UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

DIDÁCTICA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA I

TUTORIA N° 7

TUTOR: JUAN ALBERTO CASTILLO BARAJAS

NOMBRE DEL ESTUDIANTES: MIGUEL ANGEL VELA SUAREZ, FLOR DEISSY GUTIERREZ PÉREZ, MÓNICA LORENA COY.

FECHA: 18 de septiembre de 2015 HORA: 4-6 PM

TEMA: GEOMETRIA TRIDIMENSIONAL: PUNTO EN EL ESPACIO

OBJETIVO: El estudiante después de la tutoría estará en la capacidad de:

Desarrollar ejercicios utilizando la distancia entre dos puntos dados en el espacio.

Encontrar la división de un segmento en el espacio en una razón dada a partir de ejercicios propuestos.

Utilizar los teoremas dados en el libro de GEOMETRÍA ANALÍTICA DE LEHMANN para resolver ejercicios de este tema.

METODOLOGIA:

1. Se saludará a los estudiantes que solicitaron la tutoría.2. Se empezara a desarrollar varios ejemplos a partir de los subtemas

correspondientes al tema principal, tomando teoremas de estos.

Distancia entre dos puntos dados en el espacio.

teorema: la distancia d entre los dos puntos P1 (X1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) es:

d2=√( x2−x1 )2+( y2− y1)

2+( z2−z1)2

Ejemplo: Demostrar que el punto P1(2, 2, 3) equidista de los puntos P2(1, 4, - 2) y P3(3, 7, 5).

Solución. Según el teorema 1 anterior, tenemos

P1P2=√(1−2 )2+(4−2)2+(−2−3 )2=√30 Y

d2=√(3−1)2+(7−2 )2+(5−3 )2=√30

Po r tanto, (P1P2) = (P1P3). E l estudiante debe trazar la figura correspondiente al ejemplo.

DIVISIÓN DEL SEGMENTO EN EL ESPACIO EN UNA RAZÓN DADA:

Teorema: si P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) son los extremos de un segmento dirigido P1P2, las coordenadas (x, y, z) de un punto P que divide a este

segmento en la razón r=P1P :PP2 son:

x=x1+rx 21+r ,

y=y1+ry21+r ,

z=z1+rz21+r , (r≠1)

corolario: las coordenadas del punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) son

x=x1+rx 22 ,

y=y1+ry22 ,

z=z1+rz22

Ejemplo: Hallar las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del segmento P1 (1, -3, 5) y P2 (-3, 3, -4).

Solución: sean A1 y A2 los puntos de trisección y M el punto medio de P1P2

para A1 tenemos r=P1 A1A1P2

=12 y para A2 tenemos

r=P1 A2A 2 P2

=2. Y por tanto

para A1 por el teorema anterior,

x=x1+rx 21+r

=1+( 1

2)(−3 )

1+12

=−13

y=y1+ry21+r

=−3+( 12 )(−3 )

1+ 12

=−1

y

z=z1+rz21+r

=5+( 12 ) (−4 )

1+ 12

=2

Análogamente para el punto A2 tenemos

x=x1+rx 21+r

=1+2(−3)1+2

=−53

x=x1+rx 21+r

=−3+(2 )(3)

1+2=1

y

x=x1+rx 21+r

=5+(2 )(−4 )1+2

=1

Las coordenadas del punto medio M, son

x=1−32

=−1, y=−3+3

2=0

, z=5−4

2=12

COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO: Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias. Tales rectas pueden cortarse o no; si no se cortan se dice que so paralelas. Por tanto, para que dos rectas cualesquiera en el espacio se corten o sean paralelas, es necesario que sean coplanarias. Consecuentemente, dos rectas cualesquiera en el espacio que no sean coplanarias.

TEOREMA. LOS cosenos directores de la recta determinada por los dos puntos P1 (x1 , y1 , z1) y P2(x2, y2, z2) y dirigida en el sentido de P1 a P2 , son

cos α=x 2−x1d

cos β=y 2− y1d

cos ϕ=z 2−z1d siendo d la distancia entre P1 y

P2.

Del teorema anterior se deduce el siguiente: la suma de los cuadrados de los cosenos directores en igual a la unidad.

Corolario: de los cosenos directores de una recta uno, cuando menos, es diferente de cero.

Ejemplo: Hallar los cosenos directores de la recta I que pasa por los puntos P1(2, 1, -2) y P2(-2, 3, 3) y está dirigida de P2 a P1 .

Solución: L a distancia entre P1 Y P2 es

d2=√(2+2 )2+(1−3)2+(−2−3 )2=3 √5 , entonces, como l está dirigida de P2

P1, tenemos cos α=

2−(−2)d

= 43√5

= 415

√5,

cos β=1−3d

= −23√5

=−215

√5 y cos ϕ=−2−3

d= −53√5

=−13

√5

NUMEROS DIRECTORES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO.

TEOREMA: si [a, b, c] son los números directores de una recta, sus cosenos

directores son cos α=± a

√a2+b2+c2 ,

cos β=± b

√a2+b2+c2 y

cos ϕ=± c

√a2+b2+c2 en donde se escoge el signo superior o inferior según que la recta esté dirigida en un sentido o en el sentido opuesto.

Corolario1: de los números directores de un recta uno, cuando menos, es diferente de cero.

Corolario2: Un sistema de números directores para la recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 , z1) y P2(x2, y2, z2) está dado por [ x2- x1, y2- y1, z2- z1 ]

Ejemplo: Los números directores de una recta l son [2, - 2, - 1]. Hallar los cosenos directores de l si la recta está dirigida de tal manera que el ángulo β es agudo.

Solución. Por el teorema anterior, los cosenos directores de I, cuando la recta no está dirigida, son

cos α=± 2

√22+(−2)2+(−1 )2=±2

3

cos β=± −2

√22+(−2)2+(−1 )2=∓2

3

cos β=± −1

√22+(−2)2+(−1 )2=∓1

3

Como l está dirigida de tal manera que β es agudo, cos β es positivo. Por tanto, tomando los signos inferiores para los cosenos directores tenemos

cos α=−23 , cos β=2

3 , cos ϕ=1

3

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS DIRIGIDAS EN EL ESPACIO

TEOREMA: el ángulo θ formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en el

espacio, cuyos ángulos directores son α 1,β 1, ϕ 1 y α 2,β 2, ϕ 2, respectivamente se denomina por la relación

Cos θ = cos α 1 cos α 2 + cos β1 cos β2 + cos φ1 cosφ2

Corolario1: para que dos rectas sean paralelas y del mismo sentido es condición necesaria y suficiente que sus ángulos directores correspondientes sean iguales; para que sean paralelas y de sentidos opuestos es necesario y suficiente que sus ángulos directores correspondientes sean suplementarios.

Corolario2: para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares es necesario y suficiente que la suma de los productos de sus cosenos directores correspondientes sea igual a cero.

Teorema2: el ángulo θ formado por dos rectas dirigidas cualesquiera, en el espacio, cuyos números directores son [a1, b1, c1] y [a2, b2, c2], respectivamente está dada por la relación

cosθ=±a1a2+b1b2+c1c2

√a12+b12+c12 √a22+b22+c22

Ejercicios