1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.

NOTACION SUMA

En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.

 

La letra griega sigma mayúscula ( ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

La notación  se lee:

Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

 

La letra debajo del operador  se llama índice de la suma; en la expresión

note que el índice de la suma es i.

 

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:

Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por

ejemplo: 

Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por

ejemplo:  .

 

Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11

Encontrar: 

Solución:

 

 

Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1

 

Encontrar: 

Solución:

 

Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12

Encontrar: 

Solución:

 

Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita  identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:

 

1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.

Por ejemplo:

 

2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es

 

3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:

 

1.3 Sumas de Riemann.

Es la rama de la geometría diferencial que los estudios de variedades de Riemann , variedades diferenciables con una métrica de Riemann es decir, con un producto interno en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro. Esto da, en locales particulares nociones de ángulo , longitud de curvas , superficie y volumen . A partir de esos algunas cantidades globales otros puedan obtenerse, mediante la integración de las contribuciones locales.

La Geometría de Riemann se originó con la visión de Bernhard Riemann expresó en su conferencia inaugurational Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen PDF (Inglés: En la hipótesis en que la geometría se basa). Se trata de una amplia y abstracta generalización muy de la geometría diferencial de superficies en R 3 . Desarrollo de la geometría de Riemann dio lugar a la síntesis de los resultados de diversos relativos a la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas en ellos, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Esto permitió a Einstein ‘s teoría de la relatividad general , tuvo un impacto profundo en la teoría de grupos y teoría de la representación , así como el análisis , y estimulado el desarrollo de algebraica y topología diferencial.

Teoremas Clasicos de la geometria Riemann

Lo que sigue es una lista incompleta de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace en función de su importancia, la belleza y simplicidad de la formulación. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en la monografía clásica de Jeff Cheeger y D. Ebin Las formulaciones propuesta están lejos de ser muy exacto o el más general. Esta lista está orientada a aquellos que ya conocen las definiciones básicas y quieren saber lo que estas definiciones se acerca.

Teorema General

-Bonnet teorema de Gauss La integral de la curvatura de Gauss en una variedad de Riemann compactas dimensiones-2 es igual a 2piχ ( M ) , donde χ ( M ) denota la característica de Euler de M . Este teorema tiene una generalización a cualquier dimensión, incluso variedad de Riemann compacta, vea generalizada de Gauss-Bonnet-teorema.

incrustación de teoremas Nash también llamado teorema fundamental de la geometría de Riemann. Afirman que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente incrustado en un espacio euclidiano Rn.

1.4 Definición de integral definida.

La integración puede rastrearse ya en el antiguo Egipto ca. 1800 aC, con el Papiro matemático de Moscú que demuestre conocimientos de una fórmula para el volumen de una pirámide tronco . La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar las integrales es el método de agotamiento del griego antiguo astrónomo Eudoxo ( ca. 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes de romper para arriba en un número infinito de formas para que el área o volumen era conocido. Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo 3 aC y se utiliza para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área de un círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo 3 DC por Liu Hui , quien lo usó para hallar el área del círculo. Este método fue utilizado más adelante en el siglo quinto de los chinos de padre e hijo matemáticos Chongzhi Zu y Zu Geng para encontrar el volumen de una esfera. Ese mismo siglo, el matemático indio Aryabhata usó un método similar con el fin de encontrar el volumen de un cubo.

El principal paso siguiente en el cálculo integral vino del califato abasí en el siglo 11 matemático Ibn al-Haytham (conocido como Alhazen en Europa) ideó lo que hoy es conocido como “el problema de Alhazen”, que conduce a una ecuación de cuarto grado , en su libro de Óptica . Si bien la solución de este problema, realiza una integración con el fin de encontrar el volumen de un paraboloide . Usando la inducción matemática , fue capaz de generalizar sus resultados de las integrales de polinomios hasta el cuarto grado . Él lo que estuvo a punto de encontrar una fórmula general para las integrales de los polinomios, pero que no estaba preocupado con cualquier polinomios superior al cuarto grado.

Algunas ideas del cálculo integral se encuentran también en la Shiromani Siddhanta , un del siglo 12 de la astronomía texto matemático indio Bhaskara II.

Los importantes avances en el próximo cálculo integral no comienzan a aparecer hasta el siglo 16. En este momento el trabajo de Cavalieri con su método de indivisibles , y el trabajo de Fermat , comenzó a sentar las bases del cálculo moderno, con Cavalieri de computación las integrales de x n hasta el grado n = 9 en cuadratura fórmula Cavalieri . Otras medidas se hicieron en el siglo 17 a principios de Barrow y Torricelli , que le proporcionaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y diferenciación . Wallis generalizado el método de Cavalieri, calcular integrales de x a un poder general, incluidas las potencias negativas y potencias fraccionarias.

En la misma época, también hubo una gran cantidad de trabajo realizado por los matemáticos japoneses , sobre todo por Seki Kōwa. Se hizo una serie de contribuciones, es decir, en los métodos de determinación de áreas de figuras utilizando integrales, que se extiende el método de agotamiento.

Newton y Leibniz

Teorema demuestra una conexión entre la integración y diferenciación. Esta conexión, combinada con la relativa facilidad de diferenciación, puede ser explotado para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia tanto de los problemas. Iguales en importancia es la matemática marco global que tanto Newton y Leibniz desarrollaron. Teniendo en cuenta el nombre de cálculo infinitesimal, que permitió el análisis preciso de las funciones dentro de dominios continuos. Este marco se convirtió en eventual modernos de cálculo , cuya notación para las integrales se ha tomado directamente de la obra de Leibniz.

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable . La función para la que la integral se calcula que se llama el integrando . La región en la que una función se está integrando se llama el dominio de integración . Por lo general, este dominio será un intervalo, en cuyo caso es suficiente con dar los límites de ese intervalo, que se llaman los límites de integración. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (uno con un dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, volumen, una región de dimensiones superiores, o incluso un espacio abstracto que no tiene una estructura geométrica en ningún sentido habitual (por ejemplo, como un espacio de muestra en la teoría de probabilidad). El caso más sencillo, la integral de una función con valores reales f de una variable real x en el intervalo [ uno , b ], se denota por

b f(x) dx

a

El signo ∫ representa la integración; una y b son el límite inferior y el límite superior , respectivamente, de la integración, la definición del dominio de integración; f es el integrando, para ser evaluados como x varía sobre el intervalo [ uno , b ], y dx es la variable de integración . En tipografía matemática correcta, el dx se separa del integrando por un espacio (como se muestra). Algunos autores utilizan una recta d (es decir, d x en vez de dx ).

La variable de la integración dx tiene diferentes interpretaciones en función de la teoría en uso. Por ejemplo, puede ser visto como estrictamente una anotación que indica que x es una variable ficticia de la integración, como un reflejo de los pesos en la suma de Riemann , una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en no-estándar análisis ) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial . Los casos más complicados pueden variar ligeramente la notación. En la moderna notación matemática árabe , que tiene por objeto los niveles pre-universitarios de la educación en el mundo árabe y se escribe de derecha a izquierda, se refleja un símbolo integralse utiliza ( W3C 2006 )

1.5 Teorema de existencia.

En matemáticas , un teorema de existencia es un teorema con una declaración de principio “no existe (s) .. ‘, o más generalmente’ para todo x , y , … existen (s) …’. Es decir, en términos más formales de la lógica simbólica , es un teorema con una declaración de la participación del cuantificador existencial . Muchos teoremas como no lo hará de forma explícita, como suele afirmar en el lenguaje matemático estándar. Por ejemplo, la afirmación de que la indispensable función es continua , o cualquier teorema escrito en la notación O grande . La cuantificación se puede encontrar en las definiciones de los conceptos utilizados.Una controversia que se remonta hasta el siglo XX se refiere a la cuestión de los teoremas de existencia pura . Desde un constructivista punto de vista, al admitir que las matemáticas pierde su aplicabilidad concreta. El punto de vista opuesto es que los métodos abstractos son de largo alcance, de forma que el análisis numérico no puede ser.

Pura “la existencia de resultados”

Un teorema de existencia que puede llamarse pura , si la prueba dado de no indicar también una construcción de cualquier tipo de objeto cuya existencia se afirma.

Desde una perspectiva más rigurosa de vista, este es un concepto problemático. Esto se debe a que es una etiqueta aplicada a un teorema , pero la calificación de su prueba , por lo puro se define aquí de una manera que viola la norma de la prueba de la irrelevancia de los teoremas matemáticos. Es decir, los teoremas son declaraciones que el hecho es que existe una prueba, sin ningún tipo de “etiqueta” en función de la prueba: pueden aplicarse sin el conocimiento de la prueba, e incluso si ese no es el caso de que la afirmación es errónea. Por lo tanto, constructivista matemáticos que trabajan en el lógicas extendidas (como la lógica intuicionista ) donde la existencia estados puros son intrínsecamente más débiles que sus contrapartes constructivista. Tales resultados son la pura existencia, en cualquier caso en todas partes en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, para un problema lineal el conjunto de soluciones será un espacio vectorial , y algunos , a priori, el cálculo de su dimensión puede ser posible. En cualquier caso en que la dimensión es probablemente por lo menos una, una afirmación de existencia se ha hecho (que no existe una solución cero.)

En teoría, una prueba también podría proceder por medio de un metateorema , afirmando que una prueba del teorema original existe (por ejemplo, que una prueba por el cansancio de la búsqueda de una prueba siempre tendría éxito).

teoremas son relativamente libre de problemas cuando todas las pruebas que participan son constructivas, sin embargo, la condición de “metateoremas existencia pura” es muy claro

1.6 Propiedades de la integral definida.

Linealidad La colección de funciones integrables Riemann en un intervalo cerrado [ uno , b ] forma un espacio vectorial con las operaciones de adición punto a punto y la multiplicación por un escalar, y la operación de integración

es un funcional lineal en este espacio vectorial. Así, en primer lugar, la colección de funciones integrables es cerrado bajo tomando combinaciones lineales , y, en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

Del mismo modo, el conjunto de los reales valores de funciones integrables Lebesgue en una determinada medida de espacio E con la medida μ es cerrado bajo tomando combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

Más en general, tenga en cuenta el espacio vectorial de todas las funciones medibles en un espacio de medida ( E , μ ), tomando valores en un local compacta completa espacio vectorial topológico V durante un localmente compacto campo topológico K , f : E → V . Entonces se puede definir un mapa de la integración abstracta asignando a cada función f un elemento de V o el símbolo ∞

Que sea compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se mantiene para el subespacio de funciones cuya integral es un elemento de V (es decir, “finito”). El especial de los casos más importantes surgen cuando K es R , C , o una extensión finita del campo Q p de los números de ADIC-p , y V es un vector de dimensiones espacio-finita sobre K , y cuando K = C y V es un complejo espacio de Hilbert .

Linealidad, junto con algunas propiedades de continuidad natural y la normalización para una cierta clase de “simple” funciones, se puede utilizar para dar una definición alternativa de la integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones con valores reales en un conjunto X , generalizada por Nicolas Bourbaki a funciones con valores en un espacio vectorial topológico localmente compacto. Ver ( Hildebrandt 1953 ) para una caracterización axiomática de la integral.

1.7 Función primitiva.

En cálculo , un “anti-derivada” , primitiva , primitiva integral o indefinida integral [ 1 ] de una función f es una función F de quién derivada es igual a f , es decir, F = ‘ f . [ 2 ] [ 3 ] El proceso de resolver para antiderivadas se llama antiderivación (o la integración indefinida ) y su función se llama diferenciación frente, que es el proceso de encontrar una derivada . Antiderivadas están relacionados con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo : la integral de una función definida sobre un intervalo es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los extremos del intervalo.

El equivalente discreto de la noción de primitiva es antidiferencia

Ejemplo:

La función F ( x ) = x 3 / 3 es una primitiva de f ( x ) = x 2 . Como la derivada de una constante es cero , x 2 tendrá un infinito número de primitivas, tales como ( x 3 / 3) + 0, ( x 3 / 3) + 7 ( x 3 / 3) - 42, ( x 3 / 3) + 293, etc Por lo tanto, todas las antiderivadas de x 2 se puede obtener al cambiar el valor de C en F ( x ) = ( x 3 / 3) + C , donde C es una constante arbitraria conocida como la constante de la integración . En esencia, el gráficas de antiderivadas de una función dada son traducciones vertical de unos a otros, gráfico de ubicación de cada uno dependiendo del valor de C .

Las Tecnicas de Integracion

Búsqueda de primitivas de funciones elementales es a menudo mucho más difícil que encontrar sus derivados. Para algunas funciones elementales, es imposible encontrar una primitiva en términos de otras funciones elementales. Ver el artículo sobre funciones elementales para más información.

Tenemos varios métodos a nuestra disposición:

-la linealidad de la integración nos permite romper integrales complicadas en otras más simples

-integración por sustitución , a menudo combinado con identidades trigonométricas o el logaritmo natural

-integración por partes para integrar los productos de las funciones

-la cadena inversa método de la regla , un caso especial de la integración por sustitución

-el método de fracciones parciales en la integración nos permite integrar todas las funciones racionales (fracciones de dos polinomios)

-el algoritmo de Risch

-integrales también se pueden consultar en una tabla de integrales

-al integrar varias veces, podemos utilizar algunas técnicas adicionales, véase, por ejemplo integrales dobles y coordenadas polares , el jacobiano y el “teorema de Stokes

-álgebra de los sistemas informáticos pueden utilizar para automatizar todos o algunos de los trabajos en las técnicas simbólicas arriba, que es particularmente útil cuando las manipulaciones algebraicas que representen sean muy complejos o largos

-si una función no tiene antiderivada elemental (por ejemplo, exp (- x 2 )), la integral definida se puede aproximar mediante la integración numérica

1.8 Teorema fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo especifica la relación entre las dos operaciones centrales de cálculo : la diferenciación y la integración.

La primera parte del teorema, a veces llamado el primer teorema fundamental del cálculo , muestra que una integración indefinida puede ser revertida por una diferenciación. La primera parte es también importante porque garantiza la existencia de primitivas de funciones continuas.

La segunda parte, a veces llamado el segundo teorema fundamental del cálculo , permite calcular la integral definida de una función mediante el uso de cualquiera de sus infinitas primitivas. Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas muy valiosa, ya que simplifica notablemente el cálculo de integrales definidas.

La publicó la primera declaración y la prueba de una versión restringida del teorema fundamental era por James Gregory (1,638–1,675). Isaac Barrow (1630–1677) resultó ser una versión más generalizada del teorema, mientras que los estudiantes Barrow Isaac Newton (1643–1727) completó el desarrollo de la teoría matemática alrededores. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales.

Intuicion Fisica

Intuitivamente, el teorema se limita a establecer que la suma de infinitesimales cambios en la cantidad en el tiempo (o más de cierta cantidad de otro tipo) se suma a la variación neta de la cantidad.

En el caso de una partícula que viaja en línea recta, su posición, x , está dada por x ( t ) donde t es el tiempo y x ( t ) significa que x es una función de t . La derivada de esta función es igual a la variación infinitesimal en la cantidad, d x , por cambio infinitesimal en el tiempo, d t (por supuesto, la derivada en sí depende del tiempo). Este cambio en el desplazamiento por el cambio en el tiempo es la velocidad v de la partícula. En la notación de Leibniz :

dx/dt= v(t)

Reordenando esta ecuación , se deduce que:

dx=v(t)dt

Por encima de la lógica, un cambio en x (o Δ x ) es la suma de las variaciones infinitesimales d x . También es igual a la suma de los productos infinitesimal de la derivada y el tiempo. Esta suma infinita es la integración, por lo que la operación de integración permite la recuperación de la función original de sus derivados. Se puede concluir que esta operación funciona a la inversa, el resultado de la integral se pueden diferenciar para recuperar la función original.

1.9 Cálculo de integrales definidas.

Ya hemos visto cómo efectuar el cálculo de integrales indefinidas. Pero planteamos algunos ejemplos del calculo de una integral indefinida dependientes de parámetros, que en algunas ocasiones DERIVE no es capaz de resolver de forma automática.

EJEMPLO 6.2.

Calcular la siguiente integral indefinida

∫ + dx x x n 1 2 (arctg )

Solución:

En este caso el parámetro es el valor n.

Para resolver la integral bastará que editemos la expresión “(atan x)^n/(1+x^2)” y aplicamos sobre la misma Cálculo-Integrar, marcando la opción Integral-Indefinida y al simplificar resulta (señalando como constante 0) Recuérdese que este resultado nos da una de las primitivas; para obtener la integral indefinida habría que añadir la constante de integración. Evidentemente, n≠−1. Sin embargo, no siempre resulta tan automático el cálculo de este tipo de integrales indefinidas: EJEMPLO 6.3. Demostrar para los distintos valores de n∈N y b∈R que se verifica la siguiente igualdad ∫ ∫ + = − + − dx x b b x n dx x x b xn n n 1 Solución. Cálculo Integral 91 En primer lugar debemos definir las variables n como entera y b como variable real. Esto se realiza utilizando la secuencia Definir-Dominiodeuna Variable y definiendo para n el Dominio-Enteros y el Intervalo-Positivos. Resulta en la ventana de álgebra la expresión Para b consideramos todos los reales, Definamos a continuación la expresión del integrando editando Si intentamos calcular directamente la integral indefinida se obtiene DERIVE no la ha calculado correctamente, ya que existen dos parámetros. Por tanto tenemos que utilizar otro procedimiento. Una posibilidad sería ensayar para diversos valores de n. Esto se puede realizar editando la expresión VECTOR(INT(x^n/(x + b), x), n, 0, 3) Al simplificar obtenemos las soluciones de dicha integral para los valores de n=0,1,2,3. De aquí podríamos plantear una conjetura. Parece que cada elemento se obtiene a partir del anterior multiplicando éste por −b y sumando al resultado n xn . Es decir que la conjetura que deberemos probar es ∫ ∫+ = − + − dx x b b x n dx x x b xn n n 1 igualdad que es equivalente a . 1 n dx x x b b x x b xn n n = + + ∫ + − Por tanto tendremos que probar la igualdad anterior. Si editamos el

integrando de la igualdad anterior y calculamos la integral indefinida Prácticas de

Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 92 se obtiene la igualdad deseada, situación que confirma la validez de nuestra conjetura.

1.10 Integrales Impropias.

En el cálculo , la integral impropia es el límite de una integral definida como un punto final del intervalo de los enfoques de integración o que un determinado número real o ∞ o - ∞ o, en caso de verbo activo, como criterios de valoración tanto los límites de los enfoques.En concreto, una integral impropia es el límite de la forma

o de la forma

en el que se tiene un límite en uno u otro (o, a veces ambos) los extremos ( Apostol 1967 , § 10.23). Integrales son además ilegales si el integrando no está definido en un punto interior del dominio de integración, o en varios puntos tales. A menudo es necesario el uso de integrales impropias con el fin de calcular el valor de las integrales que no pueden existir en el sentido convencional (como una integral de Riemann , por ejemplo) a causa de una singularidad en la función, o un punto final infinito del dominio de integración .

El siguiente integral no existe como una integral de Riemann

porque el dominio de integración es ilimitada. (La integral de Riemann es sólo bien definida sobre un dominio limitado.) Sin embargo, se le puede asignar un valor como una integral impropia por su interpretación en cambio, como un límite

El siguiente integral tampoco existe como una integral de Riemann:

Aquí la función no está acotada, y la integral de Riemann no está bien definido para las funciones sin límites. Sin embargo, si la integral es más bien entendida como el límite:

entonces el límite converge.