Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos

Ingeniera Mecnica

Prez Triana Eder JoelNombre del Alumno:____________________________________________________Apellido Paterno Apellido MaternoNombre(s)

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

Asignatura

Nombre de la Asignatura: Calculo IntegralPeriodo: FEBRERO JUNIO 2015

No. Control:14080827Semestre:SEGUNDOGrupo:D

COATZACOALCOS VER A

Unidad 4. Series4.1 Definicin de serie. 4.1.1 serie Finita. 4.1.2 serie Infinita. 4.2 Serie numrica y convergencia Prueba de la razn (criterio de DAlembert) y Prueba de la raz (criterio de Cauchy). 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor. 4.6 Representacin de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

4.1 Definicin de serie Una serie aritmtica es la suma de una sucesin de trminos. Por ejemplo, una serie algo interesante que aparece en muchos problemas es la serie geomtrica donde indica que la serie continua indefinidamente Donde n es el nmero de trminos a1 es el primer trmino y r es la relacin comn Carcter de una serie. Convergente: Cuando la suma es un nmero real Divergente: Cuando la suma da + o infinito Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores

4.1.1 Serie FinitaEn matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una seria con trminos como donde n es el ndice final de la serie. Las series infintas son aquellas donde i toma el de valor de absolutamente todos los nmeros naturales.Las series finitas son las que constan de un determinado o finito nmero de trminos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.

Sea f la funcin definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}f(1)= 2x1=2f(2)= 2x2=4f(3)= 2x3=6f(4)= 2x4=8(2,4,6,8)

4.1.2 Series InfinitasLas series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los nmeros naturales, es decir, i = 1, 2,3.Son series de la forma S an (x - x0)n; los nmeros reales a0, a1,...., an,... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an. xn.Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x n haciendo x = x - x0;.Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier nmero real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.Podemos comprender la nocin de serie infinita si pensamos en ciertas series numricas. Tomemos el caso de la serie numrica compuesta por los nmeros mltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los nmeros mltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

4.2 Serie numrica y convergencia Prueba de la razn (criterio de DAlembert) y Prueba de la raz (criterio de Cauchy).Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (tambin llamados elementos o trminos), y el nmero de trminos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta funcin. Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6,). Secuencias finitas se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vaca () se incluye en la mayora de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en funcin del contexto.Convergencia: considere las cuatro sucesiones recin definidas. Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1. Para que una sucesin converja a 1, primero debe ocurrir que los valores e la sucesin se acerquen a 1. Pero eben de hacer algo ms que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n ms all e cierto valor. Esto descarta la sucesin {cn}. Adems cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no nuladaa con respecto a 1, lo cual incluye a {dn}. Aunque la sucesin {dn} no converge; decimos que diverge.Definicin: La sucesin {an} se ice que converge a L y escribimos:Lim n->, an=LSi para cada nmero positivo existe un nmero positivo correspondiente a N tal quen>= N -> |an-L|< Si no hay un nmero finito L al que converja una sucesin, se ice que este diverge, o que es divergente.

Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razn) El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de trminos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificacin de la misma.Definiendo con n a la variable independiente de la sucesin, dicho criterio establece que si llamamos L al lmite para n tendiendo a infinito de {A_ {n+1} \over A_n} se obtiene un nmero L, con los siguientes casos:Sea una serie k=1(ak), tal que ak > 0 (serie de trminos positivos).Si existe

on {L [0,+ )} , el Criterio de D'Alembert establece que:si L < 1, la serie converge.si L > 1, entonces la serie diverge.si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raz ensima)En matemtica, el criterio de la raz o criterio de Cauchy es un mtodo para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad.

Dondeson los trminos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente til en relacin con lasseries de potencias.SeaCel lmite de arriba, entonces el criterio de la raz establece que: SiC< 1, entonces la serieconvergeabsolutamente SiC> 1, entonces la seriediverge, SiC= 1 yde ciertoen adelante, entonces la serie diverge. En otros casos el criterio no lleva a ninguna conclusin.Hay algunas series en queC= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros para los queC= 1 y la serie diverge, por ejemplo,.Aplicacin a series de potencias.Este criterio se puede utilizar con unaserie de potencias

Donde los coeficientescn, y el centropsonnmeros complejos, y el argumentozes una variable compleja.Los trminos de esta serie vendran dados poran=cn(zp)n. Entonces se aplica el criterio de la raz aancomo se vio ms arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor dep", ya que el radio de convergencia es el radioRdel mayor intervalo o disco centrado enpde manera que el serie converge para todos los puntoszestrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente, teniendo cuidado de que es si el denominador es 0.

4.3 Serie De PotenciasUna serie de potencias puede ser interpretada como una funcin de x:

Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Ms aun, su funcin derivada es, otra vez, una serie de potencias.

Cuyo dominio es el conjunto de todas las para las cuales la serie es convergente. Observe que es parecida a un polinomio. La nica diferencia es que tiene una cantidad infinita de trminos.Se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a o serie de potencia alrededor de a.Ejemplo: Para qu valores de la serie es convergente?

Al aplicar la regla de comparacin. Si denota con como se acostumbra, el n-simo trmino de la serie, despus S.

Segn la regla de comparacin, la serie es divergente cuando. En estos trminos, la serie dada converge cuando x=0

Considere la serie de potencias.

El radio de convergencia se determina aplicando el criterio de la razn.

En consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando; de modo que su radio de convergencia es R = 1.La serie que se obtiene al diferenciar trmino a trmino la serie anterior es:

Si se aplica el criterio de la razn a esta serie de potencias se tiene

sta serie es convergente cuando< 1, as, su radio de convergencia es R = 1. Como R = R, se ha verificado este teorema para esta serie.

4.4 Radio de convergenciaEnmatemticas, segn elteorema de Cauchy-Hadamard, elradio de convergenciade unaseriede la forma, con, viene dado por la expresin:

Si nos limitamos al conjunto de losnmeros reales, una serie de la forma, con, recibe el nombre deserie de potenciascentrada en. La serieconverge absolutamentepara un conjunto de valores deque verifica que, donderes un nmero realradio de convergenciade la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores depertenecientes al intervalo, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser tambin semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para,. Si lo hace para cualquier valor de,EJEMPLOSMostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qu el radio de convergencia es el dado.Radio de convergencia finitoLa funcinen su desarrollo con centro 0, o sea, enseries de potencias, tiene el siguiente aspecto:.(Para el clculo de la serie veaserie de Taylor). Su radio de convergencia es. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia ales menor que, por ejemplo el, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie ser el mismo que remplazarlo en la funcin, de hecho.(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado.Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el, al remplazarlo en la serie, sta ser divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:.Distancia a la singularidadEl clculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una funcin con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma funcinen su desarrollo con centrotiene la forma:.Pero en este caso su radio de convergencia es. Notemos que la funcintiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:y. Esto ser siempre verdadero para sta funcin, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podra suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la funcin a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.

Radio de convergencia infinitoPor ejemplo, lafuncin exponencialpuede desarrollarse en series de potencia de, de hecho.Y esto vale para todo realpor eso el radio de convergencia ser infinito.4.5 SERIE DE TAYLOREnmatemticas, unaserie de Taylores una aproximacin defuncionesmediante unaserie de potenciaso suma de potencias enteras de polinomios comollamados trminos de la serie, dicha suma se calcula a partir de lasderivadasde la funcin para un determinado valor o puntosuficientemente derivable sobre la funcin y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie est centrada sobre el punto cero,, se le denominaserie de McLaurin.Esta aproximacin tiene tres ventajas importantes: la derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales; se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones; es posible calcular la optimidad de la aproximacin.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen algunasingularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas dex(vaseSerie de Laurent). Por ejemplof(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de Laurent.DEFINICIONLa serie de Taylor de unafuncinfrealocompleja(x)infinitamente diferenciableen elentornode un nmerorealocomplejoaes la siguienteserie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera ms compacta como la siguientesuma:,Donde: n!es elfactorialden f(n)(a) denota la n-simaderivadadefpara el valorade la variable respecto de la cual se deriva.La derivada de orden cero defes definida como la propiafy tanto(xa)0comoson ambos definidos como 1 (= 1). En caso de sera= 0, como ya se mencion, la serie se denomina tambin de MacLaurin.Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada enade la formasiempre se puede hacer el cambio de variable(con lo queen la funcin a desarrollar original) para expresarla comocentrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la funcinalrededor dea= 1 se puede tomar, de manera que se desarrollaracentrada en 0.

4.6 Representacin de funciones mediante serie de TaylorLa serie de Taylor de una funcinfdenmeros realesocomplejosque esinfinitamente diferenciableen unentornode nmeros reales o complejosa, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera ms compacta como

Donden!es elfactorialdenyf(n)(a) denota la n-simaderivadadefen el puntoa; la derivada cero defes definida como la propiafy(xa)0y0!son ambos definidos como uno.Si esta serie converge para todo xperteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la funcin f(x) se llama analtica. Para comprobar si la serie converge a f(x), suele usar una estimacin del resto delTeorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

Continuacin se enumeran algunas series de Taylor de funciones bsicas. Todos los desarrollos son tambin vlidos para valores complejos.Funcin exponencial y logaritmo natural:

Serie geomtrica:

Teorema del binomio:

Funciones trigonomtricas:

4.7 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie Taylor.En matemticas, unaserie de Taylorde una funcinf(x)infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto(a-r,a+r) se define como la siguiente suma:

Aqu,n! es elfactorialdenyf(n)(a) indica la n-simaderivadadefen el puntoa.Si esta serie converge para todoxperteneciente al intervalo (a-r,a+r) y la suma es igual af(x), entonces la funcinf(x) se llamaanaltica. Para comprobar si la serie converge af(x), se suele utilizar una estimacin del resto delteorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.Sia= 0, a la serie se le llamaserie de Maclaurin.Esta representacin tiene tres ventajas importantes:La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen algunasingularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas dex(vaseSerie de Laurent. Por ejemplof(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de Laurent.

sin(x)y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado1,3,5,7,9,11y13.La funcin exponencial (en azul), y la suma de los primerosn+1 trminos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).