TRIGONOMETRIA Los conceptos trigonométricos en … radio r desde los 0º hasta los 180º e iba...

TRIGONOMETRIA

Los conceptos trigonométricos en las diferentes culturas.

Una breve historia impresionista de la Trigonometría: de Babilonia a la India

Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la trigonometría es: “Estudio

de las relaciones numéricas entre los elementos que forman los triángulos planos y esféricos”.

Etimológicamente, la palabra procede del griego clásico y significa medición de triángulos. La

importancia de esta rama, radica, fundamentalmente, en la medición de campos, la ubicación

de barcos en el mar o, más recientemente, posicionamiento por satélite, e, incluso, la

medición de distancias entre estrellas próximas en la astronomía.

En este artículo vamos a hacer un breve repaso histórico sobre los orígenes y usos de esta, que

se remontan a las matemáticas de la antigüedad. El calificativo de impresionista viene porque

vamos a ir viendo su evolución, en forma de pequeñas pinceladas, por los distintos pueblos y

culturas donde se ha ido desarrollando. En esta primera parte, vamos a recorrer la historia de

la medición de ángulos desde los antiguos babilonios hasta los matemáticos hindúes.

Babilonia.

Tablilla Plimpton 322

Hace la friolera de 3500 años, los babilonios ya empleaban los ángulos de un triángulo y las

razones trigonométricas en sus quehaceres (no tan) diarios.

Los babilonios utilizaban estas razones para realizar medidas en agricultura. De hecho,

podemos ver en la tablilla Plimpton 322 (cf. Ternas Pitagóricas II: Plimpton 322 del blog Ciencia

en el XXI) que ya los babilonios manejaban las ternas pitagóricas, es decir, ternas de números

que son catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. Incluso eran conscientes de las

relaciones que existían entre los lados de triángulos semejantes.

La trigonometría (o mejor dicho, los primeros retazos de la misma) también fue aplicada por

los babilonios en los primeros estudios de astronomía para el cálculo de la posición de cuerpos

celestes y la predicción de sus órbitas, en los calendarios y el cálculo del tiempo, y por

supuesto en navegación para mejorar la exactitud de la posición y de las rutas.

Egipto.

Papiro de Rhind

En fechas similares a las babilonias, y de forma más o menos independiente, los egipcios

también toman conciencia del problema de la medición de ángulos. Fueron ellos quienes

establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos, criterio que se ha

mantenido hasta nuestros días, y utilizaron la medición de triángulos en la construcción de las

pirámides. De hecho, en el Papiro de Ahmes (también conocido como Papiro de Rhind), se

puede leer el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

Si es una pirámide de 250 codos de alto y el lado de su base de 360 codos de largo, ¿cuál es su

seked (inclinación)?

Grecia antigua.

Hiparlo de Nicea

Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a la Grecia clásica, donde destacó el

matemático y astrónomo Hiparco de Nicea en el S.II a.C., siendo uno de los principales

desarrolladores de la trigonometría, no en vano se dice que es el padre de la trigonometría.

Hiparco construyó las tablas de cuerdas (cord(θ)=2sen(θ/2) con nuestro moderno lenguaje

trigonométrico) para la resolución de triángulos planos, que fueron las precursoras de las

tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. En ellas iba relacionando las medidas

angulares con las lineales. Para confeccionar dichas tablas fue recorriendo una circunferencia

de radio r desde los 0º hasta los 180º e iba apuntando en la tabla la longitud de la cuerda

delimitada por los lados del ángulo central y la circunferencia a la que corta.

No se sabe con certeza el valor que usó Hiparco para el radio r de esa circunferencia, pero sí se

conoce que 300 años más tarde el astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, ya

que los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal de los babilonios. Ptolomeo

incorporó también en su gran libro de astronomía Almagesto una tabla de cuerdas con un

error menor que 1/3.600 de unidad. Junto a ella explicaba su método para compilarla, y a lo

largo del libro daba bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos

desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.

Además de eso Ptolomeo enunció el llamado Teorema de Menelao, utilizado para resolver

triángulos esféricos, y aplicó sus teorías trigonométricas en la construcción de astrolabios y

relojes de sol. La trigonometría de Ptolomeo se empleó durante muchos siglos como

introducción básica para los astrónomos.

India.

Aryabhata

Al mismo tiempo que los griegos, los astrónomos de la India, con Aryabhata a la cabeza,

desarrollaron también un sistema trigonométrico, pero basado en la función seno en vez de en

cuerdas. Aunque, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, esta función no era una

proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de

hipotenusa dada. Además, estudiaron otras razones trigonométricas como el coseno y el

verseno (1-coseno), y tabularon estos datos en intervalos de 3,75º desde 0º hasta 90º.

Por último, otro matemático hindú, Varahamihira, gracias a los trabajos previos de Aryabhata,

comenzó a utilizar una de las fórmulas más famosas de la trigonometría moderna,

sen2(x)+cos2(x)=1.

Los Árabes.

La matemática árabe y, en particular, la trigonometría, se alimentó fundamentalmente de la

Grecia clásica por un lado y de la India por el otro. De hecho, la mayor parte de los trabajos

hindúes fueron no sólo traducidos por matemáticos árabes y persas, sino que también

extendieron muchos resultados, alejando la trigonometría de las meras aplicaciones, que era

lo que fundamentalmente se hacía hasta esos momentos. Una de sus aportaciones más

singulares fue la de tomar r=1 en la circunferencia goniométrica, a diferencia de los antiguos

griegos que usaban r=60. De hecho, algunos historiadores apuntan a que en este momento

“aparece por primera vez la trigonometría real, en el sentido que el objeto de estudio pasan a

ser los triángulos esféricos o planos y los ángulos y lados que los componen”.

A principios del siglo IX, Al-Kwarizmi construye las primeras tablas exactas del seno y el coseno

y, por primera vez, tabula los valores de la tangente. Poco después otro matemático árabe, Al-

Marwazi, produce la primera tabla de cotangentes.

Pero quizás el matemático árabe que más aportaciones ofreció a la trigonometría fue

Al-Battani, quien, además de definir las razones trigonométricas recíprocas (secante y

cosecante) y sus tablas, indagó en varias relaciones trigonométricas (ahora clásicas),

estableciendo, por ejemplo, que tan(a)=sen(a)/cos(a) o sec2(a)=1+tan2(a).

Ya en el siglo X, los matemáticos árabes y, en particular, Abu al-Wafa, ya utilizaban las 6

razones trigonométricas clásicas (que como bien cantaban Les Luthieres eran: seno, coseno,

tangente y secante y la cosecante y la cotangente). Éste matemático árabe consiguió compilar

tablas del seno de hasta 8 decimales de precisión y con intervalos de cuarto de grado.

Fórmulas de duplicación del seno o el Teorema de los Senos para trigonometría esférica,

fueron otras de las aportaciones de al-Wafa.

Y no podemos terminar el apartado sobre trigonometría árabe dejar sin hablar del matemático

andalusí, procedente de la actual Jaen, Al-Jayyani, quien con su Libro de los arcos esféricos

desconocidos, escribe el primer tratado conocido sobre trigonometría esférica.

Teorema del Coseno, tablas de las razones trigonométricas con más de 8 cifras decimales

exactas, métodos de triangulación, mediciones del tamaño de la tierra y de distancias entre

lugares… todos estos logros también fueron sucesivamente alcanzados por los matemáticos

árabes en su afán por ahondar en las entrañas de la trigonometría.

China.

En un primer momento, la trigonometría en China no pasaba de ser meros cálculos tabulados

traducidos de los matemáticos hindúes. Sin embargo, este estado embrionario de la

trigonometría china comenzó a cambiar cuando se dieron cuenta de la necesidad de

desarrollar la trigonometría esférica para un correcto manejo de los calendarios y las

posiciones astronómicas. Así, por ejemplo, el matemático chino Shen Kuo (1031-1095) utiliza

las funciones trigonométricas para resolver problemas relacionados con cuerdas y arcos y

encuentra una fórmula que permite aproximar la longitud “s” de un arco de circunferencia en

función del diámetro de la circunferencia “d”, la longitud “c” de la cuerda del arco y la sagita

“v” (distancia entre el punto medio del arco y su cuerda) s=c+2v2/d.

Esta última fórmula parece ser que fue la base sobre la que trabajó otro matemático chino

Guo Shoujing para desarrollar sus trabajos sobre trigonometría esférica, mediante los cuales

fue capaz de calcular la duración del Año Solar, con un error menor que 26 segundos. Sin

embargo, a pesar de los esfuerzos de Guo en esta materia, el interés por la misma desapareció

de China hasta que en el siglo XVI se publicaran los Elementos de Euclides.

Europa Occidental: Trigonometría clásica

La trigonometría llega a Europa a partir del siglo XII a través de la cultura árabe. Pero no es

hasta el siglo XV cuando se realizan los primeros trabajos de importancia sobre este tema.

Quizás el primer matemático europeo que se adentró en el campo de la trigonometría fue

Johann Müller, conocido como Regiomontano debido a la traducción al latín de su ciudad de

origen: Königsberg. Su obra fundamental es De Triangulis Omnimodis, en la que, con una

estructura similar a los Elementos de Euclides, trata sobre las definiciones básicas relacionadas

con la trigonometría, establece el Teorema de los Senos y otros 55 teoremas más y los aplica a

la resolución de triángulo, ofrece una fórmula para calcular el área de un triángulo en función

de 2 de sus lados y el ángulo que forman, y, finalmente, se ocupa de diversos aspectos de la

trigonometría esférica.

Quizás fue en el Opus palatinum de triangulis de Rheticus (siglo XVI), alumno de Copérnico, en

donde se definen, por primera vez, las razones trigonométricas en función de triángulos

rectángulos y no a través de circunferencias como venía siendo habitual hasta esos momentos.

Asimismo, proporcionó tablas, con una exactitud de 10 segundos, de las seis funciones

trigonométricas.

El último gran aporte a la trigonometría clásica fue la invención de los logaritmos por el

matemático escocés John Napier en 1614. Sus tablas de logaritmos facilitaron en gran medida

el arte de la computación numérica, incluyendo la compilación de tablas trigonométricas.

Europa Occidental: Trigonometría analítica

En el siglo XVII comienza a cambiar el carácter geométrico de la trigonometría, inclinándose

hacia aspectos más algebraicos y analíticos, y principalmente dos descubrimientos ayudaron

en este proceso: el álgebra simbólica, con François Viète a la cabeza; y la geometría analítica,

con Fermat y Descartes como principales paladines. De hecho, Viette comprueba que algunas

ecuaciones algebraicas pueden resolverse en términos de razones trigonométricas.

Pero la herramienta que definitivamente dotó a la trigonometría de su moderno aspecto

actual es la invención del Cálculo Infinitesimal a cargo de Newton y/o Leibniz (según quiera el

lector, claro). En particular, Newton establece el desarrollo en series de potencias del seno y

del coseno, aunque parece que parte de estos desarrollos eran ya conocidos por el

matemático hindú Madhava, y previamente, James Gregory en 1671, obtiene el desarrollo en

series de potencias de la función arco tangente, consiguiendo, de paso, una bonita relación

entre p y los número naturales:

π = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + ⋯

La aparición de los números complejos supuso en definitivo impulso a la nueva trigonometría.

En particular, Abraham de Moivre en 1722 establece la conocida fórmula

(cos(a)+i sen(a))n=cos(na)+i sen(na)

en la que algebra y geometría se dan la mano a través del binomio de Newton. Pero fue el

gran matemático Leonhard Euler quien estableciera la inseparable relación entre

trigonometría y variable compleja con su conocida fórmula eia =cos(a) + i sen(a), de la que se

puede derivar La Fórmula Preferida del Profesor o Identidad de Euler

eiπ + 1= 0

en la que se relacionan de una f

de toda la historia.

Con la introducción de la función exponencial los límites de la trigonometría son

insospechados. A partir de aquí, no se puede decir que haya habido aportaciones muy

importantes a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una herramienta analítica

más que los matemáticos y científicos de todo el mundo utilizamos para innumerables

situaciones: desde series de Fourier

La trigonometría (del griego

triángulos"), es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los

lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonomé

coseno y tangente.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto

de origen o vértice.

Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido

un plano por dos rectas que se cortan.

en la que se relacionan de una forma maravillosamente simple los 5 números más importantes



s a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una herramienta analítica


series de Fourier hasta mecánica cuántica.

TRIGONOMETRIA

(del griego <trigōno> "triángulo" + <metron> medida, "medición de


lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonomé

ANGULOS

es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto

a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido

un plano por dos rectas que se cortan.

orma maravillosamente simple los 5 números más importantes



s a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una herramienta analítica


> medida, "medición de


lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonométricas seno,

es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto

a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el

ángulo central en una circunferencia

Su símbolo es rad.

• Grado centesimal .- es el ángulo central

1/400 de la circunferencia.

• Grado sexagesimal .- es el ángulo central

1/360 de la circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un

La circunferencia goniométrica (trigonométrica o unitaria) es una herramienta muy útil a la

hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el

dibujan los ángulos de la siguiente forma:

• El vértice en el origen de coordenadas.

• Uno de sus lados en el eje de las x.

• El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a

las agujas del reloj.

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

(usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades

circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a

es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a

. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto

Circunferencia goniométrica



Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el origen de coordenadas. En ella se

dibujan los ángulos de la siguiente forma:

El vértice en el origen de coordenadas.

Uno de sus lados en el eje de las x.

El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a

Sistema Internacional de Unidades). .- representa el

y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

por un arco cuya longitud es igual a

por un arco cuya longitud es igual a

ángulo recto.



origen de coordenadas. En ella se

El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a

La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada una de ellas

cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido anti

horario: primero, segundo, tercero y cuarto:

• La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las x y el semieje positivo

de las y es el primer cuadrante.

• La parte del plano comprendida entre el smieje positivo de las y, y el semieje negativo

de las x es el segundo cuadrante

Y así sucesivamente. Tomando en cu

• Primer cuadrante: de 0 a 90º, x>0, y >0

• Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x<0, y>0

• Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x<0, y<0

• Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x>0, y<0

Una nueva unidad para medir ángulos: el r

Los costumbre de medir los ángulos en grados, proviene de los babilonios que dividieron el

ciclo anual en 360 partes, así, el arco recorrido en un día era casi un grado. Y esta forma de

medición ha perdurado hasta nuestros días.


cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido anti

horario: primero, segundo, tercero y cuarto:

omprendida entre el semieje positivo de las x y el semieje positivo

de las y es el primer cuadrante.

La parte del plano comprendida entre el smieje positivo de las y, y el semieje negativo

de las x es el segundo cuadrante

Y así sucesivamente. Tomando en cuenta los ángulos de la figura adjunta tenemos:

Primer cuadrante: de 0 a 90º, x>0, y >0

Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x<0, y>0

Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x<0, y<0

Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x>0, y<0

Una nueva unidad para medir ángulos: el radian



medición ha perdurado hasta nuestros días.

Visualización de un radian


cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido anti-

omprendida entre el semieje positivo de las x y el semieje positivo

La parte del plano comprendida entre el smieje positivo de las y, y el semieje negativo

enta los ángulos de la figura adjunta tenemos:

adian



Conversión radian

Una circunferencia tiene una longitud

caben radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:

Paso de grados a radianes:

Paso de radianes a grados:

El valor de un radian es:

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo Descripción

Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto

su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0

rad y menor de

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (

menor de 100

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a

Es equivalente a 90°

Conversión radian-grado grado-radian

longitud de y un radian mide r es decir en una circunferencia

radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:

Clasificación de ángulos


Descripción

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto

abertura es nula, o sea de 0°.


y menor de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales

menor de 100g (grados centesimales).

Un ángulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g

y un radian mide r es decir en una circunferencia

radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:


Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto


grados sexagesimales), o

rad

centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que

coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a

a rad

Mayor a 90° y menor a 180°

de 200

Ángulo llano, extendido o

colineal

El ángulo llano tiene una amplitud de

Equivalente a 180°

Ángulo oblicuo

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos

Ángulo completo

o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de

Equivalente a 360°

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan

siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor

amplitud):

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares


coincide con el vértice.

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a

rad

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales

de 200g centesimales).

El ángulo llano tiene una amplitud de rad

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales


Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales

Ángulos convexo y cóncavo



perpendiculares entre sí.


Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor

sexagesimales (o más de 100g y menos

rad

centesimales).


son ángulos oblicuos.

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad

centesimales).



Tipo Descripción

Ángulo convexo

o saliente

Es el que mide menos de

Equivale a más de 0° y menos de 180°

200g centesimales

Ángulo

cóncavo,

reflejo o

entrante

Es el que mide más de

Esto es, más de 180° y menos de 360°

de 400g centesimales

Ángulos respecto de una circunferencia

Un ángulo, respecto de una circunferencia

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es

igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos

puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno

tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi

inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Es el que mide menos de rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales

centesimales).

Es el que mide más de rad y menos de rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales

centesimales).

Ángulos respecto de una circunferencia

circunferencia, pueden ser:

, si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es

si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos


, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es

tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi


sexagesimales (o más de 0g y menos de

sexagesimales (o más de 200g y menos

, si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es

si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos


de sus lados la corta y el otro es

tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi-

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90°

*Como 60° y 30° suman 90°, se les llama ángulos

*Luego, se deduce que el complemento de 60

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180°

* Como 120° y 60° suman 180°, se les llaman

* Se deduce que el suplemento de 120°

ulos cuyas medidas suman 90°.

, se les llama ángulos complementarios.

*Luego, se deduce que el complemento de 60° es 30° (90° – 30°) y viceversa.

ángulos cuyas medidas suman 180°.

, se les llaman ángulos suplementarios.

suplemento de 120° es 60° y viceversa.

) y viceversa.

ángulos suplementarios.

Triángulos

¿Qué es un triángulo?

Es un polígono de tres lados y tres ángulos.

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es

180º

Triángulo ABC: Tiene tres lados: AB, BC, CA

Tiene tres vértices: A, B, C

Tiene tres ángulos: ∠ ABC, ∠ BCA, ∠ CAB

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 14_2005

¿Cómo se clasifican los triángulos?

Los triángulos se pueden clasificar según:

Las medidas de sus lados Las medidas de sus ángulos

Según las medidas de sus lados pueden ser, triángulo:

Equilátero Isósceles Escaleno

Triángulo equilátero: Es el que tiene sus tres lados de igual

medida y sus tres ángulos de igual medida, cada uno de los cuales

mide 60º.

Los lados a, b y c tienen igual medida.

Esto se puede escribir también de la siguiente manera:

AB = BC = CA

Los ángulos tienen igual medida, es decir:

∠ ABC = ∠ BCA = ∠ CAB = 60º

Recuerda que siempre la letra que está en el medio indica el vértice

donde se ubica el ángulo.

Triángulo isósceles: Es el que tiene dos lados de igual medida, por lo

tanto, tiene dos ángulos de igual medida.

trazo AB = trazo AC

∠ ABC = ∠ BCA

Triángulo escaleno: Es el que tiene todos sus lados de distinta

medida y, por lo tanto, sus ángulos también son de distinta

medida.

Ver: PSU: Geometría; Pregunta 01_2006

Según la medida de sus ángulos, un triángulo puede ser:

Triángulo acutángulo: Es el que tiene sus tres ángulos agudos;

es decir, sus ángulos miden más de 0º y menos de 90º.

—

—

—

AB

AC

BC

∠ ABC

∠ BCA

∠ CAB

Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto; es decir, un

ángulo mide 90º

∠ CAB = 90º

Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso; o sea,

un ángulo que mide más de 90º y menos de 180º.

∠ CAB obtuso (mayor que 90º y menor que 180º)

Teorema de Pitágoras

Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos

lados se llaman catetos.

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de

la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

AC = cateto = a

BC = cateto = b

AB = hipotenusa = c

La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2

c2 = a2 + b2

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y

sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado

construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados

construidos sobre los catetos.

El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:

Una forma muy sencilla de explicar y de visualizar el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

PRACTICA. HOJAS DE COLOR Blanca. Azul, Verde, Roja

http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/pitagoras.swf

DEMOSTRACIONES RIGUROSAS

Resolución dados dos lados cualesquiera

Cuando conocemos dos lados de un triángulo rectángulo sólo caben dos posibilidades

conceptualmente distintas:

1. Dos catetos

2. La hipotenusa y un cateto

Dados dos catetos

1. Por Pitágoras obtenemos la Hipotenusa.

2. El Coseno de un ángulo será igual al cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

3. Conocido el Coseno el ángulo queda determinado.

4. El tercer ángulo ha quedado fijado por el ángulo recto y el que acabamos de obtener.

Dada la hipotenusa y un cateto

1. Por Pitágoras obtenemos el otro cateto.

2. Ya nos encontramos en la misma situación que el caso anterior.

Resolución dados un ángulo agudo y un lado

En esta circunstancia se nos pueden presentar dos situaciones conceptualmente diferentes:

1. Un ángulo agudo y la Hipotenusa

2. Un ángulo agudo y un cateto (el adyacente o el opuesto)

Dado un ángulo agudo y la hipotenusa

1. El tercer ángulo queda definido inmediatamente.

2. Calculando el Seno del ángulo, llegamos al cateto opuesto.

3. Calculando el Coseno del ángulo llegamos al cateto adyacente.

Dado un ángulo agudo y un cateto (el adyacente o el opuesto)

1. El tercer ángulo queda definido inmediatamente.

2. Calculando la Tangente de uno cualquiera de los ángulos, obtenemos el otro cateto. (La

tangente del ángulo es igual al cociente del cateto opuesto entre el catero adyacente)

3. Por Pitágoras, obtenemos la Hipotenusa.

COMPROBACIONES

http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temam/index.html

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los

punto fijo y coplanario llamado

Existen varios puntos, rectas y segmentos

� Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

� Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

El tercer ángulo queda definido inmediatamente.

Calculando la Tangente de uno cualquiera de los ángulos, obtenemos el otro cateto. (La


Por Pitágoras, obtenemos la Hipotenusa.

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Circunferencia

curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

lugar geométrico de los puntos de un plano

centro en una cantidad constante llamada

Elementos de la circunferencia

segmentos, singulares en la circunferencia:

el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

Calculando la Tangente de uno cualquiera de los ángulos, obtenemos el otro cateto. (La


fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temam/index.html

curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

plano que equidistan de otro

en una cantidad constante llamada radio.

, singulares en la circunferencia:

el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

� Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente

pasa por el centro);

� Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud

máxima son los diámetros);

� Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

� Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

� Arco, el segmento curvilíneo de

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

� Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor

que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)

� Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son

exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)

�

, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente

, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud

, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Dos circunferencias


, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor


, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son


tengan igual o distinto radio. (Figura 2)

, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente

, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud

puntos pertenecientes a la circunferencia;


, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor


, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son


� Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la

suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias

distintas no pueden cortarse

ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

(Figura 3)

� Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de

ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual

al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio

que la otra. (Figura 4)

� Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la

distinto radio. Forman una figura conocida como

que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)

, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la


distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son

si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de

interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual


, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y

distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene

que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)

, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la


en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes

si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de

interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual


distancia entre sus centros es 0) y

o anillo. Una de ellas tiene

Un ángulo, respecto de una circunferencia,

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados

cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del

ángulo exterior que limita dicha base.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una

cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

La longitud de una circunferencia es:

donde es la longitud del

Pues (número pi

circunferencia y el

Ángulos en una circunferencia

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados


ángulo exterior que limita dicha base.

, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una

y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.


Longitud de la circunferencia

de una circunferencia es:

es la longitud del radio.

número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la

circunferencia y el diámetro:

, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos


, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una

y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.


), por definición, es el cociente entre la longitud de la

El área del círculo

Área de la circunferencia

círculo delimitado por la circunferencia es:delimitado por la circunferencia es:

TRIGONOMETRIA Los conceptos trigonométricos en … radio r desde los 0º hasta los 180º e iba...

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