UNIDAD 1

INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

ABIGAIL CRIOLLO QUINTO SEMESTRE “A”

GRÁFICA DE

DESIGUALDADES

EJERCICIO N° 1

2X1 + 4X2 ≤ 12

1) Convertir la desigualdad en

igualdad 2X1 + 4X2 = 12

2) Graficar una recta

Recta.- representa una ecuación de 1° Curva.- representa una ecuación de 2°

X1 X2 0 3 6 0

3) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)

4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad 2(0)+4(0) ≤ 12

0 < 12 VERDADERO Regresando al paso 3) Si escojo otro punto de ensayo por ejemplo P (6,4)

2(6)+4(

4) ≤ 12

28 ≤ 12

FALSO



EJERCICIO N°2

3X1 + 6X2 = 17

X1 X2 0 2.8 5.7 0

P (0,0) 3(0)+6(0) ≥17

0 ≥ 17 FALSO

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO Nº 3 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones

y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías

y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus

ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para

revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo

directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300.

Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y

de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de

liquidaciones mensuales disponible es de 60.

Solució

n



ESTRUCTURA DEL MODELO PL

1. FUNCION OBJETIVO.- Maximizar

2. VARIABLES DE DECISIÓN.- son las incógnitas :

liquidaciones X1 y auditorías X2

3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES.- Se dispone de 800 horas de trabajo y 320 de revisión y un máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60

4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar

valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

F.O MAXIMIZAR:

Z= 100(X1) +300(X2)

8X1+40X2 ≤ 800

S.a 5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60

Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0

8X1+40X2 = 800

X1 X2

0 20

100 0

8(0)+40(0) ≤ 800

0 ≤ 800 VERDADERO



5X1+10X2 = 320

X1 X2 0 32 64 0

5(0)+10(0) ≤ 320

0 ≤ 320 VERDADERO

X1 = 60

PUNTO X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000

Para calcular los puntos C y D por el método de eliminación

8X1+40X2 = 800 5X1+10X2 = 320 (-4)

8X1 +40X2 = 800 -20X1-400X2 = -1280

-12X1 = - 480

X1 = 40



8(40) + 40X2 = 800

40X2 = 800 -320

X2 = 12

X1 = 60

5(60) + 10X2 = 320

10X2 = 320 – 300

X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2

Variables Óptimas (VO): X1 = 40 Restricciones Inactivas: (RI): 3

X2 = 12

COMPROBACIÓN

1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800

8(40)+40(12) ≤ 800

800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 +

h1 = 800 8(40) + 40 (12) + h1 = 800

800 + h1 = 800

h1 = 0 2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320

5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320

320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320

5(40) + 10(12) + h2 = 320

200 + 120 + h2 = 320

h2 = 0

3) X1 ≤ 60

40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60

40 + h3 = 60

h3 = 20

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600. Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes.



CONCEPTUALIZACIONES

Maximización: Representa el punto más lejos del origen. Minimización: Representa el punto más cercano al origen.

Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones.

RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- Aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- Aquellas rectas que no forman parte de la solución.

HOLGURA Y EXCEDENTE

Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad ; es decir deben ser diferentes o mayores que cero.

EJERCICIO Nº 4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van

a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es

necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de

electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el

de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20

mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros

por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?

Formulación:

F.O. MAXIMIZAR: Z= 200(X1) +250(X2)



VARIABLES: X1= número de mecánicos

X2= número de electricistas

X1≥ X2

X1≤ 2X2

Lim. X2≤ 30

X1≤ 20

C.T X1, X2 ≥ 0

X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

X1

X2

X1 X2

0 0 0 0

5 5 10 5

10 10 20 10

15 15 30 15

20 20 40 20



PUNT OS X1 X2 Z

B 20 10 6500

C 20 20 9000

SO. Z= 9000

V.O. RA=1, 4

X1= 20 RI= 2, 3

X2=20

COMPROBACIÓN

1) X1≥ X2 20≥20 Hay equilibrio

2) X1≤ 2X2 20 ≤ 2(20)

20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2

20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40

H1 = 20

3) X2≤ 30

20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 =

30

H2 = 10

4) X1≤20



EJERCICIO Nº 5

Solución única

Función objetivo:

MINIMIZAR Z = 2X + 3Y

-3x+2y ≤ 6

s.a X +y ≤ 10.5 -x+2y ≥ 4

CONDICIÓN TÉCNICA X,Y ≥ 0

PUNTOS X Y Z A 0 2 6



EJERCICIO Nº 6 Solución múltiple Función objetivo: MAXIMIZAR Z = 5/2X1 + X2

3x1+5x2 <=15

SA 5X1 +2x2<=10

CONDICIÓN TÉCNICA X1;x2 ≥ 0

1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10

X1 X2

0 5

2 0

S.O Z=6 RA=3

RI=1, 2

V.O

X =0

Y= 2

COMPROBACIÓN:

1) -3x+2y ≤ 6

-3(0)+2(2) ≤ 6

4 ≤ 6 HAY HOLGURA-3(0)+2(2)+H1=6

4+H1=6

H1=3

2) X +y ≤ 10.5

0+2 ≤ 10.5

2 ≤ 10.5 HOLGURA(0)+2+H2=10.5

2+H2=10.5

H2=8.5

3) -x+2y ≥ 4

-0+2(2) ≥ 4

4 ≥4

X1 X2

0 3

5 0

0 ≤ 15 0 ≤ 10

Verdad Verdad



SO Z=5 RA=1;2

V.O

X1 =20/19 X2= 45/19

POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS

X1 DESDE 20/19HASTA 45/19

20/19 ≤ X1 ≤ 2

X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19

DONDE Z = 5

Para calcular el Punto C

3x1+5x2 =15 (-2)

5X1 +2x2=10(5)

-6x1-10x2 =-30 25X1 +10x2=50 19x1 0 =20

X1=20/19

3(20/19)+5x2 =15 60/19+5x2 =15

X2 =45/19

PUNTO C= (20/19; 45/19)



COMPROBACIÓN:

1) 3x1+5x2 ≤ 15

3(20/19)+5(45/19) ≤ 15 15 ≤ 15

2) 5X1 +2x2 ≤ 10

5(20/19)+2(45/19) ≤ 10 10 ≤10

EJEMPLO # 7

NO ACOTADO.- una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente. Función objetivo:

MAXIMIZAR Z= 5000A + 4000B

A+B>=5

SA A-3B<=0

30A+10B>=135

CONDICIÓN TÉCNICA A;B ≥ 0

1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135

A=3B

A

B

A B

A B

0

13.5

3

1

0 5

4.5

0

15

5

5

0

0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135

Falso Verdad Falso

No

acotada

no hay

solución



EJERCICIO Nº 8

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas

pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en

contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1

de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas,

1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de

distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá

que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al

mínimo la distancia de lo solicitado. FORMULACIÓN:

FO. Z = 150A + 300B RESTRICCIONES 8A +2B ≥ 16

SA A + B ≥ 5

2A+7B ≥ 20

CONDICIÓN TÉCNICA A, B ≥ 0

1) 8A +2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A+7B ≥ 20

A

B

A

B A

B

0 8 0 5 10 0

2 0 5 0 0 2,86 = 3

0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20

Falso Falso Falso



COMPROBACIÓN

EJERCICIO Nº9

Problemas no factibles.- tienen un conjunto factible vacío

MAXIMIZAR Z= 3000E + 4000F

E +F ≤ 5 E -3F ≤ 0

SA 10E + 15F

≤ 150 20E

+ 10F ≤ 160 30E +10F ≥ 150

CONDICIÓN TÉCNICA.- E,F ≥0

PUNTOS X1 X2 Z B 1 4 1350 C 3 2 1050

SO

Z= 1050 RA= 2,3

VO RI= 1

A= 3

B= 2



No tienen solución

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Education

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