Minera y Geologa / v.30 n.2 /abril-junio / 2014 / p. 58-72 ISSN 1993 8012

Recibido: 15 enero 2014 Aprobado: 12 febrero 2014

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Contribucin al mtodo de interpolacinlineal con triangulacin de Delaunay

Arstides Alejandro Legr-LobainaDulce Mara Atanes-Beatn

Carlos Guilarte-Fuentes

Resumen

La interpolacin lineal con triangulacin es un mtodo idneo paraobtener el modelo digital del terreno cuando se conocen valores dealgunas cotas topogrficas en puntos de un rea geogrfica; sinembargo, solo pueden interpolarse puntos incluidos en la fronteraconvexa de la proyeccin de los puntos medidos y no se puedecuantificar mediante alguna frmula el error de interpolacin, por loque no es posible evaluar la calidad de los resultados, lo que dependede cierta relacin entre el muestreo topogrfico y la variabilidad de lasuperficie. Se presenta un procedimiento para complementar latriangulacin sobre la regin rectangular mnima que contiene lospuntos, as como un ndice para cuantificar el error geomtrico que secomete cuando se interpola el valor de la cota en un punto cualquieraperteneciente a dicha malla.

Palabras clave: Modelo digital del terreno; interpolacin lineal;triangulacin de Delaunay; error de interpolacin.

Minera y Geologa / v.30 n. 2 /april-june / 2013 / p. 58-72 ISSN 1993 8012

Received: 15 january 2014 Accepted: 12 february 2014

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Contribution to linear interpolation methodwith Delaunay triangulation

Abstract

The linear interpolation with triangulation is an ideal method to createa digital terrain model when knowing some survey data. However,only the points included in the convex frontier of the projection of themeasured points can be interpolated. The interpolation error can notbe quantified with any existing formula. Therefore, the results can notbe evaluated, which depends on a certain relation between surveysampling and surface variability. This article presents a procedure tocomplement the triangulation in a minimum rectangular regioncontaining the points in addition to an index to quantify the geometricerror when the coordinate value is interpolated in any point from thegrid.

Keywords: Digital terrain model; linear interpolation; Delaunaytriangulation; interpolation error.

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1. INTRODUCCIN

La modelacin de una superficie consiste en construir una expresin o unalgoritmo matemtico capaz de generar una red de m puntos espaciales(xj;yj;zj) tales que faciliten su visualizacin grfica o tabulada.

La Interpolacin Lineal con Triangulacin (ILT) constituye un mtodoidneo para la modelacin de superficies (Fallas 2007) cuando seconocen los valores de las n cotas Zi en los puntos de medicin Pi=(Xi;Yi)del plano XY donde i=1,2,,n tal que n>2.

El mtodo ILT se fundamenta en principios bsicos de la GeometraAnaltica del Plano y del Espacio, y su eficacia y eficiencia dependenprincipalmente de la cantidad y posicin de los puntos de medicin, enrelacin con la variabilidad de la superficie que se modela.

Para aplicar este mtodo se hace necesario establecer una triangulacinadecuada de los puntos Pi y es este el procedimiento de mayorcomplejidad porque, en general, para n puntos Pi del plano existe ms deuna triangulacin y de todas ellas debe seleccionarse la que mscontribuya a la eficacia del mtodo. Chen y Xu (2004) han establecido lossiguientes resultados tericos:

Una triangulacin de Delaunay puede ser caracterizada comoptima si minimiza el error de interpolacin (caracterizado por unanorma LP) para una funcin isotrpica dada entre todas lastriangulaciones posibles de un conjunto dado de vrtices, es decir:la distribucin de los vrtices se optimiza en el sentido deminimizar el error de interpolacin.

La triangulacin de Delaunay ptima es difcil de obtener en laprctica debido a la complejidad que implica caracterizar el errorde interpolacin.

Se introduce el concepto de triangulacin casi-ptima y a partir delmismo se presentan dos condiciones suficientes para que unatriangulacin sea casi ptima.

De estos resultados tericos resulta la necesidad de disponer de ndicesprcticos para evaluar el error de una interpolacin puntual en toda unaregin plana. El presente trabajo tiene el objetivo de sistematizar laaplicacin del mtodo de interpolacin lineal con triangulacin deDelaunay en la modelacin digital de terrenos, haciendo nfasis en laconstruccin de triangulaciones de mayor alcance geomtrico y en lapropuesta de un ndice para evaluar el error geomtrico de interpolacinlineal puntual.

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2. MODELO DIGITAL DEL TERRERNO

Un modelo digital del terreno (MDT) es el resultado de un proceso debsqueda y aplicacin de tcnicas y procedimientos que permiten explicarlas regularidades del comportamiento de una superficie topogrfica.Usualmente el modelo que se obtiene se muestra como una tabla tipomalla de valores (X;Y;Z) o mediante un grfico en 2D (por ejemplo, deisolneas) o en 3D (por ejemplo, de superficie). Esa modelacinmatemtica consta de las siguientes etapas (Deutsh y Journel 1998;Legr et al. 1999; Martnez et al. 2003 & Fallas 2007):

1. Diseo del muestreo de los puntos Pi=(Xi;Yi) que constituirn losdatos para la modelacin

2. Levantamiento topogrfico de los valores Zi

3. Obtencin de una triangulacin para los puntos Pi

4. Definicin de los parmetros de la malla

5. Estimacin de los valores de Z para los punto de la malla

6. Si fuera el caso, obtencin de los grficos solicitados.

El primer paso es el producto del consenso entre topgrafos, gelogos ymineros con alto nivel de competencia terica y prctica sobre el tema yse basa en los principios de la racionalidad y representatividad de lamuestra. El resultado es un diseo de muestreo que define cuntasmediciones topogrficas sern realizadas y dnde.

El segundo paso es ejecutado por tcnicos e ingenieros auxiliados porinstrumentos de altsima precisin con avanzadas tecnologascomputacionales y de comunicaciones. Se realizan medicionestopogrficas desde el aire o en el terreno, las cuales son procesadas yalmacenadas en formato (Pi;Zi)=(Xi;Yi;Zi) donde Zi es la cota o altura enel punto Pi.

En el paso 3 se debe obtener una triangulacin de los puntos Pi. Elresultado es un conjunto de tros de puntos donde cada uno de estostros define los tres vrtices de un tringulo.

En el paso 4 se definen los parmetros de la malla, a saber: Xmin, Ymin,Xmax, Ymax, nx (nmero de divisiones en el eje x) y ny (nmero dedivisiones en el eje y). El nmero de puntos de la malla se define comom = nx x ny.

En el paso 5 se debe estimar el valor de Zj para cada uno de los mpuntos Pj de la malla. El mtodo de estimacin puede ser cualquiera de

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los que aparece en la literatura y software afines a esta tarea (Deutsh yJournel 1998; Martnez et al. 2003 & Fallas 2007). En particular se aceptaque para este fin un mtodo apropiado es el de Interpolacin Lineal conTriangulacin.

3. TRIANGULACIN DE DELAUNAY

Dados un conjunto de n puntos M={(xj;yj), j=1,,m, m>2} siempre sepuede obtener su frontera convexa, que es un polgono P, tal que susvrtices son puntos de M y cualquier punto de M pertenece a la frontera oal interior de P (Figura 1).

Una triangulacin T sobre M es la determinacin de un conjunto detringulos cuyos vrtices pertenecen a M, la suma de sus reas es igualal rea determinada por el polgono P y, adems, la interseccin decualquier pareja de tringulos es un lado comn o un vrtice comn.

Figura 1. Frontera convexa de un conjunto de puntos M.

En particular, para un conjunto M de puntos no colineales donde:

m=3 se puede obtener una sola triangulacin (Figura 2a)

m=4 se pueden dos triangulaciones diferentes (Figura 2b).

Figura 2. Triangulacin a partir a de 3 puntos (a) y de 4 puntos (b).

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Es importante destacar que a todo tringulo T se asocia su circunferenciacircunscrita OT, cuyo centro es el punto de intercepcin de las tresmediatrices del tringulo y los vrtices del tringulo son puntos de lacircunferencia (Figura 3).

Figura 3. Circunferencias circunscritas de tringulos rectngulo, obtusngulo yacutngulo.

Para varias triangulaciones posibles del conjunto M, la triangulacin deDelaunay (TDM) es aquella que cumple la condicin siguiente: lacircunferencia circunscrita OT de cualquier tringulo T de la triangulacinTM no incluye ningn punto de M diferente a los vrtices de T.

Esta condicin maximiza la extensin del ngulo ms pequeo de la red,lo que significa que en las triangulaciones de Delaunay, los ngulostienden a ser prximos a 60o y, por tanto, los lados tienden a ser iguales,o sea, tringulos equilteros (Figura 4)

Figura 4. Triangulaciones. Delaunay (izquierda). No Delaunay (derecha).

Dado M existen varios procedimientos para obtener TDM (Lee ySchachter 1980 & Manzanilla 1993). En la presente investigacin se hautilizado el que propone Manzanilla (1993) e incluye los siguientes pasos:

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1. Determinar entre los puntos de M el de menor valor de Y y entre ellosel punto de menor valor de X. Se denomina punto mnimo Pmin y tienecoordenadas (Xmin; Ymin).

2. Obtener las distancias de todos los puntos de M al punto Pmin.

3. Ordenar los puntos de M segn el criterio de distancia a Pmin (primerolos puntos de menor distancia). Estos puntos ordenados se almacenanen el conjunto MO.

4. Construir el primer tringulo T1 con los tres primeros puntos de MO.Determinar la circunferencia circunscrita OT1.

5. Incorporar T1 a TDM.

6. Para j=4 hasta m hacer :

a) Si el punto (xj;yj)MO cae dentro de la circunferencia circunscritade algn tringulo de TDM ir a b; en caso contrario ir a c.

Un punto D=(Dx;Dy) est dentro de la circunferencia circunscritadel tringulo de vrtices A=(Ax;Ay), B=(Bx;By) y C=(Cx;Cy)tomados en sentido contrario a las agujas del reloj si es mayor quecero el determinante (Bronshtein 2007):

22

22

22

yyxxyyxx

yyxxyyxx

yyxxyyxx

DCDCDCDCDBDBDBDBDADADADA

Ecuacin 1

b) Puesto que el punto (xj;yj) est dentro de la circunferenciacircunscrita de un tringulo de TDM, se procede a eliminar esetringulo de la triangulacin y se crean nuevos tringulos uniendoel nuevo punto con todos los puntos posibles que son vrtices delos tringulos que an permanecen en TDM (Figura 5).

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Figura 5. Creacin de nuevos tringulos cuando el nuevo punto est dentro dela circunferencia circunscrita de un tringulo de TDM.

c) Se crean los nuevos tringulos posibles uniendo el nuevo puntocon otros puntos siempre que los segmentos resultantes nointercepten alguno de los lados de los tringulos existentes(Figura 6).

Figura 6. Creacin de nuevos tringulos cuando el nuevo punto no est dentroninguna circunferencia circunscrita de algn tringulo de TDM.

Puede notarse que las triangulaciones de Delaunay solo cubren el readelimitada por su frontera convexa, es decir, el polgono P. Sin embargo,es posible complementar esta triangulacin con tringulos que cubran elrectngulo mnimo que contiene los puntos medidos; este rectnguloest delimitado por los puntos P1=Pmin; P2=(Xmax; Ymin); P3=Pmax;

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y P4=(Xmin; Ymax), tal como se muestra en la Figura 7. Esto se lograuniendo cada punto P1, P2, P3, P4 con los puntos de P de manera que lossegmentos resultantes no intercepten alguno de los lados de lostringulos existentes.

Figura 7. Triangulacin de Delaunay y triangulacin complementaria dentro delos lmites de una malla rectangular.

3.1. Interpolacin lineal con triangulacin

El mtodo de interpolacin lineal con triangulacin de Delaunaypresupone que se tienen los puntos M={(xj;yj;zj),j=1,,m} y que sobreellos se tiene una triangulacin de Delaunay TDM. Para cada puntoE=(Ex;Ey) de una malla rectangular cuyos vrtices son los puntos P1, P2,P3, P4, se quiere estimar el valor de Z, o sea: Ez. En este caso tienen lossiguientes pasos:

1. Determinar a qu tringulo de TDM pertenece el punto E=(x;y). Estoes cierto para el tringulo de vrtices A=(Ax;Ay), B=(Bx;By) yC=(Cx;Cy) si se cumple la siguiente relacin entre las reas de lostringulos implicados:

1 EBCAECABE

ABC

rearearearea

Ecuacin 2

2. Hallar el plano P x + Q y + R z = S, que pasa por los puntosAe=(Ax;Ay;Az), Be=(Bx;By;Bz) y Ce=(Cx;Cy;Cz). Para ello se grupaconvenientemente el resultado que se obtienen al desarrollar eldeterminante (Bronshtein 2007):

0

zzyyxx

zzyyxx

zyx

ACACACABABAB

AzAyAx

Ecuacin 3

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Si las proyecciones de los puntos puntos Ae, Be y Ce en el plano XY sontodas diferentes, entonces R0.

3. El valor de Ez se obtiene evaluando Ex y Ey en la ecuacin del plano, osea (Bronshtein 2007)

REQEPS

E yxz

Ecuacin 4

La Figura 8 ilustra el procedimiento explicado.

a. b.

Figura 8. (a) Triangulacin de Delaunay. (b) estimacin del valor de Z en unpunto del tringulo 3.

Cuando el tringulo es interior a la frontera convexa P, el error deinterpolacin puede evaluarse teniendo en cuenta las relacionesgeomtricas entre los datos y el punto donde se estima (Figura 9a):

El ngulo de inclinacin del plano (positivo y en radianes)

El radio de la circunferencia circunscrita OT del tringulo quecontiene al punto a estimar (x;y)

La distancia euclidiana plana que se calcula entre el punto aestimar (x;y) y el centro de OT.

Teniendo en cuenta que max es el mximo de los radios de lascircunferencias circunscritas:

222arccos

2RQP

R

Ecuacin 5

Puede proponerse el siguiente ndice adimensional que estima el errorgeomtrico de interpolacin:

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max

Ecuacin 6

Donde est entre 0 ( o 0 ) y 1 ( 0 , max y 1 ).

Si el tringulo es exterior a P entonces se calcula la distancia entre elpunto a estimar y el vrtice externo Ve del tringulo (Figura 9b). Tambinse calculan las distancias D1e (entre los vrtices Ve y V1) y D2e (entre losvrtices Ve y V2); se propone el siguiente ndice adimensional:

max

21 ))((

ee

DD Ecuacin 7

Que est entre 0 ( eD1 o eD2 o 0 ) y 1 ( 0 ,2max21 eeDD

y 1 ).

Figura 9. Radio y distancia en tringulos interior (a) y exterior (b).

Es necesario precisar que en el presente trabajo, para la estimacin deeste error geomtrico de interpolacin , no se incluyen los factoresrelacionados con la exactitud de los datos medidos por los topgrafos quesin dudas tambin tienen una importante influencia en los resultados(Batista y Belete 2013).

4. CASO DE ESTUDIO

En un rea del yacimiento latertico ferroniquelfero Punta Gorda, de laempresa Comandante Ernesto Che Guevara, se han realizado medicionesde cota durante un levantamiento con fines de control de la minera. Losresultados del levantamiento (conjunto M de puntos) se muestran en laTabla 1. Ntese que las coordenadas E y las coordenadas N estnreferenciadas respecto a un sistema de coordenadas local. Las cotas Z serefieren a la altura del terreno con respecto al nivel del mar.

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Tabla 1. Datos del levantamiento topogrfico

5. RESULTADOS Y DISCUSIN

Aplicando el procedimiento descrito se obtuvo la triangulacin deDelaunay (Figura 10) y los tringulos complementarios que completan elrea de la malla rectangular.

Figura 10. Triangulacin de Delaunay y triangulacin complementaria para elcaso de estudio.

E (m) N (m) Z (m) E (m) N (m) Z (m)269,75 300 45 275,25 297,46 50269,75 297,46 46 280,75 292,39 52267 284,77 47 286,25 284,77 51269,75 287,31 46 283,50 282,23 48275,25 279,69 48 291,75 279,69 47283,50 272,08 52 294,50 274,62 47294,50 267 53 297,25 282,23 46297,25 272,08 49 297,25 289,85 48300 269,54 52 300 294,92 49300 300 51 280,75 300 50

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Tomando una malla que tiene Xmin=267 m; Xmax=300 m; Ymin=267 m;Ymax=300 m, nx=40 y ny=40, y aplicando el procedimiento deinterpolacin lineal, se obtiene una malla de 1 600 puntos que se puedengraficar, tal como se muestra en la Figura 11.

Para cada punto de la malla tambin se obtiene, aplicando lasecuaciones 6 y 7, un ndice de error geomtrico de interpolacin . Elcomportamiento del ndice se muestra en las isolneas de la Figura 12.

Figura 11. Isolneas construidas a partir de las interpolaciones.

Figura 12. Isolneas construidas a partir de los ndices de error de lasinterpolaciones. Los puntos representan en 2D los datos de laTabla 1.

270 275 280 285 290 295 300

270

275

280

285

290

295

300

45

45.5

46

46.5

47

47.5

48

48.5

49

49.5

50

50.5

51

51.5

52

52.5

53

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Los resultados de interpolacin obtenidos son semejantes a los que seobtienen usando las tcnicas clsicas y con los procedimientospropuestos pueden ser estimadas adecuadamente las cotas Z en puntosexternos, respecto a la frontera convexa de los puntos del levantamiento.

Los valores de los ndices del error de interpolacin muestran que en lazona exterior de la frontera convexa los errores son mayores que en elinterior. Asimismo los errores disminuyen cuando el punto donde seestima est ms cerca de cada uno de los puntos de medicin (vrticesde los tringulos) y cuando los planos son menos inclinados respecto alplano horizontal Z=0.

6. CONCLUSIONES

Es adecuado y posible mejorar la triangulacin correspondiente aun conjunto de puntos dados (Xi;Yi) si a su triangulacin deDelaunay se le agregan los tringulos que completan el rea deuna malla rectangular mnima.

Se ha propuesto un ndice eficaz para evaluar el error geomtricode interpolacin lineal con triangulacin de Delaunay.

7. REFERENCIAS

FALLAS, J. 2007: Modelos digitales de elevacin: Teora, mtodos deinterpolacin y aplicaciones. Mapealo.Com, San Jos, Costa Rica, p.83. [en lnea]. Disponible en: http://www.mapealo.com/costaricageodigital/documentos/alfabetizacion/mde_teoria_2007.pdf.

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MARTNEZ-VARGAS, A.; LEGR-LOBAINA, A. A.; FERRERA-ALBA, N. & MENA-MATOS, L. F. 2003: Modelo digital del relieve original del yacimientoPunta Gorda. Minera y Geologa 19(3-4): 103-119.

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MANZANILLA, R. 1993: Generacin automtica de triangulaciones deDelaunay. En: I Seminario Venezolano de Mtodos Numricos enIngeniera. Caracas, Venezuela, p. 77-91.

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Arstides Alejandro Legr Lobaina. alegra@ismm.edu.cuDoctor en Ciencias Tcnicas. Profesor Auxiliar.

Centro de Energa y Tecnologa Avanzada de Moa.Instituto Superior Minero Metalrgico, Moa, Cuba.

Dulce Mara Atanes Beatn. atanes@fco.uo.edu.cuMster en Ciencias. Profesor Asistente.

Facultad de Civil. Departamento de Hidrulica.Universidad de Oriente. Santiago de Cuba, Cuba

Carlos Guilarte Fuentes carlos@cug.co.cu.Mster en Ciencias. Profesor Asistente.

Departamento de Ciencias Bsicas. Universidad de Guantnamo,Guantnamo, Cuba.

1. INTRODUCCIN2. MODELO DIGITAL DEL TERRERNO3. TRIANGULACIN DE DELAUNAY3.1. Interpolacin lineal con triangulacin

4. CASO DE ESTUDIO5. RESULTADOS Y DISCUSIN6. CONCLUSIONES7. REFERENCIAS