Transformada Z

Francisco Carlos CalderónPUJ 2009

Objetivos1. Definir la trasformada Z y estudiar algunas de

sus propiedades.2. Analizar sistemas discretos utilizando la

transformada Z.

La transformada Z nznx ny

nhnxny

kk

knxkhknhkxny

k

knzkhny

Sea La entrada a un SLIT, su salida

está determinada por:

Por lo tanto al reemplazar se obtiene:

La transformada Z

k

kn zkhzny

k

knzkhny

nzzHny

k

kzkhzH

Esta sumatoria de define como la trasformada Z de h[n].

La transformada Z

n

stts dtenTtnTxsX )()()(

Siendo Xs(s) la transformada de laplace de una señal muestreada mediante un tren de impulsos de periodo T

n

ts nTtnTxtx )()()(

)()( nTxnx t

n

snTts enTxsX )()( sTez

n

nts znTxzX )()(

n

nznxzX )()(

La transformada Z

n

nznxzX )()(

0

)()(n

nznxzX

La transformada Z de una señal en tiempo discreto de define como:

Si la señal es causal, la transformada Z bilateral cambia a la transformada Z unilateral definida como:

zXnx

La transformada Z

n

nznxzX )()(

jerz

nj

n

enxX

)()( jezSi =>

n

njj ernxreX )(

n

njnj ernxreX )(

nj rnxFreX )(

Convergencia de la transformada ZPara que la transformada Z converja, es

necesario que la Transformada de Fourier de:

converja, por lo tanto la transformada Z, posea un intervalo de valores de z para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

nrnx

Convergencia de la transformada Z

nuanx n 1 nuanx n

Hallar X(z). Hallar X(z).

azz

azzX

11

1

az

azz

azzX

11

1

az Con ROC

Ejemplo 2:

Con ROC

Propiedades de la ROC

i) La ROC de X(z) consiste de un “anillo” en el plano z centrado alrededor del origen.

ii)La ROC no contiene ningún polo.iii) Si x[n] es de duración finita, entonces la

ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z = 0 ó z = . 1 zXnnx Z

11 zzXnnx Z

zzXnnx Z 1

ROC = Todo el plano Z

ROC = Todo el plano Z, con excepción z=0

ROC = Todo el plano Z, con excepción z=

Propiedades de la ROC

iv) Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z| > r0 también estarán en la ROC.

v) Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales 0 < |z| < r0 también estarán en la ROC.

Propiedades de la ROC

vi) Si x[n] es bilateral y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces ésta consistirá de un anillo en el plano z que incluya al círculo |z| = r0.

vii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito

Propiedades de la ROC

viii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, y si x[n] es derecha, entonces la ROC es la región en el plano z fuera del polo más alejado. Donde puede incluir o no a |z| = .

ix) Si la trasformada Z de x[n] es racional, y si x[n] es izquierda, entonces la ROC es la región en el plano z dentro del polo diferente de cero más interno. Donde puede incluir o no a z = 0.

Transformada Z inversa

dzzZXj

nx n 1

21

nj rreXFnx 1

221 dereXrnx njjn

jerz

djzdejrdz j

Se acuerdan del teorema de los residuos???

Propiedades de la transformada Z • Linealidad:

• Desplazamiento de tiempo:

ZbYZaXnbynax Z ROCRR 21

00

nzzXnnx

ROC = R (Con posible adición o eliminación de cero o infinito.

Propiedades de la transformada Z• Escalamiento en Z

• Convolución zYzXnynx

ROCRR 21

00 z

zXnxz n

con ROC = |z0|R.

Propiedades de la transformada Z• Inversión en tiempo

• Conjugación

zXnx 1

ROC = 1/R

zXnx

ROC = R.

Propiedades de la transformada Z• Diferenciación en e dominio de Z

• Teorema del valor inicial

dzzdXznnx

ROC = R.

0,0 nnx 0lim xzXz

Si , entonces

Referencias

Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 8

Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 10 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ