u8 AREAS Y VOLUMENES

8/10/2019 u8 AREAS Y VOLUMENES

1/18

8 LONGITUDES, REAS Y VOLMENES

P A R A E M P E Z A R

Dibuja un trapecio issceles de 5 centmetros de altura y bases de 18 y 10 centmetros, respectivamen-te, y calcula su rea y su permetro.

Como es issceles, dos de sus lados deben ser iguales:

Su rea viene dada por la expresin:A (B

2b) h

(182

10) 5 70 cm2

Para calcular el permetro calculamos primero la longitud de los lados iguales mediante el teorema

de Pitgoras:52 4241 6,4 cm.P 18 10 2 6,4 40,8 cm.

Un cucurucho de barquillo tiene un radio de 3 centmetros y una altura de 10. Sobre l hay una bola de

helado de 6 centmetros de dimetro, y adems, interiormente est lleno de helado. Calcula el volumentotal de helado.

El volumen de helado ser la suma del volumen del cono y del volumen de la semiesfera que tiene encima.

V Vcono 12Vesfera

r3

2 h

12

43 r3

33

2 10

23 33 150,8 cm3

Un panal tiene 100 celdas de 2 centmetros de lado cada una.

Calcula la superficie que ocupa si las celdas fueran:

a) Triangulares

b) Cuadradas

c) Hexagonales

a) Para calcular el rea del tringulo se necesita su altura, que se halla mediante el teorema de Pitgoras:

AT b

2h

224 1 3 cm2, por lo que el panal ocupa S 100 3 173,2 cm2.

b) rea de un cuadrado:AC l2 4 cm2, por lo que el panal ocupa S 100 4 400 cm2.

c) Un hexgono esta formado por 6 tringulos equlteros como los del primer apartado, por lo que la superficie ocupa el panal

es S 100 6 3 1039,23 cm2.

Resolucin de tringulos rectngulos

P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Halla los elementos desconocidos del tringulo rectngulo de la figura y comprueba que se cumple elteorema de Pitgoras.

Como los ngulos Bp y Cp son complementarios,tenemos que Bp Cp 90 Cp 90 20 70.

Se aplican las razones trigonomtricas para obtener los catetos:

c a cos Bp 15 cos 20 14,095 cm

b a sen Bp

15 sen 20 5,13 cmSe comprueba que efectivamente se cumple el teorema de Pitgoras:

152 225 y 14,0952 5,132 225

20

13 cm

AB

C

8.1

b b2 b22

2

3

2

10 cm

18 cm

5 cm

1

32


2/1833

Resuelve los siguientes tringulos rectngulos y comprueba que se cumple el teorema de Pitgoras.

a) b)

a) b tan 25 5 2,3 m b) cta

1

n

02

5

,4

5 71,7 m

a2,32 52 5,5 m a 102,42 71,72 125 mCp 90 25 65 Cp 90 55 35

Calcula la medida de los ngulos agudos de los siguientes tringulos rectngulos.

a) b)

a) tg Bp 2485 0,62v Bp = 31 53 27 b) sen Cp

11

36,,18 0,78 Cp 51 15 38

Cp 90 31 53 27 58 6 33 Bp 90 51 15 38 38 44 22

De un tringuloABCrectngulo conocemos la medida de los otros dos ngulos: Bp 60 y Cp 30. Res-ponde razonadamente a las siguientes cuestiones.

a) Se puede resolver el tringulo ABC?

b) Se pueden hallar las razones trigonomtricas de los ngulos agudos del tringulo ABC?

a) No, ya que para resolverlo se tiene que conocer, al menos, la longitud de un lado.

b) S, ya que las razones trigonomtricas son invariantes para tringulos semejantes:

sen 60 cos 30

23 tan 60 3

sen 30 cos 60 12 tan 30

3

3

Resuelve el siguiente tringulo rectngulo.

a92 72 11,402

tg Cp 79 0,7v Cp 37 52 30

Bp 90 37 52 30 52 7 30

En el tringulo rectngulo de la actividad anterior:

a) Halla la longitud de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

b) Halla la altura sobre la hipotenusa.

a) Aplicando el teorema del cateto obtenemos: b) Aplicando el teorema de la altura obtenemos:

n b

a

2

11

7

,4

2

0

2 4,297 cm hm n4,297 7,104 5,525 cm

m ca

2

11

8,4102 7,104 cm

8.6

9 cm

7 cm

B

A C

8.5

1

3

8.4

13,1 cm

16,8 cm

AB

C

28 cm

45 cm

A

B

C

8.3

55

102,4 cmA

B

C25

5 cm AB

C

8.2


3/18

P A R A A P L I C A R

a) Calcula la longitud del circuito de karts de la figura.

b) Cul es el menor nmero de vueltas que hay que dar al circuito para re-correr ms de un kilmetro?

a) La hipotenusa mideco

1s0500 155,57 m.

El cateto desconocido mide 100 tg 50 119,17 m.La longitud del circuito es 100 155,5 119,17 374,67 m.

b) 317040,607 2,67 vueltas. Habr que dar tres vueltas para recorrer ms de un kilmetro.

Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, ngel observa, bajo un ngulo de 60 , cmouna embarcacin realiza las tareas de pesca. A qu distancia de la costa se encuentra aproximadamentela embarcacin?

Est a una distancia de 50 tan 60 86,6 m.

Desde el lugar donde se encuentra Yaiza, puede obser-var una torre con un ngulo de elevacin de 32. Si Yaizaavanza 40 metros en direccin a la torre, la observa conun ngulo de 70.

a) Calcula la altura de la torre si la estatura de Yaiza esde 1,65 metros.

b) A qu distancia de la torre estaba Yaiza inicialmen-te?

Sea h la altura de la torre y x la distancia inicial a la que se est dela torre. Tenemos que:

tg 32 hx 0,625x h

0,625x 2,747x 109,88 x 51,78 m h 32,36 mtg 70

xh

40 2,747x 109,88 h

La torre mide 32,36 1,65 34,01 m.

Clculo de distancias y reas de figuras planas


Ejercicio resuelto

Halla la longitud de la circunferencia de la figura.

Como el ngulo Ap abarca un dimetro, el tringulo ABC es rectngulo en A.

Se utiliza la trigonometra para hallar el dimetro de la circunferencia.

sen 50 B

7

C BC

sen

7

50 9,14 cm

As, la longitud de la circunferencia es:

L dimetro r BC 9,14 28,71 cm

8.10

8.9

8.8

8.7

34

7cm

50

A

CBO


4/18

Halla la longitud de la siguiente circunferencia y el rea del crculo que determina.

Se tiene que BCco

6s,334 7,6 cm, con lo que el radio de la circunferencia

es:r 7,5

299 3,8 cm.

Su rea es:A 3,82 45,35 cm2

Su longitud es:L 23,88 cm

Dado el tringulo ABCde la figura, calcula:

a) Su altura, h.

b) Su rea.

c) Su permetro.

a) h 30 sen 65 27,189 cm

b) rea

25 227,189

339,863 cm2

c) El lado desconocido se calcula dividiendo el tringulo escaleno en dos tringulos rectngulos:

x 30 cos 65 12,68 cm

BC(25 x)2 h2(25 12,68)2 27,192 29,86 cm

Luego su permetro ser 25 30 29,86 84,86 cm.

Considera el rombo ABCD de la figura.

a) Calcula el rea del rombo.

b) Calcula el permetro del rombo.

El rombo lo podemos dividir en cuatro tringulos rectngulos como este:

a) Se calcula el rea de uno de los tringulos y se multiplica por 4:

OC tg

1643 7,13 cm, con lo que el rea del tringulo esrea

7,132 14 49,91 cm2.

El rea del rombo es 4 49,91 199,64 cm2.

b) El lado BCmide BCsen

1463 15,713 cm, con lo que el permetro es 4 15,713 62,852 cm.

Calcula el rea de un decgono regular de 1 metro de lado.

El decgono se puede dividir en 10 tringulos issceles como este:

El ngulo mide 31600

36, por lo que la apotema del decgono mide aptan

0,518

1,54 m.

El rea del tringulo mide1,54

2 1 0,77 m2, con lo que el rea del decgono es 7,7 m2

1 ma

8.14

B

C

14 cm

63

O

8.13

65

25 cm

30 cm

A C

B

h

8.12

34

6,3cm

OC

A

B

8.11

28 m

126

A

C

B D

35


5/18

Considera un heptgono regular de 8 centmetros de lado.

a) Calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita al heptgono.

b) Cunto mide el radio de la circunferencia circunscrita al heptgono?

c) Calcula el rea del heptgono.

El heptgono se puede dividir en 7 tringulos issceles como este:

a) El ngulo mide36

70 51,43.

La longitud del radio de la circunferencia inscrita coincide con la apotema, que mide:

ap tan 245,71 8,31 cm

b) El radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del tringulo:42 8,312 9,22 cm

c) El rea del tringulo es8

28,31 33,24 cm2, con lo que el rea del heptgono es 7 33,24 232,68 cm2.


El campo de ftbol sala de un instituto es rectangular. Observa las medidas sealadas en la figura y cal-cula su rea.

El lado desconocido del rectngulo mide 35 tan 25 16,32 m. Su rea es 16,32 35 571,23 m2.

Para conseguir nuevos socios, una ONG ha diseado este cartel publicitario. Calcula su rea.

La superficie de la pancarta es 40 22 sen 70 826,93 m2.

Una estatua se encuentra delimitada por cinco postes que son los vrtices de un pentgono regular de2 metros de lado. Calcula el rea de la circunferencia que pasa por los cinco postes.

La circunferencia pedida es la circunscrita al pentgono, que se puede dividir en 5 tringulos como en la figura.

El radio de la circunferencia coincide con el lado del tringulo:

rsen

136 1,7 m.

Su rea ser (1,7)2 9,09 m2.

8.18

8.17

35 m

25

8.16

4

tan 2

8.15

r36

2 m

8 cma

36


6/18

El dibujo muestra el plano de un local. El local se encuentra en venta, y el precio de cada metro cua-drado es de 3500 euros. Cul es el precio del local?

Dividimos la figura en tres regiones:

1) A15 10

2sen 60 21,65 m2

2) A2 10 sen 60 10 86,60 m2

3) A3 tan262 1,063 m2

AT 21,65 86,60 1,063 109,313 m2

El precio es: 109,313 3500 382 595,5 euros

reas y longitudes de cuerpos geomtricos


Calcula la altura y la diagonal del siguiente ortoedro.

La diagonal de la base mide 72 112 13,038 cm.

La altura de ortoedro mide 13,038 tg 27 6,643 cm.

La diagonal del ortoedro mide:dc1o3s,02378 14,633 cm.

Ejercicio resuelto

Calcula el rea de la esfera de la figura.

Como el ngulo Cp abarca un dimetro, el tringulo ABCes rectngulo en C.

Se utiliza la trigonometra para hallar el dimetro de la esfera.cos 45

A10

B AB

cos10

45 14,14 cm

As, el rea de la esfera es:

A 4 r2 4 142,142

627,81 cm2

Calcula el rea de la siguiente esfera.

ABcos

826 8,901 cm r 4,450 cm

A 4r2 248,891 cm2

8.22

8.21

7 cm

11 cm

27

8.20

2 tan

262

2

15 m

10 m

60

8 m 62

2 m

A F

B

D

CE

8.19

O

B C

A

10 cm

45

O

C

B

A

8cm

26

37

10 m

10 m

60

8 m

62

2 m

A F

B

D

CE

A1

A2

5 m

A3


7/18

La figura muestra un prisma con base un pentgono regular. Calcula:

a) Su rea lateral.

b) Su rea total.

a) El rea lateral son 5 rectngulos de rea b h. Para calcular la altura del prisma se necesita cono-cer la distancia OB, para lo que se divide el pentgono de la base en 5 tringulos issceles como elde la figura:

El lado OB mideco

1s,354 2,212 m, as que la altura del prisma ser:

h 2,212 tg 73 7,235 m

De forma que el rea lateral es 5 2,6 7,235 94,055 m2.

b) El rea total es la suma de las reas de las bases y del rea lateral calculada antes.

Para determinar el rea del pentgono hay que calcular la apotema: ap 1,3 tan 54 1,789 m.

El rea del pentgono ser:rea2,6 5

2 1,789 11,628 m2.

El rea total:AT 2 11,628 94,055 117,311 m2.

Calcula el rea del cono de la figura.

ABase (6)2 130,1 cm2

gcos

660 12 cm

ALateral rg 226,19 cm2

A 130,1 226,19 356,3 cm2


Una empresa de refrescos fabrica el siguiente envase con forma de cilindro. Qu can-tidad de aluminio se necesita para fabricar cada lata?

El rea total ser la suma del rea lateral y de las dos bases.

El lateral del cilindro es un rectngulo de base igual a la longitud de la circunferencia:

ALateral 2 3 6 tg 60 195,89 cm2.

El rea de la base es 32 28,27 cm2.

El rea total es:ATotal 2 28,27 195,89 252,43 cm2

.

El Ayuntamiento ha organizado una campaa de envo de material escolar a pases en desarrollo. Hanutilizado cajas como las de la figura. Calcula la cantidad de cartn que se necesita para montar 100cajas.

El rea de la parte de abajo, que ser igual que la de arriba, de una cajaes:A ABase ALateral.

Para determinar el rea lateral se necesita la altura del ortoedro, que se

obtiene a partir de la diagonal de la base:d1,52 0,652 1,635 m.Por tanto, la altura del ortoedro es: 1,635 tan 12 0,347 m.

A 1,5 0,65 2 0,65 0,347 2 1,5 0,347 2,47 m2

Para montar 100 cajas sern necesarios 2 2,47 100 494 m2 de cartn.

8.26

8.25

8.24

O

36a

54B

2,6 m

8.23

38

2,6 m

73 O

AB

h

6 cm

60O

g


8/18

En la pirmide cuadrangular de Keops, el lado de la base mide230 metros, y el ngulo que forma una cara con la base es de 55 .

Calcula:

a) La altura de la pirmide.

b) La superficie de cada una de las caras triangulares de la pir-mide.

a) h 115 tan 55 164,237 m

b) La altura de cada cara ser: h1 co1s1555

200,496 m, con lo que la

superficie de cada cara ser: S230 2

200,496 23 057,04 m2.

Volmenes de cuerpos geomtricos


Ejercicio resuelto

Calcula el volumen de un prisma de 5 m de altura y cuyas bases son hexgonos regulares de 8 m delado.

El volumen del prisma es:V ABase h h

Para hallar la medida de la apotema se utiliza la trigonometra. El ngulo central de cada tringulo mide 360 6 60.

Se considera el tringulo rectngulo sombreado de la figura.

tg 30 apot

4ema apotema

tg430 6,93 m

As,V =

(6 8)2 6,93

5 831,6 m3

La figura muestra un prisma con base un pentgono regular.

Calcula:

a) Su rea lateral

b) Su rea total

c) Su volumen

a) El rea lateral son 5 rectngulos de rea b h 4 10 40 cm2

, de forma que el rea laterales 5 40 200 cm2.

b) Para calcular el rea del pentgono hay que calcular la apotema, para lo que se divide el pentgo-no de la base en 5 tringulos issceles como el de la figura:

atg

236 2,75 cm. El rea del pentgono ser:A

4 52 2,75 27,53 cm2.

El rea total:AT 2 27,53 200 255,05 cm2

c) El volumen ser:V 27,53 10 275,3 cm2.

36a

4 cm

8.29

permetro apotema

2

8.28

8.27

39

4 cm

10 cm

8 m

4 m

60

30a


9/1840

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geomtricos.

a) b)

a) La altura del cono es h 6 tg 60 10,39 cm, con lo que el volumen es V 1

3r2h 391,78 cm3.

b) El radio de la base es r 8 cm, y la altura,h 16 tg 22 6,46 cm, con lo que su volumen es V 82 6,46 1299,75 cm3.

Expresa el volumen de un tetraedro regular en funcin de su lado a.

Las medianas y las alturas de un tringulo equiltero miden a

23, con lo que el rea de la base es:ABase

a24

3.

El baricentro de un tringulo equiltero est a un tercio del lado y a dos tercios del vrtice.

AO 23

a2

3

3

3 a h a2 3 3 a

2

a2 a32

2302

a

Por tanto, su volumen es:V 13ABase h 13

a2 4 3 a 122 a

3


Una empresa que fabrica bombones utiliza para su envasado latas con forma de cilindro circular comomuestra la figura. Halla el volumen y el rea de dichas latas.

El rea de la base ser: ABase 252 1963,494 cm2.

Su altura ser:h 50 tg 30 28,87 cm, con lo que su volumen ser:V 1963,494 28,87 56 681,19 cm3.

El rea de la caja ser la de las bases ms la lateral:

A 2r2 2rh 2252 2 25 28,78 8447,74 cm3

a) Calcula el volumen de la nave con forma de ortoedro que se muestra en la figura.

b) Eva tiene dos presupuestos para pintar las paredes y el techo de la nave. Uno de 5 euros el metrocuadrado y otro en el que el total asciende a 900 euros. Cul de los dos es ms econmico?

a) V ABase h 5 (5 tg 37) 10 188,39 m3

b) La superficie que debe pintar es:A 2 ABaseALateral 2 (5 10) 2 5 5 tg 37 2 10 5 tg 37 213,03 m2,por lo que si paga el metro cuadrado de pintura a 5 euros, el precio asciende a 213,03 5 1065,16 euros.

Es ms econmico el segundo presupuesto.

5 m37

10 m

8.33

8.32

23

2

3

8.31

16 cm

22

h

6 cm

60O

h

8.30


10/18

Halla el volumen de un globo terrqueo como el de la figura.

Como AO y OB son radios de la esfera, el ngulo OBA mide 45.

Por tanto,OB 34 cos 45 34

22 cm 24,042 cm.

El volumen de la esfera ser: V 43r2 58 210,325 cm2.

En la figura se puede observar la biblioteca del nuevo centro cultural. Tieneforma de pirmide y su base es un heptgono regular de 3 metros de lado.

Calcula el volumen de la nueva biblioteca.

El heptgono lo podemos dividir en 7 tringulos issceles como el de la figura:

a 1,5 tan 64,286 3,115 m

ABase7 3

23,115 32,707 m2

El lado OB mide:OBcos 6

14,5,286 3,457 m, con lo que la altura de la pirmide mide:h 3,457 tan 68 8,556 m.

Su volumen ser:V 32,707 8,556 249,841 m2.

MATEMTICAS APLICADAS


Utiliza en cada caso el plano con las densidades de ocupacin para calcular el nmero de asistentes aun evento.

a) b)

a) El rea del tringulo amarillo es10

2 15 75 m2, y el rea sombreada en azul es:

102 30 75 75 m2.

Asistieron al evento 3 75 4 75 525 personas.

b) Para calcular el rea del hexgono rosa es necesario conocer su apotema, para lo que dividimos el hexgono en seis tringulos

issceles, de forma que la apotema es:aptg430 6,93 m, y el rea: 166,28 m2.

Para calcular el rea sombreada en azul se procede del mismo modo, solo que en este caso salen 8 tringulos issceles,

por lo que la apotema ser: aptg 242,5

9,66 m, y el rea:

8 82 9,66

166,28 142,84 m2. Asistieron al evento

2 166,28 4 142,84 904 personas.

6 8 6,93

2

8 m

30 m

10m

15 m

4 personas/m

3 personas/m2

2 personas/m2

8.36

51,42a

64,286

3 m

8.35

34 cm

A

B

8.34

41

3 m

68 O

h

B A


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ACTIVIDADES FINALES

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

En un tringulo rectngulo, un cateto mide 9 centmetros, y la hipotenusa, 14. Cunto mide el otrocateto?

Por el teorema de Pitgoras, el cateto medir:

14 92 x2 142 92 x2 x115 10,72 cm

Calcula la medida de los catetos de un tringulo rectngulo issceles si la hipotenusa mide 10 centmetros.

Por el teorema de Pitgoras, los catetos medirn: 10 x2 x2 1202 x2 x50 7,07 cm

Dado el siguiente tringulo rectngulo ABC:

a) Calcula el lado desconocido. Qu resultado has utilizado?b) Aplica las razones trigonomtricas para hallar los ngulos agudos Bp y Cp.

a) Aplicando el teorema de Pitgoras:c30,72 6,62 29,98 cm.

b) cos Cp 360,6,7 0,215 Cp 77 35 8

Bp 90 77 35 8 12 24 52

Resuelve los siguientes tringulos rectngulos.

a) b)

a) Ap 90 31 59 b) Ap 90 20 7 34 69 52 26

BCtg

4,351 7,5 cm AB 3,2 tg (20 7 34) 1,17 cm

AB4,52 7,52 8,75 cm BC1,172 +3,22 3,41 cm

Calcula la altura de la cometa con la que est jugando Antonio.h 35 sen 53 27,952 m

Calcula el valor del ngulo Ap del tringulo de la figura si sabemos que tiene un rea de 52,17 cm 2.

Se divide el tringulo en dos tringulos rectngulos y calculamos la altura a partir del rea:

A b 2h h 2 bA

2 1571,17

= 6,02 cm

senAp 6,

902 0,668v Ap 41 58 53

B

A C17 cm

9 cm51,17 cm

2

8.42

8.41

20734

3,2 cmA

B

C

4,5 cm

31

CA

B

8.40

6,6 cm30,7 cm

BA

C

8.39

8.38

8.37


12/18

Expresa la altura y el rea de un tringulo equiltero en funcin del lado l.

a) Utilizando nicamente el teorema de Pitgoras.

b) Utilizando nicamente trigonometra.

Se divide el tringulo equiltero en dos tringulos rectngulos:

a) La altura mide:h l2 122

34l2

2 3 l.

Su rea ser:A 12 2 3 l l 43

l

2

b) La altura mide:h l sen 60 l

23. El rea ser:A

12 l sen 60

43 l2.

Un equipo de baloncesto ha repartido banderines como el de la figura para que los socios animen du-rante el partido. Calcula el rea de cada bandern.

La altura del romboide es: h 30 sen 42 20,07 cm, con lo que su rea es:A b h 50 20,07 1003,5 cm2.

El paralelogramo de la figura tiene un rea de 37,7 cm2. Calcula el valor de sus ngulos.

A b h h Ab

378,7 4,7125 cm

sen 4,7

5125 0,9425 70 28 33

180 109 31 27

a) Dibuja en tu cuaderno un tringulo issceles de 4 centmetros de base y cuyos lados iguales midan6 centmetros cada uno.

b) Calcula el rea del tringulo que has dibujado.

a) b) Para hallar el rea tringulo issceles,primero hay que calcular su altura:

h62 22 5,66 cm.

A

b

2

h

4

b

5,66

11,31 cm2

Halla el rea del siguiente trapecio rectngulo.

Se divide el trapecio en un rectngulo y un tringulo rectngulo.

La altura del trapecio es: h (8 6) tg 45 2 cm.rea del rectngulo:Ar 6 2 12 cm

2. rea del tringulo:At 2

2 2 2cm2

Por tanto, el rea del trapecio es 2 12 14 cm2.

6 cm

8 cm

45

A

B C

D

8.47

8.46

8 cm

5 cm

37,7 cm2

8.45

8.44

8.43

1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2)

6 cm 6 cm

4 cm

h

A

B

C

B

A C

43

l l

l

h

60


13/18

La base del prisma de la figura es un tringulo equiltero de 2 metros de lado.Calcula su rea lateral y su volumen.

Calculemos el rea de la base:ABase 12 2 2 sen 60 2

2

3 3 m2.

Su altura ser:h 2 tg 32 1,25 m.

Su volumen es:V ABase h 3 1,25 2,16 m3.

rea lateral 3 2

21,25 3,75 m2

Se ha construido un centro comercial con forma de pirmide cuya base es un paralelogramo. Calcula elvolumen del centro comercial teniendo en cuenta los datos de la figura.

rea de la base:

ABase 200 145 sen 56 24 042,09 m2

Altura de la pirmide:h 100 tg 40 83,91 m

Por tanto, su volumen es: V24 042,0

39 83,91 672457,25 m3

P A R A R E F O R Z A R

Uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo mide 30 12 25. Cunto mide el otro nguloagudo?

Ser su complementario, es decir, 90 30 12 25 59 47 35.

Los catetos de un tringulo rectngulo miden 3 y 10 centmetros, respectivamente. Calcula la medida dela hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitgoras:h = 32 102= 10,44 cm.


a) b)

a) Cp 90 42 48 b) BC112 82 7,55 cm

AC 3,5 tg 42 3,15 cm cos Ap

1

8

1

0,73 Ap

43 20 30BC

co3s,542 4,71 cm Bp 90 43 20 30 46 39 30

Halla el rea de las siguientes figuras.

a) b)

a) h 10 sen 27 8,91 cm b) h 1,3 tg 33 0,84 m

rea 13

28,91 57,91 cm2 rea 1,3 0,84 1,092 m2

D

C

A

B

1,3 m

33A

B

C10 cm

13cm

27

8.53

8 cm

11 cm

B

A C

3,5 cm

42

B

A C

8.52

8.51

8.50

200 m

145 m40

56

56

h

8.49

8.48

44

2 m32

h


14/1845

Calcula el rea y el volumen de los siguientes cuerpos geomtricos.

a) b)

a) rea de la base: b) rea de la base:

ABase 10 2 20 m2 ABase 4

2 50,26 cm2

Altura del prisma:h 10 tg 27 5,1 m Altura del cilindro:h 8 tg 51 9,88 cm

Por tanto, su volumen es: Por tanto, su volumen es:

V 20 5,1 101,9 m3 V 50,26 9,88 496,57 cm3

Calcula el permetro y el rea del parque infantil con forma circular de la figura.

El dimetro del parque es: dcos1130

12,7 m; por tanto, su radio es:r 6,35 m.

P 2 6,35 39,9 m

A (6,35)2 126,68 m2

El tablero de un juego de mesa tiene forma de octgono regular de 30 centmetros de lado. Calcula surea.

Para calcular el rea del octgono hay que calcular la apotema, para lo que se divide en 8 tringulos issceles como el de lafigura:

atg

1252,5 36,21 cm

El rea del octgono ser: A 8 30

2 36,21 4345,58 cm2.

P A R A A M P L I A R

Comprueba que en un hexgono regular, el radio de la circunferencia circunscrita coincide con la longi-tud del lado.

El hexgono lo podemos dividir en seis tringulos issceles iguales.

36

60 60

1802 60 60

El tringulo es equiltero, es decir,r l, como queramos probar.

60

60

r r

l

O

8.57

22,5a 30 cm

8.56

8.55

518 cm

hh

2 m27

10 m

8.54


15/1846

Considera un pentgono regular de 10 centmetros de lado.

a) Calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita.

b) Cunto mide el radio de la circunferencia circunscrita?

c) Calcula el rea del pentgono.

El pentgono se puede dividir en cinco tringulos issceles iguales como este:

a) El radio de la circunferencia inscrita coincide con la apotema:

a 5 tg 54 6,882 cm

b) El radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del tringulo:

radio cos

554 8,507 cm

c) rea

5 102 6,882

172,05 cm2

Una empresa comercializa un desodorante formado por un cilindro y media esfera. Calcula su volumencon las medidas que se indican en la figura.

El volumen ser la suma del volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera.

El dimetro de ambos cuerpos es:d 14 tg 30 8,08 cm, por lo que el radio es de 4,04 cm.

Vcilindro r2 14 718,38 cm3

Vsemiesfera 1

2 4

3 r3

138,1 cm3

V Vcilindro Vsemiesfera 856,5 cm3

Diego, que est situado al oeste de una emisora de radio, observa que su ngulo de elevacin es de45. Camina 50 metros hacia el sur y comprueba que el ngulo de elevacin es ahora de 30 . Calcula laaltura de la antena.

En el esquema se pueden ver tres tringulos rectngulos.

La altura se obtiene a partir de dos de ellos:

h x tg 45 xtg

h45

h y tg 30 ytg

h30

Si se aplica el teorema de Pitgoras al otro tringulo, se obtiene una relacin para xe y:

y2 502 x2

tg

h

30

2

502

tg

h

45

2

2

502

h

1

2

3h2 h2 2500 h 35,35 mh

13

Diego

50 m y

h

30

45x

8.60

8.59

72

a

10 cm

54

8.58


16/1847

Una escalera est apoyada sobre la pared formando un ngulo sobre la hori-zontal de 47. Si la apoyamos un metro ms cerca de la pared, el ngulo queforma con la horizontal es de 64. Cul es la longitud de la escalera?

Si x es la longitud de la escalera, que coincide con la hipotenusa de los dos tringulos rectngu-los, y d la distancia inicial a la pared, se tiene:

cos 47 dx d x cos 47

cos 64

dx

1

d x cos 64 1

xcos 47 x cos 64 1 x cos 47 x cos 64 1 0,244x 1 x 4,1 m

Desde una cierta distancia se ve un edificio con un ngulo de 68. Con qu ngulo se ver el mismoedificio si nos alejamos de manera que estemos al doble de distancia?

Si h es la altura del edificio y x la distancia, se tiene que tg 68 hx y la tangente del ngulo pedido es tg

2hx.

Despejando h de la primera ecuacin y sustituyendo en la segunda, se llega a:

tg x t

2

g

x

68

tg

2

68 1,237 51 3 36

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Animales en un cubo

Juan tiene una caja de cartn con forma de cubo. Dentro ha metido una araa, una mosca y una lib-lula; por fuera ha puesto una hormiga. Observa en el dibujo dnde ha situado cada animal.

a) Calcula la distancia menor que debern recorrer la araa y la liblula para llegar hasta donde seencuentra la mosca.

b) Calcula la longitud del camino ms corto que debe recorrer la hormiga por el exterior de la caja parallegar al vrtice E.

c) Describe el camino que debe seguir la hormiga en funcin del ngulo que forma con la arista CD.

a) La araa debe recorrer la diagonal de la base para llegar a la mosca:d302 302 42,43 cmLa liblula tendr que recorrer la diagonal del cubo para llegar a la mosca: D42,432 302 51,96 cm

b) La hormiga deber ir desde el vrtice Ca la mitad del lado DH, y de aqu al vrtice E:

l 2 152 302 67,08 cm

c) El ngulo que forma con la arista CD es:tg 1350

12 26 33 54

El camino que recorre es: l 2 30 2co

s30 cos(2

26

3330 54)

67,08 cm. El mismo resultado que se obtuvo en elapartado anterior.

8.63

8.62

8.61

47 64

1 m


17/18

Para medir la lluvia

Marina quiere medir la cantidad de agua que ha cado en las ltimas lluvias.

Para ello ha utilizado el recipiente con forma de tronco de cono que muestra lafigura, en la que el ngulo sealado mide:

22 38.

a) Calcula el valor del radio rde la circunferencia superior del recipiente.

b) Las marcas del recipiente estn a la misma distancia unas de otras. Se nece-sita la misma cantidad de lluvia para pasar de unas a otras?

c) Calcula la distancia que separa dos marcas consecutivas del recipiente.

d) Calcula el volumen del recipiente.

e) Calcula la capacidad del recipiente en litros.

a) A partir del tringulo que se puede ver en la figura, el radio superior es:

tg22

238

305

0rr 30 50 tg (11 19) 19,99 cm

b) No. Cuanto ms arriba, se necesitar menor cantidad de lquido para pasar de una marca a otra.

c) El lado del cono l mide:l(30 19,99)2 502 50,99 cm. Como hay 10 marcas sobreel lado, la distancia entre ellas ser de 5,099 cm.

d) El volumen se calcula restando al cono entero el cono pequeo.

El volumen del cono entero es:VC 13 302

tg(113

019) 141242,61 cm3

El volumen del cono superior es: V8 13 19,992

tg(1191,

9199) 41786,92 cm3

El volumen del tronco de cono es: 141 242,61 41786,92 99 455,69 cm3

e) Un cm3 equivale a un ml, por lo que el volumen del recipiente es de 99,46 litros aproximadamente.

A U T O E V A L U A C I N


a) b)

a) AB112 62 9,22 cm b) AC 6 tg 54 8,26 cm

cos Cp 161 0,54v Cp 56 56 39 AB

cos654 10,21 cm

Bp 90 56 56 39 33 3 21 Ap 90 54 36

Observa el dibujo.

a) Julio mide 1,60 m. Qu altura alcanza la bandera?

b) Calcula a qu distancia se encuentra Claudia del pie de la bandera.

a) h 1,60 4 tg 31 4 m

b) d

4 tgtg2531

5,15 m

8.A2

54

6 cm

C

B

A

11 cm

6 cmA

B

C

8.A1

8.64

48

30 cm

50cm

r

_2

30 cm

50cm

r

l


18/18

Javier sale de trabajar de un edificio de oficinas, se aleja 40 metros, se gira y observa el edificio conun ngulo de elevacin de 76.

a) Representa grficamente la situacin.

b) Calcula la altura del edificio.

c) Cunto ms debera alejarse Javier para observar el edificio con un ngulo de elevacin de 50?

a) b) h 40 tg 76 160,43 m

c) La distancia entre Javier y el edificio deber ser:

dtg

x50

40tgt

5g

076

134,62 m, por lo que tendr

que alejarse 134,62 40 94,62 m ms.

Las dos ramas de un comps tienen 10 centmetros de longitud. Calcula el radio de la circunferenciaque se puede trazar cuando se abren formando un ngulo de 50 .

r 2 10 sen 25 8,45 cm

Observa el mapa; el tesoro se encuentra en algn punto del interior del tringulo. Qu superficiedebern rastrear los piratas para encontrarlo?

Para determinar el rea, primero se calcula la altura del tringulo:

h 2 sen 25 0,845 km

La superficie que deben rastrear es:

A b

2

h

2,5

2

0,845 1,056 km2

Calcula el rea y el volumen del ortoedro de la figura.

Para calcular la altura del ortoedro se necesita conocer la diagonal de la base:

d202 92 21,93 cm, de forma que la altura es:

h 21,93 tg 33 14,24 cm

El rea ser la suma de las reas de las bases y las reas laterales:

A 2 Abase A lateral 2 9 20 2 20 14,24 2 9 14,24 1185,92 cm2

El volumen del ortoedro ser:V Abase h 20 9 14,24 2563,2 cm3

E N T R E T E N I D O

Construcciones con palillos

Observa esta construccin: est formada por 7 palillos iguales y en ellapodemos ver 3 tringulos equilteros.

Seras capaz de formar otra construccin en la que aparezcan 4 trin-gulos equilteros y en la que emplees solamente 6 palillos iguales?

El bloqueo que surge a la hora de resolver este problema es que nos limitamos al pla-no. Has probado a pasar al espacio? En el espacio la solucin es inmediata: los 6 pa-lillos corresponden a las 6 aristas de un tetraedro regular.

33

20 cm

9 cm

h

8.A6

8.A5

r

10cm

50

8.A4

40 m

76

8.A3

u8 AREAS Y VOLUMENES

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