Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCIÓN DE ORDEN.
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Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
REDUCCIÓN DE ORDEN
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Introducción
La solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden
es una combinación lineal y=c1y1+c2y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I.
En algunas ocasiones, es posible reducir la ecuación diferencial a una ED de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene una solución conocida y1. Una segunda solución y2 es evidente después de resolver la ED de primer orden.
0012
2
2 yxadx
dyxa
dx
ydxa )()()(
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Casos en los que es posible la reducción de orden
Existen dos casos en los que es posible reducir el orden de una ED lineal ordinaria de orden dos:Si en la ED no aparece explícitamente la
variable dependiente “y”.Si en la ED no aparece explícitamente la
variable independiente “x”.
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CASO 1: En la ED no aparece la variable dependiente “y”
Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencial
mediante el cambio de variable:
0012
2
2 yxadx
dyxa
dx
ydxa )()()(
zyzy
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CASO 2: En la ED no aparece la variable dependiente “x”
Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencial
mediante el cambio de variable:
Esto último en virtud de que:
0012
2
2 yxadx
dyxa
dx
ydxa )()()(
dy
dzzyzy
zdy
dz
dx
dy
dy
dz
dx
dz
dx
ydy
)(
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Problemas
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
01
01
2
yyy
yyx
)(
)(
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Caso general
Supónga que la ED ordinaria de segundo orden se divide entre a2(x), a fin de escribirla en la forma estándar y´´+P(x)y´+Q(x)y=0, donde P(x) y Q(X) son continuas en algún intervalo I. Suponga además que y1(x) es una solución conocida de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 en I y que y1(x) es diferente de cero para toda x en el intervalo.
0012
2
2 yxadx
dyxa
dx
ydxa )()()(
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Caso general…
Si se define y=u(x)y1(x), se deduce que:
y´=uy´1+ y1u´, y´´=uy´´1 +2y´1u´+y1u´´
Con ello:
Esto significa que se deben tener
Donde se permite que w=u´.La última ecuación
es lineal y separable.
02 11111 uPyyuyQyyPyuQyyPyCero
)(][
0202 1111 wPyywyóuPyyuy )()(
02 11 wPyywy )(
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Caso general…
Al realizar la separación de variables y la integración tenemos:
Resolvemos esta última ecuación con w=u´, y se integra de nuevo.
Pdx
ecwyócPdxwy
Pdxdxy
y
w
dw
wPyywy
12
12
1
1
11
02
02
ln
´
)(
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Caso general…
Así:
Al elegir c1=1 y c2=0, se encuentra de y=u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 es:
NOTA:y1 y y2 son soluciones linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.
221
1 cdxy
ecu
Pdx
dxy
exyy
Pdx
21
12 )(
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Problema
Si la función y=x2 es una solución de la ecuación diferencial:
Obtenga la solución general (por el principio de superposición) para la ecuación diferencial en el intervalo (0,+Inf).
0432 yyxyx