Unidad 1. Teoria de Colas

7/17/2019 Unidad 1. Teoria de Colas

http://slidepdf.com/reader/full/unidad-1-teoria-de-colas 1/29

Investigación de operaciones II

Información general de la asignatura

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Logística y Transporte 1

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Ingeniería en Logística y Transporte

7° Semestre

Programa de la asignatura:


Unidad 1. Teoría de colas

Clave

13144737

Universidad Abierta y a Distancia de México






1.1. Introducción a la teoría de colas

Se va a entender como una teoría a un conjunto de estructuras (conceptos, definiciones y

proposiciones) interrelacionados capaces de explicar por qué y cómo ocurren las cosas. Eltener la capacidad de pronosticar lo que ocurrirá siempre ayudará a tener la capacidad de tener

la mejor decisión sobre un problema. De ahí la importancia de este primer tema de la unidad, en

donde te mostraremos en forma breve la historia de cómo se concibieron estas teorías, la

utilidad de las mismas y la nomenclatura utilizada para su fácil aplicación. No nos queda más

que darte la bienvenida y esperemos que los contenidos sean de tu agrado y los puedas aplicar

a mediano plazo en el campo laboral.

1.1.1. Contexto histórico

Vamos a iniciar el primer subtema respondiendo la pregunta ¿De dónde surge la teoría decolas? Los inicios de la teoría de colas empiezan por la idea de un matemático de origen danés

llamado Agner Krarup Erlang.

De acuerdo con Pérez (2011) Erlang era miembro de la Asociación danesa de matemáticas, a

través de la cual tenía contacto con otros matemáticos incluyendo miembros de la compañía de

teléfonos de Copenhague. Por medio de estas personas entra a trabajar a la empresa en 1909,

en donde se da cuenta del problema de atención a las personas, el cual derivaba en la falta de

telefonistas que pudieran conectar rápidamente a las personas. Se debe recordar que en 1909

no existían computadoras que pudieran realizar estas tareas, la forma en la cual se debía

realizar era manual (ver figura 1).

Figura 1. Telefonista de 1912

De esta forma cuando una persona quería comunicarse con otra, primero pasaba con la

telefonista la cual lo conectaba de manera manual es decir tomaba el cable de la persona que

llamaba y lo conectaba al número al que quería comunicarse.






El problema radicaba que en ciertos horarios y días la cantidad de llamadas era tal que una

telefonista no era capaz de poder con todo el trabajo, lo anterior recaía en demoras, pérdidas

de llamadas y en muchas ocasiones la equivocación de conexión.

Al mismo tiempo si la compañía no quería que pasara esto, podía aumentar la cantidad detelefonistas pero esto radicaba en un mayor gasto fijo en el pago de los empleados y en ciertos

horarios no era necesario tener tantas telefonistas.

Por cierto, se contrataba únicamente a mujeres por dos razones, la primera porque tenían una

mayor habilidad manual y la segunda por el precio de la mano de obra la cual era más barata

que la masculina.

Para tener la cantidad de personas necesarias sin dejar de dar un buen servicio, Erlang

desarrolló la teoría de probabilidades, la cual está basada en la ecuación de Poisson. El

desarrollo no fue fácil en un principio, ya que la empresa no creía que a través de las

matemáticas era posible resolver este problema, pensaban que tal vez ayudaría un poco pero

nada más, por tal razón a Erlang no se le asigna un laboratorio ni personal. Todo lo llevó el soloe incluso ya con los resultados y demostrando el beneficio de las mismas no le dieron la

importancia debida.

Su primera publicación importante de Erlang fue “Solución de algunos problemas en la teoría de

probabilidades de importancia en cambios de teléfonos automáticos”.

Este artículo fue tan interesante para muchas otras compañías, que inmediatamente fue

traducido al inglés, francés y alemán. Incluso los investigadores de la compañía Bell

Thelephone que era ya una de las más grandes del mundo, aprendieron danes para poder

entender a la perfección todas las publicaciones de Erlang.

Erlang fue un devoto trabajador e investigador, nunca se casó y siempre trabajaba hasta altas

horas de la noche. Tenía una gran biblioteca principalmente de libros de matemáticas,

astronomía, física, historia, filosofía y poesía, por lo que se puede decir que era todo un erudito.

Sus amigos siempre lo recuerdan como una persona muy generosa y sobretodo como una

enciclopedia viviente ya que sabía casi de todo.

Así fue el inicio de la teoría de colas, comenzó como una hipótesis únicamente para una

compañía de teléfonos, pero rápidamente más investigadores que estaban en otras áreas se

dieron cuenta que esta teoría era aplicable en muchas otras áreas, ahora mismo en el siguiente

subtema, podrás revisar los usos que tendrá en la Logística y el transporte.

1.1.2. Utilidad de la teoría de colas

Puedo decir casi sin equivocarme, que todas las personas mayores de 18 años en el mundo

han tenido que formarse en una fila para obtener algo, ya sea un servicio o producto. La

pregunta que todo mundo se hace cuando llega, ya sea al banco o a una oficina para realizar

un trámite es:






¿Cuánto tiempo tendré que esperar?

Por otra parte cuando eres dueño de una empresa lo que te preocupará siempre es:

¿Cuánta gente llegará?

¿Tengo la cantidad correcta de trabajadores, para dar un buen servicio al menor precio?

Esta última pregunta del gerente o dueño de una empresa es una de las más importantes

debido a que tiene relación a las pérdidas o insatisfacción de los clientes.

En el caso de la logística, lo que nos interesará es si tenemos la cantidad de camiones o de

transporte para poder llevar la mercancía de un lado a otro en el tiempo mínimo y con el menor

número de recurso humano. Recuerda que cuando se vende un producto, su calidad también

va dentro del servicio de entrega, de tal manera que si se tiene un número de camiones

insuficiente, ocasionará que muchos de sus clientes tengan que esperar más para obtener su

mercancía lo que retribuirá en la búsqueda de otros proveedores. Por otra parte el tener un

sobre número de transporte también repercutirá en la cantidad de dinero que se va gastar en

conductores, mantenimiento del camión o transporte, el parqueado del transporte, permisos decirculación, etcétera.

Estos problemas son algunos de los que se presentan en el área logística, porque también se

debe acordar que en muchas ocasiones cuando se lleva la mercancía a un cliente nuestro

transportista tiene que esperar un tiempo para que lo reciban y descarguen su mercancía y esto

en ocasiones llega a durar varios días, lo cual resulta en la perdida de uno de nuestros

transportes por un tiempo.

Incluso este tema te auxiliará en problemas tan radicales como por ejemplo el robo de

unidades, debido a que podemos ver a la delincuencia como un servidor y a nuestrostransportistas como los clientes, entonces se puede obtener el tiempo más probable que tardará

un transportista en ser asaltado lo cual también nos da la ventaja de tener un plan para tener el

menor daño posible.

Por lo tanto te podemos decir con amplia experiencia, que la teoría de colas es básica para

cualquier empresa que da o recibe un servicio, por lo que sabrás son todas.

Sin embargo antes de entrar a estas interesantes teorías tienes que comprender sus reglas y

de esto se tratará el tema siguiente, en el cual podrás estudiar la nomenclatura utilizada en

estas teorías.

1.1.3. Nomenclatura de Kendall

La nomenclatura que se estudiará en esta sección servirá para caracterizar un modelo de líneas

de espera.

Kendall en 1951 diseñó la notación para representar dicho sistema de líneas de espera. Cada

sistema de espera se describe mediante seis características que deben ir escritas de la

siguiente manera: 1/2/3/4/5/6






La primera característica especifica la naturaleza del proceso de llegada. Se utilizan las

siguientes abreviaturas estándar:

M = los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas de manera exponencial.D = los tiempos entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidas y deterministas.

Ek = Los tiempos entre llegadas son Erlangs independientes e idénticamente distribuidas con

parámetro de forma k.

GI = Los tiempos entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidas y están

regidos por alguna distribución general.

La segunda característica especifica la naturaleza de los tiempos de servicio:

M = los tiempos de servicio son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

exponencialmente.

D = los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidas y deterministas.

Ek = Los tiempos de servicio son Erlangs independientes e idénticamente distribuidas conparámetro de forma k.

GI = Los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidas y están regidos

por alguna distribución general (Wayne L. Winston, 2010).

Si observas bien la primera letra (M) se presenta tanto en la primera como en la segunda

característica y ambas tienen una distribución exponencial, por lo que es necesario entender las

características de las mismas. La primera es que esta no tiene memoria, esto es por ejemplo

cuando lanzamos una moneda al aire nada tiene que afectar en el resultado de águila o sol si

en el lanzamiento anterior cayo águila, es decir los resultados anteriores no tienen que afectar a

los resultados actuales, es decir cada uno de estos son independientes. Otro ejemplo es lalotería, si el resultado anterior terminó en 6 no quiere decir que el resultado actual tiene que ser

6 o el consecutivo, no tiene ninguna relación respecto al anterior.

Esto es útil cuando se tiene que esperar en una fila, en la cual el cliente que está en frente de

uno puede tardar mucho o poco tiempo, todo depende del trámite. Por ejemplo si vas al banco y

solo falta un cliente para que seas atendido, ese cliente puede tardar horas todo depende de

todas las operaciones que tenga que realizar. En cambio puede ser que antes de que pases

con el cajero tenga delante de ti a siete clientes más y aun así ser tendido en 10 minutos.

Para resumir siempre que un evento sea independiente con respecto al resultado anterior

entonces es exponencial.

En nuestro caso de estudio, se utilizará la letra M cuando la llegada de los clientes sea

independiente de la llegada del cliente anterior y que el tiempo que tarda un servidor sea

independiente al tiempo que tardó con su cliente anterior.

La letra D se refiere a una distribución determinista y esto es cuando al repetir un evento en las

mismas condiciones los resultados siempre son los mismos. Esto se va encontrar cuando se






tenga una clientela cautiva por ejemplo el día de pago y uno tiene que ir por el cheque siempre

será el mismo número de clientes y servidores.

En la letra Ek se refiere a un distribución Erlang y esto ocurre cuando los tiempos entre llegadas

no parecen exponenciales, entonces se tiene que modelar esta distribución, la cual por loregular forma gráficos tipo campana de gauss los cuales de acuerdo a una ecuación utilizada

por Erlang nos permite modelar este tipo de fenómenos, pero esto lo tendrías que ver en cursos

más avanzados como de maestría, esto sería la continuación si al término de tu carrera decides

seguir preparándote.

Por último la letra GI nos indica que la distribución puede ser por cualquier función y la cual por

lo regular el problema nos determina como es esta distribución.

Siguiendo con la nomenclatura, la tercera característica es la cantidad de servidores en

paralelo.

La cuarta característica es la disciplina de las líneas de espera:FCFS = El primero en llegar, primero en ser atendido.

LCFS = El último en entrar, primero en salir.

SIRO = Servicio en orden aleatorio.

GD = Disciplina general de líneas de espera” (Wayne L. Winston, 2010).

El FCFS indica que la forma de atender a los clientes es el primero en llegar es el primero en

ser atendido y se escribe así por sus siglas en inglés, First Come First Serve. Esto es el más

común por ejemplo cuando uno llega a un banco y desea ser atendido el primero en llegar es el

primero en ser atendido. El segundo que es LCFS que por sus siglas en inglés que es

LateCome First Serve, esto es el último en llegar el primero en salir. Este no es muy comúnpara la mayoría de las personas, pero en el caso de logística este es el común en bodegas, por

ejemplo, si observas la figura 2 que representa una bodega, cuando llenamos esta bodega la

última carga en meter en la bodega debe ser la primera en salir de otra forma las maniobras

para sacar la carga A serían más costosas en cuanto a personal y tiempo.

Figura 2. Representación del acomodo de una bodega






Como observaste en la figura 2, es más fácil sacar de la bodega a la carga B que a la carga A

que está más al fondo de la bodega.

SIRO que de acuerdo a sus siglas en ingles significa Serve In Random Order que en españolquiere decir servicio de orden aleatorio, un ejemplo de que esto ocurre es cuando la gente pasa

al servidor a través de una tipo de rifa, cuando se habla a una estación de radio la llamada que

entra es de orden aleatorio de acuerdo a todas las personas que llaman al mismo tiempo.

Por último, tenemos la GD que por sus siglas en inglés es General Discipline, que se traduce a

un orden general en el cual se debe explicar en el problema de qué forma se está atendiendo a

los clientes, por ejemplo tener un lugar privilegiado como en el caso de las personas que van a

un concierto y tienen un lugar preferencial por lo tanto no se forman y tienen la mejor vista del

espectáculo.

Otro ejemplo es cuando explicas de qué forma se va atendiendo a las personas, como en elcaso de un supermercado en el cual hay varios cajeros y decides en que caja formarte.

También Wayne L. Winston (2010) aborda la quinta característica, la cual detalla el número

máximo admisible de clientes en el sistema (incluidos los clientes que están esperando y los

que están en servicio).

La sexta característica da el tamaño de la población de donde se extraen los clientes. A

menos que la cantidad de clientes potenciales sea del mismo orden de magnitud que el número

de servidores, la población se considera infinita.

Ahora revisa otros ejemplos de la nomenclatura Kendall.

Ejemplo 1

Supongamos que nos dicen que tenemos lo siguiente:

M/M/1/GD/∞/∞

Lo anterior nos indica que la llegada de los clientes como el tiempo de servicio es independiente

y de distribución exponencial, el 1 indica que solo hay un servidor y la forma de atención es de

orden general, la cantidad máxima de clientes que pueden atender es infinito y la población de

donde se encuentran estos clientes también es de orden infinito.

Ejemplo 2

Ahora pensemos al revés, veamos un sistema y determinemos la nomenclatura supongamos

que vamos a un centro comercial de la ciudad de México a realizar nuestras compras, para

pagar nosotros decidimos en que fila nos formamos, hay 10 cajeros trabajando y la tienda está

saturada de personas.

En este caso el sistema es M/M/10/GD/∞/∞ y es de esta forma porque la cantidad de gente que

llega es de forma independiente sin ninguna relación entre ellos. También el tiempo de servicio






que tarda cada cajero es independiente del tiempo que tardó con el cliente anterior. Es 10

debido a que tenemos 10 cajeros y es infinito debido a que la cantidad de gente es tan grande

con respecto al número de servidores.

Hasta este momento debes saber la utilidad de la teoría de colas así como la nomenclatura

base para poder empezar a entenderla. Los temas que prosiguen te explicarán la utilidad de

cuatro modelos que son los más utilizados, aunque en realidad como se comentó en estos

temas, existen otros, incluso unos tan complejos que llegan a otro nivel de aprendizaje y que

probablemente en un futuro estés dispuesto a continuar aprendiendo.

1.2. Modelos de la teoría de colas

En este subtema se abordarán cuatro de los modelos más importantes en la teoría de colas,

con lo cual al final de este tema podrás ser capaz de determinar el tiempo que tardará en salir

de un fila o el número de trabajadores necesarios para que sus clientes no tengan que esperar

más de lo necesario. La forma en la que se va abordar es la siguiente, primero será

distinguiendo qué tipo de método es, la cantidad de variables y los datos que se requieran para

desarrollar el problema. Bueno, esperemos que los comprendas y sean de tu agrado, recuerda

que cualquier duda o comentario le puedes escribir al docente en línea que te asignen, ya que

al comprender los diversos conceptos podrás utilizar de manera certera estos modelos en un

sinfín de problemas que se presentaran en el campo laboral y personal.

1.2.1. Modelo de un servidor con un límite infinito de clientes

(M/M/1/GD/∞/∞)

Este modelo solo funciona cuando tenemos las siguientes características:

1. Las personas que llegan deben ser independientes unas de otras, esto quiere decir que no

tiene nada que ver el cliente de adelante, está hecho para que el cliente de atrás este formado.

2. El tiempo que tarden en atender a cada cliente deberá ser también independiente, esto es

que el tiempo que tarde con cada cliente debe ser independiente del tiempo que tardó con el

anterior.

3. Solo existe un solo servidor.

4. Se debe explicar claramente la forma en cómo se va a atender a cada cliente.

5. La cantidad de clientes potenciales deben ser mucho más que el número de servidores.

Algunos ejemplos de este tipo de modelos son:

El autoservicio de comida rápida tiene un solo servidor para surtir la comida que

compran los automovilistas.

Cuando hay una sola bodega en donde todos los transportistas tienen que descargar.

Al momento de pagar el pasaje de un camión.






Para adentrarnos al modelo y a la ecuación de está, es necesario definir algunas variables,

primero definiremos a λ como la tasa de llegadas por unidad de tiempo y μ ser á el tiempo de

servicio.La relación de estas dos variables origina la constante ρ que se llama intensidad de tráfico y se

representa en la ecuación 1:

…………….(1)

De tal forma, si se tienen 3 camiones por hora, llegando a nuestra bodega este sería λ y si se

tardan nuestros trabajadores en descargar 4 camiones por hora es μ, entonces la intensidad de

tráfico sería:

4

3

La intensidad de tráfico nos servirá para obtener la probabilidad de estado (πJ), la cual es la

probabilidad de que el servidor tenga 0, 1, 2 o j número de clientes en servicio y su ecuación es:

………………..(2)

Siempre y cuando

Cuando ρ es mayor que 1 nos indica que no existe una distribución estable, en forma práctica

indica que la velocidad con la que atienden es más lenta con respecto a la gente que llega, por

lo tanto el servidor jamás dejará de trabajar y la fila siempre estará en aumento.

Otra aspecto importante es que al momento de trabajar con problemas de espera se determine

la cantidad de gente que estará en el sistema, la cual designaremos con la letra L. Decir

cuántas personas están en el sistema quiere decir la gente que está formada más la gente que

está siendo atendida y la ecuación de esto es:

λ-μ

λ=L ………………..(3)

Si deseamos conocer únicamente la cantidad de gente que estará formada se representa por Lq y se utiliza la ecuación:

ρ-1

ρ=L

2

q …………………………(4)

Para conocer la gente que está siendo atendida se representa por Ls y su ecuación es:

ρ=Ls

……………………..(5)

ρ ρπ j

j 1=

10 ≤≤ ρ






Pero en ocasiones lo más importante es conocer la cantidad de tiempo que nos llevará estar

esperando en la fila o el tiempo que tardaremos en el servicio o el tiempo total que nos llevará

que nos atiendan más el tiempo formado.

El tiempo en el sistema lo representaremos con la letra W y es igual a:

λ

L=W ………….. (6)

El tiempo en la fila es:

λ

L=W q

q ………….. (7)

Y el tiempo en servicio:

λ

L

=W

s

s ………….. (8)

Con todo lo anterior, te puedes dar cuenta que es posible resolver problemas, para que se aún

más explícito, observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

En promedio tenemos que por hora llega 1 camión a una bodega con un solo acceso, en donde

los camiones tienen que descargar sus productos. Vamos a suponer que el tiempo de servicio

promedio por cada camión es de 40 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los

tiempos de servicio son exponenciales. Analiza el planteamiento e intenta contestar las

siguientes preguntas:1. ¿Cuál es la probabilidad de que el acceso este vacío?

2. ¿Cuál es el número promedio de camiones que están formados esperando a ser

descargados?

3. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un camión pasa en todo el sistema?

4. ¿Cuántos camiones en promedio son descargados por hora?

Solución del ejemplo 1

Primero se debe distinguir que este problema es (M/M/1/GD/∞/∞) debido a que el problema nos

indica que es de tipo exponencial tanto el servicio como la llegada de los camiones. Solo

tenemos un solo acceso por donde se descargan los camiones lo cual se puede ver como unsolo servidor. Como nos indican en qué forma se atenderán los camiones, podemos decir que

es de tipo GD y al no mencionar el número de clientes máximo que podemos tener, ni la

población de donde se obtiene este dato podemos suponer que es infinito.

Para determinar que la probabilidad de que el acceso este vacío es necesario obtener π0 y para

esto se utilizará la ecuación (2).

10

0






Para resolver la ecuación anterior es necesario encontrar ρ y esto se encuentra con la ecuación

(1):

Donde λ es la cantidad de clientes que llegan en un cierto tiempo, en este caso es 1

camión/hora, mientras que µ es la cantidad de clientes que el servidor puede atender en un

cierto tiempo es de 1 cliente cada 40 minutos. Debemos homogeneizar las unidades, esto

quiere decir que los minutos los pasamos a horas o las horas las pasamos a minutos, en este

caso pasaremos todo a horas.

De tal forma µ es igual a 1.5 camiones por hora, la ecuación 1 queda:

666.05.1

1

Por lo tanto la ecuación (2) es:

Lo más importante de contestar o resolver un problema es conocer la utilidad de nuestra

respuesta, en este caso 0.333 nos indica que la tercera parte del día el acceso está vacío, lo

cual indica que los trabajadores que descargan a los camiones están ociosos la tercera parte

del día, lo cual incurre en gastos innecesarios.

Respecto a la segunda pregunta se contesta con la ecuación (4):

333.1666.01

666.0

-1

22

q L

La respuesta anterior nos indica que en promedio estarán formados 1.333 camiones. Ahora

deben de entender lo que significa la palabra promedio, por ejemplo supongamos que a las 9

hay 9 camiones formados, a las 10 hay 1, a las 11 hay 5, en promedio de esto es 5 camiones

por hora. Como puedes observar, con este ejemplo se puede decir que hay 5 camiones por

hora, lo cual no significa que siempre existirán 5 camiones formados, lo único que nos da es un

promedio aproximado de lo que se observará. Lo mismo ocurre con nuestro resultado de 1.333

camiones, nos indica que en promedio existirán esta cantidad de camiones o un número

cercano a este.

La tercera pregunta es determinar la cantidad de tiempo que un camión estará en el sistema

para esto se utilizará la ecuación (6), pero antes es necesario obtener la cantidad de clientes en

el sistema y para esto primero usaremos la ecuación (3).

215.1

1

-L

Por lo tanto la ecuación (6) es:

333.0666.01666.0 0

0






21

2

LW

Como todo se realizó en horas, indica que en promedio un camión tardará dos horas desde que

llega hasta que sale de la bodega.La última pregunta es en la mayoría de los casos un desconcierto para los estudiantes, debido

a que siempre se confunde con µ pero esto no es así, debido a que se debe multiplicar por el

tiempo que en realidad trabaja y si conocemos que el acceso está desocupado dos terceras

partes del día, en promedio el acceso el número de camiones que son descargados son (0.666)

(1.5) = 1 camión por hora.

Recuerda que lo más importante no es encontrar las respuestas sino el análisis que tu realizas

para darle una utilidad a las respuestas, esta es la diferencia entre un ingeniero y un técnico, los

dos llegan a los resultados pero el ingeniero debe llegar a un análisis de los resultados e incluso

lograr una mejora.

Ahora observa el desarrollo del análisis de las respuestas, primero en el momento que tenemosun tercio de ocio del acceso, es necesario evitar esto y existen dos formas la primera es hacer

que más camiones lleguen a la bodega y la segunda es aumentar el tiempo de descarga y la

forma en la cual se puede aumentar el tiempo de descarga es teniendo menos trabajadores que

se dedican a descargar el camión, lo cual influirá en un ahorro a la empresa.

La cantidad de clientes en promedio que estarán esperando nos da un aproximado de la

dimensión en espacio que se requiere para que estén estacionados 1.333 camiones lo cual se

redondea a 2 camiones ya que es imposible que se tenga 0.333 camiones.

Por último conocer el tiempo que tarda en promedio un camión es útil para nuestros

proveedores, debido a que pueden tomar mejores medidas preventivas del tiempo aproximado

en el cual no tendrán el camión para su utilización.

Ejemplo 2

Todos los camiones o medios de transporte requieren de algún combustible para que estos se

puedan trasladar, es necesario que determines una política del llenado de tanque de estos

transportes, de otra forma dejarle esta oportunidad a los operadores le traerá consigo que se

queden sin gasolina o deciden ponerle gasolina a cada viaje lo cual también es un gasto de

tiempo el cual también pagas. Vamos a suponer que les dices a tus choferes que cuando los

camiones lleguen a la mitad le tienen que poner gasolina. Si la gasolinera más cercana que

tiene una sola bomba de diésel, llegan en promedio 4.5 clientes por hora. El tiempo que se

tardan en llenar un camión es de 10 minutos. Los tiempos entre llegadas y los tiempos deservicio son exponenciales.

Vamos a calcular la cantidad de camiones en el sistema y el tiempo que tardarán.

Tenemos un sistema (M/M/1/GD/∞/∞) con λ igual a 4.5 clientes por hora y una µ igual a 1

camión cada 10 minutos lo que quiere decir que atienden a 6 camiones por hora.






Así ρ es igual a:

75.06

5.4

35.4-6

5.4L 666.0

5.4

3W

La cantidad de camiones en el sistema es de 3 y el tiempo que tardará un camión en la

gasolinera es de 0.666 horas lo que equivale a 40 minutos.

Lo que significa que cada vez que tienen que ir a la gasolinera cada camión pierde casi una

hora. Por lo que entre menos veces vaya es mejor, así en lugar de que vayan cada vez que

tengan medio tanque, mejor será que vayan cuando tienen solo un cuarto de tanque de

gasolina entonces te ahorraras un 50% en tiempo perdido en la gasolinera. Si tienes 10

camiones y los camiones se gastan en promedio un tanque por día, si los hace que llenen el

tanque cada vez que este a la mitad los conductores tendrán que ir por lo menos 2 veces al día

a la gasolinera lo que radica en 80 minutos de tiempo perdido por camión, el cual en total son

800 minutos de los 10 camiones. Si reduces esto a un cuarto de combustible solo tendrá que ir

una vez al día y por lo tanto de 800 minutos se reducirá a 400 minutos de tiempo perdido lo cual

equivale a 6.66 horas casi un turno de un trabajador ese sería el ahorro tan solo por decidir

cada cuando se tiene que ir a la gasolinera.

Ejemplo 3

Los estibadores que trabajan en una bodega deben solicitar su equipo para trabajar (casco,

faja, guantes, patines de carga, montacargas, etcétera). Un promedio de 10 estibadores por

hora llega pidiendo su equipo. Por el momento, se cuenta con un empleado que atiende este

centro; cuyo salario es de $4500 pesos mensuales y tarda en promedio 5 minutos en cumplir

con cada pedido por parte de cada estibador. Como cada estibador produce $7500 pesos de

bienes por mes. Cada hora que un estibador tarda en el centro de herramienta cuesta a la

compañía $31.25 pesos. La compañía está pensando si valdría la pena o no, contratar (a $3000

pesos mensuales) un ayudante para el empleado. Si se contrata al ayudante, el empleado

tardará un promedio de 4 minutos en reunir el equipo que le solicite cada estibador. Supón que

los tiempos de servicio y de llegadas son exponenciales. ¿Se debe contratar al ayudante?

El mes se compone de 30 días y los turnos son de 8 horas.

El costo por hora sin tener un ayudante es igual al costo por hora del empleado que atiende el

centro, más el costo por hora de cada uno de los estibadores.

Si calculamos el costo del empleado es $4500, entre 30 días y entre 8 horas es de $18.75

pesos.






Si cada hora que un estibador pasa esperando le cuesta a la compañía 31.25, entonces es

necesario conocer el tiempo que tarda en el sistema un estibador y posteriormente multiplicarlo

por los 10 estibadores que hay.

8333.012

10

5

1012

10

-L

5.0

10

5

LW

Costo = 18.75 + (31.25)(10)(0.5) = 156.25 pesos.

Si tuviera ayudante µ cambiaria a 4 minutos en cumplir cada pedido lo que es igual a 15

pedidos por hora, así nos quedaría:

666.015

10

2

1015

10

-

L

2.0

10

2

LW

Con el ayudante el costo subiría a $12.5 pesos la hora (este valor se obtuvo al dividir 3000

entre 30 días, entre 8 horas).

Por lo tanto el costo es:

Costo = 18.75 + 12.5 + (31.25) (10) (0.2) = 93.75 pesos.

Por lo tanto hay un ahorro de 62.5 pesos por hora lo que equivale a $15,000.00 pesos

mensuales lo cual nos quiere decir que se debe contratar a este ayudante.

1.2.2. Modelo de un servidor con un número finito de clientes

(M/M/1/GD/c /∞)

Ahora se procederá a revisar un ejemplo, en el cual se tiene un número finito de clientes como

es el caso de un cine en el cual el número de clientes máximo es el número de butacas, en el

caso de logística es importante debido a que la mayoría de las empresas no puede tener un

número muy grande de tráileres o camiones esperando afuera de la empresa. También nos

servirá en el caso de utilizar just in time en alguna empresa en la que labores a futuro, debido a

que es necesario definir claramente los tiempos de embarque y cantidad máxima de camiones,

tráileres o transporte formados.

Las variables que se utilizarán son las mismas que en la sección anterior, esto se expresa ρ,π j, L, Lq, Ls, W, Wq, Ws y por último c que es el número máximo de clientes que puede

esperar en la fila.

Existe un cambio en algunas ecuaciones por lo que se volverán a redefinir, ρ sigue siendo la

misma ecuación que es.






Ahora se utilizaran dos ecuaciones para obtener la probabilidad de que un evento cualquiera se

presente, para la probabilidad de que ningún evento se presente es:

………….. (9)

Cuando se desea conocer la probabilidad de que sea 1 o más eventos la ecuación es:

…………(10)

Para obtener el número de clientes en el sistema la ecuación (3) cambia:

11

11L

1

1

c

cc

cc

……….(11)

Para obtener el número de clientes en fila la (4) cambia:

sq L L L ……..(12)

El número de clientes en servicio es:

01

s L ……………(13)

El tiempo en el sistema es ahora:

c

LW

1…………(14)

Donde πc es la probabilidad de que ocurra un evento de acuerdo al número máximo de clientes

que puede haber en la fila, por ejemplo si el número máximo de clientes en fila es 5 entonces π c

= π5, lo que es equivalente a obtener la probabilidad de que los servidores tengan 5 clientes.

El tiempo en fila es ahora:

c

q

q

LW

1……….(15)

Por último el tiempo que tardará con el servidor es:

Ws = W – Wq ………….(16)

La metodología es igual a la anterior, por lo que se tiene que determinar cuánto vale µ, λ y c,

para posteriormente de acuerdo a lo que se pide, utilizar la ecuación que corresponda.

Ejemplo 1

10

1

1

c

0

j

j






En un departamento de aduana, solo hay una persona y solo hay espacio para 12 embarques.

Los tiempos entre llegadas sigue una distribución exponencial y un promedio de 9.38 posibles

clientes llegan cada hora. Los clientes que al llegar la encuentran llena, no pueden entrar y se

tienen que marchar. El despachador de aduana se tarda en promedio 32 minutos en checarcada embarque. Los tiempos están distribuidos en forma exponencial.

1. En promedio, ¿Cuántos embarques por hora podrá realizar?

2. ¿Cuánto tiempo pasará en promedio un cliente en la aduana?

Solución

Para poder responder la primera pregunta es necesario obtener la probabilidad de que existan

12 clientes esto lo obtenemos con π10.

Sabemos que λ es igual a 9.38 clientes por hora, μ es igual a la cantidad de clientes que puede

checar por hora en este caso es la división de 60/32 = 1.875 clientes por hora. Por último c =

12, que es número máximo que puede tener en espera en un momento dado.

Entonces:

003.5=875.1

38.9=ρ

En este caso a diferencia del modelo anterior si es posible obtener un ρ mayor a 1.

Con el dato anterior es posible obtener π0.

9-

1+1210×25.3=

5.003-1

5.003-1=π0

5.0033.25×10− 0.80

El número de embarques inspeccionados será igual a λ multiplicado por la probabilidad de que

esté ocupado.

Si existe una probabilidad de 3.25X 10-9 de que no esté ocupado, entonces la probabilidad de

que si esté ocupado es 1- 3.25X 10-9 = 0.999.

Entonces el número de embarques inspeccionados por hora es: 9.38 (0.9999) = 9.380

Embarques por hora.

El tiempo que pasará un cliente es:

c

LW

1

Donde L es:

( )[ ]( )( )

75.11=003.5-1003.5-1

)12(5.003+5.0031+12-1003.5=L

1+12

1+1212






( ) 267.6=80.0-112

75.11=W

Los resultados anteriores nos indican que por lo regular siempre está lleno el espacio donde se

estacionan los embarques y el tiempo promedio que una persona estará en la aduana es de

alrededor de 6.267 horas. Este dato nos servirá para tomar las debidas precauciones, en

cuanto al tiempo que estaremos en la aduana, que es casi igual a un turno completo de trabajo.

Ejemplo 2.

Uno de los problemas más comunes que ocurren en la logística es el no informar al operador

logístico que el despacho de la mercancía llegó al puerto, para evitar este problema se han

diseñado equipos especiales de cómputo pero hasta estos sistemas llegan a fallar, a

continuación se presenta un ejemplo.

Llega en promedio a una computadora 12 Gigabites de información por minuto. La computadora

requiere 0.00002 segundos para procesar 1000 bites de información. La computadora tiene una

memoria RAM la cual cuando está llena, pierde cualquier mensaje que llegue. Si suponemos

que los tiempos entre llegadas y de servicio siguen una distribución exponencial. ¿De qué

tamaño debe ser la memoria RAM para tener la certeza de que se pierde a lo mucho 760

Megabite en un Gigabite?

No es necesario ser ingenieros en computación para resolver este problema, es más tal vez un

ingeniero en computación no pueda resolver este tipo de problemas, aquí lo que requerimos es

conocer la probabilidad de que ocurra 760 megabite (760 x 106) entre un gigabite (1 x 109), lo

cual nos da 0.76. Esta es la probabilidad que ocurre cuando la memoria está llena, lo cual es

πc. Para obtener el valor de c entonces debemos realizar un despeje de la ecuación (10), pero

antes hay que determinarπ0 y ρ.

En este problema landa es la cantidad de bites que llegan los cuales son 12 Gigabites y si

procesa 1000 bites en 0.00002 s esto es 1000/0.00002 = 50 Megabites por segundo, pero como

la llegada de bites está en minutos al realizar la conversión

μ = (50)(60) = 3000 Megabites = 3 Gigabites.

Por lo tanto:

4=3

12=ρ

1+c4-1

4-1=π0






76.0=4-1

4-1)4

1+cc(=πc

Despejando c:

4-176.0=)4

1+cc

3-(

( ) 1+c1+cc )43

76.0

3

76.0=4-1

3

76.0=)4

-(-

--(

Pasando la variable c del lado izquierdo de la ecuación queda:

3

76.0=)4

3

76.0+)4 1+cc

--((

Factorizando:

3

76.0=4)•

3

76.0+4

c

--(1

Pasando al lado derecho el factor que no tiene c:

19=4)•

3

76.0

+÷3

76.0

=4c

-(1-

Aplicando logaritmos para despejar c:

12.2=)4ln(

)19ln(=c

)19ln(=)4ln()c(

Por lo que se requiere por lo menos 2.12 gigas de memoria RAM el utilizar una memoria de

capacidad inferior provocaría tener menor capacidad de la necesitada por lo que al final se

tendría el mismo problema de comunicación.

1.2.3. Modelo de varios servidores con un número infinito de clientes

(M/M/s/GD/∞/∞)

En este sistema se puede contemplar el empleo de varios servidores y a diferencia de los temas

anteriores donde solo se tiene un solo servidor. Este modelo se utiliza cuando la fila de los






clientes puede ser tan grande en comparación con el número de servidores que se puede decir

que es infinita, por ejemplo tener 3 servidores y 1000 clientes.

Un ejemplo clásico de este sistema es en el banco donde se tienen varios cajeros y la fila de los

clientes no tiene un límite.

En este modelo la ecuación de ρ si cambia en lugar de ser

)17.(..........μs

λ=ρesahora

μ

λ=ρ

La probabilidad de tener cero clientes es:

……….(18)

En este caso π j tiene dos

ecuaciones la primera es cuando

la probabilidad que se desea obtener es menor al número de servidores.

……………..(19)

………………(20)

Para obtener la cantidad de gente, en el sistema, así como en la fila y con los servidores sería:

μ

λ+L=L q ……………(21)

( )2

0s

qρ)-(1s!

ρπsρ=L ……. (22)

qs L-L=L……………. (23)

( ) ( )∑

siρρ

1-s=i

0=i

0

ρ)-(1s!

s+

i!

s

1=π

( )s< jsi

πρ=

0 j

j!

sπ j

( )s≥ jsi

πρ=

0 j

s- j jss!

sπ






Para las ecuaciones del tiempo en el sistema como, el tiempo de la gente formada como con los

servidores es:

λ

L=W

……………...(24)

λ

L=W q

q

…………….(25)

λ

1=Ws

………………(26)

La metodología es igual a las anteriores lo único que cambian son las ecuaciones, veamos una

muestra:

Ejemplo1

Para realizar el traslado de muchas mercancías es necesario que estas tengan que cumplir con

cierta documentación, la cual lo deben de realizar una serie de personas y las cuales su único

trabajo es que no falte ningún papel, para que en la aduana no tenga ningún problema la

mercancía. Llegan a la oficina hasta 60 órdenes de embarque por día, el tiempo promedio que

se requiere para revisar una orden y que cumpla con todos los requisitos en cuanto al papeleo

es de 22 minutos. Supón que los tiempos entre llegadas de cada papel y los tiempos de revisión

son exponenciales. Entonces es necesario determinar:

1. Tiempo esperado que tarda una orden desde que llega la oficina hasta ser revisada,

si cuentas con dos administradores y solo pueden laborar hasta 12 horas.

2. ¿Cuántos administradores necesitarías, si requieres que cada embarque sea

revisado a lo más en 30 minutos?

En la primera pregunta lo que necesitamos es obtener el tiempo en el sistema, esto es W, los

datos con los que se cuenta es con λ que vale 60 órdenes por día. μ es la cantidad deembarques que se pueden revisar el cual es de 22 minutos por orden de embarque si el día es

de 12 horas entones en un día cada servidor puede revisar (60/22) 12 = 32.727, el número de

servidores en este caso es 2 por lo tanto:

917.0=)727.32(2

60=

μs

λ=ρ






( ) ( )646.9=

0.917)-(12!

044)(0.917)(0.(2)(0.917)=

ρ)-(1s!

ρπsρ=L

2

2

2

0s

q

479.11=32.727

60+9.646=

μ

λ+L=L q

Si revisas la ecuación para obtener W es necesario contar con todos los datos que obtuvimos

hasta ahora después de obtener π0, Lq y L por fin podemos calcular W:

191.0=60

11.479=

λ

L=W

Una orden de embarque tarda 0.191 días en horas sería igual a (0.191) (12)= 2.292 horas.

Para contestar la pregunta 2 sería imposible realizar un despeje de forma algebraica por lo que

se tiene que ponderar el resultado esto es asignar un numero de servidores y en base al

resultado aumentar o disminuir la cantidad de los mismos. Como ya sabemos que con 2

administradores se tardan 2.292 y deseamos que tarde a lo más 25 minutos entonces

requerimos más administradores asignemos 3 administradores.

La tabla de abajo nos expresa el resultado del tiempo de acuerdo al número de trabajadores.

# de trabajadores W

3 0.04 horas = 28.8 minutos

4 0.39 horas = 23.4 minutos

Como se puede observar tan solo tener 4 trabajadores nos da un tiempo de 23.4 minutos que

sería en promedio lo que tardaría una orden de embarque desde que llega hasta que sale de su

revisión.

Ejemplo 2

Llega un tráiler cada hora a una bodega y contiene 50 paquetes. Los tiempos entre llegadas

están exponencialmente distribuidos. Cada estibador puede descargar en promedio 10

( ) ( )

( ) ( )044.0=

0.917)-(12!

(2)0.917+

i!

(2)0.917

1

=

ρ)-(1s!

ρs

+i!

ρs

1=π

1-2=i

0=i

2i

1-s=i

0=i

si0

∑

∑






paquetes por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Cuesta 80

pesos por día un estibador (el día de trabajo es de 8 horas), la espera del tráiler es de 300

pesos por hora. Para minimizar los costos esperados por hora, ¿Cuántos estibadores se

requieren?

En este caso λ = 50 paquetes por hora, μ = 10 paquetes por hora. Debido a que no conocemos

la cantidad de estibadores es necesario al igual que el ejemplo anterior realizar una

ponderación empezaremos con 2 trabajadores. (Pero si se decide utilizar un solo trabajador,

entonces es necesario pasar a otro sistema).

# de trabajadores W

2 -0.019 no puede ser posible

4 -0.061 no puede ser posible

6 0.159 horas

7 0.116 horas

8 0.106 horas

Cuando obtenemos un valor negativo quiere decir que la cantidad de paquetes que tienen que

estibar es mucho más de lo que ellos pueden hacer, se dice que la ecuación está en forma

inestable y no puede resolverse.

Al aumentar a 6 estibadores se obtiene un valor positivo, lo cual quiere decir que ya es posible

hacer frente a la cantidad de mercancía que llega.

Analizando el costo de los 6 trabajadores por hora así como el retraso de los tráileres se

observa:

(6)(8) + (0.159)(300) = 95.7

Al tener 7 trabajadores

(7)(8) + (0.116)(300) = 90.8

Al tener 8 trabajadores

(8)(8) + (0.106)(300) = 95.8

Por lo tanto lo ideal es tener 7 trabajadores debido a que es el costo más bajo por hora.

1.2.4. Modelo de varios servidores con un número finito de clientes

(M/M/s/GD/c /∞)

Llegamos al final de esta unidad en donde veremos el método más emblemático de la teoría de

colas, el cual es de lo que más se utiliza a nivel industrial y de servicios.






Al igual que en los demás subtemas las ecuaciones vuelven a cambiar.

ρ regresa nuevamente a ser la división de λ entre μ

)27........(μλ=ρ

c3210 π--π-π-π-1=π

si j < s

!! si j ≥ s

∑ =

=

∑ =

=

Ejemplo 1Una pequeña empresa tiene 10 camiones de pasajeros. Un camión de se descompone, y

requiere un servicio una vez cada 30 días. La empresa tiene 4 mecánicos cada uno de los

cuales requiere cuatro días para reparar un camión. Los tiempos de descompostura y los

tiempos de reparación son exponenciales.

1.- Determine el número promedio de camiones en buenas condiciones.

2.- Encuentre el tiempo promedio de paralización de un camión que necesita reparación.

3.- Estime la fracción de tiempo en que un mecánico en particular está desocupado.






Solución:

Primero se determina el valor de λ y μ, el primero es la cantidad de clientes que entra en este

caso los clientes son los camiones descompuestos y estos requieren un servicio cada 30 días,

esto es 1/30 = 0.0333 mientras que el segundo es el promedio en el cual lo pueden arreglar losmecánicos en este caso se requiere de 4 dias para reparar un camión lo cual significa que

arreglan un camión cada días esto es ¼ = 0.25 camiones por día.

De esta forma ρ es:

0.0333

0.25 0.1332

Para poder obtener el número de camiones que están en buen estado es necesario determinar

el número de camiones que están en el sistema, los cuales serían los camiones que estándescompuestos.

Para determinar L es necesario antes obtener π j para lo cual realizaremos la siguiente tabla.

Se debe recordar que la probabilidad del camión uno, dos o etc, es la probabilidad de que el

camión está descompuesto.

# de

camionesProbabilidad

1 10

10.1332 1.3332

2 102 0.1332 0.8

3 103 0.1332 0.284

4 ( )0.13324!

4! 4− 0.066

5 ( )0.13325!

4! 4− 0.013

6 ( )0.13326! 4! 4− 0.002

7 ( )0.13327!

4! 4− 0.0003

8 ( )0.13328!

4! 4− 2.95×10−






9 ( )0.13329!

4! 4− 1.97×10−

10 (

)0.133210!

4! 4− 6.55×10−

Para obtenerπ0

1 1.3332 0.8 0.284 0.066 0.0133 0.0022 .0003 2.95× 10− 1.96 × 10− 6.55 × 10−

.+ .+ .+ .+ .+ .+ .+ .×+ .× + .×

0.286

Ya conociendo el valor deπ

0 podemos obtener las probabilidades de la tabla anterior por lotanto la tabla quedaría:

# de

camionesProbabilidad

1 101 0.1332 1.3332 0.381

2 ( )0.1332 0.8 = 0.229

3 10

30.1332 0.284 0.0813

4 ( )0.13324!

4! 4− 0.066 0.004

5 ( )0.13325!

4! 4− 0.013

6 ( ).!

! 0.002 = 0.0006

7 ( )0.13327!

4! 4− 8.42×10−

8 ( )0.13328! 4! 4− 8.42×10−

9 ( )0.13329!

4! 4− 5.61×10−

10 ()0.133210!

4! 4− 1.87×10−






Con todas las probabilidades ahora por fin podemos obtener el valor de L:

10.381 20.229 30.081 40.019 50.00379 60.0006

78.42×10−

88.42×10−

95.61×10−

101.87×10−

1.18

Como no es posible tener 1.18 camiones lo correcto es decir que hay 2 camiones en el sistema

lo cual quiere decir que existen 2 camiones descompuesto y 8 en buen estado.

Para obtener el tiempo que está en el sistema W:

1.180.0333101.18 4.018

Lo cual nos dice que en promedio un camión estará 4.018 días.

La última pregunta es la probabilidad π0 y esta tiene un valor de 0.286.Hasta este momento los cálculos parecen muy engorrosos pero no debe ser el problema el

cálculo, el problema es que realmente puedas identificar cada variable lo demás lo realiza un

programa y en la sección material de apoyo del aula, podrás revisar el manual de este

programa con lo cual los cálculos los podrán realizar fácilmente.

Cierre de la Unidad

Nos da mucho gusto que hayas concluido esta primera unidad de la asignatura Investigación de

operaciones II , recuerda que estas a una tercera parte de terminar este proceso de aprendizaje

y es importante que te esfuerces en clarificar tus dudas, acudiendo a alguno de tuscompañeros(as) o al docente en línea.

Ahora bien, recapitulando lo aprendido en esta unidad, lo podemos resumir en las siguientes

líneas.

Aprendiste la forma en la cual se desarrollan las metodologías y la importancia que tuvo en la

industria. Lo cual tuvo como uno de los propósitos demostrarte que cualquier persona tiene la

habilidad de implementar nuevas metodologías, por lo cual no te debes sentir mal porque en un

principio no valoren estas ideas, tarde o temprano una buena idea sale a la luz, pero esto solo

ocurre siendo constante.

También revisaste cada uno de los modelos, empezando cuando se tiene un solo servidor y no

existe límite de clientes, posteriormente cuando se tiene un solo servidor y un límite de clientes

en fila, después cuando se tiene varios servidores y no existe un límite de clientes en fila y por

último cuando tienes un número de servidores y un límite de clientes en fila.

Con lo anterior es posible que determines tres cosas: la primera es la cantidad de trabajadores,

camiones o medios de transporte necesarios para tener un pedido a tiempo con la mínima






mano de obra, segundo el tiempo de tardanza que una unidad o trabajador tendrá que estar en

espera, por último pudimos determinar la cantidad de clientes que en promedio tendrás en

espera.

Se te presentó en cada uno de estos temas una serie de ejemplos, también pudiste resolver

ejercicios en los cuales tuviste que poner en práctica conocimientos que adquiriste en

asignaturas anteriores, junto con los alcanzadas en esta unidad, con la finalidad de que estés

mejor preparado cuando enfrentes este tipo de problemas en el campo laboral o en tu vida real.

Para saber más

Con el propósito de aumentar tu preparación y te sea más sencillo la aplicación de los

conocimientos de esta asignatura, es necesario que estudies el siguiente manual:

Villegas, J.D. (2013) Manual para la utilización de teoría de colas. México: UnADM.

Disponible en la sección Material de apoyo del aula virtual.

Realmente aprender a utilizar este programa es muy sencillo y te dejará libre de todos los

cálculos engorrosos.

Fuentes de consulta

Básica

Wayne L. Winston (2010). Investigación de operaciones. Aplicaciones y algoritmos.

México: CENGAGE Learning. Frederick S. Hillier & Gerald J. Lieberman. (2010). Introducción a la investigación de

operaciones. México: Mcgraw Hill Interamericana.

Hamdy A. Taha. (2011). Investigación de operaciones. México: Pearson.

Izar, J. Manuel. (2008). Investigación de operaciones. México: Trillas.

Inzunza, V. & López Millán F. (2013). Investigación de operaciones. México: Pearson.

Complementaria

Pérez, F. Gómez, J. & García, A. (2011). Aplicaciones de la Teoría de colas a la

provisión óptima de servicios sociales: El caso de Servicio de Teleasistencia. Estudiosde economía aplicada, 29 (3). 1-25 – 25.

Tian Hao a, Tong Yifiei. (2011). Study on Queuing System Optimization of Bank Base

don BPR. Procedia Enviroment Sciences. (10), 640 – 646.

Pardo Maria José, de la Fuente David. (2008). Optimal Selection of the Service Rate for

a Infinite Input Source Fuzzy Queuing System.Fuzzy Sets and Systems. (159). 325 –

342.





Yue de Quan, Sun Yan Ping. (2008). Waiting Time of M/M/c/N Queuing System with

Balking, Reneging, and Multiple Synchronous Vacations of Partial Servers. Procedia

Enviroment Sciences. 28(2). 89 – 97.

Unidad 1. Teoria de Colas

Documents

Transcript of Unidad 1. Teoria de Colas