Contreras-Pérez18

RESUMEN

En la mecánica del medio continuo, un proceso de deformación puede ser descrito eligiendo, ya sea, un sistema de referencia lagrangiano o euleriano. Tradicionalmente el problema del balanceo de secciones estructurales se ha abordado usando el primer sistema de referencia en donde el observador se desplaza con el medio conforme se deforma. En tal sistema de referencia, sólo se puede establecer el campo de distorsión del medio a través de relaciones geométricas entre marcadores geológicos. El balanceo de secciones busca establecer, a partir de tales relaciones, una reconstrucción del subsuelo en la que exista continuidad de estratos y áreas en cierto tiempo en el pasado geológico (retrodeformabilidad). A la vez, el área de las rocas contenidas en la sección en esos dos estados debe ser la misma de acuerdo con el principio de conservación de masa. Utilizando resultados clásicos de la mecánica del medio continuo se establece que el problema de balanceo de secciones estructurales se puede caracterizar de forma equivalente a través del campo de velocidad del proceso de deformación. Para esto hay que elegir un sistema de referencia euleriano en donde el observador permanece inmóvil.

Palabras clave: deformación, conservación de masa, plegamiento, fallamiento, balanceo de secciones estructurales.

ABSTRACT

In continuum mechanics, a deformation process can be described either using a Lagrangian reference frame or an Eulerian reference frame. The problem of balancing and restoration of cross-sections traditionally has been approached using the former reference frame in which the observer moves with the rocks as they deform. Under such reference frame an observer is only aware of changes in geometrical relationships among geological markers (distortion field). Geologists in turn use this information to build a model of the subsurface geometry that satisfies the stratigraphic principles of continuity of strata and bed area at a given time in the geologic past (cross section restoration). At the same time, the amount of area contained in the balanced and restored cross-section must be the same because mass must be conserved. Using classical results from continuum mechanics, this paper shows that the problem of balancing and restoration of cross-sections can also be characterized by the velocity field of the deformation process. This requires, however, using an Eulerian reference frame in which the observer remains stationary.

Key words: deformation, mass conservation, folding, faulting, cross-section balancing.

Unabordeeulerianoalproblemadelbalanceodeseccionesgeológicasestructurales

Juan Contreras-Pérez

Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada, Carretera Tijuana-Ensenada 3918, Zona Playitas, 22860 Ensenada B.C., México.

juanc@cicese.mx

Revista Mexicana de Ciencias Geológicas, v. 27, núm. 1, 2010, p. 18-31

Contreras-Pérez,J.,2010,UnabordeEulerianoalproblemadelbalanceodeseccionesgeológicasestructurales:RevistaMexicanadeCienciasGeológicas,v.27,núm.1,p.18-31.

Balanceo de secciones geológicas estructurales 19

INTRODUCCIÓN

Elbalanceodeseccionesestructuralespermiteob-tenerreconstruccionesretrodeformablesdelsubsueloquesatisfacenelprincipiodeconservacióndemasa(Dahlstrom,1969).Elprocedimientoinvolucralaminimizacióndeladiferenciadeatributosgeométricostalescomoárea,longitudyespesordeestratosentreelestadoinicialydeformadoobservado(v.g.,Suppe,1985;WilkersonyDicken,2001).Lasseccionesbalanceadashanayudadoaentenderestruc-turasyrelacionescomplejasencinturonesdeplieguesycabalgaduras(Hossack1979;Suter,1981;Suppe,1983).Estoesdeaplicacióninmediataenlaindustriadelpetróleodebidoaqueloscinturonesorogénicoscontienenestructurasidealesparaacumularyproducirhidrocarburos.Apesardequeestaesunaideasimpleyelegante,laconstruccióndeunasecciónestructuralbalanceadanogarantizaqueéstaseaunarepresentacióncorrectadelageometríadelsub-suelo.Lasseccionesresultantessólosontanbuenascomolosdatosutilizadosylassuposicioneshechasdurantesuconstrucción.

Aquíhayquenotarqueelbalanceodeseccionesre-quieredesuposicionesquepuedenserpocorealistas.Porejemplo,esnecesariosuponerquelasrocassonincompre-sibleseinextensibles(Dahlstrom,1969;Hossack,1979;Suppe,1983;Woodwardet al.,1985).Apesardequeestopodríaparecerrazonable,talessuposicioneslasrestringenaciertasclasesdesubstanciascuyareología,comosediscutemásadelante,noescompatibleconaquelladelosmaterialesdelacortezasuperior(v.g.,DuncanyDuncan,1982,Kwonet al.,2005).Dehecho,esteproblemaestáestrechamenterelacionadoconunodelosproblemasmásantiguosdelageometría:elproblemaisoperimétricoodelareinadeDido.Uncorolarioalasolucióndeésteesquecualquierdeformaciónisocóricaquealterelaformadeunacurvaembebidaenunmedioincrementanecesariamentelalongituddelmarcador(Figura1).Laimplicación,entonces,esqueelbalanceodeseccionesestructuralesexcluyede-formacionesporcizallapuraysimplequeconservanmasa,peronolongitud.

Enesteartículosepresentaunarevisióndelatécnicadeconstruccióndeseccionesbalanceadas.Elobjetivoesmostrarlosprincipiosenlosquedescansaysuslimitacionesusandociertorigormatemático,sinqueseaexhaustivoycompleto.Elanálisisserestringealcasodedeformaciónquebradizaquesecaracterizapornopresentarcambiosde fases mineralógicas. Esto simplifica sustancialmente la formulacióndelproblemadebalanceo.Otroobjetivoesmostrarquelaconstruccióndeseccionesbalanceadasaceptaunacaracterizaciónatravésdelcampodevelocidadesdelprocesodedeformación.Esteesunresultadoclásicodelamecánicadelmediocontinuo(v.g.,Gurtin,1981).Estacaracterizaciónesmenosrestrictivayadmitedeforma-cionesporcizallapuraysimple,asícomocompactaciónporpérdidadeporosidad.Tambiénseilustraelusodeunaseriedeprogramasdecómputoqueelautorhadesarrollado

(ContrerasySuter,1990;Contreras,1991;ContrerasySuter,1997;Contreras2002;Contreras,enprensa)paramodelarlaevolucióndeestructurasdecinturonescompresionalesobteniéndoseresultadossimilaresalosmétodosdebalanceotradicionales.Elautorofrecegratuitamenteestosprogra-mas,juntoconunmanualdescribiendosuuso,aquienestéinteresadoenutilizarlos.

Enesteartículo,eltérminosistema de referencia serefiere al entorno, así como su estado de movimiento, bajo el cualunobservadorouninstrumentorealizanunamedición.Estenodebeconfundirseconunsistema coordenado,elcual es un concepto matemático y se refiere al estableci-mientodeunsistemaejesquepasanporunpunto-origenquedeterminanlasposicionesespacialesdelaspartículasdeunsistema.

EL PROBLEMA DE LA RECONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRÍA DEL SUBSUELO

Duranteunprocesodedeformación,losdiversoscuerposgeológicosqueconformanalacortezaterrestresondistorsionadosadquiriendonuevasgeometrías;enotrasocasiones,silosesfuerzosalcanzanciertonivelcrítico,ladeformaciónselocalizaalolargodediscontinuidadesformandofronterasinternasquedenominamosfallas.Conelpasodeltiempo,lanuevageometríaeserosionaday

P’

ξ

P

Figura1.ElproblemaisoperimétricodelaantiguaGreciaestablecequeelcírculoeslacurvacerradaqueminimizaeláreacontenidaenella.Enconsecuencia, si éste cambia su forma por una deformación isocórica ξ, entonceselperímetrodelanuevacurvaesmayorqueeldecírculoori-ginal P′ > P. Solo una rotación de cuerpo rígido mantendrá el perímetro constante P′ = P.

Contreras-Pérez20

W E

1

2

3

4

5

km

W E

1

2

3

4

5

km

a)

b)

Figura2.a:Lasseccionesgeológicasseconstruyenapartirdedatosdiscretos.Estopuederesultarenefectosdesuplantado.b:Alincrementarlaresolu-ción,lareconstrucciónseajustamejoralageometríareal,disminuyendolaincertidumbre.Vertextoparamásdetalles.

cientosdemetrossobredistanciasde5km.Otroproblemaesquelosdatospuedencontenerruidoporefectodelaseparacióndeescalasdelprocesodedeformación.

Para disminuir estos artificios es necesario incremen-tarladensidaddelosdatosysucalidad(Figura2b);sinembargo,estotieneuncostoasociado,porloquenosiempreesposibletenerlaresoluciónadecuadapararestaurarlageometríapordebajodelumbraldetoleranciarequerido(delordende101–102mparaelcasodelaindustriadelpetróleoyminera).Estoesespecialmentecríticoparadatosdelsubsuelo,loscualessonescasosytienenerroresgran-desensuubicaciónyensusechados.Unejemplosonlassecciones sísmicas de reflexión. Estas producen imágenes distorsionadasdelsubsuelo(Figura3)debidoaquelosrayossísmicosnoviajanverticalmenteenelsubsuelo,sinoquelohacensiguiendoladirecciónperpendicularalechado.Estoda como resultado que la curvatura de horizontes reflectores difieran de la curvatura real de las estructuras. Otra fuente de distorsióneslaestructuradevelocidaddelsubsuelo,lacualescríticaparaconvertirtiempoderecorridoaprofundidad(Figura3b).Éstaesparticularmentedifícildeestimarenlaspartesprofundasdeseccionesynoesraroquecontengaincertidumbresdelordende100%paratiemposderecorridomayoresacuatrosegundos(Yilmaz,1987).

EL BALANCEO DE SECCIONES ESTRUCTURALES

Otrametodologíaquesehadesarrolladodurantelosúltimos50añosesladenominadaconstruccióndeseccio-nesbalanceadas.Adiferenciadelusodeinterpoladores,enelbalanceodeseccionesnoserequiereincrementarlaresoluciónespacialdelosdatosparadisminuirlaincerti-

sepultadapordepósitossedimentariosdejandoinformaciónfragmentariadelprocesodedeformación.Esdeinterésreconstruir la geometría de cuerpos geológicos asídeformados,yaqueconstituyelabaseparaestablecerlasecuenciadeeventosqueafectaronaunaregión.Otrarazónesquesirveparaestimarreservasydeterminarlavidadeexplotacióndeyacimientos.Finalmente,esunáreadeespecialinterésenelmodeladodesistemaspetrolerosyaquelareconstruccióndelsubsueloseusacomomodelodeentradaparapredecirlamaduración,migraciónyproduccióndehidrocarburos(verreferenciascontenidasenSwennenet al.(eds),2004).

Losdatosestructuralesutilizadosparareconstruirlageometríadelsubsuelotienenlassiguientescaracterísticas.(i)Tienenunmuestreoespacialirregular,productodelaaccesibilidadalainformaciónyalimitacioneseconómi-cas.(ii)Losdatostienenunaprecisióninherenteasociadaalasmedicionesestructurales.Porejemplo,unamediciónefectuadaconbrújulatípicamentetieneunerrorde±2°.(iii)Losdatossonrepresentativosdeunaescaladelongitudcaracterística.Ladeformacióndelasrocasesproductodelainteracciónentreunaseriedesubsistemasqueocurrenenunagranvariedaddeescalasdetiempoylongitud,yunodebesercuidadosoaltomarmedicionesyestarseguroqueéstassonrepresentativasdelaescalayprocesodeinterés.Estoesalgoqueinformalmenteseledenomina“calidad”orepresentatividad.

Unamaneradeabordarelproblemadelareconstruc-cióndelageometríadelsubsueloesconsiderarlocomounproblemadeinterpolaciónyextrapolación.Sinembargo,laspropiedades de los datos de entrada dan lugar a artificios en lareconstrucción.Porejemplo,sepresentanproblemasdesuplantado(Figura2a).Tambiénsepresentapropagacióndeerroresporparalaje,loscualespuedenserdelordende

Balanceo de secciones geológicas estructurales 21

dumbredelareconstrucción.Lametodología,porlotanto,esunaherramientamuyatractivadesdeelpuntodevistaeconómico.Entérminosformales,elbalanceodeunasec-ciónestructuralesunproblemademinimizaciónsujetoarestricciones(Woodwardet al.,1985)

min [Φ(p)] (1)φ(p) = c (2)

en donde la función objetivo a minimizar Φ(p)eslaincerti-dumbreenlareconstruccióndemarcadoresgeológicos(v.g.,estratos)ysusechados(derivadas).Éstacorrespondealasumadeladiferenciasentrelareconstruccióndelsubsueloξ^(p)ylaposiciónverdaderadelasunidadesdeformadasξ(p)ysusderivadas

(3)

Aquí, λ es una función peso que puede ser usada

.)()()()()(

dx

pd

dx

pdppp

ξ ξ

ξξ .)()()()()(

dx

pd

dx

pdppp

ξ ξ

ξξ

paraponderarelajustedelapendiente.Hayquenotarqueelmodelodelsubsueloξ^(p)eslafuncióndedeformaciónyqueestadebesatisfacer lascondicionesdefronteraimpuestas por datos de afloramientos, pozos, reflectores sísmicos,etc.

Enelbalanceodeunaseccióntambiénsebuscaqueelmodelodelsubsuelosatisfagaprincipiosfísicosfundamen-tales,loscualessonencapsuladosporlafunciónφ(p)enlaEcuación2.Elobjetivodeintroduciresta(s)restricción(es)eseldeacotarelespaciodesolucionesposiblesquesatisfagalascondicionesdefrontera.Unadelasrestriccionesmásgeneralesquesepuedeimponeraunmodelodelsubsueloesquesatisfagaelprincipiodeconservacióndemasa.Esdecir,lacantidaddemasacontenidaenunvolumenarbitra-rioderocadebepermanecerconstanteduranteuneventodedeformaciónξ^(p).Estarestricciónpuedeincorporarseenlafuncióndedeformacióndelasiguientemanera(RamsayyLisle,2000)

(4)

donde ξ (p) es el gradiente de deformación y ζ es el cambio volumétricoexperimentadoporlarocaduranteelprocesodedeformación.Deestamanera,elproblemadebalanceodeseccionespuedeplantearsecomo

(5)

(6)

Sinduda,estaesunaformainnovadoradeabordarelproblemadelareconstruccióndelsubsuelo.Supotencial,sinembargo,permaneceinexplorado.Variassonlasrazo-nesdeesto.Lafuncióndedeformaciónξ (p)esdifícildeestableceranalíticamenteysóloloscasosmássencillosdeplegamientoparaleloarmónicoadmitenunarepresentacióndeformacerrada(v.g.,RamsayyLisle,2000;Contreras,enprensa).Unproblemaadicionalessisepresentafallamien-to,puesenestascircunstanciaslafuncióndedeformacióncontienesingularidadesensusderivadas,esdiscontinuayengeneralnoesinvertible.Elproblemademinimización,porlotanto,notienesolución.

Como puede apreciarse, la definición de balanceo de seccionesdeWoodwardet al.(1985)esdemasiadores-trictivaparatenerusoyesnecesariorelajarlaparahacerlapráctica.Enlaactualidadseconsideraqueunasecciónestructuralestábalanceadasiesconsistenteconlascon-dicionesdefronteray,además,minimizaelprincipiodeconservacióndemasa.Sinembargo,laformulacióndelprincipiodeconservacióndemasadependedelsistemadereferenciaelegido.Gurtin(1981)presentaunadiscusióndetalladadelasdiferenciasentrelossistemasdereferen-ciaempleadosparadescribircuerposdeformables.Porlotanto,elproblemadelbalanceodeunasecciónestructuralpuedeabordarsedemásdeunamanera,loquesediscuteacontinuación.

ζξ )(det p ζξ )(det p

,)()()()(min

dx

pd

dx

pdpp

ξ ξ

ξ ξ ,)()()()(min

dx

pd

dx

pdpp

ξ ξ

ξ ξ

ζξ )(det p .

ζξ )(det p .

Figura3.Losdatosdelsubsuelopuedentenergrandesincertidumbres;ésteeselcasodeseccionessísmicas.a:Lastrazassísmicassonapiladasdemaneraverticalyapartirdeéstassereconstruyelageometríadelsubsueloeneldominiodeltiempoderecorrido(líneapunteada).b:Enrealidad,losrayosviajanenladirecciónperpendicularalosechadosporloquehay que corregir la posición de horizontes reflectores (línea punteada) mediantemigración(líneasólida).Además,paraencontrarsuprofundidadesnecesarioconocerlaestructuradevelocidaddelmedio.

Contreras-Pérez22

SISTEMA DE REFERENCIA LAGRANGIANO Y EL BALANCEO POR ÁREA Y LONGITUD DE CAPAS

Ahoranosenfocaremosenlaformulacióndelprincipiodeconservacióndemasautilizandounsistemadereferencialagrangiano,elcualhasidoempleadotradicionalmenteporgeólogosestructuralesparadescribirladeformacióndelasrocas.Ensuformamássimple,elprincipiodeconservacióndemasaenunmedioquesedeformaconsideraunvolumenarbitrarioVquesedesplazajuntoconelrestodelmediocomoseilustraenlaFigura4a.Unobservadorcontenidoenelvolumenseencuentraenunsistemadereferencialagrangianoynopercibecambiosenlamasaenelvolumendecontrol,i.e.,

(7)

dondeρesladensidadenelestadoinicialV,ρ',esladensidad en la configuración deformada V' y dV, dV′ son diferencialesdevolumenenesosestados(Figura5).Deestamanera,elobservadorsólosepercatadedistorsionesenmarcadoresmaterialesenlarocaydecambiosensuspropiedadesgeométricaslocalescomosoncambiosdeángulos,elongaciones,etc.LostrabajosdeChamberlain(1910),Suter(1981)ySuppe(1983)sonejemplosdeesto(Figura6).

Losiguienteesconsiderarqueunasecciónestructu-ralesuncorteverticalcontenidoenelvolumenderocaV,entonces,dVpuedeexpresarsecomodV = A×l,dondedAesundiferencialdeáreayleselgrosordelvolumenderocamedidoenladirecciónperpendicularalplanode

0 V V

VddV ρρ 0 V V

VddV ρρ

sección(Figura5).Sisecumplenlassiguientescondicio-nes:(i)ladensidaddelasrocaspermanececonstante,(ii)ladeformaciónescilíndrica(v.g.,plana)y(iii)elplanodelasecciónestáorientadodemaneraparalelaaladireccióndetransporte.Entonceslpermanececonstanteduranteladeformación y la Ecuación 7 se simplifica a la siguiente expresión

A = A' (8)

Esdecir,enunasecciónestructuralorientadaparalelaaladireccióndeltransportetectónico,eláreadelasrocascortadasporelplanodeseccióndebeserlamismaqueenestadosindeformardelasrocas.

Lasexpresiones(7)y(8)establecenqueesnecesariocompararelestadoinicialsindeformarcontraelestadoob-servadodeformadoparaconstruirunasecciónbalanceada.Estoeselquid delbalanceodesecciones,ysuconstrucciónnoesunatareatrivial.Elprimerestadosedesconoceyelsegundoesnecesarioreconstruirloconlaslimitacionesyartificiosresultantesyadiscutidos.Apesardeesto,observaciones estratigráficas indican que las secuencias sedimentariasobedecenprincipiossimplesdescritosporStenoen1669yotrosnaturalistasdelsigloXVIIIyXIXqueconstriñenfuertementelageometríadelestadoinicial.Estohallevadoaplantearelproblemadebalanceodelasiguientemanera:unasecciónestructuralestabalanceadasialrestaurarlasección(retrodeformar)asuestadoorigi-nal ésta obedece las leyes estratigráficas de horizontalidad original,continuidadlateraldeestratosysuperposición.Enestetipodebalanceosebuscaminimizarladiferenciaentrelasáreasdeesosdosestados.

Figura4.a: Enunsistemadereferencialagrangiano,unvolumendecontrolVsedeformajuntoconelmediohastaalcanzarelestadodeformadoV′.b:Enunsistemadereferenciaeuleriano,elvolumendecontrolVpermaneceestacionario y la masa contenida en él fluye a través de sus fronteras.

Figura5. Elementos geométricos de un volumen de rocas estratificadas VquesedistorsionabajolaaccióndeunafuncióndedeformaciónξhastaalcanzarunaformaplegadaV’.ElvolumenenelestadoinicialtienedimensionesL×l×HyunáreaensecciónA.

Balanceo de secciones geológicas estructurales 23

min │A = A'│. (9)

Numerososautores(v.g.,Woodwardet al.,1985;Shawet al.,2005yautoresahícitados)consideranquelaexpresión (8) se simplifica aún más para el caso de plega-mientocilíndricoparalelo.Sepiensaqueenestetipodedeformación,elespesordecapasHysulongitudLper-manececonstante(Figura5).Deestamanera,unasecciónestructuralretrodeformableendondeelespesordecapasysuslongitudeseslamismatantoenelestadoinicialcomoeneldeformado,sedicequeestabalanceadaporlongituddecapas.Enestetipodebalanceosebuscaminimizarladiferenciaentrelaslongitudesdelascapadelestadodefor-madoysindeformar

min │L = L'│. (10)

SISTEMA DE REFERENCIA EULERIANO Y CINEMÁTICA DE LA DEFORMACIÓN

Ahoraseconsideraunsistemadereferenciaeuleriano,endondeelvolumendecontrolpermaneceestacionario(Figura4b).Unobservadorcontenidoenélseencuentra

en un sistema de referencia inercial fijo y se percata que el medioseencuentraenmovimiento,quelamasacontenidaenelvolumendecontrolescapaatravésdesusfronterasyquenuevamasaesadicionadaatravésdeellas.Entonces,paraobtenerunadescripcióneulerianadelaecuacióndeconservacióndemasahayqueagregaresosefectosalaEcuación7

(11)

en donde Γ representa la frontera de V,nesunvectorunitarionormalaesta,veslavelocidaddelmedio,i.e.,v=ξ•, y ∆teselintervalodetiempoquetranscurreduranteladeformación.LosprimerosdostérminosenlaEcuación11sonelcambiodemasalagrangiano(Ecuación7);losotrosdostérminosrepresentanelmovimientodelmedioy el flujo de masa que escapa/entra por la frontera Γ. Si la densidad permanece constante, la Ecuación 11 se simplifica alasiguienteexpresión:

(12)

Estarelaciónestablecequeenunmedioincompresibleel flujo neto a lo largo de su frontera debe ser nulo. Usando resultadosclásicosdecálculoesposibleexpresarestaecuaciónintegralcomolasiguientelaecuacióndiferencial(RamsayyLisle,2000)

(13)

Esto significa que la divergencia del campo de ve-locidaddeunprocesodedeformaciónincompresibleesidénticaaceroentodoslospuntosdelaregióndeformada.LaEcuación13esconocidacomolaecuacióndeconti-nuidad y su significado físico es que la razón de dilatación volumétricalocaldeunmedioincompresibleesnula.Paracompletarlacaracterizacióndeladeformaciónesnecesarioencontrarlastrayectoriasξquedescribenlaspartículasqueconstituyenalmedio.Éstassonlasoluciónalasiguienteecuacióndiferencial(RamsayyLisle,2000)

(14)

ParaencontrarlasoluciónalaEcuación14serequiereconocer la configuración del medio ξ0 enciertotiempoarbitrariot0conocido.

Comopuedeapreciarse,enunsistemadereferenciainercial fijo el principio de conservación de masa gobierna lacinemáticadeladeformación.Esdecir,elcampodeve-locidadesdeunprocesodedeformaciónestaconstreñidoporlaEcuación13.Otraconclusióndeesteresultadoesqueelbalanceodeunasecciónestructuraltambiénpuedeplantearsecomounproblemadevaloresinicialesydecondicionesenlafrontera.Consecuentemente,todoprocesodedeformacióntieneasociadounconjuntodecondicionesinicialesydefronteraquelocaracterizan.

0

dVnvρ 0

dVnvρ

Figura6. Enunabordelagrangiano,ladeformaciónsólosepuedecaracte-rizarporrelacionesgeométricasentremarcadoresmaterialesgeológicosenelestadodeformado.Ejemplodeestoson(a)elcálculodelaprofundidadaldespeguebasalparaunplieguededespegue(Chamberlain,1910);(b)elcálculo del echado γ de una rampa que corta un anticlinal (Suter, 1981); y (c)elcálculodelechadodeunarampa,conocidoelángulodelplanoaxialdel flanco frontal de un pliegue-rampa (Suppe, 1983).

Contreras-Pérez24

Figura 7. Campo de velocidades y deformación inducida en un medio estratificado por una falla de despegue (línea amarilla). a: Estado inicial; b: pliegue dedespegueresultante.

amplitud/longitud de onda (Mitra, 2003).Contreras(enprensa)encontróunasoluciónanalítica

aestetipodeplegamientousandolassiguientescondi-cionesdefrontera:(i)elnúcleodelaestructuraemergeaunatasadelevantamientotectónicavnqueesamortiguadaenladirecciónhorizontalporunafuncióncoseno;(ii)lascomponenteshorizontalyverticaldelcampodevelocidadessedesvanecenalolargodeldespeguebasalyenelnúcleodelaestructura,respectivamente;esdecir,elnúcleosele-vantaconformeelmedioquelorodeaseacorta.Elcampodevelocidadesquesatisfacelascondicionesdefronteraanterioresestádadoporlasexpresiones:

(15)

(16)

Lafuncióndedeformaciónotrayectoriaquedescribenlaspartículasestádadaporlasexpresiones

(17)

(18)

endondex0yy0sonlasposicionesdelaspartículaseneltiempot0.LaFigura7muestralasoluciónencontradaporContreras(enprensa)paraelcasodesecuenciasestratigrá-ficas de espesor constante.

Pliegues-rampa

Estetipodeestructurassedesarrollancuandoundes-peguebasalcomunicamedianteunarampaaotrodespegue

Enlassiguientesseccionessedescribenlascondicio-nesdefronteraylassolucionesparalaformacióndeplie-guesdedespegue,pliegues-rampayplieguesdepropagacióndefalla.Éstossonprocesosdedeformaciónfundamentalesdecinturonescontraccionales(Suppe,1985;Nemcoket al.,2005)ysemuestracómo,combinandoéstos,esposibleobtenerseccionesestructuralesbalanceadasencinturonesdeplieguesycabalgaduras.Estaessólounadiscusiónentérminosdescriptivos.Unaderivaciónrigurosaestámásalládelosobjetivosdeestatrabajo.

Pliegues de despegue

Losplieguesdedespeguesonlasestructurasmássencillasquesepresentanencinturonesdeplieguesycabalgaduras.Enellosladeformaciónsedistribuyedemaneracontinuaformandounpliegueyquizásonlosúnicostiposdeestructurasparalosqueexistesolucionesanalíticas(v.g.,Biot,1961;Contreras,enprensa).Losplieguesdedespeguesontípicosdemediosestratificadosconunfuertecontrastereológicoentredosunidadeslitológicas:unaunidadbasalqueconsistederocasdúctilestalescomolutitaosal,sobreyacidasporunaunidadcompetentecompuestahabitualmentedecalizaoarenisca.Estasdoscapasrespondenalaaplicacióndeesfuerzosformandounaestructuradómicalimitadaaprofundidadporunafallainversahorizontalodespegue(Figura7).ObservacionesenlasmontañasJura(Mitra,2003)muestranqueinicialmentelos pliegues de despegue tienen flancos con echados bajos y razones pequeñas amplitud/longitud de onda. Conforme el acortamiento se incrementa, las rocas dúctiles fluyen hacia el núcleo de la estructura, los flancos rotan adquiriendo ángulosmayoresy laestructura incrementa la razón

Balanceo de secciones geológicas estructurales 25

quecorrealolargodeunhorizontedúctilubicadoenunnivel estratigráfico superior. Al desplazarse el bloque caído sobreelbloquedetechoseformaunanticlinalacofradosimétricosobrelarampaquecortaelnúcleodelanticlinal.ContrerasySuter(1990)yContreras(1991)obtuvieronunasoluciónnuméricaparasimularlaformacióndepliegues-rampa(Figura8).Lascondicionesdefronteradelmodelopropuestoporestosautoresson:(i) el flujo por transporte tectónicopermanececonstanteconlaprofundidady(ii)elflujo en el bloque superior es tangencial a la superficie de unacabalgadurasubyaciente.

Sielcampodevelocidadesesestacionario,elestadodeformadosepuedecalcularmedianteunsimpleesquemanuméricoiterandolaEcuación14sobrelasposicionesdepuntosmateriales.Paraelloesnecesarioconocerlasposicionesinicialesylageometríadelafallaeneltiempot0.Porsimplicidad,lageometríadelafallaseaproximapormediodesegmentosrectosylosplanosaxialesentredossegmentosdefallaconsecutivoslimitancamposvec-torialeshomogéneos.EstoeselequivalentevectorialdelosdominiosdeechadosdeSuppe(1983).Ladistorsiónquesufreuncuerpoaldesplazarseendichocampoesporcizallasimple,loquesatisfaceelprincipiodeconservacióndemasaperonoeldeconservacióndelongituddecapas(ContrerasySuter,1990).

Pliegues de propagación de falla

Losplieguesdepropagacióndefallasonestructurassimilaresalosplieguesrampa,yaqueconstandeunarampaque se ramifica de un despegue basal. La diferencia consiste en que la rampa se propaga hacia niveles estratigráficos

superioressincomunicarconundespeguesuperior(Figura9).Estoresultaenlaformacióndeunanticlinalrecumbenteasimétricoconunafallaciegaensunúcleo(Figura9).Otradiferencia consiste en que el flanco posterior se deforma por rotación y cizalla simple mientras que el flanco frontal sedeformaporcizallatriangularotricizalla (Erslev,1991;Allmendinger,1998;ZehnderyAllmendinger,2000).

Lascondicionesdefronteraeinícialessonbásica-mentelasmismasdelcasoanterior,i.e., flujo constante con profundidad y flujo tangencial a la superficie de la cabal-gadura.Enlaregióndetricizallalosvectoresdevelocidaddecrementansumagnituddesdeelplanoaxialapicalhastadesvanecerseenlalíneaapical(Figura9a).Estoresultaencizallasimple.Lazonadetricizallaestransportadaconelextremodelafallaconformeseincrementalazonaderupturadelarampa(Figura9b).

MODELADO DE SECCIONES ESTRUCTURALES USANDO CINEMÁTICA DE LA DEFORMACIÓN

Ahorasepresentanmodelosdelageometríadelsub-suelodealgunasestructurasdocumentadasencinturonesdeplieguesycabalgaduras(Figuras10–12).Lageometríadelosejemplosseleccionadosseencuentrarazonablementebienconstreñidaconseccionessísmicas,datosestructuralesde afloramiento y de pozos. El objetivo de este ejercicio es mostrarquelaformulacióneulerianaproduceresultadossimilaresalosobtenidosusandolosmétodosdebalanceotradicionalesyadescritos.Paraesto,lassolucionesdiscu-tidas en la sección anterior se implementaron y codificaron enunaseriedeprogramasdecómputo.Losprogramasrealizanunasimulacióndirectadeladeformaciónyes

Figura 8. Campo de velocidades y deformación inducida en un medio estratificado por una falla con geometría despegue–rampa–despegue (línea ama-rilla). a: Estado inicial; b: pliegue–rampa resultante. Observe cómo los vectores de velocidad son paralelos a la superficie de la falla y cómo los planos axiales definen regiones de vectores constantes.

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necesarioalimentarlosconlageometríadelestadoinicial,lasfallasysusecuenciadeactivación(verContreras,2002,paramásdetalles).

Elprimermodelocorrespondeaunasecciónestruc-turaldelanticlinaldelVallePowellenTennessee,EE.UU.(Figura10),unejemploclásicoenlaliteraturadeseccionesbalanceadas.LosparámetrosdelmodeloseobtuvierondeunasecciónbalanceadapublicadaporWoodwardet al.(1985).Enlasimulaciónseutilizansietemallasrectangu-lares para representar una serie de unidades estratigráficas tabularesconedadesquevandelCámbricoalPensylvánico.Lasunidadesestáncortadasportresfallas,dosdeellastienenunageometríadedespegue–rampa–despegueylarestanteunageometríadedespegue–rampaciega.Losdes-pegues corren paralelos a la estratificación y están ubicados enlabasedelaFormaciónRome,elGrupoConasaugaylasunidadesqueconformanelSilúrico–Devónico(Figura10).Elordendeactivacióndelasfallasenestemodeloestructuralbalanceadoocurrióenladireccióndeltransportetectónico.

ElsegundoejemploesunmodeloestructuraldelapartecentraldelaSierraMadreOriental,enelestadodeHidalgo(Suter,1987).LaseccióncorredeWSWaENEycortaalaplataformacarbonatadadeValles-SanLuisPotosíypartedelacuencadeTampico-Mizantla(Figura11).Enlaconstruccióndeestasecciónbalanceadafuenecesarioutilizarcincomallaspararepresentarlasunidadeslitológi-casinvolucradasenladeformación.Unamallaenformadecuña,querepresentaunidadesjurásicas,queseadelgaza0.2°alolargodesubase.Tresmallasparaaproximarlageome-tríadelaplataformacarbonatadadeValles-SanLuisPotosí;unamallarectangularparalasfaciesdeinteriordeplata-

forma(Fm.ElAbra)ydosmallasconformadecuñaparalasfaciesdebordedeplataforma(Fm.Tamabra).ParalasrocasdelacuencadeTampico-Mizantla(Fm.Tamaulipas)tambiénseutilizóunamallaqueseadelgazalateralmente0.5°ensucima.Estasunidadesfuerondeformadas,durantela Orogenia Laramide de finales del Cretácico y principios delTerciario,porunaseriedecabalgadurasquecorrenenlabasedelasunidadesjurásicasycortanlasunidadescretácicasmedianterampas.EstapartedelaSierraMadreOrientalestáafectadaporcincofallas:AguaFría,LoboCiénaga,AguaZarca,lacabalgadurafrontalyunafallainferidaaprofundidaddenominadaPisaFlores.

EltercerejemplocorrespondeaunmodeloestructuraldeloscamposCantarellySihilenlaSondadeCampecheenelsurestedeMéxico(Figura12)yestábasadoensec-cionespublicadasporMitraet al.(2006).EstoscampossonelresultadodecompresiónduranteelMiocenoyex-tensiónenelPlioceno–Holocenoqueafectanaunaseriede secuencias estratigráficas depositadas desde el Jurásico hastaelReciente.Paramodelaresoscamposseutilizaronochomallas:tresdegeometríavariableparaelbasamento,elcualseprofundizahaciaelNE,tresmásparasecuenciasdelJurásicoyCretácicotemprano,ydosmallastabularesrepresentandobrechascretácicasysecuenciasdelTerciario.Loscamposestánafectadospordoscabalgadurasyunafallanormallístrica.Lacabalgaduraprincipal(CabalgaduraFrontal)tieneunageometríadedespegue–rampa–despeguequeimparteunageometríadepliegue–rampaalaestruc-tura(segundopaneldearribaaabajoenFigura12).Pordebajodeesta,unasegundafallainversacongeometríadedespegue–rampaciega(FallaSihil)formóunplieguedepropagacióndefallaformandoundúplexdepilaanticlinal

Figura9. Campo de velocidades y deformación inducida en un medio estratificado por una falla ciega que se desprende de un despegue basal (línea ama-rilla).a:Estadoinicial;b:plieguedepropagacióndefallaresultante.Observecomolosvectoresdevelocidadenlaregióndecizallatriangular(regiónlimitadaporlaslíneaspunteadas)decrecengradualmentehastasernulosenlalíneaapical.

Balanceo de secciones geológicas estructurales 27

(Mitraet al., 2005). Finalmente, el flanco posterior del du-plexsecolapsóporunafallalístricaquereactivólarampadelacabalgadurafrontal(fallaKutz).

DISCUSIÓN

Enesencia,elobjetivodeconstruirunasecciónbalanceadaeseldeeliminarladistorsiónobservadaenunasecuenciaderocasyllevarlasasuestadoprevioaladeformación.Sielestadoinicialsatisfacelasleyesestrati-gráficas de Steno, entonces se considera que la sección está

balanceadayquelareconstrucciónobtenidaespreferibleaotrosmodelosdelsubsuelobasadossolamenteendatosestructuralesincompletos.Otracaracterísticaimportantedelasseccionesbalanceadasesquesumasadebepermanecerconstante. La justificación física se encuentra, por supuesto, enlaleydeconservacióndemasa.

Sinembargo,elacortamientodelasrocasesunpro-ceso complejo multiescalar y es necesario hacer simplifica-cionesparapoderobtenerunareconstruccióndelsubsueloquesatisfagaesasrestricciones.Quizálasuposiciónmáscuestionablehechaenelbalanceodeseccionesestructuralesesquelalongituddelasunidadesdeformadasconservasu

-3000-2000-1000

01000200030004000

met

ros

0 10000 20000 30000 40000 50000

metros

Estado inicial

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01000200030004000

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Falla Pine Mountain

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Falla Bales I

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metros

Falla Bales II

Figura10.EvolucióndeladeformacióndelanticlinaldelVallePowellenTennessee,EE.UU.

Contreras-Pérez28

Figura11. SecuenciadedeformaciónparalapartecentraldelaSierraMadreOrientalenelestadodeHidalgo,México.

Balanceo de secciones geológicas estructurales 29

Figura12.EvolucióndeladeformacióndeloscamposCantarellySihilenlaSondadeCampeche,GolfodeMéxico.

Contreras-Pérez30

longitudinicial.Estaesunasuposiciónmuyastringenteque sólo es satisfecha por superficies desarrollables, que son aquéllas producidas por flexión y libres de extensión, contracciónycizalla(DuncanyDuncan,1982).

Paratenerunamejorideadeestetipodeproceso,considéreseunmarcadormaterialdadoporunacurvapa-ramétricaφ (t)sujetaaunadeformaciónξφ (t).Lalongitudl′ del marcador en el estado deformado entre dos puntos concoordenadasξφ (t1)yξφ (t2)estádadaporlaintegral(Gurtin,1981)

(19)

dondedsesundiferencialdearcodecurva.Ahorabien,dspuedeestablecersecomo

(20)

Siel tensordedeformación ξseexpresaensuformapolar

(21)

dondeResunarotacióndecuerporígidoyUeseltensordeelongaciónderecho,entoncesseobtiene

(22)

Lasdosúltimasecuacionesmuestranqueelmarcadornocambiasulongitudsólosiladeformaciónconsistedeunaserieserotacionesrígidaslocales.Otraimplicacióneslasiguiente.Estetipodedeformaciónespropiadematerialesquenoacumulandistorsióny,enconsecuencia,esfuerzosnienergía(Kwonet al.,2005).Claramente,lasrocasdelacortezasuperiornosecomportandeestamanera.Observacionessismológicasplasmadasenlateoríadelre-boteelásticomuestranquelasrocasdelacortezaacumulanyliberanenergíademaneracuasiperiódica.Porotraparte,hayobservacionesqueindicanquelosplieguesdedespegueinicialmentecrecenporengrosamientodeestratosyquenoconservanlalongituddecapas(EppardyGroshong,1993;Gonzalez-MieresySuppe,2005;Hubert-Ferrariet al.,2007).Tambiénsehadocumentadoqueplieguespara-lelospresentanfallamientodilatanteenregionesconaltacurvaturayestaesunaáreadevigorosainvestigaciónenlaprospeccióndehidrocarburos(Ericksonet al.,2004;Al-DossaryyMarfurt,2006).Quizáestanpocorealistacomola teoría de flujo potencial de fluidos a la que Feynman et al. (2006) se refiere como la “teoría del agua seca.”

Elprincipiodeconservacióndemasaensuformaeulerianaesmuchomenosrestrictivoynoesdifícildemos-trarque,ademásderotacionesrígidas,deformacionesporcizallapuraysimplesontambiénsolucionesdelaEcuación13.Además,tambiénsepuededemostrarqueestosúltimosmodosdedeformaciónengeneralnoconservanlongitudes(v.g.,ContrerasySuter,1990;RamsayyLisle,2000;TwissyMoores,1992).Laformulacióneulerianatambiéntienelaventajadequecambiosenladensidaddelasrocaspueden

incorporarsedemaneranaturalenlaecuacióndebalancedemasa.Unejemploeselcasodelacompactacióndesedimentos por expulsión de fluidos intragranulares. Si los cambiosdedensidadseaproximanporunafunciónlineal,ρ=ρ0+εy, donde ρ0 es la densidad en superficie y ε es la razón decompactaciónconlaprofundidad,entoncesseobtienequeelprincipiodeconservacióndemasa(11)es

(23)

Estaecuaciónestablecequecambiosenladistribuciónespacialdeladensidadafectanalcampodevelocidadesdeunprocesodedeformación.Estoessimilaralfenómenoobservado cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo de diámetro variable. El fluido debe cambiar su velocidad a lo largo del recorrido para mantener el flujo de masa constante.LaEcuación23prediceelmismofenómeno,exceptoqueloscambiosdevelocidadsonmoduladosporvariacionesenladensidad;estoesalgoquenoesevidentesiúnicamenteseconsideranlongitudesyáreasparaconstruirunasecciónbalanceada.

CONCLUSIONES

Enesteartículosepresentóunarevisióndelproblemadelbalanceodeseccionesusandoalgunosdelosprincipiosfundamentalesdetransporteydeformacióndelamecánicadelmediocontinuo.Semuestracómolasoluciónaesteproblemadependedelsistemadereferenciaescogido.Enunsistemadereferencialagrangianoquesedeformaconelmedio,sóloesposibleestablecerladistorsióndelmediousandomarcadoresmaterialescontenidosenél,yporlotanto,elbalanceodeunasecciónseformulacomounpro-blemaderetrodeformabilidadquedebesatisfacerlasleyesestratigráficas de Steno.

También se muestra cómo, en un sistema inercial fijo euleriano,elbalanceodeunasecciónresultaenunproble-ma de cinemática ya que en este sistema el medio fluye. Utilizandoresultadosdelamecánicadelmediocontinuo,ladeformaciónsepuedecaracterizaratravésdelaecuacióndecontinuidad.Conociendolasoluciónaestaecuacióndiferencialsepuedenencontrarlastrayectoriasdelaspartí-culas.Esteresultadofueutilizadoparaencontrarsolucionesdeprocesosdedeformacióncomúnmenteencontradosencinturonesdeplieguesycabalgaduras.Seccionesmodeladasendondeseutilizanestassolucionesmuestranquesepuedenreproducirendetallelascomplejidadesobservadasenestetipodecinturonesdedeformación.

AGRADECIMIENTOS

AgradezcoamiscolegasdelgrupodesismologíaaplicadadeCICESE,aJuanGarcíaAbdeslem,alárbitroGabrielChávezCabelloyaunárbitroanónimoporsusva-

Balanceo de secciones geológicas estructurales 31

liososcomentariosqueayudaronamejorarsustancialmenteestetrabajo.TambiénagradezcoaJosédeJesúsMojarroBermúdezyaLuisCarlosGradillaMartínezporelapoyotécnicorecibidoduranteeldesarrollodeestetrabajo.Estetrabajo fué financiado por CONACyT (proyecto No. 60647) yporCICESE(proyectointernoNo.644116).

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Manuscritorecibido:Enero16,2009Manuscritocorregidorecibido:Mayo10,2009Manuscritoaceptado:Octubre10,2009