TRANSFORMADOR REAL Norberto A. Lemozy

1 INTRODUCCIN En los transformadores reales no se cumplen las premisas que definan a los ideales, pero se

les aproximan mucho, especialmente en las unidades de gran potencia, en efecto, se tiene que:

Tabla I. Caractersticas de los transformadores reales.

Pero R > 0 Son pequeas.

PFe > 0 Son pequeas. Fe < Es muy alta. C > 0 Son muy pequeas.

Si bien estas diferencias son pequeas, en la mayora de los casos, deben ser tenidas en cuenta.

Una conclusin inmediata de lo establecido en la tabla I, es que el rendimiento, auque muy elevado, resulta menor que la unidad y adems se producirn cadas de tensin, en general muy pequeas.

A continuacin se hace un anlisis de las principales consecuencias de las diferencias establecidas en la tabla I y como se las tiene en cuenta para establecer un circuito equivalente del transformador real.

2 EL FLUJO Y LA REACTANCIA DE DISPERSIN Cuando se estudi el reactor, al flujo se lo consider nico, porque no era necesario hacer

ninguna separacin; pero en el estudio de las mquinas elctricas, en general conviene separar el flujo que se cierra principalmente a travs del hierro, y concatena a los distintos arrollamientos de la mquina; del que se cierra principalmente por el aire y concatena a un solo arrollamiento, al que se lo denomina flujo de dispersin o en aire.

El flujo que se cierra principalmente a travs del hierro, se denomina flujo mutuo o principal, es mucho mayor que el de dispersin y es el responsable de la transferencia y de la conversin de la energa.

En realidad el flujo dentro de las mquinas es nico y la divisin en mutuo y disperso, la que es un tanto arbitraria y naturalmente imprecisa, resulta muy til y es de uso generalizado. La razn de esta divisin es que el flujo disperso, al cerrarse principalmente por el aire, y como se vio al estudiar el reactor en aire, es proporcional a la corriente que lo est produciendo y est en fase con la misma, por lo que sus efectos prcticamente no estn afectados por alinealidad del ncleo ferromagntico.

En la figura 1 se muestra un esquema de un transformador, con ncleo de columnas y de dos arrollamientos donde, por razones de claridad en el dibujo, se han colocado al primario y al secundario en columnas separadas, lo no es usual por el gran flujo disperso que se producira.

1

En esa figura se han indicado esquemticamente los flujos mutuo y de dispersin d que se produciran con esa configuracin de arrollamientos y con la fuerza magnetomotriz F1 = N1 I1 mayor que la F2 = N2 I2 como es lo normal.

1 2

d1 d2

d1

d2

I I

Fig. 1. Flujos mutuo y de dispersin.

Al dividir el flujo en dos partes, cada uno de ellos producir una fuerza electromotriz inducida, y, por ejemplo, la tensin primaria del transformador de la figura 1, se puede expresar como:

11111 IrEEU d &&&& ++= (1) Donde el subndice 1 denota al primario y E y Ed son las fuerzas electromotrices inducidas por

los flujos mutuo y de dispersin primario, respectivamente. Como la fuerza electromotriz Ed1 es proporcional al flujo disperso, y como ste se cierra principalmente por el aire, donde no hay saturacin, ese flujo es proporcional a la corriente I1; por lo tanto la fuerza electromotriz de dispersin resulta prcticamente proporcional a la corriente que la est produciendo, est en cuadratura con ella, figura 2, y se la puede expresar como:

111 IxjEd && = (2) E d

d I

Fig. 2. Corriente, flujo y fem de dispersin.

En la que el operador j se agrega para tener en cuenta que la fuerza electromotriz inducida adelanta 90 grados al flujo y a la corriente que lo estn produciendo. Como esta situacin es semejante a lo que ocurre en una reactancia inductiva, al coeficiente de proporcionalidad se lo indica con una x, se lo denomina reactancia de dispersin y es prcticamente constante.

Reemplazando la ecuacin (2) en la (1), resulta:

( ) 1111111111 IxjrEIrIxjEU &&&&&& ++=++= (3)

2

Si bien es posible aplicar el mismo criterio a la fuerza electromotriz inducida E1, la reactancia resultante, de tipo magnetizante, debido a la saturacin del ncleo ferromagntico, no es constante, y su aplicacin no es tan frecuente, no obstante hay modelos de mquinas que as lo hacen y son usados para el estudio de transitorios.

Por lo dicho las ecuaciones de tensin de un transformador monofsico de dos arrollamientos resultan:

( ) 11111 IxjrEU &&& ++= (4)

( ) 22222 IxjrEU &&& += (5) Donde el subndice 2 de la ecuacin (5) denota al secundario y el cambio de signo es

consecuencia de las convenciones de signo adoptadas, a saber: el primario en convencin consumidora y el secundario en convencin generadora como se estableci al estudiar el transformador ideal.

Las cadas de tensin en la resistencia y en la reactancia de dispersin de los arrollamientos, son un pequeo porcentaje de la respectiva fuerza electromotriz inducida.

Representando fasorialmente las ecuaciones (4) y (5) resulta la figura 3, donde las cadas de tensin en las resistencias y en las reactancias de dispersin se han ampliado para mayor claridad en el dibujo.

U

I

1

1

1

d1

1E

E d1

d1E = j x 1I

r I11

1

2

2 2Ir

I2E = j xd2

d2E

E 2

d2

2

2

2

I

U

Fig. 3. Diagramas fasoriales del primario y del secundario.

Los ngulos de las corrientes I1 e I2 dependen de la carga del transformador, en el ejemplo de la figura 3, se supuso una carga del tipo inductivo resistivo, de forma que las corrientes resulten atrasadas de las respectivas tensiones U1 y U2 en los ngulos 1 y 2 respectivamente; ngulos que, debido a los pequeos valores que tienen las impedancias de los arrollamientos, son muy prximos entre s. La relacin entre las corrientes I1 e I2 se establece en el punto siguiente. 3 FUERZAS MAGNETOMOTRICES

Como se vio en el transformador ideal la suma de las fuerzas magnetomotrices primaria y secundaria dan la fuerza magnetomotriz resultante que es la que produce el flujo mutuo, ese mismo criterio se aplica al transformador real, pero en ste caso la resultante no puede ser nula debido a la reluctancia no nula del ncleo:

3

00

21 >==+= &&&&&FeFe

FeR S

lFFF R (6) Reemplazando las fuerzas magnetomotrices del primario y del secundario y teniendo en

cuenta las convenciones de signo, resulta:

RFININ &&& = 2211 (7) Si el transformador, como es lo normal, est alimentado a tensin y frecuencia constantes, el

flujo y la fuerza magnetomotriz resultante, tambin deben serlo, en efecto como ocurre en todas las mquinas elctricas la diferencia entre la tensin aplicada U y la fuerza electromotriz inducida E es pequea y entonces:

cte cte ctey cte44,4

=

==R

mx FfUNfE (8)

Lo anterior se debe cumplir en todas las condiciones de funcionamiento. En el caso particular del funcionamiento en vaco, es decir sin carga, que se indica con un subndice 0, se tiene:

02

01

==

III

&&&

(9)

Donde I0 es la denominada corriente de vaco, mucho menor que la nominal. Entonces, cuando el transformador est sin carga, la ecuacin (7) queda:

RFIN && =01 (10)Reemplazando en la ecuacin (7) el valor de la fuerza magnetomotriz resultante por la dada en

(10):

012211 INININ &&& = (11)Que es la ecuacin de fuerzas magnetomotrices de un transformador real. Esta ecuacin se puede reescribir de la siguiente manera:

0212

1

2

1

21 IIIa

II

NN

II &&&&&&& === (12)

Donde I2 es la corriente secundaria referida al primario y reordenada resulta:

021 III &&& += (13)4 LA RELACIN DE TRANSFORMACIN

El valor eficaz de cada una de las fuerzas electromotrices inducidas es:

= 11 44,4 NfE (14)

= 22 44,4 NfE (15)Haciendo el cociente de las ecuaciones (14) y (15) se obtiene la relacin de transformacin

4

2

1

2

1

EE

NNa == (16)

Como en el transformador real las tensiones difieren ligeramente de las fuerzas electromotrices inducidas y el segundo miembro de la ecuacin (11) no es nulo por la presencia de la corriente de vaco; la relacin de las tensiones o de las corrientes difiere ligeramente de la relacin de transformacin definida por la relacin de espiras o fuerzas electromotrices.

1

2

2

1

II

UUa (17)

Como se ver oportunamente, bajo determinadas condiciones de funcionamiento del transformador, la relacin (17) se aproxima mucho a la relacin de transformacin (16). 5 CIRCUITOS EQUIVALENTES DEL TRANSFORMADOR

En el modelo circuital o circuito equivalente del transformador real se deben cumplir las ecuaciones (4), (5) y (13), Adems, y como ya se vio en el reactor, la corriente de vaco conviene descomponerla en sus componentes magnetizante Im y de prdidas Ip, la primera atrasada 90 de la E1 y la segunda en fase.

pm III &&& +=0 (18)El circuito que cumple con esas ecuaciones es el siguiente, figura 4, donde el subndice 1

denota al primario y el 2 al secundario. Para poner de manifiesto la componentes de prdidas y la magnetizante de la corriente de vaco, y como se hizo en el reactor con ncleo ferromagntico, se agregaron la resistencia de prdidas Rp y la reactancia magnetizante Xm. Se puede observar que para establecer las relaciones entre las fuerzas electromotrices E1 y E2 y las corrientes I2 e I2, el circuito tiene un transformador ideal de relacin a.

U

I a+

1

1 1 I

2

+

U1

+E 2

+E

r

R

x

X

I

III

1 2

p m

0

2 2r x2

p m

Fig. 4. Circuito equivalente exacto no referido.

Un posible diagrama fasorial con carga resistivo inductiva se indica en la figura 5, donde se supuso un transformador reductor con a 1,4 y los tringulos de cadas de tensin y la corriente de vaco se los dibuj bastante ms grande de lo que suelen ser para darle mayor claridad al dibujo. Si el dibujo se realiza en la escala correcta los ngulos de fase del primario 1 y del secundario 2 resultan muy poco diferentes entre s.

5

EU

I

II

0

rxj

2

22 2

22

2

2 11 1j x I1r I1

2I /a

1I

0I

1U

1E

Fig. 5. Diagrama fasorial exacto no referido con carga RL. Si el transformador hubiese tenido una relacin de transformacin mayor, no sera prctico

dibujar los diagramas fasoriales del primario y del secundario con las mismas escalas, porque resultaran muy desproporcionados. En ese caso es preferible dibujarlos por separado y con escalas distintas.

Las impedancias que estn a ambos lados del transformador ideal del circuito de la figura (4) se pueden referirlas y agruparlas todas de un mismo lado, por ejemplo, si la impedancia del secundario se refiere al primario, el circuito equivalente queda como se muestra en la figura 6.

U

I a+

1

1 1 I

2

+

U1

+E = E 2

+U = aU

r

R

x

X

I = I /a

III

1 2

p m

0

2 2r x2

p m

2

2 2

Fig. 6. Circuito equivalente exacto referido al primario.

12

2

122

221

22

2

22

2

IaII

UUaUEaEE

xaxrar

&&&

&&&&&&

==

====

(19)

Cuando se trabaja con parmetros referidos a un mismo lado del transformador, resulta muy cmodo hacer el diagrama fasorial de esa parte solamente, por ejemplo para el caso del circuito de la figura 6 se hara solamente el del primario y de esta forma se evitan los problemas de escalas mencionados ms arriba.

6

A modo de ejemplo, en la figura 7, se muestra el diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente referido al primario de la figura 6, cuando el transformador tiene una carga resistivo inductiva.

E'

U'

I'

I'I'

0

r' x'j

2

22 2

22

2

2 1

1

1j x I

1r I

1

1I

0I

1U1E

Fig. 7. Diagrama fasorial exacto referido con carga RL. Si el transformador est alimentado por una fuente de tensin U1 y tiene una carga Zc en el

secundario, el circuito resulta como el de la figura 8 donde, donde para simplificar, las impedancias se indicaron como rectngulos.

U

I a

1

1 I

2U1

+E = E 2

+U

z

Z

I

I

12

0

0

22z

2

+

+

CZ

Fig. 8. Transformador con carga.

mp Xj

RY

Z

jxrzjxrz

1111

'''

00

222

111

==

+=+=

&&&&

(20)

En la figura 8 la impedancia de carga que se encuentra a la derecha del transformador ideal, tambin se puede referir al primario del mismo y resulta el circuito de la figura 9.

7

UI

1

1

1

+E = E 2

+U

z

Z

I

I

1

0

0

22z

2

+

CZ

Fig. 9. Transformador con carga referida al primario.

cc ZaZ && 2= (21)Al resolver el circuito de la figura 9 se obtienen valores referidos de tensin y de corriente

secundarias, para obtener los verdaderos valores, presentes en la carga, se debe realizar el proceso inverso:

22

22

IaIa

UU

=

=&&

&& (22)

5.1 Circuitos aproximados Los circuitos mostrados en las figuras 4, 6, 8 y 9, donde las impedancias del transformador

estn formando una T, se denominan exactos y son circuitos de dos mallas cuya solucin, si bien no es compleja, no es directa. Como en todos los transformadores se cumple que:

021 Zzz &&&

Este es el circuito normalmente utilizado para la determinacin de los parmetros y del rendimiento del transformador.

U'I'

I'

I'0

r'

x'j e

e 2

2

22

2 = 0

1

1I0I

1U

Fig. 11. Diagrama fasorial aproximado con rama paralelo y carga R.

Para el clculo de la distribucin de cargas y de las cadas de tensin se emplean circuitos sin rama en paralelo, como el de la figura 12.

U

I =

1

1

2

+U

I 2ez

+

CZ

Fig. 12. Circuito equivalente aproximado sin rama en paralelo.

En la figura 13 se muestra el diagrama fasorial correspondiente al circuito de la figura 12 con una carga capacitiva, donde se puede observar que la tensin de secundaria en carga U2 referida, resulta mayor que la tensin de entrada U1.

U'

I' =

I'

I'0 r'

x'j e

e 2

2

2

2

2 1

1I

1U

Fig. 13. Diagrama fasorial aproximado sin rama paralelo y carga RC.

Estas simplificaciones son posibles debido a lo dicho en la introduccin: las diferencias entre los transformadores reales y los ideales son pequeas.

En algunos casos particulares y en transformadores de gran potencia, es posible hacer an ms simplificaciones, como ser despreciar la resistencia equivalente re o hasta suponerlos ideales.

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6 BIBLIOGRAFA EE Staff del MIT: Circuitos Magnticos y Transformadores Editorial Revert, 1943. A. E. Fitzgerald, C. Kingsley y A. Kusko: Mquinas Elctricas Ed. Mac Graw Hill, 1975. Stephen J. Chapman: Mquinas Elctricas Editorial Mac Graw Hill, 2005. B. S. Guru y H. R. Hizirolu: Mquinas Elctricas y Transformadores Editorial Oxford University Press, 2003.

Ing. Norberto A. Lemozy 2010

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