputación de oscuridad a

toda prueba. Lejos de querernos rebelar contra esta apreciación tradicional,

hacemos la presente propuesta didáctica novedosa que pretende simplificar el

tratamiento del tema Ecuación cartesiana de la recta, que de otra manera parece

tedioso o más complicado en su tratamiento tradicional en el salón de clase, con

alumnos del nivel medio superior. De hecho, la forma tradicional de abordar el

tema de Ecuación cartesiana de la recta, en el nivel medio superior, es a través

del tratamiento, aparentemente inevitable, del concepto de pendiente de una

recta. No obstante, en la presente sección se enfrenta el abordaje o tratamiento

de la Ecuación cartesiana de la recta, con el único auxilio de la fórmula para

calcular el área de un triángulo cuando se conocen de él las coordenadas de sus

tres vértices y la aplicación del Principio de Cavalieri.

B

ACTIVIDAD 1

Considérese el siguiente triángulo ABC:

A C


105

Sin modificar la base AC = b .

¿Cómo podrías incrementar el área del triángulo?

Respuesta:

Después de cierto tiempo, debemos esperar que el alumno ofrezca la respuesta

que: incrementando los lados AB y BC

B

A b C

Y la justificación es que el área de un triángulo depende de la base y la altura, si la

base no se modifica, entonces para incrementar el área (dejando fija la base),

bastará con aumentar la altura. Y esto último se logra incrementando la longitud

de los otros dos lados (AB y BC) ... ?

Entonces...

¿Podríamos afirmar que:

Si en un triángulo cualquiera, no se modifica la longitud del lado que se

considera como base, al incrementar la longitud de los otros dos lados, se

verá incrementada el área del triángulo original. ? Y esto debido, tal vez}, al

hecho que el perímetro si se ve aumentado, al aumentar la longitud de dos

de sus lados, manteniendo el tercer lado constante.

Para aclarar esta cuestión, considérese la siguiente figura:


106

B B'

h

A b C

Se observa claramente que existen dos triángulos: ABC y AB'C

� Ambos con la misma base: b = AC

� Los dos lados que no son la base fija, fueron incrementados:

AB' > AB

B'C > BC

� El perímetro del ABC es mayor que el perímetro del

AB´C

Sin embargo...

� Los dos triángulos tienen la misma área

Entonces ¿qué pasó?

En el siglo XVII Bonaventura Cavalieri enunció su...

Principio:

"Si dos figuras planas están contenidas entre dos rectas

paralelas y poseen la propiedad que las secciones de ellas,

cortadas por cualquier recta paralela a las anteriores, siempre

son de la misma longitud, entonces las áreas son iguales"


107

A

C'

B A' B'

C

C'

AB = 4.164 cmA'B' = 4.164 cm

m ALAM = 3.347 cm

m AJAK = 3.347 cm

De manera análoga, el principio de Cavalieri se puede generalizar para sólidos

El cual se puede expresar como...

"Si dos sólidos están contenidos entre dos planos paralelos y poseen

la propiedad que las secciones de ellos, cortados por cualquier plano

paralelo a los anteriores, siempre son de la misma área, entonces los

volúmenes son iguales"

Áreas iguales VOLÚMENES IGUALES

ACTIVIDAD 2

Considere el triángulo ABC, cuyos vértices están dados por las siguientes tres

parejas de coordenadas cartesianas A(0, 0); B(3, 0) y C(2, 4). Para determinar su

área lo podemos realizar de al menos, dos formas:

Primera (Por Geometría Plana): A = (1/2)b·h = (1/2)(3)·(4) = 6 u2

Segunda (Por Geometría Analítica):


108

===142

103

100

2

1

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

A A = 6 u2

4 C C´’ C’’

O A B 3 7 10

ACTIVIDAD 3 Si ahora modificamos el tercer vértice a C’(7, 4), dejando fijos los otros dos, obtendremos:

===147

103

100

2

1

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

A 6 u2

Si posteriormente modificamos nuevamente el tercer vértice a C’’(10, 4) obtendremos

===1410

103

100

2

1

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

A 6 u2

Esto significa que no importa que tan retirado de la base esté ubicado el tercer

vértice con tal de que se encuentre sobre una recta paralela a ella, se conserva el

área. De hecho para disminuir el área, sin modificar la base, bastará con ubicar al

tercer vértice sobre una recta paralela a la base, pero más cercana a ella.

x

y


109

4 C C´’ C’’

C’’’

O A B 3 7 10

Por ejemplo moviendo al vértice C’’’(12, 3), se obtendrá como área:

===1312

103

100

2

1

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

A 4.5 u2

Ahora, considérense dos puntos en el plano cartesiano, cuyas coordenadas son

dadas, P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Posteriormente considérese un tercer punto P(x, y)

cualquiera, con la única condición que se encuentre ubicado en la misma recta a

la que pertenecen los dos puntos dados. Entonces el área del triángulo formado

por estos tres puntos es igual a cero. Dado que se trata de un triángulo

degenerado, debido a que los tres puntos son colineales y por ende, su área es

igual a cero.

X

Y


110

P2 L

P1 P Entonces la línea recta L que pasa por los puntos P1 y P2 representa el lugar

geométrico de los puntos P(x, y), tales que el área del A triángulo degenerado,

formado por los puntos P1, P2 y P, vale cero, entonces:

L = {P(x, y)/ A = 0 }

Y como

A

1

1

1

2

122

11

yx

yx

yx

= = 0

Esto significa que el determinante solo, tiene un valor de cero

0

1

1

1

22

11

=yx

yx

yx

La cual llamaremos Ecuación del Determinante de la Recta Por supuesto que si ahora resolvemos este determinante tenemos:

x1( y2 – y ) – y1 (x2 – x ) + 1( x2 y – x y2 ) = 0 x1 y2 – x1 y – y1 x2 – y1 x + x2 y – x y2 = 0 y( x2 – x1 ) – x2 y1 = x( y2 – y1 ) – x1 y2


111

Sumando en ambos miembros el término x1 y1 , y reagrupando tenemos

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

La ecuación cartesiana de la recta. Ejemplo. Para el siguiente par de puntos (-2, 1), (5, -3), encuentra una ecuación

de la recta que pasa por ellos.

Solución. Si sustituimos las coordenadas de estos dos puntos en la ecuación del

determinate, obtenida anteriormente, tenemos:

0

1

135

112

=−−

yx

La cual representa una ecuación solicitada. Sin embargo esta forma de ecuación,

no estamos acostumbrados a verla.

Si ahora, aplicamos la Regla de Sarrus para resolver el determinante, tenemos

0174

052356

03

1

5

2

1

135

112

=++=−++++

=−−

−−

yx

yxyx

yxyx

Observamos que se trata de una ecuación de primer grado con dos incógnitas de

la forma

Ax + By +C = 0


112

Donde A, B y C son los coeficientes 4, 7 y 1, respectivamente y a esta última

expresión se le conoce como Ecuación General de la Recta.

0

1

135

112

=−−

yx

⇔ 4x + 7y + 1 = 0

Son las ecuaciones: Determinante y General de la recta cuya gráfica es la

siguiente:

De esta forma, tenemos un primer ejemplo donde se puede asociar a una figura

geométrica, en este caso a una línea recta, una ecuación algebraica, que sólo se

satisface por las coordenadas de los puntos que pertenecen a ella.

En este caso también se pudo haber empleado la ecuación cartesiana de la recta

de la forma siguiente:


113

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

Sustituyendo las coordenadas de los dos puntos dados, tenemos

0174

8477

)2(4)1(7

)2(7

41

)2(25

131

=++−−=−

+−=−

+−=−

++−−=−

yx

xy

xy

xy

xy

Se obtuvo la misma ecuación general.

Ejemplo. Hallar la ecuación de las rectas considerando los datos que se dan en

cada caso:

a) Pasa por los puntos C(1, 5) y D(7, 8).

Solución: Si sustituimos las coordenadas de estos dos puntos en la ecuación

del determinate, obtenida anteriormente, tenemos:

0

1

187

151

=yx

La cual representa una ecuación solicitada.

Si ahora, aplicamos la Regla de Sarrus para resolver el determinante, tenemos

092

02763

0358758

08

5

7

1

1

187

151

=+−=−+−

=−−−++

=

yx

yx

yxyx

yxyx

b) Pasa por los puntos E (5, 7) y F (7, 2).

Solución: Si sustituimos las coordenadas de estos dos puntos en la ecuación

del determinate, tenemos:

0

1

127

175

=yx


114

La cual representa una ecuación solicitada. Sin embargo ahora, aplicamos la

Regla de Sarrus para resolver el determinante, tenemos

03925

049527710

02

7

7

5

1

127

175

=−+=−−−++

=

yx

yxyx

yxyx

Ejemplo. Dadas las siguientes parejas de coordenadas, encontrar la ecuación

general de la recta que pasa por ellos

a) (2, 5), (2,-1) b) (-4, -2), (2, -2)

a) Solución. Al aplicar la ecuación determinante, tenemos:

02

01206

0102252

01

5

2

2

1

112

152

=−=−+

=−−+++−

=−−

x

yx

yxyx

yxyx

También se puede escribir como x = 2

La cual se representa gráficamente como sigue:

La cual representa una línea recta paralela al eje de las ordenadas, e intersecta al

eje de las abscisas en 2.


115

b) Solución. Al aplicar la ecuación determinante, tenemos

02

01260

0442228

02

2

2

4

1

122

124

=+=++

=++++−

=−−−

−−−

y

yx

yxyx

yxyx

También se puede escribir como y = -2

Y ésta es la expresión algebraica de una línea recta cuya gráfica es la siguiente

La cual representa una línea recta paralela al eje de las abscisas, e intersecta al

eje de las ordenadas en -2.

Ejercicio. Aplica la ecuación cartesiana para encontrar la ecuación general de la

recta que pasa por el siguiente par de puntos

a) (2, 5), (2,-1) b) (-4, -2), (2, -2)


116

Conclusión Didáctica La enseñanza de habilidades y procesos como el razonamiento, la metacognición, estrategias de aprendizaje, la resolución de problemas y la creatividad, dicta cambios en el salón de clase, en donde se incluye la estructura física, el rol del profesor, el rol de los alumnos y su interacción. La clase tradicional con sus pupitres en hileras fijas viendo el “show“ del profesor como único emisor de conocimiento, con los alumnos mirando pasivamente cómo el profesor se desempeña al frente del grupo y único acaparador del pizarrón, pensando que todos sus alumnos lo siguen en el aprendizaje con el mismo ritmo de enseñanza que marca su dominio de información que vierte con el gis en la pizarra; no ayuda a desarrollar el pensamiento de sus alumnos.

La escuela del siglo XXI debe incluir muebles móviles que permitan la actividad en grupos pequeños. En este ambiente el profesor es el mediador entre el conocimiento y los alumnos y es el facilitador de las actividades que fomentan la comunicación entre alumnos y profesor y entre alumnos y alumnos. El profesor hace preguntas que inducen pensamientos y que fuerzan a los alumnos a reflexionar y responder con afirmaciones, pensamientos y preguntas de ellos mismos. También permite hacer aclaraciones usando la pizarra, motivado por las inquietudes y preguntas de los alumnos, sin apoderarse de ella por mucho tiempo.

La mayoría de los profesores no tenemos demasiada experiencia en este tipo de actividades, por lo que deben recibir ayuda con programas instruccionales; deben aprender a utilizar las respuestas de los alumnos para extender sus procesos de razonamiento.

3.6 ECUACIÓN CARTESIANA DE LA LÍNEA RECTA

La línea recta es la curva geométrica más simple, pero no por eso pierde su

importancia.

Se iniciará el estudio de la línea recta graficando las ecuaciones:

x = r y y = s

La primera es una recta paralela al eje Y, la segunda es una recta paralela al eje X

y y

x = r (o,s) y = s

X X

(r,o)


117

3.6.1 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA

PENDIENTE DETERMINADA .

Una recta queda definida por un punto y su pendiente, es decir si una recta L pasa

por un punto ( )1, yxA y tiene pendiente m, entonces su gráfica puede ser:

L

y P(x, y)

A(x1, y1)

Obsérvese que P(x, y) es un punto cualquiera que está sobre la recta L. Luego:

1

1

xx

yym

−−= 1 1( )m x x y y− = −

La ecuación de una recta, dado un punto y su pendiente, es:

…………………………….(1)

3.6.2 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Si la recta L pasa por los puntos ),( 11 yxA y ),,( 22 yxB

Entonces su pendiente está dada por: 12

12

xx

yym

−= −

Luego al sustituir a “m” en la ecuación (1), se deduce lo siguiente:

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

)( 11 xxmyy −=−


118

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos es:

...........(2)

3.7 PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Hallar la ecuación de las rectas considerando los datos que se dan en cada

caso:

a) Pasa por A(1, 2) y su pendiente es 2.

Solución:

La fórmula que se utiliza es la (1):

y-y1 = m(x-x1)

y-2 = 2(x-1)

y-2 = 2x-2

-2x+y-2+2 = 0

∴

b) Pasa por B(-3, -4) y su pendiente es 5/2.

Solución:

La fórmula a emplear es la (1):

y-y1 = m(x-x1)

y-(-4) = (5/2)(x-(-3))

y+4 = (5/2)(x+3)

2(y+4) = 5(x+3)

2y+8 = 5x+15

-5x+2y+8-15 = 0

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

02 =+− yx

0725 =−+− yx


119

c) Pasa por los puntos C(1, 5) y D(7, 8).

Solución:

La fórmula a usar es la (2):

y-y1 = )( 112

12 xxxx

yy −−−

)1(17

585 −

−−=− xy

y-5 = (3/6)(x-1)

6(y-5) = 3(x-1)

-3x+6y-30+3 = 0

∴ o también:

d) Pasa por los puntos E (5, 7) y F (7, 2).

Solución:

La fórmula a usar es la (2):

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

)5(57

727 −

−−=− xy

)5)(2/5(7 −−=− xy

)5(5142 −−=− xy

255142 +−=− xy

0251425 =−−+ yx

∴

2.- Construir la gráfica de las rectas, cuyas ecuaciones se indican, considerando

dos puntos:

a) x-2y = 0

Solución:

x = 2y

02763 =−+− yx 092 =+− yx

04925 =−+ yx


120

Sí y = 0 x = 0

Y sí y = 1 x-2(1) = 1

∴ La recta pasa por los puntos A(0, 0) y B(2, 1)

Si ahora graficamos estos puntos en un sistema de coordenadas tenemos:

b) 2x+y-3 = 0

Solución:

y = 3-2x

Sí x = 0 y = 3-2(0) = 3

y si x = 2 y = 3-2(2) = 3-4 = -1

∴ La recta pasa por los puntos C(0, 3) y D(2, -1)

Con los cuales se obtiene la siguiente gráfica:


121

c) 3x-2y+5 = 0

Solución:

3x = 2y - 5 3

52 −= yx

Sí y = 0 ⇒ 3

5

3

5)0(2 −=−=x

Y sí y = 1 ⇒ 13

3

3

52

3

5)1(2 −=−=−=−=x

∴ La recta pasa por los puntos E(-5/3,0) y F(-1,1)

3.- Si la pendiente de una recta es –1/3 obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase el punto A(1, 3).

Solución:

Como la recta es paralela, entonces su pendiente es la misma, es decir la

recta paralela tiene pendiente m = -1/3.

)( 11 xxmyy −=−

)1)(3/1(30 −−− xy

)1(1)3(3 −−=− xy

193 +−=− xy

0193 =−−+ yx

0103 =−+ yx


122

b) Obtener la ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por

A(1, 3).

Solución:

Como la recta es perpendicular, su pendiente es de 3, esto es porque el

producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a –1.

Luego:

(-1/3)(3) = -1

)( 11 xxmyy −=−

0333

333

)1(33

)1(33

=+−+−

−=−

−=−

−=−

xy

xy

xy

xy

4.- Encontrar el punto de intersección de la recta que pasa por A(0, 0) y B(2, 3)

con la recta que pasa por C(1, 2) y D(2, -1).

Solución:

Primero se obtendrán las ecuaciones de ambas rectas:

La ecuación de la recta que pasa por A(0, 0) y B(2, 3) es:

2 11 1

2 1

( )

3 00 ( 0)

2 0(3 // 2)( )

2 3

y yy y x x

x x

y x

y x

y x

−− = −−

−− = −−

==

∴ ………(1)

Y la ecuación de la recta que pasa por C(1, 2) y D(2, -1) es:

03 =+− yx

023 =+− yx


123

2 11 1

2 1

( )

1 22 ( 1)

2 12 ( 3/1)( 1)

2 3 3

3 2 3 0

y yy y x x

x x

y x

y x

y x

x y

−− = −−

− −− = −−

− = − −− = − ++ − − =

……..(2)

Ahora el problema consiste en resolver el sistema de ecuaciones.

)2.......(..........53

)1..(..........023

=+=+−

yx

yx

Al sumar ambas ecuaciones se obtiene:

-3+2y = 0

3x+ y = 5

3y = 5 entonces y = 5/3

Se continua sustituyendo y = 5/3 en la ecuación (1)

Luego el punto de intersección es:

3.8 ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU

ORDENADA AL ORIGEN .

Consideremos una recta L cuya pendiente es “m” y que pasa por el punto

B(0, b). Como se observa en la siguiente figura:

053 =−+ yx

(10/9, 5/3)


124

Y

L

B(0, b)

m

C(x, y) b ordenada en el origen

A la distancia que hay del origen al punto en el que la recta L intersecta al eje Y

se le llama ordenada en el origen, es decir b es la ordenada en el origen.

Ahora para obtener su ecuación:

Por lo tanto, la ecuación de una recta en su forma de pendiente y ordenada en el

origen es:

También llamada Ecuación Simplificada o Simple de la Recta

EJEMPLOS.

1.- Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas que se dan.

a) y = 3x-1

Respuesta: m = 3 y b=-1

b) y+4x-7 = 0

Respuesta: y = - 4x+7

∴ m = -4 y b = 7

y = mx+b

ybmx

bymxx

by

x

bym

=+−=

−=−−=

0


125

c) 2x+3y+4 = 0

Respuesta:

3/4.......,3/234

32

423

−=−=∴

−−=

−−=

bym

xy

xy

d) x-2y+7 = 0

Respuesta:

2/7.........,2/12

7

2

1

2

7

2

1

72

==∴

+=−

−−−=

−−=−

bym

xxy

xy

3.9 EJERCICIOS:

1. Encontrar las ecuaciones de las rectas considerando los datos que se dan en

cada caso

a) Pasa por A(0 ,-2) y su pendiente es 5.

b) Pasa por B(-1, 4) y su pendiente es –3.

c) Pasa por C(1/2 ,0) y su pendiente es ½.

d) Pasa por D(-2, 7) y su pendiente es –5/2.

e) Pasa por A(0, 3) y B(-1, 0).

f) Pasa por A(1, 1) y B(3 ,-3)

g) Pasa por A(4, -5) y B(1, -1).

h) Pasa por A(1/2, 2/3) y B(3, 0).

2. Trazar la gráfica de las rectas que se dan a continuación, considerando dos

puntos convenientes:

a) x+y+1 = 0 b) x-4y+3 = 0

c) 3x+y-2 = 0 d) 2x+5y-4 = 0

3. La pendiente de una recta es 2. Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por Q(3, 4).

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por P(3, 4).

4. La pendiente de una recta es ¾. Obtener:


126

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por Q(-1, 0).

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por Q(-1, 0).

5. La pendiente de una recta es –9/5. Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por R(-8,-10).

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por R(-8, -10).

6. Encontrar el punto de intersección de la recta que pasa por A(1, 1) y B(3, 3) con

la recta que pasa por C(0, 2) y D(2, 0).

7. Encontrar el punto de intersección de la recta que pasa por A(1, 2) y B(0, -3)

con la recta que pasa por C(4, -1) y D(5 ,0).

8. Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas que se dan.

a) y+x = 0 b) x+4y = 0

c) x+y+1 = 0 d) 3x+y-3 = 0

e) x+2y’-7 = 0 f) 9x-8y+11 = 0

9. Dados los vértices del triángulo ABC. Con A(5, -2), B(-3, 2) y C(1, 3), determine

las ecuaciones de cada una de las rectas notables que se piden:

a) Las medianas

b) Las mediatrices

c) Las alturas

10. Del triángulo ASC del ejercicio anterior, determina las coordenadas de

a) El baricentro.

b) El circuncentro.

c) El ortocentro.

3.10 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

La ecuación de primer grado:

Ax + By + C = 0

Representa a la ecuación general de una recta, en donde A, B y C son

constantes y “x” y “y” son las variables.

Sí en la ecuación general Ax + By + C =0 se despeja a “y” se tiene:


127

B

Cx

B

Ay

CAxBy

−−=

−−=

De donde se deduce que:

B

Am −= y

B

Cb −=

Es decir que: dada la recta Ax + By + C = 0 su pendiente es menos el coeficiente

de la variable “x” entre el coeficiente de la variable “y” y la ordenada en el origen

es menos el término independiente entre el coeficiente de “y”.

3.11 EJEMPLOS

1.- Obtener la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas

a) 2x+3y+4=0

Respuesta:

m = -2/3 y b = -4/3

b) –4x+2y-8=0

Respuesta:

224 =−−=m y 4

2

8 =−−=b

c) 6x-5y+1=0

Respuesta:

5

6

5

6 =−

−=m y 11

1 −=−−−=b

3.12 RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Los resultados vistos anteriormente para rectas paralelas y rectas

perpendiculares pueden resumirse utilizando la ecuación general de una recta;

en el siguiente teorema:


128

TEOREMA:

Las rectas

Ax + By + C = 0

Ax + By + C1 = 0 Son paralelas

Y las rectas

Ax+ By + C = 0

Bx – Ay + C1 = 0 Son perpendiculares.

Obsérvese que los coeficientes de “x” y “y” en dos rectas paralelas son iguales y

que los coeficientes de “x” y de “y” en dos rectas perpendiculares son invertidos y

el signo de uno de ellos es diferente.

La importancia de este teorema radica en que proporciona un camino muy directo

para dada una recta obtener rectas paralelas y rectas perpendiculares a ésta.

3.13 EJEMPLOS

1. Dada la recta 3x+5y-1=0. Obtener:

a) Una recta paralela a ésta que pase por A(1, 0)

La recta es de la forma:

3x+5y+____.= 0

En donde únicamente hace falta obtener el término independiente, y para

esto a “x” y “y” se sustituyen por las coordenadas del punto A(1, 0) y

finalmente el término independiente que hace falta es el valor que es

necesario agregar para que se cumpla la igualdad:

0)3(3

0_____03

0_____)0(5)1(3

=−+=++

=++

Por lo tanto la ecuación de la recta paralela es:

3x+5y-3=0


129

b) La ecuación de la recta perpendicular a ésta que pase por A(1,0):

La recta de la forma:

5x-3y+___=0

5(1)-3(0)+___=0

5-0+___=0

5+(-5)=0

∴ La ecuación de la recta perpendicular es:

2. Dada la recta cuya ecuación es 7x-9y+15=0 Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por B(2, 3)


7x-9y+____=0

7(2)-9(3)+ _____=0

14-27+_____=0

-13+13=0

Por lo tanto la recta paralela es:

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta y que pase por B(2,3)


9x+7y+_____=0

9(2)+7(3)+_____=0

18+21+_____=0

39+(-39)=0

Por lo tanto la recta perpendicular es:

3. Dada la recta –6x+10y-21=0. Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por C(-4, -6)


-6x+10y+_____=0

-6(-4) + 10 (-6) + _____=0

24-60+_____=0

5x-3y-5=0

7x-9y+13=0

9x+7y-39=0


130

Por lo tanto la recta paralela es:

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta y que pase por C(-4,-6).


-10x-6y+_____=0

-10(-4)-6(-6)+_____=0

40+36+_____=0

76+(-76)=0

Por lo tanto la recta perpendicular es

3.14 DISTANCIA DIRIGIDA DE UN PUNTO A UNA RECTA

TEOREMA.La distancia dirigida de una recta Ax+By + C = 0 a un punto

P(x1, y1) está dada por la fórmula

Donde al denominador se le da el signo: Sí el punto P se encuentra más arriba de

la recta la distancia es positiva y si el punto P está debajo de la recta la distancia

es negativa.

Geométricamente se tiene lo siguiente:

-6x+10y+36=0

-10x-6y-76=0

22

11

BA

CByAxd

+±++=


131

Y

P

Distancia Distancia

Positiva Negativa

P

X

3.15 EJEMPLOS .

1. Obtener la distancia de la recta 4x+3y-1=0 al punto P(3, 0)

2.2511

25

11

916

112

34

1)0(3)3(42422

11 ===+−=

+−+=

+++=

BA

CByAxd

Y

P

X

2. Obtener la distancia de la recta 6x-8y+15=0 al punto P(-1, 5)

1.310

31

100

31

6436

15406

)8(6

15)5(8)1(622

22

11 ==−

−=+−+−−=

−+−+−−=

+−+

++=BA

CByAxd


132

Y

P

X

3. Encontrar la distancia que separa las rectas

x+2y-3 = 0.....(1)

x+2y+5 = 0.....(2)

Luego P(3,0) está sobre la recta (1) y la distancia de este punto a la recta (2) es:

1 1

2 2 2 2

1(3) 2(0) 5 3 0 5 83.577

1 4 51 (2)

Ax By Cd

A B+−

+ + + + + += = = = =++ + +

Para observar la distancia Geométricamente considere la siguiente gráfica

Y

(1)

(2)

P (3,0)

X


133

4. Encontrar la distancia que separa las rectas:

2x-3y-5 = 0.....(1)

2x-3y = 0.....(2)

De la ecuación (2)

yx 32 = ⇒ yx )2/3(=

Sí y=0 ⇒ 0=x

Luego el punto Q (0,0) está sobre la recta (2) y la distancia de la recta (1) al

punto Q (0,0) es:

386.113

5

94

50

)3(2

5)0(3)0(22222

11 =−

−=+−

−=−+−

−−=++

++=− BA

CByAxd

Y

(2) (1)

X

3.16 EJERCICIOS:

1. Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas que se dan:

a) 11x+10y-9 = 0 b) –x+12y+13 = 0

c) 5x-7y+21 = 0 c) –7x –35y – 20 = 0

2. Dada la recta 5x+9y –21=0. Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por el punto A(2, 5)


134

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por el punto A(2, 5)

3. Dada la recta 7x+ 9y + 15 = 0. Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por el punto B(-4, 1)

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por el punto

B(-4, 1)

4. Dada la recta –11x –12y – 35 = 0. Obtener.

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por el punto C(-3, -6).

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por el punto

C(-3, -6).

5. Encontrar la distancia de la recta -2x + 4y - 10 = 0 al punto P(0,-1)

6. Encontrar la distancia de la recta 3x - 6y + 44 = 0 al punto Q(6,-5)

7. Encontrar la distancia de la recta 8x - 6y - 121 = 0 al punto T(1,20).

8. Encontrar la distancia que separa las parejas de rectas cuyas ecuaciones se

dan: a) x-5y+1 = 0 b) 3x+y+3 = 0 c) 6x+6y+15=0 d) -x+3y-11=0

x-5y-5 = 0 3x+y-2 = 0 6x+6y+5=0 -x+3y-8=0


135

PROPUESTA DE EVALUACIÓN

EXAMEN DE LA UNIDAD 3

LA RECTA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA .

1. Encontrar las ecuaciones de las rectas considerando los datos que se dan en

cada caso

a) Pasa por A(3 ,-2) y su pendiente es 7.

b) Pasa por A(9, 5) y B(1, -8).

2. Trazar la gráfica de las rectas que se dan a continuación, considerando dos

puntos convenientes:

a) 4x+y+1 = 0 b) 2x-4y+3 = 0

3. La pendiente de una recta es 2. Obtener:

a) La ecuación de una recta paralela a ésta que pase por Q(7, 3).

b) La ecuación de una recta perpendicular a ésta que pase por P(10, 4).

4. Encontrar el punto de intersección de la recta que pasa por A(2,4) y B(5,10) con

la recta que pasa por C(0, 7) y D(7, 0).

5. Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas que se dan.

a) y+9x=6 b) 12 x+2y+8 = 0

6. Encontrar la distancia de la recta 6x +4y + 36 = 0 al punto Q(5, 5)

7. Encontrar la distancia de la recta x +y = 0 al punto P(1,20).

8. Encontrar la distancia que separa las parejas de rectas cuyas ecuaciones se

dan: a) x-5y+10 = 0 b) 3x+y+13 = 0

x-5y-15 = 0 3x+y-20 = 0


136

9. Determinar la ecuación de la recta que le corresponde la siguiente gráfica:

10. Determinar la ecuación de la recta que le corresponde la siguiente gráfica:


137

GLOSARIO

Altura. En una figura plana o en un sólido, distancia entre un lado o cara y el vértice o el punto más alejado en la dirección perpendicular. Baricentro. Punto donde se intersectan las rectas notables de un triángulo, llamadas medianas. Bisectriz. Recta que corta a un ángulo en dos ángulos iguales Circuncentro. Punto donde se intersectan las rectas notables de un triángulo, llamadas mediatrices. Incentro. Punto donde se intersectan las rectas notables de un triángulo, llamadas bisectrices Intersección. Encuentro de dos líneas, dos superficies o dos sólidos que recíprocamente se cortan, y que es, respectivamente, un punto, una línea y una superficie. Mediatriz . Recta perpendicular que corta un segmento en su punto medio. Mediana. Recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y va al vértice opuesto. Ortocentro. Punto donde se intersectan las rectas notables de un triángulo, llamadas alturas. Perpendicular. Dicho de una línea o de un plano: Que forma ángulo recto con otra línea o con otro plano.

BIBLIOGRAFÍA.

1. Oteyza, Lam. Geometría Analítica y Trigonometría. Ed. Pearson . México, 2001.

2. Ruiz Basto. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural. México, 2002.

3. Fuenlabrada, Samuel. Geometría Analítica Ed. Mc. Graw Hill. México, 2000.

4. Cuevas,Mejia .Geometría Analítica Dinámica Ed. Oxford. México 2005.

5. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN,

2004.

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