TRANSFERENCIA DE CALORTRANSFERENCIA DE CALORUNIDAD 5UNIDAD 5

Transferencia de calor por convecciónTransferencia de calor por convección

1.1. Introducción.Introducción.2.2. Convección forzada.Convección forzada.3.3. Cálculo del coeficiente de TC en una placa plana, en régimen laminar por el Cálculo del coeficiente de TC en una placa plana, en régimen laminar por el

método de Von Karman.método de Von Karman.4.4. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción en una placa plana.Analogía entre la transferencia de calor y la fricción en una placa plana.5.5. Convección forzada en una placa plana en régimen turbulento.Convección forzada en una placa plana en régimen turbulento.6.6. Ecuaciones empíricas para la convección forzada en régimen laminar en Ecuaciones empíricas para la convección forzada en régimen laminar en

ductos.ductos.7.7. Ecuaciones empíricas para la convección forzada en régimen turbulento en Ecuaciones empíricas para la convección forzada en régimen turbulento en

ductos.ductos.8.8. Flujo a través de un ducto.Flujo a través de un ducto.9.9. Convección forzada a través de bancos de tubos.Convección forzada a través de bancos de tubos.10.10. Convección libre o natural.Convección libre o natural.11.11. Cálculo del coeficiente de TC en una placa plana, en régimen laminar y Cálculo del coeficiente de TC en una placa plana, en régimen laminar y

turbulento.turbulento.12.12. Convección mixta.Convección mixta.

1. Introducción1. Introducción

En el estudio de los problemas de convección de calor, existen En el estudio de los problemas de convección de calor, existen dos cantidades de interés práctico. Estas son:dos cantidades de interés práctico. Estas son:

1. El coeficiente de transferencia de calor. 1. El coeficiente de transferencia de calor. 2. La razón de flujo de calor.2. La razón de flujo de calor. Para un sistema dado es posible conocer el coeficiente de Para un sistema dado es posible conocer el coeficiente de

transferencia de calor por convección, para luego determinar transferencia de calor por convección, para luego determinar la razón de flujo de calor con ayuda de la ley de Newton de la razón de flujo de calor con ayuda de la ley de Newton de enfriamiento.enfriamiento.

La convección se clasificaLa convección se clasifica en forzada y libre.en forzada y libre.

2. Convección forzada2. Convección forzada

Proceso de transporte de energía que resulta como consecuencia Proceso de transporte de energía que resulta como consecuencia del movimiento de un fluido. En éste proceso, el movimiento del del movimiento de un fluido. En éste proceso, el movimiento del fluido es provocado por algún agente externo (bomba, ventilador o fluido es provocado por algún agente externo (bomba, ventilador o viento, etc.)viento, etc.)

Ley de Newton de enfriamiento. Ley de Newton de enfriamiento.

:

.

, , , , , ,

.

.

.

s

p

s

q hA T T

Donde

q Flujo de calor

h Coeficiente transferencia de calor h f c V L

A Superficie de transferencia de calor

T Temperatura del cuerpo

T Temperatura del fluido

Capa límite hidrodinámica: Región en la cuál Capa límite hidrodinámica: Región en la cuál el fluido está sometido a esfuerzos viscosos.el fluido está sometido a esfuerzos viscosos.

Capa límite térmica: Región en la cuál el fluido está Capa límite térmica: Región en la cuál el fluido está sometido a cambios de temperatura . sometido a cambios de temperatura .

Para calcular el coeficiente de transferencia de calor (h), es Para calcular el coeficiente de transferencia de calor (h), es necesario considerar que el flujo de calor que llega por necesario considerar que el flujo de calor que llega por

conducciónconducción a la interficie placa fluido es igual al calor por a la interficie placa fluido es igual al calor por convección que se lleva el fluido, así:convección que se lleva el fluido, así:

Consideremos ahora el paso del fluido desde la región laminar a la turbulenta, es decir ilustrando la zona de transición; como se muestra en la figura con color amarillo.

Convección forzada en una placa plana en Convección forzada en una placa plana en régimen laminarrégimen laminar

Método integral de Von KarmanMétodo integral de Von Karman

Ecuación integral de continuidad.Ecuación integral de continuidad.

0 0x x xm u z dy u z dy

Ecuación integral de la cantidad de Ecuación integral de la cantidad de movimientomovimiento

.2 2

0 0

| |x x x xu zdy u zdy u x zm

Pero:Pero:

Ordenando términos y dividiendo entre: Ordenando términos y dividiendo entre:

0 0

| |x x xuu z dy uu z dym u

zxzdyuuzdyuuzdyuzdyu sxxxxxx

000 0

22 ||||

2 2

0 0 0 0x x x x x x

s

u dy u dy uu dy uu dy

x x

x z

En el límite cuando: En el límite cuando: 0x

2

0 0

2

0

2

2

0

( )

( )

s

s

s

d du dy u u dy

dx dxd

u uu dydx

u du uu dy

u dx

2

0

s

ud u u uu dy

dx u u u u

Como: Como:

Entonces:Entonces:

Suponiendo un perfil de velocidades, de la forma:Suponiendo un perfil de velocidades, de la forma:

0s y

u

y

001 y

d u u duu dy

dx u u dy

A

2 3u y y y

a b c du

Con las condiciones:Con las condiciones:

Para la primera condición:Para la primera condición:

Para la segunda condición:Para la segunda condición:

Pero:Pero:

2

2

0 ; 0

;

; 0

0 ; 0

en y u

en y u u

duen y

dy

d yen y

dx

0 ......... (1)a

1 .......... (2)a b c d

2 3y y y

u u a b c d

y,y,

Por la tercera condición:Por la tercera condición:

Puesto que;Puesto que;

Por la cuarta condición:Por la cuarta condición:

2

2 3

10 2

du y yu b c d

dy

0 2 3 .......... (3)b c d

2

2 2 3

1 10 0 2 6

d u yu c d

dy

0 ......... (4)c

De (2):De (2):

Sustituyendo en (3):Sustituyendo en (3):

Así:Así:

1b d

0 (1 ) 3

1

21 3

12 2

d d

d

b

0

3

20

1

2

a

b

c

d

Entonces:Entonces:

Despejando:Despejando:

Derivando:Derivando:

Así:Así:

33 1

2 2

u y y

u

B

33 1

2 2

y yu u

2

3

3 1 3

2 2

du yu

dy

0

3

2y

udu

dy

C

Sustituyendo B y C, en la ecuación A; se tiene:Sustituyendo B y C, en la ecuación A; se tiene:

3 32

0

3 1 3 1 312 2 2 2 2

ud y y y yu dy

dx

3 2 4 4 6

0

3 1 9 3 3 1 3

2 2 4 4 4 4 2

d y y y y y yu dy

dx

3 1 9 3 1 3

4 8 12 20 28 2

du

dx

39 3

280 2

du

dx

140

13

d

dx u

Integrando:Integrando:

Evaluando la constante de integración:Evaluando la constante de integración:

10 ; 0 0en x c

2 280

13x

u

140

13d dx

u

2

1

140

2 13x c

u

Arreglando la expresión:Arreglando la expresión:

2 280

13

xx

u x

2 2280 1

13 Rexx

2280 280 1

13 13 Rexx u x

2

2

280 1

13 Rexx

4.64

Rex

x : Rexu x

Donde

Donde:Donde:

En resumen:En resumen:

.espesor de la capa límite hidrodinamica

5.

Rex

xsolución exacta

33 1

2 2

u y yvelocidad del fluido

u

4.64.

Rex

xespesor de la capa límite

La siguiente figura ilustra la gráfica de la ecuación del espesor de la capaLa siguiente figura ilustra la gráfica de la ecuación del espesor de la capa

límite:límite:

Ecuación Integral de EnergíaEcuación Integral de Energía

Mediante un balance de energía, se tiene:Mediante un balance de energía, se tiene:

00 0

T T

x x x y

TuH zdy uH zdy m H K x z

y

Puesto que la energía que entra es igual a la que sale:Puesto que la energía que entra es igual a la que sale:

Además, como:Además, como:

Entonces:Entonces:

0 0x x xm u z dy u z dy

00 0 0 0

T T

x x x x x x y

TuH zdy uH zdy uH zdy uH zdy K x z

y

Además:Además:

Pero:Pero:

0 0 0 0

0

T T T T

x x x x x x

y

uHdy uHdy uHdy uHdyT

Kx x Y

0 0 0

T T

y

d d TuHdy uH dy K

dx dx y

:Dividiendo toda la ecuación entre x z se tiene

0, :En el límite cuando x se tiene

00

T

y

d TH H u dy K

dx y

)( TTCpHH

00

)(

y

T

yx

kudyTTCpdxd

00, .

:

T

yp p

s

s

d K T KT T u dy donde Difusividad

dx c y c

Sí T T

T T

Sustituyendo estos valores se tiene:Sustituyendo estos valores se tiene:

Suponiendo un perfil de temperaturas:Suponiendo un perfil de temperaturas:

0 0

( ) (1)T

y

du dy

dx y

2 3

T T T

y y yA B C D

Con las condiciones:Con las condiciones:

Resolviendo para las condiciones anteriores:Resolviendo para las condiciones anteriores:

0

0

y

y

y

y

T

T

;0

;0

;

;

2

2

dyTd

dydT

TT

TT S

0

0

0

2

2

dyd

dyd

0

3

2

A

B

0

1

2

C

D

Así, el perfil de temperaturas queda:Así, el perfil de temperaturas queda:

y, el perfil de velocidades, es:y, el perfil de velocidades, es:

Además:Además:

33 1

(2)2 2T T

y y

33 1

2 2

u y y

u

0

3(3)

2 Ty

d

dy

Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1); se tiene:Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1); se tiene:

Factorizando:Factorizando:

3 3

0

3 1 3 1 3

2 2 2 2 2

T

T T T

d y y y yu dy

dx

TTTT

dyyyyy

dxd

uT

2

321

23

21

23

13

0

3

T

TTTTTT

TTTTT

dxd

u

dyyyyyyy

dxd

uT

23

281

203

203

129

81

43

23

41

43

43

49

21

23

3

42

3

42

3

42

0 33

6

3

4

3

423

Haciendo: Haciendo:

se tienese tiene::

T

23

2803

203

23

281

81

203

203

23

281

203

203

43

81

43

42

42

424242

dxd

u

dxd

u

dxd

u

Suponiendo:Suponiendo:

EntoncesEntonces::

udxd

dxd

dxd

dxd

u

dxd

u

dxd

u

102

102

10

23

203

223

2

2

2

1 T 24

203

2803

Del análisis para la capa límite hidrodinámica, se tiene:Del análisis para la capa límite hidrodinámica, se tiene:

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos:Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos:

Factorizando:Factorizando:

(A)(A)

2

140

13

280

13

d

dx u

x

u

3 2140 2802 10

13 13

x d

u u dx u

3 2

3 2

1404 10

13

134

14 /

dx

u dx u

dx

dx

NotandoNotando que: que:

Así;Así;

Sustituyendo este valor en la ecuación (A) se tiene:Sustituyendo este valor en la ecuación (A) se tiene:

Donde:Donde:

dxd

dxd 2

3

3

dx

ddxd 3

2

31

1413

34 3

3 dx

dx

Empleando el factor de Integración:Empleando el factor de Integración:

Obtenemos:Obtenemos:

Suponiendo que la capa límite térmica inicia, según la figura:Suponiendo que la capa límite térmica inicia, según la figura:

33 413

( )14

cx B

43

xI

En la figura se observa que: en x = xEn la figura se observa que: en x = x00 ; ;

Sustituyendo esta condición en la ecuación (B), tenemos:Sustituyendo esta condición en la ecuación (B), tenemos:

Entonces:Entonces:

Factorizando,Factorizando,

0T

3 3

4 40 0

13 130 :

14 14cx puesto que C x

3

43 013 13

14 14

x

x

3

43 013

114

x

x

Pero:Pero:

Donde,Donde,

Así;Así;

1 1

pp p

K Kcc c PrK

pcPr número de PrandtlK

13 314

030.975 1T xPr

x

La capa límite térmica, inicia junto con la capa hidrodinámica: La capa límite térmica, inicia junto con la capa hidrodinámica:

1

30.975T Pr

De la igualdad:De la igualdad:

Donde:Donde:

Despejando:Despejando:

.xh Coeficiente local de transferencia de calor por convección

0y x s

Tq kA h A T T

y

0y

xs

TKA

yh

T T

y puesto que:y puesto que:

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior:Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior:

33 1

2 2T T

y y

0

3 3

2 2s

yT T

T T

y

32

s

Tx

s

T TK

hT T