Causa Nº 4676 VIVAS, Eduardo Raúl S/ Robo calificado por ...
TRANSFORMADA WAVELET, LOCALIZACIÓN TIEMPO...
35
TRANSFORMADA WAVELET, LOCALIZACIÓN TIEMPO FRECUENCIA Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC Paola Andrea Quiñones Roa Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad tecnológica 2015
Transcript of TRANSFORMADA WAVELET, LOCALIZACIÓN TIEMPO...
TRANSFORMADA WAVELET, LOCALIZACIÓN TIEMPO FRECUENCIA Y
ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC
Paola Andrea Quiñones Roa
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad tecnológica
2015
TRANSFORMADA WAVELET, LOCALIZACIÓN TIEMPO FRECUENCIA Y
ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC
PAOLA ANDREA QUIÑONES ROA
Trabajo de grado presentado para obtener el título de:
Ingeniera Electricista
Tutor: ING. CARLOS AVENDAÑO
BOGOTÁ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
2015
Nota de aceptación
___________________________
___________________________
Jurado 1
___________________________
Jurado 2
___________________________
Tutor
Bogotá, 15 de agosto de 2015
CONTENIDO
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................6
GLOSARIO ........................................................................................................................................7
ABSTRAC ..........................................................................................................................................8
RESUMEN......................................................................................................................................8
INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................................9
1. OBJETIVOS DEL PROYECTO ........................................................................................... 10
1.1. OBJETIVO GENERAL .................................................................................................. 10
1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ...................................................................................... 10
2. ESTADO DEL ARTE DE LA INVESTIGACIÓN, EL DESARROLLO TECNOLÓGICO
O LA INNOVACIÓN ...................................................................................................................... 11
2.1. Aplicación de las Wavelets ............................................................................................... 11
3. METODOLOGÍA .................................................................................................................... 13
3.1. Simulación de circuito con spice, xiling o similar: .......................................................... 13
3.2. Investigación de aplicación de transformada WAVELET: ............................................ 13
3.3. Desarrollo del modelo matemático mediante la ecuación del circuito ....................... 13
3.4. Desarrollo del documento final ......................................................................................... 13
4. MARCO TEORICO ................................................................................................................ 14
4.1. La serie de Fourier de una función .................................................................................. 14
4.2. Transformada de Fourier ................................................................................................... 15
4.3. Transformada inversa de Fourier ..................................................................................... 15
4.4. Introducción a las wavelets ............................................................................................... 16
4.5. Transformada wavelet continua ....................................................................................... 17
4.6. Transformada wavelet discreta ........................................................................................ 18
4.7. Método Galerkin ................................................................................................................. 19
5. DESARROLLO DEL PROYECTO ...................................................................................... 19
5.1. Ecuación diferencial ....................................................................................................... 19
5.2. Aplicación de la transformada de Fourier ................................................................... 22
5.3. Aplicación de la transformada Wavelet: método Galerkin ....................................... 27
5.4. Aplicación de transformada wavelet con Matlab ....................................................... 30
6. CONCLUSIONES .................................................................................................................. 33
7. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 34
8. INFOGRAFÍA .......................................................................................................................... 35
6
LISTA DE FIGURAS
1. Circuito RLC no lineal
2. Señal de corriente con ruido dada por el circuito descrito
3. Señal de corriente esperada
4. Aplicación de la transformada Wavelet con matlab
5. Continuación de la aplicación de la transformada Wavelet con matlab
6. Señal obtenida con Wavelet Vs. Señal inicial.
7
GLOSARIO
Circuito RLC: Es un circuito que contiene resistencias, bobinas y condensadores.
Derivada: Límite del incremento de la función cuando el incremento de la variable
tiende a cero.
Dominio: Conjunto para los cuales la función o variable se encuentra definida.
Dominio de la frecuencia: Análisis de funciones y señales en relación a su
frecuencia.
Dominio del tiempo: Análisis de funciones y señales en relación al tiempo.
Frecuencia: Repetición por unidad de tiempo.
Tiempo: Magnitud para medir la duración.
Transformada Fourier: Es una aplicación matemática utilizada para transformar
señales en el dominio del tiempo y la frecuencia.
Transformada Wavelet: Es una aplicación matemática utilizada para procesar
señales, por medio de ventanas Gaussianas y que aplica diversos métodos como
Galerkin. Havet, etc.
8
ABSTRAC
Throughout history, researchers and engineers have had problems with getting
signal wave current, voltage, power, etc., because in about 70% of cases this signal
is diffuse or are very distorted respect to the expected results, for which several
processes have been proposed to correct these signals which involve Laplace
transforms, Gaussian windows, Fourier transform, however these have not been
entirely effective for correcting these signals. This document shows how the wavelet
transform is used to improve the waveform obtained from a RLC circuit, which
present a peak in the current waveform obtained in the simulation, the process will
relate throughout this document.
RESUMEN
A lo largo de la historia, los investigadores e ingenieros han tenido problemas con
la obtención de las ondas de señales de corriente, tensión, potencia, etc., ya que en
aproximadamente el 70% de los casos esta señal es difusa o se encuentra muy
distorsionada respecto a los resultados esperados; por lo cual se han planteado
varios procesos para corregir estas señales los cuales involucran transformadas de
Laplace, ventanas Gaussianas, transformada de Fourier; sin embargo estas no han
sido del todo eficientes para corregir estas señales. En el presente documento se
observa cómo se utiliza la transformada wavelet para mejorar la onda obtenida de
un circuito RLC, el cual presenta un pico en la onda de corriente obtenida en la
simulación, dicho proceso se describe lo largo de este documento.
9
INTRODUCCIÓN
Realizar el análisis de las señales de circuitos, es una necesidad que ha tomado
fuerza al pasar el tiempo, ya que las señales generadas contienen una distorsión y
un nivel de contaminación o ruidos bastante alto, debido a diversos fenómenos, lo
cual no permite determinar ciertos parámetros, tales como potencia, tensión,
corriente, etc., de forma clara. El procesamiento de señales permite a la rama de
ingeniería seguir evolucionando en la lectura y análisis de las mismas, de ahí el
concepto de implementar diversas transformadas o de utilizar modelos matemáticos
para el análisis de circuitos suena bastante lógico, ya que la matemática es una
herramienta de largo alcance que permite combinarse con las diferentes ciencias
para hallar un objetivo o entender los circuitos que se plantean y aunque todas las
transformadas buscan aclarar el análisis de las señales de los diferentes circuitos,
la mejor herramienta que hasta el momento se tienen, debido a sus alcances es la
transformada Wavelet.
Si bien es cierto que estas dos transformadas son similares, la transformada de
Fourier no permite cambios inesperados en el tiempo, lo que si permite la
transformada Wavelet. Este trabajo recopilará, los avances de transformada
Wavelet y mostrará cómo se puede despejar una señal para realizar un análisis de
la misma.
Para modelar los circuitos eléctricos RLC, se requiere tener una señal sin ruido, que
permita captar parámetros, la transformada Wavelet permite realizar la corrección
de estas señales por medio de ventanas (ventanas gaussianas), encontrando una
señal casi ideal para su comprensión, estudio y demás aplicaciones.
El análisis de Fourier hace parte fundamental del análisis para los equipos de
medición, tal como lo establece la IEC (International Electrotechnical Commission),
sin embargo tiene limitantes con señales no estacionarias, estas son aquellas que
cambian de amplitud de forma rápida en el tiempo, y por lo tanto no se pueden
analizar de forma eficiente; este trabajo muestra cómo mediante transformada
10
Wavelet se facilita el análisis de estas señales no estacionarias, o de frecuencia
distinta.
Con la transformada Wavelet es posible detectar pequeñas alteraciones que con
alguna otra transformada no son muy perceptibles, o en su defecto requieren hacer
un mayor procedimiento para hallarlas, tal como se puede observar en el trabajo
desarrollado bajo el título de “Comparación de la transformada de Fourier y la
transformada Wavelet continua en la detección de vibraciones”, en donde también
se evidencia que mediante la transformada Wavelet se puede obtener mayor
información de la señal
1. OBJETIVOS DEL PROYECTO
1.1. OBJETIVO GENERAL
Corregir la onda de la señal de tensión o corriente obtenida para un circuito RLC,
mediante transformada Wavelet
1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1. Desarrollar el modelo matemático del circuito RLC mediante la implementación
de la transformada Wavelet
2. Verificar el comportamiento de las señales del circuito RLC, antes y después de
la implementación de la transformada Wavelet 3. Analizar la señal después de
la utilización de la transformada Wavelet.
11
2. ESTADO DEL ARTE DE LA INVESTIGACIÓN, EL DESARROLLO
TECNOLÓGICO O LA INNOVACIÓN
El recorrido de la transformada Wavelet, inicia con la transformada de Fourier, ya
que esta marca el camino a la corrección de señales sinusoidales, utilizando
descomposición de señales periódicas en senos y cosenos durante el siglo XV,
donde tomo veracidad y fuerza; sin embargo al no ser tan eficaces con las
interrupciones en el tiempo, se empezaron a investigar otras opciones que
permitiera este alcance.
Durante el inicio del siglo XX, aproximadamente en el año 1910, el húngaro Alfred
Haar introdujo las wavelet, con su secuencia de funciones de un sistema ortonormal
contable para el espacio de las funciones de cuadrado integrable en la recta real;
aún sin utilizar el término específico “wavelet”. En 1930 Paul Levy, dijo que la
Wavelet de Haar era más apropiada para la descomposición de la señal que el
tratamiento a través de senos y cosenos de Fourier, trabajando en una de sus
aplicaciones sobre el movimiento Browniano.
A partir de finales de los 80, se empezaron los estudios de Wavelets, gracias a
Grossman y Morlet los cuales crean la forma teórica de la transformada Wavelete,
durante este mismo periodo se empieza con el desarrollo de algoritmos que hoy en
día se implementan, generada por Stephane Mallat.
Marks Calderon, con su escalamiento de imágenes mediante Interpolación basada
en la Transformada Discreta Wavelet de Daubechies, da un abrebocas a la
utilización de transformada wavelet y una de sus aplicaciones.
Desde entonces las aplicaciones de wavelet son diversas, tales como la eliminación
de distorsión en señales, eliminación de ruido en las imágenes, localización de
discontinuidades y puntos de fallas, comprensión de señales, etc.
2.1. Aplicación de las Wavelets
12
Una de las aplicaciones de la transformada Wavelet, fue para comprimir los archivos
de huellas digitales del FBI, en criminalística, durante el año de 1992, más adelante
alrededor de 1995, los estudios de PIXAR, aplican Wavelet para mejorar algunas
formas de los dibujos realizados en la película de Toy Story 2.
Las aplicaciones más recientes son en medicina, ya que el estudio correcto de las
señales no estacionarias, permite identificar anomalías, que pueden curarse si se
descubren a tiempo; además facilita la lectura sobre electrocardiogramas,
mamografías etc., tal como se demuestra en el artículo denominado “The wavelet
transform has become an important technique for image compression, noise
suppresion and feature extraction. As a result, the radiological physicist can expect
to be confronted with elements of wavelet theory as diagnostic radiology advances
into teleradiology, PACS, and computer aided feature extraction and
diagnosis…”(M.D. Harpen, An introduction to wavelet theory and application for the
radiological physicist, Med. Phys. 25 (10), 1998).
Incluso en el área de campos eléctricos se hace uso de la transformada Wavelet,
en 2012, se realizó un estudio titulado ”Uso de la Transformada de Ondeletas
(Wavelet Transform) en la Reducción de Ruidos en las Señales de Campo Eléctrico
producidas por Rayos”, Universidad Nacional de Colombia, Grupo de Investigación
en Compatibilidad Electromagnética junto con la Universidad Distrital Francisco
José de Caldas.
13
3. METODOLOGÍA
Para el desarrollo de este trabajo se implementarán las etapas relacionadas a
continuación:
3.1. Simulación de circuito con spice, xiling o similar:
La simulación del circuito se realizó mediante el software simulink este circuito
muestra
3.2. Investigación de aplicación de transformada WAVELET:
Se encuentran diversas transformadas wavelet, tales como Haar, Adomian o
Galerking; esta última se aplica a lo largo de este documento para el desarrollo de
la ecuación planteada
3.3. Desarrollo del modelo matemático mediante la ecuación del circuito
Por medio de las leyes de Kirchoff, se hallará la ecuación diferencial del circuito y
se aplicarán las diversas transformadas (Fourier y Wavelet) para hallar los modelos
matemáticos respectivos
3.4. Desarrollo del documento final
Durante la investigación y aplicación de las transformadas se recopilaron datos para
la elaboración del documento final
14
4. MARCO TEORICO
4.1. La serie de Fourier de una función
Se recuerda que 𝐿1(𝑅) es el espacio de todas las funciones 𝑓: 𝑅 → 𝐶 , tal
que∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 = ‖𝑓‖𝐿1 < ∞𝑅
. De igual forma se tiene para 𝐿2(𝑅), el espacio las
funciones cuadrado-integrables, la norma: ‖𝑓‖𝐿2= (∫ |𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑅)1/2
< ∞.
Cualquier función f(x), 2 π periódica en R, se puede representar como una serie
trigonométrica de Fourier:
𝑓(𝑥) =1
2𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥))∞
𝑛=1 (1)
Para - π ≤ x ≤ π. Donde los coeficientes 𝑎0, 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 dados por [1]:
𝑎0 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑎𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)cos(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 para n=1,2,….
𝑏𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 para n=1,2,….
La familia de funciones {1, cos x, cos 2x,.., sin x, sin 2x,...} que intervienen en la
serie de Fourier satisfacen:
∫ 𝜑1𝜑2𝑑𝑥 = 0𝜋
−𝜋 para cualquier par 𝜑1𝜑2; de funciones distintas de la familia.
Si 𝜑1 = 𝜑2la integral es π, excepto para la función 1, en cuyo caso es 2 π.
La serie de Fourier en forma compleja es:
15
𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑛𝑒𝑖𝑛𝑡𝑛 donde los coeficientes de Fourier son dados por:
𝐶𝑛 =1
2𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡
2𝜋
0
4.2. Transformada de Fourier
Sea 𝑓 ∈ 𝐿1𝑅y 𝜔 ∈ 𝑅. La transformada de Fourier de f en ω se define por:
𝑓^(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑅
𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
Se enuncian algunas propiedades fundamentales de la transformada de Fourier.
Sean f, g ∈ L 1 (R), entonces:
1. (𝜏𝑥𝑓)(𝜔) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑓^(𝜔), donde (𝜏𝑎𝑓)(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝑎)
2. (𝜏𝑥𝑓^)(𝜔) = 𝑒𝑖𝑥(.)𝑓(𝜔)
3. (𝑓∗𝑔) = 𝑓^𝑔^
4. 𝑆𝑖𝜖 > 0𝑦𝑔𝜖(𝑡) = 𝑔(𝜖𝑡), entonces: 𝑔^𝜖(𝜔) = 𝜖−1𝑔^ (
𝜔
𝜖)
En teoría de señales, la cantidad ‖𝑓‖2mide la energía de la señal, mientras que
‖𝑓^‖2 representa el espectro de potencia de f.
4.3. Transformada inversa de Fourier
Representación espectral de f. Sean f, 𝑓^ ∈ 𝑅, entonces la transformada inversa de
Fouerier se define como:
𝑓(𝑡) =1
2𝜋∫ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑓^(𝑡)𝑑𝑡
𝑅
16
Para calcular computacionalmente la transformada de Fourier, se utilizará la
transformada rápida de Fourier.
4.4. Introducción a las wavelets
El origen de la descomposición de una señal mediante la utilización de wavelets
está en la necesidad de conocer las características y particularidades de la señal en
diferentes instantes de tiempo. La principal virtud de las wavelets es que permite
modelar procesos que dependen fuertemente del tiempo y para los cuales su
comportamiento no tiene porqué ser suave. Una de las ventajas de las wavelets
frente a los métodos clásicos, como la transformada de Fourier, es que en el
segundo caso se maneja una base de funciones bien localizada en frecuencia pero
no en tiempo, esto es, el análisis en frecuencia obtenido del análisis de Fourier es
insensible a perturbaciones que supongan variaciones instantáneas y puntuales de
la señal como picos debidos a conmutaciones o variaciones muy lentas como
tendencias. En otras palabras, si f es una señal (f es una función definida en todo R
y tiene energía finita ∫ |𝑓|2𝑑𝑡∞
−∞, la transformada de Fourier 𝑓^(𝜔) proporciona la
información global de la señal en el tiempo localizada en frecuencia. Sin embargo,
𝑓^(𝜔) no particulariza la información para intervalos de tiempo específicos, ya que
la integración es sobre todo tiempo.
𝑓^(𝜔) ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
Así, la imagen obtenida no contiene información sobre tiempos específicos, sino
que sólo permite calcular el espectro de amplitud total |𝑓^(𝜔)| mientras que la
mayoría de las wavelets presentan una buena localización en tiempo y en
frecuencia, disponiendo incluso de bases de wavelets con soporte compacto.
17
El análisis de Fourier tiene el defecto de la no localidad: el comportamiento de una
función en un conjunto abierto, no importa cuán pequeño, influye en el
comportamiento global de la transformada de Fourier. No se captan los aspectos
locales de la señal tales como cambios bruscos, saltos o picos, que se han de
determinar a partir de su reconstrucción.
4.5. Transformada wavelet continua
La teoría wavelets se basa en la representación de una función en términos de una
familia biparamétrica de dilataciones y traslaciones de una función fija ψ, la wavelet
madre que, en general, no es senoidal. Por ejemplo,
𝑓(𝑡) = ∫1
√|𝑎|ψ (
𝑡 − 𝑏
𝑎)𝑊ψ𝑓(𝑎, 𝑏)𝑑𝑎𝑑𝑏
𝑅2
En donde W ψ f es una transformada de f definida adecuadamente.
La transformada wavelet continua también se puede escribir como:
𝑊ψ𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓 ∗ 𝐷𝑎ψ𝑉
Y en forma discreta se tiene un desarrollo en serie:
𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑗,𝑘2𝑗/2
𝑗,𝑘 ψ(2𝑗 𝑡 − 𝑘)
En donde se suma sobre las dilataciones en progresión geométrica. Para conservar
la norma en 𝐿2𝑅 de la wavelet madre ψ, se insertan los factores 1
√|𝑎|y 2𝑗/2,
respectivamente.
Definición: Para f, ψ ∈ 𝐿2𝑅, la expresión:
𝑊ψ𝑓(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)ψ𝑎,𝑏(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅𝑑𝑡
𝑅
18
Se llama la transformada wavelet de f.
A continuación se listan algunas propiedades de la transformada wavelet:
1. 𝑊ψ(𝛼𝑓, 𝛽𝑔)(𝑎, 𝑏) = 𝛼𝑊ψ𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝛽𝑊ψ𝑔(𝑎, 𝑏),𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅
2. 𝑊αψ+βψ𝑓(𝑎, 𝑏) = �̅�𝑊ψ𝑓(𝑎, 𝑏) + �̅�𝑊ψ𝑔(𝑎, 𝑏),𝛼, 𝛽 ∈
3. 𝑊ψ(𝑇𝑐𝑓)(𝑎, 𝑏) = 𝑊ψ𝑓(𝑎, 𝑏 − 𝑐)donde𝑇𝑐es el operador traslación definido por:
𝑇𝑐𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝑐)
4. 𝑊ψ(𝐷𝑐𝑓)(𝑎, 𝑏) = 𝑐𝑊ψ𝑓(𝑐𝑎, 𝑐𝑏) donde𝐷𝑐es el operador dilatación definido por:
𝐷𝑐𝑓(𝑡) = √𝑐𝑓(𝑐𝑡)
4.6. Transformada wavelet discreta
La transformada wavelet continua introduce cierta redundancia, pues la señal
original se puede reconstruir completamente calculando 𝑊ψ𝑓(𝑎, (. ))para una
cantidad numerable de escalas, por ejemplo, potencias enteras de 2. Esto es, si se
elige la escala 𝑎 = 2−𝑗 para cada j ∈ Z, y también se discretiza en el dominio del
tiempo en los puntos 𝑏 = 2−𝑗 𝑘, k ∈ Z, la familia de wavelets será ahora dada por
ψ2−𝑗,2−𝑗𝑘(𝑡) =1
√2−𝑗ψ (
𝑡 − 2−𝑗𝑘
2−𝑗) = 2𝑗/2ψ(2𝑗𝑡 − 𝑘),∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝑍
Se utilizará la notación ψ𝑗𝑘 para denotar la wavelet ψ comprimida 2𝑗 y trasladada el
entero k, es decir,
ψ𝑗𝑘(𝑡) = 2𝑗/2ψ(2𝑗𝑡 − 𝑘)
19
4.7. Método Galerkin
Este método radica en obtener una solución lineal de la forma
ɸ(𝑥) = ∅0(𝑥) + ∑ 𝑐𝑗∅𝑗(𝑥)𝑛𝑗=1 , para aplicar este método es necesario tomar la
ecuación y buscar una función o funciones base que puedan ser una solución
aproximada de la ecuación; siendo ∅𝑗(𝑥)|𝑗 = {1,2,3… . .𝑚}, y 𝑐𝑗(𝑥)|𝑗 = {1,2,3… . .𝑚},
los cuales son los coeficientes desconocidos que se deben hallar. La solución
hallada será una combinación de funciones lineales que cumplen con las
condiciones de frontera de la ecuación original.
Este método incluye una aplicación de parámetros que faciliten el manejo de la
ecuación, en un subespacio.
Si se tiene una ecuación, que se puede determinar de la forma −𝑑
𝑑𝑡[𝑝(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥𝑦(𝑥)] +
𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0, donde 𝑦(𝑥) = ɸ(𝑥) entonces se tendría: −𝑑
𝑑𝑡[𝑝(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥ɸ(𝑥)] +
𝑞(𝑥)ɸ(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑟(𝑥); la solución que se debe encontrar debe ser una en la cual
la componente del r(x)=0, ya que con esto el producto punto del residuo de cada
función será igual a cero. Esto genera una serie de ecuaciones que generan un
sistema matricial con el cual se pueden encontrar los coeficientes inicialmente
desconocidos.
5. DESARROLLO DEL PROYECTO
5.1. Ecuación diferencial
20
Se toma un circuito no lineal RLC, el cual se muestra a continuación:
Figura 1. Circuito RLC no lineal
Para hallar las ecuaciones diferenciales del circuito, se aplicaran la primera y
segunda ley de Kirchoff (leyes voltaje y corriente), descritas a continuación y se
asumirá que R4>>𝜌√𝐿 𝐶⁄ :
1. La corriente entrante a un nodo es igual a la suma de las corrientes salientes, o
en otras palabras la suma de las corrientes entrantes a un nodo son iguales a la
suma de las corrientes salientes.
∑ 𝐼𝑘 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + ⋯+ 𝐼𝑛 = 0𝑛𝑘=1 (1)
2. En un circuito cerrado, la suma de las tensiones de batería que se encuentran al
recorrerlo siempre serán iguales a la suma de las caídas de tensión existente sobre
los resistores.
∑ 𝑉𝑘 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯+ 𝑉𝑛 = 0𝑛𝑘=1 (2)
Aplicando Kirchof, se tiene:
IL
+ VC
-
21
−𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝑉𝑑 + 𝐼𝐿𝑅3 + 𝐿𝑑𝐿
𝑑𝑡− 𝐹𝐸(𝑉𝐶) = 0 (3)
−𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜋) + 𝐼𝐿𝑅3 + 𝐿𝑑𝐿
𝑑𝑡− 𝐹𝐸(𝑉𝐶) = 0 (4)
𝐿𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜋) − 𝐼𝐿𝑅3 + 𝐹𝐸(𝑉𝐶) (5)
Ahora la corriente en un capacitor es:
𝐼𝐶 = 𝐶𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡 (6)
Y como IL=Ic, entonces:
𝐼𝐿 = 𝐶𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡 (7)
Debido al desarrollo anterior, ahora se pueden presentar las ecuaciones
diferenciales que representan el circuito:
𝐶𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡= 𝐼𝐿 (8)
𝐿𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝐹𝐸(𝑉𝐶) − 𝐼𝐿𝑅3 + 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜋) (9)
Donde Vc es el voltaje a través del condensador C y la IL es la corriente a través del
inductor L. La función no lineal FE (VC) se puede dar por tres ecuaciones lineales
por tramos de aproximación:
𝐹𝐸(𝑉𝐶) = {
−(𝑉𝐶 + 𝑘𝑉∗),𝑉𝐶 < −𝑉∗(𝑘 − 1)𝑉𝐶 ,−𝑉∗ < 𝑉𝐶 <
−(𝑉𝐶 + 𝑘𝑉∗),𝑉𝐶 > 𝑉∗
𝑉∗
Donde k = R2/R1 + 1 es la ganancia de la etapa de amplificación y V* es la caída
de voltaje a través de un diodo abierto (para diodos de silicio V*≈ 0,5 V a 0,1 mA).
Introduciendo un conjunto de variables y parámetros adimensionales:
𝑥 =𝑉𝐶
2𝑉∗𝑦 =
𝜌𝐼𝐿2𝑉∗
22
𝑡
√𝐿𝐶→ 𝑡𝜔√𝐿𝐶 → 𝜔
𝑎 =𝐴
2𝑉∗𝑏 =
𝑅3
𝜌𝜌 = √
𝐿
𝐶
Se tiene que:
�̇� = 𝑦
�̇� = 𝐹𝐸(𝑥) − 𝑏𝑦 + asin(𝜔𝑡)
La señal del circuito anteriormente descrito se muestra a continuación:
Figura 2. Señal de corriente con ruido dada por el circuito descrito.
5.2. Aplicación de la transformada de Fourier
Para aplicar la transformada de Fourier lo primero que se debe hacer es dejar la
ecuación (8) en términos de un sola variable para facilitar su solución, por lo cual
teniendo
23
𝐶𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡= 𝐼𝐿
Se puede obtener:
𝐿𝐶𝑑2𝑉𝐶
𝑑𝑡2 =𝐹𝐸(𝑉𝐶) − 𝐶𝑅3𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡+ 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜋) (10)
A continuación se relaciona una serie de transformadas de Fourier las cuales serán
de gran utilidad en el desarrollo de las ecuaciones
g(t) 𝑓 𝐺(𝑓) = ∫ 𝑔(𝑡)𝑒−2𝜋𝑖𝑓𝑑𝑡
∞
−∞
𝐺(𝑡) = ∫ 𝑔(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
Derivada 𝑖2𝜋𝑓 ∙ 𝐺(𝑓)
𝑑2𝑔(𝑡)
𝑑𝑡2
Segunda
derivada
(𝑖2𝜋𝑓)2 ∙ 𝐺(𝑓)
C Constante 𝐶𝛿(𝑓)
2𝜋𝐶𝛿(𝜔)
𝛿(𝑡 − 𝑎)
Impulso
delta
𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑎
𝑒−𝑖𝜔𝑎
cos(2𝜋𝐴𝑡)
Coseno 1
2[𝛿(𝑓 − 𝐴) − 𝛿(𝑓 + 𝐴)]
𝜋[𝛿(𝜔 − 2𝜋𝐴) − 𝛿(𝜔 + 2𝜋𝐴)]
u(t) Función
escalonada
1
2𝜋𝑓+
𝛿(𝑓)
2
1
𝑖𝜔− 𝜋𝛿(𝜔)
Tabla 1. Transformadas de Fourier.*1
Y aplicando Fourier a la ecuación (10):
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2𝑉𝐶(𝑓) = 𝑓(𝐹𝐸(𝑉𝐶)) − 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓) + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑓(𝜔𝑡 − 𝜋) (12)
Debido a que la función Fe(Vc), se divide en tres partes, la aplicación de Fourier
sobre esta se tendrá que realizar también en tres partes:
24
1. Si Vc<-V*, entonces Fe(Vc)= -(Vc+kV*), por lo tanto, la transformada de Fourier
de esta ecuación sería:
𝑓(−(𝑉𝐶 + 𝑘𝑉∗)) = −𝑉𝐶(𝑓) − 𝑓(𝑘𝑉∗)
𝑓(−(𝑉𝐶 + 𝑘𝑉∗)) = −𝑉𝐶(𝑓) − 𝑘𝑉∗𝛿(𝑓)
Entonces la ecuación (12) quedaría:
*1. Tomada de: http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2𝑉𝐶(𝑓) = −𝑉𝐶(𝑓) − 𝑓(𝑘𝑉∗) − 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓) + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑓(𝜔𝑡 − 𝜋) (13)
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2𝑉𝐶(𝑓) = −𝑉𝐶(𝑓) − 𝑘𝑉∗𝛿(𝑓) − 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)𝑉𝐶(𝑓) +1
2𝐴[𝛿(𝑓 − 𝜔) +
𝛿(𝑓 + 𝜔)](14)
Simplificando términos,
𝑉𝐶(𝑓)[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)] = −𝑘𝑉∗𝛿(𝑓) +1
2𝐴[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)](15)
Finalmente se obtiene la tensión en términos de la frecuencia:
𝑉𝐶(𝑓) = −𝑘𝑉∗𝛿(𝑓)+
1
2𝐴[𝛿(𝑓−𝜔)+𝛿(𝑓+𝜔)]
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2+1+𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)](16)
Para hallar la tensión en términos del tiempo, se aplica la transformada inversa de
Fourier:
𝑓−1[𝑉𝐶(𝑓)] =𝐴
2∫
𝛿(𝑓 − 𝜔)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)
∞
−∞
− 𝑘𝑉∗ ∫𝛿(𝑓)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)
∞
−∞
(17)
Teniendo en cuenta que,
{0,𝑓 ≠ 𝜔1,𝑓 = 𝜔
25
𝑉𝐶(𝑡) =𝐴
2
𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)](18)
2. Si -V*<Vc<-V*, entonces Fe(Vc)= (k-1)Vc, por lo tanto, la transformada de Fourier
de esta ecuación sería:
𝑓(𝑘 − 1) = (𝑘 − 1)𝑉𝐶(𝑓)
Entonces para la ecuación (12) se tendría:
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2𝑉𝐶(𝑓) = (𝑘 − 1)𝑉𝐶(𝑓) − 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)𝑉𝐶(𝑓) +𝐴
2[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)](19)
Simplificando términos nuevamente,
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2𝑉𝐶(𝑓) − (𝑘 − 1)𝑉𝐶(𝑓) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)𝑉𝐶(𝑓) = +𝐴
2[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)](20)
𝑉𝐶(𝑓)[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)] =𝐴
2[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)](21)
Luego,
𝑉𝐶(𝑓) =
𝐴2
[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)]
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)](22)
Obteniendo Vc (t),
𝑓−1[𝑉𝐶(𝑓)] = 𝑓−1 [
𝐴2
[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)]
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)]](23)
26
𝑓−1[𝑉𝐶(𝑓)] =𝐴
2∫
𝛿(𝑓 − 𝜔)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)
∞
−∞
+𝐴
2∫
𝛿(𝑓 − 𝜔)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)
∞
−∞
(24)
𝑉𝐶(𝑡) =
𝐴2
𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)]+
𝐴2
𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 − (𝑘 − 1) + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)](25)
5. Si Vc>V*, entonces Fe(Vc)= (k-1)Vc, por lo tanto, la transformada de Fourier de
esta ecuación sería:
𝑓(−(𝑉𝐶 − 𝑘𝑉∗)) = −𝑉𝐶(𝑓) − 𝑓(𝑘𝑉∗)
𝑓(−(𝑉𝐶 − 𝑘𝑉∗)) = −𝑉𝐶(𝑓) + 𝑘𝑉∗𝛿(𝑓)
Entonces para la ecuación (12) se tendría:
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2𝑉𝐶(𝑓) = −𝑉𝐶(𝑓) + 𝑘𝑉∗𝛿(𝑓) − 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)𝑉𝐶(𝑓) +1
2𝐴[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)](26)
Simplificando términos,
𝑉𝐶(𝑓)[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)] = 𝑘𝑉∗𝛿(𝑓) +1
2𝐴[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)](27)
Entonces Vc(f) sería:
𝑉𝐶(𝑓) = 𝑘𝑉∗𝛿(𝑓) +
12𝐴[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)]
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)](28)
27
Hallando la tensión en el tiempo
𝑓−1[𝑉𝐶(𝑓)] = 𝑓−1 [𝑘𝑉∗𝛿(𝑓) +
12𝐴[𝛿(𝑓 − 𝜔) + 𝛿(𝑓 + 𝜔)]
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)]](29)
𝑓−1[𝑉𝐶(𝑓)] =𝐴
2∫
𝛿(𝑓 − 𝜔)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)
∞
−∞
+ 𝑘𝑉∗ ∫𝛿(𝑓)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡
𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)
∞
−∞
(30)
𝑉𝐶(𝑡) =𝐴
2
𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)]+ 𝑘𝑉∗(31)
Por lo que la ecuación general de la tensión en términos del tiempo es:
𝑉𝐶(𝑡) =𝐴𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)]+
𝐴𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡
[𝐿𝐶(2𝜋𝑖𝑓)2 + 1 + 𝐶𝑅3(2𝜋𝑖𝑓)](32)
5.3. Aplicación de la transformada Wavelet: método Galerkin
Antes de iniciar con la aplicación de la transformada se debe tener en cuenta la
siguiente gráfica en la que se muestra el comportamiento esperado de la señal (sin
ruido):
Figura 3. Señal de corriente esperada.
28
Teniendo en cuenta las condiciones de frontera:
y(0)=0
y(π)=0
Solución trivial:
𝜐0 = ɸ0 = 0
Las funciones base son:
ɸ1 = sin(𝑡 − 𝜋)(33)
ɸ2 = sin2(𝑡 − 𝜋)(34)
ɸ3 = sin3(𝑡 − 𝜋)(35)
La solución es entonces de la forma:
𝑢(𝑡) = 𝐴 sin(𝑡 − 𝜋) + 𝐵𝑠𝑖𝑛2(𝑡 − 𝜋) + 𝐶𝑠𝑖𝑛3(𝑡 − 𝜋)(36)
Por lo cual la segunda derivada de la función planteada será:
𝑑2𝑢
𝑑𝑡2= −𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡) + 2𝐵𝜔2[𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)]
+ 3𝐶𝜔2[−𝑠𝑖𝑛3(𝜔𝑡) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)]
Entonces, para hallar los coeficientes de la matriz se debe integrar la derivada
anterior multiplicada por cada una de las funciones triviales que se plantearon:
∫(−𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡) + 2𝐵𝜔2[𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)]
𝜋
0
+ 3𝐶𝜔2[−𝑠𝑖𝑛3(𝜔𝑡) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)]) [sin(𝑡 − 𝜋)]𝑑𝑡
29
= 𝐴 [𝜔
2cos(𝜔) sin(𝜔) −
𝜔2
2] + 𝐵 [
2
3𝜔𝑐𝑜𝑠3(𝜔) −
4
15𝜔 −
2
5𝜔𝑐𝑜𝑠5(𝜔)]
+ 𝐶 [63
24𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
9
24𝜔2 −
54
24𝜔 cos3(𝜔) sin(𝜔)]
+𝜔
24[48 cos3(𝜔) − 32 cos3(𝜔) − 16](37)
∫(−𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡) + 2𝐵𝜔2[𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)]
𝜋
0
+ 3𝐶𝜔2[−𝑠𝑖𝑛3(𝜔𝑡) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)]) [sin2(𝑡 − 𝜋)]𝑑𝑡
= 𝐴 [2
3𝜔 + 𝜔 cos(𝜔) + 𝜔 cos3(𝜔)] + 𝐵 [
3
2𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
𝜔2
2− 𝜔 cos3(𝜔) sin(𝜔)]
+ 𝐶 [−8
10+
30
10𝜔 cos(𝜔) −
40
10𝜔 cos3(𝜔) −
18
10𝜔 cos5(𝜔)]
+5
10𝜔[−𝜔 − 2 cos3(𝜔) sin(𝜔) + 𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔)](38)
∫(−𝐴𝜔2 sin(𝜔𝑡) + 2𝐵𝜔2[𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)]
𝜋
0
+ 3𝐶𝜔2[−𝑠𝑖𝑛3(𝜔𝑡) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)]) [sin3(𝑡 − 𝜋)]𝑑𝑡
30
= 𝐴 [5
8𝜔 cos(𝜋𝜔) sin(𝜋𝜔) −
3
8𝜔2 −
𝜔
4cos3(𝜔) sin(𝜔)]
+ 𝐵 [4
5𝜔 − 2𝜔 cos(𝜔) + 2𝜔 cos3(𝜔) −
4
5𝜔 cos5(𝜔)]
+ 𝐶 [195
80𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
45
80𝜔2 −
270
80𝜔 cos3(𝜔) sin(𝜔)
+120
80𝜔 cos5(𝜔) sin(𝜔)]
−1
80[−160 cos(𝜔) + 160 cos3(𝜔) − 64 cos5(𝜔) + 64](39)
La matriz obtenida será:
𝑀 =
[ [
𝜔
2cos(𝜔) sin(𝜔) −
𝜔2
2] [
2
3𝜔𝑐𝑜𝑠3(𝜔) −
4
15𝜔 −
2
5𝜔𝑐𝑜𝑠5(𝜔)] [
63
24𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
9
24𝜔2 −
54
24𝜔 cos3(𝜔) sin(𝜔)]
[2
3𝜔 + 𝜔 cos(𝜔) + 𝜔 cos3(𝜔)] [
3
2𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
𝜔2
2− 𝜔 cos3(𝜔) sin(𝜔)] [−
8
10+
30
10𝜔 cos(𝜔) −
40
10𝜔 cos3(𝜔) −
18
10𝜔 cos5(𝜔)]
[5
8𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
3
8𝜔2 −
𝜔
4cos3(𝜔) sin(𝜔)] [
4
5𝜔 − 2𝜔 cos(𝜔) + 2𝜔 cos3(𝜔) −
4
5𝜔 cos5(𝜔)] [
195
80𝜔 cos(𝜔) sin(𝜔) −
45
80𝜔2 −
270
80𝜔 cos3(𝜔) sin(𝜔) +
120
80𝜔 cos5(𝜔) sin(𝜔)]]
[
𝜔
24[48 cos3(𝜔) − 32 cos3(𝜔) − 16]
5
10𝜔[−𝜔 − 2 cos3(𝜔) sin(𝜔) + 𝜔cos(𝜔) sin(𝜔)]
−1
80[−160 cos(𝜔) + 160 cos3(𝜔) − 64 cos5(𝜔) + 64]]
= [𝐴𝐵𝐶]
Por lo tanto se obtiene la ecuación:
𝑢(𝑡) = [16 cos(𝜔) − 16𝑐𝑜𝑠3(𝜔) + 255𝜔4𝑐𝑜𝑠2(𝜔)𝑠𝑖𝑛2(𝜔)] sin(𝑡 − 𝜋)
+ [480 cos(𝜔) − 480𝑐𝑜𝑠3(𝜔) +960𝑐𝑜𝑠5(𝜔)
5+ 16𝜔
− 95𝑐𝑜𝑠2(𝜔)𝑠𝑖𝑛(𝜔)] 𝑠𝑖𝑛2(𝑡 − 𝜋)
+ [80𝜔𝑐𝑜𝑠3(𝜔) − 16𝜔𝑐𝑜𝑠2(𝜔) + 288𝜔𝑐𝑜𝑠5(𝜔)
+ 120𝜔2𝑐𝑜𝑠2(𝜔)𝑠𝑖𝑛(𝜔)]𝑠𝑖𝑛3(𝑡 − 𝜋)(40)
5.4. Aplicación de transformada wavelet con Matlab
Para verificar la aplicación de la transformada se realiza en matlab la modificación
de la imagen para ver la resolución de esta mejorar.
31
El programa que se adaptó se describe a continuación:
A=imread('circuito1.png'); figure; imshow(A)
[xar,xhr,xvr,xdr]=dwt2(A(:,:,1),'db2'); [xag,xhg,xvg,xdg]=dwt2(A(:,:,2),'db2'); [xab,xhb,xvb,xdb]=dwt2(A(:,:,3),'db2');
xa(:,:,1)=xar; xa(:,:,2)=xag; xa(:,:,3)=xab; xh(:,:,1)=xhr; xh(:,:,2)=xhg; xh(:,:,3)=xhb; xv(:,:,1)=xvr; xv(:,:,2)=xvg; xv(:,:,3)=xvb; xd(:,:,1)=xdr; xd(:,:,2)=xdg; xd(:,:,3)=xdb;
figure; imshow(xa/255); figure; imshow(xh); figure; imshow(xv); figure; imshow(xd);
X=[xa*0.003log10(xv)*0.3;log10(xh)*0.3 log10(xd)*0.3]; figure; imshow(X)
Figura 4. Aplicación de la transformada Wavelet con matlab.
32
Figura 5. Continuación de la aplicación de la transformada Wavelet con matlab.
Figura 6. Señal obtenida con Wavelet Vs. Señal inicial.
33
6. CONCLUSIONES
- Al aplicar el método de la transformada de Wavelet, que en este caso fue mediante
el método de Galerking se observa simplificación del desarrollo del modelo
matemático, aunque se dificulta el escoger el tipo de solución trivial que puede ser
una aproximación de la solución de la ecuación.
- Efectivamente se puede observar el corregimiento de la señal utilizando
transformada Wavelet vs. la señal generada sin la aplicación de este método. Al
inicio la señal está distorsionada, pero con la aplicación de este método la señal
queda va adquiriendo nitidez y se va borrando el ruido, aunque no al nivel de la
señal esperada.
- La transformada Wavelet es una herramienta ideal para la extracción de ruido en
señales e imágenes.
- Mediante la transformada de Fourier se llega de igual forma al modelo matemático,
y aunque este tema es más conocido y facilita la aplicación de ecuaciones, el
proceso para hallar el modelo matemático es mucho más extenso que por medio de
Galerking.
- La ventaja de aplicar la transformada Wavelet es que hay diversos tipos tales como
Haar, Adomian, Galerking, entre otros, con los cuales se puede hallar el modelo
matemático.
34
7. BIBLIOGRAFÍA
“Aplicación de la transformada wavelet en el análisis de calidad de la
energía”. Tesis, Miguel Guzmán. 2009
Wavelet. Applications In Engineering Electromagnetics - Tapan K. Sarkar, M.
Salazar-Palma, M. C. Wicks - (Artech House - 2002 - pp.366)
Wavelet Theory An Elementary Approach with Applications, Ruch, Van Fleet
, Wiley, 2009
O´Neil, P. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cengage Learning
Editores, México 2007.
Aldroubi, A. The wavelet transform: A surfing guide, Wpp 3-36 in Wavelets in
Medicine and Biology, A. Audroubi, M. Unser (eds.), CRC Press, New York
1996.
Boggess, Albert. Narcowich, Francis J. A First Course in Wavelets with
Fourier analysis, Prentice Hall, 2007.
35
8. INFOGRAFÍA
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=gmail&attid=0.1&thid=13df5d710d
ca4598&mt=application/vnd.openxmlformats-
officedocument.wordprocessingml.document&url=https://mail.google.com/m
ail/u/0/?ui%3D2%26ik%3D740d91d7fe%26view%3Datt%26th%3D13df5d71
0dca4598%26attid%3D0.1%26disp%3Dsafe%26realattid%3Df_hefuav4p0
%26zw&sig=AHIEtbSLem155z5pC_BFyqjmXfOKSLOCaw
http://qtcorregido.galeon.com/waveletsECG.htm
http://www.cnea.gov.ar/cac/endye/glea/trabajos/serrano.pdf
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/hernandez_d_m/capit
ulo2.pdf
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/meie/osorio_s_a/capitulo2
![Transformada Z Transparenciasdsp1.materia.unsl.edu.ar/Transformada Z Transparencias.pdf · 2013. 4. 26. · Transformada Z Transformada Antitransformada { }[ ] +∞ [ ] − =−∞](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/613fe170b44ffa75b8048245/transformada-z-z-transparenciaspdf-2013-4-26-transformada-z-transformada.jpg)
