U2.1. Variables Aleatorias

ESTADISTICA. FCE. UBA

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS GENERALES

1. Introducción al concepto de variable aleatoria

Definición de variable aleatoria: Se llama variable aleatoria a toda aplicación X que asocia a cada elemento del espacio muestral (E) de un experimento, un número real o bien un punto en el plano o en el espacio n-dimensional.

Es decir que X: E → Rn con n≥1

Rango ó recorrido de la variable aleatoria: es el conjunto de valores que adopta la variable. En términos de funciones, el rango es la imagen de la variable aleatoria. Se denota como Rx

Pueden considerarse entonces las variables aleatorias unidimensionales como también las variables bidimensionales o multidimensionales, en general.

Ejemplo 1: Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres veces una moneda al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:

E={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}

Definimos la variable aleatoria X como el número de caras, estamos asociando a cada suceso un número, así:

X(CCC)=3 X(CCX)=2 X(XXC)=1 X(XXX)=0

Aquí Rx = {0; 1; 2; 3} Ejemplo 2: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral será:

E={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

Definimos la variable aleatoria X como la suma de los valores obtenidos, entonces

X((1,1))=2 X((3,4))=7 X((2,6))=8 X((5,6))=11

En este caso Rx = {2; 3; … 10; 11; 12}

Ejemplo 3: Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de lámparas, para ello se define la variable aleatoria X = "duración de la lámpara". La variable aleatoria así definida es una variable continua pues puede tomar cualquier valor mayor o igual que 0, o sea que Rx = R+

0

Prof. LAURA POLOLA 1


Ejemplo 4: Una panificadora desea conocer qué peso tienen las barras de pan. La máquina fabrica piezas con pesos comprendidos entre 225 gr y 275 gr La variable aleatoria X= "Peso de la barra de pan" tomaría valores en el intervalo [225, 275] que resulta ser su rango Rx.

Clasificación de variables

Las variables aleatorias se pueden clasificar según el campo de los valores que adopta, ya que por tratarse de un valores numéricos, pueden ubicarse en la recta numérica generando distintos tipos de conjuntos. Lo mismo sucede en el espacio n-dimensional.

Se dice que una variable aletoria es discreta, si adopta un número finito o infinito numerable de valores o continua si dado un intervalo real (a,b) la variable puede tomar cualquier valor comprendido entre a y b, si es unidimensional. En caso de ser una variable multidimensional puede extrapolarse esta noción de continuidad a conjuntos del tipo A1 x A2 x …. x An con Ai intervalos reales para todo valor de i, al cual pertenezcan los valores de la variable.

En resumen, las variables aleatorias se clasifican:

Según la dimensión de su rango Según el tipo de valores

Unidimensional • Discreta• Continua

Bidimensional on-dimensional

• Discreta• Continua• Mixta

2. Variables aleatorias unidimensionales

Variable aleatoria discreta.

Dada una variable aleatoria dijimos que es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.

Ejemplo: X = Número de veces que debe lanzarse una moneda hasta obtener una cara.En este caso el espacio muestral resulta ser E = {C, XC, XXC, XXXC, …}, o sea es un conjunto infinito numerable, ya que no es posible predecir un número máximo de lanzamientos que garanticen que va a salir una cara. Por esta razón el rango RX = {1, 2, 3, 4, …}

Función de probabilidad

Dada una variable aleatoria discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia un valor de probabilidad a cada valor de la variable aleatoria, así P: RX → [0;1]



Si la variable aleatoria discreta X toma valores x i la función de probabilidad asociada a cada xi una probabilidad pi, verificándose siempre que:

a) P(xi) ≥ 0 para todo xi

b) ( ) 1i x

ix R

P x∈

=∑

Determinación de una función de probabilidad

Consideremos el experimento de lanzar tres veces la moneda al aire. Vimos que:

E= {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}

Definiendo la variable aleatoria X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.

De los ocho posibles resultados, todos equiprobables si la moneda es equilibrada, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.

Resumiendo esto en la tabla de distribución de probabilidad será:

X 0 1 2 3P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Función de distribución acumulativa

Dada X una variable aleatoria se llama función de distribución acumulativa de X a F: R→R tal que F(t) = P(X ≤ t).

Para una variable aleatoria discreta, se obtiene:

0( ) ( ) ( )i i k

kF x P X x P x

=

= ≤ = ∑Prof. LAURA POLOLA

3


Propiedades:• La función de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.• Cuando el recorrido de la variable es finito vale que:

::Para todo t < x0 F(t) = 0, siendo x0 el menor de los valores que toma la variable aleatoria X ::Para todo t > xn F(t) = 1, siendo xn el mayor valor que toma la variable aleatoria X.

• F(t) es una función creciente no estrictamente, es decir si t < u entonces F(t) F(u).

En el ejemplo anterior de las tres tiradas de la moneda:

E= {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX }.

Para la variable aleatoria X = el número de caras, estudiamos su función de distribución.

Si t<0 F(t) = P(X ≤ 0) = 0Si 0≤ t < 1 F(t) = P(X ≤ t) = P( X = 0) = 1/8Si 1≤ t < 2 F(t) = P(X ≤ t) = P( X = 0) + P( X = 1) = 1/8 + 3/8 = 1/2Si 2≤ t < 3 F(t) = P(X ≤ t) = P( X = 0) + P (X = 1) + P(X = 2) = 1/2+3/8 = 7/8 Si 3≤ t F(t) = P(X ≤ t) = P( X = 0) + P (X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)= 7/8+1/8= 1

0 si t < 0(1/8) si 0 ≤ t < 1 (1/2) si 1 ≤ t <2 (7/8) si 2 ≤ t <3 1 si t ≥ 3

Esperanza o valor esperado ó media

Consideremos una variable aleatoria discreta X que toma los valores x pertenecientes a RX con probabilidades P(x). Llamaremos media o esperanza de X a:

E(X) = . ( )xx Rx P x

∈∑

Propiedades:

1. Dada una variable aleatoria que toma siempre el mismo valor C, es decir, la variable es constante, entonces su esperanza es esa misma constante: E(C) = C

2. Si se multiplica una variable aleatoria por una constante, su esperanza se ve multiplicada por esa constante: E(c.X) = c.E(X)


F(t)=


3. Dada una función h aplicada a la variable aleatoria X, vale que: E(h(X)) = ( ). ( )

xx Rh x P x

∈∑

4. E(X - E(X)) = 0, ya que:

( ( )) ( ( )). ( )xx R

E X E X x E X P x∈

− = − =∑ ( . ( ) ( ). ( ))xx R

x P x E X P x∈

− =∑. ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).1 0

X X Xx R x R x Rx P x E X P x E X E X P x E X E X

∈ ∈ ∈

− = − = − =∑ ∑ ∑

5. Sean X e Y dos variables aleatorias, E(X+Y)=E(X)+E(Y)

6. En general, E(a.X+b) = a.E(X)+b

Varianza y desvío estándar

Se define la varianza como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable y su esperanza:

V(X) = E[ (X - E(X) )2 ]

A partir de la definición de esperanza, la varianza queda

V(X) = ( )( ) ( )2X E .P x

Xx RX

∈

−∑

Desarrollando el cuadrado se obtiene a una expresión equivalente que permite operar más cómodamente:

V(X) = ( )( ) ( )2X E .P x

Xx RX

∈

−∑ = ( )( ) ( )22X 2. . ( ) E .P xXx R

X E X X∈

− + ∑ =

( ) ( ) ( ) [ ] ( )22X .P x 2 . ( ).P x ( ) .P xX X Xx R x R x R

X E X E X∈ ∈ ∈

− +∑ ∑ ∑ =

( ) ( ) ( ) [ ] ( )22X .P x 2. ( ) .P x ( ) .P xX X Xx R x R x R

E X X E X∈ ∈ ∈

− +∑ ∑ ∑ = E(X2)-2.E(X).E(X)+[E(X)]2=

= E(X2) -2 [E(X)]2+ [E(X)]2= E(X2) - E(X)2=

⇒ V(X)= E(X2) - E(X)2

Desviación típica: Se llama desviación típica o estándar a la raíz cuadrada positiva de la varianza ( )V Xσ = .

Por su definición, en la varianza las unidades en que se expresa la variable X se elevan al cuadrado. La desviación típica resulta con la misma unidad que los datos.


A


Variable aleatoria continua.

Dada X una variable aleatoria diremos que es continua cuando toma un número infinito no numerable de valores, es el caso de los intervalos de R o todo R.

Ejemplo: X = Cotización del dólar al cierre de la jornada bancaria.Según el momento en que se realice esta observación, podría decirse que el recorrido de la variable es RX = (0; +∞)

Función de densidad

Según su definición, una variable aleatoria continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] y manteniendo la condición de que la suma de todas las probabilidades de 1, como hay un número infinito no numerable de valores, ésta es del orden de un infinitésimo por lo que resulta que no tienen probabilidad, o sea que las probabilidades puntuales P(X = a) = 0.

Para calcular la probabilidad definimos una función que verifica:

• f(x) ≥ 0

• ( ) 1Xx R

f x dx∈

=∫A esta función asociada a la variable aleatoria continua se le llama función de densidad.

La asignación de probabilidad no será posible, como vimos, para valores puntuales de la variable, así que para valores de la variable comprendidos en un intervalo real [a; b] se define:

P(a ≤ X ≤ b) = ( )b

a

f x dx∫Esta definición de probabilidad se extiende a intervalos no acotados mediante el planteo de integrales impropias:

P(X ≥ a)= ( )a

f x dx+ ∞

∫ y P(X ≤ b)= ( )b

f x dx− ∞∫

Observación importante: La noción de probabilidad en el campo de las variables aleatorias continuas se identifica como un área, con todas las propiedades inherentes a una medida, como la aditividad. Mediante el cálculo de integrales definidas entre los valores que adopta la variable, queda determinada el área encerrada por la curva, el eje x y los extremos del intervalo.

P(a ≤ X ≤ b) = ( )b

a

f x dx∫ = A



Ejemplos:1. Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual

probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad apropiada es:

1 si 0 x 1( )

0 en otro casof x

≤ ≤=

Esta función así definida cumple las dos condiciones: • f(x) ≥ 0

•[ ]0;1

( ) 1. 1Xx R x

f x dx dx∈ ∈

= =∫ ∫

2. Dada la función

2 si 1 x 2( )

0 sinx k

f xo

+ ≤ ≤=

Hallar el valor de k para que f verifique las propiedades de función de densidad.

22

1

2

1(2 ) ( ) 4 2 (1 ) 3x k dx x kx k k k+ = + = + − + = +∫

Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad debe ser 3 + k = 1, de lo que se deduce que k = -2.De aquí en más, ya se pueden calcular probabilidades con la función de densidad obtenida con el valor de k hallado.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución F: R→[0;1] nos da la probabilidad acumulada desde hasta el valor que se tiene en consideración

( ) ( ) ( )t

F t P X t f x dx− ∞

= ≤ = ∫



Gráficamente la función de distribución es el área limitada por la función de densidad y el eje de abscisas entre y t.

Propiedades de F(t) en variables continuas

La función de distribución:• toma valores comprendidos entre 0 y 1• es continua y creciente no estrictamente.• permite calcular cualquier probabilidad ya que

P(X ≤ b) = F(b) P(X > a) = 1- F(a) y P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

Esperanza o valor esperado

Dada una variable aleatoria continua X que toma los valores en un intervalo real RX con densidad f(x). Se define el valor esperado o esperanza de X a:

( ) ( )Xx R

E X xf x dx∈

= ∫

Propiedades:

Como en el caso discreto, se verifican algunas de las propiedades de la esperanza ya vistas, en especial las que se basan en las propiedades de linealidad de las sumatorias, que también cumplen las integrales como operadores sobre las funciones de probabilidad o densidad respectivamente, como ser:

E(c.X) = c.E(X); E(h(X)) = ( ) ( )x

h x f x dx∫ ; E(X - E(X)) = 0; E(X+Y)=E(X)+E(Y) y en

general, E(a.X+b) = a.E(X)+b

Varianza y desvío estándar

Se define la varianza como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable y su esperanza:

V(X) = E[ (X - E(X) )2 ]

A partir de la definición de esperanza, la varianza resulta:

V(X) = ( )( ) 2X E . ( )

Xx R

X f x dx∈

−∫

Desarrollando el cuadrado se obtiene a una expresión equivalente a la trabajada


F(t)

t

f(x)

x


en el caso discreto, y dado que las propiedades que se aplicaron las verifican también las integrales, resulta nuevamente la fórmula equivalente:

V(X)= E(X2) - E(X)2

Desviación típica: Se llama desviación típica o estándar a la raíz cuadrada positiva de la varianza ( ) ( )DS X V X= .

Notación habitual: E(X) = µ y V(X) = σ2 (por lo tanto DS(X) = σ)

2. Variables aleatorias bidimensionales

Caso discreto

Dadas dos variables aleatorias discretas X e Y, se llama función de probabilidad conjunta a la función definida sobre los pares ordenados (x,y) pertenecientes al conjunto RX x RY, es decir al producto cartesiano de los recorridos de ambas variables a la función que se define como:

p(x,y) = P(X = x ∩ Y = y)

La función de probabilidad conjunta verifica propiedades análogas a las que cumple una función de probabilidad definida para variable aleatoria discreta unidimensional. Éstas son:

• p(x,y) ≥ 0 ∀ x, y

• ( , ) 1X Yx R y R

p x y∈ ∈

=∑ ∑

A partir de esta función se pueden calcular las funciones de probabilidad de cada una de las variables, llamadas funciones de probabilidad marginal y se verifica:

p(x) = ( , )Yy R

p x y∈∑ y p(y) = ( , )

Xx Rp x y

∈∑

A partir de estas funciones se define la función de probabilidad condicional como:

( ) ( , ) x R( )

XYX

Y

p x yxp Y y p y= ∀ ∈=

donde pXY denota la probabilidad conjunta y pY la probabilidad marginal de la variable Y. Habitualmente la función de probabilidad condicional se indica con pX/Y.

Propiedad: Dos variables discretas X e Y se dice que son estadísticamente independientes si se verifica que pXY(x,y) = pX(x).pY(y).

Caso continuo



Dadas dos variables aleatorias continuas X e Y, se llama función de densidad conjunta a la función definida sobre los pares ordenados (x,y) pertenecientes al plano R2, a la función que se cumple las siguientes propiedades:

• f(x,y) ≥ 0 ∀ (x,y)

• 2( , )

( , ) 1x y R

f x y dxdy∈

=∫ ∫

La función de densidad es análoga a la función de probabilidad conjunta en el caso discreto y la mecánica de trabajo requiere del uso de integrales como las variables continuas unidimensionales.A partir de esta función se pueden calcular las funciones de densidad de cada una de las variables, llamadas funciones de densidad marginal y se verifica:

f(x) = ( , )y R

f x y dy∈∫ y f(y) = ( , )

x R

f x y∈∫

A partir de estas funciones se define la función de probabilidad condicional como:

( ) ( , ) x R( )

XYX

Y

f x yxf Y y f y= ∀ ∈=

donde fXY denota la densidad conjunta y fY la densidad marginal de la variable Y. Habitualmente la función de probabilidad condicional se indica con fX/Y.

Propiedad: Dos variables continuas X e Y se dice que son estadísticamente independientes si para las funciones de densidad se verifica que fXY(x,y) = fX(x).fY(y).

Esperanza y Varianza conjunta

Dadas dos variables X e Y se define la esperanza conjunta como:

( ) . . ( , )X Yx R y R

E XY x y p x y∈ ∈

= ∑ ∑ para el caso discreto y

( ) . . ( , )x y

E XY x y f x y dydx= ∫ ∫ para el caso continuo

La varianza conjunta ó covarianza se define como:

[ ]( ) ( ( ))( ( )) ( ( )).( ( )). ( , )X Yx R y R

V XY E X E X Y E Y x E X y E Y p x y∈ ∈

= − − = − −∑ ∑

ó bien [ ]( ) ( ( ))( ( )) ( ( )).( ( )). ( , )x y

V XY E X E X Y E Y x E X y E Y f x y dydx= − − = − −∫ ∫

Cuya fórmula equivalente es:

( ) ( ) ( ) ( )V XY E XY E X E Y= −



Esperanza condicional

Se define a partir de la función de probabilidad condicional y su fórmula es:

( ) ( ).Xx R

X xE x pY y Y y∈

== =∑

Propiedades de la esperanza y la covarianza

Todas las propiedades de la esperanza vistas para una sola variable siguen vigentes y se agregan ahora:

• Si las variables aleatorias X e Y son independientes vale que E(XY)=E(X).E(Y).• Si las variables aleatorias X e Y son independientes vale que E(X/Y)=E(X).

A partir de lo anterior, por ser afirmaciones equivalentes, se deduce que:

• Si las variables aleatorias X e Y son independientes entonces V(XY)=0. Es importante mencionar que esta implicación no es cierta en sentido inverso. Dos variables aleatorias pueden tener covarianza nula y no ser independientes. Luego veremos un ejemplo.

• Si X e Y son variables independientes entonces V(X+Y)=V(X)+V(Y).

Ejemplo: El rango de la variable X es {-1; 0; 1} y se sabe que es un conjunto equiprobable. Se define la variable Z = X2 hallar su distribución de probabilidad. Son independientes X y Z? Calcular el coeficiente de correlación e interpretarlo.

Es inmediato que RZ={0,1} y para obtener las probabailidades para Z veamos que:

P(Z=0)=P(X2=0)=P(X=0)=1/3 ya que se verificaba equiprobabilidad para los valores de la variable X.

Para calcular P(Z=1) debemos ser my cuidadosos ya queP(Z=1)=P(X2=1)=P(X=1 ˅ X= -1)= P(X=1)+P(X= -1)=1/3+1/3 =2/3 entonces obtuvimos p(z):

Z 0 1p(z) 1/3 2/3

Qué sucede con la variable bidimiensional que surge de considerar simultaneamente a las variables X y Z? y como se costruye la función de probabilidad conjunta de (X,Z)?El recorrido de la variable bidimensional (X,Z) será:

R={(-1,0),(0,0),(1,0),(-1,1),(0,1),(1,1)}

Dado que hay combinaciones imposibles entre ellas, hay varias probabilidades nulas inmediatas, con lo que resulta:



X= -1 0 1 p(z)Z0 0 1/3 0 1/31 1/3 0 1/3 2/3

p(x) 1/3 1/3 1/3 1

De esta forma es posible estudiar la independencia de las variables y calcular además, la covarianza.

Veamos que p(-1,1)=1/3 ≠ 2/3.1/3=p(x=-1).p(z=1) por lo tanto las variables no son independientes. Curiosamente Cov (X,Z)=0!!

Verifiquemos esto: Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(X)=0-0.2/3=0 pues

E(XZ)=1.(-1).1/3+1.1.1/3=0E(X)= -1.1/3+1.1/3=0E(Z)=1.2/3=2/3

Conclusión: para chequear si dos o mas variables son independientes no es suficiente que la covarianza valga cero. En este caso, no son independientes y sin embargo, esto no pudo verificarse mediante el cálculo de la covarianza. en este caso la dependencia entre las variables no es lineal, de ahí los valores obtenidos.

Recordar: X e Y son estocásticamente independientes → Cov (X,Y)=0 y Cov(X,Y)≠0→ X e Y no son independientes pero sus recíprocas son falsas.


U2.1. Variables Aleatorias

Documents

Transcript of U2.1. Variables Aleatorias