Unidad 3 Análisis en Flujo Laminar

8/20/2019 Unidad 3 Análisis en Flujo Laminar

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Unidad 3 Análisis en flujo laminar

Cuando estudiamos las propiedades de un flujo, vemos que estas dependen de laposición de la materia que estudiamos respecto a unos ejes de referencia y del tiempo.B=B(x, y, z, t)Dependiendo de que las propiedades, y en particular la velocidad, varan en cada eje de

referencia, y si vara con el tiempo o no, podemos clasificar los fluidos como!

"lujo uniforme. #n donde las propiedades son independientes del tiempo, y de la posición.#s decir en determinado flujo, en cualquier sección perpendicular a $l, todas laspropiedades son constantes. (%am&i$n se denominan de dimensionalidad ')."lujo unidimensional. #n donde las propiedades varan en una dirección. #s decir parauna sección perpendicular al flujo, se mantienen constante todas las propiedades, peroestas pueden variar de módulo en cualesquiera otra sección perpendicular al fluido."lujo &idimensional! #n donde las propiedades varan en dos direcciones. #s la clave delflujo laminar."lujo tridimensional! #n donde las propiedades varan en tres direcciones. #s el caso delflujo tur&ulento.i adems las propiedades varan con el tiempo se denominaran flujos transitorios, y si noflujos permanentes o estacionarios.*e+menes de flujo "lujo irrotacional no viscoso o ideal. #n este tipo de flujo los efectos de la viscosidad sondesprecia&les, al+unos flujos se pueden modelizar si+uiendo este modelo simple. "lujo laminar. #n donde existe un movimiento continuo del fluido en capas o lminas. "lujo tur&ulento. #n donde existe un movimiento tridimensional al azar."lujo -aminar #s uno de los dos tipos principales de flujo en fluido. e llama flujo laminar o corrientelaminar, al movimiento de un fluido cuando $ste es ordenado, estratificado, suave. #n unflujo laminar el fluido se mueve en lminas paralelas sin entremezclarse y

cada partcula de luido si+ue una trayectoria suave, llamada lnea de corriente. #n flujoslaminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular.#l flujo laminar es tpico de fluidos a velocidades &ajas o viscosidades altas, mientrasfluidos de viscosidad &aja, velocidad alta o +randes caudales suelen ser tur&ulentos.#l nmero de *eynolds es un parmetro adimensional importante en las ecuaciones quedescri&en en qu$ condiciones el flujo ser laminar o tur&ulento. #n el caso de fluido quese mueve en un tu&o de sección circular, el flujo persistente ser laminar por de&ajo de unnmero de *eynolds crtico de aproximadamente /'0'.1 2ara nmeros de *eynolds msaltos el flujo tur&ulento puede sostenerse de forma indefinida. in em&ar+o, el nmero de*eynolds que delimita flujo tur&ulento y laminar depende de la +eometra del sistema yadems la transición de flujo laminar a tur&ulento es en +eneral sensi&le a ruido e

imperfecciones en el sistema./#l perfil laminar de velocidades en una tu&era tiene forma de una par&ola, donde lavelocidad mxima se encuentra en el eje del tu&o y la velocidad es i+ual a cero en lapared del tu&o. #n este caso, la p$rdida de ener+a es proporcional a la velocidad media,muc3o menor que en el caso de flujo tur&ulento.


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3.1 Ecuacion general del balance de cantidad de movimiento

#cuación +eneral de Balance de Cantidad de movimiento

#ntrada 4 alida 5 6eneración 4 Consumo = 7cumulación

Balance de cantidad de movimiento2rimero se selecciona una envoltura del+ada de fluido que ten+a la misma +eometra queel o&jeto so&re el cual se 3ace el &alance.-a ecuación para el flujo rectilneo en estado estacionario, el &alance de cantidad demovimiento es!

"uerzas de inter$s son! 2resión (que acta so&re la superficie) y +ravedad (que actanso&re el volumen)

7l sistema puede entrar cantidad de movimiento por transporte, de acuerdo con laexpresión ne8toniana (o no9ne8toniana), de densidad de flujo de cantidad de movimiento.%am&i$n puede entrar cantidad de movimiento de&ido al movimiento +lo&al del fluido.#n +eneral, el procedimiento a se+uir para plantear y resolver pro&lemas de flujo viscosoes el si+uiente!

7. #n las interfaces sólido9fluido, la velocidad del fluido es i+ual a la velocidad con que semueve la superficie misma: es decir, que se supone que el fluido esta ad3erido a lasuperficie sólida con la que se 3alla en contacto.B. #n las interfaces lquido9+as, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y porconsi+uiente, el +radiente de velocidad n la fase lquida, es extraordinariamente peque;o,y en la mayor parte de los clculos puede suponerse i+ual a cero.Dia+rama esquemtico del experimento de una pelcula descendente, con indicación de

los efectos finales. #n la re+ión de lon+itud - la distri&ución de velocidad est totalmentedesarrollada.

#n las interfaces lquido9lquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimientocomo la velocidad son continuas a trav$s de la internase: es decir, que son i+uales aam&os lados de la interfase.

"lujo viscoso isot$rmico de una pelcula de lquido &ajo la influencia de la +ravedad, sinformación de ondulaciones. Capa de espesor x so&re la que se aplica el &alance decantidad de movimiento. #l eje es perpendicular al plano del papel.Comenzamos aplicando un &alance de cantidad de movimiento z so&re un sistema de

espesor x, limitado por los planos z = ' y z = -, y que se extiende 3asta una distancia <en la dirección. ($ase la fi+ura.) -os distintos componentes del &alance de cantidad demovimiento son por tanto! elocidad de entrada de cantidad de movimiento z a trav$s de la superficie situada en x.(-x elocidad de salida de cantidad de movimiento z a trav$s de la superficie situada en x 5x(-x5x


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elocidad de entrada de cantidad de movimiento z a trav$s de la superficie situada en z= '(z=' elocidad de salida de cantidad de movimiento z a trav$s de la superficie situada en z =-(z=- "uerza de +ravedad que acta so&re el fluido(-< x)(+cos)

?&s$rvese que las direcciones de entrada y salida se toman siempre en las direccionespositivas de los ejes x, y z. -a notación >x 5 x quiere decir evaluado para x 5 x.u&stituyendo estos t$rminos en la ecuación &alance de cantidad de movimiento seo&tiene!-x 9 -x5x 5 z=' 9 z=- 5 -< x + cos = '

3.2 Balance microscopico de cantidad de movimiento 1-D condiciones de frontera típicas

i se considera un elemento fijo de volumen encerrado por una superficie el &alancemicroscópico de cantidad de movimiento se puede plantear de si+uiente manera.

1. #-?C@D7D D# 7CAA-7C@ D# C7%@D7D D# ?@@#%?.2uesto que el momento lineal es proporcional a la masa y a la velocidad la cantidad demovimiento por unidad de volumen ser el producto de la densidad por la velocidad mediade las partculas.(E)2ara el volumen FG esta cantidad de movimiento ser el valor de la inte+ral! dy su variación con el tiempo, considerando que el volumen no se desplaza con este, ser

la expresión de la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento! tdv/. C7AD7- D# #%*7D7 #%7 D# C7%@D7D D# ?@@#%? 2?* 7D#CC@.#l caudal de materia que atraviesa la superficie d viene dado por ( x x d). #l caudal decantidad de movimiento, que atraviesa dic3o diferencial de superficie, viene dado por ( x xd) y para toda superficie se+n la si+uiente inte+ral!

s HEEEd=v

∇EHEEEdI. C7AD7- D# #%*7D7 #%7 D# C7%@D7D D# ?@@#%? 2?* "-AJ??-#CA-7*.i se denomina F%mG al caudal molecular por unidad de superficie, la inte+ral para toda la

superficie ser el caudal &uscado!s %Ed=s ∇%Ed0. A7 D# "A#*K7 #L%#*@?*#.

e pueden dividir se+n acten so&re el volumen (+ravedad) o so&re la superficie(presión).

6ravedad! v H+Ed


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2resión! 9v 2Ed= s ∇2Ed

3.3 Obtencion de perfiles de velocidad y de Esfuerzo Cortante en un fluido contenido entre placas planas

#l perfil laminar de velocidades en una tu&era tiene forma de una par&ola, donde la

velocidad mxima se encuentra en el eje del tu&o y la velocidad es i+ual a cero en lapared del tu&o. #n este caso, la p$rdida de ener+a es proporcional a la velocidad media.Cuando existe un lquido entre dos lminas paralelas, que forman una tu&era plana (uncanal). o&re el lquido en la tu&era se 3a aplicado una diferencia de presiones que lopone en movimiento. #l rozamiento con las paredes impone que justo so&re ellas lavelocidad es nula, lo que produce el denominado perfil para&ólico de velocidades (o de2oiseuille) con un mximo en el plano central y valor nulo so&re las paredes.#l esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultantede las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecnico como porejemplo una vi+a o un pilar. e desi+na variadamente como %, o M

Consid$rese el flujo laminar uni9dimensional estacionario de un fluido no comprensi&le, alo lar+o de una superficie solida plana. -a fi+. I91 a representa el perfil de velocidadespara una corriente de este tipo. -a a&scisa u es la velocidad, y la ordenada y, la distanciamedida perpendicularmente desde la pared, y por lo tanto en n+ulo recto respecto a ladirección de velocidad. 2ara y=' es u=', y u aumenta con la distancia desde la pared, si&ien la velocidad de aumento, v a disminuyendo. Consid$rese las velocidades en dosplanos próximos, 7 y B, separados por una distancia Ny. ean las velocidades a lo lar+ode los planos A7 y AB: el +radiente de velocidad duOdy en y7 se define como!

dudy=lim PyQ'PuPy

#l +radiente de la velocidad es evidentemente el inverso de la pendiente del perfil de

velocidad de la "i+. I91 a. Como el +radiente es funcion de la posicion en la corriente,se+n se indica en la "i+. I91 &, tam&i$n define un campo. upón+ase que x es lafistancia media paralelamente al fluido.

De acuerdo con la definicion de velocidad,

#l t$rmino dxOdy es el esfuerzo cortante en el plano B.

-a ecuacion anterior indica, que el +radiente puede considerarse como la variacion delesfuerzo cortante con el tiempo, y con frecuencia se desi+na de este modo. #s evidente,por la ecuacion anterior que desaparece el esfuerzo cortante (dx='), el +radiente tam&i$n

desaparece.

3.4 Obtencion de perfiles de velocidad en un fluido que se transporta por el interior de un tubo

#l flujo de fluidos en tu&os circulares se encuentra con frecuencia en fsica, qumica,&iolo+a e in+eniera. #l flujo laminar de fluidos en tu&os circulares puede analizarsemediante el &alance de cantidad de movimiento. -a nica modalidad nueva que seintroduce aqu es el uso de coordenadas cilndricas, que son las coordenadas naturalespara descri&ir las posiciones en una tu&era circular.


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e llama flujo tur&ulento o corriente tur&ulenta al movimiento de un fluido que se da enforma caótica, en que las partculas se mueven desordenadamente y las trayectorias delas partculas se encuentran formando peque;os remolinos aperiódicos,(no coordinados)como por ejemplo el a+ua en un canal de +ran pendiente. De&ido a esto, la trayectoria deuna partcula se puede predecir 3asta una cierta escala, a partir de la cual la trayectoriade la misma es impredeci&le, ms precisamente caótica.#l flujo laminar es tpico de fluidos a velocidades &ajas o viscosidades altas, mientrasfluidos de viscosidad &aja, velocidad alta o +randes caudales suelen ser tur&ulentos. #lnmero de *eynolds es un parmetro adimensional importante en las ecuaciones quedescri&en en qu$ condiciones el flujo ser laminar o tur&ulento.

-a -ey de Ra+en92oiseuille#n esta sección investi+aremos el flujo laminar desarrollado, esta&le e incomprensi&le enuna tu&era, &osquejado en la fi+ura .emplearemos do m$todos! un enfoque elemental yuna resolución directa de la cuación de avier9toSes de la componente x. en am&oscasos se desarrollan las mismas ecuaciones, as que se pueden aplicar indistintamente.

#nfoque elemental#n la fi+ura se muestra un volumen elemental del fluido. 2odemos considerarlo como unvolumen de control infinitesimal 3acia el que y desde el que fluye fluido, o podemostomarlo como una masa de fluido infinitesimal so&re la que estn actuando fuerzas. i lovemos como u volumen de control, aplicaramos la ecuación de momentum: si es unamasa de fluido, aplicaramos la se+unda ley de e8ton. 2uesto que el perfil de velocidadno cam&ia en la dirección x, el flujo de momentum que entra es i+ual al flujo demomentum que sale y la fuerza resultante es cero: puesto que no 3ay aceleración delelemento de masa, la fuerza resultante tam&i$n es cero. 2or consi+uiente,

Mue se puede simplificar a

Donde 3emos utilizado sen T = 9 d3Odx, denotando la dirección vertical con 3. ca&e se;alar que la ecuación se puede aplicar tanto a un flujo laminar como a un tur&ulento. #lesfuerzo cortante en este flujo laminar est relacionado con el +radiente de velocidad y laviscosidad, as que

Mue se puede inte+rar para dar la distri&ución de velocidad, donde 7 es una constante deinte+ración. Con u=' en r = r', podemos evaluar 7 y determinar que la distri&ución develocidad es este es un perfil para&ólico que se conoce como flujo de 2oiseulle. An fluido ideal (sin viscosidad), fluira por un tu&o sin necesidad de una fuerza.

96enial, pero en realidad no 3ay fluidos ideales 4"luido real! 3ace falta una diferencia de presiónU7+ua o aceite en un tu&o.Uan+re en el sistema circulatorio del or+anismo

#l flujo vara con el radio, y depende de! 4-a diferencia de presión 4-as dimensiones del tu&o


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4-a viscosidad

Consideramos un cilindro de fluido con radio r

4-a fuerza de impulsión "i es!

4-a fuerza de arrastre "a es!

4@+ualando para &uscar el equili&rio!

Con esta información so&re v(r), podemos estimar el caudal del tu&o 42ro&lema! v(r) Vcte 42ues, no es tan sencillo como M=7v

%ruco! anlisis por anillo de +rosor dr con v=cte. (dentro del anillo)

3.5 Problemas diversos de transporte de un fluido en regimen laminar tanto con fluidos newtonianos como no

newtonianos

2ro&lema! 12or un tu&o 3orizontal de I' cm de lon+itud y /.W mm de dimetro interno, fluye +licerina a/X.WYC. 2ara una cada de presión de /.ZW[ \+ cm9/ la velocidad de flujo es 1.]]I cmIse+91. -a densidad de la +licerina es 1./X1+OcmI. 7 partir de estos datos calcular laviscosidad de la +licerina en centipoises.olución!

7 partir de la ley de Ra+en92oiseuille se o&tiene!

= ^/.ZW[_1'I+ cm9/Z]1 dinas +911./W0_1'90cm0]1.]]I cmIse+91I' cm=0.Z/ + cm91 se+91 = 0Z/c2

#s preciso compro&ar que el flujo es laminar. #l nmero de *eynolds es= 0MH^Dn = 01.]]IcmIse+911./X1 + cm9I^'./W cm0.Z/ + cm91se+91= /.0X (adimencional)

2ro&lema /An tu&o 2ro&lema! 12or un tu&o 3orizontal de I' cm de lon+itud y /.W mm de dimetro interno, fluye +licerina a/X.WYC. 2ara una cada de presión de /.ZW[ \+ cm9/ la velocidad de flujo es 1.]]I cmIse+91. -a densidad de la +licerina es 1./X1+OcmI. 7 partir de estos datos calcular laviscosidad de la +licerina en centipoises.olución!

7 partir de la ley de Ra+en92oiseuille se o&tiene!

= ^/.ZW[_1'I+ cm9/Z]1 dinas +911./W0_1'90cm0]1.]]I cmIse+91I' cm=0.Z/ + cm91 se+91 = 0Z/c2#s preciso compro&ar que el flujo es laminar. #l nmero de *eynolds es= 0MH^Dn = 01.]]IcmIse+911./X1 + cm9I^'./W cm0.Z/ + cm91se+91= /.0X (adimencional)


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2ro&lema /

An tu&o 3orizontal de dimetro peque;o se conecta a un depósito de suministro como semuestra en la fi+ura. i en 1' se+undos se captura XX'' mmI en la salida, calcule laviscosidad del a+ua.

olución! el tu&o es muy peque;o, por lo que ca&e esperar que los efectos viscososlimitaran la velocidad a un valor peque;o. Atilizando la ecuación de Bernoulli desde lasuperficie 3asta la entrada del tu&o y 3aciendo caso omiso de la car+a de velocidadtenemos, si ' es un punto en la superficie,p'`5R=//+5p`Donde 3emos utilizado presión manom$trica con p'= '. uponiendo que/O/+ ≅ 'p=`R= Z]'' L / = 1ZX'' 2a#n la salida del tu&o la presión es cero, asi quePp-=1ZX''1./=1XI'' 2aOmDeterminamos la velocidad media!=M7=XX''_1'9ZO1'^_'.''1/O0='.]0' mOs#ste valor es muy peque;o (/O/+ = '.'IX m en comparación con pO` =/m) as que elsupuesto de que la car+a de velocidad es desprecia&le es vlido. uestro clculo de lapresión es acepta&le. Atilizando la si+uiente ecuación determinamos que la viscosidad es=r'/]Pp-='.'''W/]_'.]01XI''=X.'X_1'90 sOm/Conviene verificar el numero de *aynolds para verificar si nuestro supuesto de flujo

laminar es acepta&le. *e es*e=HD=1'''_'.]0_'.''1X.'X_1'90=1IZ'#l flujo es o&viamente laminar por que *eblt:/''', as que los clculos son validos,siempre que la lon+itud de entrada no sea excesiva. u valor es-#='.'XW *e _D='.'XW_1IZ'_'.''1='.'Zm#sto representa aproximadamente el ] de la lon+itud total, as como es acepta&lementepeque;a: por tanto, suponemos que los clculos son confia&les.

3.6 Introducción al estado dinámico

-os sistemas dinmicos son de importancia ya que estos estn relacionados con elmundo real. 2or medio de ecuaciones diferenciales es posi&le descri&ir el comportamiento

de una +ran cantidad de fenómenos fsicos. in em&ar+o, muc3as veces conviene usarsistemas dinmicos discretos para o&tener información de los fenómenos que nosinteresan.#l comportamiento en dic3o estado se puede caracterizar determinando los lmites delsistema, los elementos y sus relaciones: de esta forma se puede ela&orar modelos que&uscan representar la estructura del mismo sistema.#n cuanto a la ela&oración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se de&e teneren cuenta!


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1. An sistema est formado por un conjunto de elementos en interacción./. #l comportamiento del sistema se puede mostrar a trav$s de dia+ramas causales.I. Ray varios tipos de varia&les! varia&les exó+enas (son aquellas que afectan al sistemasin que $ste las provoque) y las varia&les endó+enas (afectan al sistema pero $ste s lasprovoca).-os sistemas dinmicos se clasifican en! Discretos y continuos 7utónomos y no autónomos @nvariantes en el tiempo o variantes en el tiempo -ineales o no lineales-os sistemas dinmicos pueden dividirse en dos +randes clases! aquellos en los que eltiempo varan continuamente y en los que el tiempo transcurre discretamente los sistemasdinmicos de tiempo continuo se expresan con ecuaciones diferenciales estn pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias (?D#s), ecuaciones diferenciales en derivadasparciales (2D#s) y ecuaciones diferenciales con retraso (DD#s). 2or otro lado si el tiempoes discreto los sistemas se descri&en por medio de ecuaciones diferenciales (Des),tam&i$n conocidas como mapas iterados.

An sistema dinmico es, se+n \uznetsov, la representación matemtica de un procesodeterminstico \uznetsov, 1ZZW. i se conoce la ley que +o&ierna su evolución y suestado inicial, se puede predecir cualquier estado futuro del sistema.

%odos los posi&les estados del sistema se pueden representar por puntos en al+nconjunto L llamado espacio de estados de esta forma!L = x ! x es un estado del sistema dinmicog

7s pues, la caracterstica esencial de la temperatura en relación con el estado deequili&rio de entes que no se ejercen interacciones resulta ser el 3ec3o de que en unsistema dado de entes la ocupación de cada estado dinmico esta pesadaexponencialmente por la ener+a de dic3o estado medida en unidades S%. #n

consecuencia todos los estados.

3.7 Deduccion de las ecuaciones de variación

D#DACC@? D# -7 #CA7C@?# D# 7*@7C@?6eneralización del &alance de ener+a aplicada a una envoltura para o&tener la ecuaciónde ener+a. #lemento estacionario de volumen a trav$s del cual fluye un lquido puro. eescri&e la ley de conservación de la ener+a para un fluido en un instante dado.

7 = # 9 5 6 9 C 7 = estado estacionario (nulo)

# 9 = ener+a cin$tica6 = adición de calorC = tra&ajo*e+la de 6i&&s" = / 9 ^ 5 " = +rados de li&ertadh = nmero de fases = nmero de compuestos


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2ro&lema! "lujo tan+encial en tu&os conc$ntricos con +eneración de calor de ori+enviscosoDeterminar la distri&ución de temperatura en un fluido ne8toniano incompresi&lecontenido en dos cilindros coaxiales que se representan en la fi+ura. Considere que lassuperficies mojadas de los cilindros interno y externo estn a la temperatura %S y %1respectivamente. upon+a un flujo laminar estacionario y desprecia&le la variación de laH, y S con la temperatura.

#CA7C@? D# C?%@A@D7DAna ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemtica, yasea de forma inte+ral como de forma diferencial. -a ecuación de continuidad vienederivada de dos de las ecuaciones de ax8ell. #sta&lece que la diver+encia dela densidad de corriente es i+ual al ne+ativo de la derivada de la densidad decar+a respecto del tiempo!

#n otras pala&ras, sólo podr 3a&er un flujo de corriente si la cantidad de car+a vara conel paso del tiempo, ya que est disminuyendo o aumentando en proporción a la car+a que

es usada para alimentar dic3a corriente.

Mu$ pasa cuando con el pul+ar tapamos un poco de la salidade una man+uerak

An c3orro

rpido de a+ua sale disparado, es decir, la velocidad del c3orro se incrementa. 7 este

comportamiento se le conoce como ecuación de continuidad.

#l rea y la velocidad son proporcionales e i+uales en am&os lados del conducto por

donde esta pasa 711= 7//.


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3.7.3 Ecuaciones de Navier-Stokes

-a se+unda ley de e8ton, la conservación de masa junto con la incompresi&ilidad danlu+ar a las ecuaciones de avier9toSes!

H(uOit5 u E ∇ui) = pOxi5 Pui 5 fIi ∇ E u = ' Ht 5 u E ∇H = '

Donde = cte ' viscosidad. "I = (f1, f/, fI) fuerza externa.

3.7.4 Ley de newton generalizada

-as -eyes de e8ton, tam&i$n conocidas como -eyes del movimiento de e8ton, son

tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los pro&lemas

planteados por la mecnica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos.

-as -eyes de e8ton permiten explicar tanto el movimiento de los astros, como los

movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser 3umano, as como toda la

mecnica de funcionamiento de las mquinas.

u formulación matemtica fue pu&licada por @saac e8ton en 1X][ en su

o&ra 23ilosop3iae aturalis 2rincipia at3ematica.

-eyes representadas en el salto de una rana.


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2rimera ley de e8ton o -ey de la inercia

-a primera ley del movimiento re&ate la idea aristot$lica de que un cuerpo sólo puede

mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. e8ton expone que!

%odo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilneo a

no ser que sea o&li+ado a cam&iar su estado por fuerzas impresas so&re $l.

e+unda ley de e8ton o -ey de fuerza

-a se+unda ley del movimiento de e8ton dice que

#l cam&io de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre

se+n la lnea recta a lo lar+o de la cual aquella fuerza se imprime.

%ercera ley de e8ton o -ey de acción y reacción

Con toda acción ocurre siempre una reacción i+ual y contraria! o sea, las acciones

mutuas de dos cuerpos siempre son i+uales y diri+idas en sentido opuesto.

Despu$s de que e8ton formulara las famosas tres leyes, numerosos fsicos y

matemticos 3icieron contri&uciones para darles una forma ms +eneral o de ms

fcil aplicación a sistemas no inerciales o a sistemas con li+aduras. Ana de estas

primeras +eneralizaciones fue el principio de d7lem&ert de1[0I que era una

forma vlida para cuando existieran li+aduras que permita resolver las ecuaciones

sin necesidad de calcular explcitamente el valor de las reacciones asociadas a

dic3as li+aduras.

s tarde la introducción de la teora de la relatividad o&li+ó a modificar la formade la se+unda ley de e8ton (ver (/c)), y la mecnica cuntica dejó claro que las

leyes de e8ton o la relatividad +eneral sólo son aproximaciones al

comportamiento dinmico en escalas macroscópicas. %am&i$n se 3an conjeturado


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al+unas modificaciones macroscópicas y no9relativistas, &asadas en otros

supuestos como la dinmica ?D.

Unidad 3 Análisis en Flujo Laminar

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