Un Procedimiento Alternativo para el Diseño Geométrico de Estructuras Espaciales.Reinaldo Togores Fernández, César Otero González, José Andrés Díaz Severiano, 

Cristina Manchado del Val.

Grupo Investigador EGICAD, Departamento de Ingeniería Geográfica y Técnicas de Expresión

Gráfica. 

Universidad de Cantabria.

Resumen. La investigación que reseña esta ponencia se refiere a la integración de métodos de

geometría computacional en un procedimiento que implementa el diseño geométrico de estructuras

espaciales que aproximan la esfera y otras superficies cuádricas. Como es bien conocido, los

procedimientos clásicos para el diseño de este tipo de estructuras recurren a la subdivisión de una

cara del poliedro elegido como base (usualmente el icosaedro) y la proyección gnomónica de la

partición resultante sobre la esfera, propagando las caras así generadas al resto de la esfera

mediante operaciones de simetría. El procedimiento alternativo que presentamos, desarrollado por

el Grupo Investigador de Expresión Grafica en la Ingeniería y Diseño Asistido por Computador

(EGICAD) de la Universidad de Cantabria, parte de establecer una nube de puntos sobre el plano

z=1 que se traslada a la esfera de radio = 1/2 mediante una proyección estereográfica. En este

caso, el plano es capaz de representar a la esfera en su totalidad. La obtención de otras superficies

cuádricas resulta de aplicar a los puntos proyectados sobre esferas de distinto radio una

transformación proyectiva. Se demuestra la posibilidad de aplicar el procedimiento descrito al

diseño de estructuras del tipo Lattice (modelo Fuller), del tipo Plate (modelo Wester) y del tipo

Geotangente (modelo Yacoe-Davies).

Contenidos

1. 1   Estructuras que aproximan la esfera.

1. 1.1   Mallas Geodésicas: el modelo Fuller.

2. 1.2   Otras Estructuras: los modelos Wester y Yacoe.

2. 2   Inversión del Plano sobre una Esfera.

3. 3   Aproximación a los tres Modelos de Mallas Espaciales.

1. 3.1   Modelo Fuller.

2. 3.2   Modelo Wester.

3. 3.3   Modelo Yacoe.

4. 4   Aproximación a otras cuádricas: el Paraboloide Ω.

5. 5   Generación del Hiperboloide y el Elipsoide de Revolución.

6. 6   Superficies Cuádricas de formas sesgadas.

7. 7   Referencias.

Estructuras que aproximan la esfera.

La regularidad a la que desde tiempo inmemorial estamos acostumbrados cuando se trata de

subdividir el plano resulta una adquisición reciente cuando se trata de discretizar para su

construcción una superficie esférica. Paradigma de este tipo de estructuras, el Domo Geodésico,

una malla de barras y nudos dispuestos según las aristas y vértices de un poliedro inscrito en la

esfera, es sin duda el tipo constructivo más característico de la segunda mitad del siglo 20.

Mallas Geodésicas: el modelo Fuller.

Pocos saben que la primera estructura de este tipo fue concebida en fecha tan lejana como 1922,

no por Buckminster Fuller sino por el Dr. Walther Bauersfeld (1879-1959), Ingeniero Jefe de la

firma Carl Zeiss en Jena. Su propósito fue alojar un prototipo de planetario. La reproducción de la

bóveda celeste en este planetario se lograba gracias al mosaico de imágenes proyectado desde su

centro. A cada imagen de este mosaico debía corresponder una superficie aproximadamente igual

de la esfera. Para ello la bóveda celeste se traslada a las caras de un poliedro de 12 caras

pentagonales y 20 hexagonales (inscritas en círculos de igual radio) obtenido mediante el

truncamiento de vértices en un icosaedro (Figura 1b). A partir de esta misma lógica, Bauersfeld

ideó una estructura con barras de acero basada en una subdivisión del icosaedro (ver Figura 1a),

en que las barras se disponían según arcos de círculos máximos de la esfera. Esta estructura, una

vez recubierta de hormigón, pasó a ser también la primera estructura laminar en hormigón armado.

De hecho, su carácter de lámina y no la geometría poliédrica de su armadura de refuerzo fue lo

que trascendió en ese momento.

Figura 1a. 1922. Bóveda del planetario Zeiss en Jena antes de ser recubierta 10.

Figura 1b. Bocetos de Bauersfeld mostrando la partición propuesta.

Fuller llega a una solución esencialmente igual treinta años después transitando por una vía

análoga a la de Bauersfeld. Desde fines de la década de 1930 se interesa por representaciones

alternativas del globo terráqueo. La proyección del globo terráqueo sobre el plano supone un

problema similar al que debió resolver Bauersfeld: trasladar una superficie esférica (al menos en

apariencia) sobre un mosaico de superficies planas, en este caso las caras de un cuboctaedro

(Figura 2a). En el mapa que Fuller llamó “Dymaxion” se establece una correspondencia entre la

ubicación de un determinado punto de la esfera y la situación que le corresponde sobre el plano a

partir de ubicar dicho punto en una retícula de arcos de círculo máximo cuya proyección gnomónica

sobre la correspondiente cara plana del poliedro es una línea recta.

Figura 2a. Mapa “Dymaxion” en su versión original, utilizando el cuboctaedro como poliedro base.

Figura 2b. Retícula propuesta por Fuller para la proyección sobre una cara triangular del

cuboctaedro6

Si examinamos el detalle de la retícula en la cara triangular que se incluye en la patente 6 del mapa

Dymaxion (Figura 2b), encontraremos un parecido sorprendente con la estructura de Bauersfeld

(Figura 1a).

El domo de Bauersfeld había sido objeto de patente, pero sólo como estructura laminar de

hormigón armado pasando por alto la geometría del refuerzo. Esto permitió a Fuller atribuirse

treinta años más tarde, a fines de 1951 (Figura 3a), la paternidad de “una armazón de forma

generalmente esférica” cuyos elementos estructurales principales se interconectan en “un diseño

geodésico de arcos de círculos máximos formando una retícula tridireccional”.  Ya para esta fecha

Fuller abandona el cuboctaedro como poliedro base, tomando así como lo hizo Bauersfeld, el

icosaedro como punto de partida para su estructura.

Figura 3a. Subdivisión geodésica de la esfera según la patente 2,682,235.

Figura 3b. Aplicación como alojamiento para antena de radar en la línea DEW.

El primer intento de sistematizar los procedimientos para la obtención de las particiones

geodésicas de la esfera se realizó en la Southern Illinois University (Campus de Carbondale) bajo

la dirección de Joseph D. Clinton. El estudio, que se desarrolló entre 1964 y 1971 fue patrocinado

por la NASA que veía en ese tipo de estructuras posibles aplicaciones para futuras misiones

espaciales. Como resultado Clinton publica 2 ocho métodos aplicables a dos topologías diferentes

para las que propone los nombres de Clase I y Clase II. Estos “métodos” se proponen como

aplicables a cualquier poliedro de caras triangulares, con lo que se generaliza el procedimiento

para incluir otros distintos del icosaedro.

Todos estos métodos parten de subdividir, según el orden de frecuencia deseado, las aristas de

una cara del poliedro base o de parte de ella para obtener una trama tridireccional cuyos vértices

se trasladan en una proyección Gnomónica a la esfera circunscrita. Las diferencias entre ellos

radican en:

La topología, que puede ser Clase I (direcciones paralelas a los lados) o Clase II

(direcciones perpendiculares a los lados).

Si se hace esta subdivisión sobre la cara completa o sobre su triángulo de Schwarz (una

sexta parte de la misma, 1/120 de la esfera en el caso del icosaedro).

Si se subdivide la arista en longitudes iguales o en longitudes desiguales a partir de

ángulos centrales iguales del poliedro (logrando en este segundo caso arcos de círculo

máximo de igual longitud).

Gracias a las condiciones de simetría de los poliedros, basta una cara para la definición de las

propiedades geométricas de la estructura.

Figura 4. Esquema de Retícula y su Proyección sobre la esfera según Clinton 2.

Estas categorías fueron redefinidas por H. M. Wenninger 11 quien incorporó una Clase III para las

topologías sesgadas puestas de manifiesto por las investigaciones de Caspar y Klug 8 en torno a la

estructura de las cápsulas de los virus (Figura 5).

Figura 5. Particiones Clase I (izquierda), Clase II (centro) y Clase III (derecha).

Otras Estructuras: los modelos Wester y Yacoe.

El profesor Ture Wester 13 llega a la estructura que define como de Panel (Plate) a partir de la

transformación descrita bajo el término de reciprocación polar por Wenninger en su obra Dual

Models 12. El modelo Wester se obtiene a partir del modelo Geodésico de barras y nodos aplicando

el principio de la dualidad (Figura 6, izquierda y centro). Los poliedros duales poseen el mismo

número de aristas pero las cantidades de vértices y caras se intercambian. Estas caras y estos

vértices cumplen el requisito de que a una cara de n lados en uno de ellos corresponde, en su

poliedro dual, un vértice donde concurren n aristas.

Figura 6. Izquierda: Estructuras Geodésicas de Entramado. Centro: Sus estructuras duales de

Panel. Derecha: Poliedro Geotangente.

Las estructuras Geotangentes propuestas por Yacoe y Davies en 1986 14 pueden tener dos tipos

de caras que son polígonos regulares (en el ecuador y en el polo norte de la esfera), y al menos la

mitad de las otras caras son pentágonos o hexágonos no equiláteros (Figura 6, derecha). Poseerán

al menos 14 caras, y cada vértice es la unión de tres o cuatro aristas de polígono. La esfera que es

aproximada por este tipo de poliedro es tangente a cada arista en sólo un punto y corta cada cara

del poliedro según un círculo inscrito dentro de dicha cara (Figura 6, derecha). Cada uno de estos

círculos es tangente al círculo inscrito en cada polígono adyacente. El procedimiento para el

cálculo de las formas y dimensiones de las caras tal como aparece descrito en el documento de la

patente es complejo, debiendo resolverse mediante un proceso iterativo a partir de aproximaciones

sucesivas.

Inversión del Plano sobre una Esfera.

Repasando los "Fundamentos de Geometría" de Coxeter, encontramos una figura (Figura 7) que

nos parece muy ilustrativa de las diferencias entre el enfoque que proponemos en esta

investigación y los métodos clásicos para el diseño de mallas espaciales esféricas. Aquí se

comparan dos paradigmas, la proyección Estereográfica y la proyección Gnomónica o central. La

figura izquierda representa el plano y la esfera que es producto de la inversión del plano respecto a

una esfera de radio NS con centro en N (que no se muestra en el dibujo). A cada punto del plano

corresponde un punto sobre la esfera que es su inverso respecto a la esfera de radio NS. El

inverso del punto N es el punto en el infinito.

Figura 7. Proyecciones Estereográfica y Gnomónica según Coxeter.

En la proyección Gnomónica representada a la derecha, en lugar de proyectar desde N se proyecta

desde el centroO de la esfera. En este caso, cada punto del plano representa a la vez dos puntos

de la esfera P1 y su antípoda P2. Los círculos sobre la esfera se invierten en la proyección

Estereográfica como círculos en el plano y viceversa. En la Gnomónica, los círculos máximos se

proyectan como rectas.

La Figura 8 representa la misma proyección Estereográfica de la ilustración de Coxeter, sólo que

ahora vuelta al revés. La esfera Cairespecto a la que se hace la inversión, omitida en dicho dibujo

es ahora una esfera de centro en el origen del sistema de coordenadas y radio 1. El plano z=1 (y

en consecuencia los puntos P1,P2, P3, … Pn) se invierte en la esfera C de radio ½, tangente al plano

z=1 en su polo norte y cuyo polo sur se encuentra en el origen del sistema de coordenadas.

Figura 8. Inversión de la nube de puntos contenida en el plano z=1 en la esfera de radio ½.

Podemos expresar C por su ecuación: 

                        (1)

La expresión matricial de esta inversión de centro en el origen de coordenadas y de potencia 1

viene expresada en coordenadas homogéneas en R3 por la expresión: 

  

 (2)

donde: D2 = X2 + Y2 + Z2.

Denominamos MINV a esta matriz operadora. El procedimiento alternativo que aquí presentamos

supone establecer una nube de puntos sobre el plano z=1 que se traslada a la esfera de radio = ½

mediante una proyección estereográfica. En este caso, el plano es capaz de representar a la esfera

en su totalidad con su polo sur en el punto del infinito.

Aproximación a los tres Modelos de Mallas Espaciales.

El estudio clásico de los Poliedros recurre a la asociación de este sólido con la esfera. Así,

podemos hablar de tres esferas relacionadas con un poliedro:

La esfera circunscrita, que pasa por todos sus vértices.

La esfera inscrita, a la cual son tangentes todas sus caras.

La esfera media, a la cual son tangentes todas sus aristas.

En un poliedro regular podemos identificar las tres. Pero las mallas espaciales sobre las que

trabajamos no son poliedros regulares. Cada uno de los modelos que hemos estudiado se

relaciona con la esfera que aproxima de una de estas tres maneras:

El modelo Fuller (Geodésico o de Entramado) con la esfera circunscrita.

El modelo Wester (de Panel) con la esfera inscrita.

El modelo Yacoe (Geotangente) con la esfera media.

Hasta ahora nos hemos referido a la obtención de las mallas espaciales como si se tratara

simplemente de invertir los puntos del plano Z=1 sobre la esfera de radio ½ y aplicar la

transformación MINV. Pero para cada tipología estos puntos representan algo distinto. Resulta

evidente que su interpretación geométrica dependerá en cada caso del modelo de malla espacial

que pretendemos plasmar:

En una malla Geodésica o de Entramado (modelo Fuller), los puntos serán interpretados

como los vértices de las caras triangulares del poliedro aproximante (nodos de una

estructura de entramado).

Para las mallas de Panel (modelo Wester) 9, serán los puntos donde las caras son

tangentes a la esfera inscrita.

En el modelo Yacoe, estos puntos corresponden a los puntos de tangencia de las aristas

del poliedro con la esfera.

Modelo Fuller.

Figura 9. Izquierda: Diagrama de Schlegel para un icosaedro. Derecha: Inversión de la

triangulación de Delaunay sobre la esfera.

En el caso del modelo Fuller, sólo faltaría plasmar el modelo de interconexión a partir del conjunto

S de puntos en z=1. Para un poliedro de caras trianguladas, el esquema de conectividad para el

conjunto de puntos estaría dado por la triangulación de Delaunay. Las caras del poliedro

aproximante a la esfera circunscrita resultan de unir los puntos sometidos a la

transformación MINV según el esquema de conectividad así obtenido (Figura 9, derecha). Esta

correspondencia se hace especialmente evidente en la Figura 9 (izquierda), donde la Triangulación

de Delaunay a partir de la proyección estereográfica de los vértices de un icosaedro reproduce el

Diagrama de Schlegel de ese sólido.

Modelo Wester.

Para el modelo Wester debemos resaltar dos diferencias: la representación de las aristas y vértices

resulta de construir el Diagrama de Voronoi a partir del conjunto de puntos S en z=1. Ahora el

vértice no se encuentra sobre la superficie esférica. El punto invertido desde z=1 no corresponde al

vértice, sino al punto de tangencia de la cara con la esfera inscrita y corresponde a un generador P

del Diagrama de Voronoi. El vértice V’ será el punto donde la línea que va del centro de inversión O

al vértice V del Diagrama de Voronoi intercepta el plano tangente (Figura 10).

Figura 10. Modelo Wester generado a partir del Diagrama de Voronoi en el plano z=1

Modelo Yacoe.

La trama estructural para el modelo Yacoe se obtendrá a partir de un empaquetamiento radial de

círculos en el plano z=1. La Figura 11, izquierda, muestra el empaquetamiento a partir del cual se

obtendrá el poliedro que muestra la Figura 6, derecha. Si consideramos que el eje radical de dos

circunferencias tangentes es su tangente común 10, podemos obtener una subdivisión plana SD

(Diagrama de Potencia) a partir de cualquier empaquetamiento de circunferencias tangentes

(Figura 11, centro y derecha).

Figura 11. Empaquetamiento de círculos y Diagrama de Potencia derivado del mismo.

Suponiendo SD en el plano z = 1 y aplicando una inversión con centro en el origen de coordenadas

(0, 0, 0) y potencia 1:

Los puntos de tangencia T entre los ejes radicales y las circunferencias queden

transformados en puntos T’ de la esfera E de centro en (0, 0, ½) y radio ½.

Las aristas a’1, a’2 y a’3 tangentes a la esfera E en los puntos T’1, T’2 y T’3 (que determinan

en la esfera un plano α) concurren en un punto V’ (ver Figura 12). Esas aristas son

generatrices de un cono circunscrito, tangente a la esfera y el vértice de ese cono (a su vez

vértice del poliedro aproximante) es el polo del plano α respecto a la esfera E.

Figura 12. Inversión de círculos y determinación del vértice.

Aproximación a otras cuádricas: el Paraboloide Ω.

Abordaremos ahora la problemática del diseño de mallas estructurales que aproximen a otras

superficies cuádricas. Para ello proponemos ahora la transformación proyectiva MHOM, expresada

en coordenadas homogéneas como: 

                             (4)

donde referimos como (X Y Z T) el punto transformado del (x y z t). Dado un conjunto de puntos

S={P1, P2, ... Pn} sobre el plano z = 1, la superficie de tipo paraboloide de revolución surge de

aplicar a S la siguiente secuencia de transformaciones:

P" = MHOM * MINV * P                               (5)

En resumen, esta transformación proyectiva MHOM tiene las siguientes características:

Transforma el plano z=1 en el plano Z=1.

Transforma la esfera C (ver Figura 8) en el paraboloide Ω (Figura 13, izquierda).

Transforma el origen del sistema {O;x,y,z} en el punto del infinito del eje OZ en el sistema

{O;X,Y,Z}.

Figura 13. Paraboloide, Hiperboloide y Elipsoide de revolución generados a partir de este

procedimiento.

Generación del Hiperboloide y el Elipsoide de Revolución.

Un procedimiento como el descrito que incluye la inversión de un conjunto de puntos en el plano

z=1 y la transformación proyectiva MHOM es también aplicable13 a cualquier esfera de radio distinto

de ½. Una esfera genérica de este tipo tiene el centro expresado como (0, 0, Zc) y por la expresión:

CG : x2 + y2 + ( z - zc )2 = ( 1 - zc )2               (6)

El polo sur de esta esfera es el (0, 0, 2zc - 1). Si desde aquí se aplica la inversión, los inversos de

los puntos del plano z=1 se sitúan sobre la esfera CG. Si se aplica entonces la transformación

proyectiva MHOM la esfera se transforma en la cuádrica de revolución

CR : x2 y2 + ( 1 - 2zc ) z2 - 2zc z + 1 = 0         (7)

La transformación proyectiva MHOM del conjunto de puntos S’ desde el punto ( 0, 0, ½ zc - 1 )

genera la cuádrica de revolución CG. La naturaleza de la superficie surge de la siguiente

casuística:

Cuando zc = ½, CG es un paraboloide de revolución.

Cuando zc < ½, CG es un hiperboloide de revolución de 2 hojas.

Cuando zc > ½, CG es un elipsoide de revolución.

Superficies Cuádricas de formas sesgadas.

Resulta natural preguntarse cuál sería el resultado de aplicar la transformación antes descrita a

una esfera tangente al plano z = 1 pero cuyo centro ocupe una posición cualquiera en el espacio 10.

Esto añade dos grados de libertad más respecto al procedimiento básico para la obtención del

paraboloide:

Se liberaliza la condición de radio igual a ½.

Se liberaliza la condición de centro sobre OZ.

Esta nueva situación puede reducirse a la primera de las estudiadas aplicando una traslación y un

escalado.

MESC : Una traslación del polo sur de la esfera de valor (0, 0, 2Zc -1) que lo lleva al origen

de coordenadas (la esfera deja de ser tangente al plano z = 1).

MTRA : Una homotecia con centro en el origen de coordenadas (donde ahora se encuentra

el polo sur de la esfera) y de potencia ½ r, que transformará la esfera de radio r = 1 - Zc en

una de radio ½.

Bastará con deshacer posteriormente las operaciones de transformación. El resultado es una

transformación compuesta de cinco matrices operadoras que se expresa como sigue:

                (8)

Los puntos P'' que surgen de los P (puntos en el plano z = 1) corresponden a una cuádrica

genérica que presenta un aspecto sesgado.

Figura 14. Algunos resultados del procedimiento descrito.

En resumen, el procedimiento descrito permite generar formas cuádricas variadas (ver Figura 14) a

partir de la inversión y transformación proyectiva de nubes de puntos contenidas en el plano z=1.

La investigación en torno a este tema continúa actualmente abordando temas tales como las

estrategias para la optimización de las mallas generadas.

Referencias.

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Institution of Mechanical Engineering, Londres, mayo 10, 1957. Esta referencia y otros

datos has sido tomados del documento Geodesic Domes and Charts of the Heavens

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1734, National Aeronautics and Space Adminstration, Washington, DC, September 1971.

3. Coxeter, H. S. M., (19.. ) Fundamentos de Geometría.

4. Coxeter, H. S. M. (1972) Virus Macromolecules and Geodesic Domes. A Spectrum of

Mathematics, Auckland University Press and Oxford University Press, pp. 98-107.

5. Coxeter, H. S. M. (1974) Regular Complex Polytopes. Cambridge University Press.

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10. Otero C., Togores R. (2002) Computational Geometry and Spatial Meshes. En Lecture

Notes On Computer Science 2002 . Vol. 2. pp. 315-324. Springer. 2002.

11. Rothman, T. . Las fotos de la estructura y de los esquemas originales son propiedad de la

firma de ingeniería Dyckerhoff and Widmann.

12. Togores, R., y Otero, C. (2003) Planar Subdivisions by Radical Axes applied to Structural

Morphology. Ponencia presentada a la International Conference on Computer Science and

its Applications (ICCSA2003), Montreal.

13. Togores, R.(2003) Métodos de Geometría Computacional Aplicados al Diseño de

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14. Wenninger, M. J. (1979) Spherical Models, Cambridge University Press, Londres.

15. Wenninger, H. M. (1983) Dual Models. Cambridge University Press.

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17. Yacoe, J. C. (1987) Polyhedral Structures That Approximate a Sphere. U. S. Patent

4,679,361

http://www.togores.net/arquitectura-y-diseno/alternativas-geometricas/procedimiento-alternativo