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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
125SISTEMA HELICOIDAL
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
126 PASCUAL SACO OLIVEROS
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
127SISTEMA HELICOIDAL
INTRODUCCIN:En el captulo anterior se vio cmo calcular de
una forma prctica las razones trigonomtricas dengulos positivos menores de una vuelta, aunque
ello pudo haber sido calculado mediante el cap-
tulo de razones trigonomtricas para un ngulo en
posicin normal, ahora veremos algunas tcnicas
para calcular las razones trigonomtricas de ngulos
mayores a una vuelta y ngulos de la forma ().
CASO I:Reduccin para ngulos mayores de una
vuelta
Partiendo de dos ngulos que seancoterminales, se cumple:
RT( ) = RT( ) ... (2)
De (I): = 360m + ... (3)
Reemplazando (3) en (2) obtenemos:
o su equivalencia en radianes.
Esto indica que se puede sumar o restar
mltiplos de 360 2 , a un ngulo y su razntrigonomtrica no cambia de valor, los siguientesejemplos aclaran un poco ms al respecto.
Ejemplo:
a) sen 390 = sen(30+360) = sen 30 =
b) cos 405 = cos(45+360) = cos45 =
c)
d)
Ejemplo 1:
Calcular el valor de:
Resolucin:
Para reducir:
se divide 37 entre el doble del denominador que
es 4. Esto es 37 entre 8.
Calcularlasrazonestrigonomtricasparangulosmayoresaunavuelta.
Calcularlasrazonestrigonomtricasparalosngulosdelaforma(x).
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
128 PASCUAL SACO OLIVEROS
LuegoDe igual forma:
Clculo deSe divide 32 con el doble de 3.
Luego:Finalmente:
CASO II:Para ngulos de la forma .
Partimos de un ngulo en posicin normal y
su ngulo opuesto , tambin en posicin normal,
esto es:
P y Q son sim-tricos respecto del
eje de abscisas en-
tonces si P(a;b)
Q(a; b) y
ambos tienen un
radio vector igual
a ;
ahora el grfico se vera.
Por definicin:
Para ( ) Para ( )
a) ;
Se observa:
b) ;
Se observa:
c) ;
Se observa:
Expuesto lo anterior concluimos en las siguientes
identidades, las cuales ms adelante las demostra-
remos con otras teoras.
admisible se cumple:
Los ejemplos siguientes ilustran un poco ms al
respecto.
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
129SISTEMA HELICOIDAL
Ejemplo:
a) sen(30) = sen30 =
b) cos(45) = cos45 =
c) tg(30) = tg30=
d) tg(120) = tg120 =
Parareduciralgunosngulosdela
forma( )sepuedeutilizar:
Ejemplo:
i) tg(120) = tg(120 + 180) = tg60 =
ii) tg 225 = tg(225 180) = tg 45 = 1
iii) ctg(150)=ctg(150+180)= ctg(+30)=
iv) ctg(135) = ctg(135+180) = ctg45 =1
1. Calcule si es positivo mayor de una vuelta pero menor de dos vueltas que pertenece al tercer cuadrantetal que:
Resolucin:Graficando el ngulo
1)2) De la condicin:
De (1): 3) En (1):
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
130 PASCUAL SACO OLIVEROS
2. ProblemaSi n es impar demustrese que:
Resolucin:
1. Calcule:
Rpta.: ...........................................................
2. Calcule: K = tg 945 + 2 sen 930
Rpta.: ...........................................................
3. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
4. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
5. Calcule: tg (1200)
Rpta.: ...........................................................
6. Simplificarse:
Rpta.: ...........................................................
7. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
8. Calcule: M = tg 1125 + tg 110 + tg 1780
Rpta.: ...........................................................
9. Si: y son ngulos complementarios, redu-cir:
Rpta.: ...........................................................
10.Calcule:
Rpta.: ...........................................................
11.Si: tg 10 = a, calcule: sen (1340)
Rpta.: ...........................................................
12.Calcule:
Rpta.: ...........................................................
-
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
131SISTEMA HELICOIDAL
13.Calcule:
Rpta.: ...........................................................
14.Reducir:
Rpta.: ...........................................................
15.Calcule: K = 5 sen + 12 tg
Rpta.: ...........................................................
1. Reducir:
A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 0
2. Calcule:
E = cos 480 tg 240 + sen 1140
A) B) C) 0
D) E)
3. Reducir:K= tg 120 ctg 210 + tg 945
A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2
4. Calcule:E = sen 800 + cos 1250 + tg 1935
A) 0 B) 1 C) 1
D) E)
5. Calcule:
A) B) C)
D) E) 1
6. Calcule si: ;
adems:
A) B) C)
D) E)
7. Reducir:
A) 1 B) 1 C) tg
D) tg E) ctg
8. Calcule:E = sen (300) cos (240) tg (315)
A) B) C)
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
132 PASCUAL SACO OLIVEROS
D) E)
9. Calcule: K= 13 sen + 12 tg
A) 0 B) 10 C) 10 D) 7 E) 7
10.Calcule:
A) B)
C) D)
E)
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
133SISTEMA HELICOIDAL
INTRODUCCIN:
Todo lo estudiado anteriormente se ha hecho
en base al clculo de razones trigonomtricas de
ngulos, sin embargo existe otro concepto muy im-
portante el cual es, el de la razones trigonomtricas
de nmeros reales. La principal diferencia entre am-
bos conceptos radica en la etimologa de argumento.
Las representaciones trigonomtricas de nmeros
reales es de amplia importancia en la matemtica.
Para que usted pueda entender con xito la parteterica sgame con las siguientes nociones previas.
CIRCUNFERENCIA REGULAR
Es aquella circunferencia inscrita en un plano
cartesiano cuyo centro coincide con el origen de
coordenadas.
Dicha ecuacin se puede deducir a partir de la
distancia entre dos puntos P y O
Luego: r2
=x2
+ y2
DEFINICINUna circunferencia trigonomtrica es aquella cir-
cunferencia regular, cuyo radio es igual a la unidad
de escala del sistema.
Donde:A(1; 0) : Origen de arcos
B(0; 1) : Origen de complementos
A'(1; 0) : Origen de suplementos
B'(0; 1) : Sin nombre especial
: Eje de tangentes
NMEROS REALES Y ARCOS DIRIGIDOSEN POSICIN NORMAL
Calcularlasrazonestrigonomtricasdenmerosreales.
Calcular las variacionesde las razones trigonomtricas segnel cuadrante alcual
perteneceelngulo(arco).
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
134 PASCUAL SACO OLIVEROS
Dado el grfico:
P : Extremo final del arco AP o simplemente Ex-
tremo del arco
En el sector circular AOP por longitud de arco
se sabe que:
Luego podemos afirmar que el ngulo dirigido
rad. asociado a la C.T., es nicamente igual al
arco , aclarando esto un poco ms concluimos
que:
Ejemplo:
El grfico siguiente ilustra un poco ms al res-
pecto:
Unextremodearcoeselarcodeinfini-
tosarcos,esdecirquecadapuntodela
C.T.representarainfinitosarcos,esto
esunarco ysuscoterminales.
P : E x t r e m o d e y t a m b i n d e
De igual forma
R.T.( rad)=R.T.( )
*
REPRESENTACIONES TRIGONOMTRICASEN LA C.T.
DEFINICIN I
El seno de un arco dirigido en posicin normal
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
135SISTEMA HELICOIDAL
en la C.T. se representa mediante la ordenada del
extremo del arco.
DEFINICIN II
El coseno de un arco dirigido en posicin normal
en la C.T. se representa mediante la abscisa del
extremo del arco.
Para aclarar un poco ms al respecto sgamecon el siguiente ejemplo:
En el punto B:
; pero B=(0; 1)
Concluimos entonces:
De donde:
De igual forma en el punto A
A' = (cos ; sen ); pero A'=(1; 0)
Concluimos que:
(cos ; sen ) = (1; 0)
De donde:
Ejemplo 1:
Si:
Halle los valores del sen .
Resolucin:
Del dato
Representando estos arcos en la C.T.
Se observa que:
1 < sen < 0
Teorema:
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
136 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. En la C.T. mostrada demustrese que las coor-
denadas del punto P es:
Resolucin:
Por pendiente de la recta L recordar que m es
la pendiente de la recta: .
i) con P y A:
ii) Con A y M:
De (i) y (ii):
2. ProblemaEn la C.T. demustrese que las coordenadas delpunto P son (cos ; sen )
Resolucin:
1. Si: seale verdaderas (V) ofalsas (F) las siguientes proposiciones:I. sen > sen II. cos > cos
III. |sen | > |sen |
IV. |cos | > |cos |
Rpta.: ...........................................................
2. Si: seale verdaderas (V) ofalsas (F) las siguientes proposiciones:I. sen > sen II. cos > cos
III. |sen | > |sen |
IV. |cos | > |cos |
Rpta.: ...........................................................
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
137SISTEMA HELICOIDAL
3. Ordene en forma creciente:sen 40, sen 100, sen 160, sen 260, sen 350
Rpta.: ...........................................................
4. Ordene en forma decreciente:cos 10, cos 120, cos 200, cos 300
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
-
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
138 PASCUAL SACO OLIVEROS
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
14.Seale verdadero (V) o falso (F) en las siguientesproposiciones:
I. sen 2 > sen 3 II. cos 5 > cos 6
III. sen 3 > sen 4 IV. cos 4 > cos 5
Rpta.: ...........................................................
15.Ordene en forma decreciente:sen 1, sen 2, sen 3, sen 4, sen 5, sen 6
Rpta.: ...........................................................
1. Si: seale verdaderas (V) o falsas(F)las siguientes proposiciones:
I. sen > sen
II. cos > cos
III. sen cos > 0
A) VVV B) VFV C) VVF
D) VFF E) FFV
2. Seale el de mayor valor:A) sen 50
B) sen 160
C) sen 210
D) cos 260
E) cos 350
3. Calcule la distancia de P hacia A.
A) B) C)
D) E)
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
139SISTEMA HELICOIDAL
B)
C)
D)
E)
B)
C)
D)
E)
B)
C)
D)
E)
C)
D)
E)
C) D)
E)
10.Seale verdaderas (V) o falsas (F) las siguientesproposiciones:
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
140 PASCUAL SACO OLIVEROS
I. Si:
II. Si:
III. Si:
A) VVF B) VFF C) FVF
D) FFV E) FFF
C)
D)
E)
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
141SISTEMA HELICOIDAL
Dado un arco , representado en la C.T.
sera:
Se observa que las ordenadas van de 1 a 1.
De igual forma para el cos
de donde:
Ejemplo:
Si . A qu cuadrante pertenece ?
Resolucin:
* Luego la C.T. se ver.
k = 0
k = 1
k = 2
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7/29/2019 Trigo T_4
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
142 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Calcule los valores de y tal que cumpla:
Resolucin:i) De la condicin:
ii) Pero:
de (i) y (ii): cos2 = 1
iii) Reemplazando cos2 = 1
En la condicin:
2. ProblemaDemustrese que:
Resolucin:
1. Calcule la extensin de la expresin:K = 3 sen + 2
Rpta.: ...........................................................
2. Halle los valores enteros de la expresin:K=2 cos + 5
Rpta.: ...........................................................
3. Calcule la extensin de la expresin:M = 2 3 sen
2
Rpta.: ...........................................................
4. Si: halle la extensin de la expre-sin:
E = 2 cos + 3
Rpta.: ...........................................................
5. Si: halle la extensin de la expre-sin:
E = 2 cos + 3
Rpta.: ...........................................................
6. Si: halle la extensin de la expre-sin:
M = 3 + 4 sen
Rpta.: ...........................................................
7. Si: , halle la extensin de laexpresin: E = 5 2 cos .
Rpta.: ...........................................................
-
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
143SISTEMA HELICOIDAL
8. Si: , calcule el mximo valor de laexpresin:
Rpta.: ...........................................................
9. Si: , adems: k = 2 sen2 3 cos
2,
calcule: K(mx.) K(mn.)
Rpta.: ...........................................................
10.Halle la extensin de la expresin:A = (2 + sen ) (2 sen )
Rpta.: ...........................................................
11.Halle la extensin de la expresin:
Rpta.: ...........................................................
Rpta.: ...........................................................
13.Cul de las siguientes igualdades es posible?
Rpta.: ...........................................................
14.Calcu le s i : a , b > 0 ta l que :
Rpta.: ...........................................................
15.Calcule la extensin de:I. K= sen (sen + 1)
II.
Rpta.: ...........................................................
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
144 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Calcule el mnimo de:
A) 5 B) 1 C) 2 D) 1 E) 5
2. Calcule la suma de los valores enteros de laexpresin: E = 4 cos + 1
A) 10 B) 15 C) 16 D) 9 E) 5
3. Calcule el valor de k si: 2 sen 3 k = 1
A) B) C)
D) E)
4. Si: , adems: , calcule lasuma de los valores enteros de a.
A) 25 B) 24 C) 23
D) 22 E) 18
5. Calcule los valores si:
A) B) C)
D) E)
6. Si: , halle la expresin:
A) B) C)
D) E)
7. Halle los valores de a si:,
adems:
A) B)
C) D)
E)
8. Calcule la extensin de la expresin:
A) [0; 2[ B) [0; 1] C) [1; 2]
D) ]0; 2[ E) [0; 2]
9. Calcule la extensin de la expresin:
A) B) [1; 2] C)
D) E)
10.Calcule el mnimo valor de la expresin:
k = cos (cos 1)
A) B) C)
D) E) 1
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
145SISTEMA HELICOIDAL
INTRODUCCIN:
A continuacin se estudiarn las equivalencias
que relacionan las razones trigonomtricas de un
mismo ngulo, dichas identidades tiene un papel
muy importante en la matemtica, fsica, etc, en las
cuales se utiliza para simplificar y poder obtener una
expresin equivalente la cual puede ser ms sencilla
para analizarla.
Como todas las identidades trigonomtricas son
igualdades que se verifican para todo valor admi-
sible de la variable angular (arco). Seguidamentepresentamos algunos ejemplos de identidades.
Bueno seor lector para que usted tenga un
mejor entendimiento de lo que es un valor admisi-
ble, preste atencin a lo siguiente: Las identidades
trigonomtricas slo se pueden aplicar cuando las
razones trigonomtricas de un cierto ngulo estn
definidos o tienen un valor determinado.
Ejemplo:
i) tg 60 =
( es un valor real; tiene un valor fijo) en-tonces podemos utilizar las identidades
ii) ctg 180 (no tiene un valor real)
es decir ctg180En consecuencia no se puede utilizar la identi-dad
(esto es incorrecto)
De donde afirmamos que:
Seguidamente se citan las identidades trigo-
nomtricas fundamentales acompaados de sus
respectivas restricciones.
IDENTIDADES TRIGONOMTRICASFUNDAMENTALES
Identidades Pitagricas.
Identidades Por Cociente.
Conocerlasidentidadesbsicasyreconocerlasformasalternativasdecadauna.
Conocerlastcnicasempleadasparalaverificacindecadaunadelasidentidades.
Conocerlasdiversaspropiedadesdelasidentidadestrigonomtricas.
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
146 PASCUAL SACO OLIVEROS
Identidades Recprocas.
A continuacin se presenta algunas demostraciones
a partir de un arco dirigido en posicin normal
.
Dado un arco .
P pertenece a la C.T. entonces debe utilizar la
ecuacin de la C.T. esto es:
De donde:
(Identidad Pitagrica)
Por definicin:
... (1)
como tg( rad) = tg ... (2)
(2) en (1)
(Identidad por Cociente)
Por definicin:
... (1)
como csc( rad) = csc ... (2)
(2) en (1)
(Identidad Recproca)
Los problemas sobre identidades los podemos
dividir en cuatro grupos.
i) Problemas de demostracin.ii) Problemas de simplificacin o reduccin.iii) Problemas sobre eliminacin de la variable
angular.
iv) Problemas condicionales.
En este ltimo problema es donde se debe teneren cuenta acerca de los valores admisibles, en los
dems no, se sobreentiende que en ellos se trabaja
con valores admisibles.
Ejemplo 1:
Si: , calcule sen cos
Resolucin:
De donde:
Ejemplo 2:
Simplifique la expresin:
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
147SISTEMA HELICOIDAL
Resolucin:
Se sabe que
Luego:
Como:
PROPIEDADES
Ejemplo 1:
Si: . Calcule sen
Resolucin:De:
Se observa que:
Ejemplo 2:
Calcule tg si se cumple que
Resolucin:
De: 3sen 4cos = 5
Se observa que
Como:
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
148 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Demustrese que:Resolucin:
i) sec2x= 1 + tg
2x
csc2
x= 1 + ctg2x
sec2x+ csc
2x= 2 + tg
2x+ ctg
2x
ii)
Pero: tgxctgx= 1
iii) De (ii):
2. ProblemaDemustrese que:
Resolucin:
1. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
2. Simplificar: E = tg (csc sen )
Rpta.: ...........................................................
3. Calcule k si: ctg2x cos
2x = k ctg
2x
Rpta.: ...........................................................
4. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
5. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
6. Simplificar:
Rpta.: ...........................................................
7. Si:calcule sen cos
Rpta.: ...........................................................
8. Si: , calcule (tg2 + ctg
2
)
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TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A
149SISTEMA HELICOIDAL
Rpta.: ...........................................................
9. Si: sec tg = 3, calcule tg
Rpta.: ...........................................................
10.Si: 1 + tgx= a secx1 tgx = b secx
calcule (a2
+ b2)
Rpta.: ...........................................................
11.Si: 3 senx + 4 cosx = 5
calcule
Rpta.: ...........................................................
12.Si:calcule senxcosx
Rpta.: ...........................................................
13.Si: reducir:
Rpta.: ...........................................................
14.Si: reducir:
Rpta.: ...........................................................
15.Simplificar:
Rpta.: ...........................................................
1. Reducir: K= senxsecxctgx+ 1A) 1 B) sen
2x C) csc
2x
D) 2 E) 3
2. Reducir:
A) 1 B) 2 C) 2 sen cos
D) 4 E) 4 sen cos
3. Simplificar: K= senxtgx+ cosx
A) secx B) cscx C) tgx
D) ctgx E) 1
4. Calcule k si:A) 1 B) 2 C) 3
D) E)
5. Calcule k si: tg2x sen
2x = k tg
2
A) sen2x B) cos
2x C) sec
2x
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Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A
150 PASCUAL SACO OLIVEROS
D) csc2x E) ctg
2x
6. Reducir:A) tg2x B) ctg
2x C) tg
4x
D) ctg4x E) tg
6x
7. Si:calcule (secx + csc x)
A) B) C)
D) 1 E) 2
8. Si: tgx ctgx= 2, calcule (tgx+ ctgx)
A) B) 4 C)
D) E) 3
9. Si: cscx+ ctg x= 2, calcule ctgxA) 0,5 B) 0,75 C) 1
D) 1,25 E) 1,5
10.Si:
calcule
A) 1 B) 2 C)
D) E)