Unidad 1 Números Reales - Medina del...
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Unidad 1 Números Reales
Igual que han nos han ido apareciendo las distintas familias de números como
ampliación de otras. Los enteros como complemento de los naturales. Los racionales de los
enteros.
Los números racionales no nos resuelven problemas como el cálculo de la hipotenusa de
un triangulo rectángulo de catetos 1.Para resolver este tipo de situaciones aparecen los números
irracionales (notación : I)
Los números reales aparecen como unión de los números racionales e irracionales. Se
les denota por R y se representa en la recta real.
RIQ
RI
RQZN
Ejemplo:
5 → Natural, Entero, Racional, Real
-15 → Entero, Racional, Real
7
3 → Racional, Real
15 → Irracional, Real
Ejercicios
1.- Clasifica los siguientes números
15, 25
31, -26, 25 , 15 ,
3
27,
9
14, 652.1
1.- Representación de números reales
En la siguiente figura aparecen sucesivas ampliaciones del campo numérico sobre la
recta numérica, de manera que se va asignando un número a cada punto de la recta. Por ello,
decimos que los números reales completan la recta numérica.
2.- Radicales
Como ya sabemos de cursos anteriores:
222 )3(939,39,9 yporquexentoncesxSi
La raíz enésima de un número real a es otro número b que elevado a la potencia n, da
como resultado el radicando.
abba nn
Características de las raíces
-. Si el índice de la raíz es par y a > 0, existen dos raíces enésimas reales opuestas n a
y n a
22164 y
-. Si el índice de la raíz es par ya a < 0, no tiene solución
existeno4 16
-. Si el índice de la raíz es impar, existe una raíz enésima real que tendrá el mismo
signo que a
21282128 77
-. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de un radical por el mismo
número obtenemos radicales que representan al mismo. En este caso los radicales serán
equivalentes.
kn kmn mkn kmn m aaaa / /
Ejercicios:
2.- Halla las soluciones de los siguientes radicales
16 3 125
3 125 16
3.- Reduce a común índice buscando radicales equivalentes
a) 4 326
b) 53 515
c) 64 aba
d) 33 2 ac
3.- Operaciones con Radicales con igual indice
Multiplicación de Radicales
nnn baba
División de radicales
- Con el mismo índice: da como resultado otro radical de igual índice y cuyo radicando
es el cociente de los radicandos
nn
nnnn
b
a
b
ababa ::
Potenciación y radicación de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a esa potencia
nmn
m
aa
La raíz de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de los índices
mnn m aa
Ejercicios
4.- Realiza las siguientes multiplicaciones
a) 94 b) 333 15255
c) 12523 d)
2
1)4(8
3
5
9.- Realiza las siguientes divisiones simplificando el resultado.
a) 44 12:126
b) 23
2
ba
ba
e) 8
72
10.- Calcula las siguientes potencias:
a)
43 12
b)
3
155
c)
2
3
5
3 d)
5
3
125
1
11.- Realiza las raíces y simplifica el resultado:
a) 3 8
b) 5 4 3 1200
c) 6 32ba
d) 3
25
4
5.- Potencias de exponente racional.
La raíz enésima de un número, n a se puede expresar en forma de potencia.
aaaapuesaa n
nn
nnn 1
11
Las operaciones con potencias de exponente racional siguen las mismas normas que las
potencias estudiadas anteriormente.
nnn baba )(
mnmn aaa
nnn baba )(
mnmn aaa
mnmn aa )(
Ejercicios
15.- Transforma los siguientes radicales en potencias de exponente fraccionario.
a) 5 42 b)
35 c) 2 d) 3
4
1
16.- Transforma las siguientes potencias en radicales:
a) 3
1
4 b) 7
5
)3( c)
8
3
3
1
d) 5
6
5
17.- Escribe en forma de una sola potencia:
a) 33 · 3
4 · 3 =
b) 57 : 5
3 =
c) (53)
4 =
d) (5 · 2 · 3)4 =
e) (34)
4 =
f) [(53)
4 ]
2 =
g) (82)
3
h) (93)
2
i) 25 · 2
4 · 2 =
j) 27 : 2
6 =
k) (22)
4 =
l) (4 · 2 · 3)4 =
(25)
4 =
[(23 )
4]
0=
(272)
5=
(43)
2 =
18.- Realizar las siguientes operaciones con potencias:
a) (−2)2 · (−2)
3 · (−2)
4 =
b) (−8) · (−2)2 · (−2)
0 (−2) =
c) (−2)−2
· (−2)3 · (−2)
4 =
d) 2−2
· 2−3
· 24 =
e) 22 : 2
3 =
f) 2−2
: 23 =
g) 22 : 2
−3 =
h) 2−2
: 2−3
= 2
i) [(−2)− 2
] 3 · (−2)
3 · (−2)
4 =
j) [(−2)6 : (−2)
3 ]
3 · (−2) · (−2)
−4 =
19.- Realizar las siguientes operaciones con potencias:
a) (−3)1 · (−3)
3 · (−3)
4 =
b) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)
0=
c) (−3)2 · (−3)
3 · (−3)
−4 =
d) 3−2
· 3−4
· 34 =
e) 52 : 5
3 =
f) 5−2
: 53 =
g) 5 2 : 5
−3 =
h) 5−2
: 5−3
=
i) (−3)1 · [(−3)
3]
2 · (−3)
−4 =
j) [(−3)6 : (−3)
3]
3 · (−3)
0 · (−3)
−4 =
20.- Realiza las siguientes operaciones con potencias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
6.- Porcentajes. Interés Simple y Compuesto.
Los números reales se aplican con frecuencia un proporcionalidad y, concretamente, en
la definición de porcentaje. Así mismo, el uso de los porcentajes y la regla de tres compuesta
son usuales en el cálculo del interés simple y el compuesto.
Porcentajes o tanto por cientos
Se denomina porcentaje o tanto por ciento (%) al valor de una magnitud relativo al
valor 100 de otra magnitud.
Por ejemplo, si decimos que una joya tiene el 25% de plata, estamos considerando dos
aspectos: el peso de la joya y el peso de la plata. Esto significa que, por cada 100 gr del peso de
la joya, hay 25 gr de plata.
Tenemos varias maneras de ver o interpretar los porcentajes. Con fracciones decimales
y números decimales
25.0100
25%25
Los problemas de porcentajes también los podremos resolver utilizando la regla de 3
simple. Según nuestra habilidad y el estilo de problema que estemos resolviendo utilizaremos
un método u otro.
Ejemplo: Al comprar un libro de 45€ me han hecho un descuento del 8%. ¿Cuánto me
han descontado?
Método 1: Utilizando fracciones
6.3100:)845(45100
8de Asi que me descuentan 3,6€ del precio del libro.
Método 2: Utilizando decimales
6.34508.0
Método 3: Regla de 3
6.3100
458
45
8100
%
x
x
Total
Porcentajes encadenados
Cuando nos hacen varios porcentajes seguidos sobre una primera cantidad. No podemos
sumar todos esos porcentajes y calcular. Tenemos lo que se llama porcentajes encadenados.
Veamos esto con un ejemplo: Un vendedor de bicicletas de piensa que si aplica un 16%
de IVA y luego hace una rebaja del 16 consigue que la bicicleta cueste lo mismo que al
principio. Pero no sabe si aplicar primero el impuesto o después la rebaja.
Calculemos primero la rebaja y luego el impuesto
44.97)16,01(84
84)16,01(100 Si la bicicleta costaba 100€ al final tengo que pagar 97.44€
Calculemos primero el impuesto y luego la rebaja
44.97)16,01(116
116)16,01(100 Igual mente vemos que el precio final es 97.44€
Conclusiones:
1-. El precio final es distinto del inicial
2-. Da igual el orden en que apliquemos los porcentajes.
Ejercicios
20.- Calcula los siguientes porcentajes:
a) 10% de 360 b) 80% de 170 c) 25% de 48 d) 2% de 600 e) 5% de 845 f) 32% de
15 g) 1,5% de 70 h) 24,7% de 471
21.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido
de viaje?
22.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el
porcentaje de aumento?
23.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
24.- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos
que pagar?
25.- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado
en 80 €. Halla el precio de venta.
26.- Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 €
para ganar al venderlo el 10%.
27.- ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12%
sobre el precio de venta?
28.- Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta
del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.
29.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se
reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?
30.- Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene 120 000 bacterias y adquiere una
enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias
supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%.
¿Cuántas bacterias forman la población finalmente?
31.- Un apartamento está valorado en 80 000 €. Está previsto que se revalorice su precio un 5%
por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años?
32.- En un anuncio de rebajas dice: Pijamas: Antes 15,75, ahora, 11,95. Zapatos: Antes 39,90,
ahora 29,95. Se quiere saber:
a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente?
b) Si no es así, ¿cuál lo está más?
Interés Simple
El interés es dinero que produce una cantidad inicial sometida durante un determinado
tiempo aun tanto por ciento fijado.
Para calcular el interés simple utilizamos la regla de 3 compuesta que nos da la
siguiente fórmula para calcularlo de manera rápida.
100
trCI
Donde C = Capital, r = tanto por ciento , t = tiempo del préstamo
La anterior formula nos es válida si el tiempo en el que se calcula el interés es en años.
Si utilizamos meses o días tenemos las siguientes fórmulas:
mesestrC
I1200
DíastrC
I36000
Ejemplos:
-. Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.
-. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.
-. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta
en 30.000 €?
Ejercicios:
33.- Calcula el interés que producen 1200€ puestos al 6% durante 2 años. Calcular en años,
mese y días.
34.- ¿Qué interés anual producen 10 000€ prestados a un tipo de interés anual de 3,5%? ¿Y al
cabo de 5 años?
35.- ¿A qué tipo de interés debe prestarse un capital de 25 000E para producir un interés de 12
000€ al cabo de 12 años?
36.- ¿Cuánto tiempo tienen que estar 1500€ para que produzcan 337,5€ de interés al 7,5%?
37.- ¿Qué capital tengo que meter en el banco para que me den un interés de 1530€ si esta al
4,5% durante 4 años?
38.- ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta
en 30.000 €?
39.- Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el
tanto por ciento de interés.
40.-Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al
cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.
41.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?
Interés Compuestos
El interés compuesto representa el coste del
dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (Ci) a una tasa
de interés (R) durante un periodo de tiempo (t), en el cual los
intereses que se obtienen al finalizar cada periodo de
inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al
capital final.
La fórmula que vamos a utilizar para calcular el
interés compuesto es la siguiente:
t
if
RCC
1001
Si el tiempo lo utilizamos en meses o años,
cambiaremos 100 por 1200 ó 36000, igual que hicimos con
las fórmulas del interés simple.
1.- Una persona pide prestada la cantidad de $800. Cinco años después devuelve $1.020.
Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es:
a) Simple
b) Capitalizado anualmente
c) Capitalizado trimestralmente
d) Compuesto mensualmente
2.- ¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en quintuplicarse, si el interés a que está
invertida es el 6% nominal anual compuesto ?
3.- Un capital de 10.000€ se acumula durante 30 años. El interés durante los primeros 10 años
es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6% y los últimos 10 años del 7%. ¿Qué
capital tendrá al finalizar el tiempo?
Tasa Anual Equivalente (T.A.E.)
La Tasa Anual Equivalente (TAE) es una referencia orientativa del coste real de una
inversión o préstamo.
La TAE es un indicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o
rendimiento efectivo de un producto financiero, ya que incluye el tipo de interés nominal, los
gastos y comisiones bancarias y el plazo de la operación. O sea, que la TAE se diferencia del
tipo de interés en que éste no recoge ni los gastos ni las comisiones; sólo la compensación que
recibe el propietario del dinero por cederlo temporalmente.
El cálculo de la TAE está basado en el tipo de interés compuesto y en la hipótesis de
que los intereses obtenidos se vuelven a invertir al mismo tipo de interés.
Ejemplo:
Calcular el T.A.E. si tenemos 1200€ al 7.5% durante un año con intereses mensuales.
Calculamos el capital final
1591,12931200
5.711200
12
fC
Calculamos ahora el TAE, para ello volvemos a utilizar la fórmula del interés compuesto.
%76,7100
10776.1
10010776.1
1001
1200
1591,1293
100112001591,1293
1001
1
TAE
TAE
TAE
TAE
RCC
t
if