Trigonomertia-2

7/21/2019 Trigonomertia-2

1/62

1U N F V C E P R E V

UNIDAD 6

Reduccin al primercuadrante

ngulo de reerenciaAl ngulo agudo formado por el lado final de un ngulo positivo en posicinnormal ! con el lado positivo o negativo del eje x se llama NGULO DE

E!EEN"#A $ se denota por !

Ejemplos

%" &'(

)*+

#,

El ngulo de referencia de )*+ es )*+ El ngulo de referencia de %&*+ es-*+

." )"( (

&**+

&*+ #, O

.%*+

,/*+

El ngulo de referencia de &**+ es &*+ El ngulo de referencia de .%*+ es

/*+

T R I G O N O M E T R A


2/62

T R I G O N O M E T R

Propiedad undamental0i ! es un ngulo positivo en posicin normal menor 1ue una vuelta $ !

su

ngulo de referencia$entonces se cumple 1ue las '2"de ! $ los '2"de!

van a tener los mismos valores3 aun1ue en algunos casos difieren en el

signo$as45

'26!7 8 9 '2"6!7

Ejemplos

( $ %%" 0en%/*+ 8 8

r &

0en.*+ 8"O

8%

6: .;%7

&%

%/*+

< &

Entonces5

.*+

. #, 0en%/*+ 8 0en.*+

&" ($ %

"os &&/+ 8 8r &

"A %

%

)/+

&&/+

O

"os )/+ 8

,Entonces5

?nea( trigonom8trica(0on segmentos de rectas dirigidas$ los cuales nos representan en la

circunferencia trigonomXtrica$el valor numXrico de una ra@n trigonomXtricade un ngulo o n[mero"

Repre(entacione( de (eno$co(eno de un arco en la C"7"

Repre(entacin de la l?nea @enoEl seno de un arco viene a ser la ordenada tra@ada de su extremo de arco "

y y

0en8%

0en8*x

Decrece "rece

Decrece "rece

0en8*x

ango de valores

:% %

0en8:%

=% 0en %B/


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Repre(entacin de la l?nea Co(enoEl coseno de un arco es la ascisa tra@ada de su extremo de arco"

y y

"os8*

"os8:%x

Decrece Decrece "os8%x

"rece "rece

Rango de)alore(

"os8*

=% "os %

:% %

Pro'lema( I%' "onsiderando los valores de5

0en )*N$0en %.*N3 0en &&*N3 0en .%*N

Luego el ma$or valor ser5

a7 0en )* 7 0en %.*c7 0en &&* d7 0en .%*e7 Necesito calculadora

&'


19/62

. % % % )' 0i HAI es el mximo valor$ $ HFI el

a7.

;

&

7

.;

&

c7

.;

&m4nimo valor de la expresin5

% e)

&;%

S 8 & = . 0en Encontrar el valor de HA:FIa7 ) 7 / c7 -d7 e7

/'


20/62

& % &

#ndicar si es 6C7 o 6!7a7=

%7

% c7 %

i7 0en ii7 "os

` 0en b "os

& &

& &iii7 0en iv7 "os

"os b # 0en ` #

d7 e7& &

a7 !CC! 7 !C!C c7 C!!!d7 !CCC e7 C!C!

%"0i5


21/62

U N F V C E P R E V C1

%"allar la

extensin

Pro'lema( II%" #ndicar el ma$or valor en lassiguientes alternativas5a7 0en &* 7 0en *

c7 0en %** d7 0en&.* e7 0en .**

CLAVES I

%" &"a ."d )"c /"c-"c "e "e "e %*"

%%"c %&" %."d %)" %/"c%-"a %"c %"d %"e &*"a

a7 CCC 7 !!! c7 !C!

d7 CC! e7 C!!

de5


22/62

U N F V C E P R E VCC

E 8 )0en = . a7 J=%;%K 7 J*; %K c7 J=.; )Kd7 J%; &K e7 J=&; #K

' 0iendo RR $ RR ngulosindependientes entre si3 >allar ladiferencia entre el mximo $ m4nimovalor de5

M 8 &0en ."os&

%%"#ndicar verdadero 6C7 falso 6!756 7 0en W-8 #6 7 "os6&P%7-8 =%

6 7 0en6)P%7 8 %


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U N F V C E P R E V C5

a7 % 7 . c7 / &

d7 e7 a7 CCC 7 !!C c7 CC!

' En la "'2' mostrada3 >allar lascoordenadas del punto H?I'

y

O x

d7 C!C e7 C!!

%&"0aiendo 1ue50en x % )"os x 8 0en $

"alcular el valor de5

M 8 "os x "os $

a7 =&d7 %

?

a7 6=0en ; =%7 7 6=%; "os 7c7 6=%; ="os 7 d7 6="os ; =%7e7 6"os ;=%7

' "alcular el rea de la reginsomreada5

y

O x

%."#ndicar las alternativas correctas5

#' 0en % b 0en #' "os . b "os )###' "os - b 0en %a7 0olo #7 0olo ##c7 0olo ###d7 0olo l $ lle7 0olo ## $ ###

%)"#ndicar verdadero 6C7 falso 6!7seg[n corresponda5

i' 0en )8 .=%

"'2'

a7 0en 7 "os c7 ="os ii' "os

/x

+

. + &=

% %d7&

0en e7 &

"os iii' 0en

8

x

+$

=

/ %

%*"Del grfico$calcular5 x6%="os 7y

x

O x

"'2"

& &

a7 CCC 7 !!! c7 CC!d7 C!C e7 !C!

%/"0aiendo 1ue HI `.*; %&*b;>allar la extensin de5

M 8 &"os & %

a7 J=%;&b 7 J*;.K c7 =&;=%bd7 J=&;&b e7 J%;&K

a7 &0en 7 ."os c7 2g d7 0en e7 &0ec

%-""alcular el rea de la regin y

)

&


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U N F V C E P R E VCD

%"0i II ###"$ >allar la variacin delcumple5

0en="o s +%

&

x c7 .*;-*b d7 J.*;)/Ke7 `.*;)/b

"'2'a7 "sc 7 0en

%c7 ="os d7

&0en "os

%e7

&"os

%""alcular el mximo valor de5E 8 6.="os x76% "os x7

M 8 0enZ"osZ&60en."os 7

a7 % 7 & c7 .d7 ) e7 /

%"


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U N F V C E P R E V CE

UNIDAD F

Identidade(trigonom8trica(paraunmi(moarco

Identidad7rigonom8tricaUna identidad trigonomXtrica es una igualdad 1ue contiene expresionestrigonomXtricas 1ue se cumplen para todo valor admisile del ngulo"

Ejemplos#dentidad Algeraica5 6a 7& 8 a& &a &

#dentidad 2rigonomXtrica5 0en&! "os&! 8 %Ecuacin 2rigonomXtrica5 0en! "os! 8 %

?ara5 ! 8 *+ "umple?ara5 ! 8 .*+ No cumple

Identidade( Fundamentale(Las identidades trigonomXtricas fundamentales sirven de ase para lademostracin de otras identidades ms complejas'

0e clasifican en5?itgoricas?or cocienteec4procas

Identidade( pitagrica(

0aemos 1ue5

0en&! "os&! 8 %

% 2an&! 8 0ec&!

% "ot&! 8 "sc&!

x& $& 8 r&

x& $&+ 8 %

r & r &

$& x&

+ 8 %r& r&0en&! "os&! 8 % L'1'1'd



26/62


Identidade( por

cociente

0en2an ! 8

"os

Demostracin

"ot ! 8 "os0en

$ODENADA $

=r

=0en L'1'1'd

2an! 8AF0"#0A

8x

Identidade( rec?proca(

x "osr

Demostracin

0en! ."sc! 8 %

"os! .0ec! 8 %2an! ."ot! 8 %

% 8 %$

.r

8 %

r $0en! ."sc! 8 % L'1'1'd

&'(er)acin* 0en&! "os&! 8 %

Despejando5 0en&! 8 % = "os&! / 0en&! 8 6% "os!7 6% = "os!7

As4 mismo5 "os&! 8 % = 0en&! / "os&! 8 6% 0en!7 6% = 0en!7

Identidade( au=iliare(A7 0en)! "os)! 8 % = &0en&! ."os&!

F7 0en-! "os-! 8 % = .0en&! ."os&!

"7 2an! "ot! 8 0ec! ."sc!

D7 0ec&! "sc&! 8 0ec&! ."sc&!

E7 6% 0en! "os!7& 8 &6% 0en!76% "os!7


27/62

Demostraciones

A7 0en&! "os&! 8 %al cuadrado560en&! "os&!7& 8 %&

0en)! "os)! &0en&! ."os&! 8 %

/ 0en)! "os)! 8 %=&0en&! ."os&!

F7 0en&! "os&! 8 %al cuo560en&! "os&!7. 8 %.

0en-! "os-! .0en&! ."os&!60en&! "os&!7 8 %

0en-! "os-! .0en&! ."os&! 8 %

/ 0en-

! "os-

! 8 %=.0en&

! ."os&

!

"7 2an! "ot! 80en

+"os

"os

0en

2an! "ot! 8

2an! "ot! 8

0en&+"os&"os.0en

%.%

"os.0en

/ 2an! "ot! 8 0ec! ."sc!

D7 0ec&! "sc&! 8%

+"os&

%

0en&

0ec&! "sc&! 8

0ec&! "sc&! 8

0en&+"os&

"os&.0en&

%.%"os&.0en&

/ 0ec&! "sc&! 8 0ec&! ."sc&!

E7 6%0en!"os!7& 8 %&60en!7&6"os!7&&0en!&"os!&0en!."os!8 % 0en&! "os&! &0en! &cos! &0en! ."os!8 & &0en! &"os! &0en! ."os!


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Agrupando convenientemente58 &6% 0en!7 &"os!6% 0en!78 6% 0en!76& &"os!78 &6% 0en!7 6% "os!7

!inalmente5

/ 6% 0en! "os!7& 8 &6% 0en!7 6% "os!7

Pro'lema( para demo(trarDemostrar una identidad consiste en 1ue amos miemros de la igualdadpropuesta son e1uivalentes" ?ara lograr dic>o ojetivo se siguen lossiguientes pasos5

%' 0e escoge el miemro Hms complicadoI'&' 0e lleva a 0enos $ "osenos 6por lo general7'.' 0e utili@an las identidades fundamentales $ las diferentes operaciones

algeraicas'

Ejemplos%7 Demostrar5 0ecx6% = 0en&x7"scx 8 "otx

0e escoge el %er miemro5

0ecx6% = 0en&x7"scx 8

0e lleva a senos $ cosenos5

%"osx

.6"os&x7

.%

80enx

0e efect[a5"osx . %

0enx

8

"otx 8 "otx

&7 Demostrar5J0ecx 2anx = %KJ% 0ecx = 2anxK 8 &2anx

0e escoge el %er miemro5J0ecx 2anx = %KJ0ecx = 2anx %K

8 J0ecx 62anx = %7KJ0ecx =62anx = %7K8

0e efectua5 60ecx7&= 62anx = %7& 86% 2an&x7 = 62an&x = &2anx = %7 8

% 2an&x = 2an&x &2anx = % 8&2anx 8 &2anx


29/62

Pro'lema( para (impliGcar reducir

Ejemplos%7 educir5

W 8 0en)x = "os)x &"os&x

?or diferencia de cuadrados6DD% DD

W 8 60en&x "os&x7 60en&x = "os&x7 &"os&x

W 8 0en&x = "os&x &"os&x

W 8 0en&x "os&x / W 8 %

&7 0implificar5

E =%+"osx

0enx&

0enx

%

"osx

6DD%D"osDxDD6%+"osx76%"osx7 60enx760enx7

E 80enx6%"osx7

0en&x 0en&x #E 80enx6%"osx7

/ E = 0enx6% "osx7

/ E 8 #

Pro'lema( condicionale(Dada una o varias condiciones se pide >allar una relacin en tXrminos dedic>a o dic>as condiciones'

Ejemplos

0i 0enx +"osx =

Resolucin

%"


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%&0enx ."osx 8 %

)

&0enx ."osx 8 .

)

./ 0enx ."osx 8

G

Pro'lema( para eliminar +ngulo(La idea central es eliminar todas las expresiones algeraicas3 $ 1ue al finalse den relaciones independientes de la variale"

Ejemplos

Eliminar HxI a partir de5 0enx 8 a"osx 8

Resolucin

De5 0enx 8 a / 0en&x 8 a&

"osx 8 / "os&x 8 &0umamos

0en&x "os&x 8 a& &

/ % 8 a& &

Re(umen de

rmula(

Fundamentale(0en&! 8 % = "os&!

0en&! "os&! 8 %

? 2

A% 2an&! 80ec&!

#" 0

% "ot

&

! 8 "sc&

!

"os&! 8 % = 0en&!

2an&! 8 0ec&!=%

0ec&!= 2an&! 8 %

"ot&! 8 "sc&!= %

"sc&!= "ot&! 8 %

E2an! 8

" " #

#

G

A

DO


31/62

0en "os

"osE "ot! 8 0en2E

%0en! 8

0en! ."sc! 8%

"

"sc="sc

%

0en

E

"os! .0ec! 8%

"os=%

0ec

O"A0 2an! ."ot! 8%

0ec=

2an=

"ot=

%

"os

%

"ot%

2an

Au=iliare(Pro'lema( I%' educir5

60en x "os x7Z 60en x = "os x7&

a7 % 7 &c7 &0en x "os x d7 )0en x "os xe7 )

%*"educir la expresin5"sc x6"sc x0en x7= "tg x6"tg x=2g x7a7 # 7 % c7 &d7 . e7)

%%"educir5

0e n. x + "o s. x&' 0implificar5 %0enx

"osx

"osx

6"sc x = "tg x76% "os x7a7 % 7 0en x c7 "os xd7 0enZx e7 "osZx

.' educir5

60en x "os x "tg x70en x a72g x 7 "tg x c7 %d7 0ec x e7 "sc x

)' educir5

0en)! "os)! 8 % = &0en&! ."os&!

0en-! "os-! 8 % = .0en&! ."os&!

2an! "ot! 8 0ec! ."sc!

0ec&! "sc&! 8 0ec&! ."sc&!

6% 9 0en! 9 "os!7& 8 &6% 9 0en!76% 9

N

?


32/62

a7 0en x 7 "os x c72g x d7 "tg x e7 0ec x

%&"educir"

%+

%0ecx +2gx "tgx

a7 0en x 7 "os x c7 0ec xd7 "sc x e7 2g x

60ec x = "os x7"tg x

a7 % 7 0en x c7 0enZxd7 0ec x e7 "osZx

/'


33/62

d7 =/ e7 % /

' educir5

6%+0enx "osx7&U =

6%0enx +"osx7&


34/62

Pro'lema( II6& +&0enx7 6& +&"osx7

a7 # 7 &c7 "os x= 0en x d7 0en x "os xe7 0en x = "os x

' #ndicar el e1uivalente de5

"o sx % &

0en x % &

M = + %' 0implificar5

? =60enx +"osx760enx "osx7

0en)x "os)xa7 # 7 % c7 =%d7 0enZx e7 "osZx

&' educir5

6%+

0enx7

%

+

6%

0enx7

%

S = 6%"osx7% +6%+"osx7%

a7 % 7 2an x c7 "ot xd7 2anZx e7 "otZx

.' educir5

V =0ecx60ecx "osx7 +"scx6"scx 0enx7 "otx62anx "otx7 2anx6"otx +2anx7

%0enx "otx %+"osx 2anx

a7 2anZx"otZx7 0ecZx"osZxc7 0enZx"scZxd7 0ecZx"scZxe7 %

' 0implificar5

L =6&2anx +0ecx76"scx 0enx7

"otx +&"osxa7 % 7 "osZx c7 "os)xd7 2an&x e7 "ot&x

%*"0iendo5 0en x "os x 8.

a7 =% 7 % c7 =&

d7 & e7 #)' edu@ca5

0e c& x &0e n& x 2 a n

&

x


35/62

%."0implificar5

V =J0ecx +2anx +%K J0ecx 2anx

%K

a7 % 7 2anZx c7 "otZxd7 2an x e7 "ot x

J"scx +"otx %K J"scx "otx +%K -

%"Dado5


36/62

a7 2anZx 7 0ecZx c7 "scZxd7 "osZx e7 0enZx

%-"0aiendo 1ue50en x "os x 8 m


37/62

56U N F V C E P R E V

UNIDAD H

Identidade(trigonom8trica( paraelarcocompue(to

Identidade(trigonom8trica( parala(umadedo(arco(A partir del grfico5

(

F M

% CIRCUNFERENCIA0 TRIGONOMETRICA

,O

? S A

0en62 37 8 ^0en62 37 8 M? 8 ?0 0M 8 S 0M

OS / OS 8 OI0en=0en."os"os

M0 / 0 8 MI "os ="os.0en0en

Luego5

0en62 37 8 0en2."os3 "os2.0en3

"os62 37 8 ^"os62 37 8 O? 8 OS = ?S 8 OS = 0

OS / O 8 OI"os="os."os"os

M0 / 0M 8 MI0en=0en.0en0en

Luego5

"os62 37 8 "os2."os3= 0en2.0en3



38/62


2an62 37 8 ^

2an62 37 8

0en6+7"os6+7

0en."os+"os.0en8

"os."os0en.0en

Dividiendo a la expresin por "os2"os30en."os

+"os.0en

Luego5

2an62 37 8 "os."os"os."os"os."os

"os."os

0en.0en

"os."os

&'(er)acione(

2an62 37 8 2an+2an

%

2an.2an

%"ot62 37 8

0ec62 37 8

"sc62 37 8

2an6+7

%

"os6+7

%

0en6+7

Ejemplos0en /+ 8 ^

0en6)/+ .*+7 8 0en)/+ ."os.*+ 0en.*+ ."os)/+

8&.

&

8-

+)

.+

%.

&

& & &

&

)

)

%/+

/+

- : &

/ 0en/+ 8- + &

/)

- &


39/62

De la circunferencia trigonomXtrica se oserva 1ue5 (

h 0en6:27 8 MY? F0en627 8 M? M

/ MY? 8 :M? / 0en6:27 8 =0en2

h "os6:27 8 O? / "os6:27 8 "os2"os6 27 8 O?

Asi mismo5h "ot6:27 8 ="ot2h 0ec6:27 8 0ec2

h "sc6:27 8 ="sc2

h 2an6:27 8 =2an2

O ? A

,

MY

FY "#"UN!EEN"#A2#GONOM2#"A

Identidade( trigonom8trica( para la dierencia de do( arco(0en62= 37 8 ^

0enJ2 6:37K 8 0en."os67 +"os.0en67

Luego5

1DCD5"os

1DCD50en

0en62= 37 8 0en2."os3= "os2.0en3

"os62= 37 8 "osJ2 6= 37K 8 "os."os67 0en.0en67

Luego5

1DCD5"os

1DCD50en

"os62= 37 8 "os2."os3 0en2.0en3

2an62= 37 8 ^

2anJ2 6=37K 8

Luego5

2an6DDF2an+2an67

%2an.2an671DCD5

2an

2an2an2an62= 37 8

%+2an.2an

&'(er)acione(*

As4 mismo5"ot67=

%

2an67

0ec67=


40/62

"sc67 =%

"os67%

0en67

Ejemplos"os%-+ 8 ^

"os6/.+ = .+7 8 "os/.+ ."os.+ 0en/.+ .0en.+

8.

.)

+)

..

/ / / /

&/

)+

8% &

+%&

&/ &/

/ "os%-+ 8& )

/&/

%-+

&)

2an+ 8 ^

2an6)/+ = .+7 8 2 an) / + 2 a n. D +%+2an)/+ .

2an.D+

%.

8)

%+%..

%

= )D

/ &&+

%

) )

%

+

/ 2an+ 8 / D

Propiedade(0en62 37 .0en62= 37 8 0en&2= 0en&3

Demostracin0aemos 1ue5h 0en62 37 8 0en2."os3 "os2.0en3 / i

h 0en62= 37 8 0en2."os3= "os2.0en3 / ii


41/62

Multiplicando miemro a miemro i .ii$tenemos5

0en62 37 .0en62%37 8 J60en2."os37&= 6"os2.0en37&K8 0en&2."os&3= "os&a .0en&38 0en&2.6% %0en&37 = 6% = 0en&27 .0en&38 0en&2= 0en&2.0en&3= 0en&3 0en&2.0en&3

/ 0en62 37 .0en62= 37 8 0en&2= 0en&3 L'1'1'd

Ejemplos

. 0en6)/+ !7 .0en6)/+ = !7 8 0en&)/+ = 0en&!8

%= 0en&!

&

. 0en&.x = 0en&&x 8 0en6.x &x7 .0en6.x = &x7 8 0en/x .0enx

2an22an3 2an62 37 .2an2.2an3 8 2an62 37

Demostracin0aemos 1ue5

2an+2an

%2an.2an8 2an62 37

2an2 2an3 8 2an62 37 .J% %2an2.2an3K

2an2 2an3 8 2an62 37 = 2an62 37 .2an2.2an3/ 2an2 2an3 2an62 37 .2an2.2an3 8 2an62 37 L'1'1'd

Ejemplos

. M 8 2an&! 12an5! 2an.! .2an&! .2an! / M 8 2an6&! !72an6&+7

/ M 8 2an .!

. N 8 2an*+2an%*+2an*+2an*+2an%*+ / N 8 2an6*+%*+71DCD52an6#++%#+7

/ N 8 2an *+

. ? 8 2an//+ 2Ian/+ . .2an//+ .2an/+ / ? 8 2an6//+ /+721aCn

-5#+

2an6//++/+7

/ ? 8 2an-*+ 8 .


42/62

. S 8 2an%.+ 2an.&+ 2an%.+ .2an.&+

S 8 2an%.+ 2an.&+ % .2an%.+ .2an.&+ / S 8 2an6%.+ .&+7I21an)5/+

2an6%.++.&+7

/ S 8 2an)/+ 8 %

0i5 2 3 ! 8 %*+ / 2an2 2an3 2an! 8 2an2.2an3 .2an!

Demostracin?or condicin5 2 3 ! 8 %*+

2 3 8 %*+ = !2an62 37 8 2an6%*+ = !7

2an+2an%2an.2an

8 =2an!

2an2 2an3 8=2an! .6% = 2an2.2an372an2 2an3 8 = 2an! 2an2.2an3 .2an!

/ 2an2 2an3 2an! 8 2an2 .2an3 .2an! L'1'1'd

EjemplosEn un JAF"$as45 2an A 8 . $ 2an F 8 &;


43/62

-+

&-+

)-=-

-/ 2an

+2an&-

+2an)-

=2an-

.2an

&-

.2an

)-

eempla@amos5

E 8 2an-

.2an&-

.2an)-

42an-

.2an&-

.2an)-

/ E 8 #

0i5 2 3 ! 8 *+ / 2an2.2an3 2an3 .2an! 2an2.2an! 8 %

Demostracin?or condicin5 2 3 ! 8 *+

2 3 8 *+ = !2an62 37 8 2an6*+ = !7

2an+2an%42an.2an

2an+2an

%42an.2an

8 "ot!

%8

2an62an2 2an37 .2an! 8 % = 2an2.2an3

2an2.2an! 2an3 .2an! 8 % = 2an2.2an3

/ 2an2.2an32an3.2an!2an2.2an!8 % L'1'1'd

Ejemplo"alcular5

V 8 2an&*+ .2an.*+ 2an.*+ .2an)*+ 2an&*+ .2an)*+

Notamos 1ue5

&*+ .*+ )*+ 8 *+$entonces

0e cumple 1ue5

12aDnD+ D.2aDn.D#+ D 2DanD.D#+.D2anD)#D+ D2aDn&D#D.2DanD)5#+ 8 %

V

/ V 8 %


44/62

Re(umen de rmula(K+(ica(

h 0en629 37 8 0en2."os3 9 "os2.0en3h "os629 37 8 "os2."os3 m 0en2.0en3

2an2anh 2an629 37 8% m2an.2an

&'(er)acione(

h "ot629 37 8

h 0ec629 37 8

%

2an67%

"os67

%h "sc629 37 8 0en67

Propiedade(.

.

.

.

Nota(. Notale exacto

/-%&

/+

%& %&

-

%&

%/+

)

- &

- : & /

. s Notales aproximados

)+&/

&+/ &

%

%-+ +

&)

Pro'lema( I %' 0i5 0en 8 %&%.

0en62 37 .0en62%37 8 0en&2%0en&3

2an2 2an3 2an62 37 .2an2.2an3 8 2an62 37

0i5 2 3 ! 8 %*+ / 2an2 2an3 2an! 8 2an2.2an3 .2an!

0i5 2 3 ! 8 *+ / 2an2.2an3 2an3 .2an! 2an2.2an! 8

`7

"2"%/+ 8

-/+ 8

/-

0en$

"os

- &)

- &)

2an$

"ot

& . & .

0ec$

"sc- & - &


45/62

T "os 8)/

; $ -' La expresin5

E =0e n "o s- + "o s 0e n-"os "os-0en 0en-

ngulos agudos'

"alcular5

0en6+7 8""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""os6+7 8"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

2an6+7 8"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

es igual a5

a7 % 7 & . c7 &= .

d7 & . e7.-

&' 0i5 "os 8

%T 0en 8

&/

; $ ' 0i5 0en %/ 8

a

&ngulos agudos"alcular50en 67 8""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

"os 67 8""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

2an67 8""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

.' El valor simplificado de5

#ndica el valor de5 6 %a7

' 0i5 AF8A?8& & ;

AD8D"8 - + &

es5 E =&0en6.* +x7 "osx

0enx


46/62

e7*d7

%.

e7%/

%*"


47/62

d7 .

.

e7 .

&*"0i AF"D es un cuadrado de lado H.I']A 1uX es igual^

)' El valor de la expresin50en- "os%)0en%) "os-

E =0en6x

$7

D"osx "os$

F & "

$ %

x

"os.

"os&&

0en.

0en&&es5a7 #$& 7 #$) c7 *3/d7 %3& e7 %3-

/' "alcular52g6/* +x7 +2g6%* x7%2g6/* +x72g6%* x7

a7

A

7

%*

D

c7

a7 % 7.

.

d7 2g x e7.)

-' De la figura$>alle5 2g

c7 .

d7

%*e7

%# & .

)

%

Pro'lema( II%' "alcule aproximadamente5 2g &)

a7./

.%

7/.

/

c7%..%

a7%

d7

.%-%

7

&)e7

%-%.

c7 d7 e7%. %.

'


48/62

e7)

a7.

& d7/ . 7 . c7

. .&

e7 /&

%*""alcular el valor de5

)62g %2g %7.2g % 2g %a7 % 7 & c7 . d7 ) e7 /

%%"


49/62

%-""alcular5

? =."o s )* +0en)*

"os&* "os%*+0en 0en%#

a7 & 7 % c7.

&

d7.

e7 .&


50/62

U N F V C E P R E VE#

UNIDAD 1#

Identidade( trigonom8trica( paraelarcodo'le

@eno del arco

do'le 0en&x 8

&0enx"osx

Demostracinecordar 1ue5

0en6x $7 8 0enx ."os$ "osx .0en$


51/62

U N F V C E P R E V E1

- - . "os& = 0en& 8 "os& 8 "os )



52/62


"os&x 8 % = &0en&x

Demostracinecordar 1ue5

0en&x "os&x 8 % / "os&x 8 % = 0en&x

eempla@ando en5"os&x 8 "os&x = 0en&x / "os&x 8 6% = 0en&x7 = 0en&x

/ "os&x 8 % = &0en&x L'1'1'd

Ejemplos. "os-+ 8 "os&6).+7 8 % = &0en&).+

$ $. "os$ 8 "os& 8 % = &0en&

& &

. % = &0en&%+ 8 "os&6%+7 8 cos&+

. % = &0en&6)/+ = !7 8 "os&6)/+ = !7 8 "os6*+ = &!7 8 0en&!

"os&x 8 &"os&x = %

Demostracinecordamos 1ue5

0en&x "os&x 8 % / 0en&x 8 % = "os&xeempla@ando en5

"os&x 8 "os&x = 0en&x / "os&x 8 "os&x = 6% = "os&x7/ "os&x 8 &"os&x = % L'1'1'd

Ejemplos +

. "os+ 8 "os& 8 "os&6)+.*Y7 8 &"os&)+.*Y = %&

. "os-M 8 "os&6.M7 8 &"os&.M= %

. &"os&

%%+%/Y = % 8 "os&6%%+%/Y7 8 cos&&+.*Y. &"os&6.*+ 27= % 8 "os&6.*+ 27 8 "os6-*+ &27

Degradacin del e=ponenteOocuadradoOLas frmulas expuestas a continuacin son empleadas en expresionestrigonomXtricas$donde se presenten HsenosI o HcosenosI de ciertos arcoselevados al exponente H&I'

Degradacin delNcuadradoOdel (eno de un arco (impleN=O

0e >a demostrado 1ue5"os&x 8 % = &0en&x / &0en&x 8 % = "os&x


53/62

Ejemplos. &0en&%+ 8 % = "os&6%7+ 8 % = "os.-+

. 0en&&28 &0en&

&&

%"os&6&7=

&

%"os)=

&

. &0en&6a %7 8 % = "os&6a %7 8 % = "os6&a = &7

. &0en&&&+.*Y 8 % = "os&6&&+.*Y7 8 % = "os))+-*Y 8 % = "os)/+

. % = "osG! 8 % = "os&6)!7 8 &0en&)!

A A. % = "osA 8 % = "os&

8 &0en&

& &

. % = "os.+ 8 % = "os& . + 8 &0en&

. + 8 &0en&%+.*Y

& & Degradacin delNcuadradoOdel co(eno de un arco (impleN=O0e >a demostrado 1ue5

"os&x 8 &"os&x = % / &"os&x 8 % "os&x

Ejemplos. &"os&.L 8 % "os&6.L7 8 % "os-L

. "os&/+ 8& " o s& / + =

%8 +

"os&6/+ 7 =

%+ " o s %/#+

& & &

. &"os& 8 % "os& 8 % "os2& &

. )"os&%*+ 8 &J&"os&%*+K 8 &J%"os&6%*+7K 8 &J%"os&*+K 8 &&"os&*+

. % "os)*+ 8 % "os&6&*+7 8 &"os&&*+

. % "os%* 8 % "os&6/7 8 &"os&/

x +$ x +$ . % "os6x $7 8 % "os&

8 &"os& & &

. % "os/.+ 8 % "os& / . + 8 &"os&

/ . + 8 &"os&&-+.*Y &

&

7angente del arco do'le

&2 anx2an &x 8

%

2an xDemostracinecordamos 1ue5

2anx +2an$2an6x $7 8

%2anx .2anx

&


54/62

$>acemos $ 8 x

/ 2an6x +x7 = 2anx +

2anx% 2anx .2anx

/ 2an&x 8&2 anx

%2an&xEjemplos

L'1'1'd

&2a n% +. 2an.-+ 8 2an&6%+7 8

%2an&%+&2an+

. %2an&+ 8 2g&6+7 8 2g%-+&2an&

. 2an)! 8 2an&6&!7 8

2an

&

% 2an&&

.

=2an

& =2an&= & %2an

&

Cotangente$(ecante co(ecante del arco do'le2omaremos las identidades rec4procas aplicadas al arco dole$es decir5

"omo5 2an&x ."ot&x 8 % / "ot&x 8 %2an&x

%"omo5 "os&x .0ec&x 8 % / 0ec&x 8

"os&x

%

"omo5 0en&x ."sc&x 8 % / "sc&x 8

Ejemplo

0ec&x

0en&x

. 0iendo5

Resolucin

"sc&x 8 %3&; calcular el valor de H"ot &xI'

%

0aemos50ec&x

"sc&x

0en&x

8 %3& /

-

"os & x 8%&

% %*0en&x

-/ Luego5 "ot&x 8

&


55/62

8"os&x /

%

2an&x

/

2an&x 8/

% // "ot&x 8 8

8- -/


56/62

E(peciale( del arco do'le2

Sen2x = 2Tanx$ Cos2x =

1Tan x

1+Tan2x

"omo 2angente del Arco 0impleHxI ecordemos 1ue5

&2anx

1+Tan2x

2an &x 8 %2an&x$ suponiendo H&xI ngulo agudo$formamos el siguiente tringulo rectngulo

AF"5

&xA

% 2an&x

"

&2anx

F

"

"alculamos luego la >ipotenusa conaplicacin del 2eorema de ?itgoras$ es

decir5&

A" 8 6&2anx7& 6% =2an&x7&

/ A" 8 % 2an&x

Del AF" mostrado tenemos5

&2anx

&x

Sen2x = 2Tanx

1+Tan2x$

2

A &

FCos2x =

1Tan x% 2an x

Ejemplos

&2 a n + .#j

1+Tan2x

.%+2an& +.#

8 0en&6+.*Y7 8 0en%/+

%2an& ). 8 "os&6)!7 8 "os !+%+2an& )

Ejemplos0i5 2anx 8 .; >allar el valor de5

? 8 0en &x = "os &x

Resolucin

h 0en&x 8

h "os&x 8

&2anx

%+2an&x

%2an&x

%+2an&x

88

&6.7

%+6.7&

= %6.7&

8

% +6.7& 8

-

%*

8%*


57/62

/

0en&x 8/ "os&x 8

)

/!inalmente5

.

) . )

? 8 0en&x = "os&x 8

= + / ? 8/ / / / /

"otx 2anx 8 &"sc&x $ "ot x = 2anx 8 &"ot&x

Demostraremos 1ue5

"otx = 2anx 8 &"sc&x$se efectuara de i@1uierda a dererec>a

/ "otx = 2anx 8

"osx

0enx

0enx

8"osx "os

&

x

0en

&

x0enx ."osx

&6"os&x 0en&x78 8

6&0enx ."osx7

&"os&x

0en&x

/ "otx = 2anx 8 &"ot &x L'1'1'd"

Anlogamente se demuestra 1ue5

"otx 2anx 8 &"sc&x

Ejemplos. "ot%*+ 2an%*+ 8 &"sc&6%*+7 8 &"sc&*+. "ot)2= 2an)28 &"ot&6)27 8 &"ot2. &"sc)! 8 &"sc&6&!7 8 "ot&! 2an&!. &"ot*+ 8 &"sc&6./+7 8 "ot./+ = 2an./+

Problema Aplicativo. 0i5 "os&x 8 n; >allar 5 V 8 "ot&x = 2an&x

Resolucinh V 8 "ot&x = 2an&x 8 6"otx 2anx7 .6"otx = 2anx7

% "os&x

8 6&"sc&x7 .6&"ot&x7 8 &.

. & .

0en&x 0en&x

)"os&x8 =0en& &x)n

/ V 8%n&

)"os&x $% "os& &x

?ero 5 "os&x =

n


58/62

Re(men de rmula(F0#"A05

h 0en&x 8 &0enx ."osx Degradan

HcuadradosI5 "os&x 8 % = &0en&x /

&0en&

x 8 %="os&xh "os&x 8"os&x= 0en&x "os&x 8 &"os&x=% / &"os&x 8 % "os&x

h 2an&x 8&2anx

/%2an&x

% 2an&x

&x

% %2an&x

&2anx

h 0en&x 8

h "os&x 8

&2anx

% +2an&x

%2an&x

%+2an&x

&'(er)acione(*%

h "ot &x 82an&x

h 0ec&x 8 %

"os&xh "sc&x 8 %

0en&x

E(peciale(*

h "otx 2anx 8 &"sc&x h 0ec&x % 8

2an&x

2anx

h "otx = 2anx 8 &"ot&x h 0ec&x = % 8 2an&x .2anx

h 0en)x "os)x 8

h 0en-x "os-x 8

. +"os)x

)

/ +."os)x

Pro'lema( I -' 0implifi1ue50e n&

&

0e n&&

+

% 0i5 "os x 8&

; *` x ` *.

"alcule5 0en &x

0en "os a7 % 7 & c7 . d7 ) e7 /

' "alcule el valor de5

"os) = 0en)

a7%.

d7/

)7

%&

e7) /

c7

/.


59/62

a7% d7

&

)

'educi

r5

7

c7&)

&/

e7&

/

&' 0i5 0en x 8&

! =0e cx "o s& x

%"alcular5 ."os )x; # ` x ` * "osx

0enxa7 "os x 7 2g x c7 "ot xd7 0ec x e7 "sc x

a7/

d7 =.%%

7 =/

e7&/%

c7.%%

' 0implificar5" os &x +"osx +

%0en&x +0enx

a7 0en x 7 "os x c7 2g xd7 "ot x e7 0ec x

.' 0i5 0en x = "os x 8

%


60/62

/%)"educir5

0en "os "os &"os )"os

& &

e7 2gx

"ot %-x&

a7%

%-c7

%%-

0en %- 7%

0en %-.&

0en .& d7%

0en %-.&

e7%

0en .&.&

%/""alcular5 0en &x0i5 %)2g x 8 / /2gZx

Pro'lema( II%' 0implificar5

&

a7

/

%) 7

%)

/ c7

/?

=

" os x "o s& x ; # ` x ` *&0en&x "otx

d7/ e7

%/

a7%&

7 2anx&

c72 anx

&%-"0i5 +8 *"

educir la expresin5A8 6"os "os 76"os = "os 7

d7 "otx&

e7"ot x

&a7 0en & 7 "os . c7 "os &d7 0en & e7 %

%"0i5 2g 8 &; >allar5 2g6&)/7

&'


61/62

a7%

& .

7 / c7%

a7 % 7 & c7 %B&

d7 & e7&&

%."


62/62

&*"La expresin e1uivalente a52an -+& x es52

2 2

3

)

a7 0en6.*x77 &"os6.*:x7

c7 &"os6.*x7d7 "os6.*=x7e7 "os6.*x7

%"0i5 "os )x 8 *3...; >allar5M860en.&x"os.&x7&60en.&x="os.&x7&

a7 0ec x 2an x7 0ec x = 2an xc7 "sc x "ot xd7 "sc x = "ot xe7 0ec x "ot x

a7%&

d7

.

&

7&.

e7

.

)

c7).

CLAVES II

%"c &"d ."e )" /"a-"e " "a "d %*"c

%%"c %&" %."a %)"e %/"d%-"c %"e %"d %" &*"a

Trigonomertia-2

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