UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL PASO DEMONTAÑA

Trabajo de GradoProyecto Curricular de Matemáticas

Javier David Moreno Paris

Director: Arturo Sanjuán

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2016

Dedicado a mis padres

Agradecimientos

Quiero agradecer principalmente al profesor Arturo Sanjuán, ha sido un excelente mentor, del cualhe aprendido mucho en estos 2 últimos años y me ha colaborado en gran medida en mi formaciónacadémica, su ayuda y colaboración en este trabajo han sido fundamentales.

También quiero agradecer a mis padres, que me han dado todo lo necesario para llegar a dondeme encuentro hoy, junto con su apoyo incondicional. A mi hermano Manuel que siempre me haayudado en todo y a mi novia Julieth que estuvo a mi lado durante toda la realización de estetrabajo.

Por último quiero agradecer a la Universidad Distrital porque fue la primera en darme la oportu-nidad de empezar mis estudios de educación superior, los cuales se culminan con este trabajo.

I

Índice general

INTRODUCIÓN IV

1. PRELIMINARES 1

1.1. Notación y Teoremas Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2. TEOREMA DEL PASO DE MONTAÑA 49

2.1. Condiciones Palais-Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2. Principio Variacional de Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.1. Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.2. Semicontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2.3. Enunciado y Demostración del Principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3. El Teorema Del Paso De Montaña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

II

3. UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL PASO DE MONTAÑA 98

3.1. El Resorte con Forzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2. El Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3. Solución al Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

CONCLUSIONES 106

BIBLIOGRAFÍA 109

III

INTRODUCIÓN

Desde la aparición de un incipiente concepto de función en el siglo XVII, la matemática ha servidopara modelar situaciones físicas o abstractas en todos los campos, desde las ciencias naturaleshasta la economía y muchas veces en esas situaciones ha aparecido la necesidad de optimizar estosmodelos. Eso llevó a los matemáticos, a preguntarse cómo crear un método de encontrar máximosy mínimos, pero las herramientas matemáticas de la época eran muy escasas y la búsqueda deeste método se convertiría en uno de los principales problemas abiertos de la matemática de todoel siglo XVII.

Este problema ha sido trabajado por muchos. Fermat (1601-1665) dio el primer método paracalcular máximos y mínimos pero no fue publicado si no hasta después de su muerte [Jabri, 2003,pag. 7]. La necesidad de responder esta pregunta de ¿cómo hallar máximos y mínimos?, fue unode los motores para la creación de la derivada y el cálculo diferencial. Esta teoría que fue creadapor la colaboración de muchos (Fermat, Galileo, Cavalieri, Barrow, etc) y que una primera ideadel cálculo fue desarrollada por Newton (1660) y Leibniz (1670) y continuada por muchos másmatemáticos hasta el día de hoy [Wussing, 1998, pag 137]. Con el cálculo diferencial y el cálculovectorial el problema de hallar máximos y mínimos se volvió relativamente fácil para una gamaamplia de funciones.

Con la aparición de las matemáticas modernas más precisamente con el análisis funcional, losespacios de Banach, y la derivada de Fréchet, encontrar puntos y valores críticos (máximos ymínimos) entró a un nuevo nivel: la dimensión infinita. Encontrar dichos puntos y valores seconvirtió en un nuevo campo de estudio de las matemáticas conocido como cálculo variacional, perouna nueva rama de la matemáticas puede no ser de interés para algunos matemáticos solo por ser

IV

más general e incluso puede llegar a ser olvidada. Por esta razón son importantes las aplicaciones.El cálculo variacional (en dimensión infinita) encontró rápidamente aplicaciones en las ecuacionesdiferenciales y por ende esta teoría puede ser útil a todos los campos de la ciencia[Jabri, 2003,pag. 9-11].

En este trabajo mostraremos como el cálculo variacional es utilizado para garantizar la existenciade soluciones (débiles) de ecuaciones diferenciales generales que los métodos básicos no puedenresolver, lo haremos a partir del El Teorema Del Paso De Montaña demostrado por AntonioAmbrosetti y Paul Rabinowitz en 1973, Este es un extraordinario resultado y es una de las puntasangulares del cálculo variacional y la teoría de minimax [Jabri, 2003, pag. 12].

El trabajo consistirá en 3 capítulos. En el primer capítulo mostraremos los preliminares necesariospara nuestro trabajo, esto será algunos conceptos y teoremas de la teoría de la medida y elanálisis funcional. En este capítulo no mostraremos la demostración de la mayoría de los teoremasutilizados, para no extendernos demasiado, pero presentaremos ejemplos para familiarizar al lectorcon estas teorías y a su vez se demostrarán algunos teoremas que su demostraciones no resultenmuy largas. En el segundo capítulo mostraremos los conceptos y teoremas necesarios para enunciary demostrar el Teorema Del Paso de Montaña. Por último, en el tercer capítulo mostraremos comoaplicar el Teorema Del paso De Montaña a las ecuaciones diferenciales.

V

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

1.1. Notación y Teoremas Previos

Para la lectura de este texto se asumen conocimientos generales de análisis, topología y de lateoría de la medida por parte del lector, principalmente la integral de Lebesgue.

Denotamos con (X,X, µ) a un espacio de medida, o mas brevemente X donde X es la σ-álgebra.Los elementos de X son llamados conjuntos medibles y µ es la medida sobre ese espacio. Notamoscon M(X,X) al conjunto de funciones medibles a valor real. Tiene sentido definir M+(X,X)

como el conjunto de funciones medibles no negativas y serán de suma importancia los siguientesteoremas tomados de [Bartle, 2014, pag. 31] y [Bartle, 2014, pag. 44]

Teorema 1.1 (Teorema de la Convergencia Monótona). Si (fn) es una sucesión monótonamentecreciente de funciones en M+(X,X) que convergen a f c.t.p. X, entonces∫

fdµ = lım

∫fndµ

Teorema 1.2 (Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue). Sea (fn) una sucesiónde funciones integrables que convergen a f c.t.p. X. Si existe una función integrable g tal que|fn(x)| ≤ g(x) para casi todo n y para casi todo x ∈ X, entonces f es integrable y∫

fdµ = lım

∫fndµ

1

Este teorema es de mucha importancia y es más fuerte que el teorema de integración (en el sentidode Riemann) término a término para sucesiones de funciones uniformemente convergentes. Másprecisamente dada una sucesión de funciones (fn) reales Riemann-integrable que convergen uni-formemente a una función f , entonces f es Riemann-integrable y

∫fdx = lım

∫fndx. Ilustramos

lo anterior con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Si (fn) es una sucesión en L(X,X, µ) que converge uniformemente en X a una funciónf y si µ(X) <∞ entonces ∫

fdx = lım

∫fndx.

Demostración. Por la convergencia uniforme tenemos que existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces

|fn(x)− f(x)| < 1.

Por tanto |f(x)| < 1 + |fN (x)| para todo x, lo que implica que∫|f(x)|dµ <

∫(1 + |fN (x)|)dµ

=

∫1dµ+

∫|fN (x)|dµ

= µ(X) +

∫|fN (x)|dµ <∞.

Por ende f es integrable, por otro lado también se tiene que |fn(x)| < 1 + |f(x)| para n ≥ N ycomo 1 + |f(x)| es integrable por el Teorema de la Convergencia Dominada obtenemos∫

fdx = lım

∫fndx.

Ejemplo 2. Existe una sucesión de funciones (fn) de valor real que convergen a una función f

c.t.p.X tal que ∫fdµ = lım

∫fndµ

pero la convergencia no es uniforme

Demostración. Tomemos a X = [0, 1] con la medida usual defínase (fn) como sigue

fn(x) =

0 si x ∈ [0, 1

2)

nx− n2 si x ∈ [1

2 ,12 + 1

n)

1 si x ∈ [12 + 1

n , 1]

2

Es claro que fn(x) es continua para todo n y además de eso converge puntualmente c.t.p X a

f(x) =

0 si x ∈ [0, 1

2)

1 si x ∈ [12 , 1].

Ahora, la función g(x) = 1 es integrable sobre X y además |fn(x)| ≤ g(x) para todo n y paratodo x ∈ X así por el teorema de la convergencia dominada∫

fdµ = lım

∫fndµ

sin embargo la convergencia no es uniforme puesto que si lo fuera como fn es continua para todon se tendría que f es continua, lo cual no es cierto.

También denotamos a (E, ‖ · ‖) como un espacio normado, en caso de ser completo se le llamaespacio de Banach y denotamos a (E∗, ‖ · ‖E∗) su espacio dual topológico o mas brevemente suespacio dual, el cual consiste en todos los funcionales lineales continuos (acotados), Φ : E → R, ytiene norma

‖Φ‖E∗ = supx∈E−0

|Φ(x)|‖x‖

.

El dual de cualquier espacio normado, con esta norma, es siempre un espacio de Banach. Más aún,si definimos a L(E,F ) como el conjunto de todos los operadores lineales continuos, Φ : E → F y(F, ‖ · ‖1) un espacio normado, estos operadores tienen norma

‖Φ‖L(E,F ) = supx∈E−0

‖Φ(x)‖1‖x‖

y de esta manera (L(E,F ), ‖ · ‖L(E,F )) es siempre un espacio normad, además es de Banach si Fes completo.

Necesitaremos de un teorema de gran importancia del análisis funcional, conocido como el teoremade Hahn–Banach. Este teorema tiene varias versiones. Nosotros utilizaremos una consecuencia dela forma análitica del teorema de Hahn–Banach sobre espacios normados. Tomado de [Brezis, 2010,pag. 3], que se enuncia de la siguiente manera.

Teorema 1.3 (Teorema de Hahn–Banach). Sea G un subespacio vectorial de E. Si Φ : G → Res un funcional lineal continuo, entonces existe Φ ∈ E∗ una extension de Φ tal que

‖Φ‖E∗ = supx∈G−0

|Φ(x)|‖x‖

= ‖Φ‖G∗ .

Existe una versión menos general del teorema de Hahn–Banach,sin embargo éste asegura en quecasos la extensión es única y es tomada de [Kreyszig, 1989, pag. 100]. Como ejercicio lo demos-traremos.

3

Proposición 1.1. Sea G un subespacio vectorial de E y Sea Φ : G → R un funcional linealcontinuo, entonces Φ tiene una única extensión Φ ∈ G∗ tal que

‖Φ‖G∗ = ‖Φ‖G∗ .

Demostración. Sea x ∈ G entonces existe (xn) en G tal que xn → x. Veamos que (Φ(xn)) es deCauchy. En efecto, sea ε > 0 entonces existe N ∈ N tal que si n,m ≥ N entonces

‖xn − xm‖ < ε/‖Φ‖G∗ ,

luego|Φ(xn)− Φ(xm)| = |Φ(xn − xm)| ≤ ‖Φ‖G∗‖xn − xm‖ < ε.

Por tanto (Φ(xn)) es de Cauchy y como R es completo, (Φ(xn)) converge a un único punto ax ∈ R,esto es,

lımn→∞

Φ(xn) = ax.

Definimos aΦ : G −→ R

x 7→ ax.

Veamos que Φ está bien definida, es decir, que no depende de la escogencia de la sucesión. Sea(xn) y (yn) en G tal que xn → x y yn → x y definamos a

(vn) = (x1, y1, x2, y2, · · · ),

entonces vn → x y por el razonamiento anterior (Φ(vn)) converge. Ya que (Φ(xn)) y (Φ(yn)) sonsubsucesiones de (Φ(vn)), convergen y convergen al mismo límite, por tanto ax no depende de laescogencia de la sucesión.

Por otro lado Φ es lineal, pues para x, y ∈ G y α ∈ R existen (xn) y (yn) en G tal que xn → x yyn → y, luego xn + αyn → x+ αy y

Φ(x+ αy) = lımn→∞

Φ(xn + αyn)

= lımn→∞

Φ(xn) + αΦ(yn)

= lımn→∞

Φ(xn) + α lımn→∞

Φ(yn)

= Φ(x) + αΦ(y).

4

Por otro lado, Φ es acotada puesto que para x ∈ G existe (xn) en G tal que xn → x y

|Φ(x)| = | lımn→∞

Φ(xn)|

= lımn→∞

|Φ(xn)|

≤ lımn→∞

‖Φ‖G∗‖xn‖

= ‖Φ‖G∗‖ lımn→∞

xn‖

= ‖Φ‖G∗‖x‖.

Por tanto es acotada y‖Φ‖G∗ ≤ ‖Φ‖G∗ ,

y como

‖Φ‖G∗ = supx∈G−0

|Φ(x)|‖x‖

≤ supx∈G−0

|Φ(x)|‖x‖

= ‖Φ‖G∗ ,

se obtiene que‖Φ‖G∗ = ‖Φ‖G∗ .

Por último veamos que Φ es única. Supongamos que existe Ψ : G→ R tal que Ψ(x) = Φ(x) paratodo x ∈ G y Ψ es un funcional lineal acotado entonces para x ∈ G existe (xn) en G tal quexn → x y por ser Ψ continua tenemos que

Ψ(x) = lımn→∞

Ψ(xn) = lımn→∞

Φ(xn) = ax = Φ(x),

como x era arbitrario, obtenemos que Ψ = Φ, por tanto Φ es única.

Note que esta proposición se podía demostrar mucho más fácil a partir del Teorema de Hahn–Banach,pero dimos una demostración más artesanal puesto que la demostración solo utilizó la completitudde R. Por tanto se puede poner en vez de R cualquier espacio F de Banach y la demostraciónsería análoga. Así obtenemos la siguiente proposición.

Proposición 1.2. Sea G un subespacio vectorial de E y sea F un espacio de Banach y Φ : G→ F

un funcional lineal continuo, entonces Φ tiene una única extensión lineal continua Φ sobre G talque

‖Φ‖L(G,F ) = ‖Φ‖L(G,F ).

Es necesario definir los conjuntos Lp y mencionar algunas propiedades de estos espacios.

5

1.2. Espacios Lp

Definición. Si 1 ≤ p < ∞, el espacio Lp = Lp(X) = Lp(X,X, µ) consiste de todas las clasesµ-equivalente de las funciones de valor real medibles f para las cuales |f |p tiene integral finitacon respecto a µ sobre X. Dos funciones son µ-equivalente si son iguales en casi toda parte, esdecir, salvo un conjunto de medida cero. Se define

‖f‖p =

(∫|f |p dµ

)1/p

.

Las operaciones vectoriales sobre Lp están definidas puntualmente. Ahora las propiedades básicasde estos espacios están dadas por el siguiente teorema tomado de [Bartle, 2014, pag. 59].

Teorema 1.4. Si 1 ≤ p <∞ entonces se tienen las siguientes propiedades

1. Con las operaciones anteriormente definidas, Lp es un espacio vectorial.

2. ‖ · ‖p es una norma sobre Lp.

3. (Lp, ‖ · ‖p) es completo.

En pocas palabras (Lp, ‖ · ‖p) es un espacio de Banach.

Mostramos a continuación algunos ejemplos y ejercicios para familiarizarnos con estos espacios yalgunas de sus propiedades.

Ejemplo 3. El conjunto de las funciones medibles simples es denso en Lp para todo 1 ≤ p < ∞.Se entiende por función simple a una función que toma finitos valores.

Demostración. Basta con demostrar que para cada f ∈ Lp existe (φn) una sucesión de funcionesmedibles simples tal que φn → f en el sentido de ||.||p. En efecto, supongamos primero que f ∈ Lp

es no negativa entonces existe una sucesión (φn) en M(X,X) tal que:

(φn) es monótona creciente no negativa.

φn(x)→ f(x) para cada x ∈ X.

φn es simple para cada n,

6

Entonces (f − φn) es una sucesión monótona decreciente y por otra parte al ser (φn) monótonacreciente tenemos que

lımn→∞

φn(x) = supn∈N

φn = f(x)

para todo x ∈ X, luego0 ≤ f(x)− φn(x) ≤ f(x).

Es decir(|f(x)− φn(x)|)p ≤ (|f(x)|)p

para todo x ∈ X y para todo n. Como (f(x) − φn(x))p → 0 para todo x ∈ X obtenemos por elteorema de la convergencia dominada que

lımn→∞

∫|f − φn|pdµ =

∫0dµ = 0.

Esto equivale alımn→∞

||f − φn||p = 0.

Esto es φn → f en el sentido de Lp. Ahora si f no necesariamente es no negativa entonces

f = f+ − f−,

pero como la parte positiva y la parte negativa de una función son no negativas entonces por lodemostrado anteriormente existen (φ1

n) y (φ2n) sucesiones de funciones medibles simples tal que

φ1n → f+ y φ2

n → f−.

Luegoφ1n − φ2

n → f

y es claro que (φ1n − φ2

n) es una sucesión de funciones medibles simples pues la resta de funcionessimples es simple y la resta de funciones medibles es medible.

Ejemplo 4. Si f ∈ Lp con 1 ≤ p <∞ y E = x ∈ X : |f(x)| 6= 0 entonces E es σ-finito

Demostración. : SeaEn = x ∈ X : |f(x)|p > 1/n

entonces se tiene que

E =

∞⋃n=1

En.

7

Veamos que µ(En) es finito para cada n ∈ N. En efecto, tenemos que |f(x)|p > (1/n)χEn luego∫|f(x)|pdµ >

∫(1/n)χEndµ = (1/n)µ(En).

Es decirµ(En) < n

∫|f(x)|pdµ.

Pero∫|f(x)|pdµ <∞ por hipótesis. Es decir µ(En) <∞.

Ejemplo 5. Si f ∈ Lp y si En = x ∈ X : |f(x)| ≥ n entonces µ(En)→ 0 cuando n→∞

Demostración. Tenemos que |f(x)|p ≥ npχEn luego∫|f(x)|pdµ ≥ npµ(En),

es decir

0 ≤ µ(En) ≤∫|f(x)|pdµnp

.

Como lımn→∞

∫|f(x)|pdµnp = 0, puesto que

∫|f(x)|pdµ existe y es finita, obtenemos que

lımn→∞

µ(En) = 0.

Para finalizar veamos que para p ∈ (0, 1) la definición de Lp deja de ser un espacio normado.

Ejemplo 6. Para 0 < p < 1 y Lp = Lp(X) como se definió anteriormente, entonces

‖f‖p =

(∫|f |p dµ

)1/p

no es una norma.

Demostración. Consideremos X = [0, 1]. Basta demostrar que B(0, 1), la bola cerrada con centroen 0 y radio 1, no es convexa. En efecto, tomemos f(x) = 1 y g(x) = g(x; p) = (2x)1/p entonces∫ 1

0|1|pdx = 1

y ∫ 1

0|(2x)1/p|pdx =

∫ 1

0(2x)dx = 1.

8

Esto es que f, g ∈ B(0, 1). Por otro lado si B(0, 1) fuera convexo entonces para todo 0 ≤ λ ≤ 1

λf + (1− λ)g ∈ B(0, 1)

pero para λ = 1/21

2+

1

2(2x)1/p /∈ B(0, 1).

En efecto, definamos

h(x) = h(x; p) =

(1

2+

1

2(2x)1/p

)py veamos que

∫ 10 h(x)dx > 1. Entonces

h′(x) = p

(1

2+

1

2(2x)1/p

)p−1 1

2p(2x)1/p−1(2)

=

(1

2+

1

2(2x)1/p

)p−1

(2x)1/p−1.

Luego

h′(1/2) =

(1

2+

1

2

)p−1

= 1,

por tanto la recta tangente a h(x) en x = 1/2 tiene pendiente 1. Esto es de la forma

y = x+ b

y esta pasa por (1/2, 1) puesto que h(1/2) = 1, así la recta tangente a h(x) es

l(x) = x+1

2.

Nótese que h′′(x) > 0 y por consiguiente es cóncava hacia arriba como ilustra la siguiente gráfica,donde muestra a l(x) y a h(x) = h(x; p) variando a p.

Figura 1.1: gráficas de h(x)

9

Como h(x) es cóncava hacia arriba, implica que

h(x) > l(x),

por ende ∫ 1

0h(x)dx >

∫ 1

0(x+ 1/2)dx = 1.

Es decir, ∥∥∥∥1

2f +

1

2g

∥∥∥∥p

> 1.

También será de suma importancia la siguiente desigualdad tomada de [Bartle, 2014, pag. 56].

Teorema 1.5 (Desigualdad de Hölder). Sea f ∈ Lp y g ∈ Lq donde p > 1 y (1/p) + (1/q) = 1.Entonces fg ∈ L1 y

‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q.

El elemento q es llamado el conjugado de p, y se denota como q = p′. Es claro que (p′)′ = p.Veamos el siguiente ejemplo que será de gran utilidad.

Ejemplo 7. Lp2(X) ⊆ Lp1(X) con p1 < p2 si µ(X) <∞

Demostración. Sea f ∈ Lp2(X) entonces∫|f |p2dµ <∞.

Ahora defínamos E = x ∈ X : |f(x)| < 1 por tanto |f |p1χE < 1 luego∫E|f |p1dµ <

∫E

1dµ = µ(E) ≤ µ(X) <∞.

Para x ∈ Ec

|f(x)| ≥ 1.

Es decir|f(x)|p1 ≤ |f(x)|p2 ,

por consiguiente|f |p1χEc ≤ |f |p2χEc .

Esto es ∫Ec|f |p1dµ ≤

∫Ec|f |p2dµ ≤

∫|f |p2dµ <∞,

10

por tanto ∫|f |p1dµ =

∫X|f |p1dµ

=

∫E∪Ec

|f |p1dµ

=

∫E|f |p1dµ+

∫Ec|f |p1dµ <∞

luego f ∈ Lp1(X).

Esta proposición anterior también puede ser demostrada a partir de la desigualdad de Höldercomo sigue.

Demostración. (Usando la desigualdad de Hölder ) Sea f ∈ Lp2(X) y sea p′2 tal que 1p2

+ 1

p′2

= 1.

Veamos que |f |p′2(p1−1) ∈ Lβ(X) con β = p2−1

p1−1 > 1. En efecto, como

p′2(p1 − 1)

(p2 − 1

p1 − 1

)= p

′2(p2 − 1) = p2,

entonces ∫(|f |p

′2(p1−1))βdµ =

∫|f |p2dµ <∞.

Por otro lado, como µ(X) < ∞, 1 ∈ Lp(X) para todo 1 ≤ p < ∞. Por tanto 1 ∈ Lβ′(X) con1β + 1

β′ = 1. Por la desigualdad de Hölder

|f |p′2(p1−1)(1) ∈ L1(X)

y ∫(|f |p

′2(p1−1))dµ ≤

(∫(|f |p

′2(p1−1))βdµ

)1/β (∫1β′dµ

)1/β′

=

(∫|f |p2dµ

)1/β

(µ(X))1/β′ .

Esto es |f |p1−1 ∈ Lp′2(X). Nuevamente por la desigualdad de Hölder |f |p1 ∈ L1(X), esto es,

f ∈ Lp1(X) como queríamos demostrar y además∫|f |p1dµ =

∫|f ||f |p1−1dµ

≤ ‖f‖p2(∫|f |p

′2(p1−1)dµ

)1/p′2

≤ ‖f‖p2

[(∫|f |p2dµ

)1/β

(µ(X))1/β′

]1/p′2

,

11

pero β = p2−1p1−1 = (p2−1)(p2)

p2(p1−1) = p2p′2(p1−1)

, es decir 1β =

p′2(p1−1)p2

, por ende

∫|f |p1dµ ≤ ‖f‖p2

(∫|f |p2dµ

)1/βp′2

(µ(X))1/β′p′2

= ‖f‖p2(∫|f |p2dµ

) (p1−1)p2

(µ(X))1/β′p′2

= ‖f‖p2‖f‖p1−1p2 (µ(X))1/β′p

′2

= ‖f‖p1p2 (µ(X))1/(β′p′2) .

De donde‖f‖p1 ≤ ‖f‖p2 (µ(X))1/β′p

′2p1

Aunque la primera demostración es más natural, la segunda, a pesar de ser muy técnica, da unainformación extra sobre la existencia de una constante real C que cumple

‖f‖p1 ≤ C‖f‖p2

esto implica que la inclusióni : Lp2 −→ Lp1

es continua. Además de esto se conoce explícitamente cual es la constante C ya que 1

p′2

= p2−1p2

y

1

β′=β − 1

β=

p2−1p1−1 − 1p2−1p1−1

=

(p2−1)−(p1−1)p1−1p2−1p1−1

=p2 − p1

p2 − 1.

De este modo1

β′p′2p1

=

(p2 − p1

p2 − 1

)(p2 − 1

p2

)(1

p1

)=p2 − p1

p2p1

obtenemos que

C = µ(X)p2−p1p2p1 .

Es decir‖f‖p1 ≤ µ(X)

p2−p1p2p1 ‖f‖p2 .

En el caso de normas en Rn dadas por

‖x‖p =

(n∑i=1

|xi|p)1/p

12

con 1 ≤ p <∞, se sabe que

lımp→∞

‖x‖p = lımp→∞

(n∑i=1

|xi|p)1/p

= sup1≤i≤n

|xi|

para todo x ∈ Rn, donde el resultado del límite es a su vez una norma para Rn. Ésta es llamadala norma del sup y es denotada por

‖x‖∞ = sup1≤i≤n

|xi|.

De modo que es natural definir el siguiente espacio como una generalización de Rn con la normadel sup, el cual esta relacionado con los espacios Lp, que al igual que estos espacios, será de sumaimportancia.

Definición. El espacio L∞ = L∞(X) = L∞(X,X, µ) consiste de todas las clases µ -equivalentede funciones de valor real medibles f las cuales están acotadas en casi toda parte sobre X. Esdecir acotadas salvo un conjunto de medida cero.

Si f ∈ L∞ y N ∈ X con µ(N) = 0 se define

S(N) = sup|f(x)| : x /∈ N

y‖f‖∞ = ınfS(N) : N ∈ X, µ(N) = 0.

Un elemento de L∞ es llamado función esencialmente acotada y ‖f‖∞ es llamado el supremoesencial de |f | y se denota también con essup |f |.

Al igual que en Lp, L∞ tiene algunas propiedades, que se enuncian en el siguiente teorema tomadode [Bartle, 2014, pag. 61 ]

Teorema 1.6. El espacio L∞ tiene las siguientes propiedades:

1. Es un espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre Lp.

2. ‖ · ‖∞ es una norma sobre L∞.

3. (L∞, ‖ · ‖∞) es completo.

Es decir (L∞, ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

13

Para terminar con los espacios Lp con 1 ≤ p ≤ ∞, introduciremos dos teoremas más de sumaimportancia. Uno de ellos es El Teorema de Representación de Riesz para Lp tomado de[Bartle, 2014, pag. 89 ].

Éste teorema se divide en dos partes, que se enuncian a continuación.

Teorema 1.7 (Teorema de Representación de Riesz para L1 ). Si (X,X, µ) es un espacio demedida σ-finito y G es un funcional lineal acotado sobre L1(X,X, µ), entonces existe un g ∈L∞(X,X, µ) tal que

G(f) =

∫fg dµ

para todo f ∈ L1. Más aun, ‖G‖ = ‖g‖∞ y g ≥ 0 si G es un funcional lineal positivo.

Teorema 1.8 (Teorema de Representación de Riesz para Lp con 1 < p <∞). Si (X,X, µ) es unespacio de medida σ-finito y G es un funcional lineal acotado sobre Lp(X,X, µ), con 1 < p < ∞entonces existe un g ∈ Lq(X,X, µ) donde 1

p + 1q = 1 tal que

G(f) =

∫fg dµ

para todo f ∈ Lp. Más aun, ‖G‖ = ‖g‖q.

El libro [Bartle, 2014] de donde es tomado la primera version del Teorema de Representación deRiesz no demuestra que ‖G‖ = ‖g‖∞, sino que lo deja como ejercicio. Por ello lo demostraremosa continuación.

Ejemplo 8. Si se define a G sobre Lp por

G(f) =

∫fg dµ

con g ∈ L∞ entonces G es un funcional lineal acotado sobre Lp con ‖G‖ = ‖g‖∞.

Demostración. Tenemos por las propiedades de la integral de Lebesgue que G es un funcionallineal, veamos que es acotado. En efecto, sea f ∈ L1 entonces

14

|G(f)| =∣∣∣∣∫ fg dµ

∣∣∣∣≤∫|f ||g| dµ

≤∫|f |‖g‖∞ dµ

= ‖g‖∞∫|f | dµ

= ‖f‖1‖g‖∞.

Por tanto G es acotado y ‖G‖ ≤ ‖g‖∞. Por otro lado demostramos que∫|f ||g| dµ ≤ ‖f‖1‖g‖∞.

Esta es la desigualdad de Hölder en el caso p = 1 y q = ∞. Generalizándola para todo p. Porúltimo, veamos que ‖G‖ ≥ ‖g‖∞ para concluir con la demostración.

Sean c > 1 y Ec = x ∈ X : |g(x)| ≥ c‖G‖. Defínase a E+c = x ∈ X : g(x) ≥ c‖G‖ y

E−c = x ∈ X : −g(x) ≥ c‖G‖. Entonces es claro que Ec = E+c ∪ E−c y E+

c ∩ E−c = ∅. Por tantodefinamos

fc(x) =

1 si x ∈ E+

c

−1 si x ∈ E−c0 si x /∈ Ec.

Por consiguiente

G(fc) =

∫fcg dµ

=

∫Ec

fcg dµ

=

∫E+c

fcg dµ+

∫E−c

fcg dµ

=

∫E+c

g dµ+

∫E−c

g dµ

≥ c‖G‖µ(E+c ) + c‖G‖µ(E−c )

= c‖G‖µ(Ec).

Por lo que

G(fc) ≥ c‖G‖µ(Ec). (1.1)

15

Por otro lado tenemos queG(fc)

‖fc‖1≤ ‖G‖,

pero ‖fc‖1 =∫fcdµ =

∫Ec

1dµ = µ(Ec). Es decir que

G(fc) ≤ ‖G‖µ(Ec).

De lo anterior y de (1.1) obtenemos

c‖G‖µ(Ec) ≤ G(fc) ≤ ‖G‖µ(Ec).

Como c > 1 la desigualdad anterior es contradictoria, a menos que µ(Ec) = 0, luego

|g(x)| ≤ c‖G‖

c.t.p X. Esto implica que‖g‖∞ ≤ c‖G‖

para todo c > 1. Por ende‖G‖ ≤ ‖g‖∞.

Para introducir el último teorema que necesitamos sobre los espacios Lp es necesario la siguientedefinición.

Definición. Dada una función f : Ω→ R con Ω un abierto de Rn se define a

supp f = x ∈ Ω : f(x) 6= 0

como el soporte de f , y se denotan a Cc(Ω) y C∞c (Ω) como el conjunto de funciones f : Ω→ Rcontinuas con soporte compacto e infinitamente diferenciables con soporte compacto respectiva-mente.

A continuación enunciamos el último teorema relacionado con los espacios Lpque es de granimportancia para los fundamentos de nuestro trabajo, tomados de [Brezis, 2010, pag. 109].

Teorema 1.9 (Teorema de la Densidad). Dado un abierto Ω ⊆ Rn con L la σ- álgebra de Lebesgueen Rn, la cual es regular y contiene el álgebra (σ- álgebra) de Borel y µ la medida de Lebesgue(o Borel), entonces para 1 ≤ p < ∞ el conjunto C∞c (Ω) es denso en Lp(Ω) = Lp(Ω,L, µ). Enparticular Cc(Ω) también es denso en Lp(Ω).

16

Un ejemplo clásico de una función C∞c (Rn) es el siguiente

ρ(x) =

e1/(|x|2−1) si |x| < 1

0 si |x| > 1

Que en el caso n = 1 tiene la siguiente gráfica.

Figura 1.2: gráfica de ρ(x)

Ahora bien, existe un tipo especial de sucesión de funciones C∞c (Rn) llamadas molificadores quese definen de la siguiente manera.

Definición. Una sucesión de molificadores (ρm)∞m=1 es una sucesión de funciones sobre Rn talque ρm ∈ C∞c (Rn), supp ρm ⊂ B(0, 1/m),

∫ρmdµ = 1 y ρm(x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn.

Es fácil construir una sucesión de molificadores a partir de una ρ ∈ C∞c (Rn) tal que ρ ⊂ B(0, 1)

y ρ(x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn y ρ no idénticamente 0. Por ejemplo si tomamos nuevamente a

ρ(x) =

e1/(|x|2−1) si |x| < 1

0 si |x| > 1

obtenemos una sucesión de molificadores dejando a

ρm = Cmnρ(mx)

con C = 1/∫ρdµ. Mostramos los primeros elementos de esta sucesión en la siguiente gráfica en

el caso n = 1.

17

Figura 1.3: gráfica de ρm(x)

Son de importancia estas sucesiones de molificadores porque es a partir de ellas que se puedeconstruir una sucesión (fm) de funciones en C∞c (Ω) tal que fm → f en Lp(Ω), con f ∈ Lp(Ω) con1 ≤ p <∞. Para poder construir esta sucesión debemos definir la siguiente operación.

Definición. Dadas dos funciones f y g definidas sobre Rn. La convolución de f y g se definecomo

f ∗ g =

∫Rnf(x− y)g(y)dy.

En seguida definimos a gm = χKmf , donde

f(x) =

f(x) si x ∈ Ω

0 si x /∈ Ω

y (Km) es una sucesión de compactos sobre Rn tal que

∞⋃m=1

Km = Ω y dist(Km,Ωc) ≥ 2/n.

Por último se define la sucesión deseada como sigue

fm = ρm ∗ gm.

Se puede encontrar en [Brezis, 2010, pag. 109] la demotración de que esta suseción (fm) asídefinida, efectivamente converge a f en Lp. La siguiente gráfica muestra los primeros 3 elementosde esta sucesión si se toma a Ω = (−1, 1) y

f(x) =

0 si x ∈ (−1, 0)

1 si x ∈ [0, 1)

18

Figura 1.4: gráfica de fm(x)

1.3. Espacios de Sobolev

Además de los espacios Lp, también es necesario definir unos subespacios que serán de sumaimportancia y mencionaremos algunas de sus propiedades más importantes.

Definición. Sea I = (a, b) un intervalo abierto, no necesariamente acotado. Sea 1 ≤ p ≤ ∞, elespacio de Sobolev W 1,p = W 1,p(I) es definido como

W 1,p(I) = u ∈ Lp(I) : ∃g ∈ Lp(I) tal que∫Iuϕ′dµ = −

∫Igϕdµ, ∀ϕ ∈ C1

c (I).

También defininos aH1(I) = W 1,2(I)

y para un u ∈W 1,p(I) denotamos a g = u′, ésta es llamada la derivada débil de u.

Mostraremos dos ejemplos para familiarizar al lector con este espacio. Con el fin de ver que estaderivada débil es una generalización de la derivada usual.

Ejemplo 9. Sea u una función de R en R diferenciable en I, con I un intervalo acotado, entoncesu ∈W 1,p(I) y la derivada usual coincide con la derivada débil.

Demostración. Dado ϕ ∈ C1c (I), tenemos por integración por partes que∫

Iuϕ′dx = uϕ|I −

∫Iu′ϕdx

con u′ la derivada usual de u. Ya que ϕ es de soporte compacto obtenemos que∫Iuϕ′dx = −

∫Iu′ϕdx

y como u′ es continua por hipótesis tenemos que u′ ∈ Lp por ende u ∈ W 1,p y su derivada débiles u′, la derivada usual.

19

Con este ejemplo mostramos que las funciones derivables, con la derivada usual, están contenidasen el espacio de Sobolev W 1,p. Veamos que esta contenencia es propia.

Ejemplo 10. Existe una función en W 1,p pero ésta no es derivable en el sentido usual.

Demostración. Considere I = (−1, 1). Veamos que la función u(x) = |x| pertenece aW 1,p(I), paracualquier 1 ≤ p ≤ ∞. En efecto, Como u(x) ∈ C(I) entonces está acotada, luego u ∈ L∞(I) ⊆Lp(I) pues al ser I acotado tiene medida finita. Veamos ahora que u tiene derivada débil.

Sea ϕ ∈ C1c (I) entonces por integración por partes y usando que ϕ se anula en la frontera de I

obtenemos que ∫ 1

−1|x|ϕ′(x)dx =

∫ 0

−1−xϕ′(x)dx+

∫ 1

0xϕ′(x)dx

= −∫ 0

−1−ϕ(x)dx−

∫ 1

0ϕ(x)dx.

Por tanto, si definimos a

g(x) =

−1 si x ∈ (−1, 0)

1 si x ∈ [0, 1)

obtenemos que ∫ 1

−1|x|ϕ′(x)dx = −

∫ 1

−1g(x)ϕ(x)dx,

de donde u(x) = |x| pertenece a W 1,p(I), pero esta función no es derivable en I.

Ya tenemos que Lp es un espacios de Banach y, aunque no lo mencionamos, con el Teorema deRepresentación de Riez se puede demostrar que Lp con 1 < p < ∞ es reflexivo. Por otro ladoeste espacio también es separable para 1 ≤ p < ∞ y la demostración de esto se puede ver en[Brezis, 2010]. Con el siguiente teorema se tiene que los espacios de Sobolev también tienen estaspropiedades, el cual es tomado de [Brezis, 2010, pag. 203].

Teorema 1.10. El espacio W 1,p equipado con la siguiente norma

‖u‖W 1,p = ‖u‖Lp + ‖u′‖Lp

es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞, es reflexivo para 1 < p < ∞, y separable para1 ≤ p <∞. Además el espacio H1 equipado con el siguiente producto interno

(u, v)H1 = (u, v)L2 + (u′, v′)L2

es un espacio de Hilbert.

20

Ahora, la derivada débil conserva varias propiedades importantes de la derivada usual, como esde esperarse al ser una generalización de la derivada normal. No es difícil demostrar la linealidadde la derivada débil. Esto es, para todo u, v ∈W 1,p y cualquier real α, se tiene que

(u+ v)′ = u′ + v′ y (αu)′ = αu′.

las demás propiedades se encuentran demostradas en [Brezis, 2010, pag. 205,206,215 y 216] lascuales enunciaremos a continuación con el siguiente teorema.

Teorema 1.11 (Propiedades de la Derivada Débil). Sea u, v ∈ W 1,p(I) para 1 ≤ p ≤ ∞ y Iacotado o no acotado entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. Si u′ = 0 entonces existe una constante C tal que u = C c.t.p I.

2. Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Dado g ∈ Lploc(I) si se define para un y0

fijo en I a

w(x) =

∫ x

y0

g(t)dt, x ∈ I

entonces w ∈ C(I) y ∫Iwϕ′dt = −

∫Igϕdt, ∀ϕ ∈ C1

c (I)

esto es, si g ∈ Lp(I) entonces w tiene derivada débil (w ∈W 1,p(I)) y w′ = g.

3. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: Existe una única función u ∈ C(I) talque

u = u c.t.p I

y ∫ y

xu′(t)dt = u(y)− u(x)

para todo x, y ∈ I

4. Regla del producto: uv ∈W 1,p y

(uv)′ = u′v + uv′,

además se tiene la fórmula de integración por partes∫ y

xu′vdt = uv|yx −

∫ y

xuv′dt

para todo x, y ∈ I.

21

5. Regla de la cadena: Sea G ∈ C1(I) tal que G(0) = 0 entonces G u ∈W 1,p y

(G u)′ = (G′ u)u′.

Como W 1,p(I) ⊆ Lp(I) y Lp(I) es un conjunto de clases de equivalencia donde u = v en Lp(I)

si y solo si u = v c.t.p I, entonces en el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo tendremosque u = u en Lp(I). Es decir, son indistinguibles en este espacio. Por otro lado, por este teorematenemos que u es continuo, entonces cada u ∈ W 1,p tiene un representante continuo, el cual esindistinguible de u; y más aun si u′ ∈ C(I) entonces u ∈ C1(I) y por tanto u ∈ C1(I), por serindistinguibles.

Con todo lo mostrado anteriormente podemos decir que la derivada débil es, en efecto, una ger-neralización de la derivada usual o fuerte. Sin embargo, no hemos hablado de qué propiedadestiene el espacio de BanachW 1,p. Para empezar demos el siguiente resultado, éste es un importanteprototipo de la desigualdad de Sobolev. El cual es tomado de [Brezis, 2010, pag. 212].

Teorema 1.12. Sea I un intervalo no necesariamente acotado entonces existe una constante Ctal que para todo 1 ≤ p ≤ ∞ y para todo u ∈W 1,p(I) se tiene que

‖u‖L∞(I) ≤ C‖u‖W 1,p(I).

En otras palabras, la inclusión i : W 1,p(I) −→ L∞(I) es continua. Además, si I es acotadoentonces las inclusiones

i : W 1,p(I) −→ C(I) y i : W 1,1(I) −→ Lq(I)

son compactas para todo 1 < p ≤ ∞ y 1 ≤ q <∞.

Ahora daremos algunos ejemplos. Con el fin de presentrar una información extra de este importanteteorema, además de algunas aplicaciones.

Por la desigualdad de Sobolev tenemos que i : W 1,p(I) −→ C(I) es compacta para 1 < p ≤ ∞. Esnatural preguntarnos si el teorema es cierto para el caso p = 1. La respuesta es no. Para mostraresto, es decir, que i : W 1,1(I) −→ C(I) no es compacta, se da el siguiente ejemplo.

Ejemplo 11. Sea I = [0, 1] entonces la sucesión

un(x) =

0 si x ∈ [0, 1

2 ]

nx− n2 si x ∈ (1

2 ,12 + 1

n)

1 si x ∈ [12 + 1

n , 1]

es una sucesión acotada de W 1,1(I) y no admite subsucesiones convergentes en L∞(I).

22

Demostración. Veamos e primer lugar que un ∈W 1,1(I) para todo n ∈ N. Sea ϕ ∈ C1c (I) entonces∫

Iunϕ

′ =

∫ 1/2+1/n

1/2n(x− 1/2)ϕ′(x)dx+

∫ 1

1/2+1/nϕ′(x)dx

= n(x− 1/2)ϕ(x)|1/2+1/n1/2 −

∫ 1/2+1/n

1/2nϕ(x)dx+ ϕ(x)|11/2+1/n

= −∫ 1/2+1/n

1/2nϕ(x)dx.

Por tanto si se define

gn(x) =

0 si x ∈ [0, 1

2 ]

n si x ∈ (12 ,

12 + 1

n)

0 si x ∈ [12 + 1

n , 1]

queda que ∫Iunϕ

′ = −∫Ignϕ.

Por ende un ∈W 1,1(I) para todo n ∈ N y u′n = gn. Ahora veamos que (un) es acotada enW 1,1(I).En efecto,

‖un‖W 1,1(I) = ‖un‖L1(I) + ‖u′n‖L1(I)

=

∫ 1

0un(x)dx+

∫ 1

0u′n(x)dx

=

∫ 1/2+1/n

1/2n(x− 1/2)dx+

∫ 1

1/2+1/n1dx+

∫ 1/2+1/n

1/2ndx

= (1/2n) + (1− (1/2 + 1/n)) + n(1/n)

= 1/2n+ 1/2− 1/n+ 1

= 3/2− 1/2n

≤ 3/2.

Por último veamos que (un) no admite subsucesiones convergentes en L∞(I). En efecto, seam > n,entonces

‖un − um‖∞ = supx∈( 1

2, 12

+ 1m

)

(mx− m

2− nx+

n

2

)+ supx∈[ 1

2+ 1m, 12

+ 1n

)

(1− nx+

n

2

)= sup

x∈( 12, 12

+ 1m

)

((m− n)x− 1

2(m− n)

)+ supx∈[ 1

2+ 1m, 12

+ 1n

)

(1− nx+

n

2

)= (m− n)

(1

2+

1

m

)− 1

2(m− n) + 1− n

(1

2+

1

m

)+n

2

= (m− n)1

m+ 1− n

2− n

m+n

2= 2− 2

n

m.

23

Ahora, supongamos que existe una subsucesión (unk) de (un) convergente en L∞(I) y por tantode Cauchy. Luego, existe K0 ∈ N tal que si k, l ≥ K0 entonces

‖unk − unl‖∞ <1

2.

Pero, si tomamos k ≥ K0 y l ∈ N tal que nl ≥ 2nk, tenemos que

‖unk − unl‖∞ = 2− 2nknl

≥ 2− 2nk2nk

= 1,

lo cual es una contradicción. Por tanto se concluye que (un) no admite subsucesiones convergentesen L∞(I), es decir, i : W 1,1(I) −→ L∞(I) no es compacta.

Se tiene inmediatamente por el ejemplo anterior que i : W 1,1(I) −→ C(I) no es compacta. Ahora,aunque ya mostramos que una sucesión (un) en W 1,1(I) acotada no necesariamente tiene unasubsucesión convergente en L∞(I), que es equivalente a tener una subsucesión uniformementeconvergente c.t.p I, pero se puede demostrar que (un) siempre tendrá una subsucesión (unk) queconverge puntualmente c.t.p I. Demostramos esto en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 12. Sea (un) enW 1,p(I) con I acotado, si (un) es acotada entonces existe una subsucesión(unk) de (un) tal que converge puntualmente c.t.p I.

Demostración. Sea (un) en W 1,p(I) acotada. Por la desigualdad de Sobolev tenemos que i :

W 1,1(I) −→ L1(I) es compacta, por ende existe una subsucesión (unk) de (un) tal que unk → u

en L1(I) para algún u ∈ L1(I). Ahora, no es dificíl demostrar que si una sucesión (fn) en Lp(X)

converge a una función f en Lp(X) entonces fn → f en medida. Una demostración de esto sepuede encontrar en [Bartle, 2014, pag. 69].

Por tanto unk → u en medida y una de las propiedades de la convergencia en medida, tomada de[Bartle, 2014, pag. 69,70], nos dice que dada una sucesión (fn) de un espacio de medida X y sifn → f en medida entonces existe una subsucesión (fnk) de (fn) tal que fnk → f puntualmentec.t.p X. En conclusión, existe una subsucesión (unkl ) de (unk) y por ende de (un), tal que unkl → u

puntualmente c.t.p I.

Como dato curioso, para demostrar el teorema anterior pudimos tomar sin perdida de generalidadque un es monótona creciente, como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 13. Si asumimos la siguiente afirmación como verdadera

24

Si (un) en W 1,p(I) es acotada y un es monótonamente creciente para todo n ∈ N entoncesexiste una subsucesión (unk) de (un) tal que unk → u puntualmente c.t.p I, para algunafunción u.

Entonces la afirmación es cierta para toda (un) en W 1,p(I) acotada.

Demostración. Sea (un) enW 1,1(I) acotada y definamos a vn(x) =∫ x

0 |u′n(t)|dt. Como |u′n(t)| ≥ 0

entonces si y ≤ x implica que∫ y

0 |u′n(t)|dt ≤

∫ x0 |u

′n(t)|dt por tanto vn(x) es monótonamente

creciente para todo n ∈ N.

Definamos a wn(x) = vn(x)− un(x) y ya que

u(x)− u(0) =

∫ x

0u′n(t)dt

entonceswn(x) =

∫ x

0|u′n(t)|dt− u(0)−

∫ x

0u′n(t)dt.

Es decir,

wn(x) + u(0) =

∫ x

0|u′n(t)| − u′n(t)dt.

Y como fn(t) = |u′n(t)| − u′n(t) ≥ 0 para todo t ∈ I, si y ≤ x, entonces∫ y

0fn(t)dt ≤

∫ x

0fn(t)dt.

Esto es,

wn(y) + u(0) =

∫ y

0fn(t)dt

≤∫ x

0fn(t)dt

= wn(x) + u(0).

Es decir, wn(y) ≤ wn(x) siempre que y ≤ x, luego wn(x) es monótonamente creciente para todon ∈ N.

Ahora, por hipótesis existe una subsucesión (v(1,n)) de (vn) convergente puntualmente en c.t.p Ia una función v y como wn es monótonamente creciente para todo n entonces w(1,n) es monótona-mente creciente para todo (1, n) ∈ N. Así, existe una subsucesión (w(2,n)) de (w(1,n)) convergentepuntualmente c.t.p I a una función w. Como toda subsucesión de una sucesión convergente esconvergente y converge al mismo límite, se obtiene que la subsucesión (v(2,n)) de (v(1,n)) convergepuntualmente c.t.p I a v.

25

En resumen, tenemos que v(2,n)(x) → v(x) y w(2,n)(x) → w(x) para todo x ∈ I − N con N unconjunto de medida 0, luego

u(2,n)(x) = v(2,n)(x)− w(2,n)(x)→ v(x)− w(x).

Es decir (un) tiene una subsucesión convergente puntualmente en c.t.p I.

Se deja como ejercicio dar una demostración del teorema tomando, sin perdida de generalidad,que un es monótonamente creciente. Obteniendo así una demostración que no utilice tanta teoríade la medida, como la que se dio en el ejemplo 12.

Por la desigualdad de Sobolev tenemos que i : W 1,p(I) −→ L∞(I) es continua, es natural pregun-tarnos ¿es compacta? La repuesta es no, como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 14. Sea una función ϕ ∈ C∞c (R), con ϕ 6= 0, y sea un(x) = ϕ(x + n) entonces (un)

es acotada en W 1,p(R) con 1 ≤ p ≤ ∞ y no admite subsucesiones convergentes en Lq(R) con1 ≤ q ≤ ∞.

Demostración. Puesto que ϕ ∈ C∞c (R) implica que ϕ ∈ Lq(R). Veamos que ϕ′ ∈ Lq(R). En efecto,como ϕ = 0 sobre Kc, con K un compacto, entonces ϕ′ = 0 sobre Kc. Por tanto ϕ′ ∈ C∞c (R) asíϕ′ ∈ Lq(R). Por consiguiente ϕ ∈W 1,q(R) para todo 1 ≤ q ≤ ∞. De donde ‖ϕ‖W 1,q <∞.

Ahora un ∈ C∞c (R) ⊆ W 1,q(R) para todo n ∈ N, pues un es sólo una traslación de ϕ. Por otrolado

‖un‖q =

(∫ ∞−∞|ϕ(x+ n)|qdx

)1/q

=

(∫ ∞−∞|ϕ(v)|qdv

)1/q

= ‖ϕ‖q.

Como u′n(x) = ϕ′(x+ n) obtenemos análogamente que ‖u′n‖q = ‖ϕ′‖q. Así

‖un‖W 1,q = ‖ϕ‖W 1,q <∞,

por tanto (un) es una sucesión acotada en W 1,q(R) para todo 1 ≤ q ≤ ∞. Veamos ahora que (un)

no admite subsucesiones convergentes en Lq(R). En efecto,

‖un − um‖qq =

∫ ∞−∞|ϕ(x+ n)− ϕ(x+m)|qdx

=

∫ ∞−∞|ϕ(x)− ϕ(x+ (m− n))|qdx

=

∫K∪Km−n

|ϕ(x)− ϕ(x+ (m− n))|qdx,

26

con K = suppϕ y Kn = suppun para todo n ∈ N. Debemos tener que Kn = K + −n, comoilustra la Figura 1.5, pues un es sólo una trasalación de ϕ.

Figura 1.5: Comparación de ϕ(x) con un(x)

Por otra parte mostremos que para n suficientemente grandeKn∩K = ∅.ComoK es un compacto,existe I = [a, b] tal que K ⊆ I y por propiedad arquimediana existe N ∈ N tal que

b− a < N.

Luego, si x ∈ K y x ∈ KN entonces x = y−N con y ∈ K, así y−x = N , pero como x, y ∈ K ⊆ Ientonces N = y − x ≤ b − a, lo cual es una contradicción. Por tanto si tomamos n,m tal quem− n ≥ N tenemos que

K ∩Km−n = ∅,

de esta manera

‖un − um‖qq =

∫K|ϕ(x)− ϕ(x+ (m− n))|qdx+

∫Km−n

|ϕ(x)− ϕ(x+ (m− n))|qdx

=

∫K|ϕ(x)|qdx+

∫Km−n

|ϕ(x+ (m− n))|qdx

= ‖ϕ‖qq + ‖um−n‖qq= 2‖ϕ‖qq.

Es decir, para todo n ∈ N y para todo m ∈ N tal que m ≥ N + n se tiene que

‖un − um‖q = 21/q‖ϕ‖q.

Por tanto (un) no admite subsucesiones convergentes en Lq(R) con 1 ≤ q < ∞. Para el casoq =∞ la demostración es análoga.

Dado un intervalo I por el Teorema 1.9, o Teorema de la Densidad, tenemos que C∞c (I) es densoen Lp(I) con 1 ≤ p < ∞. Es natural preguntarnos si ocurre lo mismo en los espacios W 1,p, es

27

decir, ¿La clausura de C∞c (I), con la topología inducida por la norma de W 1,p, es igual al espaciode Sobolev? La respuesta es no. Sin embargo existe un resultado más debíl en estos espacios, éstese muestra a continuación y es tomado de [Brezis, 2010, pag. 211].

Teorema 1.13 (Teorema de la Densidad para W 1,p). Sea u ∈W 1,p(I) con 1 ≤ p <∞. Entoncesexiste una sucesión (un) en C∞c (R) tal que un|I → u en W 1,p(I).

Como ya mencionamos, en general no existe una sucesión (un) en C∞c tal que un → u en W 1,p(I),como si ocurre en Lp(I). Más aun, el conjunto Ckc (I) tampoco es denso en W 1,p(I) para todok ∈ N. En particular, C1

c (I) no es denso, pero su clausura sí es un espacio importante, por ello lomencionamos a continuación.

Definición. Dado 1 ≤ p <∞, se denota aW 1,p0 (I) por la clausura de C1

c (I) enW 1,p(I) y ademásse define

H10 (I) = W 1,2

0 (I).

El espacio W 1,p0 (I) es equipado con la norma de W 1,p(I).

Ya que C1c (I) es un subespacio vectorial de W 1,p(I) obtenemos que W 1,p

0 (I) es un subespacionormado de W 1,p(I) y como es cerrado, por definición, entonces W 1,p

0 (I) es completo. Por tantoW 1,p

0 (I) es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞.

Ahora como todo subconjunto de un espacio separable es a su vez separable, queda que W 1,p0 (I)

es un espacio separable para 1 ≤ p <∞ y de igual manera todo subespacio de un espacio reflexivoes reflexivo, implica que W 1,p

0 (I) es un espacio reflexivo para 1 < p <∞.

Existe una importante propiedad de este espacio que además de ser muy útil, con toda la teoríaanteriormente expuesta, su demostración no resulta larga y por esto enunciaremos este resultadoa continuación con su respectiva demostración.

Teorema 1.14 (Desigualdad de Poincaré). Sea I un intervalo acotado. Entonces existe una cons-tante C tal que

‖u‖W 1,p(I) ≤ C‖u′‖Lp(I)

para todo u ∈ W 1,p0 (I), con 1 ≤ p ≤ ∞. En otras palabras, si sobre W 1,p

0 (I) se define la siguientenorma

‖u‖ = ‖u′‖Lp(I),

ésta es equivalente a la norma de W 1,p.

Demostración. Sea u ∈W 1,p0 (I) con I = (a, b) y sea (un) en C1

c (I) tal que un → u enW 1,p(I). Porla desigualdad de Sobolev se tiene que un → u en L∞(I), por consiguiente un → u uniformementeen I (al menos en casi toda parte).

28

Como un ∈ C1c (I) implica que un = 0 sobre ∂I, entonces u = 0 sobre ∂I, por tanto u(a) = 0, de

donde

|u(x)| = |u(x)− u(a)| =∣∣∣∣∫ x

au′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ‖u′‖L1(I),

esto es,

‖u‖L∞(I) ≤ ‖u′‖L1(I). (1.2)

Como ya demostramos, cuando la medida del espacio es finita, la inclusión

i : Lp2(X) −→ Lp1(X)

es continua con p1 ≤ p2. En particular

i : Lp(I) −→ L1(I) y i : L∞(I) −→ Lp(I)

son continuas para todo 1 ≤ p ≤ ∞. Por tanto existen constantes C1 y C2 tal que

‖u′‖L1(I) ≤ C1‖u′‖Lp(I) (1.3)

y

‖u‖Lp(I) ≤ C2‖u‖L∞(I). (1.4)

De (1.2) y (1.3) se tiene que‖u‖L∞(I) ≤ C1‖u′‖Lp(I)

y junto con (1.4) se obtiene que

‖u‖Lp(I) ≤ C1C2‖u′‖Lp(I).

De modo que

‖u‖W 1,p(I) = ‖u‖Lp(I) + ‖u′‖Lp(I)

≤ C1C2‖u′‖Lp(I) + ‖u′‖Lp(I)

= C‖u′‖Lp(I).

Con C = C1C2 + 1.

A partir de la anterior demostración obtenemos el siguiente resultado.

29

Corolario 1.1 (Desigualdad de Poincaré-Wirtinger). Sea I un intervalo acotado y sea 1 ≤ p ≤ ∞,entonces existe una constante C tal que para todo u ∈W 1,p(I)

‖u− uI‖W 1,p(I) ≤ C‖u′‖Lp(I)

con uI una constante definida por

uI =1

µ(I)

∫Iu(t)dt.

Demostración. Definamos a I = (a, b) entonces

uI =1

b− a

∫ b

au(t)dt

y como u ∈ W 1,p(I) entonces existe u ∈ C(I), tal que u = u c.t.p I. Por tanto, sin perdida degeneralidad supongamos que u = u, es decir u ∈ C(I) y definamos

w(x) =

∫ b

au(t)dt.

Luego, por el Teorema Fundamental de Cálculo (clásico), w es diferenciable en el sentido usualen I y w′ = u. Así por el teorema de valor medio, existe c ∈ I tal que

w(b)− w(a)

b− a= w′(c).

Es decir,

uI =1

b− a

(∫ b

au(t)dt

)= u(c),

por tanto

|u(x)− uI | = |u(x)− u(c)| =∣∣∣∣∫ x

cu′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ‖u′‖L1(I)

esto es,‖u− uI‖L∞(I) ≤ ‖u′‖L1(I).

Y usando que la inclusióni : Lp2(X) −→ Lp1(X)

es acotada con p1 ≤ p2, como se uso en la demostración anterior, se obtiene que existe unaconstante C tal que

‖u− uI‖W 1,p(I) ≤ C‖u′‖Lp(I).

30

Ahora note que para demostrar la desigualdad anterior sólo necesitamos el hecho de que uI = u(c)

para algún c ∈ I. A partir de esto obtenemos el siguiente corolario.

Corolario 1.2. Sea I un intervalo acotado y sea 1 ≤ p ≤ ∞, entonces existe una constante C talque para todo c ∈ I y para todo u ∈W 1,p(I)

‖u− u(c)‖W 1,p(I) ≤ C‖u′‖Lp(I).

Ahora mostraremos los siguientes ejemplos, para ilustrar al lector de algunas propiedades más deestos espacios y familiarizarlo un poco más de cómo se trabaja en esta teoría.

Ejemplo 15 (Desigualdad de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg para L∞). Sean I = (0, 1), 1 ≤ q <∞y 1 < r ≤ ∞ entonces existe una constante C = C(q, r) tal que

‖u‖L∞(I) ≤ C‖u‖aW 1,r(I)‖u‖1−aLq(I)

para todo u ∈W 1,r(I), donde 0 < a < 1 es definido por

a

(1

q+ 1− 1

r

)=

1

q.

Demostración. Para empezar definamos de una forma más clara a a. Ya que 1 ≤ q < ∞ y1 < r ≤ ∞ entonces 0 < 1

q ≤ 1 y 0 ≤ 1r < 1 y por tanto 0 ≤ 1

q <1q + 1− 1

r , luego

1 < q

(1

q+ 1− 1

r

).

Por consiguiente si definimos a α = q(

1q + 1− 1

r

)tendremos que existe α−1 y 0 < α−1 < 1 y

definimos a := α−1.

En primer lugar veamos que se cumple la desigualdad para el caso u(0) = 0. Definamos G(t) =

|t|α−1t entoncesG(u(x)) = |u(x)|α−1u(x).

No es dificíl demostrar que G es diferenciable y

G′(t) = α|t|α−1.

Como G(u(0)) = G(0) = 0 obtenemos

G(u(x)) =

∫ x

0G′(u(t))u′(t)dt

=

∫ x

0α|u(t)|α−1u′(t)dt.

31

Por ende

|u(x)|α =

∣∣∣∣∫ x

0α|u(t)|α−1u′(t)dt

∣∣∣∣≤∫Iα|u(t)|α−1|u′(t)|dt.

Entonces por la desigualdad de Hölder aplicado a r queda que

|u(x)|α ≤ α(∫

I|u|(α−1)r′

)1/r′ (∫I|u′|r

)1/r

(1.5)

con r′ el conjugado de r. Por otro lado

(α− 1)r′ = (α− 1)

(1− 1

r

)=((

1 + q − q

r

)− 1)(

1− 1

r

)= q

(1− 1

r

)2

< q.

Luego, por el ejemplo 7, tenemos que

‖u‖(α−1)r′ ≤ µ(I)1

(α−1)r′−1q ‖u‖q = ‖u‖q.

Esto es, (∫I|u|(α−1)r′

)1/r′

≤ ‖u‖α−1q . (1.6)

De (1.5) y (1.6) se obtiene que

|u(x)|α ≤ α‖u‖α−1q ‖u′‖r

≤ α‖u‖α−1q ‖u‖W 1,r .

Es decir,

‖u‖∞ ≤ (α)1/α‖u‖(α−1)/(α)q ‖u‖1/α

W 1,r

= (1/a)a‖u‖1−aq ‖u‖aW 1,r .

Ahora veamos que la desigualdad se cumple en el caso general. Sea u ∈ W 1,r(I) y sea ϕ ∈ C1(I)

con ϕ(0) = 0. Entonces para v = uϕ, tenemos que v ∈ W 1,r(I) y v(0) = 0, luego por el casoanterior

‖v‖∞ ≤ C‖v‖1−aq ‖v‖ar (1.7)

32

con C = (1/a)a. Por otra parte, para g ∈ Lp(I) con 1 ≤ p ≤ ∞ y f ∈ C(I) se tiene que∫|f |p|g|p ≤ ‖gp‖1‖fp‖∞

= ‖g‖pp‖fp‖∞

y por tanto‖fg‖p ≤ ‖g‖p‖fp‖1/p∞ .

Como f es continua en I implica que

‖f‖∞ = supx∈I|f(x)|

y por propiedades del sup tenemos que

‖fp‖∞ = supx∈I|f(x)|p =

(supx∈I|f(x)|

)p= ‖f‖p∞.

Se concluye que para todo f ∈ C(I) y para todo g ∈ Lp(I) con 1 ≤ p ≤ ∞ se cumple que

‖fg‖p ≤ ‖g‖p‖f‖∞.

Luego obtenemos que‖v‖1−aq = ‖ϕu‖1−aq ≤ ‖ϕ‖1−a∞ ‖u‖1−aq

y

‖v‖aw1,r = ‖ϕu‖aw1,r

= (‖ϕu‖r + ‖ϕ′u+ ϕu′‖r)a

≤ (‖ϕ‖∞‖u‖r + ‖ϕ′‖∞‖u‖r + ‖ϕ‖∞‖u′‖r)a

= ([‖ϕ‖∞ + ‖ϕ′‖∞]‖u‖r + ‖ϕ‖∞‖u′‖r)a

≤ (‖ϕ‖∞ + ‖ϕ′‖∞)a(‖u‖r + ‖u′‖r)a

= ‖ϕ‖aW 1,∞‖u‖aW 1,r .

Es decir, para todo ϕ ∈ C1(I) con ϕ(0) = 0 tenemos

C‖v‖aw1,r‖v‖1−aq ≤[C‖ϕ‖aW 1,∞‖ϕ‖1−a∞

]‖u‖aW 1,r‖u‖1−aq . (1.8)

Supongamos ahora que para todo ϕ ∈ C1(I) con ϕ(0) = 0 y para todo b > 0 existe un u0 ∈W 1,r(I)

tal que‖u0‖∞ > b‖ϕu0‖∞,

33

pero esto ocurre sólo si ‖ϕu0‖∞ = 0 para todo ϕ ∈ C1(I) con ϕ(0) = 0, luego ϕu0 = 0 c.t.p I.Pero u0(x) 6= 0 c.t.p I, pues si suponemos lo contrario entonces

0 = ‖u0‖∞ > b‖ϕu0‖∞ ≥ 0

y esto es una contradicción, por ende ϕ = 0 c.t.p I. Además como ϕ ∈ C1(I) implica que ϕ = 0,lo cual es una contradicción ya que ϕ era arbitrario. Por tanto existe almenos un ϕ0 6= 0 ∈ C1(I)

con ϕ0(0) = 0 y existe un b0 > 0 tal que para todo u ∈W 1,r(I) tenemos que

‖u‖∞ ≤ b0‖ϕ0u‖∞. (1.9)

De (1.7), (1.8) y (1.9) obtenemos que

‖u‖∞ ≤ b0‖ϕ0u‖∞≤ b0C‖ϕ0u‖aw1,r‖ϕ0u‖1−aq

≤ [b0C‖ϕ0‖aW 1,∞‖ϕ0‖1−a∞ ]‖u‖aW 1,r‖u‖1−aq ,

es decir,‖u‖∞ ≤ C0‖u‖aW 1,r‖u‖1−aq

con C0 = b0C‖ϕ0‖aW 1,∞‖ϕ0‖1−a∞ .

Ejemplo 16 (Desigualdad de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg para Lp). Sean I = (0, 1), 1 ≤ q < p <

∞ y 1 ≤ r ≤ ∞ entonces existe una constante C = C(p, q, r) tal que

‖u‖Lp(I) ≤ C‖u‖bW 1,r(I)‖u‖1−bLq(I)

para todo u ∈W 1,r(I), donde 0 < b < 1 es definido por

b

(1

q+ 1− 1

r

)=

1

q− 1

p.

Demostración. Al igual que en la demostración anterior, definamos de una forma más clara a b.Tenemos por el ejemplo anterior que

1 < q

(1

q+ 1− 1

r

)y como q < p entonces 0 < p− q < p y así

1 <p

p− q,

luego

1 <pq

p− q

(1

q+ 1− 1

r

).

34

Por consiguiente si definimos a β = pqp−q

(1q + 1− 1

r

)tendremos que existe β−1 con 0 < β−1 < 1,

por lo que definimos a b := β−1. Por otro lado

‖u‖pp =

∫I|u|q|u|p−qdt

≤ ‖uq‖1‖up−q‖∞= ‖u‖qq‖u‖p−q∞

por otro lado, por el ejemplo anterior tenemos que existe una constante C tal que

‖u‖p−q∞ ≤ Cp−q‖u‖a(p−q)W 1,r ‖u‖(1−a)(p−q)

q

con a = 1/α y α = q(

1q + 1− 1

r

). Luego

‖u‖pp ≤ Cp−q‖u‖a(p−q)W 1,r ‖u‖(1−a)(p−q)+q

q . (1.10)

Ahora note que β = pp−qα, es decir, a = p

p−q b, por tanto

a(p− q) = pb (1.11)

y

(1− a)(p− q) + q = (p− q − (p− q)a) + a

= (p− q − pb) + q

= p− pb.

Es decir,

(1− a)(p− q) + q = p(1− b). (1.12)

De (1.10), (1.11) y (1.12) obtenemos que

‖u‖pp ≤ Cp−q‖u‖pbW 1,r‖u‖p(1−b)q ,

esto es,‖u‖p ≤ C

p−qp ‖u‖b−

W 1,r‖u‖(1−b)q .

Ejemplo 17. (Desigualdad de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg caso especial) Sean I = (0, 1), 1 ≤ q <p ≤ ∞ y 1 ≤ r ≤ ∞ entonces existe una constante C = C(p, q, r) tal que

‖u‖Lp(I) ≤ C‖u′‖bLr(I)‖u‖1−bLq(I)

para todo u ∈W 1,r(I) con∫I u = 0, donde b = 1/β y

β =pq

p− q

(1

q+ 1− 1

r

)

35

Demostración. Por la desigualdad de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg tenemos que existe una cons-tante C1 tal que

‖u‖Lp(I) ≤ C1‖u‖bW 1,r(I)‖u‖1−bLq(I) (1.13)

y por la desigualdad de Poincaré-Wirtinger, existe una constante C2 tal que

‖u− uI‖W 1,r(I) ≤ C2‖u′‖Lr(I)

con uI = 1µ(I)

∫I u(t)dt. Por hipótesis obtenemos que uI = 0 y por ende

‖u‖W 1,r(I) ≤ C2‖u′‖Lr(I).

Reemplazando en (1.13) queda que

‖u‖Lp(I) ≤ C1C2‖u′‖bLr(I)‖u‖1−bLq(I).

Necesitaremos algunas propiedades del dual de W 1,p, pero antes de poder enunciar algunas pro-piedades de este espacio tenemos que trabajar el dual de un espacio de Hilbert. Para empezarnecesitaremos del siguiente teorema tomado de [Brezis, 2010, pag. 135].

Teorema 1.15 (Teorema de Representación de Riesz-Fréchet). Sea (H, (, )) un espacio de Hilberty sea ‖ · ‖ su correspondiente norma asociada a su producto interno. Dado ϕ ∈ H∗ existe un únicov ∈ H tal que

ϕ(u) = (v, u)

para todo u ∈ Hy además‖v‖ = ‖ϕ‖H∗ .

De este teorema se desprenden dos resultados. Por un lado, todo funcional lineal continuo de ϕde H se comporta como un producto interno pues si identificamos a ϕ con v obtenemos, con unabuso de la notación,

ϕ(u) = (ϕ, u).

Esto inspira a la notación de que todo funcional lineal ϕ evaluado en u, se escribe

〈ϕ, u〉.

Haciendo la alusión de que evaluar un elemento en el funcional es prácticamente el productointerno de dos elementos de H, podemos reescribir el teorema de la siguiente manera:

36

Sea (H, (, )) un espacio de Hilbert y sea ‖·‖ su correspondiente norma asociada a su productointerno. Dado ϕ ∈ H∗ existe un único v ∈ H tal que

〈ϕ, u〉 = (v, u)

para todo u ∈ H y además‖v‖ = ‖ϕ‖H∗ .

Así es como muchas veces se encuentra en la literatura.

Por otro lado, a partir de este teorema se puede probar fácilmente que H es isométrico H∗, dondediremos que dos espacios normados son isométricos o isomorfos si existe una aplicación linealbiyectiva isométrica entre ellos, la cual en este caso será

IH : H −→ H∗

v 7→ ϕ,

con ϕ(u) = (u, v) para todo u ∈ H. A esta aplicación lineal biyectiva isométrica la llamamos laisométria canónica de H en H∗. Por lo tanto es legítimo identificar a H con H∗, es decir

H ' H∗.

Usualmente se hace esto, pero no siempre. Ahora una situación típica que manejaremos adelante,donde tenemos que tener cuidado con esta identificación, es la siguiente:

Sea H = (H, (, )) un espacio de Hilbert y sea ‖ · ‖1 su correspondiente norma asociada a suproducto interno. Asumamos que V ⊂ H es un subespacio vectorial denso en H. Supongamoademás que V tiene su propia norma ‖ · ‖2, con la cual V es un espacio de Banach. Por últimosupongamos que la inclusión i : (V, ‖ · ‖2) → (H, ‖ · ‖1) es continua. Con la teoría que llevamoshasta aquí tenemos varios ejemplos de esta situación. Por ejemplo.

H = L2(X) y V = Lp(X) con p > 2 y X un espacio de medida con medida finita.

H = L2(Ω) y V = C(Ω) con la ‖ · ‖∞ y Ω ⊆ Rn medible y acotado.

H = L2(I) y V = W 1,2(I), con I un intervalo.

No es dificíl demostrar que estos ejemplos cumplen todas las hipótesis anteriormente dichas.

Ahora definimos la siguiente función

T : H∗ −→ V ∗

ϕ 7→ ϕ|V ,

37

con V ∗ el dual de V asociado a la norma ‖ · ‖2 y ϕ|V la restricción de ϕ sobre V . Es decir, paratodo v ∈ V

T (ϕ)[v] = ϕ(v),

o con la notación anteriormente mencionada

〈T (ϕ), v〉 = 〈ϕ, v〉.

A T se le llama el mapeo canónico de H∗ en V ∗ y tiene las siguientes propiedades.

Proposición 1.3. Sean H y V como se definieron anteriormente y T el mapeo canónico de H∗

en V ∗ entonces

1. T es una aplicación lineal continua y más aun para toda constante C tal que ‖v‖1 ≤ C‖v‖2para todo v ∈ V , se cumple que

‖Tϕ‖V ∗ ≤ C‖ϕ‖H∗

para todo ϕ ∈ H∗.

2. T es inyectiva.

3. R(T ) es denso en V ∗ si V es reflexivo.

Demostración. En primer lugar veamos que T esta bien definida, para esto basta ver que Tϕ =

ϕ|V ∈ V ∗ para todo ϕ ∈ H∗. En efecto, sea v ∈ V y ϕ ∈ H∗, como i : (V, ‖ · ‖2) → (H, ‖ · ‖1) escontinua existe C > 0 tal que

‖v‖1 ≤ C‖v‖2

para todo v ∈ V , entonces

|(Tϕ)[v]| = |ϕ(v)| ≤ ‖ϕ‖H∗‖v‖1 ≤ C‖ϕ‖H∗‖v‖2. (1.14)

Así Tϕ es acotada en (V, ‖·‖2) y como es lineal, puesto que es la restricción de una transformaciónlineal, queda que Tϕ ∈ V ∗. Veamos que T es una aplicación lineal continua. Es lineal pues paratodo ϕ1, ϕ2 ∈ H∗ y α ∈ R

T (αϕ1 + ϕ2) = (αϕ1 + ϕ2)|V = αϕ1|V + ϕ2|V = αT (ϕ1) + T (ϕ1),

y de (1.14) tenemos que|(Tϕ)[v]|‖v‖2

≤ C‖ϕ‖H∗

38

para todo v ∈ V − 0. Luego

‖Tϕ‖V ∗ = supv∈V−0

|(Tϕ)[v]|‖v‖2

≤ C‖ϕ‖H∗ .

Por tanto T es una aplicación lineal continua. Veamos que es inyectiva. Para esto recordemos que(V, ‖ · ‖2) es un espacio de Banach con su respectivo espacio dual V ∗ asociado a la ‖ · ‖2. Pero asu vez (V, ‖ · ‖1) es un subespacio normado denso en (H, ‖ · ‖1) y por tanto podemos hablar de suespacio dual asociado a la norma ‖ · ‖1 que notaremos por V ′. Este es un espacio de Banach conla norma ‖ · ‖V ′ . Ahora, sean ϕ1, ϕ2 ∈ H∗ tal que T (ϕ1) = T (ϕ2) = Φ, esto es,

ϕ1|V = ϕ2|V = Φ.

Tenemos que Φ ∈ V ′ y por lo anterior ϕ1 : H → R y ϕ2 : H → R son dos extensiones de Φ

con ϕ1, ϕ2 operadores lineales acotados, pero por la Proposición 1.1 Φ tiene una única extenciónΦ : V = H → R, con Φ un operador lineal acotado. Por tanto

ϕ1 = ϕ2 = Φ.

Es decir, T es inyectiva. Por último veamos que es densa. Para ver que R(T ) es densa en V ∗ bastaver que para todo funcional lineal continuo sobre V ∗ que se anula en R(T ), tiene que anularse entodo V ∗ [Brezis, 2010, pag. 8].

Sea g0 ∈ V ∗∗ tal que g0(Φ) = 0 para todo Φ ∈ R(T ), como V ∗ es reflexivo entonces la inmersioncanonica de V en V ∗∗

C : V −→ V ∗∗

x 7→ gx

con gx(Φ) = Φ(x) para todo Φ ∈ V ∗, es una isometría lineal biyectiva. Luego existe x0 ∈ V talque g0(Φ) = Φ(x0) para todo Φ ∈ V ∗. Ahora por hipótesis tenemos que

Φ(x0) = 0

para todo Φ ∈ R(T ). Esto implica que para todo ϕ ∈ H∗, ϕ(x0) = T (ϕ)[x0] = 0. Luego por elTeorema de Representación de Riesz-Fréchet, para todo x ∈ H

(x, x0) = 0.

En particular para x0 se tiene que (x0, x0) = 0 luego x0 = 0 y por consiguiente para todo Φ ∈ V ∗,g0(Φ) = Φ(x0) = Φ(0) = 0. Por tanto R(T ) es denso en V ∗.

39

De la proposición anterior, se escribe usualmente que

H∗ ⊂ V ∗.

Hay que recordar que no son subconjuntos sino que existe entre ellos una inmersión canónicaacotada y densa en caso de V ser reflexivo, adicionalmemte si identificamos a H con su espaciodual se escribe normalmente

V ⊂ H ' H∗ ⊂ V ∗,

donde las inmersiones son continuas y densas (en caso de V ser reflexivo). Sin embargo siemprese debe recordar que lo que ocurre es el siguiente diagrama

(V, ‖ · ‖2)i−−−→ (H, ‖ · ‖1)

IH−−−−→ (H∗, ‖ · ‖H∗)T−−−→ (V ∗, ‖ · ‖V ∗).

Ahora, si V es un espacio de Hilbert y si identificamos a V con V ∗, llegaríamos a que

V ⊂ V,

esto no es una contradicción, esta diciendo que existe una inmersión acotada densa de V en V nosobreyectiva

h : (V, ‖ · ‖2) −→ (V, ‖ · ‖2)

con h = IV T IH i. Por tanto para no escribir cosas confusas y aparentemente contradictorascomo éstas, sólo se identifica a uno de los dos espacios de Hilbert.

Finalmente con toda esta teoría expuesta podemos trabajar sobre el espacio dual de W 1,p0 (I) con

1 ≤ p <∞ el cual denotamos porW−1,p′(I) y al espacio dual de H10 (I) lo denotamos por H−1(I).

Para empezar veamos que H = L2(I) y V = H10 (I), con I un intervalo cualquiera, cumplen todas

las hipótesis de lo anteriormente expuesto.

Ya tenemos que H10 (I) es un subespacio vectorial de L2(I), y como C1

c (I) ⊆ H10 (I) entonces H1

0

contiene un espacio denso de L2(I) y por tanto él es denso en L2(I). También tenemos que es unespacio de Banach con su propia norma y ya que la inclusión i : W 1,p(I)→ Lp(I) es acotada paratodo 1 ≤ p ≤ ∞, tenemos que la inclusión de H1

0 es acotada. Por tanto identificando a L2(I) consu dual, pero no identificando a H1

0 (I) con su dual, obtenemos que para todo intervalo I

H10 (I) ⊂ L2(I) ⊂ H−1(I),

donde la inclusiones representan inmersiones continuas y densas.

También veamos que para H = L2(I) y V = W 1,p0 (I), con I un intervalo acotado y 1 ≤ p ≤ ∞,

se cumplen las hipótesis.

40

Por un lado tenemos queW 1,p

0 (I) ⊂ C(I) ⊂ L∞(I) ⊂ L2(I),

si I es acotado, y como C1c (I) ⊆W 1,p

0 (I) y C1c (I) es denso en L2(I) entonces W 1,p

0 (I) es denso enL2(I). Esto es, W 1,p

0 (I) es un subespacio vectorial denso de L2(I), el cual ya sabemos que con supropia norma es un espacio de Banach.

Por otro lado como la inclusión i1 : W 1,p(I)→ L∞(I) es continua por la desigualdad de Sobolev yla inclusión i2 : L∞(I)→ L2(I) es continua por el Ejemplo 7 entonces la inclusión i : W 1,p

0 (I)→L2(I) es continua.

Por tanto, si I es un intervalo acotado y 1 ≤ p ≤ ∞ obtenemos que

W 1,p0 (I) ⊂ L2(I) ⊂W−1,p′(I),

donde las inmersiones son continuas (y densas para 1 < p < ∞). Ahora análogamente si I no esacotado y 1 ≤ p ≤ 2 obtenemos que

W 1,p0 (I) ⊂ L2(I) ⊂W−1,p′(I),

donde las inmersiones son continuas (y densas para 1 < p ≤ 2). Por último, al igual que hay unTeorema de la Densidad para los espacios de Sobolev, existe un Teorema de Representación deRiesz para estos espacios tomado de [Brezis, 2010, pag. 219], el cual no resulta difícil demostrar ypor tanto lo presenta mos con su demostración.

Teorema 1.16 (Teorema de Representación para W 1,p). Sea F ∈W−1,p′(I) entonces existen dosfunciones f1, f2 ∈ Lp

′(I), con p′ el conjugado de p, tal que

〈F, u〉 =

∫If1u+

∫f2u′

para todo u ∈W 1,p0 y

‖F‖W−1,p′ = max‖f1‖p′ , ‖f2‖p′.

Demostración. Sea E = Lp(I)× Lp(I) equipado con la norma

‖h‖ = ‖h0‖p + ‖h1‖p,

donde h = (h0, h1). El mapeo T : W 1,p0 → E definido por T (u) = (u, u′) es una isométria lineal.

Por tanto G = T (W 1,p0 ) es un subespacio normado de E, equipado con la norma de E. Sea

S = T−1 : G→W 1,p0 y Definamos

Φ : G −→ Rh 7→ 〈F, Sh〉.

41

Definido Φ de esa manera es un funcional lineal acotado y así, por el Teorema de Hahn-Banach,existe Φ : E → R una extensión lineal acotada de Φ y además

‖Φ‖E∗ = ‖Φ‖G∗ .

Ya que

‖F‖W−1,p′ = supu∈W 1,p

0 −0

|〈F, u〉|‖u‖

W 1,p0

= supTu∈T (W 1,p

0 −0)

|〈F, S(T (u))〉|‖Tu‖

W 1,p0

= suph∈G−0

|〈F, Sh〉|‖h‖E

= suph∈G−0

Φ(h)

‖h‖E

= ‖Φ‖G∗ ,

entonces

‖Φ‖E∗ = ‖F‖W−1,p′ . (1.15)

Ahora note que los funcionales Φ1 : Lp(I)→ R y Φ2 : Lp(I)→ R definidos por

Φ1(h1) = Φ(h1, 0) y Φ2(h2) = Φ(0, h2)

son funcionales lineales acotados de Lp(I) y se cumple que

Φ(h) = Φ1(h1) + Φ2(h2)

para todo h = (h1, h2) ∈ E. Por el Teorema de Representación de Riesz existen f1, f2 ∈ Lp′(I) tal

que

Φ1(h1) =

∫If1h1 y Φ2(h2) =

∫If2h2

y por ende

Φ(h) =

∫If1h1 +

∫If2h2. (1.16)

Veamos que ‖Φ‖E∗ = max‖f0‖p′ , ‖f1‖p′. En efecto, nuevamente por el Teorema de Representa-ción de Riesz tenemos

‖Φ1‖(Lp)∗ = suph1∈Lp(I)−0

|Φ(h1, 0)|‖h1‖p

= ‖f1‖p′

42

y

‖Φ2‖(Lp)∗ = suph2∈Lp(I)−0

|Φ(0, h2)|‖h2‖p

= ‖f2‖p′ ,

luego

‖Φ‖E∗ = sup(h1,h2)∈E−(0,0)

|Φ(h1, h2)|‖h1‖p + ‖h2‖p

≥ sup(h1,h2)∈E−(0,0)

|Φ(h1, h2)|‖h1‖p

≥ suph1∈Lp(I)−0

|Φ(h1, 0)|‖h1‖p

≥ ‖f1‖p′ .

Análogamente se obtiene que‖Φ‖E∗ ≥ ‖f2‖p′ .

Por tanto‖Φ‖E∗ ≥ max‖f1‖p′ , ‖f2‖p′.

Por otro lado, para h ∈ E tenemos que

|Φ(h)| =∣∣∣∣∫If1h1 +

∫If2h2

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫If1h1

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫If2h2

∣∣∣∣≤∫I|f1||h1|+

∫I|f2||h2|

≤ ‖f1‖p′‖h1‖p + ‖f2‖p′‖h2‖p≤ max‖f1‖p′ , ‖f2‖p′(‖h1‖p + ‖h2‖p).

Así‖Φ‖E∗ ≤ max‖f1‖p′ , ‖f2‖p′.

Se concluye que

‖Φ‖E∗ = max‖f1‖p′ , ‖f2‖p′. (1.17)

43

Por ultimo para u ∈W 1,p0 , por (1.16), tenemos que

〈F, u〉 = 〈F, S(Tu)〉

= Φ(T (u))

= Φ(T (u))

= Φ(u, u′)

=

∫If1u+

∫If2u′

y de (1.15) y (1.17) obtenemos que

‖F‖W−1,p′ = ‖Φ‖E∗ = max‖f1‖p′ , ‖f2‖p′.

Esto concluye la demostración del teorema.

Para terminar nuestros preliminares de este trabajo introduciremos un teorema más, que es desuma importancial, conocido como El Teorema Espectral.

1.4. Teorema Espectral

Para nuestro trabajo será de suma importancia calcular el espectro de un operador que se definede la siguiente manera.

Definición. Sea T : E → E un operador lineal acotado con E un espacio normado. Esto es,T ∈ L(E,E). El conjunto resolvente de T , denotado por ρ(T ), se define como

ρ(T ) = λ ∈ R : (T − λI) es biyectiva.

Donde I es el operador identidad de E en E. El espectro de T , denotado por σ(T ), es el comple-mento de el resolvente, es decir, σ(T ) = (ρ(T ))c = R − ρ(T ). Un número real λ se dice un valorpropio de T si

N(T − λI) 6= 0.

Donde N(T ) denota el núcleo o kernel de un operador. El conjunto de valores propios es denotadopor EV (T ).

Note que λ ∈ EV (T ) si y solo si existe un vector v 6= 0 ∈ E tal que

T (v) = λv,

el vector v es llamado un vector propio asociado al valor propio λ. Ahora es claro que λ ∈ EV (T )

si y solo si (T − λI) no es inyectiva y por ende EV (T ) ⊆ σ(T ), sin embargo esta contenencia esmuchas veces estricta, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

44

Ejemplo 18. Sea T : l2 → l2 definido por T (u) = (0, u1, u2, u3, . . .) con u = (u1, u2, u3, . . .) ∈ l2,mostrar que EV (T ) 6= σ(T ).

Demostración. Es claro que T = T − 0I no es sobreyectiva puesto que no existe pre-imagen parau = (1, 0, 0, . . .) luego 0 ∈ σ(T ), pero T = T − 0I es inyectiva puesto que si T (u) = T (v) conu = (u1, u2, u3, . . .) y v = (v1, v2, v3, . . .) entonces

(0, u1, u2, u3, . . .) = (0, v1, v2, v3, . . .).

Luego uk = vk para todo k ∈ N por ende u = v, por tanto 0 /∈ EV (T ).

Ahora los casos en que esta contenencia es estricta sólo ocurren en la dimensión infinita, pues endimensión finita se puede probar que efectivamente EV (T ) = σ(T ) para todo operador lineal T .

Se enuncian a continuación algunas propiedades básicas del espectro de un operador, tomadas[Brezis, 2010, pag.163,164]

Teorema 1.17 (Propiedades del Espectro). Sea E un espacio normado y T : E → E.

1. Si T es un operador lineal acotado entonces su espectro σ(T ) es un conjunto compacto yademás

σ(T ) ⊆ [−‖T‖, ‖T‖].

2. Si T es compacto y dimE =∞ entonces

a) 0 ∈ σ(T ).

b) σ(T )− 0 = EV (T )− 0.

c) Se cumple alguno de los siguientes casos:

σ(T ) = 0.σ(T ) es un conjunto finito.

σ(T ) es una sucesión convergente al 0.

En dimensión finita todo operador es compacto y aunque no necesariamente el 0 es un valorpropio, la parte b) y c) si se cumplen. La parte b) se cumple por lo que EV (T ) = σ(T ) y la partec) se cumple pues es bien conocido por el álgebra lineal que los valores propios de un operadorlineal son siempre finitos y son menores o iguales a la dimensón del espacio.

Ahora, para poder enunciar el teorema espectral debemos recordar algunas definiciones que semanejan en análisis funcional. Estas son operador auto-adjunto y base de Hilbert.

45

Definición. Sea H un espacio de Hilbert entonces.

Un operador T ∈ L(H,H) se dice auto-adjunto si

(Tu, v) = (u, Tv)

para todo u, v ∈ H.

Una sucesión (en) en H se dice una base de Hilbert si es un conjunto ortonormal total,donde a un conjunto M se le dice total si el subespacio vectorial generado por M es densoen H, el cual se denota por 〈M〉.

A una base de Hilbert se le llama base, puesto que un conjunto ortonomal (ek) en un espacio deHilbert es total si y solo si para todo x ∈ H

x =∑k

(x, ek)ek.

Una demostración de esto se puede encontrar en [Kreyszig, 1989, Pag.170]. Ahora sí podemosenunciar el último teorema de nuestros preliminares, este es tomado de [Brezis, 2010, Pag.167].

Teorema 1.18 (Teorema Espectral). Sea H un espacio de Hilbert separable y sea T : H → H

un operador compacto auto-adjunto, entonces existe una base de Hilbert compuesta de vectorespropios.

Para familiarizar al lector con este teorema veamos un ejemplo, en la dimensión finita.

Ejemplo 19. Sea T : R3 :→ R3 definido por T (x) = Ax, con

A =

1 2 3

2 1 2

3 2 1

muestre que T cumple las hipótesis del teorema espectral y verifique que existe una base de Hilbertcompuesta de vectores propios.

Demostración. No es difícil demostrar que un operador en la dimención finita es auto-adjunto siy solo si su matriz asociada es simétrica. Es decir, es igual a su transpuesta.

Por ende T es auto-adjunta y como mencionamos anteriormente todo operador lineal en la dimen-ción finita es compacto, luego T cumple las hipótesis del teorema espectral. Calculemos explíci-tamente la base de Hilbert compuesta de vectores propios.

46

Primero calculemos los valores propios, entonces λ es un valor propio si y solo si

|A− λI| = 0.

Esto es, ∣∣∣∣∣∣∣1− λ 2 3

2 1− λ 2

3 2 1− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

es decir,−λ3 + 3λ2 + 14λ+ 8 = 0.

Luego los valores propios son

λ1 =5

2−√

41

2λ2 =

√41

2+

5

2λ3 = −2.

Ahora encontremos un valor propio asociado a cada uno de los valores propios. Para λ1 = 52−

√412 ,

v1 = (x, y, z) es un vector propio si y solo si

Av1 = λ1v1,

esto es, 1− 52 +

√412 2 3

2 1− 52 +

√412 2

3 2 1− 52 +

√412

x

y

z

=

0

0

0

,

luego

x(

√41

2− 3

2) + 2y + 3z = 0

2x+ y(

√41

2− 3

2) + 2z = 0

3x+ 2y + z(

√41

2− 3

2) = 0.

Esto es,x− z = 0

4y + z(√

41− 3).

Tomando x = 1 obtenemos

y = −√

41

4− 3

4y z = 1.

47

Por tanto un vector propio asociado a λ1 es

v1 =

(1,−√

41

4− 3

4, 1

).

Analogamente obtenemos que

v2 =

(1,

√41

4− 3

4, 1

)es un vector asociado a λ2 y

v3 = (1, 0,−1)

es un vector propio asociado a λ3. Se puede observar que v1, v2 y v3 son ortogonales y ya que todovector linealmente dependiente de un vector propio es un vector propio entonces

e1 =v1

‖v1‖,

e2 =v2

‖v2‖y

e3 =v3

‖v3‖

son vectores propios asociados a λ1, λ2 y λ3 respectivamente y como v1, v2 y v3 son ortogonalesimplica que e1, e2 y e3 son ortonormales. Además como todo conjunto de elementos ortogonaleses linealmente independiente, se obtiene que e1, e2, e3 es una base de R3 y por tanto una basede Hilbert.

Gracias al ejemplo anterior el Teorema Espectral, en la dimención finita desde un punto de vistamatricial, nos dice simplemente que escogiendo un vector propio de cada uno de los valores propiosde una matriz simétrica formamos una base ortogonal, y normalizándolos formamos una baseortonormal. Es decir, que con cada matriz simétrica podemos formar una base ortonormal devectores propios.

Finalmente tenemos toda la teoría necesaria para poder dar una aplicación del Teorema del Pasode Montaña. Antes de esto procederemos a enunciar y demostrar dicho teorema.

48

CAPÍTULO 2

TEOREMA DEL PASO DE MONTAÑA

2.1. Condiciones Palais-Smale

Para poder entender y demostrar el Teorema del Paso de Montaña primero debemos estudiar unascondiciones de compactificación sobre funcionales, conocidas como condiciones de Palais -Smale.Para esto veremos algunas propiedades y ejemplos de estas condiciones y así familiarizar un allector. Para empezar recordemos qué es un funcional diferenciable (en el sentido de Fréchet) y declase C1 sobre un espacio de Banach.

Definición. Sean E y F espacios de Banach con norma notada en ambos por ‖·‖, A ⊆ E abierto,Φ : A→ F y a ∈ A. Se dice que Φ es diferenciable en a si existe una aplicación lineal continua

Φ′(a) : E −→ F

h 7→ Φ′(a)[h],

esto es Φ′(a) ∈ L(E,F ), y existe una aplicación o(a, h) = o(h) tales que

Φ(a+ h) = Φ(a) + Φ′(a)[h] + o(h) donde lımh→0

o(h)

‖h‖= 0.

A la función o(a, h) = o(h) se le denomina el resto de la diferencial. La aplicación lineal continuaΦ′(a) : E → F es llamada la derivada de Fréchet de Φ en a.

49

Como es de esperarse, un funcional Φ se dice diferenciable en un abierto A si es diferenciable entodo punto a ∈ A y la función

Φ′ : A −→ L(E,F )

a 7→ Φ′(a)

es llamada la derivada de Fréchet de Φ. Dicho esto, podemos dar la siguiente definición.

Definición. Sean E y F espacios de Banach, A ⊆ E abierto y Φ : A→ F diferenciable en A. Sedice que Φ es un funcional de clase C1 sobre A o simplemente un funcional C1, si Φ′ es continuaen A.

Para familiarizarse un poco más con esta derivada y sus propiedades se puede revisar a [Caicedo, 2005,pag. 63-66, 75-78].

Otra derivada que manejaremos que sera de suma importancia para poder calcular la derivada deFréchet es la derivada de Gâteux que se define de la siguiente manera.

Definición. Sean E,F espacios normados, A ⊆ E abierto, a ∈ A, Φ : A→ F y v ∈ E.

Si existe el límitelımt→0

Φ(a+ tv)− Φ(a)

t,

diremos que que Φ posee derivada direccional o derivada de Gâteux en el punto a en ladirección v.

La aplicación Φ se dice Gâteux diferenciable en a ∈ A, si para todo v ∈ E existe el límite

lımt→0

Φ(a+ tv)− Φ(a)

t,

el cual denotamos por ∂Φ(a, v).

La relación de la derivada de Fréchet y la derivada de Gâteux viene dada por el siguiente teorematomado de [Caicedo, 2005, pag. 66].

Teorema 2.19. Sean E,F espacios normados, A ⊆ E abierto, a ∈ A y Φ : A→ F diferenciableen a. Entonces para todo v ∈ E

Φ′(a)(v) = lımt→0

Φ(a+ tv)− Φ(a)

t.

Esto quiere decir que si Φ es diferenciable en a en el sentido de Fréchet entonces es diferenciableen el sentido de Gâteux. Es decir, tiene todas sus derivadas direccionales.

Ahora el recíproco de este teorema no es cierto, como ilustra el siguiente ejemplo.

50

Ejemplo 20. Sea Φ : R2 → R definido por

Φ(x, y) =

x|y|x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

entonces Φ es Gâteux diferenciable en (0, 0) pero no es Fréchet diferenciable en (0, 0).

Demostración. Sea v = (v1, v2) entonces

lımh→0

Φ(0 + hv)− Φ(0)

h= lım

h→0

1

h

h|h|v1|v2|h2(v2

1 + v22)

= lımh→0

1

|h|v1|v2|

(v21 + v2

2)

= 0,

luego el límite existe y por consiguiente Φ tiene todas sus derivadas direccionales en (0, 0). Veamosque no es Fréchet diferenciable. Supongamos que es Fréchet diferenciable, así

Φ′(0)(v) = ∂(Φ, v) = 0

y

lımv→0

|Φ(0 + v)− Φ(0)− Φ′(0)(v)|‖v‖

= 0,

pero

lımv→0

|Φ(0 + v)− Φ(0)− Φ′(0)(v)|‖v‖

= lımv→0

1√(v2

1 + v22)

v1|v2|(v2

1 + v22)

= lımv→0

v1|v2|(v2

1 + v22)3/2

= lımv→0

v1|v2|‖v‖3

.

Este limite no existe, puesto que si existiera el límite restringido sobre cualquier recta debe existir,sin embargo si nos acercamos por la recta v2 = v1 obtenemos que

lımv→0

v1|v2|(v2

1 + v22)3/2

= lımv1→0

v1|v1|(2v2

1)3/2

= lımv1→0

v1|v1|23/2|v1|3

= lımv1→0

v1

23/2|v1|2

= lımv1→0

1

23/2v1

= ±∞,

lo cual es una contradicción. Por tanto Φ no es Fréchet diferenciable.

51

Ahora introducimos las condiciones de Palais-Smale. La condición original que aparece en lostrabajos de Palais y Smale, que por razones históricas se conoce como la condición (C), es lasiguiente. Esta es tomada de [Jabri, 2003, pag. 15].

Definición. Sea X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1. Entonces sedice que Φ cumple la condición (C) si para cualquier subconjunto S ⊆ X tal que la restricciónΦ|S de Φ sobre S es acotada y el 0 no se encuentra lejos de ‖Φ′‖(S), es decir el 0 es un punto deacumulación de ‖Φ′‖(S), Φ admite un punto crítico en la clausura de S.

Ahora la que actualmente se conoce como condición de Palais- Smale y es denotada por (PS),tomada de [Jabri, 2003, pag. 16], es la siguiente condición.

Definición. Sean X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1. Entonces sedice que Φ cumple la condición de Palais-Smale, denotada por (PS), si para cualquier sucesión(un) en X, tal que

(Φ(un)) es acotada y Φ′(un)→ 0, (2.1)

ésta admite una subsucesión convergente.

Cualquier sucesión que satisfaga (2.1) es llamada una sucesión de Palais-Smale. Por ultimo, nece-sitamos introducir una última condición de compacidad, que fue introducida por Brezis, Coron yNirenberg y es tomada de [Jabri, 2003, pag. 16].

Definición. Sean X un espacio de Banach, Φ : X → R un funcional de clase C1 y c ∈ R. Entoncesse dice que Φ cumple la condición de Palais-Smale (local) en el nivel c, denotada por (PS)c, sipara cualquier sucesión (un) en X, tal que

Φ(un)→ c y Φ′(un)→ 0, (2.2)

ésta admite una subsucesión convergente.

A continuación mostraremos algunas propiedades y ejemplos de estas condiciones.

Proposición 2.4. Sean X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1. Si Φ

cumple (PS) entonces Φ cumple (C).

Demostración. Sea S ⊆ X tal que la restricción Φ|S de Φ sobre S es acotada y 0 es un punto deacumulación de ‖Φ′‖(S). Entonces existe vn = ‖Φ′(un)‖ con un ∈ S para cada n ∈ N , tal que

vn → 0,

52

luego

Φ′(un)→ 0. (2.3)

Por otro lado, como Φ|S es acotada implica que (Φ(un)) es acotada, por ende existe (unk) unasubsucesión de (un) tal que

unk → u,

con u ∈ S. Como Φ ∈ C1(X) entonces Φ′ es continua, luego Φ′(unk)→ Φ′(u) y de (2.3) se obtieneque

Φ′(u) = 0.

Esto es, Φ admite un punto critico en la clausura de S.

La proposición anterior muestra que la condición (PS) implica la condición (C), pero el reciprocono es cierto, como muestra el siguiente ejemplo. Mostrando así que la condicón (PS) es más fuerteque la condición (C).

Ejemplo 21. Sea X un espacio de Banach entonces Φ = 0 cumple (C) pero no cumple (PS).

Demostración. Veamos que Φ = 0 cumple (C). En efecto, sea x ∈ X, se tiene que Φ′(x) = 0 puessi definimos a

o(h) = Φ(a+ h)− Φ(a)− Φ′(a)[h] = 0− 0− 0 = 0,

obtenemos que lımh→0o(h)‖h‖ = 0 y Φ′ = 0. Por tanto todo elemento de X es un punto crítico de Φ.

Así, para todo S ⊆ X que cumple las hipótesis de (C) éste admite un punto crítico en la clausurade S, puesto que todo punto es un punto crítico.

Veamos ahora que Φ no cumple (PS). Para esto supongamos lo contrario. Sea (un) una sucesiónen X, luego Φ(un) = 0 para todo n ∈ N, es decir (Φ(un)) es acotada. Por otro lado Φ′(un) = 0

para todo n ∈ N por consiguiente Φ′(un)→ 0, por tanto (un) admite una subsucesión convergentey ya que (un) era arbitraria implica que X es compacto, lo cual es una contradicción.

Por tanto de este ejemplo y la Proposición 2.4 queda que la condición (PS) es más fuerte que(C) y aunque ésta no es equivalente a (PS) basta con darle una condición extra para que seanequivalentes, esto se ilustra en la siguiente proposición.

Proposición 2.5. Sean X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1 ydefínase a K como el conjunto de puntos críticos de Φ en X. Entonces Φ cumple (PS) si y solosi Φ cumple (C) y para cualquier conjunto de puntos críticos B ⊆ K, tal que Φ|B es acotada,cumple que es relativamente compacto.

53

Demostración. Si Φ cumple (PS) entonces por proposición 2.4 cumple (C). Ahora veamos que secumple la segunda condición. En efecto, sea (un) en B. Como Φ|B es acotada entonces (Φ(un)) esacotada y además Φ′(un) = 0 para todo n ∈ N. Luego Φ′(un) → 0 por consiguiente (un) admiteuna subsucesión convergente. Esto implica que B es relativamente compacto.

Veamos ahora que se cumple el recíproco. Sea (un) una sucesión de Palais-Smale. Sin perdida degeneralidad supongamos que tiene rango infinito. Defínase

S1 = un : n ∈ N,

luego Φ|S1 es acotado y como Φ′(un) → 0 entonces 0 ∈ ‖Φ′‖(S1), por ende existe v1 ∈ S1 unpunto critico de Φ. Ahora supongamos que un no admite subsucesiones convergentes. Es decir, notiene límites subsecuenciales y por tanto

S1 = S1,

luego v1 ∈ S1 y por tanto v1 = un1 para algún n1 ∈ N. Defínase ahora

S2 = S1 − un : n ≤ n1,

el cual es distinto de vacío por ser S1 infinito y análogamente obtenemos que Φ|S2 es acotado y0 ∈ ‖Φ′‖(S2). Luego existe v2 ∈ S2 tal que Φ′(v2) = 0. Pero nuevamente S2 = S2, ya que delo contrario (un) tendría un límite subsecuencial. Por tanto v2 = un2 para algún n2 ∈ N. Así,sucesivamente construimos una subsucesión (unk) de (un) tal que

Φ′(unk) = 0

para todo k ∈ N yunk 6= unl

con k 6= l. Ahora defínase B = unk : k ∈ N y como (Φ(un)) es acotada entonces Φ|B es acotada,por tanto B es relativamente compacto, luego existe (unkl ) una subsucesión de (unk) y por endeuna subsucesión de (un) tal que

unkl → u

con u ∈ B, lo cual es una contradicción.

Ya hemos visto algunos ejemplos y propiedades de las condiciones (PS) y (C). Veamos ahora unejemplo de un funcional que cumple (PS)c para algún c ∈ R, pero no para todo c ∈ R, con el finde familiarizarnos con esta última condición de Palais-Smale.

Ejemplo 22. El funcional Φ : R → R definido por Φ(u) = sin(u) satisface (PS)c para todoc ∈ R− 1,−1, pero no cumple (PS)c para c = 1,−1, y por ende no cumple (PS).

54

Demostración. Sea c ∈ R− 1,−1 y sea (un) en R tal que

Φ(un)→ c y Φ′(un)→ 0,

esto es, sin(un)→ c y cos(un)→ 0, luego

sin2(un) + cos2(un)→ c2.

y ya que sin2(un) + cos2(un) = 1 para todo n ∈ N, implica que c2 = 1, es decir c = ±1, lo cual esuna cotradicción. Por tanto no existe ninguna sucesión (un) que cumpla (2.2) para Φ(u) = sin(u),y por tanto Φ cumple (PS)c por vacuidad.

Ahora si c = 1, entonces tómese un = π/2 + 2nπ por tanto sin(un) = 1 y cos(un) = 0. Como sepuede ver en la siguiente gráfica.

Figura 2.1: la sucesión (un)

LuegoΦ(un)→ 1 y Φ′(un)→ 0,

pero (un) no tiene subsucesiones convergentes. Por tanto Φ no cumple (PS)1. Análogamente sedemuestra que Φ no cumple (PS)−1, tomando un = −π/2 + 2nπ.

Es claro que si Φ cumple (PS) entonces cumple (PS)c para todo c ∈ R. Es natural preguntarnossi el recíproco es cierto. La respuesta es afirmativa como muestra la siguiente proposición.

Proposición 2.6. Sean X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1 entoncesΦ cumple (PS) si y solo si Φ cumple (PC)c para todo c ∈ R.

55

Demostración. Supongamos que Φ que cumple (PS) y sea (un) en X tal que

Φ(un)→ c y Φ′(un)→ 0,

para algún c ∈ R, luego (Φ(un)) es acotada y por ende (un) admite una subsucesión convergente.

Ahora supongamos que Φ cumple (PC)c para todo c ∈ R y sea (un) una sucesión de Palais-Smale.Es decir,

(Φ(un)) es acotada y Φ′(un)→ 0,

pero (Φ(un)) es una sucesión de números reales, luego por el Teorema de Heine-Borel A = Φ(un) :

n ∈ N es relativamente compacto. Es decir, toda sucesión de A tiene una subsucesión convergente,luego existe una subsucesión (Φ(unk)) de (Φ(un)) convergente a algún número real c y comotoda subsucesión de una sucesión convergente, converge y converge al mismo límite, entoncesΦ′(unk) → 0 y por ende (unk) admite una subsucesión convergente. Es decir, (un) admite unasubsucesión convergente.

Veamos ahora una propiedad de la condición (PS)c.

Proposición 2.7. Sean X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1 quecumple (PS)c para algún c ∈ R, entonces el conjunto

Kc = u ∈ X : Φ(u) = c y Φ′(u) = 0

es compacto. Es decir, la condición (PS)c es una condición de compactificación en el funcional Φ

en el sentido que el conjunto de puntos críticos Kc de Φ en el nivel c es compacto.

Demostración. Sea (un) una sucesión en Kc entonces se cumple que

Φ(un)→ c y Φ′(un)→ 0,

luego existe una subsucesión (unk) de (un) tal que unk → u con u ∈ Kc. Por otro lado

Kc = Φ−1(c) ∩ (Φ′)−1(0)

y como c y 0 son conjuntos cerrados en R y L(X,R) entonces Φ−1(c) y (Φ′)−1(0) sonconjuntos cerrados en X, pues Φ y Φ′ son funciones continuas. Luego Kc es cerrado y por endeu ∈ Kc. Es decir, toda sucesión de Kc tiene una subsucesión convergente en él. Por tanto escompacto.

56

Note que la proposición anterior no garantiza que si Φ cumple (PS)c para todo c ∈ R entonces elconjunto de puntos críticos de Φ,

K =⋃c∈X

Kc,

sea compacto. En general esto no es cierto, pero para poder dar un ejemplo de un funcional Φ

que cumple (PS) y su conjunto de puntos críticos K no es compacto, veamos primero algunaspropiedades para garantizar dicha condición.

Proposición 2.8. Sea Φ ∈ C1(Rn,R), si la función

|Φ|+ ‖Φ′‖ : Rn −→ R

es coerciva, es decir la función tiende a ∞ cuando ‖x‖ tiende a ∞, entonces Φ cumple (PS).

Demostración. Sea (un) una sucesión de Palais-Smale, luego existen M1 y M2 reales positivos talque para todo n ∈ N

|Φ(un)| < M1 y ‖Φ′(un)‖ < M2.

Por tanto(|Φ|+ ‖Φ′‖)(un) < M1 +M2

para todo n ∈ N. Luego si suponemos que (un) no es acotada entonces existe (unk) una subsucesiónde (un) tal que

‖unk‖ → ∞

y por ende(|Φ|+ ‖Φ′‖)(un)→∞,

lo cual es una contradicción. Por tanto (un) es acotada y por teorema de Heine-Borel, A = un :

n ∈ N es relativamente compacto. Es decir, toda sucesión de A tiene una subsucesión convergente,en particular (un).

CuandoX es un espacio de Banach de dimensión infinita el criterio anterior no aplica. Sin embargo,podemos dar el siguiente resultado más general.

Proposición 2.9. Sea Φ ∈ C1(X,R) con X un espacio de Banach. Suponga que

Φ′(u) = L(u) +K(u),

donde L es un operador lineal invertible continuo con inversa continua y K es compacto y supongaque cualquier sucesión de Palais-Smale de Φ en X es acotada. Entonces Φ cumple (PS).

57

Demostración. Sea (un) una sucesión de Palais-Smale, es decir (Φ(un)) es acotada y

Φ′(un) = L(un) +K(un)→ 0.

Por endeun + L−1(K(un))→ 0.

Por otro lado, como K es compacto entonces A = K(un) : n ∈ N es relativamente compacto.Veamos que B = L−1(A) = L−1(K(un)) : n ∈ N es relativamente compacto. En efecto, comoL−1 es continuo y con inversa continua tenemos que

L−1(A) = L−1(A) = B,

y puesto que A es compacto entonces L−1(A) = B es compacto. Es decir, B es relativamentecompacto.

Por tanto (L−1(K(un))) admite una subsucesión convergente; es decir, existe (L−1(K(unk))) unasubsucesión de (L−1(K(un))) tal que

L−1(K(unk))→ w

con w ∈ X y como toda subsucesión de una sucesión convergente converge y converge al mismolímite, entonces

unk + L−1(K(unk))→ 0.

Luegounk → −w.

Por tanto (un) admite una subsucesión convergente.

Ahora sí, veamos un ejemplo de un funcional Φ que cumpla (PS) y que su conjunto de puntoscríticos K no sea compacto.

Ejemplo 23. El funcionalΦ : R −→ R

u 7→ u+ sin(u)

satisface la condición (PS) y su conjunto de puntos críticos no es acotado y por ende no escompacto.

Demostración. Como

(|Φ|+ |Φ′|)(u) = |u+ sin(u)|+ |1 + cos(u)|

≥ |u+ sin(u)|

≥ |u| − 1

58

entonceslımu→∞

(|Φ|+ |Φ′|)(u) =∞.

Es decir, Φ es coerciva y por proposición 2.8 cumple la condición de (PS). Por otro lado Φ′(u) =

1+cos(u) = 0 si y solo si u = (2k−1)π para algún k ∈ Z, por tanto el conjunto de puntos críticosde Φ es

K = (2k − 1)π : k ∈ Z,

como ilustra la Figura 2.2 .

Figura 2.2: puntos críticos

Es claro que el conjunto de puntos críticos K de Φ no es compacto.

Por último, ya que los ejemplo de funcionales que se han mostrado, que cumplen alguna de estascondiciones de Palais-Smale, han solo sido en Rn. Veamos un par de ejemplos de funcionales endimensión infinita que cumple la condición (PS). El primero será uno muy sencillo y el segundonecesitara más maquinaria para poder demostrar dicha condición.

Antes de enunciar el primer ejemplo consideremos el espacio de medida (N, P (N), µ), con P (N) laspartes de los naturales y µ la medida de conteo. Es decir, para A ⊆ N, µ(A) = |A| (su cardinal) siA es finito y ∞ en otro caso. Veamos que lp = Lp(N, P (N), µ). En efecto, no es difícil demostrar,

59

usando el Teorema de la Convergencia Monótona, que para

f : N −→ Rn 7→ an

se tiene que ∫fdµ =

∞∑n=1

an

y por tanto f = (an) ∈ Lp(N, P (N), µ) si y solo si∑∞

n=1 |an|p <∞ y tiene ‖an‖p = (∑∞

n=1 |an|p)1/p.

Obteniendo así la igualdad deseada.

Hicimos el análisis anterior para mostrar que efectivamente Lp(N, P (N), µ) es lp, de esta maneratodo lp se puede ver como un Lp y por tanto toda la teoría que se ha expuesto de los espaciosLp se cumple en los lp, en particular el Teorema de Representación de Riesz. Procedamos ahoraa dar nuestro primer ejemplo en dimensión infinita.

Ejemplo 24. SeaΦ : l2 −→ R

(xn) 7→∑∞

n=1 x2n

entonces Φ cumple la condición de (PS).

Demostración. Para empezar, procederemos a encontrar la derivada de Fréchet de Φ, para estosupongamos por un momento que Φ es diferenciable en x = (xn) ∈ lp entonces por Teorema 2.14debemos tener que para todo v = (vn) ∈ l2

Φ′(x)(v) = lımt→0

Φ(x + tv)− Φ(x)

t

= lımt→0

∑∞n=1(xn + tvn)2 −

∑∞n=1 x

2n

t

= lımt→0

∑∞n=1 x

2n + 2txnvn + t2v2

n − x2n

t

= lımt→0

2∞∑n=1

xnvn + t

∞∑n=1

v2n

= 2

∞∑n=1

xnvn

= 2(x,v)2.

Por el Teorema de Representación de Riez tenemos que para todo x ∈ l2 el funcional definidocomo

fx : l2 −→ Rv 7→ (x,v)2

60

es un funcional lineal acotado con ‖fx‖ = ‖x‖2, obtenemos que

Φ′(x)(v) = 2fx(v).

Por ende, este es nuestro candidato a ser la derivada de Fréchet. Hasta aquí no hemos demostradonada. Veamos que 2fx es en efecto la derivada de Fréchet de Φ.

Sea x ∈ l2 y v ∈ l2 y defínase

o(v) = Φ(x + v)− Φ(x)− 2fx(v)

= 2

∞∑n=1

xnvn +

∞∑n=1

v2n − 2

∞∑n=1

xnvn

= ‖v‖22,

luego

lımv→0

o(v)

‖v‖2= lım

v→0‖v‖2 = 0.

Por tanto Φ es diferenciable en x y como este era arbitrario, queda que Φ es diferenciable en l2 y

Φ′(x)(v) = 2fx(v).

Esto es,Φ′(x) = 2fx.

Veamos que Φ′ es continua. En efecto, sea ε > 0 y tomese δ = ε/2 , si x1,x2 ∈ l2 tal que‖x1 − x2‖2 < δ entonces

‖Φ′(x1)− Φ′(x2)‖ = 2‖fx1 − fx2‖ = 2‖fx1−x2‖ = 2‖x1 − x2‖2 < ε,

por ende Φ ∈ C1(l2,R). Veamos finalmente que cumple la condición de (PS). Sea (xn) una sucesiónen l2 tal que

(Φ(xn)) es acotada y Φ′(xn)→ 0.

Ahora‖Φ′(xn)‖ = 2‖fxn‖ = 2‖xn‖2,

luego ‖xn‖2 → 0 por tanto xn → 0 en l2. así toda sucesión de Palais-Smale de Φ admite unasubsucesión convergente.

Este ejemplo se dá con el fin de mostrar un ejemplo en la forma mas sencilla posible en la dimensióninfinita, pero se puede demostrar de manera análoga que

Φ : Lp(X) −→ Rf 7→ ‖f‖pp

61

cumple la condiciones de (PS) con X un espacio de medida cualquiera y se deja como ejercicio.

Antes de proceder con el siguiente ejemplo en la dimensión infinita,recordemos que en el ejemploanterior la derivada de Gâteux nos dio de manera fácil un candidato de la derivada de Fréchet,sinembargo el verificar que este era la derivada de Fréchet es aveces tedioso. Por tanto con el fin deahorrarnos cuentas innecesarias presentamos el siguiente criterio, tomado de [Kung-Ching, 2005,pag 3.]

Teorema 2.20. Sean E,F espacios normados, A ⊆ E abierto y Φ : A→ F Gâteux diferenciableen A. Si además todas sus derivadas direccionales (Gâteux) son continuas, Esto es, para todov ∈ E la función

∂Φ(·, v) : A −→ F

a 7→ ∂Φ(a, v)

es continua, con

∂Φ(a, v) = lımt→0

Φ(a+ tv)− Φ(a)

t.

Entonces Φ es Fréchet diferenciable en A.

Procedemos a dar el segundo ejemplo en dimensión infinita, el cual es más interesante.

Ejemplo 25. SeaL : D(L) ⊂ H1

0 (I) −→ L2(I)

u 7→ −u′′

con I = (0, π) y D(L) = u ∈ H10 (I) : u′ ∈ H1(I), sean λ ∈ R un número fijo y F ∈ H−1(I).

Entonces el funcionalΦλ : H1

0 (I) −→ R

definido por

Φλ(u) =1

2

∫I[(u′(x))2 − λu2(x)]dx− 〈F, u〉

cumple que

1. Si λ /∈ EV (L) entonces Φλ cumple (PS).

2. Si λ ∈ EV (L) y F = 0 entonces Φλ no cumple (PS).

Demostración. En primer lugar veamos que EV (L) = 1, 4, 9, . . . , n2, . . .. En efecto, λ es unvalor propio si y solo si

L(u) = λu

62

para algún u 6= 0 y u ∈ D(L). Ahora para todo u ∈ H1(I) tenemos que u ∈ H10 (I) si y solo si

u = 0 sobre ∂I [Brezis, 2010, Pag. 217]. Por tanto u(0) = 0 y u(π) = 0. Luego λ es un valor propiosi y solo si existe una solución no trivial en D(L) al siguiente problema de frontera

u′′ + λu = 0 (2.4)

u(0) = 0 y u(π) = 0.

Hay que tener en cuenta que en (2.4) se esta derivando débilmente y por tanto no sabemos sies una ecuación diferencial clásica. Veamos que si existe u ∈ D(L) que satisface (2.4) entoncesu ∈ C2(I). En efecto, sea u ∈ D(L) tal que satisface (2.4). Así u ∈ H1

0 (I) y u′ ∈ H1(I) y yaque H1(I) ⊆ C(I) entonces u′ ∈ C(I) y por el segundo Teorema Fundamente del Cálculo paraSobolev tenemos que

u(x) =

∫ x

0u′(t)dy

para todo x ∈ I. Como u′ es continua entonces estamos sobre la integral de Riemmann. Porel Primer Teorema Fundamental de Cálculo (clásico) u ∈ C1(I) con derivada usual u′ y comou′′ = −λu se obtiene que u′′ ∈ C1(I). Análogamente, usando el Segundo Teorema Fundamentalde Cálculo para Sobolev y el Primer Teorema Fundamental de Cálculo (clásico), obtenemos queu′ ∈ C1(I) con derivada usual u′′ ∈ C1(I). Esto es, u′ ∈ C2(I) y como la derivada usual de u esu′ entonces u ∈ C3(I) ⊆ C2(I).

Ahora si λ ≤ 0 tenemos que la solución general de (2.4) en C2(I) es

u(x) = C1e√

(−λ)x + C2xe√

(−λ)x,

con C1 y C2 constantes y por la condición de frontera tenemos

0 = C1

0 = C1e√

(−λ)π + C2πe√

(−λ)π,

luego C1 = C2 = 0. Por tanto u = 0. Esto quiere decir que L no tiene valores propios negativos.Ahora si λ > 0 tenemos que la solución general de (2.4) en C2(I) es

u(x) = C1 cos(√λx) + C2 sin(

√λx),

y ya que se debe cumplir que u(0) = 0 y u(π) = 0, entonces

0 = C1

0 = C1 cos(√λπ) + C2 sin(

√λπ),

63

luegoC2 sin(

√λπ) = 0.

Por otro lado C2 6= 0, de lo contrario u=0, entonces sin(√λπ) = 0. sin embargo, esto ocurre si y

solo si√λπ = nπ para algún n ∈ N. Es decir,

λ = n2.

Por consiguiente EV (L) = 1, 4, 9, . . . , n2, . . .. Por tanto podemos enumerar y ordenar a losvalores propios de L,

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ,

conλn = n2

para todo n ∈ N.

Ahora identificando a L2(I) con su dual pero no a H10 (I) tenemos que

H10 (I) ⊂ L2(I) ' (L2(I))∗ ⊂ H−1(I),

o de manera más clara

H10

i−−−→ L2(I)IL2−−−−→ (L2(I))∗

T−−−→ H−1(I),

donde las inmersiones son continuas y densas. Ahora demostremos el primer punto. Sea λ /∈EV (L), primero veamos que

C20 (I) = u ∈ C2(I) : u(0) = 0 y u(π) = 0

es denso en H10 (I). En efecto, tenemos que

C∞c (R) ⊆ C∞(I) ⊆ Ck(I).

Por el teorema de Densidad para Espacios de Sobolev, Ck(I) es denso en H1(I) para todo k ∈ Nentonces en particular C2(I) es denso en H1(I), luego C2

0 (I) es denso en H10 (I). Ya que C2

0 (I) ⊆D(L) se obtiene que D(L) también es denso en H1

0 (I), y por tanto L tiene una única extenciónlineal acotada

L : H10 (I) −→ L2(I)

con ‖L‖L(D(L),L2) = ‖L‖L(H10 ,L

2).

64

Calculemos ahora la derivada de Gâteux de Φλ. Sea u ∈ D(L) y v ∈ C1c (I) obtenemos que

∂Φλ(u, v) = lımh→0

12

∫I [(u

′ + hv′)2 − λ(u+ hv)2]dx− 〈F, u+ hv〉 − 12

∫I [(u

′)2 − λu2]dx+ 〈F, u〉h

= lımh→0

(1

2h

∫I[2hu′v′ + h2(v′)2 − 2λhuv − λh2v2]dx− h〈F, v〉

h

)= lım

h→0

(∫Iu′v′dx+

h

2

∫I(v′)2dx− λ

∫Iuvdx− λh

2

∫Iv2dx− 〈F, v〉

)=

∫I(u′v′ − λuv)dx− 〈F, v〉

=

∫I(−u′′v − λuv)dx− 〈F, v〉

=

∫I(L(u)v − λuv)dx− 〈F, v〉.

Por tanto

∂Φλ(u, v) = (L(u), v)2 − λ(u, v)2 − 〈F, v〉, (2.5)

luego para todo u ∈ H10 y para todo v ∈ C1

c (I)

∂Φλ(u, v) = (L(u), v)2 − λ(u, v)2 − 〈F, v〉.

Para cada u fijo ∂Φλ(u, v) es un operador lineal acotado sobre C1c (I), pues (u, ·) : L2(I) → R es

continuo sobre (L2, ‖ · ‖2) y como la inclusión i : H10 (I)→ L2(I) es continua entonces

(u, ·)2 : (H10 (I), ‖ · ‖H1) −→ R

es continua. En particular(u, ·)2 : (C1

c (I), ‖ · ‖H1) −→ R

es continua. Luego∂Φλ(u, ·) : (C1

c (I), ‖ · ‖H1) −→ R

es un funcional lineal acotado. Entonces se puede extender de manera única a C1c (I) = H1

0 (I) yobtenemos que para todo v ∈ H1

0 (I)

∂Φλ(u, v) = (L(u), v)2 − λ(u, v)2 − 〈F, v〉.

Por otra parte para v fijo tenemos que ∂Φλ(·, v) : H10 (I)→ R es continua. Entonces Φλ es Fréchet

diferenciable con derivada continua

Φ′λ(u) = fL(u) − fλu − F,

65

confu : L2(I) −→ R

v 7→ (u, v)2,

que restringido a H10 sabemos que es continua ((L2)∗ ⊆ H−1). También podemos reescribir la

derivada como sigueΦ′λ(u) = fL(u)−λu − F,

y si recordamos aIL2 : L2(I) −→ (L2(I))∗

u 7→ fu,

la isometría canónica de L2 en su dual, obtenemos que

Φ′λ(u) = IL2(L(u)− λu)− F. (2.6)

Como λ /∈ EV (L), veamos que L− λId es un homeomorfismo de

H10 → L2.

Tenemos que L− λId : D(L)→ L2(I) es un operador lineal acotado e inyectivo, pues λ no es unvalor propio y por tanto existe G = (L − λId)−1 : R(L) → D(L) su operador lineal inverso. Sivemos que G es continuo, éste se podrá extender de manera única a todo L2(I), y como L− λIdtambién se puede extender de manera única, las extensiones deben ser inversas una de la otra.Luego L− λId (la extención de L− λId) será continua, biyectiva y con inversa continua. Veamosentonces que D es acotado. Esto es, existe C > 0 tal que para todo v ∈ R(L) se cumple que

‖Gv‖H1 ≤ C‖v‖2, (2.7)

por la inyectividad no es difícil ver que (2.7) se cumple si y solo si existe C > 0 tal que para todou ∈ D(L) se cumple que

‖u‖H1 ≤ C‖(L− λId)(u)‖2. (2.8)

Veamos que (2.8) se cumple. Sea u ∈ D(L) con u 6= 0, tenemos que

‖L− λId(u)‖2 = ‖ − u′′ − λu‖2 = ‖u′′ + λu‖2 = ‖w′‖2,

con w(x) = u′(x) + λ∫ x

0 u(t)dt y x ∈ I. Entonces por Corolario 1.2, existe C0 > 0 tal que paratodo x0 ∈ I se tiene que

‖w − w(x0)‖H1 ≤ C0‖w′‖2 = C0‖L− λId(u)‖2. (2.9)

66

Por otro lado por la desigualdad de Sobolev, existe C1 > 0 tal que para todo u ∈ W 1,2(I) secumple que

‖u‖∞ ≤ C1‖u‖H1 .

En particular para w − w(x0) se tiene que

‖w − w(x0)‖∞ ≤ C1‖w − w(x0)‖H1 . (2.10)

Tenemos que ver que‖w − w(x′0)‖∞ ≥ ‖u′‖∞,

para algún x′0 ∈ I. En efecto, como u′ ∈ C(I) y I es compacto, existe x1 ∈ I tal que

|u′(x1)| = supx∈I|u′(x)| = ‖u′‖∞.

Si λ < 0, tenemos 2 casos a) u′(x1) ≥ 0 ó b) u′(x1) < 0. Si se cumple a), supongamos que

λ

∫ x1

xu(t)dt− u′(x) < 0, (2.11)

para todo x ∈ I. Ahora u′(x1) 6= 0 ya que de lo contrario ‖u′‖∞ = 0. Luego u′ = 0. Es decir, usería una constante y como u(0) = 0 entonces u = 0. Entonces existe una vecindad Vx1 de x1, talque u′ > 0 en Vx1 . Como u ∈ C(I) significa que tiene máximo y mínimo, pero no pueden estar enla frontera de I; es decir, en 0 y π, ya que de lo contrario el máximo y mínimo de u serían 0 y porende u sería la función nula. Por tanto el máximo y mínimo de u están en el interior de I. Estoes, u′ se anula en ellos (tiene ceros) y por consiguiente la vecindad Vx1 se puede extender máximohasta el intervalo (y0, y1) donde u′ > 0 en (y0, y1) y

u′(y0) = 0 y u′(y1) = 0.

Por tanto y0 y y1 son puntos extremos y como u′ > 0 en (y0, y1), entonces u es estrictamentecreciente sobre (y0, y1). Por tanto y0 es un mínimo y y1 es un máximo de u, y además

y0 < x1 < y1,

y no existen más ceros de u′ (puntos críticos) en [y0, y1]. Ahora por (2.11) tenemos que

λ

∫ x1

y1

u(t)dt < 0 y λ

∫ x1

y0

u(t)dt < 0.

Es decir, ∫ y1

x1

u(t)dt < 0 y∫ x1

y0

u(t)dt > 0. (2.12)

67

Ahora si u ≥ 0 en I tenemos una contradicción. Por tanto u(y0) < 0 y u(y1) ≥ 0. Luego por elTeorema del Valor Intermedio existe x2 ∈ [y0, y1] tal que

u(x2) = 0,

además u ≥ 0 en [x2, y1] y u < 0 en [y0, x2]. Tenemos 2 posibles casos más: i) x2 ≤ x1 ó ii)x1 < x2. Si ocurre i) entonces u ≥ 0 en [x1, y1] y por tanto∫ y1

x1

u(t)dt ≥ 0,

contradiciendo la parte izquierda de (2.12). Si ocurre ii) entonces u < 0 en [y0, x1) y por ende∫ x1

y0

u(t)dt < 0,

contradiciendo la parte derecha de (2.12). Por tanto existe x′2 ∈ I tal que

λ

∫ x1

x′2

u(t)dt− u′(x′2) ≥ 0,

luego

w(x1)− w(x′2) = u′(x1) + λ

∫ x1

x′2

u(t)dt− u′(x′2) ≥ u′(x1) ≥ 0.

Esto es,|w(x1)− w(x′2)| ≥ |u′(x1)| = ‖u′‖∞,

de aquí se obtiene que‖w − w(x′2)‖∞ ≥ ‖u′‖∞.

Ahora si se cumple b), suponga que para todo x ∈ I

λ

∫ x1

xu(t)dt− u′(x′2) > 0

y análogamente como en el caso a) se llega a una contradicción. Por tanto existe x′2 ∈ I tal que

λ

∫ x1

x′2

u(t)dt− u′(x′2) ≤ 0,

luego

w(x1)− w(x′2) = u′(x1) + λ

∫ x1

x′2

u(t)dt− u′(x′2) ≤ u′(x1) ≤ 0,

entonces|w(x1)− w(x′2)| ≥ |u′(x1)| = ‖u′‖∞

68

y de aquí se obtiene que‖w − w(x′2)‖∞ ≥ ‖u′‖∞.

Por último si λ > 0, se procede de manera similar. En cualquier caso siempre existe x′2 ∈ I talque

‖w − w(x′2)‖∞ ≥ ‖u′‖∞, (2.13)

y de (2.9), (2.10) y (2.13), obtenemos que

‖u′‖∞ ≤ ‖w − w(x′2)‖∞≤ C1‖w − w(x′2)‖H1

≤ C0C1‖L− λId(u)‖2.

Es decir,

‖u′‖∞ ≤ C0C1‖L− λId(u)‖2. (2.14)

Por último, por el ejemplo 7, tenemos que existe C2 > 0 tal que

‖u′‖2 ≤ C2‖u′‖∞ (2.15)

y por la desigualdad de Poincaré existe C3 > 0 tal que

‖u‖H1 ≤ C3‖u′‖2. (2.16)

De (2.14), (2.15) y (2.16) obtenemos

‖u‖H1 ≤ C3‖u′‖2≤ C3C2‖u′‖∞≤ C3C2C1C0‖L− λId(u)‖2.

Queda así demostrado (2.8) y por tanto se obtiene (2.7). Por lo dicho anteriormente (L− λId) esun homeomorfismo. Luego IL2 (L− λId) es un homeomorfismo de

H10 → (L2)∗ ⊆ H−1,

así su inversa (L− λId)−1 I−1L2 es un homeomorfismo de

(L2)∗ → H10

y puesto que (L2)∗ es denso en H−1, este homeomorfismo se puede extender de manera única en

H−1 → H10 .

69

Veamos que Φλ cumple (PS). Sea (un) en H10 (I) una sucesión de Palais-Smale a nivel c, esto es,

Φλ(un)→ c

yΦ′λ(un) = IL2(L(un)− λun)− F → 0.

Como Φ′λ(un) ∈ L(H10 ,R) = H−1(I) entonces Φ′λ(un) +F es una sucesión en H−1(I) convergente

a F . Por tanto(L− λId)−1 I−1

L2 (Φ′λ(un) + F )→ (L− λId)−1 I−1L2 (F )

en H10 (I), pero

(L− λId)−1 I−1L2 (Φ′λ(un) + F ) = (L− λId)−1 I−1

L2 (IL2(L(un)− λun))

= un.

Es decir queun → (L− λId)−1 I−1

L2 (F ).

Por tanto Φλ cumple (PS).

Veamos que se cumple el segundo punto del ejemplo. Esto es, λ ∈ EV (L) y F = 0, luego λ = λk

para algún k ∈ N y existe ϕk ∈ D(L) una función propia asociada a λk. Por tanto consideremosla sucesión (un) = (nϕk), entonces tenemos que

−nϕ′′k = nλkϕk,

multiplicando a ambos lados por nϕk,

−n2ϕ′′kϕk = n2λkϕ2k,

luego ∫In2λkϕ

2kdx = −

∫In2ϕ′′kϕkdx

=

∫In2ϕ′kϕ

′kdx

=

∫In2(ϕ′k)

2dx,

es decir,

Φλ(nϕk) =

∫I(nϕ′k)

2dx−∫Iλk(nϕk)

2dx = 0.

70

Por otro lado, de (2.6) tenemos que

Φ′λ(nϕk) = IL2(L(nϕk)− λk(nϕk))

= IL2(λknϕk − λknϕk)

= IL2(0)

= 0.

Por tanto obtenemos queΦλ(un)→ 0 y Φ′λ(un)→ 0.

Pero (un) no admite subsucesiones convergentes, es decir Φλk no cumple (PS).

Este ejemplo en particular lo utilizaremos más adelante para dar una aplicación al Teorema delPaso de Montaña, por el momento procederemos a ver un principio variacional, que será necesariopara poder demostrar el teorema principal de nuestro trabajo.

2.2. Principio Variacional de Ekeland

Existen 2 formas famosas de demostrar el Teorema del Paso de Montaña, uno es vía por el Lemade Deformación y la otra es vía Principio Variacional de Ekeland. Nosotros los haremos a partirdel segundo. El lector que esté interesado en saber acerca del Lema de de Deformación y lademostración del Teorema del Paso de Montaña usando dicho Lema puede buscar en [Jabri, 2003,pag. 33-47, 67].

Para poder enunciar y demostrar el Principio Variacional de Ekeland es necesario entender elconcepto de la semicontinuidad. Con el fin de presentar dicho concepto en su forma más generaly, a su vez, de una manera clara y natural, partiremos de otro concepto, una generalización de lassucesiones.

2.2.1. Redes

Antes de continuar, para trabajar esta sección introduciremos alguna notación extra de la topo-logía general. Denotaremos a (X, τ) un espacio topológico con τ su topología y dado un x ∈ Xdenotaremos a V (x) el conjunto de las vecindades de x. Para una sucesión dada (xn) y un conjuntoB diremos que xn ∈ B para casi todo n si existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces xn ∈ B.Diremos que xn ∈ B para infinitos valores de n si para todo N ∈ N existe un n0 ≥ N tal quexn0 ∈ B.

71

Es bien conocido por topología general, la siguiente proposición tomada de [Rubiano.O, 2010,Pag.83-84,137].

Proposición 2.10. Sea X un espacio topológico 1-contable, entonces para todo Y ⊆ X se cumpleque.

1. x ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn) en Y tal que xn → x.

2. Una función f : X → Z, con Z un espacio topológico cualquiera, es continua en x si y solosi para toda sucesión (xn) en X si xn → x entonces f(xn)→ f(x).

Esto significa que en los espacios topológicos 1-contables, la adherencia y la continuidad quedancaracterizadas por las sucesiones. Pero si quitamos la condición de ser 1-contable, este resultadoes falso, como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 26. Sea X = R con la siguiente topología τ = Y ⊆ X : Y c es numerable, ó Y c = X(la topología de los complementos numerables) y sea Y = R −

√2 entonces

√2 ∈ Y pero no

existe ninguna sucesión (xn) ∈ Y tal que xn →√

2.

Demostración. Sea V√2 ∈ V (√

2) entonces√

2 ∈ V√2 y (V√2)c es numerable, por ende V√2 es nonumerable y por consiguiente

Y ∩ V√2 = V√2 − √

2 6= ∅.

Luego√

2 ∈ Y . Supongamos ahora que existe una sucesión (xn) en Y tal que xn →√

2, esto esque para toda V√2 ∈ V (

√2) tenemos que

xn ∈ V√2

para casi todo n. Si tomamos a V = R − xn : n ∈ N entonces√

2 ∈ V , ya que xn ∈ Y , esdecir, xn 6=

√2 para todo n ∈ N. Por otro lado como V tiene complemento numerable entonces

V ∈ V (√

2), peroxn /∈ V

para todo n ∈ N, lo cual es una contradiccón. Por tanto no existe una sucesión (xn) en Y

convergente a√

2.

De este hecho surge la necesidad de dar una generalización de las sucesiones de tal manera quese pueda caracterizar la continuidad y la adherencia. Se conocen 2 tipos de generalización de lassucesiones, una es conocida como los filtros y la otra como las redes. Puesto que las redes resultanser una generalización más natural, trabajaremos sobre este concepto. Si el lector desea leer acercade los filtros en caso de no conocerlos, puede buscar en [Rubiano.O, 2010, Cap. 5]. Ahora antesde definir el concepto de redes, introduzcamos la definición de conjunto dirigido.

72

Definición. Sea A un conjunto no vacío y ≤ una relación de A. Al par (A,≤) se le dice dirigidosi se cumple que

1. Para todo α ∈ A, α ≤ α.

2. Dados α, β, γ ∈ A, si α ≤ β y β ≤ γ entonces α ≤ γ.

3. Dados α, β ∈ A, existe γ ∈ A tal que α ≤ γ y β ≤ γ.

Procedemos ahora sí a definir una red de la siguiente manera, que es tomada de [Sanjuán, 2007,Pag.2].

Definición. Sea X un espacio topológico y A un conjunto dirigido. Una red en X es una función

x : A −→ X

α 7→ xα,

y la denotamos por (xα)α∈A.

De manera parecida a las sucesiones, para Y ⊆ X, decimos que

xα ∈ Y finalmente para α, si existe un α0 ∈ A tal que para todo α ∈ A, si α ≥ α0 entoncesxα ∈ Y .

xα ∈ Y frecuentemente para α, si para todo α ∈ A existe β ∈ A tal que β ≥ α y xβ ∈ Y .

La red (xα)α∈A converge a x0 ∈ X si para toda vecindad Vx0 de x0, se tiene que xα ∈ Vx0finalmente para α, y lo denotamos xα → x0 o lımxα = x0.

Es claro que una sucesión (xn) es una red y los conceptos de finalmente para α y frecuentementepara α son generalizaciones de para casi todo n y para infinitos valores de n, al igual que laconvergencia en redes es una generalización de la convergencia en sucesiones. Veamos ahora quelas redes caracterizan la adherencia y la continuidad.

Proposición 2.11. Sea X un espacio topológico

1. Si X es Hausdorff y (xα)α∈A una red de X entonces si xα → x y xα → y entonces x = y.

2. Si Y ⊆ X entonces x ∈ Y si y solo si existe una red (xα)α∈A de Y tal que xα → x.

3. Una función f : X → Z , con Z un espacio topológico, es continua en x si y solo si paratoda red (xα)α∈A de X si xα → x entonces f(xα)→ f(x).

73

Demostración.

1. Supongamos que x 6= y, entonces existen Vx y Vy vecindades de x y y respectivamente conVx ∩ Vy = ∅. Por otro lado existen α0, α1 ∈ A tal que si α ≥ α0 y α ≥ α1 entonces

xα ∈ Vx y xα ∈ Vy

respectivamente. Entonces si tomamos β ∈ A tal que β ≥ α0 y β ≥ α1, el cual existe pordefinición de conjunto dirigido, obtenemos que

xβ ∈ Vx ∩ Vy

lo cual es una contradicción y por ende x = y.

2. Si x ∈ Y entonces para toda V ∈ V (x) tenemos que

V ∩ Y 6= ∅.

Se puede mostrar fácilmente que V (x) con la relación ⊇ (contiene a) es un conjunto dirigido.Por tanto definimos la red (xV )V ∈V (x) tal que

xV ∈ V ∩ Y

para todo V ∈ V (x). Veamos que xV → x. En efecto, sea U ∈ V (x) entonces para todoV ∈ V (x) tal que V ⊆ U se tiene que

xV ∈ V ∩ Y ⊆ U ∩ Y ⊆ U.

Esto es, xV ∈ U finalmente para V , luego xV → x.

Recíprocamente, sea (xα)α∈A una red de Y tal que xα → x entonces para toda vecindad Vxde x, existe α0 ∈ A tal que

xα0 ∈ Vx

y como xα0 ∈ Y , entoncesVx ∩ Y 6= ∅,

es decir, x ∈ Y .

3. Si f : X → Z es continua en x y (xα)α∈A una red de X convergente a x. Veamos quef(xα)→ f(x). Sea Vf(x) ∈ V (f(x)) entonces existe Vx ∈ V (x) tal que

f(Vx) ⊆ Vf(x)

74

y existe un α0 ∈ A tal que si α ≥ α0 entonces xα ∈ Vx luego

f(xα) ∈ f(Vx) ⊆ Vf(x)

para todo α ≥ α0. Esto es, f(xα) ∈ Vf(x) finalmente para α, es decir, f(xα)→ f(x).

Recíprocamente supongamos que para toda red (xα)α∈A en X, tal que xα → x, se tieneque f(xα) → f(x) y supongamos además que f no es continua en x. Por ende existeVf(x) ∈ V (f(x)) tal que para toda V ∈ V (x) se tiene que

f(V ) * Vf(x).

Es decir que para cada V ∈ V (x) existe xV ∈ V tal que

f(xV ) /∈ Vf(x),

y por lo anteriormente expuesto (xV )V ∈V (x) es una red de X convergente a x. Como f(xV ) /∈Vf(x) para todo V ∈ V (x), f(xV ) no converge a f(x), lo cual es una contradicción y portanto f es continua.

Queda probado que las redes caracterizan la adherencia y la continuidad. Este hecho generalmentees muy útil. Sin embargo, nosotros tenemos que introducir un concepto más de las redes para poderdefinir la semicontinuidad.

Definición. Sea (xα)α∈A una red de R. Decimos que a es un límite inferior de xα, y lo notamosa = lımxα, si dado ε > 0, a− ε < xα finalmente para α y xα < a+ ε frecuentemente para α.

Diremos también que b es un límite superior de xα, y lo notamos b = lımxα, si dado ε > 0,b+ ε > xα finalmente para α y xα > b− ε frecuentemente para α.

No es difícil demostrar y se deja como ejercicio que

lımxα = supα∈A

ınfβ≥α

xβ (2.17)

lımxα = ınfα∈A

supβ≥α

xβ. (2.18)

Veamos algunas propiedades del límite inferior y superior.

Proposición 2.12. Sea (xα)α∈A una red de R entonces existe un único a ∈ R tal que

a = lımxα

donde R denota a R extendido.

75

Demostración. El limite inferior existe por (2.17), puesto que en R todo conjunto no vacío tienesup e ınf. Veamos que es único.

Supongamos que existen a y a′, 2 limites inferiores de (xα), y supongamos sin perdida de genera-lidad que a′ < a y sea ε > 0 entonces existe α0 ∈ A tal que si α ≥ α0 entonces a− ε < xα. Paraα0 existe α′0 ∈ A con α′0 ≥ α0 tal que xα′0 < a′ + ε. Luego

a− ε < xα′0 < a′ + ε.

Esto es,a < a′ + 2ε

y como ε > 0 era arbitrario entoncesa ≤ a′

lo cual es una contradicción.

El límite superior de cualquier red también existe y es único en los reales extendidos y su demos-tración es análoga. Por otro lado, como es de esperarse del límite superior y del inferior se tienela siguiente proposición.

Proposición 2.13. Sea (xα)α∈A una red de R entonces

lımxα ≤ lımxα.

Más aun, (xα)α∈A converge si y solo si lımxα = lımxα y en tal caso

lımxα = lımxα = lımxα.

Demostración. Sea ε > 0, si denotemos a a = lımxα y a b = lımxα entonces a− ε < xα finalmentepara α y xα < b+ ε finalmente para α. Luego existe un α0 ∈ A tal que

a− ε < xα0 < b+ ε.

Esto implica quea < b+ 2ε

y como ε > 0 era arbitrario obtenemos que

a ≤ b.

76

Veamos que si a = b entonces xα → a. En efecto, sea ε > 0 entonces existe α0 y α1 en A tal que siα ≥ α0 y α ≥ α1 entonces a− ε < xα y xα < b+ ε = a+ ε, respectivamente, y como A es dirigidoexiste β ∈ A tal que α0 ≤ β y α0 ≤ β y por tanto para todo α ≥ β se tiene que

a− ε < xα < a+ ε.

Esto es,|xα − a| < ε,

por tanto xα → a.

Recíprocamente si xα → x con x ∈ R, veamos que lımxα = x = lımxα. Sea ε > 0 entonces existeα0 tal que si α ≥ α0 entonces

|xα − x| < ε.

Es decir,x− ε < xα < x+ ε,

luego tenemos que x − ε < xα finalmente para α y a su vez xα < x + ε finalmente para α,como finalmente para α implica frecuentemente para α, obtenemos por un lado que x − ε < xα

finalmente para α y que xα < x + ε frecuentemente para α, es decir que x = lımxα; por otrolado, obtenemos que x − ε < xα frecuentemente para α y que xα < x + ε finalmente para α asíx = lımxα.

Por último veamos una pequeña propiedad que nos será de utilidad.

Lema 2.1. Sean (xα)α∈A una red en R, a = lımxα y b ∈ R entonces se tiene que b ≤ xα finalmentepara α si y solo si b ≤ a.

Demostración. Sea b ≤ xα finalmente para α y supongamos que b > a entonces para ε > 0, setiene que

xα < a+ ε < b+ ε

frecuentemente para α y tenemos que

b− ε < b < xα

finalmente para α. De donde b = lımxα = a, lo cual es una contradicción. Por tanto b ≤ a.

Veamos ahora el recíproco. Supongamos que b ≤ a entonces tenemos 2 casos i) b < a y ii) b = a.Si se cumple i), existe ε > 0 tal que b = a− ε y por ende

xα ≥ a− ε = b

finalmente para α. Ahora si se cumple ii) entonces para todo ε > 0 se tiene que xα ≥ b − ε

finalmente para α. Como ε es arbitrario entonces se obtiene que b ≤ xα finalmente para α.

77

Finalmente podemos presentar el concepto de semicontinuidad.

2.2.2. Semicontinuidad

El concepto de la semicontinuidad se divide en 2 formas, la semicontinuidad inferior y la se-micontinuidad superior, que se define de la siguiente manera y es tomadada de [Sanjuán, 2007,Pag. 5].

Definición. Sean X un espacio topológico de Hausdorff, Φ : X → R un funcional y x0 ∈ A. Sedice que Φ es semicontinua inferiormente en x0 si para toda red (xα)α∈A de X con xα → x0, setiene que

lımΦ(xα) ≥ Φ(x0).

Se dice que Φ es semicontinua inferiormente en X si es semicontinua inferiormente en todo x ∈ Xy se escribe que Φ ∈ sci(X).

Se dice que Φ es semicontinua superiormente en x0 si para toda red (xα)α∈A de X con xα → x0,se tiene que

lımΦ(xα) ≤ Φ(x0).

Se dice que Φ es semicontinua superiormente en X si es semicontinua superioremente en todox ∈ X.

Presentamos a la semicontinuidad con esta definición pues a nuestra opinión es la forma másnatural de hacerlo. Sin embargo en los textos usualmente se dá otra definición a partir de laimagen inversa de colas. El siguiente teorema muestra que nuestra definición y la usualmentedada coinciden.

Teorema 2.21. Sea X un espacio de Hausdorff entonces Φ ∈ sci(X) si y solo si Φ−1(a,∞) esabierto para todo a ∈ R.

Demostración. Supongamos que Φ es semicontinua inferiormente en X y que para algún a ∈ R,tenemos que

F = Φ−1(−∞, a]

no es cerrado, luego existe x0 ∈ F − F y existe (xα)α∈A una red de F tal que xα → x0 y comoxα ∈ Φ−1(−∞, a] entonces

Φ(xα) ≤ a (2.19)

78

para todo α ∈ A y ya quelımΦ(xα) ≥ Φ(x0),

por el Lema 2.1,Φ(x0) ≤ Φ(xα)

finalmente para α, luego existe un α0 tal que

Φ(x0) ≤ Φ(xα0). (2.20)

Como x0 /∈ F , implica que Φ(x0) /∈ (−∞, a]. Es decir,

Φ(x0) > a. (2.21)

De (2.19), (2.20) y (2.21) obtenemos que

a < Φ(x0) ≤ Φ(xα0) ≤ a,

lo cual es una contradicción.

Veamos ahora el recíproco. Supongamos que Φ−1(a,∞) es abierto para todo a ∈ R y sean x0 ∈ Xy (xα)α∈A una red de X tal que xα → x0, entonces para todo ε > 0 tenemos que

Φ−1(Φ(x0)− ε,∞) = Ux0,ε

es un abierto y como x0 ∈ Φ−1(Φ(x0) − ε,∞) entonces Ux0,ε es una vecindad de x0, por tantoxα ∈ Φ−1(Φ(x0)− ε,∞) finalmente para α. Esto es, Φ(xα) > Φ(x0)− ε finalmente para α. Luegopor el Lema 2.1,

Φ(x0)− ε ≤ lımΦ(xα)

y puesto que el ε es arbitrario se obtiene que

Φ(x0) ≤ lımΦ(xα).

Por ende Φ ∈ sci(X).

Análogamente se obtiene un resultado similar para la semicontinuidad superior. A continuación,veamos la relación que hay entre la continuidad y la semicontinuidad.

Proposición 2.14. Sean X un espacio topológico de Hausdorff y Φ : X → R un funcionalentonces Φ es continua si y solo si Φ es semicontinua superior e inferiormente.

79

Demostración. Si Φ es continua entonces para todo x0 y toda (xα)α∈A en X, tal que xα → x0, setiene que Φ(xα)→ Φ(x0). Luego

lımΦ(xα) = lımΦ(xα) = Φ(x0).

EntonceslımΦ(xα) ≥ Φ(x0) y lımΦ(xα) ≤ Φ(x0),

por ende Φ es semicontinua inferior y superiormente.

Recíprocamente, si Φ es semicontinua inferior y superiormente, entonces para todo x0 ∈ X y todared (xα)α∈A en X, tal que xα → x0, se tiene que

lımΦ(xα) ≥ Φ(x0) y lımΦ(xα) ≤ Φ(x0),

luegolımΦ(xα) ≤ Φ(x0) ≤ lımΦ(xα),

pero esto ocurre solo silımΦ(xα) = lımΦ(xα) = Φ(x0),

por tanto Φ(xα)→ Φ(x0) así Φ es continua.

Ahora si X es 1-contable tenemos que la semicontinuidad queda caracterizada por las sucesionescomo se puede observar en la siguiente proposición.

Proposición 2.15. Sea X un espacio 1-contable y Hausdorff entonces Φ ∈ sci(X) si y solo sipara todo x0 ∈ X y toda sucesión (xn) en X, tal que xn → x0, entonces

lımΦ(xn) ≥ Φ(x0).

A esta caracterización por sucesiones se le llama semicontinuidad inferior por sucesiones.

Demostración. Análogamente, como se demostró el teorema 2.21, se obtiene que Φ es semicontinuainferiormente por sucesiones si y solo si Φ−1(a,∞) es abierto para todo a ∈ R, simplemente usandola proposición 2.10, pues ésta permite cambiar la palabra red por sucesión en la demostración delteorema 2.21.

Se tiene que todo espacio métrico es 1-contable, por tanto tenemos esta caracterización sobreestos espacios y en particular sobre los espacios normados. Hemos visto cómo se comporta lasemicontinuidad globalmente. La siguiente proposición nos dice cómo se comporta localmente ysu demostración se deja como ejercicio.

80

Proposición 2.16. Φ es semicontinua inferiormente en x0 si y solo si para todo a < Φ(x0),existe una vecindad Vx0 de x0 tal que

x0 ∈ Vx0 ⊆ Φ−1(a,∞).

Es decir, para todo a < Φ(x0), x0 es un punto interior de Φ−1(a,∞).

Por último y más importante, la semicontinuidad inferior asegura un mínimo sobre los espacioscompactos, como ilustra el siguiente enunciado.

Proposición 2.17. Sean X un espacio compacto y de Hausdorff y Φ ∈ sci(X). Entonces Φ tieneun mínimo en X.

Demostración. Sea ε > 0 fijo pero arbitrario, entonces tenemos que para cada x ∈ X,

x ∈ Φ−1(Φ(x)− ε,∞),

el cual es abierto. Por tantoΦ−1(Φ(x)− ε,∞)x∈X

es una cubierta abierta, entonces existen x1, x2, . . . , xn ∈ X tal que

X ⊆ Φ−1(Φ(x1)− ε,∞) ∪ Φ−1(Φ(x2)− ε,∞) ∪ · · · ∪ Φ−1(Φ(xn)− ε,∞)

= Φ−1[(Φ(x1)− ε,∞) ∪ (Φ(x2)− ε,∞) ∪ · · · ∪ (Φ(xn)− ε,∞)]

= Φ−1[(Φ(x0)− ε,∞)]

con Φ(x0) = mınΦ(x1),Φ(x2), . . . ,Φ(xn) donde obviamente x0 = xi para algún i = 1, 2, . . . n ypor ende x0 ∈ X. Por otro lado, tenemos que

Φ(X) ⊆ (Φ(x0)− ε,∞);

es decir, que para todo x ∈ X,Φ(x) > Φ(x0)− ε

y como ε era arbitrario obtenemos que

Φ(x) ≥ Φ(x0)

para todo x ∈ X.

Con el fin de presentar algunos ejemplos de funciones semicontinuas no continuas, presentamos lasiguiente proposición. Recordemos que una función Φ : R→ R tiene una descontinuidad en x0 deprimera especie si existen sus limites laterales, los cuales denotamos Φ(x−0 ),Φ(x+

0 ) y ocurre queestos límites no son iguales (discontinuidad de salto) o que los límites laterales son iguales pero lafunción evaluada en x0 es distinto a estos límites( discontinuidad evitable).

81

Proposición 2.18. Sea Φ : B ⊆ R→ R una función con una discontinuidad de primera especieen x0 y semicontinua inferiormente en B, entonces Φ(x0) = mınΦ(x−0 ),Φ(x+

0 ). Recíprocamentesi Φ cumple que para todo x0,

lımε→0

Φ(x0 − ε) = Φ(x−0 )

ylımε→0

Φ(x0 + ε) = Φ(x+0 )

existen y Φ(x0) = mınΦ(x−0 ),Φ(x+0 ) entonces Φ ∈ sci(B).

Demostración. Supongamos, sin perdida de generalidad, que Φ(x−0 ) < Φ(x+0 ) y supongamos ade-

más que Φ(x0) = Φ(x+0 ), luego sea a ∈ R tal que

Φ(x−0 ) < a < Φ(x+0 ) = Φ(x0).

Por tanto x0 ∈ Φ−1(a,∞). Así, existe Vx0 una vecindad de x0 tal que Vx0 ⊆ Φ−1(a,∞). Escojamosun ε > 0 tal que x0 − ε ∈ Vx0 , luego

Φ(x0 − ε) ≥ a.

De dondeΦ(x−0 ) = lım

ε→0Φ(x0 − ε) ≥ a,

lo cual es una contradicción. Por tanto Φ(x0) = Φ(x−0 ) = mınΦ(x−0 ),Φ(x+0 ).

Veamos ahora el recíproco. Si Φ tiene todos su limites laterales y además cumple que para todox0 ∈ B,

Φ(x0) = mınΦ(x−0 ),Φ(x+0 ).

Entonces sea (xn) una sucesión en R tal que xn → x0, luego para todo ε > 0, |xn−x| < ε para casitodo n. Esto geométricamente significa que xn se va acercando por la derecha y/o por la izquierdaa x0. Entonces como los limites laterales existen, para los valores de n para los cuales xn se acercaa x por la derecha se tendrá que Φ(xn) se acerca a Φ(x+

0 ) y para los valores de n para los cualesxn se acerca a x por la izquierda, se tendrá que Φ(xn) se acerca a Φ(x−0 ). Por lo tanto los únicoslímites subsecuenciales posibles de (Φ(xn)) son Φ(x+

0 ) y Φ(x−0 ). Como en las sucesiones, el límitesuperior e inferior son el sup y el ınf de los limites subsecuenciales de una sucesión, obtenemosque

lımΦ(xn) ≥ mınΦ(x−0 ),Φ(x+0 )

donde el "mayor o igual" se debe a que Φ(x−0 ) o Φ(x+0 ) pueden no ser un limite subsecuencial. Por

ejemplo si se toma una sucesión (xn) monótonamente decreciente que converga a x0 se obtendráque el único límite subsecuencial de (Φ(xn)) es Φ(x+

0 ) ya que se acerca únicamente por la derecha.Esto es independiente de si Φ(x+

0 ) es o no el mınΦ(x−0 ),Φ(x+0 ).

82

Por tantolımΦ(xn) ≥ mınΦ(x−0 ),Φ(x+

0 ) = Φ(x0),

por lo cual Φ es semicontinua inferiormente en B.

De la proposición anterior tenemos que toda función continua salvo discontinuidades de primeraespecie es semicontinua inferiormente, siempre y cuando la función evaluada en las descontinui-dades sea igual a su limite lateral más pequeño. Algunos ejemplos de funciones semicontinuasinferiormente son los siguientes:

1. Una función continua cualquiera como

Φ1(x) = ex

Figura 2.3: grafica de Φ1

2. Una función continua con una discontinuidad de primera especie como

Φ2(x) =

12x si x ∈ [0, 1]

x2

4 + 1 si x ∈ (1, 4)

83

Figura 2.4: grafica de Φ2

3. Una función continua con dos discontinuidades de primera especie como

Φ3(x) =

sinx+ 5 si x ∈ [0, π)

cosx+ 4 si x ∈ [π, 3π2 ]

125 (x− 3π)3 + 17

2 si x ∈ (3π2 , 10]

Figura 2.5: grafica de Φ3

Es claro que todos los resultados que hemos dado para la semicontinuidad inferior tienen un re-sultado similar para la semicontinuidads superior. Más exactamente, en los espacios 1-contablesla semicontinuidad superior queda caracterizada por las sucesiones, en los espacios compactos lasemicontinuidad superior asegura la existencia de un máximo y una función continua en los realessalvo discontinuidades de primera especie es semicontinua superiormente si y solo si la funciónevaluada en las descontinuidades es igual a su limite lateral más grande. La demostración de estaspropiedades son análogas a las ya hechas. Por tanto, es natural preguntarnos si las funciones semi-continuas sobre los reales son simplemente funciones continuas salvo discontinuidades de primera

84

especie. La respuesta es no. Es posible encontrar funciones semicontinuas con discontinuidadesde segunda especie, como ilustra el siguiente ejemplo, donde una función Φ : R → R tiene unadiscontinuidad de segunda especie en x0 si es discontinua en x0 y sus limites laterales no existen.

Ejemplo 27. Sea Φ : R→ R, definida por

Φ(x) =

0 si x ≥ 0 y x ∈ Q

x+ 1 si x > 0 y x ∈ Ix2 + 2 si x < 0 y x ∈ Q

3 si x < 0 y x ∈ I

entonces Φ es semicontinua en 0 y tiene una descontinuidad de segunda especie en 0.

Demostración. Veamos primero que 0 es una discontinuidad de segunda especie en Φ. En efecto,supongamos que la discontinuidad es de primera especie entonces

lımε→0

Φ(0− ε) = Φ(0−)

lımε→0

Φ(0 + ε) = Φ(0+)

existen. Esto ocurre si y solo si para toda sucesión (εn) en R tal que εn > 0 y εn → 0 se tiene que

lımn→∞

Φ(0− εn) = Φ(0−)

lımn→∞

Φ(0 + εn) = Φ(0+),

luego si tomamos (εn) una sucesión positiva de los racionales y (δn) una sucesión positiva de losirracionales convergentes a cero, obtenemos que

lımn→∞

Φ(0− εn) = lımn→∞

(εn)2 + 2 = 2

lımn→∞

Φ(0− δn) = lımn→∞

3 = 3

y

lımn→∞

Φ(0 + εn) = lımn→∞

0 = 0

lımn→∞

Φ(0 + δn) = lımn→∞

δn + 1 = 1

luego2 = Φ(0−) = 3 y 0 = Φ(0+) = 1,

lo cual es una contradicción. Por ende 0 es un discontinuidad de segunda especie. Veamos ahoraque Φ es semicontinua inferiormente en 0.

85

Sea (xn) una sucesión en R, tal que xn → 0, note que Φ(x) ≥ 0 para todo x ∈ R, entoncesΦ(xn) ≥ 0 = Φ(0) para todo n por ende

lımΦ(xn) ≥ Φ(0).

Por tanto Φ es semicontinua inferiormente en 0.

Procedemos a enunciar y demostrar el Principio Variacional de Ekeland.

2.2.3. Enunciado y Demostración del Principio

El principio fue establecido en 1972 por Ekeland. Es un extraordinario resultado comparable con elTeorema del Paso de Montaña que ha probado ser una herramienta muy poderosa en muchas áreasdel análisis. Este resultado nos dice que cuando un funcional Φ de un espacio métrico completo,es semicontinuo inferiormente y acotado, este posee una sucesión minimizadora que cumple unapropiedad interesante en su reducción. El exacto enunciado es el siguiente tomado de [Jabri, 2003,pag. 23]

Teorema 2.22 (Principio Variacional de Ekeland). Sean (X, d) un espacio métrico y Φ : X → Run funcional en sci(X) acotado inferiormente. Sea ε > 0 y x ∈ X tal que

Φ(x) ≤ ınfu∈X

Φ(u) + ε.

Entonces para todo δ > 0 existe y ∈ X tal que

1. Φ(y) ≤ Φ(x)

2. d(x, y) < δ

3. Φ(y) ≤ Φ(u) + (ε/δ)d(u, y) para todo u ∈ X.

Esto significa, que dado una aproximación inicial (punto inicial) que tengamos del ınf de Φ,siempre podemos encontrar una mejor aproximación que esté tan cerca al ınf de Φ como nosotrosqueramos. Un buen gráfico que muestra lo que ocurre es la Figura 2.6, tomado de [Jabri, 2003,pag. 24].

86

Figura 2.6: Principio variacional de Ekeland

Demostración. Consideremos la relación en X dada por

u v si y solo si Φ(u) ≤ Φ(v)− ε

δd(u, v),

donde define una relación de orden parcial en X dependiente de δ. Para ver esto veamos primerola reflexividad, como Φ(u) ≤ Φ(u) + 0 = Φ(u) + (ε/δ)d(u, u), luego u u. Ahora veamos que esantisimetrica. Si u v y v u entonces

Φ(u) ≤ Φ(v)− ε

δd(u, v) y Φ(v) ≤ Φ(u)− ε

δd(u, v),

luegoΦ(u) ≤ Φ(u)− 2

ε

δd(u, v).

Por consiguiente 0 ≤ −2(ε/δ)d(u, v). Es decir, d(u, v) ≤ 0 si y solo si d(u, v) = 0, luego u = v.Por último, para ver la transitividad, supongamos que u v y v w entonces

Φ(u) ≤ Φ(v)− ε

δd(u, v) y Φ(v) ≤ Φ(w)− ε

δd(w, v).

De donde

Φ(u) ≤ Φ(w)− ε

δd(u, v)− ε

δd(w, v)

= Φ(w)− ε

δ[d(u, v) + d(w, v)]

≤ Φ(w)− ε

δd(u,w),

por tanto u w.

87

Ahora construiremos una sucesión decreciente de conjuntos cerrados (Sn) de X, usando el orden, tal que la intersección ⋂

n∈NSn = y = y(δ).

Para empezar, definamos para cada v ∈ X a

Iv = u ∈ X : u v.

Es claro que v ∈ Iv, veamos que Iv es cerrado para todo v ∈ X. En efecto, sea u ∈ Iv, por tantoexiste (un) en Iv tal que un → u. Luego, como la sucesión está en Iv, tenemos que

Φ(un) +ε

δd(un, v) ≤ Φ(v)

para cada n ∈ N. Entonces

Φ(v) ≥ lım[Φ(un) +ε

δd(un, v)]

≥ lımΦ(un) +ε

δlımd(un, v).

Como toda métrica es continua y un → u entonces

d(u, v) = lım d(un, v) = lımd(un, v)

y como Φ ∈ sci(X), tenemos quelımΦ(un) ≥ Φ(u),

por tantoΦ(v) ≥ Φ(u) +

ε

δd(u, v).

Es decir, u v. Luego u ∈ Iv, por ende Iv ⊆ Iv, si y solo si Iv = Iv. Esto es, Iv es cerrado. Ahoradefinamos a z1 = x y al conjunto

S1 = u ∈ X : u z1 = Iz1 ,

entonces tomemos a z2 ∈ S1 tal que

Φ(z2) ≤ ınfu∈S1

Φ(u) +ε

2,

el cual existe por la definición del ınf. Inductivamente construimos la sucesión (Sn), definido por

Sn = u ∈ X : u zn = Izn

con zn+1 ∈ Sn y satisface que

Φ(zn+1) ≤ ınfu∈Sn

Φ(u) +ε

n+ 1.

88

Es claro que Sn es cerrado para todo n ∈ N y ya que zn+1 zn para todo n ∈ N entonces siu ∈ Sn+1 implica que u zn+1 zn y por ende u ∈ Sn, es decir,

Sn+1 ⊆ Sn.

Tenemos que (Sn) es una sucesión decreciente de cerrados, veamos que diamSn → 0 dondediamA = supx,y∈A d(x, y), con A ⊆ X. En efecto.

Sea u ∈ Sn+1 entonces u zn+1 y u ∈ Sn. Esto implica que

Φ(u) ≤ Φ(zn+1)− ε

δd(u, zn+1).

Es decir,

Φ(u) +ε

δd(u, zn+1) ≤ Φ(zn+1)

≤ ınfv∈Sn

Φ(v) +ε

n+ 1

≤ Φ(u) +ε

n+ 1.

Por lo tanto

d(u, zn+1) ≤ δ

n+ 1(2.22)

y como (2.22) se cumple para todo u ∈ Sn+1, entonces para todo u, v ∈ Sn+1 se tiene que

d(u, v) ≤ d(u, zn+1) + d(v, zn+1) ≤ 2δ

n+ 1.

De dondediamSn ≤

2δ

n+ 1.

Luego diamSn → 0. Ya que X es completo y (Sn) es una sucesión decreciente de cerrados tal quediamSn → 0 entonces ⋂

n∈NSn = y.

Veamos que y satisface 1), 2) y 3). En efecto.

1. Como y ∈ S1 entonces y x, esto es,

Φ(y) ≤ Φ(x)− ε

δd(x, y) ≤ Φ(x).

89

2. Ahora tenemos que

ε

δd(x, y) ≤ Φ(x)− Φ(y)

≤ ınfu∈X

Φ(u) + ε− Φ(y)

= ε+ ( ınfu∈X

Φ(u)− Φ(y))

y como Φ(y) ≥ ınfu∈X Φ(u) entonces ınfu∈X Φ(u)− Φ(y) ≤ 0, por ende

ε

δd(x, y) ≤ ε+ ( ınf

u∈XΦ(u)− Φ(y)) ≤ ε.

Luegod(x, y) ≤ δ.

3. Por último, sea u ∈ X y supongamos que u y, entonces u zn para todo n ∈ N. Por endeu ∈

⋂n∈N Sn luego u = y. Por tanto y u para todo u ∈ X. Es decir,

Φ(y) ≤ Φ(u)− ε

δd(u, y).

Finalmente podemos enunciar y demostrar el teorema principal de nuestro trabajo.

2.3. El Teorema Del Paso De Montaña

Antes de enunciar el teorema introduciremos un concepto más que explica la razón de su nombre.

Definición. Sean X un espacio de Banach y Φ : X → R un funcional continuo, se dice que Φ

tiene geometría de montaña si existen r > 0 y ρ > 0 tal que

ρ = ınfu∈Sr(0)

Φ(u),

Φ(0) < ρ y Φ(u0) < ρ para algún u0 ∈ X con ‖u0‖ > r. Donde Sr(0) es la esfera con centro en 0

y radio r. Es decir, Sr(0) = u ∈ X : ‖u‖ = r.

Para entender porque un funcional con geometría de montaña tiene imagen con aspecto de mon-taña, consideremos en primer lugar a X = R. Sea Φ : R → R tal que cumple la geometría demontaña. Entonces existen r y ρ que cumplen las propiedades mencionadas anteriormente, pe-ro Sr(0) en R consiste en solo dos puntos, −r, r. Entonces las condiciones de la geometría demontaña en R se resume en el siguiente gráfico.

90

Figura 2.7: condiciones para la geometría de montaña

Es decir, consiste en solo 4 puntos, y como Φ es continua, entonces la imagen de Φ será un caminoque una estos cuatros puntos. Esta tiene una forma parecida a la siguiente imagen.

Figura 2.8: geometría de montaña en R

91

Donde se puede apreciar las montañas. Ahora en R2, bajo el mismo razonamiento, esto es, usandoel hecho de que Φ es continua, un funcional que cumpla la geometría de montaña tiene el siguienteaspecto.

Figura 2.9: geometría de montaña en R2

Finalmente procedemos a enunciar y demostrar el teorema principal de nuestro trabajo, que estomado de [Jabri, 2003, pag. 66].

Teorema 2.23 (El Teorema del Paso de Montaña, Ambrosetti y Rabinowitz ). Sean X un espaciode Banach y Φ : X → R un funcional de clase C1 si Φ satisface (PS), es decir.

Para toda sucesión (un) en X tal que si

(Φ(un)) es acotada y Φ′(un)→ 0,

ésta admite una subsucesión convergente.

Y si además Φ tiene geometría de montaña, es decir.

Existen r > 0 y ρ > 0 tal queρ = ınf

u∈Sr(0)Φ(u),

Φ(0) < ρ y Φ(u0) < ρ para algún u0 ∈ X con ‖u0‖ > r.

92

Entonces Φ tiene un valor critico c ≥ ρ con

c = ınfγ∈Γ

maxu∈γ

Φ(u)

donde Γ denota el conjunto de todos los caminos γ que unen a 0 con u0.

Demostración. Sin pérdida de generalidad tomamos a cada γ ∈ Γ definida en [0, 1], es decir,γ(0) = 0 y γ(1) = u0. Consideremos a E, el conjunto de funciones continuas γ : [0, 1] → X, setiene que E es un espacio vectorial con la suma y producto escalar definidas puntualmente y

‖γ‖Γ = maxt∈[0,1]

‖γ(t)‖,

es una norma sobre E. Ahora, Γ ⊆ E sobre la métrica que induce la norma de E es un espaciométrico completo.

Consideremos el funcional Ψ : Γ→ R definido por

Ψ(γ) = maxt∈[0,1]

Φ(γ(t)),

veamos que Ψ es semicontinua inferiormente. En efecto, sea (γn) en Γ tal que γn → γ en Γ.Por tanto γn(t) → γ(t) uniformemente en [0, 1]. Por otro lado para cada n ∈ N fijo, γ y γn

son continuas. Entonces Kn = γ([0, 1]) ∪ γn([0, 1]) es compacto. Por tanto Φ es uniformementecontinua sobre Kn. Luego para todo ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que si ‖u−v‖ < δ con u, v ∈ Kn

entonces|Φ(u)− Φ(v)| < ε.

Como γn(t)→ γ(t) uniformemente en [0, 1], existe N = N(δ(ε)) ∈ N tal que si n ≥ N entonces

‖γn(t)− γ(t)‖ < δ

para todo t ∈ [0, 1]. Luego|Φ(γn(t))− Φ(γ(t))| < ε

para todo n ≥ N y t ∈ [0, 1]. Esto es,

−ε < Φ(γ(t))− Φ(γn(t)) < ε.

Por endeΦ(γ(t))− ε < Φ(γn(t)) y Φ(γn(t)) < Φ(γ(t)) + ε,

para todo t ∈ [0, 1] y n ≥ N . Entonces

maxt∈[0,1]

Φ(γ(t))− ε < maxt∈[0,1]

Φ(γn(t))

93

ymaxt∈[0,1]

Φ(γn(t)) < maxt∈[0,1]

Φ(γ(t)) + ε.

Es decir,Ψ(γ)− ε < Ψ(γn) y Ψ(γn) < Ψ(γ) + ε,

para n ≥ N , luegolımΨ(γn) = Ψ(γ).

Por tanto queda que Ψ ∈ sci(Γ), por otro lado veamos que

c = ınfγ∈Γ

Ψ(γ) ≥ maxΦ(0),Φ(u0).

En efecto, ya que para todo γ ∈ Γ, γ(0) = 0 y γ(1) = u0 entonces Φ(γ(0)) = Φ(0) y Φ(γ(1)) =

Φ(u0) y por endemaxt∈[0,1]

Φ(γ(t)) ≥ maxΦ(0),Φ(u0),

es decir,Ψ(γ) ≥ maxΦ(0),Φ(u0)

para todo γ ∈ Γ. Esto significa que Ψ esta acotado inferiormente y efectivamente c esta biendefinido (es decir es un numero real) y se cumple que c = ınfγ∈Γ Ψ(γ) ≥ maxΦ(0),Φ(u0). ComoΨ es semicontinua inferiormente y acotada se cumplen las hipótesis del Principio Variacional deEkeland.

Luego para ε > 0, por definición de inf, existe γ′ε ∈ Γ tal que

Ψ(γ′ε) ≤ ınfγ∈Γ

Ψ(γ) + ε2 = c+ ε2.

Por el Principio Variacional de Ekeland tomando δ = ε, existe γε ∈ Γ tal que

1. Ψ(γε) ≤ Ψ(γ′ε) ≤ c+ ε2.

2. ‖γε − γ′ε‖Γ < ε.

3. Ψ(γε) < Ψ(γ) + ε‖γε − γ‖Γ para todo γ ∈ Γ.

Veamos que existe tε ∈ I tal que‖Φ′(γε(tε))‖ ≤ ε.

En efecto, primero consideremos para cada γ ∈ Γ la curva

σ(t) = γε(t)− γ(t),

94

está es una función continua con σ(0) = σ(1) = 0. Esta función es llamada la variación de γε(t)con respecto γ.

Ahora como Φ γε es continua sobre el compacto [0, 1] entonces existe tε ∈ [0, 1] tal que

Φ(γε(tε)) = Ψ(γε).

Así mismo para cada γ ∈ Γ existe yγ ∈ X tal que

Φ(yγ) = Ψ(γ).

Veamos que para cada u ∈ S1(0) existe un yγ tal que

u =yγ‖yγ‖

.

Es decir, que los vectores que maximizan a Φ sobre alguna curva γ, normalizados, cubren a S1(0).En efecto, para cada u ∈ S1(0) tomemos y = ru ∈ Sr(0). Tenemos que

mınΦ(0),Φ(u0) < ρ ≤ Φ(y).

Por tanto está bien definido el intervalo

I = [mınΦ(0),Φ(u0),Φ(y)].

Como Φ es continua y I es arcoconexo entonces Φ−1(I) es arcoconexo. Ahora, como 0, u0, y ∈Φ−1(I) entonces existe un arco γ contenido en Φ−1(I) que une a 0 con u0 y pasa por y, luegoγ ∈ Γ. Por otro lado para todo t ∈ [0, 1]

Φ(γ(t)) ∈ I.

Es decir,Φ(γ(t)) ≤ Φ(y).

Esto es,maxt∈[0,1]

Φ(γ(t)) = Φ(y).

Por tanto yγ = y = ru, entonces u = y/‖y‖ = yγ/‖yγ‖. Esto quiere decir que los vectores yγ/‖yγ‖cubren a S1(0). Más aun, para cada u ∈ S1(0) existe un arco γ tal que Φ se maximiza sobre γ enru.

Definimos para cada γ ∈ Γ a

wγ =yγ − γε(tε)

h

95

con h > 0 y ya que los vectores yγ/‖yγ‖ cubren a S1(0) entonces los vectores wγ/‖wγ‖ tambiéncubren a S1(0). Es decir, para cada u ∈ S1(0) existe un wγ tal que

u =wγ‖wγ‖

.

Ahora note que para cada y que maximiza a Φ sobre algún arco γ, esta curva nunca es única. Esdecir, siempre se puede encontrar otra curva γ′ tal que y = yγ = yγ′ , mas aún para toda curva γsiempre se puede encontrar una curva γ′ tal que yγ = yγ′ y su variación con respecto a γε cumpleque

‖σγ′‖Γ = ‖γ′ − γε‖Γ ≤ ‖yγ − γε(tε)‖.

Esto es,‖σγ′‖Γ ≤ h‖wγ‖

y por el principio variacional de Ekeland (la parte 3) tenemos que

Ψ(γε) < Ψ(γ′) + ε‖γε − γ′‖Γ.

Es decir,Φ(γε(tε)) ≤ Φ(yγ) + ε‖γε − γ′‖Γ,

luegoΦ(γε(tε))− Φ(γε(tε) + hwγ) ≤ ε‖γε − γ′‖Γ = ε‖σγ′‖Γ ≤ εh‖wγ‖.

Por tantoΦ(γε(tε))− Φ(γε(tε) + hwγ)

h≤ ε‖wγ‖.

Haciendo h→ 0 obtenemos que

Φ′(γε(tε))[−wγ ] ≤ ε‖wγ‖,

luego para todo u ∈ S1(0) obtenemos que

Φ′(γε(tε))[−u] ≤ ε.

Esto también aplica para −u ∈ S1(0), luego

Φ′(γε(tε))[u] ≤ ε.

Por ende|Φ′(γε(tε))[u]| ≤ ε

96

y por tanto

‖Φ′(γε(tε))‖X∗ = supu∈S1(0)

|Φ′(γε(tε))[u]|

≤ ε,

como queríamos ver. Por otro lado también tenemos, por el Principio Variacional de Ekeland(parte 1), que

|Φ(γε(tε))− c| = Φ(γε(tε))− c ≤ ε2.

Entonces si definimos a un = γ1/n(t1/n) con n ∈ N obtenemos que

‖Φ′(un)‖X∗ ≤1

ny |Φ(un)− c| ≤ 1

n2

para todo n ∈ N. LuegoΦ(un)→ c y Φ′(un)→ 0

y como Φ satisface (PS), existe (unk) una subsucesión de (un) tal que unk → u para algún u ∈ X.De aquí, como Φ y Φ′ son continuas, se obtiene que

Φ(unk)→ Φ(u) y Φ′(unk)→ Φ′(u),

luegoΦ(u) = c y Φ′(u) = 0.

Es decir, u es un punto crítico y c un valor crítico.

Veamos por último que c ≥ ρ. Se tiene que γ se interseca con Sr(0) para todo γ ∈ Γ. Luego existet0 ∈ (0, 1) tal que γ(t0) ∈ Sr(0) entonces

Φ(γ(t0)) ≥ ρ.

Por endemax

u∈γ([0,1])Φ(u) ≥ ρ.

Ya que esto ocurre para todo γ ∈ Γ, implica que

c = ınfγ∈Γ

maxu∈γ([0,1])

Φ(u) ≥ ρ,

concluyendo así la demostración del teorema.

En el próximo capítulo procederemos a dar una aplicación del Teorema del Paso de Montaña

97

CAPÍTULO 3

UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL PASO DE MONTAÑA

La aplicación que mostraremos del Teorema Del Paso De Montaña será su gran utilidad parademostrar la existencia de soluciones (débiles) de ecuaciones diferenciales muy generales.

3.1. El Resorte con Forzamiento

El problema que vamos a considerar es la ecuación diferencial del resorte con forzamiento f conproblema de frontera. Más precisamente

−u′′ − λu = f

u(0) = 0 u(π) = 0.(3.1)

Para empezar veamos que esta ecuación modela un resorte. Considere un resorte con una partículade masa 1 (Kg) sobre una superficie sin fricción, además suponga que sobre la partícula actúa unafuerza Fr no necesariamente conservativa. Como muestra la siguiente gráfica.

98

Figura 3.1: El Resorte

Donde centramos el origen donde el resorte tiene su longitud natural. Denotamos a λ la constantede elasticidad del resorte y a u(t) la enlogación del resorte en el tiempo t. Ahora, sobre la partículase ejerce 2 fuerzas, la fuerza ejercida por el resorte que por la ley de Hooke es

Fe = −λu

y la fuerza no necesariamente conservativa ejercida sobre la particula que notaremos por −f . Esdecir,

Fr = −f.

Entonces la fuerza total esF = Fe + Fr = −λu− f

y comoF = ma = mu′′ = u′′,

obtenemos queu′′ = −λu− f.

Es decir,−u′′ − λu = f.

Ahora procedemos a responder la siguiente pregunta ¿Como asegurar la existencia de algunasolución de (3.1) para una f muy general? Pero ¿Que quiere decir f muy general? Para estoconsideremos nuevamente a la isometría canónica de L2 sobre I = (0, π)

IL2 : L2(I) −→ (L2(I))∗.

99

Más precisamente a su inversaI−1L2 : (L2(I))∗ −→ L2(I).

Tenemos que (L2(I))∗ es denso en H−1(I). Por tanto podemos extender de manera única a I−1L2 a

todo H−1(I). Luego para cada F ∈ H−1(I) existe una f ∈ I−1L2 (H−1(I)) tal que

〈F, u〉 = (f, u)2

para todo u ∈ H10 (I). Nótese que

L2(I) ⊆ I−1L2 (H−1(I)).

Diremos que una función f : I → R está en H−1(I) si

(f, ·)2 : H10 (I) −→ Ru 7→ (f, u)2

pertenece a H−1(I). Estas funciones aquí descritas se dice que tienen -1 derivada débil.

Este conjunto es bastante grande ya que

Ck(I) ⊆ C1(I) ⊆W 1,q(I) = H1(I) ⊆ C(I) ⊆ R(I) ⊆ L∞(I) ⊆ Lp(I) ⊆ L2(I) ⊆ H−1(I).

Es decir, encierra prácticamente a todas las funciones que hemos trabajado en este trabajo yotras. Mostraremos el alcance del Teorema del Paso de Montaña utilizándolo en el problema (3.1)con f una función con -1 derivada.

3.2. El Lagrangiano

Una solución (Clásica) del problema (3.1) es una función u ∈ C1(I) con I = (0, π) y con u′

diferenciable en el sentido usual. Es decir, con 2 derivadas que cumple (3.1). Luego

−u′′ − λu = f.

Multiplicando a ambos lados por ϕ ∈ C1c (I)

−u′′ϕ− λuϕ = fϕ

e integrando sobre I obtenemos que

−∫Iu′′ϕ− λ

∫Iuϕ =

∫Ifϕ.

100

Como ϕ es de soporte compacto se anula sobre ∂I, de donde∫Iu′′ϕ = u′ϕ|∂I −

∫Iu′ϕ′ = −

∫Iu′ϕ′.

Por consiguiente ∫Iu′ϕ′ − λ

∫Iuϕ =

∫Ifϕ. (3.2)

Mostramos así que toda solución de (3.1) debe cumplir (3.2) pero para que una función cumplaesta igualdad solo necesita tener una derivada. Más aun, solo necesita tener una derivada débil.

Definición. Decimos que una función u ∈ H10 (I) es solución débil del problema (3.1) si cumple

(3.2) para toda ϕ ∈ C1c (I)

La razón de ser de esta definición es la siguiente. Si se tiene que existe una solución débil u ysi se puede demostrar que u′ ∈ H1(I) entonces nos podemos "devolver". Pues, por definición dederivada débil tenemos que para todo ϕ ∈ C1

c (I),∫Iu′ϕ′ = −

∫Iu′′ϕ.

Luego obtenemos que(−u′′ − λu− f, ϕ)2 = 0

para todo ϕ ∈ C1c (I) y como C1

c (I) es denso en L2(I), obtenemos que

−u′′ − λu = f.

Recordemos que estamos derivando débilmente. Si u′ es diferenciable entonces u es solución clásica.

Por tanto una vez tengamos una solución débil solo tenemos que ver que condiciones debe cumplirf para que la solución débil sea 2 veces diferenciable en el sentido usual y ser así una soluciónclásica. A esto se le conoce como .estudiar la regularidad del problema".

Ahora, la idea (técnica) con la cual resolveremos el problema (3.1) usando el Teorema del Pasode Montaña es la siguiente. Idea que es tomada de [Brézis et al., 1980].

Supongamos que existe un funcional Φ : H10 (I) → R Fréchet diferenciable tal que para todo

v ∈ C1c (I) cumple que

Φ′(u)[v] =

∫Iu′v′ − λ

∫Iuv −

∫Ifv.

Supongamos además que Φ tiene al menos un punto critico u0, luego para todo v ∈ H10 (I) se tiene

queΦ′(u0)[v] = 0.

101

En particular, para v ∈ C1c (I) se obtiene que∫

Iu′0v′ − λ

∫Iu0v −

∫Ifv = 0.

Esto es, u0 es solución débil de (3.1). Esto muestra que al encontrar dicho funcional,pasamos de un problema de ecuaciones diferenciales a un problema variacional.

De hecho ya sabemos quien es este funcional, puesto que en el Ejemplo 25 dimos al funcional

Φλ : H10 (I) −→ R

definido por

Φλ(u) =1

2

∫I[(u′(x))2 − λu2(x)]dx− 〈F, u〉

y demostramos que es un funcional de clase C1 y que para v ∈ H10 (I) se tiene que

Φ′(u)[v] =

∫I(u′v′ − λuv)dx− 〈F, v〉,

simplemente hay que tomar a 〈F, v〉 = (f, v)2.

El funcional Φλ es llamado el Lagrangiano del problema o sistema descrito por (3.1). La razónde este nombre se debe a la física. Veamos una pequeña introducción al lagrangiano en física y surelación con nuestro trabajo tomado de [Herbert Goldstein, 2002, pag. 21,35].

Dado un sistema de n partículas xi que se mueven bajo fuerzas conservativas, en mecánica teórica,se define al langrangiano del sistema como

L = K − V

donde K es la energía cinética del sistema, es decir,

K =1

2

n∑i=1

mi(vi)2

con mi la masa de xi, y vi la velocidad de xi en el instante de tiempo t y V es la energía potencialdel sistema.

Ahora El Principio de Mínima Acción en física dice que si σi son las trayectorias quemodelan el sistema; es decir, las trayectorias por las cuales viajan las partículas xi respectivamentecon parametrizaciones xi(t) donde t ∈ I e I es un intervalo de tiempo, se debe cumplir que elfuncional

Φ(σ1, σ2, . . . , σn) = Φ(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) =

∫IL(x1(t), x2(t) . . . , xn(t))dt

102

se minimiza en las trayectorias σi que modelan el sistema. Este funcional es llamado la Acción delsistema y desde un punto de vista físico dice que la naturaleza siempre escogerá las trayectoriasque minimicen la acción.

Por tanto la solución del sistema es un punto crítico de la acción que es exactamente lo que ocurreen nuestro caso, en general definimos.

Definición. Dada una ecuación diferencial, si existe un funcional tal que dado cualquier pun-to critico del funcional éste es solución de la ecuación diferencial, el funcional será llamado ellagrangiano o acción del sistema.

Para verificar un poco el principio de mínima acción de la física, veamos que su lagrangianocoincide con el nuestro.

Ejemplo 28. El lagrangiano del resorte desde el punto vista de la física, cuando no hay forzamiento,es Φλ con f = 0.

Demostración. Como no hay forzamiento estamos bajo fuerzas conservativas. Ahora, recordemosque u(t) mide la enlogación del resorte y λ es la constante de elasticidad. Tenemos solo unapartícula con velocidad u′(t) y masa 1 por tanto

K =1

2mv2 =

1

2u′(t)

y la energía potencial del sistema es la energía potencial elástica, que se define por

V =1

2λ(u(t))2.

Por tanto el lagrangiano del resorte sin forzamiento es

L =1

2u′(t)− 1

2λ(u(t))2,

y su acción es

Φλ(u) =1

2

∫I[(u′(x))2 − λu2(x)]dx

Ahora para finalizar, procedemos a demostrar (en algunos casos) que nuestro lagrangiano en efectotiene un punto crítico.

103

3.3. Solución al Problema

Por todo lo anteriormente expuesto si demostramos que el lagrangiano Φλ tiene un punto crítico ha-bremos demostrado la existencia de una solución (débil) al problema (3.1) y por El Teorema DelPaso de Montaña, basta ver que Φλ satisface (PS) y tiene geometría de montaña. Ahora nueva-mente por el Ejemplo 25 ya tenemos que Φλ satisface (PS) para λ /∈ EV (L) = 1, 4, . . . , n2, . . .y que no satisface (PS) para λ ∈ EV (L) = 1, 4, . . . , n2, . . .. Por tanto falta ver que Φλ tienegeometría de montaña, veamos esto en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 29. sean λ ∈ R un número fijo, I = (0, π) y F ∈ H−1(I), F 6= 0 y

Φλ : H10 (I) −→ R

definido por

Φλ(u) =1

2

∫I[(u′(x))2 − λu2(x)]dx− 〈F, u〉,

entonces existe u0 ∈ H10 (I) tal que el funcional Ψλ(u) = Φλ(u−u0) cumple geometría de montaña.

Demostración. Primero note que existe u0 6= 0 ∈ H10 (I) tal que

Φλ(u0) > 0

y un u1 6= 0 ∈ H10 (I) tal que

Φλ(u1) < 0,

pues si la función es no negativa o no positiva, 0 ∈ H10 (I) seria un un mínimo o un máximo y por

endeΦ′λ(0) = 0.

Por tantoIL2(L(0)− λ0)− F = 0.

Es decir,F = 0

y estamos suponiendo que F 6= 0.

Ahora, considere el intervalo J = (0,∞). Como Φ es continua,

Φ−1λ (J)

es abierto. Ya que u0 ∈ Φ−1λ (J) entonces existe r0 > 0 tal que

Br0(u0) ⊆ Φ−1λ (J). (3.3)

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Ahora existe un radio r1 > 0 con r1 < r0 tal que

ρ1 = ınfu∈Sr1 (u0)

Φ(u),

cumple que Φλ(u0) < ρ1. Tenemos por (3.3) que

Φλ(u) > 0

para todo u ∈ Br0(u0). En particular para u ∈ Sr1(u0) luego ρ1 > 0. Es decir, Φλ(0) = 0 < ρ1 yademás 0 /∈ Br0(u0), pues de lo contrario Φλ(0) > 0. Por tanto, tenemos para r1 y ρ1 que

ρ1 = ınfu∈Sr1 (0)

Ψλ(u),

Ψλ(0) = Φλ(u0) < ρ1 y Ψλ(u0) = Φλ(0) = 0 < ρ1. Por ultimo ‖u0‖H1 > r1, puesto que0 /∈ Br0(u0) y por ende ‖u0‖H1 ≥ r0 > r1. Por tanto se concluye que Ψλ tiene geometría demontaña.

Ahora, no demostramos que Φλ cumple geometría de montaña sino una traslación de él, esto noafecta el resultado porque

Ψ′λ(u) = (Φλ T )′(u)

= Φ′λ(T (u))T ′(u)

con T (u) = u− u0. No es difícil demostrar que T ′(u) = Id, el operador identidad, y por tanto

Ψ′λ(u) = Φ′λ(u− u0),

Así Ψλ cumple (PS) para λ /∈ EV (L) = 1, 4, . . . , n2, . . .. Puesto que si (un) es una sucesión dePalais-Smale de Ψλ entonces (un − u0) es una sucesión de Palais-Smale de Φλ y por el Ejemplo25, un − u0 → (L− λId)−1 (IL2)−1(F ), luego un → (L− λId)−1 (IL2)−1(F ) + u0.

Se concluye entonces que, por el Teorema del Paso de Montaña, Ψλ y por ende Φλ tiene un puntocrítico para λ /∈ EV (L) = 1, 4, . . . , n2, . . ., es decir, que el problema (3.1) para estos valores deλ, existe solución débil.

Ahora como comentario final, por la demostración del Teorema del Paso de Montaña sabemosque la geometría de montaña garantiza la existencia de una sucesión de Palais-Smale y por lacondición de (PS) esta sucesión tiene una subsucesión convergente y a donde converge es el puntocrítico del funcional. Por tanto para λ /∈ EV (L) = 1, 4, . . . , n2, . . ., existe al menos una sucesiónde palais-smale de Ψλ y por ende existe una sucesión de palais-smale de Φλ. Por el ejemplo 25esta sucesión converge a

(L− λId)−1 (IL2)−1(F ) = (L− λId)−1(f). (3.4)

Así no sólo sabemos que existe una solución débil al problema (3.1) para λ /∈ EV (L) = 1, 4, . . . , n2, . . .,sino que esta dada por (3.4).

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CONCLUSIONES

Se concluye que los métodos variacionales y mas precisamente el Teorema Del Paso de Mon-taña es de gran utilidad para garantizar la existencia de soluciones débiles en ecuacionesdiferenciales, sin embargo el ejemplo que dimos en este trabajo es muy sencillo. Este teo-rema puede ser utilizado para resolver otros tipos de ecuaciones diferenciales como EDOno lineales, EDP lineales, EDP lineales no homogeneas y EDP no lineales. Por ejemplo en[Brézis et al., 1980], utilizando el TPM, resuelven la siguiente ecuación diferencial parcialno lineal con condiciones de frontera y condiciones de periodicidad

∆u+ g(u) = utt − uxx + g(u) = 0

u(0, t) = 0 u(π, t) = 0

u(x, t+ 2π) = u(x, t).

Donde g : R → R es una función continua, monotonamente creciente y g(0) = 0. Pero unejemplo como este se sale del alcance del trabajo.

Nuestra aplicación también mostró la relación que hay entre los métodos variacionales y lafísica, más precisamente con el Principio de Mínima Acción.

Se concluye también que el TPM tiene sus limitaciones, puesto que no se puede decidir conél si existe o no solución a la ecuación diferencial dada en nuestro trabajo para λ ∈ EV (L).Para este caso se sugiere tomar una sucesión λk, no de valores propios, convergente a λ. Asíexistirá una sucesión uk de soluciones débiles a nuestro problema para λk respectivamentey estudiar que sucede con la sucesión de funciones (uk) cuando k tiende a infinito. Este

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problema hace parte de la teoría de la bifurcación y esta idea es desarrollada en detalle en[Kung-Ching, 2005] .

Queda pendiente ver en los casos donde existe solución débil, que condiciones debe tener fpara que la solución débil tenga segunda derivada y sea así una solución clásica. Esto haceparte del campo de la regularidad. Por esta razón no lo estudiamos, ya que no hacia partedel objetivo de este trabajo.

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