TVM.2 ENRICH CARNICERO · 0,5 1,50 1.0 3,00 1,5 4,50 2,0 6,00 2,5 7,50 3,0 9,00 Como podrás...

013-00-APU-E-Funciones.docm Curso 2013

Taller Vertical de Matemática Nº 2 “Enrich -Creus-Carnicero”

FAU-UNLP 1

1. Introducción

1.1. Importancia práctica del concepto de función.

En nuestra vida cotidiana estamos acostumbrados a resolver problemas todo el tiempo, aunque no siempre seamos conscientes de ello. Los problemas técnicos y científicos son más complejos, para estudiarlos resulta conveniente efectuar procedimientos propios de estas disciplinas. Así como un escritor utiliza la escritura como medio para narrar una historia, un ingeniero o un científico utiliza el lenguaje matemático para estudiar un problema. El lenguaje de la matemática permite construir una representación simplificada del hecho de la realidad que queremos estudiar. Esta representación

1 es lo que se denomina la modelización del problema. La importancia de las

funciones en particular –y de la matemática en general– reside en que sirven para elaborar modelos y así poder iniciar el análisis de un problema técnico o científico. La arquitectura, como disciplina, se apoya en conceptos científicos y técnicos, por lo que también recurre al uso de funciones y modelos para plantear y/o resolver problemas. Así, por ejemplo, una maqueta de cartón de una vivienda permite representar en el espacio los diferentes volúmenes que constituyen la obra. Podemos decir que la maqueta constituye un modelo geométrico de la vivienda.

1.2. Comencemos con el desarrollo del tema

Para recordar el concepto de función, mencionaremos ejemplos de la vida diaria ya que, a pesar de que quizás te resulte extraño ... ¡las funciones nos rodean!

Veamos los siguientes ejemplos cotidianos:

(1) Cuando vas a comprar el pan, el panadero te cobra según lo que pesa la cantidad de pan que vas a llevar.

1 No debemos confundir la realidad con la representación o modelo que nosotros mismos construimos para poder

describirla y/o predecirla.

ENRICH – CREUS – CARNICERO TVM.2

Unidad 3 │ Apunte Funciones │ 2013



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(2) Cuando cargás combustible en tu vehículo antes de viajar, la cantidad mínima de combustible depende de la distancia a recorrer (¡Y también del dinero que tengas en tu billetera!).

(3) Cuando competís con tus amigos para ver quién es el que arroja más lejos una piedra sobre la superficie de un lago, podrás percibir que la distancia total que recorre la piedra depende (entre otras cosas) de la velocidad con la que la arrojás.

Podrías encontrar muchísimas relaciones entre pares de magnitudes2 en las que el valor de una

depende del valor de la otra. Este tipo de correspondencias entre magnitudes son ejemplos de relaciones especiales que en matemática se las denomina funciones.

En este apunte repasaremos algunos conceptos relacionados con funciones, que ya has

estudiado en la escuela secundaria.

2. Definiciones básicas

2.1. Nociones fundamentales relacionadas con el concepto de función: variabilidad, dependencia, correspondencia

Antes de introducirnos en el concepto de función3, analizaremos tres conceptos: variabilidad,

dependencia y correspondencia.

a. Variabilidad

Comencemos con la noción de variable o variabilidad, repasando la diferencia entre una magnitud constante y una magnitud variable. Generalmente, las magnitudes se denominan con letras

4 y

esas letras representan valores numéricos. Cuando una magnitud es constante, la letra que la identifica representa a un valor fijo; mientras que si la magnitud es variable, la letra utilizada puede tomar diferentes valores. Ilustremos esto mediante los siguientes ejemplos:

Situación 1: se tiene la expresión “2 · x = 10”, donde “x” representa la altura de un

rectángulo cuya base mide 2 m y cuya área mide 10 m2.

2 Magnitud física: propiedad a la que se le puede asignar un valor como resultado de una medición.

3 Hanfling (2000)

4 Usualmente trabajamos con “x” e “y”, aunque podríamos utilizar cualquier otra letra.



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Situación 2: se tiene la expresión “y · x = 10”, donde “x” representa la altura de un rectángulo cuya base mide “y” m y cuya área mide 10 m

2.

Ambas situaciones parecen a priori similares, aunque en realidad son muy diferentes entre sí. En la Situación 1 “x” no tiene otra opción más que tomar el valor 5, pero: ¿cuánto vale “x” en la Situación 2? En este caso, tanto “x” como “y” pueden tomar cualquier valor positivo, siempre que las mismas cumplan que su producto sea igual a 10. Decimos, entonces, que “x” es una magnitud variable o, directamente, que es una variable (también lo es “y”).

b. Dependencia

Otro aspecto que nos interesa remarcar de la segunda situación, es la dependencia que existe entre ambas variables, ya que una vez que le damos un valor a una de ellas, el valor que puede tomar la otra variable está restringido por la condición “y · x = 10”.

Supongamos que “x” vale 2,5. Entonces, “y” no puede tomar cualquier valor positivo que se nos ocurra, sino que debe ser igual a 4. Así, a medida que vayamos dando distintos valores a “x”, podremos obtener los distintos valores de “y”. Cuando una de las variables cambia, también lo hace la otra

5.

Si bien ambas letras son variables, en este último párrafo hemos dado a “x” un valor arbitrario mientras que el valor de “y” queda sujeto a ese valor que elegimos para “x”, por lo que hay una diferencia entre estos dos tipos de variables. En este caso, en el que “x” varía “libremente” (aunque, recordemos, no puede tomar valores negativos ni nulos), llamamos variable independiente a “x” y, por lo tanto, llamamos a “y” variable dependiente.

c. Correspondencia

Decimos también que para cualquier6 valor de “x” que elijamos, siempre podremos encontrar el

valor de “y” que le corresponde y que, además, en el caso de la Situación 27 ese valor de “y” es

único.

2.2. Una definición inicial de función

En definitiva, en nuestra segunda situación se cumple que:

La variable independiente “x” y la variable dependiente “y” están relacionadas de manera tal que a cada valor de “x” le corresponde un único valor de “y”.

Podemos aceptar este enunciado como una definición inicial de función.

Sin embargo, destaquemos que aún debemos mencionar algunas otras cuestiones, de las que hasta aquí no hemos hablado. De a poco iremos completando la definición, pero analicemos antes otro ejemplo sencillo.

5 Por ejemplo: si “x” vale 0,5 entonces “y” vale 20

si “x” vale 0,8 entonces “y” vale 12,5 si “x” vale 1 entonces “y” vale 10 si “x” vale 4 entonces “y” vale 2,5 si “x” vale 5 entonces “y” vale 2, etc., etc., etc., de modo que su producto sea siempre 10.

6 En Matemática, cuando decimos “cualquiera” o “cada”, estamos diciendo “todo”. Es decir, “para cualquier valor de

x” significa “para todo valor de x”. 7 Y para todas las funciones en general, como veremos más adelante.



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Tomemos el primer ejemplo de la Introducción, en pág. 1: “el panadero nos cobra según lo que pesa la cantidad de pan que vamos a llevar”. Analicemos si es una función, cuáles son las variables, cuál es la relación de dependencia que las une, etc. Es decir, intentemos modelizar la situación.

Comenzando por las magnitudes variables que intervienen podemos mencionar, por un lado, al peso de la cantidad de pan que se compra y, por otro lado, al dinero a abonar por la compra. Elijamos las unidades de medida, por ejemplo, midamos lo que pesa el pan en kilogramos (kg) y el dinero en pesos ($).

Estarás de acuerdo en que el “dinero a abonar” depende del “peso del pan”, por lo que llamaremos:

x = peso de la cantidad de pan que se compra (variable independiente)

y = dinero a abonar por la compra (variable dependiente) Decimos que estamos ante la presencia de una función porque a cada valor de “x”, le corresponde un y sólo un valor de “y”.

Por ejemplo:

si 1kg. de pan cuesta $ 3, entonces:

1 kg. de pan $ 3

2,5 kg. de pan $ 7,5

4 kg. de pan $ 12

Esta información puede mostrarse en una tabla como la de al lado, en la que hemos agregado nuevos valores.

“x” Peso del pan

(kg)

“y” Dinero a abonar

($)

0,5 1,50

1.0 3,00

1,5 4,50

2,0 6,00

2,5 7,50

3,0 9,00

Como podrás observar, si la balanza arroja un número entero, o bien, un múltiplo de 0,5, el cálculo mental que debiéramos realizar para saber cuánto abonar es muy sencillo. Sin embargo, este cálculo resulta más complejo cuando tenemos una balanza más sensible que permite registrar pesos más exactos. Por ejemplo, ¿cuánto deberíamos pagar si la balanza mide una cantidad de pan igual a 3,26 kg?

Si bien en muchas situaciones cotidianas estamos acostumbrados a aproximar valores, como el peso del pan o el monto a abonar por determinada compra, por ejemplo, en algunas ocasiones es necesario encontrar el valor exacto y es aquí donde se hace necesario modelizar la situación.

Para nuestro ejemplo la tarea es sencilla, ya que sólo debemos expresar la fórmula o relación que nos permita resolver el cálculo –ya realizado mentalmente para completar la tabla- de lo que debemos pagar, cualquiera sea la cantidad de decimales que muestre la balanza en cuestión. Tenemos, entonces, la siguiente relación entre las variables:

y = 3 x

Volviendo a la pregunta, cuando “x” vale 3,26 entonces “y” debe valer:

y = 3 * 3,26

y = 9,78

Es decir, por 3,26 kg. de pan deben pagarse $ 9,78, valor que en realidad redondearíamos a $ 9,80.



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Una cuestión importante que debe tenerse en cuenta, es la de analizar cuáles son los valores que pueden tomar las variables. En este caso, no tiene sentido pensar en cantidades negativas de pan ni de dinero, por lo que “x” e “y” solamente podrán tomar valores positivos, o nulos.

Hasta aquí hemos analizado las variables intervinientes, los valores que las mismas pueden tomar y la relación que existe entre ellas, pero aún no le hemos asignado un nombre a nuestra función. En vías de formalizar la expresión anterior, llamaremos “f” a la función; indicaremos con y = f(x) el hecho de que para esa función “x” es la variable independiente e “y” la dependiente, en otros términos, f(x) representa el valor de “y” para cada valor de “x”.

Entonces, ahora podemos reescribir la relación que existe entre “x” e “y” como sigue8:

f (x) = 3 x

2.3. Dominio e imagen de una función

Dominio: al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente “x”, se lo denomina dominio de la función.

En nuestro ejemplo, el dominio de f está compuesto por todos los valores reales positivos, incluyendo al valor 0. En lenguaje matemático, esto se anota

9:

Dom f = x R / x 0 ó Dom f = R0 +

Para determinar el dominio de una función, debe tenerse en cuenta la fórmula de la función y también, en caso de que la función sea el modelo de una situación real concreta –como en nuestro ejemplo-, debe tenerse en cuenta el contexto del problema a resolver.

Imagen: al conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente “y” –es decir, f (x)- se lo denomina imagen de la función.

En el caso del ejemplo que venimos trabajando, la imagen de f es el conjunto formado por los reales positivos, incluyendo al valor 0, y se escribe:

Im f = y R / y 0 ó Im f =

Grafiquemos la situación para poder visualizar la función f y los conjuntos numéricos del dominio y la imagen.

8 Esta expresión es equivalente a la que hemos expresado antes como y = 3 x, dado que, los valores que toma la

función f son, en realidad, los valores que toma la variable dependiente “y” (es decir, y = f (x)). 9 Ambas expresiones son equivalentes. La primera de ellas se lee: “el dominio de f es el conjunto formado por

todos los números reales x, tales que x es mayor o igual que cero”; mientras que la segunda de ellas es una

manera resumida de escribir lo mismo. Con respecto a esta última expresión, diremos que el subíndice cero indica que el número 0 está incluido, junto con los reales positivos, en el conjunto en cuestión. Cuando se indica sólo R

+,

sin subíndice, significa que se consideran los números reales positivos no nulos.



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Gráfico 1

Se muestra la gráfica de la función f (x) = 3 x, habiendo ubicando los valores de la variable independiente sobre el eje horizontal y los valores de la variable dependiente sobre el eje vertical.

Se han destacado aquellos puntos que están incluidos en la tabla de valores antes presentada.

Gráfico 2

Se muestra, además de la gráfica de f, el dominio (línea gruesa llena) y la imagen de la función (línea gruesa punteada).

Puede observarse que, ni los valores negativos de “x” ni los de “y”, están incluidos en dichos conjuntos numéricos.

2.4. Definición formal de función

Finalmente, presentamos una definición de función más formal que la comentada anteriormente:

Una función f es una relación de dependencia entre el conjunto Dom f y el conjunto Im f

10, que cumple con las siguiente condición: a cada elemento del

Dom f le corresponde un único elemento de la Im f.

Una manera formal de expresar a la función es la siguiente:

f : Dom f Im f , tal que f (x) = y

Para nuestro ejemplo:

f : R0 +

→ R0 +

; siendo f (x) = 3x Y se lee: “f es la función cuyo dominio es el conjunto de los números reales mayores o iguales que cero y cuya imagen son los números reales mayores o iguales que cero, que tiene la forma:f (x) = 3x”.

10

En algunas definiciones de función, aparece el conjunto codominio (Codom f) en lugar del conjunto imagen. Para

los alcances de este curso, no es necesario trabajar con el codominio ni mencionar la diferencia entre ellos.



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Así como es necesario conocer Dominio e Imagen de una función, muchas veces es preciso conocer el valor de su o sus raíces. En forma sencilla: Raíz o raíces de una función: es el o los valores de la variable independiente (x) para los cuales la variable dependiente (y) se anula. Así por ejemplo si f (x1) = 0, entonces x1 es una raíz. En términos generales: para hallar las raíces de una función cualquiera, debemos buscar los valores que toma “x” cuando “y” vale 0. Es decir, debemos plantear f (x) = 0.

Para la función de nuestro ejemplo, f (x) = 3x, la raíz es x= 0 porque para ese valor de x es f(x) = 0. En efecto f(0) = 3 *0 → f(0) = 0.

3. Función lineal Recordemos algunas cuestiones básicas referidas a las funciones lineales.

Una función lineal es toda aquélla que puede expresarse como:

f (x) = a.x + b

donde a y b números reales, con a 0

Este modo de expresarla se llama: forma explícita de la función lineal. Es un polinomio de grado 1.

El coeficiente “a” es la pendiente de la recta y tiene que ver con su inclinación, mientras que el coeficiente “b” es la ordenada al origen (esto es, el valor donde la gráfica de la función corta al eje “y”, y se calcula: b = f (0)).

La gráfica de una función lineal es una recta:

Gráfico 3 Gráfico 4

La pendiente de una recta puede calcularse como: a = tg(), siendo el ángulo que forma la recta con el eje “x”.

Observá que en el Gráfico 3 se tiene que a > 0 pues el ángulo toma valores mayores que 0º y

menores que 90º, y en el Gráfico 4 se tiene que a < 0 pues toma valores mayores que 90º y menores que 180º.

Como ejemplo de función lineal, podemos retomar la función que hemos obtenido anteriormente para calcular lo que hay que pagar según la cantidad de pan que se compra: f (x) = 3 x.

Observen que: su pendiente vale 3 y su ordenada al origen es 0. En el gráfico 1 se pueden observar estos detalles.

Dominio e imagen de una función lineal:

Dominio: es el conjunto de todos los números reales.

Imagen: también es el conjunto de todos los números reales.



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Esto se escribe formalmente:

f: R R ; f (x) = ax + b (a 0)

Para terminar, resolvamos el siguiente ejercicio.

Ejemplo: dada la función 3x2

1f(x) , indicá el valor de la pendiente, graficá la recta y determiná

su raíz.

De la ecuación, pueden obtenerse: la pendiente de la recta: m = 1/2, y la ordenada al origen: b = -3.

Para graficar una recta, sólo se necesitan dos puntos de la misma. Ya se tiene el punto (0;-3) y para obtener otro punto, sólo debemos dar a “x” un valor cualquiera y calcular el valor correspondiente de “y”.

Si se toma por ejemplo x = 2, al evaluar en la función se obtiene:

x = 2 3.22

1f(2) 31f(2) 2f(2)

Es decir, el punto (2;-2) es un punto de la recta.

El Gráfico 5 muestra los dos puntos mencionados y el Gráfico 6 muestra la recta 32

1 xxf )( ,

que pasa por esos puntos.


En el último gráfico puede observarse que la recta corta al eje “x” en x = 6, por lo que la raíz vale 6, pero veamos cómo se calcula este valor a partir de la ecuación de la función.

Para hallar la raíz de una función cualquiera, debemos buscar el valor que toma “x” cuando “y” vale 0. Es decir, debemos plantear f (x) = 0.

En nuestro ejemplo obtenemos, entonces: f (x) = 0 32

10 x x

2

13 x6

4. Función cuadrática También esta es una función ya estudiada en la Escuela, por lo que haremos un breve repaso de la misma.



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4.1. Forma polinómica y gráfica de la función

La forma polinómica de la función cuadrática es la de un polinomio de grado 2, es decir:

f (x) = a x 2 + b x + c dónde a, b y c son números reales, debiendo ser a 0

Denominamos “a” al coeficiente del término cuadrático considerado coeficiente principal, “b” al coeficiente del término lineal y “c” al término independiente, cuyo valor es la ordenada al origen ya que f (0)= 0.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

El gráfico muestra una parábola tomada como ejemplo, en la que se destacan:

- el vértice V( ; )

- las raíces x1 y x2

- la ordenada al origen c

- el eje de simetría, que es la recta vertical que pasa por el vértice y que

tiene ecuación x =

Gráfico 7 Observación:

Para graficar una función cuadrática dada, es necesario obtener estos elementos a partir de su ecuación: Para ello es conveniente tener en cuenta qué incidencia tienen sobre la gráfica el valor de sus coeficientes a, b y c.

Análisis de a (coeficiente del término cuadrático)

Veamos que ocurre con su signo y su módulo:

Signo de a

a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba

Observación: = f() es, en este caso, el valor mínimo que toma la función

a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo

Observación: = f() es, en este caso, el valor máximo que toma la función

Módulo de a

Analicemos cómo cambia la gráfica de la función cuadrática cuando se modifica el valor del coeficiente a. Para esto, tomemos tres parábolas como ejemplo y comparémoslas:



FAU-UNLP 10

P1: f (x) = x

2 a = 1

P2: f (x) = 3x 2 a > 1

P3: 2

4

1x)x(f a < 1

Gráfico 8

Para poder compararlas, se ha calculado el valor de cada función para x = 1:

P1: f (1) = 12 = 1 la parábola pasa por el punto (1;1)

P2: f (1) = 3.12 = 3 la parábola pasa por el punto (1;3)

P3: 4

11

4

11 2 .)(f la parábola pasa por el punto (1;1/4)

Así, puede verse que cuanto más grande es el valor de a, en valor absoluto, más “se cierra” la parábola hacia el eje y. Y a la inversa. Conclusiones: - El módulo de a determina la forma de la gráfica de la función. - El signo de a define el tipo de concavidad.

Análisis de b

El valor de b no permite dar una conclusión con respecto a la disposición de la gráfica. Sí podemos comentar que produce desplazamientos horizontales y verticales de la gráfica.

Análisis de c

Como c es el término independiente, su valor nos indica en qué valor de y, la gráfica corta a dicho eje. Al igual que en la función lineal, se calcula como: c = f(0) y se denomina ordenada al origen.

Dominio e imagen

El dominio (Dom f) de una función cuadrática es el conjunto de todos los números reales.

Su imagen (Im f) es un subconjunto de los números reales. Se presentan dos casos:

En la figura adjunta se graficaron: e: y = 0,5 x

2 (c = 0)

f:

y = 0,5 x

2 + 4 (c = 4)

d: y = 0,5 x

2 - 3 (c = - 3)

Obsérvese que el único efecto sobre la gráfica de la función e, es el desplazamiento vertical debido al cambio del valor del coeficiente c



FAU-UNLP 11

- Cuando a > 0 (ramas hacia arriba), todos los valores de “y” mayores o iguales que , ya que =

f() es, en este caso, el valor mínimo que toma la función:

f: R [;+) ; f (x) = ax 2 + bx + c (a > 0)

- Cuando a < 0 (ramas hacia abajo), todos los valores de “y” son menores o iguales que :

f: R (-;] ; f (x) = ax 2 + bx + c (a < 0)

4.2. Forma factorizada y forma canónica.

Hasta aquí, hemos introducido sólo la forma polinómica de la función cuadrática, aunque la misma puede escribirse también de otras maneras, que mencionamos a continuación:

Forma factorizada: surge de factorizar la forma polinómica de la función, encontrando sus raíces.

Dada la forma polinómica f (x) = ax 2

+ bx + c, las raíces pueden calcularse mediante la fórmula resolvente:

a

acbbx

2

42

21

,

Y la función puede expresarse como:

f (x) = a (x – x1) (x – x2)

(a, x1 y x2 son números reales; a 0)

Siendo a el coeficiente principal, x1 y x2 las raíces halladas.

Forma canónica: toda función cuadrática puede expresarse por medio del cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

f (x) = a (x – ) 2 +

(a, y son números reales a 0)

Siendo a el coeficiente principal, y y las coordenadas del vértice de la parábola.

Mecanismo para hallar el vértice V(;)

1) Para hallar - Si la función cuadrática está expresada en forma polinómica f (x) = ax

2 + bx + c, se puede

hallar completando cuadrados. Así, se llega a la siguiente expresión para :

a

b

2

(El procedimiento de completar cuadrados, se muestra en el anexo al final del apunte).

Ej.1 Si f (x) = 2 x 2 – 4 x – 6 entonces, como a = 2 y b = - 4 es : 1

22

4

*

)(

- Si la función cuadrática está dada en forma factorizada f (x) = a (x – x1) (x – x2), es por

simetría. Recordá que es el punto medio entre las raíces de la parábola, ya que el vértice

se ubica a la misma distancia de x1 que de x2. Por lo tanto:



FAU-UNLP 12

2

21 xx

Ej.2 Si f (x) = 2 (x +1) (x -3), entonces x1 = -1 y x2 = 3. O sea: 12

31

2) Para hallar

Como V(;) es un punto de la parábola es uno de los valores de x y es el valor de “y” que

corresponde al valor x = Por lo tanto, por evaluación de la función, es:

= f ()

Para Ej 1. es = f(1) = 2 – 4 – 6 = - 8 es decir el V(1; -8)

Para Ej.2 es: = f(1) = 2 ( 1+1) .( 1 – 3) = - 8 es decir el V(1; -8)

Resolución de un ejercicio, a modo de ejemplo:

Dada la función f (x) = - 2x 2 + 2x + 1.

a) Graficala. (Ayuda: analizá el signo del coeficiente principal y hallá los elementos de la misma: vértice, raíces, ordenada al origen, eje de simetría.)

b) Expresá la función en forma canónica y en forma factorizada c) Indicá el dominio y la imagen de la función.

a) Los coeficientes de nuestra función son: a = -2; b = 2; c = 1. Dado que a < 0, las ramas de la parábola se abren hacia abajo. Además, c = f (0) = 1 es la ordenada al origen.

Por otro lado, hemos visto que es posible calcular el vértice de la curva calculando primero el valor

de y luego el valor de :

a

b

2

)( 22

2

4

2

2

1

= f ()

2

1f 1

2

12

2

12

2

. 11

4

12 .

112

1

2

3

El vértice se encuentra, entonces, en el punto

2

3

2

1;V .

La ecuación del eje de simetría de una parábola es, como dijimos, x = . Para nuestra parábola se tiene, entonces: x = 1/2.

Con respecto a las raíces de la parábola, vimos que las mismas pueden calcularse mediante la fórmula resolvente:

a

acbbx

2

42

21

,

).(

)..(,

22

12422 2

21

x

4

84221

,x

4

12

2

121 ,x



FAU-UNLP 13

Entonces:

4

12

2

1

4

12

2

121 xx ;

En el Gráfico 9 se han graficado estos puntos notables de la parábola. Para esto, se ha

aproximado el valor de las raíces: x1 - 0,37 ; x2 1,37.


En el Gráfico 10 se muestra la parábola f (x) = - 2x 2 + 2x + 1, y su eje de simetría.

b) La forma canónica de la función es:

2

xaxf )( 2

3

2

12

2

xxf )(

Y su forma factorizada es:

))(()( 21 xxxxaxf

4

12

2

1

4

12

2

12 xxxf .)(

c) Dom f = R ; Im f = (-;3/2]

Bibliografía:

Guzmán, M. y Colera, J. (1990) Matemáticas I y II. Grupo Anaya. España.

Ruíz, A. y Álvarez, F. (1999) Límites 2. Ediciones Vicens Vives. España.

Stewart, J. (2006) Cálculo. Conceptos y contextos. 3ª ed. Edit. Thomson Learning. México.

Swokowski, E. y Cole, J. (2006) Algebra y trigonometría con geometría analítica. 11ª ed. Edit. Thomson Learning. México. Página web: http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_03500.html

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