Unidad 1: funciones límites o continuidad

Funciones: una función es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre 2 o más cantidades. Cuando una variable depende de

otra, decimos que hay una función. La variable que depende de otra se llama

variable dependiente y por lo tanto la otra se llama variable independiente.

Ejm: F(x)= y F(x)= x2-3x+2 F (y)=y2-3y+2

Dominio Rango a partir de una gráfica: Generalmente se

acostumbran hallar el dominio de una función a partir de métodos analíticos, las

cuales aunque preciso sea, pueden llevar impresitas dificultades algebraicas.

El dominio es el siempre el eje de las abscisas (eje de x) y el rango es el

eje de las coordenadas (eje de y) según el sistema de coordenadas (xy).

Tipos de funciones: con el propósito de establecer las bases para efectuar

el proceso de graficación se presenta la mixta de ciertas funciones

especificando en algunos casos sus principales características.

Los tipos de funciones se clasifican en 2: algebraicas y trascendentes

1. Funciones Algebraicas: se tienen

A. Funciones constantes

B. Función lineal o a fin, polinómica de primer grado

C. Función potencial (cuadrático y cubica)

D. Función valor absoluto

E. Función radical

F. Función racionales

2. Funciones Trascendentes: se tienen

A. Funciones Exponenciales

B. Funciones Logarítmicas

C. Funciones Trigonométricas

D. Funciones Inversas

Límites: (Lim)

Sea F. una función definida de cada número de algún intervalo abierto

que contiene a (a) excepto posiblemente en el número de (a). el límite de F(x)

conforme a x se aproxima a (a) es “L” lo que se escribe como:

F(x)= cualquier función; L= cualquier número; X= variable; ->= tiende; a=

número real

La natación matemática de límite está referida al valor que toma una

función. Cuando su variable tiende a tomar el valor asignado.

Ejm:

Variable: la variable puede acercarse al valor 1 tomando valores menores

que uno a la izquierda de este, por ejemplo podemos asignar los siguientes

valores.

X 0,1 0,3 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999

F(x) 1,11 1,39 1,75 2,56 2,71 2,97 2,999

En este primer ensayo de valores observamos que en la medida X

tiende a 1 (x->1) (se aproximó a 1) F(x) tiende a tomar el valor de 3, esto ocurre

a la izquierda de uno. Consideramos valores de X que se toman a la derecha

de uno.

X 1,999 1,99 1,7 1,5 1,1 1,01 1,001

F(x) 6,98 6,94 5,58 4,75 3,31 3,03 3,03

Podemos observar en la tabla que a la medida tiende X a 1 por la

derecha.

En ambos casos concluimos que el valor que tiene como límite F(x)

cuando X se aproxima a 1 es 3. Simbólicamente se expresa:

Condiciones de Límite Laterales

Dada una función F(x) y calculamos el límite cuando X tiende a F(x), no

considerado exactamente el límite en (a) si no valores de X que se aproximan a

(a+) por la derecha es decir los valores que toma X>a. Expresemos ese límite

de la manera siguiente este límite puede existir o no.

Ejm:

Caso 1: . En este ejemplo a 4(x>4), lo que nos conduce a

una raíz de índice par con una cantidad su radical menor que cero es decir (4-

x<0) y que las raíces de índice por solo existe 4-x es mayor a cero (4-x>0) por

lo que el límite ->

El límite lateral por la izquierda se expresa de la manera siguiente Lim

cuando x->a- F(x) significa que la x se aproxima a (a-) con valores menores es

decir x<a

Caso 2: considerando el ejemplo anterior tenemos que

este límite existe porque se cumple que para cualquier valor de x<4

con 4-x>o resulta un número real.

Existen 2 tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad de primera especie: es cuando los límites laterales (por la

izquierda o por la derecha) por lo que existe 2 sud casos.

A. De tipo salto o esencial: en este caso no existe el límite y

los límites laterales son diferentes

B. De removible o Evitable: es cuando el límite existe

(Cuando no hay salto) y los límites laterales son iguales

2. Discontinuidad de segunda especie: ocurre cuando uno de los límites

laterales es infinito 2da especie -> ∞

Límites de funciones que presentan indeterminación

Tipo 1 Indeterminación de la forma dada F(x) y G (x)

Se presentan 2 casos

Caso a. Se resuelve factorizando o aplicando productos notables del

numerador o denominador (hacer matemáticamente) y luego simplificar.

Caso b. En caso que aparezca expresiones radicales (raíces) tanto en el

numerador o denominador se debe aplicar la conjugada.

Tipo 2 indeterminaciones de la forma :

Se presenta solo 1 caso, se divide el numerador y el denominador por la mayor

potencia de la x

Tipo 3 indeterminación de la forma 0.∞; ∞.∞; ∞+- ∞

Existen 2 casos

Caso a. Efectuar las operaciones matemáticas, factorizar o hacer factor

común y luego simplificar

Caso b. En caso que aparezca expresiones radicales, aplicar la

conjugada