TRIGONOMETRIA_RESUMEN TEORICO 1 (POR LA EDITORIAL RUBIÑOS)

7/30/2019 TRIGONOMETRIA_RESUMEN TEORICO 1 (POR LA EDITORIAL RUBIOS)

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Se deduce:

1. EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL:

2. EN EL SISTEMA CENTESIMAL:

RELACIN ENTRE SISTEMAS CONOCIDOS

(Base de comparacin es la

medida del ngulo de una vuelta)

S = 9K C = 10K

Donde:K: Constante de proporcionalidadS: Nmero de grados sexagesimalesC: Nmero de grados centesimalesR: Nmero de radianes

Tambin es importante:

m: Nmero de minutos sexagesimalesn : Nmero de minutos centesimales

p : Nmero de segundos sexagesimalesq : Nmero de segundos centesimales

CAPACIDADES:1. Define correctamente el ngulo trigonomtrico.2. Aplica la conversin entre sistemas de medicin

angular.3. Utiliza los conceptos fundamentales en la resolucin

de problemas especficos.

A todo ngulo trigonomtrico le corresponde unamedida la cual puede expresarse por cualquier nmeroREAL ( ).

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOSNGULOS TRIGONOMTRICOS

Dos o ms ngulos trigonomtricos sern COTERMI-NALES si:

* Tienen el mismo lado inicial.* Tienen el mismo lado final.* Tienen el mismo origen.Sin tener en cuenta su SENTIDO ni su MEDIDA

CAPTULO11NGULO TRIGONOMTR

SISTEMAS DE MEDICIN A

ngulo Trigonomtrico Sistemas de Medicin Angular 1

Se determina por la rotacin de un rayo OA que gira alrededor de su origen O hasta la posicin final OB en un mismo plano.

NGULO TRIGONOMTRICO

Posicin inicial

P o s i c i n f i n a l

A

B

O

a

+

Sentido antihorario Sentido horario

Sentido de rotacin del rayo (Convencin)

- < medida del ngulo trigonomtrico < +

SISTEMAS DE MEDICIN CONOCIDOS

q a

qNmeroentero

de vueltas+ a

q-a = Nmero entero de vueltas

1

4

1

4

SISTEMASEXAGESIMAL

(Ingls)

SISTEMACENTESIMAL

(francs)

SISTEMARADIAL

(internacional)

UNIDAD O1 1 radg1

DEFINICIN

EQUIVA-LENCIAS

O1 mS 1 vuelta

3601 rad = AOBmS

om S 1 vuelta=360, ,,o1 60 3600

, ,,1 60

q

A

B

r

r o

gm S 1 vuelta=m1 100 10000

m s1 100

400g s

Si: AB = OA = r q = 1 radmS 1 vuelta = 2prad

400g1

m S 1 vuelta

VALORESDE p

Grados SegundosMinutos60 60

60 603600

x 3600

Grados SegundosMinutos100 100

100 10010000

x 10000

Recuerdasiempre:

o g360 400 2p rado g180 200 p rad

o g9 10

S C R360 400 2

==p

S C 20R K9 10

===p

KR20p=

m n27 50

=

p q81 250

=

1

3

1

3

De aqu ... !

o g , ,, sm9 < > 10 27 < >50 81 < >250

p 227

p 10

p 2

p 355113

3+

, ,,oTambin: 1 rad 57 17 45o1 rad > 1 1g>Entonces:


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RUBIOS

IV. Si:a=-780b =90ab son coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

VI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

VII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

VIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

IX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

XI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

XII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

XIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

XIV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

XV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

XVI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

Para un ngulo trigonomtrico cuyo sentido es ANTIHORARIO se cumple:

C > S > R

C: Nmero de grados centesimales (Nmero mayor)S: Nmero de grados sexagesimales (Nmerointermedio)

R: Nmero de radianes (Nmero menor)

60 S : Nmero de minuto sexagesimal3600 S : Nmero de segundo sexagesimal100 C : Nmero de minuto centesimal

10000 C : Nmero de segundo centesimal

APLICACIN

Determine el valor de verdad de los siguientesproporciones:

I. b+q-a=360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

II. x = 270 +q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

III. Si:a=1860b =60ab son coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )

2

q

a

b

x

q

5150 rad6

p

5450 rad4p

g600 3 radp

1S C 19C S

-+ =-

C S 11 5C S

+ -=-

2S 3C 1 7C S

+ +=-

g 240 rad5 1

108

p+=

aa ' 61a '

=

g mm 101pp =p

g80 72m100 54 '

s243 " 1500

CAPTULO22 RAZONES TRIGONOMTRICASDE UN NGULO AGUDO

CAPACIDADES:

1 Utiliza correctamente las razones trigonomtricas deun ngulo agudo en situaciones problemticasespecficos.

2 Calcula las razones trigonomtricas de los ngulosms conocidos sin tablas ni calculadoras.

3 Reconoce y aplica las razones trigonomtricas en laresolucin de tringulos rectngulos.

seno cosenotangente cotangentesecante cosecante

RT CO - RTseno cosecante

coseno secantetangente cotangente

RT RT RECPROCAS

senacsca = 1cosaseca = 1tanacota = 1* sen10csc10=1 * cos5x sec50 = 1

Como los catetossiempre sonmenores quela hipotenusa.

Se cumple:0 < sena < 10 < cosa < 1

tana > 0cota > 0sec a > 1csca > 1

Recuerdasiempre

lostringulos

rectngulosms

utilizados

Son las seis fracciones que se forman con los lados de un tringulo rectngulo

PROPIEDADES

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO

a

A C

B

c

ba

sen = aca ; csc =c

aa

cos = bca ; sec =c

ba

tan = a ba ; cot =baa

Si: a y b son ngulos complementariosse cumple: RT(a ) = CO - RT (b) a + b = 90* sen10 = cos80 * sec5x = csc4x

x=10 x=10* RT :Razn

Trigonomtrica* CO-RT :Co Razn

Trigonomtrica

FORMULARIO DE TRIGONOMETRIA

WWW.EDICIONESRUBINOS.COM


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RUBIOS

CAPTULO33 RESOLUCIN DETRINGULOS RECTNGULOS

RT(a ) Lado desconocidoLado conocido

3

45

k2

k

k

45o

8

5 k2

k

7k

82

37 /2

k1 0

k

3k53 /2

k5

k

2k

60k

30k 3

2k

53

4k

3k

375k

74

24k

7k

1625k

15

754

6 2+

6 2-

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o o o

APLICACIN

1. En un tringulo rectngulo ABC, recto en C, se cumple:Determine:

Respuesta:

2. Si:

Determine:

Respuesta:

7tanA3

=

W a b=+

W 7 tanB 6 sec A= +

5sec 02 2

pq=


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RUBIOS

4

CAPTULO44 INTRODUCCIN A LAGEOMETRA ANALTICA

CAPACIDADES:

1. Define conceptos sobre plano cartesiano y par ordenado.

2. Determina puntos en un sistema bidimensional decoordenados que correspondan a pares ordenadas denmeros reales: Clculos.

3. Reconoce y aplicar las frmulas bsicas de Puntos.4. Estudia y aplicar a situaciones problemticas

especficas las frmulas de la Recta y Circunferencia.

PLANO CARTESIANO

IC

IVC

.P(2;-5)

IIIC

.P3 (-3;-4)

IIC.P2 (-4;3) .P(x; y)

5

1ra componente(abscisa)

2da componente(ordenada)r

x =x + r x1 2

1 + r y =

y + r y1 21 + r

coordenadas del punto medioM(x; y)(r = 1 y m = n)

x =x + x1 2

2y =

y + y1 2

2

Coordenadas del punto P(x; y)que divide al segmento P1P2en una razn. (r = m )n

C(x ;x )3 3

A(x ;y )1 1 B(x ;y )2 2

G(x;y)

x =x1 + x2 + x3

3

y =y1 + y2+ y3

3

COORDENADAS DEL BARICENTROG(x;y) DE UN TRINGULO

DISTANCIA(d) ENTRE DOS PUNTOS PP1 2

P(x; y)

P (x1; y1)1

m

nP (x2 ; y2)2

2 2(y -y ) +(x -x )2 1 2 1P P1 2 | d |

| d | 2 2(Dx) +(Dy)

Deducir las frmulas en una hoja aparte para que no te olvides ....!

REA DE POLGONOS

x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4x5 y5

xn ynx1 y1

x1y2x2y3x3y4

xnM

x4y5

x2y1x3y2x4y3

x1ynN

x5y4

rea = 12 M - N144444444

P2 (x2 ; y2)

P3 (x3 ; y 3)

P4 (x4 ; y4)

P 5 (x5 ; y5)

P 1 (x1 ; y1 )

y1

APLICACIN

1. Determine el radio vector de los siguientes puntos:a) P(2;-3) r =b) Q(-7;3) r =c) R(-3;5) r =d) S(3;-2) r =

2. Determine la distancia entre los siguientes puntos:a) A(-2;-1) al punto B(2;3) d =b) P(3;4) al punto Q(-3;-4) d =

3. Determine el radio vector del punto medio. Delsegmento formado al unir A(-5;7) y B(1;3).Respuesta

4. Dos vrtices consecutivos de un cuadrado son A(-3;2) B(2;-10). Determine el permetro delcuadrado.

5. Si: (3;5) es el punto medio de A(-5;1) y B(a;b).Determine a-b.

Respuesta

Respuesta

ab

a

b

A

B

CD

37

q

3. Del grfico, calcule tanq

Respuesta

4.

Respuesta

Del grfico,halle ABen trminos dea, b, a y b.

5. Si ABCD es un cuadrado, halle x.

Respuesta

L A B

CD

a

x




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RUBIOS

5

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

1

3y

x

2

m1 m3 = -1.m2 m3 = -1.

2 3

m1 m2=

1 2

| d | =|Ax + By + C |1 1

A2 + B2

DISTANCIA (d) ENTREDOS RECTAS PARALELAS

ECUACIN SEGMENTARIA

DISTANCIA(d) DE UNPUNTO(P ) A UNA RECTA ( )1

P(x1; y1)

A x+ B

y+ C =

0

:d

A x+B

y+ C

= 0 1

:

A x+B

y+ C

= 0 2

:

1

2d

d =|C -C |2 1

A2 + B2

(0; b)

(a; 0)

x

y

: xayb = 1

ECUACIN INTERCEPTO CON EL EJE y

(0; b)

x

y

m = pendiente de rectab: Ordenada de intercepto

y = mx + b:

ECUACIN PUNTO (P ) Y PENDIENTE (m)1

m =y -y2 1x -x2 1

DyDx=

P(x ;y )2 2

x

y

P(x;y)

P(x ;y )1 1

:y-y = m(x-x )1 1

P(x; y)

x

y

r

o

P(x; y)

C(h; k)

x

y

circunferencia

Seccionescnicas

CIRCUNFERENCIAEs el lugar geomtrico de todos lospuntos de un plano que estn a unamisma distancia de otro punto fijo del

mismo plano denominado centro.

ECUACIN GENERAL2 2: x +y +Ax+By+C = 0

Ecuacinordinaria

con centroen: C(h; k) y

radio (r)

Ecuacincannica

con centroO(0; 0) yradio (r)

2 2 2:(x-h) +(y-k) = r 2 2 2: x +y = r

APLICACIN

1. Determine el centro y radio de cada una de lassiguientes circunferencias:

2 2a) x +y = 49

b)

2 2c) (x-y) +(y+5) = 100

2 2d) (x+5) +(y-6) =81

2 2e) x +y +4x-6y-5 = 0

Respuesta

2 2x +y = 20

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

1

LA RECTA

NGULO DE INCLINACIN (q)PENDIENTE DE RECTA (m)

2

y

x

q2 q1

m = tanq1 10 < m


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RUBIOS

CAPACIDADES:1 Utiliza las razones trigonomtricas de un ngulo de

cualquier medida a situaciones problemticasespecficas.

2 Deduce los valores reales de las razones trigo-nomtricas de los principales ngulos cuadrantales(0, 90, 180, 270 y 360)

3 Calcula las razones trigonomtricas de ngulosmayores de una vuelta con ayuda de los nguloscoterminales.

6

CAPTULO55 RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS DE CUALQUIER MEDIDA

NGULOS EN POSICIN NORMAL(CANNICO O ESTNDAR)

b

x

yy

ax q x

y

a

x

y

a , b, q y f son ngulos que no estn en posicin normal

f x

y

x

y

a

b

b x

y

x

y

qf

RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS EN POSICIN NORMAL

El signo de las R.T. deun ngulo en posicinnormal depende de laabscisa y ordenada delpunto de su posicinfinal.

NGULOS COTERMINALES

oa

b

oa

b

APLICACIN

1. Calcule:W=tanq+cotqde:

Respuesta

2. Determine el signo de la siguiente expresin:

Respuesta

3. Calcule tanq

4. Calcule:

5. Si: tanq= 0,75secq>0Calcule: W=secq+cosq

Respuesta

Respuesta

Respuesta

(-3;-4)

x

y

q

x

y

P(x; y)

a

r y

x

= Nmero entero de vueltas= 360 n; (n Z)= 360 n + b

Tambin ...!a-ba-b

a

* Tienen el mismo vrtice.* Tienen el mismo lado inicial.* Tienen el mismo lado final.

CARACTERSTICA

NGULOS QUE NO ESTN EN POSICIN NORMAL

IC IIC IIIC IVC

csc asec acot atan acos asen a

+

+

++

+

+

++++++sen =a

cos =a

tan =a

yr

xr sec =a

r x

yx cot =a

xy

csc =ar y

3 cosW ; si IICsec tan

-q= qq+q

(-3;-4)

xy

q

4 2

3 2

sen 90 cos 180 tan 360W 11sec 10 csc2

+ += pp+

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE:

seno

- 1

-1

- 1

- 11 1

11

1

1

000

00 0

0000

NDND

ND

NDND

ND

ND

ND

ND

ND

360270180900

cosecantesecantecotangentetangentecoseno

ngulo

RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS COTERMINALES

y

450o180o

-180oR

P

Q

Sa

b

r P(x; y)

y

x

RT(a ) = RT(b)ab son ngulos coterminales

No olvides que:Los puntos P, Q, R y S son denominados puntoscuadrantales, y no pertenecen a ningn cuadrante.

450, 180 y -180 son denominados nguloscuadrantales.

No olvides que:Los puntos P, Q, R y S son denominados puntoscuadrantales, y no pertenecen a ningn cuadrante.

450, 180 y -180 son denominados nguloscuadrantales.




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RUBIOS

CAPACIDAD:

- Deduce correctamente la reduccin al primer cuadrante, considerando los casos que se presentanen problemas especficos.

1er CASO: Para ngulos menores de 360

RT 180360

q RT(q)

RT 90270 q CO-RT(q)

- q se asume que es agudo- indica el signo de la reduccin y depende del ngulo

y la razn trigonomtrica a reducir.

CAPTULO66 REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

2do CASO: Para ngulos mayores de 360

3er CASO: Para ngulos negativos

RT360

2pkq RT( )qo

k Z

El nmero de vueltas se elimina

sen(-q) = - senq

cos(-q) = cosq

tan(-q) = - tanq

cot(-q) = - cotq

sec(-q) = secq

csc(-q) = - cscq

APLICACIN

1. CalculeW=sen150+sen210+sen330Respuesta

2. Calcule:W=cos120+cos240+cos300

3. Determine el valor de:

4. Realizar:

5. Simplifique

6. Determine el valor de:

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

31 101W sen cos4 4

p p= +

sen( ) cos( )2W 71tan(22 x) cot( x)2

pp+a+ +a= pp+ +

3sen( )cos( ) tan( )2 2E

tan( )

p p+a -a +a=

p+a

E tan sec( ) cos( )2

1Si : sen " " es agudo2

p=a -a p-a

a= a




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RUBIOS

si: a+b = 180(ngulos suplementarios)

sen = sena bcos = - cosa btan = - tana bcot = - cota bsec = - seca bcsc = csca b

PROPIEDADES

... No te compliques, de lo anterior, podemosgeneralizar analticamente slo en dos casos .. !

1er CASO

RT (K q) = RT(q); k Zp +- +-

2do CASO

RT [(2n+1) = CO-RT(q); n Zp q]2 +-+-

+- Indica el signo de la reduccin en ambos casos, y depende del ngulo y la razn trigonomtrica a reducir Ejemplos:

sen(5p+ ) = -sen = 3p p -3 3 2IIIC

1.-

(5: impar)

2.- tan33 = tan (8p + ) = + tan = 1p p p4 4 4IC(8: par)

3.- sen(71 - ) = - cos = - 1pp p2 3 3 2IIIC

Recuerda el procedimiento!

Se cumple:

sen = - sena bcos = cosabtan = - tana bcot = - cota bsec = secabcsc = - csca b

si: a+b = 360

y

x

(2n+1) = 4 + 1

(2n+1) = 4 - 1

K: PARK: IMPAR A

, A

B

B,

-q

-q+q

+q-q

+qIIC IC

IIIC IVC-q+q

1442443

1442443

1444244

(71: 4-1)



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