COBAO 04 EL TULE

“PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA”

MARTINEZ MARTINEZ CHRISTIAN

PERMUTACIONES

Son las agrupaciones o variaciones sin repetición que pueden

formarse con todos los elementos de un conjunto. Se denota por pn

y su numero viene dado por pn=n!

EJERCISIOS:

1.- ¿cuántas diferentes quintas de baloncestos pueden formarse

con siete jugadores disponibles para jugar cualquier posición?

p5=25207

2.-determina cuantos números de cinco cifras pueden formarse con

los digitos 1,2,3,4 y 5 sin repetir ningún digito.

p5=1205

3.- calcula el numero de permutaciones diferentes que pueden

formarse con las letras de la palabra MATEMATICAS tomadas a la

vez.

Letra A= 3 veces p711=1663200

Letra B= 2 veces

Letra M= 2 veces

4.- Calcular el número de permutaciones diferentes que pueden

formarse con las letras A,B,C,D,E,F que contenga 3 letras cada

una:

p3=1206

5.- ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con

los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

p55=120

6.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas

en una fila de butacas?

p88=40 ,320

7.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas

alrededor de una mesa redonda? ( como se trata de una mesa

redonda no podemos determinar un principio y un final, debemos

fijar un punto fijo donde se sentara una persona, asi que solo

serán 7 personas)

p77=5040

8.- Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones

distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? 24x2=48

p44=24

9.- ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un

equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede

ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10

posiciones distintas.

p1010=3628800

10.- Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de

cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el

secretario siempre van juntos?

Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el

segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

.

p77=5040=5040 (2 )=10080

“COMBINACIONES”

Dado un conjunto A, las combinaciones de sus “n” elementos

tomados de “m” en “m” son el numero de subconjuntos de tamaño

“m” que se pueden formar, considerando que dos subconjuntos

difieren en al menos un elemento, pero no en el orden en el que

están los mismos. Se representa por cmn

EJERCISIOS:

1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité

formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se

pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

c353 =6545

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del

arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

c73=35

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos

entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

c102 =45

5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de

rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

c496 =13983816

6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos

se puede informar con sus vértices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se

pueden trazar entre 2 vértices.

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Son  , a las que tenemos que restar los lados que

determinan 5 rectas que no son diagonales.

c52−5=5diagonales

c53=10 triangulos

7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma

un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede

formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

(c¿¿52)(c73 )=10 (35 )=350¿

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

(c¿¿52)(c62 )=10 (15 )=150¿

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

(c¿¿32)(c73 )= (3 ) (35 )=105¿

8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores.

¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco

monedas?

c51+c5

2+c53+c5

4+c55=5+10+10+5+1=31

9.- en una maquiladora se presentan a solicitar trabajo 9 hombres y

5 mujeres. ¿de cuantas formas el jefe de personal puede hacer la

selección si únicamente puede contratar a 6 hombres y a 3

mujeres?

(c96) (c53 )=84 (10 )=840 formas

10.- el numero de maneras en que se pueden extraer tres elementos

del conjunto{3,5,7,11,14} es

c35=10

DISTRIBUCION BINOMIAL

1.-Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la

probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

2.-Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas

de la misma edad y que disfrutan de buena salud.

Según las tablas actuales, la probabilidad de que una

persona en estas condiciones viva 30 años o más es

2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30

años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

3.-Si de seis a siete de la tarde se admite que un

número de teléfono de cada cinco está comunicando,

¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10

números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen

dos?

B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5

4.-La probabilidad de que un hombre acierte en el

blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la

probabilidad de que acierte exactamente en tres

ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por

lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas.

Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el

proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces.

Calcular la media y la desviación típica.

B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3

6.-Un laboratorio afirma que una droga causa de

efectos secundarios en una proporción de 3 de cada

100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro

laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica

la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes

sucesos?

1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

7.-En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que

el 5% de los conductores controlados dan positivo en la

prueba y que el 10% de los conductores controlados no

llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También

se ha observado que las dos infracciones son

independientes.

8.-Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar.

Si tenemos en cuenta que el número de conductores es

suficientemente importante como para estimar que la

proporción de infractores no varía al hacer la selección.

1. Determinar la probabilidad a de que

exactamente tres conductores hayan cometido alguna

de las dos infracciones.

9.-La probabilidad de que un artículo producido por una

fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un

cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.

Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la

varianza y la desviación típica.

10.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

P (x = 6) = 0,205

DISTRIBUCION NORMAL

1.-El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y

desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días.

t1 = -y  t2 = (7 -5)/1 = 2

En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días es del 97,7%.

 

 

2.- La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que se distribuye según una distribución normal En un lote de 10.000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se estropearán antes de 60 meses?

a)

t = (75 -68)/5 = 1,4

P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t ≤ 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superarán los 75 meses

b)

t = (60 -68)/5 = -1,6

P (X ≤ 60) = (t ≤  -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t ≤  1,6) = 0,0548

Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegarán probablemente a durar 60 meses

 

3.- Una máquina despachadora de café está regulada para que descargue en promedio 207 mililitros por vaso. Si la cantidad de líquido está distribuida en forma Normal con una desviación estándar igual a 15 mililitros:

a)¿Qué porcentaje de los vasos contendrá más de 231 mililitros?.

Sea Y la variable aleatoria que representa la cantidad de líquido descargada por la máquina.

Entonces:

P(Y > 231) = P[ Z >  ] = P( Z > 1.6) = 1 -( 1.6) = 0.0548

4. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus

dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga

que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3

meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva

µ = 40 y σ = 6.3 Página 2 de 3

2

a) más de 32 meses

P(X > 32) = 1 - Φ[(32 – 40)/6.3 ] = 1 - Φ[-1.27 ] = 1 – 0.1021 = 0.8979

5. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro

por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a

15 mililitros,

µ = 200 y σ = 15

a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?

P(X > 224) = 1 - Φ[(224 – 200)/15 ] = 1 - Φ[1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548

6. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad.

El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8

minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.

µ = 24 y σ = 3.8

a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?

P(X > 30) = 1 - Φ[(30 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[1.58 ] = 1 – 0.9428 = 0.0572

7. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de

dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de

garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe

ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.

µ = 10 y σ = 2

P3 Área = 0.03 Φ( Z ) = 0.03 Z = -1.88

x = Zσ + µ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24

8. una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una

desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se

pagan al centavo más próximo

µ = 15.90 y σ = 1.5

a) ¿qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por

hora?

P(13.75 < X < 16.22) = Φ[16.22 – 15.90)/1.5 ] - Φ[(13.75 – 15.90)/1.5 ]

= Φ[0.21 ] - Φ[- 1.43] = 0.5845 – 0.0759 = 0.5086