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Unidad 2– Los números reales PÁGINA 24

SOLUCIONES

Operar con números racionales.

Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

3 1 3 7 3 3 7 30 3 14 412 4 5 10 2 20 10 20 20 20 20� � � � � � � � � �

3 3 3 6 12 30 182 35 4 5 4 20 20 203 3 3 3 25 5 5 5

� � � � � ��

1 2 5 6 15 14 141 493 5 15 15 152 7 202 3 4 2 15 8 50:: :3 10 213 2 5 3 10 10

� ��

� � � ��

3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 9 5 42 2 25 3 4 5 3 2 5 3 2 5 3 15 15 15

� � � ��

30

Fracciones propias e impropias

Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos:

a)

b)

c)

d)

Expresa como números mixtos las siguientes fracciones impropias:

a)

b)

c)

d)

1 4 1 514 4 4 4

� � � �

3 4 3 714 4 4 4

� � � �

3 10 3 1325 5 5 5

� � � �

7 4 3 314 4 4 4� � � �

7 6 1 123 3 3 3� � � �

17 14 3 327 7 7 7� � � �

25 24 1 164 4 4 4� � � �

1 18 1 1936 6 6 6

� � � �

31

SOLUCIONES

1. a) Número decimal exacto.

b) Número decimal periódico puro. 2 0 '666... 0 '63� �

�

c) Número decimal periódico mixto. 5 0 '836�

�

d) Número decimal periódico puro. 1 0 '142857147�

2. a)

b) � 274 2 2722 '74

99 99�

� �

c) 70 '07

90�

�

d) � 2353 23 2330 2332 '353

990 990 99�

� � �

e)29 2 272 '9 3

9 9�

� � ��

25 0 '64�

50 '05100

�

32

SOLUCIONES

3. Número racional: 0’320111 Número Irracional: 0’32011101001000100001…

4. a) Racional 12 1 111'2

9 9�

� � ��

�

b) Irracional 3

5 �

c) Racional � 1234 12 1222 6110 '1234

9900 9900 4950�

� � � ��

d) Racional 1 14 2� � ��

5.

33

SOLUCIONES

6. a) ( , 3)��

� �: 3x x� � ��

b) [2, 7)

� �: 2 7x x� � ��

c) [ 5, )� � � � �: 5x x� � ��

d) (–10, –5)� �: 10 5x x� � � � ��

34

7. a) [–2, 5)

� �: 2 5x x� � � ��

b) (–2, 3] � �: 2 3x x� � � ��

c) ( , 1]��

� �: 1x x� � ��

d) (–3, 0) � �: 3 0x x� � � ��

e) [ 1, )� � � � �: 1x x� � ��

f) [0, 4] � �: 0 4x x� � ��

35

10. a)122 b)

433 c)

562 d)

352

PÁGINA 29

SOLUCIONES

8.

� �� 32 43 5 8 2 2

5 425 4 4 5 5 6 53

2 3 : 31 2 2 2 3 3 1 1 1 3a) 2 b) 2 c) d) e)2 2 2 3 1 2 2 : 3 22

��

��

9. a) 3 43 b) 4 5 c) 2 d) 4 32 1 48 43 3 3� �

56 56 632 2 2� �

36

11. a) 112 2 b) 34 23 3� c) 62 3� d) 3 4 2 3

53 4

2 3 2 35 5� �

�

12. a) 65 2� b) 33 c) 3 75

13. 12 93 62 3 32 5� � �

PÁGINA 30

SOLUCIONES

2 1 48 43 3 3� �

36 360 536 360 55 5 5 5� � �6 215 56 215 15 564 2 2 2 2� � � �

2 33 3 3 3 3� � � � 3 32 6 735 5 5 5 5� � � �

12 6 12

4123 12

3124 12

2126 12

12 12 12 12

3 6 4

2 2 64

3 3 81

75 75 421875

32 32 1024

64 81 1024 421875

2 3 32 75

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

37

SOLUCIONES

14. a) 5�

b) 3 27 7�

15.

5 6 3 3

3

5 1a) 3 3 3 b) 3 3 3 27 c) 8 2 2 8 2 d)55

� � � � � � � � �

16.

3 2 4

4444

2

3a) 1 1 b) 5 5 5 5 5 5 3

3 3 3 3 4 2 2 2c) 3 d) 223 3 2

� � � � �

� ��

6 6 63 3 362 5 3 125 2 5 3 5 5 5� � � � � � � � � � �

3 3 3 32 2 2 233 7 4 49 3 7 4 7 7 7� � � � � � � � �

38

SOLUCIONES

17. a) A las milésimas: 2'345, 2'346, 2'346. A las diezmilésimas: 2’3455, 2’3456, 2’3456

b) A las milésimas: 1'732 1'733, 1'732. A las diezmilésimas: 1’7320, 1’7321, 1’7321.

c) A las milésimas: 1'399, 1'340, 1'340. A las diezmilésimas: 1’3998, 1’3998, 1’3999.

d) A las milésimas: 3'141, 3'142, 3'142. A las diezmilésimas: 3’1415, 3’1416, 3’1416.

39

18.

a) 2'34556:

b) 1'73205...:

c) 1'39984:

d) �

a r a

r aar

r r

E V V

V VEEV V

� �

��

2 '34556 2 '3456 0 '000040 '000017

a

r

EE

� � �

�

1 '32050808 1'7321 0 '000049190 '0000284

0 '000005

a

r

EECota

� � �

��

1'39984 1'3998 0 '000840 '0006

a

r

EE

� � �

�

3'141592... 3 '1416 0 '00000734640 '000002338

0 '000005

a

r

EECota

� � �

��

40

SOLUCIONES

19. a) 123 ' 45 10� b) 72 ' 4 10� c) 33 '2 10�� d) 23 '5 10�� e) 73 ' 48 10�� f) 132 '3 10�

20. a) 73 '254 10� c) 68 '9 10�� e) 65 ' 43 10�

b) 83 ' 4 10� d) 43 '244 10�� f) 53 '245 10��

41

SOLUCIONES

Los números racionales.

21. a) 0 '16�

b) �0 '6428571 c) 0 '13�

d) �1'153846 e) �0 '714285 f) 1’8

22. a) 8925 b)3

356 893'56100 25

� �29 2 272 '9 3

9 9�

� � ��

c) 9225 d)

73

3679 367 3312 923'679900 900 25�

� � �� 23 2 21 72 '3

9 9 3�

� � ��

e) 3190 f)

3571.100

34 3 310 '3490 90�

� �� 3245 32 3213 3570 '3245

9900 9900 1100�

� � �

g) 1733 h)

511

� 51 170 '5199 33

� � � 45 50 '4599 11

� �

i) 1 546495

� 3123 31 3092 15463'123990 990 495�

� � �

23.1 1 1; ;3 9 11

24.1 1 1; ;6 15 18

25.1 1 1; ;2 4 5

43

26. a) 5 '789�

3'41 2 '378 3'411 2 '378 5'789� � � ��

b) 10 '962�

� 4760 5160 98665'28 5'673 10 '962900 900 900

� � � � ��

c) �23 '6383

� � � �22608 423 2106185'23 5 '3 4 '27 23'6383810 99 8910

� � � � � � ��

Los números reales.

27. Irracionales: 8 ;117 ; 3 5 3� � Racionales:

4925 ; 5 '3232�

�; 121

28. 3’211009, 3’211008

29. 1’213030030003..., 1’213133133313333...

30. Tenemos que construir las hipotenusas de los triángulos de medidas siguientes:

a) 2 2 2 26 2 ( 2) ; 2 1 1� � � � b) 2 215 3 2� � c) 2 217 4 1� �

31. a) V: Todos los decimales periódicos son infinitos y son números racionales. b) F: El conjunto de números enteros es el formado por los números naturales y los naturales cambiados de signo, NUNCA son decimales.

� �... 3, 2, 1,0, 2,3...� � � ��

c) F: Sólo podemos expresar como fracción los números racionales. d) F: Los decimales inexactos no periódicos los asociamos con números irracionales, no racionales. e) F: El conjunto de números reales es el formado por todos los números racionales y TODOS los irracionales.

c� �� f) F: El conjunto de los números racionales se define como:

� �: , *a a bb� � ��

por lo tanto,��

44

Topología de la recta real.

32. a) � �( 3, 3) : 3 3x x� � � � � ��

b) � �( 14, 5) : 14 5x x� � � � � � � ��

c) � �[ 4, ) : 4x x� � � � � � ��

d) � �( , 7) : 7x x��

e) � �[ 3, 8) : 3 8x x� � � � � ��

f) � �[ 3, 5] : 4 5x x� � � � � ��

g) � �( , 4] : 4x x��

h) � � � �5, 3 : 5 3x x� � � � � � � ��

45

33. a) [–6, 3]

b) (–2, 1]

c) [–3, –2)

34. a) ( , 5)��

b) [ 3, )� � �

c) ( , 6]��

d) (9, )� �

e) (0, 5)

35. a) –6, –7, –8 b) –2, –1, 0 c) 5, 4, 3 d) 10, 11, 12 e) 1, 2, 3

46

SOLUCIONES

36. a) –4, –3, –2, –1, 0 b) Infinitos c) Infinitos d) Infinitos

37. a) � �(3, 7) : 3 7x x� � � �� d) � �(4, ) : 4x x� � � � ��

b) � �[ 2, 4] : 2 4x x� � � � � � �� e) � �( , 2] : 2x x��

c) � �( 8, 3] : 8 3x x� � � � � � � ��

38. a) � �: 2 4x x� � � ��

b) � �: 3 6x x� � ��

c) � �: 2 5x x� � ��

d) � �: 3x x� ��

e) � �: 7 2x x� � � � ��

f) � �: 2x x� � ��

48

Las raíces: propiedades y operaciones.

39. 4 36 47 2 8 5� � �

40. a) 6 92 35 5� b) 8 126 92 2� c) 6 92 325 25� d) 64 2 310 10�

41. a) 32 b) 43 c) 5 32 d) 5

42. a) 50 b) 3 162

c) 45 d) 4

12827

43. a) 42 4 32 3 3� � b) 52 2 22 3 2 3� � � c) 72 3 2 4 53 5 2 3 5 2� � � � � d) 3

42 3

2 3 2 35 5� �

�

44.

� ��

22 61 3 37 72 2

42 4 15 2 25 2 2

a) 2 2 c) 9 3 e) 5 5 5

1b) 3 3 d) 3 3 3 f) 55

�

� � � �

� � � �

12 6 12

3 94 12 12

3124 12

2126 12

12 12 12 12

346 4

2 2 64

5 5 1953125

8 8 512

7 7 49

49 64 512 1953125

7 2 8 5

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

4 6 34 64 2 2� �12

3 12 433 3 3� �18 330 518 330 52 2 2 2� � �

3 16 6 2125 5 5 5� � �

3 33 33 6 3 6 162� � � �

22 2 45 55 5 5

� ��

4

4 4 44 3 4 3 1283 2 3 2 27

� ��

25 2 5 2 50� � � �

49

45.6 63 2 53

3 5 15 15 152 3 10 9 19 43 3 3

a) 3 5 15 c) 2 2 2 2 = 2

b) 4 5 20 d) 2 2 2 2 2 2 2

� � � � �

� � � � � � � �

46.3 42 3 6

86 858 5

63 6 534 54

4 6 65 5

3 2 2a) 3 c) 2 23 2

2 2 2 2 2b) 2 d) 1 22 2 2

� � �

��

47.4 3 125 54

53 6 3 15

a) 2 2 c) 2 2

b) 2 2 d) 3 3

� �

� �

48.

4 3 4

6 43 63

3a) 2 2 2 c) 3 3

3b) 3 3 3 d) 3 3

� �

� �

49.6

8 71833 9

3 68 183 73

3 9

3 3a) 3 c) 3 3 3 3 3 3

3 3 3b) 2 2 2 d) 3 3 3 3

� � �

��

50

50. a) 4 3 22 5�

b) 8 113

c) �12 16 172 3

d) 33

e) 16 152

f) 12 3

16 168 4 2 158 1642 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � � �

� �6 212 123 6 12 12

122 3 2 8123

3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 33

� � � ��

4 43 3 2 3 24 42 5 2 5 2 5� � � � �

8 85 10 1148 83 3 3 3 3� � � �

3 4 5 16 15 2 16 174 12 1262 3 3 2 3 3 2 3� � � � � � �

3 3 6 64 4 8 9 33 6 63 3 3 3 3 3 3 3� � � � � � �

51

51. a) 82 73 3�

b) 32 22 2�

c) 2 6a a�

d) 3 2a a�

e) 2

32

32 5�

f) 4 6� �

g) 8 6�

h) 3 4x x�

4 8 8 8 810 3 10 3 20 3 23 2 743 3 3 3 3 3 3 3 3� � � � � � �

3 3 3 6 6 6 6 6 6 34 5 4 5 3 8 5 16 2 4 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � � � � � � �

3 6 6 65 3 10 13 2 6a a a a a a a� � � � � �

3 32 232 2 2 2 23

3 3 23

1 1 a aa a a a a aa aa a a

� � � � � � � � ��

3 32 2 2333

23 23

1 18 1 18 5 1 18 5 32 5 2 2 5 2 55 5

� ��

��

3 3 3 37 24 8 54 216 7 2 3 8 2 3 2 3 14 2 3 24 2 3 6 2 3 4 6� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

5 2 596 150 486 7 2 3 8 2 3 5 2 3 4 6 5 6 9 6 8 6� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �28 8 8 8 8 83 2 6 2 2 6 4 2 10 3 2 344 4x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � �

52

SOLUCIONES

Aproximaciones. Error absoluto y relativo.

52. a) 3’47; 3’46; 3’47 c) 2’65; 2’64; 2’65 e) 3’18; 3’18; 3’19 b) 0’06; 0’05; 0’06 d) 2’90; 2’89; 2’90 f) 3’57; 3’56; 3’57

53. a) 3’4653; 3’4653; 3’4654 c) 2’6458; 2’6457; 2’6458 e) 3’1849; 3’1849; 3’1850 b) 0’0556; 0’0556; 0’0557 d) 2’8964; 2’8963; 2’8964 f) 3’5657; 3’5656; 3’5657

54

54.

a) 3'465343243:

b) 0'05564543:

c) �7:

d) 2'89635433

e)3'18490986

f)3'565656...

a r a

r aar

r r

E V V

V VEEV V

� �

��

3'465343243 3'4653 0 '0000432430 '000012478

a

r

EE

� � �

�

0 '05564543 0 '0556 0 '000045430 '000816419

a

r

EE

� � �

�

2 '645751311... 2 '6458 0 '00004868...0 '000018402...

cot 0 '00005

a

r

EEa

� � �

��

3'565656 3'5657 0 '0000434350 '0000121815

cot : 0 '00005

a

r

EEa

� � �

�

2 '89635433 2 '8964 0 '000354330 '000122336

a

r

EE

� � �

�

3 '18490986 3 '1849 0 '000009860 '0000030958

a

r

EE

� � �

�

55

55.

Orden Truncamiento Redondeo Aprox. por exceso.

Milésimas 0’001 0’0005 0’001Diezmilésimas 0’0001 0’00005 0’0001Cienmilésimas 0’00001 0’000005 0’00001Millonésimas 0’000001 0’0000005 0’000001

Diezmillonésimas 0’0000001 0’00000005 0’00000001

Notación científica.

56. a) 20 000 c) 2 000 000 e) 0’00000003 b) –234 000 d) 0’0032 f) 0’000004

57. a) 73 '2 10� c) 94 '529 10�� e) 55 '67 10��

b) 73 ' 45 10�� d) 104 '56 10� f) 148 '976 10� �

58. a) 53 ' 45 10� c) 194 '387 10� e) 254 '353 10��

b) 42 '344 10�� d) 102 '34 10� f) 92 '3 10��

59.a) 213 '33 10�

b) 86 ' 497 10� c) 57 '35 10�� d) 184 '7073 10��

60.a) 82 '966 10� �

b) �� 52 '112 10

61.a) 31'23 10��

b) 122 '389 10�

62.a) 52 10��

b) 124 10�� c) 65 10� � d) 90

56

63.a) 75 '7 10�

b) 512 '377 10�

c) 112 '9935 10��

64.301'98 10 kg�

65.21 31'09 10 m�

� �7 10 17 7 7 72 '1 10 2 '4 10 1 '5 10 2 '1 10 3 '6 10 5 '7 10��

� �317 50 51 51 511 '3 10 1'8 10 2 '197 10 0 '18 10 2 '377 10� � � � � � � � �

2 5 9 2 4 4 4 411

15 15 15 15

1 '3 10 3 10 2 10 1'3 10 6 10 0 '013 10 6 10 5'987 10 2 '9935 102 10 2 10 2 10 2 10

��

� � � � ��

� �4

24 4 28 30

330000 33 10

6 10 33 10 198 10 1'98 10

� �

� � � � � � �

2427 3

3

6 10 1 '09 105 '5 10

m md vv d

v m

� � �

��

�

57

SOLUCIONES

66. 140.000.571 km Dada la posición del dibujo, el problema se reduce a aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo

siguiente: donde C = 1'4.108 km y c = 4.105 km, de forma que nos queda calcular la hipotenusa.

67. 265 '34544 10 kg��

El átomo de azufre tiene � 16 electrones:

� 16 protones y 16 neutrones:

Entonces, la masa total del átomo de azufre es:

68. 55 10�� s

� � � � � � � �

2 2 2

2 2 2 22 8 5 5 5 10

10

1 '4 10 4 10 1400 10 4 10 1960016 10

1960016 10 140000571'4

H C c

H

H km

� �

� � � � � � � � � �

� � �

31 31 2716 9 10 144 10 0 '0144 10 kg� � ��

27 2732 1 '67 10 53 '44 10 kg� ��

27 27 27 2653 '44 10 0 '0144 10 53 '4544 10 5 '34544 10 kg� � � ��

3

35

8

15 15 1015 10 5 103 10

e ev tt v

e km m

t s�

� � �

� � �

��

�

59

69. 61'8 10� J (julios)

70. 320 m

1.

�

87 8 79a) 0 '00879000 900032325 3 32322b) 3'2325

9999 9999

��

��

�

2. 1'2301001, 1'23002

3. a) (�, -3] � �: 3x x� � ��

b) (-2, -1] � �: 2 1x x� � � � ��

c) [2, 5] � �: 2 5x x� � ��

4. 18 30 56 12 23a) 2 2 b) 2 2� �

5. 45 9 19 34 44a) 3 9 3 b) 2 4 2 c) 5 625 5 � � �

3 3 21 '6 10 0 '2 0 '32 10 3 '2 10 320

ev e v t

te m

� � � �

� � � � � � � �

� �

2

231 8 15 14

121 9 10 2 10 18 10 1'8 102

c

c

E mv

E J� � �

�

� � � � � � � �

60

6.3

32 2 732

2 2a)3 2 3 2 b)2 2 2 c) 2 3 3

� � � �

7.

� � � �5 10 42 9 3

556 62 5 43 6

6

a) 3 3 3 c) 2 2 2

5b) 5 d) 3 3 3 3 3 5

� � �

� � � �

8.

Orden Milésimas Millonésimas Número 3'4195 1'32855435 Aproximación por exceso 3'420 1'328555 Truncamiento 3'419 1'328554 Redondeo 3'420 1'328554 Cota error redondeo 0'0005 0'0000005 Cota error truncamiento 0'001 0'000001

9. a)

b)

10.

12 13 13 13 133 '5 10 8'5 10 0 '35 10 8'5 10 8'85 10� � � � � � � � �

171 2

18

2 '7 10 0 '9 10 9 103 10

� ��

�

5 4 2 6 6 613

7 7 7

3 '2 10 2 10 2 '3 10 0 '32 10 4 '6 10 4 '92 10 1'29 103'8 10 3 '8 10 3 '8 10� � �

� � � � � � � � ��

� � �

61

SOLUCIONES

Números como el 4 (D(4)=1, 2, 4), el 8 (D(8)=1, 2, 4, 8) o el 16 (D(16)=1, 2, 4, 8, 16) tiene todos sus divisores pares. Ocurrirá lo mismo para todos aquellos números que sean una potencia de 2.

Sin embargo, el 6, el 10 o el 14 tienen el mismo número de divisores pares que impares, puesto que son el producto de dos por otro número primo.

62

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