Un Gran Teorema Bolzano-Weierstrass

7/22/2019 Un Gran Teorema Bolzano-Weierstrass

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4.3 UN GRAN TEOREMA: BOLZANO-W EIERSTRASS 100

4.3 Un gran teorema: Bolzano-Weierstrass

Teorema 4.3.1 (Bolzano-Weierstrass) En (R,

| |) toda sucesin acotada tiene una sub-

sucesin convergente.

Demostracin

Sea (xn )n=1 una sucesin acotada. Entonces por el teorema 4.2.6, (xn )

n=1 tiene una

subsucesin, (xn k)k=1, montona que en particular tambin est acotada. Por el teorema

4.1.20,(xn k)k=1 converge.

El teorema de Bolzano-Weierstrass es un teorema nativo de R: no necesariamente es

cierto en cualquier espacio mtrico. An en espacios normados puede fallar. No es el caso

de Rm y esto hace sospechar que cierta condicin finito dimensional es la que est detrs

del teorema. En los ejercicios encontrar el lector algunos ejemplos de espacios normados

donde falla el teorema de Bolzano-Weierstrass y, tambin como ejercicio, la demostracin

del teorema Bolzano-Weierstrass usando el Principio de Intervalos Anidados 2.5.2.

Probemos para cerrar esta seccin la versin Rm del teorema de Bolzano-Weierstrass.

Esencialmente deberemos aplicar el teorema 4.3.1 coordenada a coordenada, sin embargo

hay una sutileza en el argumento: la simple aplicacin de Bolzano-Weierstrass coordenada

a coordenada, an cuando produce subsucesiones convergentes, hace que las subsucesiones

coordenadas convergen segn sus propios tiempos (pensemos por ejemplo, que la subsu-

cesin convergente de la primera coordenada tiene como sus ndices nka los mltiplos de

tres mientras que la segunda tiene como sus nks a los mltiplos de siete, etctera. Lo que

deseamos es una sucesin de tiempos de tal manera que las subsucesiones coordenadas

converjan todas a ese ritmo.

Preludio: supongamos que (xn )n=1y (yn )

n=1son sucesiones reales acotadas. Queremos

obtener una sucesin de tiempos n1 < n2 < . . . tal que las subsucesiones (xnk)nk=1 y

(ynk)nk=1 sean ambas convergentes.

Como(xn )n

=1 es acotada tiene una subsucesin convergente, digamos(xnk)

nk

=1. Note

que(yn j )n j =1es una subsucesin acotada de(ynk)

nk=1 y tiene por lo tanto una subsucesin

convergente, digamos (yn ji )n ji =1. En particular,(

xn ji )n ji =1es una subsucesin de(

xnk)nk=1


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4.4 Y SI NO CONVERGE? 101

y por lo tanto converge. Luego (xn ji )n ji =1

y (yn ji )n ji =1

convergen.

Teorema 4.3.2 (Bolzano-Weierstrass en Rm ) En(Rm ,

2)toda sucesin acotada tiene

una subsucesin convergente.

Demostracin

Sea (xn )n=1, con xn= (x1n , . . . ,xmn ), una sucesin acotada en (Rm , 2). Aplique

m-veces el preludio descrito anteriormente.

Existe una manera alternativa de demostrar el teorema anterior. A continuacin damos

un argumento grfico del Teorema de Bolzano-Weierstrass, usando el Principio de Interva-

los Anidados 2.5.2.

4.4 Y si no converge?

Si una sucesin no converge, sta puede tener subsucesiones convergentes. Por ejemplo,

si una sucesin real est acotada, sta tiene a fortiori subsucesiones convergentes por el

Teorema de Bolzano-Weierstrass. Una herramienta muy til en anlisis, como veremos

ms adelante, consiste en identificar al mayor y al menor de los lmites de las subsucesiones


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convergentes de la sucesin en caso de que estos existan. Si queremos encontrar al mayor de

los lmites de las subsucesiones de una sucesin, es natural buscarlo entre aquellos nmeros

que casi acotan superiormente colas de las sucesin, de ah la siguiente definicin.

Definicin 4.4.1 Sea(xn )n=1 una sucesin en R acotada. Consideremos el conjunto,

C= {c R : cxn excepto para un nmero finito de ns}.

Sea x=inf(C), xse llama ellmite superior de (xn )n=1 y se denota por

x=lim supxn= lim xn.

Observe que un nmero c es tal que c

xn excepto para un nmero finito de ns si y

slo si existe N N tal que c xn para todo n N. Adems, cada cota superior de lasucesin es elemento deC.

Ejemplo 4.4.2 En la sucesin(1)n , se tiene que el conjunto

C= {c R : cxn excepto para un nmero finito de ns } =[1, ).

Por lo tanto, lim sup(1)n =1.

El siguiente teorema caracteriza al limite superior de una sucesin.

Teorema 4.4.3 Sea (xn) una sucesin de nmeros reales acotada y sea x R. Las si-

guientes afirmaciones son equivalentes:

a) x=lim supxn .

b) Para cada > 0, x+ xn excepto para un nmero finito de ns y x < xnpara una infinidad de ns.

c) Sivk=

sup{xn :n

k

}entonces x

=inf

{vk :k

1

}, es decir,

x= infk1

supnk

{xn}

. (4.2)


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d) La sucesinvk= sup{xn :nk}es no-decreciente y x=limkvk.

e) x=sup L donde

L= {v R|v=lim xnkpara alguna subsucesin(xnk)de (xn )}.

De hecho, x L por lo que x=max L.

Demostracin

Para probar que a) implica b) sean x= lim supxn y > 0. Como x= infC, existec Ctal que x c < x+. Esto implica que x+ > c xn , excepto un nmerofinito de trminos. Ahorax C, por lo tanto x < xn para una infinidad dens.

Para ver que b) implica c) demostraremos primero que x es cota inferior del conjunto

{vk : k 1}. Supongamos que existek0 N tal que x > vk0 . Luego, si0 > 0 es talque x 0 > vk0 entoncesx 0 > xn para todon k0. Lo cual es una contradiccinporque x 0 < xn para una infinidad dens. Por lo tantoxes cota inferior del conjunto{vk :k1}.

Sea > 0 arbitrario. Como x+ > xn excepto para un nmero finito de ns, existek1 N tal quex + > xn para todank1. Entoncesx + es cota superior del conjunto{xn :nk1}y por lo tanto x+ vk1 .

Las dos condiciones anteriores implican que x

=infk1

{vk

}.

Ahora, para mostrar que c) implica d) note que vk vk+1 y (vk)k=1 es acotada porque(xn )

n=1 es acotada, luego limkvk= infk1{vk} =x.

Para probar que d) implica e) probaremos primero que supL x. Para 1= 1 comov1= supn1{xn}entonces existe xn1 tal quen 1 1 yv1 1 < xn1 v1. Para2= 1/2,comovn1+1=supnn1+1{xn} entonces existexn2 conn2 >n 1tal quevn1+1 1/2< xn2vn1+1. Procedemos inductivamente para obtener as una subsucesin (xn k)

k=1 tal que:

vnk+11

k< xnk+1 vnk+1.

Observe que tantovnk+1 1k comovnk+1 tienden a xcuandoktiende a infinito, entonces,por el Principio del Sandwich, limkxnk+1 = x, por lo que x L y por lo tantoxsup L .


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Si x < supL entonces existe v L tal que x < v supL . Pero v= limkxnkpara alguna subsucesin de (xn)

n=1. Por hiptesis, x

= limkvk y por tanto, existek

0N tal quev

k0< v. Esto implica que sin

k

0entonces

xn supnk0

{xn} =vk0 < v= limk

xnk.

Esto es una contradiccin porque el conjunto{xn : n k0} contiene a los xnks si k essuficientemente grande. Entonces x=sup L . De hecho, x=max L .

Por ltimo, para probar que e) implica a) sea cCtal quecxn para todan N. Siv=limkxnkentoncescv porque una cola de la subsucesin est en(, c]. Luegocsup L= xy por lo tanto infC x, es decir, lim supxn x. Si lim supxn > xsea >0 tal queClim supxn > x. Entonces lim supxn < xn para una infinidad dens. Pero cualquier subsucesin convergente del conjunto {xm | lim supxn < xm} tendrlmite al menos lim supxn > x=sup L .

Totalmente anloga a la definicin de lmite superior es la definicin y caracterizacin

del lmite inferior. Dejamos como ejercicio al lector la demostracin del teorema corres-

pondiente.

Definicin 4.4.4 Sea(xn )n=1 una sucesin acotada en R.

D= {d R :d xn excepto en un nmero finito de ns}.

Sea x=sup C, xse llama el lmite inferior de(xn)n=1 y se denota por

x=lim infxn= lim xn.

Teorema 4.4.5 Sea(xn )n=1 acotada. Son equivalentes:

a) x=lim infxn .

b) Para cada > 0 x xn excepto para un nmero finito de ns, y x+ > xnpara una infinidad de ns.


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c) Si k1 y wk= inf{xn :nk}entonces x=sup{wk :k1}, es decir,

x

=sup

k1 infnk{xn

}.

d) La sucesinwk= inf{xn :nk}es creciente y x=limkwk.

e) x=infL donde

L= {v R|v=lim xnkpara alguna subsucesin(xnk)de (xn )}.

De hecho, x L por lo que x=max L.

Algunas propiedades de los lmites superior e inferior de una sucesin son las siguientes.

Proposicin 4.4.6 Sea(xn )n=1 una sucesin acotada. Entonces:

a) lim infxn lim supxn .

b)

lim sup(cxn )=

c lim supxn , c0,c lim infxn, c < 0.

c) lim sup(xn+ yn ) lim sup(xn)+lim sup(yn ) y lim inf(xn+ yn ) lim inf(xn )+lim sup(yn). La igualdad se da si alguna de (xn )

n=1

o (yn)n=1

converge.

d) Si xn yn para todo n N entonces lim inf(xn ) lim inf(yn ) y lim sup(xn )lim sup(yn).

e) xn xsi y slo silim supxn= x=lim infxn.

Demostracin

Probaremos nicamente el ltimo inciso, el resto se deja como ejercicio al lector. Su-

pongamos que xn x. Sea > 0, entonces existe N= N() tal que xn > x

para toda n N y xn < x+ para toda n N. Entonces lim supxn < x+ yx lim infxn . As,

x lim infxnlim supxn x+


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para toda > 0 y por lo tanto

x

lim infxn

lim supxn

x.

De donde

lim infxn= x=lim supxn.

Ahora supongamos que lim supxn = x = lim infxn. Sea > 0, entonces existeN1 N tal que x xn para todan N1 y existe N2 N tal que x+ xn paratodan N2. Entonces,

x xn x+

para todan

N, donde N

=max

{N1,N2

}. Luegoxn

x.

En el caso de sucesiones no acotadas, es conveniente extender las nociones de lim sup

y lim inf. La definicin es como sigue,

Definicin 4.4.7 Sea (xn )n=1 una sucesin. lim supxn= si (xn )n=1 no est acotada

superiormente ylim infxn= si(xn)n=1 no est acotada inferiormente.

El correspondiente al inciso (e) de la Proposicin 4.4.6 sera:

Teorema 4.4.8 Sea (xn)n=1 una sucesin de nmeros reales. Entonces lim xn= si y

slo silim infxn= lim supxn= .Demostracin

Como(xn )n=1 no est acotada superiormente entonces lim supxn= . Sic > 0 es tal

quecxn para todan N entonces lim infxn= .Si lim infxn= entonces para toda M > 0 existe N N tal que M xn para toda

n N. Entonces limnxn= .

Ejemplo 4.4.9 Sea(an )una sucesin de nmeros reales positivos. Entonces,

lim supa1/nn lim supan+1

an.


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4.5 SUCESIONES DE CAUCHY Y COMPLETEZ 107

Solucin

Sea

C= c R : can+1

an excepto por un nmero finito dens

.

SicCentonces existe N N tal que an+1an

c para todan N. Note que c > 0 y

an cnNaN=aN

cN

cn ,

por lo que

a1/nn aN

cN

1/n(cn )1/n .

Entonces

lim supa1/n

n c lim supaN

cN1/n =c lim

aN

cN1/n =c.

De donde

lim supa1/nn infC= lim supan+1

an.

Esto termina la demostracin

4.5 Sucesiones de Cauchy y completez

Los nmeros reales se construyen a partir de los nmeros racionales usando el Axioma

del Supremo. Como el lector recordar, gracias al Axioma del Supremo podemos pro-

bar formalmente la existencia de nmeros irracionales y completar as la recta real. La

completacin de los racionales a los nmeros reales puede hacerse, sin usar el Axioma del

Supremo, usando un tipo particular de sucesiones, las llamadas sucesiones de Cauchy. Con

la construccin de R a partir de Q va sucesiones de Cauchy el Axioma del Supremo se

vuelve el Teorema del Supremo (una proposicin demostrable). La ventaja de esta cons-

truccin con sucesiones de Cauchy es que puede copiarse al contexto de espacios mtricos

y obtener los llamadosespacios mtricos completos. Aunque en un espacio mtrico com-

pleto no tendremos exactamente una versin del Axioma del Supremo (porque este depende

tambin del orden en R) si tendremos espacios mtricos en los cuales se pueden probar una

amplia gama de resultados que, como veremos en captulos subsecuentes, han sido y son


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de gran importancia en el desarrollo del anlisis matemtico y sus aplicaciones. Iniciemos

con la definicin de sucesin de Cauchy.

Definicin 4.5.1 Sea (X, d) un espacio mtrico y (xn )n=1 una sucesin en X . Diremos

que (xn )n=1 es una sucesin de Cauchy si para toda > 0 existe N= N() tal que

d(xn ,xm )


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Definicin 4.5.4 (Espacio mtrico completo) Un espacio mtrico (X, d) se dice que es

completositodasucesin de Cauchy en X converge a un punto de X. En este caso diremos

que la mtrica d es una mtricacompleta.

El ejemplo 4.5.3 dice que (Q, | |)no es una espacio mtrico completo.

Definicin 4.5.5 Consideremos un espacio normado (X, ). Si la mtrica inducida porla norma es completa, diremos que (X, ) es un espacio normado completo o espaciodeBanach2. Si adems la norma es inducida por un producto interno diremos que X es un

espacio deHilbert3.

Antes de mostrar que R y Rn son espacios mtricos completos (con respecto a cualquier

norma) necesitamos un par de lemas.

Lema 4.5.6 Sea (X, d) es un espacio mtrico y (xn )n=1 una sucesin de Cauchy en X,

entonces(xn )n=1 esta acotada.

Demostracin

Para = 1 existe N= N(1) > 1 tal que d(xn ,xm) < 1 si n, m N. En particular,d(xn ,xN) max{1, d(xN,x1) , . . . , d(xN,xN1)}. Entoncesxn BM(xN)para toda n N y por lo tanto la sucesin est acotada.

Lema 4.5.7 Sea(X, d)es un espacio mtrico y (xn )n=1 una sucesin de Cauchy en X. Si

(xn )n=1 tiene alguna subsucesin convergente, entonces(xn )

n=1 converge.

Demostracin

Sea(xn )n=1 una sucesin de Cauchy y(xn k)

k=1 una subsucesin convergente digamos

a x X. Demostremos que tambin xn x. Sea > 0. Como la sucesin (xn )n=1 esde Cauchy, dado/2 existe N1= N1(/2)tal qued(xn ,xm ) < /2 sin, m N1. Por otrolado, comoxnk x, existe N2= N2(/2)tal qued(xnk,x) < /2 sik N2. Entonces,

2Stefan Banach, 1892-1945.3David Hilbert, 1862-1943.


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por la desigualdad del tringulo se tiene que

d(xn ,x)d(xn,xnk) + d(xnk,x),

y si N= max{N1,N2}y n, k N entonces,

d(xn ,xnk) + d(xnk,x) 0. Como (xn )n=1 es de Cauchy, existe N=

N() tal que xn xm < si n, m N. Por lo tanto, para toda k N, tenemos que si

n, m N entonces. |ukn ukm| xn xm < Si hacemos en la desigualdad anterior m (con n fija), entonces|u knu k|

para todak N y para todan N. Entonces,

sup{| ukn uk | : k N}

y por lo tanto xn x para todan N.Finalmente, para probar quexc0, veamos que

limk uk

=0.Como|uknu k| < para toda ky para toda n N, en particular|ukN u k| < . Estoimplica que |uk| < + |ukN|. Luego, |uk| 2si kes suficientemente grande.


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EJERCICIOS

4.16 Pruebe la proposicin 4.4.6.

4.17 Demostrar que lim sup(xn) r para una

infinidad de nmerosn N.

4.19 Sean(xn )y (yn )sucesiones acotadas de nmeros reales positivos. Demostrar

lim sup(xn yn)

limsup(xn ) lim sup(yn ).

4.20 Sean(xn)y (yn )dos sucesiones de nmeros reales. Suponer que la sucesin(yn )

es acotada y que (xn )converge. Demostrar las siguientes igualdades

lim sup(xn+yn )= limn(xn) + lim sup(yn),

lim inf(xn+yn)= limn(xn ) + lim inf(yn ).

4.21 Considere (X, d) con dla mtrica discreta. Pruebe que este espacio mtrico es

completo.

4.22 Si(xn )n=1, (yn )n=1 son sucesiones de Cauchy en un espacio mtrico (X, d)de-

muestre que la sucesin de nmeros reales(d(xn ,yn ))n=1 converge.

4.23 Sea (X, d) un espacio mtrico completo y (xn )n=1 una sucesin contractiva, es

decir,

d(xn+1,xn )d(xn ,xn1)

para alguna 0 <


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4.25 Definimos en N la siguiente mtrica

d(n, m)= 0, sin

=m ;

1n+ 1

m, sin=m .

Pruebe que en efectodes una mtrica Es (N, d)un espacio mtrico completo?

4.26 Sea(xn)n=1 una sucesin de Cauchy en (X, d). Pruebe que existe una subsuce-

sin(xnk)de (xn )tal que

d(xnk,xnk+1 )

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