1. UNIDAD 4 Programacin lineal a programacin lineal es parte de una rama de las matemticas relativamente joven llamada investiga- L cin operativa. La idea bsica de la programacin lineal es la de optimizar, es decir, hacer mxima o mni-ma, una funcin, conocida con el nombre de funcin objetivo, con la que expresamos beneficios, gastos, tiempo de distribucin de bienes en problemas logsticos, etc. Esta funcin est sometida a una serie de restriccio- nes que vienen expresadas por inecuaciones lineales. La programacin lineal tuvo sus orgenes en problemas de naturaleza econmica planteados durante la Segunda Guerra Mundial. Al comienzo los problemas planteados surgieron de la actividad militar, pero inmediatamente se vio que sus mtodos eran aplicables en muchas reas de la actividad econmica donde es necesario la toma de decisiones.El mtodo ms conocido de resolucin de problemas de programacin lineal es el Mtodo del smplex desarro- llado por el matemtico norteamericano George Dantzig en 1947. El algoritmo smplex ha sido elegido como uno de los diez de mayor influencia en el desarrollo y la prctica de la ciencia y la ingeniera en el siglo XX.El Mtodo del simplex consiste en la utilizacin de un algoritmo iterativo para optimizar el valor de la funcin obje- tivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. A lo largo de esta Unidad nicamente resolveremos problemas de programacin lineal bidimensional, con dos variables, para los que no es necesario el algoritmo simplex.En esta Unidad didctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes: 1. Conocer la terminologa usada en sistemas de inecuaciones. 2. Manejar transformaciones que permiten convertir un sistema de inecuaciones en otro equivalente. 3. Dominar las tcnicas para encontrar las soluciones de sistemas de inecuaciones. 4. Conocer el lenguaje propio de la programacin lineal. 5. Dominar algebraicamente la programacin lineal en el caso de dos variables. 6. Resolver situaciones problemticas que precisen de la teora de la programacin lineal. NDICE DE CONTENIDOS 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 2. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 3. PROGRAMACIN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4. PROGRAMACIN LINEAL DE DOS VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 4.1. Mtodo grfico para obtener las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 4.2. Mtodo analtico para obtener soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 5. RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7162

2. 63 3. UNIDAD PROGRAMACIN LINEAL 41. Inecuaciones lineales con dos incgnitasPara comenzar esta Unidad, parece conveniente recordar algunos conceptos ya estudiados sobre inecuaciones. Si en las ecuaciones lineales con dos incgnitas ax + by = c, se sustituye el signo igual, por cualquier signode desigualdad ( , , >, < ), estamos ante una inecuacin lineal con dos incgnitas. Si una desigualdad despus de realizar trasformaciones de equivalencia entre desigualdades y simpli-ficar se convierte en otra de la forma ax + by c, o con cualquiera de los signos (, >, < ), estamosante una inecuacin lineal con dos incgnitas. Resolver una inecuacin es encontrar los valores (x, y) que satisfacen la desigualdad; estos valores se sue-len localizar sobre un plano cartesiano.Se sabe de cursos anteriores, que la solucin general de una inecuacin lineal con dos variables est for-mada por los puntos de uno de los semiplanos en los que la recta ax + by = c divide al plano. Una solucin par-ticular ser cualquier punto que satisfaga a la inecuacin. La recta de divisin de los semiplanos se llama frontera y pertenece a la solucin general en el caso dedesigualdad no estricta.Ejemplo 1. Encontrar la solucin general de la inecuacin x + 2y > 3. Indicar si la frontera forma parte de la solucin. Solucin:La recta x + 2y = 3 divide al plano en los semiplanos I y II.Se elige un punto del semiplano II; el ms sencillo es (0, 0) y se sustituye en la inecuacin 0 + 2 0 > 3; la desigualdad es falsa, por lo que el origen y todos los puntos del semiplano II no son solucin; la solucin general la forman los pun- tos del semiplano I.Los puntos de la frontera no son solucin; la desigualdad es estricta; por ejem- plo, el punto (1, 1) de la recta, al sustituirlo en la inecuacin 1 + 2 1 > 3, pro- porciona una desigualdad falsa. Para resolver inecuaciones lineales, se deben simplificar; por lo que conviene recordar los principios quetransforman una inecuacin en otra equivalente; estos son: Si se suman o restan a los dos miembros de una inecuacin la misma expresin algebraica, la inecuacin que resulta es equivalente a la primera. p(x) < q(x) 5 p(x) + a(x) < q(x) + a(x) Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuacin por un nmero positivo, la inecuacin que resulta es equivalente a la primera. Si a > 0 y p(x) < q(x) 5 a p(x) < a q(x) 64 4. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuacin por un nmero negativo, la inecuacincambiada de sentido es equivalente a la primera.Si a < 0 y p(x) < q(x) 5 a p(x) > a q(x) Ejemplo52. Encontrar la solucin general de la inecuacin: x 3y y 2 2Solucin: 5 5 Sumar y a los dos miembros: x 3 y + y 2 2 2Multiplicar por (-2) los dos miembros: 2x + 6y 5y 4Operar: 2x + y 4Sustituir (0, 0) en la inecuacin; 2 0 + 0 4, desigualdad verdadera. La solu- cin general est formada por los puntos del semiplano II, sin colorear.Actividades 1. Encontrar las soluciones de las inecuaciones: a) x 0; b) y 0; c ) x 1; d) x+y 3. 2. Encontrar la solucin general de la inecuacin 3 x 2 y > x y 2 .2 5 2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitasUn sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas es el conjunto formado por dos o msinecuaciones lineales con dos incgnitas; por ejemplo: a11x + a12 y b1 a x + a y b 21 22 2 ... + ... ... an1x + an 2 y bn El signo que aparece en todas las inecuaciones del ejemplo, puede ser sustituido en cualquiera de ellas por los otros signos de desigualdad. Se llama solucin general del sistema, o regin factible, al conjunto de los puntos del plano A(x, y) que cum- plan simultneamente todas las inecuaciones del sistema. 65 5. UNIDAD PROGRAMACIN LINEAL4Para localizar la regin factible o solucin general del sistema, se realizan los pasos siguientes: Se localizan los semiplanos solucin de cada una de las inecuaciones del sistema. Se realiza la interseccin de todos los semiplanos y el recinto que resulta es la solucin general oregin factible.Los sistemas de inecuaciones lineales en cuanto a soluciones puede ocurrir como en el caso de los sistemas que no tengan solucin; es decir, que la regin factible sea el conjunto vaco; en el caso de que exista, la regin factible puede ser acotada ( rea finita) o no acotada ( rea infinita). En el caso de regin acotada sus puntos estarn encerrados en un polgono convexo; es decir, aquel en que los segmentos determinados por dos puntos interiores, estn todos los puntos del segmento en el interior del polgono. Ejemplos 2x + 3y 12 2 x + 4 y 8 x + 2y 2 3. Encontrar la regin factible (solucin general) de los sistemas: a) x 0 ; b) x 0 ; c) x 0 y 0 y 0 y 0 Solucin: Se localizan los tres semiplanos que corresponden a las soluciones de cada una de las tres inecuaciones que formancada uno de los sistemas; la interseccin de los mismos proporciona la regin factible de cada sistema; estas son: a) b) c)Las regiones factibles obtenidas son: a) Acotada; el tringulo OAB. b) No acotada. c) Conjunto vaco; sin solucin.66 6. Actividades x3 3. Representar el conjunto de puntos solucin del sistema: x 3 y 2 4. Dibujar las regiones factibles o soluciones de los sistemas: x+y 8 x + 3 y 15 x + 2y 5 x + 4y 8 a) x 2y 10 ; b) x + y 3 ; c) x 3y 5 ; d) x 2 y 6 x 0; y 0 x 0; y 0 x0 x 7; y 0 3. Programacin linealLa teora de la programacin lineal se ha utilizado desde la segunda mitad del siglo pasado para resolver pro- blemas concretos como el del transporte, el de la dieta y otros muchos problemas de economa.Los problemas que resuelve la programacin lineal tratan de encontrar el beneficio mximo en ventas o el coste mnimo en produccin; siempre teniendo en cuenta que se dispone de recursos limitados. Se puede decir que con la programacin lineal se deben tratar aquellos problemas en los que se debeoptimizar (calcular mximos o mnimos) una funcin de varias variables, llamada funcin objetivo,sometida a una serie de restricciones expresadas mediante sistemas de inecuaciones lineales.4. Programacin lineal de dos variables Antes de resolver problemas concretos de programacin lineal, vamos a ver en qu consiste algebraicamen- te la programacin lineal en el caso de dos variables. Se trata de optimizar (calcular mximos o mnimos) una funcin de dos variables F(x, y) = ax + by oz = ax + by, llamada funcin objetivo, sometida a las restricciones expresadas mediante un sistemade inecuaciones lineales de dos variables, como el siguiente: a11x + a12 y b1 a x + a y b 21 22 2... + ... ... a x + a y b n1n2 n x 0; y 0 El signo mayor o igual, que aparece en todas las inecuaciones del ejemplo, puede ser sustituido en cualquie- ra de ellas por los otros signos de desigualdad en cada problema concreto.Del apartado anterior se deduce que el valor ptimo de la funcin objetivo F(x, y) = ax + by, caso de existir, se encuentra entre los puntos de la regin factible.Queda por estudiar un mtodo que permita calcular fcilmente los puntos en los que sea ptima la funcin objetivo; trataremos un mtodo grfico y otro analtico. 67 7. UNIDAD PROGRAMACIN LINEAL44.1. Mtodo grfico para obtener las soluciones Para encontrar el valor ptimo, por el mtodo grfico, de una funcin objetivo de dos variables, sometida auna serie de restricciones, se realizan los pasos siguientes: Se dibuja el recinto limitado por las restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones. Se iguala a cero la funcin objetivo ax + by = 0 y se representa la recta que resulta y que pasa por elorigen (0,0). Se traslada la recta anterior perpendicularmente a su direccin, de modo que las rectas resultantes barranla regin factible. Se toma nota de los puntos en los que las mencionadas rectas conectan o abandonan la regin factible;el valor o valores de la funcin objetivo en los mencionados puntos nos proporcionan el valor o valoresptimos buscados.Ejemplo x + 2y 3 2x y 1 4. Optimizar la funcin F(x, y) = x + y, sometida a las restricciones siguientes: x y 1 Solucin: 5x y 15 Se localiza la regin factible y sus vrtices. Se dibuja la recta que resulta de anular la funcin objetivo; x + y =0 y setraslada en direccin perpendicular; se ve en los desplazamientos que elhaz de rectas paralelas entra en la regin factible por el vrtice B (1,1),donde la funcin objetivo vale 2 y sale por el vrtice D (4,5) donde la fun-cin objetivo vale 9. La funcin objetivo toma el valor mnimo 2, en B (1,1) y el mximo 9 en D(4,5).4.2. Mtodo analtico para obtener soluciones Este mtodo se basa en siguiente teorema, llamado teorema fundamental de la programacin lineal parados variables, cuyo enunciado en el siguiente: Una funcin objetivo de dos variables que posea mximo y mnimo nicos en una regin factible aco-tada, toma dichos valores necesariamente en los vrtices de la regin.Si la funcin objetivo toma el mismo valor ptimo (mximo o mnimo) en dos vrtices, entonces la fun-cin tiene infinitas soluciones situadas en el segmento que determinan los dos vrtices mencionados.Si la regin factible no est acotada, la funcin objetivo toma el valor ptimo (mximo o mnimo) si exis-ten, en los vrtices de la regin; pero puede ocurrir que no alcance alguno de dichos valores ptimos.68 8. Del teorema anterior se deduce que para determinar los valores ptimos se debe: Dibujar el recinto limitado por las restricciones del problema. Calcular las coordenadas de los vrtices. Sustituir las coordenadas de los vrtice en la funcin objetivo y ver los valores donde se hace mxima y mnima. Ejemplos3x + y 30 x + 2y 20 5. Maximizar y minimizar la funcin F(x, y) = 5x + 4y, en el recinto definido por el sistema siguiente: Solucin: x 0 y 0 Se dibuja la regin factible.Se calculan los vrtices; 0(0,0), A(0,10) y C(10,0) son inmediatos. 3 x + y = 30Para el clculo de B se resuelve el sistema: ; x + 2y = 20la solucin es x = 8 e y = 6; por tanto, B(8, 6)Es un recinto acotado.Se sustituyen los valores de los vrtices en la funcin objetivo:FO (0,0) = 0 + 0 = 0FA (0, 10) = 0 + 40 = 40FB (8,6) = 5 8 + 4 6 = 64FC (10, 0) = 5 10 + 0 = 50La funcin tiene un mnimo en O (0,0) y un mximo en B (8, 6): el valor del mnimo es 0 y el del mximo 64. x+y 4 3 x + y 6 6. Maximizar y minimizar si es posible la funcin F(x, y) = x + 3y. Sometida a las restricciones: xy 2 x0 Solucin:Se dibuja la regin factible.Se calculan los vrtices; (0,6) es inmediato, x + y = 4Para el clculo de A se resuelve el sistema: ; la solucin es x = 3 x y = 2e y = 1, por tanto, A es: A(3,1).3 x + y = 6Para el clculo de B se resuelve el sistema: ; 2x = 2; x = 1, y = 3, x+y =4por tanto; B es: B(1,3). Valores de la funcin objetivo en los vrtices:FA(3,1) = 3 + 3 = 6; FB (1,3) = 1 + 9 = 10 ; F(0,6) = 0 + 18 = 18. El recinto no est acotado. La funcin tiene un mnimo en A(1, 3); vale 6 y carece de mximo; a medida que las rectas del haz se alejan del origen, el valor de la funcin objetivo aumenta.69 9. UNIDAD PROGRAMACIN LINEAL 4 7. Determinar los valores mximos y mnimos de la funcin F(x, y) = 0,8x - y. Sometida a las restricciones siguientes: 4 x 5y 15 7x 2y 21 Solucin: x + 3y 3 x0 Se dibuja la regin factible. Se calculan los vrtices; A(0,1), B(0,3) y D(3,0) son inmediatos. Para el clculo de C se resuelve el sistema: 4 x 5y = 15 8x 10y = 30 7x 2y = 21 35x + 10y = 105 - 27x = -135; x = 5 e y = 7; por tanto C(5,7) Valores de la funcin objetivo en los vrtices: FA(0,1) = 0 -1 = -1; FB(0,3) = 0 - 3 = -3; FC(5,7) = 0,8 5 - 7 = -3; FD(3,0) = 0,8 3 - 0 = = 2,4El recinto est acotado. El valor de la funcin objetivo F en los puntos B y C coincide, es 3 y es un valor mnimo, por lo que la funcin Fpresenta mnimos en infinitos puntos del segmento BC; la funcin tiene un mximo en D(3,0) y su valor es 2,48. Determinar si es posible los mximos y mnimos de la funcin objetivo 2x y 2F(x, y) = x + 2y, sometida a las restricciones siguientes: x y 3 x 0 y 0Solucin: Se dibuja la regin factible. La regin factible es el conjunto vaco; por lo que el problema no tiene solucin. Actividades x+y 6 3x - 2y 13 5.a 5. Sea el sistema de inecuaciones: x + 3y 3 x 0a) Dibuja el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y obtn sus vrtices. 70 10. 5.b b) Halla los puntos del recinto en los que la funcin F(x, y) = x 2y toma los valores mximo y mnimo, ydetermina estos.6. Se considera la funcin z = x y.a) Representar el conjunto A = {(x,y) / 3x + y 15, y -- x -- 5, 2 x +3y 6 0, y 0 } y calcular el valor mximo deF(x, y) en A. Alguna de las desigualdades que definen al conjunto A se podran eliminar de forma que siguie-ra siendo el mismo conjunto?b) Decir si la funcin F(x, y) alcanza valor mximo en el conjunto B = {(x,y) / 3x + y 15, y -- x -- 5 , x 0}. Encaso afirmativo calcular dicho valor.7. El cuadriltero ABCD es la regin solucin de un sistema de inecuaciones lineales. Los lados del cuadriltero tam- bin forman parte de la regin solucin.a) Halla el valor mximo y el mnimo de la funcin F(x, y) = x + 3y endicha regin.b) En qu puntos de la regin solucin toma la funcin del apartadoanterior el valor mximo y en qu puntos el valor mnimo?8. Maximizar y minimizar si es posible la funcin F(x, y) = 3x +2y, sujeta a las restricciones siguientes: 7x + 5y 107x + 3y 15 2x 3y 10 x 0 y 09. Maximizar y minimizar en el primer cuadrante la funcin z = 6x - 2y, sujeta a las restricciones siguientes:2 x + y 1 2 y 1 + x 4x 1 5. Resolucin de problemas de programacin linealEn este apartado vamos a tratar, mediante algunos ejemplos, situaciones problemticas, en las que se preci- sa aplicar la tcnica algebraica de la programacin lineal estudiada en el apartado anterior.Debemos recordar que para resolver los problemas que a continuacin aparecen, el primer paso consiste en traducir el enunciado en lenguaje algebraico.71 11. UNIDAD PROGRAMACIN LINEAL 4 Ejemplos 9. Un camin de 9 Tm debe transportar mercancas de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser inferior a4 Tm ni superior al doble de la cantidad de B. Si el transporte gana 0,03 euros por cada Kg de A y 0,02 euros porcada kg de B: se pide:a) Encontrar si existe la regin factible de soluciones.b) Calcula utilizando el mtodo analtico cmo se debe cargar el camin para obtener la mxima ganancia.c) Determina el valor de esa ganancia.Solucin:Sean x los kg del tipo A e y los del tipo B que transporta el camin. x + y 9000 x + y 9000El transporte est sometido a las siguientes restricciones x 4000 x 4000 x 2y x 2y 0La funcin objetivo a maximizar ser: F(x, y) = 0,03x + 0,02ySe representa la regin factible:Se calculan los vrtices de la regin factible: x 2y = 04000 Vrtice A: y == 2000 ; A (4000, 2000)x = 40002 x + y = 9000 Vrtice B: y = 9000 4000 = 5000 ; B ( 4000, 3000) x = 4000 x + y = 9000 x + y = 9000 Vrtice C: 1 F 2 F y = 3000 ; x 2y = 0 3 y = 9000 x + 3000 = 9000; x = 6000; C (6000, 3000)a) La regin factible es la regin convexa ABC del dibujo.b) Se sustituyen los vrtices en la funcin objetivo:FA (4000, 2000) = 0,03. 4000 + 0,02.2000 = 160 eurosFB (4000, 5000) = 0,03. 4000 + 0,02.5000 = 220 eurosFC (6000, 3000) = 0,03. 6000 + 0,02.3000 = 240 euros La mxima ganancia se obtiene si el camin se carga con 6 Tm de mercancas del tipo A y 3 Tm del tipo B. c) La ganancia mxima es de 240 euros.10. Una mezcla de caf est formada por otras dos, A y B, de las que se tienen 500 kg de A y 500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la produccin debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros y cada kg de B cuesta 4 euros:a) Encontrar si existe la regin factible de soluciones.b) Calcula los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mnimo, que cumpla los requi- sitos anteriores.c) Determina dicho coste mnimo. Solucin: Sean x e y el peso de A y el peso de B que forman la mezcla.72 12. y 1, 5x 15 x + 10 y 0 x + y 600 x + y 600 La mezcla est sometida a las restricciones siguientes: x 500 x 500 y 500 y 500 x 0 x 0 y 0 y 0La funcin objetivo a minimizar ser: F(x, y) = 5x + 4ySe representa la regin factible.Se calculan los vrtices; C (500, 500) es inmediato.15x + 10y = 0 15x + 10y = 0Vrtice A: x + y = 600 15x + 15y = 9000Se suman las dos ecuaciones; 25y = 9000; y = 360.Se sustituye en la primera ecuacin; x = 240; A(240, 360). y = 5005000Vrtice B: 15 x + 10 500 = 0 15 x = 5000 x = 333 ; B(333, 500) 15 x + 10 y = 0 15x = 500Vrtice D: 500 + y = 600 y = 100 ; D(500,100) x + y = 600a) La regin factible es la regin convexa ABCD del dibujo.Se sustituyen los vrtices en la funcin objetivo para ver cundo toma el valor mnimo.FA(240, 360) = 5.240 + 4.360 = 2640 eurosFB(333, 500) = 5.333 + 4.500 = 3665 eurosFC(500, 500) = 5.500 + 4.500 = 4500 eurosFD(500,100) = 5.500 + 4.100 = 2900 eurosb) El coste mnimo de la mezcla se consigue con 240 kg de la clase A y 360 kg de la clase B.c) Su valor es 2640 euros. 11. Un ganadero desea proporcionar a su ganadera una dieta que contenga un mnimo de 15 unidades de sustan- cia A y otras 15 de sustancia B. En el mercado slo se dispone de dos clases de compuestos: el tipo X con una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y el del tipo Y es de 30 euros. Se pregunta:a) Encontrar si existe la regin factible de soluciones.b) Cantidades que se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo.c) Valor de dicho coste mnimo.Solucin:Sean x la cantidad del compuesto X e y la del Y que se precisan para cumplir la dieta. x + 5y 15 Para que se tome la sustancia A 5x + y 15 Para que se tome la sustancia B La dieta est sometida a las siguientes restricciones: x 0 y 0 73 13. UNIDAD PROGRAMACIN LINEAL 4 La funcin objetivo a minimizar ser: F (x, y) = 10x + 30y Se representa la regin factible. Se calculan los vrtices de la regin; los vrtices A (15,0) y C (0,15) son inmediatos. x + 5 y = 15 5 x 25 y = 75 Vrtice B: 5 x + y = 15 5 x + y = 15 Se suman las dos ecuaciones y resulta; -- 24y = -- 60; y = 2,5. Se sustituye en la primera ecuacin; x + 12,5 = 15; x = 2,5; B(2,5, 2,5) a) La regin factible es la regin no acotada ABC del dibujo. b) Se sustituyen los vrtices en la funcin objetivo: FA(15,0) = 10 15 + 0 = 150 euros. FB(2,5, 2,5) = 10 2,5 + 30 2,5 = 100 euros. FC(0, 15) = 0 + 30 15 = 450 euros. Las cantidades que se deben comprar para cumplir con la dieta son: 2,5 del compuesto X y 2,5 del compuesto Y.c) El coste mnimo de la dieta es de 100 euros. 12. Una familia desea comprar videojuegos y pelculas; los videojuegos cuestan 3 euros y las pelculas cuestan 2 euros . Para satisfacer a todos los miembros de la familia se desea comprar un mnimo de 4 pelculas y un mxi- mo de 7, el nmero de videojuegos debe ser al menos 4. Se tiene un presupuesto de 36 euros. a) Qu combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anterio-res? Plantea el problema y representa grficamente el conjunto de soluciones. Se podran comprar 4 pelcu-las y 10 videojuegos?b) Si el objetivo es comprar el mayor nmero de objetos entre videojuegos y pelculas, cuntos se pueden com- prar de cada tipo?c) Cul ser el coste total? Solucin: Sean x la cantidad del pelculas e y la de videojuegos que pueden comprar. 4x 7 La compra est sometida a las siguientes restricciones: 4 y2 x + 3 y 36 La funcin objetivo a maximizar ser: F (x, y) = x + yEl nmero de pelculas que se pueden comprar sern: 4, 5 , 6 o 7. Cuatro pelculas cuestan 8 euros, quedan para comprar videojuegos 28 euros; con los que se pueden comprar un mximo de 28 : 3 ; el cociente entero es 9; por tanto, no se pueden comprar 4 pelculas y 10 videojuegos. Siete pelculas cuestan 14 euros y quedan 36 14 = 22 euros; con los que se pue- den comprar 22 : 3; el cociente entero es 7 videojuegos se pueden comprar en este caso. ( 6 + 4) 4 a) A partir de la figura que es un trapecio de rea A == 20 posibilidades.2Los valores mximos de la funcin objetivo se encontrarn entre los vrtices enteros de la figura; estos son A(4, 4), B (4, 9), C(7, 7) y D(7, 4).b) El mximo nmero de objetos que se pueden comprar sern 7 pelcula y 7 videojuegos.c) El coste ser 7 2 + 7 3 = 35 euros. 74 14. Actividades 10. Un autobs Madrid-Pars ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros v para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobs tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, cul debe ser la oferta de plazas de la compaa para optimizar el beneficio? 11. El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo: cmaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratgicos del edificio. Se quiere utilizar un mnimo de 6 cmaras para cubrir con ellas las salas ms importantes, y un mximo de 15 cmaras, con las que quedaran todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las ms importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto mximo de 36000 euros, y cada cmara cuesta 1000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros.a) Qu combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa grficamente el conjunto de soluciones. Podra instalar 7 cmaras y 59 alarmas?b) Si el objetivo es colocar el mayor nmero de dispositivos entre cmaras y alarmas, cuntos ha de colocar de cada modali- dad? En ese caso cul ser el coste total? 12. Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos, A y B. El modelo A requiere, para su elaboracin, 20 cm2 de papel, 120 cm2 de lmina de madera y 1 enganche metlico. El modelo B requiere: 60 cm2 de papel, 80 cm2 de lmina de madera y 1 enganche metlico. El coste de produccin de cada modelo es 1,20 euros el A y 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada uno. independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm2 de papel, 7200 cm2 de lmina de madera y 70 enganches.a) Representa la regin factible.b) Determina el nmero de abanicos de cada modelo que ha de hacer para obtener un beneficio mximo.c) Calcula cul es ese beneficio. 13. En la preparacin de dos paquetes de caf, C1 y C2 se usa caf brasileo y caf colombiano. Cada paquete del tipo C1 contiene , 300 g. de caf brasileo y 200 g. de caf colombiano, y cada paquete del tipo C2 contiene 100 g. de caf brasileo y 400 g. de caf colombiano. Con cada paquete del tipo C1 se obtiene un beneficio de 0.90 euros y con cada paquete del tipo C2 se obtiene un beneficio de 1,20 euros. Se dispone de 900 g de caf brasileo y 1600 g. de caf colombiano.a) Cuntos paquetes de cada tipo se han de preparar para obtener un beneficio mximo?b) Cul es este beneficio mximo? 14. Sea S la regin del plano de coordenadas de valor mayor o igual que cero y tal que sus puntos cumplen que: (i) La media aritmtica de las coordenadas es menor o igual que 5. (ii) El doble de la abscisa ms la ordenada es mayor o igual que 5. a) Representa grficamente el conjunto S. b) Determina en qu puntos de S la funcin f (x, y) = 2x + y toma el valor mximo. 15. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer prstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, res- pectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a prstamos de riesgo medio y que el dinero inverti- do en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razn de 4 a 5, determinar cunto debe dedicarse a cada uno de los tipos de prstamos para maximizar el beneficio y calcular ste.16. Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mnimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compaa ferroviaria son 540 euros por vagn de coches y 360 euros por vagn de motocicletas, calcular cmo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea mximo y cunto vale dicho beneficio.17. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros y el modelo B un tercio ms caro. La oferta est limitada: por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B y por el deseo de vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campa- a, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 36000 euros.a) Cuntos coches de cada modelo deber vender para maximizar sus ingresos?b) Cul es el importe de la venta?75