Un modelo AR dinámico para el análisis de series de tiempo ...

Modelo Árboles de Polya dependientes Análisis Referencias

Un modelo AR dinámico para el análisis de series detiempo múltiples

Luis E. Nieto Barajas

(conjunto con Fernando Quintana)

Departamento de EstadísticaITAM

IIMAS-UNAM – 15 noviembre 2016

Luis E. Nieto Barajas AR dinámico BNP IIMAS-UNAM – 15 noviembre 2016 1 / 21


Contenido

1 Modelo

2 Árboles de Polya dependientes

3 Análisis

4 Referencias



Series ITAEE 2008 desestacionalizado

Time

2004 2006 2008 2010 2012 2014

7080

9010

011

012

0



Modelo

La economía de los 32 estados depende de la economía global del país

Las 32 series interactúan entre sí

Necesitamos un modelo que respete la evolución de cada serie pero quecontemple la dependencia país

Sean Xi = {Xti , t ≥ 1}, i = 1, . . . , n. Proponemos

Xti = β1i Xt−1,i + · · ·+ βpi Xt−p,i + εti ,

con Xti = 0 c.p.1 para t < 0, y

εti | Ftiid∼ Ft , para i = 1, . . . , n

{F1,F2, . . .} | θ ∼ dPTq(Πθ, a, ρ, C)

θ ∼ f (θ).



Árbol de Polya

B

B0 B1

B00 B01 B10 B11

B000 B001 B010 B011 B100 B101 B110 B111

m=0

m=1

m=2

m=3

Y1 = p(B1 | B) = 1−Y0Y0=p(B0 | B)

Y00=P(B00 | B0) Y01=P(B01 | B0) Y10 Y11

Y000 Y001 Y010 Y011 Y100 Y101 Y110 Y111



Árbol de Polya

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

Dens

ity



Árbol de Polya

Formalmente, una medida de probabilidad aleatoria F en (IR,B) tiene unadistribución de árbol de Polya con parámetros (Π,A),

En notación F ∼ PT(Π,A), si existe una sucesión de números no negativosA = {αmj} y una familia de v.a. Y = {Ymj} t.q.

a) Todas las v.a. en Y son indep. ;

b) Para cada (m, j), j = 1, . . . , 2m−1 y m = 1, 2, . . ., Ym,2j−1 ∼ Be(αm,2j−1, αm,2j ) yYm,2j = 1− Ym,2j−1 ; y,

c) Para cada m = 1, 2, . . . y cada j = 1, . . . , 2m ,

F (Bmj ) =m∏

k=1

Ym−k+1,j(m,j)

m−k+1,

donde j(m,j)k−1 = dj(m,j)

k /2e es una fórmula recursiva con valor inicial j(m,j)m = j

Típicamente αm,j = a ρ(m)



Árbol de Polya

La aleatoriedad del árbol dependen de Ym+1,2j−1 = P(Bm+1,2j−1 | Bmj )

Definimos dependencia entre varios árboles definiendo una sucesión de variablesdependientes Yt = {Yt,m,j}

¿Cómo ?

A través de un proceso beta

w��

��

�� ?@@@R

HHHHHj

u1 u2 u3 u4 u5

y1 y2 y3 y4 y5?@@R

HHHHHj?@@R

HHHHHj?@@R

HHHHHj?@@R?

yt | ut , ut−1, . . . , ut−qind∼ Be

a +

q∑j=0

ut−j , b +

q∑j=0

(ct−j − ut−j )

,

ut | wind∼ Bin(ct ,w), t = 1, 2, . . .

w ∼ Be(a, b)



Árbol de Polya

La aleatoriedad del árbol dependen de Ym+1,2j−1 = P(Bm+1,2j−1 | Bmj )

Definimos dependencia entre varios árboles definiendo una sucesión de variablesdependientes Yt = {Yt,m,j}

¿Cómo ? A través de un proceso beta

w��

��

�� ?@@@R

HHHHHj

u1 u2 u3 u4 u5

y1 y2 y3 y4 y5?@@R

HHHHHj?@@R

HHHHHj?@@R

HHHHHj?@@R?

yt | ut , ut−1, . . . , ut−qind∼ Be

a +

q∑j=0

ut−j , b +

q∑j=0

(ct−j − ut−j )

,

ut | wind∼ Bin(ct ,w), t = 1, 2, . . .

w ∼ Be(a, b)



Proceso beta de orden q (BePq)

1980 1990 2000 2010 2020

0.00.1

0.20.3

0.4

Year

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

● ●

●●

●● ●

●● ● ● ●

●

●

●

●●

●●

BePBDM



Árboles de Polya dependientes

F = {F1,F2, . . .} son árboles de Polya dependientes t.q.

F ∼ dPTq(Π, a, ρ, C),

con C = {ct,m,j}, a > 0 y ρ(m) = mδ , δ > 1 para garantizar continuidad.Usualmente δ = 2 pero sugerimos δ = 1.1

Propiedades :

Corr{Ft (Bmj ),Ft+s(Bmj )} =

∏mk=1

{ψ

t,s,m−k+1,j(m,j)m−k+1

σ2m−k+1 + 1/4

}− (1/4)m

∏mk=1

{σ2

m−k+1 + 1/4}− (1/4)m

,

con

ψt,s,k,j(m,j)

k=

2aρ(k)

(∑q−sl=0 c

t−l,k,j(m,j)k

)+

(∑ql=0 c

t−l,k,j(m,j)k

)(∑ql=0 c

t+s−l,k,j(m,j)k

)(

2aρ(k) +∑q

l=0 ct−l,k,j(m,j)

k

)(2aρ(k) +

∑ql=0 c

t+s−l,k,j(m,j)k

) ,

σ2k =

1

4{2aρ(k) + 1}.



Correlación en dPT

2 4 6 8 10 12 14

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

Cor

r



Mezclas en árboles de Polya dependientes

Es bien conocido que los PT tienen discontinuidades en los bordes de lasparticiones

Generalmente Π = {Bmj} se define con los cuantiles de F0

Es posible disminuir el efecto de la partición si se mezcla con respecto a unparámetro θ, i.e. Πθ = {Bθmj} definido por F0(· | θ) con θ ∼ f (θ) lo que implica

F ∼∫

dPTq(Πθ, a, ρ, C)f (θ)dθ



Análisis

Recordemos nuestro modelo

Xti = β1i Xt−1,i + · · ·+ βpi Xt−p,i + εti ,

con Xti = 0 c.p.1 para t < 0, y

εti | Ftiid∼ Ft , para i = 1, . . . , n

{F1,F2, . . .} | θ ∼ dPTq(Πθ, a, ρ, C)

θ ∼ f (θ).

Especificaciones :

F0(· | θ) = N(0, θ2)

Fijamos mediana en cero : Tomamos B11 = (−∞, 0] y B12 = (0,∞) conFt (B11) = Ft (B12) = 1/2⇔ Yt,1,1 = Yt,1,2 = 1/2 c.p.1.



Inferencia bayesiana

Iniciales

Para C :

ct,m,2j−1 | λm,2j−1ind∼ Po(λm,2j−1), λm,2j−1

iid∼ Ga(bλ1 , bλ2 )

para t = 1, . . . ,T , m = 1, 2, . . . y j = 1, . . . , 2m−1

Para θ :θ ∼ Ga−1/2(bθ1 , b

θ2 )

Para los coeficientes AR β :βki

iid∼ N(0, σ2β),

para k = 1, . . . , p y i = 1, . . . , n



Análisis de datos

Sea Yti la observación ITAEE para el estado i en el tiempo t

Quitamos nivel, tendencia y estacionalidades tomando segundas diferencias, i.e.Xt = (Yt − Yt−1)− (Yt−1 − Yt−2), para t = 3, . . . , 46

Gráficas de la autocorrelación parcial de Xti sugiere una dependenciaautorregresiva de orden entre 2 y 4

Especificaciones iniciales : (bλ1 , bλ2 ) = (1, 1) ; (bθ1 , b

θ2 ) = (0.1, 0.1) ; σ2

β = 100

Tomamos un árbol finito con M = 5 niveles, a = 1, y ρ(m) = mδ con δ = 1.1

Los valores (p, q) se determinaron mediante el DIC

qp 0 1 2 3 4 5 61 3020 2720 2552 2676 2671 2644 26822 2606 2139 2136 2015 1947 2086 20463 2664 2438 2295 2264 2324 2290 23944 2566 2409 2340 2237 2228 2190 2383



Segundas diferencias

Time

2004 2006 2008 2010 2012 2014

−20

−10

010

2nd. diff

Den

sity

−20 −10 0 10

0.00

0.05

0.10

0.15



Parámetros ct ,m,j estimados

2004 2006 2008 2010 2012 2014

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Time

c

FIGURE : m = 2 and j = 3 (solid line) ; m = 3 and j = 5 (dashed line) ; and m = 4 and j = 9 (dotted-dashed line)



Distribución estimada de los errores0.

000.

050.

100.

150.

200.

25

Den

sity



Cuantiles estimados de los errores

2004 2006 2008 2010 2012 2014

−6

−4

−2

02

46

Time

Qua

ntile

s



P(βki > 0 | data)

●

●

● ●

●

●

●

●

●

● ● ● ● ●●

● ● ●

●

●●

●● ● ●

●

●

● ●● ● ●

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

i

beta

1

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

i

beta

2



Referencias

1 Jara, A., Nieto-Barajas, L.E. & Quintana, F. (2013). A time series model forresponses on the unit interval. Bayesian Analysis 8, 723–740.

2 Nieto-Barajas, L.E. & Quintana, F.A. (2016). A Bayesian nonparametric dynamicAR model for multiple time series analysis. Journal of Time Series Analysis 37,675–689.

3 Watson, J., Nieto-Barajas, L.E. & Holmes, C. (2016). Characterising variation ofnonparametric random probability measures using the Kullback-Leiblerdivergence. Statistics. To appear.


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