SISTEMA BINARIO

Vamos a estudiar el sistema binario de forma sencilla y fcil de entender para todo el mundo.

Actualmente la mayora de las personas utilizamos el sistema decimal (de 10 dgitos) para realizar operaciones matemticas. Este sistema se basa en la combinacin de 10 dgitos (del 0 al 9). Construimos nmeros con 10 dgitos y por eso decimos que su base es 10. Pero...

Qu es el Sistema Binario?

El sistema binario es un sistema de numeracin en el que los nmeros se representan utilizandolas cifras 0 y 1, es decirsolo 2 dgitos.Esto en informtica y en electrnica tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensin lo que hace que su sistema de numeracin natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. Tambin se utiliza en electrnica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado).

Se basa en la representacin de cantidades utilizando los dgitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (nmero de dgitos del sistema). Cada dgito de un nmero en este sistema se denominabit(contraccin debinary digit).

Por ejemplo el nmero en binario 1001 es un nmero binario de 4 bits. Recuerdacualquier nmero binario solo puede tener ceros y unos.

Pasar un nmero Decimal a su equivalente en Binario

Segn el orden ascendente de los nmeros en decimal tendramos un nmero equivalente en binario:

El 0 en decimal sera el 0 en binario El 1 en decimal sera el 1 en binario El 2 en decimal sera el 10 en binario (recuerda solo combinaciones de 1 y 0) El 3 en decimal sera el 11 en binario El 4 en decimal sera el 100 en binario Y as sucesivamente obtendramos todos los nmeros en orden ascendente de su valor, es decir obtendramos elSistema de Numeracin Binarioy su equivalente en decimal. Pero que pasara si quisiera saber el nmero equivalente en binario al 23456 en decimal. Tranquilo, hay un mtodo para convertir un nmero decimal en binario sin hacerlo uno a uno.

Para hacer la conversin de decimal a binario, hay que ir dividiendo el nmero decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la divisin es par y un 1 si es impar). Para sacar la cifra en binario cogeremos el ltimo cociente (siempre ser 1) y todos los restos de las divisiones de abajo arriba, orden ascendente.

Ejemplo queremos convertir el nmero 28 a binario

28 dividimos entre 2 : Resto 0 14 dividimos entre 2 : Resto 0 7 dividimos entre 2 : Resto 1 3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1

Entonces el primer nmero del nmero equivalente en binario sera el cociente ltimo que es 1, el segundo nmero del equivalente el resto ultimo, que tambin es 1, la tercera cifra del equivalente sera el resto anterior que es 1, el anterior que es 0 y el ltimo nmero de equivalente en binario sera el primer resto que es 0 quedara el 11100

Conclusin el nmero 28 es equivalente en binario al 11.100.

Aqu lo vemos con las operaciones de forma ms sencilla de entender:

Vemos como para sacar el equivalente se coge el ltimo cociente de las operaciones y los restos que han salido en orden ascendente (de abajo arriba) 11100. el Nmero 2 del final en subndice es para indicar que es un nmero en base 2, pero no es necesario ponerlo.

Veamos otro ejemplo el nmero 65 pasarlo a binario.

Pasar un Nmero Binario a su Equivalente en Decimal

Pues ahora al revs. Que pasara si quisiera saber cual es el nmero equivalente en decimal del nmero binario por ejemplo 1001? Pues tambin hay mtodo.

PASO 1 Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0 (muy importante desde 0 no desde 1). PASO 2 Ese nmero asignado a cada bit o cifra binaria ser el exponente que le corresponde. PASO 3 Cada nmero se multiplica por 2 elevado al exponente que le corresponde asignado anteriormente. PASO 4 - Se suman todos los productos y el resultado ser el nmero equivalente en decimal

Vamos a verlo grficamente que ser ms sencillo de entender. Ejemplo el nmero 1001 queremos saber su equivalente en decimal. Primero asignamos exponentes:

Empezamos por el primer producto que ser el primer nmero binario por 2 elevado a su exponente, es decir 1 x 23. El segundo y el tercer productos sern 0 por que 0 x 22 y 0 x 21su resultado es 0 y el ltimo producto ser 1 x 20que ser 1,OJO cualquier nmero elevado a cero es 1, luego 1 x 20es 1 (no confundir y poner 0).

Ya estamos en el ltimo paso que es sumar el resultado de todos estos productos

1 x 23+ 0 x 22+ 0 x 21+ 1 x 20= 8 + 0 + 0 + 1 = 9

El equivalente en decimal del nmero binario 1001 es el 9.

Veamos otro ejemplo solo grficamente para que lo entiendas definitivamente. En este caso la asignacin del exponente a cada nmero ya lo hacemos directamente en los productos, que es como se suele hacer normalmente.

Otro ejemplo con todos los datos:

Operaciones Binarias

Las operaciones binarias que se pueden realizar con nmero binarios son las mismas que en cualquier otro sistema, suma, resta, multiplicacin y divisin.

Suma de nmeros Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Un ejemplo con ms cifras:

100110101 + 11010101 1000001010

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuacin se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

Resta de Nmeros Binarios

Las restas bsicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = Es una resta imposible en binario por que no hay nmeros negativos.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente. Veamos algunos ejemplos:

Dos ejemplos:

10001 11011001 -01010 -10101011 01111 00101110

Multiplicacin de Nmeros Binarios

0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: 10110 x 1001 10110 00000 000001011011000110

Divisin de nmeros binarios

Igual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).

Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal

SISTEMAS DE NUMERACINbinario, octal y hexadecimal

Sistemas de numeracinSistema de numeracin decimalSistema de numeracin binarioConversin entre nmeros decimales y binariosEl tamao de las cifras binariasConversin de binario a decimalSistema de numeracin octalConversin de un nmero decimal a octalConversin octal a decimalSistema de numeracin hexadecimalConversin de nmeros binarios a octales y viceversaConversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversa

Sistemas de numeracinUn sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos. Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porqueun smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra.1. Sistema de numeracin decimal:El sistema de numeracin que utilizamos habitualmente es eldecimal,que se compone de diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valordependiendo de la posicinque ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 10, nmero que coincide con la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el nmero528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5*102+ 2*101+ 8*100o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528

En el caso de nmeros con decimales,la situacin es anloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los dgitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el nmero8245,97se calculara como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 dcimos + 7 cntimos8*103+ 2*102+ 4*101+ 5*100+ 9*10-1+ 7*10-2, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

Sistema de numeracin binario.El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, elcero(0) y eluno(1).En una cifra binaria, cada dgito tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor de cada posicin es el de una potencia debase 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros.De acuerdo con estas reglas, el nmero binario1011tiene un valor que se calcula as:

1*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20, es decir:8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos as:

10112= 1110

2. Conversin entre nmeros decimales y binariosConvertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizardivisiones sucesivas por 2y escribir los restos obtenidos en cada divisinen orden inversoal que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el nmero7710haremos una serie de divisiones que arrojarn los restos siguientes:77 : 2 = 38Resto:138 : 2 = 19Resto:019 : 2 = 9Resto:19 : 2 = 4Resto:14 : 2 = 2Resto:02 : 2 = 1Resto:01 : 2 = 0Resto:1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710= 10011012

Ejercicio 1:Expresa, en cdigo binario, los nmeros decimales siguientes:191, 25, 67, 99, 135, 276

i. El tamao de las cifras binariasLa cantidad de dgitos necesarios para representar un nmero en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del prrafo anterior, para representar el nmero77, que en el sistema decimal est compuesto tan slo por dos dgitos, han hecho falta siete dgitos en binario.Para representar nmeros grandes harn falta muchos ms dgitos. Por ejemplo, para representar nmeros mayores de 255 se necesitarn ms de ocho dgitos, porque 28= 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el nmero ms grande que puede representarse con ocho dgitos.Como regla general, conndgitos binarios pueden representarse un mximo de2n, nmeros. El nmero ms grande que puede escribirse conndgitos es una unidad menos, es decir,2n 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de16nmeros, porque24= 16y el mayor de dichos nmeros es el15, porque24-1 = 15.

Ejercicio 2:Averigua cuntos nmeros pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cul es el nmero ms grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:Dados dos nmeros binarios:01001000y01000100Cul de ellos es el mayor? Podras compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?3. Conversin de binario a decimalEl proceso para convertir un nmero del sistema binario al decimal es an ms sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el nmero binario10100112a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*26+ 0*25+ 1*24+ 0*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20= 8310100112= 8310

Ejercicio 4:Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Sistema de numeracin octalEl inconveniente de la codificacin binaria es que la representacin de algunos nmeros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que resulten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fcil convertir un nmero binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeracin octal, los nmeros se representan medianteochodgitos diferentes: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dgito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el nmero octal2738tiene un valor que se calcula as:2*83+ 7*82+ 3*81= 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738=149610

4. Conversin de un nmero decimal a octalLa conversin de un nmero decimal a octal se hace con la misma tcnica que ya hemos utilizado en la conversin a binario, mediante divisiones sucesivaspor 8y colocando los restos obtenidosen orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el nmero decimal12210tendremos que hacer las siguientes divisiones:122 : 8 = 15 Resto:215 : 8 = 1 Resto:71 : 8 = 0 Resto:1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

12210= 1728Ejercicio 5:Convierte los siguientes nmeros decimales en octales:6310, 51310, 11910

5. Conversin octal a decimalLa conversin de un nmero octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posicin en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el nmero2378a decimal basta con desarrollar el valor de cada dgito:2*82+ 3*81+ 7*80= 128 + 24 + 7 = 15910

2378= 15910

Ejercicio 6:Convierte al sistema decimal los siguientes nmeros octales:458, 1258,6258

Sistema de numeracin hexadecimalEn el sistemahexadecimallos nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es lgico, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del nmero hexadecimal1A3F16:

1A3F16= 1*163+ A*162+ 3*161+ F*1601*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16= 671910

Ejercicio 7:Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales:2BC516, 10016, 1FF16

Ensayemos, utilizando la tcnica habitual de divisiones sucesivas, la conversin de un nmero decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del nmero173510ser necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108 Resto:7108 : 16 = 6 Resto:Ces decir,12106 : 16 = 0 Resto:6De ah que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el nmero en hexadecimal:173510= 6C716

Ejercicio 8:Convierte al sistema hexadecimal los siguientes nmeros decimales:351910, 102410, 409510

6. Conversin de nmeros binarios a octales y viceversaObserva la tabla siguiente, con los siete primeros nmeros expresados en los sistemas decimal, binario y octal:DECIMALBINARIOOCTAL

00000

10011

20102

30113

41004

51015

61106

71117

Cada dgito de un nmero octal se representa con tres dgitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un nmero entre estos sistemas de numeracin equivale a "expandir" cada dgito octal a tres dgitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dgito octal.

Por ejemplo, para convertir el nmero binario1010010112a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:1012= 580012= 180112= 38y, de ese modo:1010010112= 5138

Ejercicio 9:Convierte los siguientes nmeros binarios en octales:11011012, 1011102, 110110112, 1011010112

La conversin de nmeros octales a binarios se hace, siguiendo el mismo mtodo, reemplazando cada dgito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el nmero octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dgitos:78= 111258= 101208= 0002y, por tanto:7508= 1111010002

Ejercicio 10:Convierte los siguientes nmeros octales en binarios:258,3728, 27538

7. Conversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversaDel mismo modo que hallamos la correspondencia entre nmeros octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dgito hexadecimal y cuatro dgitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

DECIMALBINARIOHEXADECIMAL

000000

100011

200102

300113

401004

501015

601106

701117

810008

910019

101010A

111011B

121100C

131101D

141110E

151111F

La conversin entre nmeros hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dgito hexadecimal a cuatro dgitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el nmero binario 1010011100112bastar con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:10102= A1601112= 71600112= 316y, por tanto:1010011100112= A7316

En caso de que los dgitos binarios no formen grupos completos de cuatro dgitos, se deben aadir ceros a la izquierda hasta completar el ltimo grupo. Por ejemplo:1011102= 001011102= 2E16

Ejercicio 11:Convierte a hexadecimales los siguientes nmeros binarios:10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

La conversin de nmeros hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dgito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el nmero hexadecimal1F616hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

116= 00012F16= 11112616= 01102y, por tanto:1F616= 0001111101102

Ejercicio 12:Convierte a binario los nmeros hexadecimales siguientes:7A5D16, 101016, 8F8F16