INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIORDE CALKINI EN EL ESTADO DE

CAMPECHE.Matematicas IV

M. C. M. Angel Can.*

22 de Febrero de 2010.

El presente material tiene como finalidad complementar el material deaprendizaje del alumno y no debe ser tomado como unico recurso deestudio. Es responsabilidad del alumno leer el presente material de maneraanticipada y prepararse para las clases en que se aborden los temas as comotambien investigar de manera mas amplia los temas aqu tratados.

1. Antecedentes.

La ecuacion cuadratica x2 + 1 = 0 not iene soluciones en los numerosreales por que no hay un numero real tal que su cuadrado sea 1. Un nuevotipo de numeros, llamados numeros complejos, han sido introducidos paraproveer de solucion a este tipo de ecuaciones.

A principios del siglo 16, el smbolo1 fue introducido para propor-

cionar soluciones de la ecuacion cuadratica x2 + 1 = 0. Este smbolo, de-spues denotado por la letra i, fue considerado como un numero ficticio oimaginario, el cual poda ser manipulado algebraicamente como si fuera unnumero real ordinario con la unica excepcion de que su cuadrado era 1.As, por ejemplo, el polinomio cuadratico x2+1 se poda factorizar al escribirx2+1 = x2i2 = (x+i)(xi) y las soluciones de la ecuacion x2+1 = 0 esta-ban dadas por x = i, sin tener en consideracion los problemas que pudieran

*e-mail: afcc.314@gmail.com

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surgir en cuanto al significado o validez de tales formulas. Expresiones talescomo 2 + 3i fueron llamadas numeros complejos, y fueron usadas de manerapuramente formal por cerca de 300 anos antes de ser descritas de manera quepuedan ser consideradas satisfactorias para los estandares de hoy en dia.

A principios del siglo 19, Karl Friedrich Gauss y Willian Rowan Hamil-ton, de manera independiente y casi simultaneamente propusieron la ideade definir los numeros complejos como parejas ordenadsa (a, b) de numerosreales, provistos de ciertas propiedades especiales. Esta idea es ampliamenteaceptada hoy en dia y es descrita en el siguiente material.

2. Definiciones y operaciones fundamentales.

Definicion 2.1 Si a y b son numeros reales, el par (a, b) es llamado unnumero complejo, y donde la igualdad, suma y multiplicacion de estospares estan definidas como sigue:

(a) Igualdad: (a, b) = (c, d) significa que a = c y b = d.

(b) Suma: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

(c) Producto: (a, b)(c, d) = (ac bd, ad+ bc).

Los numeros a y B son llamados componentes de (a, b). El primer com-ponente, a, es tambien llamado parte real del numero complejo; la segundacomponente, b, es llamada parte imaginaria.

Teorema 2.2 Las operaciones de suma y multiplicacion de numeros com-plejos satisfacen las leyes asociativa, conmutativa y distributiva. Es decir, six, y, z son numeros complejos arbitrarios, tenemos lo siguiente:

Ley conmutativa: x+ y = y + x y xy = yx.

Ley asociativa: x+ (y + z) = (x+ y) + z y x(yz) = (xy)z.

Ley distributiva: x(y + z) = xy + xz.

Mas aun, existen dos elementos especiales dentro del conjunto de losnumeros complejos:

(0, 0) + (a, b) = (a, b) y (a, b)(1, 0) = (a, b)

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Luego usando la definicion de la multiplicacion, para todo complejo (a, b) 6=0 podemos encontrar otro complejo (c, d) tal que

(a, b)(c, d) = (1, 0)

de hecho, sabemos que esta ecuacion es equivalente a resolver el siguiente parde ecuaciones

ac bd = 1, ad+ bc = 0el cual tiene solucion unica:

c =a

a2 + b2, d =

ba2 + b2

.

La condicion (a, b) 6= 0 asegura que a2 + b2 6= 0 con lo cual el recpro-co (c, d) esta bien definido. Escribimos (a, b)1 o 1

(a,b)para representar al

recproco de (a, b). As pues tenemos:

1

(a, b)=

(a

a2 + b2,b

a2 + b2

).

Con el desarrollo anterior podemos definir la division de numeros com-plejos como sigue:

(c, d)

(a, b)= (c, d) 1

(a, b)= (c, d)

(a

a2 + b2,b

a2 + b2

),

siempre que (a, b) 6= 0.Denotamos por C al conjunto de todos los numeros complejos. Considere-

mos el subconjunto C0 de C consistente de todos los numeros complejos de laforma (a, 0), esto es, todos los numeros complejos con parte imaginaria cero.La suma o el producto de dos miembros de C0 esta de nuevo en el conjuntoC0. De hecho tenemos:

(a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0) y (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

con esto observamos que los elementos de C0 se comportan como si fuerannumeros reales. Usando este argumento podemos definir una funcion biyecti-va f : R C dada por f(a) = (a, 0) para toda a R, con la cual se pruebaque el conjunto de los numeros reales es un subconjunto de los numeroscomplejos, R C, (de hecho podemos afirmar que R es un subcampo deC). As podemos pensar en el sistema de los numeros complejos como unaextension del sistema de los numeros reales.

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3. La unidad imaginaria i.

Definicion 3.1 El numero complejo (0, 1) es denotado por i y es llamado launidad imaginaria.

Es facil probar con la definicion anterior, que el complejo i tiene la propiedadde que su cuadrado (0, 1)2 = i2 = 1 y por tanto x = i es solucion de laecuacion x2 + 1 = 0.

Ahora podemos relacionar la idea de pares ordenados (con respecto a ladefinicion de numeros complejos) con la notacion que usaron los matematicosal inicio del estudio de los numeros complejos. Primero notemos qie de ladefinicion de multiplicacion tenemos (b, 0)(0, 1) = (0, b) y as tenemos que:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1).

por tanto si escribimos a = (a, 0), b = (b, 0) e i = (0, 1), tenemos (a, b) =a+ bi.

Teorema 3.2 Cada complejo (a, b) puede ser expresado en la forma a+ bi.

xto

4. Interpretacion geometrica, modulo y argu-

mento.

Como un numero complejo (x, y) es un par ordenado de numeros reales,este puede ser representado geometricamente por un punto en el plano, o poruna flecha o un vector geometrico del origen al punto (x, y), como lo muestrala figura siguiente:

En este contexto, el plano xy es usualmente referido como el plano com-plejo. El eje x es llamado el eje real; el eje y es el eje imaginario. Es usualintercambiar el uso de las palabras numero complejo y punto. As nosreferiremos al punto z = a+ ib como aquel correspondiente al punto (a, b) enel plano xy asociado al complejo z.

Las operaciones de suma y resta de numeros complejos tiene una inter-pretacion geometrica simple. si dos complejos z1 y z2 son representados porflechas del origen a z 1 y z2, entonces la suma z1 + z2 esta determinada porla ley de los paralelogramos: La flecha del origen a z1 + z2 es la diagonal del

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Figura 1: Representacion geometrica

paralelogramo determinado por 0, z1 y z2 como se ilustra en el ejemplo dela figura siguiente:

La otra diagonal del paralelogramo esta relacionada con la diferencia dez1 y z2. La flecha de z1 a z2 es paralela e igual en longitud a la flecha de 0 az2 z1, la flecha en la direccion opuesta, de z2 a z1, esta relacionada con ladiferencia z1 z2.

Si (x, y) 6= (0, 0) podemos expresar x e y en coordenadas polares, paraello bastara observar detenidamente la figura 1:

x = rCos, y = rSen

y con ello obtenemos:

x+ iy = r(Cos + iSen).

el numero r, el cual representa la distancia de (x, y) al origen, es llamadoel modulo o valor absoluto de x + iy y es denotado por |x + iy|, as puestenemos:

|x+ iy| =x2 + y2.

El angulo polar es llamado el argumento de x+ iy. Nosotros solo defin-imos a como un argumento y no como el argumento, debido a que para unpunto (x, y) el angulo esta determinado solamente hasta multiplos de 2pi.Algunas veces es deseable asignar un unico argumento a un numero complejo,esto se puede realizar restringiendo a pertenecer a un intervale semi-abierto

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Figura 2: Suma y resta de Complejos

de longitud 2pi. Usualmente usamos los intervalos (pi, pi], [0, 2pi). Denotamoseste por arg(x+ iy).

Como el valor absoluto de un numero complejo z es simplemente la lon-gitud de un segmento de linea, no de sorprendernos el hecho de que tiene lasmismas propiedades que el valor absoluto de los numeros reales: por ejemplotenemos

|z| > 0 si z 6= 0.|z1 z2| = |z2 z1|.|z1 + z2| |z1|+ |z2|.|z1z2| = |z1||z2|.| z1z2| = |z1||z2| .

Definicion 4.1 Si z = x + iy, el conjugado complejo de z es el numerocomplejo z = x iy.Geometricamente, z representa la refleccion de z con respecto al eje real x.La definicion de conjugado implica que

z1 + z2 = z1 + z2.

z1z2 = z1z2.

(z1/z2) = z1/z2.

zz = |z|2.

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5. Exponenciales complejos

Deseamos extender la definicion de ex de tal forma que la expresion tengasentido cuando x sea remplazada por un numero complejo z. Deseamos queesta extension sea tal que la ley de los exponentes eaeb = ea+b siga siendovalida para todos los complejos a y b. Ademas tambien deseamos que ez

coincida con la exponencial usual cuando z4 sea real.

Definicion 5.1 Si z = x + iy, definimos ez como el complejo dado por laecuacion

ez = ex(Cosy + iSeny).

Teorema 5.2 Si a y b son complejos, tenemos

eaeb = ea+b

Teorema 5.3 Cada complejo z 6= 0 puede ser expresado en la forma

z = rei

donde r = |z| y = arg(z) + 2pin siendo n un entero. Esta representacion esllamada la forma exponencial de z.

Esta representacion de los numeros complejos en forma exponencial esespecialmente util en relacion con la multiplicacion y division de los numeroscomplejos. Por ejemplo, si z1 = r1e

i y z2 = r2ei, tenemos

z1z2 = r1eir2e

i = r1r2e+.

Este desarrollo resulta de gran utilidad para demostrar un teorema muyconocido: El teorema de Moivre:

Teorema 5.4 Si n es un entero positivo, entonces

(Cos + iSen )n = Cos n + iSen n

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