UN ESTUDIO DE REGULARIDAD EN LOS ESPACIOSDE LEBESGUE

ANDRÉS JULÍAN BERMÚDEZ GARCÍA

TRABAJO DE GRADOPARA OPTAR POR EL TÍTULO DE MATEMÁTICO

Director: Álvaro Arturo Sanjuán Cuéllar

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2017

2

A YESIKA, POR ENSEÑARME EL VERDADERO VALOR DELOS SUEÑOS Y SER EL MÁS GRANDE DE ELLOS.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a la Universidad Distrital y al Proyecto Curricular en Matemáticas por per-mitirme crecer en su seno tanto personal como académicamente. A mi director ArturoSanjuan, a quien siempre le deberé demasiado por su infinita paciencia y por su explén-dida guía.A mis Padres y mis Suegros, por su ferviente apoyo y compromiso demostrado en losaños que estuve en su tutela y que sin su inagotable amparo no hubiese podido culmi-nar mis estudios.A mis amigos; Javier, Jose, Puli, Ichi y Eddy, quienes me demostraron que ningún mate-mático se construye a si mismo e hicieron realmente divertido el proceso de convertirmeen uno.Y en especial a Yesika, quien nunca dejo de creer en mí y por ello este triunfo es nuestro.

ÍNDICE GENERAL

1. Introducción I

2. Preliminares 2

2.1. Algo de Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Espacios de Lebesgue Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Dualidad sobre Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Conjuntos Densos sobre Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Medidas Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Regularización sobre los espacios de Lebesgue 30

3.1. Convolución Y Regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1. La Notación Multi-índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Molificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Algunas Consecuencias. 46

4.1. ¿Porqué el dual de L∞ no es L1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I

4.2. Regularidad en Algunas Ecuaciones Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1. Espacios de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2. Algunos Problemas con Valores de Frontera . . . . . . . . . . . . . 53

5. Conclusiones. 61

Referencias 64

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

El estudio del comportamiento de una cuerda vibrante y la descripción del fenómeno físico entérminos matemáticos data con los trabajos de Johann Bernoulli (1727) modelando la vibracióncon un número finito de cargas puntuales. D’Alembert (1747) basado en estos trabajos encontrócomo solución del desplazamiento de una cuerda vibrante fija en los extremos, en función deltiempo t, la expresión:

y = f (x, t) = ψ(x− t) + ϕ(x + t)

Donde las funciones dependian de los parámetros iniciales. Unos años más tarde Euler, exhibióla ecuación diferencial que rige el fenómeno que, en lenguaje moderno, sería equivalente a

∂2 f∂x2

=∂2 f∂t2

Aunque ambos obtuvieron la misma solución, diferían en sus interpretaciones; ya que por ejem-plo la función f (x, t) = |x− ct| + |x + ct| representaba para Euler una solución al problema,pero para D’Alembert no, ya que está no es estrictamente “diferenciable”. Esto se debió proba-blemente a que en el siglo XVII la compresión de conceptos como continuidad y diferenciabi-lidad no poseían una rigurosidad aceptada por todos y cada investigación poseía un carácterAd-hoc. Euler anticipándose a su tiempo, sostuvo la posición de que con el análisis de su épocano era suficiente para solventar estas dudas. Sobre todo cuando Bernoulli afirma, por razones fí-sicas, encontrar una solución con forma de serie trigonométrica (sabemos ahora que tenía razónpero en su momento tales soluciones infinitas no eran muy aceptadas).

I

De manera algo confusa, Lagrange (1760-1761) considerando la ecuación diferencial descrita porEuler anticipó un argumento bastante interesante para abordar de una manera un poco menosrigurosa la solución de esta ecuación, este es conocido (luego de varios desarrollos) como laformulación débil de una ecuación diferencial.

Impulsados por el problema de Dirichlet y su problema de minimización adjunto, varios mate-máticos entre los que destacan Beppo Levi, quien introdujo la integral de Lebesgue en el estudiode esta ecuación; M. Bôcher, quien fue el primero en utilizar un método de formulación débily estableció el concepto de función test; J. Leray quien estableció la técnica de regularización víaconvolución con la cual halló la existencia de una solución “generalizada”, resolviendo primeroun problema un poco más regular y luego pasando al límite ( un camino similar al usado porD’ Alembert en la solución de la ecuación); ampliaron bastante los conceptos necesarios paradesarrollar de un modo más general las soluciones a estas ecuaciones y los métodos de comoobtenerlas.

Esto obtuvo probablemente su mayor impulso cuando S. Sobolev logro definir, en su investi-gación para resolver la ecuación de Cauchy, un teorema muy general de existencia para eseproblema, extendiéndolos a ciertos espacios de funcionales. De esta manera, para establecer laexistencia de las soluciones, desarrollo una serie de conjuntos con sus respectivos duales (Lasfunciones test con la topología del limite inducido, el cual fue mejorado por L Schwartz; su es-pacio dual, el espacio de las distribuciones-cuya formalización le valío a Schwartz la medallaFields en 1950-) en los cuales, luego de un enorme esfuerzo por determinar las operaciones ade-cuadas en estos, pudo resolver el problema de Cauchy demostrandoló de manera mucho mássencilla, además de obtener resultados de regularidad y de recuperación de soluciones clásicasa partir de las encontradas por sus nuevos métodos. [Bombal, 1991]De modo que este trabajo tiene como objetivo reconstruir de manera sencilla, los espacios fue-ron (y son) vitales a la hora de encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales por métodosvariacionales, como lo son el Espacio de funciones test y los Espacios de Sobolev. Supliendode manera constante los desarrollos que su estudio y manejo implican, en aras de aplicar talesdesarrollos en algunas ecuaciones diferenciales ordinarias.

1

CAPÍTULO 2

PRELIMINARES

2.1. Algo de Notación

Se sugiere que el lector posea algunos conceptos del análisis sobre todo en teoría de la medida.Notaremos a (X,X,µ) un espacio medible (X-medible); donde µ, su medida, es una función avalor real no negativa que es aditiva para toda partición contable de cualquier E ⊆ X tal queE ∈ X, donde X es una σ-álgebra sobre X. También se hará énfasis en que el sentido de la integralmanejada en este texto es la generalización dada por Lebesgue.

Además, notemos a M(X, X) al espacio de todas las funciones a valor real extendido sobre X quesean X-medible y a M+(X, X) como el subconjunto de M(X, X) de funciones no-negativas.

Ahora bien, dada la comodidad y la sencillez en la forma como es descrita la teoría en [Bartle, 2011];toda proposición de este capítulo será tomada de allí, salvo que se diga lo contrario. Dado esto,enunciaremos un teorema muy familiar.

Teorema 2.1 (Teorema de Convergencia Monótona). Si ( fn)∞n=1 es una sucesión monótona crecientede funciones medibles ( fn ∈ M+(X, X)) convergentes a f entonces∫

f dµ = lı́mn→∞

∫fn dµ.

Es interesante notar la forma de calcular las integrales dependiendo el espacio y la media. Porejemplo, si X = N, X = P(X) y µ es la medida de conteo sobre X. Tomando a fn como la

2

restricción de f -función no negativa- al conjunto {1, 2, · · · , n} obtenemos de esta manera unasuceción creciente convergente a f y además∫

f dµ = lı́mn→∞

∫fn dµ

= lı́mn→∞

n

∑k=1

f (k)

=∞

∑k=1

f (k)

Un resultado bueno de resaltar es el siguiente:

Lema 2.1 (Lema de Fatou). Si ( fn)n∈N ∈ M+(X, X) entonces:∫lı́m inf fn dµ ≤ lı́m inf

∫fn dµ

Es importante ver que las condiciones de no negatividad en el Lema de Fatou y la monotoníacreciente en el Teorema de Convergencia Dominada son bastante estrictas, para visualizarlotomemos al espacio de medida como los números reales (R), B su σ-álgebra de Borel y λ lamedida de Lebesgue y defínase:

fn =(

1n

)χ[n,+∞]

Obtendríamos así que fn −→ f = 0 y por tanto∫

lı́mn→∞

fn dµ = 0. Pero

lı́mn→∞

∫fn dµ = lı́m

n→∞1n

µ [n,+∞]

= +∞

Esto muestra que no hay un teorema correspondiente al de Convergencia Monótona para suce-siones decrecientes no negativas. Para enfatizar la restricción en el Lema de Fatou de ( fn)n∈N ≥0 tomemos a :

fn =(−1n

)χ[0,n]

Es claro que ∫fn dµ =

−1n

µ [0, n]

=−1n

n

= −1

3

Pero fn → 0 y por tanto:

lı́m infn→∞

∫fn dµ = −1 < 0 =

∫lı́m inf

n→∞fn dµ

Nota. En ([a, b] ⊂ R, B, λ)—medida de Lebesgue, a 6= b — se puede notar que toda funciónpaso definida sobre [a, b], es decir toda función u(x) definida como:

u =m

∑i=1

ajχPj

Es una función simple, donde P ={

Pj}

j∈N es una partición no necesariamente uniforme delintervalo, dado esto : ∫

u dλ =m

∑i=1

ajλ(

Pj)

=m

∑i=1

aj(bj+1 − bj

)=∫ b

au(x) dx .

Luego para toda función continua no-negativa acotada f sobre el intervalo tenemos:

Es Riemman-integrable.

Por el Teorema de Weierstrass en cada subconjunto compacto del intervalo la funciónalcanzara máximo y mínimo.

En una partición uniforme P = {Pk}1≤k≤n donde Pk =[

a + (k− 1)b− an

, a + kb− a

n

], si se

escoge a tk ∈ Pk y se define la sucesión vn =n

∑k=1

f (tk) χPk , se observa que está es una sucesión

no decreciente y converge a f . Por tanto se puede construir una sucesión (un)n∈N que convergea f de tal manera que un ≤ f para cada n ∈ N; en este sentido, si notamos a xk = mı́n

t∈Pkf (t), la

sucesión un = ∑nk=1 xkχPk es la sucesión deseada.

4

Así ∫f dλ = lı́m

n→∞

∫un dλ

= lı́mn→∞

∫ ba

un(x)dx

= sup∫ b

aun(x)dx

=∫ b

af (x) dx

=∫ b

af (x) dx .

Definición. El conjunto L (X, X, µ)—o simplemente L—consiste en todas las funciones mediblesf definidas sobre X tales que su parte negativa y positiva f+, f− son funciones integrables, eneste caso: ∫

f dµ =∫

f+ dµ−∫

f− dµ .

Nota. Es claro que la integral así definida es un operador lineal que preserva el orden entrefunciones.

Teorema 2.2 (Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue). Sea ( fn)n∈N una sucesión defunciones integrables que convergen en casi toda parte a una función a valor real f . Si exíste una funcióng tal que | fn| ≤ g para todo valor de n, entonces f es integrable y∫

f dµ = lı́mn→∞

∫fn dµ

Demostración. Para simplificar la demostración supondremos que la convergencia de fn tienelugar en todo X. Por hipótesis se puede ver que f es integrable, como g + fn ≥ 0 para cada n,aplicando el Lema de Fatou tenemos:∫

g dµ +∫

f dµ =∫

g + lı́m inf fn dµ

≤ lı́m inf∫

g + fn dµ

≤ lı́m inf(∫

g dµ +∫

fn dµ)

=∫

g dµ + lı́m inf∫

fn dµ

5

Luego ∫f dµ ≤ lı́m inf

∫fn dµ

Por otro lado, g− fn ≥ 0 y∫g dµ−

∫f dµ =

∫g− fn dµ

≤ lı́m inf∫

g− fn dµ

≤ lı́m inf(∫

g dµ−∫

fn dµ)

=∫

g dµ− lı́m sup∫

fn dµ

Por tanto ∫f dµ ≥ lı́m inf

∫fn dµ

Concluyendo ∫f dµ = lı́m inf

∫fn dµ

�

2.2. Espacios de Lebesgue Lp

Definición. Dos funciones en L = L(X, X, µ) se dicen µ-equivalentes o equivalente, si son casiiguales, también referido como µ-casi iguales, dos funciones son casi iguales si son iguales ex-cepto en un conjunto de medida nula. Para simplificar un poco, se usara la notación g = f c.t.p.La clase de equivalencia determinada por f ∈ L consiste en todas las funciones casi iguales oiguales en casi toda parte a f . El espacio L1 es el espacio de todas las clases de equivalenciasdefinidas sobre L, el cual es un espacio normado cuya norma es definida por:

‖ f ‖1 =∫| f | dµ

6

Definición. Si 1 ≤ p < +∞.El espacio Lp = Lp(X, X, µ) son las clases de equivalencia de lasfunciones f para las cuales | f |p ∈ L1. Este es un espacio normado con la norma definida por:

‖ f ‖p =(∫| f |p dµ

) 1p

Teorema 2.3 (Desigualdad de Hölder). Sean p ≥ 1 , f ∈ Lp y g ∈ Lq donde 1p +1q = 1. Entonces

f g ∈ L1 y ‖ f g‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖g‖q.

Demostración. Sean p y q exponentes conjugados, si α y β son números reales no negativos tene-mos que:

1 =p + q

pq

1 = (p− 1)(q− 1)

También si realizamos la sustitución u = tp−1 entonces t = uq−1 [Kreyszig, 1989] y con esto:

Figura 2.1: Explicación gráfica de como funciona la desigualdad de Hölder

αβ ≤∫ α

0tp−1 +

∫ β0

uq−1

=αp

p+

βq

q

Ahora si tanto f y g son no nulas f g es medible y reemplazando el anterior resultado con:

α =| f (x)|‖ f ‖p

β =|g(x)|‖g‖q

.

7

Obtenemos:

| f (x)| |g(x)|‖ f ‖p ‖g‖q

≤ (| f (x)|)p

p(‖ f ‖p

)p + (|g(x)|)qq(‖g‖q

)q .Por tanto f g es integrable y

‖ f (x)g(x)‖1‖ f ‖p ‖g‖q

=∫ | f (x)| |g(x)|‖ f ‖p ‖g‖q

dµ

≤∫

(| f (x)|)p

p(‖ f ‖p

)p + (|g(x)|)qq(‖g‖q

)q dµ=

1

p(‖ f ‖p

)p ∫ (| f (x)|)p dµ + 1q(‖g‖q

)q ∫ (|g(x)|)q dµ=

1p+

1q

= 1

�

Proposición 2.1. Si µ(X) < ∞ y 1 ≤ p < q < +∞ entonces Lq ⊆ Lp.

Demostración. En efecto, sea f ∈ Lq, como | f |p ∈ Lq/p dado que:(∫ (| f |p

) qp

) pq

=

(∫| f |q

) pq

=

((∫| f |q

) 1q)p

=(‖ f ‖q

)p< +∞

Aplicando la desigualdad de Hölder en Lq/p obtenemos que:∫| f |p dµ ≤ ‖| f |‖ q

p‖1‖ q

pqp−1

=∥∥| f |p∥∥ q

p‖1‖ q

q−p

=(‖ f ‖q

)p‖1‖ q

q−p

=(‖ f ‖q

)pµ(X)

q−pq

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Extrayendo raíz p-ésima en ambos lados.

‖ f ‖p ≤ ‖ f ‖q µ(X)(

1p−

1q

)

�

Teorema 2.4 (Desigualdad de Minkowski). Si f , g ∈ Lp(X) entonces f + g ∈ Lp(X) y

‖ f + g‖p ≤ ‖ f ‖p + ‖g‖p

Nota. No es difícil notar que los espacios Lp son espacios vectoriales normados, una completabase de información sobre sus propiedades se puede encontrar en [Bartle, 2011, Cap.6]; tambiénhaciendo uso del Teorema de Riesz-Fisher (conocido como el Teorema de completes 6.14 delmismo libro) se puede establecer que estos espacios son a su vez espacios de Banach 1.

Definición ([Miana, 2006]). Sean f : X → C medible y K ≥ 0. Se dice que K es una cota esencialde f si

| f (x)| ≤ K en c.t.p

Se llama supremo esencial de f al ínfimo de las cotas esenciales de f y se denota como ess sup | f |.Es fácil notar que si K es una cota esencial entonces:

µ [x ∈ X : | f (x)| > K] = 0

Proposición 2.2. [Algunas propiedades del supremo esencial]

1. | f (x)| ≤ ess sup | f | en c.t.p

2. | f (x)| ≤ K en c.t.p si y solamente si ess sup | f | ≤ K

3. Si f = g en c.t.p entonces ess sup | f | = ess sup |g|

4. Si N ⊂ X y µ(N) = 0 entonces ess sup | f | ≤ supx/∈N| f (x)|

5. Existe N ⊂ X con µ(N) = 0 tal que ess sup | f | = supx/∈N| f (x)|

1Espacios vectoriales normados completos. Ver [Kreyszig, 1989]

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Demostración. Las propiedades 2 y 3 son inmediatas dada la definición de supremo esencial y

cota esencial. Para demostrar 1 tenemos que αn := ess sup | f | +1n

es una cota esencial de fpara todo n ∈ N; por tanto los conjuntos An := {x ∈ X : | f (x)| > αn} son de medida nula.Así, teniendo en cuenta que {x ∈ X : | f (x)| > ess sup | f |} =

⋃n∈N An, tenemos que | f (x)| ≤

ess sup | f | en c.t.p.

Ahora para demostrar 4 basta tomar a K = supx/∈N | f (x)| y usar el punto 2. Por último, sidefinimos al conjunto N = {x ∈ X : ess sup | f | < | f (x)|} por el apartado 1 se tiene que µ(N) =0 y por tanto supx/∈N | f (x)| ≤ ess sup | f | y usando el apartado 4 se concluye el resultado. �

Definición. El espacio L∞(X) es el conjunto de todas las clases de equivalencia de funcionesreales (complejas) medibles sobre X las cuales están acotadas casi en todo X. Si N ∈ X y µ(N) =0 y definimos a S(N) = sup{| f (x)| : x 6∈ N}. Pudiéndose definir una norma de la siguientemanera:

‖ f ‖∞ = ı́nf{S(N) : N ∈ X, µ(N) = 0}

Por la propiedades en conjunto de la proposición anterior y en especial los apartados 4 y 5 de-muestran que ‖ f ‖∞ = ess sup | f | por eso se conocen a los elementos de L∞ como las funcionesesencialmente acotadas. Es claro que el espacio L∞ es un espacio de Banach como se muestraen [Bartle, 2011, pág. 61].

Proposición 2.3. Si µ(X) < +∞ entonces L∞ ⊂ Lp con 1 ≤ p < +∞

Demostración. Sea f ∈ L∞, por tanto | f (x)| ≤ ‖ f ‖∞ y con esto∫| f |p dµ ≤ ‖ f ‖p∞

∫dµ = ‖ f ‖p∞ µ(X)

p

�

Nota. Las contenencias de los Lp pueden ser estrictas, por ejemplo:Sí X = (0, 1) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = 1xs con s > 0. Se cumple que fs ∈ Lp((0, 1))si y sólo si 1p > s. Si p > q puede encontrarse un s > 0 tal que

1p < s <

1q por ende fs ∈ Lq pero

f /∈ Lp.Ahora, si X = (1, ∞) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = 1xs se tiene que fs ∈ Lp((1, ∞)) siy sólo si 1p < s, si p < q elíjase s con

1p > s >

1q de esta manera fs ∈ Lq pero f /∈ Lp.Se deduce

con esto, que existen funciones que solo pertenecen a un único Espacio de Lebesgue Lq.

10

2.3. Dualidad sobre Lp

Esta sección mostrará brevemente las conexiones que se encuentran en los espacios de Lebesguea través de sus funcionales lineales. De manera más especifica se hará una reconstrucción de losTeoremas de Representación de Riesz, que aunque sus enunciados no lo establezcan, son clarosal mostrar que el conjunto dual (definido más adelante) de espacio Lp(X) con 1 ≤ p < +∞ es elespacio Lq(X) donde q representa el exponente conjugado de p.

Definición. El espacio dual de los conjuntos Lp son los funcionales lineales acotados (continuos)definidos sobre Lp, denótese (Lp)′

Un poco antes de las representaciones necesitamos dotar al espacio de los funcionales lineales deuna norma. Para ello si G es funcional lineal sobre Lp se dice acotado si |G( f )| ≤ ‖ f ‖p para todof ∈ Lp y con esto se define una norma en (Lp)′ como ‖G‖ = sup{|G( f )| : f ∈ Lp, ‖ f ‖p = 1}.También se puede observar G puede verse como suma de sus partes positiva y negativa (G =G+ − G−).

Definición. Sean λ y µ medidas sobre X, λ es absolutamente continua respecto a µ si todosubconjunto de medida nula bajo λ es de medida nula bajo µ y se nota λ� µ .

Teorema 2.5 (Radon-Nykodýn). [Faro, 2012] Sean λ y µ medidas σ-finitas sobre X con λ � µentonces existe una función f ∈ M+(X, X) de tal manera que para todo E ∈ X:

λ(E) =∫

Ef dµ.

Teorema 2.6 (Teorema de Representación de Riesz). Si X es un espacio σ-finito y G es un funcionallineal acotado sobre L1(X) entonces existe g ∈ L∞(X) tal que, para todo f ∈ L1(X)

G( f ) =∫

f g dµ.

de tal manera que ‖G‖ = ‖g‖∞.

Demostración. Supongamos que µ(X) < ∞ y que G es positiva.

Si se define a λ : X→ R como λ(E) = G(χE) tenemos que para cada sucesión creciente (En)n∈Nque cumpla

⋃n En = E la función χEn → χEn cuando n→ ∞

0 ≤ λ(E)− λ(En)= G(E)− G(En)= G(χE − χEn)= ‖G‖ ‖χE − χEn‖ .

11

De esta manera se obtiene que lı́m λ(En) = λ(E). También si (Fn)n∈N es una partición de Xdefínase a En =

⋃nk=0 Fk, con esto

⋃n En =

⋃k Fk y además

λ

(⋃k

Fk

)= λ

(⋃n

En

)= lı́m

n→∞λ(En) =

= lı́mn→∞

G (χEn)

= lı́mn→∞

G

(n

∑k=0

χFn

)

= lı́mn→∞

n

∑k=0

G(χFn)

=∞

∑k=0

λ(Fn) .

Por tanto λ es una medida con λ � µ, dado que si M ∈ X con µ(M) = 0 se tendría queG(χM) = G(0) = 0.

Por tanto, usando el Teorema de Radon-Nykodýn existe una función g ∈ M+(X, (X)) tal que

λ(E) = G(χE) =∫

χEg dµ

Para todo E ∈ X. Con esto y la linealidad de la integral tenemos G(ϕ) =∫

ϕg dµ para todafunción simple ϕ sobre X. Ahora bien, para una función no negativa f , existe (ϕn)n∈N unasucesión de funciones simples tal que ϕn → f y dado que el funcional lineal G es acotado,usando el Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que G( f ) = lı́m G(φn)–con φn ∈ L1–y G( f ) =

∫f g dµ. Esta parte se concluye dado que si f = f+ + f− para cualquier función

integrable f .

De nuevo al ser G un funcional acotado, ‖g‖∞ = G(1) < +∞ y por tanto g ∈ L∞(X) además setiene que:

|G( f )| =∣∣∣∣∫ f g dµ∣∣∣∣

≤ ‖ f ‖1 ‖g‖∞

y de esta forma

|G( f )|‖ f ‖1

≤ ‖g‖∞

12

Por tanto al tomar supremo a ambos lados de la ecuación tendríamos que ‖G‖ ≤ ‖g‖∞.

Para mostrar que ‖G‖ ≥ ‖g‖∞ sea c > 1, E+c = {x ∈ X : g(x) ≥ c ‖G‖} yE−c = {x ∈ X : −g(x) ≥ c ‖G‖}, la idea es demostrar que el conjunto Ec = E+c ∪ E−c es de medidanula. En efecto sea fc una función definida como :

fc(x) =

1 si x ∈ E+c−1 si x ∈ E−c0 e.o.c

Calculando G( fc) tenemos:

G( fc) =∫

fcg dµ

=∫

E+cg dµ +

∫E+c−g dµ

≥ c ‖G‖ µ(E+c ) + c ‖G‖ µ(E−c )= c ‖G‖ µ(Ec)

Luego G( fc) ≥ c ‖G‖ µ(Ec), pero por definición de la norma de G se obtiene:

G( fc)‖ fc‖1

≤ ‖G‖

y ya que ‖ fc‖1 = µ(Ec) se consigue combinando estas desigualdades

µ(Ec) ‖G‖ ≥ G( fc) ≥ c ‖G‖ µ(Ec)

Y dado que G no es idénticamente nulo y c > 1 se tiene que µ(Ec) = 0 y de esta forma |g(x)| ≤‖G‖ en c.t p, por tanto usando el Teorema 2.2 [punto 2] se lográ que ‖g‖∞ ≤ ‖G‖ �

Teorema 2.7 (Dualidad en Lp). [Miana, 2006] Sea X un espacio de medida σ-finito. Si 1 < p < ∞y q es el exponente conjugado de p (con la excepción de que sí p = 1 entonces q = ∞ ), entonces(Lp)′ (X) ' Lq(X)

Demostración. Si se define la función

Ψ : Lq → (Lp)′

f →Ψ( f ) := Ψ f

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DondeΨ f (g) =

∫f g dµ f ∈ Lq, g ∈ Lp

Se demostrará que Ψ está bien definida, lineal y de norma unitaria, lo que garantiza su conti-nuidad y su inyectividad. Al separar los casos finito y σ-finito del espacio para demostrar lasobreyectividad, se obtiene un isomorfismo isométrico, al ser éstos espacios de Banach.

Sea f ∈ Lq y g ∈ Lp con p, q exponentes conjugados.

Paso 1 Por la desigualdad de Hölder se tiene que f g ∈ L1(X) y de esta manera Ψ f (g) ∈ C.Más aún ∣∣Ψ f (g)∣∣ ≤ ∫ f g dµ ≤ ∫ | f | |g| dµ ≤ ‖ f ‖q ‖g‖p .Como Ψ f es lineal y

∥∥Ψ f∥∥ ≤ ‖ f ‖q se tiene que Ψ f es continua y Ψ f ∈ (Lp)′.Paso 2 Es fácil ver que Ψ es lineal y si se muestra que

∥∥Ψ f∥∥ ≥ ‖ f ‖q para todo f ∈ Lqtendríamos que ‖Ψ‖ = 1. En efecto, sea f ∈ Lq, f 6= 0. Se tiene que para cada α ∈ Cexiste β ∈ C con |β| = 1 tal que αβ = |α|, donde puede tomarse β = |α|α si α 6= 0o β = 1 en caso contrario, usando esto defínase h : X → C con |h(x)| = 1 tal quef (x)h(x) = | f (x)| para todo x ∈ X, se puede hallar una expresión adecuada parah(x) usando funciones características, esto es:

h = χ{x: f (x)=0} +| f |f

χ{x: f (x) 6=0} .

Con esto se obtiene que h es medible y además h ∈ L∞(X).

Ahora bien si q = ∞, Ψ f (h) =∫| f | dµ = ‖ f ‖1 y por tanto

∥∥Ψ f∥∥ ≥ ‖ f ‖1 paratodo f ∈ L1(X).

Para 1 < q < ∞, defínase g = | f |q−1 h, donde f g = | f |q y dado que p, q son ex-ponentes conjugados se lográ que p(q− 1) = q y con esto se tiene que |g|p = | f |q ypor tanto ‖g‖pp = ‖ f ‖

qq. A su vez, como

Ψ f (g) =∫

g f dµ =∫| f |q dµ = ‖ f ‖qq

14

se obtiene: ∣∣Ψ f (g)∣∣‖g‖p

=‖ f ‖qq

‖ f ‖qpq

.

Por lo cual∥∥Ψ f∥∥ ≥ ‖ f ‖q para todo f ∈ Lq(X)

Paso 3 Para demostrar la sobreyectividad de Ψ se tienen que considerar 2 casos:

µ es una medida finita.

µ una medida σ-finita.

Para el primer caso tenemos que si µ(X) < ∞ y sea a T : Lp(X) → C una transformación linealy continua con 1 ≤ p ≤ ∞ y a partir de allí definamos a ν : X→ C como:

ν(E) = T(χE) E ∈ X .

Esta aplicación está bien definida dado que:

|ν(E)| = |T(χE)| ≤ CT ‖χE‖ = Cµ(E)1p < ∞ .

Se probará que ν es una medida compleja y para ello solo basta mostrar que es σ-contable adi-tiva. Sea (En)n∈N una sucesión disyunta de conjuntos en X cuya unión es E, por el Teorema deConvergencia Dominada se tiene que

χE = ∑n∈N

χEn = lı́mN→∞

N

∑n=1

χEn en Lp(X)

Y con esto

ν(E) = T(χE) = lı́mN→∞

N

∑n=1

T(χEn ) = lı́mN→∞

N

∑n=1

ν(En) = ∑n∈N

ν(En)

Además, como ν� µ, ya que si E ∈ X y µ(E) = 0 entonces se tiene que χE = 0 en c.t.p. Así

ν(E) = T(χE) = T(0) = 0 .

Aplicando el Teorema de Radon-Nikodym existe f ∈ M+(X), f 6= 0, de tal manera que

T(χE) = ν(E) =∫

Ef dµ =

∫χE f dµ

Dado que T y la integral son lineales, para cada función simple y medible

T(s) =∫

s f dµ.

Con esto dividiremos nuestro análisis en varios casos:

15

1. Si p = 1 y q = ∞ mostraremos que f ∈ L∞(X) y que T(g) =∫

f g dµ para todo g ∈ L1

En efecto, sea E ∈ X entonces se cumple que∣∣∣∣∫E f dµ∣∣∣∣ = |T(χE)| ≤ ‖T‖ ‖χE‖ = ‖T‖ µ(E).

Si E = {x ∈ X : < f ≥ 2 ‖T‖} ⊂ X se tiene

‖T‖ µ(E) ≥∣∣∣∣∫E f dµ

∣∣∣∣ ≥

Esto es: (∫En| f |q

)1− 1p≤ ‖T‖

Por ende f ∈ Lq(X) y se deduce que ‖ f ‖q ≤ ‖T‖ y la aplicación Ψ f : Lq(X)→ C es lineal,continua y cumple que

T(s) =∫

s f dµ .

para toda función simple medible (en Lp(x)) y nuevamente por la densidad de estas fun-ciones (Teorema 2.8 ) tenemos:

T(g) =∫

g f dµ ∀g ∈ Lp(X)

Para terminar con la demostración consideremos el caso σ-finito. Sea (An)n∈N una sucesión deconjuntos tales que X = ∪n∈N An y cada An tiene medida finita. Sin pérdida de generalidad sepuede tomar esta sucesión creciente. Sea T 6= 0 ∈ (Lp(X))′ con 1 ≤ p < ∞. Para cada n ∈ Ndefinamos Tn : Lp(An)→ C a través de:

Tn(g) := T(gχAn )

la aplicación Tn esta bien definida dado que gχAn ∈ Lp(X), es lineal y

|Tn| ≤ ‖T‖∥∥gχAn∥∥Lp(X) = ‖T‖ ∥∥gχAn∥∥Lp(An) .

Por tanto, para cada n ∈N se tiene que Tn es continua y ‖Tn‖ ≤ ‖T‖.Con esto, por el caso anterior existe una sucesión de funciones ( fn)n∈N tales que fn ∈ Lp(An) y

T(gχAn ) = Tn(g) =∫

Anfng dµ g ∈ Lp(An)

Además de ‖ fn‖q ≤ ‖T‖; dada la escogencia de los conjuntos An tenemos que fn = fn+1 en c.t.pde An ya que si E ⊂ An es un conjunto medible, resulta:∫

Efn dµ =

∫An

fnχEn dµ = T(χE χAn ) = T(χE χAn+1 ) =∫

Efn+1 dµ

Con esto si definimos a f (x) := fn(x) si x ∈ An, así vemos que está bien definida y si 1 < p < ∞.∫| f |q = lı́m

n

∫An| f |q = lı́m

n

∫χAn | f |

q ≤ ‖T‖q

17

Por tanto f ∈ Lq(X). Para p = 1 tenemos que | f | = lı́mn | fn| ≤ ‖T‖ de esta manera se tieneque ‖ f ‖∞ ≤ ‖T‖ y f ∈ L∞(X). Por último si g ∈ Lp(X) se tiene que g = lı́mn gχAn y como T escontinua y haciendo uso del Teorema de convergencia dominada.

T(g) = lı́mn

T(gχAn ) = lı́mn

∫An

fng dµ =∫

f g dµ .

�

2.4. Conjuntos Densos sobre Lp

Esta parte se centrará en mostrar algunos subconjuntos de especial importancia en los espaciosde Lebesgue, su densidad es estudiada con el fin de ilustrar y usar el hecho de tener sucesio-nes convergentes de cierto estilo para las distintas funciones en Lp. En primera medida, es clarorecordar que si s es una función simple, s es integrable si y solamente si los conjuntos de surepresentación estándar tienen medida finita y como todas las funciones simples son esencial-mente acotadas— cuando la medida del espacio sea finita— y por tanto pertenecen a todo Lp.Pero más aún las funciones simples pertenecen a todo Lp sin importar si el espacio es de medidaσ-finita o infinita. En efecto;

Teorema 2.8. Sea S el conjunto de todas las funciones simples s tales que:

µ{x ∈ X : s(x) 6= 0} < +∞

Si 1 ≤ p < ∞ entonces S es denso en Lp(X).

Demostración. Nótese que S ⊂ Lp(X), sea f ∈ Lp(X) y supóngase que f ≥ 0, luego existe(sn)n∈N de tal manera que 0 ≤ sn ≤ f para todo n y sn → f cuando n→ ∞ y como:

0 ≤sn ≤ f0 ≤ f − sn ≤ f0 ≤ | f − sn|p ≤ f p

Por el Teorema de Convergencia Dominada y la continuidad de la norma tenemos que‖ f − sn‖p → 0 si n → ∞ con lo cual implica que f ∈ S . Ahora bien para g ∈ Lp tenemos queg = g+ − g− de esta manera usando el procedimiento anterior y la desigualdad de Minkowskyvemos que g ∈ S . �

18

Figura 2.2: Ejemplo de función simple usualmente usada para definir las integrales su-periores e inferiores de la integral de Riemman1.

Para poder continuar de una manera generalizada necesitamos encontrar ciertas caracteriza-ciones de conjuntos y propiedades de los espacios de Lebesgue correspondientes; con esto enmente tenemos de primera medida definir una noción de regularidad (en medidas) y del sopor-te compacto. Para ello sea (X, τ) un espacio topológico de Hausdorff y localmente compacto,denotamos por B(X) a la σ-álgebra generada por los abiertos de X y los elementos de B(X)como borelianos de X. Una medida µ : B(X)→ [0, ∞] se dice regular si

1. Todo compacto tiene medida finita.

2. Para todo boreliano E de medida finita–esto es µ(E) < ∞ – y para cada e > 0 existe V unconjunto abierto y K un conjunto compacto tales que K ⊂ E ⊂ V y µ(V − K) < e

Ahora bien , si f : X → C es una función, definimos al conjunto soporte de f , denotado aquísupp( f ), a la cerradura del complemento de Núcleo de f , esto es:

supp( f ) := {x ∈ X : f (x) 6= 0}.1Tomado de Sites.google.com. (2017). Integrales Dobles - Calculo Vectorial. Portafolio Digital.

[en linea] Disponible en: https://sites.google.com/site/calculovectorialupaep232434/home/parcial-4/integrales-dobles [Recuperado 1 Feb. 2017].

19

Con esto se puede definir al conjunto de todas las funciones cuyo soporte es compacto, deno-tandoló como Cc(X).

Lema 2.2 (Urysohn). [Versión simplificada ver [Rudin, 1986] pág 39] Sea X un espacio Hausdorfflocalmente compacto. Sean V, K subconjuntos de X tales que V es un conjunto abierto y K un subconjuntode V compacto. Entonces existe una función f ∈ Cc(X) tal que:

χK ≤ f ≤ χV

Figura 2.3: Nótese que la función hallada no necesariamente es única

Veamos como el lema 2.2 funciona. Definamos a f := χE donde E ∈ B(X). Sea ε > 0, comoµ(E) < ∞ - µ es regular- existen un conjunto compacto K y un conjunto abierto V de tal maneraque µ(V − K) <

(ε2

)p y K ⊆ E ⊆ V.Ahora, usado el lema 2.2, existe φ ∈ Cc(X) de tal manera que χK ≤ φ ≤ χV con esto:

‖ f − φ‖p ≤ ‖ f − χK‖p + ‖φ− χK‖p

=

(∫E−K

dµ) 1

p

+

(∫X−K|φ|p dµ

) 1p

≤(∫

E−Kdµ) 1

p

+

(∫V−K|χV |p dµ

) 1p

= µ(E− K)1p + µ(V − K)

1p ≤ 2µ(V − K)

1p < ε

Más aún, si s es una función simple integrables -esto es S ⊂ Lp- tenemos que s =n

∑i=0

αiχEi con

µ(Ei) < ∞, i = 1, · · · , n.

Sea ε > 0, por lo anterior existe φi ∈ Cc(X) tales que

‖χEi − φi‖p <ε

n |αi|.

20

Por tanto si definimos a Φ =n

∑i=0

αiφi obtenemos que

‖s−Φ‖p =∥∥∥∥∥ n∑i=1 αi (χEi − φi)

∥∥∥∥∥p

≤n

∑i=0|αi| ‖χEi − φi‖ < ε

Teorema 2.9. Para 1 ≤ p < ∞, el conjunto Cc(X) es denso en Lp(X)

Figura 2.4: Aproximaciones de funciones de soporte compacto (en rojo) para la función f (x) =ex − x2 − x + 1 (en negro).

Demostración. Usando el hecho de que las funciones simples son densas en Lp y el resultado ob-tenido gracias al lema de Urysohn junto a la desigualdad de Minkowsky obtenemos el resultadodeseado. �

El caso p = ∞ Este caso relativamente especial, requiere un ánalisis más profundo. En pri-mera medida porque no es nada intuitivo que el conjunto Cc(X) no sea densa en L∞(X), sobretodo cuando en el caso finito (que el espacio sea de dimensión finita ) cada función en L∞(X)pertenece a cualquier Lp(X) con p ≥ 1. La gran diferencia radica en cómo se definen las normas.

Para ejemplificar este caso sea X = (0, 1), la función χX es esencialmente acotada-‖χX‖∞ = 1-pero no existe ninguna sucesión (Tn)n∈N ⊂ Cc(X) que converja a χX debido a que para cada Tnexiste un conjunto compacto Kn ⊂ X de las manera que Tn(x) = 0 si x ∈ X− K, debido a esto:

‖χX − Tn‖∞ = supx∈X|χX − Tn| ≥ sup

x∈X−K|χX − Tn| = 1

21

Figura 2.5: Este es un ejemplo de una sucesión de funciones Tn que converge a χX en Lp

pero no en L∞

Con esto en mente, la pregunta que inicialmente nos viene en la mente es ¿Sobre qué subcon-junto de L∞(X) el conjunto Cc(X) es denso? donde X es un espacio topológico de Hausdorfflocalmente compacto, para ello definamos el siguiente espacio vectorial:

C0 (X) := { f ∈ C(X) : ∀ε > 0, ∃K ⊂ X / | f (x)| < ε, x ∈ X− K}

Donde K es un subconjunto compacto de X. A primera vista, este conjunto no es muy fami-liar, pero a menudo esta condición se puede describir como lı́m|x|→∞ f (x) = 0, descripciónmuchas veces denominada como anularse en el infinito, el lector puede estar seguro que es-tá un poco familiarizado con estas funciones, dado que las funciones de densidad de proba-bilidad2 de las variables aleatorias continuas son elementos de C0(X). También es claro queC0(X) ⊆ L∞(X) esto es debido al Teorema de optimización en compactos [Caicedo, 2005, pág.30]. Más aún, si f ∈ C0(X) se tiene que ‖ f ‖∞ = máxx∈X | f (x)|. Como también es un espacio deBanach [Miana, 2006, pág. 47], se puede notar que la contenencia es estricta C0(X) ⊂ L∞(X) y elconjunto es cerrado.

2En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o,simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cualdicha variable aleatoria tomará determinado valor. La probabilidad de que la variable aleatoria caigaen una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de estavariable entre uno y otro límite de dicha región. La función de densidad de probabilidad (FDP o PDFen inglés) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valorunitario.

22

Figura 2.6: FDP de la distribución normal con distintos parámetros [en rojo (µ = 1, σ =0,5); en verde (µ = 1, 5, σ = 0,2) y en negro (µ = 2, σ = 0,5) ] y distribución χ2 con 1grado de libertad..

Teorema 2.10. El conjunto Cc(X) es denso en C0(X) con la norma definida en L∞(X).

Demostración. Es claro que Cc(X) ⊂ C0(X) y por ser un espacio de Banach Cc(X) ⊂ C0(X).Ahora bien, sea f ∈ C0(X) y ε > 0. Por definición existe un compacto K tal que | f (x)| < εsi x /∈ K. Además por el lema de Urysohn existe una función g ∈ Cc(X) de tal manera queχK ≤ g ≤ χV donde V es un conjunto abierto que contiene a K.

Si definimos a h := g f tenemos que h ∈ Cc(X) y además supp h ⊂ supp g. También:

| f (x)− h(x)| = | f (x)− g f (x)| ≤ | f (x)| |1− g(x)|

Por un lado sabemos que si x ∈ K entonces |1− g(x)| = 0 y si x ∈ X − K tenemos que| f (x)| |1− g(x)| ≤ | f (x)| < ε. Por ende ‖ f − h‖∞ < ε. �

2.5. Medidas Producto

En lo sucesivo de este trabajo, sobre todo en la siguiente sección necesitaremos herramientasy resultados que se obtienen en los espacios de medida producto, algunas de estás no serándemostradas pero referenciadas cuando sea debido.

Definición. Sean(X, X, µ) y (Y, Y, λ) dos espacios medibles. Denótese como X×Y a la σ-álgebragenerada por todos los conjuntos E × F con E ∈ X y F ∈ Y, Con esto el conjunto medible

23

resultante lo se puede denotar como (X×Y, X× Y, µ× λ)3

Definición. Sean E ∈ X× Y, x ∈ X y y ∈ Y. Los conjuntos

Ex := {y ∈ Y : (x, y) ∈ E}

yEy := {x ∈ X : (x, y) ∈ E}

Se definen conocidos como la x-sección y la y-sección de E respectivamente.También si f : X× Y→ R, entonces la x-sección de f denotada como fx definida sobre Y como

fx(y) = f (x, y) y ∈ Y

Similarmente se puede definir la y-sección de f , denotada por f y definida sobre X por

f y(x) = f (x, y)

Proposición 2.4 ([Martinez, 2011] pág.77).

Si E es un subconjunto medible de X× Y entonces cada sección de E es medible.

Si f es una función medible, entonces cada sección es medible.

Proposición 2.5 ([Bernal, 2012]Pág. 54). Sean (X, X, µ) y (Y, Y, λ) dos espacios de medida σ-finitas yE ∈ X× Y. Las funciones x 7→ µ(Ex) y y 7→ λ(Ey) son medibles y

µ× λ(E) :=∫

Xλ(Ex) dµ =

∫Y

µ(Ey) dλ

A medida que nos introducimos en estos espacios, es inherente a su análisis llegar al resultadoconocido como El TEOREMA DE FUBINI; el cual junto al que se desprende de él, el Teorema deTonelli, nos dan ciertas caracterizaciones de las funciones integrables en los espacios productosy como “calcularlas”.

Teorema 2.11 (Teorema de Fubini). Sea f una función medible definida en casi toda parte de X × Y.se tiene:

3En realidad, en estos espacios productos medibles, se puede denotar a la medida correspondientecomo µ× λ dado que esta hace referencia a la extensión dada por Carathedory [Bartle, 2011, Cap. 9] dela medida que mantiene Π(X×Y) = µ(X)λ(Y) para X ∈ X y Y ∈ Y cuando estos espacios son σ-finitos.

24

Figura 2.7: Ejemplos gráficos de como funciona la proposición 2.4 tanto para conjuntoscomo para funciones

1. Si f ≥ 0, las funciones:

ϕ(x) :=∫

Yf (x, y) dλ =

∫Y

fx dλ

ψ(x) :=∫

Xf (x, y) dµ =

∫X

f y dµ(2.1)

Son medibles, no negativas y cumplen:∫X×Y

f (x, y) d(µ× λ) =∫

Xϕ(x)dµ =

∫Y

ψ(y) dλ (2.2)

2. Si f ∈ L1(X × Y), la función fx ∈ L1(Y) para casi todo x ∈ X , f y ∈ L1(X) para casi todoy ∈ Y. También las funciones ϕ(x) y ψ(y) son pertenecen a L1(X) y L1(Y) respectivamente ycumplen la relación descrita en (2.2).

Demostración. 1. Como las secciones son medibles las expresiones en la ecuación (2.1) estánbien definidas. Ahora bien si f = χE donde E ∈ X×Y , las funciones ϕ y ψ se reducen a lasfunciones descritas en la proposición 2.5 y por tanto (1) se cumple. Usando esto tenemosque (2.2) se cumple para toda función simple y medible.Entre tanto si f ≥ 0 es medible, se puede encontrar una sucesión creciente de funcionessimples fn que convergen a f en casi toda parte, con esto defínase a las funciones ϕn comoen 2.1 para cada fn con n ∈ N. Así, tenemos que, usando el Teorema de ConvergenciaMonótona, φ es medible y que φ = lı́mn φn. Con esto∫

X×Yf d(µ× λ) = lı́m

n

∫X×Y

fn d(µ× λ) = lı́mn

∫X

ϕn dµ =∫

Xφ dµ

25

De manera análoga, realizamos este mismo procedimiento para ψ y concluimos (2.2).

2. Ahora sí f ∈ L1(X×Y) se puede aplicar la parte (1) para las funciones f+ y f− de dondedefinimos las funciones ϕ1 y ϕ2 asociadas a f+ y f− respectivamente. Como ϕ es definidapara f , ya que f es integrable y f+ ≤ | f | y tambíen (1) se cumple para f+ tenemos queϕ1 ∈ L1(X) y de esta misma manera φ2 ∈ L1(X).Como fx = f+x + f−x tenemos que fx ∈ L1(Y) para todo x ∈ X para los cuales ϕ1(x) < +∞y ϕ2(x) < +∞ y dado que ϕ1 y ϕ2 son integrables esto ocurre para casi todo x ∈ X y enellos ϕ1(x)− ϕ2(x) = ϕ(x) y de esta manera ϕ ∈ L1(X)

Ahora bien como para las siguientes desigualdades cada miembro es finito:∫X×Y

f+ d(µ× λ) =∫

Yψ1 dλ =

∫X

ϕ1 dµ∫X×Y

f− d(µ× λ) =∫

Yψ2 dλ =

∫X

ϕ2 dµ(2.3)

Si restamos estos resultados tenemos una parte del teorema. La segunda parte es análogacon respecto a f y y ψ en vez de fx y ϕ.

�

Nota. La identidad descrita en 2.1 se escribe como:∫X

dµ∫

Yf dλ =

∫X×Y

f d(µ× λ) =∫

Ydλ∫

Xf dµ

Donde la integral central es la integral doble y las extremas se denominan integrales iteradas.

Es necesario notar que la existencia de las integrales iteradas no garantiza la integral doble. Porejemplo, si tomamos X = Y = [0, 1] pero µ = medida de Lebesgue y λ = medida de conteo,

para la función f (x, y) =

{1 si y = x

0 si x 6= ycon x ∈ [0, 1] tenemos que :

∫[0,1]

f (x, y) dµ(x) = 0 y∫[0,1]

f (x, y) dλ(y) = 1

Y por tanto ∫[0,1]

dµ(x)∫[0,1]

f dλ(y) = 1 6= 0 =∫[0,1]

dλ(y)∫[0,1]

f dµ(x) .

Pero aún más, como la hipótesis que falta para aplicar el Teorema de Fubini es la σ-finitud dela medida λ en el anterior ejemplo; se puede notar que esto aplica en casos más acordes, porejemplo si tomamos la función:

f (x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)2

26

Con X = Y = [0, 1] y µ = λ =medida de Lebesgue. Tenemos por un lado que:∫ 10

x2 − y2(x2 + y2)2

dx = − 1y2 + 1

y∫ 1

0− 1

y2 + 1dy = −π

4

Pero ∫ 10

x2 − y2(x2 + y2)2

dy =1

x2 + 1y

∫ 10

1x2 + 1

dx =π

4

Estos ejemplos nos plantean la necesidad de tener condiciones del integrabilidad en el espacio

Figura 2.8: Cabe resaltar que en el anterior ejemplo ambas integrales iteradas indefi-nidas poseían primitiva, respectivamente −ATAN( yx )— en verde — y ATAN(

xy )— en

azul —.

producto, el siguiente teorema proporciona condición suficiente sencilla.

Teorema 2.12 (Tonelli). Sea f (x, y) : X×Y 7→ R una función medible que satisface:

∫X | f (x, y)| dµ < ∞ en c.t.p de X.∫Y dλ

∫X | f (x, y)| dµ < ∞

Entonces f ∈ L1(X×Y).

Demostración. En primera medida se puede construir una sucesión ( fn(x, y))n∈N creciente defunciones simples de tal manera que fn → | f (x)| en casi todo X × Y. En especial cada fn es

27

integrable y así bastaría demostrar que | f | es integrable.Para tal efecto,se puede usar el Teorema de Convergencia Monótona para percatarse que es su-ficiente mostrar que supn∈N

∫X×Y fn(x, y) d(µ × λ) < ∞. Así, notemos que

∫X fn(x, y) dµ ≤∫

X | f (x, y)| dµ y si aplicamos el Teorema de Fubini a cada fn y la segunda hipótesis a f obtene-mos: ∫

X×Yfn(x, y) d(µ× λ) =

∫Y

dλ∫

Xfn(x, y) dµ ≤

∫Y

dλ∫

X| f (x, y)| dµ < ∞.

Lo cual concluye la demostración. �

El caso real N-dimensional

En lo que sigue de esta monografía, el entorno o el espacio de discusión serán los espacios RN ,que será visto como el espacio de medida comprendido por la terna (RN ,B(RN), λN), dondeB(RN) es la σ-álgebra de Lebesgue que es completa con respecto a λN la medida de Lebesgue.El objetivo fundamental de esto es, principalmente definir la regularidad de estos espacios ypara ello es necesario poder definir de manera adecuada la derivabilidad que existe allí comouna extensión intuitiva de lo que cualquier lector conoce de tal concepto4. Pero este no es elúnico beneficio que conlleva a limitar nuestro análisis a tales espacios.

En primera medida y siguiendo las ideas expuestas en la sección anterior se puede ver un pe-queño inconveniente cuya solución es una de las que propicia esta desición, es facíl ver que elespacio producto resultante de dos de estos espacios (RN ×RM,B(RN)×B(RM), λN × λM) noes completa (ver [Bernal, 2012, Pág. 55]) pero se puede notar que debido al Teorema de extensiónde Hahn la compleción de este espacio es precisamente (RN+M,B(RN+M), λN+M).

A su vez, la medida de Lebesgue (obtenida como medida de Carathedory de la medida de Borel)tiene una gran cantidad de propiedades deseables para nuestro análisis.

Proposición 2.6 (Ver [Rudin, 1986] Proposiciones 2.14, 2.17 y 2.20). La medida de Lebesgue cumpleen RN (El cual es un espacio topológico Hausdorff, localmente compacto y σ-compacto):

Ser positiva

Si V es una N-celda, entonces λ(V) = Vol(V).

Es regular exterior. Es decir si E ∈ B(RN) entonces

λ(E) = ı́nf {µ(U) : U abierto}4Exceptuando claro está las generalizaciones de la derivada en los desarrollos del análisis funcional.

28

Finita en conjuntos compactos y con esto localmente finita.

Es regular interior, es decir la relación

µ(E) = sup {λ(K) : K ⊆ E K compacto}

Se cumple para cualquier conjunto medible E ∈ B(RN).

Es regular y con esto es una medida de Radon 5

Si E ∈ B(RN) y e > 0 Entonces existe un conjunto cerrado F y un conjunto abierto V tan queF ⊂ E ⊂ V y λ(V − F) < e

E ∈ B(RN) si y solo si existen conjuntos A y B tales que A es un Fσ y B es un Gδ con A ⊂ E ⊂ By λ(B− A) = 0

λ es invariante a traslaciones, es decir,

λ(E + x) = λ(E)

Para cada E ∈ B(RN) y todo x ∈ X.

Otro resultado importante pero que no será demostrado aquí es un resultado de cambio devariables en RN . En su pruebas interviene de una u otra forma el Teorema de Fubini. Por det Dhdenotaremos el determinante de la matriz jacobiana o matriz de derivadas parciales de h.

Teorema 2.13 (Cambio de Variable (Ver. [Rudin, 1976] )). Sea Ω y Γ dos conjuntos abiertos de RN . seah : Γ→ Ω un difeomorfismo de clase C1 y f : Ω→ R. Entonces f ∈ L1(Ω) si y solo si f ◦ h |det Dh| ∈L1(Γ) en cuyo caso ∫

Ωf dλ =

∫G

f ◦ h |det Dh| dλ.

5Medida de Borel positiva, localmente finita, regular exterior y tal que todo conjunto abierto es regularinterior para ella.

29

CAPÍTULO 3

REGULARIZACIÓN SOBRE LOS ESPACIOS DELEBESGUE

En este capitulo analizaremos el comportamientos de algunos conjuntos sobre el espacio Lp(RN).Con el objetivo de ver de que manera se construye el espacio de las funciones test, un espaciocuya utilidad observaremos más adelante. Como referencia tomaremos las proposiciones dadasen [Brezis, 2010].

3.1. Convolución Y Regularización

A menudo es útil un producto de funciones no puntual que “suavice” las irregularidades decada una de ellas para producir una función se comporta mejor localmente que cualquiera delos dos factores. Uno de esos productos es la convolución definido de la siguiente manera.

Definición. Sea f ∈ L1(RN) y g ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞. La función convolución f ? g : RN 7→ Rse define como:

( f ? g)(x) :=∫

Rnf (x− y)g(y)dy

Es sencillo notar que la convolución es un operador lineal conmutativo, esta última parte por elTeorema 2.13 y por ser la medida de Lebesgue invariante a traslaciones (Teorema 2.6).

30

Teorema 3.14 (Young). Para casi todo x ∈ RN la función y 7→ f (x − y)g(y) es integrable. Ademásf ? g ∈ Lp(RN) y ‖ f ? g‖p ≤ ‖ f ‖1 ‖g‖p

Demostración. Si p = ∞ tenemos que:∣∣∣( f ? g)(x)∣∣∣ = ∫RN| f (x− y)| |g(y)| dy

= ‖g‖∞∫

RN| f (x− y)| dy

= ‖g‖∞ ‖ f ‖1 < ∞

Si p = 1 definamos F(x, y) = f (x− y)g(y). Para casi todo x ∈ RN se tienen los siguientesresultados. ∫

RN|F(x, y)| dx = |g(y)|

∫RN| f (x− y)| dx = |g(y)| ‖ f ‖1∫

RNdy∫

RN|F(x, y)| dx =

∫RN

∫RN|F(x, y)| dxdy =

∫RN|g(y)| ‖ f ‖1 = ‖ f ‖1 ‖g‖1 < ∞

Usando el Teorema de Tonelli 2.12 se tiene que F(x, y) ∈ L1(RN ×RN) y por el Teoremade Fubini 2.11 ∫

RN|F(x, y)| dy < ∞

Así ∫RN

dy∫

RN|F(x, y)| dx =

∫RN

dx∫

RN|F(x, y)| dy = ‖ f ‖1 ‖g‖1

1 < p < ∞. Notemos que:

| f (x− y)g(y)| = | f (x− y)| |g(y)|

= (| f (x− y)| |g(y)|p)1p | f (x− y)|1−

1p

= (| f (x− y)| |g(y)|p)1p | f (x− y)|

1p′

Para cada x fijo, como |g(y)|p ∈ L1(RN), usando el resultado anterior la función y 7→| f (x− y)| |g(y)|

1p es integrable con lo cual | f (x− y)|

1p |g(y)| ∈ Lpy(RN).

Como | f (x− y)|1p′ ∈ Lp

′

y (RN) usamos la desigualdad de Hölder para obtener:

| f (x− y)g(y)| = | f (x− y)|1p | f (x− y)|

1p′ |g(y)| ∈ L1y(RN) .

31

Es decir

∫RN| f (x− y)g(y)| dy ≤

(∫RN

(| f (x− y)|

1p′

)p′dy

) 1p′ (∫

RN

(| f (x− y)|

1p |g(y)|

)pdy) 1

p

= ‖ f ‖1p′

1

(∫RN

(| f (x− y)|

1p |g(y)|

)pdy) 1

p

= ‖ f ‖1p′

1

(∫RN| f (x− y)| |g(y)|p dy

) 1p

Con esto

|( f ? g)(x)|p ≤ ‖ f ‖pp′

1

(∫RN| f (x− y)| |g(y)|p dy

)= ‖ f ‖

pp′

1 (| f | ? |g|p)(x) .

De esta manera por el caso anterior |( f ? g)(x)|p ∈ L1(RN) y con esto f ? g ∈ Lp(RN) y

‖ f ? g‖pp ≤ ‖ f ‖pp′

1 ‖ f ‖1 ‖g‖pp

Luego

‖ f ? g‖p ≤ ‖ f ‖1p′

1 ‖ f ‖1p1 ‖g‖

1p = ‖ f ‖1 ‖g‖p

�

Definición. Si f es una función sobre RN defínase f̌ (x) = f (−x)

Proposición 3.7. Sea f ∈ L1(RN), g ∈ Lp(RN) y h ∈ Lp′(RN). Entonces:∫RN

( f ? g)h =∫

RNg( f̌ ? h) =

Demostración. La función F(x, y) = f (x− y)g(y)h(x) ∈ L1(RN ×RN) dado que por el Teorema3.14 la función

∫RN

f (x− y)g(y) dy ∈ L1(RN) y tambíen por la desigualdad de Hölder:∫RN

∫RN|F(x, y)| dydx ≤

∫RN|h| ‖ f ? g‖p ≤ ‖h‖p′ ‖ f ? g‖p < +∞

32

Concluyendo gracias al Teorema de Fubini 2.11 que:∫RN

( f ? g)(x)h(x) dx =∫

RNdx∫

RNF(x, y) dy

=∫

RNdy∫

RNF(x, y) dx

=∫

RNg(y)dy

∫RN

f (x− y)h(x) dx

=∫

RNg(y)dy

∫RN

f̌ (y− x)h(x) dx

=∫

RNg(y) f̌ ? h(y) dy

�

Soporte

Una pequeña aclaración debe tenerse en cuenta en lo sucesivo de este trabajo. La definiciónde supp f como la cerradura del conjunto {x ∈ X : f (x) 6= 0} es estándar y funciona para lasfunciones continuas. Sin embargo, cuando tratamos con clases de equivalencias (como lo son losespacios Lp) no siempre es cierto. Por ejemplo si f = χ

Qdefinida en todos los reales sabemos

que f = 0 en c.t.p y bajo esa perspectiva supp f = ∅; pero, {x ∈ X : f (x) 6= 0} = Q y Q = R.

Con esto necesitamos una noción más acertada del soporte de una función en estos espacios.

Definición. Sea f : Rn → R y considere la familia (ωi)i∈I de todos los conjuntos abiertos de Rn

para los cuales f = 0 en casi en todo ωi. El soporte de f es definido como

supp( f ) =

(⋃i∈I

ωi

)cCon esto si dos funciones son casi iguales su soporte será el mismo y tambíen es facíl verificarque esta definición coincide con la noción dada anteriormente para las funciones continuas.

Proposición 3.8. Con las hipótesis de la definición anterior si ω = ∪i∈Iωi entonces f = 0 en c.t.p sobreω y f 6= 0 en ωc

Proposición 3.9. Sea 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L1(RN) y g ∈ Lp(Rn). Entonces

supp( f ? g) ⊂ supp( f ) + supp(g)

33

Demostración. Sea x ∈ RN un elemento fijo tal que el mapeo y 7→ f (x − y)g(y) sea integrable,existente gracias al Teorema 3.14, con esto notamos que

( f ? g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y) dy =

∫supp f (x−y)g(y)

f (x− y)g(y) dy

Como supp f (x− y)g(y) = supp f (x− y) ∩ supp g(y) = ({x} − supp f ) ∩ supp(g) tenemos:

( f ? g)(x) =∫({x}−supp f )∩supp(g)

f (x− y)g(y) dy

Ahora bien, si x /∈ supp f + supp g tenemos que ({x} − supp f ) ∩ supp g = ∅; ya que si y ∈({x} − supp f ) ∩ supp(g) entonces y ∈ supp(g) y y = x− x f con x f ∈ supp f , luego x = y + x fy con ello x ∈ supp f + supp(g).Con lo anterior tenemos que ( f ? g)(x) = 0. Así

f ? g = 0 en (supp f + supp(g))c

En particular f ? g = 0 en Int [(supp f + supp(g))c] por lo cual supp f ? g ⊂ supp f + supp g�

Con base al anterior lema se puede ver que si tanto f como g tienen soporte compacto entoncesf ? g tambíen tendrá soporte compacto. Aunque podría no tenerlo si al menos uno de ellos no lotuviera.

Definición. Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y 1 ≤ p ≤ ∞ . Una función f : Ω → RN pertenecea Lploc(Ω) si f χK ∈ Lp(Ω) para todo compacto K ⊂ Ω.

Nótese que si f ∈ Lploc(RN) entonces f ∈ L1loc(RN). Dado que para cualquier compacto K ∈ Ω setiene que λ(K) < +∞ y por tanto se tienen las inclusiones L∞(K) ↪→ Lp(K) y como f χK ∈ Lp(Ω)si y solamente si f ∈ Lp(K) obtenemos este resultado dada la escogencía arbitraria de K.

Estas funciones son conocidas como las funciones Localmente Integrables

Teorema 3.15. Sea f ∈ Cc(RN) y g ∈ L1loc(RN) entonces la convolución está bien definida para todox ∈ RN y ( f ? g) ∈ Cc(RN)

Demostración. Como f ∈ Cc(RN) entonces f ∈ L∞(K) donde K = supp f y por tanto, como g eslocalmente integrable tenemos que ( f ? g)(x) = 0 si x /∈ K pero tambíen

( f ? g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y) dy =

∫{x}−K

f (x− y)g(y) dy ≤ ‖ f ‖∞∥∥gχ{x}−K∥∥1 < +∞

34

Por tanto la convolución está bien definida para todo x ∈ RN .

Para demostrar su continuidad sea xn → x, como el conjunto (xn)n∈N es un conjunto acota-do se puede escoger un compacto K de tal manera que {xn} − supp f ⊂ K para todo n ∈ N. Yaque si y /∈ K tenemos que f (y− xn) = 0. En efecto, se tiene que y /∈ {xn} − supp f y por elloy− xn ∈ (supp− f )c = (supp f )c y por la continuidad de f se da f (x− y) = 0. Ahora, si y ∈ Kse puede ver que f es uniformemente continua sobre K y por tanto:

| f (xn − y)− f (x− y)| ≤ εn

con εn → 0. De esta manera se concluye que

| f (xn − y)− f (x− y)| ≤ εnχK ∀n ∈N y ∀y ∈ RN .

Multiplicando por |g(y)| en ambos lados de la ecuación e integrando obtenemos

|( f ? g)(xn)− ( f ? g)(x)| ≤ εn∫

K|g(y)| dy

Donde la parte derecha de la desigualdad converge a 0 gracias a que g es localmente integrable.

�

3.1.1. La Notación Multi-índice

Un multi-índice α = (α1, α2, · · · , αn) es una n-tupla donde cada αi es un número entero no nega-tivo. Sea |α| = ∑ni=1 αi. Si α y β son multi-índices se puede definir la relación de orden α ≤ β siy solamente si αi ≤ βi para cada i ∈ {1, · · · , n}. Tambíen se puede definir α! := ∏ni=1 αi!,y paracada x ∈ RN , xα := xα1 ẋα2 · · · xαn .La notación multi-índice introducida por L. Schwartz, es bastante útil para representar ecua-ciones multivariadas de una manera concisa, por ejemplo, un polinomio de n variables puederepresentarse como

∑|α|

aαxα

La derivada parcial de orden α puede denotarse como:

Dα f ≡ ∂α1 f

∂xα11

∂α2 f∂xα11

· · · ∂α1 f

∂xα11=

∂|α| f∂xα11 ∂x

α22 . . . ∂x

αnn

35

Una convención adoptada es que, para los multi-índices de componentes similares el orden dela diferenciación es irrelevante. Dado que la independencia del orden de diferenciación de losparámetros es valida para las funciones suaves-de clase C∞; el objeto de análisis de este trabajo.Con ello queremos decir que por ejemplo si α = (1, 1, 2) entonces

∂4

∂x11∂x12∂x

23=

∂4

∂x12∂x11∂x

23

Es necesario ver que si |α| = 0 entonces Dα f = f y para cada k ∈ N se puede definir Dk f :={Dα f : |α| = k}. Esto es para k = 1

D1 f =(

D(1,0,··· ,0) f , D(0,1,··· ,0) f , · · · , D(0,0,··· ,1) f)

=

(∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, · · · , ∂ f∂x3

)= ∇ f

Para k = 2 tenemos que:

D2 f =

∂2 f∂x21

∂2 f∂x1∂x2

· · · ∂2 f

∂x1∂xn∂2 f

∂x2∂x1∂2 f∂x22

· · · ∂2 f

∂x2∂xn...

.... . .

...∂2 f

∂xn∂x1∂2 f

∂xn∂x2· · · ∂

2 f∂x2n

Conocida tambíen como la matriz Hessiana la cual posee la peculiaridad de ser simétrica graciasal Teorema de Clairaut1 sin tener en cuenta la consideración realizada anteriormente.

Más allá si consideramos una función k-veces diferenciable, el nk-tensor Dk f := {Dα f : |α| = k}puede ser visto como un mapeo entre RN a RN

k.

Se puede deducir la magnitud de Dk( f ) como.

∣∣∣Dk( f )∣∣∣ = ( ∑|α|=k|Dα f |2

) 12

En particular, |∇ f | =(

∑ni=1(

∂ f∂xi

)2) 12o |∇ f |2 = ∇ f · ∇ f y

∣∣D2 f ∣∣ = (∑ni,j=1 ( ∂ f 2∂xi∂xj)2) 1

2

.

Nota. Dejemos en claro algunas notaciones sobre algunos conjuntos definidos en Ω, un con-junto abierto de RN .

1Tambíen llamado Teorema de Schwartz o Teorema de igualdad de las derivadas mixtas

36

C(Ω) es el conjunto de las funciones continuas definidas sobre Ω

Ck(Ω) es el conjunto de las funciones k-veces diferenciables cuyas k-esimas derivadas soncontinuas.

C∞(Ω) = ∩k∈NCk(Ω)

Cc(Ω) es el conjunto de las funciones continuas con soporte compacto en Ω.

C∞c (Ω) = C∞(Ω) ∩ Cc(Ω)

Este último espacio tambíen es denotado porD(Ω) y al contrario de lo que se podría pensar esteespacio es rico en funciones, como veremos más adelante.

Proposición 3.10. Si g ∈ L1loc(RN) y f ∈ C∞c (RN) entonces para cada i = 1, · · · , N

∂

∂xi( f ? g) =

∂

∂xif ? g

Demostración. Sea f ∈ C∞c (RN). Calculando la derivada direccional para x en la dirección deli-ésimo vector coordenado ei.

∂

∂xi( f ? g) = lı́m

h→0

1h[( f ? g)(x + hei)− ( f ? g)(x)]

= lı́mh→0

1h

[∫RN

f (x + hei − y)g(y) dy−∫

RNf (x− y)g(y) dy

]= lı́m

h→0

1h

[∫RN

( f (x + hei − y)− f (x− y)) g(y) dy]

= lı́mh→0

[∫RN

(f (x + hei − y)− f (x− y)

h

)g(y) dy

]= lı́m

h→0

∫RN

∂ f∂xi

(x− y + c(h)ei)g(y) dy

Donde se ha usado el Teorema del Valor Medio para encontrar el valor c(h) tal que |c(h)| ≤ |h|,con esto:

∂

∂xi( f ? g)(x) = lı́m

h→0

(∂ f∂xi

? g)(x + c(h)ei) =

(∂ f∂xi

? g)(x)

Esta última expresión aplicando el Teorema 3.15. �

37

De esta forma se brinda una de las propiedades más importantes que posee la convolución, laque anteriormente se mencionaba como “suavizar”las irregularidades entre las funciones, estoes:

Teorema 3.16. Sea f ∈ Ckc (RN), k ≥ 1, y sea g ∈ L1Loc(RN). Entonces f ? g ∈ Ck(RN) y

Dα( f ? g) = Dα( f ) ? g ∀α con |α| ≤ k

En particular si f ∈ C∞c (RN) y g ∈ L1Loc(RN) entonces f ? g ∈ C∞(RN)

Demostración. Por inducción es suficiente mostrar el caso k = 1; es decir, mostraremos que six ∈ RN (Gracias al Teorema 3.15):

∇( f ? g)(x) = (∇ f ? g)(x)

En efecto, sea h ∈ RN con |h| ≤ 1. Tenemos que para y ∈ RN

| f (x + h− y)− f (x− y)− h · ∇ f (x− y)|

=∫ 1

0[h · ∇ f (x + sh− y)− h · ∇ f (x− y)] ds

≤ ‖h‖∫ 1

0[∇ f (x + sh− y)−∇ f (x− y)] ds

≤ ‖h‖ ε(‖h‖)

Donde ε(‖h‖) es la notación de Landau2 ya que ∇ f es uniformemente continua en RN .Se puede definir ahora un conjunto compacto K de RN de tal manera que {x} + B(0, 1) −supp f ⊆ K, con esto tenemos que si y /∈ K entonces x + h− y /∈ supp f para todo h ∈ B(0, 1) ypor tanto tenemos que

f (x + h− y) = 0, en particular f (x− y) = 0 y también ∇ f (x− y) = 0

Así:f (x + h− y)− f (x− y)− h · ∇ f (x− y) = 0

Con lo que se puede reescribir:

| f (x + h− y)− f (x− y)− h · ∇ f (x− y)| ≤ ‖h‖ ε(‖h‖)χK(y) ∀y ∈ RN y ∀h ∈ B(0, 1)2Véase [Caicedo, 2005, Pág. 64]

38

Con esto se concluye multiplicando la expresión anterior por |g(y)| e integrando que:

|( f ? g)(x + h)− ( f ? g)(x)− h · (∇ f ? g)(x)| ≤ ‖h‖ ε(‖h‖)∫

K|g(y)| dy

Y gracias a que g es localmente integrable se sigue que f ? g es diferenciable y que ∇( f ? g) =∇ f ? g

�

3.2. Molificadores

Definición. [Burgos, 2012] Sea (εn)n∈N una sucesión de números con εn ↓ 0. Una sucesión defunciones reales (ρn)n∈N definidas sobre R

N se dice que es una sucesión regularizante asociadaa la sucesión (εn)n∈N o una sucesión de Molificadores

3, si satisface para todo n ∈N:

ρn ∈ C∞c (RN)

ρn ≥ 0

supp ρn ⊂ B (0, εn)∫ρn = 1

Pero al ver esta definición es claro notar que no es tan sencillo dar una ejemplo adecuadode algún tipo de Molificador, teniendo en cuenta que ningún polinomio racional o trigono-métrico podría cumplir tanto la primera ó la tercera condición. En base a esto construiremosuna sucesión de Molificadores descrita como la sucesión de molificadores estándar . Veáse[Muthukumar, 2016].

Si definimos la función:

p(x) =

0 Si x ≤ 0e−1x Si x > 0.Notamos de manera inmediata que es infinitamente diferenciable en x 6= 0, en realidad se puedenotar que su n-ésima derivada para x > 0 esta dada por p(n)(x) = P( 1x )e

−1x donde P( 1x ) es un

3Esto cuando no haya confusión sobre la escogencia de la sucesión εn, en lo sucesivo de este trabajo sellamaran solo Molificadores a estas sucesiones a menos que sea necesario ser más explicitos.

39

polinomio en la variable 1x . Esto se tiene ya que4:

dn

dxn(

e1x

)= e

1x

[(−1)n

n

∑i=0

(ni

)(n− 1i− 1

)(n− 1)!x−n−i

].

Pero para x = 0 tenemos que si G(x) es un polinomio entonces:

lı́mx→0+

G(

1x

)e−1x = 0 .

Realizando la sustitución y = 1x y usando el hecho que ningún polinomio crece más a prisa quela función exponencial. A su vez se puede notar que p(n)(0) = 0 para todo n ∈N dado que, porinducciíon sobre n, se cumple para n = 0, y por hipotesis de inducción

p(n+1)(0) = lı́mh→0

p(n)(0)h

.

Con esto tenemos que p(n+1)(h) = 0 si h < 0 y si h > 0 se puede calcular:

p(n+1)(0) = lı́mh→0+

p(n)(0)h

= lı́mh→0+

1h

P(

1h

)e−

1h = 0 .

Esto último por lo previamente visto aplicado al polinomio p̌(y) = yP(y).

Con toda estas estas herramientas se puede crear una función ρ : RN → R definida como:

ρ(x) = p(1− ‖x‖) =

0 Si ‖x‖ ≥ 1e −11−‖x‖ Si ‖x‖ < 1Donde es claro que supp ρ = B(0, 1) .

Por tanto se puede definir una sucesión de molificadores (llamados estándar) como

ρn(x) = CnNρ(nx)

Con C = 1/∫

ρ dλ, verificar cada una de las condiciones es sencillo, quíza la única propiedadcon dificultad es mostrar que

∫ρn(x) dλ = 1. Pero:∫

ρn(x) dλ =∫

CnNρ(nx)dx = C∫

ρ(y)dy = 1

Esto último usando el Teorema 2.13 con la sustitución y = nx (donde |Dh| = nN).4Los coeficientes del polinomio que aparecen en la derivada se llaman los números de Lah, después

de Ivo Lah encontrara estos números en la matemática actuarial.

40

Figura 3.1: Sucesión de molificadores en R2

Proposición 3.11. Sea f ∈ C(RN). Entonces (ρn ? f ) → f uniformemente sobre conjuntos compactosde RN .

Demostración. Sea K ⊂ RN un conjunto compacto fijo y ε > 0. Como f es uniformente continuasobre K tenemos que existe δ = δ(K, ε) > 0 de tal manera que

| f (x− y)− f (x)| < ε ∀y ∈ B(0, δ)

Luego para cada x ∈ K tenemos

[(ρn ? f )− f ](x) =∫

f (x− y)ρn(y) dy− f (x)

=∫

f (x− y)ρn(y) dy− f (x)∫

ρn(y) dy

=∫

[ f (x− y)− f (x)] ρn(y) dy

=∫

B(0,1/n)[ f (x− y)− f (x)] ρn(y) dy

Ahora bien, por la propiedad arquimediana exíste N ∈N tal que N ≥ 1/δ. Así si n > N se tieneque B(0, 1/n) ⊂ B(0, δ) y por tanto:

|ρn(x) ? f (x)− f (x)| ≤ ε∫

ρn = ε

41

�

Teorema 3.17 (Técnica de regularización). Sea f ∈ Lp(Rn) con 1 ≤ p < ∞ entonces (ρn ? f )→ fen Lp(RN)

Demostración. 5 Sea ε > 0 como el conjunto Cc(RN) es denso sobre Lp(RN) (Teorema 2.9) existef1 ∈ Cc(RN) tal que ‖ f − f1‖p < ε3 . Por la proposición 3.11, (ρn ? f1) → f1 sobre cualquierconjunto compacto de RN . Además tenemos por la proposición 3.9 que :

supp(ρn ? f1) = supp ρn + supp f1 ⊆ B(0, 1) + supp f1

Donde este último es un conjunto compacto, llámese K1. Con esto si N ∈N es lo suficientementelargo para que si n > N entonces

|(ρn ? f1)− f1| <ε

3λ(K1)1p

.

Obtenemos:

‖(ρn ? f1)− f1‖pp =∫

K1|(ρn ? f1)− f1|p dλ <

(ε3

)pλ(K1)

λ(K1) =( ε

3

)p.

Finalmente, como la convolución es un operador lineal tenemos:

(ρn ? f )− f = [ρn ? ( f − f1)] + [(ρn ? f1)− f1] + [ f1 − f ] .

Se logra usando el Teorema 3.14:

‖(ρn ? f )− f ‖p ≤ ‖ρn ? ( f − f1)‖p + ‖(ρn ? f1)− f1‖p + ‖ f1 − f ‖p≤ ‖ρn‖1 ‖ f − f1‖p + ‖(ρn ? f1)− f1‖p + ‖ f1 − f ‖p= 2 ‖ f − f1‖p + ‖(ρn ? f1)− f1‖p= 2

( ε3

)+

ε

3= ε

�

Este resultado garantiza que el conjunto C∞c (RN) es denso en Lp(RN). Sin embargo, este resul-tado puede extenderse, como lo muestra el siguiente resultado.

5la técnica de regularización vía convolución fue introducida originalmente por Leray y Friedrichs.A la función (ρn ? f ) se le conoce como la función regularizadora de f si tomamos εn = 1/n. Ver[Burgos, 2012]

42

Figura 3.2: Sucesión de molificadores en R3

Corolario 3.1 (Técnica de Corte ). Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y 1 ≤ p < ∞. Entonces C∞c (Ω)es denso en LP(Ω).

Demostración. Sea f ∈ LP(Ω), el cual puede ser visto como elemento de LP(RN) bajo la exten-sión:

f̂ (x) =

f si x ∈ Ω0 si x ∈ X−ΩSabemos por el Teorema 3.17 que la sucesión fm := ρm ? f̂ converge en la norma ‖·‖Lp(RN). Pero,la sucesión { fm}m∈N puede no tener soporte compacto en Ω ya que f̂ podría no tenerlo. Paraarreglar esto, definiremos una sucesión de funciones en C∞c (RN) con algunas propiedades, paraello, defínase los conjuntos:

Kn = {x ∈ Rn : |x| ≤ n y δ (x, Ωc) ≥ 2/n}

Así⋃

n∈NKn = Ω - se puede hacer esta identificación gracias a que Ω es un Fδ, ver Teorema

2.2- y se puede definir una nueva sucesión de Molificadores (denotadas por { fn}n∈N para evitarconfusiones) definiendo de primera mano a gn := f̂ χKn y a fn := ρn ? gn de esta manera

supp fn ⊂ B(

0,1n

)+ Kn ⊂ Ω.

Como fn ∈ C∞c (Lp(RN)) para todo n ∈N y:

‖ fn − f ‖Lp(Ω) =∥∥∥ fn − f̂∥∥∥

Lp(RN)

≤∥∥∥ρn ? gn − ρn ? f̂∥∥∥

Lp(RN)+∥∥∥ρn ? f̂ − f̂∥∥∥

Lp(RN)

≤∥∥∥gn − f̂∥∥∥

Lp(RN)+∥∥∥ρn ? f̂ − f̂∥∥∥

Lp(RN)

43

Como ‖gn‖Lp(RN )

≤∥∥∥ f̂∥∥∥

Lp(RN), usando el Teorema de Convergencia Dominada el primer suman-

do∥∥∥gn − f̂∥∥∥

Lp(RN)→ 0 y por el Teorema anterior

∥∥∥ρn ? f̂ − f̂∥∥∥Lp(RN)

→ 0 �

Figura 3.3: Sucesión regularizante para la función f (x) = ex − x2− x + 1 definida sobreel intervalo (0, 1).

Corolario 3.2. Lema Fundamental del Calculo Variacional

Sea u ∈ L1Loc(Ω) de tal manera que:∫Ω

u(x)ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ ∈ C∞c (Ω)

Entonces u(x) = 0 en c.t.p de Ω

Demostración. Sea g ∈ L∞(RN) de tal forma que supp g es un conjunto compacto contenido enΩ. Defínase gn := ρn ? g; como gn ∈ C∞c (Ω) siempre que n sea lo suficientemente grande, por elTeorema 3.16 tenemos haciendo uso de la hipótesis.∫

ugn dx = 0 ∀n ∈N

Como λ(supp g) < +∞, usando el Teorema 3.17 se obtiene que gn → g en L1(RN). Por tanto,existe una subsucesión-llámese gn para evitar confusiones- tal que gn → g en c.t.p. de RN . Másaún ‖gn‖∞ ≤ ‖g‖∞, por ende gracias al Teorema de Convergencia Dominada∫

ug dx = 0

44

Ahora bien, si K ⊂ Ω es un conjunto compacto, para la función

g =

sign u sobre K0 e.o.cSe tiene que

∫K |u| dx = 0, esto es u = 0 en c.t.p de K, como K es arbitrario tenemos que u = 0

en c.t.p de Ω. �

45

CAPÍTULO 4

ALGUNAS CONSECUENCIAS.

4.1. ¿Porqué el dual de L∞ no es L1?

Sabemos gracias al Teorema de Representación de Riesz (Teorema 2.6 ) que (L1(X))′ = L∞(X),donde X es un espacio de medida σ-finito. Pero el espacio L∞(Ω) no es reflexivo salvo el casode que Ω sea un conjunto finito. Como L1(Ω) ⊂ (L∞(Ω))′ mostraremos que tal contenencia esestricta. Esto es, mostraremos que existe un funcional lineal continuo φ sobre L∞(Ω) el cual nopuede ser representado por:

〈φ, f 〉 =∫

u f ∀ f ∈ L∞(Ω)

para algún u ∈ L1(Ω). En efecto, sea φ0 : Cc(RN)→ R definida por:

〈φ0, f 〉 = f (0) ∀ f ∈ Cc(RN)

Es claro que φ0 es continuo bajo la norma ‖·‖∞. Por el Teorema de Hahn-Banach [Brezis, 2010,Pág. 1], se puede extender a φ0 a un funcional lineal continuo φ definido sobre L∞(RN), con elcual,

〈φ, f 〉 = f (0) ∀ f ∈ Cc(RN)

Asumamos, por contradicción, que tal función u ∈ L1(RN) existe. Si f ∈ Cc(RN) y f (0) = 0tenemos que ∫

u f = 0

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Como u ∈ L1loc(RN − {0}) se puede aplicar el lema Fundamental del Calculo Variacional (Coro-lario 3.2), con Ω = RN − {0}, para deducir que u = 0 en c.t.p de Ω i.e u = 0 en c.t.p de RN . Conello ∫

u f = 0 ∀ f ∈ L∞(RN)

Lo que contradice la escogencia de φ0.

4.2. Regularidad en Algunas Ecuaciones Diferenciales.

Hablar de regularidad en las ecuaciones diferenciales es hablar del “comportamiento“de las so-luciones, sí estás existen, en términos de diferenciabilidad dependiendo de los parámetros inicia-les ajustados al problema o al modelo en cuestión. Dicho esto, esta sección tratará de mostrar demanera sencilla lo estrictamente necesario para observar la regularidad de algunas ecuacionesdiferenciales ajustadas a distintas condiciones de frontera iniciales (Homogeneidad de Dirichlet,Homogeneidad de Neumann, entre otras). Antes de trabajar en la solución problemas con va-lores de frontera uni-dimensionales, nos introduciremos en los Espacios de Sobolev y usandoalgunos los resultados que allí reposan les daremos solución desde la perspectiva variacional.

4.2.1. Espacios de Sobolev.

Sea I = (a, b) un intervalo abierto y 1 ≤ p ≤ ∞

Definición (Derivada debíl). El Espacio de Sobolev W1,p(I) es definido por:

W1,p(I) ={

u ∈ Lp; ∃g ∈ Lp(I) tal que∫

Iuϕ′ = −

∫I

gϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)}

Notaremos para u ∈ W1,p(I) a u′ = g y diremos que g es la derivada débil o en el sentido deSobolev de u. Por último definamos al espacio

H1(I) = W1,2(I)

Está definición de derivada tiene sentido gracias al Corolario 3.2 y es un buen ejercicio notar queSi u ∈ C1(I)∩ Lp(I) y u′ ∈ Lp(I) (donde u′ representa la derivada en el sentido usual ) entoncesu ∈W1,p(I). Más aún, la derivada en el sentido usual coincide con la derivada debíl, lo que hace

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consistente esta nueva definición. En particular si I es acotado tenemos que C1(I) ⊂ W1,p(I)para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

Deseamos que estos espacios se comporten de manera similar a los espacios Lp(I), en otraspalabras, que sea reflexivos si 1 < p < ∞, separables1 si 1 ≤ p < ∞, y por supuesto espaciosde Banach. Aunque la reflexividad no será tratada en este trabajo, se puede tener la seguridadque los espacios de Sobolev cumplen dichas propiedades como lo veremos en las siguientesproposiciones tomadas de [Brezis, 2010] y [Adams and Fournier, 2003]

Proposición 4.12. Los Espacios de Sobolev W1,p(I) dotado de la norma

‖u‖W1,p(I) = ‖u‖Lp(I) +∥∥u′∥∥Lp(I)

Es un espacio de Banach, para 1 ≤ p ≤ ∞, reflexivo para 1 < p < ∞ y separable para 1 ≤ p < ∞.Además el espacio H1(I) es un espacio de Hilbert (separable) sí es dotado con el siguiente producto interno

(u, v)H1(I) = (u, v)L2(I) + (u′, v′)L2(I) =

∫I

uv + u′v′

Y con la norma asociada

‖u‖H1(I) =(‖u‖L2(I) +

∥∥u′∥∥L2(I)) 12Aunque hemos introducido una definición un poco más general de la derivabilidad en R no esde extrañar que está aún mantenga las propiedades más notables (y deseables) de la derivadatradicional. Es decir:

Proposición 4.13 (Propiedades de la derivada debíl.). Sea u, v ∈ W1,p(I) con 1 ≤ p ≤ ∞ e I unintervalo abierto acotado o no acotado. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

La derivada débil respeta la linealidad.

Si u ∈ LPLoc(I) y u′ = 0 entonces u = C en c.t.p. de I.

Representante Continuo:Exíste un único u ∈ C(I) tal que u = u en c.t.p de I. Es más,

u(x)− u(y) =∫ x

yu′(t) dt ∀x, y ∈ I

En lo que sigue de este trabajo se mantendrá que u es reemplazado por su representante continuo(al estar inmersos en clases de equivalencia).

1Ver [Adams and Fournier, 2003, Pág 32.]

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Sea g ∈ LpLoc(I), para y0 ∈ I un punto fijo. Defínase

w(x) =∫ x

y0g(t) dt x ∈ I

Entonces w ∈ C(I), además w ∈W1,p(I) con w′ = g.

El producto uv ∈W1,p(I) y(uv)′ = u′v + uv′

Tambíen la fórmula de integración por partes se mantiene:∫ xy

u′v = uv|xy −∫ x

yuv′

Nótese el contraste de este resultado con las propiedades de las funciones pertenecientes a los espa-cios Lp donde el producto no necesariamente pertenece al mismo espacio, por ello se conoce que losespacios W1,p son Álgebras de Banach.

Sea G ∈ C1(R) tal que G(0) = 0. Entonces G ◦ u ∈W1,p(I) y

(G ◦ u)′ = (G′ ◦ u)u′

La restricción G(0) = 0 es innecesaria si I es acotado (o también si I es no acotado pero p = ∞).Pero es fundamental en los casos restantes.

Como vemos, se cumple de cierta forma el Primer y el Segundo Teorema Fundamental delCálculo y aunque, a diferencia de los espacios Lp, el espacio de las funciones test (C∞c ) pier-de su densidad sobre W1,p; enunciaremos una versión similar pero un poco más debil de talresultado.

Teorema 4.18 (Densidad.). Sea u ∈ W1,p(I) con 1 ≤ p < ∞. Entonces existe una sucesión (un)n∈Nen C∞c (R) tal que un|I → u en W1,p(I)

Observando el " comportamiento "de esta nueva definición, surge una duda inmediata ¿Seráque las funciones en W1,p son continuas?. La respuesta a esta pregunta es afirmativa y se obtienegracias a un prototipo de la desigualdad de Sobolev támbien llamado Incrustación de Sobolev.

Teorema 4.19. Existe una constante C (que depende únicamente de |I| ≤ ∞) tal que

‖u‖L∞(I) ≤ C ‖u‖W1.p(I) ∀u ∈W1,p(I), 1 ≤ p < ∞

Esto es, W1,p(I) ⊂ L∞(I) con inyección continua para todo 1 ≤ p ≤ ∞. Más aún, si I es acotadotenemos:

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La inyección W1,p(I) ⊂ C(I) es compacta para todo 1 < p ≤ ∞,

La inyección W1,1(I) ⊂ Lq es compacta para todo 1 ≤ q < ∞.

se puede generalizar ahora los espacios de Sobolev con el objetivo de “añadir”más derivadasdébiles, pero por ahora manteniendo la dimensión del espacio (R).

Definición (Espacios de Sobolev Wm,p- derivadas de orden superior). Sea m ≥ 2 un númeroentero, y 1 ≤ p ≤ ∞ un número real. Se define por inducción los espacios:

Wm,p(I) ={

u ∈Wm−1,p(I); u′ ∈Wm−1,p(I)}

Definimos además:Hm(I) = Wm,2(I)

Donde se puede ver facílmente que u ∈Wm,p(I) si y sólo si exísten m funciones (gi)1≤i≤m ∈ Lp(I)de tal forma que ∫

IuDj ϕ = (−1)j

∫I

gj ϕ ∀ϕ ∈ C∞c (I), ∀j = 1, 2, . . . m.

Donde Dj ϕ representa la j-ésima deriva de ϕ. De esta forma notaremos a las funciones Dju := gj(Esto es u′ = g1, (u′)′ = g2, etc.) y con ello equipar a estos nuevos espacios con la norma

‖u‖Wm,p = ‖u‖Lp +m

∑j=1

∥∥∥Dju∥∥∥Lp

Y al espacio Hm dotarlo del siguiente producto escalar

(u, v)Hm = (u, v)L2 +m

∑j=1

(Dju, Djv)L2 =∫

uv +m

∑j=1

∫Dju Djv

Con esto se puede extender para los espacios Wm,p algunas de las propiedades vistas para W1,p,por ejemplo si I es acotado, Wm,p(I) ↪→ Cm−1(I) (respectivamente con inyección compacta para1 < p ≤ ∞).

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El espacio W1,p0

Vimos gracias al Teorema 4.18 que C∞c (I) no es denso en W1,p(I), Tambíen como vemos en[Adams and Fournier, 2003][Págs 70-77] es bastante difícil encontrar un dominio Ω adecuadodonde esto ocurra2. En particular se tiene que el conjunto C1c (I) no es denso en W1,p, pero sepuede definir un conjunto de vital importancia, dado que en el se encuentran las solucionesdébiles de las ecuaciones diferenciales.

Definición. Sea 1 ≤ p < ∞. Defínase W1,p0 (I) a la clausura de C1c (I) en W1,p(I). Tambíen defí-nase

H10(I) = W1,20 (I)

El espacio W1,p0 (I) esta equipado con la norma heredada de W1,p(I) y el espacio H10(I) esta do-

tado del producto escalar de H1. El espacio W1,p0 es un espacio de Banach separable (Es cerradoy normado por construcción) y reflexivo si p > 1. A su vez, el espacio H10(I) es un espacio deHilbert separable(por ser un subespacio de un espacio separable).

Nota. Si I = R por el Teorema 4.18 sabemos que C1c (R) es denso en W1,p(R) y en este casoW1,p0 (R) = W

1,p(R)

Es posible dar ahora una caracterización de las funciones que pertenecen a este espacio. En estase da da cuenta del rol central que posee este espacio cuando las ecuaciones diferenciales ordina-rias (o parciales) son combinadas con condiciones de frontera, como por ejemplo las condicionesde Dirichlet.

Teorema 4.20. Sea u ∈W1,p(I). Entonces u ∈W1,p0 (I) si y solamente si u = 0 sobre ∂I.

Nota. Existen otras caracterizaciones de las funciones en W1,p0 (I), se mostrará una que tienela particularidad de ser un poco más intuitiva.

Sea 1 ≤ p < ∞ y u ∈ Lp. Si definimos la función:

ǔ(x) =

u(x) Si x ∈ I0 Si x ∈ R− IEntonces u ∈W1,p0 (I) si y solamente si ǔ ∈W1,p(R)

2Esto hablando de conjuntos de mayor dimensión, lo cual no viene al caso por ahora pero intervieneen lo que sigue de este trabajo.

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Llegamos entonces a un resultado bastante útil que poseé vital importancia cuando hablamosde las relaciones existentes entre las funciones en W1,p0 y sus derivadas debíles (Tambíen no serábastante útil cuando hablemos de Existencia de las soluciones generalizadas).

Teorema 4.21 (Desigualdad de Poincaré). Suponga que I es un intervalo acotado. Entonces existe unaconstante C (que depende únicamente de |I| < ∞) tal que

‖u‖W1,p(I) ≤ C∥∥u′∥∥Lp(I) ∀u ∈W1,p0 (I)

En otras palabras, sobre u ∈ W1,p0 (I), el valor ‖u′‖Lp(I) es una norma equivalente a la norma definidasobre W1,p(I).

Demostración. Sea u ∈ W1,p0 (I) y I = (a, b). Existe una sucesión (un)n∈N ⊂ C1c (I) de tal maneraque un → u en W1,p(I), luego usando el Teorema 4.19 obtenemos un → u en L∞(I); ahora bien,como un(a) = 0 para todo n ∈ N tenemos que u(a) = 0. De este modo, haciendo uso de laproposición 4.13.

|u(x)| = |u(x)− u(0)| =∣∣∣∣∫ xa u′(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∥∥u′∥∥L1(I)Esto es, ‖u‖L∞ ≤ ‖u′‖L1 . Como el intervalo es acotado tenemos que si 1 ≤ p < ∞, existenconstantes C1 y C2 tales que.

‖u‖Lp ≤ C1 ‖u‖L∞ y∥∥u′∥∥L1 ≤ C2 ∥∥u′∥∥Lp

Es decir ‖u‖Lp ≤ C1(C2 ‖u′‖Lp) y por ende

‖u‖W1,p = ‖u‖Lp +∥∥u′∥∥Lp ≤ C1(C2 ∥∥u′∥∥Lp) + ∥∥u′∥∥Lp ≤ C ∥∥u′∥∥Lp)

�

Una mirada a la Desigualdad de Poincaré nos permite ver que la expresión (u′, v′)L2 =∫

u′v′ de-fine sobre H10(I) una producto escalar equivalente y por tanto una norma asociada equivalente,es decir, el valor ‖u′‖L2 es equivalente a la norma en H1(I).

Nota. Se puede ahora generalizar un poco este nuevo conjunto. Sea m ≥ 2 un entero y 1 ≤ p <∞. Definamos ahora el espacio Wm,p0 (I) como la clausura del espacio C

mc (I). No es un ejercicio

sencillo de recrear pero existe una caracterización de los miembros de este espacio similar a ladada en el espacio W1,p0 (I), esto es:

Wm,p0 (I) ={

u ∈Wm,p : u = Du = D2u · · ·Dm−1u = 0 en ∂I}

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4.2.2. Algunos Problemas con Valores de Frontera

Toda la sección anterior se trató de sentar una base solida del comportamiento de conjuntos endonde yacen las soluciones débiles de las Ecuaciones Diferenciales (parciales u ordinarias).¿Peroque es una solución débil de una ecuaciones diferencial?. Tambíen conocidas como solucionesgeneralizadas de las EDO(P) son soluciones de una versión modificada de estos problemas, queabordando la derivada desde el sentido de Sobolev (por tal motivo se denomina derivada debíl)busca hallar, usando métodos variacionales, soluciones que con la definición estricta de derivadano podríamos conseguir. Aquí abordaremos-con una serie de problemas- más a fondo estosconceptos y daremos solución a estos problemas con el fin de notar la regularidad de estos.

Vamos entonces a establecer una especie de ruta a seguir cada vez que tratemos una EDO.

1. Definir para cada problema el significado de Solución Débil, involucrando a los espacios deSobolev descritos anteriormente. Demostrando de está manera que Toda solución clásicaes solución debíl.

2. Existencia y unicidad de la solución débil. Este aspecto es muy importante de analizar, dadoque siempre es deseable en estos tipos de problemas tener un resultado como este. Comotratamos métodos variacionales vamos a establecer este resultado vía Teorema de Lax-Milgram, que aunque no es el único método variacional existente ( Como lo son el Teoremade representación de Riesz-Fréchet o el Teorema de Stampacchia [Brezis, 2010, Cap. 5]), esun método cuya simplicidad nos permite obtener una única solución.

Teorema 4.22 (Lax-Milgram). Sea (H, ‖·‖); un espacio de Hilbert real. y sea a(·, ·) : V ×V → R unaforma bilineal continua y coerciva, es decir, tal que existen C > 0 y α > 0 satisfaciendo:

|a(u, v)| ≤ C ‖u‖ ‖v‖ ∀u, v ∈ H (Continuidad) (4.1)

|a(u, u)| ≥ α ‖u‖2 ∀u ∈ H (Coercividad) (4.2)

En tal caso, para ϕ ∈ H? dado se tiene:

Existe un único u ∈ H tal que

a(u, v) = 〈ϕ, u〉 ∀v ∈ H (4.3)

Si a(·, ·) es simétrica, entonces u está caracterizado por la propiedad

12

a(u, u)− 〈ϕ, u〉 = mı́nv∈H

{12

a(u, v)− 〈ϕ, v〉}

(4.4)

53

Nota. Es interesante notar la conexión entre la ecuación (4.3) y el problema de minimización(4.4). Cuando tales cuestiones surgen en la Mecánica o en la Física, a menudo, tienen una inter-pretación natural, como lo son el el principio de mínima acción o la minimización de la energia. Enlo referente al cálculo de variaciones se dice que la ecuación (4.3) es la ecuación de Euler asociadaal problema de minimización (4.4). Grosso modo, (4.3) se dice “F′(u) = 0“donde F es la funciónF(u) = 12 a(u, v)− 〈ϕ, v〉.

Nota. En las condiciones del Teorema de Lax-Milgram, es evidente que la igualdad a(u; v) =〈ϕ, v〉 ∀v ∈ H , junto a la coercividad, implican en particular que:

α ‖u‖2 ≤ a(u, u) = 〈ϕ, u〉 ≤ ‖ϕ‖H? ‖u‖

y en consecuencia se tiene la dependencia continua de u respecto de ϕ, i.e.,

‖u‖ ≤ 1α‖ϕ‖H? (4.5)

3. La regularidad de la EDO, esto responderá a la pregunta ¿Dadas ciertas condiciones dediferenciabilidad de los parámetros iniciales, su solución será débil, será clásica, otro?.

4. Recuperando soluciones. En este apartado se mostrará que dada una solucion débil de claseC2 esta es una solución clásica.

Una EDO de segund